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专题五__函数及其图像

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专题五+5.3三角函数的图像与性质课件——2023届高三数学一轮复习

专题五+5.3三角函数的图像与性质课件——2023届高三数学一轮复习

标):ωx+φ=π+2kπ.(以上k∈Z)
例1
(2022重庆十一中月考,5)函数f(x)=Asin(ωx+φ)
A
0,
ω
0,
0
φ
2
的部分图象如图所示,将其向右平移 3 个单位长度后得到图象对应的函
数解析式为 ( )
A.y= 2 sin 2x
B.y=
2
sin
2x
3
C.y=
2
sin
2x
3
D.y=
5 3
, 13 6
⫋
3 2
, 5 2
,易知函数y=sin
x在
3 2
,
5 2
上单调递增,则函数f(x)=sin
2
x
3
在区间
,
5 4
上单调递增,故
D正确.故选BD.
答案 BD
考法三 三角函数的最值 求三角函数最值常见的函数形式
1.y=asin x+bcos x= a2 b2 sin(x+φ),其中cos φ= a ,sin φ= b .
2
,
0
,(π,-1),
3 2
,
0
,(2π,1).
2.用“五点法”画y=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0)在一个周期内的简图 用五点法画y=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0)在一个周期内的简图时,一般先列表,后 描点,连线,其中所列表如下:
ωx+φ
x
y=A· sin(ωx+φ)
0
π
2
-
π - + 2
左平移 个单位长度,得到曲线C2
12

常用函数图像

常用函数图像

函数图形基本初等函数幂函数（1)幂函数（2)幂函数（3)指数函数（1）指数函数（2）指数函数（3）对数函数（1）对数函数（2）三角函数（1）三角函数（2）三角函数（3）三角函数（4）三角函数（5）反三角函数（1）反三角函数（2）反三角函数（3）反三角函数（4）反三角函数（5）反三角函数（6）反三角函数（7）反三角函数（8）双曲函数（1）双曲函数（2）双曲函数（3）双曲函数（4）双曲函数（5）双曲函数（6）双曲函数（7）反双曲函数（1）反双曲函数（2）反双曲函数（3）反双曲函数（4）反双曲函数（5）反双曲函数（6）y=sin(1/x) (1)y=sin(1/x) (2)y=sin(1/x) (3)y=sin(1/x) (4)y = [1/x](1)y = [1/x](2)y=21/xy=21/x (2)y=xsin(1/x)y=arctan(1/x)y=e1/xy=sinx (x->∞)绝对值函数y = |x| 符号函数y = sgnx 取整函数y= [x]极限的几何解释(1) 极限的几何解释(2)极限的几何解释(3)极限的性质(1) (局部保号性)极限的性质(2) (局部保号性) 极限的性质(3) (不等式性质) 极限的性质(4) (局部有界性) 极限的性质(5) (局部有界性)两个重要极限y=sinx/x (1)y=sinx/x (2)limsinx/x的一般形式y=(1+1/x)^x (1)y=(1+1/x)^x (2)lim(1+1/x)^x 的一般形式(1)lim(1+1/x)^x 的一般形式(2)lim(1+1/x)^x 的一般形式(3)e的值(1)等价无穷小(x->0)sinx等价于xarcsinx等价于x tanx等价于x arctanx等价于x1-cosx等价于x^2/2sinx等价于x数列的极限的几何解释海涅定理渐近线水平渐近线铅直渐近线y=(x+1)/(x-1)y=sinx/x (x->∞) 夹逼定理(1)夹逼定理(2)数列的夹逼性(1) 数列的夹逼性(2) pi 是派的意思(如果你没有切换到公式版本)^是次方的意思,$是公式的标记符,切换到公式版(安装mathplayer)就看不到$了文案编辑词条B 添加义项?文案，原指放书的桌子，后来指在桌子上写字的人。

