双曲线标准方程的推导
双曲线的推导过程
双曲线的推导过程双曲线是一种重要的数学曲线，它的形状类似于两个相交的直线。
在数学中，双曲线是由两个相交的直线沿着它们的渐近线旋转而形成的。
在本文中，我们将介绍双曲线的推导过程。
我们来看一下双曲线的定义。
双曲线是由以下方程定义的：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1其中，a和b是常数，且a>b。
这个方程描述了一个横轴为x，纵轴为y的平面上的曲线。
这个方程的图像看起来像两个相交的直线，但它们并不相交，而是在无限远处相交。
接下来，我们来推导一下双曲线的方程。
我们从一个标准的双曲线开始，它的方程是：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1我们将这个方程变形为：y^2/b^2 = x^2/a^2 - 1然后，我们将两边都乘以b^2，得到：y^2 = b^2(x^2/a^2 - 1)接下来，我们将x^2/a^2 - 1写成(x/a + 1)(x/a - 1)，得到：y^2 = b^2(x/a + 1)(x/a - 1)我们可以将这个方程进一步简化，得到：y^2/a^2 - x^2/b^2 = -1这就是双曲线的标准方程。
我们可以看到，这个方程与最初的方程非常相似，只是x和y的系数被交换了。
我们来看一下双曲线的性质。
双曲线有两条渐近线，它们分别是y = bx/a和y = -bx/a。
双曲线的中心位于原点，它的焦点位于x = a 和x = -a处。
双曲线还有一个重要的性质，就是它的离心率为c/a，其中c是焦点到中心的距离。
双曲线是一种重要的数学曲线，它的推导过程相对简单，但它的性质却非常丰富。
通过学习双曲线，我们可以更好地理解数学中的曲线和几何形状。
双曲线方程abc关系公式推导
双曲线方程abc关系公式推导双曲线的标准方程为$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$和$b$分别是双曲线的横轴和纵轴的半轴长度。
要推导$a$、$b$和$c$之间的关系公式，我们首先需要了解双曲线的几何定义：1. 双曲线的焦点：设焦点为$F_1(-c,0)$和$F_2(c,0)$，其中$c$是双曲线的焦距。
2. 双曲线的顶点：设顶点为$V(0,0)$，也就是双曲线的两个分支的交点所在的位置。
根据几何定义，可以得到以下关系：1. 双曲线的半焦距：$ae=c$，其中$e$是双曲线的离心率。
2. 双曲线的焦点到顶点的距离：$VF_1 = VF_2 = c$。
3. 双曲线的直线渐近线方程：$y = \pm \frac{b}{a}x$。
下面我们来推导$a$、$b$和$c$之间的关系公式：首先，根据双曲线的半焦距定义，我们可以解出$c =\frac{ae}{2}$。
然后，根据双曲线的顶点和焦点的距离定义，容易发现焦点到原点的距离是$VF_1 - 0 = c - 0 = c$。
利用勾股定理，我们可以求出焦点到原点的距离：$$\sqrt{c^2} = \sqrt{(\frac{ae}{2})^2} = \frac{ae}{2} $$由此可得，$$c = \frac{ae}{2}$$将$c = \frac{ae}{2}$代入双曲线方程，得到：$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$于是，我们得到了$a$、$b$和$c$之间的关系公式：$$c = \frac{ae}{2}$$。
双曲线标准方程的推导过程
双曲线标准方程的推导过程双曲线是一种二次曲线，与椭圆和抛物线类似，具有一些特殊的性质和形态。
双曲线的标准方程是一个关于x和y的方程，其推导过程较为复杂，需要从基本定义开始逐步推导。
首先介绍一下双曲线的定义：设点F_1(-c,0)和F_2(c,0)是平面上固定的两个点，点P(x,y)是平面上动态的点。
双曲线是满足PF_1 - PF_2 = 2a (a>0)的动点P所构成的图形。
根据定义推导双曲线的标准方程：1.根据两点之间的距离公式，可以得到PF_1和PF_2的距离公式:PF_1² = (x + c)² + y²PF_2² = (x - c)² + y²2.根据定义中的等式PF_1 - PF_2 = 2a，可以得到：(x + c)² + y² - (x - c)² - y² = 4a²化简后可得：4cx = 4a²化简后可得：x = a²/c3.将x = a²/c代入PF_1² = (x + c)² + y²中，得到：(a²/c + c)² + y² = PF_1²化简后可得：(a² + c²) / c² + y² = PF_1² / c²4.根据双曲线的性质PF_1² - PF_2² = 4a²，可以得到：PF_1² - PF_2² = 4a²(a² + c²) / c² - [(a² - c²) / c² + y²] = 4a² / c²化简后可得：2c² / c² - y² / c² = 4a² / c²化简后可得：2 - y² / c² = 4a² / c²化简后可得：y² / c² - 2 = 4a² / c²化简后可得：y² / c² - 4a² / c² = 2通过上述推导过程，我们得到了双曲线的标准方程：y² / c² - x² / a² = 1其中，c是双曲线的焦点到中心的距离，a是双曲线的半轴长度。
双曲线标准方程的推导
双曲线标准方程的推导把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线．其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距．即当动点设为M 时，双曲线即为点集P ={}122M MF MF a -=分析：当│M │>│M │时，│M │-│M │=2a (M 在双曲线右支上)当│M │<│M │时，│M │-│M │= -2a (M 在双曲线左支上)设动点M 的坐标为（x,y ）双曲线标准方程的推导：当│M │-│M │=2a 时，有：- =2a (移项)⇒ =2a+ （两边平方）⇒=4+4a+(展开)⇒+2cx+=4+4a+-2cx+(移项)⇒+2cx+2cx +-=4+4a（合并同类项）⇒4cx=4+4a（两边除以4）⇒cx=+a（移项）⇒cx-（两边平方）⇒-2+=[(展开)⇒-2+=[-2++(展开)⇒-2+=-2++（移项）⇒-2+---（合并同类项）⇒---（按x,y顺序提取公因式）⇒（---)（=+，等量代替）-（两边除以）⇒-=1(a>0,b>0)当│M│-│M│=-2a时，有：-=-2a (移项)⇒=-2a+（两边平方）⇒=4-4a+(展开)⇒+2cx+=4-4a+-2cx+(移项)⇒+2cx+2cx +-=4-4a（合并同类项）⇒4cx=4-4a（两边除以4）⇒cx=-a（移项）⇒cx-（两边平方）⇒-2+=[(展开)⇒-2+=[-2++(展开)⇒-2+=-2++（移项）⇒-2+---（合并同类项）⇒---（按x,y顺序提取公因式）⇒（---)（=+，等量代替）-（两边除以）⇒-=1(a>0,b>0)通过以上推导可知，一个方程-=1(a>0,b>0)涵盖了动点M左右两支运动轨迹，而不是一支运动轨迹。
故称其为“双曲线标准方程”。
双曲线标准方程的推导
