(新人教A)高二数学同步辅导教材排列 组合 和概率 10.1 排列

高 二 数 学（第27讲）

主讲教师：吴 芳（苏州中学）

【教学内容】

第十章 排列 组合 和概率

10.1 排列

要求：1、学习掌握两个基本原理，排列、排列数等基本概念，熟练运用这些基本概念解题；

2、掌握解排列题的思想方法，适当地分类、分步、构造恰当的解法解决问题。

【学习指导】

1、掌握排列的概念：

定义：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个元素中每次取出m 个元素的一个排列。

根据排列的定义，两个从n 个元素里取出m 个元素的排列，如果它们所含的元素不同，或者虽含相同的元素，而元素排列的顺序不同，那么这两个排列是不同的。

2、掌握排列数公式：

（1）排列数定义：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，记作A m

n 。

（2）排列数公式：A m n =n ·(n-1)·(n-2)…(n-m+1)，这里m, n ∈N *，并且m ≤n ，当m=n 时，有!12)2()1(n n n n A n n =??-?-?= 故)!

(!m n n A m n -= ，此公式的作用：当对含有字母的排列数的式子进行变形和论证时，常写成这种形式去沟通。

为了论证排列数公式，我们要学习两条基本原理：

（1）分类计数原理（也叫加法原理）：完成一件事，有n 类相互独立的办法，在第1类办法中有m 1种不同方法，在第2类办法中有m 2种不同方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同方法，那么完成这件事共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。

（2）分步计数原理（宜称乘法原理）：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m 1种不同方法，做第2步有m 2种不同方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事

共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。

（3）对于重复排列的问题通常采用逐步分析法及乘法原理解决；对于无限制的排列问题应用排列数公式直接求得；对于有限制条件的排列问题，应弄清楚限制条件是什么。此类题通常有正向思维与逆向思维两种思路，正向思维时，设法将复杂问题分解化。解题方法有：①特殊数字法；②特殊位置法；③捆绑法；④插空法等。逆向思维时一般采用求补集的方法解决。

【典型例题】

例1：由1，2，3，4，5这五个数字①能够组成多少个没有重复数字的三位数？②能够组成多少个三位数？

解：①从1，2，3，4，5这五个数字中任取三个分别排在百位、十位、个位上有：6034535=??=A （个）

∴能组成60个无重复数字的三位数。

②可分三步完成，第一步从1，2，3，4，5这五个数字中任选一个排在百位有1

5A 种不同

的排法；由于允许重复，所以第二步排十位也有15A 种不同的排法；第三步排个位也有15A 种不

同的排法，由分步计数原理有：125555151515=??=??=A A A N （个） ∴能够组成125个三位数。

例2：由0，1，2，3这四个数字能够组成多少个无重复数字的三位数？

解法一：因为在一个三位数中，百位数字不能排0，所以可分两步来解：第一步从1，2，3这三个数字中任选一个排在百位有1

3A 种不同的排法；第二步再从余下的三个数中任选两个分别排在十位与个位有23A 种不同的排法；由乘法原理可得：

总数：)(182332313个=??=?=A A N 解法二：由于0不能排在百位，则此问题可分为两类：第一类是不含0，则可组成33A 个不同的三位数；第二类是含0，先把0排在十位或个位上，有种1

2A 不同的排法，再从1，2，3中

任选两个排在剩余的两位置上有23A 种不同的排法，那么含0的三位数有12A 23A 个，由加法原理可得：总数=?+=231233A A A N +??123232??=6+12=18（个）。

解法三：先求出0排在首位的三个不重复数的三位数有2

3A 个，然后从所求不重复三位数字的

排列数34A 中将它减去，有：182********=?-??=-=A A N （个）

例3：六人站成一排，其中甲必须排在排头，乙必须排在排尾的排法有多少种？

解：首先把甲排在排头，乙排在排尾，仅有一排法，再把其余的四名同学全排在中间的四个

位置上有44A 种不同的排法，则总数有N=1，24123444=???=A （种）。

例4：三本不同的化学书，四本不同的数学书在书架上排成一排，不使同类书分开的排法有多少种？

解：由于不使同类书分开，则把三本不同的化学书捆在一起，四本不同的数学书捆在一起，使七本不同书转化为两捆不同的书的排列有22A 种不同的排法，再把三本不同的化学书在它们相邻的位置全排列有4

4A 种不同的排法，由乘法原理得：总数

288123412312443322=????????=??=A A A N （种）。

例5：四名篮球运动员和三名足球运动员站成一排，任何两名足球运动员都不站在一去的站法有（ ）

A 、(4!)2

B 、4!3!

