2020年中考数学小题专项训练(21)
2020年中考数学一轮专项复习——尺规作图 中考真题汇编(含详细解答)
2020年中考数学一轮专项复习——尺规作图中考真题汇编一．选择题1．如图，点C在∠AOB的边OA上，用尺规作出了CP∥OB，作图痕迹中，是（）A．以点C为圆心、OD的长为半径的弧B．以点C为圆心、DM的长为半径的弧C．以点E为圆心、DM的长为半径的弧D．以点E为圆心、OD的长为半径的弧2．如图，∠MAN＝60°，点B为AM上一点，以点A为圆心、任意长为半径画弧，交AM于点E，交AN于点D．再分别以点D，E为圆心、大于DE的长为半径画弧，两弧交于点F．作射线AF，在AF上取点G，连接BG，过点G作GC⊥AN，垂足为点C．若AG＝6，则BG的长可能为（）A．1 B．2 C．D．23．（2019•鄂尔多斯）如图，在▱ABCD中，∠BDC＝47°42′，依据尺规作图的痕迹，计算α的度数是（）A．67°29′B．67°9′C．66°29′D．66°9′4．（2019•贵阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E．若AE＝2，BE＝1，则EC的长度是（）A．2 B．3 C．D．5．（2019•包头）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于DE为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若BG＝1，AC＝4，则△ACG的面积是（）A．1 B．C．2 D．6．（2019•北京）已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；（3）连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN．则∠AOB＝20°C．MN∥CD D．MN＝3CD7．（2019•广西）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为（）A．40°B．45°C．50°D．60°8．（2019•新疆）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．则下列说法中不正确的是（）A．BP是∠ABC的平分线B．AD＝BDC．S△CBD：S△ABD＝1：3 D．CD＝BD9．（2019•深圳）如图，已知AB＝AC，AB＝5，BC＝3，以A，B两点为圆心，大于AB 的长为半径画圆弧，两弧相交于点M，N，连接MN与AC相交于点D，则△BDC的周长为（）A．8 B．10 C．11 D．13 10．（2019•荆州）如图，矩形ABCD的顶点A，B，C分别落在∠MON的边OM，ON 上，若OA＝OC，要求只用无刻度的直尺作∠MON的平分线．小明的作法如下：连接AC，BD交于点E，作射线OE，则射线OE平分∠MON．有以下几条几何性质：①矩形的四个角都是直角，②矩形的对角线互相平分，③等腰三角形的“三线合一”．小明的作法依据是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③11．（2019•宜昌）通过如下尺规作图，能确定点D是BC边中点的是（）A．B．C．D．12．（2019•安顺）如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE．则下列说法错误的是（）A．∠ABC＝60°B．S△ABE＝2S△ADEC．若AB＝4，则BE＝4D．sin∠CBE＝13．（2019•河北）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（）A．B．C．D．14．（2019•烟台）已知∠AOB＝60°，以O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA，OB于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于MN的长度为半径作弧，两弧在∠AOB 内交于点P，以OP为边作∠POC＝15°，则∠BOC的度数为（）A．15°B．45°C．15°或30°D．15°或45°15．（2019•长沙）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是（）A．20°B．30°C．45°D．60°16．（2019•潍坊）如图，已知∠AOB．按照以下步骤作图：①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交∠AOB的两边于C，D两点，连接CD．②分别以点C，D为圆心，以大于线段OC的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点E，连接CE，DE．③连接OE交CD于点M．下列结论中错误的是（）A．∠CEO＝∠DEO B．CM＝MDC．∠OCD＝∠ECD D．S四边形OCED＝CD•OE 17．（2019•东营）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于D、E两点，作直线DE交AB于点F，交BC于点G，连结CF．若AC＝3，CG＝2，则CF的长为（）A．B．3 C．2 D．二．填空题18．（2019•葫芦岛）如图，BD是▱ABCD的对角线，按以下步骤作图：①分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；②作直线EF，分别交AD，BC于点M，N，连接BM，DN．若BD＝8，MN＝6，则▱ABCD的边BC上的高为．19．（2019•宁夏）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．若∠A＝30°，则＝．20．（2019•本溪）如图，BD是矩形ABCD的对角线，在BA和BD上分别截取BE，BF，使BE＝BF；分别以E，F为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧在∠ABD内交于点G，作射线BG交AD于点P，若AP＝3，则点P到BD的距离为．21．（2019•成都）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AO，AB于点M，N；②以点O为圆心，以AM长为半径作弧，交OC于点M'；③以点M'为圆心，以MN长为半径作弧，在∠COB内部交前面的弧于点N'；④过点N'作射线ON'交BC于点E．若AB＝8，则线段OE的长为．22．（2018•益阳）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3．按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线AE；④以同样的方法作射线BF．AE交BF于点O，连接OC，则OC＝．23．（2018•抚顺）如图，▱ABCD中，AB＝7，BC＝3，连接AC，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交CD于点E，连接AE，则△AED的周长是．24．（2018•荆州）已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线．作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；③画射线OC．射线OC即为所求．上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是．25．（2018•葫芦岛）如图，OP平分∠MON，A是边OM上一点，以点A为圆心、大于点A到ON的距离为半径作弧，交ON于点B、C，再分别以点B、C为圆心，大于BC 的长为半径作弧，两弧交于点D、作直线AD分别交OP、ON于点E、F．若∠MON＝60°，EF＝1，则OA＝．26．（2018•山西）如图，直线MN∥PQ，直线AB分别与MN，PQ相交于点A，B．小宇同学利用尺规按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AN于点C，交AB于点D；②分别以C，D为圆心，以大于CD长为半径作弧，两弧在∠NAB内交于点E；③作射线AE交PQ于点F．若AB＝2，∠ABP＝60°，则线段AF的长为．三．解答题27．（2019•徐州）【阅读理解】用10cm×20cm的矩形瓷砖，可拼得一些长度不同但宽度均为20cm的图案．已知长度为10cm、20cm、30cm的所有图案如下：【尝试操作】如图，将小方格的边长看作10cm，请在方格纸中画出长度为40cm的所有图案．【归纳发现】观察以上结果，探究图案个数与图案长度之间的关系，将下表补充完整．28．（2019•长春）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．（1）在图①中以线段AB为边画一个△ABM，使其面积为6．（2）在图②中以线段CD为边画一个△CDN，使其面积为6．（3）在图③中以线段EF为边画一个四边形EFGH，使其面积为9，且∠EFG＝90°．29．（2019•绥化）按要求解答下列各题：（1）如图①，求作一点P，使点P到∠ABC的两边的距离相等，且在△ABC的边AC 上．（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；（2）如图②，B、C表示两个港口，港口C在港口B的正东方向上．海上有一小岛A 在港口B的北偏东60°方向上，且在港口C的北偏西45°方向上．测得AB＝40海里，求小岛A与港口C之间的距离．（结果可保留根号）30．（2019•柳州）已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′，使得∠A′O′B′＝∠AOB．作法：①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；②画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；③以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D′；④过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．根据上面的作法，完成以下问题：（1）使用直尺和圆规，作出∠A′O′B′（请保留作图痕迹）．（2）完成下面证明∠A′O′B′＝∠AOB的过程（注：括号里填写推理的依据）．证明：由作法可知O′C′＝OC，O′D′＝OD，D′C′＝，∴△C′O′D′≌△COD（）∴∠A′O′B′＝∠AOB．（）31．（2019•孝感）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，一同学利用直尺和圆规完成如下操作：①以点C为圆心，以CB为半径画弧，交AB于点G；分别以点G、B为圆心，以大于GB的长为半径画弧，两弧交点K，作射线CK；②以点B为圆心，以适当的长为半径画弧，交BC于点M，交AB的延长线于点N；分别以点M、N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作直线BP交AC 的延长线于点D，交射线CK于点E．请你观察图形，根据操作结果解答下列问题；（1）线段CD与CE的大小关系是；（2）过点D作DF⊥AB交AB的延长线于点F，若AC＝12，BC＝5，求tan∠DBF的值．32．（2019•武汉）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形ABCD的顶点在格点上，点E是边DC与网格线的交点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．（1）如图1，过点A画线段AF，使AF∥DC，且AF＝DC．（2）如图1，在边AB上画一点G，使∠AGD＝∠BGC．（3）如图2，过点E画线段EM，使EM∥AB，且EM＝AB．33．（2019•攀枝花）（1）如图1，有一个残缺圆，请作出残缺圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）．（2）如图2，设AB是该残缺圆⊙O的直径，C是圆上一点，∠CAB的角平分线AD交⊙O于点D，过D作⊙O的切线交AC的延长线于点E．①求证：AE⊥DE；②若DE＝3，AC＝2，求残缺圆的半圆面积．34．（2019•温州）如图，在7×5的方格纸ABCD中，请按要求画图，且所画格点三角形与格点四边形的顶点均不与点A，B，C，D重合．（1）在图1中画一个格点△EFG，使点E，F，G分别落在边AB，BC，CD上，且∠EFG ＝90°．（2）在图2中画一个格点四边形MNPQ，使点M，N，P，Q分别落在边AB，BC，CD，DA上，且MP＝NQ．35．（2019•无锡）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．（1）如图1，A为⊙O上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出⊙O的内接正方形；（2）我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点．请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图．①如图2，在▱ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F．②如图3，在由小正方形组成的4×3的网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH．参考答案一．选择题1．解：由作图可知作图步骤为：①以点O为圆心，任意长为半径画弧DM，分别交OA，OB于M，D．②以点C为圆心，以OM为半径画弧EN，交OA于E．③以点E为圆心，以DM为半径画弧FG，交弧EN于N．④过点N作射线CP．根据同位角相等两直线平行，可得CP∥OB．故选：C．2．解：由作法得AG平分∠MON，∴∠NAG＝∠MAG＝30°，∵GC⊥AN，∴∠ACG＝90°，∴GC＝AG＝×6＝3，∵AG平分∠MAN，∴G点到AM的距离为3，∴BG≥3．故选：D．3．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC＝47°42′，由作法得EF垂直平分BD，BE平分∠ABD，∴EF⊥BD，∠ABE＝∠DBE＝∠ABD＝23°51′，∵∠BEF+∠EBD＝90°，∴∠BEF＝90°﹣23°51°＝66°9′，∴α的度数是66°9′．故选：D．4．解：由作法得CE⊥AB，则∠AEC＝90°，AC＝AB＝BE+AE＝2+1＝3，在Rt△ACE中，CE＝＝．故选：D．5．解：由作法得AG平分∠BAC，∴G点到AC的距离等于BG的长，即G点到AC的距离为1，所以△ACG的面积＝×4×1＝2．故选：C．6．解：由作图知CM＝CD＝DN，∴∠COM＝∠COD，故A选项正确；∵OM＝ON＝MN，∴△OMN是等边三角形，∴∠MON＝60°，∵CM＝CD＝DN，∴∠MOA＝∠AOB＝∠BON＝∠MON＝20°，故B选项正确；设∠MOA＝∠AOB＝∠BON＝α，则∠OCD＝∠OCM＝，∴∠MCD＝180°﹣α，又∵∠CMN＝∠CON＝α，∴∠MCD+∠CMN＝180°，∴MN∥CD，故C选项正确；∵MC+CD+DN＞MN，且CM＝CD＝DN，∴3CD＞MN，故D选项错误；故选：D．7．解：由作法得CG⊥AB，∵AC＝BC，∴CG平分∠ACB，∠A＝∠B，∵∠ACB＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠BCG＝∠ACB＝50°．故选：C．8．解：由作法得BD平分∠ABC，所以A选项的结论正确；∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∴∠ABD＝30°＝∠A，∴AD＝BD，所以B选项的结论正确；∵∠CBD＝∠ABC＝30°，∴BD＝2CD，所以D选项的结论正确；∴AD＝2CD，∴S△ABD＝2S△CBD，所以C选项的结论错误．故选：C．9．解：由作法得MN垂直平分AB，∴DA＝DB，∴△BDC的周长＝DB+DC+BC＝DA+DC+BC＝AC+BC＝5+3＝8．故选：A．10．解：∵四边形ABCD为矩形，∴AE＝CE，而OA＝OC，∴OE为∠AOC的平分线．故选：C．11．解：作线段BC的垂直平分线可得线段BC的中点．由此可知：选项A符合条件，故选：A．12．解：由作法得AE垂直平分CD，即CE＝DE，AE⊥CD，∵四边形ABCD为菱形，∴AD＝CD＝2DE，AB∥DE，在Rt△ADE中，cos D＝＝，∴∠D＝60°，∴∠ABC＝60°，所以A选项的结论正确；∵S△ABE＝AB•AE，S△ADE＝DE•AE，而AB＝2DE，∴S△ABE＝2S△ADE，所以B选项的结论正确；若AB＝4，则DE＝2，∴AE＝2，在Rt△ABE中，BE＝＝2，所以C选项的结论错误；作EH⊥BC交BC的延长线于H，如图，设AB＝4a，则CE＝2a，BC＝4a，BE＝2a，在△CHE中，∠ECH＝∠D＝60°，∴CH＝a，EH＝a，∴sin∠CBE＝＝＝，所以D选项的结论正确．故选：C．13．解：三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心．故选：C．14．解：（1）以O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA，OB于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于MN的长度为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P，则OP为∠AOB的平分线，（2）两弧在∠AOB内交于点P，以OP为边作∠POC＝15°，则为作∠POB或∠POA 的角平分线，则∠BOC＝15°或45°，故选：D．15．解：在△ABC中，∵∠B＝30°，∠C＝90°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，由作图可知MN为AB的中垂线，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝30°，∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝30°，故选：B．16．解：由作图步骤可得：OE是∠AOB的角平分线，∴∠CEO＝∠DEO，CM＝MD，S四边形OCED＝CD•OE，但不能得出∠OCD＝∠ECD，故选：C．17．解：由作法得GF垂直平分BC，∴FB＝FC，CG＝BG＝2，FG⊥BC，∵∠ACB＝90°，∴FG∥AC，∴BF＝CF，∴CF为斜边AB上的中线，∵AB＝＝5，∴CF＝AB＝．故选：A．二．填空题（共9小题）18．解：由作法得MN垂直平分BD，∴MB＝MD，NB＝ND，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠MDB＝∠NBD，而MB＝MD，∴∠MBD＝∠MDB，∴∠MBD＝∠NBD，而BD⊥MN，∴△BMN为等腰三角形，∴BM＝BN＝ND＝MD，∴四边形BMDN为菱形，∴BN＝＝5，设▱ABCD的边BC上的高为h，∵MN•BD＝2BN•h，∴h＝＝，即▱ABCD的边BC上的高为．故答案为．19．解：由作法得BD平分∠ABC，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∴DA＝DB，在Rt△BCD中，BD＝2CD，∴AD＝2CD，∴＝．故答案为．20．解：结合作图的过程知：BP平分∠ABD，∵∠A＝90°，AP＝3，∴点P到BD的距离等于AP的长，为3，故答案为：3．21．解：由作法得∠COE＝∠OAB，∵四边形ABCD为平行四边形，∴OC＝OA，∴CE＝BE，∴OE为△ABC的中位线，∴OE＝AB＝×8＝4．故答案为4．22．解：过点O作OD⊥BC，OG⊥AC，垂足分别为：D，G，由题意可得：O是△ACB的内心，∵AB＝5，AC＝4，BC＝3，∴BC2+AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90°，∴四边形OGCD是正方形，∴DO＝OG＝＝1，∴CO＝．故答案为：．23．解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝7，BC＝3，∴AD＝BC＝3，CD＝AB＝7．∵由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，∴AE＝CE，∴△ADE的周长＝AD+（DE+AE）＝AD+CD＝3+7＝10．故答案为：10．24．解：由作法①知，OM＝ON，由作法②知，CM＝CN，∵OC＝OC，∴△OCM≌△OCN（SSS），故答案为：SSS．25．解：由作法得AD⊥ON于F，∴∠AOF＝90°，∵OP平分∠MON，∴∠EOF＝∠MON＝×60°＝30°，在Rt△OEF中，OF＝EF＝，在Rt△AOF中，∠AOF＝60°，∴OA＝2OF＝2．故答案为2．26．解：∵MN∥PQ，∴∠NAB＝∠ABP＝60°，由题意得：AF平分∠NAB，∴∠1＝∠2＝30°，∵∠ABP＝∠1+∠3，∴∠3＝30°，∴∠1＝∠3＝30°，∴AB＝BF，AG＝GF，∵AB＝2，∴BG＝AB＝1，∴AG＝，∴AF＝2AG＝2，故答案为：2．三．解答题（共9小题）27．解：如图根据作图可知40cm时，所有图案个数5个50cm时，所有图案个数8个；60cm时，所有图案个数13个；故答案为5，8，13；28．解：（1）如图①所示，△ABM即为所求；（2）如图②所示，△CDN即为所求；（3）如图③所示，四边形EFGH即为所求；29．解：（1）如图，点P即为所求．（2）作AD⊥BC于D．在Rt△ABD中，∵AB＝40海里，∠ABD＝30°，∴AD＝AB＝20（海里），∵∠ACD＝45°，∴AC＝AD＝20（海里）．答：小岛A与港口C之间的距离为20海里．30．解：（1）如图所示，∠A′O′B′即为所求；（2）证明：由作法可知O′C′＝OC，O′D′＝OD，D′C′＝DC，∴△C′O′D′≌△COD（SSS）∴∠A′O′B′＝∠AOB．（全等三角形的对应角相等）故答案为：DC，SSS，全等三角形的对应角相等．31．解：（1）CD＝CE，由作图知CE⊥AB，BD平分∠CBF，∴∠1＝∠2＝∠3，∵∠CEB+∠3＝∠2+∠CDE＝90°，∴∠CEB＝∠CDE，∴CD＝CE，故答案为：CD＝CE；（2）∵BD平分∠CBF，BC⊥CD，BF⊥DF，∴BC＝BF，∠CBD＝∠FBD，在△BCD和△BFD中，∵，∴△BCD≌△BFD（AAS），∴CD＝DF，设CD＝DF＝x，在Rt△ACB中，AB＝＝13，∴sin∠DAF＝＝，即＝，解得x＝，∵BC＝BF＝5，∴tan∠DBF＝＝×＝．32．解：（1）如图所示，线段AF即为所求；（2）如图所示，点G即为所求；（3）如图所示，线段EM即为所求．33．（1）解：如图1：点O即为所求．（2）①证明：如图2中，连接OD交BC于F．∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠DAB，∴＝，∴OD⊥BC，∴CF＝BF，∠CFD＝90°，∵DE是切线，∴DE⊥OD，∴∠EDF＝90°，∵AB是直径，∴∠ACB＝∠BCE＝90°，∴四边形DECF是矩形，∴∠E＝90°，∴AE⊥DE．②∵四边形DECF是矩形，∴DE＝CF＝BF＝3，在Rt△ACB中，AB＝＝2，∴残缺圆的半圆面积＝•π•（）2＝5π．34．解：（1）满足条件的△EFG，如图1，2所示．（2）满足条件的四边形MNPQ如图所示．35．解：（1）如图1，连结AO并延长交圆O于点C，作AC的中垂线交圆于点B，D，四边形ABCD即为所求．（2）①如图2，连结AC，BD交于点O，连结EB交AC于点G，连结DG并延长交CB于点F，F即为所求②如图3所示，AH即为所求．。
2020年全国中考数学试题精选分类(10)——圆(含解析)
2020年全国中考数学试题精选分类（10）——圆一．选择题（共21小题）1．（2020•日照）如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB⊥CD于点E，若CD＝6，AE＝9，则阴影部分的面积为（）A．6π﹣B．12π﹣9C．3π﹣D．92．（2020•阜新）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转i个45°，得到正六边形OA i B i∁i D i E i，则正六边形OA i B i∁i D i E i（i＝2020）的顶点∁i的坐标是（）A．（1，﹣）B．（1，）C．（1，﹣2）D．（2，1）3．（2020•阜新）如图，AB为⊙O的直径，C，D是圆周上的两点，若∠ABC＝38°，则锐角∠BDC的度数为（）A．57°B．52°C．38°D．26°4．（2020•西藏）如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上的一点，OD⊥AC，垂足为D，延长OD与半圆O 交于点E．若AB＝8，∠CAB＝30°，则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣B．π﹣2C．π﹣D．π﹣25．（2020•盘锦）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E为线段OB上的一点，OE：EB＝1：，连接DE并延长交CB的延长线于点F，连接OF交⊙O于点G，若BF＝2，则的长是（）A．B．C．D．6．（2020•德阳）半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a7．（2020•鞍山）如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为2cm，若BC＝2cm，则∠A的度数为（）A．30°B．25°C．15°D．10°8．（2020•赤峰）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O．若OA＝3，则△ABC外接圆的面积为（）A．3πB．4πC．6πD．9π9．（2020•赤峰）如图，⊙A经过平面直角坐标系的原点O，交x轴于点B（﹣4，0），交y轴于点C（0，3），点D为第二象限内圆上一点．则∠CDO的正弦值是（）A．B．﹣C．D．10．（2020•雅安）如图，△ABC内接于圆，∠ACB＝90°，过点C的切线交AB的延长线于点P，∠P＝28°．则∠CAB＝（）A．62°B．31°C．28°D．56°11．（2020•眉山）如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，BC＝CD，∠DAC＝35°，∠ACD＝45°，则∠ADB 的度数为（）A．55°B．60°C．65°D．70°12．（2020•沈阳）如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，以点A为圆心，AD长为半径画弧交边BC 于点E，连接AE，则的长为（）A．B．πC．D．13．（2020•镇江）如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB等于（）A．10°B．14°C．16°D．26°14．（2020•南通）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），则这个几何体的侧面积为（）A．48πcm2B．24πcm2C．12πcm2D．9πcm215．（2020•永州）如图，已知P A，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：①P A＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．416．（2020•宁夏）如图，等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝，以点C为圆心画弧与斜边AB相切于点D，交AC于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是（）A．1﹣B．C．2﹣D．1+17．（2020•吉林）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝108°，则∠D的大小为（）A．54°B．62°C．72°D．82°18．（2020•海南）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD＝36°，则∠ABD等于（）A．54°B．56°C．64°D．66°19．（2020•云南）如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE （阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（）A．B．1 C．D．20．（2020•广州）往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（）A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm21．（2020•毕节市）如图，已知点C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，弧CD的长为π，则图中阴影部分的面积为（）A．πB．πC．πD．π+二．填空题（共12小题）22．（2020•锦州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝30°，AC＝6，则的长为．23．（2020•朝阳）如图，点A，B，C是⊙O上的点，连接AB，AC，BC，且∠ACB＝15°，过点O作OD ∥AB交⊙O于点D，连接AD，BD，已知⊙O半径为2，则图中阴影面积为．24．（2020•眉山）如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的切线P A、PB，点A、B为切点，连接AO并延长交PB的延长线于点C，过点C作CD⊥PO，交PO的延长线于点D．已知P A＝6，AC＝8，则CD 的长为．25．（2020•河池）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E都在⊙O上，∠1＝55°，则∠2＝°．26．（2020•黄石）匈牙利著名数学家爱尔特希（P．Erdos，1913﹣1996）曾提出：在平面内有n个点，其中每三个点都能构成等腰三角形，人们将具有这样性质的n个点构成的点集称为爱尔特希点集．如图，是由五个点A、B、C、D、O构成的爱尔特希点集（它们为正五边形的任意四个顶点及正五边形的中心构成），则∠ADO的度数是．27．（2020•长春）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，以点C为圆心，线段CA的长为半径作，交CB的延长线于点D，则阴影部分的面积为（结果保留π）．28．（2020•宿迁）用半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为．29．（2020•鄂尔多斯）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠BCD＝30°，CD＝2，则阴影部分面积S阴影＝．30．（2020•邵阳）如图①是山东舰徽的构图，采用航母45度破浪而出的角度，展现山东舰作为中国首艘国产舰母横空出世的气势，将舰徽中第一条波浪抽象成几何图形，则是一条长为10π的弧，若该弧所在的扇形是高为12的圆锥侧面展开图（如图②），则该圆锥的母线长AB为．31．（2020•宁夏）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深ED＝1寸，锯道长AB＝1尺（1尺＝10寸）．问这根圆形木材的直径是寸．32．（2020•娄底）如图，四边形ABDC中，AB＝AC＝3，BD＝CD＝2，则将它以AD为轴旋转180°后所得分别以AB、BD为母线的上下两个圆锥的侧面积之比为．33．（2020•益阳）小明家有一个如图所示的闹钟，他观察发现圆心角∠AOB＝90°，测得的长为36cm，则的长为cm．三．解答题（共17小题）34．（2020•日照）阅读理解：如图1，Rt△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，其外接圆半径为R．根据锐角三角函数的定义：sin A＝，sin B＝，可得＝＝c＝2R，即：＝＝＝2R，（规定sin90°＝1）．探究活动：如图2，在锐角△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，其外接圆半径为R，那么：（用＞、＝或＜连接），并说明理由．事实上，以上结论适用于任意三角形．初步应用：在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠A＝60°，∠B＝45°，a＝8，求b．综合应用：如图3，在某次数学活动中，小凤同学测量一古塔CD的高度，在A处用测角仪测得塔顶C的仰角为15°，又沿古塔的方向前行了100m到达B处，此时A，B，D三点在一条直线上，在B处测得塔顶C的仰角为45°，求古塔CD的高度（结果保留小数点后一位）．（≈1.732，sin15°＝）35．（2020•盘锦）如图，BC是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，AD交BC于点E，连接AB，CD，过点E作EF⊥AB，垂足为F，∠AEF＝∠D．（1）求证：AD⊥BC；（2）点G在BC的延长线上，连接AG，∠DAG＝2∠D．①求证：AG与⊙O相切；②当，CE＝4时，直接写出CG的长．36．（2020•德阳）如图，在⊙O中，弦AB与直径CD垂直，垂足为M，CD的延长线上有一点P，满足∠PBD＝∠DAB．过点P作PN⊥CD，交OA的延长线于点N，连接DN交AP于点H．（1）求证：BP是⊙O的切线；（2）如果OA＝5，AM＝4，求PN的值；（3）如果PD＝PH，求证：AH•OP＝HP•AP．37．（2020•大连）四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AD＝CD．（1）如图1，求证∠ABC＝2∠ACD；（2）过点D作⊙O的切线，交BC延长线于点P（如图2）．若tan∠CAB＝，BC＝1，求PD的长．38．（2020•河池）如图，AB是⊙O的直径，AB＝6，OC⊥AB，OC＝5，BC与⊙O交于点D，点E是的中点，EF∥BC，交OC的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）CG∥OD，交AB于点G，求CG的长．39．（2020•大庆）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接AD，过点D作DM⊥AC，垂足为M，AB、MD的延长线交于点N．（1）求证：MN是⊙O的切线；（2）求证：DN2＝BN•（BN+AC）；（3）若BC＝6，cos C＝，求DN的长．40．（2020•镇江）如图，▱ABCD中，∠ABC的平分线BO交边AD于点O，OD＝4，以点O为圆心，OD 长为半径作⊙O，分别交边DA、DC于点M、N．点E在边BC上，OE交⊙O于点G，G为的中点．（1）求证：四边形ABEO为菱形；（2）已知cos∠ABC＝，连接AE，当AE与⊙O相切时，求AB的长．41．（2020•鄂尔多斯）我们知道，顶点坐标为（h，k）的抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）．今后我们还会学到，圆心坐标为（a，b），半径为r的圆的方程（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，如：圆心为P（﹣2，1），半径为3的圆的方程为（x+2）2+（y﹣1）2＝9．（1）以M（﹣3，﹣1）为圆心，为半径的圆的方程为．（2）如图，以B（﹣3，0）为圆心的圆与y轴相切于原点，C是⊙B上一点，连接OC，作BD⊥OC，垂足为D，延长BD交y轴于点E，已知sin∠AOC＝．①连接EC，证明：EC是⊙B的切线；②在BE上是否存在一点Q，使QB＝QC＝QE＝QO？若存在，求点Q的坐标，并写出以Q为圆心，以QB为半径的⊙Q的方程；若不存在，请说明理由．42．（2020•云南）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CE，垂足为D，AC平分∠DAB．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若AD＝4，cos∠CAB＝，求AB的长．43．（2020•黄石）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A、D的⊙O分别交AB、AC于点E、F．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BE＝8，sin B＝，求⊙O的半径；（3）求证：AD2＝AB•AF．44．（2020•呼和浩特）某同学在学习了正多边形和圆之后，对正五边形的边及相关线段进行研究，发现多处出现著名的黄金分割比≈0.618．如图，圆内接正五边形ABCDE，圆心为O，OA与BE交于点H，AC、AD与BE分别交于点M、N．根据圆与正五边形的对称性，只对部分图形进行研究．（其它可同理得出）（1）求证：△ABM是等腰三角形且底角等于36°，并直接说出△BAN的形状；（2）求证：，且其比值k＝；（3）由对称性知AO⊥BE，由（1）（2）可知也是一个黄金分割数，据此求sin18°的值．45．（2020•淄博）如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF ⊥BC于点F，设⊙O的半径为R，AF＝h．（1）过点D作直线MN∥BC，求证：MN是⊙O的切线；（2）求证：AB•AC＝2R•h；（3）设∠BAC＝2α，求的值（用含α的代数式表示）．46．（2020•恩施州）如图1，AB是⊙O的直径，直线AM与⊙O相切于点A，直线BN与⊙O相切于点B，点C（异于点A）在AM上，点D在⊙O上，且CD＝CA，延长CD与BN相交于点E，连接AD并延长交BN于点F．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）求证：BE＝EF；（3）如图2，连接EO并延长与⊙O分别相交于点G、H，连接BH．若AB＝6，AC＝4，求tan∠BHE．47．（2020•广州）如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，半径为2，点D在劣弧上运动（不与点A，B重合），连接DA，DB，DC．（1）求证：DC是∠ADB的平分线；（2）四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；（3）若点M，N分别在线段CA，CB上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置，△DMN的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化，求所有t值中的最大值．48．（2020•烟台）如图，在▱ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A，B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若AD＝2，求的长（结果保留π）．49．（2020•广东）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝90°，AB是⊙O的直径，CO平分∠BCD．（1）求证：直线CD与⊙O相切；（2）如图2，记（1）中的切点为E，P为优弧上一点，AD＝1，BC＝2．求tan∠APE的值．50．（2020•株洲）AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC、BC，直线MN过点C，满足∠BCM＝∠BAC＝α．（1）如图①，求证：直线MN是⊙O的切线；（2）如图②，点D在线段BC上，过点D作DH⊥MN于点H，直线DH交⊙O于点E、F，连接AF并延长交直线MN于点G，连接CE，且CE＝，若⊙O的半径为1，cosα＝，求AG•ED的值．2020年全国中考数学试题精选分类（10）——圆参考答案与试题解析一．选择题（共21小题）1．（2020•日照）如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB⊥CD于点E，若CD＝6，AE＝9，则阴影部分的面积为（）A．6π﹣B．12π﹣9C．3π﹣D．9【答案】A【解答】解：∵AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB⊥CD于点E，∴CE＝DE＝．设⊙O的半径为r，在直角△OED中，OD2＝OE2+DE2，即，解得，r＝6，∴OE＝3，∴cos∠BOD＝＝＝，∴∠EOD＝60°，∴，，∴，故选：A．2．（2020•阜新）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转i个45°，得到正六边形OA i B i∁i D i E i，则正六边形OA i B i∁i D i E i（i＝2020）的顶点∁i的坐标是（）A．（1，﹣）B．（1，）C．（1，﹣2）D．（2，1）【答案】A【解答】解：由题意旋转6次应该循环，∵2020÷6＝336…4，∴∁i的坐标与C4的坐标相同，∵C（﹣1，），点C与C4关于原点对称，∴C4（1，﹣），∴顶点∁i的坐标是（1，﹣），故选：A．3．（2020•阜新）如图，AB为⊙O的直径，C，D是圆周上的两点，若∠ABC＝38°，则锐角∠BDC的度数为（）A．57°B．52°C．38°D．26°【答案】B【解答】解：连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝38°，∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝52°，∴∠BDC＝∠BAC＝52°．故选：B．4．（2020•西藏）如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上的一点，OD⊥AC，垂足为D，延长OD与半圆O 交于点E．若AB＝8，∠CAB＝30°，则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣B．π﹣2C．π﹣D．π﹣2【答案】D【解答】解：∵OD⊥AC，∴∠ADO＝90°，＝，AD＝CD，∵∠CAB＝30°，OA＝4，∴OD＝OA＝2，AD＝OA＝2，∴图中阴影部分的面积＝S扇形AOE﹣S△ADO＝﹣×2＝﹣2，故选：D．5．（2020•盘锦）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E为线段OB上的一点，OE：EB＝1：，连接DE并延长交CB的延长线于点F，连接OF交⊙O于点G，若BF＝2，则的长是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：连接OD、BD，∵在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠A＝∠C＝45°，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵OA＝OB，∴OD⊥AB，∴∠AOD＝90°，∴∠AOD＝∠ABC，∴OD∥FC，∴△DOE∽△FBE，∴＝，∵OB＝OD，OE：EB＝1：，∴tan∠BOF＝＝，∴∠BOF＝60°，∴BF＝2，∴OB＝2，∴的长＝＝π，故选：C．6．（2020•德阳）半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a【答案】A【解答】解：设圆的半径为R，则正三角形的边心距为a＝R×cos60°＝R．四边形的边心距为b＝R×cos45°＝R，正六边形的边心距为c＝R×cos30°＝R．∵R R R，∴a＜b＜c，故选：A．7．（2020•鞍山）如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为2cm，若BC＝2cm，则∠A的度数为（）A．30°B．25°C．15°D．10°【答案】A【解答】解：连接OB和OC，∵圆O半径为2，BC＝2，∴OB＝OC＝BC，∴△OBC为等边三角形，∴∠BOC＝60°，∴∠A＝∠BOC＝30°，故选：A．8．（2020•赤峰）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O．若OA＝3，则△ABC外接圆的面积为（）A．3πB．4πC．6πD．9π【答案】D【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴BD＝CD，AD⊥BC，∵EF是AC的垂直平分线，∴点O是△ABC外接圆的圆心，∵OA＝3，∴△ABC外接圆的面积＝πr2＝π×32＝9π．故选：D．9．（2020•赤峰）如图，⊙A经过平面直角坐标系的原点O，交x轴于点B（﹣4，0），交y轴于点C（0，3），点D为第二象限内圆上一点．则∠CDO的正弦值是（）A．B．﹣C．D．【答案】A【解答】解：连接BC，如图，∵B（﹣4，0），C（0，3），∴OB＝4，OC＝3，∴BC＝＝5，∴sin∠OBC＝＝，∵∠ODC＝∠OBC，∴sin∠CDO＝sin∠OBC＝．故选：A．10．（2020•雅安）如图，△ABC内接于圆，∠ACB＝90°，过点C的切线交AB的延长线于点P，∠P＝28°．则∠CAB＝（）A．62°B．31°C．28°D．56°【答案】B【解答】解：连接OC，如图，∵PC为切线，∴OC⊥PC，∴∠PCO＝90°，∴∠POC＝90°﹣∠P＝90°﹣28°＝62°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，而∠POC＝∠A+∠OCA，∴∠A＝×62°＝31°．故选：B．11．（2020•眉山）如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，BC＝CD，∠DAC＝35°，∠ACD＝45°，则∠ADB 的度数为（）A．55°B．60°C．65°D．70°【答案】C【解答】解：∵BC＝CD，∴＝，∵∠ABD和∠ACD所对的弧都是，∴∠BAC＝∠DAC＝35°，∵∠ABD＝∠ACD＝45°，∴∠ADB＝180°﹣∠BAD﹣∠ABD＝180°﹣70°﹣45°＝65°．故选：C．12．（2020•沈阳）如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，以点A为圆心，AD长为半径画弧交边BC 于点E，连接AE，则的长为（）A．B．πC．D．【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝2，∠B＝90°，∴AE＝AD＝2，∵AB＝，∴cos∠BAE＝＝，∴∠BAE＝30°，∴∠EAD＝60°，∴的长＝＝，故选：C．13．（2020•镇江）如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB等于（）A．10°B．14°C．16°D．26°【答案】C【解答】解：连接BD，如图，∵AB是半圆的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝106°﹣90°＝16°，∴∠CAB＝∠BDC＝16°．故选：C．14．（2020•南通）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），则这个几何体的侧面积为（）A．48πcm2B．24πcm2C．12πcm2D．9πcm2【答案】B【解答】解：由三视图得这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6，所以这个几何体的侧面积＝×π×6×8＝24π（cm2）．故选：B．15．（2020•永州）如图，已知P A，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：①P A＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解答】解：∵P A，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴P A＝PB，所以①正确；∵OA＝OB，P A＝PB，∴OP垂直平分AB，所以②正确；∵P A，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴OA⊥P A，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴点A、B在以OP为直径的圆上，∴四边形OAPB有外接圆，所以③正确；∵只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM，∴M不一定为△AOP外接圆的圆心，所以④错误．故选：C．16．（2020•宁夏）如图，等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝，以点C为圆心画弧与斜边AB相切于点D，交AC于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是（）A．1﹣B．C．2﹣D．1+【答案】A【解答】解：连接CD，如图，∵AB是圆C的切线，∴CD⊥AB，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC＝×＝2，∴CD＝AB＝1，∴图中阴影部分的面积＝S△ABC﹣S扇形ECF＝××﹣＝1﹣．故选：A．17．（2020•吉林）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝108°，则∠D的大小为（）A．54°B．62°C．72°D．82°【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝108°，∴∠D＝180°﹣∠B＝180°﹣108°＝72°，故选：C．18．（2020•海南）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD＝36°，则∠ABD等于（）A．54°B．56°C．64°D．66°【答案】A【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠DAB＝∠BCD＝36°，∴∠ABD＝∠ADB﹣∠DAB，即∠ABD＝90°﹣∠DAB＝90°﹣36°＝54°．故选：A．19．（2020•云南）如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE （阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（）A．B．1 C．D．【答案】D【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，根据题意可知：AD＝AE＝4，∠DAE＝45°，底面圆的周长等于弧长：∴2πr＝，解得r＝．答：该圆锥的底面圆的半径是．故选：D．20．（2020•广州）往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（）A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm【答案】C【解答】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：∵AB＝48cm，∴BD＝AB＝×48＝24（cm），∵⊙O的直径为52cm，∴OB＝OC＝26cm，在Rt△OBD中，OD＝＝＝10（cm），∴CD＝OC﹣OD＝26﹣10＝16（cm），故选：C．21．（2020•毕节市）如图，已知点C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，弧CD的长为π，则图中阴影部分的面积为（）A．πB．πC．πD．π+【答案】A【解答】解：连接CD、OC、OD．∵C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，AC＝CD，又∵OA＝OC＝OD，∴△OAC、△OCD是等边三角形，∴∠AOC＝∠OCD，∴CD∥AB，∴S△ACD＝S△OCD，∵弧CD的长为，∴＝，解得：r＝1，∴S阴影＝S扇形OCD＝＝．故选：A．二．填空题（共12小题）22．（2020•锦州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝30°，AC＝6，则的长为2π．【答案】2π．【解答】解：连接OC，OA．∵∠AOC＝2∠ABC，∠ABC＝30°，∴∠AOC＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴OA＝OC＝AC＝6，∴的长＝＝2π，故答案为2π．23．