小波变换的直观解释

小波变换的若干直观解释唐常杰川大计算机学院说明：１假定听者已经听说过或阅读过小波，但觉得缺乏直观感觉，本PPT的直观解释仅仅为了辅助理解，不能取代严格的描述和证明２仅仅是讲稿草案，还不成熟，待修改小波简史（与石油勘探中人工地震技术相关）n由法国石油信号处理的工程师J.Morlet在1974提出n通过物理直观和信号处理实际需要的建立反演公式，未得认可。

n1807年法国的热学工程师J.B.J.Fourier提出任一函数都能展开成三角函数的无穷级数的创新概念未能得到著名数学家grange，place以及A.M.Legendre的认可n七十年代，A.Calderon表示定理的发现、Hardy空间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上的准备n J.O.Stromberg还构造了历史上非常类似于现在的小波基；1986年小波简史n比利时女数学家I.Daubechies撰写的《小波十讲（Ten Lectures on Wavelets）》推动小波普及n它与Fourier变换、窗口Fourier变换（Gabor变换）相比，这是一个时间和频率的局域变换，n通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（MultiscaleAnalysis），n解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题n被誉为“数学显微镜”小波特点与应用n压缩比高，速度快n压缩后能保持信号与图象的特征不变n传递中可以抗干扰。

n基于小波分析的压缩方法：小波包最好基方法，小波域纹理模型方法，小波变换零树压缩，小波变换向量压缩等。

n小波在信号分析中的应用n边界的处理与滤波、时频分析、信噪分离与提取弱信号、求分形指数、信号的识别与诊断以及多尺度边缘检测。

n工程应用。

n包括计算机视觉、计算机图形学、曲线设计、湍流、远程宇宙的研究与生物医学启示与哲理复杂由简单构成。

宇宙基本法则实数域内有意义的曲线都可以分解为若干个正弦曲线的叠加。

傅立叶变换与分形的原理同源。

大自然只”懂”自然数。

自然对象的比较，都是整数倍的。

分数是人类思维的抽象结果。

H要分析一个较小的对象，要用比它更小的尺子。

否则“测不准”。

H尺子不一定要求平直，可用鸡蛋或米粒作尺子度量包装箱W大小例如W=3*鸡蛋+1024*米粒, 是可以理解和交流的，客观的。

H用紫外光波可以量度比紫外光波长尺寸大的对象。

H用一组尺度小的小波作尺子，可以度量比它大的波形H使用有限宽度基函数进行变换的方法。

这些基函数在频率上，在位置上变化，H这些有限宽度的波被称为“小波”（Wavelet）H相应变换被称为“小波变换”（Wavelet transforms）n 向量内积n 对于R n 上的两个向量X=(x 1,x 2,…,x n ) 和Y=(y 1,y 2,…,y n )，其Euclidean内积为：n |X|.|Y|Cos(β)复习：向量内积å==nj jj y x YX 1,复习：向量内积的多种直观解释n1.相关系数, β= 0, 90, 180n2.加权, x1+x2+…+x n=1 , <X,Y>是Y的分量的加权平均n 3.度量相似性和投影大小，n v=2i+０j+4K, 用坐标向量k作尺子去度量它，４，说明与k比较相似，用坐标向量j作尺子去度量,为０，完全不像j。

n正交坐标基底上分解向量特别简单，n向量表达为基底向量的线性组合n即在坐标基上各分量的组合复习：函数看作向量，作内积nL 2空间n对于a ≤t ≤b ，空间L 2([a,b])表示所有平方可积的函数组成的空间，nL 2内积n空间L 2([a,b])表上的L 2内积定义为]),([,)()(,22b a L g f dt t g t f gf baLÎ=ò；{}ò¥<®=b adt t f C b a f b a L 22|)(|;],[:]),([Fourier 级数(0aa f(x)k kk+=åò-=p ppkx x f b k)sin()(21ò-=p pp dx x f a )(210ò-=p pp dx kx x f a k )cos()(21其中：n•f 在第k 维上量上的偶函数分量坐标基底的单位性和正交性ò-ïîïíì==³==p pp 其它00211)cos()cos(1k n k n dx kx nx ò-îíì==ppp 其01)sin()sin(1n dx kx nx ò-=ppp)sin()cos(1dx kx nx n理解波与倍频波正交n例如SIn(x) 和Ｓin（2x）正交：黑板上画图，n Sin(x) 正的部分sin(2x)加权成为正负相抵的两部分n所以构建小波正交基时喜欢倍频和２^k倍频n音乐：低音C0：130.5, 中音C1,261, 高音C2：522 倍频，….n8度，中间12个半音，成为等比级数，公比为2(1/12)n高低合唱时，频率相差2K 倍，唱的人并不觉得难，不干扰，因为正交。

n唱和声时，两个声部不是倍频，不正交，唱低音部的觉得比较难，会受到差频的影响Fourier 级数应用（变换处理的思想见下页）)60sin(3.0)3cos(2)sin(t t t f(x)++=（1）滤除噪声变换--去掉高频项—再变回去)3cos(2)sin(t t f(x)+=（2）数据压缩变换--去掉小系数项—再变回去))sin cos (0(kx b (kx)aa f(x)k k k ++=å对于给定的域值，去掉小于域值的a k 和b k ，然后进行合成和还原用空间变换处理对象运算的思想log(xy)= log(x)+ log(y) 积像像和1-1射积像像和：保持一定性质。

