12_充分条件与必要条件

必要性(q ? p)
若 1 ? 1 ,则有：y ? x ? 0,即xy( y ? x) ? 0.
xy
xy
? x ? y ? y ? x ? 0? xy ? 0.
例2、已知ab ? 0,求证：a ? b ? 1的充要条件是 a3 ? b3 ? ab ? a2 ? b2 ? 0.
例3、求3x2 ? 10x ? k ? 0有两个同号且不相等 实根的充要条件.
判断下列命题是真命题还是假命题：
（1）若 x ? 1 ，则 x 2 ? 1 ；
真
（2）若 x 2 x? ?y12 ?，则x 2 x? ?1 y ；
假
（3）对角线互相垂直的四边形是菱形；
假
（4）若方程ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)有两个不等的实数解，
则b2 ? 4ac ? 0 ．
真
引申 ②从集合角度看
命题“若p则q”
已知A＝{x | x满足条件p}，B＝{x | x满足条件q} 1) A ? B,则p是q充分条件，q是p必要条件.
2) A ? B,则p是q充分不必要条件， q是p必要不充分条件 .
3) A ? B,则p是q的充要条件.
0 ? k ? 25 . 3
引申 ①从命题角度看
㈠若p则q是真命题,那么p是q的充分条件
q是p的必要条件.
㈡若p则q是真命题，若q则p为假命题,那么p是 q 的充分不必要条件，q是p必要不充分条件.
(三）若p则q，若q则p都是真命题,那么p是q的 充要条件 （四）若p则q，若q则p都是假命题,那么p是q的 既不充分也不必要条件，q是p既不充分也不必 要条件.
一个充分条件是（ D ）.
A.? ? ? ，? ?? ? l, m ? l B.? ?? ? m,? ? ? , ? ? ?
C.? ? ? , ? ? ? , m ? ?
D.n ? ? , n ? ? , m ? ?
例6、已知? 、? 为锐角，若p : sin ? ? sin(? ? ? ),
q :? ? ? ? ? ,则p是q的（ B ）.
则p是q的（ B ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
例4、设命题甲: 0 ? x ? 5, 命题乙 : x ? 2 ? 3,
那么甲是乙的（ A ）.
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也必要条件
例5、设? 、? 、?为平面， m、n、l为直线，则 m ? ? 的
例2、以“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“ 要条件”与”既不充分也不必要条件“中选出适当的一种 填空.
? x ? 0, y ? 尰是 xy ? 尰的（充分不必要条件）
2）a ? N 是 a ? Z 的 （充分不必要条件）
3）x2 ? 1 ? 尰是 x ? 1 ? 尰的 （必要不充分条件）
4）同旁内角互补 是 两直线平行 的（充要条件）
（5方）程若有ab a?x02，? 则bx a? c? ?0 0；(a ? 0) 两个不等的实数解假
? b2 ? 4ac ? 0
(6) 若两三角形全等 ，则两三角形面积相等； 真
两三角形全等 ? 两三角形面积相等
定义：
充分条件与必要条件：一般地，如果已知 p ? q ， 即命题“若p则q”为真命题，那么就说，p 是q 的充分条件，
? x ? 尵是 x ? 尳的
（必要不充分条件）
? a ? b 是 a ? c ? b ? c 的 （充要条件）
7）已知? ABC不是直角三角形，?? 是
an A ? tan B 的 （既不充分也不必要条件）
例3、已知? 、? 是不同的两个平面，直线a ? ? ,
直线a ? ? ,命题p : a与b无公共点； 命题q :? // ? ,
(1)p : a ? Q;q : a ? R. (2) p : x ? 2 ? 0;q : (x ? 3)(x ? 2) ? 0. (3)p : xy ? 0;q : x ? 0. (4) p :两个角相等;q : 两个角是对顶角. (5) p : x是4的倍数; q : x是6的倍数. (6) p :四边形的对角线平分且相等; q :四边形是平行四边形. (7) p :三角形的三条边相等;q : 三角形的三个角相等.
的充要条件是xy ? 0.
注意：分清p与q. p : xy ? 0 q : 1 ? 1
xy
证明：充分性 ( p ? q)
若xy
?
0,
则?? ?
x y
? ?
0 0
或?? ?
x y
? ?
0 0
? x ? y ? 当x ? 0, y ? 0时，有：1 ? 1 . xy
当x ? 0, y ? 0时，有：1 ? 1 . xy
1.2《充分条件与必要条件》
1、命题：可以判断真假的陈述句， 可写成：若p则q.
2、四种命题及相互关系：
原命题 若p则q
互逆 互否
互 否
否命题
为逆
为逆
互
否
若? p则 ? q 互 逆
逆命题 若q则p
互 否
逆否命题
若? 则q ? p
3、若命题“若 p则q”为真,记作p? q(或?q p).
4、如果Βιβλιοθήκη Baidu题“若 p则q”为假，则记作 p? q.
2
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
例7、若p是r 的充分不必要条件，r 是q的必要 条件，r 又是s的充要条件，q是s的必要条件. 则：
1）s是p的什么条件？ 必要不充分条件 2）r 是q的什么条件？ 充要条件
2.充要条件的证明
例1、已知x、y是非零实数，且x ? y,求证：1 ? 1 xy
q 是p 的必要条件．
x ? 1? x2 ? 1 x ? 1是x 2 ? 1的充分条件
x 2 ? 1是x ? 1的必要条件
两三角形全等 ? 两三角形面积相等
两三角形全等是两三角形面积相等的充分条件．
两三角形面积相等是两三角形全等的必要条件．
例1 ．指出下列各组命题中， p是q的什么条件， q 是p的什么条件 .
定义：对于命题“若p则q”
1.若p ? q,q ? p,则p是q的充分不必要条.件 是qp的必要不充分条. 件
2.若p ? q, q ? p,即p ? q, 则p是q充分必要条件， 简称充要条件 . 也说 p与q互为充要条件 .
3.若p ? q,q ? p,则p是q的既充分不必要条.件 是qp的既必要不充分条.件