双曲线标准方程的推导把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线．其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距．即当动点设为M 时，双曲线即为点集P ={}122M MF MF a -=分析：当│M F 1│>│M F 2│时，│M F 1│-│M F 2│=2a (M 在双曲线右支上)当│M F 1│<│M F 2│时，│M F 1│-│M F 2│= -2a (M 在双曲线左支上)设动点M 的坐标为（x,y ）双曲线标准方程的推导：当│M F 1│-│M F 2│=2a 时，有：√(x +c)2+y 2-√(x −c)2+y 2=2a (移项)⇒√(x +c)2+y 2=2a+√(x −c)2+y 2 （两边平方）⇒(x+c)2+y2=4a2+4a√(x−c)2+y2+(x−c)2+y2(展开)⇒x2+2cx+c2+y2=4a2+4a√(x−c)2+y2+x2-2cx+c2+y2(移项) ⇒x2−x2+2cx+2cx +c2−c2+y2-y2=4a2+4a√(x−c)2+y2（合并同类项）⇒4cx=4a2+4a√(x−c)2+y2（两边除以4）⇒cx=a2+a√(x−c)2+y2（移项）⇒cx-a2=a√(x−c)2+y2（两边平方）⇒c2x2-2a2cx+a4=a2[(x−c)2+y2](展开)⇒c2x2-2a2cx+a4=a2[x2-2 cx+c2+y2](展开)⇒c2x2-2a2cx+a4=a2x2-2a2 cx+a2c2+a2y2（移项）⇒-2a2cx+2a2cx+c2x2-a2x2-a2y2=a2c2-a4（合并同类项）⇒c2x2-a2x2-a2y2=a2c2-a4（按x,y顺序提取公因式）⇒（c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)（c2=a2+b2，等量代替）⇒b2x2-a2y2=a2b2（两边除以a2b2）⇒x 2a2-y2b2=1(a>0,b>0)当│M F1│-│M F2│=-2a时，有：√(x+c)2+y2-√(x−c)2+y2=-2a (移项)⇒√(x+c)2+y2=-2a+√(x−c)2+y2（两边平方）⇒(x+c)2+y2=4a2-4a√(x−c)2+y2+(x−c)2+y2(展开)⇒x2+2cx+c2+y2=4a2-4a√(x−c)2+y2+x2-2cx+c2+y2(移项)⇒x2−x2+2cx+2cx +c2−c2+y2-y2=4a2-4a√(x−c)2+y2（合并同类项）⇒4cx=4a2-4a√(x−c)2+y2（两边除以4）⇒cx=a2-a√(x−c)2+y2（移项）⇒cx-a2=−a√(x−c)2+y2（两边平方）⇒c2x2-2a2cx+a4=a2[(x−c)2+y2](展开)⇒c2x2-2a2cx+a4=a2[x2-2 cx+c2+y2](展开)⇒c2x2-2a2cx+a4=a2x2-2a2 cx+a2c2+a2y2（移项）⇒-2a2cx+2a2cx+c2x2-a2x2-a2y2=a2c2-a4（合并同类项）⇒c2x2-a2x2-a2y2=a2c2-a4（按x,y顺序提取公因式）⇒（c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)（c2=a2+b2，等量代替）⇒b2x2-a2y2=a2b2（两边除以a2b2）⇒x 2a2-y2b2=1(a>0,b>0)通过以上推导可知，一个方程x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)涵盖了动点M左右两支运动轨迹，而不是一支运动轨迹。
圆锥曲线(抛物线、椭圆、双曲线)标准方程推导
圆锥曲线(抛物线、椭圆、双曲线)标准方程推导几何定义是在平面中，由所有满足到一定点与到一定直线距离相等的点所组成的图形，把这个定点称为焦点(focus)、定直线称为准线(directrix)。
为了方便推导，把这一定点放在x轴正方向上，定直线垂直x 轴放在x轴负半轴上，且原点刚好在两者中间。
上面这些都仅仅是为了推导方便而已。
设曲线上的点坐标为(x,y)，于是，\begin{aligned} d(F, P) &=d(P, D) \\ \sqrt{(x-a)^{2}+(y-0)^{2}} &=|x+a| \\ (x-a)^{2}+y^{2}&=(x+a)^{2} \\ x^{2}-2 a x+a^{2}+y^{2} &=x^{2}+2 ax+a^{2} \\ y^{2} &=4 a x \end{aligned}四种不同开口的标准型：二、椭圆(Ellipse)几何意义是在平面中，由所有到两个顶点距离之和为定值的点所组成的图形，把这两个定点称为焦点(foci)，也是为了推导的方便，把这两个焦点对称放在x轴正负半轴上，令两段距离之和为2a，根据两点之间距离公式进行如下推导：\begin{aligned} d\left(F_{1}, P\right)+d\left(F_{2}, P\right) &=2 a \\ \sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} &=2 a \\ \sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=& 2 a-\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ (x+c)^{2}+y^{2}=& 4 a^{2}-4 a \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ &+(x-c)^{2}+y^{2} \\x^{2}+2 c x+c^{2}+y^{2}=& 4 a^{2}-4 a \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ &+x^{2}-2 c x+c^{2}+y^{2} \\ 4 c x-4 a^{2}=&-4 a \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ c x-a^{2}=&-a\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ \left(c x-a^{2}\right)^{2}=& a^{2}\left[(x-c)^{2}+y^{2}\right] \\ c^{2} x^{2}-2a^{2} c x+a^{4}=& a^{2}\left(x^{2}-2 cx+c^{2}+y^{2}\right) \\ \left(c^{2}-a^{2}\right)x^{2}-a^{2} y^{2} &=a^{2} c^{2}-a^{4} \\ \left(a^{2}-c^{2}\right) x^{2}+a^{2} y^{2} &=a^{2}\left(a^{2}-c^{2}\right) \end{aligned}令 b^2=a^2-c^2 （根据三角形两边之和大于第三边推出c<a）所以，\begin{aligned} b^{2} x^{2}+a^{2} y^{2} &=a^{2} b^{2} \\ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} &=1\end{aligned}常见的两种椭圆标准方程，一种是横躺在x轴上，一种是“站立”着，关键就是看x和y下面哪个数值比较大，哪个大，那么长的对称轴就在哪个方向上。
双曲线的标准方程公式
双曲线的标准方程公式双曲线是代数曲线中的一种，在数学和物理学中都有着重要的应用。
双曲线的标准方程公式是描述双曲线的基本形式，通过标准方程我们可以更好地理解双曲线的性质和特点。
本文将详细介绍双曲线的标准方程公式及其相关知识。
首先，我们来看一下双曲线的定义。
