优选大学物理静电场中的导体电容静电能
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大学物理,静电场中的导体和电介质8-5 静电场的能量
取一体积元， dV 4πr 2 dr
2
R1
r
dr
Q R2 dWe wedV dr 2 8 π εr 2 2 R Q Q 1 1 2 dr We dWe ( ) 2 8 π ε R1 r 8 π ε R1 R2 9
8.5 静电场的能量
2
第8章 静电场中的导体和电介质
第8章 静电场中的导体和电介质
例：同轴电缆由内径为 R1、外径为 R2的两无限长金属圆柱 面构成，单位长度带电量分别为 +、 -，其间充有 r 电介 质。求： 1）两柱面间的场强 E；2）电势差 U；3）单位长 度电容 ；4）单位长度贮存能量。
介质中高斯定理： D dS q 0
5
8.5 静电场的能量
第8章 静电场中的导体和电介质
二、静电场的能量 能量密度 以平行板电容器为例，将电能用电场的量表示。
1 1 1 1 εS 2 2 2 2 ( Ed ) εE Sd εE V We CU 2 2 2 d 2
电场中单位体积的能量 称为电场能量密度：
d
S
εr
We we V
8.5 静电场的能量
第8章 静电场中的导体和电介质
静电场的能量 ( Electrostatic Energy ) 一个带电系统包含许多的电荷。电荷之间 存在着相互作用的电场力。 任何一个带电系统在形成的过程中，外力 必须克服电场力做功，即要消耗外界的能量。 外界对系统所做的功，应该等于系统能量 的增加。 因此，带电系统具有能量。
第8章 静电场中的导体和电介质
1 We QU 2
R1
1 λ R2 λh ln 2 2πε0 εr R1 2 λh R2 ln 4πε0 εr R1
2
R1
r
dr
Q R2 dWe wedV dr 2 8 π εr 2 2 R Q Q 1 1 2 dr We dWe ( ) 2 8 π ε R1 r 8 π ε R1 R2 9
8.5 静电场的能量
2
第8章 静电场中的导体和电介质
第8章 静电场中的导体和电介质
例：同轴电缆由内径为 R1、外径为 R2的两无限长金属圆柱 面构成，单位长度带电量分别为 +、 -，其间充有 r 电介 质。求： 1）两柱面间的场强 E；2）电势差 U；3）单位长 度电容 ；4）单位长度贮存能量。
介质中高斯定理： D dS q 0
5
8.5 静电场的能量
第8章 静电场中的导体和电介质
二、静电场的能量 能量密度 以平行板电容器为例，将电能用电场的量表示。
1 1 1 1 εS 2 2 2 2 ( Ed ) εE Sd εE V We CU 2 2 2 d 2
电场中单位体积的能量 称为电场能量密度：
d
S
εr
We we V
8.5 静电场的能量
第8章 静电场中的导体和电介质
静电场的能量 ( Electrostatic Energy ) 一个带电系统包含许多的电荷。电荷之间 存在着相互作用的电场力。 任何一个带电系统在形成的过程中，外力 必须克服电场力做功，即要消耗外界的能量。 外界对系统所做的功，应该等于系统能量 的增加。 因此，带电系统具有能量。
第8章 静电场中的导体和电介质
1 We QU 2
R1
1 λ R2 λh ln 2 2πε0 εr R1 2 λh R2 ln 4πε0 εr R1
10.6-10.7 静电场中的导体、电容、电容器
E dS
S
V
e dV 0
内部 E 0 e 0
+ + +
+
+ + +
S
+
+
+
+
+
+ +
+
+
（2）、导体外部近表面处场强方向与该处导体表面
垂直，大小与该处导体表面电荷面密度 成正比。
表面附近作圆柱形高斯面
