新人教版八年级数学下册《菱形》基础测试卷
人教版八年级下册数学菱形同步练习、含答案
菱形班级：________ 姓名：________一、选择题1．下列命题中，真命题是（）A．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形C．对角线互相平分且相等的四边形是菱形D．对角线相等的四边形是菱形2．菱形的周长为12cm，相邻两角之比为5：1，那么菱形对边间的距离是（）A．6cm B．1.5cm C．3cmD．0.75cm3．在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，（如图1）则∠EAF等于（）A．75°B．60°C．45°D．30°图1 图2 4．已知菱形ABCD中，AE⊥BC于E，若S菱形ABCD=24，且AE=6，则菱形的边长为（）A．12 B．8 C．4 D．25．菱形的边长是2 cm，一条对角线的长是23 cm，则另一条对角线的长是（）A．4cm B．3cm C．2cmD．23cm二、判断正误：（对的打“√”错的打“×”）1．两组邻边分别相等的四边形是菱形．…………………………………………………（）2．一角为60°的平行四边形是菱形．…………………………………………………（）3．对角线互相垂直的四边形是菱形．……………………………………………………（）4．菱形的对角线互相垂直平分．…………………………………………………………（）三、填空题1AD，则四1．如图3，菱形ABCD中，AC、BD相交于O，若OD=2个内角为________．图3 图4 2．若一条对角线平分平行四边形的一组对角，且一边长为a时，如图4，其他三边长为________；周长为________．1∠BAC，则菱3．菱形ABCD中，AC、BD相交于O点，若∠OBC=2形的四个内角的度数为____________．4．若菱形的两条对角线的比为3：4，且周长为20cm，则它的一组对边的距离等于__________cm，它的面积等于________cm2．5．菱形ABCD中，如图5，∠BAD=120°，AB=10cm，则AC=________cm，BD=________ cm．图5 图6四、已知：△ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，DE∥AC交BC于E，DF∥BC交AC于F．求证：四边形DECF是菱形．五、已知ABCD中，如图7，BE平分∠ABC交AD于E，若CE平分∠DCB，且AB=2，求：ABCD的其余边长．图7参考答案一、1．B 2．B 3．B 4．C 5．C二、1．×2．×3．×4．√三、1．60°，120°，60°，120°2．分别为a4a2424 5．10 103 3．60°，120°，60°，120°4．5四、证明：∵DE∥AC，DF∥BC∴四边形DECF为平行四边形∠2=∠3又∵∠1=∠2∴∠1=∠3∴DE=EC∴DECF为菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）五、解：过E作EF∥AB交BC于F∵ABCD，∴AD∥BC∴ABFE是平行四边形∴EF=AB，∠1=∠3又∵∠2=∠1，∴∠2=∠3∴BF=FE，同理：EF=FC∴F为BC的中点．又BE、CE为∠ABC、∠DCF的平分线AB∥CD，∴∠EBC+∠ECB=90°1BC=AB∴∠BEC=90°，∴EF=2∴AB=CD=2，AD=BC=2AB=4答题方法：试卷检查五法重视答案,要对结果负责不少同学都说,明明题目都会做,然而考试时却不是这里出错就是那里出错,总是拿不了高分。
八年级数学下册《菱形》练习题(附含答案)
八年级数学下册《菱形》练习题(附含答案)一、单选题1．下列属于菱形具有的性质是（）A．对角线相等B．邻角相等C．对角线互相垂直D．邻边互相垂直2．菱形的周长为8cm，高为1cm，则菱形两邻角度数比为（）A．4：1 B．5：1 C．6：1 D．7：13．已知某菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形的面积为（）A．28cm2cm B．26cm D．24cm C．24．如图，已知四边形ABCD的对角线互相垂直，若适当添加一个条件，就能判定该四边形是菱形．那么这个条件可以是（）A．BA＝BC B．AC＝BDC．AB∥CD D．AC、BD互相平分5．已知：如图，过四边形ABCD的顶点A、C、B、D分别作BD、AC的平行线围成四边形EFGH，如果EFGH成菱形，那么四边形ABCD必定是（）A．菱形B．平行四边形C．矩形D．对角线相等的四边形6．如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，H为AD边的中点，BC＝8cm，则OH的长为（）A ．8cmB ．6cmC ．4cmD ．2cm7．如图，在菱形ABCD 中，AC 、BD 相交于O ，∠ABC=70°，Ev 是线段AO 上一点，则BEC ∠的度数可能是（ ）A ．100︒B ．70︒C ．50︒D ．20︒8．如图，在菱形ABCD 中，70ABC ∠=︒，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 为BC 中点，则COE ∠的度数为（ ）A ．70°B ．65°C ．55°D ．35°9．如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，120ADC ∠=︒，过点O 的直线与AD ，BC 分别交于点E ，F ，若四边形BEDF 是矩形，则∠DOE 的度数是（ ）A ．60°B ．45°C ．30°D ．15°10．如图，四边形ABCD 是菱形，O 是两条对角线的交点，过O 点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为（ ）．A ．48B ．24C ．12D ．6二、填空题11．菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AC=10，BD=24，则菱形ABCD 的周长为_____．12．菱形一条对角线长为12cm ，周长为40cm ，则菱形的面积为_________平方厘米13．如图，在菱形ABCD 中，O 是对角线BD 上一点，O 经过点A ，B ，C ，若O 的半径为2，OD=4，则BC 的长为______．14．如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O ，DE AB ⊥于点E ，连接OE ，若2BAD α∠=，则DEO ∠为______(用含α的代数式表示)．15．如图，点,,,E F G H 分别是,,,BD BC AC AD 的中点，下列结论：①EH EF =；②当AB=CD ，EG 平分HGF ∠；③当AB CD ⊥时，四边形EFGH 是矩形；其中正确的结论序号是_____________．三、解答题16．如图，在ABC 中，B D ∠=∠．请用尺规作图法，在ABC 外求作一点C ，使得四边形ABCD 是菱形．（保留作图痕迹，不写作法）17．如图，四边形ABCD 的对角线互相平分，请你添加一个条件使之变为菱形，并说明理由．18．图①、图②都是由边长为1的小菱形构成6×6的网格，每个小菱形的顶点称为格点．请仅用无刻度直尺在网格中完成下列画图（1）在图①中，画出一个矩形ABCD，使C、D两点在格点上；（2）在图②中，若∠P＝60°，画一个矩形EFGH，使矩形的各顶点不在格点上，且两边长分别为3和2．DE=2．19．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE//BD，DE//AC，AD=(1)求证：四边形OCED是菱形；(2)求四边形OCED的面积．20．如图，将一张长方形纸片ABCD沿CE折叠，使点B与AD边上的点B′重合．过点B′作B′F//EB交CE于点F，连接EB′与BF．(1)求证：BE＝BF；(2)若DC＝3，AB′＝1，求四边形EBFB′的周长．参考答案1．C2．B3．A4．D5．D6．C7．B8．C9．A10．C11．5212．9613．314．α15．②③16．解：如图所示∵分别以B，D为圆心，AB为半径画弧，两弧相交于点C=∴BC BA=DC DA∵B D∠=∠∴AB AD=∴CB CD AD AB===∴四边形ABCD是菱形，即点C是所求作的点．17．解：添加AB=BC∵四边形ABCD是对角线互相平分的四边形∴四边形ABCD是平行四边形∵AB=BC∴四边形ABCD是菱形．18．解：（1）如图①，矩形ABCD即为所求；（2）如图②，矩形EFGH即为所求．19．(1)证明：∵CE BD∥∥DE AC∴四边形OCED是平行四边形．∵矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O ∴OD=OC∴平行四边形OCED是菱形．(2)连接OE，如图∵DE=2∴AC=2OC=2DE=4∵AD=23∴DC2222--=4(23)2AC AD∵DE AC∥，AO=OC=DE∴四边形AOED是平行四边形．∴OE=AD=23∴菱形OCED 的面积为232DC OE ⨯= 20． (1)证明：由翻折可知：∠B ′EF ＝∠BEF ，BE ＝B ′E ∵B ′F //EB∴∠B ′FE ＝∠BEF∴∠B ′FE ＝∠B ′EF∴B ′F ＝B ′E∴BE ＝B ′F∴四边形BE B ′F 是平行四边形∵B ′F ＝B ′E∴四边形BE B ′F 是菱形∴BE ＝BF ；(2)解：∵四边形ABCD 是矩形∴∠A ＝90°∵AB ＝DC ＝3，AB ′＝1∴AE ＝AB ﹣BE ＝3﹣B ′E在Rt △AEB ′中，根据勾股定理得：AE 2+AB ′2＝B ′E 2∴（3﹣B ′E ）2+12＝B ′E 2解得B ′E ＝53∵四边形EBFB ′是菱形∴四边形EBFB ′的周长＝4B ′E ＝4×53＝203．。
2019-2020学年八年级数学下册《19.2.2菱形》测试题(2) 新人教版.doc
2019-2020学年八年级数学下册《19.2.2菱形》测试题（2） 新人教版● 基础训练● 判断正误：(对的打“√”错的打⏹ ⑴.两组邻边分别相等的四边形是菱形.( )⏹ ⑵.一角为60°的平行四边形是菱形.( )⏹ ⑶.对角线互相垂直的四边形是菱形.( )⏹ ⑷.菱形的对角线互相垂直平分.( )● 下列给出的条件中，能判定一个四边形是菱形的是( )● 有一组对边平行且相等，有一个内角是直角● 两组对边分别相等，且有一组邻角相等● 有一组对边平行，另一组对边相等，且对角线互相垂直。
● 有一组对边平行且相等，且有一条对角线平分一个内角。
● 菱形具有而矩形不具有的性质是 ( )⏹ A ．对角线互相平分； B ．四条边都相等；⏹ C ．对角相等； D ．邻角互补● 能够判定一个四边形是菱形的条件是( )。
⏹ 对角线相等且互相平分⏹ 对角线互相垂直且互相平分⏹ 对角线相等且互相垂直⏹ 对角线互相垂直● 图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形(如图2)，依此规律继续拼下去(如图3)，……，则第n 个图形的周长是●⏹ A .2n B .4n C .12n + D .22n +● 如图，在菱形ABCD 中，AB ＝BD ，点E ，F 分别在AB ，AD 上，且AE ＝DF ．连接BF 与DE 相交于点G ，连接CG 与BD 相交于点H ．下列结论：● ①△AED ≌△DFB ； ②S 四边形 BCDG ＝34CG 2； ● ③若AF ＝2DF ，则BG ＝6GF ．其中正确的结论⏹ 只有①②． B ．只有①③．C ．只有②③． D ．①②③．A◆ 6题图 7题图● 如图，两条笔直的公路1l 、2l 相交于点O ，村庄C 的村民在公路的旁边建三个加工厂 A ．B 、D ，已知AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝5公里，村庄C 到公路l 1的距离为4公里，则村庄C 到公路l 2的距离是( )◆ A ．3公里 B ．4公里 C ．5公里 D ．6公里● 菱形的两个邻角之比为2：3，周长为4a ，则较短的对角线的长为___________.● 在四边形ABCD 中，给出四个条件：⑴AB ＝CD ，⑵AD ∥BC ，⑶AC ⊥BD ，⑷AC 平分∠BAD ，由其中三个条件可以推出四边形ABCD 为菱形你认为这三个条件是___________.● 已知菱形ABCD 的边长为6，∠A ＝60°，如果点P 是菱形内一点，且PB ＝PD ＝2 3，那么AP 的长为_______.● 已知如图菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝4，则以AC 为边长的正方形ACEF 的周长为_____● 如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC ＝8，BD ＝6，过点O作OH⊥AB ，垂足为H ，则点O 到边AB 的距离OH ＝ ．● 如图，菱形AB 1C 1D 1的边长为1，∠B 1＝60°；作AD 2⊥B 1C 1于点D 2，以AD 2为一边，作第二个菱形AB 2C 2D 2，使∠B 2＝60°；作AD 3⊥B 2C 2于点D 3，以AD 3为一边，作第三个菱形AB 3C 3D 3，使∠B 3＝60°；……依此类推，这样作的第n 个菱形AB n C n D n 的边AD n 的长是______．● 已知：如图所示，在□ABCD 中，∠BAD 的平分线与BC 边相交于点E ，∠ABC 的平分线与AD 边相交于点F ．⏹ 求证：四边形ABEF 是菱形．● 如图所示，□ABCD 的对角线AC 的垂直平分线EF 与AD ，BC ，AC 分别交于点E ，F ，O ，连接AF ，EC ，则四边形AFC E 是菱形吗？为什么？●●如图所示，在△ABC中，AB＝AC，P为BC的中点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，EM⊥AC于M，FN⊥AB于N，EM与FN相交于点Q，那么四边形PEQF是菱形还是矩形？说明你的理由．●如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．⏹⑴求证：四边形AECD是菱形；⏹⑵若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．⏹ 拓展提升● 已知，矩形ABCD 中，AB ＝4cm ，BC ＝8cm ，AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ，垂足为O .⏹ ⑴如图，连接AF 、CE .求证四边形AFCE 为菱形，并求AF 的长；⏹ ⑵如图，动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，沿AFB ∆和CDE ∆各边匀速运动一周.即点P 自A →F →B →A 停止，点Q 自C →D →E →C 停止.在运动过程中，⏹ ①已知点P 的速度为每秒5cm ，点Q 的速度为每秒4cm ，运动时间为t 秒，当A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值.⏹ ②若点P 、Q 的运动路程分别为a 、b (单位:cm ，ab ≠0)，已知A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形，求a 与b 满足的数量关系式.A B C D EF O。
