人教版八年级数学上册-全册专题复习资料

学好数学的秘密1、学完多思考要想学好数学一定要多思考。

主要是指养成思考的习惯，学会思考的方法。

独立思考是学习数学必须具备的能力。

同学们在学习时，要边听课边想，边看书边想，边做题边想，通过自己积极思考，深刻理解数学知识，归纳总结数学规律，灵活解决数学问题，这样才能把老师讲的、课本上写的变成自己的知识。

2、多做练习题要想学好初中数学，必须多做练习，我们所说的“多做练习”，不是搞“题海战术”。

只做不思，不能起到巩固概念，拓宽思路的作用，而且有“副作用”：把已学过的知识搅得一塌糊涂，理不出头绪，浪费时间又收获不大，我们所说的“多做练习”，是要大家在做了一道新颖的题目之后，多想一想：它究竟用到了哪些知识，是否可以多解，其结论是否还可以加强、推广等等。

3、善于总结规律我们会发现在日常的数学学习中，很多同学是不是同一种类型的题目总是反复错，经常错?这种问题的出现，就是学生缺乏总结规律的习惯，一种类型的题目反复错，经常错，说明你还没有掌握做这种题目的规律，你不仅要做错题笔记，而且还需要将你错的这种类型的题目都拿出来总结归纳，要善于总结规律，将同种类型的题目多比对，多总结，总结出一种属于自己的解题思路和方法，然后再遇到这类问题时利用总结的规律和方法去解决。

类比归纳专题：与三角形的高、角平分线有关的计算模型模型1：求同一顶点的角平分线与高线的夹角的度数1．如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．(1)已知∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；(2)设∠B＝α，∠C＝β(α＜β)，请用含α，β的代数式表示∠DAE，并证明．模型2：求两内角平分线的夹角的度数 2．如图，△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O .若∠BOC ＝120°，则∠A ＝_____.3．如图，△ABC 中，点P 是∠ABC ，∠ACB 的平分线的交点． (1)若∠A ＝80°，求∠BPC 的度数．(2)有位同学在解答(1)后得出∠BPC ＝90°＋12∠A 的规律，你认为正确吗？请给出理由．模型3：求一内角平分线与一外角平分线的夹角的度数4．如图，在△ABC 中，BA 1平分∠ABC ，CA 1平分∠ACD ，BA 1，CA 1相交于点A 1. (1)求证：∠A 1＝12∠A ；(2)如图，继续作∠A 1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得∠A 2；作∠A 2BC 和∠A 2CD 的平分线交于点A 3，得∠A 3……依此得到∠A 2017，若∠A ＝α，则∠A 2017＝_____________.模型4：求两外角平分线的夹角的度数【方法5】5．(1)如图，BO平分△ABC的外角∠CBD，CO平分△ABC的外角∠BCE，则∠BOC 与∠A的关系为____________；(2)请就(1)中的结论进行证明．参考答案与解析1．解：(1)∵∠B ＝40°，∠C ＝60°，∴∠BAC ＝180°－∠B －∠C ＝180°－40°－60°＝80°.∵AE 是角平分线，∴∠BAE ＝12∠BAC ＝12×80°＝40°.∵AD 是高，∴∠BAD ＝90°－∠B＝90°－40°＝50°，∴∠DAE ＝∠BAD －∠BAE ＝50°－40°＝10°.(2)∠DAE ＝12(β－α)，证明如下：∵∠B ＝α，∠C ＝β(α＜β)，∴∠BAC ＝180°－(α＋β)．∵AE是角平分线，∴∠BAE ＝12∠BAC ＝90°－12(α＋β)．∵AD 是高，∴∠BAD ＝90°－∠B ＝90°－α，∴∠DAE ＝∠BAD －∠BAE ＝90°－α－⎣⎡⎦⎤90°－12（α＋β）＝12(β－α)． 2．60°3．解：(1)∵BP ，CP 为角平分线，∴∠PBC ＋∠PCB ＝12(∠ABC ＋∠ACB )＝12(180°－∠A )＝12×(180°－80°)＝50°，∴∠BPC ＝180°－(∠PBC ＋∠PCB )＝180°－50°＝130°. (2)正确，理由如下：∵BP ，CP 为角平分线，∴∠PBC ＋∠PCB ＝12(∠ABC ＋∠ACB )＝12(180°－∠A )＝90°－12∠A ，∴∠BPC ＝180°－(∠PBC ＋∠PCB )＝180°－⎝⎛⎭⎫90°－12∠A ＝90°＋12∠A . 4．(1)证明：∵CA 1平分∠ACD ，∴∠A 1CD ＝12∠ACD ＝12(∠A ＋∠ABC )．又∵∠A 1CD＝∠A 1＋∠A 1BC ，∴∠A 1＋∠A 1BC ＝12(∠A ＋∠ABC )．∵BA 1平分∠ABC ，∴∠A 1BC ＝12∠ABC ，∴12∠ABC ＋∠A 1＝12(∠A ＋∠ABC )，∴∠A 1＝12∠A .(2)α22017 5．(1)∠BOC ＝90°－12∠A(2)证明：如图，∵BO ，CO 分别是△ABC 的外角∠DBC ，∠ECB 的平分线，∴∠DBC ＝2∠1＝∠ACB ＋∠A ，∠ECB ＝2∠2＝∠ABC ＋∠A ，∴2∠1＋2∠2＝2∠A ＋∠ABC ＋∠ACB ＝∠A ＋180°，∴∠1＋∠2＝12∠A ＋90°.又∵∠1＋∠2＋∠BOC ＝180°，∴∠BOC ＝180°－(∠1＋∠2)＝90°－12∠A.易错专题：分式中常见的陷阱◆类型四 已知方程根的情况求参数的取值范围，应舍去公分母为0时参数的值8．(2016·齐齐哈尔中考)若关于x 的分式方程x x －2＝2－m2－x 的解为正数，则满足条件的正整数m 的值为（ ） A ．1，2，3 B ．1，2 C ．1，3 D ．2，39．已知关于x 的分式方程a －xx ＋1＝1的解为负数，求a 的取值范围．参考答案与解析1．C 2.B 3.34．解：原式＝x x ＋1·x ＋1x －2＝x x －2，当x ＝3时，原式＝33－2＝3(x 不能取－1和2)．5．解：原式＝x （x ＋1）（x －1）2÷2x －（x －1）x （x －1）＝x （x ＋1）（x －1）2·x （x －1）x ＋1＝x 2x －1.