双曲线是平面上的一种曲线，其定义为到两个给定点的距离之差等于常数的点的轨迹。
这两个给定点称为焦点，常数称为双曲线的离心率。
根据焦点的位置关系，双曲线可以分为两种类型，横向双曲线和纵向双曲线。
横向双曲线的焦点在x轴上，而纵向双曲线的焦点在y轴上。
接下来，我们来推导双曲线的标准方程公式。
以横向双曲线为例，设焦点为F1（c,0），F2（-c,0），离心率为e，点P(x,y)为双曲线上的任意点。
根据双曲线的定义，我们可以得到以下关系式：PF1 PF2 = 2a。
其中，a为双曲线的半焦距，即焦点到双曲线的距离。
根据点到两点的距离公式，我们可以得到：√((x-c)²+y²) √((x+c)²+y²) = 2a。
整理化简后得到双曲线的标准方程公式：(x²/a²) (y²/b²) = 1。
其中，a²= c²+ b²，b²= a²(e²-1)。
这就是横向双曲线的标准方程公式。
同理，对于纵向双曲线，其标准方程公式为：(y²/a²) (x²/b²) = 1。
通过标准方程公式，我们可以更好地理解双曲线的性质。
首先，双曲线在坐标系中是关于两条直线（称为渐近线）对称的。
其次，双曲线有两条渐近线，分别与双曲线的两支相切，并且渐近线的斜率分别为±b/a。
另外，双曲线的两支分别位于两条渐近线的两侧。
双曲线在数学和物理学中有着广泛的应用。
在数学中，双曲线是代数曲线的一种，研究双曲线可以帮助我们更好地理解曲线的性质和特点。
双曲线及其标准方程课件
音乐艺术
双曲线在音乐艺术中用于 创作优美的音乐旋律和和 声，特别是在处理音高和 音程时。
交通工程
双曲线在交通工程中用于 设计道路和轨道，特别是 在处理弯道和交叉口时。
04
双曲线的图像绘制
使用数学软件绘制双曲线
使用Ge双曲 线。用户只需在软件中输入双曲线的标准方程，即可自动生 成对应的双曲线图像。
05
双曲线的性质与方程 的关联
双曲线的性质与标准方程的关系
焦点距离
双曲线的标准方程中的系数与焦 点距离有关，决定了双曲线的开
口大小和方向。
渐近线
双曲线的标准方程中的系数决定了 渐近线的斜率和截距，反映了双曲 线的形状和位置。
离心率
双曲线的标准方程中的系数与离心 率有关，离心率决定了双曲线的开 口程度和形状。
推导结果
01
双曲线的标准方程为
$frac{x^2}{a^2}
-
frac{y^2}{b^2} = 1$。
02
其中$a > 0, b > 0$，且满足 $c^2 = a^2 + b^2$。
推导结论
双曲线是一种特殊的二次曲线，其标 准方程反映了双曲线的几何特性。
双曲线的焦点到曲线上任意一点的距 离之差为常数，这个常数等于两焦点 之间的距离的一半。
绘制双曲线
在工具箱中选择“双曲线”工具，然 后在绘图区域单击并拖动鼠标，即可 绘制出双曲线。用户可以根据需要调 整双曲线的参数和位置。
使用手工绘制双曲线
准备工具
准备一张纸、一支笔和一把直尺。
绘制过程
首先在纸上确定双曲线的中心和焦点，然后使用直尺和笔绘制出双曲线的渐近线。接着，使用笔和直尺在纸上绘 制出双曲线的上半部分。最后，使用对称性画出双曲线的下半部分。这种方法虽然比较传统，但对于理解双曲线 的几何意义非常有帮助。
双曲线abc关系推导过程
双曲线abc关系推导过程
双曲线方程中abc的关系式是c的平方等于a的平方加b的平方，双曲线是指与平面上到两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，也可以定义为到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹。
双曲线是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于中轴的平面的交截线。
椭圆和双曲线标准方程的推导方法大致有两种：一种是教材上移项平方的方法，另一种是资料上常见的构造对偶式的方法．这两种方法的运算量都比较大，尤其前一种方法需要两次移项平方。
最近，在进行椭圆的教学时，又发现了一种运算量较小的办法，即根据圆和椭圆的方程都具备“二元二次”的特征，可通过构造圆的方程能简化椭圆标准方程的推导过程，而该方法也同样适用于双曲线标准方程的推导双曲线中，a，b，c的关系，即c的平方等于a的平方加b的平方，不是利用什么知识点证明的。
它是在利用定义推导双曲线方程时，为了简化方程，令b的平方等于c的平方减a的平方得到的。
求双曲线标准方程的方法
求双曲线标准方程的方法
随着互联网技术的不断发展，双曲线标准方程在计算机编程和机器视觉方面发挥着越来越重要的作用。
在这里，我们来介绍求双曲线标准方程的方法。
求双曲线标准方程的基本步骤：
一、找出双曲线的端点坐标和焦点坐标。
根据双曲线的可视特征，可以确定双曲线的端点坐标和焦点坐标，这样就可以计算出双曲线的离心率e。
二、求取双曲线的标准方程。
根据离心率e和双曲线的焦点坐标来计算双曲线的标准方程。
最后，结合上述步骤，我们可以得出双曲线标准方程。
双曲线标准方程的式子为：(x-x1)^2/a^2 - (y-y1)^2/b^2 = 1 ，其中(x1,y1)为焦点，a和b分别为半长轴和半短轴。
若双曲线在原点（0，0）上，则标准方程为：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1。
总之，求双曲线标准方程并不困难，要做的关键是要先分析出双曲线的图形特征，然后依据离心率及其他信息推导出该双曲线的标准方程，使用该标准方程可以帮助计算机或机器视觉更好地完成一些高级任务。
双曲线的标准方程推导
双曲线的标准方程推导双曲线是数学中的一种重要的曲线类型，它在几何、代数以及物理等领域都有着广泛的应用。
在本文中，我们将介绍双曲线的标准方程推导过程，通过推导我们可以更好地理解双曲线的性质和特点。
首先，我们来定义双曲函数。
双曲函数是指满足关系式x^2 y^2 = 1的函数。
双曲函数分为两种类型，分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数，它们的定义如下：双曲余弦函数定义为，cosh(x) = (e^x + e^(-x))/2。
双曲正弦函数定义为，sinh(x) = (e^x e^(-x))/2。
接下来，我们将推导双曲线的标准方程。
首先，我们考虑双曲余弦函数的图像。
根据双曲余弦函数的定义，我们可以得到：cosh^2(x) sinh^2(x) = 1。
现在，我们将cosh^2(x)和sinh^2(x)分别表示为u和v，即：u = cosh^2(x)。
v = sinh^2(x)。
那么，我们可以得到：u v = 1。
这就是双曲线的标准方程。
在平面直角坐标系中，双曲线的标准方程可以表示为x^2/a^2 y^2/b^2 = 1或者y^2/b^2 x^2/a^2 = 1，其中a和b分别为双曲线在x轴和y轴上的焦点距离。
通过这个推导过程，我们可以看出双曲线的标准方程与双曲函数之间的联系。
双曲函数是双曲线的基本构成要素，而双曲线的标准方程则是描述双曲线几何性质的重要方程。
另外，双曲线还具有许多重要的性质，比如双曲线的渐近线、焦点、直径等。
这些性质在物理学、工程学以及经济学中都有着重要的应用，特别是在光学、电磁学、天文学等领域。
总之，双曲线的标准方程推导是我们理解双曲函数和双曲线性质的重要基础。
通过本文的介绍，相信读者对双曲线有了更深入的了解，希望本文能对大家有所帮助。
双曲线的标准方程b
双曲线的标准方程b双曲线是解析几何中一种重要的曲线，它具有许多独特的性质和特点。
在数学和物理学中，双曲线的应用非常广泛，因此了解双曲线的标准方程b对于深入理解其性质和应用至关重要。
