圆内接四边形的性质与判定
圆内接四边形的性质与判定定理(人教A版选修4-1)
【变式1】 如图所示，AD是△ABC外角∠EAC的角 平分线，AD与三角形的外接圆⊙O交于点D. 求证：DB＝DC. 证明 ∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，
又∵∠EAD＝∠BCD，∠CAD＝∠CBD.
∴ ∠ DBC＝ ∠ DCB. ∴ DC＝ BD.
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而∠A与∠QFA也互余，
所以∠A＝∠QFC. 所以∠A＝∠QPC. 所以A、B、P、Q四点共圆．
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你敢试一下高考题吗？
【示例2】 (2011·辽宁高考) 如图，A， B，C，
D 四点在同一圆上， AD 的延长线与 BC 的
延长线交于E点，且EC＝ED. (1)证明：CD∥AB； (2) 延长 CD 到 F ，延长 DC 到 G ，使得 EF ＝ EG，证明：A，B，G，F四点共圆． [思维启迪] 利用圆内接四边形的性质与判 定定理证明．
外接圆的圆心，证明圆心到四点的距离相等，可取GF的中点H，
证点H即为圆心． (2) 要证 G 、 B 、 C 、 F 四点共圆，只需证 ∠ B ＝ ∠ AFG( 或 ∠ C ＝ ∠AGF)，由D、E为中点，可知DE∥BC，∠B＝∠ADE，故只需 证∠ADE＝∠AFG，由D、E、F、G四点共圆可得．
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所以∠FAB＝∠GBA.所以∠AFG＋∠GBA＝180°.
故A，B，G，F四点共圆．
反思感悟 本题考查了圆内接四边形的性质与判定定理．
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因为四边形ABFE内接于圆，
所以∠B＋∠AEF＝180°. 所以∠AEF＝∠C.所以C、D、E、F四点共圆．
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方法技巧
课件3：二 圆内接四边形的性质与判定定理
这个圆上就可以了.但是直接证明点D在圆上很困难,所以我们采
用反证法证明,也就是假设点D不在圆上,经过推理论证,得出错误
的结论,这就说明点D不在圆上是错误的,因此点D只能在圆上.
由于点D不在圆上时,可能出现点D在圆外和点D在圆内两种情况,
在△ABC 中,由正弦定理可知
sin∠
= sin∠ = sin60°,
∴bsin∠ABC=asin 60°.
1
3
∴S 四边形 ABCD=2·a·a·sin 60°= 4 a2.
5.ABCD是圆内接四边形,过点C作DB的平行线交AB的延长线于E
点,求证:BE·AD=BC·CD.
证明:如图,连接AC.
F,AE=EC,EG⊥AC 交 AB 于点 G.求证:
(1)D圆.
思路分析:(1)连接 GF,则易证△GDF 与△GEF 均为直角三角形,由直角
三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等可得出结论.
(2)连接 DE,由条件易证 DE∥BC,从而∠ADE=∠B,由(1)知∠ADE=∠
(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四
边形的四个顶点共圆.
(4)如果两个直角三角形有公共的斜边,那么这两个三角形的四个
顶点共圆(因为四个顶点与斜边中点距离相等).
探究一 证明四点共圆
判断四点共圆时,要根据题目特点,灵活选用判定四点共圆的方法.
【例 1】 如图所示,在△ABC 中,AD=DB,DF⊥AB 交 AC 于点
∵四边形ABCD为圆内接四边形,
∴∠ADC=∠EBC.又 BD∥EC,
∴∠CEB=∠DBA,且∠ACD=∠DBA,∴∠CEB=∠ACD.∴△ADC∽△CBE.
高三数学圆内接四边形的性质与判定
几何证明选讲
第二讲 直线与圆的位置 关系
圆内接四边形的性质与判定
复习：
一、什么是圆的内接多边形? 二、任意多边形都一定有外接圆吗? 思考:什么样的四点共圆呢?