其中⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋1≠0，（x －1）x ≠0，x ＋1≠0，即x ≠－1，0，1.又∵－2<x ≤2且x 为整数，∴x ＝2.∴原式＝222－1＝4.6．D 解析：方程两边同乘x (x －3)，得x (2m ＋x )－x (x －3)＝2(x －3)，化简得(2m ＋1)x＝－6，解得x ＝－62m ＋1.由分式方程无解，得x ＝0或x ＝3或2m ＋1＝0.当x ＝0时，－62m ＋1＝0，解得m ＝－12；当x ＝3时，－62m ＋1＝3，解得m ＝－32；当2m ＋1＝0时，m ＝－12.故m 的值为－12或－32.故选D.7．解：去分母得ax －2a ＋x ＋1＝0，分两种情况讨论：①分式方程有增根，由x (x ＋1)＝0，得x ＝－1或0，当x ＝－1时，－a －2a －1＋1＝0，解得a ＝0；当x ＝0时，－2a ＋1＝0，解得a ＝12；②方程ax －2a ＋x ＋1＝0无解，即(a ＋1)x ＝2a －1无解，∴a ＋1＝0，a ＝－1.综上可知a ＝0或12或－1.8．C 解析：方程两边都乘以x －2，得x ＝2(x －2)＋m ，解得x ＝4－m .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x －2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－m ＞0，4－m －2≠0，解得m ＜4且m ≠2，∴满足条件的正整数m 的值为1和3.故选C. 9．解：由a －x x ＋1＝1，解得x ＝a －12.由题意得⎩⎨⎧a －12<0，a －12＋1≠0，∴a <1且a ≠－1.模型构建专题：共顶点的等腰三角形——明模型，悉结论◆类型一共直角顶点的等腰直角三角形1．如图，已知△ABC和△DBE均为等腰直角三角形．(1)求证：AD＝CE；(2)猜想：AD和CE是否垂直？若垂直，请说明理由；若不垂直，则只要写出结论，不用写理由．◆类型二共顶点的等边三角形2．如图①，等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE.(1)△DBC和△EAC会全等吗？请说明理由；(2)试说明AE∥BC的理由；(3)如图②，将(1)中动点D运动到边BA的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想．参考答案与解析1．(1)证明：∵△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠ABC－∠DBC＝∠DBE－∠DBC，即∠ABD＝∠CBE，∴△ABD≌△CBE(SAS)，∴AD＝CE.(2)解：垂直．理由如下：如图，延长AD 分别交BC 和CE 于G 和F .∵△ABD ≌△CBE ，∴∠BAD ＝∠BCE .∵∠BAD ＋∠ABC ＋∠BGA ＝∠BCE ＋∠AFC ＋∠CGF ＝180°，∠BGA ＝∠CGF ，∴∠AFC ＝∠ABC ＝90°，∴AD ⊥CE .2．解：(1)△DBC 和△EAC 全等．理由如下：∵△ABC 和△EDC 为等边三角形，∴BC ＝AC ，DC ＝EC ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACB －∠ACD ＝∠DCE －∠ACD ，即∠BCD ＝∠ACE ，∴△DBC ≌△EAC (SAS)．(2)∵△DBC ≌△EAC ，∴∠EAC ＝∠B ＝60°.又∵∠ACB ＝60°，∴∠EAC ＝∠ACB ，∴AE ∥BC .(3)仍有AE ∥BC .证明如下：∵△ABC ，△EDC 为等边三角形，∴BC ＝AC ，DC ＝CE ，∠BCA ＝∠DCE ＝60°，∴∠BCA ＋∠ACD ＝∠DCE ＋∠ACD ，即∠BCD ＝∠ACE .在△DBC 和△EAC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，CD ＝CE ，∴△DBC ≌△EAC (SAS)，∴∠EAC ＝∠B ＝60°.又∵∠ACB ＝60°，∴∠EAC ＝∠ACB ，∴AE ∥BC .解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法——形成精准思维模式，快速解题◆类型一 利用“三线合一”作辅助线 一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线)1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AE ⊥BE 于点E ，且BE ＝12BC ，若∠EAB ＝20°，则∠BAC ＝__________.2．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 边的中点，过点D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F .(1)求证：DE ＝DF ； (2)若∠A ＝90°，图中与DE 相等的有哪些线段(不说明理由)？3．如图，△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA＝EC，求证：EB⊥AB.二、构造等腰三角形4．如图，△ABC的面积为1cm2，AP垂直∠ABC的平分线BP于P，则△PBC的面积为( )A．0.4cm2B．0.5cm2C．0.6cm2D．0.7cm25．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD.求证：BD＝2CE.◆类型二巧用等腰直角三角形构造全等6．(2016·铜仁中考)如图，在△ABC中，AC＝BC ，∠C＝90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在AC，BC上，求证：DE＝DF.◆类型三等腰(边)三角形中截长补短或作平行线构造全等7．