首先，我们来看一下双曲线的定义。
双曲线是平面上一种特殊的曲线，其定义是平面上满足特定几何性质的点的集合。
双曲线有两条渐近线，它们分别与双曲线的两个分支无限靠近，但永远不会相交。
双曲线的标准方程b可以通过以下步骤推导得到。
双曲线的标准方程b可以表示为，$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中a和b分别代表双曲线在x轴和y轴上的焦点到中心的距离。
在这个标准方程中，a 和b的取值对于双曲线的形状和性质有着重要的影响。
接下来，我们来详细解释一下双曲线标准方程中的参数a和b的含义。
首先，当a>b时，双曲线的两个分支分别朝左右无限延伸；当a<b时，双曲线的两个分支分别朝上下无限延伸。
而当a=b时，双曲线化为两条互相垂直的渐近线。
因此，参数a和b的取值直接影响了双曲线的形状和方向。
另外，双曲线的标准方程b还可以通过参数方程来表示。
参数方程为，$x=a\cosh t, y=b\sinh t$，其中参数t为实数。
通过参数方程，我们可以更直观地理解双曲线的形状和特点，进一步深入研究其性质和应用。
除了了解双曲线的标准方程b之外，我们还可以通过一些实例来加深对双曲线的理解。
例如，双曲线在物理学中的应用非常广泛，特别是在光学和电磁学领域。
双曲线的反射性质和聚焦性质使其成为许多光学器件和电磁场的重要研究对象。
通过实际例子的分析，我们可以更好地理解双曲线的特点和应用，为进一步研究和应用双曲线打下坚实的基础。
总之，双曲线的标准方程b是深入了解双曲线性质和应用的重要基础。
通过对双曲线标准方程b的推导和参数方程的解释，我们可以更好地理解双曲线的形状和特点。
同时，通过实例的分析，我们可以加深对双曲线的应用和意义的理解。
双曲线方程推导过程
双曲线方程推导过程双曲线的一般方程可以表示为：Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0其中A、B、C、D、E、F 是实数常数，并且A、B、C 不同时为零。
下面是推导双曲线方程的过程：1. 首先，我们考虑双曲线的标准方程，即形如：(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1其中a 和b 是正实数。
2. 我们对标准方程进行一些代数操作，将其转化为一般方程的形式。
首先，我们将方程两边同时乘以a^2 和b^2，得到：b^2 * (x^2 / a^2) - a^2 * (y^2 / b^2) = b^2即：(b^2 / a^2) * x^2 - (a^2 / b^2) * y^2 = b^23. 我们可以将(b^2 / a^2) 和(a^2 / b^2) 分别记作A 和C，得到：A * x^2 - C * y^2 = b^24. 如果我们希望双曲线的中心位于原点，即(0, 0)，我们可以将方程中的x 和y 替换为x - h 和y - k，其中(h, k) 是中心的坐标。
这样，我们得到：A * (x - h)^2 - C * (y - k)^2 = b^25. 最后，我们可以通过一些代数运算，将方程转化为一般方程的形式。
展开并整理方程，我们可以得到：Ax^2 - 2Ahx + Ah^2 - Cy^2 + 2Cky - Ck^2 = b^2将常数项整合到方程右侧，我们得到：Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0其中B = -2Ah，D = Ah^2，E = 2Ck，F = -Ck^2 + b^2。
这样，我们就得到了双曲线的一般方程。
需要注意的是，这个方程可以表示各种类型的双曲线，包括水平、垂直和倾斜的双曲线。
具体的形状和方向取决于方程中的系数A、B 和C。
双曲线方程公式
双曲线方程公式双曲线方程是一种独特的曲线，它在数学中被广泛应用。
它是一种有一定闭合特征的曲线，它在空间中看起来像一个双拱形，是一种对称的曲线，是椭圆形的特殊情况。
双曲线通常有两个独立的变量：x和y，它的方程可表示为：ax + by + cxy + dx + ey + f = 0 (a≠0)其中，a，b，c，d，e，f是实数常数。
其参数a，b，c是双曲线方程的系数，其值可以用来判断双曲线的特性，如`类型`、`焦点`和`对称轴`等。
双曲线的类型有三种，即椭圆、双曲线和双曲线非曲线。
如果b/a和c/a的绝对值不大于1，则该双曲线方程表示一条椭圆；如果其中一个大于1或者两个都大于1，则该方程表示一条双曲线；如果a，b，c都等于0，则该方程表示一条双曲线非曲线。
双曲线的焦点是代表该双曲线的一种重要特征，它可以由参数d, e计算而得，即焦点处的坐标为(d/2a,e/2b)。
双曲线的对称轴是另一个重要的特征，它也可以由参数d, e计算而得，其斜率为-d/e，它的方向与左边向量(1,d/e)垂直。
由于双曲线是一种对称的曲线，因此有两条对称轴，另一条对称轴的斜率为d/e，它的方向与左边向量(1, -d/e)垂直。
双曲线的极坐标可以由它的直角坐标求得，其极坐标形式为：r = (cx + ay)/[(a - b)r][(b/c)x + (a/c)y + (d/c)r] 其中，r表示双曲线上任意点到原点的距离，即极角α恒定的圆的半径。
这样就可以用极坐标的方式表示双曲线的方程，即：r = k[(b/c)cosα + (a/c)sinα + (d/c)]而这种方程又称为双曲线的标准方程，其可以简化为：r = acos2α + bsin2α + csinαcosα + dcosα + esinα + f 双曲线的特征不仅仅可以由参数a, b, c, d, e, f来表示，还可以用它的轨迹方程来表示：(x/a) + (y/b) = 1这是双曲线的另一种简要的方程形式。
双曲线焦点在y轴的方程推导
双曲线是一个常见的数学曲线类型，通常表示为形如\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\) 或\(\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1\) 的方程。
其中，\(a\) 和\(b\) 是正常数。
首先，我们来考虑双曲线的标准形式\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)。
要找到焦点，我们可以通过方程的右侧常数项的正负来确定双曲线的方向。
如果正号在\(y^2\) 的系数前面，曲线打开方向沿着\(y\) 轴；如果正号在\(x^2\) 的系数前面，曲线打开方向沿着\(x\) 轴。
假设我们有方程\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)，曲线打开方向沿着\(x\) 轴。
双曲线的焦点坐标可以表示为\((\pm c, 0)\)，其中\(c\) 是焦距。
要找到焦点，我们可以使用以下关系：
\[
c = \sqrt{a^2 + b^2}
\]
因此，焦点在\(y\) 轴上的坐标为\((0, \pm \sqrt{a^2 + b^2})\)。
如果双曲线的方程是\(\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1\)，曲线打开方向沿着\(y\) 轴，那么焦点在\(y\) 轴上的坐标同样为\((0, \pm \sqrt{a^2 + b^2})\)。
这样，我们得到了焦点在\(y\) 轴上的坐标，而双曲线方程的具体形式（打开方向沿着\(x\) 轴还是\(y\) 轴）则取决于方程的具体形式。
双曲线的标准方程推导-解析式求解-教师版..