S 0 E dS E S cos 0
E
E0
++ + +
三、有导体存在时场强和电势的计算 电荷守恒定律
电荷分布 静电平衡条件
E
u
例1.已知：导体板A，面积为S、带电量Q，在其旁边 放入导体板B。两板间距离比两板面积小得多。 求：(1)A、B上的电荷分布及空间的电场分布 P28例10.17 (2)将B板接地，求电荷分布 解：设各表面的电荷密度如图
尖端放电 导体尖端场强特别强，足以使 周围空气分子电离而使空气被 击穿，导致“尖端放电”。 ——形成“电风”
* * *证明:对孤立的导体球
与P44习题10.22类似
1 R
R1
Q1
l R1 导线
R2
Q2
R2
证明: 设用导线连接两导体球后，两球带电量 为Q1，Q2
则
uR1 uR2
2
即
动，我们就说导体处于静电平衡状态
无 外 电 场 时
导体的静电感应过程
E外
S
V
e dV 0
内部 E 0 e 0
+ + +
+
+ + +
S
+
+
+
+
+
+ +
+
+
（2）、导体外部近表面处场强方向与该处导体表面
垂直，大小与该处导体表面电荷面密度 成正比。
表面附近作圆柱形高斯面
S 0 E dS E S cos 0
E
E0
++ + +
三、有导体存在时场强和电势的计算 电荷守恒定律
电荷分布 静电平衡条件
E
u
例1.已知：导体板A，面积为S、带电量Q，在其旁边 放入导体板B。两板间距离比两板面积小得多。 求：(1)A、B上的电荷分布及空间的电场分布 P28例10.17 (2)将B板接地，求电荷分布 解：设各表面的电荷密度如图
尖端放电 导体尖端场强特别强，足以使 周围空气分子电离而使空气被 击穿，导致“尖端放电”。 ——形成“电风”
* * *证明:对孤立的导体球
与P44习题10.22类似
1 R
R1
Q1
l R1 导线
R2
Q2
R2
证明: 设用导线连接两导体球后，两球带电量 为Q1，Q2
则
uR1 uR2
2
即
动，我们就说导体处于静电平衡状态
无 外 电 场 时
导体的静电感应过程
E外
大学物理-静电场中的导体、电容器
孤立导体球
1 q 电势: 电势: V = 4 πε0 R 孤立导体球的电容为: 孤立导体球的电容为:
q = 4 πε0R 1 q 4 πε0 R 孤立导体的电容仅取决于导体的几何形状和大 小,与导体是否带电无关. 与导体是否带电无关.
地球的电容: 地球的电容: C = 4 π ε 0 R = 4 π× 8.85 × 10 12 × 6.4 × 10 6 F
S
+
左底
侧面
∫
+
右底
∫
= 0+0+0
q1 q 2
E dS = 1 (σ 2 S + σ 3 S) ∫
S
ε0
σ 2 = σ 3
σ1 σ 4 EI = EIII = = ε0 ε0
I S
II
S
III S
σ1 = σ 4
σ1 σ 2
A
σ3 σ4
B
导体的静电平衡性质
静电场中的导体与电介质
qA
qB
I
+q
R1
l
+q
R2
导体的静电平衡性质
静电场中的导体与电介质
例 2 有一外半径R1 = 10cm 和内半径R2 = 7cm 的金属球壳, 的金属球壳,在球壳内放一半径 R3 = 5cm 的同心金 8 属球, 的正电荷, 属球,若使球壳和金属球均带有 q = 10 C 的正电荷, 两球体上的电荷如何分布?球心的电势为多少? 问 两球体上的电荷如何分布?球心的电势为多少? 解 根据静电平衡的条件求电荷分布 作球形高斯面 S1 +q
r
∫
S3
E3 dS = ∑qi ε0 = 0
i
R2
大学物理-第18章静电场中的导体与电介质
1）无极分子---正负电荷作用中心重合的分子。如H2、 N2、O2、CO2 2）有极分子---正负电荷作用中心不重合的分子。如H2O、 CO、SO2、NH3…..