如图，已知AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于D，求证：BC＝AB＋CD.8．如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且P A＝CQ，连PQ交AC边于D.(1)求证：PD＝DQ；(2)若△ABC的边长为1，求DE的长．参考答案与解析1．40°2．(1)证明：如图，连接AD.∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠EAD＝∠F AD.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.(2)解：若∠BAC ＝90°，图中与DE 相等的有线段DF ，AE ，AF ，BE ，CF .3．证明：如图，作EF ⊥AC 于F .∵EA ＝EC ，∴AF ＝FC ＝12AC .∵AC ＝2AB ，∴AF ＝AB .∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD .又∵AE ＝AE ，∴△ABE ≌△AFE (SAS)，∴∠ABE ＝∠AFE ＝90°.∴EB ⊥AB .4．B5．证明：如图，延长BA 和CE 交于点M .∵CE ⊥BD ，∴∠BEC ＝∠BEM ＝90°.∵BD 平分∠ABC ，∴∠MBE ＝∠CBE .又∵BE ＝BE ，∴△BME ≌△BCE (ASA)，∴EM ＝EC ＝12MC .∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠BAC ＝∠MAC ＝90°，BA ＝AC ，∴∠ABD ＋∠BDA ＝90°.∵∠BEC ＝90°，∴∠ACM ＋∠CDE ＝90°.∵∠BDA ＝∠EDC ，∴∠ABE ＝∠ACM .又∵AB ＝AC ，∴△ABD ≌△ACM (ASA)，∴DB ＝MC ，∴BD ＝2CE .6．证明：如图，连接CD .∵AC ＝BC ，D 是AB 的中点，∴CD 平分∠ACB ，CD ⊥AB ，∴∠CDB ＝90°.∵∠ACB ＝90°，∴∠BCD ＝∠ACD ＝45°，∴∠B ＝180°－∠CDB －∠BCD ＝45°，∴∠ACD ＝∠B ＝∠BCD ，∴CD ＝BD .∵ED ⊥DF ，∴∠EDF ＝∠EDC ＋∠CDF ＝90°.又∵∠CDF ＋∠BDF ＝90°，∴∠EDC ＝∠BDF ，∴△ECD ≌△FBD (ASA)，∴DE ＝DF .7．证明：如图，在线段BC 上截取BE ＝BA ，连接DE .∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠EBD .又∵BD ＝BD ，∴△ABD ≌△EBD (SAS)，∴∠BED ＝∠A ＝108°，∴∠DEC ＝180°－∠DEB ＝72°.又∵AB ＝AC ，∠A ＝108°，∴∠ACB ＝∠ABC ＝12×(180°－108°)＝36°，∴∠CDE＝∠DEB －∠ACB ＝180°－36°＝72°，∴∠CDE ＝∠DEC ，∴CD ＝CE ，∴BC ＝BE ＋EC ＝AB ＋CD .8．(1)证明：如图，过P 作PF ∥BC 交AC 于点F ，∴∠AFP ＝∠ACB ，∠FPD ＝∠Q ，∠PFD ＝∠QCD .∵△ABC 为等边三角形，∴∠A ＝∠ACB ＝60°，∠AFP ＝60°，∴△APF 是等边三角形，∴AP ＝PF .∵AP ＝CQ ，∴PF ＝CQ ，∴△PFD ≌△QCD (ASA)，∴PD ＝DQ .(2)解：∵△APF 是等边三角形，PE ⊥AC ，∴AE ＝EF .∵△PFD ≌△QCD ，∴CD ＝DF ，∴DE ＝EF ＋DF ＝12AC .又∵AC ＝1，∴DE ＝12.解题技巧专题：乘法公式的灵活运用——计算技巧多，先观察，再计算，事半功倍◆类型一 利用乘法公式进行简便运算1．计算102×98的结果是（ ） A ．9995 B ．9896 C ．9996 D ．99972．计算20152－2014×2016的结果是（ ）A ．－2B ．－1C ．0D ．1 3．计算：(1)512＝____________； (2)298×302＝____________. 4．运用公式简便计算：(1)4013×3923； (2)100022522－2482.5．阅读下列材料：某同学在计算3(4＋1)(42＋1)时，把3写成4－1后，发现可以连续运用平方差公式计算：3(4＋1)(42＋1)＝(4－1)(4＋1)(42＋1)＝(42－1)(42＋1)＝162－1.请借鉴该同学的经验，计算下面式子的值：⎝⎛⎭⎫1＋12⎝⎛⎭⎫1＋122⎝⎛⎭⎫1＋124⎝⎛⎭⎫1＋128＋1215.◆类型二 利用乘法公式的变式求值 6．若a －b ＝12，且a 2－b 2＝14，则a ＋b的值为（ ）A ．－12 B.12C ．1D ．27．若a －b ＝1，ab ＝2，则(a ＋b )2的值为（ ）A ．－9B ．9C ．±9D ．38．已知x ＋1x ＝5，那么x 2＋1x 2的值为（ ）A ．10B ．23C ．25D ．279．若m ＋n ＝1，则代数式m 2－n 2＋2n 的值为1.10．(2016·巴中中考)若a ＋b ＝3，ab ＝2，则(a －b )2＝__________.11．阅读：已知a ＋b ＝－4，ab ＝3，求a 2＋b 2的值．解：∵a ＋b ＝－4，ab ＝3，∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝(－4)2－2×3＝10.请你根据上述解题思路解答下面问题： (1)已知a －b ＝－3，ab ＝－2，求(a ＋b )(a 2－b 2)的值；(2)已知a －c －b ＝－10，(a －b )c ＝－12，求(a －b )2＋c 2的值．参考答案与解析1．C 2.D3．(1)2601 (2)899964．解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫40＋13⎝⎛⎭⎫40－13＝402－⎝⎛⎭⎫132＝159989； (2)原式＝10002（250＋2）2－（250－2）2＝100022502＋2×250×2＋22－（2502－2×250×2＋22）＝100022000＝500. 