直利教育2015年寒假名师培优一对一教案第2讲双曲线的定义及标准方程1、概念：如果把椭圆定义中的和改成差:12||||2PF PF a -=或21||||2PF PF a -=,即:12||||||2PF PF a -=，其中0>a 动点的轨迹会发生什么变化呢？①若21212F F a MF MF ==-，则轨迹是线段21F F 的延长线； 若21122F F a MF MF ==-，则轨迹是线段12F F 的延长线； ②若21212MF MF a F F -=<，则无轨迹；③在1202||a F F <<条件下轨迹是存在的，我们把这时得到的轨迹叫做双曲线.[说明]通过对椭圆定义的类比，启发学生思考并发现a 2与21F F 的大小关系与动点的轨迹的变化规律.（1）当c a 22<时，双曲线 （2）当c a 22=时，射线 （3）当c a 22>时，无轨迹2、概念形成 双曲线定义定义：平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于21F F ）的点的轨迹叫双曲线.这两个定点21,F F 叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离12||F F 叫做焦距.双曲线定义中的注意点 在概念的理解中要注意：（1）是平面内到两定点的距离之差的绝对值是一个非零正常数，且这个常数小于21F F . （2）当12||||2PF PF a -=时，动点的轨迹是与2F 对应的双曲线的一支，21||||2PF PF a -=时为双曲线的另一支.3、双曲线的标准方程的推导可以仿照求椭圆的标准方程的做法，求双曲线的标准方程．如图8-12建系，设c F F 221=，取过点21F F 、的直线为x 轴，线段21F F 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，则)0,(F )0,(21c c F 、-，设M 是所求轨迹上的点. 依已知条件有a MF MF 221±=-，221)(y c x MF++=，222)(y c x MF +-=，22)(y c x ++∴a y c x 2)(22±=+--，移项得：22)(y c x ++22)(2y c x a +-+±=， 平方得：222)()(y c x a cx a +-=-±（*）再平方得：)()(22222222c a a y a x c a -=+-，即)()(22222222a c a y a x a c -=--，令)0(222>>-=b c a c b则222222b a y a x b =-，即12222=-by a x综上：焦点在x 轴上双曲线的标准方程是12222=-by a x ①，其中)0(222>>+=a c b a c ，焦点)0,(F )0,(21c c F 、-.[说明]对于标准方程的推导可以启发学生仿照求椭圆的标准方程的做法来完成，在建立直角坐标系之前，可以让学生初步推断双曲线所具有的对称性，使建系更合理.◆同样如果双曲线的焦点在y 轴上(图8－13)，那么，此时的双曲线的标准方程又是怎样的呢？焦点是F1(0，－c)、F2(0，c)时，a 、b 的意义同上，那么只要将方程①的x 、y 互换，就可以得到焦点在y 轴上双曲线的标准方程是12222=-bx a y ，其中)0(222>>+=a c b a c ，焦点),0(F ),0(21c c F 、-.[说明]双曲线的标准方程是指双曲线在标准状态下的方程，这里的标准状态有两层含义：（1）双曲线的两个焦点均在坐标轴上，（2）这两个焦点的中心必须与原点重合.从这一方面理解，双曲线的标准方程就是在特殊的直角坐标系下的方程.定义及性质对比 名 称椭 圆双 曲 线 图 象xOyxOy定 义平面内到两定点21,F F 的距离的和为常数2a （2a >21F F ）的动点的轨迹叫椭圆.即a MF MF 221=+ 当2a ﹥2c 时，轨迹是椭圆， 当2a =2c 时，轨迹是一条线段21F F当2a ﹤2c 时，轨迹不存在平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数2a （<<a 2021F F ）的动点的轨迹叫双曲线.即a MF MF 221=-当2a ﹤2c 时，轨迹是双曲线 当2a =2c 时，轨迹是两条射线精题精讲【例1】 判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量c b a ,,的值①12422=-y x ②12222=-y x ③12422-=-y x ④369422=-x y （1232222=-x y ） 分析：双曲线标准方程的格式：平方差，2x 项的系数是正的，那么焦点在x 轴上，2x 项的分母是2a ；2y 项的系数是正的，那么焦点在y 轴上，2y 项的分母是2a解：①是双曲线，6,2,2===c b a ；② 是双曲线，2,2,2===c b a ； ③是双曲线，6,2,2===c b a ；④是双曲线，,2,3===c b a【例2】已知双曲线两个焦点的坐标为)0,5()0,5(21F F ，-，双曲线上一点P 到)0,5()0,5(21F F ，-的距离之差的绝对值等于6，求双曲线标准方程解：因为双曲线的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为12222=-b y a x (0>a ,0>b ) ∵102,62==c a ∴5,3==c a ∴35222=-=b所求双曲线标准方程为116922=-y x【例3】 已知双曲线的焦点在y 轴上，中心在原点，且点)24,3(1-P ，)5,49(2P ，在此双曲线上，求双曲线的标准方程分析：由于已知焦点在y 轴上，中心在原点，所以双曲线的标准方程可用设出来，进行求解 本题是用待定系数法来解的，得到的关于待定系数b a ,的一个分式方程组，并且分母的次数是2，解这种方程组时利用换元法可将它化为二元二次方程组；也可将22,b a 的倒数作为未知数，直接看作二元一次方程组解：因为双曲线的焦点在y 轴上，中心在原点，所以设所求双曲线的标准方程为12222=-bx a y （0,0>>b a ） 则有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--1)49(513)24(22222222b ab a ，即⎪⎩⎪⎨⎧=⋅-⋅=⋅-⋅1116811251191322222b a b a 解关于221,1b a 的二元一次方程组，得911,161122==b a所以，所求双曲线的标准方程为91622=-x y 【例4】 点A 位于双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上，21,F F 是它的两个焦点，求21F AF ∆的重心G 的轨迹方程分析：要求重心的轨迹方程，必须知道三角形的三个顶点的坐标，利用相关点法进行求解 注意限制条件解：设21F AF ∆的重心G 的坐标为),(y x ，则点A 的坐标为)3,3(y x .