圆内接四边形有什么性质呢?
一 般 地 , 我们可以从四边形 的边的关系、角的关系 等来 考察这些图形的共 同特征.下 面考察四个角的关系 .
连接AC、AD ,同样可以证明 PAC ~ PDA ( 请同学们自 己证明),因而1 式仍然成立 . 在这种情况下 , A、B两点重 合, PA PB PC PD , 变形为 : 2 PA 2 PC PD.
D C
P
A
O
B
图2 24
D C
P
O
AB
图2 25
由上述探究和论证 , 我们有
又因为四边形ADFB是圆O2的内接四边形.
所以BAD F 180 , 则E F 180 .
0 0
因此CE // DF.
例 2 如图2 10, CF是ABC P 的AB边上的高 , FP BC , FQ Q AC.求证 : A、B、P、Q四 A B F 点共圆 . 图2 10 证明 连接PQ. 在四边QFPC中,因为FP BC , FQ BC , 所以FQA FPC . 则Q、F、P、C四点共圆. 故QFC QPC. 又因为CF AB,
从图 2 25变到图 2 26 时, 点C与点D重合,因此 2 2 1式变为PA PC , 所 以PA PC .
C
P
O
AB
图2 25
CD
P
O
AB
图2 26
结合切线的性质定理 , 我们有
圆内接四边形的性质
11.2.5 圆内接四边形的性质1、（1）圆的内接四边形对角互补。
如图：四边形ABCD内接于⊙o ，则有:∠A＋∠B=1800。
∠B＋∠C=1800。
(2)圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。
如图：∠CBE是圆内接四边形ABCDD的一外角，则有:∠CBE=∠D.2、圆内接四边形的判定。
（1）判定定理:如果一个四边形对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。
（2）推论;如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。
〖例1〗如图所示，已知四边形ABCD内接于圆，延长AB和DC相交于E，EG平分∠BEC，且与BC、AD分别相交于FG。
求证：∠CFG=∠DGF.分析：已知四边形ABCD内接于圆，自然想到圆内接四边形的性质定理,即∠BCE=∠BAD，又EG平分∠BEC,故△CFE∽△AGE。
［证明]因为四边形ABCD是圆内接四边形。
所以∠ECF=∠EAG。
又因为EG平分∠BEC,即∠CEF=∠AEG，所以△EFC∽△EGA。
所以∠EFC=∠EGA.而∠DGF=1800-∠EGA,∠CFG=1800-∠EFC,所以∠CFG=∠DGF.3、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
几何语言：∵PT切⊙0于T，PBA是⊙0的割线。
∴PT2=PA·PB（切割线定理）4、割线定理:从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
几何语言：∵PT是⊙0的切线，PBA、PDC是⊙0的割线.∴PO·PC=PA·PB （割线定理）由上可知：PT2=PA·PB=PC·PD.5、相交弦定理圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。
（经过圆内一点引两条弦,各弦被这点所分成的两段的积相等）证明：连结AB，CD由圆周角定理的推论，得∠A=∠C,∠B=∠D。
（圆周角推论2：同（等)弧所对圆周角相等）∴△PAB∽△PCD∴PA∶PC=PB∶PD，PA·PD=PB·PC6、弦切角定理弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角度数的一半。
圆内接四边形的性质及其应用