5．解：⎝⎛⎭⎫1＋12⎝⎛⎭⎫1＋122⎝⎛⎭⎫1＋124⎝⎛⎭⎫1＋128＋1215＝2×⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1＋12⎝⎛⎭⎫1＋122⎝⎛⎭⎫1＋124⎝⎛⎭⎫1＋128＋1215＝2×⎝⎛⎭⎫1－1216＋1215＝2－1215＋1215＝2. 6．B 7.B 8.B 9.1 10.111．解：(1)∵a －b ＝－3，ab ＝－2，∴(a ＋b )(a 2－b 2)＝(a ＋b )2(a －b )＝[(a －b )2＋4ab ](a －b )＝[(－3)2＋4×(－2)]×(－3)＝－3.(2)∵a －c －b ＝－10，(a －b )c ＝－12，∴(a －b )2＋c 2＝[(a －b )－c ]2＋2(a －b )c ＝(－10)2＋2×(－12)＝76.解题技巧专题：分式运算中的技巧——观特点，定顺序，灵活计算◆类型一 按常规步骤运算1．计算1x －1x －y 的结果是( )A ．－yx （x －y ） B .2x ＋y x （x －y ）C .2x －y x （x －y ）D .y x （x －y ）2．化简m m ＋3＋6m 2－9÷2m －3的结果是________．3．(2015－2016·祁阳县校级期中)先化简，再求值：2a ＋1a 2－1·a 2－2a ＋1a 2－a －1a ＋1，其中a ＝－12.◆类型二 先约分再化简4．化简：a 2－1a 2＋2a ＋1÷a 2－aa ＋1＝________．5．化简求值：(a －3)·9－a 2a 2－6a ＋9＝________，当a ＝－3时，该代数式的值为________．6．先化简，再求值：x 2－2x ＋1x 2－1÷⎝⎛⎭⎫1－3x ＋1，其中x ＝0.◆类型三 混合运算中灵活运用分配律7．计算⎝ ⎛⎭⎪⎫2x x 2－1＋x －1x ＋1÷1x 2－1的结果是( )A .1x 2＋1B .1x 2－1C ．x 2＋1D ．x 2－18．化简：⎝⎛⎭⎫2a －1－1a ＋1·(a 2－1)＝________．9．先化简，再求值：12x －1x ＋y ·⎝⎛⎭⎫x 2－y 2＋x ＋y 2x ，其中x ＝2，y ＝3.◆类型四 分式化简求值注意整体代入10．若xy －x ＋y ＝0且xy ≠0，则分式1x －1y的值为( )A .1xyB ．xyC ．1D ．－1 11．已知：a 2－3a ＋1＝0，则a ＋1a －2的值为( )A .5＋1B ．1C ．－1D ．－512．先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －x －2x ＋1÷2x 2－x x 2＋2x ＋1，其中x 满足x 2－x －1＝0.参考答案与解析1．A 2.13．解：原式＝2a ＋1（a ＋1）（a －1）·（a －1）2a （a －1）－1a ＋1＝2a ＋1a （a ＋1）－1a ＋1＝a ＋1a （a ＋1）＝1a .当a ＝－12时，原式＝－2.4.1a5.－a －3 0 6．解：原式＝x －1x ＋1÷x －2x ＋1＝x －1x －2.当x ＝0时，原式＝12.7．C 8.a ＋39．解：原式＝12x －x 2－y 2x ＋y －12x ＝－x ＋y .当x ＝2，y ＝3时，原式＝1.10．D 11.B12．解：原式＝x 2－1－x 2＋2x x （x ＋1）·（x ＋1）2x （2x －1）＝x ＋1x 2.∵x 2－x －1＝0，∴x 2＝x ＋1，∴原式＝1.解题技巧专题：利用全等解决问题的模型与技巧——明模型，先观察，再猜想，后证明◆类型一全等三角形的基本模型1．如图，AC＝AD，BC＝BD，∠A＝50°，∠B＝90°，则∠C＝________.第1题图第2题图2．如图，锐角△ABC的高AD，BE相交于F，若BF＝AC，BC＝7，CD＝2，则AF的长为_________.3．如图，点A，D ，C，E在同一条直线上，AB∥EF，AB＝EF，∠B＝∠F，AE＝10，AC＝6，则CD的长为（）A．2 B．4 C ．4.5 D．34．如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E在同一直线上，连接BD交AC于点F.(1)求证：△BAD≌△CAE；(2)猜想BD，CE有何特殊位置关系，并说明理由．◆类型二证明线段间的等量关系一、等线段代换5．如图，Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直线l为经过点A的任一直线，BD⊥l于D，CE⊥l于E，若BD＞CE，试问：(1)AD与CE的大小关系如何？请说明理由；(2)线段BD，DE，CE之间的数量关系如何？请说明理由．二、截长补短法6．如图，在四边形ABDE中，C是BD边的中点，若AC平分∠BAE，∠ACE＝90°，猜想线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系，并证明．三、倍长中线法7．在△ABC中，AB＝8，AC＝6，则BC边上的中线AD的取值范围是（）A．6＜AD＜8B．2＜AD＜14C．1＜AD＜7D．无法确定参考答案与解析1．110° 2.3 3.A4．(1)证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，即∠BAD ＝∠CAE.在△BAD和△CAE中，∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE(SAS)．(2)解：BD⊥CE.理由如下：由(1)可知△BAD≌△CAE，∴∠ABD＝∠ACE.∵∠BAC＝90°，∴∠ABD＋∠AFB＝90°.又∵∠AFB＝∠DFC，∴∠ACE＋∠DFC＝90°，∴∠BDC＝90°，即BD⊥CE.5．解：(1)AD＝CE.理由如下：∵BD⊥l于D，CE⊥l于E，∴∠BDA＝∠AEC＝90°，∴∠CAE＋∠ACE＝90°.∵∠BAC＝∠90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∴∠BAD＝∠ACE.