1-1射：还可以变回去。

像空间中比源空间更易处理，变X / 为＋—,倒车镜（拓扑变换）相邻关系保持,拉氏变换，变微积分为乘除科幻小说中，坐时光机器倒流若干年，杀敌人的祖辈。

前提：变换保持父子关系，母子关系，敌我关系等等有些变换忽略了不需要的，突出了需要的，处理后再变回去。

Fourier 级数应用局限性（1）基底：周期性的正弦和余弦函数。

适合于处理近似周期性的波动信号。

（2）无限区间上用，对于具有显著局域性且在有限区间持续周期较短的波动信号，难于处理。

傅氏级数的系数公式n 把积分分区间变成（-∞，+∞），得到傅立叶变换见下页ò-=ppp dx kx x f b k )sin()(21ò-=p p p dx x f a )(210ò-=p p p dx kx x f a k)cos()(21傅立叶变换（是傅氏级数的极限）·傅立叶变换Fourier Transformdt e t f F t j ò+¥¥--=w w )()(主信号函数•加权，保证远处变小，收敛源空间：振幅随时间变化的波傅立叶变换的缺点傅立叶变换的缺点Gabor ’：短时傅立叶变换Short Time Fourier Transform 信号在观察窗口内. 这一思想启发的尺子不一定要求平直，作尺子的波，不一定要求是正弦波：度量包装箱W 大小例如W=3*鸡蛋+1024*米粒,例如唐山地震= a*海城地震+ b*邢台地震一般用小的对象去度量大的对象，引入小波ò--=''2'')]()([),(dt e t t g t x f t STFT ft j x pFourier àGaborà小波 wavelets 特点 ：一小 二波 三速降（只影响本地不影响远处）·远处为０ 或接近０ 中间类似sin（x） 一个周期， 变方了注意， １ 它与它的平移正交，你 不为０时，我为０（远处 近０ 的妙用）Haarwavelet２它与它的倍频波正交。

如sin(x)和sin(2x)，前面讲 过小波变换直观解释CS_Dept.Sichaun Univ.21/70小波基底n Harr方波及其适当的平移和一切倍频波构成正交基底。

{ei} n 任一函数 f ，可在此基底上 线性分解， nf=∑ ai ei 注意每个ei 有不同的频率（尺度），或用ei 作尺子去度量fn 表示 f中含 ai 个 ei 分量 n ai =f . ei 内积结果为ain 由于小波 速降性 ，远地的小波基 影响小， n 较大的分量中 主要是本地的频率成分 ，用阈值去掉系数小的８０%分量，反变回来，，小失真压缩n 比喻1：小波变换直观解释CS_Dept.Sichaun Univ.22/70小波基底 比喻 （不严格， 不太准确，有助于理解）n 比喻1： n 音乐合成：波 表，不是 用纯正弦波， 而是用各种 乐器的发音段 作 基向量(类似Ascii表 ， 用编码代替字符 图像 ) Cx= 3*（提 琴C）+2*（ 钢琴C), 传递Cx到有波表的地方， 可以恢复发音， 很紧凑。

n 比喻2：若干不同尺度（ ２^k倍）的涌泉口，在水池中平移，分布，造出一池波，反过来，给定水面波，要找出涌泉 口，并确定其加权系数，就是小波分解。

（类似于地震与海啸）小波变换直观解释CS_Dept.Sichaun Univ.23/70比喻 仅为辅助理解，不能代替数学推理,C.tangn 下雨，雨滴激起 一池波，相当于 雨滴激波（是小波）的合 n n nn成波 反过来由池面波 要找雨滴 位置和大小（加权系数），接近 连续小波分解。

扔几个石头激起一池波，反过来由池面波 要找石头位置和 大小（加权系数），接近离散小波分解 这样，把扔石头看成原因，池面波 看成结果。

调整石头位 置和大小，就可以对池面波 进行（小失真）压缩，分析， 分解等等。

基底的选择是主观的，在给定的基底上的分解 依赖于对小 波基底的选择 （类似于坐标 平移，旋转后 看到的椭圆方程 不同），CS_Dept.Sichaun Univ.小波变换直观解释24/70Gaboar 小波的实部和虚部n Sheikholeslami, hatterjee, and Zhang (VLDB’98)Gaboar 小波的实部和虚部小波变换直观解释CS_Dept.Sichaun Univ.25/70小波变换 wavelet transform? 要点 ·把函数分解成为 互为正交的 小波基函数 的线性组合 ·各小波基函数 有不同的分辨率（间接制约 频率） ·小波基函数 是同 一个母函数 克隆出来，再平移shifts、伸 缩 . (scaling)得到的 ·平移的作用， · （１）为以当地为中心的一小段对象函数服务， · （２）为了基底的正交，你为０时，我不为０。