03 圆内接四边形的面积和周 长
面积的计算
面积公式
圆内接四边形的面积可以通过公 式计算，公式为$S = frac{1}{2} times d times p$，其中$d$是 圆的直径，$p$是圆内接四边形
的周长。
面积与半径的关系
圆内接四边形的面积与半径成正 比，当半径增大时，面积也相应
增大。
面积与角度的关系
04 圆内接四边形的实际应用
在几何作图中的应用
性质利用
圆内接四边形的对角互补性质在几何作 图中常被用来确定点或线的位置。例如 ，通过已知的两个相对角的度数，可以 确定一个圆的圆心和半径。
VS
作图工具
圆内接四边形可以作为作图工具，帮助确 定复杂图形的角和边的长度。例如，在绘 制椭圆或更复杂的几何图形时，可以利用 圆内接四边形的性质来辅助作图。
，证明相对的两个内角互补。
弦切角定理的证明
总结词
弦切角定理表明，在圆内接四边形中，切线与弦之间 的夹角等于该弦所对的圆周角。
详细描述
要证明弦切角定理，可以首先在圆内接四边形中作一 条切线，并连接该切线与弦的端点。然后，利用圆的 切线性质和圆周角定理（圆周角等于同弧所对的圆心 角的一半），证明弦切角定理成立。
切线长定理
总结词
切线长定理表明在圆内接四边形中，两条相对的切线长度相等，且两条切线的交点到两切点的距离也 相等。
详细描述
在圆内接四边形ABCD中，如果AB和CD是切线，那么线段AC等于线段BD，即AC = BD。这是因为切线 与半径垂直，而两条切线的交点到两切点的距离相等。这个定理可以用来判断一个四边形是否为圆内接四 边形。
圆内接四边形的面积还与其相对 的两个角度有关，相对角度越大，
圆内接四边形的性质与判定定理 课件
【思路探究】 先利用 PC 是圆的直径，得到 PF∥BC， 再利用圆内接四边形的性质，得到 DF∥PC，最后利用平行
线分线段成比例证明结论．
【自主解答】 连接 DF、PF. ∵PC 是直径， ∴PF⊥AC. ∵BC⊥AC，
∴PF∥BC，∴PPAB＝FFAC.
∵四边形 PCFD 内接于⊙O， ∴∠ADF＝∠ACP， ∵AP＝AC， ∴∠APC＝∠ACP.
△ABC 外接圆劣弧 上的点(不与点 A，C 重合)，延长 BD
至 E. (1)求证：AD 的延长线 DF 平
分∠CDE； (2)若∠BAC＝30°，△ABC 中
BC 边上的高为 2＋ 3，求△ABC 外接圆的面积．
图 2－2－7
【思路探究】 (1)利用同弧所对的圆周角相等及圆内接 四边形的性质定理求解．
∴∠ADF＝∠APC.∴DF∥PC，
∴DDAP＝FFAC，∴PPAB＝DDAP.
1．在本题的证明过程中，都是利用角相等证明了两直 线平行，然后利用直线平行，得到比例式相等．
2．圆内接四边形的性质即对角互补，一个外角等于其 内对角，可用来作为三角形相似或两直线平行的条件，从而 证明一些比例式成立或证明某些等量关系．
如图 2－2－5 所示，在△ABC 中，AD＝DB， DF⊥AB 交 AC 于 F，AE＝EC，EG⊥AC 交 AB 于 G，求证：
(1)D、E、F、G 四点共圆； (2)G、B、C、F 四点共圆．
图 2－2－5
【思路探究】 (1)要证 D、E、F、G 四点共圆，只需找 到过这四点的外接圆的圆心，证明圆心到四点的距离相等， 可取 GF 的中点 H，证点 H 即为圆心．
圆内接四边形的性质与判定定理
1．圆内接四边形的性质定理 (1)定理 1：圆的内接四边形的 对角互补 ．如图 2－2－1： 四边形 ABCD 内接于⊙O，则有：∠A＋ ∠C＝180°，∠B＋ ∠D ＝180°.
圆内接四边形的性质与判定定理 课件
类型 1 性质定理的应用(规范解答)
[典例 1] 如图所示，⊙O 是等腰 三角形 ABC 的外接圆，AB＝AC， 延长 BC 到点 D，使 CD＝AC，连接 AD 交⊙O 于点 E，连接 BE 与 AC 交于点 F.