2020—2021年新人教版初中数学八年级下册菱形的性质练习题及答案精品试卷.docx
《菱形的性质》练习一、选择——基础知识运用1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为CD 的中点，则下列式子中不一定成立的是（）A．BC=2OE B．CD=2OE C．CE=OE D．OC=OE2．菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为4和2，若直线l满足：①点A到直线l的距离为√3；②B、D两点到直线l的距离相等．则符合题意的直线l的条数为（）A．1 B．2 C．3 D．43．如图，菱形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，F、F为垂足，AE=ED，则∠EBF等于（）A．75°B．60°C．50°D．45°4．如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6，过A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长是（）A．24 B．36 C．48 D．4.85．在菱形ABCD中，M，N分别是边BC，CD上的点，且AM=AN=MN=AB，则∠C的度数为（）A．120°B．100° C．80°D．60°6．菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是（6，0），点A的纵坐标是1，则点B的坐标是（）A．（3，1）B．（3，-1）C．（1，-3）D．（1，3）二、解答——知识提高运用7．菱形ABCD的周长为20，面积为24，则较长的对角线的长度为。
8．如图，菱形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，△AEF的三边长和菱形边长相等，求∠BAD的大小。
9．如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，DE=CE，AE⊥CD，沿对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积。
10．如图所示，菱形ABCD的周长为32cm，菱形的相邻两内角之比为1：2，求菱形的面积。
11．菱形ABCD的边长为24厘米，∠A=60°，质点P从点A出发沿着AB-BD-DA作匀速运动，质点Q从点D同时出发沿着线路DC-CB-BD作匀速运动。
2019-2020学年八年级数学下册《19.2.2菱形》测试题(1) 新人教版.doc
2019-2020学年八年级数学下册《19.2.2菱形》测试题（1） 新人教版拓展提升● 对角线互相垂直平分的四边形是( )．⏹ A .平行四边形 B .矩形⏹ C .菱形 D .任意四边形● 顺次连结对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是( )．⏹ A .矩形 B .平行四边形⏹ C .菱形 D .任意四边形● 下列命题中，正确的是( )．● 两邻边相等的四边形是菱形● 一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形● 对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形● 对角线垂直的四边形是菱形● 菱形具有而矩形不一定具有的特征是( )．⏹ A ．对角相等且互补 B ．对角线互相平分⏹ C ．一组对边平行，另一组对边相等;⏹ 对角线互相垂直● 如图所示的是我们熟悉的衣帽架，它是由三个菱形组成的，菱形的边长为20cm ，⑴当处于图⑴所示的形状时，衣帽架总长为72cm ，这时衣帽架的宽度是( )；⑵我们把衣帽架拉开，如图⑵所示，使总长度变为96cm ，则它的宽度变成了( )⏹⏹ A . ⑴16cm ⑵18cm B . ⑴32cm ⑵24cm⏹ C . ⑴18cm ⑵16 D . ⑴16cm ⑵24cm ● 在菱形ABCD 中，∠DAB ＝120°，如果它的一条对角线长为12cm ，求菱形ABCD 的边长( )．⏹ A . 4 3 cm B . 18 cm⏹ C . 12cm D . 12cm 或43cm● 菱形ABCD 中，∠A ∶∠B ＝1∶5，若周长为8，则此菱形的高等于( )．◆ A . 12 B .4 C .1 D .2● 如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，如果EF ＝2，那么菱形ABCD 的周长是( )．⏹ A .4 B .8 C .12 D .16B⏹ 8题图 9题图● 如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ，且E 、F 分别为BC 、CD 的中点，则∠EAF 等于( )⏹ A .75° B .60° C .45° D .30°● 菱形ABCD 中，AC 、BD 相交于O 点，若∠OBC ＝21∠BAC ，则菱形的四个内角的度数为____________.● 若菱形的两条对角线的比为3∶4，且周长为20 cm ，则它的一组对边的距离等于__________ cm ，它的面积等于________ cm 2.● 若菱形的两条对角线长分别是6cm ，8cm ，则它的周长为______cm ，面积为______cm 2． ● 菱形ABCD 中，AC 、BD 相交于O ，若OD ＝21AD ，则四个内角为________. ● 如图，在菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，且DE ⊥AB ，AB ＝4． ⏹ 求：⑴∠ABC的度数；⑵菱形ABCD 的面积．● 如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝120°，E 是AB 边的中点，P 是AC 边上一动点，PB ＋PE 的最小值是3，求AB 的值．◆ 拓展提升● 如图，菱形ABCD 的边长为2，BD ＝2，E 、F 分别是边AD ，CD 上的两个动点，且满足AE＋CF ＝2．A◆⑴求证：△BDE≌△BCF；◆⑵判断△BEF的形状，并说明理由；◆⑶设△BEF的面积为S，求S的取值范围．。
2021年人教版数学八年级下册18.2.2《 菱形》同步练习(含答案)
人教版数学八年级下册18.2.2《菱形》同步练习一、选择题1.用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是( )A. B. C. D.2.下列说法：①三角形的三条高一定都在三角形内②有一个角是直角的四边形是矩形③有一组邻边相等的平行四边形是菱形④两边及一角对应相等的两个三角形全等⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形其中正确的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个3.若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形,则四边形ABCD一定是（）A.菱形B.对角线互相垂直的四边形C.矩形D.对角线相等的四边形4.能判定一个四边形是菱形的条件是（）A.对角线互相平分且相等B.对角线互相垂直且相等C.对角线互相垂直且对角相等D.对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角5.如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（）①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．A.①③B.②③C.③④D.①②③6.如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO.若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为( )A.28°B.52°C.62°D.72°7.如图,在菱形ABCD中,AB=5,∠B:∠BCD=1:2,则对角线AC的长等于( )A.5B.10C.15D.208.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,下列说法错误的是( )A.AB∥DCB.AC=BDC.AC⊥BDD.OA=OC9.如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD=60°，则花坛对角线AC的长等于（）A.6米B.6米C.3米D.3米10.如图，周长为16的菱形ABCD中，点E，F分别在AB，AD边上，AE=1，AF=3，P为BD上一动点，则线段EP+FP的长最短为（）A.3B.4C.5D.6二、填空题11.在菱形ABCD 中，AC=3，BD=6，则菱形ABCD的面积为．12.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（只填一个你认为正确的即可）.13.如图,两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动.要使四边形CBFE为菱形,还需添加的一个条件是________(写出一个即可).14.如图,已知矩形ABCD的对角线长为8 cm,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,则四边形EFGH的周长等于________cm.15.在图中所示的方格纸中有一个菱形ABCD(A、B、C、D四点均为格点),若方格纸中每个小正方形的边长均为1,则该菱形的面积为________.三、解答题16.如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD=75°，(1)请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；(不要求写作法，保留作图痕迹)(2)在(1)条件下，连接BF，求∠DBF的度数．17.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长．18.在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED=∠ABC，∠ABF=∠BPF．求证：(1)△ABF≌△DAE；(2)DE=BF+EF．19.如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点D作DE∥AC且AC=2DE,连接AE交OD于点F,连接CE、OE．（1）求证：OE=CD；（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，求AE的长．20.准备一张矩形纸片，按如图操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）若四边形BFDE是菱形，AB=2，求菱形BFDE的面积．参考答案1.C.2.A3.D4.C5.A6.C7.A8.B9.A.10.B11.答案为：9．12.答案为：AC⊥BD或AB=BC或BC=CD或AB=AD;13.答案为：C；B=BF或BE⊥CF或∠EBF=60°或BD=BF(答案不唯一)14.答案为：16.15.答案为：12；16.解：(1)如图所示，直线EF即为所求；(2)∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=75°，DC∥AB，∠A=∠C．∴∠ABC=150°，∠ABC+∠C=180°，∴∠C=∠A=30°，∵EF垂直平分线段AB，∴AF=FB，∴∠A=∠FBA=30°，∴∠DBF=∠ABD﹣∠FBE=45°．17.解：（1）在菱形ABCD中，AB=AD，∠A=60°，∴△ABD为等边三角形，∴∠ABD=60°；（2）由（1）可知BD=AB=4，又∵O为BD的中点，∴OB=2，又∵OE⊥AB，及∠ABD=60°，∴BE=1．18.证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，AD∥BC，∴∠BOA=∠DAE，∵∠ABC=∠AED，∴∠BAF=∠ADE，∵∠ABF=∠BPF，∠BPA=∠DAE，∴∠ABF=∠DAE，∵AB=DA，∴△ABF≌△DAE(ASA)；(2)∵△ABF≌△DAE，∴AE=BF，DE=AF，∵AF=AE+EF=BF+EF，∴DE=BF+EF．19.（1）证明：四边形ABCD是菱形，∴OA=OC=0.5AC，AD=CD，∵DE∥AC且DE=0.5AC，∴DE=OA=OC，∴四边形OADE、四边形OCED都是平行四边形，∴OE=AD，∴OE=CD；（2）解：∵AC⊥BD，∴四边形OCED是矩形，∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴AC=AB=2，∴在矩形OCED中，CE=OD=．∴在Rt△ACE中，AE==．20.（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠C=90°，AB=CD，AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，∴∠EBD=∠FDB，∴EB∥DF，∵ED∥BF，∴四边形BFDE为平行四边形．（2）∵四边形BFDE为菱形，∴BE=ED，∠EBD=∠FBD=∠ABE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠ABC=90°，∵∠A=90°，AB=2，∴AE==，BF=BE=2AE=，∴菱形BFDE的面积为：×2=。