+
O
+- H+ - H+
++
-
++
+
He
H2O
有极分子对外影响等效为一个电偶极子，电矩 Pe ql
事只实不上过lq所在为中为有无从心分分电负 的子子 场电 有中均 时荷 向所可 ，作 线有等 无用 段正效 极中电为 分心荷电 子指的偶 的向代极电正数子偶电和的极作；模矩用型为
综 1）不管是位移极化还是取向极化，其最后的 述：宏观效果都是产生了极化电荷。
2）两种极化都是外场越强，极化越厉害 所产生的分子电矩的矢量和也越大。
三、电介质内的场强、有介质时的高斯定理
1、电介质内的场强
EE0E'
c
E0
E'
a
b
EE0E'
实验发现，在均匀介质中
E
2 3 0 ……(3)
在板内任选一点P,其场强是四个面的场强的叠加，有
EP210220230240
又 EP 0 12340 Q
联立四式得：
……(4) 1 2 3 4
12432Q S
I
II III
P
由于静电平衡时表面面电荷密度与表面附近场强大小成
E0
E
E0
r
r 1
0
++
E0
+ +-
E
+ +-
+
O
+- H+ - H+
++
-
++
+
He
H2O
有极分子对外影响等效为一个电偶极子，电矩 Pe ql
事只实不上过lq所在为中为有无从心分分电负 的子子 场电 有中均 时荷 向所可 ，作 线有等 无用 段正效 极中电为 分心荷电 子指的偶 的向代极电正数子偶电和的极作；模矩用型为
综 1）不管是位移极化还是取向极化，其最后的 述：宏观效果都是产生了极化电荷。
2）两种极化都是外场越强，极化越厉害 所产生的分子电矩的矢量和也越大。
三、电介质内的场强、有介质时的高斯定理
1、电介质内的场强
EE0E'
c
E0
E'
a
b
EE0E'
实验发现，在均匀介质中
E
2 3 0 ……(3)
在板内任选一点P,其场强是四个面的场强的叠加，有
EP210220230240
又 EP 0 12340 Q
联立四式得：
……(4) 1 2 3 4
12432Q S
I
II III
P
由于静电平衡时表面面电荷密度与表面附近场强大小成
E0
E
E0
r
r 1
0
++
E0
+ +-
E
+ +-
10.7 静电场中的导体 电容
3）求 U ；4）求
C
.
1 平板电容器 （1）设两导体板分别带电 Q （2）两带电平板间的电场强度
+ + + + + +
d
S
-
Q E 0 0S
（3）两带电平板间的电势差
Qd U Ed 0S
（4）平板电容器电容
Q
Q
S»d
Q S C 0 U d
• S越大， d越小，C 越大。
+
+ +
+ + ++ ++
ห้องสมุดไป่ตู้
E 0
• 静电屏蔽
1、腔内无电荷
• 外电场变化，由于导体表面电荷的重新分 布，导体上及空腔内部场强为 0。空腔导 体具有静电屏蔽作用。例如：高压带电作 业人员穿的导电纤维编织的工作服。
2、腔内有电荷 • 腔内电荷变化会引起腔外电场的 变化。
q0
q0 q0
• 接地可屏蔽内部电场变化对外部电场影响。
§10.7 静电场中的导体 电容
10.7.1 导体的静电平衡
1. 静电感应现象: 外电场作用下, 导体中电荷重新分布 而呈现的带电现象。
+
+
+
+ ++ ++ +
感应电荷
+
+
+
+
+
+
+
+
+
E0
+
+
+
E
E0 ＇ E
大学物理2静电场中的导体电容静电能
q q
r RA
RBdWwdV1 E2dV201 (
20
q
4
r2
)2 4 r 2dr
q 2
8 r2
0
0
能量
W
V
dW
RB RA
q2
8 r2 0
dr
q2
8 0
(
1 R
A
1 R
B
)
还可以由电容器的能量公式计算
W q2 q2 ( 1 1 )
c
2C
8 R 0A
R B
4 R R
C
0 AB
R R
B
A
2012-09-17
R 0
1
2
0
E12dV
R
1
2
0
E22dV
3Q2
20 0 R
2012-09-17
济南大学泉城学院
24
【例】求无限长平行直导线单位长度导线间的线间电容C。
已知: a,d ,且d a
AB
【解】 设
场强分布
E
2 0 x 2 0( d x )
Ox PE
x
导线间电势差
d
B
d a
uA uB E dl E dx 电容
则两极板间的电势差为：uA
u B
U
(t)
q(t) C
考虑此时将 dq 的电荷从负极板移到
任 一 时 刻
uA
dq uB
U