专题五 三角函数的图像与性质(基础题型)含详解

专题五 三角函数的图像与性质(基础题型)含详解

专题五三角函数的图像与性质（基础题型）一．选择题（共14小题）1．若关于x的方程2sin（2x+）=m在[0，]上有两个不等实根，则m的取值范围是（）A．（1，）B．[0，2]C．[1，2）D．[1，]2．三角函数y=sin 是（）A．周期为4π的奇函数B．周期为的奇函数C．周期为π的偶函数D．周期为2π的偶函数3．函数y=sin（﹣2x）的单调递减区间是（）A．[﹣kπ+，﹣kπ+]，k∈Z B．[2kπ﹣，2kπ+]，k∈ZC．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z D．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z4．已知函数f（x）=sin（2x﹣）（x∈R）下列结论错误的是（）A．函数f（x）的最小正周期为πB．函数f（x）是偶函数C．函数f（x）的图象关于直线x=对称D．函数f（x）在区间上是增函数5．已知函数f（x）=|sinx|，下列结论中错误的是（）A．f（x）既偶函数，又是周期函数．B．f（x）的最大值为C．y=f（x）的图象关于直线x=对称D．y=f（x）的图象关于直线x=π对称6．函数的图象的对称轴方程为（）A．B．C．D．7．y=cos（x+1）图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是（）A．B．πC．2D．8．方程cosx=lgx的实根的个数是（）A．1B．2C．3D．无数9．函数y=sin（2x+）是（）A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为的奇函数D．周期为的偶函数10．函数y=2tan（3x﹣）的一个对称中心是（）A．（，0）B．（，0）C．（﹣，0）D．（﹣，0）11．函数f（x）=tan（2x﹣）的单调递增区间是（）A．[﹣，+]（k∈Z）B．（﹣，+）（k∈Z）C．（kπ+，kπ+）（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）12．为了得到函数y=2sin（2x+）的图象，可以将函数y=2sin2x图象（）A．向右平移个长度单位B．向左平移个长度单位C．向右平移个长度单位D．向左平移个长度单位13．将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（）A．y=sin（2x+）B．y=sin（2x﹣）C．y=sin（2x+）D．y=sin（2x﹣）14．为了得到函数的图象，只需把函数y=sin3x的图象（）A．向左平移B．向左平移C．向右平移D．向右平移二．填空题（共6小题）15．函数y=3cos（2x+）的最小正周期为．16．在，则函数y=tanx的值域为．17．函数的最小正周期是．18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，则函数的解析式为f（x）=．19．函数f（x）=Asin（ω+φ）（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，则f（1）+f（2）+…+f（2016）=．20．如图是的图象，则其解析式为．三．解答题（共4小题）21．求函数y=tan（x+）的定义域、周期和单调区间．22．已知函数f（x）=tan（x﹣）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）求函数f（x）的对称中心．23．已知函数f（x）=2sin（2x﹣）（x∈R）．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）当x∈[，]时，求f（x）的最大值和最小值．24．求下列函数的单调区间：（1）f（x）=sin（x+），x∈[0，π]；（2）f（x）=|tanx|；（3）f（x）=cos（2x﹣），x∈[﹣，]．专题五三角函数的图像与性质（基础题型）参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．若关于x的方程2sin（2x+）=m在[0，]上有两个不等实根，则m的取值范围是（）A．（1，）B．[0，2]C．[1，2）D．[1，]【分析】把方程2sin（2x+）=m化为sin（2x+）=，画出函数f（x）=sin （2x+）在x∈[0，]上的图象，结合图象求出方程有两个不等实根时m 的取值范围．【解答】解：方程2sin（2x+）=m可化为sin（2x+）=，当x∈[0，]时，2x+∈[，]，画出函数y=f（x）=sin（2x+）在x∈[0，]上的图象如图所示；根据方程2sin（2x+）=m在[0，]上有两个不等实根，得≤＜11≤m＜2∴m的取值范围是[1，2）．故选：C．【点评】本题主要考查方程根的存在性以及个数判断以及正弦函数的图象应用问题，体现了转化、数形结合的数学思想．2．三角函数y=sin是（ ）A ．周期为4π的奇函数B ．周期为的奇函数C ．周期为π的偶函数D ．周期为2π的偶函数【分析】由条件利用正弦函数的奇偶性和周期性，可得结论．【解答】解：三角函数y=sin是奇函数，它的周期为=4π，故选：A ．【点评】本题主要考查正弦函数的奇偶性和周期性，属于基础题．3．函数y=sin （﹣2x ）的单调递减区间是（ ）A ．[﹣kπ+，﹣kπ+]，k ∈ZB ．[2kπ﹣，2kπ+]，k ∈ZC ．[kπ﹣，kπ+]，k ∈ZD ．[kπ﹣，kπ+]，k ∈Z【分析】利用诱导公式可得本题即求函数y=sin （2x ﹣）的单调递增区间．令 2kπ﹣≤2x ﹣≤2kπ+，求得x 的范围，可得函数y=sin （﹣2x ）的单调递减区间．【解答】解：函数y=sin （﹣2x ）=﹣sin （2x ﹣）的单调递减区间，即函数y=sin （2x ﹣）的单调递增区间．令 2kπ﹣≤2x ﹣≤2kπ+，求得 kπ﹣≤x ≤kπ+，k ∈z ，故函数y=sin （2x ﹣）的单调递增区间，即函数y=sin （﹣2x ）的单调递减区间为[kπ﹣，kπ+]，k ∈Z ，故选：D．【点评】本题主要考查诱导公式、正弦函数的增区间，体现了转化的数学思想，属于基础题．4．已知函数f（x）=sin（2x﹣）（x∈R）下列结论错误的是（）A．函数f（x）的最小正周期为πB．函数f（x）是偶函数C．函数f（x）的图象关于直线x=对称D．函数f（x）在区间上是增函数【分析】由条件利用诱导公式，余弦函数的周期性、奇偶性、单调性以及图象的对称性，判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：函数f（x）=sin（2x﹣）=﹣cos2x，故它的最小正周期为π，故A满足条件；显然，它是偶函数，故B正确；当x=时，求得函数值y=0，不是最值，故f（x）的图象不关于直线x=对称，故C错误；在区间上，f（x）=﹣cos2x是增函数，故D正确，故选：C．【点评】本题主要考查诱导公式，余弦函数的图象和性质，属于基础题．5．已知函数f（x）=|sinx|，下列结论中错误的是（）A．f（x）既偶函数，又是周期函数．B．f（x）的最大值为C．y=f（x）的图象关于直线x=对称D．y=f（x）的图象关于直线x=π对称【分析】由条件利用正弦函数的值域，可得结论．【解答】解：根据函数f （x ）=|sinx |的最大值为1，可得B 不正确， 故选：B ．【点评】本题主要考查正弦函数的值域，属于基础题． 6．函数的图象的对称轴方程为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据余弦函数的性质即可求解对称轴方程 【解答】解：函数，令，k ∈Z可得：πx=，即，k ∈Z ．故选：C ．【点评】本题考查了余弦函数的图象及性质，对称轴方程的求法．属于基础题．7．y=cos （x +1）图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是（ ） A ．B ．πC ．2D ．【分析】y=cos （x +1）的周期是2π，最大值为1，最小值为﹣1，即可求出y=cos （x +1）图象上相邻的最高点和最低点之间的距离．【解答】解：y=cos （x +1）的周期是2π，最大值为1，最小值为﹣1，∴y=cos （x +1）图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是=，故选：A ．【点评】本题考查了函数y=Acos （ωx +φ）的图象与性质的应用问题，是基础题．8．方程cosx=lgx的实根的个数是（）A．1B．2C．3D．无数【分析】本题即求函数y=cosx的图象和y=lgx的图象的交点个数，数形结合可得结论．【解答】解：方程cosx=lgx的实根的个数，即函数y=cosx的图象和y=lgx的图象的交点个数，数形结合可得函数y=cosx的图象和y=lgx的图象的交点个数为3，故选：C．【点评】本题主要考查方程根的存在性以及个数判断，余弦函数、对数函数的图象特征，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．9．函数y=sin（2x+）是（）A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为的奇函数D．周期为的偶函数【分析】由条件利用诱导公式以及余弦函数的周期性和奇偶性，可得结论．【解答】解：由于函数y=sin（2x+）=sin（2x+）=cos2x，故此函数是周期为=π的偶函数，故选：B．【点评】本题主要考查诱导公式以及余弦函数的周期性和奇偶性，属于基础题．10．函数y=2tan（3x﹣）的一个对称中心是（）A．（，0）B．（，0）C．（﹣，0）D．