人教版八年级数学下册18.2.2《菱形(1)》习题含答案
《菱形（1）》练习题含答案一、选择题1.菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是( )A.对角线平分一组对角B.对角线互相平分C.对边相等D.对角相等2.菱形具有而一般矩形不具有的性质是（ ）A.对边相等B.对角线相等C.对角线互相平分D.对角线互相垂直3.菱形ABCD 的面积为120，对角线BD ＝24，则这个菱形的周长是（ ）A. 64B. 60C. 52D. 504.如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ， 过点C 作CE ⊥AD 于点E ， 连接OE ， 若OB ＝8，S 菱形ABCD ＝96，则OE 的长为（ ）A. 2B. 2C. 6D. 8二、填空题5.在菱形ABCD 中，∠A =60°，其所对的对角线长为4， 则菱形ABCD 的面积是________．6. 如图， 点P 是菱形ABCD 的对角线AC 上的一个动点，已知AB =1，∠ADC =120°, 点M ，N 分别是AB ，BC 边上的中点，则△MPN 的周长最小值是________.7. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重叠都分构成的四边形ABCD 中，AB =3，BD =4．则AC 的长为________．三、解答题8.如图，矩形ABCD 中，点E 、F 分别在边CD 、AB 上，且DE ＝BF ．（1）求证：四边形AFCE 是平行四边形;（2）若四边形AFCE 是菱形，AB ＝8，AD ＝4，求菱形AFCE 的周长．9.如图，菱形的边长为2，点 ， 分别是边 ， 上的两个动点，且满足，判定△BEF 的形状，并说明理由.第8题图 第9题图 第4题图 第6题图 第7题图菱形练习题答案一．选择题1. A2. D3. C4. C 二．填空题5. ________．6.________.7. ________．三、解答题8.（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，AB =CD ，∠B =90°，∵DE =BF ，∴AF =CE ，∴四边形AFCE 是平行四边形．（2）∵四边形AFCE 是菱形，∴AF =FC =CE=AE ，BC =AD =4，设AF =CF =x ，则BF =8-x ，在Rt △BCF 中，由勾股定理得：2224)-8x x =+（ 解得：x =5，∴AF =FC =CE =AE =5.∴菱形AFCE 的周长=4×5=20．9.解：△BEF 是等边三角形．理由如下： ∵菱形ABCD 的边长为2，对角线BD =2， ∴AB =AD =BD =2，BC =CD =BD =2，∴△ABD 与△BCD 都是等边三角形，∴∠BDE =∠C =60°，∵AE +CF =2，∴CF =2-AE ，又∵DE =AD -AE =2-AE ，∴DE =CF ，在△BDE 和△BCF 中，DE ＝CF ∠BDE ＝∠C ＝60°BD ＝BC ，∴△BDE ≌△BCF （SAS ）；∴BE =BF ，∠DBE =∠CBF ，∴∠EBF =∠DBE +∠DBF =∠CBF +∠DBF =∠DBC =60°， 38223+52第8题图 第9题图∴△BEF是等边三角形.。
人教版八年级数学下册《菱形的判定》练习
初中数学试卷《菱形的判定》练习一、选择——基础知识运用1．如图，丝带重叠的部分一定是（）A．正方形B．矩形C．菱形 D．都有可能2．如图，要使平行四边形ABCD成为菱形，需添加的一个条件是（）A．AB=BC B．AC=BDC．∠ABC=90°D．AC与BD互相平分3．如图，在□ABCD中，AM，CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AMCN为菱形的是（）A．AM=AN B．MN⊥ACC．MN是∠AMC的平分线D．∠BAD=120°4．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形窗框是否为菱形，下面是某合作小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）A．测量对角线是否相互垂直B．测量两组对边是否分别相等C．测量四个角是否相等D．测四条边是否相等5．用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（）A．一组邻边相等的四边形是菱形B．四边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形6．如图，AD是△ABC的角平分线，将△ABC折叠使点A落在点D处，折痕为EF，则四边形AEDF一定是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形D．梯形二、解答——知识提高运用7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ADB=∠CBD，AD=BC．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AC=10，BD=24，AB=13，四边形ABCD是菱形吗？证明你的判断。
8．如果一个四边形是轴对称图形，而且有两条互相垂直的对称轴，那么这个四边形一定是菱形吗？为什么？9．在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AC与BD相交于O点，OC=OA。
（1）如图（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图（2）若E是AB延长线上的一点，BE=AD，连接CE，则在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图（2）中面积等于△BCE面积的所有三角形（△BCE除外）。
人教版八年级下册数学-18.2.2菱形-测试题(含答案)
菱形 测试题一、填空题1．菱形的邻角比为1：5，它的高为，则它的周长为_______． 2．两条对角线_________的四边形是菱形． 3．已知菱形的两对角线的比为2：3，两对角线和为20，•则这对角线长分别为_____，_______．4．菱形ABCD 的AC 交BD 于O ，AB=13，BO=12，AO=5，求菱形的周长=_____， 面积=•____．5．O 为菱形ABCD 的对角线交点，E 、F 、G 、H 分别是菱形各边的中点，若OE=3cm ，•则OF=_____，OG=_______，OH=______． 二、选择题6．从菱形的钝角的顶点向对边引垂线，并且这条垂线平分对边，•则该菱形的钝角为（ ）．A ．110°B ．120°C ．135°D ．150°7．菱形的两邻角之比为1：2，如果它的较短对角线为3cm ，则它的周长为（ ）． A ．8cm B ．9cm C ．12cm D ．15cm 8．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）． A ．对边相等 B ．对角相等 C ．对角线互相相等 D ．对有线相等9．能够找到一点使该点到各边距离相等的图形为（ ）．A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．不存在 10．下列说法不正确的是（ ）．A ．菱形的对角线互相垂直B ．菱形的对角线平分各内角C ．菱形的对角线相等D ．菱形的对角线交点到各边等距离 三、解答题11．如图所示，已知E 为菱形ABCD 的边AD 的中点，EF ⊥AC 于F 交AB 于M ．试说明M 为AB 的中点．21M FE DCBA12．如图所示，已知菱形ABCD 中E 在BC 上，且AB=AE ，∠BAE=12∠EAD ，AE 交BD 于M ，试说明BE=AM ．3421ME DCBA13．如图所示，已知在菱形ABCD 中，AE ⊥CD 于E ，∠ABC=60°，求∠CAE 的度数．14．如图所示，菱形的周长为20cm ，两邻角的比为1：2． 求：（1）较短对角线长是多少（2）一组对边的距离是多少15．如图所示，已知菱形ABCD 中，E 、F 分别在BC 和CD 上，且∠B=∠EAF=•60°，∠BAE=15°，求∠CEF 的度数．16．已知在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，且BE=EC ，若AC=6，求菱形ABCD 的各边长．17．菱形一边与两条对角线所构成的两个角的差为10°，求菱形的各内角．18．如图所示，已知菱形ABCD 中，E 、F 是BC 、CD 上的点，且AE=EF=AF=AB ，• 求∠C 的度数．19．如图所示，O为矩形ABCD的对角线交点，DE∥AC，CE⊥BD，OE与CD•互相垂直平分吗？请说明理由．20．如图所示，已知在菱形ABCD中，E在BC上，若∠B=∠EAD=70°，ED•平分∠AEC 吗？请说明理由．21．试说明：菱形的对角线的交点到各边的中点距离相等．参考答案一、1．12cm 2．互相垂直平分 3．8 12 4．52 120 5．3cm 3cm 3cm二、6．B 7．C 8．C 9．B 10．C三、11．由于△AME是以AC为轴的轴对称图形（其中∠1=∠2，ME⊥AC）所以AM=AE=12AD，故AM=12AB，所以M是AB的中点．12．设∠BAE=x°，则∠EAD=2x°，•所以∠AEB=∠ABC=2x°，那么5x°=180°，x=36°，由于∠1=∠2，故∠2=36°，∠BEM=•72•°，•那么∠BME=72°，所以∠BEM=∠BME即BE=BM，又∠1=∠5=36°，所以BM=AM，那么BE=AM •13．30° 14．（1）20cm （2）15．连AC，可得△ABC为等边三角形，则∠ACF=120°-60°=60°，由已知得∠2=∠1=15°，把△ABE绕着A按逆时针方向旋转60•°可与△ACF 重合，这样AF=AE，由于∠EAF=60°，故△AEF为等边三角形，那么∠AEF=60°，由于∠AEB=180°-60°-15°=105°，故∠CEF=180°-60°-105°=15°16．略 17．6 •6 6 6 18．80° 100° 80° 100° 19．100°四边形ODEC是菱形 •20．由∠B=∠EAD=70°，AD∥BC，即∠AEB=70°，那么∠1=40°，由AB=AE，AB=AD，得AE=•AD，即∠2=55°，而∠AEC=180°-70°=110°，故∠DEC=110°-55°=55°，所以ED平分∠AEC21．通过斜边中线等于斜边的一半和菱形各边都相等的道理而推得.。
八年级数学下册菱形测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列各组图形中，不是菱形的是（）A. 对角线互相垂直的四边形B. 对角线相等的平行四边形C. 对角线互相平分的四边形D. 四条边都相等的四边形2. 菱形的对角线长分别为8cm和6cm，则菱形的周长是（）A. 20cmB. 24cmC. 26cmD. 28cm3. 一个菱形的边长为10cm，对角线长分别为12cm和10cm，则该菱形的面积是（）A. 100cm²B. 120cm²C. 150cm²D. 180cm²4. 一个菱形的对角线长分别为10cm和20cm，那么它的边长是（）A. 10cmB. 15cmC. 20cmD. 25cm5. 在菱形ABCD中，E、F分别为AB、AD的中点，那么菱形ABCD的面积是三角形ABE面积的（）A. 2倍C. 8倍D. 16倍6. 一个菱形的对角线互相垂直平分，若对角线长分别为8cm和6cm，则菱形的周长是（）A. 20cmB. 24cmC. 26cmD. 28cm7. 菱形的一组邻边长分别为a和b，若a=3cm，b=4cm，则菱形的对角线长为（）A. 5cmB. 6cmC. 7cmD. 8cm8. 在菱形ABCD中，AC⊥BD于点O，若AB=8cm，则菱形ABCD的面积是（）A. 32cm²B. 64cm²C. 80cm²D. 128cm²9. 一个菱形的对角线互相垂直平分，若对角线长分别为12cm和16cm，则菱形的边长是（）A. 8cmB. 10cmC. 12cm10. 在菱形ABCD中，E、F分别为AB、AD的中点，那么菱形ABCD的周长是三角形ABE周长的（）A. 2倍B. 4倍C. 8倍D. 16倍二、填空题（每题3分，共30分）11. 菱形的对角线互相垂直平分，则菱形是______。
12. 菱形的面积公式是______。
13. 一个菱形的边长为10cm，对角线长分别为12cm和10cm，则该菱形的周长是______。
人教版八年级数学下《菱形》基础练习