（2020•朝阳）如图，点A，B，C是⊙O上的点，连接AB，AC，BC，且∠ACB＝15°，过点O作OD ∥AB交⊙O于点D，连接AD，BD，已知⊙O半径为2，则图中阴影面积为．【答案】．【解答】解：∵∠ACB＝15°，∴∠AOB＝30°，∵OD∥AB，∴S△ABD＝S△ABO，∴S阴影＝S扇形AOB＝．故答案为：．24．（2020•眉山）如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的切线P A、PB，点A、B为切点，连接AO并延长交PB的延长线于点C，过点C作CD⊥PO，交PO的延长线于点D．已知P A＝6，AC＝8，则CD 的长为2．【答案】2．【解答】解：连接OB，如图，∵P A、PB为⊙O的切线，∴PB＝P A＝6，OB⊥PC，OA⊥P A，∴∠CAP＝∠CBO＝90°，在Rt△APC中，PC＝＝＝10，∴BC＝PC﹣PB＝4，设⊙O的半径为r，则OA＝OB＝r，OC＝8﹣r，在Rt△BCO中，42+r2＝（8﹣r）2，解得r＝3，∴OA＝3，OC＝5，在Rt△OP A中，OP＝＝＝3，∵CD⊥PO，∴∠CDO＝90°，∵∠COD＝∠POA，∠CDO＝∠P AO，∴△COD∽△POA，∴CD：P A＝OC：OP，即CD：6＝5：3，∴CD＝2．故答案为2．25．（2020•河池）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E都在⊙O上，∠1＝55°，则∠2＝35°．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，连接AD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵∠1＝∠ADE，∴∠1+∠2＝90°，∵∠1＝55°，∴∠2＝35°，故答案为35．26．（2020•黄石）匈牙利著名数学家爱尔特希（P．Erdos，1913﹣1996）曾提出：在平面内有n个点，其中每三个点都能构成等腰三角形，人们将具有这样性质的n个点构成的点集称为爱尔特希点集．如图，是由五个点A、B、C、D、O构成的爱尔特希点集（它们为正五边形的任意四个顶点及正五边形的中心构成），则∠ADO的度数是18°．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意知点A、B、C、D为正五边形任意四个顶点，且O为正五边形中心，∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝＝72°，∴∠AOD＝360°﹣3∠AOB＝144°，又∵OA＝OD，∴∠ADO＝＝＝18°，故答案为：18°．27．（2020•长春）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，以点C为圆心，线段CA的长为半径作，交CB的延长线于点D，则阴影部分的面积为π﹣2（结果保留π）．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵AB＝CB＝2，∠ABC＝90°，∴AC＝＝＝2，∴∠C＝∠BAC＝45°，∴S阴＝S扇形CAD﹣S△ACB＝﹣×2×2＝π﹣2，故答案为π﹣2．28．（2020•宿迁）用半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为1．【答案】1．【解答】解：设这个圆锥的底面圆半径为r，根据题意得2πr＝，解得r＝1，所以这个圆锥的底面圆半径为1．故答案为1．29．（2020•鄂尔多斯）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠BCD＝30°，CD＝2，则阴影部分面积S阴影＝．【答案】．【解答】解：连接OC．∵AB⊥CD，∴＝，CE＝DE＝，∴∠COB＝∠BOD，∵∠BOD＝2∠BCD＝60°，∴∠COB＝60°，∵OC＝OB＝OD，∴△OBC，△OBD都是等边三角形，∴OC＝BC＝BD＝OD，∴四边形OCBD是菱形，∴OC∥BD，∴S△BDC＝S△BOD，∴S阴＝S扇形OBD，∵OD＝＝2，∴S阴＝＝，故答案为．30．（2020•邵阳）如图①是山东舰徽的构图，采用航母45度破浪而出的角度，展现山东舰作为中国首艘国产舰母横空出世的气势，将舰徽中第一条波浪抽象成几何图形，则是一条长为10π的弧，若该弧所在的扇形是高为12的圆锥侧面展开图（如图②），则该圆锥的母线长AB为13．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵圆锥底面周长＝侧面展开后扇形的弧长＝10π，∴OB＝，在Rt△AOB中，AB＝，所以该圆锥的母线长AB为13．故答案为：13．31．（2020•宁夏）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深ED＝1寸，锯道长AB＝1尺（1尺＝10寸）．问这根圆形木材的直径是26寸．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意可知OE⊥AB，∵OE为⊙O半径，∴尺＝5寸，设半径OA＝OE＝r寸，∵ED＝1，∴OD＝r﹣1，则Rt△OAD中，根据勾股定理可得：（r﹣1）2+52＝r2，解得：r＝13，∴木材直径为26寸；故答案为：26．32．（2020•娄底）如图，四边形ABDC中，AB＝AC＝3，BD＝CD＝2，则将它以AD为轴旋转180°后所得分别以AB、BD为母线的上下两个圆锥的侧面积之比为3：2．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵两个圆锥的底面圆相同，∴可设底面圆的周长为l，∴上面圆锥的侧面积为：l•AB，下面圆锥的侧面积为：l•BD，∵AB＝AC＝3，BD＝CD＝2，∴S上：S下＝3：2，故答案为：3：2．33．（2020•益阳）小明家有一个如图所示的闹钟，他观察发现圆心角∠AOB＝90°，测得的长为36cm，则的长为12cm．【答案】12．【解答】解：法一：∵的长为36cm，∴＝36，∴OA＝，则的长为：＝×＝12（cm）；法二：∵与所对应的圆心角度数的比值为270°：90°＝3：1，∴与的弧长之比为3：1，∴的弧长为36÷3＝12（cm），故答案为：12．三．解答题（共17小题）34．（2020•日照）阅读理解：如图1，Rt△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，其外接圆半径为R．根据锐角三角函数的定义：sin A＝，sin B＝，可得＝＝c＝2R，即：＝＝＝2R，（规定sin90°＝1）．探究活动：如图2，在锐角△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，其外接圆半径为R，那么：＝＝（用＞、＝或＜连接），并说明理由．事实上，以上结论适用于任意三角形．初步应用：在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠A＝60°，∠B＝45°，a＝8，求b．综合应用：如图3，在某次数学活动中，小凤同学测量一古塔CD的高度，在A处用测角仪测得塔顶C的仰角为15°，又沿古塔的方向前行了100m到达B处，此时A，B，D三点在一条直线上，在B处测得塔顶C的仰角为45°，求古塔CD的高度（结果保留小数点后一位）．（≈1.732，sin15°＝）【答案】探究活动：＝，＝，＝；初步应用：b＝；综合应用：古塔高度约为36.6m．【解答】解：探究活动：＝＝，理由如下：如图2，过点C作直径CD交⊙O于点D，连接BD，∴∠A＝∠D，∠DBC＝90°，∴sin A＝sin D，sin D＝，∴＝，同理可证：＝2R，＝2R，∴＝＝＝2R；故答案为：＝，＝，＝．初步应用：∵＝＝2R，∴，∴．综合应用：由题意得：∠D＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝45°，AB＝100，∴∠ACB＝30°．设古塔高DC＝x，则BC＝，∵，∴，∴，∴，∴古塔高度约为36.6m．35．（2020•盘锦）如图，BC是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，AD交BC于点E，连接AB，CD，过点E作EF⊥AB，垂足为F，∠AEF＝∠D．（1）求证：AD⊥BC；（2）点G在BC的延长线上，连接AG，∠DAG＝2∠D．①求证：AG与⊙O相切；②当，CE＝4时，直接写出CG的长．【答案】（1）证明见解析部分．（2）①证明见解析部分．②．【解答】（1）证明：∵EF⊥AB，∴∠AFE＝90°，∴∠AEF+∠EAF＝90°，∵∠AEF＝∠D，∠ABE＝∠D，∴∠ABE+∠EAF＝90°，∴∠AEB＝90°，∴AD⊥BC．（2）①证明：连接OA，AC．∵AD⊥BC，∴AE＝ED，∴CA＝CD，∴∠D＝∠CAD，∵∠GAE＝2∠D，∴∠CAG＝∠CAD＝∠D，∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC，∵∠CEA＝90°，∴∠CAE+∠ACE＝90°，∴∠CAG+∠OAC＝90°，∴OA⊥AG，∴AG是⊙O的切线．②解：过点C作CH⊥AG于H．设CG＝x，GH＝y．∵CA平分∠GAE，CH⊥AG，CE⊥AE，∴CH＝CE，∵∠AEC＝∠AHC＝90°，AC＝AC，EC＝CH，∴Rt△ACE≌Rt△ACH（HL），∴AE＝AH，∵EF⊥AB，BC是直径，∴∠BFE＝∠BAC，∴EF∥AC，∴＝＝，∵CE＝4，∴BE＝10，∵BC⊥AD，∴＝，∴∠CAE＝∠ABC，∵∠AEC＝∠AEB＝90°，∴△AEB∽△CEA，∴＝，∴AE2＝4×10，∵AE＞0，∴AE＝2，∴AH＝AE＝2，∵∠G＝∠G，∠CHG＝∠AEG＝90°，∴△GHC∽△GEA，∴＝＝，∴＝＝，解得x＝．36．（2020•德阳）如图，在⊙O中，弦AB与直径CD垂直，垂足为M，CD的延长线上有一点P，满足∠PBD＝∠DAB．过点P作PN⊥CD，交OA的延长线于点N，连接DN交AP于点H．（1）求证：BP是⊙O的切线；（2）如果OA＝5，AM＝4，求PN的值；（3）如果PD＝PH，求证：AH•OP＝HP•AP．【答案】（1）证明见解析部分．（2）．（3）证明见解析部分．【解答】（1）证明：如图，连接BC，OB．∵CD是直径，∴∠CBD＝90°，∵OC＝OB，∴∠C＝∠CBO，∵∠C＝∠BAD，∠PBD＝∠DAB，∴∠CBO＝∠PBD，∴∠OBP＝∠CBD＝90°，∴PB⊥OB，∴PB是⊙O的切线．（2）解：∵CD⊥AB，∴P A＝PB，∵OA＝OB，OP＝OP，∴△P AO≌△PBO（SSS），∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵∠AMO＝90°，∴OM＝＝＝3，∵∠AOM＝∠AOP，∠OAP＝∠AMO，∴△AOM∽△POA，∴＝，∴＝，∴OP＝，∵PN⊥PC，∴∠NPC＝∠AMO＝90°，∴＝，∴＝，∴PN＝．（3）证明：∵PD＝PH，∴∠PDH＝∠PHD，∵∠PDH＝∠POA+∠OND，∠PHD＝∠APN+∠PND，∴∠POA+∠APO＝90°，∠APN+∠APO＝90°，∴∠POA＝∠ANP，∴∠ANH＝∠PND，∵∠PDN＝∠PHD＝∠AHN，∴△NAH∽△NPD，∴＝，∵∠APN＝∠POA，∠P AN＝∠P AO＝90°，∴△P AN∽△OAP，∴＝，∴＝，∴＝＝，∴AH•OP＝HP•AP．37．（2020•大连）四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AD＝CD．（1）如图1，求证∠ABC＝2∠ACD；（2）过点D作⊙O的切线，交BC延长线于点P（如图2）．若tan∠CAB＝，BC＝1，求PD的长．【答案】（1）证明过程见解答；（2）．【解答】（1）证明：∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠ACD，∴∠ADC+2∠ACD＝180°，又∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝2∠ACD；（2）解：连接OD交AC于点E，∵PD是⊙O的切线，∴OD⊥DP，∴∠ODP＝90°，又∵＝，∴OD⊥AC，AE＝EC，∴∠DEC＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ECP＝90°，∴四边形DECP为矩形，∴DP＝EC，∵tan∠CAB＝，BC＝1，∴，∴AC＝，∴EC＝AC＝，∴DP＝．38．（2020•河池）如图，AB是⊙O的直径，AB＝6，OC⊥AB，OC＝5，BC与⊙O交于点D，点E是的中点，EF∥BC，交OC的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）CG∥OD，交AB于点G，求CG的长．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）连接OE，交BD于H，∵点E是的中点，OE是半径，∴OE⊥BD，BH＝DH，∵EF∥BC，∴OE⊥EF，又∵OE是半径，∴EF是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，AB＝6，OC⊥AB，∴OB＝3，∴BC＝＝＝，∵S△OBC＝×OB×OC＝×BC×OH，∴OH＝＝，∵cos∠OBC＝，∴＝，∴BH＝，∴BD＝2BH＝，∵CG∥OD，∴，∴＝，∴CG＝．39．（2020•大庆）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接AD，过点D作DM⊥AC，垂足为M，AB、MD的延长线交于点N．（1）求证：MN是⊙O的切线；（2）求证：DN2＝BN•（BN+AC）；（3）若BC＝6，cos C＝，求DN的长．【答案】（1）证明见解析过程；（2）证明见解析过程；（3）DN＝．【解答】证明：（1）如图，连接OD，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，又∵AB＝AC，∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，∵AO＝BO，BD＝CD，∴OD∥AC，∵DM⊥AC，∴OD⊥MN，又∵OD是半径，∴MN是⊙O的切线；（2）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ABC+∠BAD＝90°，∠ACB+∠CDM＝90°，∴∠BAD＝∠CDM，∵∠BDN＝∠CDM，∴∠BAD＝∠BDN，又∵∠N＝∠N，∴△BDN∽△DAN，∴，∴DN2＝BN•AN＝BN•（BN+AB）＝BN•（BN+AC）；（3）∵BC＝6，BD＝CD，∴BD＝CD＝3，∵cos C＝＝，∴AC＝5，∴AB＝5，∴AD＝＝＝4，∵△BDN∽△DAN，∴＝＝，∴BN＝DN，DN＝AN，∴BN＝（AN）＝AN，∵BN+AB＝AN，∴AN+5＝AN∴AN＝，∴DN＝AN＝．40．（2020•镇江）如图，▱ABCD中，∠ABC的平分线BO交边AD于点O，OD＝4，以点O为圆心，OD 长为半径作⊙O，分别交边DA、DC于点M、N．点E在边BC上，OE交⊙O于点G，G为的中点．（1）求证：四边形ABEO为菱形；（2）已知cos∠ABC＝，连接AE，当AE与⊙O相切时，求AB的长．【答案】（1）证明过程见解析；（2）2．【解答】解：（1）证明：∵G为的中点，∴∠MOG＝∠MDN．∵四边形ABCD是平行四边形．∴AO∥BE，∠MDN+∠A＝180°，∴∠MOG+∠A＝180°，∴AB∥OE，∴四边形ABEO是平行四边形．∵BO平分∠ABE，∴∠ABO＝∠OBE，又∵∠OBE＝∠AOB，∴∠ABO＝∠AOB，∴AB＝AO，∴四边形ABEO为菱形；（2）如图，过点O作OP⊥BA，交BA的延长线于点P，过点O作OQ⊥BC于点Q，设AE交OB于点F，则∠P AO＝∠ABC，设AB＝AO＝OE＝x，则∵cos∠ABC＝，∴cos∠P AO＝，∴＝，∴P A＝x，∴OP＝OQ＝x当AE与⊙O相切时，由菱形的对角线互相垂直，可知F为切点，∴在Rt△OBQ中，由勾股定理得：+＝82，解得：x＝2（舍负）．∴AB的长为2．41．（2020•鄂尔多斯）我们知道，顶点坐标为（h，k）的抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）．今后我们还会学到，圆心坐标为（a，b），半径为r的圆的方程（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，如：圆心为P（﹣2，1），半径为3的圆的方程为（x+2）2+（y﹣1）2＝9．（1）以M（﹣3，﹣1）为圆心，为半径的圆的方程为（x+3）2+（y+1）2＝3．（2）如图，以B（﹣3，0）为圆心的圆与y轴相切于原点，C是⊙B上一点，连接OC，作BD⊥OC，垂足为D，延长BD交y轴于点E，已知sin∠AOC＝．①连接EC，证明：EC是⊙B的切线；②在BE上是否存在一点Q，使QB＝QC＝QE＝QO？若存在，求点Q的坐标，并写出以Q为圆心，以QB为半径的⊙Q的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（x+3）2+（y+1）2＝3；（2）①证明见解析过程；②点Q（﹣，2），（x+）2+（y﹣2）2＝．【解答】解：（1）以M（﹣3，﹣1）为圆心，为半径的圆的方程为（x+3）2+（y+1）2＝3，故答案为：（x+3）2+（y+1）2＝3；（2）①∵OE是⊙B切线，∴∠BOE＝90°，∵CB＝OB，BD⊥CO，∴∠CBE＝∠OBE，又∵BC＝BO，BE＝BE，∴△CBE≌△OBE（SAS），∴∠BCE＝∠BOE＝90°，∴BC⊥CE，又∵BC是半径，∴EC是⊙B的切线；②如图，连接CQ，QO，∵点B（﹣3，0），∴OB＝3，∵∠AOC+∠DOE＝90°，∠DOE+∠DEO＝90°，∴∠AOC＝∠BEO，∵sin∠AOC＝．∴sin∠BEO＝＝，∴BE＝5，∴OE＝＝＝4，∴点E（0，4），∵QB＝QC＝QE＝QO，∴点Q是BE的中点，∵点B（﹣3，0），点E（0，4），∴点Q（﹣，2），∴以Q为圆心，以QB为半径的⊙Q的方程为（x+）2+（y﹣2）2＝．42．（2020•云南）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CE，垂足为D，AC平分∠DAB．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若AD＝4，cos∠CAB＝，求AB的长．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：连接OC．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠CAD＝∠CAB，∴∠DAC＝∠ACO，∴AD∥OC，∵AD⊥DE，∴OC⊥DE，∴直线CE是⊙O的切线；（2）连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ADC＝∠ACB，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB，∴△DAC∽△CAB，∴＝，∵cos∠CAB＝＝，∴设AC＝4x，AB＝5x，∴＝，∴x＝，∴AB＝．43．（2020•黄石）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A、D的⊙O分别交AB、AC于点E、F．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BE＝8，sin B＝，求⊙O的半径；（3）求证：AD2＝AB•AF．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图，连接OD，则OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠OAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，∵点D在⊙O上，∴BC是⊙O的切线；（2）∵∠BDO＝90°，∴sin B＝＝，∴OD＝5，∴⊙O的半径为5；（3）连接EF，∵AE是直径，∴∠AFE＝90°＝∠ACB，∴EF∥BC，∴∠AEF＝∠B，又∵∠AEF＝∠ADF，∴∠B＝∠ADF，又∵∠OAD＝∠CAD，∴△DAB∽△F AD，∴，∴AD2＝AB•AF．44．（2020•呼和浩特）某同学在学习了正多边形和圆之后，对正五边形的边及相关线段进行研究，发现多处出现著名的黄金分割比≈0.618．如图，圆内接正五边形ABCDE，圆心为O，OA与BE交于点H，AC、AD与BE分别交于点M、N．根据圆与正五边形的对称性，只对部分图形进行研究．（其它可同理得出）（1）求证：△ABM是等腰三角形且底角等于36°，并直接说出△BAN的形状；（2）求证：，且其比值k＝；（3）由对称性知AO⊥BE，由（1）（2）可知也是一个黄金分割数，据此求sin18°的值．。
2020年中考数学系列复习之最大值最小值专项训练题(附答案详解)
2．如图，AB 为⊙O 的直径， AB 4 ，点 C 为半圆 AB 上动点，以 BC 为边在⊙O 外
作正方形 BCDE，（点 D 在直线 AB 的上方）连接 OD，当点 C 运动时，则线段 OD 的
长（ ）
A．随点 C 的运动而变化，最大值为 2 2 2 B．不变 C．随点 C 的运动而变化，最小值为 2 2 D．随点 C 的运动而变化，但无最值
12．已知：在四边形 ABCD 中， AD∥BC ， AB CD 5 ， AD 6 ， BC 12 ． （1）求四边形 ABCD 的面积． （ 2 ）点 P 是线段 AD 上的动点，连接 BP 、 CP ，求 BCP 周长的最小值及此时 AP
的长．
（ 3 ）点 P 是线段 AD 上的动点，N 、M 为边 BC 上的点，BM CN 5 ，连接 AN 、 DM ，分别交 BP 、 CP 于点 E 、 F ，记 ADG 和 △BPC 重叠部分的面积为 S ，求 S 的最值．
3．如图，AB 是⊙O 的直径，C 为圆上一点，且∠AOC＝120°，⊙O 的半径为 2，P 为 圆上一动点，Q 为 AP 的中点，则 CQ 的长的最值是_____．
4．如图 1， ABC 和 DEC 均为等腰三角形，且 ACB DCE 90 ，连接 BE ， AD ，两条线段所在的直线交于点 P .
13．如图，直线 y＝2x﹣8 分别交 x 轴、y 轴于点 A、点 B，抛物线 y＝ax2+bx（a≠0） 经过点 A，且顶点 Q 在直线 AB 上．
（1）求 a，b 的值． （2）点 P 是第四象限内抛物线上的点，连结 OP、AP、BP，设点 P 的横坐标为 t，△ OAP 的面积为 s1，△ OBP 的面积为 s2，记 s＝s1+s2，试求 s 的最值． 14．如图，长方形 OABC 的 OA 边在 x 轴的正半轴上，OC 在 y 轴的正半轴上，抛物线 y=ax2+bx 经过点 B（1，4）和点 E（3，0）两点． （1）求抛物线的解析式；
专练21 二次函数的图像变换问题-2021年中考数学压轴题专项高分突破训练(全国通用)(解析版)
专练21二次函数的图像变换问题1.已知抛物线y=ax2+bx+3经过A(−3，0)，B(−1，0)两点(如图1)，顶点为M.（1）a、b的值；（2）设抛物线与y轴的交点为Q(如图1)，直线y=−2x+9与直线OM交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上.当抛物线的顶点平移到D点时，Q点移至N点，求抛物线上的两点M、Q间所夹的曲线MQˆ扫过的区域的面积；（3）设直线y=−2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D(如图2).现将抛物线平移，保持顶点在直线OD 上.若平移的抛物线与射线CD(含端点C)没有公共点时，试探求其顶点的横坐标h的取值范围.【答案】（1）解：将A（-3，0），B（-1，0）代入抛物线y=ax2+bx+3中，得：{9a−3b+3=0a−b+3=0，解得：a=1、b=4．（2）解：连接MQ、QD、DN，由图形平移的性质知：QN∥MD，即四边形MQND是平行四边形；由（1）知，抛物线的解析式：y=x2+4x+3=（x+2）2-1，则点M（-2，-1），当x=0时，y=3，∴Q （0，3）；设直线OM 的解析式为y=kx ，∴-2k=-1，∴k= 12 ， ∴直线OM ：y= 12 x ，联立直线y=-2x+9，得：{y =12x y =−2x +9， 解得{x =185y =95． 则D （ 185,95 ）；曲线QM 扫过的区域的面积：S=S ▱ MQND=2S △MQD =2×12×OQ ×|x M −x D |=3×|−2−185|=845 ；（3）解：由于抛物线的顶点始终在y= 12 x 上，可设其坐标为（h ， 12 h ），设平移后的抛物线解析式为y=（x-h ）2+ 12 h ；①当平移后抛物线对称轴右侧部分经过点C （0，9）时，有：h2+ 12 h=9，解得：h= −1−√1454 （依题意，舍去正值） ②当平移后的抛物线与直线y=-2x+9只有一个交点时，依题意：{y =−2x +9y =(x −h)2+12h ， 消去y ，得：x2-（2h-2）x+h2+ 12 h-9=0，则：△=（2h-2）2-4（h2+ 12 h-9）=-10h+40=0，解得：h=4，结合图形，当平移的抛物线与射线CD （含端点C ）没有公共点时，h ＜ −1−√1454 或h ＞4．2.定义：如果一条抛物线y ＝ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“特征轴三角形”.显然，“特征轴三角形”是等腰三角形.（1）抛物线y＝x2﹣2 √3x对应的“特征轴三角形”是________；抛物线y＝12x2﹣2对应的“特征轴三角形”是________.（把下列较恰当结论的序号填在横线上：①腰与底边不相等的等腰三角形；②等边三角形；③非等腰的直角三角形；④等腰直角三角形.）（2）若抛物线y＝ax2+2ax﹣3a对应的“特征轴三角形”是直角三角形，请求出a的值.（3）如图，面积为12 √3的矩形ABCO的对角线OB在x轴的正半轴上，AC与OB相交于点E，若△ABE 是抛物线y＝ax2+bx+c的“特征轴三角形”，求此抛物线的解析式.【答案】（1）②；④（2）解：设抛物线y＝ax2+2ax﹣3a与x轴的交点坐标为A，B，顶点为D，∴A（﹣3，0），B（1，0），D（﹣1，﹣4a），∵抛物线y＝ax2+2ax﹣3a对应的“特征轴三角形”是直角三角形，∴AB2＝AD2+BD2 ，∴16＝4+16a2+4+16a2 ，∴a＝±12；（3）解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AE＝CE＝OE＝BE，∴S△ABE＝14S矩形ABCD＝14×12 √3＝3 √3，∵△ABE是抛物线的“特征轴三角形”，根据抛物线的对称性得，AE＝AB，∴AE＝AB＝BE，∴△ABE是等边三角形，过点A作AH⊥BE，∴AH＝ABsin∠ABE＝√32AB＝√32BE，∴√34BE2＝3 √3，∴BE＝2 √3，∴AH＝3，EH＝√3，∴A（3 √3，3），E（2 √3，0），B（4 √3，0），设抛物线解析式为y＝a（x﹣3 √3）2+3，将点E（2 √3，0）代入得，a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣3 √3）2+3＝﹣x2+6 √3x﹣24.∴过点A，B，E三点的抛物线的解析式y＝﹣x2+6 √3x﹣24.【解析】解：（1）由抛物线y＝x2﹣2 √3x可得顶点坐标为：(√3,−3)，与x轴的交点坐标为：(0,0),(2√3,0)，∴抛物线y＝x2﹣2 √3x对应的“特征轴三角形”是等边三角形；由抛物线y＝12x2﹣2可得顶点坐标为：(0,−2)，与x轴的交点坐标为：(−2,0),(2,0)，∴抛物线y＝12x2﹣2对应的“特征轴三角形”是等腰直角三角形；故答案为②；④；3.已知抛物线y=x2−2mx+m2+2m−2，直线l1:y=x+m，直线l2:y=x+m+b（1）当m=0时，若直线l2经过此抛物线的顶点，求b的值（2）将此抛物线夹在l1与l2之间的部分（含交点）图象记为C，若-32<b<0，①判断此抛物线的顶点是否在图象C上，并说明理由；②图象C上是否存在这样的两点：M(a1,b1)和N(a2,b2)，其中a1≠a2,b1≠b2？若存在，求相应的m和b的取值范围【答案】（1）解：当m=0时，抛物线：y=x2−2则顶点坐标为（0，-2）把（0，-2）代入l2:y=x+b，可得b=-2（2）解：①抛物线的顶点不在图像C上，理由如下：因为y=x2−2mx+m2+2m−2=(x−m)2+(2m−2)，所以抛物线顶点为（m，2m-2）当x=m时，对于l1:y=2m，对于l2:y=2m+b因为−32<b<0所以2m−32<2m+b<2m所以2m−2<2m+b<2m即顶点在l1,l2的下方所以抛物线的顶点不在图像C上②解：设直线l1与抛物线交于A、B两点，且y A<y Bx2−2mx+m2+2m−2=x+m解得x1=m−1,x2=m+2因为y A<y B，且对于l1，y随x的增大而增大所以x A<x B所以x A=m−1，此时y A=2m−1设直线l2与抛物线交于C，D两点，且y C<y Dx2−2mx+m2+2m−2=x+m+b所以x2−（2m+1）x+（m2+m−2−b）=0所以Δ=[−（2m+1）]2−4×1×（m2+m−2−b）=4b+9因为b>−32所以4b+9>0，所以x=2m+1±√4b+92因为y c<y D，且对于l2，y随x的增大而增大，所以x C<x D所以x D=2m+1+√4b+92，此时y D=2m+1+√4b+92+m+b因为y A−y D=−3−2b−√4b+92，又因为−32<b<0所以−3−2b<0又因为√4b+9>0所以y A−y D<0，即y A<y D因为x A<m，即点A在抛物线对称轴的左侧，则在抛物线对称轴的右侧，必存在点A的对称点A′(x A′,y A′)，其中y A′=y A所以y A′<y D因为抛物线的开口向上，所以当x<m时，y随x的增大而减小，因为抛物线顶点在l2的下方，故点C也在抛物线对称轴左侧，设(x0,y0)是抛物线上A、C两点之间的任意一点，则有x A<x0<m所以y0<y A又因为在抛物线上必存在其对称点(x0′,y0′)，其中y0′=y0所以y0′<y A也即抛物线上A、C两点之间的任意点的对称点都在点D下方同理，抛物线上B、D两点之间的部分所有点的对称点都在点A上方所以图像C上不存在这样的两点：M(a1,b1)和N(a2,b2)，其中a1≠a2,b1≠b24.若抛物线l1的顶点A在抛物线l2上，抛物线l2的顶点B在抛物线l1上(点A与点B不重合)，我们把这样的两抛物线l1，l2称为“伴随抛物线”，可见一条抛物线的“伴随抛物线”可以有多条。
2020年中考数学必考专题21 菱形(解析版)
专题21 菱形1．菱形的定义 ：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2.菱形的性质：（1）菱形的四条边都相等；（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
3.菱形的判定定理：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四条边相等的四边形是菱形。
4．菱形的面积：S 菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半【例题1】（2019内蒙古赤峰）如图，菱形ABCD 周长为20，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是CD 的中点，则OE 的长是（ ）A ．2.5B ．3C ．4D ．5【答案】A【解析】∵四边形ABCD 为菱形， ∴CD ＝BC=204=5，且O 为BD 的中点， ∵E 为CD 的中点， ∴OE 为△BCD 的中位线， ∴OE =12CB ＝2.5【例题2】（2019广西梧州）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=︒，将菱形ABCD 绕点A 逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG ，点E 在AC 上，EF 与CD 交于点P ，则DP 的长是 ．专题知识回顾专题典型题考法及解析【答案】31-【解析】连接BD 交AC 于O ，如图所示： Q 四边形ABCD 是菱形，2CD AB ∴==，60BCD BAD ∠=∠=︒，1302ACD BAC BAD ∠=∠=∠=︒，OA OC =，AC BD ⊥，112OB AB ∴==， 33OA OB ∴==，23AC ∴=，由旋转的性质得：2AE AB ==，60EAG BAD ∠=∠=︒， 232CE AC AE ∴=-=-，Q 四边形AEFG 是菱形，//EF AG ∴，60CEP EAG ∴∠=∠=︒，90CEP ACD ∴∠+∠=︒，90CPE ∴∠=︒，1312PE CE ∴==-，333PC PE ==-，2(33)31DP CD PC ∴=-=--=-。
专题典型训练题一、选择题1.（2019四川泸州）一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为（）A．8B．12C．16D．32【答案】【解析】如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO=12AC，DO＝BO=12BD，AC⊥BD，∵面积为28，∴12AC•BD＝2OD•AO＝28 ①∵菱形的边长为6，∴OD2+OA2＝36 ②，由①②两式可得：（OD+AO）2＝OD2+OA2+2OD•AO＝36+28＝64．∴OD+AO＝8，∴2（OD+AO）＝16，即该菱形的两条对角线的长度之和为16．2.(2019•四川省绵阳市)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O（0，0），A（4，0），∠AOC=60°，则对角线交点E的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】过点E作EF⊥x轴于点F，∵四边形OABC为菱形，∠AOC=60°，∴=30°，∠FAE=60°，∵A （4，0）， ∴OA =4， ∴=2， ∴，EF ===，∴OF =AO -AF =4-1=3， ∴．3.（2019•四川省广安市）如图，在边长为3的菱形ABCD 中，︒=∠30B ，过点A 作BC AE ⊥于点E ，现将△ABE 沿直线AE 翻折至△AFE 的位置，AF 与CD 交于点G 则CG 等于（ ）A.13-B.1C.21D. .23 【答案】A【解析】因为∠B =30°，AB =3，AE ⊥BC ， 所以BE =23，所以EC =3-23， 则CF =3-3， 又因为CG ∥AB ， 所以CG CFAB BF=, 所以CG =13-.GDA4.（2019四川省雅安市）如图，在四边形ABCD 中，AB=CD ，AC 、BD 是对角线 ，E 、F 、G 、H 分别是AD 、BD 、BC 、AC 的中点，连接EF 、FG 、GH 、HE ，则四边形EFGH 的形状是（ ） A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形 D ．正方形【答案】C【解析】由点E 、F 、G 、H 分别是任意四边形ABCD 中AD 、BD 、BC 、CA 的中点，根据三角形中位线性质，得EF ＝GH ＝AB ，EH ＝FG ＝CD ，又由AB=CD ，得EF ＝FG ＝GH ＝EH 时，四边形EFGH 是菱形． ∵点E 、F 、G 、H 分别是任意四边形ABCD 中AD 、BD 、BC 、CA 的中点，∴EF ＝GH ＝AB ，EH ＝FG ＝CD ，∵AB=CD ，∴EF ＝FG ＝GH ＝EH 时，四边形EFGH 是菱形，故选C ． 5. （2019·贵州安顺）如图，在菱形ABCD 中，按以下步骤作图：①分别以点C 和点D 为圆心，大于CD 的长为半径作弧，两弧相交于M 、N 两点； ②作直线MN ，且MN 恰好经过点A ，与CD 交于点E ，连接BE ． 则下列说法错误的是（ ）A ．∠ABC ＝60°B ．S △ABE ＝2S △ADEC ．若AB ＝4，则BE ＝4D ．sin ∠CBE ＝【答案】C【解析】由作法得AE 垂直平分CD ，即CE ＝DE ，AE ⊥CD ， ∵四边形ABCD 为菱形， ∴AD ＝CD ＝2DE ，AB ∥DE ， 在Rt △ADE 中，cosD ＝＝，BC∴∠D＝60°，∴∠ABC＝60°，所以A选项的结论正确；∵S△ABE＝AB•AE，S△ADE＝DE•AE，而AB＝2DE，∴S△ABE＝2S△ADE，所以B选项的结论正确；若AB＝4，则DE＝2，∴AE＝2，在Rt△ABE中，BE＝＝2，所以C选项的结论错误；作EH⊥BC交BC的延长线于H，如图，设AB＝4a，则CE＝2a，BC＝4a，BE＝2a，在△CHE中，∠ECH＝∠D＝60°，∴CH＝a，EH＝a，∴sin∠CBE＝＝＝，所以D选项的结论正确．故选：C．6.（2019·贵州贵阳）如图所示，菱形ABCD的周长是4cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线AC的长是（）A．1cm B．2 cm C．3cm D．4cm【答案】A【解析】由于四边形ABCD是菱形，AC是对角线，根据∠ABC＝60°，而AB＝BC，易证△BAC是等边三角形，从而可求AC的长．∵四边形ABCD是菱形，AC是对角线，∴AB＝BC＝CD＝AD，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∵菱形ABCD的周长是4cm，∴AB＝BC＝AC＝1cm．7.（2019•贵州省铜仁市）如图，四边形ABCD为菱形，AB＝2，∠DAB＝60°，点E、F分别在边DC、BC 上，且CE＝CD，CF＝CB，则S△CEF＝（）A．B．C．D．【答案】D．【解答】∵四边形ABCD为菱形，AB＝2，∠DAB＝60°∴AB＝BC＝CD＝2，∠DCB＝60°∵CE＝CD，CF＝CB∴CE＝CF＝∴△CEF为等边三角形∴S△CEF＝＝8.（2019•河北省）如图，菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝（）A．30°B．25°C．20°D．15°【答案】D．【解答】∵四边形ABCD是菱形，∠D＝150°，∴AB∥CD，∠BAD＝2∠1，∴∠BAD+∠D＝180°，∴∠BAD＝180°﹣150°＝30°，∴∠1＝15°二、填空题9.（2019广西北部湾）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交与点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO=4，S菱形ABCD=24，则AH= .【答案】24 5.【解析】本题考查了菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式，根据菱形面积=对角线积的一半可求AC，再根据勾股定理求出BC，然后由菱形的面积即可得出结果．∵四边形ABCD是菱形，∴BO=DO=4，AO=CO，AC⊥BD，∴BD=8.∵S菱形ABCD=12AC×BD=24，∴AC=6，∴OC=12AC=3，∴，∵S菱形ABCD=BC×AH=24，∴AH=24 5.10．（2019内蒙古通辽）如图，在边长为3的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边上的一点，且AM＝AD，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C．则A′C长度的最小值是．【答案】﹣1【解析】过点M作MH⊥CD交CD延长线于点H，连接CM，∵AM＝AD，AD＝CD＝3∴AM＝1，MD＝2∵CD∥AB，∴∠HDM＝∠A＝60°∴HD＝MD＝1，HM＝HD＝∴CH＝4∴MC＝＝∵将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，∴AM＝A'M＝1，∴点A'在以M为圆心，AM为半径的圆上，∴当点A'在线段MC上时，A'C长度有最小值∴A'C长度的最小值＝MC﹣MA'＝﹣111．（2019湖南常德）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M、N的坐标分别为（0，1），（0，﹣1），P是二次函数y＝x2的图象上在第一象限内的任意一点，PQ垂直直线y＝﹣1于点Q，则四边形PMNQ是广义菱形．其中正确的是．（填序号）【答案】①②④．【解析】①根据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等，①正确；②平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，②错误；③由给出条件无法得到一组对边平行，③错误；④设点P（m，m2），则Q（m，﹣1），∴MP＝＝，PQ＝+1，∵点P在第一象限，∴m＞0，∴MP＝+1，∴MP＝PQ，又∵MN∥PQ，∴四边形PMNQ是广义菱形．④正确；故答案为①②④．12.（2019湖北十堰）如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE＝3，则菱形的周长为．【答案】24【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，BO＝DO，∵点E是BC的中点，∴OE是△BCD的中位线，∴CD＝2OE＝2×3＝6，∴菱形ABCD的周长＝4×6＝2413.（2019北京市）把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为_______．【答案】12【解析】设图1中小直角三角形的两直角边长分别为a ，b （a>b ）；则由图2和图3列得方程组51a b a b +=⎧⎨-=⎩，由加减消元法得32a b =⎧⎨=⎩， ∴菱形的面积1144321222S ab =⨯=⨯⨯⨯=.故填12. 14．（2019辽宁抚顺）如图，菱形ABCD 的边长为4cm ，∠A ＝60°，BD 是以点A 为圆心，AB 长为半径的弧，CD 是以点B 为圆心，BC 长为半径的弧，则阴影部分的面积为 cm 2．【答案】4．【解析】连接BD ，判断出△ABD 是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ABD ＝60°，再求出∠CBD ＝60°，然后求出阴影部分的面积＝S △ABD ，计算即可得解．如图，连接BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ，∵∠A ＝60°，∴△ABD 是等边三角形，∴∠ABD ＝60°，又∵菱形的对边AD ∥BC ，∴∠ABC ＝180°﹣60°＝120°，∴∠CBD ＝120°﹣60°＝60°，图3图2图1∴S阴影＝S扇形BDC﹣（S扇形ABD﹣S△ABD），＝S△ABD，＝×4×＝4cm2．三、解答题15．（2019湖南岳阳）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DE＝DF，求证：∠1＝∠2．【答案】见解析．【解析】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴∠1＝∠2．16. （2019•海南省）如图，在边长为l的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A、D不重合），射线PE与BC的延长线交于点Q．（1）求证：△PDE≌△QCE；（2）过点E作EF∥BC交PB于点F，连结AF，当PB＝PQ时，①求证：四边形AFEP是平行四边形；②请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由．【解析】（1）由四边形ABCD是正方形知∠D＝∠ECQ＝90°，由E是CD的中点知DE＝CE，结合∠DEP ＝∠CEQ即可得证；（2）①由PB＝PQ知∠PBQ＝∠Q，结合AD∥BC得∠APB＝∠PBQ＝∠Q＝∠EPD，由△PDE≌△QCE 知PE＝QE，再由EF∥BQ知PF＝BF，根据Rt△P AB中AF＝PF＝BF知∠APF＝∠P AF，从而得∠P AF ＝∠EPD，据此即可证得PE∥AF，从而得证；②设AP＝x，则PD＝1﹣x，若四边形AFEP是菱形，则PE＝P A＝x，由PD2+DE2＝PE2得关于x的方程，解之求得x的值，从而得出四边形AFEP为菱形的情况．【解答】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠ECQ＝90°，∵E是CD的中点，∴DE＝CE，又∵∠DEP＝∠CEQ，∴△PDE≌△QCE（ASA）；（2）①∵PB＝PQ，∴∠PBQ＝∠Q，∵AD∥BC，∴∠APB＝∠PBQ＝∠Q＝∠EPD，∵△PDE≌△QCE，∴PE＝QE，∵EF∥BQ，∴PF＝BF，∴在Rt△P AB中，AF＝PF＝BF，∴∠APF＝∠P AF，∴∠P AF＝∠EPD，∴PE∥AF，∵EF∥BQ∥AD，∴四边形AFEP是平行四边形；②当AP＝时，四边形AFEP是菱形．设AP＝x，则PD＝1﹣x，若四边形AFEP是菱形，则PE＝P A＝x，∵CD ＝1，E 是CD 中点，∴DE ＝，在Rt △PDE 中，由PD 2+DE 2＝PE 2得（1﹣x ）2+（）2＝x 2，解得x ＝，即当AP ＝时，四边形AFEP 是菱形．17. （2019北京市）如图1，在菱形ABCD 中，AC 为对角线，点E ，F 分别在AB ，AD 上，BE=DF ，连接EF ．（1）求证：AC ⊥EF ；（2）如图2，延长EF 交CD 的延长线于点G ，连接BD 交AC 于点O ，若BD=4，tanG=12，求AO 的长．图1 图2【答案】见解析。
2020中考数学 应用题专项训练(含答案)