（﹣，0）【分析】对称中心就是函数图象与x轴的交点或函数图象的渐近线和x轴的交点，令3x﹣=，k∈z，解得x=+，k∈z，故对称中心为（+，0 ），从而得到答案．【解答】解：∵函数y=2tan（3x﹣），令3x﹣=，k∈z，可得x=+，k∈z，故对称中心为（+，0 ），令k=﹣2，可得一个对称中心是（﹣，0），故选：C．【点评】本题考查正切函数的对称中心的求法，得到3x﹣=，k∈z 是解题的关键，属于基础题．11．函数f（x）=tan（2x﹣）的单调递增区间是（）A．[﹣，+]（k∈Z）B．（﹣，+）（k∈Z）C．（kπ+，kπ+）（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）【分析】由正切函数的单调性的性质即可得到结论．【解答】解：由＜2x﹣，即﹣＜x＜+，（k∈Z），故函数的单调性增区间为（﹣，+）（k∈Z），故选：B．【点评】本题主要考查正切函数的单调性的求解，利用正切函数的图象和性质是解决本题的关键．12．为了得到函数y=2sin（2x+）的图象，可以将函数y=2sin2x图象（）A．向右平移个长度单位B．向左平移个长度单位C．向右平移个长度单位D．向左平移个长度单位【分析】根据三角函数的图象平移关系进行判断即可．【解答】解：由y=2sin（2x+）=2sin2（x+），可以将函数y=2sin2x图象向左平移个长度单位即可，故选：D．【点评】本题主要考查三角函数图象关系的判断，结合平移关系是解决本题的关键．13．将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（）A．y=sin（2x+）B．y=sin（2x﹣）C．y=sin（2x+）D．y=sin（2x﹣）【分析】直接利用函数图象的平移变换得答案．【解答】解：将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为y=sin2（x+）=sin（2x+）．故选：A．【点评】本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数图象的平移，是基础题．14．为了得到函数的图象，只需把函数y=sin3x的图象（）A．向左平移B．向左平移C．向右平移D．向右平移【分析】由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：把函数y=sin3x的图象向右平移个单位，可得函数的图象，故选：D．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．二．填空题（共6小题）15．函数y=3cos（2x+）的最小正周期为π．【分析】根据余弦函数y=Acos（ωx+φ）的最小正周期为T=，求出即可．【解答】解：函数y=3cos（2x+）的最小正周期为T===π．故答案为：π．【点评】本题考查了余弦函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质的应用问题，是基础题目．16．在，则函数y=tanx的值域为[﹣1，1] ．【分析】根据正切函数的图象与性质，求出x∈[﹣，]时函数y=tanx的值域即可．【解答】解：∵，∴﹣1≤tanx≤1，∴函数y=tanx的值域为[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．【点评】本题考查了正切函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．17．函数的最小正周期是2．【分析】由已知中函数的解析为，我们可以求出对应ω值，代入T=，即可得到函数的最小正周期．【解答】解：∵函数∴ω=∴T==2故答案为：2【点评】本题考查的知识点是正切函数的周期性，其中根据函数的解析式求出ω值，是解答本题的关键，在解答过程中易将正切型函数的周期误认为而产生错解．18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，则函数的解析式为f（x）=．【分析】由题意求出A，T，利用周期公式求出ω，利用当x=时取得最大值3，求出φ，得到函数的解析式，即可．【解答】解：由题意可知A=3，T=2（）=4π，ω==，当x=时取得最大值3，所以3=3sin（+φ），sin（）=1，，∵，所以φ=，函数f（x）的解析式：f（x）=．故答案为：．【点评】本题是基础题，考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，注意函数的周期的求法，考查计算能力，常考题型．19．函数f（x）=Asin（ω+φ）（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，则f（1）+f（2）+…+f（2016）=0．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，可得函数的解析式，再利用利用正弦函数的周期性求得要求式子的值．【解答】解：由题意和图象可得A=2，T=6，则T=8，则ω=，∴f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（8）=0，∴f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2016）=252×0=0，故答案为：0．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，利用正弦函数的周期性求函数的值，属于基础题．20．如图是的图象，则其解析式为．【分析】由图象可得A值，结合周期公式可得ω，代点可得φ值，可得解析式．【解答】解：由图象可得A=2，周期T=﹣（﹣）=2π，由周期公式可得ω=1，∴y=2sin（x+φ），代点（﹣，0）可得0=2sin（﹣+φ），结合0＜φ＜可得φ=故答案为：【点评】本题考查正弦函数的图象和性质，属基础题．三．解答题（共4小题）21．求函数y=tan（x+）的定义域、周期和单调区间．【分析】利用正切函数的定义域，求出函数的定义域，通过正切函数的周期公式求出周期，结合正切函数的单调增区间求出函数的单调增区间．【解答】解：由，解得．∴定义域．周期函数，周期．由，解得∴函数的单调递增区间为．【点评】本题是基础题，考查正切函数的基本知识，单调性、周期性、定义域，考查计算能力．22．已知函数f（x）=tan（x﹣）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）求函数f（x）的对称中心．【分析】（1）由题意利用正切函数的定义域可得x﹣≠kπ+，求得x的范围，可得函数的定义域．（2）根据题意利用正切函数的单调则区间可得kπ﹣＜x﹣＜kπ+，由此求得x的范围，得到f（x）的增区间．（3）利用正切函数的图象的对称性，求得函数f（x）的对称中心．【解答】解：（1）对于函数f（x）=tan（x﹣），令x﹣≠kπ+，求得x≠kπ+，k∈Z，故函数的定义域为{x|x≠kπ+，k∈Z}．（2）令kπ﹣＜x﹣＜kπ+，求得π﹣＜x＜kπ+，可得函数的增区间为（π﹣，kπ+），k∈Z．（3）令x﹣≠，求得x≠+，k∈Z，故函数的对称中心为（+，0），k∈Z．【点评】本题主要考查正切函数的定义域、单调区间、以及图象的对称性，属于基础题．23．已知函数f（x）=2sin（2x﹣）（x∈R）．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）当x∈[，]时，求f（x）的最大值和最小值．【分析】（1）根据正弦型函数求出f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）求出x∈[，]时2sin（2x﹣）的取值范围，即得f（x）的最大、最小值．【解答】解：（1）函数f（x）=2sin（2x﹣），∴函数f（x）的最小正周期为T==π；令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z；解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；∴f（x）单调递增区间是[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（2）当x∈[，]时，2x﹣∈[，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，∴2sin（2x﹣）∈[﹣，2]，∴f（x）的最大值是2，最小值是﹣．【点评】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，是基础题．24．求下列函数的单调区间：（1）f（x）=sin（x+），x∈[0，π]；（2）f（x）=|tanx|；（3）f（x）=cos（2x﹣），x∈[﹣，]．【分析】（1）直接利用整体思想求出正弦型函数的单调区间．（2）直接利用整体思想求出正切型函数的单调区间．（3）直接利用整体思想求出余弦型函数的单调区间．【解答】解：（1）f（x）=sin（x+），x∈[0，π]；令：（k∈Z），解得：（k∈Z），由于：x∈[0，π]；则：函数的递增区间为：[0，]令：（k∈Z），解得：（k∈Z），由于：x∈[0，π]；则：函数的递减区间为：[]（2）f（x）=|tanx|；由于y=tanx的单调增区间为：（k∈Z），所以：函数的单调增区间为：（k）（k∈Z），函数的单调减区间为：（k∈Z），（3）f（x）=cos（2x﹣），x∈[﹣，]．令：，（k∈Z），解得：，（k∈Z），当k=0时，函数的单调增区间为：[]．令：，（k∈Z），解得：，（k∈Z），故函数的单调减区间为：[﹣，﹣]和[]．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的性质单调性的应用．。