《菱形》基础练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）在菱形ABCD中，AC、BD为对角线，若AC＝4，BD＝8，则菱形ABCD 的面积是（）A．12B．16C．24D．322．（5分）已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为10cm、24cm，则这个菱形的周长为（）A．13cm B．26cm C．48cm D．52cm3．（5分）如图，剪两张对边平行的纸片随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（）A．∠DAB+∠ABC＝180°B．AB＝BCC．AB＝CD，AD＝BC D．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD 4．（5分）下列说法中，错误的是（）A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．菱形的对角线互相垂直D．平行四边形的对角线互相平分5．（5分）在菱形ABCD中，∠B＝120°，对角线AC＝6cm，则AB长为（）A．2B．cm C．3cm D．2cm二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）已知菱形的面积为24cm2，一条对角线长为6cm，则这个菱形的边长是厘米．7．（5分）如图，在菱形ABCD中，AC＝8，AD＝6，则菱形的面积等于．8．（5分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加一个条件判定▱ABCD是菱形，所添条件为（写出一个即可）9．（5分）如图，四边形ABCD为平行四边形，请你添加一个合适的条件使其成为菱形．（只需添加一个即可）10．（5分）如图所示，在菱形ABCD中，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝20°，则∠AEF的大小是．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足为点E，且E为边AB的中点．（1）求∠A的度数；（2）如果AB＝4，求对角线AC的长．12．（10分）已知，如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF 于点O，交BC于点E，连接EF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AE＝6，BF＝8，CE＝3，求四边形ABCD的面积．13．（10分）如图，在ABCD中，AD＞AB，AE平分∠BAD，交BC于点E，过点E作EF∥AB交AD于点F．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若菱形ABEF的周长为16，∠EBA＝120°，求AE的大小．14．（10分）如图所示，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，连接OE，交BC于F（1）求证：OE＝CB；（2）如果OC：OB＝1：2，OE＝2，求菱形ABCD的面积．15．（10分）如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，DB＝2，AC ＝4，求菱形的周长．《菱形》基础练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）在菱形ABCD中，AC、BD为对角线，若AC＝4，BD＝8，则菱形ABCD 的面积是（）A．12B．16C．24D．32【分析】根据菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度），可求菱形ABCD 的面积．【解答】解：∵菱形ABCD的面积＝AC×BD∴菱形ABCD的面积＝×4×8＝16故选：B．【点评】本题考查了菱形的性质，熟练运用菱形的性质是本题的关键．2．（5分）已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为10cm、24cm，则这个菱形的周长为（）A．13cm B．26cm C．48cm D．52cm【分析】由题意可得菱形对角线互相垂直平分，根据勾股定理可求菱形边长，即可求菱形的周长．【解答】解：设对角线AC，BD相交于O∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD，AO＝CO＝5，BO＝DO＝12∴AB＝＝13∴菱形ABCD的周长＝13×4＝52故选：D．【点评】本题考查了菱形的性质，熟练运用菱形的性质是本题的关键．3．（5分）如图，剪两张对边平行的纸片随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（）A．∠DAB+∠ABC＝180°B．AB＝BCC．AB＝CD，AD＝BC D．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD 【分析】根据题意可得四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质可判断．【解答】解：根据题意可得AB∥CD，AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形∴AD＝BC，AB＝CD，∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD，∠DAB+∠ABC＝180°故选：B．【点评】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质和判定，熟练运用平行四边形的判定和性质解决问题是本题的关键．4．（5分）下列说法中，错误的是（）A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．菱形的对角线互相垂直D．平行四边形的对角线互相平分【分析】根据平行四边形、菱形的判定和性质一一判断即可；【解答】解：A、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，本选项符合题意；B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，本选项不符合题意；C、菱形的对角线互相垂直，正确，本选项不符合题意；D、平行四边形的对角线互相平分，正确，本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5．（5分）在菱形ABCD中，∠B＝120°，对角线AC＝6cm，则AB长为（）A．2B．cm C．3cm D．2cm【分析】根据菱形的性质，可求∠ABD＝60°，AC⊥BD，则可求AB的长．【解答】解：如图：连接BD，交AC于O∵ABCD为菱形∴AC⊥BD，AO＝CO＝AC＝3cm，∠ABD＝∠ABC＝60°∴∠BAO＝30°∴AB＝2BO，AO＝BO∴BO＝cm，AB＝2cm故选：D．【点评】本题考查了菱形的性质，熟练利用菱形的性质解决问题是本题的关键．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）已知菱形的面积为24cm2，一条对角线长为6cm，则这个菱形的边长是5厘米．【分析】根据菱形的面积公式可得菱形的另一对角线长，再根据菱形的对角线互相垂直平分利用勾股定理可求出边长．【解答】解：设菱形的另一对角线长为xcm，由题意：×6×x＝24，解得：x＝8，菱形的边长为：＝5（cm），故答案为5．【点评】此题主要考查了菱形的性质，以及勾股定理的应用，关键是掌握菱形的对角线互相垂直、平分．7．（5分）如图，在菱形ABCD中，AC＝8，AD＝6，则菱形的面积等于16．【分析】根据菱形的面积＝对角线积的一半，可求菱形的面积．【解答】解：如图：设AC与BD的交点为O∵四边形ABCD是菱形∴AO＝CO＝4，BO＝DO，AC⊥BD∴DO＝＝2∴BD＝4＝×AC×BD∵S菱形ABCD＝×4×8＝16∴S菱形ABCD故答案为：16【点评】本题考查了菱形的性质，熟练运用菱形的性质解决问题是本题的关键．8．（5分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加一个条件判定▱ABCD是菱形，所添条件为AB＝AD（写出一个即可）【分析】根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得解．【解答】解：根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，则可添加条件为：AB＝AD（AD＝CD，BC＝CD，AB＝BC）也可添加∠1＝∠2，根据平行四边形的性质，可求AD＝CD．根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则可添加条件为：AC⊥BD．故答案为：AB＝AD（答案不唯一）【点评】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定是本题的关键．9．（5分）如图，四边形ABCD为平行四边形，请你添加一个合适的条件AB ＝BC（AC⊥BD）使其成为菱形．（只需添加一个即可）【分析】根据菱形的判定可得．【解答】解：∵AB＝BC（一组邻边即可），且四边形ABCD为平行四边形∴四边形ABCD是菱形∵AC⊥BD，且四边形ABCD为平行四边形∴四边形ABCD是菱形．故答案为AB＝BC（AC⊥BD）【点评】本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定是本题的关键．10．（5分）如图所示，在菱形ABCD中，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝20°，则∠AEF的大小是60°．【分析】由菱形的性质可证△ABC，△ACD都是等边三角形，可得∠B＝∠ACF ＝∠BAC＝60°，则可证△ABE≌△ACF，可得AE＝AF，即可证△AEF是等边三角形，即可求∠AEF的大小．【解答】解：连接AC∵四边形ABCD是菱形∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D＝60°∴△ABC，△ACD都是等边三角形∴AC＝AB，∠B＝∠ACD＝60°＝∠BAC∵∠BAC＝60°＝∠EAF∴∠BAE＝∠CAF又∵AC＝AB，∠B＝∠ACD＝60°∴△ABE≌△ACF′∴AE＝AF且∠EAF＝60°∴△AEF是等边三角形∴∠AEF＝60°故答案为60°【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定，等边三角形的性质，证明△ABE≌△ACF是本题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足为点E，且E为边AB的中点．（1）求∠A的度数；（2）如果AB＝4，求对角线AC的长．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得DB＝AD，即可证△ADB是等边三角形，可得∠A＝60°（2）由题意可得∠DAC＝30°，AC⊥BD，可得DO＝2，AO＝2，即可求AC 的长．【解答】解：连接AC，BD（1）∵四边形ABCD是菱形∴AD＝AB∵E是AB中点，DE⊥AB∴AD＝DB∴AD＝DB＝AB∴△ADB是等边三角形∴∠A＝60°（2）∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD，∠DAC＝∠DAB＝30°，AO＝CO，DO＝BO∵AD＝BA＝4∴DO＝2，AO＝DO＝2∴AC＝4【点评】本题考查了菱形的性质，熟练运用菱形性质解决问题是本题的关键．12．（10分）已知，如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF 于点O，交BC于点E，连接EF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AE＝6，BF＝8，CE＝3，求四边形ABCD的面积．【分析】（1）先证明四边形ABEF是平行四边形，再证明邻边相等即可证明．（2）作FG⊥BC于G，根据S＝•AE•BF＝BE•FG，先求出FG即可解菱形ABEF决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠DAE＝∠BEA，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE，同理可得AB＝AF，∴AF＝BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB＝AF．∴四边形ABEF是菱形．（2）解：作FG⊥BC于G，∵四边形ABEF是菱形，AE＝6，BF＝8，∴AE⊥BF，OE＝AE＝3，OB＝BF＝4，∴BE＝＝5，∵S＝•AE•BF＝BE•FG，菱形ABEF∴GF＝，∴S＝BC•FG＝．平行四边形ABCD【点评】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用面积法求出高FG，记住菱形的三种判定方法，属于中考常考题型．13．（10分）如图，在ABCD中，AD＞AB，AE平分∠BAD，交BC于点E，过点E作EF∥AB交AD于点F．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若菱形ABEF的周长为16，∠EBA＝120°，求AE的大小．【分析】（1）由题意可得四边形ABEF是平行四边形，由AE平分∠BAD，可得AB＝BE，则结论可得（2）：连接BF交AE于点O；则BF⊥AE于点O．由题意可得AB＝4，∠AOB ＝90°，∠BAE＝30°，可得AO的长即可求AE的长．【解答】（1）证明：∵ABCD∴BC∥AD，即BE∥AF∵EF∥AB∴四边形ABEF为平行四边形∵AE平分∠BAF∴∠EAB＝∠EAF∵BC∥AD∴∠BEA＝∠EAF∴∠BEA＝∠BAE∴AB＝BE∴四边形ABEF是菱形（2）解：连接BF交AE于点O；则BF⊥AE于点O∵BA＝BE，∠EBA＝120°∴∠BEA＝∠BAE＝30°∵菱形ABEF的周长为16∴AB＝4在Rt△ABO中∠BAO＝30°∴由勾股定理可得：AO＝∴AE＝【点评】本题考查了菱形的判定，等腰三角形的性质和判定，关键是利用这些性质和判定解决问题．14．（10分）如图所示，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，连接OE，交BC于F（1）求证：OE＝CB；（2）如果OC：OB＝1：2，OE＝2，求菱形ABCD的面积．【分析】（1）由CE∥BD、EB∥AC可得出四边形OBEC为平行四边形，由菱形的性质可得出∠BOC＝90°，进而可得出四边形OBEC为矩形，根据矩形的性质即可证出OE＝CB；（2）设OC＝x，则OB＝2x，利用勾股定理可得出BC＝x，结合BC＝OE＝2，可求出x的值，进而可得出OC、OB的值，再利用菱形的面积公式即可求出结论．【解答】（1）证明：∵CE∥BD，EB∥AC，∴四边形OBEC为平行四边形．∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∴四边形OBEC为矩形，∴OE＝CB．（2）解：设OC＝x，则OB＝2x，∴BC＝＝x．∵BC＝OE＝2，∴x＝2，∴OC＝2，OB＝4，∴S＝AC•BD＝2OC•OB＝16．菱形ABCD【点评】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理以及菱形的性质，解题的关键是：（1）证出四边形OBEC为矩形；（2）利用勾股定理结合OE的长度，求出OB、OC的值．15．（10分）如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，DB＝2，AC ＝4，求菱形的周长．【分析】由在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，长度分别是8和6，可求得OA与OB的长，AC⊥BD，然后由勾股定理求得AB的长，继而求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝AC═×4＝2，OB＝BD＝×2＝1，AC⊥BD，∴AB＝＝，∴菱形的周长为4．【点评】此题考查了菱形的性质．注意菱形的对角线互相平分且垂直且互相平分定理的应用是解此题的关键．。