又∵AB＝AC，∴△ABD≌△CAE(AAS)，∴AD＝CE.(2)BD＝DE＋CE.理由如下：由(1)可知△ABD≌△CAE，∴BD＝AE，AD＝CE.又∵AE ＝DE＋AD，∴BD＝DE＋CE.6．解：AE＝AB＋DE.证明如下：如图，在AE上截取AF＝AB，并连接CF.∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠CAF.又∵AC＝AC，∴△BAC≌△F AC(SAS)，∴BC＝FC，∠ACB＝∠ACF.∵∠ACE＝90°，∴∠ACF＋∠FCE＝90°，∠ACB＋∠DCE＝90°，∴∠FCE＝∠DCE.又∵C为BD的中点，∴BC＝DC，∴DC＝FC.又∵CE＝CE，∴△FCE≌△DCE (SAS)，∴DE ＝FE，∴AE＝AF＋FE＝AB＋DE.7．C类比归纳专题：三角形中内、外角的有关计算——全方位求角度◆类型一已知角的关系，直接利用内角和或结合方程思想1．在△ABC中，∠A－∠B＝35°，∠C ＝55°，则∠B等于()A．50°B．55°C．45°D．40°2．在△ABC中，已知∠A＝2∠B＝3∠C，则△ABC是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．形状无法确定3．如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC ＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．4．如图，△ABC中，∠B＝26°，∠C ＝70°，AD平分∠BAC，AE⊥BC于E，EF⊥AD于F，求∠DEF的度数．◆类型二综合内外角的性质5．如图，BD、CD分别平分∠ABC和∠ACE，∠A＝60°，则∠D的度数是() A．20°B．30°C．40°D．60°第5题图第6题图6．如图，∠B＝20°，∠A＝∠C＝40°，则∠CDE的度数为________．7．如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA.(1)求证：∠EAC＝∠B ；(2)若∠B＝50°，∠CAD∶∠E＝1∶3，求∠E的度数．◆类型三在三角板或直尺中求角度8．(2015－2016·瑶海区期末)将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是()A．120°B．105°C．90°D．75°9．将两个含30°和45°的直角三角板如图放置，则∠α的度数是()A．10°B．15°C．20°D．25°10．一副三角板如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是________．11．如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝55°，则∠2的度数为________．◆类型四与平行线结合12．(2015·南充中考)如图，已知B、C、E在同一直线上，且CD∥AB，若∠A＝75°，∠B＝40°，则∠ACE的度数为()A．35°B．40°C．115°D．145°13．如图，AB∥CD，直线PQ分别交AB、CD于点F、E，EG是∠DEF的平分线，交AB于点G.若∠PF A＝40°，那么∠EGB 等于()A．80°B．100°C．110°D．120°14．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E，∠A＝45°，∠BDC ＝60°，则∠BDE＝________．15．如图，在△ABC中，点D在BC上，点E在AC上，AD交BE于F.已知EG∥AD 交BC于G，EH⊥BE交BC于H，∠HEG ＝55°.(1)求∠BFD的度数；(2)若∠BAD＝∠EBC，∠C＝44°，求∠BAC的度数．◆类型五与截取或折叠相关16．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，则∠A 与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是()A．∠A＝∠1－∠2B．2∠A＝∠1－∠2C．3∠A＝2∠1－∠2D．3∠A＝2(∠1－∠2)17．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A ＝52°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB＝________．第17题图第18题图18．在△ABC中，∠B＝70°，若沿图中虚线剪去∠B，则∠1＋∠2等于________．19．如图．(1)将△ABC纸片沿DE折叠成图①，此时点A落在四边形BCDE内部，则∠A与∠1、∠2之间有一种数量关系保持不变，请找出这种数量关系并说明理由．(2)若折成图②或图③，即点A落在BE 或CD上时，分别写出∠A与∠2、∠A与∠1之间的关系式(不必证明)；(3)若折成图④，写出∠A与∠1、∠2之间的关系式(不必证明)．参考答案与解析1．C 2.C3．解：设∠A ＝x ，则∠C ＝∠ABC ＝2x .根据三角形内角和为180°知∠C ＋∠ABC ＋∠A ＝180°，即2x ＋2x ＋x ＝180°，∴x ＝36°，∴∠C ＝2x ＝72°.在Rt △BDC 中，∠DBC ＝90°－∠C ＝90°－72°＝18°.方法点拨：三角形中给出的条件含比例且不易直接求出时，一般需要设未知数，根据三角形的内角和列方程求解．4．解：∵△ABC 中，∠B ＝26°，∠C ＝70°，∴∠BAC ＝180°－∠B －∠C ＝180°－26°－70°＝84°.∵AD 平分∠BAC ，∴∠DAC ＝12∠BAC ＝12×84°＝42°.在△ACE 中，∠CAE ＝90°－∠C ＝90°－70°＝20°，∴∠DAE ＝∠DAC －∠CAE ＝42°－20°＝22°.∵∠DEF ＋∠AEF ＝∠AEF ＋∠DAE ＝90°，∴∠DEF ＝∠DAE ＝22°.5．B 6.80°7．