2020中考数学应用题专项训练（含答案）例题1.（1）某超市销售某种玩具，进货价为20元．根据市场调查：在一段时间内，销售单价是30元时，销售量是400件，而销售单价每上涨1元，就会少售出10件玩具，超市要完成不少于300件的销售任务，又要获得最大利润，则销售单价应定为_______元，最大利润为______元．（2）根据统计经验，若某工厂以x千克/小时的效率生产某种产品（由于生产条件限制，110x≤≤），则每小时可获得的利润是310051xx⎛⎫+-⎪⎝⎭元．如果接到一笔900千克的订单，要使得此笔订单获得的利润最大，则应该以______________千克/小时的效率生产．（3）某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元（0a>）．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，a的取值范围应为______________．【答案】（1）40，6000；（2）6；（3）06a<<．例题2. 为推进节能减排，发展低碳经济，深化“宜居成都”的建设，我市某“用电大户”用480万元购得“变频调速技术”后，进一步投入资金1520万元购买配套设备，以提高用电效率达到节约用电的目的．已知该“用电大户”生产的产品“草甘磷”每件成本费为40元．经过市场调研发现：该产品的销售单价，需定在100元到300元之间较为合理．当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；当销售单价超过100元，但不超过200元时，每件新产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少0.8万件；当销售单价超过200元，但不超过300元时，每件产品的销售价格在200元的基础上每增加10元，年销售量将减少1万件．设销售单价为x元，年销售量为y万件，年获利为w万元．（年获利=年销售额-生产成本-节电投资）（1）直接写出y与x间的函数关系式；（2）求第一年的年获利w与x函数关系式，并说明投资的第一年，该“用电大户”是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最少亏损是多少？（3）若该“用电大户”把“草甘磷”的销售单价定在超过100元，但不超过200元的范围内，并希望到第二年底，除去第一年的最大盈利（或最小亏损）后，两年的总盈利为1842万元，请你确定此时销售单价．在此情况下，要使产品销售量最大，销售单价应定为多少元？【答案】（1）当100200x <≤，100200.810x y -=-⨯，∴22825y x =-+， 当200300x <≤，把200x =代入22825y x =-+，得：12y =，∴20012110x y -=-⨯，13210y x =-+；（2）当100200x <≤时，(40)(1520480)w x y =--+2(40)28200025x x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭221563120255x x =-+-22(195)7825x =---当195x =，=78w -最大当200300x <≤时，(40)(1520480)w x y =--+1(40)32200010x x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭2136328010x x =-+-21(180)4010x =---， ∵2025-<，∴当在200300x <≤时，y 随x 的增大而减小，∴80w <-，∴是亏损的，最少亏损为78万元． （3）依题意可知，当100200x <≤时，第二年w 与x 关系为2(40)287825w x x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭当总利润刚好为1842万元时，依题意可得2(40)2878184225x x ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭整理，得2390380000x x -+=，解得，1190x =，2200x =∴要使两年的总盈利为1842万元，销售单价可定为190元或200元．∵对22825y x =-+，y 随x 增大而减小∴使销售量最大的销售单价应定为190元．例题3. 九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x （190x ≤≤）天的售价与销量的相关信息如下表：时间x （天）150x ≤< 5090x ≤≤ 售价（元/件） 40x +90每天销量（件）2002x -已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y 元．（1）求出y 与x 的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果． 【答案】（1）当150x ≤＜时，2(2002)(4030)21802000y x x x x =-+-=-++， 当5090x ≤≤时，(2002)(9030)12012000y x x =--=-+，综上所述：221802000(150)12012000(5090)x x x y x x ⎧-++≤<⎨-+≤≤⎩；（2）当150x ≤<时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为45x =，当45x =时，22451804520006050y =-⨯+⨯+=最大， 当5090x ≤≤时，y 随x 的增大而减小， 当50x =时，6000y =最大，综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元； （3）当150x ≤<时，2218020004800y x x =-++≥，解得2070x ≤≤， 因此利润不低于4800元的天数是2050x ≤＜，共30天； 当5090x ≤≤时，120120004800y x =-+≥，解得60x ≤， 因此利润不低于4800元的天数是5060x ≤≤，共11天，所以该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元．例题4. 某店因为经营不善欠下38400元的无息贷款的债务，想转行经营服装专卖店又缺少资金．“中国梦想秀”栏目组决定借给该店30000元资金，并约定利用经营的利润偿还债务（所有债务均不计利息）．已知该店代理的品牌服装的进价为每件40元，该品牌服装日销售量y （件）与销售价x （元/件）之间的关系可用图中的一条折线（实线）来表示．该店应支付员工的工资为每人每天82元，每天还应支付其它费用为106元（不包含债务）． （1）求日销售量y （件）与销售价x （元/件）之间的函数关系式；（2）若该店暂不考虑偿还债务，当某天的销售价为48元/件时，当天正好收支平衡（收人=支出），求该店员工的人数； （3）若该店只有2名员工，则该店最早需要多少天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为多少元？ 【答案】（1）当4058x ≤≤时，设y 与x 的函数解析式为11y k x b =+，由图象可得 111140605824k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得112140k b =-⎧⎨=⎩．)件∴2140y x =-+．当5871x <≤时，设y 与x 的函数解析式为22y k x b =+，由图象得 222258247111k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得22182k b =-⎧⎨=⎩，∴82y x =-+，综上所述：2140(4058)82(5871)x x y x x -+≤≤⎧=⎨-+<≤⎩；（2）设人数为a ，当48x =时，24814044y =-⨯+=， ∴(4840)4410682a -⨯=+，解得3a =；（3）设需要b 天，该店还清所有债务， 则：[(40)822106]68400b x y -⋅-⨯-≥，∴68400(40)822106b x y ≥-⋅-⨯-，当4058x ≤≤时，∴26840068400(40)(2140)27022205870b x x x x ≥=--+--+-， 220552(2)x =-=⨯-时，222205870x x -+-的最大值为180，∴68400180b ≥，即380b ≥；当5871x <≤时，26840068400(40)(82)2701223550b x x x x ≥=--+--+-， 当122611(1)x =-=⨯-时，21223550x x -+-的最大值为171，∴68400171b ≥，即400b ≥．综合两种情形得380b ≥，即该店最早需要380天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为55元．例题5. 某服装经销商甲库存有进价每套400元的A 品牌服装1200套，正常销售时每套600元，每月可卖出100套，一年刚好卖完，现市场上流行B 品牌服装，此品牌服装进价每套200元，售出每套500元，每月可卖出120套（两种服装的市场行情相互不受影响），目前有一可进B 品牌服装的机会，若这一机会错过，估计一年内进不到这种服装，可是经销商手头无流动资金可用，只有折价转让A 品牌服装，经与销售商乙协商，达成协议，转让方案一：不转让A 品牌服装，也不经销B 品牌服装； 方案二：全部转让A 品牌服装，用转让得来的资金一次性购入B 品牌服装，经销B 品牌服装； 方案三：为谋求更高利润，部分转让A 品牌服装，用转让来的资金一次性购入B 品牌服装后，经销B 品牌服装，同时也经销A 品牌服装．（1）如经锁商甲选择方案一，则他在一年内能获得多少利润？ （2）如经销商甲选择方案二，则他在一年内能获得多少利润？（3）经锁商甲选择哪种方案可以使自己在一年内获得最大利润？并求出此时他转让经销商乙的A 品牌服装的数量是多少？此时他在这一年内共得利润多少元？ 【答案】（1）方案一得1200(600200)240000⨯-=（元）；（2）方案二得12002401200(240400)(500200)240000200⨯⨯-+⨯-=（元）； （3）设转让数量为x 件，转让价格为y ，有表格关系得：136010y x =-+，则总利润(400)(500200)(1200)(600400)200xyz x y x =-+⨯-+-⨯-2211300240000(600)33000044x x x =-++=--+则转让600件时，利润最大为330000元.例题6. 某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A 、B 两类，A类杨梅包装后直接销售；B 类杨梅深加工后再销售．A 类杨梅的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格y （单位：万元/吨）与销售数量(2)x x ≥之间的函数关系如图；B 类杨梅深加工总费用s （单位：万元）与加工数量t （单位：吨）之间的函数关系是123s t =+，平均销售价格为9万元/吨．（1）直接写出A 类杨梅平均销售价格y 与销售量x 之间的函数关系式；（2）第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A 类杨梅有x 吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w 万元（毛利润=销售总收入-经营总成本）． ①求w 关于x 的函数关系式；②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A 类杨梅有多少吨？ （3）第二次，该公司准备投入132万元资金，请设计一种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．【答案】 （1）①当28x ≤<时，如图， 设直线AB 解析式为：y kx b =+，将(2,12)A 、(8,6)B 代入得：21286k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得114k b =-⎧⎨=⎩， ∴14y x =-+；②当8x ≥时，6y =．所以A 类杨梅平均销售价格y 与销售量x 之间的函数关系式为： 14(28)6(8)x x y x -+≤<⎧=⎨≥⎩；（2）设销售A 类杨梅x 吨，则销售B 类杨梅(20)x -吨．①当28x ≤<时，2(14)13A w x x x x x =-+-=-+； 9(20)[123(20)]1086B w x x x =--+-=-∴320A B w w w =+-⨯2(13)(1086)60x x x =-++--2748x x =-++； 当8x ≥时，65A w x x x =-=；9(20)[123(20)]1086B w x x x =--+-=- ∴320A B w w w =+-⨯(5)(1086)60x x =+--48x =-+．∴w 关于x 的函数关系式为：2748(28)48(8)x x x w x x ⎧-++≤<=⎨-+≥⎩．②当28x ≤<时，274830x x -++=，解得19x =，22x =-，均不合题意；当8x ≥时，4830x -+=，解得x =18．∴当毛利润达到30万元时，直接销售的A 类杨梅有18吨．（3）设该公司用132万元共购买了m 吨杨梅，其中A 类杨梅为x 吨，B 类杨梅为()m x -吨，则购买费用为3m 万元，A 类杨梅加工成本为x 万元，B 类杨梅加工成本为[123()]m x +-万元， ∴39[123()]132m x m x +++-=，化简得：360x m =-． ①当28x ≤<时，2(14)13A w x x x x x =-+-=-+； 9()[123()]6612B w m x m x m x =--+-=--∴3A B w w w m =+-⨯2(13)(6612)3m x x m x =-++---27312x x m =-++-．将360m x =+代入得：22848(4)64w x x x =-++=--+∴当4x =时，有最大毛利润64万元，此时643m =，523m x -=；②当8x ≥时，65A w x x x =-=；9()[123()]6612B w m x m x m x =--+-=-- ∴3A B w w w m =+-⨯(5)(6612)3m x m x =+---312x m =-+-．将360m x =+代入得：48w =，∴当8x >时，有最大毛利润48万元．综上所述，购买杨梅共643吨，其中A 类杨梅4吨，B 类523吨，公司能够获得最大毛利润，最大毛利润为64万元．例题7.（1）如图7-1，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为_______米．（2）如图7-2，一个横断面为抛物线形的拱桥，当水面宽4m 时，拱顶离水面2m ．当水面下降1m 时，此时水面的宽度增加了______________（结果保留根号）．（3）如图7-3，在水平地面点A 处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B ，有人在直线AB 上点C （靠点B 一侧）竖直向上摆放若干个无盖的圆柱形桶．试图让网球落入桶内，已知4AB =米，3AC =米，网球飞行最大高度5OM =米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．当竖直摆放圆柱形桶至少______________个时，网球可以落入桶内．图7-1 图7-2 图7-3【答案】（1）0.5；（2）4)m ；（3）8．例题8. 某物体从P 点运动到Q 点所用时间为7秒，其运动速度v （米每秒）关于时间t （秒）的函数关系如图所示. 某学习小组经过探究发现：该物体前进3秒运动的路程在数值上等于矩形AODB 的面积.由物理学知识还可知：该物体前(37)t t <≤秒运动的路程在数值上等于矩形AODB 的面积与梯形BDNM 的面积之和. 根据以上信息，完成下列问题： （1）当37t <≤时，用含t 的式子表示v ； （2）分别求该物体在03t ≤≤和37t <≤时，运动的路程S (米)关于时间t (秒)的函数关系式；并求该物体从P 点运动到Q 总路程的710时所用的时间． 【答案】（1）由题意得，当37t ≤≤时，v ，t 为一次函数设为v kt b =+；代入点(3,2) (7,10)得到24v t =-，（2）当03t ≤≤时，12S t =，当37t <≤时，2123[2(24)](3)2S t t =⨯++--，即22,40379,3t S t t t t ⎧=⎨-+≤≤<≤⎩，总路程为总面积为62430+=米，7302110⨯=米6>米，令221S =，得24921t t -+=，解得6t =，或2t =-舍，故从P 点运动到Q 总路程的710时所用的时间为6秒．)例题9. 某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）符合一次函数y kx b =+，且65x =时，55y =；75x =时，45y =． （1）求一次函数y kx b =+的表达式；（2）若该商场获得利润为W 元，试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x 的范围． 【答案】（1）根据题意得65557545.k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得1k =-，120b =．所求一次函数的表达式为120y x =-+．（2）22(60)(120)1807200(90)900W x x x x x =-⋅-+=-+-=--+， 抛物线的开口向下，∴当90x <时，W 随x 的增大而增大，而6087x ≤≤， ∴当87x =时，2(8790)900891W =--+=．∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元． （3）由500W =，得25001807200x x =-+-，整理得，218077000x x -+=，解得，170x =，2110x =．由图象可知，要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，而6087x ≤≤，所以，销售单价x 的范围是7087x ≤≤．例题10. 某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店经营，了解到一种成本为20元/件（1）请计算第几天该商品的销售单价为35元/件？（2）求该网店第x 天获得的利润y 关于x 的函数关系式．（3）这40天中该网店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）当120x ≤≤时，令130352x +=，得10x =．当2140x ≤≤时，令5252035x+=，得35x =．即第10天或者第35天该商品的销售单价为35元/件．（2）当120x ≤≤时，2113020(50)1550022y x x x x ⎛⎫=+--=-++ ⎪⎝⎭，当2140x ≤≤时，525262502020(50)525y x x x ⎛⎫=+--=- ⎪⎝⎭．∴2115500(120)226250525(2140)x x x y x x⎧-++⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩≤≤≤≤（3）当120x ≤≤时，221115500(15)612.522y x x x =-++=--+∵102-<，∴当15x =时，y 有最大值1y ，且1612.5y =．当2140x ≤≤时，∵262500>，∴26250x 随着x 的增大而减小，∴21x =时，26250x 最大．于是，21x =时，26250525y x =-有最大值2y ，且22625052572521y =-=．∵12y y <．∴这40天中第21天时该网店获得利润最大，最大利润为725元．例题11. 某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品．已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计120万元．在销售过程中发现，年销售量y （万件）与销售单价x （元）之间存在着如图所示的一次函数关系．（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）试写出该公司销售该种产品的年获利z （万元）关于销售单价x （元）的函数关系式（年获利=年销售额-年销售产品总进价-年总开支）．当销售单价x 为何值时，年获利最大？并求这个最大值；（3）若公司希望该种产品一年的销售获利不低于．．．40万元，借助（2）中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？ 【答案】（1）如图可知两点坐标为(60, 5)，(80, 4)代入y kx b =+得1820y x =-+ （2）由题意可得1188401202020z x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理得21(100)6020z x =--+，故当销售单价100x =时，最大利润为60万元 （3）由题意22140(100)6040(100)40020z x x ≥⇒--+≥⇒-≤ 201002080120x x ∴-≤-≤⇒≤≤要求y 尽可能大，所以x 尽可能小，故当80x =，保证销售最大又达到指标.)例题12. 如图所示，公园要建造圆形的喷水池，水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA ，O恰在水面中心， 1.25m OA =，由柱子顶端A 处喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在OA 距离为1m 处达到距水面最大高度2.25m ．（1）若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不能落到池外？（2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3.5m ，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？【答案】（1）以O 为原点，顶点为(1, 2.25)，设解析式为2(1) 2.25y a x =-+过点(0, 1.25)，解得1a =-，所以解析式为：2(1) 2.25y x =--+，令0y =，则2(1) 2.250x --+=，解得 2.5x =或0.5x =-（舍去），所以花坛半径至少为2.5m ．（2）根据题意得出：设2y x bx c =-++，把点(0, 1.25) (3.5, 0) ∴ 1.25497042c b c =⎧⎪⎨-++=⎪⎩，解得：22754b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴2222511729747196y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭， ∴水池的半径为3.5m ，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达729196米．A O例题13. “城市发展交通先行”，成都市今年在中心城区启动了缓堵保畅的二环路高架桥快速通道建设工程，建成后将大大提升二环路的通行能力．研究表明，某种情况下，高架桥上的车流速度V （单位：千米/时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数，且当028x <≤时，80V =；当28188x <≤时，V 是x 的一次函数. 函数关系如图所示.（1）求当28188x <≤时，V 关于x 的函数表达式；（2）若车流速度V 不低于50千米/时，求当车流密度x 为多少时，车流量P （单位：辆/时）达到最大，并求出这一最大值．（注：车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量=车流速度×车流密度）【答案】 （1）设函数解析式为V kx b =+， 则28801880k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：1294k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 故V 关于x 的函数表达式为：1942V x =-+； （2）由题意得，194502V x =-+≥， 解得：88x ≤，又211949422P Vx x x x x ⎛⎫==-+=-+ ⎪⎝⎭，当088x <≤时，函数为增函数，即当88x =时，P 取得最大，故2max 188948844002P =-⨯+⨯=． 即当车流密度达到88辆/千米时，车流量P 达到最大，最大值为4400辆/时．千米）。
广东省2020年中考数学试题(解析版)
2020年广东省初中学业水平考试数学一、选择题（本大题10小题，每小題3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．1.9的相反数是( )A. 9B. 9-C. 19D. 19- 【答案】B【解析】根据相反数的定义：“只有符号不同的两个数互为相反数”可知，9的相反数是-9.故选B.2.一组数据2，4，3，5，2的中位数是（ ）A. 5B. 35C. 3D. 25【答案】C【解析】【分析】把这组数据从小到大的顺序排列，取最中间位置的数就是中位数．【详解】把这组数据从小到大的顺序排列：2，2，3，4，5，处于最中间位置的数是3，∴这组数据的中位数是3，故选：C ．【点睛】本题考查了求中位数，熟练掌握中位数的求法是解答的关键．3.在平面直角坐标系中，点(3,2)关于x 轴对称的点的坐标为（ ）A. (3,2)-B. (2,3)-C. (2,3)-D. (3,2)- 【答案】D【解析】【分析】利用关于x 轴对称的点坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可．【详解】点(3,2)关于x 轴对称的点的坐标为（3，-2），故选：D ．【点睛】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解答的关键．4.若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】【分析】根据内角和公式即可求解．【详解】设这个多边形的边数为n,∴（n-2）×180°=540°解得n=5故选B ．【点睛】此题主要考查多边形的内角和，解题的关键是熟知内角和公式．5.在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）A. 2x ≠B. 2x ≥C. 2x ≤D. 2x ≠-【答案】B【解析】【分析】根据二次根式里面被开方数240x -≥即可求解．【详解】解：由题意知：被开方数240x -≥，解得：2x ≥，故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，必须保证被开方数大于等于0．6.已知ABC ∆的周长为16，点D ，E ，F 分别为ABC ∆三条边的中点，则DEF ∆的周长为（）A. 8B.C. 16D. 4【答案】A【解析】【分析】由D ，E ，F 分别为ABC ∆三条边的中点，可知DE 、EF 、DF 为ABC ∆的中位线，即可得到DEF ∆的周长．【详解】解：如图，∵D ，E ，F 分别为ABC ∆三条边的中点， ∴12DF BC =，12DE AC =，12EF AB =， ∵16BC AC AB ++=， ∴()1116822DF DE EF BC AC AB ++=++=⨯=， 故选：A ．【点睛】本题考查了三角形的中位线，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边且是第三边的一半是解题的关键．7.把函数2(1)2y x =-+的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ）A. 22y x =+B. 2(1)1y x =-+ C. 2(2)2y x =-+D. 2(1)3y x =-- 【答案】C【解析】【分析】 抛物线在平移时开口方向不变，a 不变，根据图象平移的口诀“左加右减、上加下减”即可解答．【详解】把函数2(1)2y x =-+的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为[]22(1)12(2)2y x x =--+=-+， 故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解答的重点在于熟练掌握图象平移时函数表达式的变化特点．8.不等式组23112(2)x x x -≥-⎧⎨-≥-+⎩的解集为（ ） A. 无解B. 1x ≤C. 1x ≥-D. 11x -≤≤【答案】D【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【详解】解：解不等式2−3x≥−1，得：x≤1，解不等式x−1≥−2（x ＋2），得：x≥−1，则不等式组的解集为−1≤x≤1，故选：D ．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．9.如图，在正方形ABCD 中，3AB =，点E ，F 分别在边AB ，CD 上，60EFD ∠=︒．若将四边形EBCF 沿EF 折叠，点B 恰好落在AD 边上，则BE 的长度为（ ） A. 12 3 D. 2【答案】D【解析】【分析】由CD ∥AB 得到∠EFD=∠FEB=60°，由折叠得到∠FEB=∠FEB’=60°，进而得到∠AEB’=60°，然后在Rt △AEB’中由30°所对直角边等于斜边一半即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴CD ∥AB ，∴∠EFD=∠FEB=60°，由折叠前后对应角相等可知：∠FEB=∠FEB’=60°，∴∠AEB’=180°-∠FEB-∠FEB’=60°，∴∠AB’E=30°，设AE=x ,则BE=B’E=2x ，∴AB=AE+BE=3x =3，∴x =1，∴BE=2x =2，故选：D ．【点睛】本题借助正方形考查了折叠问题，30°角所对直角边等于斜边的一半等知识点，折叠问题的性质包括折叠前后对应边相等，对应角相等，折叠产生角平分线，由此即可解题．10.如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴是1x =．下列结论：①0abc >；②240b ac ->；③80a c +<；④520a b c ++>，正确的有（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】B【解析】【分析】 由抛物线的性质和对称轴是1x =，分别判断a 、b 、c 的符号，即可判断①；抛物线与x 轴有两个交点，可判断②；由12b x a =-=，得2b a =-，令2x =-，求函数值，即可判断③；令2x =时，则420y a b c =++>，令1x =-时，0y a b c =-+>，即可判断④；然后得到答案．【详解】解：根据题意，则0a <，0c >， ∵12b x a=-=， ∴20b a =->，∴0abc <，故①错误；由抛物线与x 轴有两个交点，则240b ac ->，故②正确；∵2b a =-，令2x =-时，420y a b c =-+<，∴80a c +<，故③正确；在2y ax bx c =++中，令2x =时，则420y a b c =++>，令1x =-时，0y a b c =-+>，由两式相加，得520a b c ++>，故④正确；∴正确的结论有：②③④，共3个；故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，熟练判断各个式子的符号．二、填空题（本大题7小題，每小题4分，共28分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．11.分解因式：xy ―x ＝_____________．【答案】x (y －1)【解析】试题解析：xy ―x ＝x (y －1)12.若3m x y 与25nx y -是同类项，则m n +=___________． 【答案】3【解析】【分析】本题考查同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，根据同类项的定义中相同字母的指数也相同，可求得m 和n 的值，根据合并同类项法则合并同类项即可．【详解】解：由同类项的定义可知，m=2，n=1，∴m+n=3故答案为3．13.|1|0b +=，则2020()a b +=_________．【答案】1【解析】【分析】根据绝对值的非负性和二次根式的非负性得出a ，b 的值，即可求出答案． 【详解】∵2|1|0a b -++=∴2a =，1b =-，∴2020()a b +=202011=，故答案为：1．【点睛】本题考查了绝对值的非负性，二次根式的非负性，整数指数幂，得出a ，b 的值是解题关键． 14.已知5x y =-，2xy =，计算334x y xy +-的值为_________．【答案】7【解析】【分析】将代数式化简，然后直接将5x y +=，2xy =代入即可．【详解】由题意得5x y +=，2xy =，∴3343()41587x y xy x y xy +-=+-=-=，故答案为：7．【点睛】本题考查了提取公因式法，化简求值，化简334x y xy +-是解题关键．15.如图，在菱形ABCD 中，30A ∠=︒，取大于12AB 的长为半径，分别以点A ，B 为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD 边于点E （作图痕迹如图所示），连接BE ，BD ，则EBD ∠的度数为_________．【答案】45°【解析】【分析】根据题意知虚线为线段AB 的垂直平分线，得AE=BE ，得EBA EAB ∠=∠；结合30A ∠=°，1275ABD ABC =∠=︒，可计算EBD ∠的度数． 【详解】18030150ABC ∠=-=︒︒︒1275ABD ABC =∠=︒ ∵AE EB =∴EAB EBA ∠=∠∴753045EBD ∠=-=︒︒︒故答案为：45°．【点睛】本题考查了菱形的性质，及垂直平分线的性质，熟知以上知识点是解题的关键．16.如图，从一块半径为1m 的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC ，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为_________m ．【答案】13【解析】【分析】连接OA ，OB ，证明△AOB 是等边三角形，继而求得AB 的长，然后利用弧长公式可以计算出BOC 的长度，再根据扇形围成圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长即可作答．【详解】连接OA ，OB ，则∠BAO=12∠BAC=11202⨯︒=60°， 又∵OA=OB ，∴△AOB 是等边三角形，∴AB=OA=1，∵∠BAC=120°，∴OB C 的长为：120AB2 1803ππ=，设圆锥底面圆的半径为r223rππ=13r=故答案为13．【点睛】本题主要考查了弧长公式以及扇形弧长与底面圆周长相等的知识点，借助等量关系即可算出底面圆的半径．17.有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，90ABC∠=︒，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，4MN=，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为_________．【答案】252【解析】【分析】根据当B、D、E三点共线，距离最小，求出BE和BD即可得出答案．【详解】如图当B、D、E三点共线，距离最小，∵4MN =，E 为MN 的中点，∴2BE =，224225BD +=252DE BD BE =-=，故答案为：252．【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，两点间的距离线段最短，判断出距离最短的情况是解题关键．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）18.先化简，再求值：22()()()2x y x y x y x +++--，其中2x =3y =【答案】2xy ；26【解析】【分析】根据完全平方公式、平方差公式、整式的加减运算法则进行运算即可，最后代入数据即可求解．【详解】解：原式2222222x xy y x y x =+++-- 2xy =，将2x ，3y =原式223=26=．故答案为：26【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式的运算，实数的化简求值，熟练掌握公式及运算法则是解决此类题的关键．19.某中学开展主题为“垃圾分类知多少”的调查活动，调查问卷设置了“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级，要求每名学生选且只能选其中一个等级．随机抽取了120名学生的有效问卷，数据整理如下：等级 非常了解 比较了解 基本了解 不太了解 人数（人）24 72 18 x（1）求x 的值；（2）若该校有学生1800人，请根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生共有多少人？【答案】（1）6 （2）1440人【解析】【分析】（1）根据四个等级的人数之和为120求出x 的值；（2）用总人数乘以样本中“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生占被调查人数的比例即可求出结果．【详解】（1）解：由题意得：247218120x +++=解得6x =（2）解：247218001440120+⨯=（人） 答：估算“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生有1440人.【点睛】本题主要考查了用样本估计总体，属于基础题目，审清题意，找到对应数据是解题的关键． 20.如图，在ABC ∆中，点D ，E 分别是AB 、AC 边上的点，BD CE =，ABE ACD ∠=∠，BE 与CD 相交于点F ，求证：ABC ∆是等腰三角形．【答案】见解析【解析】【分析】先证明BDF CEF ∆∆≌，得到BF CF =，FBC FCB ∠=∠，进而得到A ABC CB =∠∠，故可求解．【详解】证明：在BDF ∆和CEF ∆中()DFB EFC FBD FCEBD CE ⎧∠=∠⎪∠=∠⎨⎪=⎩对顶角相等 ∴()BDF CEF AAS ∆∆≌∴BF CF =∴FBC FCB ∠=∠又∵ABE ACD ∠=∠∴FBC ABE FCB ACD ∠+∠=∠+∠即A ABC CB =∠∠∴ABC ∆是等腰三角形．【点睛】此题主要考查等腰三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）21.已知关于x ，y的方程组4ax x y ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩215x y x by -=⎧⎨+=⎩的解相同． （1）求a ，b 的值；（2）若一个三角形的一条边的长为x 的方程20x ax b ++=的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．【答案】（1）-12 （2）等腰直角三角形，理由见解析【解析】【分析】（1）关于x ，y的方程组4ax x y ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩215x y x by -=⎧⎨+=⎩的解相同．实际就是方程组 42x y x y +=⎧⎨-=⎩的解，可求出方程组的解，进而确定a 、b 的值； （2）将a 、b 的值代入关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0，求出方程的解，再根据方程的两个解与判断三角形的形状．【详解】解：由题意列方程组：42x y x y +=⎧⎨-=⎩解得31x y =⎧⎨=⎩将3x =，1y =分别代入23103ax y +=-和15x by += 解得43a =-，12b =∴43a =-，12b =（2）243120x x -+=解得434848232x ±-== 这个三角形是等腰直角三角形理由如下：∵222(23)(23)(26)+=∴该三角形是等腰直角三角形．【点睛】本题考查一次方程组、一元二次方程的解法以及等腰直角三角形的判定，掌握一元二次方程的解法和勾股定理是得出正确答案的关键．22.如图1，在四边形ABCD 中，//AD BC ，90DAB ∠=︒，AB 是O 的直径，CO 平分BCD ∠．（1）求证：直线CD 与O 相切；（2）如图2，记（1）中的切点为E ，P 为优弧AE 上一点，1AD =，2BC =.求tan APE ∠的值．【答案】（1）证明见解析；（2）22．【解析】【分析】（1）如图（见解析），先根据平行线的性质得出OB CB ⊥，再根据角平分线的性质可得OE OB =，然后根据圆的切线的判定即可得证；（2）如图（见解析），先根据圆周角定理可得APE ABE ∠=∠，90AEB =︒∠，再根据圆的切线的判定、切线长定理可得2,1CE BC DE AD ====，然后根据相似三角形的判定与性质可得12AE DE EF CE ==，设AE a =，从而可得2EF a =，又根据相似三角形的判定与性质可得BE AE EF BE =，从而可得2BE a =，最后根据正切三角函数的定义即可得．【详解】（1）如图，过点O 作OE CD ⊥于点E∵//AD BC ，90DAB ∠=︒∴90OBC ∠=︒，即OB CB ⊥又∵CO 平分BCD ∠，OE CD ⊥∴OE OB =即OE 是O 的半径∴直线CD 与O 相切； （2）如图，连接BE ，延长AE 交BC 延长线于点F由圆周角定理得：APE ABE ∠=∠，90AEB =︒∠AB 是O 的直径，AB AD ⊥，AB BC ⊥∴AD 、BC 都是O 的切线由切线长定理得：2,1CE BC DE AD ====∵//AD BC∴DAE CFE ∠=∠在ADE 和FCE △中，AED FEC DAE CFE∠=∠⎧⎨∠=∠⎩∴ADE FCE ~ ∴12AE DE EF CE == 设(0)AE a a =>，则2EF a =90BAE ABE FBE ABE ∠+∠=∠+∠=︒BAE FBE ∴∠=∠在ABE △和BFE △中，90BAE FBE AEB BEF ∠=∠⎧⎨∠=∠=︒⎩ABE BFE ∴~BE AE EF BE ∴=，即2BE a a BE= 解得2BE a =在Rt ABE △中，2tan 2AE ABE BE a∠=== 则2tan tan 2APE ABE ∠=∠=．【点睛】本题考查了圆的切线的判定与性质、圆周角定理、切线长定理、相似三角形的判定与性质、正切三角函数等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．23.某社区拟建A ，B 两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A 类摊位的占地面积比每个B 类摊位的占地面积多2平方米，建A 类摊位每平方米的费用为40元，建B 类摊位每平方米的费用为30元，用60平方米建A 类摊位的个数恰好是用同样面积建B 类摊位个数的35． （1）求每个A ，B 类摊位占地面积各为多少平方米？（2）该社拟建A ，B 两类摊位共90个，且B 类摊位的数量不少于A 类摊位数量的3倍.求建造这90个摊位的最大费用．【答案】（1）5平方米；3平方米 （2）10520元【解析】【分析】（1）设A 类摊位占地面积x 平方米，则B 类占地面积()2x -平方米，根据同等面积建立A 类和B 类的倍数关系列式即可；（2）设建A 类摊位a 个，则B 类(90)a -个，设费用为z ，由（1）得A 类和B 类摊位的建设费用，列出总费用的表达式，根据一次函数的性质进行讨论即可．【详解】解：（1）设每个A 类摊位占地面积x 平方米，则B 类占地面积()2x -平方米 由题意得6060325x x =⨯- 解得5x =，∴23x -=，经检验5x =为分式方程的解∴每个A 类摊位占地面积5平方米，B 类占地面积3平方米（2）设建A 类摊位a 个，则B 类(90)a -个，费用为z∵3(90)a a ≤-∴022.5a <≤405303(90)z a a =⨯+⨯-1108100a =+，∵110>0，∴z 随着a 的增大而增大，又∵a 为整数，∴当22a =时z 有最大值，此时10520z =∴建造90个摊位的最大费用为10520元【点睛】本题考查了一次函数的实际应用问题，熟练的掌握各个量之间的关系进行列式计算，是解题的关键．五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）24.如图，点B 是反比例函数8y x =（0x >）图象上一点，过点B 分别向坐标轴作垂线，垂足为A ，C ，反比例函数k y x=（0x >）的图象经过OB 的中点M ，与AB ，BC 分别相交于点D ，E ．连接DE 并延长交x 轴于点F ，点G 与点O 关于点C 对称，连接BF ，BG ．（1）填空：k =_________；（2）求BDF ∆的面积；（3）求证：四边形BDFG 为平行四边形．【答案】（1）2 （2）3 （3）见解析【解析】【分析】（1）根据题意设点B 的坐标为（x ，8x ），得出点M 的坐标为（2x ，4x ），代入反比例函数k y x =（0x >），即可得出k ；（2）连接OD ，根据反比例函数系数k 的性质可得||12AOD k S ∆==，842AOB S ∆==，可得413BOD S ∆=-=，根据//OF AB ，可得点F 到AB 的距离等于点O 到AB 距离，由此可得出答案；（3）设(),B B B x y ，(),D D D x y ，可得8B B x y ⋅=，2D D x y ⋅=，根据B D y y =，可得4B D x x =，同理4B E y y =，可得31BE EC =，34BD AB =，证明EBD ECF ∆∆∽，可得13CF CE BD BE ==，根据43OC AB BD BD ==，得出41OC CF =，根据O ，G 关于C 对称，可得OC CG =，4CG CF =，3FG CF =，可得BD FG =，再根据//BD FG ，即可证明BDFG 是平行四边形． 【详解】解：（1）∵点B 在8y x =上， ∴设点B 的坐标为（x ，8x）， ∴OB 中点M 的坐标为（2x ，4x）， ∵点M 在反比例函数k y x=（0x >）， ∴k=2x ·4x=2， 故答案为：2；（2）连接OD ，则||12AOD k S ∆==， ，∵842AOB S ∆==， ∴413BOD S ∆=-=，∵//OF AB ，∴点F 到AB 的距离等于点O 到AB 距离，∴3BDF BDO S S ∆∆==；（3）设(),B B B x y ，(),D D D x y ，8B B x y ⋅=，2D D x y ⋅=，又∵B D y y =，∴4B D x x =，同理4B E y y =，∴31BE EC =，34BD AB =， ∵//AB BC ，∴EBD ECF ∆∆∽， ∴13CF CE BD BE ==， ∵43OC AB BD BD ==， ∴41OC CF =， ∴O ，G 关于C 对称，∴OC CG =，∴4CG CF =，∴43FG CG CF OF CF CF =-=-=，又∵3BD CF =，∴BD FG =，又∵//BD FG ，∴BDFG 是平行四边形．【点睛】本题考查了反比例函数系数的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定，平行线的性质，灵活运用知识点是解题关键．25.如图，抛物线233y x bx c +=++与x 轴交于A ，B 两点，点A ，B 分别位于原点的左、右两侧，33BO AO ==，过点B 的直线与y 轴正半轴和抛物线的交点分别为C ，D ，3BC CD =．（1）求b ，c 的值； （2）求直线BD 的函数解析式；（3）点P 在抛物线的对称轴上且在x 轴下方，点Q 在射线BA 上，当ABD ∆与BPQ ∆相似时，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标．【答案】（1）313--；3322-- （2）333=-y x （3）231⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，(13,0)-，431,0⎫-⎪⎪⎝⎭，(523,0)-【解析】【分析】（1）根据33BD AO ==，得出(10)A -，，(30)B ，，将A ，B 代入233y x bx c +=++得出关于b ，c 的二元一次方程组求解即可； （2）根据二次函数是2(33)33316322y x x ⎛⎫+=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭，3BC CD =，(3,0)B ，得出D 的横坐标为，代入抛物线解析式求出(1)D ，设BD 得解析式为：y kx b =+，将B ，D 代入求解即可； （3）由题意得tan ∠tan ∠ADB=1，由题意得抛物线的对称轴为直线x=1，设对称轴与x 轴交点为M ，P （1，n ）且n<0，Q （x ，0）且x<3，分①当△PBQ ∽△ABD 时，②当△PQB ∽△ABD 时，③当△PQB ∽△DAB 时，④当△PQB ∽△ABD 时四种情况讨论即可．【详解】解：（1）∵33BD AO ==，∴(10)A -，，(30)B ，， ∴将A ，B代入2y x bx c =++得030b c b c -+=++=，解得132b c ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴13b =--，322c =--； （2）∵二次函数是2312y x x ⎛=-- ⎝⎭，BC =，(3,0)B ， ∴D的横坐标为代入抛物线解析式得3312y ⎛=++ ⎝⎭312=-1=∴(1)D ，设BD 得解析式为：y kx b =+将B ，D代入得103b k b =+=+⎪⎩，解得3k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BD的解析式为=y ； （3）由题意得tan ∠tan ∠ADB=1， 由题意得抛物线的对称轴为直线x=1，设对称轴与x 轴交点为M ，P （1，n ）且n<0，Q （x ，0）且x<3， ①当△PBQ ∽△ABD 时，tan ∠PBQ=tan ∠ABD 即2n -=3， 解得tan ∠PQB=tan ∠ADB 即11n x-=-， 解得此时Q 的坐标为（，0）； ②当△PQB ∽△ABD 时，tan ∠PBQ=tan ∠ADB 即2n -=1， 解得n=-2，tan ∠QPB=tan ∠ABD 即1n x --， 解得x=1-此时Q 的坐标为（1-0）；③当△PQB ∽△DAB 时，tan ∠PBQ=tan ∠ABD 即2n -解得tan ∠PQM=tan ∠DAE即1n x -=-，解得x=3-1，此时Q 的坐标为（3-1，0）； ④当△PQB ∽△ABD 时，tan ∠PBQ=tan ∠ABD 即2n -=1， 解得n=-2，tan ∠PQM=tan ∠DAE 即1n x -=-，解得x=5-Q 的坐标为（5-0）；综上：Q 的坐标可能为13⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，(1-，1,03⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，(5-． 【点睛】本题考查了二次函数，一次函数，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，掌握知识点灵活运用是解题关键．。
2020年初三数学中考复习《一次函数的应用》专项训练(含答案)
2020年初三数学中考复习《一次函数的应用》专项训练1. 大剧院举行专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张5元，暑假期间，为了丰富广大师生的业余文化生活，大剧院制定了两种优惠方案，方案①：购买一张成人票赠送一张学生票；方案②：按总价的90%付款，某校有4名老师与若干名(不少于4人)学生听音乐会．(1)设学生人数为x(人)，付款总金额为y(元)，分别求出两种优惠方案中y与x的函数关系式；(2)请计算并确定出最节省费用的购票方案．2. 小李是某服装厂的一名工人，负责加工A，B两种型号服装，他每月的工作时间为22天，月收入由底薪和计件工资两部分组成，其中底薪900元，加工A型服装1件可得20元，加工B型服装1件可得12元．已知小李每天可加工A型服装4件或B型服装8件，设他每月加工A型服装的时间为x天，月收入为y元．(1)求y与x的函数关系式；(2)根据服装厂要求，小李每月加工A型服装数量应不少于B型服装数量的35，那么他的月收入最高能达到多少元？3. 某汽车运输公司根据实际需要计划购买大、中型两种客车共20辆，已知大型客车每辆62万元，中型客车每辆40万元，设购买大型客车x(辆)，购车总费用为y(万元)．(1)求y与x的函数关系式；(不要求写出自变量x的取值范围)(2)若购买中型客车的数量少于大型客车的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．4. 昨天早晨7点，小明乘车从家出发，去西安参加中学生科技创新大赛，赛后，他当天按原路返回，如图，是小明昨天出行的过程中，他距西安的距离y(千米)与他离家的时间x(时)之间的函数图象．根据下面图象，回答下列问题：(1)求线段AB所表示的函数关系式；(2)已知昨天下午3点时，小明距西安112千米，求他何时到家？5. 胡老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游，经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人640元，且提供的服务完全相同，针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过20人，每人都按九折收费，超过20人，则超出部分每人按七五折收费，假设组团参加甲、乙两家旅行社两日游的人数均为x人．(1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用y(元)与x(人)之间的函数关系式；(2)若胡老师组团参加两日游的人数共有32人，请你计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助胡老师选择收取总费用较少的一家．6. 科学研究发现，空气含氧量y(克/立方米)与海拔高度x(米)之间近似地满足一次函数关系．经测量，在海拔高度为0米的地方，空气含氧量约为299克/立方米；在海拔高度为2000米的地方，空气含氧量约为235克/立方米．(1)求出y与x的函数关系式；(2)已知某山的海拔高度为1200米，请你求出该山山顶处的空气含氧量约为多少？7. 小李从西安通过某快递公司给在南昌的外婆寄一盒樱桃，快递时，他了解到这个公司除收取每次6元的包装费外，樱桃不超过1 kg收费22元，超过1 kg，则超出部分按每千克10元加收费用．设该公司从西安到南昌快递樱桃的费用为y(元)，所寄樱桃为x(kg)．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)已知小李给外婆快寄了2.5 kg樱桃，请你求出这次快寄的费用是多少元？8. “十一节”期间，申老师一家自驾游去了离家170千米的某地，下面是他们离家的距离y(千米)与汽车行驶时间x(小时)之间的函数图象．(1)求他们出发半小时时，离家多少千米？(2)求出AB段图象的函数表达式；(3)他们出发2小时时，离目的地还有多少千米？9. 由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随时间的增加而减少，已知原有蓄水量y1(万m3)与干旱持续时间x(天)的关系如图中线段l1所示，针对这种干旱情况，从第20天开始向水库注水，注水量y2(万m3)与时间x(天)的关系如图中线段l2所示(不考虑其他因素)．(1)求原有蓄水量y1(万m3)与时间x(天)的函数关系式，并求当x＝20时的水库总蓄水量；(2)求当0≤x≤60时，水库的总蓄水量y(万m3)与时间x(天)的函数关系式(注明x的范围)，若总蓄水量不多于900万m3为严重干旱，直接写出发生严重干旱时x的范围．10. 周末，小芳骑自行车从家出发到野外郊游，从家出发0.5小时到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地，小芳离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，行驶10分钟时，恰好经过甲地，如图是她们距乙地的路程y(km)与小芳离家时间x(h)的函数图象．(1)小芳骑车的速度为____km/h，H点坐标为__________________；(2)小芳从家出发多少小时后被妈妈追上？此时距家的路程多远？(3)相遇后，妈妈载上小芳和自行车同时到达乙地(彼此交流时间忽略不计)，求小芳比预计时间早几分钟到达乙地？11. 根据卫生防疫部门要求，游泳池必须定期换水、清洗．某游泳池周五早上8：00打开排水孔开始排水，排水孔的排水速度保持不变，期间因清洗游泳池需要暂停排水，游泳池的水在11：30全部排完．游泳池内的水量Q(m3)和开始排水后的时间t(h)之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)暂停排水需要多少时间？排水孔排水速度是多少？(2)当2≤t≤3.5时，求Q关于t的函数表达式．12. 小明和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前行，小明后出发．家到公园的距离为2500 m，如图是小明和爸爸所走的路程s(m)与小明的步行时间t(min)的函数图象．(1)直接写出小明所走路程s与时间t的函数关系式；(2)小明出发多少时间与爸爸第三次相遇？(3)在速度都不变的情况下，小明希望比爸爸早20 min到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需作怎样的调整？13. 某物流公司引进A，B两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运5小时，A种机器人于某日0时开始搬运，过了1小时，B种机器人也开始搬运，如图，线段OG表示A种机器人的搬运量y A(千克)与时间x(时)的函数图象，根据图象提供的信息，解答下列问题：(1)求y B关于x的函数解析式；(2)如果A，B两种机器人连续搬运5个小时，那么B种机器人比A种机器人多搬运了多少千克？14. 某学校计划组织500人参加社会实践活动，与某公交公司接洽后，得知该公司有A，B型两种客车，它们的载客量和租金如表所示：经测算，租用A，B型客车共13辆较为合理，设租用A型客车x辆，根据要求回答下列问题：(1)用含x的代数式填写下表：(2)采用怎样的租车方案可以使总的租车费用最低，最低为多少？15. 为了节约资源，科学指导居民改善居住条件，小强向房管部门提出了一个购买商品房的政策性方案：设一个3口之家购买商品房的人均面积为x平方米，缴纳房款y万元．(1)请求出y关于x的函数关系式；(2)若某3口之家欲购买120平方米的商品房，求其应缴纳的房款．16. 保障我国海外维和部队官兵的生活，现需通过A港口、B港口分别运送100吨和50吨生活物资．已知该物资在甲仓库存有80吨，乙仓库存有70吨，若从甲、乙两仓库运送物资到港口的费用(元/吨)如表所示：(1)设从甲仓库运送到A港口的物资为x吨，求总运费y(元)与x(吨)之间的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)求出最低费用，并说明费用最低时的调配方案．参考答案：1. 解：(1)按优惠方案①可得y1＝20×4＋(x－4)×5＝5x＋60(x≥4)，按优惠方案②可得y2＝(5x＋20×4)×90%＝4.5x＋72(x≥4)(2)因为y1－y2＝0.5x－12(x≥4)，①当y1－y2＝0时，得0.5x－12＝0，解得x ＝24，∴当x＝24时，两种优惠方案付款一样多．