(1)判断 BE 是否平分∠ABC，并说明理由． (2)若 AE＝6，BE＝8，求 EF 的长．， 所以 EF＝AED·EEC＝92.(10 分)
归纳升华 圆内接四边形的性质即对角互补，一个外角等于其内 角的对角，这两个性质可用来作为三角形相似的条件，从 而证明一些比例式成立或证明某些等量关系．
类型 2 判定定理的应用(互动探究)
圆内接四边形的性质与判定定理
1．圆内接多边形的定义 如果多边形的所有顶点都在一个圆上，那么这个多边 形叫做圆内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆． 2．圆内接四边形的性质定理 定理 1：圆内接四边形的对角互补． 定理 2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．
3．圆内接四边形的判定定理 如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四 个顶点共圆． 4．判定定理的推论 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么 这个四边形四个顶点共圆． 温馨提示 圆内接四边形判定定理及推论为证明四
审题指导：(1)判断 BE 是否平分∠ABC，关键是判断 ∠ABC＝2∠EBC 是否成立．
(2)EF 的长可利用三角形相似来求． [规范解答] (1)BE 平分∠ABC.(2 分) 因为 AC＝CD， 所以∠CAD＝∠ADC，
所以∠ACB＝∠CAD＋∠ADC＝2∠CAD.(4 分) 又因为 AB＝AC， 所以∠ABC＝∠ACB＝2∠CAD. 因为∠CAD＝∠EBC， 所以∠ABC＝2∠EBC， 所以 BE 平分∠ABC.(6 分)
圆内接四边形的性质与判定定理课件
DAC= 2,
∴∠BAD=45°. 又∵AC=2 3,∴∠CAB=30°,
∴∠CAD=45°-30°=15°.
错因分析:作图时,未能考虑全面,没有对相对位置关系进行分类讨论, 致使题目答案漏解.
证明:连接 CB,BF.因为四边形 ABEC 为圆内接四边形,所以∠2=∠CEB. 又因为∠1=∠ECB,且∠1=∠2,而∠2=∠CEB,所以∠CEB=∠ECB.所以 BC=BE.在△CBD 与△EBF 中,∠BCA=∠BEA,∠D=∠F,BC=BE,所以 △CBD≌△EBF.
所以 CD=EF.
探究三 易错辨析
圆内接四边形的性质与判定定理
1.性质定理 1 文字语言 圆的内接四边形的对角互补
符号语言 若四边形 ABCD 内接于圆 O,则有∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°
图形语言
作用
证明两个角互补
2.性质定理 2 文字 语言
符号 语言
图形 语言
作用
圆内接四边形的外角等于它的内角的对角 四边形 ABCD 内接于☉O,E 为 AB 延长线上一点, 则有∠CBE=∠ADC
【典型例题 2】 两圆相交于 A,B,过 A 作两直线分别交两圆于 C,D 和 E,F.若∠EAB=∠DAB,求证:CD=EF.
思路分析:连接 CB,BF,要证 CD=EF,只需证明△CBD≌△EBF 即可.从 题图可以看出,∠BCA=∠BEA,∠D=∠F,因此,尚需找一条对应边相等即可. 比如,能否推出 BC=BE 呢?要证 BC=BE,只需∠CEB=∠ECB,有无可能呢? 可以发现,∠ECB=∠1,又已知∠1=∠2,所以只需证∠2=∠CEB 即可.这时 我们发现,四边形 ABEC 是圆内接四边形,根据性质定理,它的外角∠2 与它 的内对角∠CEB 当然相等.至此,结论得证.