(1)证明：∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD .又∵∠EAD ＝∠EDA ，∴∠EAC ＝∠EAD －∠CAD ＝∠EDA －∠BAD ＝∠B ；(2)解：设∠CAD ＝x °，则∠E ＝3x °.由(1)知∠EAC ＝∠B ＝50°，∴∠EAD ＝∠EDA ＝(x ＋50)°.在△EAD 中，∵∠E ＋∠EAD ＋∠EDA ＝180°，∴3x °＋2(x ＋50)°＝180°，解得x ＝16.∴∠E ＝48°.8．B 9.B 10.75° 11.35° 12.C 13.C 14.15° 15．解：(1)∵EH ⊥BE ，∴∠BEH ＝90°.∵∠HEG ＝55°，∴∠BEG ＝∠BEH －∠HEG ＝35°.又∵EG ∥AD ，∴∠BFD ＝∠BEG ＝35°；(2)∵∠BFD ＝∠BAD ＋∠ABE ，∠BAD ＝∠EBC ，∴∠BFD ＝∠EBC ＋∠ABE ＝∠ABC .由(1)可知∠BFD ＝35°，∴∠ABC ＝35°.∵∠C ＝44°，∴∠BAC ＝180°－∠ABC －∠C ＝180°－35°－44°＝101°.16．B17.14°18.250°19．解：(1)延长BE、CD，交于点P，则△BCP即为折叠前的三角形．由折叠的性质知∠DAE＝∠DPE.连接AP.由三角形的外角性质知∠1＝∠EAP＋∠EP A，∠2＝∠DAP＋∠DP A，则∠1＋∠2＝∠DAE＋∠DPE＝2∠DAE，即∠1＋∠2＝2∠A；(2)图②中，∠2＝2∠A；图③中，∠1＝2∠A；(3)图④中，∠2－∠1＝2∠A.解题技巧专题：选择合适的方法因式分解——学会选择最优方法6．阅读与思考：将式子x2－x－6分解因式．这个式子的常数项－6＝2×(－3)，一次项系数－1＝2＋(－3)，这个过程可用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如图所示，这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法”．请同学们认真观察，分析理解后，解答下列问题：(1)分解因式：x2＋7x－18；【方法22】(2)填空：若x2＋px－8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是__________________7．阅读：分解因式x2＋2x－3.解：原式＝x2＋2x＋1－1－3＝(x2＋2x ＋1)－4＝(x＋1)2－4＝(x＋1＋2)(x＋1－2)＝(x＋3)(x－1)．上述因式分解的方法可以称之为配方法．请体会配方法的特点，然后用配方法分解因式：(1)x2－4x＋3; (2)4x2＋12x－7.参考答案与解析1．C2．解：(1)原式＝x2y(3xy2－y2＋2x2)；(2)原式＝(x＋y)2·[2－(x＋y)]＝(x＋y)2·(2－x－y)．3．A4．解：(1)原式＝－2a(a2－6a＋9)＝－2a(a－3)2；(2)原式＝(x2＋1＋2x)(x2＋1－2x)＝(x＋1)2(x－1)2.5．解：(1)x2－(y＋1)2(x＋y＋1)(x－y －1)(2)原式＝(a2－2ab＋b2)－(ac－bc)＝(a －b)2－c(a－b)＝(a－b)(a－b－c)．6．解：(1)原式＝(x＋9)(x－2)．(2)7，－7，2，－2解析：若x2＋px －8可分解为两个一次因式的积，则整数p 的所有可能值分别是－8＋1＝－7；－1＋8＝7；－2＋4＝2；－4＋2＝－2.7．解：(1)原式＝x2－4x＋4－4＋3＝(x2－4x＋4)－1＝(x－2)2－1＝(x－2＋1)(x－2－1)＝(x－1)(x－3)；(2)原式＝4x2＋12x＋9－9－7＝(4x2＋12x＋9)－16＝(2x＋3)2－16＝(2x＋3＋4)(2x ＋3－4)＝(2x＋7)(2x－1)．类比归纳专题：证明线段相等的基本思路——理条件、定思路，几何证明也容易◆类型一已知“边的关系”或“边角关系”用全等1．如图，已知AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E，AF⊥CD，F为垂足，求证：(1)AC＝AD；(2)CF＝DF.2．如图，∠C＝90°，BC＝AC，D、E 分别在BC和AC上，且BD＝CE，M是AB 的中点．求证：△MDE是等腰三角形．◆类型二已知角度关系或线与线之间的位置关系用“等角对等边”3．如图，在△ABC中，CE、CF分别平分∠ACB和△ACB的外角∠ACG，EF ∥BC交AC于点D，求证：DE＝DF.4．(2015－2016·孝南区期末)如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠BAC的平分线AD交BC于D，过C作CN⊥AD交AD 于H，交AB于N.(1)求证：AN＝AC；(2)试判断BN与CD的数量关系，并说明理由．◆类型三已知角平分线、垂直或垂直平分用相应的性质5．如图，△ABC中，∠CAB的平分线与BC的垂直平分线DG相交于D，过点D 作DE⊥AB，DF⊥AC，求证：BE＝CF.6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD 是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC 上，BD＝DF.求证：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB.参考答案与解析1．证明：(1)在△ABC 和△AED 中，AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BC ＝ED ，∴△ABC ≌△AED ，∴AC ＝AD ；(2)在Rt △ACF 和Rt △ADF 中，AC ＝AD ，AF ＝AF ，∴△ACF ≌△ADF ，∴CF ＝DF . 2．证明：连接CM ，则BM ＝CM ，且CM ⊥MB ，∴∠B ＝∠MCE ＝45°，∴BM ＝AM ＝CM .在△MBD 和△MCE 中，BM ＝CM ，∠B ＝∠MCE ，BD ＝CE ，∴△MBD ≌△MCE ，∴DM ＝EM ，∴△MDE 是等腰三角形．