正极板，电源所做的功为 dA Udq q dq C
充电完毕，电源所做的总功为： A Q q dq Q2 电容器的电能
0 C 2C
We
Q2 2C
1 QU 2
静电场中的导体、电容、能量-PPT精选文档
+ + + 加上外电场后
导体的静电感应过程
E外
+ + +
+ + +
加上外电场后
导体的静电感应过程 + + + + + + + + 加上外电场后
E外
导体的静电感应过程 + + + + + + + + + + 加上外电场后
E外
导体的静电感应过程 + + + + + + + + + + 加上外电场后
三、导体的静电平衡 •静电平衡 ( electrostatic equilibrium )
导体内部和表面无自由电荷的定向移动
我们就说导体处于静电平衡状态
•静电平衡条件
E 內0 场强描述： 垂 直 于 表 面 外 附 近 E
U 电势描述： U
內
等势体
表 面
等势面
静电屏蔽装置—接地导体壳 静电屏蔽：
E外
导体达到静平衡 + + + + + + + + + +
E感
感应电荷
E外
E E E 0 內 外 感
感应电荷
这样的过程可以一直进行下去，直 到感生电荷产生的电场E´ 与外电场 E0 在导体内部完全相互抵消，使导体内部 合电场E为零，电子不再发生宏观定向 运动，我们就说导体达到了静电平衡。
S e Ed
S
q
导体的静电感应过程
E外
+ + +
+ + +
加上外电场后
导体的静电感应过程 + + + + + + + + 加上外电场后
E外
导体的静电感应过程 + + + + + + + + + + 加上外电场后
E外
导体的静电感应过程 + + + + + + + + + + 加上外电场后
三、导体的静电平衡 •静电平衡 ( electrostatic equilibrium )
导体内部和表面无自由电荷的定向移动
我们就说导体处于静电平衡状态
•静电平衡条件
E 內0 场强描述： 垂 直 于 表 面 外 附 近 E
U 电势描述： U
內
等势体
表 面
等势面
静电屏蔽装置—接地导体壳 静电屏蔽：
E外
导体达到静平衡 + + + + + + + + + +
E感
感应电荷
E外
E E E 0 內 外 感
感应电荷
这样的过程可以一直进行下去，直 到感生电荷产生的电场E´ 与外电场 E0 在导体内部完全相互抵消，使导体内部 合电场E为零，电子不再发生宏观定向 运动，我们就说导体达到了静电平衡。
S e Ed
S
q
大学物理-静电场中的导体、电容器
静电平衡的形成
初始状态
导体处于静电场中，内部和外表面的电荷受到电场力作用。
电荷移动
导体内部的电荷在电场力作Biblioteka 下向导体的表面移动。动态平衡
电荷继续移动直到达到动态平衡状态，此时导体内部场强为零。
静电感应现象
01
02
03
静电感应
当导体放入静电场中，导 体表面会出现感应电荷的 现象。
感应电荷分布
感应电荷在导体表面形成 一定的分布，与外界电场 相互影响。
平板电容器
由两个平行的金属板组成， 是最简单的电容器形式。
圆柱形电容器
由两个圆柱形的金属导体 组成，常用于电子设备中。
电解电容器
一种特殊类型的电容器， 其中一个极板是固体电解 质，通常用于储存大量电 荷。
电容器的物理性质
电容器的电容
表示电容器容纳电荷的能力，与电容 器两极板间的距离、面积和介电常数 有关。
离。
圆柱形电容器的电容计算公式为 C=ln(R2/R1)/2πkL，其中R1和 R2分别为电容器的内半径和外半
径，L为电容器的高度。
球形电容器的电容计算公式为 C=4πkR/L，其中R为球形电容 器的半径，L为球形电容器的长
度。
电容器的电容与电压、电流的关系
电容器的电容与电压和电流无关， 只与电容器本身的物理参数有关。
用。
移相
在交流电路中，电容器可以改变电 流和电压之间的相位角，实现移相 功能。
阻抗匹配
通过电容器的适当配置，可以改变 电路的阻抗，实现阻抗匹配，提高 电路性能。
电容器在直流电路中的作用
储能
电容器可以存储电荷，在需要时 释放能量，用于平滑电流或提供
瞬时大电流。
静电场中的导体(北邮)
例 ：平行板电容器充电后，极板上面电荷密 0 1.77106 C / m 度 ，将两板与电源断电以后，再 插入 r 8 的电介质后,计算空隙中和电介质中 的 E、D
解：由介质中高斯定律
0 DII 0 E II 0 DIII S 0S
DIII 0