因为点A 位于双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上，从而有)0(1)3()3(2222≠=-y by a x ，即)0(1)3()3(2222≠=-y b y a x 所以，21F AF ∆的重心G 的轨迹方程为)0(1)3()3(2222≠=-y b y a x【例5】 已知ABC ∆的底边BC 长为12，且底边固定，顶点A 是动点，使A CB sin 21sin sin =-，求点A 的轨迹分析：首先建立坐标系，由于点A 的运动规律不易用坐标表示，注意条件的运用，可利用正弦定理将其化为边的关系，注意有关限制条件解：以底边BC 为x 轴，底边BC 的中点为原点建立xoy 坐标系，这时)0,6(),0,6(C B -，由A C B sin 21sin sin =-得621==-a c b ,即||||=-AB AC所以，点A 的轨迹是以)0,6(),0,6(C B -为焦点，2a =6的双曲线的左支 其方程为：3(127922-<=-x y x 点评：求轨迹方程的过程中，有一个重要的步骤就是找出(或联想到)轨迹上的动点所满足的几何条件，列方程就是根据这些条件确定的，由于轨迹问题比较普遍，题型多样，有些轨迹上的动点满足的几何条件可能比较隐蔽和复杂运用逻辑推理，结合平面几何的基本知识，分析、归纳，这里安排本例就是针对以上情况来进行训练的【例6】求下列动圆圆心M 的轨迹方程:(1)与⊙C :(x +2)2+y 2=2内切，且过点A （2，0） （2）与⊙C 1：x 2+(y -1)2=1和⊙C 2:x 2+(y +1)2=4都外切. （3）与⊙C 1:(x +3)2+y 2=9外切，且与⊙C 2:(x -3)2+y 2=1内切.分析：这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半径与圆心距离.如果相切的⊙C 1、⊙C 2的半径为r 1、r 2且r 1＞r 2，则当它们外切时，|O 1O 2|=r 1+r 2;当它们内切时，|O 1O 2|=r 1-r 2.解题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程.解：设动圆M 的半径为r(1)∵⊙C 1与⊙M 内切，点A 在⊙C 外∴|MC |=r -2,|MA |=r ,|MA |-|MC |=2 ∴点M 的轨迹是以C 、A 为焦点的双曲线的左支，且有：a =22,c =2,b 2=c 2-a 2=27∴双曲线方程为2x 2-722y=1(x ≤-2) (2)∵⊙M 与⊙C 1、⊙C 2都外切∴|MC 1|=r +1,|MC 2|=r +2,|MC 2|-|MC 1|=1∴点M 的轨迹是以C 2、C 1为焦点的双曲线的上支，且有：a =21,c =1,b 2=c 2-a 2=43∴所求的双曲线方程为： 4y 2-342x =1(y ≥43) (3)∵⊙M 与⊙C 1外切，且与⊙C 2内切∴|MC 1|=r +3,|MC 2|=r -1,|MC 1|-|MC 2|=4∴点M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的双曲线的右支，且有：a =2,c =3,b 2=c 2-a 2=5∴所求双曲线方程为：15422=-y x (x ≥2) 【例7】已知双曲线116922=-y x 的右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线上的左支上且|PF 1||PF 2|=32，求∠F 1PF 2的大小.分析：一般地，求一个角的大小，通常要解这个角所在的三角形. 解：∵点P 在双曲线的左支上 ∴|PF 1|-|PF 2|=6∴|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|=36 ∴|PF 1|2+|PF 2|2=100∵|F 1F 2|2=4c 2=4(a 2+b 2)=100∴∠F 1PF 2=90°评述：（1）巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中，使问题得以简单化.（2）题目的“点P 在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点P 在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索.【例8】已知F 1、F 2是双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2 =90°，求△F 1PF 2的面积.分析：利用双曲线的定义及△F 1PF 2中的勾股定理可求△F 1PF 2的面积.解：∵P 为双曲线1422=-y x 上的一个点且F 1、F 2为焦点. ∴||PF 1|-|PF 2||=2a =4 |F 1F 2|=2c =25 ∵∠F 1PF 2=90° ∴在Rt △PF 1F 2中 |PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=20 ∵（|PF 1|-|PF 2|）2=|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|=16 ∴20-2|PF 1||PF 2|=16 ∴|PF 1|·|PF 2|=2∴S 2121=∆PF F |PF 1|·|PF 2|=1由此题可归纳出S △F1PF2=b 2cot ∠221PF F 评述：双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用.综合发展：1.已知点F 1（0，-13）、F 2（0，13），动点P 到F 1与F 2的距离之差的绝对值为26，则动点P 的轨迹方程为（ ）A.y=0B.y=0(x ≤-13或x ≥13)C.x=0(|y|≥13)D.以上都不对【解析】∵||PF 1|-|PF 2||=|F 1F 2|，∴P 点的轨迹为分别以F 1、F 2为端点的两条射线. 【答案】C2.在方程mx 2－my 2=n 中，若mn ＜0，则方程的曲线是（ ）A.焦点在x 轴上的椭圆B.焦点在x 轴上的双曲线C.焦点在y 轴上的椭圆D.焦点在y 轴上的双曲线【解析】 把方程mx 2－my 2=n写成标准方程mn y m n x 22-=1 ∵mn ＜0,∴m n ＜0,－mn＞0. ∴方程表示焦点在y 轴上的双曲线. 【答案】 D3.已知点P （x ，y ）的坐标满足2222)3()3()1()1(+++--+-y x y x =±4，则动点P 的轨迹是（ ）A.椭圆B.双曲线C.两条射线D.以上都不对 【解析】点（1，1）与（-3，-3）的距离为42>4，∴P 的轨迹是双曲线.【答案】B4.已知双曲线的方程为2222by a x -=1,点A 、B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |=m ,F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为（ ）A.2a +2mB.4a +2mC.a +mD.2a +4m【解析】 ∵A 、B 在双曲线的右支上， ∴|BF 1|－|BF 2|=2a ,|AF 1|－|AF 2|=2a , ∴|BF 1|+|AF 1|－(|BF 2|+|AF 2|)=4a ∴|BF 1|+|AF 1|=4a +m∴△ABF 1的周长为4a +m +m =4a +2m . 【答案】 B5.