3．证明：∵CE 是△ABC 的角平分线，∴∠ACE ＝∠BCE .∵CF 为△ABC 外角∠ACG 的平分线，∴∠ACF ＝∠GCF .∵EF ∥BC ，∴∠GCF ＝∠F ，∠BCE ＝∠CEF .∴∠ACE ＝∠CEF ，∠F ＝∠DCF ，∴CD ＝ED ，CD ＝DF ，∴DE ＝DF .4．(1)证明：∵CN ⊥AD ，∴∠AHN ＝∠AHC ＝90°.又∵AD 平分∠BAC ，∴∠NAH ＝∠CAH .又∵在△ANH 和△ACH 中，∠AHN ＋∠NAH ＋∠ANH ＝180°，∠AHC ＋∠CAH ＋∠ACH ＝180°∴∠ANH ＝∠ACH ，∴AN ＝AC ；(2)解：BN ＝CD .理由如下：连接ND .在△AND 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AN ＝AC ，∠NAD ＝CAD ，AD ＝AD ，∴△AND ≌△ACD (SAS)，∴DN ＝DC ，∠AND ＝∠ACD .又∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠AND ＝2∠B .又∵△BND 中，∠AND ＝∠B ＋∠NDB ，∴∠B ＝∠NDB ，∴NB ＝ND ，∴BN ＝CD .5．证明：连接BD 、CD .∵AD 是∠F AE 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF .∵DG 是BC 的垂直平分线，∴BD ＝CD .∴Rt △CDF ≌Rt △BDE .∴BE ＝CF .6．证明：(1)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴DE ＝DC .又∵BD ＝DF ，∴Rt △CFD ≌Rt △EBD (HL)．∴CF ＝EB ；(2)在Rt △ADC 和Rt △ADE 中，AD ＝AD ，DC ＝DE ，∴Rt △ADC ≌Rt △ADE ，∴AC ＝AE ，∴AB ＝AE ＋BE ＝AC ＋EB ＝AF ＋CF ＋EB ＝AF ＋2EB .难点探究专题：动态变化中的三角形全等——以“静”制“动”，不离其宗◆类型一动点变化1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝3，PQ＝AB，点P与点Q分别在AC 和AC的垂线AD上移动，则当AP＝_________时，△ABC和△APQ全等．2．如图，△ABC中，AB＝AC＝12cm，∠B＝∠C，BC＝8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v cm/s，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为____________【提示：三角形中有两个角相等，则这两个角所对的边相等】．3．(2016·达州中考)△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC(∠ABC＝∠ACB＝45°)，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF.【方法11】(1)观察猜想：如图①，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为_______；②线段BC，CD，CF之间的数量关系为___________ (将结论直接写在横线上)．(2)数学思考：如图②，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．◆类型二图形变换4．如图甲，已知A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，且AB＝CD，连接BD.(1)试问OE＝OF吗？请说明理由；(2)若△DEC沿AC方向平移到如图乙的位置，其余条件不变，上述结论是否仍成立？请说明理由．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，F分别在AB，AC上，CF＝CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF.(1)求证：△BCD≌△FCE；(2)若EF∥CD，求∠BDC的度数．参考答案与解析1．3或6 解析：∵△ABC 和△APQ 全等，AB ＝PQ ，∴有△ABC ≌△QP A 或△ABC ≌△PQA .当△ABC ≌△QP A 时，则有AP ＝BC ＝3；当△ABC ≌△PQA 时，则有AP ＝AC ＝6，∴当AP ＝3或6时，△ABC 和△APQ 全等，故答案为3或6.2．2或3 解析：当BD ＝PC 时，△BPD 与△CQP 全等．∵点D 为AB 的中点，∴BD ＝12AB ＝6cm ，∴PC ＝6cm ，∴BP ＝8－6＝2(cm)．∵点P 在线段BC 上以2cm/s 的速度由B 点向C 点运动，∴运动时间为1s.∵△DBP ≌△PCQ ，∴CQ ＝BP ＝2cm ，∴v ＝2÷1＝2(cm/s); 当BD ＝CQ 时，△BDP ≌△QCP .∴PB ＝PQ ，∠B ＝∠CQP .又∵∠B ＝∠C ，∴∠C ＝∠CQP ，∴PQ ＝PC ，∴PB ＝PC .∵BD ＝6cm ，BC ＝8cm ，PB ＝PC ，∴QC ＝6cm ，∴BP ＝4cm ，∴运动时间为4÷2＝2(s)，∴v ＝6÷2＝3(cm/s)，故答案为2或3.3．解：(1)①垂直 ②BC ＝CD ＋CF(2)CF ⊥BC 成立；BC ＝CD ＋CF 不成立，正确结论：CD ＝CF ＋BC .证明如下： ∵正方形ADEF 中，AD ＝AF ，∠DAF ＝∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF .在△DAB 与△F AC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AF ，∠BAD ＝∠CAF ，AB ＝AC ，∴△DAB ≌△F AC (SAS)，∴∠ABD ＝∠ACF ，DB＝CF .