人教版八年级下册数学《菱形的性质与判定》同步练习(含答案)
菱形的性质与判定一 、填空题（本大题共6小题）1.如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若2EF =，则菱形ABCD 的边长是 ．2.如图，如果要使平行四边形ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是 ．3.如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm 若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==，则1∠= 度．4.已知菱形的一个内角为60︒，一条对角线的长为23，则另一条对角线的长为________．5.菱形的周长为20cm ，两邻角度数之比为2:1，则菱形较短的对角线的长度为6.已知菱形ABCD 的两条对角线AC BD ，的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是二 、解答题（本大题共7小题）DCAB 图21CBAE F DBCA7.如图，ACD ∆、ABE ∆、BCF ∆均为直线BC 同侧的等边三角形．已知AB AC =．⑴ 顺次连结A 、D 、F 、E 四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应 的条件．⑵ 当BAC ∠为 度时，四边形ADFE 为正方形．8.如图，在梯形纸片ABCD 中，//AD BC ，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C 处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '.求证：四边形CDC E '是菱形．9.如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 上一点，ADE ∆和BCE ∆都是等边三角形，AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别为P 、Q 、M 、N ，证明四边形PQMN 为平行四边形且PQ PN =．10.已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60B EAF ∠=∠=︒，18BAE ∠=︒．求：CEF ∠的度数．FEDCBAC'DCB A EQEP NMDCBA11.如图，四边形ABCD 中，AB CD E F G H =，，，，分别是AD BC BD AC ，，，的中点，求证：EF GH ，相互垂直平分12.已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE ∆沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得GFC ∆．若60B ∠=︒，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论．13.已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60B EAF ∠=∠=︒，18BAE ∠=︒．求：CEF ∠的度数．FEDCBACDH GFEBAGF E DCBAFEDCBA菱形的性质与判定答案解析一 、填空题 1.42.AB AD AC BD =⊥，3.120︒；由题意可知：构成三角形为等边三角形4.2或65.56.150°；如图，过点A 作AE BC ⊥于E ，则12AC BD BC AE ⋅=⋅，又2AC BD AB ⋅=，得1302AE AB ABC =∠=︒，，150BAD ∠=︒二 、解答题7.⑴ 构成的图形有两类，一类是菱形，一类是线段．当图形为菱形时，∠ BAC ≠60°（或A 与F 不重合、△ABC 不为正三角形）（若写出图形为平行四边形时，不给分）当图形为线段时，∠BAC = 60°（或A 与F 重合、△ABC 为正三角形）． ⑵ 150︒．8.根据题意可知则. ∵， ∴. ∴， ∴.∴， ∴四边形为菱形. 9.如图，连结AC 、BD ．∵PQ 为ABC ∆的中位线EDCBA'CDE C DE ∆≅∆'''CD C D C DE CDE CE C E =∠=∠=，，//AD BC C DE CDE '∠=∠CDE CED ∠=∠CD CE =CD C D C E CE ''===CDC E 'QNMD C∴PQ AC ∥且12PQ AC = 同理MN AC ∥且12MN AC = ∴MN PQ ∥且MN PQ = ∴四边形PQMN 为平行四边形． 在AEC ∆和DEB ∆中AE DE =，EC EB =,60AED CEB ∠=︒=∠即AEC DEB ∠=∠ ∴AEC DEB ∆∆≌ ∴AC BD =∴1122PQ AC BD PN ===. 10.连接AC ，∵四边形ABCD 为菱形∴AB BC CD AD ===∴ABC △和ACD △为等边三角形 ∴60AB AC B ACD BAC =∠=∠=∠=︒， ∵60EAF ∠=︒ ∴BAE CAF ∠=∠ ∴ABE ACF △≌△ ∴AE AF = ∵60EAF ∠=︒ ∴AEF △为等边三角形 ∴60AEF ∠=︒∵AEC B BAE AEF CEF ∠=∠+∠=∠+∠ ∴18CEF ∠=︒在矩形、菱形的定理题中，有时也常连对角线，把四边形问题转化为三角形问题．11.连结EG GF FH HE ，，，，根据题意，EG HF ，分别是DAB CAB ∆∆，的中位线，所以12EG HF AB ==，同理可证：12GF EH CD ==，因为AB CD =，所以ABCDEFEG HF GF EH ===，则四边形EGFH 是菱形，所以EF GH ，相互垂直12.当32BC AB =时，四边形ABFC 是菱形．∵AB GF ∥，AG BF ∥ ∴四边形ABFG 是平行四边形 ∵Rt ABE ∆中，60B ∠=︒ ∴30BAE ∠=︒ ∴12BE AB =∵BE CF =，32BC AB = ∴12EF AB = ∴AB BF =∴四边形ABFG 是菱形．13.连接AC ，∵四边形ABCD 为菱形∴AB BC CD AD ===∴ABC △和ACD △为等边三角形 ∴60AB AC B ACD BAC =∠=∠=∠=︒， ∵60EAF ∠=︒ ∴BAE CAF ∠=∠ ∴ABE ACF △≌△ ∴AE AF = ∵60EAF ∠=︒ ∴AEF △为等边三角形 ∴60AEF ∠=︒∵AEC B BAE AEF CEF ∠=∠+∠=∠+∠ABEFGHD CABCDEF∴18∠=︒CEF分析：在矩形、菱形的定理题中，有时也常连对角线，把四边形问题转化为三角形问题．。
人教版八级数学下册菱形同步练习、含答案
菱形班级：___________________________姓名：___________________________作业导航理解并掌握菱形的性质及判别方法，会利用菱形的性质和判别方法进行推理说明和有关计算．一、选择题1．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对角相等B．对边相等C．对角线互相垂直D．对角线相等2．能够判别一个四边形是菱形的条件是（）A．对角线相等且互相平分B．对角线互相垂直且相等C．对角线互相平分D．一组对角相等且一条对角线平分这组对角3．菱形的周长为100 cm，一条对角线长为14 cm，它的面积是（）A．168 cm2 B．336 cm2 C．672 cm2 D．84 cm2 4．菱形的周长为16，两邻角度数的比为1：2，此菱形的面积为（）A．43B．83C．103D．123 5．下列语句中，错误的是（）A．菱形是轴对称图形，它有两条对称轴B．菱形的两组对边可以通过平移而相互得到C．菱形的两组对边可以通过旋转而相互得到D．菱形的相邻两边可以通过旋转而相互得到二、填空题6．菱形的周长是8 cm，则菱形的一边长是______．7．菱形的一个内角为120°，平分这个内角的对角线长为11厘米，菱形的周长为______．8．菱形的对角线的一半的长分别为8 cm和11 cm，则菱形的面积是_______．9．菱形的面积为24 cm2，一对角线长为6 cm，则另一对角线长为______，边长为______．10．菱形的面积为83平方厘米，两条对角线的比为1：3，那么菱形的边长为_______．三、解答题11．如图，AD是△ABC的角平分线．DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．四边形AEDF是菱形吗？说明你的理由．12．□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F，四边形AFCE是否是菱形？为什么？13．菱形ABCD的周长为20 cm，两条对角线的比为3：4，求菱形的面积．14．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC=16 cm，BD=12 cm，求菱形ABCD的高DH．参考答案一、1．C 2．D 3．B 4．B 5．D二、6．2 cm 7．44厘米8．176 cm2 9．8 cm 5 cm 10．4 cm三、11．四边形AEDF是菱形，AE=E D．12．□AFCE是菱形，△AOE≌△COF，四边形AFCE是平行四边形，EF⊥AC13．24 cm214．9.6 cm专项训练二概率初步一、选择题1．(徐州中考)下列事件中的不可能事件是( )A．通常加热到100℃时，水沸腾 B．抛掷2枚正方体骰子，都是6点朝上C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．任意画一个三角形，其内角和是360°2．小张抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的可能性是( )A．25% B．50% C．75% D．85%3．(2016·贵阳中考)2016年5月，为保证“中国大数据产业峰会及中国电子商务创新发展峰会”在贵阳顺利召开，组委会决定从“神州专车”中抽调200辆车作为服务用车，其中帕萨特60辆、狮跑40辆、君越80辆、迈腾20辆，现随机从这200辆车中抽取1辆作为开幕式用车，则抽中帕萨特的概率是( )A.110B.15C.310D.254．(金华中考)小明和小华参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一项，那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为( )A.14B.13C.12D.345．在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出2个小球，两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为( )A.12B.13C.14D.166．现有两枚质地均匀的正方体骰子，每枚骰子的六个面上都分别标有数字1、2、3、4、5、6.同时投掷这两枚骰子，以朝上一面所标的数字为掷得的结果，那么所得结果之和为9的概率是( )A.13B.16C.19D.1127．分别转动图中两个转盘一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某个数所表示的区域，则两个数的和是2的倍数或3的倍数的概率等于( )A.316B.38C.58D.1316第7题图 第8题图8．(2016·呼和浩特中考)如图，△ABC 是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB ＝15，AC ＝9，BC ＝12，阴影部分是△ABC 的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为( )A.16B.π6C.π8D.π5二、填空题9．已知四个点的坐标分别是(－1，1)，(2，2)，⎝⎛⎭⎪⎫23，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，－15，从中随机选取一个点，在反比例函数y ＝1x 图象上的概率是________．10．(黄石中考)如图所示，一只蚂蚁从A 点出发到D ，E ，F 处寻觅食物．假定蚂蚁在每个岔路口都可能随机选择一条向左下或右下的路径(比如A 岔路口可以向左下到达B 处，也可以向右下到达C 处，其中A ，B ，C 都是岔路口)．那么，蚂蚁从A 出发到达E 处的概率是________．11．(贵阳中考)现有50张大小、质地及背面图案均相同的《西游记》任务卡片，正面朝下放置在桌面上，从中随机抽取一张并记下卡片正面所绘人物的名字后原样放回，洗匀后再抽．通过多次试验后，发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.3.估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为________．12．(荆门中考)荆楚学校为了了解九年级学生“一分钟内跳绳次数”的情况，随机选取了3名女生和2名男生，则从这5名学生中，选取2名同时跳绳，恰好选中一男一女的概率是________．13．(重庆中考)点P 的坐标是(a ，b )，从－2，－1，0，1，2这五个数中任取一个数作为a 的值，再从余下的四个数中任取一个数作为b 的值，则点P (a ，b )在平面直角坐标系中第二象限内的概率是________．14．★从－1，1，2这三个数字中，随机抽取一个数记为a ，那么，使关于x 的一次函数y ＝2x ＋a 的图象与x 轴、y 轴围成的三角形的面积为14，且使关于x 的不等式组⎩⎨⎧x ＋2≤a ，1－x ≤2a 有解的概率为________．三、解答题15．(南昌中考)在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个．(1)先从袋子中取出m (m ＞1)个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A ，请完成下列表格：(2)先从袋子中取出m 个红球，再放入m 个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个黑球的概率等于45，求m 的值．16．