全称量词命题与存在量词命题的否定(新版教材)

全称量词命题与存在量词命题的否定

基础知识

1．命题的否定

(1)定义：对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“¬p”，读作“非p”或“p的否定”．

(2)结论：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就应该是假命题；反之亦然．2．存在量词命题的否定

1．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是(C)

A．∀x∈R，|x|＋x2<0

B．∀x∈R，|x|＋x2≤0

C．∃x∈R，|x|＋x2<0

D．∃x∈R，|x|＋x2≥0

解析：命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”是全称量词命题，其否定为存在量词命题，所以命题的否定是∃x∈R，|x|＋x2<0.

2．“∃m，n∈Z，使得m2＝n2＋2 020”的否定是(C)

A．∀m，n∈Z，使得m2＝n2＋2 020

B．∃m，n∈Z，使得m2≠n2＋2 020

C．∀m，n∈Z，有m2≠n2＋2 020

D．以上都不对

解析：命题“∃m，n∈Z，使得m2＝n2＋2 020”是存在量词命题，其否定为全称量词命题，所以命题的否定是∀m，n∈Z，有m2≠n2＋2 020.

3．设命题p：∀x∈(－1,1)，|x|<1，则¬p为(B)

A．∃x∈(－1,1)，|x|<1B．∃x∈(－1,1)，|x|≥1

C．∀x∈(－1,1)，|x|≥1D．∀x∉(－1,1)，|x|≥1

解析：命题p是全称量词命题，其否定¬p为∃x∈(－1,1)，|x|≥1.

4．设命题p ：有些三角形是直角三角形，则¬p 为__任意三角形不是直角三角形__. 解析：命题p 是存在量词命题，¬p 为任意三角形不是直角三角形． 5．命题“∃x <1使得x 2≥1”是__真__命题．(选填“真”或“假”)

类型 存在量词命题的否定 ┃┃典例剖析__■

典例1 写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假． (1)p ：存在x ∈R,2x ＋1≥0； (2)q ：存在x ∈R ，x 2－x ＋1

4<0；

(3)r ：有些分数不是有理数．

思路探究：把存在量词改为全称量词，然后否定结论． 解析：(1)任意x ∈R,2x ＋1<0，为假命题． (2)任意x ∈R ，x 2－x ＋1

4

≥0.

因为x 2－x ＋14＝(x －1

2)2≥0，是真命题．

(3)一切分数都是有理数，是真命题． 归纳提升：1.存在量词命题否定的步骤

(1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．

(2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 2．存在量词命题否定的真假判断

存在量词命题的否定是全称量词命题，其真假性与存在量词命题相反；要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可． ┃┃对点训练__■

1．将本例(2)改为：q ：存在x ∈R ，x 2－x －1<0，写出它的否定，并判断真假． 解析：任意x ∈R ，x 2－x －1≥0.

因为x 2－x －1＝(x －12)2－5

4，所以不能判断其值大于等于零，为假命题．

类型 全称量词命题的否定 ┃┃典例剖析__■

典例2 写出下列全称量词命题的否定： (1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)∀a ∈R ，方程x 2＋ax ＋2＝0有实数根；

(3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；

(4)∀n∈N，n2≤2n.

思路探究：把全称量词改为存在量词，然后否定结论．

解析：(1)存在一个平行四边形，它的对边不都平行．

(2)∃a∈R，方程x2＋ax＋2＝0没有实数根．

(3)∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．

(4)∃n∈N，n2>2n.

归纳提升：1.全称量词命题否定的步骤

(1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．

(2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．

2．全称量词命题否定的真假判断方法

全称量词命题的否定是存在量词命题，其真假性与全称量词命题相反；要说明一个全称量词命题是假命题，只需举一个反例即可．

┃┃对点训练__■

2．写出下列全称量词命题的否定，并判断所得命题的真假：

(1)p：∀x∈{－2，－1,0,1,2}，|x－2|≥2；

(2)q：∀x∈R，x3＋1≠0；

(3)r：所有分数都是有理数．

解析：(1)¬p：∃x∈{－2，－1,0,1,2}，

|x－2|<2.例如当x＝2时，|x－2|＝0<2，¬p是真命题．

(2)¬q：∃x∈R，x3＋1＝0.

例如当x＝－1时，x3＋1＝0，所以¬q是真命题．

(3)¬r：存在一个分数不是有理数．由r是真命题可知¬r是假命题．

易混易错警示写命题的否定时忽略隐含的量词

┃┃典例剖析__■

典例3写出下列命题的否定：

(1)可以被5整除的数，末位数字是0；

(2)能被3整除的数，也能被4整除．

错因探究：本题易忽略命题中存在的隐含量词，如“可以被5整除的数”实际上含有全称量词“任何一个”，注意要在否定时改为“存在”．事实上，对于(1)，通常会错解为“可以被5整除的数，末位数字不是0”，而原命题为假命题，错解中命题的否定也是假命题，故此

命题的否定错误；(2)的易错点与(1)相仿，易错解为“能被3整除的数，不能被4整除”．解析：(1)省略了全称量词“任何一个”，命题的否定为：存在可以被5整除的数，末位数字不是0.

(2)省略了全称量词“所有”，命题的否定为：存在一个能被3整除的数，不能被4整除．误区警示：由于全称量词往往省略不写，因此在写这类命题的否定时，必须找出其中省略的全称量词，写成“∀x∈m，p(x)”的形式，再把它的否定写成“∃x∈M，¬p(x)”的形式．要学会挖掘命题中隐含的量词，注意把握每一个命题的实质，写出命题的否定后可以结合它们的真假性(一真一假)进行验证．

学科核心素养全称量词命题、存在量词命题为假命题时求参数问题

┃┃典例剖析__■

已知命题p为假命题求参数的值或取值范围时，通常等价转化为¬p是真命题后，再求参数的值或取值范围．

(1)存在量词命题为真命题求参数范围(值)的问题，常以一次函数、二次函数等为载体进行考查，一般在题目中会出现“恒成立”等词语．解决此类问题，可构造函数，利用数形结合法求参数范围(值)，也可用分离参数法求参数范围(值)．

(2)存在量词命题为真命题求参数范围(值)的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常是假设存在满足条件的参数，然后分离参数，并利用条件求参数范围(值)．

典例4已知命题p：“∃x∈R，x2－2x＋m≤0”是假命题，求实数m的取值范围．

思路探究：命题p的否定¬p一定为真命题，可以通过分离参数法，转化为不等式恒成立问题，通过求最值得出m的取值范围；也可以利用二次函数的图像和性质转化为Δ与0的关系，解不等式求解．

解析：方法一：¬p：∀x∈R，x2－2x＋m>0，是真命题，

即m>－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，x∈R恒成立，

设函数y＝－(x－1)2＋1，由二次函数的性质知，

当x＝1时，y最大值＝1，∴m>y最大值＝1，

即实数m的取值范围是(1，＋∞)．

方法二：¬p：∀x∈R，x2－2x＋m>0，是真命题，

设函数y＝x2－2x＋m，由二次函数的图像和性质知，

只需方程x2－2x＋m＝0的根的判别式Δ<0，即4－4m<0，得m>1，即实数m的取值范围是(1，＋∞)．