②当y1－y2＜0时，得0.5x－12＜0，解得x＜24，∴4≤x＜24时，y1＜y2，优惠方案①付款较少．③当y1－y2＞0时，得0.5x－12＞0，解得x＞24，当x＞24时，y1＞y2，优惠方案②付款较少2. 解：(1)由题意得y＝20×4x＋12×8×(22－x)＋900，即y＝－16x ＋3012(2)依题意得4x≥35×8×(22－x)，∴x≥12.在y＝－16x＋3012中，∵－16＜0，∴y随x的增大而减小．∴当x＝12时，y取最大值，此时y ＝－16×12＋3012＝2820.答：当小李每月加工A型服装12天时，月收入最高，可达2820元3. 解：(1)因为购买大型客车x辆，所以购买中型客车(20－x)辆．y ＝62x＋40(20－x)＝22x＋800(2)依题意得20－x＜x.解得x＞10，∵y＝22x＋800，y随着x的增大而增大，x 为整数，∴当x ＝11时，购车费用最省，为22×11＋800＝1042(万元)，此时需购买大型客车11辆，中型客车9辆，答：购买大型客车11辆，中型客车9辆时，购车费用最省为1042万元4. 解：(1)设线段AB 所表示的函数关系式为y ＝kx ＋b ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝192，2k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－96，b ＝192.故线段AB 所表示的函数关系式为：y ＝－96x ＋192(0≤x≤2)(2)12＋3－(7＋6.6)＝1.4(小时)，112÷1.4＝80(千米/时)，(192－112)÷80＝1(小时)，3＋1＝4(时)．答：他下午4时到家5. 解：(1)甲旅行社的总费用：y 甲＝640×0.85x＝544x ；乙旅行社的总费用：当0≤x≤20时，y 乙＝640×0.9x＝576x ；当x ＞20时，y 乙＝640×0.9×20＋640×0.75(x－20)＝480x ＋1920(2)当x ＝32时，y 甲＝544×32＝17408(元)，y 乙＝480×32＋1920＝17280，因为y 甲＞y 乙，所以胡老师选择乙旅行社6. 解：(1)设y ＝kx ＋b(k≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝299，2000k ＋b ＝235，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－4125，b ＝299，∴y＝－4125x ＋299 (2)当x ＝1200时，y ＝－4125×1200＋299＝260.6(克/立方米)，答：该山山顶处的空气含氧量约为260.6克/立方米7. 解：(1)由题意得，当0＜x≤1时，y ＝22＋6＝28；当x ＞1时，y＝28＋10(x －1)＝10x ＋18.∴y＝⎩⎪⎨⎪⎧28（0＜x≤1）10x ＋18（x ＞1）(2)当x ＝2.5时，y ＝10×2.5＋18＝43，∴这次快寄的费用是43元8. 解：(1)设OA 段图象的函数表达式为y ＝kx ，∵当x ＝1.5时，y ＝90，∴1.5k＝90，∴k＝60，∴y＝60x(0≤x≤1.5)，∴当x ＝0.5时，y ＝60×0.5＝30，故他们出发半小时时，离家30千米(2)设AB 段图象的函数表达式为y ＝k′x ＋b ，∵A(1.5，90)，B(2.5，170)在AB 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧1.5k′＋b ＝90，2.5k′＋b ＝170，解得⎩⎪⎨⎪⎧k′＝80，b ＝－30，∴y ＝80x －30(1.5≤x≤2.5) (3)∵当x ＝2时，y ＝80×2－30＝130，∴170－130＝40，故他们出发2小时时，离目的地还有40千米9. 解：(1)设y 1＝k 1x ＋b 1，把(0，1200)和(60，0)代入到y 1＝k 1x ＋b 1，得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝1200，60k 1＋b 1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－20，b 1＝1200.∴y 1＝－20x ＋1200，当x ＝20时，y 1＝－20×20＋1200＝800(2)设y 2＝k 2x ＋b 2，把(20，0)和(60，1000)代入到y 2＝k 2x ＋b 2中，得⎩⎪⎨⎪⎧20k 2＋b 2＝0，60k 2＋b 2＝1000， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝25，b 2＝－500，∴y 2＝25x －500，当0≤x≤20时，y ＝－20x ＋1200，当20＜x≤60时，y ＝y 1＋y 2＝－20x ＋1200＋25x －500＝5x ＋700，y≤900，则5x ＋700≤900，x≤40，当y 1＝900时，900＝－20x ＋1200，x ＝15，∴发生严重干旱时x 的范围为15≤x≤4010. 解：(1)由函数图象可以得出，小芳家距离甲地的路程为10 km ，花费时间为0.5 h ，故小芳骑车的速度为：10÷0.5＝20(km/h)，由题意可得出，点H 的纵坐标为20，横坐标为：43＋16＝32，故点H 的坐标为(32，20)(2)设直线AB 的解析式为：y 1＝k 1x ＋b 1，将点A(0，30)，B(0.5，20)代入得：y 1＝－20x ＋30，∵AB∥CD，∴设直线CD 的解析式为：y 2＝－20x ＋b 2，将点C(1，20)代入得：b 2＝40，故y 2＝－20x ＋40，设直线EF 的解析式为：y 3＝k 3x ＋b 3，将点E(43，30)，H(32，20)代入得：k 3＝－60，b 3＝110，∴y 3＝－60x ＋110，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－60x ＋110，y ＝－20x ＋40，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1.75，y ＝5，∴点D 坐标为(1.75，5)，30－5＝25(km )，所以小芳出发1.75小时候被妈妈追上，此时距家25 km (3)将y ＝0代入直线CD 的解析式有：－20x ＋40＝0，解得x ＝2，将y ＝0代入直线EF 的解析式有：－60x ＋110＝0，解得x ＝116，2－116＝16(h )＝10(分钟)，故小芳比预计时间早10分钟到达乙地11. 解：(1)暂停排水需要的时间为：2－1.5＝0.5(小时)．∵排水时间为：3.5－0.5＝3(小时)，一共排水900 m 3，∴排水孔排水速度是：900÷3＝300(m 3/h )(2)当2≤t≤3.5时，设Q 关于t 的函数表达式为Q ＝kt ＋b ，易知图象过点(3.5，0)．∵t ＝1.5时，排水300×1.5＝450，此时Q ＝900－450＝450(m 3)，∴(2，450)在直线Q ＝kt ＋b 上．把(2，450)，(3.5，0)代入Q ＝kt ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝450，3.5k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－300，b ＝1050，∴Q 关于t 的函数表达式为Q ＝－300t ＋105012. 解：(1)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 50t （0≤t≤20），1000（20＜t≤30），50t －500（30＜t≤60）(2)设小明的爸爸所走的路程s 与小明的步行时间t 的函数关系式为：s＝kt ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧25k ＋b ＝1000，b ＝250，解得，⎩⎪⎨⎪⎧k ＝30，b ＝250，则小明的爸爸所走的路程与小明的步行时间的关系式为：s ＝30t ＋250，当50t －500＝30t ＋250，即t ＝37.5 min 时，小明与爸爸第三次相遇(3)30t ＋250＝2500，解得t ＝75，则小明的爸爸到达公园需要75 min ，∵小明到达公园需要的时间是60 min ，∴小明希望比爸爸早20 min 到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需减少5 min13. 解：(1)设y B 关于x 的函数解析式为y B ＝kx ＋b(k≠0)．将点(1，0)，(3，180)代入得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝0，3k ＋b ＝180.解得k ＝90，b ＝－90.所以y B 关于x的函数解析式为y B ＝90x －90(1≤x≤6)(2)设y A 关于x 的解析式为y A ＝k 1x.根据题意得3k 1＝180.解得k 1＝60.所以y A ＝60x.当x ＝5时，y A ＝60×5＝300(千克)；x ＝6时，y B ＝90×6－90＝450(千克).450－300＝150(千克)．答：如果A ，B 两种机器人各连续搬运5小时，B 种机器人比A 种机器人多搬运了150千克14. (1) 28(13－x) 250(13－x)(2) 解：设租车的总费用为W 元，则有：W ＝400x ＋250(13－x)＝150x ＋3250.由已知得：45x ＋28(13－x)≥500，解得：x≥8.∵在W ＝150x ＋3250中150＞0，∴当x ＝8时，W 取最小值，最小值为4450元．故租A 型车8辆，B 型车5辆时，总的租车费用最低，最低为4450元15. 解：(1)当0≤x≤30时，y ＝3×0.4x＝1.2x ；当x ＞30时，y ＝3×0.9×(x－30)＋3×0.4×30＝2.7x －45(2)由题意知：该3口之家人均住房面积为：120÷3＝40＞30，在y ＝2.7x －45中，令x ＝40，则y ＝2.7×40－45＝63.∴应缴纳的房款为63万元16. 解：(1)设从甲仓库运x 吨往A 港口，则从甲仓库运往B 港口的有(80－x)吨，从乙仓库运往A 港口的有(100－x)吨，运往B 港口的有50－(80－x)＝(x －30)吨，所以y ＝14x ＋20(100－x)＋10(80－x)＋8(x－30)＝－8x＋2560，x的取值范围是30≤x≤80(2)由(1)得y＝－8x＋2560，y随x的增大而减少，所以当x＝80时总运费最小，当x＝80时，y＝－8×80＋2560＝1920，此时方案为：把甲仓库的物资全部运往A港口，再从乙仓库运20吨往A港口，乙仓库余下的物资全部运往B港口。
2020年陕西省中考数学试题(含答案解析)
2020年陕西省中考数学试卷（共25题，满分120）一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1.・18的相反数是（ ） A. 18B. - 18C.1 1 Q1D.——1 C 2.若ZA = 23° , 则Z4余角的大小是（ )A. 57°B. 67°C. 77°D. 157°3・2019年，我国国内生产总值约为990870亿元，将数字990870用科学记数法表示 为（）A. 9.9087XKFB. 9.9087X 104C. 99.087X 104D. 99.087X1034.如图，是4市某一天的气温随时间变化的情况，则这天的日温差（最高气温与最 6. 如图，在3X3的网格中，每个小正方形的边长均为1, 若是△ABC 的高，则的长为（）C. 12°C D ・ 16°C8 C • -------点A, B, C 都在格点上,低气温的差）是（D.AA. -V13B. -V13 c. -V13 D. -V1312 12 1Q 127.在平面直角坐标系中，O为坐标原点.若直线y=x+3分别与x轴、直线y=・2r交于点A、B,则ZLAOB的面积为（）A. 2B. 3C. 4D. 68.如图，在「ABCD中，AB=5, BC=S. E是边BC的中点，F是Q ABCD内一点，且ZBFC=90°•连接AF并延长，交CD于点G.若EF//AB,则DG的长为（）9•如图，AABC内接于OO, ZA = 50° • E是边BC的中点，连接OE并延长，交OO于点D,连接BD,则ZD的大小为（）A. 55°B. 65°C. 60°D・ 75°10.在平面直角坐标系中，将抛物线『=齐・（〃厂l）x+加（加＞1）沿），轴向下平移3个单位.则平移后得到的抛物线的顶点一定在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D・第四象限二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）11.________________________________ 计算：（2+V^）（2—— .12.如图，在正五边形ABCDE中，DW是边CD的延长线，连接BD,则ZBDM的度数是_______.13.在平面直角坐标系中，点A （・2, 1）, B（3, 2）, C （ - 6, m）分别在三个不同的象限.若反比例函数y=-（^0）的图象经过其中两点，则加的值为_____________ .14.如图，在菱形ABCD中，AB = 6, ZB = 60°，点E在边AD上，且AE=2.若直线/经过点E.将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F,则线段EF三、解答题（共11小题，计78分.解答应写出过程）（3 兀>6,15・（5分）解不等式组：\Y—9 216・（5分）解分式方程：—=1--V* v—017. （5分）如图，已知ZVIBC, AC>AB, ZC=45° .请用尺规作图法，在AC边上求作一点P使ZPBC=45°•（保留作图痕迹.不写作法）A18. （5分）如图，在四边形ABCD中，AD//BC, ZB=ZC. E是边BC上一点,且19.（7分）王大伯承包了一个鱼塘，投放了2000条某种鱼苗，经过一段时间的精心喂养，存活率大致达到了90%.他近期想出售鱼塘里的这种鱼.为了估计鱼塘里这种鱼的总质量，王大伯随机捕捞了20条鱼，分别称得其质量后放回鱼塘.现将这20条鱼的质量作为样本，统计结果如图所示：（1）______________________________ 这20条鱼质量的中位数是,众数是.（2）求这20条鱼质量的平均数；（3）经了解，近期市场上这种鱼的售价为每千克18元，请利用这个样本的平均数.佔讣王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入多少元？所捕捞鱼的质量统计图20.（7分）如图所示，小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大厦的I S J MN.他俩在小明家的窗台B处，测得商业大厦顶部W的仰角Z1的度数，山于楼下植物的遮挡,不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数.于是，他俩上楼来到小华家，在窗台C处测得大厦底部M的俯角Z2的度数，竟然发现Z1与Z2恰好相等.已知A, B, C三点共线，CA丄AM, NM丄AM, AB=3\m, BC=18〃7,试求商业大厦的高MN.21.（7分）某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术.这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，长到大约20c枷时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长.研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度），（c/n）与生长时间x （天）之间的关系大致如图所示.（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当这种瓜苗长到大约80c加时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后.继续生长大约多少天，开始开花结果？22.（7分）小亮和小丽进行摸球试验.他们在一个不透明的空布袋内，放入两个红球, 一个口球和一个黃球，共四个小球.这些小球除颜色外其它都相同.试验规则：先将布袋内的小球摇匀，再从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，称为摸球一次.（1）小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，求这10次中摸出红球的频率；（2）若小丽随机摸球两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的球中一个是白球、一个是黃球的概率.23.（8分）如图，△4BC是OO的内接三角形，ZBAC=75。
2020年中考数学因式分解专项训练题(含答案解析)
初中数学因式分解专项训练题一．选择题（共17小题）1．（2015•江都市模拟）下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（）A．x2+5x﹣1=x（x+5）﹣1 B．x2﹣4+3x=（x+2）（x﹣2）+3xC．x2﹣9=（x+3）（x﹣3）D．（x+2）（x﹣2）=x2﹣42．（2015春•龙岗区期末）已知多项式2x2+bx+c分解因式为2（x﹣3）（x+1），则b、c的值为（）A．b=3，c=﹣1 B．b=﹣6，c=2 C．b=﹣6，c=﹣4 D．b=﹣4，c=﹣6 3．（2015•临沂）多项式mx2﹣m与多项式x2﹣2x+1的公因式是（）A．x﹣1 B．x+1 C．x2﹣1 D．（x﹣1）24．（2015春•安丘市校级期中）多项式15m3n2+5m2n﹣20m2n3的公因式是（）A．5mn B．5m2n2C．5m2n D．5mn25．（2015春•安乡县校级期中）3m（a﹣b）﹣9n（b﹣a）的公因式是（）A．3（a﹣b）B．m+n C．3（a+b）D．3m﹣9n6．（2015春•江华县期末）（﹣2）100+（﹣2）101的结果是（）A．2100 B．﹣2100C．﹣2 D．27．（2015•河北模拟）已知a+b=3，ab=2，计算：a2b+ab2等于（）A．5 B．6 C．9 D．18．（2015•长沙校级自主招生）多项式a n﹣a3n+a n+2分解因式的结果是（）A．a n（1﹣a3+a2）B．a n（﹣a2n+a2）C．a n（1﹣a2n+a2） D．a n（﹣a3+a n）9．（2015春•杭州期末）多项式（x+2）（2x﹣1）﹣（x+2）可以因式分解成（x+m）（2x+n），则m﹣n的值是（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣410．（2015春•陕西校级月考）把多项式3m（x﹣y）﹣2（y﹣x）2分解因式的结果是（）A．（x﹣y）（3m﹣2x﹣2y） B．（x﹣y）（3m﹣2x+2y）C．（x﹣y）（3m+2x﹣2y）D．（y﹣x）（3m+2x﹣2y）11．（2016•安徽模拟）分解因式（2x+3）2﹣x2的结果是（）A．3（x2+4x+3）B．3（x2+2x+3）C．（3x+3）（x+3）D．3（x+1）（x+3）12．（2015•广东模拟）下列各式中，满足完全平方公式进行因式分解的是（）A．2x2+4x+1 B．4x2﹣12xy+9y2C．2x2+4xy+y2D．x2﹣y2+2xy 13．（2015•合肥校级模拟）分解因式（a2+1）2﹣4a2，结果正确的是（）A．（a2+1+2a）（a2+1﹣2a）B．（a2﹣2a+1）2C．（a﹣1）4D．（a+1）2（a﹣1）214．（2015•菏泽）把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（）A．a（x﹣2）2B．a（x+2）2C．a（x﹣4）2D．a（x+2）（x﹣2）15．（2015•贺州）把多项式4x2y﹣4xy2﹣x3分解因式的结果是（）A．4xy（x﹣y）﹣x3B．﹣x（x﹣2y）2C．x（4xy﹣4y2﹣x2）D．﹣x（﹣4xy+4y2+x2）16．（2015•杭州模拟）下列代数式3（x+y）3﹣27（x+y）因式分解的结果正确的是（）A．3（x+y）（x+y+3）（x+y﹣3）B．3（x+y）[（x+y）2﹣9]C．3（x+y）（x+y+3）2 D．3（x+y）（x+y﹣3）217．（2014•怀化）多项式ax2﹣4ax﹣12a因式分解正确的是（）A．a（x﹣6）（x+2）B．a（x﹣3）（x+4）C．a（x2﹣4x﹣12）D．a （x+6）（x﹣2）二．填空题（共3小题）18．（2013•株洲）多项式x2+mx+5因式分解得（x+5）（x+n），则m=，n=．19．（2013•怀化）分解因式：x2﹣3x+2=．20．（2013•潍坊）分解因式：（a+2）（a﹣2）+3a=．三．解答题（共10小题）21．（2009秋•三台县校级期末）分解因式（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）；（2）（x2+y2）2﹣4x2y2．22．（2006•梅州）因式分解：x2（y2﹣1）+2x（y2﹣1）+（y2﹣1）．23．（2005•乌兰察布）分解因式：a2﹣2ab+b2﹣c2．24．因式分解：7a2+ab﹣21a﹣3b．25．分解因式：x2﹣y2﹣2y﹣1．26．（2007秋•南汇区期中）分解因式：（x2﹣2x）2﹣11（x2﹣2x）+24．27．（2009秋•北京校级期末）在实数范围内分解因式：x4﹣4．28．（2014秋•邹城市校级期末）在实数范围内分解因式：（1）2x2﹣3（2）4x4﹣9．29．（2013•大庆）已知ab=﹣3，a+b=2．求代数式a3b+ab3的值．30．（2015秋•简阳市校级期中）已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）=0，试判断此三角形的形状．初中数学因式分解专项训练题参考答案与试题解析一．选择题（共17小题）1．（2015•江都市模拟）下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（）A．x2+5x﹣1=x（x+5）﹣1 B．x2﹣4+3x=（x+2）（x﹣2）+3xC．x2﹣9=（x+3）（x﹣3）D．（x+2）（x﹣2）=x2﹣4【考点】因式分解的意义．【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，判断求解．【解答】解：A、右边不是积的形式，故A错误；B、右边不是积的形式，故B错误；C、x2﹣9=（x+3）（x﹣3），故C正确．D、是整式的乘法，不是因式分解．故选：C．【点评】此题主要考查因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．2．（2015春•龙岗区期末）已知多项式2x2+bx+c分解因式为2（x﹣3）（x+1），则b、c的值为（）A．b=3，c=﹣1 B．b=﹣6，c=2 C．b=﹣6，c=﹣4 D．b=﹣4，c=﹣6【考点】因式分解的意义．【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案．【解答】解：由多项式2x2+bx+c分解因式为2（x﹣3）（x+1），得2x2+bx+c=2（x﹣3）（x+1）=2x2﹣4x﹣6．b=﹣4，c=﹣6，故选：D．【点评】本题考查了因式分解的意义，利用了因式分解的意义．3．（2015•临沂）多项式mx2﹣m与多项式x2﹣2x+1的公因式是（）A．x﹣1 B．x+1 C．x2﹣1 D．（x﹣1）2【考点】公因式．【分析】分别将多项式mx2﹣m与多项式x2﹣2x+1进行因式分解，再寻找它们的公因式．【解答】解：mx2﹣m=m（x﹣1）（x+1），x2﹣2x+1=（x﹣1）2，多项式mx2﹣m与多项式x2﹣2x+1的公因式是（x﹣1）．故选：A．【点评】本题主要考查公因式的确定，先利用提公因式法和公式法分解因式，然后再确定公共因式．4．（2015春•安丘市校级期中）多项式15m3n2+5m2n﹣20m2n3的公因式是（）A．5mn B．5m2n2C．5m2n D．5mn2【考点】公因式．【分析】找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．【解答】解：多项式15m3n2+5m2n﹣20m2n3中，各项系数的最大公约数是5，各项都含有的相同字母是m、n，字母m的指数最低是2，字母n的指数最低是1，所以它的公因式是5m2n．故选C．【点评】本题考查了公因式的确定，熟练掌握找公因式有三大要点是求解的关键．5．（2015春•安乡县校级期中）3m（a﹣b）﹣9n（b﹣a）的公因式是（）A．3（a﹣b）B．m+n C．3（a+b）D．3m﹣9n【考点】公因式．【分析】根据公因式是每个项都有的因式，可得答案．【解答】解：3m（a﹣b）﹣9n（b﹣a）=3（a﹣b）（m+3n），公因式是3（a﹣b）．故选：A．【点评】本题考查了公因式，公因式是每个项都有的因式．6．（2015春•江华县期末）（﹣2）100+（﹣2）101的结果是（）A．2100 B．﹣2100C．﹣2 D．2【考点】因式分解-提公因式法．【分析】首先提取公因式（﹣2）100，进而得出即可．【解答】解：（﹣2）100+（﹣2）101=（﹣2）100×（1﹣2）=﹣2100．故选：B．【点评】此题主要考查了提取公因式法的应用，正确得出公因式是解题关键．7．（2015•河北模拟）已知a+b=3，ab=2，计算：a2b+ab2等于（）A．5 B．6 C．9 D．1【考点】因式分解-提公因式法．【分析】首先提取公因式ab，进而分解因式将已知代入求出即可．【解答】解：∵a+b=3，ab=2，∴a2b+ab2=ab（a+b）=2×3=6．故选：B．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．8．（2015•长沙校级自主招生）多项式a n﹣a3n+a n+2分解因式的结果是（）A．a n（1﹣a3+a2）B．a n（﹣a2n+a2）C．a n（1﹣a2n+a2） D．a n（﹣a3+a n）【考点】因式分解-提公因式法．【分析】根据提公因式法，可得答案．【解答】解：a n﹣a3n+a n+2=a n（1﹣a2n+a2），故选：C．【点评】本题考查了因式分解，利用同底数幂的乘法是解题关键．9．（2015春•杭州期末）多项式（x+2）（2x﹣1）﹣（x+2）可以因式分解成（x+m）（2x+n），则m﹣n的值是（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【考点】因式分解-提公因式法．【专题】计算题．【分析】根据题意列出关系式，利用多项式相等的条件求出m与n的值，即可确定出m﹣n的值．【解答】解：（x+2）（2x﹣1）﹣（x+2）=（x+2）（2x﹣2）=（x+m）（2x+n），可得m=2，n=﹣2，则m﹣n=2﹣（﹣2）=2+2=4，故选C【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．10．（2015春•陕西校级月考）把多项式3m（x﹣y）﹣2（y﹣x）2分解因式的结果是（）A．（x﹣y）（3m﹣2x﹣2y） B．（x﹣y）（3m﹣2x+2y）C．（x﹣y）（3m+2x﹣2y）D．（y﹣x）（3m+2x﹣2y）【考点】因式分解-提公因式法．【分析】根据互为相反数的两数的平方相等，把（y﹣x）2写成（x﹣y）2，然后提取公因式（x﹣y），整理即可．【解答】解：3m（x﹣y）﹣2（y﹣x）2，=3m（x﹣y）﹣2（x﹣y）2，=（x﹣y）（3m﹣2x+2y）．故选B．【点评】本题主要考查提公因式法分解因式，转化为相同底数是求解的关键．11．（2016•安徽模拟）分解因式（2x+3）2﹣x2的结果是（）A．3（x2+4x+3）B．3（x2+2x+3）C．（3x+3）（x+3）D．3（x+1）（x+3）【考点】因式分解-运用公式法．【分析】直接利用平方差公式分解因式，进而得出答案．【解答】解：（2x+3）2﹣x2=（2x+3﹣x）（2x+3+x）=（x+3）（3x+3）=3（x+3）（x+1）．故选：D．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．12．（2015•广东模拟）下列各式中，满足完全平方公式进行因式分解的是（）A．2x2+4x+1 B．4x2﹣12xy+9y2C．2x2+4xy+y2D．x2﹣y2+2xy【考点】因式分解-运用公式法．【专题】计算题．【分析】根据两数的平方和加上或减去两数积的2倍，等于两数和或差的平方，即可做出判断．【解答】解：4x2﹣12xy+9y2=（2x﹣3y）2．故选B【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．13．（2015•合肥校级模拟）分解因式（a2+1）2﹣4a2，结果正确的是（）A．（a2+1+2a）（a2+1﹣2a）B．（a2﹣2a+1）2C．（a﹣1）4D．（a+1）2（a﹣1）2【考点】因式分解-运用公式法．【分析】首先利用平方差公式分解因式，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．【解答】解：（a2+1）2﹣4a2=（a2+1﹣2a）（a2+1+2a）=（a﹣1）2（a+1）2．故选：D．【点评】此题主要考查了公式法因式分解，正确应用乘法公式是解题关键．14．（2015•菏泽）把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（）A．a（x﹣2）2B．a（x+2）2C．a（x﹣4）2D．a（x+2）（x﹣2）【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】因式分解．【分析】先提取公因式a，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：ax2﹣4ax+4a，=a（x2﹣4x+4），=a（x﹣2）2．故选：A．【点评】本题先提取公因式，再利用完全平方公式分解，分解因式时一定要分解彻底．15．（2015•贺州）把多项式4x2y﹣4xy2﹣x3分解因式的结果是（）A．4xy（x﹣y）﹣x3B．﹣x（x﹣2y）2C．x（4xy﹣4y2﹣x2）D．﹣x（﹣4xy+4y2+x2）【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提公因式﹣x，再运用完全平方公式进行分解即可得到答案．【解答】解：4x2y﹣4xy2﹣x3=﹣x（x2﹣4xy+4y2）=﹣x（x﹣2y）2，故选：B．【点评】本题考查的是因式分解的知识，掌握提公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键．16．（2015•杭州模拟）下列代数式3（x+y）3﹣27（x+y）因式分解的结果正确的是（）A．3（x+y）（x+y+3）（x+y﹣3）B．3（x+y）[（x+y）2﹣9]C．3（x+y）（x+y+3）2 D．3（x+y）（x+y﹣3）2【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】计算题．【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：3（x+y）3﹣27（x+y）=3（x+y）[（x+y）2﹣9]=3（x+y）（x+y+3）（x+y﹣3）．故选A【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．17．（2014•怀化）多项式ax2﹣4ax﹣12a因式分解正确的是（）A．a（x﹣6）（x+2）B．a（x﹣3）（x+4）C．a（x2﹣4x﹣12）D．a （x+6）（x﹣2）【考点】因式分解-十字相乘法等；因式分解-提公因式法．【分析】首先提取公因式a，进而利用十字相乘法分解因式得出即可．【解答】解：ax2﹣4ax﹣12a=a（x2﹣4x﹣12）=a（x﹣6）（x+2）．故答案为：a（x﹣6）（x+2）．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及十字相乘法分解因式，正确利用十字相乘法分解因式是解题关键．二．填空题（共3小题）18．（2013•株洲）多项式x2+mx+5因式分解得（x+5）（x+n），则m=6，n= 1．【考点】因式分解的意义．【专题】计算题；压轴题．【分析】将（x+5）（x+n）展开，得到，使得x2+（n+5）x+5n与x2+mx+5的系数对应相等即可．【解答】解：∵（x+5）（x+n）=x2+（n+5）x+5n，∴x2+mx+5=x2+（n+5）x+5n∴，∴，故答案为：6，1．【点评】本题考查了因式分解的意义，使得系数对应相等即可．19．（2013•怀化）分解因式：x2﹣3x+2=（x﹣1）（x﹣2）．【考点】因式分解-十字相乘法等．【分析】把2分解成（﹣1）×（﹣2），再根据十字相乘法分解因式即可．【解答】解：x2﹣3x+2=（x﹣1）（x﹣2）．【点评】本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．20．（2013•潍坊）分解因式：（a+2）（a﹣2）+3a=（a﹣1）（a+4）．【考点】因式分解-十字相乘法等．【分析】首先利用平方差公式计算，进而利用因式分解法分解因式即可．【解答】解：（a+2）（a﹣2）+3a=a2+3a﹣4=（a﹣1）（a+4）．故答案为：（a﹣1）（a+4）．【点评】本题主要考查了整式的因式分解，在解题时要注意因式分解的方法和公式的应用是本题的关键．三．解答题（共10小题）21．（2009秋•三台县校级期末）分解因式（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）；（2）（x2+y2）2﹣4x2y2．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】计算题．【分析】（1）先提取公因式（x﹣y），再利用平方差公式继续分解；（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解．【解答】解：（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x），=（x﹣y）（a2﹣16），=（x﹣y）（a+4）（a﹣4）；（2）（x2+y2）2﹣4x2y2，=（x2+2xy+y2）（x2﹣2xy+y2），=（x+y）2（x﹣y）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．22．（2006•梅州）因式分解：x2（y2﹣1）+2x（y2﹣1）+（y2﹣1）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式（y2﹣1），再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解，对公因式利用平方差公式分解因式．【解答】解：x2（y2﹣1）+2x（y2﹣1）+（y2﹣1），=（y2﹣1）（x2+2x+1），=（y2﹣1）（x+1）2，=（y+1）（y﹣1）（x+1）2．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，难点在于提取公因式后需要对公因式和剩余项进行二次因式分解，分解因式一定要彻底．23．（2005•乌兰察布）分解因式：a2﹣2ab+b2﹣c2．【考点】因式分解-分组分解法．【分析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．将a2﹣2ab+b2作为一组，先用完全平方公式，再用平方差公式解答．【解答】解：a2﹣2ab+b2﹣c2，=a2﹣2ab+b2﹣c2，=（a2﹣2ab+b2）﹣c2，=（a﹣b）2﹣c2，=（a﹣b﹣c）（a﹣b+c）．【点评】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是三一分组．本题前三项完全符合完全平方公式，应考虑前三项为一组．24．因式分解：7a2+ab﹣21a﹣3b．【考点】因式分解-分组分解法．【分析】首先将第一、三项组合，再将第二、四项组合，进而提取公因式得出即可．【解答】解：7a2+ab﹣21a﹣3b=（7a2﹣21a）+（ab﹣3b）=7a（a﹣3）+b（a﹣3）=（7a+b）（a﹣3）．【点评】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确分组得出是解题关键．25．分解因式：x2﹣y2﹣2y﹣1．【考点】因式分解-分组分解法．【分析】将后三项组合利用完全平方公式以及平方差公式分解因式得出即可．【解答】解：x2﹣y2﹣2y﹣1=x2﹣（y+1）2=（x+y+1）（x﹣y﹣1）．【点评】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确分组得出是解题关键．26．（2007秋•南汇区期中）分解因式：（x2﹣2x）2﹣11（x2﹣2x）+24．【考点】因式分解-十字相乘法等．【分析】首先将x2﹣2x看作整体再利用十字相乘法分解因式，注意需要两次利用十字相乘法分解因式，分解因式必须彻底．【解答】解：原式=（x2﹣2x﹣3）（x2﹣2x﹣8），=（x﹣3）（x+1）（x﹣4）（x+2）．【点评】此题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，本题需要进行多次因式分解，分解因式一定要彻底．27．（2009秋•北京校级期末）在实数范围内分解因式：x4﹣4．【考点】实数范围内分解因式．【专题】计算题．【分析】实数包括有理数和无理数，先运用平方差公式得出（x2+2）（x2﹣2），后一个括号还能运用平方差公式进行分解．【解答】解：原式=（x2+2）（x2﹣2），=（x2+2）（x+）（x﹣）．【点评】本题考查了在实数范围内分解因式，熟练掌握平方差公式a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．28．（2014秋•邹城市校级期末）在实数范围内分解因式：（1）2x2﹣3（2）4x4﹣9．【考点】实数范围内分解因式．【分析】（1）直接利用平方差公式分解因式得出即可；（2）首先利用平方差公式分解因式，进而再次结合平方差公式分解得出即可．【解答】解：（1）2x2﹣3=（x﹣）（x+）；（2）4x4﹣9=（2x2+3）（2x2﹣3）=（2x2+3）（x﹣）（x+）．【点评】此题主要考查了实属范围内分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．29．（2013•大庆）已知ab=﹣3，a+b=2．求代数式a3b+ab3的值．【考点】因式分解的应用．【分析】由a+b=2，ab=﹣3，可得a2+b2=10，因为（a2+b2）ab=a3b+ab3，所以a3b+ab3=﹣30．【解答】解：∵a+b=2，∴（a+b）2=4，∴a2+2ab+b2=4，又∵ab=﹣3，∴a2﹣6+b2=4∴a2+b2=10，∴（a2+b2）ab=a3b+ab3=﹣30．【点评】本题为代数式求值题，主要考查整体思想，是一道比较基础的题目，要认真掌握，并确保得分．30．（2015秋•简阳市校级期中）已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）=0，试判断此三角形的形状．【考点】因式分解的应用；非负数的性质：偶次方；等边三角形的判定．【分析】把所给的等式能进行因式分解的要因式分解，整理为非负数相加得0的形式，求出三角形三边的关系，进而判断三角形的形状．【解答】解：∵a2+2b2+c2﹣2b（a+c）=0∴a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2=0（a﹣b）2+（b﹣c）2=0∴a﹣b=0且b﹣c=0即a=b=c，故该三角形是等边三角形．【点评】当对多项式的局部因式分解后，变成了几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0，从而判断出该三角形的形状．。
2020年中考数学一轮复习：尺规作图专项练习题(解析版)
中考一轮复习：尺规作图专项练习题1．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：∠α，直线l及l上两点A，B．求作：Rt△ABC，使点C在直线l的上方，且∠ABC＝90°，∠BAC＝∠α．2．如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点．（1）请用尺规作图法，在△ABC内，求作∠ADE，使∠ADE＝∠B，DE交AC于E；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若＝2，求的值．3．已知：AC是▱ABCD的对角线．（1）用直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线，与AD相交于点E，连接CE．（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，若AB＝3，BC＝5，求△DCE的周长．4．如图，已知等腰△ABC顶角∠A＝36°．（1）在AC上作一点D，使AD＝BD（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加墨）；（2）求证：△BCD是等腰三角形．5．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上．（1）尺规作图：作∠BAC的平分线，与⊙O交于点D；连接OD，交BC于点E（不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑）；（2）探究OE与AC的位置及数量关系，并证明你的结论．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3．（1）尺规作图：不写作法，保留作图痕迹．①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；②过点D作BC的垂线，垂足为点E．（2）在（1）作出的图形中，求DE的长．7．在5×3的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图1中画出线段BD，使BD∥AC，其中D是格点；（2）在图2中画出线段BE，使BE⊥AC，其中E是格点．8．【阅读理解】用10cm×20cm的矩形瓷砖，可拼得一些长度不同但宽度均为20cm的图案．已知长度为10cm、20cm、30cm的所有图案如下：【尝试操作】如图，将小方格的边长看作10cm，请在方格纸中画出长度为40cm的所有图案．【归纳发现】观察以上结果，探究图案个数与图案长度之间的关系，将下表补充完整．图案的长度10cm20cm30cm40cm50cm60cm 所有不同图案的个数1239．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高．请用尺规作图法，求作△ABC的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法）10．已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′，使得∠A′O′B′＝∠AOB．作法：①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；②画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；③以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D′；④过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．根据上面的作法，完成以下问题：（1）使用直尺和圆规，作出∠A′O′B′（请保留作图痕迹）．（2）完成下面证明∠A′O′B′＝∠AOB的过程（注：括号里填写推理的依据）．证明：由作法可知O′C′＝OC，O′D′＝OD，D′C′＝，∴△C′O′D′≌△COD（）∴∠A′O′B′＝∠AOB．（）11．如图，点M和点N在∠AOB内部．（1）请你作出点P，使点P到点M和点N的距离相等，且到∠AOB两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）；（2）请说明作图理由．12．按要求解答下列各题：（1）如图①，求作一点P，使点P到∠ABC的两边的距离相等，且在△ABC的边AC 上．（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；（2）如图②，B、C表示两个港口，港口C在港口B的正东方向上．海上有一小岛A在港口B的北偏东60°方向上，且在港口C的北偏西45°方向上．测得AB＝40海里，求小岛A与港口C之间的距离．（结果可保留根号）13．尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）：如图，已知△ABC，请根据“SAS”基本事实作出△DEF，使△DEF≌△ABC．14．如图，⊙O的直径AB＝10，弦AC＝8，连接BC．（1）尺规作图：作弦CD，使CD＝BC（点D不与B重合），连接AD；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD的周长．15．如图，四边形ABCD是矩形．（1）用尺规作线段AC的垂直平分线，交AB于点E，交CD于点F（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若BC＝4，∠BAC＝30°，求BE的长．16．已知：在△ABC中，AB＝AC．（1）求作：△ABC的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC＝6，则S⊙O＝．17．如图，AD是△ABC的角平分线．（1）作线段AD的垂直平分线EF，分别交AB、AC于点E、F；（用直尺和圆规作图，标明字母，保留作图痕迹，不写作法．）（2）连接DE、DF，四边形AEDF是形．（直接写出答案）18．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8．（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）若（1）中所作的垂直平分线交BC于点D，求BD的长．19．尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．如图，已知∠α和线段a，求作△ABC，使∠A＝∠α，∠C＝90°，AB＝a．20．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为AB的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．（1）在图1中，画出△ABD的BD边上的中线；（2）在图2中，若BA＝BD，画出△ABD的AD边上的高．21．已知：如图，∠ABC，射线BC上一点D．求作：等腰△PBD，使线段BD为等腰△PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等．22．图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．（1）在图①中以线段AB为边画一个△ABM，使其面积为6．（2）在图②中以线段CD为边画一个△CDN，使其面积为6．（3）在图③中以线段EF为边画一个四边形EFGH，使其面积为9，且∠EFG＝90°．23．图①，图②均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段AB，在图②中已画出线段CD，其中A、B、C、D均为格点，按下列要求画图：（1）在图①中，以AB为对角线画一个菱形AEBF，且E，F为格点；（2）在图②中，以CD为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH，且G，H为格点，∠CGD＝∠CHD＝90°．24．在6×6的方格纸中，点A，B，C都在格点上，按要求画图：（1）在图1中找一个格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形．（2）在图2中仅用无刻度的直尺，把线段AB三等分（保留画图痕迹，不写画法）．25．如图，在7×5的方格纸ABCD中，请按要求画图，且所画格点三角形与格点四边形的顶点均不与点A，B，C，D重合．（1）在图1中画一个格点△EFG，使点E，F，G分别落在边AB，BC，CD上，且∠EFG ＝90°．（2）在图2中画一个格点四边形MNPQ，使点M，N，P，Q分别落在边AB，BC，CD，DA上，且MP＝NQ．中考一轮复习：尺规作图专项练习题参考答案与试题解析1．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：∠α，直线l及l上两点A，B．求作：Rt△ABC，使点C在直线l的上方，且∠ABC＝90°，∠BAC＝∠α．【分析】先作∠DAB＝α，再过B点作BE⊥AB，则AD与BE的交点为C点．【解答】解：如图，△ABC为所作．2．如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点．（1）请用尺规作图法，在△ABC内，求作∠ADE，使∠ADE＝∠B，DE交AC于E；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若＝2，求的值．【分析】（1）利用基本作图（作一个角等于已知角）作出∠ADE＝∠B；（2）先利用作法得到∠ADE＝∠B，则可判断DE∥BC，然后根据平行线分线段成比例定理求解．【解答】解：（1）如图，∠ADE为所作；（2）∵∠ADE＝∠B∴DE∥BC，∴＝＝2．3．已知：AC是▱ABCD的对角线．（1）用直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线，与AD相交于点E，连接CE．（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，若AB＝3，BC＝5，求△DCE的周长．【分析】（1）利用基本作图作AC的垂直平分线得到E点；（2）利用平行四边形的性质得到AD＝BC＝5，CD＝AB＝3，再根据线段垂直平分线上的性质得到EA＝EC，然后利用等线段代换计算△DCE的周长．【解答】解：（1）如图，CE为所作；（2）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC＝5，CD＝AB＝3，∵点E在线段AC的垂直平分线上，∴EA＝EC，∴△DCE的周长＝CE+DE+CD＝EA+DE+CD＝AD+CD＝5+3＝8．4．如图，已知等腰△ABC顶角∠A＝36°．（1）在AC上作一点D，使AD＝BD（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加墨）；（2）求证：△BCD是等腰三角形．【分析】（1）作AB的垂直平分线交AC于D；（2）利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ABC＝∠C＝72°，再利用DA＝DB得到∠ABD＝∠A＝36°，所以∠BDC＝72°，从而可判断△BCD是等腰三角形．【解答】（1）解：如图，点D为所作；（2）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）＝72°，∵DA＝DB，∴∠ABD＝∠A＝36°，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°，∴∠BDC＝∠C，∴△BCD是等腰三角形．5．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上．（1）尺规作图：作∠BAC的平分线，与⊙O交于点D；连接OD，交BC于点E（不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑）；（2）探究OE与AC的位置及数量关系，并证明你的结论．【分析】（1）利用基本作图作AD平分∠BAC，然后连接OD得到点E；（2）由AD平分∠BAC得到∠BAD＝∠BAC，由圆周角定理得到∠BAD＝∠BOD，则∠BOD＝∠BAC，再证明OE为△ABC的中位线，从而得到OE∥AC，OE＝AC．【解答】解：（1）如图所示；（2）OE∥AC，OE＝AC．理由如下：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC，∵∠BAD＝∠BOD，∴∠BOD＝∠BAC，∴OE∥AC，∵OA＝OB，∴OE为△ABC的中位线，∴OE∥AC，OE＝AC．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3．（1）尺规作图：不写作法，保留作图痕迹．①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；②过点D作BC的垂线，垂足为点E．（2）在（1）作出的图形中，求DE的长．【分析】（1）利用基本作图，先画出CD平分∠ACB，然后作DE⊥BC于E；（2）利用CD平分∠ACB得到∠BCD＝45°，再判断△CDE为等腰直角三角形，所以DE＝CE，然后证明△BDE∽△BAC，从而利用相似比计算出DE．