C 、A 34·4

D 、!435?A

答：D 解：四名篮球运动员站成一排的方法有4!种方法，而站好的四名篮球运动员之间有5个空隙，要使这3个足球运动员中任何两人都不站在一起，这要他们在这5个空隙中任选3个即可，

所以总的排法有!435

?A 种。

例6：从1，2，3，4，9，18这六个数字中任取两个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，得到不同的对数值有多少个？

解：先从1，2，3，4，9，18这六个数字任取两个数字排在对数的底数与真数之位有2

6A 种排法；

1作底数，2，3，4，9，18中任取一个作真数，使对数无意义的排法有15A 个。

从2，3，4，9，18中任取一个作底数，1作真数有15A 个对数值均为零的对数。 又因为2

13log 2log ,29log 4log 9432=

===，所以又有两对数值重复。 由补集知，满足条件的不同对数值有：

1912553012151526=+---=+---=A A A N （个）

例7：由0，1，2，3，4这五个数字组成不重复的五位数中，从小到大排列，42031是第几个数？（

） A 、11 B 、85 C 、86 D 、96

分析：此题相当于由0，1，2，3，4这五个数字组成不重复的五位数中，比42031小的数有多少个。但需加1，可采用“逐位分析法”。

解：此题可分三类完成：第一类从1，2，3这三个数字中任选一个排在首位这样的数一定比42031小，其首位有13A 种不同的排法，再由余下的四个数在剩余的四个位置全排列有44A 种不同的排法，则第一类有13A ·4

4A =72个，第二类是首位排4，千位排0或1的数一定比42031

小，这样的数有12623312

=?=?A A ，第三类只有一个数42013，由加法原理得：8511272133124413=++=+?+?=A A A A N ，所以42031是第86个数，故选C 。 注：比42031小的数有85个，但从小到大的顺序排列42031应是第86个数。

例8：三个女生和五个男生排成一排：

（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？

（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？

（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？

（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？

分析：（1）问中女生必须全排在一起，可采用“捆绑法”。（2）问中女生必须全分开，可采用插空法。

解：（1）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一整体，这样同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排有6

6A 种不同的排法，对于其中的每一种排法，三个女生之间都

有3

3A 种不同的排法，因此共有：43203366=?=A A N （种） （2）要保证女生分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档，这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生就保证任意两个女生都不相邻。由于五个男生排成一排有5

5A 种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出来三个让三个女生插入都有36A 种方法，因此共有55A ·36A =14400种不同的排法。

（3）解法一：因为两端都不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有25A 种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余6位都有66A 种不同排法，所以共有25A ·66A =14400（种）不同的排法。

解法二：3个女生和5个男生共有88A 种不同的排法，从中扣除女生排在首位的7713A A ?种排法

和女生排在末位的7713A A ?种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在末位时又被扣去一次，所以还需加一次回来，由于两端都是女生

有6623A A ?种不同的排法，所以共有1440026623771388

=?+?-=A A A A A N （种）不同的排法。 解法三：从中间6个位置中挑选出3个来让3个女生排入有3

6A 种不同的排法，对于其中的任

意一种排法，其余5个位置都有55A 种不同的排法，所以有36A ·55A =14400（种）不同的排法。 （4）解法一：因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，则末位就不再受条件限

制了，这样可有7715A A ?种排法；如果首位排女生，则有13A 种排法，这时末位就只能排男生了

有15A 种排法，首末两端任意排定一种情况后，其余6位都有66A 种不同排法，这样有13A ·15A ·66A 种不同的排法，因此共有7715A A ?+13A ·15A ·66A =36000（种）不同排法。 解法二：三个女生和五个男生排成一排有8