∵∠ACB ＝∠ABC ＝45°，∴∠ABD ＝180°－45°＝135°，∴∠BCF ＝∠ACF －∠ACB ＝∠ABD －∠ACB ＝90°，∴CF ⊥BC .∵CD ＝DB ＋BC ，DB ＝CF ，∴CD ＝CF ＋BC .4．解：(1)OE ＝OF .理由如下：∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∴∠DEC ＝∠BF A ＝90°.∵AE ＝CF ，∴AE ＋EF ＝CF ＋EF ，即AF ＝CE .在Rt △ABF 和Rt △CDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，AF ＝CE ，∴Rt △ABF ≌Rt △CDE (HL)，∴BF ＝DE .在△BFO 和△DEO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BFO ＝∠DEO ，∠BOF ＝∠DOE ，BF ＝DE ，∴△BFO ≌△DEO (AAS)，∴OE ＝OF .(2)结论依然成立．理由如下：∵AE ＝CF ，∴AE －EF ＝CF －EF ，∴AF ＝CE .同(1)可得△BFO ≌△DEO ，∴FO ＝EO ，即结论依然成立．5．(1)证明：∵将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE ，∴CD ＝CE ，∠DCE ＝90°.∵∠ACB ＝90°，∴∠BCD ＝90°－∠ACD ＝∠FCE .在△BCD 和△FCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧CB ＝CF ，∠BCD ＝∠FCE ，CD ＝CE ，∴△BCD ≌△FCE (SAS)．(2)解：由(1)可知∠DCE ＝90°，△BCD ≌△FCE ，∴∠BDC ＝∠E .∵EF ∥CD ，∴∠E ＝180°－∠DCE ＝90°，∴∠BDC ＝90°.易错易混专题：等腰三角形中易漏解或多解的问题——易错归纳，各个击破◆类型一 求长度时忽略三边关系 1．(2016·贺州中考)一个等腰三角形的两边长分别是4，8，则它的周长为（ ） A ．12 B ．16 C ．20 D ．16或20 2．学习了三角形的有关内容后，张老师请同学们交流这样一个问题：“已知一个等腰三角形的周长是12，其中一条边长为3，求另两条边的长”．同学们经过片刻思考和交流后，小明同学举手说：“另两条边长为3、6或4.5、4.5.”你认为小明的回答是否正确：_____，理由是_____________________．3．已知等腰三角形中，一腰上的中线将三角形的周长分成6cm 和10cm 两部分，求这个三角形的腰长和底边的长．◆类型二当腰或底不明求角度时没有分类讨论4.已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（）A．100°B．40°C．40°或100°D．60°5．等腰三角形的一个外角等于100°，则与这个外角不相邻的两个内角的度数分别为（）A．40°，40°B．80°，20°C．80°，80°D．50°，50°或80°，20°6．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为_____.◆类型三三角形的形状不明时没有分类讨论7．等腰三角形的一个角是50°，则它一腰上的高与底边的夹角是（）A．25°B．40°C．25°或40°D．不能确定8．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到的锐角为50°，则∠B等于_____.9．如果两个等腰三角形的腰长相等、面积也相等，那么我们把这两个等腰三角形称为一对合同三角形．已知一对合同三角形的底角分别为x°和y°，则_________(用含x 的代数式表示)．10．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，求顶角的度数．◆类型四一边确定，另两边不确定，求等腰三角形个数时漏解11．(2016·武汉中考)平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．812．如图，在4×5的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标为A，B，请在此点阵图中找一个阵点C，使得以点A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的C点有_____个．参考答案与解析1．C2．不正确 没考虑三角形三边关系 3．解：设腰长为x cm ，①腰长与腰长的一半是6cm 时，x ＋12x ＝6，解得x ＝4，∴底边长＝10－12×4＝8(cm)．∵4＋4＝8，∴4cm 、4cm 、8cm 不能组成三角形；②腰长与腰长的一半是10cm 时，x ＋12x ＝10，解得x ＝203，∴底边长＝6－12×203＝83(cm)，∴三角形的三边长为203cm 、203cm 、83cm ，能组成三角形．综上所述，三角形的腰长为203cm ，底边长为83cm.4．C 5.D 6．120°或20° 7.C 8.70°或20°9．x 或90－x 解析：∵两个等腰三角形的腰长相等、面积也相等，∴腰上的高相等．①当这两个三角形都是锐角或钝角三角形时，y ＝x ，②当两个三角形一个是锐角三角形，一个是钝角三角形时，y ＝90－x .故答案为x 或90－x .10．解：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在其外部．如图①所示，得顶角∠ACB ＝∠D ＋∠DAC ＝90°＋20°＝110°；当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，如图②所示，故顶角∠A ＝90°－∠ABD ＝90°－20°＝70°.综上所述，顶角的度数为110°或70°.11．A 12.5。