【解答】解：（1）如图，DE为所作；（2）∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACB＝45°，∵DE⊥BC，∴△CDE为等腰直角三角形，∴DE＝CE，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴＝，即＝，∴DE＝．7．在5×3的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图1中画出线段BD，使BD∥AC，其中D是格点；（2）在图2中画出线段BE，使BE⊥AC，其中E是格点．【分析】（1）将线段AC沿着AB方向平移2个单位，即可得到线段BD；（2）利用2×3的长方形的对角线，即可得到线段BE⊥AC．【解答】解：（1）如图所示，线段BD即为所求；（2）如图所示，线段BE即为所求．8．【阅读理解】用10cm×20cm的矩形瓷砖，可拼得一些长度不同但宽度均为20cm的图案．已知长度为10cm、20cm、30cm的所有图案如下：【尝试操作】如图，将小方格的边长看作10cm，请在方格纸中画出长度为40cm的所有图案．【归纳发现】观察以上结果，探究图案个数与图案长度之间的关系，将下表补充完整．图案的长度10cm20cm30cm40cm50cm60cm 所有不同图案的个数1235813【分析】根据已知条件作图可知40cm时，所有图案个数5个；猜想得到结论；【解答】解：如图根据作图可知40cm时，所有图案个数5个50cm时，所有图案个数8个；60cm时，所有图案个数13个；故答案为5，8，13；9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高．请用尺规作图法，求作△ABC的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法）【分析】作线段AB的垂直平分线，交AD于点O，以O为圆心，OB为半径作⊙O，⊙O 即为所求．【解答】解：如图所示：⊙O即为所求．10．已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′，使得∠A′O′B′＝∠AOB．作法：①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；②画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；③以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D′；④过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．根据上面的作法，完成以下问题：（1）使用直尺和圆规，作出∠A′O′B′（请保留作图痕迹）．（2）完成下面证明∠A′O′B′＝∠AOB的过程（注：括号里填写推理的依据）．证明：由作法可知O′C′＝OC，O′D′＝OD，D′C′＝DC，∴△C′O′D′≌△COD（SSS）∴∠A′O′B′＝∠AOB．（全等三角形的对应角相等）【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】解：（1）如图所示，∠A′O′B′即为所求；（2）证明：由作法可知O′C′＝OC，O′D′＝OD，D′C′＝DC，∴△C′O′D′≌△COD（SSS）∴∠A′O′B′＝∠AOB．（全等三角形的对应角相等）故答案为：DC，SSS，全等三角形的对应角相等．11．如图，点M和点N在∠AOB内部．（1）请你作出点P，使点P到点M和点N的距离相等，且到∠AOB两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）；（2）请说明作图理由．【分析】（1）根据角平分线的作法、线段垂直平分线的作法作图；（2）根据角平分线的性质、线段垂直平分线的性质解答．【解答】解：（1）如图，点P到点M和点N的距离相等，且到∠AOB两边的距离也相等；（2）理由：角的平分线上的点到角的两边的距离相等、垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．12．按要求解答下列各题：（1）如图①，求作一点P，使点P到∠ABC的两边的距离相等，且在△ABC的边AC 上．（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；（2）如图②，B、C表示两个港口，港口C在港口B的正东方向上．海上有一小岛A在港口B的北偏东60°方向上，且在港口C的北偏西45°方向上．测得AB＝40海里，求小岛A与港口C之间的距离．（结果可保留根号）【分析】（1）利用尺规作∠BAC的角平分线交AC于点P，点P即为所求．（2）作AD⊥BC于D．解直角三角形求出AD，再利用等腰直角三角形的性质即可解决问题．【解答】解：（1）如图，点P即为所求．（2）作AD⊥BC于D．在Rt△ABD中，∵AB＝40海里，∠ABD＝30°，∴AD＝AB＝20（海里），∵∠ACD＝45°，∴AC＝AD＝20（海里）．答：小岛A与港口C之间的距离为20海里．13．尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）：如图，已知△ABC，请根据“SAS”基本事实作出△DEF，使△DEF≌△ABC．【分析】先作一个∠D＝∠A，然后在∠D的两边分别截取ED＝BA，DF＝AC，连接EF 即可得到△DEF；【解答】解：如图，△DEF即为所求．14．如图，⊙O的直径AB＝10，弦AC＝8，连接BC．（1）尺规作图：作弦CD，使CD＝BC（点D不与B重合），连接AD；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD的周长．【分析】（1）以C为圆心，CB为半径画弧，交⊙O于D，线段CD即为所求．（2）连接BD，OC交于点E，设OE＝x，构建方程求出x即可解决问题．【解答】解：（1）如图，线段CD即为所求．（2）连接BD，OC交于点E，设OE＝x．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝6，∵BC＝CD，∴＝，∴OC⊥BD于E．∴BE＝DE，∵BE2＝BC2﹣EC2＝OB2﹣OE2，∴62﹣（5﹣x）2＝52﹣x2，解得x＝，∵BE＝DE，BO＝OA，∴AD＝2OE＝，∴四边形ABCD的周长＝6+6+10+＝．15．如图，四边形ABCD是矩形．（1）用尺规作线段AC的垂直平分线，交AB于点E，交CD于点F（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若BC＝4，∠BAC＝30°，求BE的长．【分析】（1）根据线段的垂直平分线的作图解答即可；（2）利用含30°的直角三角形的性质解答即可．【解答】解：（1）如图所示：（2）∵四边形ABCD是矩形，EF是线段AC的垂直平分线，∴AE＝EC，∠CAB＝∠ACE＝30°，∴∠ACB＝60°，∴∠ECB＝30°，∵BC＝4，∴BE＝．16．已知：在△ABC中，AB＝AC．（1）求作：△ABC的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC＝6，则S⊙O＝25π．【分析】（1）作线段AB，BC的垂直平分线，两线交于点O，以O为圆心，OB为半径作⊙O，⊙O即为所求．（2）在Rt△OBE中，利用勾股定理求出OB即可解决问题．【解答】解：（1）如图⊙O即为所求．（2）设线段BC的垂直平分线交BC于点E．由题意OE＝4，BE＝EC＝3，在Rt△OBE中，OB＝＝5，∴S圆O＝π•52＝25π．故答案为25π．17．如图，AD是△ABC的角平分线．（1）作线段AD的垂直平分线EF，分别交AB、AC于点E、F；（用直尺和圆规作图，标明字母，保留作图痕迹，不写作法．）（2）连接DE、DF，四边形AEDF是菱形．（直接写出答案）【分析】（1）利用尺规作线段AD的垂直平分线即可．（2）根据四边相等的四边形是菱形即可证明．【解答】解：（1）如图，直线EF即为所求．（2）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠AOE＝∠AOF＝90°，AO＝AO，∴△AOE≌△AOF（ASA），∴AE＝AF，∵EF垂直平分线段AD，∴EA＝ED，F A＝FD，∴EA＝ED＝DF＝AF，∴四边形AEDF是菱形．故答案为菱．18．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8．（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）若（1）中所作的垂直平分线交BC于点D，求BD的长．【分析】（1）分别以A，B为圆心，大于AB为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN即可．（2）设AD＝BD＝x，在Rt△ACD中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：（1）如图直线MN即为所求．（2）∵MN垂直平分线段AB，∴DA＝DB，设DA＝DB＝x，在Rt△ACD中，∵AD2＝AC2+CD2，∴x2＝42+（8﹣x）2，解得x＝5，∴BD＝5．19．尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．如图，已知∠α和线段a，求作△ABC，使∠A＝∠α，∠C＝90°，AB＝a．【分析】根据作一个角等于已知角，线段截取以及垂线的尺规作法即可求出答案．【解答】解：如图所示，△ABC为所求作20．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为AB的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．（1）在图1中，画出△ABD的BD边上的中线；（2）在图2中，若BA＝BD，画出△ABD的AD边上的高．【分析】（1）连接EC，利用平行四边形的判定和性质解答即可；（2）连接EC，ED，F A，利用三角形重心的性质解答即可．【解答】解：（1）如图1所示，AF即为所求：（2）如图2所示，BH即为所求．21．已知：如图，∠ABC，射线BC上一点D．求作：等腰△PBD，使线段BD为等腰△PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等．【分析】根据角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质即可解决问题．【解答】解：∵点P到∠ABC两边的距离相等，∴点P在∠ABC的平分线上；∵线段BD为等腰△PBD的底边，∴PB＝PD，∴点P在线段BD的垂直平分线上，∴点P是∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线的交点，如图所示：22．图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．（1）在图①中以线段AB为边画一个△ABM，使其面积为6．（2）在图②中以线段CD为边画一个△CDN，使其面积为6．（3）在图③中以线段EF为边画一个四边形EFGH，使其面积为9，且∠EFG＝90°．【分析】（1）直接利用三角形的面积的计算方法得出符合题意的图形；（2）直接利用三角形面积求法得出答案；（3）根据矩形函数三角形的面积的求法进而得出答案．【解答】解：（1）如图①所示，△ABM即为所求；（2）如图②所示，△CDN即为所求；（3）如图③所示，四边形EFGH即为所求；23．图①，图②均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段AB，在图②中已画出线段CD，其中A、B、C、D均为格点，按下列要求画图：（1）在图①中，以AB为对角线画一个菱形AEBF，且E，F为格点；（2）在图②中，以CD为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH，且G，H为格点，∠CGD＝∠CHD＝90°．【分析】（1）根据菱形的定义画出图形即可（答案不唯一）．（2）利用数形结合的思想解决问题即可．【解答】解：（1）如图，菱形AEBF即为所求．（2）如图，四边形CGDH即为所求．24．在6×6的方格纸中，点A，B，C都在格点上，按要求画图：（1）在图1中找一个格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形．（2）在图2中仅用无刻度的直尺，把线段AB三等分（保留画图痕迹，不写画法）．【分析】（1）由勾股定理得：CD＝AB＝CD'＝，BD＝AC＝BD''＝，AD'＝BC＝AD''＝；画出图形即可；（2）根据平行线分线段成比例定理画出图形即可．【解答】解：（1）由勾股定理得：CD＝AB＝CD'＝，BD＝AC＝BD''＝，AD'＝BC＝AD''＝；画出图形如图1所示；（2）如图2所示．25．如图，在7×5的方格纸ABCD中，请按要求画图，且所画格点三角形与格点四边形的顶点均不与点A，B，C，D重合．（1）在图1中画一个格点△EFG，使点E，F，G分别落在边AB，BC，CD上，且∠EFG ＝90°．（2）在图2中画一个格点四边形MNPQ，使点M，N，P，Q分别落在边AB，BC，CD，DA上，且MP＝NQ．【分析】（1）利用数形结合的思想构造全等三角形或等腰直角三角形解决问题即可．（2）如图3中，构造矩形即可解决问题．如图4中，构造MP＝NQ＝5即可．【解答】解：（1）满足条件的△EFG，如图1，2所示．（2）满足条件的四边形MNPQ如图所示．。
2020年九年级数学典型中考压轴题综合专项训练：一次函数(含答案)
2020年九年级数学典型中考压轴题综合专项训练：一次函数一．选择题（共10小题）1．如图，直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转60°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是（）A．（4，2）B．（2，4）C．（，3）D．（2+2，2）2．如图，△ABC顶点坐标分别为A（1，0）、B（4，0）、C（1，4），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为（）A．4B．8C．D．163．如图，一次函数y＝﹣x+3的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC＝90°．则过B、C两点直线的解析式为（）A．y＝x+3B．y＝x+3C．y＝x+3D．y＝x+34．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），点C在第一象限，对角线BD与x轴平行．直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点E，F．将菱形ABCD沿x轴向左平移k个单位，当点C落在△EOF的内部时（不包括三角形的边），k的值可能是（）A．2B．3C．4D．55．如图，点B，C分别在直线y＝2x和直线y＝kx上，A，D是x轴上两点，若四边形ABCD 是长方形，且AB：AD＝1：2，则k的值是（）A．B．C．D．6．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点．将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转90°，得到线段AB．过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D，运动时间为t秒．当S△BCD＝时，t的值为（）A．2或2+3B．2或2+3C．3或3+5D．3或3+57．八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过P点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为（）A．y＝x+B．y＝x+C．y＝x+D．y＝x+8．如图，点M（﹣3，4），点P从O点出发，沿射线OM方向1个单位/秒匀速运动，运动的过程中以P为对称中心，O为一个顶点作正方形OABC，当正方形面积为128时，点A 坐标是（）A．（，）B．（，11）C．（2，2）D．（，）9．如图，直线AB：y＝﹣x+9交y轴于A，交x轴于B，x轴上一点C（﹣1，0），D为y 轴上一动点，把线段BD绕B点逆时针旋转120°得到线段BE，连接CE，CD，则当CE 长度最小时，线段CD的长为（）A．B．C．2D．510．如图，直角坐标系xOy中，A（0，5），直线x＝﹣5与x轴交于点D，直线y＝﹣x﹣与x轴及直线x＝﹣5分别交于点C，E，点B，E关于x轴对称，连接AB．①C（﹣13，0），E（﹣5，﹣3）；②直线AB的解析式为：y＝x+5；③设面积的和S＝S△CDE+S四边形ABDO，则S＝32；④在求面积的和S＝S△CDE+S四边形ABDO时，琪琪有个想法：“将△CDE沿x轴翻折到△CDB的位置，而△CDB与四边形ABDO拼接后可看成△AOC，即S＝S△CDE+S四边形ABDO ＝S△AOC”．其中正确的结论个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共10小题）11．已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（0，8），点B坐标为（4，0），点E是直线y＝x+4上的一个动点，若∠EAB＝∠ABO，则点E的坐标为．12．如图，点M是直线y＝2x+3上的动点，过点M作MN垂直于x轴于点N，y轴上是否存在点P，使△MNP为等腰直角三角形，请写出符合条件的点P的坐标．13．如图，一次函数y＝﹣x+1的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点C在y轴的正半轴上，且OC＝3．在直线AB上有一点P，若满足∠CPB＞∠ACB，则点P横坐标x的取值范围是．14．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是正方形，点B的坐标为（4，4），直线y ＝mx﹣2恰好把正方形ABCO的面积分成相等的两部分，则m＝．15．如图，平面直角坐标系中，已知点P（2，2），C为y轴正半轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线OP交于点A，且BD＝4AD，直线CD与直线OP交于点Q，则点Q的坐标为．16．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，2），点B的坐标是（2，0），连结AB，点P是线段AB上的一个动点（包括两端点），直线y＝﹣x上有一动点Q，连结OP，PQ，已知△OPQ的面积为，则点Q的坐标为．17．如图，点A、B的坐标分别为（0，2），（3，4），点P为x轴上的一点，若点B关于直线AP的对称点B′恰好落在x轴上，则点P的坐标为．18．平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣1与x轴和y轴分别交于B、C两点，与直线x＝4交于点D，直线x＝4与x轴交于点A，点M（3，0），点E为直线x＝4上一动点，点F 为直线y＝﹣x﹣1上一动点，ME+EF最小值为，此时点F的坐标为．19．如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，以PC为边做等腰直角三角形PCD，∠CPD＝90°，PC＝PD，过点D作线段AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y＝x交于点A，且BD＝2AD，连接CD，直线CD与直线y＝x交于点Q，则Q点的坐标是．20．如图，将一块等腰直角三角板ABC放置在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，AC所在直线的函数表达式是y＝2x+4，若保持AC的长不变，当点A在y轴的正半轴滑动，点C随之在x 轴的负半轴上滑动，则在滑动过程中，点B与原点O的最大距离是．三．解答题（共10小题）21．如图，直线l与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、点B（0，2），以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，点P（1，a）为坐标系中的一个动点．（1）请直接写出直线l的表达式；（2）求出△ABC的面积；（3）当△ABC与△ABP面积相等时，求实数a的值．22．如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于点A（a，0）点，B（0，b），且a、b满足a2﹣4a+4+|2a﹣b|＝0，点P在直线AB的左侧，且∠APB＝45°．（1）求a、b的值；（2）若点P在x轴上，求点P的坐标；（3）若△ABP为直角三角形，求点P的坐标．23．在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：y1＝x 交于点C．（1）当直线AB解析式为y2＝﹣x+10时，如图1．①求点C的坐标；②根据图象求出当x满足什么条件时﹣x+10＜x．（2）如图2，作∠AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，△OAC的面积为9，且OA＝6．P，Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值：若不存在，说明理由．24．如图1，已知直线y＝2x+4与y轴，x轴分别交于A，B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式；（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD＝AC，求证BE＝DE；（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于点M，P（﹣，a）是线段BC上一点，在x轴上是否存在一点N，使△BPN面积等于△BCM面积的一半？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．25．如图（a），直线l1：y＝kx+b经过点A、B，OA＝OB＝3，直线12：y＝x﹣2交y轴于点C，且与直线l1交于点D，连接OD．（1）求直线11的表达式；（2）求△OCD的面积；（3）如图（b），点P是直线11上的一动点；连接CP交线段OD于点E，当△COE与△DEP的面积相等时，求点P的坐标．26．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+8与x轴和y轴分别交于点B和点C，与直线OA相交于点A（3，4）．（1）求点B和点C的坐标；（2）求△OAC的面积；（3）在线段OA或射线AC上是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由；（4）若点N是线段OC上一点，若将△BCN沿直线BN折叠，点C恰好落在x轴负半轴上的点D处，求BN所在直线的函数关系式．27．如图，直线y＝kx+b与x轴，y轴分别交于点A，点B，点A的坐标为（﹣2，0），且2OA＝OB．（1）求直线AB解析式；（2）如图，将△AOB向右平移6个单位长度，得到△A1O1B1，求线段OB1的长；（3）求（2）中△AOB扫过的面积．28．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x＝，y＝，那么称点T是点A和B的融合点．例如：M（﹣1，8），N（4，﹣2），则点T（1，2）是点M和N的融合点．如图，已知点D（3，0），点E是直线y ＝x+2上任意一点，点T（x，y）是点D和E的融合点．（1）若点E的纵坐标是6，则点T的坐标为；（2）求点T（x，y）的纵坐标y与横坐标x的函数关系式：（3）若直线ET交x轴于点H，当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标．29．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+8分别交x轴，y轴于A、B两点，已知A点坐标（6，0），点C在直线AB上，横坐标为3，点D是x轴正半轴上的一个动点，连结CD，以CD为直角边在右侧构造一个等腰Rt△CDE，且∠CDE＝90°．（1）求直线AB的解析式以及C点坐标；（2）设点D的横坐标为m，试用含m的代数式表示点E的坐标；（3）如图2，连结OC，OE，请直接写出使得△OCE周长最小时，点E的坐标．30．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝k1x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，且OB ＝OA，直线l2：y＝k2x+b经过点C（，1），与x轴、y轴、直线AB分别交于点E、F、D三点．（1）求直线l1的解析式；（2）如图1，连接CB，当CD⊥AB时，求点D的坐标和△BCD的面积；（3）如图2，当点D在直线AB上运动时，在坐标轴上是否存在点Q，使△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题（共10小题）1．【解答】解：在y＝﹣x+2中令x＝0，解得：y＝2；令y＝0，解得：x＝2．则OA＝2，OB＝2．∴在直角△ABO中，AB＝＝4，∠BAO＝30°，又∵∠BAB′＝60°，∴∠OAB′＝90°，∴B′的坐标是（2，4）．故选：B．2．【解答】解：如图所示，当△ABC向右平移到△DEF位置时，四边形BCFE为平行四边形，C点与F点重合，此时C在直线y＝2x﹣6上，∵C（1，4），∴FD＝CA＝4，将y＝4代入y＝2x﹣6中得：x＝5，即OD＝5，∵A（1，0），即OA＝1，∴AD＝CF＝OD﹣OA＝5﹣1＝4，则线段BC扫过的面积S＝S平行四边形BCFE＝CF•FD＝16．故选：D．3．【解答】解：∵一次函数y＝﹣x+3中，令x＝0得：y＝3；令y＝0，解得x＝4，∴B的坐标是（0，3），A的坐标是（4，0）．如图，作CD⊥x轴于点D．∵∠BAC＝90°，∴∠OAB+∠CAD＝90°，又∵∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠BAO．在△ABO与△CAD中，，∴△ABO≌△CAD（AAS），∴OB＝AD＝3，OA＝CD＝4，OD＝OA+AD＝7．则C的坐标是（7，4）．设直线BC的解析式是y＝kx+b，根据题意得：，解得，∴直线BC的解析式是y＝x+3．故选：A．4．【解答】解：连接AC，BD，交于点Q，过C作y轴垂线，交y轴于点M，交直线EF于点N，如图所示，∵菱形ABCD的顶点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），点C在第一象限，对角线BD与x轴平行，∴CQ＝AQ＝1，CM＝2，即AC＝2AQ＝2，∴C（2，2），当C与M重合时，k＝CM＝2；当C与N重合时，把y＝2代入y＝x+4中得：x＝﹣2，即k＝CN＝CM+MN＝4，∴当点C落在△EOF的内部时（不包括三角形的边），k的范围为2＜k＜4，则k的值可能是3，故选：B．5．【解答】解：设长方形的AB边的长为a，则BC边的长度为2a，B点的纵坐标是a，把点B的纵坐标代入直线y＝2x的解析式得：x＝，则点B的坐标为（，a），点C的坐标为（+2a，a），把点C的坐标代入y＝kx中得，a＝k（+2a），解得：k＝．故选：B．6．【解答】解：根据题意得：∠BAC＝90°，∴∠CAO+∠BAE＝90°，∵BE⊥x轴，∴∠AEB＝90°＝∠AOC，∴∠ABE+∠BAE＝90°，∴∠CAO＝∠ABE．∴△CAO∽△ABE．∴＝，∵M是AC的中点，AB＝AM，∴CA＝2AB，∴＝，∴BE＝t，AE＝2．分两种情况：①当0＜t＜8时，如图1所示：S＝CD•BD＝（2+t）（4﹣）＝解得：t1＝t2＝3．②当t＞8时，如图2所示，S＝CD•BD＝（2+t）（﹣4）＝．解得：t1＝3+5，t2＝3﹣5（不合题意，舍去）．综上所述：当t＝3或3+5时，S＝；故选：D．7．【解答】解：直线l和八个正方形的最上面交点为P，过P作PB⊥OB于B，过P作PC ⊥OC于C，∵正方形的边长为1，∴OB＝3，∵经过P点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，∴三角形ABP面积是8÷2+1＝5，∴BP•AB＝5，∴AB＝2.5，∴OA＝3﹣2.5＝0.5，由此可知直线l经过（0，0.5），（4，3）设直线方程为y＝kx+b，则，解得．∴直线l解析式为y＝x+．故选：A．8．【解答】解：作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，设直线OM的解析式为y＝kx，直线AC的解析式为y＝k′x+b，∵点M（﹣3，4），∴4＝﹣3k，∴k＝﹣，∵四边形ABCO是正方形，∴直线AC⊥直线OM，∴k′为，∵四边形ABCO是正方形，∴OA＝OC，∠AOC＝90°，∴∠AOD+∠COE＝90°，∵∠AOD+∠OAD＝90°∴∠COE＝∠OAD，在△COE和△OAD中，∴△COE≌△OAD（AAS），∴CE＝OD，OE＝AD，设A（a，b），则C（﹣b，a），设直线AC的解析式为y＝mx+n，∴解得m＝，∴＝，整理得，b＝7a，∵正方形面积为128，∴OA2＝128，在RT△AOD中，AD2+OD2＝OA2，即（7a）2+a2＝128，解得，a＝，∴b＝7a＝7×＝，∴A（，），故选：D．9．【解答】解：如图，设D（0，m）．由题意：B（5，0）．在BD的下方作等边三角形△BDQ，延长DQ到M，使得QM＝DQ，连接BM，DE，DE 交BQ于点N，作MH⊥x轴于H．∵△BDQ是等边三角形，∴∠DQB＝∠DBQ＝60°，∵QM＝BQ，∴∠QMB＝∠QBM，∵∠DQB＝∠QMB+∠BQM，∴∠QMB＝∠QBM＝30°，∴∠DBM＝90°，∴BM＝BD，∵∠DBO+∠ODB＝90°，∠DBO+∠MBH＝90°，∴∠MBH＝∠BDO，∵∠DOB＝∠MHB＝90°，∴△DOB∽△BHM，∴＝＝＝，∵OD＝m，OB＝5，∴BH＝m，MH＝5，∴M（5﹣m，﹣5），∵MQ＝DQ，∴Q（，），∵∠DBE＝120°，∴∠DBN＝∠EBN＝60°，∴DE⊥BQ，DN＝NE，QN＝BN，∴N（，），E（，），∴CE2＝（）2+（）2＝m2﹣6m+91，∴当m＝﹣＝3时，CE的值最小，此时D（0，3），∴CD＝＝2，故选：C．10．【解答】解：∵在直线y＝﹣x﹣中，令y＝0，则有0＝﹣x﹣，∴x＝﹣13，∴C（﹣13，0），令x＝﹣5，则有y＝﹣×（﹣5）﹣＝﹣3，∴E（﹣5，﹣3），故①正确；∵点B，E关于x轴对称，∴B（﹣5，3），∵A（0，5），∴设直线AB的解析式为y＝kx+5，∴﹣5k+5＝3，∴k＝，∴直线AB的解析式为y＝x+5．故②错误；由①知，E（﹣5，﹣3），∴DE＝3，∵C（﹣13，0），∴CD＝﹣5﹣（﹣13）＝8，∴S△CDE＝CD×DE＝12，由题意知，OA＝5，OD＝5，BD＝3，∴S四边形ABDO＝（BD+OA）×OD＝20，∴S＝S△CDE+S四边形ABDO＝12+20＝32，故③正确；④由③知，S＝32，在△AOC中，OA＝5，OC＝13，∴S△AOC＝OA×OC＝32.5，∴S△CDE+S四边形ABDO＝12+20≠S△AOC．故④错误．综上所述，正确的结论有2个．故选：B．二．填空题（共10小题）11．【解答】解：当点E在y轴右侧时，如图1，连接AE，∵∠EAB＝∠ABO，∴AE∥OB，∵A（0，8），∴E点纵坐标为8，又E点在直线y＝x+4上，把y＝8代入可求得x＝4，∴E点坐标为（4，8）；当点E在y轴左侧时，过A、E作直线交x轴于点C，如图2，设E点坐标为（a，a+4），设直线AE的解析式为y＝kx+b，把A、E坐标代入可得，解得，∴直线AE的解析式为y＝x+8，令y＝0可得x+8＝0，解得x＝，∴C点坐标为（，0），∴AC2＝OC2+OA2，即AC2＝（）2+82，∵B（4，0），∴BC2＝（4﹣）2＝（）2﹣+16，∵∠EAB＝∠ABO，∴AC＝BC，∴AC2＝BC2，即（）2+82＝（）2﹣+16，解得a＝﹣12，则a+4＝﹣8，∴E点坐标为（﹣12，﹣8）．方法二：设C（m，0），∵∠ACB＝∠CBA，∴AC＝BC，∴（4﹣m）2＝m2+82，解得m＝﹣6，∴直线AE的解析式为y＝x+8，由，解得．∴E（﹣12，﹣8）．综上可知，E点坐标为（4，8）或（﹣12，﹣8）．故答案为：（4，8）或（﹣12，﹣8）．12．【解答】解：当M运动到（﹣1，1）时，ON＝1，MN＝1，∵MN⊥x轴，所以由ON＝MN可知，（0，0）和（0，1）就是符合条件的两个P点；又∵当M运动到第三象限时，要MN＝MP，且PM⊥MN，设点M（x，2x+3），则有﹣x＝﹣（2x+3），解得x＝﹣3，所以点P坐标为（0，﹣3）．如若MN为斜边时，则∠ONP＝45°，所以ON＝OP，设点M（x，2x+3），则有﹣x＝﹣（2x+3），化简得﹣2x＝﹣2x﹣3，这方程无解，所以这时不存在符合条件的P点；又∵当点M′在第二象限，M′N′为斜边时，这时N′P＝M′P，∠M′N′P＝45°，设点M′（x，2x+3），则OP＝ON′，而OP＝M′N′，∴有﹣x＝（2x+3），解得x＝﹣，这时点P的坐标为（0，）．综上，符合条件的点P坐标是（0，0），（0，），（0，﹣3），（0，1）．故答案为：（0，0），（0，1），（0，），（0，﹣3）．13．【解答】解：如图所示：过点P1作P1E⊥x轴于点E，∵一次函数y＝﹣x+1的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点C在y轴的正半轴上，且OC＝3，∴AO＝BO＝1，则BC＝2，AC＝，AB＝，当∠CP1B＝∠ACB时，又∵∠CAB＝∠CAP1，∴△CAB∽△P1AC，∴＝，则＝，解得：AP1＝5，则AE＝P1E＝5，故P1（﹣4，5），当∠CPB＞∠ACB时，则点P横坐标x满足：﹣4＜x，同理可得：当∠CP2B＝∠ACB时，又∵∠ABC＝∠P2BC，∴△CAB∽△P2CB，∴＝，则＝，解得：BP2＝2，可得P2（2，﹣1），故当∠CPB＞∠ACB时，则点P横坐标x满足：2＞x，综上所述：﹣4＜x＜2且x≠0．故答案为：﹣4＜x＜2且x≠0．14．【解答】解：∵直线y＝mx﹣2恰好把正方形ABCO的面积分成相等的两部分∴直线必经过正方形的中心∵点B的坐标为（4，4）∴中心为（2，2），代入直线中得：2＝2m﹣2，m＝215．【解答】解：过点P作PE⊥OC于E，EP的延长线交AB于F．∵AB⊥OB，∴∠OBF＝∠EOB＝∠FEO＝90°，∴四边形EOBF是矩形，∵P（2，2），∴OE＝PE＝BF＝2，∵∠CPD＝90°，∴∠CPE+∠DPF＝90°，∠ECP+∠CPE＝90°，∴∠ECP＝∠DPF，在△CPE和△PDF中，，∴△CPE≌△PDF（AAS），∴DF＝PE＝2，∴BD＝BF+DF＝4，∵BD＝4AD，∴AD＝1，AB＝OB＝5，∴CE＝PF＝3，∴D（5，4），C（0，5），设直线CD的解析式为y＝kx+b则有，解得，∴直线CD的解析式为y＝﹣x+5，由解得，∴点Q的坐标为（，）．故答案为（，）．16．【解答】解：方法一：∵点Q在直线y＝﹣x上，∴设点Q的坐标为（m，﹣m）．∵点A的坐标是（0，2），点B的坐标是（2，0），∴△AOB为等腰直角三角形，点O（0，0）到AB的距离h＝OA＝．设直线AB的解析式为y＝kx+b，∵点A（0，2），点B（2，0）在直线AB上，∴有，解得．即直线AB的解析式为y＝﹣x+2，∵直线y＝﹣x+2与y＝﹣x平行，∴点P到底OQ的距离为（平行线间距离处处相等）．∵△OPQ的面积S△OPQ＝OQ•h＝OQ＝，∴OQ＝2．由两点间的距离公式可知OQ＝＝2，解得：m＝±，∴点Q的坐标为（，﹣）或（﹣，）．故答案为：（，﹣）或（﹣，）．方法二：当P点与A重合时，则△OPQ底OP为2，∵△OPQ的面积为，∴△OPQ的高为，即点Q的横坐标为﹣，∵点Q在直线y＝﹣x上，∴点Q的坐标为（﹣，）；当P点与B重合时，同理可求出点Q的坐标为（，﹣）．综上即可得出点Q的坐标为（，﹣）或（﹣，）．17．【解答】方法一：解：设直线AB的解析式为：y＝kx+b，把A（0，2），B（3，4）代入得：，解得：k＝，b＝2，∴直线AB的解析式为：y＝x+2；∵点B与B′关于直线AP对称，设B′坐标为（a，0）∴线段BB′的中点坐标为（，2）∵线段BB′的中点在直线AP上，且A点坐标为（0，2）∴A点为线段BB′的中点，即A、B、B′三点共线∴AP⊥AB，∴设直线AP的解析式为：y＝﹣x+c，把点A（0，2）代入得：c＝2，∴直线AP的解析式为：y＝﹣x+2，当y＝0时，﹣x+2＝0，解得：x＝，∴点P的坐标为：（）；故答案为：（）．方法二：解：如图，连接AB、AB′∵A（0，2），B（3，4）∴AB＝＝∵点B与B′关于直线AP对称∴AB′＝AB＝，在Rt△AOB′中，B′O＝＝3∴B′点坐标为（﹣3，0）设直线BB′方程为y＝kx+b将B（3，4），B′（﹣3，0）代入得：，解得k＝，b＝2∴直线BB′的解析式为：y＝x+2，∴直线AP的解析式为：y＝﹣x+2，当y AP＝0时，﹣x+2＝0，解得：x＝，∴点P的坐标为：（）；故答案为：（）．18．【解答】解：①如图，作M点关于直线x＝4的对称点M′，然后作M′F⊥直线y＝﹣x﹣1于F，交直线x ＝4于E，此时ME+EF有最小值，最小值为M′F；∵y＝﹣x﹣1与x轴和y轴分别交于B、C两点，令x＝0，可得y＝﹣1，令y＝0，可得x＝﹣2，∴B（﹣2，0），C（0，﹣1），∴OB＝2，OC＝1，∴BC＝＝，∵M（3，0），∴M′（5，0），∴BM′＝5+2＝7，∵M′F⊥直线BC，∴∠BFM′＝90°＝∠BOC，∵∠OBC＝∠FBM′∴△BOC∽△BFM′，∴，即，解得：M′F＝，∴ME+EF的最小值为；②∵直线M′F与直线y＝﹣x﹣1互相垂直，∴直线M′F与直线y＝﹣x﹣1的k互为负倒数，∴设直线M′F的关系式为：y＝2x+b，将M′（5，0），代入y＝2x+b，可得：b＝﹣10，∴直线M′F的关系式为：y＝2x﹣10，将直线y＝2x﹣10与直线y＝﹣x﹣1联立方程组得：，解得：，∴点F的坐标为（，﹣）．故答案为：；（，﹣）．19．【解答】解：解：过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，∠CMP＝∠DNP＝∠CPD＝90°，∴∠MCP+∠CPM＝90°，∠MPC+∠DPN＝90°，∴∠MCP＝∠DPN，∵P（1，1），∴OM＝BN＝1，PM＝1，在△MCP和△NPD中，∴△MCP≌△NPD（AAS），∴DN＝PM，PN＝CM，∵BD＝2AD，∴设AD＝a，BD＝2a，∵P（1，1），∴BN＝2a﹣1，则2a﹣1＝1，∴a＝1，即BD＝2．∵直线y＝x，∴AB＝OB＝3，∴点D（3，2）∴PC＝PD＝＝＝，在Rt△MCP中，由勾股定理得：CM＝＝＝2，则C的坐标是（0，3），设直线CD的解析式是y＝kx+3，把D（3，2）代入得：k＝﹣，即直线CD的解析式是y＝﹣x+3，∴组成方程组解得：∴点Q（，），故答案为：（，）．20．【解答】解：当x＝0时，y＝2x+4＝4，∴A（0，4）；当y＝2x+4＝0时，x＝﹣2，∴C（﹣2，0）．∴OA＝4，OC＝2，∴AC＝＝2．如图所示．过点B作BD⊥x轴于点D．∵∠ACO+∠ACB+∠BCD＝180°，∠ACO+∠CAO＝90°，∠ACB＝90°，∴∠CAO＝∠BCD．在△AOC和△CDB中，，∴△AOC≌△CDB（AAS），∴CD＝AO＝4，DB＝OC＝2，OD＝OC+CD＝6，∴点B的坐标为（﹣6，2）．如图所示．取AC的中点E，连接BE，OE，OB，∵∠AOC＝90°，AC＝2，∴OE＝CE＝AC＝，∵BC⊥AC，BC＝2，∴BE＝＝5，若点O，E，B不在一条直线上，则OB＜OE+BE＝5+．若点O，E，B在一条直线上，则OB＝OE+BE＝5+，∴当O，E，B三点在一条直线上时，OB取得最大值，最大值为5+，故答案为：5+．三．解答题（共10小题）21．【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线l的表达式为：；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2＝OA2+OB2＝32+22＝13∵△ABC为等腰直角三角形，∴S△ABC＝AB2＝；（3）连接BP，PO，P A，则：①若点P在第一象限时，如图1：∵S△ABO＝3，S△APO＝a，S△BOP＝1，∴S△ABP＝S△BOP+S△APO﹣S△ABO＝，即，解得；②若点P在第四象限时，如图2：∵S△ABO＝3，S△APO＝﹣a，S△BOP＝1，∴S△ABP＝S△BOP+S△APO﹣S△ABO＝，即，解得a＝﹣3；故：当△ABC与△ABP面积相等时，实数a的值为或﹣3．22．【解答】解：（1）∵a2﹣4a+4+|2a+b|＝0，∴（a﹣2）2+|2a+b|＝0，∴a＝2，b＝4．（2）由（1）知，b＝4，∴B（0，4）．∴OB＝4．∵点P在直线AB的左侧，且在x轴上，∠APB＝45°∴OP＝OB＝4，∴B（4，0）．（3）由（1）知a＝﹣2，b＝4，∴A（2，0），B（0，4）∴OA＝2，OB＝4，∵△ABP是直角三角形，且∠APB＝45°，∴只有∠ABP＝90°或∠BAP＝90°，如图，①当∠ABP＝90°时，∵∠BAP＝45°，∴∠APB＝∠BAP＝45°．∴AB＝PB．过点P作PC⊥OB于C，∴∠BPC+∠CBP＝90°，∵∠CBP+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠BPC．在△AOB和△BCP中，∠AOB＝∠BCP＝90°，∠ABO＝∠BPC，AB＝PB，∴△AOB≌△BCP（AAS）．∴PC＝OB＝4，BC＝OA＝2．∴OC＝OB﹣BC＝2．∴P（﹣4，2）．②当∠BAP＝90°时，过点P'作P'D⊥OA于D，同①的方法得，△ADP'≌△BOA（AAS）．∴DP'＝OA＝2，AD＝OB＝4．∴OD＝AD﹣OA＝2．∴P'（﹣2，2））．即：满足条件的点P（﹣4，2）或（﹣2，﹣2）．23．【解答】解：（1）①由題意，，解得：，所以C（4，4）．②观察图象可知x＞4时，直线AB位于直线OC的下方，即x＞4时，﹣x+10＜x．（2）由题意，在OC上截取OM＝OP，连结MQ，∵ON平分∠AOC，∴∠AOQ＝∠COQ，又OQ＝OQ．∴△POQ≌△MOQ（SAS），∴PQ＝MQ，∴AQ+PQ＝AQ+MQ，当A、Q、M在同一直銭上，且AM⊥OC吋，AQ+MQ最小，即AQ+PQ存在最小値；∴AB⊥ON，∴∠AEO＝∠CEO，∴△AEO≌△CEO（ASA），∴OC＝OA＝6，∵△OAC的面积为9，∴OC•AM＝9，∴AM＝3，∴AQ+PQ存在最小值，最小值为3．24．【解答】解：（1）如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q，∵∠OBA+∠OAB＝90°，∠OBA+∠QBC＝90°，∴∠OAB＝∠QBC，又∵AB＝BC，∠AOB＝∠Q＝90°，∴△ABO≌△BCQ（AAS），∴BQ＝AO＝4，OQ＝BQ+BO＝6，CQ＝OB＝2，∴C（﹣6，2），由A（0，4），C（﹣6，2）可知，直线AC：y＝x+4；（2）如图2，作CH⊥x轴于H，DF⊥x轴于F，DG⊥y轴于G，∵AC＝AD，AB⊥CB，∴BC＝BD，∴△BCH≌△BDF（AAS），∴BF＝BH＝4，∴OF＝OB＝2，∴DG＝OB，∴△BOE≌△DGE（AAS），∴BE＝DE；（3）如图3，直线BC：y＝﹣x﹣1，P（﹣，k）是线段BC上一点，∴P（﹣，），由y＝x+4知M（﹣12，0），∴BM＝10，则S△BCM＝10．设点N（n，0），则BN＝|n+2|，假设存在点N使直线PN平分△BCM的面积，则BN•y C＝×10，n＝或﹣，故点N的坐标为：（，0）或（﹣，0）．25．【解答】解：（1）OA＝OB＝3，则点A、B的坐标分别为：（3，0）、（0，3），将点A、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线11的表达式为：y＝﹣x+3…①；（2）联立l1、l2的表达式得：，解得：，故点D（2，1）；△OCD的面积＝×OA•y D＝3×1＝；（3）△COE与△DEP的面积相等，则S△CDO＝S△CDE+S△OCE＝S△PED+S△CED＝S△PCD，则点P、O到CD的距离相等，故OP所在的直线与CD平行，则直线OP的表达式为：y＝x…②，联立①②并解得：x＝，则点P（，）．26．【解答】解：（1）设y＝0，则x＝6；设点x＝0，则y＝6，故点B的坐标为（6，0），点C的坐标为（0，8）；（2）S△OAC＝×CO×x A＝×8×3＝12；（3）存在点M使S△OMC＝S△OAC，设M的坐标为（x，y）；OA的解析式是y＝mx，则3m＝4，解得：，则直线OA的解析式是：，∵当S△OMC＝S△OAC时，即，又∵OC＝8，∴，当M在线段OA上时，x＞0，所以时，y＝1，则M的坐标是；当M在射线上时，则y＝7，则M的坐标是；则y＝9，则M的坐标是，综上所述：M的坐标是：或或；（4）在Rt△OBC中，∠COB＝90°，OB＝6，OC＝8，∴，∵△BCN沿直线BN折叠后，所得三角形为△BDN，∴CN＝DN，BD＝BC＝10，∴OD＝4在Rt△ODN中，设ON＝x，则DN＝8﹣x，∴42+x2＝（8﹣x）2∴x＝3，故点N（0，3），设直线AM的解析式为y＝kx+b（k≠0）代入A（6，0），N（0，3）得：，解得，∴直线AM的解析式为．27．【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣2，0），∴OA＝2，∵OB＝2OA＝4，∴B（0，4），把A（﹣2，0）和B（0，4）代入y＝kx+b中得：，解得：，∴直线AB解析式为：y＝2x+4；（2）∵∠AOB＝90°，∴∠AO1B1＝90°，由平移得：OO1＝6，O1B1＝OB＝4，由勾股定理得：OB1＝＝2，即线段OB1的长是2；（3）△AOB扫过的面积＝+4×6＝28．28．【解答】解：（1）∵点E是直线y＝x+2上一点，点E的纵坐标是6，∴x+2＝6，解得，x＝4，∴点E的坐标是（4，6），∵点T（x，y）是点D和E的融合点，∴x＝＝，y＝＝2，∴点T的坐标为（，2），故答案为：（，2）；（2）设点E的坐标为（a，a+2），∵点T（x，y）是点D和E的融合点，∴x＝，y＝，解得，a＝3x﹣3，a＝3y﹣2，∴3x﹣3＝3y﹣2，整理得，y＝x﹣；（3）设点E的坐标为（a，a+2），则点T的坐标为（，），当∠THD＝90°时，点E与点T的横坐标相同，∴＝a，解得，a＝，此时点E的坐标为（，），当∠TDH＝90°时，点T与点D的横坐标相同，∴＝3，解得，a＝6，此时点E的坐标为（6，8），当∠DTH＝90°时，该情况不存在，综上所述，当△DTH为直角三角形时，点E的坐标为（，）或（6，8）．29．【解答】解：（1）把A（6，0）代入y＝kx+8中，得6k+8＝0，解得：，∴，把x＝3代入，得y＝4，∴C（3，4）；（2）作CF⊥x轴于点F，EG⊥x轴于点G，∵△CDE是等腰直角三角形，∴CD＝DE，∠CDE＝90°，∴∠CDF＝90°﹣∠EDG＝∠DEG，且∠CFD＝∠DGE＝90°，∴△CDF≌△DEG（AAS）∴CF＝DG＝4，DF＝EG＝3﹣m，∴OG＝4+m，∴E（4+m，m﹣3）；（3）点E（4+m，m﹣3），则点E在直线l：y＝x﹣7上，设：直线l交y轴于点H（0，﹣7），过点O作直线l的对称点O′，∵直线l的倾斜角为45°，则HO′∥x轴，则点O′（7，﹣7），连接CO′交直线l于点E′，则点E′为所求点，OC是常数，△OCE周长＝OC+CE+OE＝OC+OE′+CE′＝OC+CE′+O′E′＝OC+CO′为最小，由点C、O′的坐标得，直线CO′的表达式为：y＝﹣x+联立，解得：，故：．30．【解答】解：（1）y＝k1x+6，当x＝0时，y＝6，∴OB＝6，∵OB＝OA，∴OA＝2，∴A（﹣2，0），把A（﹣2，0）代入：y＝k1x+6中得：﹣2k1+6＝0，k1＝，∴直线l1的解析式为：y＝x+6；（2）如图1，过C作CH⊥x轴于H，∵C（，1），∴OH＝，CH＝1，Rt△ABO中，AB＝＝4，∴AB＝2OA，∴∠OBA＝30°，∠OAB＝60°，∵CD⊥AB，∴∠ADE＝90°，∴∠AED＝30°，∴EH＝，∴OE＝OH+EH＝2，∴E（2，0），把E（2，0）和C（，1）代入y＝k2x+b中得：，解得：，∴直线l2：y＝﹣x+2，∴F（0，2）即BF＝6﹣2＝4，则，解得，∴D（﹣，3），∴S△BCD＝BF（x C﹣x D）＝＝4；（3）分四种情况：①当Q在y轴的正半轴上时，如图2，过D作DM⊥y轴于M，过C作CN⊥y轴于N，∵△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形，∴∠CQD＝90°，CQ＝DQ，∴∠DMQ＝∠CNQ＝90°，∴∠MDQ＝∠CQN，∴△DMQ≌△QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝，设D（m，m+6）（m＜0），则Q（0，﹣m+1），∴OQ＝QN+ON＝OM+QM，即﹣m+1＝m+6+，m＝＝1﹣2，∴Q（0，2）；②当Q在x轴的负半轴上时，如图3，过D作DM⊥x轴于M，过C作CN⊥x轴于N，同理得：△DMQ≌△QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝1，设D（m，m+6）（m＜0），则Q（m+1，0），∴OQ＝QN﹣ON＝OM﹣QM，即m+6﹣＝﹣m﹣1，m＝5﹣4，∴Q（6﹣4，0）；③当Q在x轴的负半轴上时，如图4，过D作DM⊥x轴于M，过C作CN⊥x轴于N，同理得：△DMQ≌△QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝1，设D（m，m+6）（m＜0），则Q（m﹣1，0），∴OQ＝QN﹣ON＝OM+QM，即﹣m﹣6﹣＝﹣m+1，m＝﹣4﹣5，∴Q（﹣4﹣6，0）；④当Q在y轴的负半轴上时，如图5，过D作DM⊥y轴于M，过C作CN⊥y轴于N，同理得：△DMQ≌△QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝，设D（m，m+6）（m＜0），则Q（0，m+1），∴OQ＝QN﹣ON＝OM+QM，即﹣m﹣6+＝﹣m﹣1，m＝﹣2﹣1，∴Q（0，﹣2）；综上，存在点Q，使△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形，点Q的坐标是（0，±2）或（6﹣4，0）或（﹣4﹣6，0）．。
2020年湖南省永州市中考数学试题及参考答案(word解析版)