圆内接四边形知识点总结
圆内接四边形知识点总结在几何学中，圆内接四边形是指四个顶点都位于同一圆上的四边形。
它具有一些独特的性质和特点，下面将对圆内接四边形的相关知识点进行总结。
一、定义：圆内接四边形是指四个顶点都位于同一圆上的四边形。
二、性质：1. 对角线互相垂直：在圆内接四边形中，对角线互相垂直。
换句话说，连接圆内接四边形相对顶点的线段相互垂直。
2. 对角线平分：在圆内接四边形中，对角线互相平分。
这意味着连接圆内接四边形相对顶点的线段相互等长。
3. 对角线交点是圆心：对角线的交点是圆内接四边形的圆心。
圆内接四边形的圆心是四个顶点所在圆的中心。
4. 对角线和边的关系：圆内接四边形的任意一条边与圆心连线构成的角是顶点对边上相对顶点与圆心的角的一半。
5. 内接四边形周长公式：圆内接四边形的周长等于对角线的和。
6. 面积公式：圆内接四边形的面积可以通过利用已知的弦长和半径来计算。
三、推论：1. 正方形是圆内接四边形的一种特殊情况：当正方形的对角线相等时，它也是一个圆内接四边形。
2. 矩形是圆内接四边形的一种特殊情况：当矩形的对角线相等时，它也是一个圆内接四边形。
3. 圆内接四边形的内角和：圆内接四边形的内角和等于360度。
这是因为，对角线互相垂直，所以每个顶点的内角和为90度，而四个顶点的内角和为360度。
四、示例问题：1. 已知一个圆的半径为r，求解圆内接四边形的面积。
解答：可以利用已知的半径和弦长来计算四边形的面积。
首先根据已知半径r和弦长的关系，可以求出弦长。
然后利用弦长和半径计算圆内接四边形的面积。
2. 已知一个圆内接四边形的对角线d1和d2的长度分别为x和y，求解四边形的周长。
解答：根据圆内接四边形的性质可知，对角线相等，即d1 = d2。
可以利用已知对角线的长度x或y来求解四边形的周长，周长等于2(x+y)。
3. 若一个圆内接正方形的面积为16平方厘米，求解正方形的边长。
解答：已知圆内接正方形的面积为16平方厘米，根据正方形的性质可知，面积等于边长的平方。
圆内接四边形的性质和判定定理
03
实例证明
对角互补的实例证明
假设圆内接四边形ABCD中，∠A和∠C为 对角。
所以，∠A与∠C互补。
又因为∠A + ∠ADC = 180°（三角形内角 和定理），同理∠C + ∠CDB = 180°。
作直径BD，并连接AD、CD。
由于∠A和∠C是同弧所对的圆周角，根据 圆周角定理，∠A = ∠C。
任意一边所对的圆周角相等的实例证明
作直径BD，并连接AD、CD。 所以，任意一边所对的圆周角相等。
假设圆内接四边形ABCD中，AB、BC、CD、 DA为四边，它们所对的圆周角分别为∠A、∠B 、∠C、∠D。
由于AB、BC、CD、DA是同弧所对的圆周角，根 据圆周角定理，∠A = ∠C，∠B = ∠D。
圆内接四边形的 性质和判定定理
目录
• 引言 • 判定定理 • 实例证明
01
引言Leabharlann 圆内接四边形的定义• 圆内接四边形是指四个顶点都在同一个圆上的四 边形。
圆内接四边形的性质
对角互补
外角等于内对角
圆内接四边形的对角互补，即相对的两个 角的角度和为180度。
圆内接四边形的外角等于其内对角，即与 外角不相邻的两个内角的和为180度。
边与弧的对应关系
弦与弧的对应关系
在圆内接四边形中，相对的边长度相等， 且相对的弧长度也相等。
在圆内接四边形中，相对的弦长度相等， 且相对的弧长度也相等。
对角互补
圆内接四边形的对角互补，即任意两 个相对的角的角度和为180度。
证明：设圆内接四边形ABCD中，∠A 和∠C为相对的角。由于点A、B、C都 在圆上，根据圆的性质，∠A + ∠C = 180度。