中考数学专题复习 函数及其图像

中考数学专题复习 函数及其图像

中考数学专题复习函数及其图像考点3.1 位置与坐标序号考查内容考查方式学习目标考点位置与坐标坐标与象限1、坐标值的几何意义2、特殊点的坐标特征3、两点之间距离的求法4、能根据图形建立适当坐标系并写出关键点的坐标5、能根据点的坐标值确定其余各点的坐标6、用极坐标表示点的位置考点3.2 函数的表示序号考查内容考查方式学习目标考点一函数的取值范围分式或根式何时有意义考点二函数及其图像实际问题与函数图像1、能根据具体情况识别函数图象2、能从函数图象中读出关键信息考点3.3 一次函数序号考查内容考查方式学习目标考点一一次函数图像和性质一次函数图像和性质综合应用1、能熟练判断出图像中的k b取值范围2、能根据k,b的取值范围熟练画出函数图象的草图3、能判断出函数图的共存4、能用待定系数法熟练求出函数解析式过程完整考点二一次函数的应用结合一次函数图像解决实际问题1、能正确解释交点坐标在实际问题中的意义2、能正确分割三角形和多边形的面积进而求出其面积3、能正确理解和应用简单的分段函数图象及其代表的意义考点3.4 反比例函数序号考查内容考查方式学习目标考点一反比例函数解析式的确定确定比例系数1、能从不同的表达式中分离出比例系数2、能根据比例系数画出函数草图待定系数法求解析式利用比例系数的几何意义确定反比例函数解析式k值的几何意义反映到函数中要结合具体的象限来确定值k考点二反比例函数的应用一次函数与反比例函数的综合应用考点3.5 二次函数序号考查内容考查方式学习目标考点一二次函数图像和性质确定二次函数图像的对称轴和顶点、与x轴的交点的坐标1、能准确化为一般形式，并指出其系数2、能熟练进行配方写出其顶点坐标式3、能熟练从三种解析式几个方面值的确定考点二二次函数的应用画二次函数图像及应用能熟练画出草图并进行分析应用考点三二次函数与实际问题（二次函数的应用题）确定解析式、求极值（解答题）能根据已知条件熟练写出解析式，并进行五个方面的相关计算考点3.6 用函数观点看方程（组）和不等式序号考查内容考查方式学习目标考点一函数与方程二次函数与一元二次方程理解二次函数与一元二次方程的联系，并能正确地将二次函数问题转化为一元二次方程，能用一元二次方程的根解释图象中的交点坐标考点二函数与不等式一次函数与一元一次不等式1、能根据图象正确判断不等式的解集2、理解交点坐标的意义3、能根据交点坐标正确写出方程或方程组反比例函数与不等式一次函数、反比例函数与不等式同上。

二次函数的图像与性质(含答案)

二次函数的图像与性质(含答案)

九年级数学竞赛专题 ---二次函数的图像与性质一、内容概述二次函数有丰富的内容，下面从四个方面加以总结1．定义： 形如函数2(0)y ax bx c a =++≠称为二次函数，对实际问题二次函数也有定义域.2．图像二次函数的图像为抛物线，一般作二次函数图像，取五个点，先确定顶点的横坐标，再以它为中心向左、向右对称取点.3．性质 对2(0)y ax bx c a =++≠的图像来讲，（1）开口方向：当0a >时，抛物线开口向上；当0a <时，抛物线开口向下。