永州市2020年初中学业水平考试数学（试题卷）（满分150分，考试时量120分钟）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项）1．﹣2020的相反数为（）A．﹣B．2020 C．﹣2020 D．2．永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（）A．注意安全B．水深危险C．必须戴安全帽D．注意通风3．永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是（）A．6.353×105人B．63.53×105人C．6.353×106人D．0.6353×107人4．下列计算正确的是（）A．a2b+2ab2＝3a3b3B．a6÷a3＝a2C．a6•a3＝a9D．（a3）2＝a55．已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是（）A．众数是8 B．平均数是6 C．中位数是8 D．方差是96．如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA7．如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：①PA＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．48．如图，在△ABC中，EF∥BC，＝，四边形BCFE的面积为21，则△ABC的面积是（）A．B．25 C．35 D．639．如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是（）A．4 B．2 C．D．210．已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，求点P到直线y＝kx+b的距离d可用公式d＝计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为（1，1），半径为1，直线l的表达式为y＝﹣2x+6，P是直线l上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是（）A．B．﹣1 C．﹣1 D．2（第8题图）（第9题图）（第10题图）二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）11．函数y＝中，自变量x的取值范围是．12．方程组的解是．13．若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．14．永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：成绩90≤x≤100 80≤x＜90 70≤x＜80 60≤x＜70 x＜60人数25 15 5 4 1 根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有人．15．已知圆锥的底面周长是分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是平方分米．16．已知直线a∥b，用一块含30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若∠1＝25°，则∠2＝．17．如图，正比例函数y＝﹣x与反比例函数y＝﹣的图象交于A，C两点，过点A作AB⊥x轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，则△ABD的面积为．18．∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB＝60°，在∠AOB内有一点P（4，3），M，N分别是OA，OB边上的动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值是．（第16题图）（第17题图）（第18题图）三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）计算：20200+sin30°﹣（）﹣1．20．（8分）先化简，再求值：（﹣•）•（a+2），其中a＝2．21．（8分）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A：90＜S≤100，B：80＜S≤90，C：70＜S≤80，D：S≤70．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整．（2）扇形统计图中m＝，n＝，B等级所占扇形的圆心角度数为．（3）该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用A1，A2表示），两名女生（用B1，B2表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．22．（10分）一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B 处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：≈1.73，≈2.24，≈2.65）（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．23．（10分）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？24．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BD与⊙O相切于点B，BD交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE．（1）求证：CE是⊙O的切线．（2）已知BD＝3，CD＝5，求O，E两点之间的距离．25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．①求△CMN面积的最小值．②已知Q（1，﹣）是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．26．（12分）某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角，将该纸条从右往左平移．（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD时，求证：四边形ABCD是菱形．（3）设平移的距离为xcm（0＜x≤6+6），两张纸条重叠部分的面积为scm2．求s与x的函数关系式，并求s的最大值．答案与解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项）1．﹣2020的相反数为（）A．﹣B．2020 C．﹣2020 D．【知识考点】相反数．【思路分析】直接利用相反数的定义进而分析得出答案．【解答过程】解：﹣2020的相反数为：2020．故选：B．【总结归纳】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．2．永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（）A．注意安全B．水深危险C．必须戴安全帽D．注意通风【知识考点】轴对称图形．【思路分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，即可进行判断．【解答过程】解：根据轴对称图形的定义可知：选项A、B、C中的图形是轴对称图形，选项D不是轴对称图形．故选：D．【总结归纳】本题考查了轴对称图形，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．3．永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是（）A．6.353×105人B．63.53×105人C．6.353×106人D．0.6353×107人【知识考点】科学记数法—表示较大的数．【思路分析】绝对值大于10的数用科学记数法表示一般形式为a×10n，n为整数位数减1．【解答过程】解：635.3万＝6353000＝6.353×106．则“现有户籍人口数”用科学记数法表示为6.353×106人．故选：C．【总结归纳】本题考查了科学记数法﹣表示较大的数，科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，4．下列计算正确的是（）A．a2b+2ab2＝3a3b3B．a6÷a3＝a2C．a6•a3＝a9D．（a3）2＝a5【知识考点】合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．【思路分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法法则、幂的乘方法则，直接计算得结论．【解答过程】解：A选项的两个加数不是同类项，不能加减；a6÷a3＝a3≠a2，故选项B错误；a6•a3＝a9，故选项C正确；（a3）2＝a6≠a5．故选项D错误．故选：C．【总结归纳】本题考查了同底数幂的乘除法法则、合并同类项法则及幂的乘方法则．熟练掌握整式的相关法则，是解决本题的关键．5．已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是（）A．众数是8 B．平均数是6 C．中位数是8 D．方差是9【知识考点】算术平均数；中位数；众数；方差．【思路分析】将数据按照从小到大重新排列，再根据众数、中位数、算术平均数的定义计算，最后利用方差的概念计算可得．【解答过程】解：将这组数据重新排列为1，2，6，8，8，所以这组数据的众数为8，中位数为6，平均数为＝5，方差为×[（1﹣5）2+（2﹣5）2+（6﹣5）2+2×（8﹣5）2]＝8.8，故选：A．【总结归纳】本题主要考查方差，解题的关键是掌握众数、中位数、算术平均数及方差的定义．6．如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA【知识考点】全等三角形的判定．【思路分析】根据全等三角形的判定方法即可解决问题．【解答过程】解：∵AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB（SAS），故选：A．【总结归纳】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：①PA＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【知识考点】三角形的外接圆与外心；切线的性质．【思路分析】利用切线长定理对①进行判断；利用线段的垂直平分线定理的逆定理对②进行判断；利用切线的性质和圆周角定理可对③进行判断；由于只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM，则可对④进行判断．【解答过程】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴PA＝PB，所以①正确；∵OA＝OB，PA＝PB，∴OP垂直平分AB，所以②正确；∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴点A、B在以OP为直径的圆上，∴四边形OAPB有外接圆，所以③正确；∵只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM，∴M不一定为△AOP外接圆的圆心，所以④错误．故选：C．【总结归纳】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了切线长定理．8．如图，在△ABC中，EF∥BC，＝，四边形BCFE的面积为21，则△ABC的面积是（）A．B．25 C．35 D．63【知识考点】相似三角形的判定与性质．【思路分析】由EF∥BC可得出△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质可得出S△AEF＝S△ABC，结合S四边形BCFE＝21即可得出关于S△ABC的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答过程】解：∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝，∴S△AEF＝S△ABC．∵S四边形BCFE＝S△ABC﹣S△AEF＝21，即S△ABC＝21，∴S△ABC＝25．故选：B．【总结归纳】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质，找出S四边形BCFE＝S△ABC是解题的关键．9．如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是（）A．4 B．2 C．D．2【知识考点】简单几何体的三视图．【思路分析】过点B作BD⊥AC于点D，此正三棱柱底面△ABC的边AB在右侧面的投影为BD，利用等边三角形的性质和勾股定理求出BD的长，结合左视图矩形的宽可得答案．【解答过程】解：如图，过点B作BD⊥AC于点D，此正三棱柱底面△ABC的边AB在右侧面的投影为BD，∵AC＝2，∴AD＝1，AB＝AD＝2，∴BD＝，∵左视图矩形的长为2，∴左视图的面积为2．故选：D．【总结归纳】本题主要考查由三视图判断几何体，由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助；④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法．10．已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，求点P到直线y＝kx+b的距离d可用公式d＝计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为（1，1），半径为1，直线l的表达式为y＝﹣2x+6，P是直线l上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是（）A．B．﹣1 C．﹣1 D．2【知识考点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．【思路分析】求出点C（1，1）到直线y＝﹣2x+6的距离d即可求得PQ的最小值．【解答过程】解：过点C作CP⊥直线l，交圆C于Q点，此时PQ的值最小，根据点到直线的距离公式可知：点C（1，1）到直线l的距离d＝＝，．∵⊙Q的半径为1，∴PQ＝﹣1，故选：B．【总结归纳】本题考查的是一次函数的应用、点到直线的距离公式．直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）11．函数y＝中，自变量x的取值范围是．【知识考点】函数自变量的取值范围．【思路分析】根据分母不等于0列式进行计算即可求解．【解答过程】解：根据题意得，x﹣3≠0，解得x≠3．故答案为：x≠3．【总结归纳】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．12．方程组的解是．【知识考点】解二元一次方程组．【思路分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答过程】解：，①+②得：3x＝6，即x＝2，把x＝2代入①得：y＝2，则方程组的解为，故答案为：【总结归纳】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．13．若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．【知识考点】根的判别式．【思路分析】由方程有两个不相等的实数根可知，b2﹣4ac＞0，代入数据可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．【解答过程】解：由已知得：△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）＝16+4m＞0，解得：m＞﹣4．故答案为：m＞﹣4．【总结归纳】本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于m的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出不等式（或不等式组）是关键．14．永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：成绩90≤x≤100 80≤x＜90 70≤x＜80 60≤x＜70 x＜60人数25 15 5 4 1 根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有人．【知识考点】用样本估计总体；频数（率）分布表．【思路分析】根据频数分布表中的数据，可以估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生人数．【解答过程】解：600×＝480（人），即该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有480人，故答案为：480．【总结归纳】本题考查频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，由样本数据可以估计总体．15．已知圆锥的底面周长是分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是平方分米．【知识考点】圆锥的计算．【思路分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．【解答过程】解：圆锥的侧面积＝××1＝平方分米．故答案为．【总结归纳】本题考查圆锥的计算，解题的关键是记住扇形的面积公式，属于中考常考题型．16．已知直线a∥b，用一块含30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若∠1＝25°，则∠2＝．【知识考点】平行线的性质．【思路分析】过点B作EF∥a．利用平行线的性质，把∠1、∠2集中在∠ABC上，利用角的和差求值即可．【解答过程】解：过点B作EF∥a．∵a∥b，∴EF∥a∥b．∴∠1＝∠ABF，∠2＝∠FBC．∵△ABC是含30°角的直角三角形，∴∠ABC＝60°．∵∠ABF+∠CBF＝60°，∴∠2＝60°﹣25＝35°．故答案为：35°．【总结归纳】本题考查了平行线的性质及角的和差关系．掌握平行线的性质是解决本题的关键．17．如图，正比例函数y＝﹣x与反比例函数y＝﹣的图象交于A，C两点，过点A作AB⊥x轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，则△ABD的面积为．【知识考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【思路分析】根据正比例函数和反比例函数的关系式可求出交点坐标，进而得出OB＝AB＝OD ＝CD＝，再根据三角形的面积公式求出答案．【解答过程】解：正比例函数y＝﹣x与反比例函数y＝﹣的图象交点坐标A（﹣，），C（，﹣），∵AB⊥x轴，CD⊥x轴，∴OB＝AB＝OD＝CD＝，∴S△ABD＝BD•AB＝×2×＝6，故答案为：6．【总结归纳】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，求出交点坐标是得到答案的前提．18．∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB＝60°，在∠AOB内有一点P（4，3），M，N分别是OA，OB边上的动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值是．【知识考点】坐标与图形性质；轴对称﹣最短路线问题．【思路分析】分别作P关于射线OA、射线OB的对称点P′与点P″，连接P′P″，与OA、OB分别交于M、N两点，此时△PMN周长最小，最小值为P′P″的长，连接OP′，OP″，OP，利用垂直平分线定理得到OP′＝OP″＝OP，由P坐标确定出OP的长，在三角形OP′P″中求出P′P″的长，即为三角形PMN周长的最小值．【解答过程】解：分别作P关于射线OA、射线OB的对称点P′与点P″，连接P′P″，与OA、OB分别交于M、N两点，此时△PMN周长最小，最小值为P′P″的长，连接OP′，OP″，OP，∵OA、OB分别为PP′，PP″的垂直平分线，P（4，3），∴OP′＝OP＝OP″＝＝5，且∠POA＝∠P′OA，∠POB＝∠P″OB，∵∠AOB＝∠AOP+∠BOP＝60°，∴∠P′OP″＝120°，过O作OQ⊥P′P″，可得P′Q＝P″Q，∠OP′Q＝∠OP″Q＝30°，∴OQ＝，P′Q＝P″Q＝，∴P′P″＝2P′Q＝2×＝5，则△PMN周长的最小值是5．故答案为：5．【总结归纳】此题考查了轴对称﹣最短线路问题，坐标与图形性质，勾股定理，熟练掌握轴对称的性质是解本题的关键．三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）计算：20200+sin30°﹣（）﹣1．【知识考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【思路分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．【解答过程】解：原式＝1+2×﹣2＝1+1﹣2＝0．【总结归纳】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20．（8分）先化简，再求值：（﹣•）•（a+2），其中a＝2．【知识考点】分式的化简求值．【思路分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．【解答过程】解：原式＝[﹣•]•（a+2）＝[﹣]•（a+2）＝﹣＝，当a＝2时，原式＝＝1．【总结归纳】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．21．（8分）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A：90＜S≤100，B：80＜S≤90，C：70＜S≤80，D：S≤70．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整．（2）扇形统计图中m＝，n＝，B等级所占扇形的圆心角度数为．（3）该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用A1，A2表示），两名女生（用B1，B2表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．【知识考点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法．【思路分析】（1）先由A等级人数及其所占百分比求出总人数，再根据四个等级人数之和等于总人数求出C等级人数，从而补全图形；（2）根据（1）种补全图形得出C、D人数，利用百分比概念求解可得m、n的值，用360°乘以B等级对应的百分比可得其对应圆心角度数；（3）分别用树状图方法表示出所有等可能结果，从中找到恰好抽到1名男生和1名女生的结果数，利用概率公式计算可得．【解答过程】解：（1）∵被调查的总人数为4÷10%＝40（人），∴C等级人数为40﹣（4+28+2）＝6（人），补全图形如下：（2）m%＝×100%＝15%，即m＝15，n%＝×100%＝5%，即n＝5；B等级所占扇形的圆心角度数为360°×70%＝252°，故答案为：15，5，252°；（3）画树状图如下：共有12种可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的有8种结果，∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为＝．【总结归纳】本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．22．（10分）一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：≈1.73，≈2.24，≈2.65）（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．【知识考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．【思路分析】（1）作AD⊥BC于D，由题意得AB＝60，∠BAD＝90°﹣60°＝30°，则BD＝AB＝30，AD＝BD＝30≈51.9＞50，即可得出结论；（2）由（1）得BD＝30，AD＝30，求出DC＝BC﹣BD＝90﹣30＝60，由勾股定理求出AC即可．【解答过程】解：（1）这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险，理由如下：作AD⊥BC于D，如图：则∠ADB＝∠ADC＝90°，由题意得：AB＝60，∠BAD＝90°﹣60°＝30°，∴BD＝AB＝30，AD＝BD＝30≈51.9＞50，∴这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险；（2）由（1）得：BD＝30，AD＝30，∵BC＝3×30＝90，∴DC＝BC﹣BD＝90﹣30＝60，在Rt△ADC中，AC＝＝＝30≈79.50（海里）；答：A，C之间的距离约为79.50海里．【总结归纳】本题考查的是解直角三角形的应用、方向角的概念、直角三角形的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．23．（10分）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？【知识考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．【思路分析】（1）可设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是（x+10）元，根据等量关系：两种口罩的只数相同，列出方程即可求解；（2）可设购进一次性医用外科口罩y只，根据购进的总费用不超过1万元，列出不等式即可求解．【解答过程】解：（1）设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是（x+10）元，依题意有＝，解得x＝2，经检验，x＝2是原方程的解，x+10＝2+10＝12．故一次性医用外科口罩的单价是2元，N95口罩的单价是12元；（2）设购进一次性医用外科口罩y只，依题意有2y+12（2000﹣y）≤10000，解得y≥1400．故至少购进一次性医用外科口罩1400只．【总结归纳】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，找准等量关系和不等关系，正确列出分式方程和不等式是解题的关键．24．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BD与⊙O相切于点B，BD交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE．（1）求证：CE是⊙O的切线．（2）已知BD＝3，CD＝5，求O，E两点之间的距离．【知识考点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质．【思路分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠OBC＝∠OCB，由圆周角定理可得∠ACB＝90°，由直角三角形的性质可得BE＝CE＝DE，可得∠ECB＝∠EBC，由切线的性质可得∠ABD＝90°，可证OC⊥CE，可得结论；（2）通过证明△BCD∽△ABD，可得，可求AD的长，由三角形中位线定理可求解．【解答过程】证明：（1）如图，连接OC，OE，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵E为BD的中点，∴BE＝CE＝DE，∴∠ECB＝∠EBC，∵BD与⊙O相切于点B，∴∠ABD＝90°，∴∠OBC+EBC＝90°，∴∠OCB+∠ECB＝90°，∴∠OCE＝90°∴OC⊥CE，又∵OC为半径，∴CE是⊙O的切线；（2）∵∠D＝∠D，∠BCD＝∠ABD，∴△BCD∽△ABD，∴，∴BD2＝AD•CD，∴（3）2＝5AD，∴AD＝9，∵E为BD的中点，AO＝BO，∴OE＝AD＝，∴O，E两点之间的距离为．【总结归纳】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，利用相似三角形的性质求出AD的长是本题的关键．25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．①求△CMN面积的最小值．②已知Q（1，﹣）是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．【知识考点】二次函数综合题．【思路分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质求得OA、OB、OC，进而得A、B、C三点的坐标，再用待定系数法求得抛物线的解析式；（2）①设直线l的解析式为y＝kx，M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组求得|x1﹣x2|，再由三角形的面积公式求得结果；②假设抛物线上存在点P（m，﹣2），使得点P与点Q关于直线l对称，由OP＝OQ列出方程求得m的值，再根据题意舍去不合题意的m值，再求得PQ的中点坐标，便可求得直线l的解析式．【解答过程】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），在等腰Rt△ABC中，OC垂直平分AB，且AB＝4，∴OA＝OB＝OC＝2，∴A（﹣2，0），B（2，0），C（0，﹣2），∴，解得，，∴抛物线的解析式为y＝﹣2；（2）①设直线l的解析式为y＝kx，M（x1，y1），N（x2，y2），由，可得，∴x1+x2＝2k，x1•x2＝﹣4，∴，∴，∴，∴当k＝0时2取最小值为4．∴△CMN面积的最小值为4．②假设抛物线上存在点P（m，﹣2），使得点P与点Q关于直线l对称，∴OP＝OQ，即，解得，，，m3＝1，m4＝﹣1，∵m3＝1，m4＝﹣1不合题意，舍去，当时，点P（），线段PQ的中点为（），∴，∴，∴直线l的表达式为：y＝（1﹣）x，。
一元二次方程2020年中考数学学霸专题训练(答案版)
第8章 一元二次方程一、选择题 1. 下列说法中①一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角相等 ②数据5，2，7，1，2，4的中位数是3，众数是2 ③等腰梯形既是中心对称图形，又是轴对称图形④Rt △ABC 中，∠C=90°，两直角边a ，b 分别是方程x 2－7x ＋7=0的两个根，则AB 边上的中线长为1352正确命题有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【答案】C2. 关于x 的方程0)1(2)13(2=+++-a x a ax 有两个不相等的实根1x 、2x ，且有a x x x x -=+-12211，则a 的值是A ．1B ．－1C ．1或－1D ． 2 【答案】B3. 一元二次方程(2)0x x -=根的情况是（ ）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根 【答案】A4. 某商品原售价289元,经过连续两次降价后售价为256元,设平均每次降价的百分率为x,则下面所列方程中正确的是( )A. ()22891256x -= B. ()22561289x -= C. 289(1-2x)=256 D.256(1-2x)=289 【答案】A5. 关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m +-++=有两个相等的实数根，则m 的值是（ ） A ．0 B ．8 C ．42± D ．0或8【答案】D6. 方程(x +1)(x －2)=x +1的解是（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）－1，2 （D ）－1，3 【答案】D7. 一元二次方程0)1(=-x x 的解是（ ） （A ）0=x （B ）1=x（C ）0=x 或1=x （D ）0=x 或1-=x【答案】C8. 若一元二次方程式)2)(1()1(＋＋＋＋x x x ax bx ＋ 2)2(＝＋x 的两根为0、2，则b a 43＋之值为何？A ．2B ．5C ．7D ． 8 【答案】B9. 如图(十三)，将长方形ABCD 分割成1个灰色长方形与148个面积相等的小正方形。
2020年吉林省中考数学试卷 (解析版)
2020年吉林省中考数学试卷一、选择题（共6小题）.1．﹣6的相反数是（）A．6B．﹣6C．D．2．国务院总理李克强2020年5月22日在作政府工作报告时说，去年我国农村贫困人口减少11090000，脱贫攻坚取得决定性成就．数据11090000用科学记数法表示为（）A．11.09×106B．1.109×107C．1.109×108D．0.1109×108 3．如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图为（）A．B．C．D．4．下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（a2）3＝a5C．（2a）2＝2a2D．a3÷a2＝a5．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（）A．85°B．75°C．65°D．60°6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝108°，则∠D的大小为（）A．54°B．62°C．72°D．82°二、填空题（每小题3分，共24分）7．分解因式：a2﹣ab＝．8．不等式3x+1＞7的解集为．9．一元二次方程x2+3x﹣1＝0根的判别式的值为．10．我国古代数学著作《算学启蒙》中有这样一个数学问题，其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，根据题意，可列方程为．11．如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处．他们的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是．12．如图，AB∥CD∥EF．若＝，BD＝5，则DF＝．13．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若△ADE的面积为，则四边形DBCE的面积为．14．如图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．筝形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．以点B为圆心，BO长为半径画弧，分别交AB，BC于点E，F．若∠ABD＝∠ACD＝30°，AD＝1，则的长为（结果保留π）．三、解答题（每小题5分，共20分）15．先化简，再求值：（a+1）2+a（1﹣a）﹣1，其中a＝．16．“中国结”是我国特有的手工编织工艺品，也是一种传统吉祥装饰物．如图，现有三张正面印有“中国结”图案的不透明卡片A，B，C，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将三张卡片正面向下洗匀，小吉同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小吉同学抽出的两张卡片中含有A卡片的概率．17．甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．求乙每小时做零件的个数．18．如图，在△ABC中，AB＞AC，点D在边AB上，且BD＝CA，过点D作DE∥AC，并截取DE＝AB，且点C，E在AB同侧，连接BE．求证：△DEB≌△ABC．四、解答题（每小题7分，共28分）19．图①、图②、图③都是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A，B，C均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：（1）在图①中，画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M，N为格点．（2）在图②中，画一条不与AC重合的线段PQ，使PQ与AC关于某条直线对称，且P，Q为格点．（3）在图③中，画一个△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线对称，且D，E，F 为格点．20．如图，某班数学小组测量塔的高度，在与塔底部B相距35m的C处，用高1.5m的测角仪CD测得该塔顶端A的仰角∠EDA为36°．求塔AB的高度（结果精确到1m）．（参考数据：sin36°＝0.59，cos36°＝0.81，tan36°＝0.73）21．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B在函数y＝（x＞0）的图象上（点B的横坐标大于点A的横坐标），点A的坐标为（2，4），过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，连接OA，AB．（1）求k的值．（2）若D为OC中点，求四边形OABC的面积．22．2020年3月线上授课期间，小莹、小静和小新为了解所在学校九年级600名学生居家减压方式情况，对该校九年级部分学生居家减压方式进行抽样调查．将居家减压方式分为A（享受美食）、B（交流谈心）、C（室内体育活动）、D（听音乐）和E（其他方式）五类，要求每位被调查者选择一种自己最常用的减压方式．他们将收集的数据进行了整理，绘制的统计表分别为表1、表2和表3．表1：小莹抽取60名男生居家减压方式统计表（单位：人）减压方式A B C D E人数463785表2：小静随机抽取10名学生居家减压方式统计表（单位：人）减压方式A B C D E人数21331表3：小新随机抽取60名学生居家减压方式统计表（单位：人）减压方式A B C D E人数65261310根据以上材料，回答下列问题：（1）小莹、小静和小新三人中，哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方式情况，并简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处．（2）根据三人中能较好地反映出该校九年级居家减压方式的调查结果，估计该校九年级600名学生中利用室内体育活动方式进行减压的人数．五、解答题（每小题8分，共16分）23．某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作．当停止工作时，油箱中油量为5L，在整个过程中，油箱里的油量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示．（1）机器每分钟加油量为L，机器工作的过程中每分钟耗油量为L．（2）求机器工作时y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．（3）直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时x的值．24．能够完全重合的平行四边形纸片ABCD和AEFG按图①方式摆放，其中AD＝AG＝5，AB＝9．点D，G分别在边AE，AB上，CD与FG相交于点H．【探究】求证：四边形AGHD是菱形．【操作一】固定图①中的平行四边形纸片ABCD，将平行四边形纸片AEFG绕着点A顺时针旋转一定的角度，使点F与点C重合，如图②．则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为．【操作二】将图②中的平行四边形纸片AEFG绕着点A继续顺时针旋转一定的角度，使点E与点B重合，连接DG，CF，如图③，若sin∠BAD＝，则四边形DCFG的面积为．六、解答题（每小题10分，共20分）25．如图，△ABC是等边三角形，AB＝4cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB 向点B匀速运动，过点P作PQ⊥AB，交折线AC﹣CB于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使点A，D在PQ异侧．设点P的运动时间为x（s）（0＜x＜2），△PQD与△ABC重叠部分图形的面积为y（cm2）．（1）AP的长为cm（用含x的代数式表示）．（2）当点D落在边BC上时，求x的值．（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+与x轴正半轴交于点A，且点A 的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为﹣m+．以PQ，QM为边作矩形PQMN．（1）求b的值．（2）当点Q与点M重合时，求m的值．（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值．（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．参考答案一、单项选择题（每小题2分，共12分）1．﹣6的相反数是（）A．6B．﹣6C．D．【分析】根据相反数的定义，即可解答．解：﹣6的相反数是6，故选：A．2．国务院总理李克强2020年5月22日在作政府工作报告时说，去年我国农村贫困人口减少11090000，脱贫攻坚取得决定性成就．数据11090000用科学记数法表示为（）A．11.09×106B．1.109×107C．1.109×108D．0.1109×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：11090000＝1.109×107，故选：B．3．如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图为（）A．B．C．D．【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．解：从左边看第一层是一个小正方形，第二层也是一个小正方形，所以左视图是选项A，故选：A．4．下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（a2）3＝a5C．（2a）2＝2a2D．a3÷a2＝a【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的运算法则，对各选项计算后利用排除法求解．解：A、a2•a3＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意；B、（a2）3＝a6，原计算错误，故此选项不符合题意；C、（2a）2＝4a2，原计算错误，故此选项不符合题意；D、a3÷a2＝a，原计算正确，故此选项符合题意；故选：D．5．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（）A．85°B．75°C．65°D．60°【分析】先根据直角三角板的性质得出∠ACD的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．解：如图所示，∵∠BCD＝60°，∠BCA＝45°，∴∠ACD＝∠BCD﹣∠BCA＝60°﹣45°＝15°，∠α＝180°﹣∠D﹣∠ACD＝180°﹣90°﹣15°＝75°，故选：B．6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝108°，则∠D的大小为（）A．54°B．62°C．72°D．82°【分析】运用圆内接四边形对角互补计算即可．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝108°，∴∠D＝180°﹣∠B＝180°﹣108°＝72°，故选：C．二、填空题（每小题3分，共24分）7．分解因式：a2﹣ab＝a（a﹣b）．【分析】直接把公因式a提出来即可．解：a2﹣ab＝a（a﹣b）．8．不等式3x+1＞7的解集为x＞2．【分析】移项、合并同类项、系数化为1即可得答案．解：3x+1＞7，移项得：3x＞7﹣1，合并同类项得：3x＞6，系数化为1得：x＞2，故答案为：x＞2．9．一元二次方程x2+3x﹣1＝0根的判别式的值为13．【分析】根据一元二次方程根的判别式△＝b2﹣4ac即可求出值．解：∵a＝1，b＝3，c＝﹣1，∴△＝b2﹣4ac＝9+4＝13．所以一元二次方程x2+3x﹣1＝0根的判别式的值为13．故答案为：13．10．我国古代数学著作《算学启蒙》中有这样一个数学问题，其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，根据题意，可列方程为（240﹣150）x＝150×12．【分析】设快马x天可以追上慢马，根据两马的速度之差×快马出发的时间＝慢马的速度×慢马提前出发的时间，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．解：设快马x天可以追上慢马，依题意，得：（240﹣150）x＝150×12．故答案为：（240﹣150）x＝150×12．11．如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处．他们的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是垂线段最短．【分析】根据垂线段的性质解答即可．解：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是垂线段最短．故答案为：垂线段最短．12．如图，AB∥CD∥EF．若＝，BD＝5，则DF＝10．【分析】利用平行线分线段成比例定理得到＝，然后根据比例性质求DF的长．解：∵AB∥CD∥EF，∴＝＝，∴DF＝2BD＝2×5＝10．故答案为10．13．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若△ADE的面积为，则四边形DBCE的面积为．【分析】根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE＝BC，证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质求出△ABC的面积，即可得到答案．解：∵D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝，∵△ADE的面积为，∴△ABC的面积为2，∴四边形DBCE的面积＝2﹣＝，故答案为：．14．如图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．筝形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．以点B为圆心，BO长为半径画弧，分别交AB，BC于点E，F．若∠ABD＝∠ACD＝30°，AD＝1，则的长为（结果保留π）．【分析】利用SSS证明△ABD≌△CBD，根据全等三角形的对应角相等即可得出∠ABD ＝∠CBD＝30°，∠ADB＝∠CDB，CD＝AD＝1，即可求得∠ABC＝60°，根据等腰三角形三线合一的性质得出BD⊥AC，且AO＝CO，进一步求得∠ACB＝60°，即可求得∠BCD＝90°，根据含30°角的直角三角形的性质即可求得OB，然后根据弧长公式求得即可．解：在△ABD与△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SSS），∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∠ADB＝∠CDB，CD＝AD＝1，∴∠ABC＝60°，∵AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，∴BD⊥AC，且AO＝CO，∴∠ACB＝90°﹣30°＝60°，∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°，在Rt△BCD中，∵∠CBD＝30°，∴BD＝2CD＝2，在Rt△COD中，∵∠ACD＝30°，∴OD＝CD＝，∴OB＝BD﹣OD＝2﹣＝，∴的长为：＝，故答案为．三、解答题（每小题5分，共20分）15．先化简，再求值：（a+1）2+a（1﹣a）﹣1，其中a＝．【分析】根据整式的混合运算顺序进行化简，再代入值即可．解：原式＝a2+2a+1+a﹣a2﹣1＝﹣a．当a＝时，原式＝﹣．16．“中国结”是我国特有的手工编织工艺品，也是一种传统吉祥装饰物．如图，现有三张正面印有“中国结”图案的不透明卡片A，B，C，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将三张卡片正面向下洗匀，小吉同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小吉同学抽出的两张卡片中含有A卡片的概率．【分析】根据题意列出图表得出所有等情况数和两张卡片中含有A卡片的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．解：根据题意列表如下：A B CA AA BA CAB AB BB CBC AC BC CC共有9种等可能的结果数，其中小吉同学抽出的两张卡片中含有A卡片的有1种情况，∴小吉同学抽出的两张卡片中含有A卡片的概率为．17．甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．求乙每小时做零件的个数．【分析】设乙每小时做x个零件，甲每小时做（x+6）个零件，根据时间＝总工作量÷工作效率，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论．解：设乙每小时做x个零件，甲每小时做（x+6）个零件，根据题意得：＝，解得：x＝12，经检验，x＝12是原方程的解，且符合题意，∴x+6＝18．答：乙每小时做12个零件．18．如图，在△ABC中，AB＞AC，点D在边AB上，且BD＝CA，过点D作DE∥AC，并截取DE＝AB，且点C，E在AB同侧，连接BE．求证：△DEB≌△ABC．【分析】由DE∥AC，根据平行线的性质得出∠EDB＝∠A，又BD＝CA，DE＝AB，利用SAS即可证明△DEB≌△ABC．【解答】证明：∵DE∥AC，∴∠EDB＝∠A．在△DEB与△ABC中，，∴△DEB≌△ABC（SAS）．四、解答题（每小题7分，共28分）19．图①、图②、图③都是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A，B，C均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：（1）在图①中，画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M，N为格点．（2）在图②中，画一条不与AC重合的线段PQ，使PQ与AC关于某条直线对称，且P，Q为格点．（3）在图③中，画一个△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线对称，且D，E，F 为格点．【分析】（1）根据对称性在图①中，画一条不与AB重合的线段MN与AB对称即可；（2）根据对称性即可在图②中，画一条不与AC重合的线段PQ与AC对称；（3）根据对称性在图③中，画一个△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线对称即可．解：（1）如图①，MN即为所求；（2）如图②，PQ即为所求；（3）如图③，△DEF即为所求．20．如图，某班数学小组测量塔的高度，在与塔底部B相距35m的C处，用高1.5m的测角仪CD测得该塔顶端A的仰角∠EDA为36°．求塔AB的高度（结果精确到1m）．（参考数据：sin36°＝0.59，cos36°＝0.81，tan36°＝0.73）【分析】设AB与DE交于点F．在Rt△ADF中，利用三角函数定义求出AF，即可得出答案．解：设AB与DE交于点F，如图所示：由题意得：DF⊥AB，BE＝CD＝1.5m，DF＝BC＝35m，在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，tan∠EDA＝，∴AF＝DF×tan36°≈35×0.73＝25.55（m），∴AB＝AF+BF＝25.55+1.5≈27（m）；答：塔AB的高度约27m．21．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B在函数y＝（x＞0）的图象上（点B的横坐标大于点A的横坐标），点A的坐标为（2，4），过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，连接OA，AB．（1）求k的值．（2）若D为OC中点，求四边形OABC的面积．【分析】（1）将点A的坐标为（2，4）代入y＝（x＞0），可得结果；（2）利用反比例函数的解析式可得点B的坐标，利用三角形的面积公式和梯形的面积公式可得结果．解：（1）将点A的坐标为（2，4）代入y＝（x＞0），可得k＝xy＝2×4＝8，∴k的值为8；（2）∵k的值为8，∴函数y＝的解析式为y＝，∵D为OC中点，OD＝2，∴OC＝4，∴点B的横坐标为4，将x＝4代入y＝，可得y＝2，∴点B的坐标为（4，2），∴S四边形OABC＝S△AOD+S四边形ABCD＝＝10．22．2020年3月线上授课期间，小莹、小静和小新为了解所在学校九年级600名学生居家减压方式情况，对该校九年级部分学生居家减压方式进行抽样调查．将居家减压方式分为A（享受美食）、B（交流谈心）、C（室内体育活动）、D（听音乐）和E（其他方式）五类，要求每位被调查者选择一种自己最常用的减压方式．他们将收集的数据进行了整理，绘制的统计表分别为表1、表2和表3．表1：小莹抽取60名男生居家减压方式统计表（单位：人）减压方式A B C D E人数463785表2：小静随机抽取10名学生居家减压方式统计表（单位：人）减压方式A B C D E人数21331表3：小新随机抽取60名学生居家减压方式统计表（单位：人）减压方式A B C D E人数65261310根据以上材料，回答下列问题：（1）小莹、小静和小新三人中，哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方式情况，并简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处．（2）根据三人中能较好地反映出该校九年级居家减压方式的调查结果，估计该校九年级600名学生中利用室内体育活动方式进行减压的人数．【分析】（1）根据抽取样本的原则，为使样本具有代表性、普遍性、可操作性的原则进行；（2）样本中“采取室内体育锻炼减缓压力”的占，因此估计总体600人的是采取室内体育锻炼减缓压力的人数．解：（1）小新同学抽样调查的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方式情况，小莹同学调查的只是男生，不具有代表性，小静同学调查的人数偏少，具有片面性，对整体情况的反映容易造成偏差．（2）600×＝260（人），答：该校九年级600名学生中利用室内体育活动方式进行减压的大约有260人．五、解答题（每小题8分，共16分）23．