(菏泽中考)锐锐参加我市电视台组织的“牡丹杯”智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关，第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题锐锐都不会，不过锐锐还有两个“求助”可以用(使用“求助”一次可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项)．(1)如果锐锐两次“求助”都在第一道题中使用，那么锐锐通关的概率是________；(2)如果锐锐两次“求助”都在第二道题中使用，那么锐锐通关的概率是________；(3)如果锐锐将每道题各用一次“求助”，请用树状图或者列表来分析他顺利通关的概率．17．(丹东中考)甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5.将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．(1)甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；(2)若两人抽取的数字之和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字之和为5的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．18．一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有数字3，3，5，x，甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个球上数字之和，记录后将小球放回袋中搅匀，进行重复实验．实验数据如下表：(1)如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为8”的频率稳定在它的概率附近，估计出现“和为8”的概率是________；(2)如果摸出的这两个小球上数字之和为9的概率是13，那么x的值可以取4吗？请用列表法或画树状图法说明理由；如果x的值不可以取4，请写出一个符合要求的x的值．参考答案与解析1．D 2.B 3.C 4.A 5.A 6.C 7.C8．B 解析：∵AB ＝15，BC ＝12，AC ＝9，∴AB 2＝BC 2＋AC 2，∴△ABC 为直角三角形，∴△ABC 的内切圆半径为12＋9－152＝3，∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12×12×9＝54，S 圆＝9π，∴小鸟落在花圃上的概率为9π54＝π6. 9.12 10.12 11.15 12.35 13.15 14.1315．解：(1)4 2或3(2)根据题意得6＋m 10＝45，解得m ＝2，所以m 的值为2. 16．解：(1)14 解析：第一道肯定能对，第二道对的概率为14，所以锐锐通关的概率为14； (2)16 解析：锐锐两次“求助”都在第二道题中使用，则第一道题对的概率为13，第二道题对的概率为12，所以锐锐能通关的概率为12×13＝16； (3)锐锐将每道题各用一次“求助”，分别用A ，B 表示剩下的第一道单选题的2个选项，a ，b ，c 表示剩下的第二道单选题的3个选项，树状图如图所示．共有6种等可能的结果，锐锐顺利通关的只有1种情况，∴锐锐顺利通关的概率为16.17．解：(1)所有可能出现的结果如下表，从表格可以看出，总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两人抽取相同数字的结果有3种，所以两人抽取相同数字的概率为13； (2)不公平．从表格可以看出，两人抽取数字之和为2的倍数有5种，两人抽取数字之和为5的倍数有3种，所以甲获胜的概率为59，乙获胜的概率为13.∵59＞13，∴甲获胜的概率大，游戏不公平．2 3 5 22 23 2 5 2 32 3 3 3 5 3 52 53 5 5 518．解：(1)0.33(2)图略，当x 为4时，数字和为9的概率为212＝16≠13，所以x 不能取4；当x ＝6时，摸出的两个小球上数字之和为9的概率是13.。
人教版数学八年级下册18.2菱形测试试题
人教版数学八年级下18.2.2 菱形测试题一．选择题（每题 3 分，共 30 分）1.如图，菱形花坛ABCD的边长为6m，∠A=120°，此中由两个正六边形构成的图形部分栽花，则栽花部分图形的周长为（）A.12mB.20mC.22mD.24m2.如图，在菱形 ABCD中，对角线 AC 与 BD 交于点 O， OE⊥ AB，垂足为 E，若∠ ADC=130°，则∠ AOE的大小为（）A.75 °B.65 °C.55 °D.50 °3.如图，在□ ABCD中， AB=5，AD=6，将□ ABCD沿 AE 翻折后，点 B 恰巧与点 C 重合，则折痕 AE 的长为（）A.33B.215C.D.44.菱形不具备的性质是（）A.四条边都相等B.对角线相等C.既是轴对称图形，又是中心对称图形D.对角线相互垂直且相互均分5.如图，在菱形ABCD中，对角线AC， BD 交于点 O， E 为 AD 的中点，菱形ABCD的周长为28，则 OE 的长等于（）B.4C.7D.146.菱形不具备的性质是（）A.四条边都相等B.对角线必定相等C.是轴对称图形D.是中心对称图形7.平面直角坐标系中，四边形 ABCD的极点坐标分别是 A（-3，0），B（ 0，2）， C（3，0），D （ 0， -2），则四边形 ABCD是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.梯形8.如图，在菱形 ABCD中，E 是 AC 的中点， EF∥ CB，交 AB 于点 F，假如 EF=3，那么菱形 ABCD 的周长为（）A.24B.18C.12D.99.如图，在菱形 ABCD中，∠ B=60°，AB=1，延伸 AD 到点 E，使 DE=AD，延伸 CD到点 F，使DF=CD，连结 AC， CE， EF，AF，则以下描绘正确的选项是（）A.四边形 ACEF是平行四边形，它的周长是4B.四边形 ACEF是矩形，它的周长是2+23C.四边形 ACEF是平行四边形，它的周长是43D.四边形 ACEF是矩形，它的周长是4+4310..图，在菱形 ABCD中， AC=62，BD=6，E 是 BC边的中点， P，M 分别是 AC，AB 上的动点，连结 PE， PM，则 PE+PM 的最小值是（）A.63B.36C.2二．填空题（每题 3 分，共 18 分）11.如图，四边形ABCD是平行四边形，若AB=，则四边形ABCD是菱形 .【菱形的判断（定义法）】有一组邻边的四边形是菱形.12.菱形 ABCD中，∠ A=60°，其周长为 24cm，则菱形的面积为cm2.13.如图，四边形 ABCD是菱形，，若∠ABO=30°，∠ CBO=，∠ ADO=30°，∠ CDO=30°.结论：菱形的对角线；而且每一条对角线均分一组对角.14.如图，四边形ABCD是平行四边形，AC丄，则四边形ABCD是菱形 .【判断定理一】对角线的平行四边形是菱形.15.如图，四边形ABCD是菱形，若AB=1，则 BC=，CD=，AD=.结论：菱形的四条边都.16.已知菱形的边长为 3，一个内角为 60°，则该菱形的面积是.17.菱形 OACB在平面直角坐标系中的地点如下图，点 C 的坐标是（ 6，0），点 A 的纵坐标是 1，则点 B 的坐标为．18.如图，四边形ABCD是平行四边形，若AB=AD，则四边形ABCD是.【菱形】有一组邻边的四边形叫做菱形.三．解答题（共66 分）19 如图，矩形ABCD的对角线AC， BD 交于点 O，且 DE∥ AC， CE∥ BD.（1）求证：四边形 OCED是菱形；（2）若∠ BAC=30°，AC=4，求菱形 OCED的面积 .20.矩形，菱形因为其特别的性质，为拼图供给了方便，因此墙面瓷砖一般设计为矩形，图案也以菱形居多．如图，是一种长 30cm ，宽 20cm 的矩形瓷砖， E、F、G、H 分别是矩形ABCD 各边的中点，暗影部分为淡黄色，中间部分为白色，现有一面长 4.2m ，宽 2.8m 的墙壁准备贴瓷砖．问：这面墙壁最少要贴这类瓷砖多少块？所有贴满瓷砖后，这面墙壁最多会出现多少个面积相等的菱形？此中淡黄色的菱形有多少个？21.如图，菱形ABCD的边长为8，∠ ABC=60°，求对角线AC的长 .22.如图，在△ ABC 中，∠ ABC=90°，点 D 为 AC的中点，过点作BD 的平行线，交 CE的延伸线于点 F，在 AF 的延伸线上截取（1）求证：四边形 BDFG是菱形；（2）若 AC=10， CF=6，求线段 AG 的长度 .C 作 CE⊥ BD 于点 E，过点 A FG=BD，连结 BG、 DF.23.如图，在△ABC中， AD⊥BC 于点 D，点 E、F 分别是 AB、AC 上的点，且 ED∥ AC，DF∥AB，当知足什么条件时，四边形 AEDF是菱形？人教版数学八年级下18.2.2 菱形测试题答案选择题（每题 3 分，共 30 分）1.答案： B.解：如图：∵四边形 ABCD为菱形，且∠ A=120 ，°∴∠ FAE=60. °∵EFGMNH 为正六边形，∴∠ BMG=60 °，∠ AFE=60 ，°MG=GF=AF,∴△ BGM 和△ AEF均为等边三角形，∴E F=AF， BG=MG.∴B G=GF=FA=2，∴正六边形的边长为 2.又∵ 正六边形有一个公共边OE，∴可得两个六边形的周长为 6 × 2+6 × 2-4=20，∴可得栽花部分的图形周长为20m.应选 B.2.如图，在菱形 ABCD中，对角线 AC 与 BD 交于点 O， OE⊥ AB，垂足为 E，若∠ ADC=130°，则∠ AOE的大小为（）A.75 °B.65 °C.55 °D.50 °3.答案： D.解：∵翻折后点 B 恰巧与点 C 重合，∴AE⊥ BC， BE=CE.∵BC=AD=6，∴BE=3，∴A E=AB2-BE2=4.应选 D.4.答案： B.解：A.菱形的四条边都相等，不切合题意；B.菱形的对角线相互垂直且均分，不必定相等，切合题意；C.菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，不切合题意；D.菱形的对角线相互垂直且相互均分，不切合题意，应选 B.5.答案： A.解：∵菱形 ABCD的周长为28，∴菱形的边长AB=BC=CD=AD=7.∵四边形 ABCD为菱形，∴B O=OD.又∵ E 为 AD 边的中点，∴OE 为三角形 ABD 的中位线，∴O E=1/2AB=3.5.6.答案： B.解：菱形的四条边都相等，既是轴对称图形，又是中心对称图形，但对角线不必定相等.应选 B.7.答案： B.解：∵A（-3， 0）， B（ 0，2）， C（ 3， 0）， D（ 0，-2），∴AO=CO， DO=BO，∴四边形 ABCD为平行四边形.∵AC⊥BD，∴四边形 ABCD是菱形 .应选 B.8.答案： A.解：∵ E 是 AC 中点，∵E F∥ BC，交 AB 于点 F，∴EF 是△ ABC的中位线，∴E F=12BC，三角形中位线性质∴B C=6，∴菱形 ABCD的周长是 4 × 6=24．菱形的四条边相等应选 A．9.答案： B.解：∵ DE=AD， DF=CD，∴四边形 ACEF是平行四边形 .∵四边形 ABCD为菱形，∠ B=60 ，°∴∠ B=∠D=60 .°∵AD=CD，∠ D=60 ，°∴△ ACD是等边三角形，∴A C=AD=CD=1.∵A E=AD+DE， CF=CD+DF， AD=CD=1∴A E=CF=2.∵四边形 ACEF是平行四边形，AE=CF，∴四边形 ACEF是矩形，∴∠ FAC=90. °在Rt△ ACF中， CF=2， AC=1.∴A F=2AG=3，∴矩形 ACEF的周长为： (1+3)× 2=23+2.应选 B．10答案： C.解：如图，作点 E 对于AC 的对称点E′，过点E′作E′M⊥ AB 于点M ，交AC 于点P，则此时PE+PM 获得最小值 .∵点 E、 E′对于直线AC 对称，∴P E=PE ′.∴PE+PM=PE ′ +PM=E ′ M.∵四边形 ABCD是菱形，∴点 E′在 CD 上，∵A C=62， BD=6，∴AB=(32)2+32=33.∵S 菱形 ABCD=12AC?BD=AB?E ，′M∴12 × 62 ×6=33?EM，′解得：E′M=26.即PE+PM的最小值是 26.应选 C．填空题（每题 3 分，共 18 分）11.答案： AD 或 BC；相等；平行.解：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，所以若AB=AD 或AB=BC时，四边形ABCD是菱形 .12.答案： 18313.答案： AC⊥ BD； 30°；相互垂直 .解：∵四边形 ABCD是菱形，∴A B=BC=CD=DA，∴点 A、 C 在 BD 上的垂直均分线上，∴AC⊥BD，∴∠ CBO=∠ ABO=30 .°结论：菱形的对角线相互垂直；而且每一条对角线均分一组对角.14.答案： BD；相互垂直 .解：依据对角线相互垂直的平行四边形是菱形可知：当AC⊥ BD 时，四边形ABCD是菱形 .15.答案： 1； 1；1；相等 .解：∵四边形 ABCD是菱形，∴AB=CD， AD=BC，且 AB=BC，∴A B=BC=CD=AD=1，即菱形的四边都相等 .9316.答案：2解：因为菱形的一个内角是60°，所以较短的对角线与菱形的一组邻边构成一个等边三角形，即较短的对角线为3，依据勾股定理可求得较长的对角线的长为33，93则这个菱形的面积 =1/2×3×33=217.答案：（ 3， -1） .解：连结AB 交 OC于点 D，∵四边形 ABCD是菱形，∴AB⊥ OC， OD=CD， AD=BD，∵点 C 的坐标是（ 6， 0），点 A 的纵坐标是1，∴O C=6， BD=AD=1，∴O D=3，∴点 B 的坐标为（ 3， -1）．18.答案：菱形；相等；平行.解：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，所以四边形ABCD是菱形 .解答题（共66 分）19证明：（ 1）∵ DE∥ OC，CE∥ OD，∴四边形 OCED是平行四边形 .∵四边形 ABCD是矩形，∴AC=BD， OC=1/2AC，OD=1/2BD，∴OC=OD，∴四边形 OCED是菱形 .（2）在矩形 ABCD中，∠ABC=90°，∠ BAC=30°，AC=4，∴BC=2，∴A B=DC=2 3 .如图：连结OE，交 CD 于点 F.∵四边形 OCED为菱形，∴F为 CD中点，∴O F=1/2BC=1，∴O E=2OF=2，1OE CD1 2 2 3 2 3∴S 菱形 OCED=2220.解：（ 1）∵ 墙壁的长为 4.2 米，宽为 2.8 米，∴墙壁的面积为 4.2× 2.8=11.平76方米 .30 厘米 =0.3 米，20 厘米 =0.2 米，同理可得瓷砖的面积为0.3 × 0.2==0.06平方米 .∴起码需要的瓷砖数为11.76/0.06=196 块 .（2）因为矩形中间的菱形各边都相等，当摆出菱形最多时，墙壁的长摆下的瓷砖数为 4.2/0.3=14 个，墙壁的宽摆下的瓷砖为 2.8/0.2=14 个 .每四个和△AHG 全等的三角形构成一个新的菱形，共有三角形数为196×4=784个 .∵周围共有 (14+14)× 4-4=108个三角形不可以构成菱形，∴新构成最多的菱形数为(784-108 )/4=169 个，即淡黄色的菱形有169 个，∴出现的菱形数为196+169=365 个 .∵这些菱形的面积都相等，∴这面墙璧最多会出现365 个面积相等的菱形 .21.解：∵四边形 ABCD是菱形，∴A B=BC.又∵∠ ABC=60°.∴△ ABC是等边三角形.∴A C=AB=8.22.证明：（ 1）∵ AG∥ BD， FG=BD，∴四边形 BDFG是平行四边形 .∵CE⊥ BD，∴C F⊥ AG.∵BD、FC分别△ ABC和△ AFC斜边上的中线，∴B D=DF=1/2AC，∴四边形 BDFG是菱形 .（2）∵四边形 BDFG为菱形，∠ ABC=90°，点 D 是 AC的中点，∴G F=DF=1/2AC=5.∵C F⊥ AG，∴AF=AC 2CF 2= 10262=8，∴A G=AF+FG=8+5=13.23.解：当 AB=AC时，四边形AEDF是菱形 .∵DE∥ AC， DF∥AB，∴四边形 AFDE为平行四边形，∠EAD=∠FDA.∵AD⊥ BC， AB=AC，∴AD 是∠ BAC的均分线，∴∠ EAD=∠ FAD，∴∠ FDA=∠ FAD，∴A F=DF(等角平等边 )，∴四边形 AEDF为菱形 (一组邻边相等的平行四边形是菱形).。
