数学排列与组合优秀课件

3
C43 34 3
P3 4
P3 3
如何计算:
m n
概念讲解 组合数公式
排列与组合是有区别的，但它们又有联系．
一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排
列数，可以分为以下2步：
第1步，先求出从这n个不同元素中取出m个元素
的组合数C
m n
．
第2步，求每一个组合中m个元素的全排列数A
m n
．
根据分步计数原理，得到： AnmCnmAm m
我 们 规 定 ： Cn01.
例题分析
例1计算：⑴
C
4 7
⑵
C
7 10
解（1）：
Cnm
n! m!(n m)!
C 7 4 4 ! 7 ! 3 ! (4 7 3 6 2 5 1 4 ) ( 3 3 2 2 1 1 ) 7 3 6 2 1 5 35
C 1 7 0 7 1 ! 3 ! ! 0 1 7 6 9 0 5 8 4 7 3 6 2 5 1 4 3 3 2 2 1 1 1 3 2 9 0 1 8 120
概念理解
1.从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所有组
合分别是:
ab , ac , bc (3个)
2.已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个元素的
所有组合.
a
b
c
b cd
cd
ab , ac , ad , bc , bd , cd
d
(6个)
概念讲解
组合数:
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的
共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素”
不同点: 排列与元素的顺序有关， 而组合则与元素的顺序无关.
概念理解
思考一:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么? 思考二:两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?
１）元素相同； ２）元素排列顺序相同.
元素相同
思考三:组合与排列有联系吗?
构造排列分成两步完成，先取后排；而构造 组合就是其中一个步骤.
因此：C n mA A m n m mnn 1 n2 m !nm 1
这里m、nN，*且 mn，这个公式叫做组合
数公式．
概念讲解 从 n 个不同元中取出m个元素的排列数
A C A m m m
n
n
m
组合数公式:
C n mA A n m m mn(n1)(n2 m )! (nm1)
Cnm
n! m!(n m)!
数学排列与组合优秀课件
问题1
从已知的 3 个不同 元素中每 次取出2 个元素 , 按照一定 的顺序排 成一列.
有
顺
序
排列
Leabharlann Baidu问题2
从已知的 3个不同 元素中每 次取出2 个元素 , 并成一组
无
顺
组合
序
概念讲解
组合定义:
一般地，从n个不同元素中取出m （m≤n）个元素并成一组，叫做从n个 不同元素中取出m个元素的一个组合．
解：(1)从10个点中选出2个点为端点的组合数
C12021!8!0!12 01945
(2)从10个点中选出2个点为端点的排列数
A12010990
例4：在100件产品中有98件合格品，2件次品。产品检验时,从 100件产品中任意抽出3件。
(1)一共有多少种不同的抽法? C1300 161700 (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?
bdc cdb dcb
不写出所有组合，怎样才能知道组合的种数？
A 求3可 分 两 步 考 虑 ： 求4P34 可分两步考虑：
C 第 一 步 ，3（ 4 ） 个 ； 4
A 第 二 步 ，3（ 6 ） 个 ； 3
A C A 根 据 分 步 计 数 原 理 ， 3 4
3 3
4 3 .
A 从 而 3 C A C 4
C 1 17 11 7 615 6 14 51 3 4 211 312 12376
（2）第一步从17人中选11名上场，第二步从11人中选择1名守门员
C1171C111136136
例2.(1)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线 段共有多少条？
(2)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向 线段共有多少条？
所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出
m个元素的组合数，用符号
C
m n
表示.
注意：
C
m n
是一个数，应该把它与“组合”区别开来．
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所
有组合个数是:
C
2 3
3
如:已知4个元素a 、b 、 c 、 d ,写出每次取出两个
元素的所有组合个数是：C
2 4
例1：一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一 人参加过比赛。按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场 队员是11人。问： （1）这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？ （2）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那 么教练员有多少种方式做这件事情？
解：由于上场学院没有角色差异，所以可以形成的上场方案有
6
练一练
1.写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合。
c
bd
ac
d abc ， abd ， acd ， bcd .
b
cd
组合
abc abd acd bcd
排列
abc bac cab acb bca cba
abd bad dab adb bda dba
acd cad dac
你发现a了dc cda dca 什么b?cd cbd dbc
C928C21 9506
(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种? （1）有1件次品：C928 C21 （2）有2件次品：C918C22
(4)抽出的3件中至多有一件是次品的抽法有多少种？
（1）有1件次品：C928 C21
（2）有0件次品：C
3 90
排列与组合的 概念有什么共 同点与不同点？
概念讲解
排列定义: 一般地，从n个不同元素中取出m (m≤n) 个 元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素 中取出 m 个元素的一个排列.
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个 元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一 个组合．