已知双曲线的焦距为26，c a 2=1325,则双曲线的标准方程是（ ）A.1692522y x -=1B.1692522x y -=1 C. 1442522y x -=1 D.1442522y x -=1或1442522x y -=1 【解析】 ∵2c =26,c a 2=1325,∴c ＝13，a 2＝25. ∴b 2=132－25=144.∴双曲线的标准方程为1442522y x -=1或1442522x y -=1. 【答案】 D6.F 1、F 2为双曲线42x －y 2=－1的两个焦点，点P 在双曲线上，且∠F 1PF 2=90°,则△F 1PF 2的面积是（ ）A.2B.4C.8D.16【解析】 双曲线42x －y 2=－1的两个焦点是F 1(0，－5)、F 2(0，5)，∵∠F 1PF 2=90°,∴｜PF 1｜2+｜PF 2｜2=｜F 1F 2｜2. 即｜PF 1｜2+｜PF 2｜2=20 ① ∵｜PF 1｜－｜PF 2｜=±2，∴｜PF 1｜2－2｜PF 2｜·｜PF 1｜+｜PF 2｜2=4 ② ①－②得2｜PF 1｜·｜PF 2｜=16，∴21PF F S ∆=21｜PF 1｜·｜PF 2｜=4. 【答案】 B7.双曲线的焦点在y 轴上，且它的一个焦点在直线5x －2y +20=0上，两焦点关于原点对称，35=a c ，则此双曲线的方程是（ ）A.643622y x -=1B.366422y x -=1C.643622y x -=－1D.366422y x -=－1 【解析】 在方程5x －2y +20=0中，令x =0得：y =10，∵双曲线的一个焦点在直线5x －2y +20=0上又在y 轴上，且两焦点关于原点对称， ∴c =10,∵35=a c ,∴a =6,∴b 2=c 2－a 2=100－36=64. ∴双曲线的方程为643622x y -=1，即366422y x -=－1. 【答案】 D8.已知ΔABC 中，B 、C 是两个定点，并且sinB-sinC=21sinA ，则顶点A 的轨迹方程是（ ） A.双曲线 B.椭圆 C.双曲线的一部分 D.椭圆的一部分 【解析】由正弦定理得|AC|-|AB|=21|BC|.∵B 、C 为定点，∴|BC|为常数. ∴点A 的轨迹是双曲线的一部分. 【答案】C9.双曲线2x 2－y 2=k 的焦距是6，求k 的值.【解】 把双曲线的方程写成标准形式，k y k x 222-=1. 当k ＞0时，a 2=2k ,b 2=k ，由题知2k+k =9即k =6.当k ＜0时，a 2=－k ,b 2=－2k ,－k －2k=9即k =－6综上所述k =±6为所求.10.过双曲线2514422y x -=1的一个焦点作x 轴的垂线，求垂线与双曲线的交点到两焦点的距离. 【解】 ∵双曲线方程为2514422y x -=1 ∴c =25144+=13,于是焦点F 1（－13，0）、F 2（13，0），设过点F 1的垂直于x 轴的直线l 交双曲线于A (－13,y )(y >0).∴144251144132522=-=y ,∴y =1225,即|AF 1|=1225 又∵|AF 2|－|AF 1|=2a =24,∴|AF 2|=24+|AF 1|=24+1225=12313故垂线与双曲线的交点到两焦点的距离为1225或12313.11.一双曲线中心为原点，对称轴为坐标轴，且过点A （-27，-3）、（7，62），求双曲线的方程.【解】当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线的方程为mx 2-ny 2=1(m>0,n>0)，则由题知⎪⎩⎪⎨⎧=-⋅=---,1)26(7,1)3()72(2222n m n m ⎩⎨⎧=-=-.17249,1928n m n m 解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.751,251n m∴双曲线的方程为752522y x -=1. 当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线的方程为py 2-qx 2=1(p>0,q>0)，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅-=---,17)26(,1)72()3(2222q p q p 此方程组的解使p 、q 都为负值，故应舍去. 综上所述，所求双曲线的方程为752522y x -=1.12.已知曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y =kx －1. (1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若l 与C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值.【解】 (1)由⎩⎨⎧-==-1122kx y y x 消y ，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0由⎪⎩⎪⎨⎧>-+=≠-0)1(8401222k k Δk 得k 的取值范围为（－2，－1）∪（－1，1）∪（1，2） （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 由（1）得x 1＋x 2＝－212k k -，x 1x 2＝－212k - 又l 过点D (0，－1) ∴Ｓ△OAB ＝Ｓ△OAD ＋Ｓ△OBD ＝21｜x 1｜＋21｜x 2｜＝21｜x 1－x 2｜＝2 ∴（x 1－x 2）2＝（22）2 即（212k k --）2＋218k-＝８ ∴k ＝0或k =±26. 13.已知双曲线162422y x -=1，P 为双曲线上一点，F 1、F 2是双曲线的两个焦点，并且∠F 1PF 2=60°，求ΔF 1PF 2的面积.【解】|F 1F 2|2=4c 2=4×(24+16)=160.在ΔF 1PF 2中，由余弦定理得 |F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|=160. ∴|PF 1|2+|PF 2|2-|PF 1||PF 2|=160. ①又∵|PF 1|-|PF 2|=±224，∴|PF 1|2-2|PF 1||PF 2|+|PF 2|2=96. ② ①-②得|PF 1|·|PF 2|=64. ∴21PF F S ∆=21|PF 1|·|PF 2|·sin60°=21×64×23=163.【点评】若本题是填空题或选择题时，则用解法二：21PF F S ∆=b 2cot2θ=16×cot 260︒=163.14.A 、B 、C 是我方三个炮兵阵地，A 在B 的正东，相距6 km ，C 在B 的北偏西30°方向上，相距4 km ，P 为敌炮阵地.某时刻A 发现敌炮阵地的某种信号，由于B 、C 两地比A 距P 地远，因此4秒后，B 、C 才同时发现这一信号（该项信号的传播速度为每秒1 km ）.A 若炮击P 地，求炮击的方位角.【解】以AB 的中点为原点，BA 所在的直线为x 轴建立直角坐标系，则A （3，0），B （-3，0），C （-5，23）.∵|PB|-|PA|=4，∴点P 在以A 、B 为焦点的双曲线的右支上，该双曲线右支的方程是15422=-y x (x ≥2). ① 又∵|PB|=|PC|，∴点P 在线段BC 的垂直平分线上，该直线的方程为 x-3y+7=0. ②将②代入①得11x 2-56x-256=0，得x=8或x=-1132（舍）.于是可得P （8，53）. 又k PA =tan α=3，∴α=60°.故点P 在点A 的北偏东30°方向上，即A 炮击P 地的方位角是北偏东30°.。