8A 种不同的排法，从中扣去两端都是女生的排法

6623A A ?，就能得到两端不都是女生的排法种数。

因此，共有88A -6623A A ?=36000（种）不同的排法。 注：解题时，一个问题可能有多种思考方法，但结果总是唯一的，可以采用这个方法来验证解题结论的正确性，另一方面，平时解题，注意一题多解，力争中寻找到最优方法，注意到

题目之间的联系，另外本题第（3）问中的“都不能”与第（4）问中的“不都能”是截然不同的，在审题时特别注意，不能因混淆不清而出错。

例9：同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张不是自己的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方法有多少种。

分析：本题抽象成数学模型，相当于将数字1，2，3，4填入1，2，3，4的方格里，且每格所填入的数字与其标号不同的填法有多少种。

解：由上面的分析所建立的数学模型，1号方格里可以填2，3，4，有三种填法，1号方格取定，再填与1号方格内数字相同的号位，它有三种填法，其余的两号位就只能有一种填法，由乘法原理得：四张贺年卡不同的分配方式有3×3×1=9（种）

注：本题是一个带有限制条件的排列应用题，应用乘法原理，分步解决。当解答受阻时，在题目给定元素较少时，可以通过列举、树图、填方格等方法，将具体元素排一排，放一放，使问题获得解决。

【同步练习】

1、将3封信投入6个信箱内不同的投法有（

） A 、120种 B 、216种 C 、729种 D 、以上皆错

2、六人站成一排，甲、乙、丙三人不能都站在一起的排法种数为（

） A 、66A B 、3344A A ? C 、66A -3344A A ? D 、333366A A A ?-

3、将4名同学录取到3所大学，每所大学至少要录取一名，一共有多少种不同的录取方法（ ）

A 、72

B 、36

C 、24

D 、12 4、用0，1，2，3，4，5这六个数字组成没重复数字的四位偶数，并将这些偶数从小到大排列起来，第71个数是（

） A 、3140 B 、3254 C 、3012 D 、3410

5、六人站成一排，甲、乙、丙三人中任何两人都不站在一起的排列数为（

） A 、4433A A ? B 、3433A A ? C 、334466A A A ?- D 、5544A A ?

6、若直线方程Ax+By=0的系数A 、B 可以从0，1，2，3，6，7六个数值中取不同的数值，则这些方程所表示的直线条数是：（ ）

A 、225-A

B 、25A

C 、25A +2

D 、15252A A -

7、6人站成一排，甲、乙、丙三人必须站在一起的排列总数为：（

） A 、333A B 、344A C 、33A ·33A D 、44A ·33A

8、从a,b,c,d,e 这5个元素中任取4个排成一列，b 不排在第二的不同排法有（

） A 、14A ·33A B 、13A ·23A C 、45A D 、14A ·3

4A 9、要排一个有4次数学讲座和4次语文讲座的讲课安排表，任何两次数学讲座和语文讲座均不得相邻，不同的排法有（

） A 、44A ·46A B 、44A ·44A C 、44A ·45A D 、244A ·4

4A 10、从1，2，3，5，7这五个数中，任取两个分别作为对数的底数和真数，得不同的对数个数为（

） A 、24A B 、24A +1 C 、24A +4 D 、2

4A -4 11、从1，2，3，4这四个数字组成没有重复数字的四位数中，比1234大的数共有

个。

12、在7名运动员中选出4名运动员组成接力队，参加4×200米接力赛，那么甲、乙两人都不跑中间两棒的安排方法共有 种。

13、六名同学排成一排，甲不站排头，乙不站排尾的排法有

种。 14、用数字0，1，2，3，4，5能够组成 个没有重复数字且是25的倍数的四位数。

15、一排长椅共有10个座位，现有4人坐，恰好有5个连续空位的坐法种数为 。

16、设x ∈{-1，5，6，7}，y ∈{2，3，4，-9}

（1）P(x,y)可以表示多少个不同的点？

（2）这些点中，位于第三或第四象限内的有几个？

17、分别在三张卡片正反面写成1与2，3与4，5与6，且6可以作9用，这三张卡片拼在一起表示一个三位数，那么有多少个这样的三位数？

【参考答案】