3、静电平衡：导体内部和表面都没有电 荷作定向移动。 4、导体的静电平衡特点： E表面 表面 场强： E内 0
电势： 导体是等势体；表面是等势面。
E
++ + + + + +
E
二、静电平衡时导体电荷的分布
1、导体上的电荷，只能分布在表面，体 内无电荷。 2、导体表面附近一点的电场强度大小
四、静电应用： 1、Van de Graff 起电机 2、静电除尘
3、静电分离
4、静电与农作物生长
8—6电容
电容器
一、电容器：储存电荷及电能的一种“容器”
二、电容：储存电荷及电能的能力的大小。
电容器的符号：
例：半径为R、电量为Q的孤立导体球处 于真空中， 导体球电势： U
Q 比值： ＝ 4 0 R V
qb
qc
qd
qb、qc 受力为零。
四、有导体存在时场强和电势的计算
电荷守恒定律 静电平衡条件 【例1】面电荷密度为 0 的无限大绝缘板旁，有一 无限大的原不带电的导体 平板。求静电平衡后导体 板两表面的面电荷密度。
电荷分布
E
U
解.设导体板两表面电荷密度为 1 和 2
电荷守恒： 1 + 2 = 0 静电平衡条件： 0/(20) +1/(20) – 2/(20) = 0
10-4静电场中的导体、电容
+σ E -σ
S
d
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② 球形电容器的电容：
两球间电场：
1q
E 4π0 r 2
-q R1+qR2
电势差： U
E dl
R2 R1
1
4π 0
q r2
dr
q R2 R1
4π0 R1R2
电容：
C
q U
4π0
R1R2 R2 R1
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2、电容的定义：
U VA VB CQ U
单位： 法拉 F 微法 μF皮法
pF1Βιβλιοθήκη 106 μF 1012 pF上页
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3、电容器电容计算: ① 平行板电容器的电容：
板间电场：大小： E q 0 0S
两极间电势差： U Ed qd
0S 电容： C q 0S
Ud
++++++
+q -q
§10-4 静电场中的导体 电容 一、导体的静电平衡（主要指金属导体）
1、静电感应：
导体中的电荷受电场力的作用重新分布的现象. 2、静电平衡：
导体内部和表面没有电荷的宏观定向运动.
静电平衡
上页
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3、处于静电平衡状态导体的特点：
① 从场强角度看： <1> 内部任一点场强为零 <2> 表面上任一点场强的方向与该处表面垂直，大小与该处 面电荷密度成正比
S
E
dS
1
0
q
nE
dS
EdS 1 dS 0
E
0
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② 从电势角度看： <1> 导体内部各点电势相等，导体是等势体 <2> 导体表面是等势面
S
d
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② 球形电容器的电容：
两球间电场：
1q
E 4π0 r 2
-q R1+qR2
电势差： U
E dl
R2 R1
1
4π 0
q r2
dr
q R2 R1
4π0 R1R2
电容：
C
q U
4π0
R1R2 R2 R1
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2、电容的定义：
U VA VB CQ U
单位： 法拉 F 微法 μF皮法
pF1Βιβλιοθήκη 106 μF 1012 pF上页
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3、电容器电容计算: ① 平行板电容器的电容：
板间电场：大小： E q 0 0S
两极间电势差： U Ed qd
0S 电容： C q 0S
Ud
++++++
+q -q
§10-4 静电场中的导体 电容 一、导体的静电平衡（主要指金属导体）
1、静电感应：
导体中的电荷受电场力的作用重新分布的现象. 2、静电平衡：
导体内部和表面没有电荷的宏观定向运动.