（2）对称轴方程：2bx a=-（3）顶点坐标：24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（4）抛物线与坐标轴的交点情况： 若240bac -<，则抛物线与x 轴没有交点；若240b ac -=，则抛物线与x 轴有一个交点；若240b ac ->，则抛物线与x 轴有两个交点，分别为，；另外，抛物线与y 轴的交点为()0,c .（5）抛物线在x a=（6）y 与x 的增减关系：当0a >，2b x a >-时，y 随x 的增大而增大，2bx a <-时，y 随x 的增大而减小；当0a <，2b x a >-时，y 随x 的增大而减小，2bx a<-时，y 随x 的增大而增大.（7）最值：当0a >时，y 有最小值，当2b x a =-时，244ac b y a -最小值＝；当0a <时，y 有最大值，当2b x a =-时，244ac b y a-最大值＝（8）若抛物线与x 轴两交点的横坐标为1x 、2x （12x x <），则：当0a >时，12x x x <<时，0y <；12x x x x <>或时，0y >；当0a<时，12x x x <<时，0y >；12x x x x <>或时，0y <.4．求解析式抛物线的解析式常用的有三种形式：（1）一般式：2(0)y ax bx c a =++≠（2）顶点式：2()(0)y a x h k a =-+≠，其中(,)h k 是抛物线的顶点坐标。

专题五三角函数的图像与性质

专题五三角函数的图像与性质

高三二轮专题五三角函数的图象和性质备课：xxx 审核：xxx 班级_________ 姓名_____________考试要求：.考查三角函数的解析式、图像的变换和有关性质性质。

【高考真题再现】1. .【2012高考浙江理4】把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是2. （07山东文4）要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=-⎪3⎝⎭的图象（ ） A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π3个单位D ．向左平移π6个单位3. （2011山东理数6）若函数()s in f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω= A ．3 B ．2 C ．32D ．23【合作探究】探究一 求函数y=Asin()x ωϕ+的解析式例1.如图为y =A sin(ωx +ϕ)的图象的一段，求其解析式.练习：1.函数y =A sin(ωx +ϕ)(ω＞0,|ϕ|＜2π,x ∈R )的部分图象如图所示，则函数( )A. y =-4sin )48(ππ-x B. y =-4sin )48(ππ+xC. y =4sin )48(ππ-x D. y =4sin )48(ππ+x2. 为了得到函数y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+63πx，x ∈R 的图象，只需把函数y =2sin x ，x ∈R 的图象上所有的点 （ ） A .向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）B .向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）C .向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） D .向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）探究二 三角函数的性质例2. 1.（2011福建高考）对于函数()sin (,,)f x a x bx c a b R c Z =++∈∈，选取a,b,c 的一组值计算(1)(1),f f -和所得的正确结果一定不可能是（ )A 4和6B 3和1C 2和4D 1和2 2. (2010·安徽6校高三联考)已知函数y ＝tan ωx (ω>0)与直线y ＝a 相交于A 、B 两点，且|AB |最小值为π，则函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx 的单调增区间是 ( )A.⎣⎡⎦⎤2k π－π62k π＋π6 (k ∈Z )B.⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋2π3 (k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤2k π－2π3，2k π＋π3 (k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋5π6 (k ∈Z ) 3. (2010·福建)已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6 (ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f (x )的取值范围是____________．4.已知函数y=Asin()-442x B πωφ++的最小值为，最大值为，最小正周期为,x=8π使其函数的对称轴，则下列符合条件的是（ ）A y=4sin4xB y=4cos4xC y=2sin4x+2D y=2sin2x+25.设函数()sin cos )cos ()f x x x x x x R π=-+∈（1）求()f x 的最小值；（2）()4f x π若函数y=的图像上的所有点向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到函数y=g(x)的图像，求y=g(x)在[0, 4π]上的最大值。

(完整word版)专题：对勾函数

(完整word版)专题：对勾函数

基本不等式与对勾函数一、 对勾函数by ax x=+)0,0(>>b a 的图像与性质性质：1. 定义域：),0()0,(+∞⋃-∞2. 值域：),2()2,(+∞⋃--∞ab ab3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即0)()(=-+x f x f 4. 图像在一、三象限当0x >时，由基本不等式知by ax x=+≥ab 2（当且仅当b x a =， 即)(x f 在x=ab时，取最小值ab 2 由奇函数性质知： 当x<0时，)(x f 在x=ab-时，取最大值ab 2- 5. 单调性：增区间为（∞+,a b ），（a b -∞-,） 减区间是（0，ab ），（a b-,0）一、对勾函数的变形形式 类型一：函数by ax x=+)0,0(<<b a 的图像与性质 此函数与对勾函数xb x a y )()(-+-=关于原点对称，故函数图像为性质：类型二：斜勾函数by ax x=+)0(<ab ①0,0<>b a 作图如下性质：②0,0><b a 作图如下：类型三：函数)0()(2>++=ac xcbx ax x f 此类函数可变形为b x c ax x f ++=)(，则)(x f 可由对勾函数xcax y +=上下平移得到 例1作函数xx x x f 1)(2++=的草图解：11)(1)(2++=⇒++=xx x f x x x x f 作图如下：类型四：函数)0,0()(≠>++=k a kx ax x f 此类函数可变形为k k x a k x x f -+++=)()(，则)(x f 可由对勾函数xax y +=左右平移，上下平移得到 例2作函数21)(-+=x x x f 的草图 解：2212)(21)(+-+-=⇒-+=x x x f x x x f 作图如下：例3作函数x x x x f +++=23)(的作图： 解：1212211212)(23)(-+++=+++=++++=⇒+++=x x x x x x x x f x x x x f练习： 1.求函数421)(-+=x x x f 在),2(+∞上的最低点坐标2. 求函数1)(-+=x xx x f 的单调区间及对称中心类型五：函数)0,0()(2>≠+=b a bx axx f 此类函数定义域为R ，且可变形为x b x axbx a x f +=+=2)( a.若0>a ，则)(x f 的单调性和对勾函数xbx y +=的单调性相反，图像如下：性质：1．定义域：),(+∞-∞ 2. 值域：)21,21(ba ba ⋅⋅-3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个倒着的“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即0)()(=-+x f x f4. 图像在一、三象限当0x >时，由基本不等式知ba xb x a x f 22)(=⋅≤（当且仅当b x =取等号），即)(x f 在b x =时，取最大值ba 2由奇函数性质知：当x<0时，)(x f 在x=b -时，取最小值ba 2-5. 单调性：减区间为（∞+,b ），（b -∞-,）增区间是],[b b -例4作函数1)(2+=x xx f 的草图 解：x x xx x f x xx f 1111)(1)(22+=+=⇒+=b. 若0<a ，作出函数图像： 例5作函数42)(2+-=x xx f 的草图类型六：函数)0()(2≠+++=a mx cbx ax x f 此类函数可变形为)0()()()()(2>++++=+++++=at s mx tm x a m x t m x s m x a x f ， 则)(x f 可由对勾函数xtax y +=左右平移，上下平移得到 例6说明函数11)(2+++=x x x x f 由对勾函数x x y 1+=如何变换而来解： 111111)1()1()(2-+++=+++-+=x x x x x x f 故 此函数)(x f 可由对勾函数xx y 1+=向 （填“左”、“右”）平移 单位，向 （填“上”、“下”）平移 单位.草图如下：练习：1.已知1->x ，求函数1107)(2+++=x x x x f 的最小值2.已知1<x ，求函数1109)(2--+=x x x x f 的最大值类型七：函数)0()(2≠+++=a cbx ax mx x f 例7求函数21)(2++-=x x x x f 在区间),1(+∞上的最大值解：当1=x 时，0)1(=f 当1≠x 时，3141114)1(3)1(14)1(3)1(1)(22+-+-=-+-+-=+-+--=x x x x x x x x x f问：若区间改为),4[+∞则)(x f 的最大值为练习：1.求函数232)(22++++=x x x x x f 在区间),0[+∞上的最大值类型八：函数ax b x x f ++=)(此类函数可变形为标准形式：)0()(>-+-++=+-++=a b ax a b a x ax ab a x x f例8求函数13)(-+=x x x f 的最小值解： 141141)(-+-=-+-=x x x x x f练习： 1．求函数15)(++=x x x f 的值域2.求函数32)(++=x x x f 的值域类型九：函数)0()(22>++=a ax b x x f此类函数可变形为标准形式：)()()(22222o a b ax a b a x ax ab a x x f >-+-++=+-++=例9求函数45)(22++=x x x f 的最小值解：45)(22++=x x x f 414414)(2222+++=+++=⇒x x x x x f练习：1. 求函数171)(22++=x x x f 的值域例10已知20,a >求函数的最小值。