某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作．当停止工作时，油箱中油量为5L，在整个过程中，油箱里的油量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示．（1）机器每分钟加油量为3L，机器工作的过程中每分钟耗油量为0.5L．（2）求机器工作时y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．（3）直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时x的值．【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以得到机器每分钟加油量和机器工作的过程中每分钟耗油量；（2）根据函数图象中的数据，可以得到机器工作时y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）根据（2）中的函数解析式，令函数值为30÷2，即可得到相应的x的值．解：（1）由图象可得，机器每分钟加油量为：30÷10＝3（L），机器工作的过程中每分钟耗油量为：（30﹣5）÷（60﹣10）＝0.5（L），故答案为：3，0.5；（2）当0≤x≤10时，设y关于x的函数解析式为y＝kx，10k＝30，得k＝3，即当0≤x≤10时，y关于x的函数解析式为y＝3x，当10＜x≤60时，设y关于x的函数解析式为y＝ax+b，，解得，，即当10＜x≤60时，y关于x的函数解析式为y＝﹣0.5x+35，由上可得，y关于x的函数解析式为y＝；（3）当3x＝30÷2时，得x＝5，当﹣0.5x+35＝30÷2时，得x＝40，即油箱中油量为油箱容积的一半时x的值是5或40．24．能够完全重合的平行四边形纸片ABCD和AEFG按图①方式摆放，其中AD＝AG＝5，AB＝9．点D，G分别在边AE，AB上，CD与FG相交于点H．【探究】求证：四边形AGHD是菱形．【操作一】固定图①中的平行四边形纸片ABCD，将平行四边形纸片AEFG绕着点A顺时针旋转一定的角度，使点F与点C重合，如图②．则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为56．【操作二】将图②中的平行四边形纸片AEFG绕着点A继续顺时针旋转一定的角度，使点E与点B重合，连接DG，CF，如图③，若sin∠BAD＝，则四边形DCFG的面积为120．【分析】【探究】先由平行四边形的性质得AE∥GF，DC∥AB，进而得四边形AGHD 是平行四边形，再结合邻边相等，得四边形AGHD是菱形；【操作一】这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和实际为平行四边形ABCD和平行四边形AEFG的周长和，由此求得结果便可；【操作二】证明△AMD≌△AMG得∠AMD＝∠AMG＝90°，解Rt△ADM得DM，再证明四边形DCFG为矩形，由矩形面积公式求得结果．解：【探究】∵四边形ABCD和AEFG都是平行四边形，∴AE∥GF，DC∥AB，∴四边形AGHD是平行四边形，∵AD＝AG，∴四边形AGHD是菱形；【操作一】根据题意得，这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为：ME+EF+MC+AD+DM+AM+AG+GN+AN+BN+BC+NF＝（ME+AM+AG+EF+NF）+（AD+BC+DM+MC+AN+BN）＝2（AE+AG）+2（AB+AD）＝2×（9+5）+2×（9+5）＝56，故答案为：56；【操作二】由题意知，AD＝AG＝5，∠DAB＝∠BAG，又AM＝AM，∴△AMD≌△AMG（SAS），∴DM＝GM，∠AMD＝∠AMG，∵∠AMD+∠AMG＝180°，∴∠AMD＝∠AMG＝90°，∵sin∠BAD＝，∴，∴DM＝AD＝，∴DG＝，∵四边形ABCD和四边形AEFG是平行四边形，∴DC∥AB∥GF，DC＝AB＝GF＝9，∴四边形CDGF是平行四边形，∵∠AMD＝90°，∴∠CDG＝∠AMD＝90°，∴四边形CDGF是矩形，∴，故答案为：120．六、解答题（每小题10分，共20分）25．如图，△ABC是等边三角形，AB＝4cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB 向点B匀速运动，过点P作PQ⊥AB，交折线AC﹣CB于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使点A，D在PQ异侧．设点P的运动时间为x（s）（0＜x＜2），△PQD与△ABC重叠部分图形的面积为y（cm2）．（1）AP的长为2x cm（用含x的代数式表示）．（2）当点D落在边BC上时，求x的值．（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．【分析】（1）根据动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，可得AP的长为2xcm；（2）当点D落在BC上时，如图1，BP＝AB﹣AP＝4﹣2x，根据△PQD等边三角形，△ABC是等边三角形，证明△APQ≌△BDP，进而可得x的值；（3）根据题意分三个部分进行画图说明：①如图2，当0＜x≤时，②如图3，当点Q 运动到与点C重合时，当＜x≤1时，如图4，设PD、QD与BC分别相交于点G、H，③如图5，当1＜x＜2时，点Q运动到BC边上，设PD与BC相交于点G，分别表示出y关于x的函数解析式即可．解：（1）∵动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，∴AP的长为2xcm；故答案为：2x；（2）当点D落在BC上时，如图1，BP＝AB﹣AP＝4﹣2x，∵PQ⊥AB，∴∠QPA＝90°，∵△PQD等边三角形，△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠DPQ＝60°，∴∠BPD＝30°，∴∠PDB＝90°，∴PD⊥BC，∴△APQ≌△BDP（AAS），∴BD＝AP＝2x，∵BP＝2BD，∴4﹣2x＝4x，解得x＝；（3）①如图2，当0＜x≤时，∵在Rt△APQ中，AP＝2x，∠A＝60°，∴PQ＝AP•tan60°＝2x，∵△PQD等边三角形，∴S△PQD＝2x•3x＝3x2cm2，所以y＝3x2；②如图3，当点Q运动到与点C重合时，此时CP⊥AB，所以AP＝AB，即2x═2，解得x＝1，所以当＜x≤1时，如图4，设PD、QD与BC分别相交于点G、H，∵AP＝2x，∴BP＝4﹣2x，AQ＝2AP＝4x，∴BG＝BP＝2﹣x∴PG＝BG＝（2﹣x），∴S△PBG＝BG•PG＝（2﹣x）2，∵AQ＝2AP＝4x，∴CQ＝AC﹣AQ＝4﹣4x，∴QH＝CQ＝（4﹣4x），∴S△QCH＝CQ•QH＝（4﹣4x）2，∵S△ABC＝4×2＝4，∴S四边形PGHQ＝S△ABC﹣S△PBG﹣S△QCH＝4﹣（2﹣x）2﹣（4﹣4x）2＝﹣x2+18x﹣6，所以y＝﹣x2+18x﹣6；③如图5，当1＜x＜2时，点Q运动到BC边上，设PD与BC相交于点G，此时PG＝BP•sin60°＝（4﹣2x）×＝（2﹣x），∵PB＝4﹣2x，∴BQ＝2BP＝2（4﹣2x）＝4（2﹣x），∴BG＝BP＝2﹣x，∴QG＝BQ﹣BG＝3（2﹣x），∴重叠部分的面积为：S△PQG＝PG•QG＝（2﹣x）•3（2﹣x）＝（2﹣x）2．所以y＝（2﹣x）2．综上所述：y关于x的函数解析式为：当0＜x≤时，y＝3x2；当＜x≤1时，y＝﹣x2+18x﹣6；当1＜x＜2时，y＝（2﹣x）2．26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+与x轴正半轴交于点A，且点A 的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为﹣m+．以PQ，QM为边作矩形PQMN．（1）求b的值．（2）当点Q与点M重合时，求m的值．（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值．（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法求解即可．（2）根据点M与点P的纵坐标相等构建方程求解即可．（3）根据PQ＝MQ，构建方程求解即可．（3）当点P在直线l的左边，点M在点Q是下方下方时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，则有﹣m+＜﹣m2+m+，解得0＜m＜4，观察图象可知．当0＜m＜3时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x 的增大而减小，如图4﹣1中．当m＞4时，点M在点Q的上方，也满足条件，如图4﹣2中．解：（1）把点A（3，0）代入y＝﹣x2+bx+，得到0＝﹣+3b+，解得b＝1．（2）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+，∴P（m，﹣m2+m+），∵M，Q重合，∴﹣m+＝﹣m2+m+，解得m＝0或4．（3）由题意PQ＝MQ，且抛物线的顶点在该正方形内部∴3﹣m＝﹣m+﹣（﹣m2+m+），解得m＝1﹣或1+（不合题意舍弃），∴m＝1﹣．（4）当点P在直线l的左边，点M在点Q是下方下方时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，则有﹣m+＜﹣m2+m+，∴m2﹣4m＜0，解得0＜m＜4，观察图象可知．当0＜m＜3时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x 的增大而减小，如图4﹣1中，当m＞4时，点M在点Q的上方，也满足条件，如图4﹣2中，综上所述，满足条件的m的值为0＜m＜3或m＞4．。
2020年河北省中考数学试题(解析版)
2020年河北省初中毕业生升学文化课考试数学试卷一、选择题（本大题有16个小题，共42分.1~10小题各3分，11~16小题各2分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.如图，在平面内作已知直线m 的垂线，可作垂线的条数有（ ）A.0条B.1条C.2条D.无数条2.墨迹覆盖了等式“（0x ≠）”中的运算符号，则覆盖的是（ ） A.＋B.－C.×D.÷3.对于①3(13)x xy x y -=-，②2(3)(1)23x x x x +-=+-，从左到右的变形，表述正确的是（ ） A.都是因式分解B.都是乘法运算C.①是因式分解，②是乘法运算D.①是乘法运算，②是因式分解4.如图的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，比较两个几何体的三视图，正确的是（ ）A.仅主视图不同B.仅俯视图不同C.仅左视图不同D.主视图、左视图和俯视图都相同5.如图是小颖前三次购买苹果单价的统计图，第四次又买的苹果单价是a 元/千克，发现这四个单价的中位数恰好也是众数，则a =（ ）A.9B.8C.7D.66.如图1，已知ABC ∠，用尺规作它的角平分线.第一步：以B 为圆心，以a 为半径画弧，分别交射线BA ，BC 于点D ，E ； 第二步：分别以D ，E 为圆心，以b 为半径画弧，两弧在ABC ∠内部交于点P ； 第三步：画射线BP .射线BP 即为所求. 下列正确的是（ ）A.a ，b 均无限制B.0a >，12b DE >的长 C.a 有最小限制，b 无限制D.0a ≥，12b DE <的长7.若a b ≠，则下列分式化简正确的是（ ）A.22a ab b+=+ B.22a ab b-=- C.22a a b b= D.1212aab b = 8.在如图所示的网格中，以点O 为位似中心，四边形ABCD 的位似图形是（ ）A.四边形NPMQB.四边形NPMRC.四边形NHMQD.四边形NHMR9.若()()229111181012k--=⨯⨯，则k =（ ）A.12B.10C.8D.610.如图，将ABC ∆绕边AC 的中点O 顺时针旋转180°.嘉淇发现，旋转后的CDA ∆与ABC ∆构成平行四点A ，C 分别转到了点C ，A 处， 而点B 转到了点D 处. ∵CB AD =，∴四边形ABCD 是平行四边形.小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵CB AD =，”和“∴四边形……”之间作补充.下列正确的是（ ）A.嘉淇推理严谨，不必补充B.应补充：且AB CD =，C.应补充：且//AB CDD.应补充：且OA OC =，11.若k 为正整数，则()kk kk k k ++⋅⋅⋅+=个（ ） A.2kkB.21k k+C.2kkD.2kk+12.如图，从笔直的公路l 旁一点P 出发，向西走6km 到达l ；从P 出发向北走6km 也到达l .下列说法错误．．的是（ ）A.从点P 向北偏西45°走3km 到达lB.公路l 的走向是南偏西45°C.公路l 的走向是北偏东45°D.从点P 向北走3km 后，再向西走3km 到达l13.已知光速为300 000千米秒，光经过t 秒（110t ≤≤）传播的距离用科学记数法表示为10na ⨯千米，则n 可能为（ ）A.5B.6C.5或6D.5或6或714.有一题目：“已知；点O 为ABC ∆的外心，130BOC ∠=︒，求A ∠.”嘉嘉的解答为：画ABC ∆以及它的外接圆O ，连接OB ，OC ，如图.由2130BOC A ∠=∠=︒，得65A ∠=︒.而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，A ∠还应有另一个不同的值.” 下列判断正确的是（ ）A.淇淇说的对，且A ∠的另一个值是115°B.淇淇说的不对，A ∠就得65°C.嘉嘉求的结果不对，A ∠应得50°D.两人都不对，A ∠应有3个不同值15.如图，现要在抛物线(4)y x x =-上找点(,)P a b ，针对b 的不同取值，所找点P 的个数，三人的说法如下，甲：若5b =，则点P 的个数为0； 乙：若4b =，则点P 的个数为1； 丙：若3b =，则点P 的个数为1. 下列判断正确的是（ ）A.乙错，丙对B.甲和乙都错C.乙对，丙错D.甲错，丙对16.如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大．．的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ）A.1，4，5B.2，3，5C.3，4，5D.2，2，4二、填空题（本大题有3个小题，共12分.17~18小题各3分；19小题有3个空，每空2分）17.已知：182222a b -=-=，则ab =_________. 18.正六边形的一个内角是正n 边形一个外角的4倍，则n =_________.19.如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作m T （m 为1~8的整数）.函数ky x=（0x <）的图象为曲线L .（1）若L 过点1T ，则k =_________；（2）若L 过点4T ，则它必定还过另一点m T ，则m =_________；（3）若曲线L 使得18~T T 这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k 的整数值有_________个.三、解答题（本大题有7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20.已知两个有理数：－9和5.（1）计算：(9)52-+； （2）若再添一个负整数m ，且－9，5与m 这三个数的平均数仍小于m ，求m 的值.21.有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A 区就会自动加上2a ，同时B 区就会自动减去3a ，且均显示化简后的结果.已知A ，B 两区初始显示的分别是25和－16，如图.如，第一次按键后，A ，B 两区分别显示：（1）从初始状态按2次后，分别求A ，B 两区显示的结果；（2）从初始状态按4次后，计算A ，B 两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由.22.如图，点O 为AB 中点，分别延长OA 到点C ，OB 到点D ，使OC OD =.以点O 为圆心，分别以OA ，OC 为半径在CD 上方作两个半圆.点P 为小半圆上任一点（不与点A ，B 重合），连接OP 并延长交大半圆于点E ，连接AE ，CP .（1）①求证：AOE POC ∆∆≌；②写出∠1，∠2和C ∠三者间的数量关系，并说明理由.（2）若22OC OA ==，当C ∠最大时，直接．．指出CP 与小半圆的位置关系，并求此时EOD S 扇形（答案保留π）.23.用承重指数W 衡量水平放置的长方体木板的最大承重量.实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数W 与木板厚度x （厘米）的平方成正比，当3x =时，3W =. （1）求W 与x 的函数关系式.（2）如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗）.设薄板的厚度为x （厘米），Q W W =-厚薄.①求Q 与x 的函数关系式； ②x 为何值时，Q 是W 薄的3倍？【注：（1）及（2）中的①不必写x 的取值范围】24.表格中的两组对应值满足一次函数y kx b =+，现画出了它的图象为直线l ，如图.而某同学为观察k ，b对图象的影响，将上面函数中的k 与b 交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线l '.x－1 0 y－21（1）求直线l 的解析式；（2）请在图上画出．．直线l '（不要求列表计算），并求直线l '被直线l 和y 轴所截线段的长； （3）设直线y a =与直线l ，l '及y 轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接．．写出a 的值. 25.如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴－3和5的位置上，沿数轴做移动游戏.每次移动游戏规则：裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正是反，而后根据所猜结果进行移动. ①若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位； ②若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位； ③若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位.（1）经过第一次移动游戏，求甲的位置停留在正半轴上的概率P ；（2）从图的位置开始，若完成了10次移动游戏，发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错.设乙猜对n 次，且他最终．．停留的位置对应的数为m ，试用含n 的代数式表示m ，并求该位置距离原点O 最近时n 的值； （3）从图的位置开始，若进行了k 次移动游戏后，甲与乙的位置相距2个单位，直接．．写出k 的值. 26.如图1和图2，在ABC ∆中，AB AC =，8BC =，3tan 4C =.点K 在AC 边上，点M ，N 分别在AB ，BC 上，且2AM CN ==.点P 从点M 出发沿折线MB BN -匀速移动，到达点N 时停止；而点Q 在AC边上随P 移动，且始终保持APQ B ∠=∠.（1）当点P 在BC 上时，求点P 与点A 的最短距离；（2）若点P 在MB 上，且PQ 将ABC ∆的面积分成上下4：5两部分时，求MP 的长；（3）设点P 移动的路程为x ，当03x ≤≤及39x ≤≤时，分别求点P 到直线AC 的距离（用含x 的式子表示）；（4）在点P 处设计并安装一扫描器，按定角APQ ∠扫描APQ ∆区域（含边界），扫描器随点P 从M 到B 再到N 共用时36秒.若94AK =，请直接．．写出点K 被扫描到的总时长. 2020年河北省初中毕业生升学文化课考试数学答案卷Ⅰ（选择题，共42分）一、选择题（本大题有16个小题，共42分.1-10小题各3分，11~16小题各2分，每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 D D C D B B D A 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 选项 BBAACACB卷Ⅱ（非选择题，共78分）二、填空题（本大题有3个小题，共12分.17~18小题各3分；19小题各有3个空，每空2分）17.6 18.12 19.－16；5；7三、解答題（本大题有7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20.（1）－2 （2）1m =-21.（1）2252a +；166a --（2）22254(1612)(23)0a a a ++--=-≥，和不能为负数 22.（1）①证明略； ②21C ∠=∠+∠ （2）43π 23.（1）213W x =（2）①2211(6)33Q x x =--124x =-②由题可知：2112433x x -=⨯解得：12x =；26x =-（舍） ∴当2cm x =时，Q 是W 薄的3倍. 24.（1）l ：31y x =+（2）l '：3y x =+（3）a 的值为52或175或7 25.（1）14P =（2）256m n =- 当0m =时，解得256n = ∵n 为整数∴当4n =时，距离原点最近 （3）3k =或5 26.（1）min 1tan 32d BC C =⋅= （2）APQ ABC ∆∆∽∴2APQ ABCS AP AB S ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭即23AP AB = ∴103AP =，43MP =（3）当03x ≤≤时，24482525d x =+ 当39x ≤≤时，33355d x =-+（4）23t s =。
2020年中考数学复习：几何 专项练习题(含答案)
2020年中考数学复习：几何 专项练习题一、选择题1.如图，直角三角板ABC 的斜边AB=12cm ，∠A=30°，将三角板ABC 绕C 顺时针旋转90°至三角板A ′B ′C ′的位置后，再沿CB 方向向左平移，使点B ′落在原三角板ABC 的斜边AB 上，则三角板A ′B ′C ′平移的距离为（ ）A.6cmB.4cmC.cmD.cm2.如图，△ABC 和△DEF 是等腰直角三角形，∠C=∠F=90°，AB=2，DE=4．点B 与点D 重合，点A ，B （D ），E 在同一条直线上，将△ABC 沿DE 方向平移，至点A 与点E 重合时停止．设点B ，D 之间的距离为x ，△ABC 与△DEF 重叠部分的面积为y ，则准确反映y 与x 之间对应关系的图象是（ ）A B C D 二、填空题3.如图，将两块直角三角板的斜边重合，E 是两直角三角形公共斜边AC 的中点．D 、B 分别为直角顶点，连接DE 、BE 、DB ，∠DAC=60°，∠BAC=45°．则∠EDB 的度数为_______．(6-()64.如图，一块直角三角形木板△ABC，将其在水平面上沿斜边AB所在直线按顺时针方向翻滚，使它滚动cm．三、解答题5.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AF平分∠BAC，交BD于点F.（1）EF+AC =AB；（2）点C1从点C出发，沿着线段CB向点B运动（不与点B重合），同时点A1从点A出发，沿着BA的延长线运动，点C1与点A1运动速度相同，当动点C1停止运动时，另一动点A1也随之停止运动.如图，AF1平分∠B A1C1，交BD于F1，过F1作F1E1⊥A1C1，垂足为E1，试猜想F1E1，A1C1与AB之间的数量关系，并证明你的猜想.（3）在（2）的条件下，当A1 E1=3，C1 E1=2时，求BD的长.21216.如图，等腰Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，动点P 、Q 分别从A 、B 两点同时以每秒1个单位长的速度按顺时针方向沿△ABC 的边运动，当Q 运动到A 点时，P 、Q 停止运动.设Q 点运动时间为t 秒，点P 运动的轨迹与PQ 、AQ 围成图形的面积为S.求S 关于t 的函数解析式.7.正方形ABCD中，点F为正方形ABCD 内的点，△BFC 绕着点B 按逆时针方向旋转90°后与△BEA 重合． （1）如图1，若正方形ABCD 的边长为2，BE=1，FC=，求证：AE ∥BF ；（2）如图2，若点F 为正方形ABCD 对角线AC 上的点，且AF ：FC=3：1，BC=2，求BF 的长．8.将正方形ABCD 和正方形BEFG 如图1摆放，连DF ．∠DMC=_____；∠DMC 的值，并证明你的结论；3∠DMC=_________．请画出图形，并直接写出你的结论（不用证明）．9.已知△ABC≌△ADE，∠BAC=∠DAE=90°．（1）如图（1）当C、A、D在同一直线上时，连CE、BD，判断CE和BD位置关系，填空：CE_____BD．（2）如图（2）把△ADE绕点A旋转到如图所示的位置，试问（1）中的结论是否仍然成立，写出你的结论，并说明理由．（3）如图（3）在图2的基础上，将△ACE绕点A旋转一个角度到如图所示的△AC′E′的位置，连接BE′、DC′，过点A作AN⊥BE′于点N，反向延长AN交DC′于点M．求的值．10.将正方形ABCD和正方形CGEF如图1摆放，使D点在CF边上，M为AE中点，（1）连接MD、MF，则容易发现MD、MF间的关系是______________（2）操作：把正方形CGEF绕C点旋转，使对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M，探究线段MD、MF的关系，并加以说明；（3）将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图3），其他条件不变，（2）中的结论是否仍成立？直接写出猜想，不需要证明.DMDC交射线ON 于点B ，且使∠APB+∠MON=180°． （1）利用图1，求证：PA=PB ；（2）如图2，若点C 是AB 与OP 的交点，当S △POB =3S △PCB 时，求PB 与PC 的比值；（3）若∠MON=60°，OB=2，射线AP 交ON 于点D ，且满足且∠PBD=∠ABO ，请借助图3补全图形，并求OP 的长．12、在中，过点C 作CE ⊥CD 交AD 于点E,将线段EC 绕点E 逆时针旋转得到线段EF(如图1)（1）在图1中画图探究：①当P 为射线CD 上任意一点（P 1不与C 重合）时，连结EP 1绕点E 逆时针旋转 得到线段EC 1.判断直线FC 1与直线CD 的位置关系，并加以证明；②当P 2为线段DC 的延长线上任意一点时，连结EP 2,将线段EP 2绕点E 逆时针旋转得到线段EC 2.判断直线C 1C 2与直线CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.（2）若AD=6,tanB=,AE=1,在①的条件下，设CP 1=，S =，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.图1 备用图13、已知：如图，N 、M 是以O 为圆心，1为半径的圆上的两点，B 是上一动点（B 不与点M 、N 重合），ABCD Y 90o90o 90o43x 11P FC V y y xx ¼MN∠MON=90°，BA ⊥OM 于点A ，BC ⊥ON 于点C ，点D 、E 、F 、G 分别是线段OA 、AB 、BC 、CO 的中点，GF 与CE 相交于点P ，DE 与AG 相交于点Q ．（1）四边形EPGQ （填“是”或者“不是”）平行四边形； （2）若四边形EPGQ 是矩形，求OA 的值.14、已知如图，在梯形中，点是的中点，是等边三角形．（1）求证：梯形是等腰梯形；（2）动点、分别在线段和上运动，且保持不变．设 求与的函数关系式；（3）在（2）中，当取最小值时，判断的形状，并说明理由．15、已知正方形ABCD 的边长为6cm ，点E 是射线BC 上的一个动点，连接AE 交射线DC 于点F ，将△ABE 沿直线AE 翻折，点B 落在点B′ 处． （1）当=1 时，CF=______cm ， （2）当=2 时，求sin∠DAB′ 的值； （3）当= x 时（点C 与点E 不重合），请写出△ABE 翻折后与正方形ABCD 公共部分的面积y 与x 的关系式，（只要写出结论，不要解题过程）．ABCD 24AD BC AD BC ==∥，，，M AD MBC △ABCD P Q BC MC 60MPQ =︒∠PC x MQ y ==，，y x y PQC△CEBECEBECEBE16、在△ABC 中，∠ACB=45º．点D （与点B 、C 不重合）为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．（1）如果AB=AC ．如图①，且点D 在线段BC 上运动．试判断线段CF 与BD 之间的位置关系，并证明你的结论．（2）如果AB ≠AC ，如图②，且点D 在线段BC 上运动．（1）中结论是否成立，为什么？（3）若正方形ADEF 的边DE 所在直线与线段CF 所在直线相交于点P ，设AC ＝，，CD=，求线段CP 的长．（用含的式子表示）17、已知：如图（1），射线射线，是它们的公垂线，点、分别在、 上运动（点与点不重合、点与点不重合），是边上的动点（点与、不重合）， 在运动过程中始终保持，且． （1）求证：∽；（2）如图（2），当点为边的中点时，求证：；（3）设，请探究：的周长是否与值有关？若有关，请用含有的代数式表示的周长；若无关，请说明理由．3=BC xx //AM BN AB D C AM BN D A C B E AB E A B EC DE ⊥a AB DE AD ==+ADE ∆BEC ∆E AB CD BC AD =+m AE =BEC ∆m m BEC∆18、已知正方形中，为对角线上一点，过点作交于，连接，为中点，连接． （1）直接写出线段与的数量关系；（2）将图1中绕点逆时针旋转，如图2所示，取中点，连接，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）将图1中绕点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）参考答案 一、选择题 1.【答案】C. 2.【答案】B. 二、填空题 3.【答案】15°.4.三、解答题5.【答案与解析】（1）证明：如图1，过点F 作FM ⊥AB 于点M ，在正方形ABCD 中，AC ⊥BD 于点E ． ∵AF 平分∠BAC ， ∴EF=MF ， 又∵AF=AF ，ABCD E BD E EF BD ⊥BC F DF G DF EG CG ，EG CG BEF ∆B 45︒DF G EG CG ，BEF ∆B 图3图2图1FEABCDABC DEFGGFED C BA∴Rt △AMF ≌Rt △AEF ， ∴AE=AM ，∵∠MFB=∠ABF=45°， ∴MF=MB，MB=EF ， ∴EF+AC=MB+AE=MB+AM=AB ．（2）E 1F 1，A 1C 1与AB 三者之间的数量关系：E 1F 1+A 1C 1=AB 证明：如图2，连接F 1C 1，过点F 1作F 1P ⊥A 1B 于点P ，F 1Q ⊥BC 于点Q ， ∵A 1F 1平分∠BA 1C 1，∴E 1F 1=PF 1；同理QF 1=PF 1，∴E 1F 1=PF 1=QF 1， 又∵A 1F 1=A 1F 1，∴Rt △A 1E 1F 1≌Rt △A 1PF 1， ∴A 1E 1=A 1P ，同理Rt △QF 1C 1≌Rt △E 1F 1C 1， ∴C 1Q=C 1E 1， 由题意：A 1A=C 1C ，∴A 1B+BC 1=AB+A 1A+BC -C 1C=AB+BC=2AB ， ∵PB=PF 1=QF 1=QB ，∴A 1B+BC 1=A 1P+PB+QB+C 1Q=A 1P+C 1Q+2E 1F 1， 即2AB=A 1E 1+C 1E 1+2E 1F 1=A 1C 1+2E 1F 1， ∴E 1F 1+A 1C 1=AB ． （3）解：设PB=x ，则QB=x ， ∵A 1E 1=3，QC 1=C 1E 1=2，Rt △A 1BC 1中，A 1B 2+BC 12=A 1C 12， 即（3+x ）2+（2+x ）2=52， ∴x 1=1，x 2=-6（舍去）， ∴PB=1， ∴E 1F 1=1， 又∵A 1C 1=5，121212126.【答案与解析】当P运动到C点时：t=6当Q运动到A点：t=∴分两种情况讨论(1)当0≤t≤6时，如图：作PH⊥AB于H，则△APH为等腰直角三角形此时AP=t，BQ=t，则AQ=-tPH=APsin45°=t∴S△AQP=AQ·PH=·(-t)·t=t2+3t(2)当6＜t≤时，如图：过P过PH⊥AB于H，此时△PBH为等腰直角三角形AC+CP=t，BQ=t∴BP=AC+CB-(AC+CP)=12-t∴PH=BPsin45°=(12-t)∴S四边形AQPC=S△ABC-S△BPQ=AC·BC-BQ·PH=·6·6-·t·(12-t)=18-t+t2=t2-t+18.综上，.7.【答案与解析】（1）证明：∵△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合∴BE=BF=1，∠EBF=∠ABC=90°，∠AEB=∠BFC在△BFC中，BC2=22=4∴BF2+FC2=BC2∴∠BFC=90°…（3分）∴∠AEB+∠EBF=180°∴AE ∥BF …（4分）（2）解：∵Rt △ABC 中，AB=BC=2，由勾股定理，得∵AF ：FC=3：1，∵△BFC 绕着点B 按逆时针方向旋转90°后与△BEA 重合∵四边形ABCD 是正方形∴∠ABC=90°∴∠BAC+∠ACB=90° ∴∠EAB+∠BAC=90°即∠EAF=90° 在Rt △EBF 中，EF 2=BE 2+BF 2∵BE=BF8.【答案与解析】（1）如图2，连接BF ，∵四边形ABCD 、四边形BEFG 是正方形，∴∠FBC=∠CBD=45°，∴∠CBD=∠GBC=90°，而BF=BG ，BD=BC ，∴△BFD ∽△BGC ，22而∠DMC=180°-∠BCG-∠BCD-∠CDF=180°-∠BDF-∠BCD-∠CDF=180-45°-90°=45°，（2）如图3，∵将图1中的正方形BEFG 绕B 点顺时针旋转45°，DF 的延长线交CG 于M ，∴B 、E 、D 三点在同一条直线上，而四边形ABCD 、四边形BEFG 是正方形，∴△BFD ∽△BGC ，而∠DMC=180°-∠BCG-∠BCD-∠CDF=180°-∠BDF-∠BCD-∠CDF=180-45°-90°=45°，即∠DMC=45°；9．【答案与解析】（1）CE ⊥BD ．（2）延长CE 交BD 于M ，设AB 与EM 交于点F ．∵∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠CAE=∠BAD ．又∵△ABC ≌△ADE ，∴AC=AE ，AB=AD ， ∴∠ACE=，∠ABD=，∴∠ACE=∠ABD ．又∵∠AFC=∠BFM ，∠AFC+∠ACE=90°，∴∠ABD+∠BFM=90°，∴∠BMC=90°，∴CE ⊥BD ．（3）过C ′作C ′G ⊥AM 于G ，过D 作DH ⊥AM 交延长线于点H ．∵∠∠E ′NA=∠AGC ′=90°，∴∠NE ′A+∠NAE ′=90°，∠NAE ′+∠C ′AG=90°，∴∠NE ′A=∠C ′AG ，∵AE ′=AC ′∴△ANE ′≌△C ′GA （AAS ），∴AN=C ′G ．同理可证△BNA ≌△AHD ，AN=DH ．∴C ′G=DH ．在△C ′GM 与△DHM 中，∠C ′GM=∠DHM=90°，∠C ′MG=∠DMH ，C ′G=DH ，∴△C ′GM ≌△DHM ，∴C ′M=DM ，01802CAE -∠01802BAD -∠10．【答案与解析】如图1，延长DM交FE于N，图1∵正方形ABCD、CGEF，∴CF=EF，AD=DC，∠CFE=90°，AD∥FE，∴∠1=∠2，又∵MA=ME，∠3=∠4，∴△AMD≌△EMN，∴MD=MN，AD=EN．∵AD=DC，∴DC=NE．又∵FC=FE，∴FD=FN．又∵∠DFN=90°，∴FM⊥MD，MF=MD；（2）MD=MF，MD⊥MF．如图2，延长DM交CE于N，连接FD、FN．∵正方形ABCD，∴AD∥BE，AD=DC，∴∠1=∠2．又∵AM=EM，∠3=∠4，∴△ADM≌△ENM，∴AD=EN，MD=MN．∵AD=DC，∴DC=NE．又∵正方形CGEF，∴∠FCE=∠NEF=45°，FC=FE，∠CFE=90°．又∵正方形ABCD，∴∠BCD=90°，∴∠DCF=∠NEF=45°，∴△FDC≌△FNE，∴FD=FN，∠5=∠6，∠DFN=∠5+∠CFN=∠6+∠CFN=90°，∴△DFN为等腰直角三角形，且FM为斜边DN上的中线，∴MD=MF，MD⊥MF；（3）FM⊥MD，MF=MD．如图3，过点E作AD的平行线分别交DM、DC的延长线于N、H，连接DF、FN．∴∠ADC=∠H，AD∥EH，∴∠3=∠4．∵AM=ME，∠1=∠2，∴△AMD≌△EMN，∴DM=NM，AD=EN．∵正方形ABCD、CGEF，∴AD=DC，FC=FE，∠ADC=∠FCG=∠CFE=90°．∴∠H=90°，∠5=∠NEF，DC=NE．∴∠DCF+∠7=∠5+∠7=90°，∴∠DCF=∠5=∠NEF．∵FC=FE，∴△DCF≌△NEF．∴FD=FN，∠DFC=∠NFE．∵∠CFE=90°，∴∠DFN=90°．∴FM⊥MD，MF=MD．11、 【答案】（1）作PE ⊥OM ，PF ⊥ON ，垂足为E 、F ∵四边形OEPF 中，∠OEP=∠OFP=90°， ∴∠EPF+∠MON=180°，已知∠APB+∠MON=180°，∴∠EPF=∠APB ，即∠EPA+∠APF=∠APF+∠FPB ，∴∠EPA=∠FPB ， 由角平分线的性质，得PE=PF ，∴△EPA ≌△FPB ，即PA=PB ；（2）∵S △POB =3S △PCB ，∴PO=3PC ，由（1）可知△PAB 为等腰三角形，则∠PBC=（180°-∠APB ）=∠MON=∠BOP ， 又∵∠BPC=∠OPB （公共角），∴△PBC ∽△POB ，∴， 即PB 2=PO •PC=3PC 2，∴ （3）作BH ⊥OT ，垂足为H ，当∠MON=60°时，∠APB=120°，由PA=PB ，得∠PBA=∠PAB=（180°-∠APB ）=30°， 又∵∠PBD=∠ABO ，∠PBD+∠PBA+∠ABO=180°，∴∠ABO=（180°-30°）=75°，则∠OBP=∠ABO+∠ABP=105°， 在△OBP 中，∵∠BOP=30°，∴∠BPO=45°，在Rt △OBH 中，BH=OB=1，OH=， 1212PB PC PO PB=3PB PC=1212123在Rt △PBH 中，PH=BH=1，∴OP=OH+PH=+1．12、【答案与解析】（1）①直线与直线的位置关系为互相垂直．证明：如图1，设直线与直线的交点为．∵线段分别绕点逆时针旋转90°依次得到线段，∴．∵，， ∴． ∴． ∴． ∵，∴， ∴．31FG CD 1FG CD H 1EC EP 、E 1EF EG 、111190PEG CEF EG EP EF EC ∠=∠===°，，1190G EF PEF ∠=-∠°1190PEC PEF ∠=-∠°11G EF PEC ∠=∠11G EF PEC △≌△11G FE PCE ∠=∠EC CD ⊥190PCE ∠=°190G FE ∠=°FDC BAE 图1 G 2 G 1P 1 H P 2∴．∴．∴．②按题目要求所画图形见图1，直线与直线的位置关系为互相垂直．（2）∵四边形是平行四边形，∴．∵， ∴． 可得． 由（1）可得四边形为正方形．∴． ①如图2，当点在线段的延长线上时，∵， ∴． 90EFH ∠=°90FHC ∠=°1FG CD ⊥12G G CD ABCD B ADC ∠=∠461tan 3AD AE B ===，，45tan tan 3DE EBC B =∠==，4CE =EFCH 4CH CE ==1P CH 1114FG CP x PH x ===-，11111(4)22P FG x x S FG PH -=⨯⨯=△D G 1P 1 H C BAE F∴． ②如图3，当点在线段上（不与两点重合）时， ∵， ∴． ∴． ③当点与点重合时，即时，不存在．综上所述，与之间的函数关系式及自变量的取值范围是或． 13、【答案】（1）是．证明：连接OB ，如图①，212(4)2y x x x =->1P CH C H 、1114FG CP x PH x ===-，11111(4)22P FG x x S FG PH -=⨯=△212(04)2y x x x =-+<<1P H 4x =11PFG △y x x 212(4)2y x x x =->212(04)2y x x x =-+<<FG 1 P 1 CAB E D H∵BA ⊥OM ，BC ⊥ON ， ∴∠BAO=∠BCO=90°， ∵∠AOC=90°， ∴四边形OABC 是矩形．∴AB ∥OC ，AB=OC ，∵E 、G 分别是AB 、CO 的中点，∴AE ∥GC ，AE=GC ，∴四边形AECG 为平行四边形．∴CE ∥AG ，∵点D 、E 、F 、G 分别是线段OA 、AB 、BC 、CO 的中点，∴GF ∥OB ，DE ∥OB ，∴PG ∥EQ ，∴四边形EPGQ 是平行四边形；（2）解：如图②，∵口EPGQ 是矩形．∴∠AED+∠CEB=90°．又∵∠DAE=∠EBC=90°，∴∠AED=∠BCE ．∴△AED ∽△BCE ，∴， AD AE BE BC得y 2=2x 2，又∵OA 2+AB2=OB 2， 即x 2+y 2=12．∴x 2+2x 2=1，14、【答案与解析】（1）证明：∵是等边三角形∴∵是中点∴∵∴∴∴∴梯形是等腰梯形．（2）解：在等边中， ∴ ∴ ∴∴ MBC △60MB MC MBC MCB ===︒，∠∠M AD AM MD =AD BC ∥60AMB MBC ==︒∠∠，60DMC MCB ==︒∠∠AMB DMC △≌△AB DC =ABCD MBC △4MB MC BC ===，60MBC MCB ==︒∠∠，60MPQ =︒∠120BMP BPM BPM QPC +=+=︒∠∠∠∠BMP QPC =∠∠BMP CQP △∽△PC CQ BM BP=∵∴∴∴（3）解：为直角三角形，∵∴当取最小值时，∴是的中点，而∴∴∴为直角三角形.15、【答案与解析】（1）CF=6cm；（2）①如图1，当点E在BC上时，延长AB′交DC于点M，PC x MQ y==，44BP x QC y=-=-，444x yx-=-2144y x x=-+PQC△()21234y x=-+y2x PC==P BC MP BC⊥，60MPQ=︒∠，30CPQ=︒∠，90PQC=︒∠PQC△图1∵ AB ∥CF ，∴ △ABE ∽△FCE ，∴ ． ∵ =2， ∴ CF=3． ∵ AB ∥CF，∴∠BAE=∠F ．又∠BAE=∠B ′ AE ， ∴ ∠B ′ AE=∠F ．∴ MA=MF ．设MA=MF=k ，则MC=k -3，DM=9-k ．在Rt △ADM 中，由勾股定理得：k 2=(9-k)2+62， 解得 k=MA=． ∴ DM=． ∴ sin ∠DAB ′=； ②如图2，当点E 在BC 延长线上时，延长AD 交B ′ E 于点N ，同①可得NA=NE ．设NA=NE=m ，则B ′ N=12-m ．在Rt △AB ′ N 中，由勾股定理，得m 2=(12-m)2+62， 解得 m=AN=． ∴ B ′N=． ∴ sin ∠DAB ′=． （3）①当点E 在BC 上时，y=； FCAB CE BE =CEBE 13252135=AM DM 1529253='AN N B 18x x 1+图2②当点E 在BC 延长线上时，y=． 16、【答案与解析】（1）结论：CF ⊥BD ； 证明如下：AB=AC ，∠ACB =45º，∴∠ABC=45º．由正方形ADEF 得 AD=AF ，∵∠DAF=∠BAC =90º，∴∠DAB=∠FAC ，∴△DAB ≌△FAC ， ∴∠ACF=∠ABD ．∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即 CF ⊥BD ．（2）CF ⊥BD ．(1)中结论仍成立．理由是：过点A 作AG ⊥AC 交BC 于点G ，∴AC=AG可证：△GAD ≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45º∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º． 即CF ⊥BD（3）过点A 作AQ ⊥BC 交CB 的延长线于点Q ，①点D 在线段BC 上运动时，∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4．∴DQ=4-x ，易证△AQD ∽△DCP ，∴ ，∴， ．18x 18x-ΘCP CD DQ AQ =44CP x x =-24x CP x ∴=-+②点D 在线段BC 延长线上运动时，∵∠BCA=45°，∴AQ=CQ=4，∴DQ=4+x ．过A 作AQ ⊥BC ， ∴∠Q=∠FQC=90°，∠ADQ=∠AFC ，则△AQD ∽△ACF ．∴CF ⊥BD ，∴△AQD ∽△DCP ，∴, ∴, ． 17、【答案】（1）证明：∵，∴．∴．又∵，∴．∴．∴∽．（2）证明：如图，过点作，交于点，∵是的中点，容易证明． CD DQ AQ 4+4x x =24x CP x ∴=+EC DE ⊥︒=∠90DEC ︒=∠+∠90BEC AED ︒=∠=∠90B A ︒=∠+∠90EDA AED EDA BEC ∠=∠ADE ∆BEC ∆E EF BC //CD F E AB )(21BC AD EF +=在中，∵ ，∴ ． ∴ ． ∴ ．（3）解：的周长，． 设，则．∵ ，∴ ．即．∴ ． 由（1）知∽，∴ ． ∴ 的周长的周长． ∴ 的周长与值无关．18、【答案与解析】（1）（2）（1）中结论没有发生变化，即．证明：连接，过点作于，与的延长线交于点． 在与中，∵，∴．∴．DEC Rt ∆CF DF =CD EF 21=)(21BC AD +CD 21=CD BC AD =+AED ∆DE AD AE ++=m a +=m a BE -=x AD =x a DE -=︒=∠90A 222AD AE DE +=22222x m x ax a +=+-am a x 222-=ADE ∆BEC ∆的周长的周长BEC ∆∆ADE BEAD =m a a m a --=222a m a 2+=BEC ∆⋅+=m a a 2ADE ∆a 2=BEC ∆m CG EG =CG EG =AG G MN AD ⊥M EF N DAG ∆DCG ∆AD CD ADG CDG DG DG =∠=∠=，，DAG DCG ∆∆≌AG CG =在与中，∵， ∴．∴在矩形中，在与中，∵，∴．∴．∴（3）（1）中的结论仍然成立．DMG ∆FNG ∆DGM FGN FG DG MDG NFG ∠=∠=∠=∠，，DMG FNG ∆∆≌MG NG =AENM AM EN =Rt AMG ∆Rt ENG ∆AM EN MG NG ==，AMG ENG ∆∆≌AG EG =EG CG =M N图2A B CDE F GG图3FE A B CD。
最新 2020年中考数学试卷(含答案和解析)