静电平衡
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3、处于静电平衡状态导体的特点：
① 从场强角度看： <1> 内部任一点场强为零 <2> 表面上任一点场强的方向与该处表面垂直，大小与该处 面电荷密度成正比
S
E
dS
1
0
q
nE
dS
EdS 1 dS 0
E
0
上页
下页
② 从电势角度看： <1> 导体内部各点电势相等，导体是等势体 <2> 导体表面是等势面
大学物理电场静电场中的介质以及电容和电容器
E0 P q ( , )
' ' '
' E E0 E
本课程只要 求特殊情况
各向同性电介质
q 0 , q 分布具有某些对称性
'
（1）各向同性电介质：
P 0 E
为常数
D 0 E P 0 E 0 E 0 ( 1 ) E
P pi
V
设 分子数密度：n
极化后每个分子的偶极矩:q 1 L
P nq 1 L
实验规律
P
E 0
总场 E E 0 E
空间矢量 函数
介质 极化率
P
E 0
χ:由介质的性质决定，与E无关。在各
向同性均匀介质中为常数。
电介质中的高斯定理：
D dS
s
s内
q0
电位移矢量通过静电场中任意封闭曲面的通量 等于曲面内自由电荷的代数和
电介质中的高斯定理：
注意：
D dS
s
q
s内
'
0
电位移矢量 D 0 E P : 与
q0 , q
均有关
0
D dS :
s
0
E
300 V
0
0
D
0
0
5 3
0
5 3
1 3
0
1 3
100 V
D1
0
D2
0
E1 E 2
0
充介质后
3 0
' ' '
' E E0 E
本课程只要 求特殊情况
各向同性电介质
q 0 , q 分布具有某些对称性
'
（1）各向同性电介质：
P 0 E
为常数
D 0 E P 0 E 0 E 0 ( 1 ) E
P pi
V
设 分子数密度：n
极化后每个分子的偶极矩:q 1 L
P nq 1 L
实验规律
P
E 0
总场 E E 0 E
空间矢量 函数
介质 极化率
P
E 0
χ:由介质的性质决定，与E无关。在各
向同性均匀介质中为常数。
电介质中的高斯定理：
D dS
s
s内
q0
电位移矢量通过静电场中任意封闭曲面的通量 等于曲面内自由电荷的代数和
电介质中的高斯定理：
注意：
D dS
s
q
s内
'
0
电位移矢量 D 0 E P : 与
q0 , q
均有关
0
D dS :
s
0
E
300 V
0
0
D
0
0
5 3
0
5 3
1 3
0
1 3
100 V
D1
0
D2
0
E1 E 2
0
充介质后
3 0
大学物理静电场中的导体(大学出版社【PPT】
解：(1) 当球和壳接触后，球上的电 荷全部移至外球壳，两者成为一等势 体。
A
B
4 0 R2
B q
A
q o
R2 R1 R0
17
(2) 若壳接地，则 B 0 ，但是壳上的电荷不等
于零。由高斯定理可证：
QB内 q
等效：在真空中两个均 匀带电的球面。
由叠加原理得:
A
3. 处于静电平衡的孤立导体，其表面各处的面电荷密 度与各处表面的曲率有关，曲率越大的地方，面电荷 密度也越大。
B
A
孤立 导体
C
A B C
孤 立 带 电
导 体 球
c +++++++++++++++++++
在表面凸出的尖锐部分电荷面密度较大，在比较平坦部
分电荷面密度较小，在表面凹进部分电荷面密度最小。
求：导体上感应电荷的电量。
பைடு நூலகம்
解: 接地， 即 0
由于导体是个等势体 O点的电势为0， 设：感应电量为Q，则
l
R
o
q
Q q 0
4 0R 4 0l
QRq l
21
有导体存在时静电场的计算方法
1. 静电平衡的条件
E内 0 E表面 表面
2. 基本性质方程
E dS
尖端放电 (尖端上电荷过多时)
尖端放电会损耗电能, 还会干扰精密测量和对通讯 产生危害；然而尖端放电也有很广泛的应用。