高三数学一轮复习知识点讲解5-3三角函数的图象与性质

高三数学一轮复习知识点讲解5-3三角函数的图象与性质

高三数学一轮复习知识点讲解专题5.3 三角函数的图象与性质【考纲解读与核心素养】1. 理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质，了解三角函数的周期性.2．本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等. 3.高考预测：（1） “五点法”作图； （2）三角函数的性质；（3）往往将三角恒等变换与三角函数图象、性质结合考查. 4.备考重点：（1）掌握正弦、余弦、正切函数的图象；（2）掌握三角函数的周期性、单调性、对称性以及最值.【知识清单】知识点1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质正弦函数sin y x =,余弦函数cos y x =,正切函数tan y x =的图象与性质 性质sin y x =cos y x =tan y x =图象定义域R R,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭值域[]1,1- []1,1-R知识点2．“五点法”做函数()sin y A x h ωϕ=++的图象 “五点法”作图：先列表，令30,,,,222x ππωϕππ+=，求出对应的五个x 的值和五个y 值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到()sin y A x h ωϕ=++在一个周期的图象，最后把这个周期的图象以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数()sin y A x h ωϕ=++的图象.【典例剖析】高频考点一 三角函数的定义域和值域 【典例1】（2020·山东高一期末）函数tan2xy =的定义域为_____．【答案】{}2,x x k k Z ππ≠+∈ 【解析】 解不等式()22x k k Z ππ≠+∈，可得()2x k k Z ππ≠+∈， 因此，函数tan2xy =的定义域为{}2,x x k k Z ππ≠+∈. 故答案为：{}2,x x k k Z ππ≠+∈.【典例2】（2017新课标2）函数（）的最大值是__________．【答案】1【解析】化简三角函数的解析式，则，由可得，当时，函数取得最大值1．【规律方法】1．三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． 2．三角函数值域的不同求法(1)利用sin x 和cos x 的值域直接求；(2)把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域； (3)把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域； (4)利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域． 【变式探究】1.（2020·上海高三专题练习）函数sin y m x n =+的最大值为2，最小值为4-，则m =_________，n =_________.【答案】3± 1- 【解析】由已知得24m n m n ⎧+=⎪⎨-+=-⎪⎩，解得31m n =±⎧⎨=-⎩. 故答案为：3±；1-.2.（2020·全国高一课时练习）求下列函数的定义域. （1）y =（2）sin cos tan x xy x+=.【答案】（1）{|22,}x k x k k Z πππ≤≤+∈；（2）|,2k x x k Z π⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭【解析】（1）要使函数有意义，必须使sin 0x ≥.由正弦的定义知，sin 0x ≥就是角x 的终边与单位圆的交点的纵坐标是非负数. ∴角x 的终边应在x 轴或其上方区域， ∴22,k x k k Z πππ≤≤+∈.∴函数y ={|22,}x k x k k Z πππ≤≤+∈.（2）要使函数有意义，必须使tan x 有意义，且tan 0x ≠.∴,()2x k k Z x k πππ⎧≠+⎪∈⎨⎪≠⎩ ∴,2kx k Z π≠∈. ∴函数sin cos tan x x y x +=的定义域为|,2k x x k Z π⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭.【总结提升】在使用开平方关系sin α＝±1－cos 2α和cos α＝±1－sin 2α时，一定要注意正负号的选取，确定正负号的依据是角α所在的象限，如果角α所在的象限是已知的，则按三角函数在各个象限的符号来确定正负号；如果角α所在的象限是未知的，则需要按象限进行讨论． 高频考点二 三角函数的单调性【典例3】（2020·海南枫叶国际学校高一期中）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）A ．13(,),44k k k Z ππ-+∈ B ．13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ C ．13(,),44k k k Z -+∈D ．13(2,2),44k k k Z -+∈【答案】D 【解析】由五点作图知，1+42{53+42πωϕπωϕ==，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D.【典例4】（2020·河南洛阳�高一期末（理））已知sin33a =︒，cos55b =︒，tan35c =︒则a ，b ，c ，的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】A 【解析】因为cos55sin35sin33b a ==>=，且sin 35tan 35sin 35cos35c ==>，所以c b a >>. 故选：A .【典例5】（2020·浙江柯城�衢州二中高三其他）已知函数()()2sin 0f x x ωω=>，则()f x 的最大值为________，若()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，则ω的取值范围是________. 【答案】2 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】因为函数()()2sin 0f x x ωω=>， 所以()[]2sin 2,2ω=∈-f x x ， 所以()f x 的最大值为2， 因为()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数， 所以,,4322πωπωππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以4232πωππωπ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得30,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故答案为：(1). 2 (2). 30,2⎛⎤⎥⎝⎦【规律方法】1.求形如()sin y A x ωϕ=+或()cos y A x ωϕ=+ (其中A ≠0，0ω>)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“x ωϕ+ (0ω>)”视为一个“整体”；②A>0(A<0)时，所列不等式的方向与sin y x = (x R ∈)，cos y x = (x R ∈)的单调区间对应的不等式方向相同(反)．2.当0ω<时，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为sin()y A x ωϕ=---的形式，然后求其单调递增区间，应把x ωϕ--放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把x ωϕ--放在正弦函数的递增区间之内.3．已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法(1)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解． (2)反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解. 【变式探究】1.（2020·河北路北�开滦第一中学高一期末）在ABC 中，A B C >>，且2C π≠，则下列结论中正确的是（ ） A ．tan tan A C < B ．tan tan A C >C ．sin sin <A CD ．sin sin A C >【答案】D 【解析】若543,,12123124A B C πππππ=====，由于02C A π<<<,则tan tan A C >，所以A 选项错误. 若74,,1212312A B C ππππ====，则tan 0tan A C <<， 75sin sin sin sin sin 121212A C πππ==>=，所以BC 选项错误.在三角形ABC 中，大角对大边，由于A C >，所以a c >，由正弦定理得2sin 2sin R A R B >①，R 是三角形ABC 外接圆的半径.由①得sin sin A C >.所以D 选项正确. 故选：D2.（2020·河南林州一中高一月考）π()sin()(0,),2f x x ωϕωϕ=+>≤若π8x =-是函数()f x 的零点，π8x =是函数()f x 的对称轴，()f x 在区间ππ(,)54上单调，则ω的最大值是 ( ) A ．14 B ．18C ．20D ．22【答案】A 【解析】因为π8x =-是函数()f x 的零点，π8x =是函数()f x 的对称轴， 所以2144n T n N ，π+=∈，即21244n ππω+=, n N ∈，即42,?n n N ω=+∈，即ω为正偶数. 因为()f x 在区间ππ,54⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ππ45202T π-=≤，即210T ππω=≥. 20ω≤. 当18ω=时，ππ sin 18088f ϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，得9 ,4k k Z πϕπ-+=∈，9 ,?4k k Z πϕπ=+∈,π 2ϕ≤，所以π4ϕ=，()πsin 184f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ,54x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，π779518,42020x ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，其中，901202f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()f x 在区间ππ,54⎛⎫⎪⎝⎭上不单调； 当14ω=时，ππ sin 14088f ϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，得7 ,4k k Z πϕπ-+=∈，7 ,?4k k Z πϕπ=+∈,π 2ϕ≤，所以π4ϕ=-，()πsin 144f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ππ,54x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，π516514,42020x ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，满足()f x 在区间ππ,54⎛⎫⎪⎝⎭上不单调. 故ω的最大值是14. 故选A.3.（2019·涡阳县第九中学高一期末（文））已知函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．求()f x 的单调增区间； 【答案】5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 【解析】因为sin y x =在区间2,2,22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以222,232k x k k πππ-+π≤+≤+π∈Z ，解得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 所以()f x 的单调增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 【总结提升】1.对正弦函数、余弦函数单调性的两点说明(1)正弦函数、余弦函数在定义域R 上均不是单调函数，但存在单调区间．(2)由正弦函数、余弦函数的最小正周期为2π，所以任给一个正弦函数、余弦函数的单调区间，加上2k π，(k ∈Z)后，仍是单调区间，且单调性相同． 2．对正弦函数、余弦函数最值的三点说明(1)明确正、余弦函数的有界性，即|sin x |≤1，|cos x |≤1．(2)函数y ＝sin x ，x ∈D ，(y ＝cos x ，x ∈D )的最值不一定是1或－1，要依赖函数定义域D 来决定． (3)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的函数最值通常利用“整体代换”，即令ωx ＋φ＝Z ，将函数转化为y ＝A sin Z 的形式求最值．3.正切函数单调性的三个关注点 (1)正切函数在定义域上不具有单调性．(2)正切函数无单调递减区间，有无数个单调递增区间，在(－π2，π2)，(π2，32π)，…上都是增函数．(3)正切函数的每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间，也不能说正切函数在(－π2，π2)∪(π2，3π2)∪…上是增函数．