中考数学试卷一、选择题（下列个题四个选项中,有且仅有一个是正确的．每小题3分,共24分）1．（3分）﹣8的立方根是（）A．﹣2 B．±2 C．2D．﹣2．（3分）如果α与β互为余角,则（）A．α+β=180°B．α﹣β=180°C．α﹣β=90°D．α+β=90°3．（3分）下列运算正确的是（）A．x2•x 3=x6B．x6÷x 5=x C．（﹣x2）4=x6D．x2+x3=x54．（3分）如图所示的几何体的主视图是（）A．B．C．D．5．（3分）函数y=中,自变量x的取值范围是（）A．x≠0 B．x≥2 C．x＞2且x≠0 D．x≥2且x≠06．（3分）若α、β是一元二次方程x2+2x﹣6=0的两根,则α2+β2=（）A．﹣8 B．32 C．16 D．407．（3分）如图,圆锥体的高h=2cm,底面半径r=2cm,则圆锥体的全面积为（）cm2．A．4πB．8πC．12πD．（4+4）π8．（3分）已知：在△ABC中,BC=10,BC 边上的高h=5,点E在边AB上,过点E作EF∥BC,交AC边于点F．点D 为BC上一点,连接DE、DF．设点E到BC的距离为x,则△DEF的面积S关于x的函数图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题（共7小题,每小题3分,共21分）9．（3分）计算：|﹣|=_________．10．（3分）分解因式：（2a+1）2﹣a2=_________．11．（3分）计算：﹣=_________．12．（3分）如图,若AD∥BE,且∠ACB=90°,∠CBE=30°,则∠CAD=_________度．13．（3分）当x=﹣1时,代数式÷+x的值是_________．14．（3分）如图,在⊙O中,弦CD垂直于直径AB于点E,若∠BAD=30°,且BE=2,则CD=_________．15．（3分）如图,在一张长为8cm,宽为6cm的矩形纸片上,现要剪下一个腰长为5cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合,其余的两个顶点在矩形的边上）．则剪下的等腰三角形的面积为_________ cm2．三、解答题（本大题共10小题,满分共75分）16．（5分）解不等式组：,并在数轴上表示出不等式组的解集．17．（6分）浠州县为了改善全县中、小学办学条件,计划集中采购一批电子白板和投影机．已知购买2块电子白板比购买3台投影机多4000元,购买4块电子白板和3台投影机共需44000元．问购买一块电子白板和一台投影机各需要多少元？18．（6分）已知,如图,AB=AC,BD=CD,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,求证：DE=DF．19．（6分）红花中学现要从甲、乙两位男生和丙、丁两位女生中,选派两位同学分别作为①号选手和②号选手代表学校参加全县汉字听写大赛．（1）请用树状图或列表法列举出各种可能选派的结果；（2）求恰好选派一男一女两位同学参赛的概率．20．（7分）如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的⊙O与AB边交于点D,过点D的切线,交BC于点E．（1）求证：EB=EC；（2）若以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形,试判断△ABC的形状,并说明理由．21．（7分）某市为了增强学生体质,全面实施“学生饮用奶”营养工程．某品牌牛奶供应商提供了原味、草莓味、菠萝味、香橙味、核桃味五种口味的牛奶提供学生饮用．浠马中学为了了解学生对不同口味牛奶的喜好,对全校订购牛奶的学生进行了随机调查（每盒各种口味牛奶的体积相同）,绘制了如图两张不完整的人数统计图：（1）本次被调查的学生有_________名；（2）补全上面的条形统计图1,并计算出喜好“菠萝味”牛奶的学生人数在扇形统计图2中所占圆心角的度数；（3）该校共有1200名学生订购了该品牌的牛奶,牛奶供应商每天只为每名订购牛奶的学生配送一盒牛奶．要使学生每天都喝到自己喜好的口味的牛奶,牛奶供应商每天送往该校的牛奶中,草莓味要比原味多送多少盒？22．（9分）如图,已知双曲线y=﹣与两直线y=﹣x,y=﹣kx（k＞0,且k≠）分别相交于A、B、C、D四点．（1）当点C的坐标为（﹣1,1）时,A、B、D三点坐标分别是A（_________,_________）,B（_________, _________）,D（_________,_________）．（2）证明：以点A、D、B、C为顶点的四边形是平行四边形．（3）当k为何值时,▱ADBC是矩形．23．（7分）如图,在南北方向的海岸线MN上,有A、B两艘巡逻船,现均收到故障船C的求救信号．已知A、B两船相距100（+1）海里,船C在船A的北偏东60°方向上,船C在船B的东南方向上,MN上有一观测点D,测得船C 正好在观测点D的南偏东75°方向上．（1）分别求出A与C,A与D之间的距离AC和AD（如果运算结果有根号,请保留根号）．（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C,在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：≈1.41,≈1.73）24．（9分）某地实行医疗保险（以下简称“医保”）制度．医保机构规定：一：每位居民年初缴纳医保基金70元；二：居民每个人当年治病所花的医疗费（以定点医院的治疗发票为准）,年底按下列方式（见表一）报销所治病的医疗费用：居民个人当年治病所花费的医疗费医疗费的报销方法不超过n元的部分全部由医保基金承担（即全部报销）超过n元但不超过6000元的部分个人承担k%,其余部分由医保基金承担超过6000元的部分个人承担20%,其余部分由医保基金承担如果设一位居民当年治病花费的医疗费为x元,他个人实际承担的医疗费用（包括医疗费中个人承担部分和年初缴纳的医保基金）记为y元．（1）当0≤x≤n时,y=70；当n＜x≤6000时,y=_________（用含n、k、x的式子表示）．（2）表二是该地A、B、C三位居民2013年治病所花费的医疗费和个人实际承担的医疗费用,根据表中的数据,求出n、k的值．表二：居民 A B C某次治病所花费的治疗费用x（元）400 800 1500个人实际承担的医疗费用y（元）70 190 470（3）该地居民周大爷2013年治病所花费的医疗费共32000元,那么这一年他个人实际承担的医疗费用是多少元？25．（13分）已知：如图,在四边形OABC中,AB∥OC,BC⊥x轴于点C,A（1,﹣1）,B（3,﹣1）,动点P从点O出发,沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动．过点P作PQ垂直于直线OA,垂足为点Q,设点P移动的时间t秒（0＜t＜2）,△OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S．（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式,并确定顶点M的坐标；（2）用含t的代数式表示点P、点Q的坐标；（3）如果将△OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90°,是否存在t,使得△OPQ的顶点O或顶点Q在抛物线上？若存在,请求出t的值；若不存在,请说明理由；（4）求出S与t的函数关系式．中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（下列个题四个选项中,有且仅有一个是正确的．每小题3分,共24分）1．（3分）﹣8的立方根是（）A．﹣2 B．±2 C．2D．﹣考点：立方根．分析：如果一个数x的立方等于a,那么x是a的立方根,根据此定义求解即可．解答：解：∵﹣2的立方等于﹣8,∴﹣8的立方根等于﹣2．故选A．点评：此题主要考查了立方根的定义,求一个数的立方根,应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算,用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．2．（3分）如果α与β互为余角,则（）A．α+β=180°B．α﹣β=180°C．α﹣β=90°D．α+β=90°考点：余角和补角．分析：根据互为余角的定义,可以得到答案．解答：解：如果α与β互为余角,则α+β=900．故选：D．点评：此题主要考查了互为余角的性质,正确记忆互为余角的定义是解决问题的关键．3．（3分）下列运算正确的是（）A．x2•x3=x6B．x6÷x5=x C．（﹣x2）4=x6D．x2+x3=x5考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．分析：根据同底数幂的乘法和除法法则可以解答本题．解答：解：A．x2•x3=x5,答案错误；B．x6÷x5=x,答案正确；C．（﹣x2）4=x8,答案错误；D．x2+x3不能合并,答案错误．故选：B．点评：主要考查同底数幂相除底数不变指数相减,同底数幂相乘底数不变指数相加,熟记定义是解题的关键．4．（3分）如图所示的几何体的主视图是（）A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图．分析：根据从正面看得到的图形是主视图,可得答案．解答：解：从正面看,象一个大梯形减去一个小梯形,故选：D．点评：本题考查了简单组合体的三视图,从正面看得到的图形是主视图．5．（3分）函数y=中,自变量x的取值范围是（）A．x≠0 B．x≥2 C．x＞2且x≠0 D．x≥2且x≠0考点：函数自变量的取值范围．分析：根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式计算即可得解．解答：解：由题意得,x﹣2≥0且x≠0,∴x≥2．故选B．点评：本题考查了函数自变量的范围,一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时,被开方数非负．6．（3分）若α、β是一元二次方程x2+2x﹣6=0的两根,则α2+β2=（）A．﹣8 B．32 C．16 D．40考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据根与系数的关系得到α+β=﹣2,αβ=﹣6,再利用完全平方公式得到α2+β2=（α+β）2﹣2αβ,然后利用整体代入的方法计算．解答：解：根据题意得α+β=﹣2,αβ=﹣6,所以α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=（﹣2）2﹣2×（﹣6）=16．故选C．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1,x2,则x1+x2=﹣,x1•x2=．7．（3分）如图,圆锥体的高h=2cm,底面半径r=2cm,则圆锥体的全面积为（）cm2．A．4πB．8πC．12πD．（4+4）π考点：圆锥的计算．分析：表面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+底面周长×母线长÷2．解答：解：底面圆的半径为2,则底面周长=4π,∵底面半径为2cm、高为2m,∴圆锥的母线长为4cm,∴侧面面积=×4π×4=8π；底面积为=4π,全面积为：8π+4π=12πcm2．故选C．点评：本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解,牢记公式是解答本题的关键．8．（3分）已知：在△ABC中,BC=10,BC边上的高h=5,点E在边AB上,过点E作EF∥BC,交AC边于点F．点D 为BC上一点,连接DE、DF．设点E到BC的距离为x,则△DEF的面积S关于x的函数图象大致为（）A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．分析：判断出△AEF和△ABC相似,根据相似三角形对应边成比例列式求出EF,再根据三角形的面积列式表示出S 与x的关系式,然后得到大致图象选择即可．解答：解：∵EF∥BC,∴△AEF∽△ABC,∴=,∴EF=•10=10﹣2x,∴S=（10﹣2x）•x=﹣x2+5x=﹣（x ﹣）2+,∴S与x的关系式为S=﹣（x ﹣）2+（0＜x＜10）,纵观各选项,只有D选项图象符合．故选D．点评：本题考查了动点问题函数图象,主要利用了相似三角形的性质,求出S与x的函数关系式是解题的关键,也是本题的难点．二、填空题（共7小题,每小题3分,共21分）9．（3分）计算：|﹣|=．考点：绝对值．分析：根据负数的绝对值等于它的相反数,可得答案案．解答：解：|﹣|=,故答案为：．点评：本题考查了绝对值,负数的绝对值是它的相反数．10．（3分）分解因式：（2a+1）2﹣a2=（3a+1）（a+1）．考点：因式分解-运用公式法．分析：直接利用平方差公式进行分解即可．解答：解：原式=（2a+1+a）（2a+1﹣a）=（3a+1）（a+1）,故答案为：（3a+1）（a+1）．点评：此题主要考查了公式法分解因式,关键是掌握平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．11．（3分）计算：﹣=．考点：二次根式的加减法．分析：先进行二次根式的化简,然后合并同类二次根式求解．解答：解：原式=2﹣=．故答案为：．点评：本题考查了二次根式的加减法,关键是掌握二次根式的化简以及同类二次根式的合并．12．（3分）如图,若AD∥BE,且∠ACB=90°,∠CBE=30°,则∠CAD=60度．考点：平行线的性质．分析：延长AC交BE于F,根据直角三角形两锐角互余求出∠1,再根据两直线平行,内错角相等可得∠CAD=∠1．解答：解：如图,延长AC交BE于F,∵∠ACB=90°,∠CBE=30°,∴∠1=90°﹣30°=60°,∵AD∥BE,∴∠CAD=∠1=60°．故答案为：60．点评：本题考查了平行线的性质,直角三角形两锐角互余的性质,熟记性质是解题的关键．13．（3分）当x=﹣1时,代数式÷+x的值是3﹣2．考点：分式的化简求值．分析：将除法转化为乘法,因式分解后约分,然后通分相加即可．解答：解：原式=•+x=x（x﹣1）+x=x2﹣x+x=x2,当x=﹣1时,原式=（﹣1）2=2+1﹣2=3﹣2．故答案为3﹣2．点评：本题考查了分式的化简求值,熟悉除法法则和因式分解是解题的关键．14．（3分）如图,在⊙O中,弦CD垂直于直径AB于点E,若∠BAD=30°,且BE=2,则CD=4．考点：垂径定理；解直角三角形．专题：计算题．分析：连结OD,设⊙O的半径为R,先根据圆周角定理得到∠BOD=2∠BAD=60°,再根据垂径定理由CD⊥AB得到DE=CE,在Rt△ODE中,OE=OB﹣BE=R﹣2,利用余弦的定义得cos∠EOD=cos60°=,即=,解得R=4,则OE=2,DE=OE=2,所以CD=2DE=4．解答：解：连结OD,如图,设⊙O的半径为R,∵∠BAD=30°,∴∠BOD=2∠BAD=60°,∵CD⊥AB,∴DE=CE,在Rt△ODE中,OE=OB﹣BE=R﹣2,OD=R,∵cos∠EOD=cos60°=,∴=,解得R=4,∴OE=4﹣2=2,∴DE=OE=2,∴CD=2DE=4．故答案为4．点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理和解直角三角形．15．（3分）如图,在一张长为8cm,宽为6cm的矩形纸片上,现要剪下一个腰长为5cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合,其余的两个顶点在矩形的边上）．则剪下的等腰三角形的面积为,5,10cm2．考点：作图—应用与设计作图．分析：因为等腰三角形腰的位置不明确,所以分（1）腰长在矩形相邻的两边上,（2）一腰在矩形的宽上,（3）一腰在矩形的长上,三种情况讨论．（1）△AEF为等腰直角三角形,直接利用面积公式求解即可；（2）先利用勾股定理求出AE边上的高BF,再代入面积公式求解；（3）先求出AE边上的高DF,再代入面积公式求解．解答：解：分三种情况计算：（1）当AE=AF=5厘米时,∴S△AEF AE•AF=×5×5=厘米2,（2）当AE=EF=5厘米时,如图BF===2厘米,∴S△AEF=•AE•BF=×5×2=5厘米2,（3）当AE=EF=5厘米时,如图DF===4厘米,∴S△AEF=AE•DF=×5×4=10厘米2．故答案为：,5,10．点评：本题主要考查矩形的角是直角的性质和勾股定理的运用,要根据三角形的腰长的不确定分情况讨论．三、解答题（本大题共10小题,满分共75分）16．（5分）解不等式组：,并在数轴上表示出不等式组的解集．考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．分析：先求出不等式组中每一个不等式的解集,再求出它们的公共部分,然后把不等式的解集表示在数轴上即可．解答：解：解①得：x＞3,解②得：x≥1．,则不等式组的解集是：x＞3．点评：本题考查的是一元一次不等式组的解,解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解,若x＞较小的数、＜较大的数,那么解集为x介于两数之间．17．（6分）浠州县为了改善全县中、小学办学条件,计划集中采购一批电子白板和投影机．已知购买2块电子白板比购买3台投影机多4000元,购买4块电子白板和3台投影机共需44000元．问购买一块电子白板和一台投影机各需要多少元？考点：二元一次方程组的应用．分析：设购买1块电子白板需要x元,一台投影机需要y元,根据①买2块电子白板的钱﹣买3台投影机的钱=4000元,②购买4块电子白板的费用+3台投影机的费用=44000元,列出方程组,求解即可．解答：解：设购买1块电子白板需要x元,一台投影机需要y元,由题意得：,解得：．答：购买一块电子白板需要8000元,一台投影机需要4000元．点评：此题主要考查了二元一次方程组的应用,解题关键是弄清题意,找出合适的等量关系,列出方程组．18．（6分）已知,如图,AB=AC,BD=CD,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,求证：DE=DF．考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．专题：证明题．分析：连接AD,利用SSS得到三角形ABD与三角形ACD全等,利用全等三角形对应角相等得到∠EAD=∠FAD,即AD为角平分线,再由DE⊥AB,DF⊥AC,利用角平分线定理即可得证．解答：证明：连接AD,在△ACD和△ABD中,,∴△ACD≌△ABD（SSS）,∴∠EAD=∠FAD,即AD平分∠EAF,∵DE⊥AE,DF⊥AF,∴DE=DF．点评：此题考查了全等三角形的判定与性质,以及角平分线定理,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．19．（6分）红花中学现要从甲、乙两位男生和丙、丁两位女生中,选派两位同学分别作为①号选手和②号选手代表学校参加全县汉字听写大赛．（1）请用树状图或列表法列举出各种可能选派的结果；（2）求恰好选派一男一女两位同学参赛的概率．考点：列表法与树状图法．分析：（1）首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果；（2）由（1）可求得恰好选派一男一女两位同学参赛的有8种情况,然后利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：（1）画树状图得：则共有12种等可能的结果；（2）∵恰好选派一男一女两位同学参赛的有8种情况,∴恰好选派一男一女两位同学参赛的概率为：=．点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件,树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20．（7分）如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的⊙O与AB边交于点D,过点D的切线,交BC于点E．（1）求证：EB=EC；（2）若以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形,试判断△ABC的形状,并说明理由．考点：切线的性质；正方形的性质．分析：（1）连接BD,根据直径所对的圆周角是直角,得到直角三角形ABD和BCD,根据切线的判定定理知BC是圆的切线,结合切线长定理得到BE=DE,再根据等边对等角以及等角的余角相等证明DE=CE；（2）当以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时,则△DEB是等腰直角三角形,据此即可判断．解答：（1）证明：连接CD,∵AC是直径,∠ACD=90°,∴BC是⊙O的切线,∠BDA=90°．∵DE是⊙O的切线,∴DE=BE（切线长定理）．∴∠EBD=∠EDB．又∵∠DCE+∠EBD=∠CDE+∠EDB=90°,∴∠DCE=∠CDE,∴DE=CE,又∵DE=BE,∴DE=BE．（2）解：当以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时,则∠DEB=90°,又∵DE=BE,∴△DEB是等腰直角三角形,则∠B=45°,∴△ABC是等腰直角三角形．点评：本题考查了切线的性质以及切线长定理、圆周角定理,解题的关键是连接CD构造直角三角形．21．（7分）某市为了增强学生体质,全面实施“学生饮用奶”营养工程．某品牌牛奶供应商提供了原味、草莓味、菠萝味、香橙味、核桃味五种口味的牛奶提供学生饮用．浠马中学为了了解学生对不同口味牛奶的喜好,对全校订购牛奶的学生进行了随机调查（每盒各种口味牛奶的体积相同）,绘制了如图两张不完整的人数统计图：（1）本次被调查的学生有200名；（2）补全上面的条形统计图1,并计算出喜好“菠萝味”牛奶的学生人数在扇形统计图2中所占圆心角的度数；（3）该校共有1200名学生订购了该品牌的牛奶,牛奶供应商每天只为每名订购牛奶的学生配送一盒牛奶．要使学生每天都喝到自己喜好的口味的牛奶,牛奶供应商每天送往该校的牛奶中,草莓味要比原味多送多少盒？考点：条形统计图；扇形统计图．分析：（1）喜好“核桃味”牛奶的学生人数除以它所占的百分比即可得本次被调查的学生人数；（2）用本次被调查的学生的总人数减去喜好原味、草莓味、菠萝味、核桃味的人数得出喜好香橙味的人数,补全条形统计图即可,用喜好“菠萝味”牛奶的学生人数除以总人数再乘以360°,即可得喜好“菠萝味”牛奶的学生人数在扇形统计图2中所占圆心角的度数；（3）用喜好草莓味的人数占的百分比减去喜好原味的人数占的百分比,再乘以该校的总人数即可．解答：解：（1）10÷5%=200（名）答：本次被调查的学生有200名,故答案为：200；（2）200﹣38﹣62﹣50﹣10=40（名）,条形统计图如下：=90°,答：喜好“菠萝味”牛奶的学生人数在扇形统计图2中所占圆心角的度数为90°；（3）1200×（）=144（盒）,答：草莓味要比原味多送144盒．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用；利用统计图获取信息时,必须认真观察、分析、研究统计图,才能作出正确的判断和解决问题．22．（9分）如图,已知双曲线y=﹣与两直线y=﹣x,y=﹣kx（k＞0,且k≠）分别相交于A、B、C、D四点．（1）当点C的坐标为（﹣1,1）时,A、B、D三点坐标分别是A（﹣2,）,B（2,﹣）,D（1,﹣1）．（2）证明：以点A、D、B、C为顶点的四边形是平行四边形．（3）当k为何值时,▱ADBC是矩形．考点：反比例函数综合题．专题：综合题．分析：（1）由C坐标,利用反比例函数的中心对称性确定出D坐标,联立双曲线y=﹣与直线y=﹣x,求出A与B 坐标即可；（2）由反比例函数为中心对称图形,利用中心对称性质得到OA=OB,OC=OD,利用对角线互相平分的四边形为平行四边形即可得证；（3）由A与B坐标,利用两点间的距离公式求出AB的长,联立双曲线y=﹣与直线y=﹣kx,表示出CD的长,根据对角线相等的平行四边形为矩形,得到AB=CD,即可求出此时k的值．解答：解：（1）∵C（﹣1,1）,C,D为双曲线y=﹣与直线y=﹣kx的两个交点,且双曲线y=﹣为中心对称图形, ∴D（1,﹣1）,联立得：,消去y得：﹣x=﹣,即x2=4,解得：x=2或x=﹣2,当x=2时,y=﹣；当x=﹣2时,y=,∴A（﹣2,）,B（2,﹣）；故答案为：﹣2,,2,﹣,1,﹣1；（2）∵双曲线y=﹣为中心对称图形,且双曲线y=﹣与两直线y=﹣x,y=﹣kx（k＞0,且k≠）分别相交于A、B、C、D四点,∴OA=OB,OC=OD,则以点A、D、B、C为顶点的四边形是平行四边形；（3）若▱ADBC是矩形,可得AB=CD,联立得：,消去y得：﹣=﹣kx,即x2=,解得：x=或x=﹣,当x=时,y=﹣；当x=﹣时,y=,∴C（﹣,）,D（,﹣）,∴CD==AB==,整理得：（4k﹣1）（k﹣4）=0,解得：k=（不合题意,舍去）或k=4,则当k=4时,▱ADBC是矩形．点评：此题属于反比例函数综合题,涉及的知识有：坐标与图形性质,一次函数与反比例函数的交点,平行四边形,矩形的判定,两点间的距离公式,以及中心图形性质,熟练掌握性质是解本题的关键．23．（7分）如图,在南北方向的海岸线MN上,有A、B两艘巡逻船,现均收到故障船C的求救信号．已知A、B两船相距100（+1）海里,船C在船A的北偏东60°方向上,船C在船B的东南方向上,MN上有一观测点D,测得船C 正好在观测点D的南偏东75°方向上．（1）分别求出A与C,A与D之间的距离AC和AD（如果运算结果有根号,请保留根号）．（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C,在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：≈1.41,≈1.73）考点：解直角三角形的应用-方向角问题．分析：（1）作CE⊥AB,设AE=x海里,则BE=CE=x海里．根据AB=AE+BE=x+x=100（+1）,求得x的值后即可求得AC的长；过点D作DF⊥AC于点F,同理求出AD的长；（2）作DF⊥AC于点F,根据AD的长和∠DAF的度数求线段DF的长后与100比较即可得到答案．解答：解：（1）如图,作CE⊥AB,由题意得：∠ABC=45°,∠BAC=60°,设AE=x海里,在Rt△AEC中,CE=AE•tan60°=x；在Rt△BCE中,BE=CE=x．∴AE+BE=x+x=100（+1）,解得：x=100．AC=2x=200．在△ACD中,∠DAC=60°,∠ADC=75°,则∠ACD=45°．过点D作DF⊥AC于点F,设AF=y,则DF=CF=y,∴AC=y+y=200,解得：y=100（﹣1）,∴AD=2y=200（﹣1）．答：A与C之间的距离AC为200海里,A与D之间的距离AD为200（﹣1）海里．（2）由（1）可知,DF=AF=×100（﹣1）≈127∵127＞100,所以巡逻船A沿直线AC航线,在去营救的途中没有触暗礁危险．点评：本题考查了解直角三角形的应用,解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并选择合适的边角关系解答．24．（9分）某地实行医疗保险（以下简称“医保”）制度．医保机构规定：一：每位居民年初缴纳医保基金70元；二：居民每个人当年治病所花的医疗费（以定点医院的治疗发票为准）,年底按下列方式（见表一）报销所治病的医疗费用：居民个人当年治病所花费的医疗费医疗费的报销方法不超过n元的部分全部由医保基金承担（即全部报销）超过n元但不超过6000元的部分个人承担k%,其余部分由医保基金承担超过6000元的部分个人承担20%,其余部分由医保基金承担如果设一位居民当年治病花费的医疗费为x元,他个人实际承担的医疗费用（包括医疗费中个人承担部分和年初缴纳的医保基金）记为y元．（1）当0≤x≤n时,y=70；当n＜x≤6000时,y=（用含n、k、x的式子表示）．（2）表二是该地A、B、C三位居民2013年治病所花费的医疗费和个人实际承担的医疗费用,根据表中的数据,求出n、k的值．表二：居民 A B C某次治病所花费的治疗费用x（元）400 800 1500个人实际承担的医疗费用y（元）70 190 470（3）该地居民周大爷2013年治病所花费的医疗费共32000元,那么这一年他个人实际承担的医疗费用是多少元？考点：一次函数的应用；列代数式；二元一次方程组的应用．分析：（1）根据医疗报销的比例,可得答案；（2）根据医疗费用的报销费用,可得方程组,再解方程组,可得答案；（3）根据个人承担部分的费用,可得代数式,可得答案．解答：解：（1）由题意得y=；（2）由A、B、C三人的花销得,解得；（3）由题意得70+（6000﹣500）×40%+（32000﹣6000）×20%=70+2200+5200=7470（元）．答：这一年他个人实际承担的医疗费用是7470元．点评：本题考查了一次函数的应用,根据题意列函数解析式是解题关键．25．（13分）已知：如图,在四边形OABC中,AB∥OC,BC⊥x轴于点C,A（1,﹣1）,B（3,﹣1）,动点P从点O出发,沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动．过点P作PQ垂直于直线OA,垂足为点Q,设点P移动的时间t秒（0＜t＜2）,△OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S．（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式,并确定顶点M的坐标；（2）用含t的代数式表示点P、点Q的坐标；（3）如果将△OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90°,是否存在t,使得△OPQ的顶点O或顶点Q在抛物线上？若存在,请求出t的值；若不存在,请说明理由；（4）求出S与t的函数关系式．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx（a≠0）,然后把点A、B的坐标代入求出a、b的值,即可得解,再把函数解析式整理成顶点式形式,然后写出顶点M的坐标；（2）根据点P的速度求出OP,即可得到点P的坐标,再根据点A的坐标求出∠AOC=45°,然后判断出△POQ 是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质求出点Q的坐标即可；（3）根据旋转的性质求出点O、Q的坐标,然后分别代入抛物线解析式,求解即可；（4）求出点Q与点A重合时的t=1,点P与点C重合时的t=1.5,t=2时PQ经过点B,然后分①0＜t≤1时,重叠部分的面积等于△POQ的面积,②1＜t≤1.5时,重叠部分的面积等于两个等腰直角三角形的面积的差,③1.5＜t＜2时,重叠部分的面积等于梯形的面积减去一个等腰直角三角形的面积分别列式整理即可得解．解答：解：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx（a≠0）,把点A（1,﹣1）,B（3,﹣1）代入得,,解得,∴抛物线解析式为y=x2﹣x,∵y=x2﹣x=（x﹣2）2﹣,∴顶点M的坐标为（2,﹣）；（2）∵点P从点O出发速度是每秒2个单位长度,∴OP=2t,∴点P的坐标为（2t,0）,∵A（1,﹣1）,∴∠AOC=45°,∴点Q到x轴、y轴的距离都是OP=×2t=t,∴点Q的坐标为（t,﹣t）；（3）∵△OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90°,∴旋转后点O、Q的对应点的坐标分别为（2t,﹣2t）,（3t,﹣t）,若顶点O在抛物线上,则×（2t）2﹣×（2t）=﹣2t,解得t=,若顶点Q在抛物线上,则×（3t）2﹣×（3t）=﹣t,解得t=1,综上所述,存在t=或1,使得△OPQ的顶点O或顶点Q在抛物线上；（4）点Q与点A重合时,OP=1×2=2,t=2÷2=1,点P与点C重合时,OP=3,t=3÷2=1.5,t=2时,OP=2×2=4,PC=4﹣3=1,此时PQ经过点B,所以,分三种情况讨论：。
2020年中考数学二轮专项——B卷压轴题专练(二)(含答案)
2020年中考数学二轮专项——B 卷专练（二）(限时：60分钟 满分：50分)一、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分)21. 如图，将面积为3的正方形放在数轴上，以表示实数1的点为圆心，正方形的边长为半径，作圆交数轴于点A 、B ，则点A 表示的数为________．第21题图22. 已知m ，n 是关于x 的方程x 2＋(2b ＋3)x ＋b 2＝0的两个实数根，且满足1m ＋1＝－1n ，则b 的值为________．23. 一只小鸟自由自在在空中飞翔，然后随意落在如图(由16个小正方形组成)中，则落在阴影部分的概率是________．第23题图24. 在平面直角坐标系xOy 中，对于P (a ，b )，若点P ′的坐标为(ka ＋b ，a ＋bk )(其中k 为常数且k ≠0)，则称点P ′为点P 的“k 的和谐点”．已知点A 在反比例函数y ＝43x(x ＞0)的图象上运动，且点A 是点B 的“3的和谐点”，若Q (－2，0)，则BQ 的最小值为________．25. 如图，把正方形纸片对折得到矩形ABCD ，点E 在BC 上，把△ECD 沿ED 折叠，使点C 恰好落在AD 上的点C ′处，点M 、N 分别是线段AC ′与线段BE 上的点，把四边形ABNM 沿NM 向下翻折，点A 落在DE 的中点A ′处．若原正方形的边长为12，则线段MN 的长为________．第25题图二、解答题(本大题共3个小题，共30分)26. (本小题满分8分)一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y (升)与行驶路程x (千米)之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．(1)求y 关于x 的函数解析式；(2)已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？第26题图27. (本小题满分10分)(1)如图①，已知：在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.小明观察图形特征后猜想线段DE、BD和CE之间存在DE＝BD＋CE 的数量关系，请你判断他的猜想是否正确，并说明理由；(2)如图②，将(1)中的条件改为：△ABC为等边三角形，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC ＝∠BAC＝60°，请问结论DE＝BD＋CE是否成立？并说明理由；(3)如图③，若将(1)中的三角形变形为一般的等腰三角形，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角，D、A、E三点都在直线m上．问：满足什么条件时，结论DE＝BD＋CE仍成立？直接写出条件即可．第27题图28. (本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2＋4x 的顶点为A . (1)求点A 的坐标；(2)点B 为抛物线上横坐标等于－6的点，点M 为线段OB 的中点，点P 为直线OB 下方抛物线上的一动点．当△POM 的面积最大时，过点P 作PC ⊥y 轴于点C ，若在坐标平面内有一动点Q 满足PQ ＝32，求OQ ＋12QC 的最小值；(3)当(2)中OQ ＋12QC 取得最小值时，直线OQ 与抛物线另一交点为E ，作点E 关于抛物线对称轴的对称点E ′.点R 是抛物线对称轴上的一点，在x 轴上是否存在点S ，使得以O 、E ′、R 、S 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出S 点的坐标；若不存在，请说明理由．B 卷专练二 参考答案21. 1－3 【解析】∵正方形的面积为3，∴圆的半径为3，∴点A 表示的数为1－ 3.22. 3 【解析】∵m ，n 是关于x 的方程x 2＋(2b ＋3)x ＋b 2＝0的两个实数根，∴m ＋n ＝－(2b ＋3)，mn ＝b 2，∵1m ＋1＝－1n ，∴1m ＋1n ＝－1，∴m ＋n mn ＝－1，∴－（2b ＋3）b 2＝－1，解得b ＝3或b ＝－1，当b ＝3时，方程为x 2＋9x＋9＝0，∵b 2－4ac ＝45＞0，∴此方程有解；当b ＝－1时，方程为x 2＋x ＋1＝0，∵b 2－4ac ＝12－4×1×1＝－3＜0，∴此时方程无解，∴b ＝3.23.516 【解析】设每个小正方形的边长为1，由题图可知：阴影部分面积为(12×1×3－12×1×2)＋(12×3×4－12×3×3)＋(12×3×4－12×3×2)＝5，∴图中阴影部分占5个小正方形，其面积占总面积的516，∴落在阴影部分的概率为516. 24. 23 【解析】如解图，设点B 的坐标为(x ，y )，∵点A 是点B 的“3的和谐点”，∴A (3x ＋y ，x ＋y3)，∵点A 在反比例函数y ＝43x (x ＞0)的图象上，∴(3x ＋y )(x ＋y3)＝43，即3x ＋y ＝23或3x ＋y ＝－23(舍去)，∴y＝－3x ＋23，∴点B 在直线y ＝－3x ＋23上，设直线y ＝－3x ＋23与x 轴、y 轴分别相交于点M 、N ，则M (2，0)、N (0，23)，∴MN ＝22＋（23）2＝4，MQ ＝MO ＋OQ ＝2＋2＝4，∴MN ＝MQ ，过点B 作QB ⊥MN ，垂足为B ，此时BQ 最小，易得△MON ≌△MBQ (AAS)，∴BQ ＝ON ＝2 3.第24题解图25. 210 【解析】如解图，过点A ′作A ′G ⊥AD 于点G ，过点A ′作A ′H ⊥AB 于点H ，交MN 于点O ，连接AA ′交MN 于点K .由题意知四边形DCEC ′是正方形，∴△DGA ′是等腰直角三角形，∴DG ＝GA ′＝3，AG ＝AD －DG ＝9，设AM ＝MA ′＝x ，在Rt △MGA ′中，x 2＝(9－x )2＋32，∴x ＝5，AA ′＝32＋92＝310，∵sin ∠MAK ＝MK AM ＝A ′G AA ′，∴MK5＝3310，∴MK ＝102，∵AM ∥OA ′，AK ＝KA ′，∴MK ＝KO ，∵BN ∥HA ′∥AD ，DA ′＝EA ′，∴MO ＝ON ，∴MN ＝4MK ＝210.第25题解图26. 解：(1)设该一次函数解析式为y ＝kx ＋b ， 将(150，45)、(0，60)代入y ＝kx ＋b 中，得⎩⎪⎨⎪⎧150k ＋b ＝45b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－110b ＝60， ∴该一次函数解析式为y ＝－110x ＋60； (2)当y ＝－110x ＋60＝8时，解得x ＝520，即行驶520千米时，油箱中的剩余油量为8升． ∵500＋30－520＝10，∴油箱中的剩余油量为8升时，距离加油站10千米．答：在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是10千米． 27. 解：(1)正确，理由如下： ∵BD ⊥直线m ，CE ⊥直线 m ， ∴∠BDA ＝∠CEA ＝90°， ∵∠BAC ＝90°， ∴∠BAD ＋∠CAE ＝90°， ∵∠BAD ＋∠ABD ＝90°， ∴∠CAE ＝∠ABD ， 在△ADB 和△CEA 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ABD ＝∠EAC ∠BDA ＝∠CEA AB ＝CA ， ∴△ADB ≌△CEA (AAS)， ∴AE ＝BD ，AD ＝CE ， ∴DE ＝AE ＋AD ＝BD ＋CE ；(2)结论成立．理由如下： ∵∠BDA ＝∠BAC ＝60°，∴∠DBA ＋∠BAD ＝∠BAD ＋∠CAE ＝180°－60°＝120°， ∴∠CAE ＝∠DBA ， 在△ADB 和△CEA 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ABD ＝∠CAE ∠BDA ＝∠AEC AB ＝CA ， ∴△ADB ≌△CEA (AAS)， ∴AE ＝BD ，AD ＝CE ， ∴DE ＝AE ＋AD ＝BD ＋CE ；(3)当∠ADB ＝∠BAC ＝∠AEC 时，DE ＝BD ＋EC . 【解法提示】∵∠BDA ＝∠BAC ＝α，∴∠DBA ＋∠BAD ＝∠BAD ＋∠CAE ＝180°－α， ∴∠CAE ＝∠ABD ， 在△ADB 和△CEA 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ABD ＝∠CAE ∠BDA ＝∠AEC AB ＝CA ， ∴△ADB ≌△CEA (AAS)， ∴AE ＝BD ，AD ＝CE ， ∴DE ＝AE ＋AD ＝BD ＋CE .28. 解：(1)∵y ＝x 2＋4x ＝(x ＋2)2－4， ∴A (－2，－4)；(2)如解图①，过点P 作PH ⊥x 轴交OB 于点H ，作PG ⊥BO 于点G ，过点M 作MD ⊥y 轴交y 轴于点D ， ∵点B 为抛物线上横坐标等于－6的点， ∴B (－6，12)，∴直线OB 的解析式为y ＝－2x ，设P (m ，m 2＋4m )，则H (m ，－2m )，PH ＝－2m －(m 2＋4m )＝－m 2－6m ， ∵点M 为线段OB 的中点， ∴M (－3，6)， ∴MD ＝3， ∵PH ∥y 轴， ∴∠PHG ＝∠MOD ， ∵PG ⊥BO , MD ⊥y 轴， ∴∠PGH ＝∠MDO ， ∴△PGH ∽△MDO ， ∴PG PH ＝MD MO，即 PG ·MO ＝PH ·MD ＝3(－m 2－6m )＝－3m 2－18m ，∴S △POM ＝12PG ·MO ＝－32m 2－9m ＝－32(m ＋3)2＋272，∵－32＜0，∴当m ＝－3时，S △POM 的值最大，此时P (－3，－3)， 在PC 上取一点T ，使得PT ＝34，连接QT ，OT ，∵PC ＝3，PQ ＝32，∴PT PQ ＝PQ PC ＝12， ∵∠QPT ＝∠CPQ ， ∴△QPT ∽△CPQ ， ∴TQ QC ＝PT PQ ＝12， 即TQ ＝12QC ，∴OQ ＋12QC ＝OQ ＋TQ ≥OT ，∵OT ＝OC 2＋CT 2＝ 32＋（94）2＝154，∴OQ ＋12QC 的最小值为154；第28题解图①(3)存在．点S 的坐标为(－32，0)或(－103，0)或(23，0)．【解法提示】∵当(2)中OQ ＋12QC 取得最小值时，点O 、Q 、T 三点共线，T (－94，－3)，∴直线OQ 的解析式为y ＝43x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝43xy ＝x 2＋4x，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0y 1＝0，⎩⎨⎧x 2＝－83y 2＝－329， ∴E (－83，－329)，∵抛物线对称轴为直线x ＝－2， ∴E ′(－43，－329)，以O 、E ′、R 、S 为顶点的四边形是平行四边形，分以下三种情形： ①如解图②，OR 为对角线， ∵四边形OE ′RS 是平行四边形， ∴OS ∥E ′R ，OS ＝E ′R ＝23，∴S 1 (－23，0)；第28题解图②②如解图③，OS 为对角线， ∵四边形OE ′SR 是平行四边形， ∴OE ′∥RS ，R (－2，329)，∴S 2(－103，0)；第28题解图③③如解图④，OE ′为对角线， ∵四边形ORE ′S 是平行四边形， ∴OS ∥E ′R ，OS ＝E ′R ＝23，∴S 3(23，0)，第28题解图④综上所述，点S 的坐标为S 1 (－23，0)，S 2(－103，0)，S 3(23，0)．。
2020-2021学年九年级数学中考数学反比例函数专项训练(含答案)
2020-2021学年九年级数学中考数学反比例函数专项训练一、选择题（本大题共8道小题，每题5分，共40分）1. 反比例函数y=的图象位于()A.第一、三象限B.第二、三象限C.第一、二象限D.第二、四象限2. 函数y＝1x＋2中，x的取值范围是()A. x≠0B. x＞－2C. x＜－2D. x≠－23. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，C的坐标分别是(0，3)，(3，0)，∠ACB=90°，AC=2BC，函数y=(k>0，x>0)的图象经过点B，则k的值为()A.B.9 C.D.4. 在函数y＝x＋4x中，自变量x的取值范围是()A. x＞0B. x≥－4C. x≥－4且x≠0D. x＞0且x≠－45. 若一次函数y＝mx＋6的图象与反比例函数y＝nx在第一象限的图象有公共点，则有()A. mn≥－9B. －9≤mn＜0C. mn≥－4D. －4≤mn≤06. 如图，过反比例函数y＝kx(k＞0)的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S△AOB＝2，则k的值为()A. 2B. 3C. 4D. 57. 如图，A 、B两点在反比例函数y ＝k 1x 的图象上，C 、D 两点在反比例函数y ＝k 2x 的图象上，AC ⊥x 轴于点E ，BD ⊥x 轴于点F ，AC ＝2，BD ＝3，EF ＝103，则k 2－k 1＝( ) A. 4 B. 143 C. 163 D. 68. 如图，☉O 的半径为2，双曲线的解析式分别为y=和y=-，则阴影部分的面积为 ( )A .4πB .3πC .2πD .π二、填空题（本大题共8道小题，每题5分，共40分）9. 已知反比例函数y ＝kx的图象在每一个象限内y 随x 的增大而增大，请写一个符合条件的反比例函数解析式____________．10. 若一个反比例函数的图象经过点A (m ，m )和B (2m ，-1)，则这个反比例函数的表达式为 .11. 已知反比例函数y ＝kx (k ≠0)，如果在这个函数图象所在的每一个象限内，y 的值随着x 的值增大而减小，那么k 的取值范围是________．12. 如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，平行四边形OABC 的顶点A 在反比例函数y=(x>0)的图象上，顶点B 在反比例函数y=(x>0)的图象上，点C 在x 轴的正半轴上，则平行四边形OABC的面积是.13. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形ABCD的顶点B在x轴的正半轴上，点A的坐标为(-4，0)，点D的坐标为(-1，4)，反比例函数y=(x>0)的图象恰好经过点C，则k 的值为.14. 如图，直线y＝－2x＋4与双曲线y＝kx交于A、B两点，与x轴交于点C，若AB＝2BC，则k＝________．15. 如图，在平面直角坐标系中，过点M(－3，2)分别作x轴、y轴的垂线，与反比例函数y＝4 x的图象交于A、B两点，则四边形MAOB的面积为________．16. 如图，已知点A，C在反比例函数y＝ax的图象上，点B，D在反比例函数y＝bx的图象上，a>b>0，AB∥CD∥x轴，AB，CD在x轴的两侧，AB＝34，CD＝32，AB与CD间的距离为6，则a－b的值是________．三、解答题（本大题共4道小题，每题10分，共40分）17. 如图，双曲线y=经过点P(2，1)，且与直线y=kx-4(k<0)有两个不同的交点.(1)求m的值;(2)求k的取值范围.18. 如图，一次函数y＝kx＋b(k<0)与反比例函数y＝mx的图象相交于A、B两点，一次函数的图象与y轴相交于点C，已知点A(4，1)．(1)求反比例函数的解析式；(2)连接OB(O是坐标原点)，若△BOC的面积为3，求该一次函数的解析式．19. 如图，已知在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A(2，5)在反比例函数y＝kx的图象上，一次函数y＝x＋b的图象经过点A，且与反比例函数图象的另一交点为B.(1)求k和b的值；(2)设反比例函数值为y1，一次函数值为y2，求y1>y2时x的取值范围．20. 在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3.(1)设矩形的相邻两边长分别为x，y.①求y关于x的函数表达式；②当y≥3时，求x的取值范围；(2)圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10.你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？答案一、选择题（本大题共8道小题）1. A2. D【解析】要使函数有意义，则x＋2≠0，即x≠－2.3. D[解析]过B作BD⊥x轴，垂足为D.∵A，C的坐标分别为(0，3)，(3，0)，∴OA=OC=3，∠ACO=45°，∴AC=3.∵AC=2BC，∴BC=.∵∠ACB=90°，∴∠BCD=45°，∴BD=CD=，∴点B的坐标为.∵函数y=(k>0，x>0)的图象经过点B，∴k==，故选D.4. C 【解析】综合开平方时被开方数为非负数和分母不为0可得x 取值范围，则x ＋4≥0且x ≠0，故x ≥－4且x ≠0.5. A【解析】如解图，根据题意，两个函数的图象在第一象限有公共点，则关于x 的方程nx ＝mx ＋6有实数根，方程化简为：mx 2＋6x －n ＝0，显然m ≠0，Δ＝36＋4mn ≥0，所以mn ≥－9，由于一次函数与反比例函数y ＝nx 在第一象限的图象有公共点，所以n ＞0，显然当一次函数y 随x 的增大而增大时，两个函数图象在第一象限有交点，即mn ≥－9符合题意．6. C 【解析】 ∵点A 在反比例函数y ＝kx的图象上，且AB ⊥x 轴于点B ，设点A 坐标为(x ，y )，∴k ＝xy ，∵点A 在第一象限，∴x 、y 都是正数，∴S △AOB ＝12OB ·AB ＝12xy ，∵S △AOB ＝2，∴k ＝xy ＝4.7. A 【解析】设E (x 1，0)，F (x 2，0)，则A (x 1，k 1x 1)，D (x 2，k 2x 2)，B (x 2，k 1x 2)，C (x 1，k 2x 1)，∴AC ＝k 1－k 2x 1＝2，BD ＝k 2－k 1x 2＝3，∴k 1－k 2＝2x 1，k 2－k 1＝3x 2，∴2x 1＋3x 2＝0，又∵EF ＝x 2－x 1＝103，∴x 2＝43，∴k 2－k 1＝3x 2＝3×43＝4.8. C [解析]根据反比例函数y=，y=-及圆的中心对称性和轴对称性知，将二、四象限的阴影部分旋转到一、三象限对应部分，显然所有阴影部分的面积之和等于一、三象限内两个扇形的面积之和，也就相当于一个半径为2的半圆的面积. ∴S 阴影=π×22=2π.故选C .二、填空题（本大题共8道小题）9. y ＝－2x(答案不唯一) 【解析】∵反比例函数的图象在每一个象限内y 随x 的增大而增大，∴k ＜0，∴k 可取－2(答案不唯一)．10. y=11. k>0【解析】∵反比例函数y＝kx(k≠0)，图象所在的每一个象限内，y的值随着x的值增大而减小，∴k的取值范围是：k＞0.12. 4[解析]设A(a，b)，B(a+m，b)，依题意得b=，b=，∴=，化简得m=4a.∵b=，∴ab=1，∴S平行四边形OABC=mb=4ab=4×1=4.13. 16[解析]如图，分别过点D，C作x轴的垂线，垂足为E，F，则OE=1，DE=4，OA=4，∴AE=3，AD=5，∴AB=CB=5，∴B(1，0)，易得△DAE≌△CBF，可得BF=AE=3，CF=DE=4，∴C(4，4)，∴k=16.14.32【解析】设A(x1，kx1)，B(x2，kx2)，∵直线y＝－2x＋4与y＝kx交于A，B两点，∴－2x＋4＝kx，即－2x2＋4x－k＝0，∴x1＋x2＝2，x1x2＝k2，如解图，过点A作AQ⊥x轴于点Q，BP⊥AQ于点P，则PB∥QC，∴APPQ＝ABBC＝2，即kx1－kx2kx2＝2，∴x2＝3x1，∴x1＝12，x2 ＝32，∴k＝2x1x2＝32.15. 10【解析】如解图，设AM与x轴交于点C，MB与y轴交于点D，∵点A、B分别在反比例函数y＝4x上，根据反比例函数k的几何意义，可得S△ACO＝S△OBD＝12×4＝2，∵M(－3，2)，∴S矩形MCOD＝3×2＝6，∴S四边形MAOB＝S△ACO＋S△OBD＋S矩形MCOD＝2＋2＋6＝10.16. 3【解析】设点A的纵坐标为y1，点C的纵坐标为y2，∵AB∥CD∥x轴，∴点B的纵坐标为y1，点D的纵坐标为y2，∵点A在函数y＝ax的图象上，点B在函数y＝bx的图象上，且AB＝34，∴ay1－by1＝34，∴y1＝4（a－b）3，同理y2＝2（b－a）3，又∵AB与CD间的距离为6，∴y1－y2＝4（a－b）3－2（b－a）3＝6，解得a－b＝3.三、解答题（本大题共4道小题）17.解:(1)把P(2，1)的坐标代入y=，得:1=，m=2.(2)由(1)可知反比例函数解析式为y=，∴=kx-4，整理得:kx2-4x-2=0，∵双曲线与直线有两个不同的交点，∴Δ>0，即(-4)2-4k·(-2)>0，解得:k>-2.又∵k<0，∴k的取值范围为-2<k<0.18.解：(1)把A(4，1)代入y＝mx得1＝m4.∴m＝4，(2分)∴反比例函数的解析式为y＝4x.(3分)(2)过点B作BE⊥y轴于点E，如解图，设点B坐标为(n，4n)，则OE＝4n，BE＝n.∴S △BEO ＝12OE·BE ＝2，(4分) ∵S △BOC ＝3， ∴S △BCE ＝1，∴OE ∶EC ＝2∶1，∴CE ＝2n ，OC ＝6n.(6分)设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋6n ，把(n ，4n )和(4，1)分别代入得：⎩⎪⎨⎪⎧4n ＝nk ＋6n 1＝4k ＋6n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2k ＝－12 ，(7分)∴6n ＝3，∴一次函数的解析式为y ＝－12x ＋3.(8分)19.解：(1)把点A(2，5)代入反比例函数的解析式y ＝kx ，∴k ＝xy ＝10，把(2，5)代入一次函数的解析式y ＝x ＋b ，(2分) ∴5＝2＋b ， ∴b ＝3.(3分)(2)由(1)知k ＝10，b ＝3，∴反比例函数的解析式是y ＝10x ， 一次函数的解析式是y ＝x ＋3.解方程x ＋3＝10x ，(4分) ∴x 2＋3x －10＝0，(5分) 解得x 1＝2(舍去)，x 2＝－5， ∴点B 坐标是(－5，－2)，∵反比例函数的值大于一次函数值，即反比例函数的图象在一次函数图象上方时，x 的取值范围，∴根据图象可得不等式的解集是x ＜－5或0＜x ＜2.(6分)20.【思维教练】(1)①由题干条件知矩形的面积相等，可得矩形的长×宽等于定值，所以y 关于x 的函数表达式是反比例函数；②将y 的值带入反比例函数解析式中，求出x 的求值范围即可；(2)设长为x ，用含长的代数式表示出宽，得出关于面积的分式方程，化为一元二次方程，再根据根的判别式即可判断圆圆和方方说法的正误． 解：(1)①由题意得，1×3＝xy ，∴y ＝3x (x>0)；(2分) ②∵由已知y≥3， ∴3x ≥3，∴0<x≤1，∴x 的取值范围是0<x≤1；(4分)(2)圆圆的说法不对，方方的说法对．理由：∵圆圆的说矩形的周长为6，∴x ＋y ＝3，∴x ＋3x ＝3，化简得，x 2－3x ＋3＝0， ∴Δ＝(－3)2－4×1×3＝－3<0，方程没有实数根， 所以圆圆的说法不对；(6分)方方的说矩形的周长为10，∴x ＋y ＝5，∴x ＋3x ＝5， 化简得，x 2－5x ＋3＝0，(8分) ∴Δ＝(－5)2－4×1×3＝13>0，∴x ＝5±132， ∵x>0，∴x ＝5＋132，y ＝5－132， 所以方方的说法对．(10分)。
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2020年中考数学小题专项训练（二十一）
一、选择题（每小题4分，共32分） 1． 一个数的绝对值等于3，这个数是【 】
A ．3
B ．-3
C ．±3
D ．
13
2． 经专家估算，整个南海属我国传统海疆线的油气资源约合15 000亿美元，开采前景甚至要超过英国的北海
油田，用科学记数法表示15 000亿美元是【 】美元． A ．1.5×104
B ．1.5×105
C ．1.5×10
12
D ．1.5×1013
3． 某物体的侧面展开图如图所示，则它的左视图为【 】
A ．
B ．
C ．
D ． 第4题图
4． 如图，将△A B C 绕着点C 顺时针旋转50°后得到△A ′B ′C ．若∠A =40°，
∠B ′=110°，则∠BCA ′的度数是【 】
A ．110°
B ．80°
C ．40°
D ．30°
5． 某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例．若该校上、下学
期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述正确的是【 】
A ．舞蹈社不变，溜冰社减少
B ．舞蹈社不变，溜冰社不变 B ．舞蹈社增加，溜冰社减少 D ．舞蹈社增加，溜冰社不变
6． 如图所示，已知A (
2，y 1)，B (2，y
2)为反比例函数1
y x
图象上的两点，动点P (x ，0)在x 轴正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是【 】
A ．(
12，0) B ．(1，0) C ．(32，0) D ．(5
2
，0)
第6题图 第7题图
7． 如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，以点C 为圆心，CD 为半径的弧与BC 交于点E ．若四边形ABED 是平行四
边形，AB =3，则扇形CDE （阴影部分）的面积是【 】
A ．
3
2
π B ．2π C ．π D ．3π
8． 如图，点D 是△ABC 的边AB 的延长线上一点，点F 是边BC 上的一个动点（不与点B 重合）．以BD ，BF 为邻
边作平行四边形BDEF ，又AP //BE ，且AP =BE （点P ，E 在直线AB 的同侧），如果1
4
BD AB =，那么△PBC 的面积与△ABC 的面积之比为【 】
A ．14
B ．35
C ．15
D ．34
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．如图，在直角三角形纸片ABC 中，∠A =90°，剪去这个直角后得到一个四边形BEFC ，则∠BEF +∠CFE 的度数
11．如图，一根5m 长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A （羊只能在草地上活动），那
么小羊A 在草地上的最大活动区域的面积是_______．
G
P F
E D
B A
BC 交于点E ，与边CD 交于点F ．若BE :CE =3:1，则DF :FC =________．
13．如图，在面积为7的梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =3，BC =4，P 为边AD 上不与A ，D 重合的一动点，Q 是边BC
上的任意一点，连接AQ ，DQ ，过P 作PE ∥DQ ，交AQ 于点E ，作PF ∥AQ ，交DQ 于点F ，则△PEF 面积的最大值是_______．
14．已知在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，将它的一个锐角翻折，使该锐角顶点落在其对边的中点D 处，
折痕交另一直角边于点E ，交斜边于点F ，则tan ∠CDE 的值为_______．
Q
P
A
B
C
E F
D。