< 避雷针 >
静电场中导体和电介质—电容器、电场能、能量密度和静电的应用详解
①① 平平行行板板电电容容器器
解： ① 设电容器两极板带 电荷± q ；
② 板间电场：d 很小, S 很
大 ,因此
E=σ = q ε0 ε0S
③ 板间电势差：
U AB = E
④ 电容：
⋅d
=
qd
ε0S
C = q = ε0S
U AB
d
S +q + + + + + A
E
d
–q – – – – – B
⑤若极板间有电介质，则电容：
a
故两导线之间的电势差为
d
∫ U = λ
2πε 0
d −a a
⎛ ⎜⎝
1 r
+
d
1 −
r
⎞ ⎟⎠
dr
=
λ 2πε 0
⎛ ⎜⎝
ln
d
− a
a
−
ln
d
a −
a
⎞ ⎟⎠
=
λ πε 0
ln
d
− a
a
单位长度上的电容为
C= q = U
λ
λ
ln d
−a
=
πε 0
ln d − a
≈
πε 0
ln d
πε0 a
a
a
例2：平行板电容器板面积为S ，极板间有两层电介质, 介电常数分
例1(教材书38页例7-18)：如图所示S，半径都是 a 的两根平行长
直导线，其中心线间相距d(d>>a)。求这对导线单位长度上的电
容(导线周围可以被看成是真空)。
+λ
−λ
解：设两根导线上的电荷线密度分别为+λ
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静电场中的导体
1、会产生静电感应现象
2、静电平衡的条件
E
（1）导体内部的电场强
度处处为零；
（2）导体表面处电场强度的方向，处处与导体表面垂直。
推论：
静电平衡时，导体为等势体，导体表面为等势面。
3、静电平衡时导体上电荷的分布
（1）实心导体： 导体内部无净电荷，电荷只分布在导体表面。
（2）空腔导体： 空腔内无电荷时，电荷分布在外表面，内表面无电荷。
E σ Q
0 0S U Ed Qd
0S
C Q 0S U d
C 0S
d
1.C∝S； 2.C∝1／d； 3.C∝ε0 ，与极间介质有关。
【例】 同心球形电容器的电容
q
【解】 设+q 、- q 。
场强分布
q
E 40r 2
RA
q RB
电势差
U AB
RB E dr
RA
RB q dr
qR
R
2
1
R 3
球和球壳之间区域的电势差
R2
uR1 uR2 E • dl R1
R2
q dr q ( 1 1 )
R1 4 0r 2
40 R1 R2
Qq q
qR
R
2
1
球心处的电势
R
3
uo E • dl
o
R1
q R2
R3
0 dr
dr 0 dr
dr
o
R1 4 0r 2
大学物理静电场中的导体电容 静电能
2012-09-17
济南大学泉城学院
1
真空中静电场小结
1.两个物理量 E, u
qi内
2.两个基本方程
S E ds
i
0
L E dl 0
静电场有源，无旋。静电场是保守场，静电力是保守力。
3.两种计算思路
E dE
场源电荷
E ds 1 q
S
i 0i
10.7.3 电容器的电容
Q
两个彼此绝缘且相距较近的导体所组成的系统，称为电容器
q
q
q
RA
RB
E
A
d
B
平行板电容器
q RA
A RB
B
球形电容器
L
圆柱形电容器
【定义】：电容器的电容 C Q Q
u1 u2 u12
电容器电容的计算
计算电容器电容的一般方法：
令电容器的两极板带等值异号的电荷Q ；
E ( u i u j u k ) x y z
u du 场源电荷
零电势点
uP P
Edl
第10章 教学要求
11、 理解导体静电平衡条件及平衡状态 下的性质；
12、 会计算常见电容器的电容； 13、 掌握电容器串、并联公式及电场能量； 14、 ……
10.7 静电场中的导体 电容
10.7.1 导体的静电平衡√ 10.7.2 孤立导体的电容√ 10.7.3 电容器的电容√ 10.7.4 电容器的串并联√
