双曲线标准方程的推导
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双曲线标准方程的推导 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
双曲线标准方程的推导
把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线．其中这两个定点叫做双曲线的焦
点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距．即当动点设为M 时，双曲线即为点集P ={}122M MF MF a -=
分析：当│M F 1│>│M F 2│时，│M F 1│-│M F 2│=2a (M 在双曲线右支上)
当│M F 1│<│M F 2│时，│M F 1│-│M F 2│= -2a (M 在双曲线左支上)
设动点M 的坐标为（x,y ）
双曲线标准方程的推导：
当│M F 1│-│M F 2│=2a 时，有：
√(x +c)2+y 2-√(x −c)2+y 2=2a (移项)
√(x +c)2+y 2=2a+√(x −c)2+y 2 （两边平方）
(x +c)2+y 2=4a 2+4a √(x −c)2+y 2+(x −c)2+y 2 (展开)
x 2+2cx+c 2+y 2=4a 2+4a √(x −c)2+y 2+x 2-2cx+c 2+y 2(移项) x 2−x 2+2cx+2cx +c 2−c 2+y 2-y 2=4a 2+4a √(x −c)2+y 2（合并同类项）
4cx=4a 2+4a √(x −c)2+y 2（两边除以4）
cx=a 2+a √(x −c)2+y 2（移项）
cx-a 2=a√(x −c)2+y 2（两边平方）
c 2x 2-2a 2cx +a 4=a 2[(x −c)2+y 2](展开)
c2x2-2a2cx+a4=a2[x2-2 cx+c2+y2] (展开)
c2x2-2a2cx+a4=a2x2-2a2 cx+a2c2+a2y2（移项）
-2a2cx+2a2cx+c2x2-a2x2-a2y2=a2c2-a4（合并同类项）c2x2-a2x2-a2y2=a2c2-a4（按x,y顺序提取公因式）
（c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)（c2=a2+b2，等量代替）
?b2x2-a2y2=a2b2（两边除以a2b2）
x2 a -y
2
b
=1(a>0,b>0)
当│M F1│-│M F2│=-2a时，有：
√(x+c)2+y2-√(x−c)2+y2=-2a (移项)
√(x+c)2+y2=-2a+√(x−c)2+y2（两边平方）
(x+c)2+y2=4a2-4a√(x−c)2+y2+(x−c)2+y2 (展开)
x2+2cx+c2+y2=4a2-4a√(x−c)2+y2+x2-2cx+c2+y2(移项)
x2−x2+2cx+2cx +c2−c2+y2-y2=4a2-4a√(x−c)2+y2（合并同类项）
4cx=4a2-4a√(x−c)2+y2（两边除以4）
cx=a2-a√(x−c)2+y2（移项）
cx-a2=−a√(x−c)2+y2（两边平方）
c2x2-2a2cx+a4=a2[(x−c)2+y2](展开)
c2x2-2a2cx+a4=a2[x2-2 cx+c2+y2] (展开)
c2x2-2a2cx+a4=a2x2-2a2 cx+a2c2+a2y2（移项）
-2a2cx+2a2cx+c2x2-a2x2-a2y2=a2c2-a4（合并同类项）
c2x2-a2x2-a2y2=a2c2-a4（按x,y顺序提取公因式）
（c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)（c2=a2+b2，等量代替）?b2x2-a2y2=a2b2（两边除以a2b2）
x2 a -y
2
b
=1(a>0,b>0)
通过以上推导可知，一个方程x
2
a2
-y
2
b2
=1(a>0,b>0)涵盖了动点M
左右两支运动轨迹，而不是一支运动轨迹。故称其为“双曲线标准方程”。