双曲线方程推导步骤
双曲线方程推导步骤宝子，今天咱来唠唠双曲线方程的推导哈。
咱先从双曲线的定义说起，双曲线就是平面内到两个定点F1、F2的距离之差的绝对值是常数（这个常数要小于F1F2哦）的点的轨迹。
那咱就设这两个定点F1、F2在x轴上，坐标分别是(-c,0)和(c,0)，然后设双曲线上任意一点P的坐标是(x,y)。
根据定义，PF1 - PF2 = 2a（a是个正数呢）。
那PF1的长度就是根号下[(x + c)² + y²]，PF2的长度就是根号下[(x - c)²+ y²]。
这时候就有两种情况啦。
当PF1 - PF2 = 2a的时候，也就是根号下[(x + c)² + y²] - 根号下[(x - c)² + y²]=2a。
这个式子看起来有点复杂，咱得想办法把根号去掉。
那就把后面那个带根号的式子移到右边，然后两边同时平方。
这样就得到(x + c)² + y² = 4a²+ (x - c)² + y²+4a根号下[(x - c)² + y²]。
展开式子，x²+2cx + c²+y² = 4a²+x² - 2cx + c²+y²+4a根号下[(x - c)² + y²]。
一些项可以消掉啦，就剩下4cx - 4a² = 4a根号下[(x - c)² + y²]。
再化简一下，cx - a² = a根号下[(x - c)² + y²]。
再平方一次，(cx - a²)² = a²[(x - c)² + y²]。
展开又能得到好多项，c²x² - 2a²cx + a⁴ = a²(x² - 2cx + c²+ y²)。
双曲线标准方程的推导
双曲线标准方程的推导
把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线．其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线
的焦距．即当动点设为M 时，双曲线即为点集P ={}122M MF MF a -= 分析：当│M │>│M
│时，│M
│-│M
│=2a(M 在双曲线右支上)
│M │-=2a(⇒=2a+（两边平方）
⇒=4+4a +(展开) ⇒+2cx+=4+4a
+-2cx+(移项) ⇒
+2cx+2cx+
-=4+4a
（合并同类项）
⇒4cx=4+4a
（两边除以4）
⇒cx=+a （移项） ⇒cx-（两边平方）
⇒-2+=[(展开)
⇒-2
+=[-2++(展开) ⇒-2
+=-2++（移项）
⇒
----
--)（+-（两边除以
）⇒-=1(a>0,b>0)
当│M
│-│M │=-2a 时，有：
-=-2a(移项) ⇒=-2a+（两边平方）
⇒
=4-4a
+
(展开)
⇒+2cx+=4-4a+-2cx+(移项)
⇒+2cx+2cx+-=4-4a（合并同类项）⇒4cx=4-4a（两边除以4）
⇒cx=-a（移项）
⇒cx-（两边平方）
⇒-2+=[-2+(
⇒+=-2++（移项）
+---（合并同类项）⇒---（按x,y顺序提取公因式）
---)（=+，等量代替）
-（两边除以）
⇒-=1(a>0,b>0)
一个方程-=1(a>0,b>0)
而不是一支运动轨迹。
故称其为“双曲线标准方程”。
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双曲线标准方程的推导 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
双曲线标准方程的推导
把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线．其中这两个定点叫做双曲线的焦
点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距．即当动点设为M 时，双曲线即为点集P ={}122M MF MF a -=
分析：当│M F 1│>│M F 2│时，│M F 1│-│M F 2│=2a (M 在双曲线右支上)
当│M F 1│<│M F 2│时，│M F 1│-│M F 2│= -2a (M 在双曲线左支上)
设动点M 的坐标为（x,y ）
双曲线标准方程的推导：
当│M F 1│-│M F 2│=2a 时，有：
√(x +c)2+y 2-√(x −c)2+y 2=2a (移项)
√(x +c)2+y 2=2a+√(x −c)2+y 2 （两边平方）
(x +c)2+y 2=4a 2+4a √(x −c)2+y 2+(x −c)2+y 2 (展开)
x 2+2cx+c 2+y 2=4a 2+4a √(x −c)2+y 2+x 2-2cx+c 2+y 2(移项) x 2−x 2+2cx+2cx +c 2−c 2+y 2-y 2=4a 2+4a √(x −c)2+y 2（合并同类项）
4cx=4a 2+4a √(x −c)2+y 2（两边除以4）
cx=a 2+a √(x −c)2+y 2（移项）
cx-a 2=a√(x −c)2+y 2（两边平方）
c 2x 2-2a 2cx +a 4=a 2[(x −c)2+y 2](展开)
c2x2-2a2cx+a4=a2[x2-2 cx+c2+y2] (展开)
c2x2-2a2cx+a4=a2x2-2a2 cx+a2c2+a2y2（移项）
-2a2cx+2a2cx+c2x2-a2x2-a2y2=a2c2-a4（合并同类项）c2x2-a2x2-a2y2=a2c2-a4（按x,y顺序提取公因式）
（c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)（c2=a2+b2，等量代替）
?b2x2-a2y2=a2b2（两边除以a2b2）
x2 a -y
2
b
=1(a>0,b>0)
当│M F1│-│M F2│=-2a时，有：
√(x+c)2+y2-√(x−c)2+y2=-2a (移项)
√(x+c)2+y2=-2a+√(x−c)2+y2（两边平方）
(x+c)2+y2=4a2-4a√(x−c)2+y2+(x−c)2+y2 (展开)
x2+2cx+c2+y2=4a2-4a√(x−c)2+y2+x2-2cx+c2+y2(移项)
x2−x2+2cx+2cx +c2−c2+y2-y2=4a2-4a√(x−c)2+y2（合并同类项）
4cx=4a2-4a√(x−c)2+y2（两边除以4）
cx=a2-a√(x−c)2+y2（移项）
cx-a2=−a√(x−c)2+y2（两边平方）
c2x2-2a2cx+a4=a2[(x−c)2+y2](展开)
c2x2-2a2cx+a4=a2[x2-2 cx+c2+y2] (展开)
c2x2-2a2cx+a4=a2x2-2a2 cx+a2c2+a2y2（移项）
-2a2cx+2a2cx+c2x2-a2x2-a2y2=a2c2-a4（合并同类项）
c2x2-a2x2-a2y2=a2c2-a4（按x,y顺序提取公因式）
（c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)（c2=a2+b2，等量代替）?b2x2-a2y2=a2b2（两边除以a2b2）
x2 a -y
2
b
=1(a>0,b>0)
通过以上推导可知，一个方程x
2
a2
-y
2
b2
=1(a>0,b>0)涵盖了动点M
左右两支运动轨迹，而不是一支运动轨迹。
故称其为“双曲线标准方程”。