新人教版八年级数学下册《菱形》基础测试卷
菱形一、选择题(每小题4分,共12分)1.已知菱形的周长为40cm,两条对角线的长度之比为3∶4,那么对角线的长分别为( )A.3cm,8cmB.3cm,4cmC.12cm,16cmD.24cm,32cm2.(2012·本溪中考)在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=5,AC=6,过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E,则△BDE的面积为( )A.22B.24C.48D.443.如图,在菱形ABCD中,∠A=110°,E,F分别是边AB和BC的中点,EP⊥CD于点P,则∠FPC=( )A.35°B.45°C.50°D.55°二、填空题(每小题4分,共12分)4.(2013·淮安中考)若菱形的两条对角线长分别为2和3,则此菱形的面积是.5.如图,活动衣帽架由三个菱形组成,利用四边形的不稳定性,调整菱形的内角α,使衣帽架拉伸或收缩.当菱形的边长为18cm,α=120°时,A,B两点的距离为cm.6.(2013·黔西南州中考)如图所示,菱形ABCD的边长为4,且AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,∠B=60°,则菱形的面积为.三、解答题(共26分)7.(8分)(2013·黄冈中考)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,DH ⊥AB于H,连接OH,求证:∠DHO=∠DCO.8.(8分)一种千斤顶利用了四边形的不稳定性.如图,其基本形状是一个菱形,中间通过螺杆连接,转动手柄可改变∠ADC的大小(菱形的边长不变),从而改变千斤顶的高度(即A,C之间的距离).若AB=40cm,当∠ADC从60°变为120°时,千斤顶升高了多少?(≈1.414,≈1.732,结果保留整数)【拓展延伸】9.(10分)已知:如图,菱形ABCD中,∠BAD=120°,动点P在直线BC上运动,作∠APM=60°,且直线PM与直线CD相交于点Q,Q点到直线BC的距离为QH. (1)若P在线段BC上运动,求证:CP=DQ.(2)若P在线段BC上运动,探求线段AC,CP,CH的一个数量关系,并证明你的结论.答案解析1.【解析】选C.设两条对角线长分别为3x,4x,则+=102,解得x=4.所以两条对角线长分别为12cm,16cm.2.【解析】选B.∵AD∥BE,AC∥DE,∴四边形ACED是平行四边形,∴AC=DE=6,在Rt△ABO中,BO===4,∴BD=2BO=8.又∵BE=BC+CE=BC+AD=10,∴△BDE是直角三角形,∴△BDE的面积=DE·BD=24.3. 【解析】选D.延长PF交AB的延长线于点G.可以证明△BGF≌△CPF,∴F为PG中点.又由题可知,∠BEP=90°,∴EF=PG,∵PF=PG,∴EF=PF,∴∠FEP=∠EPF,∵∠BEP=∠EPC=90°,∴∠BEF=∠FPC,∵四边形ABCD为菱形,∴AB=BC,∵E,F分别为AB,BC的中点,∴BE=BF,∠BEF=∠BFE=(180°-70°)=55°,∴∠FPC=55°.4.【解析】由题意可知:S菱形=×2×3=3.答案:3【归纳整合】菱形的面积公式及拓展(1)菱形的面积=底×高.(2)如果菱形两条对角线的长分别为a和b,那么菱形的面积=ab.(3)如果一个四边形的对角线互相垂直,且两条对角线的长分别为a和b,那么这个四边形的面积=ab.5.【解析】∵α=120°,∴菱形的锐角为60°,∴AB=3×18=54(cm).答案:546.【解析】∵菱形ABCD的边长为4,∴AB=BC=4,∵AE⊥BC于点E,∠B=60°,∴BE=2,由勾股定理得,AE===2.∴菱形的面积=4×2=8.答案:8【归纳整合】含有60°或120°内角的菱形的性质(1)短的对角线与菱形相邻的两边构成的三角形是等边三角形.(2)菱形的两条对角线把菱形分成的四个全等的直角三角形中的较小锐角为30°,可利用这一特殊关系解决问题.(3)如果菱形的边长为a,那么菱形的面积为a2.7.【证明】∵四边形ABCD是菱形,∴OD=OB,∠COD=90°,∵DH⊥AB,∴OH=OB,∴∠OHB=∠OBH,又∵AB∥CD,∴∠OBH=∠ODC,在Rt△COD中,∠ODC+∠DCO=90°,在Rt△DHB中,∠DHO+∠OHB=90°,∴∠DHO=∠DCO.8.【解析】连接AC,与BD相交于点O,∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∠ADB=∠CDB,AC=2AO.当∠ADC=60°时,△ADC是等边三角形.∴AC=AD=AB=40(cm).当∠ADC=120°时,∠ADO=60°,∠OAD=30°,∴AO===20(cm).∴AC=40(cm).因此升高的高度为40-40=40(-1)≈29(cm).9.【解析】(1)连接AQ,作PE∥CD交AC于E,则△CPE是等边三角形,∠EPQ=∠CQP.又∠APE+∠EPQ=60°,∠CQP+∠CPQ=60°,∴∠APE=∠CPQ,又∵∠AEP=∠QCP=120°,PE=PC,∴△APE≌△QPC,∴AE=QC,AP=PQ,∴△APQ是等边三角形,∴∠2+∠3=60°,∵∠1+∠2=60°,∴∠1=∠3,∴△AQD≌△APC,∴CP=DQ.(2)AC=CP+2CH.证明如下:∵AC=CD,CD=CQ+QD,∴AC=CQ+QD,∵CP=DQ,∴AC=CQ+PC,又∵∠CHQ=90°,∠QCH=60°,∴∠CQH=30°,∴CQ=2CH,∴AC=CP+2CH.。
人教版八年级下册数学 18.2.2 菱形 测试题(含答案)
9.①③ ②④⑤ 解析 由“有一个角是直角的平行四边形是矩形”“对角线相等的平行四边形是矩 形”可判定□ABCD 为矩形的条件有①③；“邻边相等的平行四边形是菱形”“对角线互相垂直的平行四 边形是菱形”，另外，对角线平分一组对角的平行四边形也是菱形，由此，判定□ABCD 是菱形的条 件有②④⑤.
19．如图，菱形 ABCD 的边长为 2，BD＝2，E、F 分别是边 AD，CD 上的两个动点，且满足 AE＋CF＝2．
(1)求证：△BDE≌△BCF； (2)判断△BEF 的形状，并说明理由； (3)设△BEF 的面积为 S，求 S 的取值范围．
20．如图，菱形 AB1C1D1 的边长为 1，∠B1＝60°；作 AD2⊥B1C1 于点 D2，以 AD2 为一边，作第 二个菱形 AB2C2D2，使∠B2＝60°；作 AD3⊥B2C2 于点 D3，以 AD3 为一边，作第三个菱形 AB3C3D3， 使∠B3＝60°；……依此类推，这样作的第 n 个菱形 ABnCnDn 的边 ADn 的长是______．
(1)求证：四边形 AECD 是菱形； (2)若点 E 是 AB 的中点，试判断△ABC 的形状，并说明理由． 17.如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相较于点 O，DE∥AC，CE∥BD. （1）求证：四边形 OCED 为菱形. （2）连接 AE，BE，AE 与 BE 相等吗？请说出理由.
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
18.2.2 菱形 测试题
一、选择题
1．对角线互相垂直平分的四边形是( )．
A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.任意四边形
2．下列命题中，正确的是( )．
A.两邻边相等的四边形是菱形
人教版八年级数学下册试卷菱形基础知识点及同步练习、含答案
学科：数学教学内容：菱形【基础知识精讲】定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．定理1：四边都相等的四边形是菱形．定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．【重点难点解析】1．菱形的性质(1)菱形具有平行四边形的一切性质；(2)菱形的四条边都相等；(3)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；(4)菱形是轴对称图形．2．菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半．A．重点、难点提示1．理解并掌握菱形的概念，性质和判别方法；（这是重点，也是难点，要掌握好）2．经历探索菱形的性质和判别条件的过程，在操作活动和观察、分析过程中发展学生的主动探究习惯和初步的审美意识，进一步了解和体会说理的基本方法；3．了解菱形的现实应用和常用的判别条件；4．体会特殊与一般的关系．B．考点指要菱形是特殊的平行四边形，其性质和判别方法是中考的重要内容之一．一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质．除具有平行四边形的一切性质外，菱形还具有以下性质：①菱形的四条边都相等；②两条对角线互相垂直平分；（出现了垂直，常与勾股定理联系在一起）③每一条对角线都平分一组内角．（出现了相等的角，常与角平分线联系在一起）菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在直线是它的两条对称轴．（不是对角线，而是其所在直线，因为对称轴是直线，而对角线是线段）菱形的判别方法：（学会利用轴对称的方法研究菱形）①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四条边都相等的四边形是菱形．【难题巧解点拨】例1：如图4-24，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F．求证：四边形AEFG是菱形．思路分析由已知可知，图中有平行线，就可证角相等、线段相等，因此，可先证四边形AEFG 是平行四边形，再证一组邻边相等．证明：∵∠BAC=90°，EF⊥BC，CE平分∠ACB，∴AE=EF，∠CEA=∠CEF．（这是略证，并不是完整的证明过程）∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴EF∥AD，（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）∴∠CEF=∠AGE，（两直线平行，内错角相等）∴∠CEA=∠AGE，∴AE=AG，∴EF∥AG，且EF=AG，∴四边形AEFG是平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）又∵AE=EF，∴平行四边形AEFG是菱形．例2：已知菱形的周长为20cm，一条对角线长为5cm，求菱形各个角的度数．已知：菱形ABCD中，AB+BC+CD+DA=20cm，对角线AC=5cm．求∠ADC、∠ABC、∠BCD、∠DAB的度数．思路分析利用菱形的四条边相等，可求出各边长，从而得到等边三角形，如图4-25．解：在菱形ABCD中，∵AB=BC=CD=DA，又AB+BC+CD+DA=20cm，∴AB=BC=CD=DA=5cm，又∵AC=5cm，∴AB=BC=AC，CD=DA=AC，∴△ABC和△DAC都是等边三角形，（本题将边之间的长度关系转化为角的关系）∴∠ADC=∠ABC=60°，∠BCD=∠DAB=120°．例3：如图4-26，在平行四边形ABCD中，∠BAE=∠FAE，∠FBA=∠FBE．求证：四边形ABEF是菱形．证法一：∵AF∥BE，∴∠FAE=∠AEB （两直线平行，内错角相等）又∵∠BAE=∠FAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE．（等角对等边）同理，AB=AF，BE=EF，∴AB=BE=EF=AF，∴四边形ABEF是菱形．（四条边都相等的四边形是菱形）证法二：∵AF∥BE，∴∠FAE=∠AEB，又∵∠BAE=∠FAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE．又∵∠FBA=∠FBE，∴AO=OE，AE⊥FB，（等腰三角形三线合一）同理，BO=OF，∴四边形ABEF是菱形．（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）（你还有其他的证明方法吗？不妨试一下）例4：菱形的两邻角之比为1：2，边长为2，则菱形的面积为__________．思路分析本题主要考查菱形的性质和面积公式的应用：解法一：如图4-27，∠B：∠A=1：2，∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC ，∴∠A+∠B=180°，∴∠B=60°，∠A=120°， 过A 作AE ⊥BC 于E ， ∴∠BAE=30°，1AB 21BE ==∴，（直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半） 312B E AB AE 2222=-=-=∴，（勾股定理） 32AE BC S ABCD =⋅=∴菱形．