+ ∠C + ∠D = 360°。因此，∠A + ∠B = 180°。根据圆的性质，如果一个四边形的外 角等于内对角，那么这个四边形的相对边都 与同一个圆相切，因此该四边形是圆内接四
圆内接四边形知识点总结
圆内接四边形知识点总结一、定义和性质：圆内接四边形是指一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，并且每条边都切到圆。
1.1 定义：圆内接四边形是指一个四边形ABCD，它的四个顶点A、B、C、D 都在同一个圆上，且每条边都与圆相切。
1.2 性质：（1）对角线相互垂直：AC⊥BD；（2）对角线平分：AC=BD；（3）对角线长度和等于：AC+BD=AB+CD；（4）内角和为180度：∠A+∠B+∠C+∠D=180°；（5）内接四边形的对边互补：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°；（6）内接四边形的对边平行：AB∥CD，AD∥BC。
二、判定方法：2.1 方法一：对角线相等法如果一个四边形的对角线相等，那么它就是一个圆内接四边形。
2.2 方法二：等腰梯形判定法如果一个四边形是一个等腰梯形，且它的两底边都切到同一个圆，那么它就是一个圆内接四边形。
2.3 方法三：角平分线相交于圆心法如果一个四边形的两条相对的角平分线相交于圆心，那么它就是一个圆内接四边形。
三、性质证明：3.1 对角线相互垂直的证明：连接AC和BD，由于每条边都与圆相切，所以AC和BD都是半径，而半径互相垂直，所以AC⊥BD。
3.2 对角线平分的证明：由于每条边都与圆相切，所以AC和BD都是半径，而半径相等，所以AC=BD。
3.3 对角线长度和等于的证明：连接AD和BC，由于每条边都与圆相切，所以AD和BC都是半径，而半径相等，所以AD=BC。
再由于AC=BD，所以AC+BD=AD+BC。
3.4 内角和为180度的证明：连接对角线AC和BD，由于每条边都与圆相切，所以∠A和∠C是切线与半径的夹角，所以∠A=∠C。
同理，∠B=∠D。
所以∠A+∠B+∠C+∠D=∠A+∠A+∠A+∠A=4∠A=180°。
3.5 内接四边形的对边互补的证明：连接对角线AC和BD，由于每条边都与圆相切，所以∠A和∠C是切线与半径的夹角，所以∠A=∠C。
圆内接四边形的性质与判定定理 课件
2.如图，A,B,C,D四 点在同一个圆上，AD的延长线与BC的延 长线交于E点，且EC=ED． (1)证明：CD∥AB； (2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG， 证明：A,B,G,F四点共圆．
【解析】1.∵过点B，C，D作⊙O,则BC是直径， 又∵CE⊥AB,∴∠BEC=90°,∴点E也在⊙O上，故点B，C，D， E四点共圆. 答案：在 2.(1)因为EC=ED，所以∠EDC=∠ECD. 因为A，B，C，D四点在同一圆上， 所以∠EDC=∠EBA， 故∠ECD=∠EBA，所以CD∥AB.
(2)由(1)知，AE=BE，因为EF=EG， 故∠EFD=∠EGC, 从而∠FED=∠GEC. 连接AF，BG,则△EFA≌△EGB， 故∠FAE=∠GBE. 又CD∥AB，∠EAB=∠EBA， 所以∠FAB=∠GBA. 所以∠AFG+∠GBA=180°. 故A,B,G,F四点共圆.
【想一想】解答题2的关键点及思路是什么？ 提示：(1)当已知条件中出现圆内接四边形时，常用到圆内接 四边形的性质定理来获得角相等或互补，从而为证明三角形相 似或两直线平行等问题创造了条件. (2)当判定四点共圆时，要时刻掌握前面讲的四点共圆的判定 方法，灵活选择适当的方法判定.
圆内接四边形的综合应用 圆内接四边形的综合应用 此类问题综合性较强,考查知识点较为丰富,往往涉及圆内接四 边形的判定与性质的证明和应用,最终得到结论.