高频考点三 三角函数的周期性 【典例6】（2018年全国卷Ⅲ文）函数的最小正周期为（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】 由已知得的最小正周期故选C. 【规律方法】1.求三角函数的周期的方法（1）定义法：使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()f x T f x +=.利用定义我们可采用取值进行验证的思路，非常适合选择题；（2）公式法：()sin()f x A x ωϕ=+和()cos()f x A x ωϕ=+的最小正周期都是2||T πω=，()tan()f x A x ωϕ=+的周期为T πω=.要特别注意两个公式不要弄混； (3)图象法：可以画出函数的图象，利用图象的重复的特征进行确定，一般适应于不易直接判断，但是能够容易画出函数草图的函数；(4)绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定. 如x y x y sin ,sin 2==的周期都是π, 但sin y x =cos x +的周期为2π，而1|2sin(3)|,|2sin(3)2|626y x y x ππ=-+=-+，|tan |y x =的周期不变.2.使用周期公式，必须先将解析式化为sin()y A x h ωϕ=++或cos()y A x h ωϕ=++的形式；正弦余弦函数的最小正周期是2T πϖ=，正切函数的最小正周期公式是T πϖ=；注意一定要注意加绝对值.3.对称与周期:正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期;正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期. 【变式探究】已知函数y ＝12sin x ＋12|sin x |．(1)画出函数的简图；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期． 【答案】（1）见解析；（2）是，2π. 【解析】(1)y ＝12sin x ＋12|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π]k ∈Z ，0，x ∈[2k π－π，2k πk ∈Z . 函数图象如图所示．(2)由图象知该函数是周期函数，其图象每隔2π重复一次，则函数的周期是2π． 【特别提醒】最小正周期是指使函数重复出现的自变量x 要加上的最小正数，是对x 而言，而不是对ωx 而言．. 高频考点四 三角函数的奇偶性【典例7】（2018届辽宁省丹东市测试（二））设，若，则函数A. 是奇函数B. 的图象关于点对称C. 是偶函数D. 的图象关于直线对称【答案】C 【解析】 由题意得，∴．∴，∴函数为偶函数．故选C ． 【规律方法】1. 一般根据函数的奇偶性的定义解答，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求()f x -；最后比较()f x -和()f x 的关系，如果有()f x -=()f x ，则函数是偶函数，如果有()f x -=-()f x ，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.2. 如何判断函数()f x ωϕ+的奇偶性:根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数()f x ωϕ+的奇偶性，常见的结论如下：(1)若sin()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()2k k Z πϕπ=+∈;若为奇函数则有()k k Z ϕπ=∈；(2)若cos()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()k k Z ϕπ=∈;若为奇函数则有()2k k Z πϕπ=+∈；(3)若tan()y A x ωϕ=+为奇函数则有()k k Z ϕπ=∈. 【变式探究】（浙江省2019届高考模拟卷（二)）函数的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 由题意得函数的定义域为，∵，∴函数为偶函数，∴函数图象关于y 轴对称，故排除C,D ． 又当时，，因此可排除B ． 故选A ． 【特别提醒】利用定义判断与正切函数有关的一些函数的奇偶性时，必须要坚持定义域优先的原则，即首先要看f(x)的定义域是否关于原点对称，然后再判断f(－x)与f(x)的关系． 高频考点五 三角函数的对称性 【典例8】（2018年江苏卷）已知函数的图象关于直线对称，则的值是________． 【答案】【解析】 由题意可得，所以，因为，所以【规律方法】函数的对称性问题，往往先将函数化成sin )y A x B ωϕ=++（的形式，其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心, 关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的对称轴与对称中心． 【变式探究】（2021·广西钦州一中高三开学考试（理））关于函数()1cos cos f x x x=+有如下四个命题： ①()f x 的图像关于y 轴对称. ②()f x 的图像关于原点对称. ③()f x 的图像关于直线2x π=对称.④()f x 的图像关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称. 其中所有真命题的序号是__________. 【答案】①④ 【解析】对于①，()f x 定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，显然关于原点对称， 且()()()()11cos cos cos cos x x x f x f x x=-=-++=-，所以()f x 的图象关于y 轴对称，命题①正确；对于②，532f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，532f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则33f f ππ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象不关于原点对称，命题②错误； 对③，532f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，2532f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则233f f ππ⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象不关于2x π=对称，命题③错误； 对④，1sin 2sin f x x x π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，1sin 2sin f x x x π⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭， 则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，命题④正确. 故答案为：①④.【特别提醒】1.求y ＝Asin(ωx ＋φ)或y ＝Acos(ωx ＋φ)函数的对称轴或对称中心时，应把ωx ＋φ作为整体，代入相应的公式中，解出x 的值，最后写出结果．2.正切函数图象的对称中心是(k π2，0)而非(k π，0)(k ∈Z )．高频考点六 三角函数的图象和性质的应用 【典例9】（2018年理北京卷】设函数f （x ）=，若对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________． 【答案】 【解析】 因为对任意的实数x 都成立，所以取最大值，所以，因为，所以当时，ω取最小值为.【典例10】（2020·上海高三专题练习）函数3sin 1()sin 2x f x x -=+的最大值是____，最小值是_________.【答案】234- 【解析】3(sin 2)77()3sin 2sin 2x f x x x +-==-++ sin [1,1]x[]sin 21,3x ∴+∈11,1sin 23x ⎡⎤∴∈⎢⎥+⎣⎦777,sin 23x ⎡⎤∴-∈--⎢⎥+⎣⎦7234,sin 23x ⎡⎤∴-∈-⎢⎥+⎣⎦即max 2()3f x =，min ()4f x =- 故答案为：23；4- 【典例11】（2020·陕西省汉中中学（理））已知函数()2sin()1(0)6f x x πωω=-->的周期是π.（1）求()f x 的单调递增区间； （2）求()f x 在[0,]2π上的最值及其对应的x 的值.【答案】（1）(),63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）当0x =时，()min 2f x =-；当3x π=时，()max 1f x =.【解析】 （1）解：∵2T ππω==,∴2ω=,又∵0>ω,∴2ω=,∴()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭, ∵222262k x k πππππ-+≤-≤+,k Z ∈,∴222233k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈, ∴63k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈,∴()f x 的单调递增区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）解：∵02x π≤≤,∴02x ≤≤π,∴52666x πππ-≤-≤,∴1sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭, ∴12sin 226x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭,∴22sin 2116x π⎛⎫-≤--≤ ⎪⎝⎭, 当0x =时,()min 2f x =-, 当226x ππ-=,即3x π=时,()max 1f x = 【规律方法】1．求形如y ＝a sin x ＋b 的函数的最值或值域时，可利用正弦函数的有界性(－1≤sin x ≤1)求解．2．对于形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (Aω≠0)的函数，当定义域为R 时，值域为[－|A |＋k ，|A |＋k ]；当定义域为某个给定的区间时，需确定ωx ＋φ的范围，结合函数的单调性确定值域．3．求形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c ，a ≠0，x ∈R 的函数的值域或最值时，可以通过换元，令t ＝sin x ，将原函数转化为关于t 的二次函数，利用配方法求值域或最值，求解过程中要注意正弦函数的有界性．4．求形如y ＝a sin x ＋bc sin x ＋d ，ac ≠0的函数的值域，可以用分离常量法求解；也可以利用正弦函数的有界性建立关于y 的不等式反解出y ．综上可知，求与三角函数有关的函数的值域(或最值)的常用方法有：(1)借助于正弦函数的有界性、单调性求解；(2)转化为关于sin x 的二次函数求解．注意求三角函数的最值对应的自变量x 的值时，要考虑三角函数的周期性． 【变式探究】1.（2020·山东潍坊�高一期末）若函数()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则（ ） A ．(2)(0)5f f f π⎛⎫>>-⎪⎝⎭B ．(0)(2)5f f f π⎛⎫>>-⎪⎝⎭C ．(0)(2)5f f f π⎛⎫>-> ⎪⎝⎭D ．(0)(2)5f f f π⎛⎫->> ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】由题意，函数()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π， 可得w ππ=，解得1w =，即()tan()4f x x π=+，令,242k x k k Z πππππ-+<+<+∈，即3,44k x k k Z ππππ-+<<+∈， 当1k =时，544x ππ<<，即函数()f x 在5(,)44ππ上单调递增， 又由4(0)(),()()()555f f f f f πππππ=-=-+=， 又由425ππ>>，所以(0)(2)5f f f π⎛⎫>-> ⎪⎝⎭. 故选：C.2.（2020·陕西新城�西安中学高三月考（文））设0a <，若不等式22cos (1)cos 0x a x a -+-+≥对于任意的x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是__________． 【答案】2a ≤- 【解析】令cos [1,1]t x =∈- ，则不等式22()(1)0f t t a t a =---≤ 对[1,1]t ∈- 恒成立，因此22(1)00,02(1)020f a a a a f a a -≤⎧-≤⎧⇒<∴≤-⎨⎨≤--≤⎩⎩ 3.（浙江省绍兴市第一中学2019届高三上期末）设函数(1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)当时，的最大值为，求的值【答案】(1) 最小正周期,为的单调递增区间；(2) .【解析】 （1）则的最小正周期当时，单调递增即的单调递增区间为：(2)当时，当，即时，所以【总结提升】比较三角函数值大小的步骤：①异名函数化为同名函数；②利用诱导公式把角化到同一单调区间上；③利用函数的单调性比较大小．。

