第1章 随机过程的基本概念习题答案

第一章 随机过程的基本概念

1．设随机过程 +∞<<-∞=t t X t X ,cos )(0ω，其中0ω是正常数，而X 是标准正态变量。试求X （t ）的一维概率分布

解：∵ 当0cos 0=t ω 即 πω)2

1

(0+

=k t 即 πω)21(10+=k t 时 {}10)(==t x p

若 0cos 0≠t ω 即 πω)2

1

(1

0+≠

k t 时 {}{}x t X P x x X P t x F ≤=≤=0cos )(),(ω

当 0cos 0>t ω时

ξπ

ωωξd e

t x X P t x F t x

⎰

-

=

⎭⎬⎫

⎩

⎨⎧≤=02

cos 0

2

021cos ),(

·

此时 ()t

e x

t x F t x f t

x 0cos 2cos 1

21,),(022ωπ

ω⋅

=∂∂=

-

若 0cos 0

⎭⎬⎫

⎩

⎨⎧<-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥=t x x P t x X P t x F 00cos 1cos ),(ωω

ξπ

ωξd e

t x

⎰

-

-

=02

cos 0

2

211

同理有 t

e

t x f t

x 0cos 2cos 1

21),(022ωπ

ω⋅

-

=-

综上当：0cos 0≠t ω 即 πω)2

1

(1

0+≠

k t 时 t

x e

t x f 022cos 20|t cos |1

21

),(ωωπ-

=

2．利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程为

⎩⎨

⎧=

,2

,cos )(出现反面出现正面t t t X π 假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为21。试确定)(t X 的一维分布函数)2

1

,(x F 和)1,(x F ，以及二维分布函数)1,2

1;,(21x x F

]

解：（1）先求)21

,(x F

显然⎩⎨⎧=⎪⎩

⎪⎨⎧-=⎪⎭⎫ ⎝⎛出现反面出现正面

出现反面出现正面10,212,2cos 21π

X

随机变量⎪⎭

⎫

⎝⎛21X 的可能取值只有0，1两种可能，于是

21

021=

⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎪⎭

⎫ ⎝⎛X P 2

1121=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛X P 所以

⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=⎪⎭⎫ ⎝⎛

11102

1

0021,x x x x F

再求F （x ,1）

显然⎩⎨⎧-=⎩⎨

⎧=出现反面出现正面出现反面出现正面 2 1

2

cos (1)πX

{}{}2

1

2)1(-1

(1)====X p X p ?

所以

⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧≥<≤<=2

121- 2

1-1

0,1)(x x x x F

(2) 计算)1,2

1

;,(21x x F

⎩⎨⎧-=⎩⎨⎧=出现反面出现正面出现反面出现正面

2

1)1(, 1 0)2

1

( X X

于是

2 ,1 121 ,1

2 ,10 21

1 ,0

0 )1(;211,21;,21212

121212121⎪

⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎨⎧≥><≤->≤<≤-<≥+∞<<∞-<=⎭

⎬

⎫⎩⎨⎧≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛

x x x x x x x x x x x X x X p x x F x 或或

3．设随机过程(){}+∞<<-∞t t X ,共有三条样本曲线

t X t X X cos )t,( ,sin )t,( ,1)t,(321===ϖϖϖ

且,3

1

)p()p()p(321===ϖϖϖ试求随机过程()t X 数学期望EX(t)和相关函数R x (t 1,t 2)。

;

解： 数学期望

)cos (sin 31

3131cos 31sin 311)()(t t t t t EX t m X ++=⋅+⋅+⋅==

)cos sin 1(3

1

t t ++=

相关函数

21212121cos cos 3

1

31sin sin 311)]()([),(t t t t t X t X F t t R X +⋅⋅+⋅==

)]cos(1[3

1

21t t -+=

4．设随机过程 )0( )(>=-t e

t X Xt

其中X 是具有分布密度f (x )的随机变量。试求X (t )的一维分布密度。

解：对于任意 t >0 因为

))((),(x t x P t x F X ≤=

'

∴ 当x >0时

{}

{}⎭

⎬⎫⎩⎨⎧

-≥=≤-=≤=-t x X P x Xt P x e P t x F Xt X ln ln ),(

⎰-∞--=⎭⎬⎫⎩

⎨⎧-<-=t x

d f t x X p ln )(1ln 1ξξ