【典例训练】 1．如图，在△ABC中，∠A=60°，∠ACB=70°，CF是△ABC的 边AB上的高，FP⊥BC于点P，FQ⊥AC于点Q，则∠CQP的大小为 _____.
1.任意平行四边形的四个顶点在同一个圆上吗？ 提示：平行四边形的四个顶点不一定在同一个圆上，因为它的 对角相等，但不一定互补.当互补时，共圆. 2.在我们学过的特殊四边形中，有哪些四边形的四个顶点共圆？ 提示：有矩形、正方形、等腰梯形，因为它们的四个内角中相 对的两个内角互补.
5.7圆内接四边形的性质与判定
圆内接四边形的性质与判定一、基础知识回顾1．在同圆或等圆中,相等的圆心角所对 的相等，所对的 也相等。
2. 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条 、两条 、两个 中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等。
3. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对 。
(1) 半圆(或直径)所对的圆周角是 ; 90º的圆周角所对的弦是 .(2) 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角 ; 相等的圆周角所对的弧也 .二、知识延伸拓展如果四边形的各顶点在一个圆上，这个四边形叫做这个圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。
例如，图1中，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形；⊙O 是四边形ABCD 的外接圆。
圆内接四边形有以下性质：性质定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的相邻内角的对角。
已知：如图2，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠DCE 是四边形ABCD 的外角。
求证：（1）∠A+∠BCD=180º，∠B+∠D=180º；（2）∠DCE=∠A 。
反过来，如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点在同一个圆上吗？已知：四边形ABCD 中，∠B +∠D=180°求证：A,B,C,D 在同一圆周上。
分析：根据不在同一直线上的三点确定一个圆，不妨设A 、B 、C 三点确定⊙O ，则点D 与⊙O 的位置关系有三种：在圆外、在圆上、在圆内，如果能排除点D 在圆外和在圆内，则点D 必在圆上。
证明：(1)如果点D 在⊙O 外部（如图3）。
则∠AEC+∠B=180°因∠B+∠D=180°得∠ D=∠AEC与“三角形外角大于任意不相邻的内角”矛盾。
故点D 不可能在圆外。
(2)如果点D 在⊙O 内部（如图4）。
则∠B+∠E=180°∵∠B+∠ADC=180°∴∠E=∠ADC同样矛盾。
∴点D 不可能在⊙O 内。
综上所述，点D 只能在圆周上，四点共圆。
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第二单元（章）
第一节圆内接四边形的性质与判定
A 学案
B导案
C 练案
年级 学科 “问题导学练案”
【课题】圆内接四边形的性质与判定
【课型】： 编写人： 审核人: 【练习导航】：与内接四边形的判定定理 圆内接四边形的性质定理
【练习目标】1.理解圆内接四边形的概念；
2.掌握圆内接四边形的性质定理、判定定理及其推论，并能解决有关问题. 【自主学习】
1.圆内接四边形的性质定理：
定理1 圆的内接四边形的对角___ ___．
定理2 圆内接四边形的外角等于它的内角的__ ____．
思考：内接于圆的平行四边形、菱形、梯形分别是矩形、正方形、等腰梯形？
2.圆内接四边形的判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么_ _____． 推论 如果四边形的一个外角等于 ，那么这个四边形的四个顶点共圆． 思考：圆内接四边形的性质定理和它的判定定理及推论有何关系？
【即学即练】
1.如图所示，四边形ABCD 内接于⊙O ，110BOD ∠= ，
则BCD ∠=______度．
2.如图，,AD BE 是ABC ∆的两条高，求证：CED ABC ∠=∠
【知能提升】：1.如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相
交于点P ，若15PB PD =,则BC
AD
的值为 .
2.如图，D 、E 分别为ABC ∆的边AB 、AC 上的点，且不与ABC ∆的顶点重合，。