（平行四边形的面积计算方法是：底乘以高） 解法二：如图4-28，∠B ∶∠A=1∶2，∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC ，∴∠A+∠B=180°，∴∠B=60°，∠A=120°，连结AC 、BD 交于点O ，︒=∠=∠∴30B 21ABD ，AC ⊥BD ． （菱形的性质：对角线平分一组对角，对角线互相垂直） 在Rt △ABO 中，1AB 21AO ==， 312AO AB B O 2222=-=-=∴，∴AC=2，32BD =， 3232221BD AC 21S ABCD =⨯⨯=⋅=∴菱形． 答：菱形的面积为32．【典型热点考题】例1 如图4-13，已知菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=18°，求∠CEF 的度数．点悟：由∠B=60°知，连接AC得等边△ABC与△ACD，从而△ABE≌△ADF，有AE=AF，则△AEF为等边三角形，再由外角等于不相邻的两个内角和，可求∠CEF．解：连接AC．∵四边形ABCD为菱形，∴∠B=∠D= 60°，AB=BC=CD=DA，∴△ABC与△CDA为等边三角形．∴ AB=AC，∠B=∠ACD=∠BAC=60°，∵∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAF．∴ AE=AF．又∵∠EAF=60°，∴△EAF为等边三角形．∴∠AEF=60°，∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF，∴ 60°+18°=60°+∠CEF，∴∠CEF=18°．例2已知如图4-14，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD 于G，交AB于E，EF⊥BC于F，求证：四边形AEFG为菱形．点悟：可先证四边形AEFG为平行四边形，再证邻边相等(或对角线垂直)．证明：∵∠BAC=90°，EF⊥BC，CE平分∠BCA，∴ AE=FE，∠AEC=∠FEC．∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．∴∠FEC=∠AGE，∴∠AEC=∠AGE∴ AE=AG，∴∴四边形AEFG为平行四边形．又∵ AE=AG．∴四边形AEFG为菱形．点拨：此题还可以用判定菱形的另两种方法来证．例3 已知如图4-15，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE．求证：EB=OA证明：∵四边形ABCD为菱形，∴∠ABC=2∠ABD， AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∵ AB=AE，∴∠ABC=∠AEB．∴∠DAE=2∠ABD．∵∠DAE=2∠BAE，∴∠ABD=∠BAE，∴ OA=OB．∵∠BOE=∠ABD+∠BAE，∴∠BOE=2∠BAE．∴∠BEA=∠BOE，∴ OB=BE，∴ AO=BE．说明：利用菱形性质证题时，要灵活选用，选不同性质，就会有不同思路．例4已知菱形的一边与两条对角线构成的两角之比为5：4，求菱形的各内角的度数．点悟：先作出菱形ABCD和对角线AC、BD(如图4-16)．解：∵四边形ABCD是菱形，∴ AC⊥BD，∴∠1+∠2=90°，又∵∠1：∠2=4：5，∴∠1=40°，∠2=50°，∴∠DCB=∠DAB=2∠2=100°，故∠CBA=∠CDA=2∠1=80°．【同步达纲练习一】 一、选择题1．已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为 ( ) (A)45°， 135° (B)60°， 120° (C)90°， 90° (D)30°， 150°2．若菱形的一条对角线长是另一条对角线的2倍，且此菱形的面积为S ，则它的边长为( )(A)S (B)S 21 (c)S 321 (D)S 521二、填空题3．已知：菱形ABCD 中，E 、F 是BC 、CD 上的点，且AE=EF=AF=AB ，则∠B=________. 4．已知：菱形的两条对角线长分别为a 、b ，则此菱形周长为_______，面积为__________.5．菱形具有而矩形不具有的性质是_______.6．已知一个菱形的面积为38平方厘米，且两条对角线的比为1：3，则菱形的边长为_________.三、解答题 7．已知：O 为对角线BD 的中点，MN 过O 且垂直BD ，分别交CD 、AB 于M 、N ．求证：四边形DNBM 是菱形．8．如图4-17，已知菱形ABCD 的对角线交于点O ，AC=16cm ，BD=12cm ，求菱形的高．【同步达纲练习二】1．在菱形ABCD 中，若∠ADC=120°，则BD ：AC 等于( ) A ．2:3B ．3:3C ．1：2D ．1:32．已知菱形的周长为40cm ，两对角线的长度之比为3：4，则两对角线的长分别为( ) A ．6cm ，8cm B ．3cm ，4cm C ．12cm ，16cm D ．24cm ，32cm 3．菱形的对角线具有( ) A ．互相平分且不垂直B ．互相平分且相等C ．互相平分且垂直D ．互相平分、垂直且相等（掌握菱形对角线的性质，注意不要增加性质）4．已知菱形的面积等于2cm 160，高等于8cm ，则菱形的周长等于____________． 5．已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，那么它的边长是______________． 6．菱形的周长是40cm ，两邻角的比是1：2，则较短的对角线长是_________cm ． 7．如图4-29，在△ABC 中，∠BAC=90°，BD 平分∠ABC ，AG ⊥BC ，且BD 、AG 相交于点E ，DF ⊥BC 于F ．求证：四边形AEFD 是菱形．8．如图4-30，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与AD 、BC 、AC 分别交于点E 、F 、O ．求证：四边形AFCE 是菱形．参考答案【同步达纲练习一】一、1．B ； 2．D ；二、3．80°；4．222b a ，ab 21；5．对角线互相垂直，各边长相等． 6．4厘米．三、7．由已知MN 为BD 的垂直平分线， 有 DM=BM ，DN=BN ，又由△DOM ≌△BON ，得DM=BN ，∴ DM=BM=BN=DN ．∴四边形DNBM 是菱形.8．过点D 作DH ⊥AB 于H ，则DH 为菱形的一条高． 又∵ AC 、BD 互相垂直平分于O ， ∴ 821==AB OA 厘米，621==BD OB 厘米． 由勾股定理，得 1022=+=BO AO AB (厘米)．又∵OA BD DH AB ⋅=⋅2121， ∴812211021⨯⨯=⨯⨯DH ，DH=9.6厘米．【同步达纲练习二】1．B ； 2．C ； 3．C ； 4．80cm ； 5．5； 6．10； 7．证法一：在Rt △ABD 和Rt △FBD 中，∵BD 为∠ABC 的平分线，∴∠ABD=∠FBD ，∠DAB=∠DFB=90°， 又∵BD=BD ，∴Rt △ABD ≌Rt △FBD ∴AD=DF ，∠ADE=∠EDF又∵DF ⊥BC ，AG ⊥BC ，∴DF//AE ，∴∠EDF=∠DEA ，∴∠ADE=∠DEA ，∴AD=AE ， ∴AE=DF ，∴四边形AEFD 是平行四边形． ∵AD=DF ，∴四边形AEFD 为菱形． 证法二：同证法一得DF=DA=AE ，∵Rt △ABD ≌Rt △FBD ，∴AB=BF ，∴△ABE ≌△FBE ， ∴AE=EF ，∴DF=DA=AE=EF ，∴四边形AEFD 是菱形． 证法三：同证法一：Rt △ABD ≌Rt △FBD ，∴AB=BF ， ∴△ABE ≌△FBE ，∴∠GAB=∠EFB ，又∵∠C+∠ABC=90°，∠GAB+∠ABC=90°， ∴∠C=∠GAB ，∴∠C=∠EFB ，∴EF ∥AC ， 又∵DF ∥AG ，∴四边形AEFD 是平行四边形， ∵AD=DF ，∴四边形AEFD 是菱形．8．∵AD ∥BC ，∴∠OAE=∠OCF ，又∵∠AOE=∠COF=90°，AO=CO ， ∴△AOE ≌△COF ，∴AE=CF ，又∵AE ∥CF ， ∴四边形AFCE 是平行四边形．又∵EF 是AC 的垂直平分线，∴AE=CE ．（垂直平分线上的点到线段两端距离相等） ∴四边形AFCE 是菱形．。
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、选择题（每小题4分，共12分）
1.已知菱形的周长为40cm,两条对角线的长度之比为3:4,那么对角线的长分别
A.3cm,8cm
B.3cm,4cm
3.如图,在菱形ABCD中,6=110 ,E,F分别是边AB和
BC的中点，EP丄CD于点P则/FPC=（）
A.35
B.45
C.50
D.55
二、填空题（每小题4分，共12分）
4. （2013 •淮安中考）若菱形的两条对角线长分别为3,则此菱形的面积
5. 如图,活动衣帽架由三个菱形组成，利用四边形的不稳定性，调整菱形的内角a 使衣帽架拉伸或收缩.当菱形的边长为18cm, a=120 °瑚,B两点的距离为cm.
/
?
6. （2013 •黔西南州中考如图所示，菱形ABCD的边长为4,
且AE丄BC于点E,AF丄CD于点F,/B=60。
，则菱形的面
积
三、解答题（共26分）[来源学科网ZXXK]
7. （8分）（2013 •黄冈中考如图,四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点O,DH 丄AB 于H,连接OH,求证：ZDHO二 ZDCO.
8. （8分）一种千斤顶利用了四边形的不稳定性.如图,
其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手
柄可改变/ ADC的大小（菱形的边长不变），从而
改变千斤顶的高度（即A,C之间的距离）.若
当/ADC从60。
变为120 °时千斤顶升高了多少？（—〜1.414,—〜1.732,结果保留整数）
【拓展延伸】
9. （10分）已知:如图，菱形ABCD中,ZBAD=120 °,动点P在直线BC上运动，
ZAPM=60。
，且直线PM与直线CD相交于点Q,Q点到直线BC的距离为
QH.
A
门
C
（1）若P在线段BC上运动，求证:CP=DQ.
(2) 若P在线段BC上运动，探求线段AC,CP,CH的一个数量关系，并证明你的结
论.
答案解析
1.【解析】选C.设两条对角线长分别为3x,4x,则=10 2,解得x=4.所以两条对角线长分别为12cm,16cm.［来…
2.【解析】选B.vAD //BE,AC//DE,
•四边形ACED是平行四边形,AAC=DE=6,
在Rt A ABO 中，
J 7 5
BO= =4,
•••BD=2BO=8.
又VBE=BC+CE=BC+AD=10,
n •••/BDE是直角三角形，
DE BD=24.
3.【解析】选D.延长PF交AB的延长线于点G.
可以证明厶BGF幻XCPF,
•为PG中点.
又由题可知，ZBEP=90
£ •••EF=H P G, V PF^PG,A EF=PF,A Z FEP= ZEPF,
VzBEP= ZEPC=90 °,A /BEF= ZFPC,
•••四边形ABCD 为菱形，•••AB=BC,
VE,F 分别为AB,BC 的中点，
•••zFPC=55
答案：3
【归纳整合】菱形的面积公式及拓展
(1) 菱形的面积=底x 咼.
5. 【解析】Ta 120 ° A 菱形的锐角，为60
/•AB=3 X l8=54(cm).
答案：54
6. 【解析】T 菱形ABCD 的边长为4, •••AB=BC=4,
VAE 丄 BC 于点 E,/B=60 °
•••BE=2,由勾股定理得，
-70 °=55
4.【解析】 由题意可知 :S 菱形= X 2X 3=3.
(2)如果菱形两条对角线的长分别为 a 和b,那么菱形的面积 ab. (3) 如果一个四边形的对角线互相垂直 ，且两条对角线的长分别为a 和b,那么这个
•••BE=BF,/BEF= ZBFE=
AE 」J A X-H 『=|J4J2仁屈
二菱形的面积=4 X2—=8」.
答案：8—
【归纳整合】含有60 °或20°内角的菱形的性质
(1) 短的对角线与菱形相邻的两边构成的三角形是等边三角形 .
(2) 菱形的两条对角线把菱形分成的四个全等的直角三角形中的较小锐角为
30。
，可利用这一特殊关系解决问题.
p
(3) 如果菱形的边长为a,那么菱形的面积为 Z a 2.
7. 【证明】T 四边形ABCD 是菱形，
•••OD=OB, ZCOD=90 °,
VDH 丄 AB,「OH=OB, •zOHB 二 ZOBH,
又T AB //CD,「.Z OBH 二 ZODC,
在 RtMOD 中,ZODC+ ZDCO=90 °,
在 RteHB 中,ZDHO+ ZOHB=90 °,
• Z DHO 二 ZDCO.
8. 【解析】连接AC,与BD 相交于点O,
T 四边形ABCD 是菱形，
•••AC 丄 BD, Z ADB= ZCDB,AC=2AO.
当 Z ADC=60 ° ^j^A ADC 是等边三角形.
［来源学科网］
「•AC 二AD 二AB=40(cm).
当Z ADC=120 °^Z ADO=6O °,ZOAD=30 °•AC A/A1} - OD J40 - 20 on J3Z\
.AO二-------------- 二 ------------- =20 d(cm).
•••AC=40 二(cm).
因此升高的高度为40^-40=40( —-1)〜29(cm).
9. 【解析】(1)连接AQ,作PE //CD交AC于E,则MPE是等边三角形，/EPQ二/ CQP.
又Z APE+ ZEPQ=60 °ZCQP+ ZCPQ=60
•zAPE二 ZCPQ,
又VzAEP= ZQCP=120 °,PE=PC,
B P
C II
•zAPEyPC,「AE二QC,AP二PQ,
•zAPQ是等边三角形，二z2+ /3=60 °
TZI+ Z2=60 °二/二Z3,
z.zAQD ^zAPC, ACP=DQ.
(2)AC=CP+2CH.证明如下:…
•.AC=CD,CD=CQ+QD, •* AC=CQ+QD,
VCP=DQ, A AC=CQ+PC,
又v/CHQ=90 °,ZQCH=60 °「zCQH=30
•••CQ=2CH, /.AC=CP+2CH.。