图论在交叉学科中的应用

数学科学学院

课程名称图论导引

题目图论在交叉学科中的应用姓名闫二路

学号 A01014134

专业数学与应用数学

授课老师汪毅

图论在交叉学科中的应用

[摘要]利用图论知识可以解决一些交叉学科中的实际问题。对于更好地理解问题，思考问题从而求解问题具有现实意义。图论知识的应用是相当广泛的，它是数学的重要分支，使今年来较为活跃的数学分支，它是源于生活，高于生活。图论作为组合数学的一分支，与其他数学分支，如信息论，矩阵论都有着重要的联系。

[关键字] 树、即时码、hamilton圈、Hamilton路

1．即时码的树图构造法

即时码定义：在唯一可译变长码中，有一类码，它在译码时无须参考后续的码符号就能立即做出判断，译成对应的信源符号，则这类码称为即时码。

树的定义：一个图G若是无圈的且连通，则称图G是树。

为了联系树与即时码的关系我们引入关于判断树的一个定理；

定理1:图G是树当且仅当G的任何两个顶点都被唯一的路连接。

从上述定理1我们可以判断利用树构造的码为即时码，如下图构造的即时码：

从上面我们可以得到码字集合C1={000,001,010,011,100,101,110,111}，C2={00,01,02,10,11,12,20,210，211,212,220,221,222}

我们根据即时码的定义可得利用树构造的码都是即时码，我们也知道即时码一定是唯一可译码，因此树图能给我们带来比较方便的方法来构造即时码。

问题求解反思：我们从即时码的树图构造法中，我们得到:使用图论中的树我们能很容易得到信息论中即时码的一种构造方法，这里利用了交叉学科相互结合的思想，利用图我们能更好的理解一些实际问题，有利于我们的理解，从这个方面我们能得出图论在其他学科有着很重要的联系，有利于实际问题更好的解决。

2.Hamilton图的应用

Hamilton图的定义：一个含图G的每个顶点的圈称为是G的Hamilton 圈，这个含有Hamilton圈的图称为是一个Hamilton图。

Hamilton圈在现实中有着广泛的应用，当我们给出一个实际问题时，我们应该怎样Hamilton图来解决实际问题，这需要我们从联系实际

问题时怎样使用Hamilton图，这其中，我们能否找到Hamilton圈有着很重要的联系，此时我们就需要能判断一个图是Hamilton图的充分条件你，这里我们给出两个比较常用的。

定理1:设G为一个n（>=3）阶的图。如果对于G的每对不邻接的顶点u，v，有

deg u + deg v >= n,

则G是Hamilton的。

定理2：设G是一个n（>=3）阶的图。如果对于每个整数j(1<=j

为了体现Hamilton图在生活中有很重要的应用，我们给出一个生活中的实例，这里我们给出一个关于Hamilton路的实际应用：

例 1 考虑七天内安排七门课程的考试,使得同一位教师所任的两门课程不排成接连的两天中,试证明如果没有教师担任多于四门课程,则符合上述要求的考试安排总是可能的

证明设是具有七个顶点的图,每个顶点对应于一门课程考试,如果这二个顶点所对应的课程考试是由不同教师担任的,那么这二个顶点之间有一条边。因为每个教师所担任的课程不超过4,故每个顶点的度数至少是3,任意二个顶点的之和至少是6,故总是有一条路,它对应于七门考试科目的一个适当的安排"

我们根据题意可得一个满足要求的图如下：

此图满图上述条件，含有Hamilton路，且含有Hamilton圈，因此它是Hamilton图。

问题求解反思：从例子来看，我们尝试找到一条Hamilton路就能解决问题，在实际生活中，有很多实际问题都能用Hamilton图或Hamilton路来解决，本题中就构造了一个Hamilton路，根据证明我们很容易构造满足题意的图，因此，我们一定能找到一个适当的安排题意，本题就是一个用Hamilton图来解决实际问题的实例，我们能得出Hamilton图在实际生活中有着很重要的作用。

例2、座位安排问题

令有a、b、c、d、e、f、g 7个人，已知下列事实：

a会讲英语； b会讲英语和汉语；

c会讲英语、意大利语和俄语；d会讲日语和汉语；

e会讲德语和意大利语；f会讲法语、日语和俄语；

g会讲法语和德语。

•试问这7个人如何排座位，才能使每个人都能和他身边的人交谈？

解答思路：我们以这七个点为顶点，如果两个人会说相同语言，则这两人之间有一条边，此时得到一个图如下：

解：由题意我们只需要在图中找到一条Hamilton路就行了，在图中有：P1:a，b，d，f，g，e，c 或P2：a，c，e，g，f，d，b

它们都是Hamilton路，因此我们能找到合适的座位安排，使他们每个人都能和他身边的人交谈。

求解反思：这是典型的座位安排问题，在生活中时常能遇到，此图解题用到了Hamilton路，因此，我们可以得出在实际中Hamilton图应用非常广，我们可以在实际问题中运用Hamilton图能给我们带来很大便捷，可见图论在实际运用之广，值得我们去学习。

3.总结语：图论是数学的一个分支。它以图为研究对象。图论题目的求解多以证明题为主，我们在求解过程中往往是应用已知的定理，分析题目的真正内涵加以解决。我们要注重理论与实际结合，在生活中运用图论的知识解决生活中的问题，这是我们学习这门课的重点。所以我们在学习图论的课程过程中，不应拘泥于课本知识，这也是老师第一堂课给了我们诸多参考书目的一个重要内容。

图论中的图是由若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用点代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物间具有这种关系图论本身是应用数学的一部份，因此，历史上图论曾经被好多位数学家各自独立地建立过，作为一门古老而经典的课程来说，学习者需要有不同的眼光去看待这门课程。

参考文献：

[1]范益政汪毅，Hamilton图及其应用。人民邮电出版社，2007.9

[2]傅祖芸，信息论中即时码的树图构造法的应用。电子工业出版社，2011.2

[3]任长安，图论之图论的应用，湖南工学院