【解】 设感应电量为Q O点的电势为0 ， 等于Q 和 q
R
-
o
-
q
在该点的电势之和。
Q
q 在O点的电势
u1
q
4 0l
Q 在O点的电势
u2
Q
dq
4 0 R
Q
4 0 R
O点的电势为0
u1 u2 0
QRq l
【例】两球半径分别为R1、R2，带电量q1、q2，设两球相距很远， 当用导线将彼此连接时，电荷将如何分布？
空腔内有电荷+q时，空腔内表面有感应电荷-q，外表
面有感应电荷+q。
σ
（3） 导体表面附近场强与电荷面密度的关系
E ε0
（4） 孤立导体表面的电荷分布
电荷面密度 与表面曲率成正比。
4. 静电屏蔽
空腔导体屏蔽外电场
接地空腔导体屏蔽内电场
【例】如图所示,导体球附近有一点电荷q 。
l
【求】接地后导体上感应电荷的电量。
q ln RB
20 L RA
电容
10.7.4 电容器的串并联
A 电容器的串联
U1
U2
+q q +q -q
U1
q C1
U2
q C2
C1
C2
U
Un
q Cn
11
1
U U1 U2 Un q( C1 C2 Cn )
Un
+q -q
Cn
U q C
1 1 1 1
C C1 C2
10.8.1、带电电容器的能量
设任意时刻极板上的电荷为q（t） ,
则两极板间的电势差为：uA
u B
U
(t)
q(t) C
考虑此时将 dq 的电荷从负极板移到
任 一 时 刻
uA
dq uB
U
正极板，电源所做的功为 dA Udq q dq C
RA 4π0 r 2
q
4π 0
1 RA
1 RB
电容
【讨论】 RB RA 或 RB
孤立导体球的电容
C 4 0RA
【例】同轴柱形电容器的电容
【解】 设带电量为q
RA
RB
场强分布 E , q
L
2 0 r
L
电势差
U AB
B
E dl
A
RB RA
1
2 0
r
dr
2 0
ln
RB RA
Cn
特点：等效电容降低，电容组的耐压提高。
B 电容器的并联
q1 C1U
q2 C2U
q1
q2
qn
U
C1 C2
Cn
qn CnU
q q1 q2 qn (C1 C2 Cn )U
C
q U
C1 C2
Cn
n i 1
Ci
特点：耐压值为各电容的最小耐压值
10.8 静电能
q q
R1
R2
q1 q2
q1
q2
【解】设用导线连接后，两球带电量之和守恒 q1 q2 q1 q2
E1
q1
40r 2
E2
q2
40r 2
u1
E dr
q1
R1
4 0 R1
u2
E dr
q2
R2
4 0 R2
u1=u2
q1 R1 q2 R2
思考 如果两球相距较近，结果怎样？（不能看成是点电荷了）
R2
R3 4 0r 2
q ( 1 1 ) qQ
40 R1 R2 40R3
或由叠加原理写出
【例1】：求孤立导体球的电容，设半径为 R。
Q
【解】：令导体球带电Q，则其电势
R
U Q
4π 0R
CQ U
C 4π 0R
例：半径为1m的金属球其电容约为：10-10F
理论与实验均已证明：导体的电容由导体本身的性质（大小与 形状）及其周围的介质环境决定, 与导体是否带电无关！
求出两极板之间的电场强度;
计算两极板间的电势差UAB ;
由电容的定义 C = q / UAB 求得电容 。
Q
电荷分布
E
场强分布
U AB
电势差
C
电容
【例】计算平板电容器的电容。 已知：两极板面积S，两极间距d。
【解】 令两极板分别带电量±Q，则
❖极间场强分布 两极间电势差
电容器的电容
【讨论】
【例】计算导体球（半径R1）和导体球壳（半径R2和R3） （导体球电量q、球壳电量Q）的电势差及球心处的电势。
【解】 由静电平衡条件，电荷分布如图，
由高斯定理知，电场分布为
E 0 (rR )
1
1
E 2
q
4π
r2
(R rR )
1
2
0
E 0 (R rR )
3
2
3
E 4
q
4π
Q r2
(R r) 3
0
Qq q