5.4.3 正切函数的性质与图象7题型分类(学生版)2025学年高一数学同步知识题型讲义(人教必修一

5.4.3 正切函数的性质与图象7题型分类(学生版)2025学年高一数学同步知识题型讲义(人教必修一

5.4.3 正切函数的性质与图象7题型分类一、正切函数的图象二、正切函数的性质1．定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ，2．值域：R3．周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是π4．奇偶性：正切函数是奇函数，即()x x tan tan -=-．5．单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增三、正切函数型tan()(0,0)y A x A ωϕω=+≠>的性质1、定义域：将“x ωϕ+”视为一个“整体”．令,2x k k z πωϕπ+≠+∈解得x ．2、值域：(),-¥+¥3、单调区间：（1）把“x ωϕ+”视为一个“整体”；（2）0(0)A A ><时，函数单调性与tan (,)2y x x k k z ππ=≠+∈的相同（反）；（3）解不等式，得出x 范围．4、周期：T πω=（一）正切函数的定义域、值域问题(1)求正切函数定义域的方法①求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义，即x ≠π2＋k π，k ∈Z.②求正切型函数y ＝A tan (ωx ＋φ)(A ≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx ＋φ”视为一个“整体”．令ωx ＋φ≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x . (2)求正切函数值域的方法①对于y ＝Atan (ωx ＋φ)的值域，可以把ωx ＋φ看成整体，结合图象，利用单调性求值域．②对于与y ＝tan x 相关的二次函数，可以把tan x 看成整体，利用配方法求值域（二）正切函数的图象问题熟练掌握正切函数的图象和性质是解决与正切函数有关的综合问题的关键，需注意的是正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的．　题型3：正切函数的图象及应用3-1．（2024高一上·宁夏银川·期末）函数()2tan f x x x =×（11x -<<）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．3-2．（2024高二下·浙江丽水·期中）函数3()3tan f x x x =-在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．3-3．（2024高一上·全国·课后作业）画出函数|tan |y x =的图象．(1)根据图象判断其定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性；(2)求不等式|tan |1x £的解集．3-4．（2024高一上·广东·期末）若函数tan()(0)y x ϕϕ=-³的图象与直线πx =没有交点，则ϕ的最小值为（ ）A ．0B ．π4C ．π2D ．π3-5．（2024高一·全国·课堂例题）观察正切函数曲线，写出满足下列条件的x 的集合．(1)满足tan 0x =的集合．(2)满足tan 0x <的集合．(3)满足tan 0x >的集合．（三）正切函数的单调性及其应用(1)运用正切函数单调性比较大小的方法①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．②运用单调性比较大小关系．(2)求函数y ＝tan(ωx ＋φ)的单调区间的方法y ＝tan(ωx ＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx ＋φ看成一个整体，解－π2＋k π<ωx ＋φ<π2＋k π，k ∈Z 即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．题型4：正切函数的单调性及其应用4-1．（2024高一下·全国·单元测试）函数tan 36y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调区间是（ ）A ．πππ,π()33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z B ．2,()99k k k ππ⎛⎫π-π+∈ ⎪⎝⎭Z C ．2,()3939k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z D ．2,()3939k k k ππππ⎛⎫-+∈⎪⎝⎭Z 4-2．（2024高一·全国·课后作业）已知函数tan y x ω=在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是严格减函数，则实数ω的取值范围是 ．4-3．（2024高一·全国·课堂例题）函数πtan 34y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调递减区间为．4-4．（2024高三·全国·专题练习） π3tan 64x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间为 .4-5．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知函数π()tan()(0)3f x A x ωω=+>，若f x （）在区间ππ2⎛⎫⎪⎝⎭，内单调递减，（四）正切函数的奇偶性与周期性与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略(1)一般地，函数y＝A tan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝π|ω|，常常利用此公式来求周期．(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系．A ．cos y x=B ．sin y x =C ．sin2y x =D ．tan2y x=6-4．（2024高一上·全国·课后作业）已知()tansin 42xf x a b x =-+（其中a b 、为常数且0ab ≠），如果()35f =，则2010()3f π-的值为（ ）A ．3-B ．3C ．5-D ．56-5．（2024高三上·陕西·阶段练习）已知函数()5tan 3f x x x =+-，且()2f m -=-，则()f m =（ ）A ．4-B ．1-C ．1D ．46-6．（2024高一下·山东潍坊·期中）已知()2023sin 2024tan 1f x x x =+-，()()()()()21012f f f f f -+-+++=.（五）正切函数的对称性正切曲线的对称中心为(k π2，0)(k ∈Z)，解关于对称中心的题目时需要把整个三角函数看成一个整体，从整体性入手求出具体范围．题型7：正切函数的对称性7-1．（2024高一下·辽宁铁岭·阶段练习）函数1π()3tan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的对称中心为.7-2．（2024高一下·辽宁·阶段练习）已知函数()()()sin 0,0πf x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为2π3，其图像的一个对称中心的坐标为π,04⎛⎫⎪⎝⎭，则曲线()()tan g x x ωϕ=+的对称中心坐标为（ ）A ．ππ,0312k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，k ∈ZB ．ππ,0612k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，k ∈ZC ．ππ,0312k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈ZD ．ππ,0612k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈Z7-3．（2024·江苏扬州·模拟预测）以点π,0()2k k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Z 为对称中心的函数是（ ）．A ．sin y x =B ．cos y x =C ．tan y x=D ．|tan |y x =一、单选题1．（2024高一上·福建漳州·期末）函数ππ()tan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调区间是（ ）A ．512,2(Z)33k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭B ．512,2(Z)33k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．514,4(Z)33k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭D ．514,4(Z)33k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦2．（2024高一下·内蒙古包头·期末）函数πtan 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域是（ ）A ．5ππ,Z 122k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭B ．5ππ,Z 12x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭C ．ππ,Z 32k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭D ．ππ,Z 3x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭3．（2024高三上·山西晋中·阶段练习）函数()πtan 2xf x =的最小正周期是（ ）A ．2πB ．4πC ．2D ．44．（2024高二下·湖南·学业考试）函数tan y x =在一个周期内的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2024·河南·模拟预测）已知函数()f x 对任意x ∈R 都有()()2=-+f x f x ，且函数()1f x +的图象关于()1,0-对称，当[]1,1x ∈-时，()tan =f x x .则下列结论正确的是（ ）A ．函数()y f x =的图象关于点()(),0k k ∈Z 对称B ．函数()y f x =的图象关于直线()2x k k =∈Z 对称C ．函数()y f x =的最小正周期为2D ．当[]2,3x ∈时，()()tan 2f x x =-6．（2024高一下·北京·期中）函数()tan sin tan sin f x x x x x =--+-|在区间（π2，3π2）内的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．（2024高一·全国·课后作业）下列各式中正确的是（ ）A ．tan1tan 2>-B ．tan 735tan 800°>°C ．5π4πtantan 77>D ．9ππtantan 87>8．（2024高一下·河南平顶山·阶段练习）函数()πtan 27f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象的对称中心可能是( )A ．π,07⎛⎫⎪⎝⎭B ．π,07⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．π,014⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．π,014⎛⎫- ⎪⎝⎭9．（2024高一下·上海·课后作业）已知函数tan y x ω=在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内是减函数，则ω的取值范围为（ ）A ．()2,0-B ．[)1,0-C ．(]0,1D ．[]1,210．（2024·河南郑州·模拟预测）已知函数()π2sin 2πZ 3=πtan πZ3x x k k f x x x k k ⎧≠+∈ïï⎨ï=+∈ï⎩，，，，，若方程()f x =在()0m ，上恰有5个不同实根，则m 的取值范围是（ ）A ．7463⎛⎤⎥⎝⎦ππ，B ．71936⎛⎤ ⎥⎝⎦ππ，C ．51336⎛⎤ ⎥⎝⎦ππ，D ．13763⎛⎤⎥⎝⎦ππ，11．（2024高三·全国·对口高考）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当()0,1x ∈时，()t πan 2f x x=，则()f x 在[0,5]上的零点个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．612．（2024高二下·湖南·阶段练习）若π0,3q ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2tan q + ）A ．B 2+C 52D 13．（2024·宁夏银川·模拟预测）若π()tan3n f n =，（*n ∈N ），则(1)(2)(2023)f f f ++×××+=（ ）A ．BC ．0D ．-14．（2024高一下·河北衡水·阶段练习）函数()π26f x x m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在π,12n ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为3，最小值为1-，则mn =（ ）A ．π6B ．π3C ．π6-D ．π3-15．（2024·湖北武汉·模拟预测）函数()()πtan 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图像如图所示，图中阴影部分的面积为6π，则2023π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．B ．CD 二、多选题16．（2024高一上·吉林长春·阶段练习）已知函数()πtan 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列说法错误的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为π2B ．()f x 的定义域为ππ,3x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z C ．ππ44f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()f x 在ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减17．（2024高一下·辽宁大连·阶段练习）已知函数()tan 2f x x =，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 是奇函数B ．函数()f x 的最小正周期是πC ．函数()f x 在ππ(,)44-上单调递增D ．函数()f x 图象的对称中心是π(,0)(Z)4k k ∈18．（2024高三上·山东·开学考试）已知函数()πtan 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为π2B ．()f x 在ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C ．π3π510f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()f x 的定义域为ππ,Z 3x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭19．（2024高一下·四川成都·期中）已知函数()ππtan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列描述中正确的是（ ）．A ．函数()f x 的图象关于点1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称B ．函数()f x 的最小正周期为2C ．函数()f x 的单调增区间为514,433k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈ZD ．函数()f x 的图象没有对称轴20．（2024高三上·吉林长春·阶段练习）已知函数()πtan 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（ ）A ．π2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()f x 的最小正周期为πC ．把()f x 向左平移π6可以得到函数()tan 2g x x =D ．()f x 在π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增21．（2024高一下·辽宁沈阳·期中）已知函数()πtan 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列叙述中，正确的是（ ）A ．函数()f x 的图象关于点0π4,⎛⎫⎪⎝⎭-对称B ．函数()f x 在ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．函数()f x 的图象关于直线π2x =对称D ．函数()y f x =是偶函数22．（2024高一下·安徽芜湖·期中）下列坐标所表示的点是函数πtan 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像的对称中心的是（ ）A ．π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．5π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭23．（2024高一下·全国·单元测试）下列说法中正确的是（ ）A ．对于定义在实数R 上的函数()f x 中满足()()2f x f x +=，则函数()f x 是以2为周期的函数B ．函数()πtan 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间为5πππ,π66k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，Zk ∈C ．函数()πsin 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数D ．角a的终边上一点坐标为(-，则cos a =24．（2024高一下·广东佛山·阶段练习）已知函数()π7tan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A．π6f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．π6f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数C ．()f x 图象的对称中心为()ππ,0Z 68k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D ．()f x 的定义域为ππ,Z 122k xx k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣三、填空题25．（2024高一下·辽宁锦州·期中）()tan sin 1f x x x =++，若()22f =，则()2f -= ．26．（2024高一下·广东阳江·期末）已知πtan 4a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭a = ．27．（2024高一下·上海徐汇·期中）函数2()tan tan 2,,44f x x x x ππ⎡⎤=+-∈-⎢⎥⎣⎦的值域是28．（2024高二上·广西崇左·开学考试）若函数πtan 23y x k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象都在x 轴上方，则实数k 的取值范围为 .29．（2024高一下·上海·课后作业）函数2tan 2tan ,,64⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦y x x x ππ的值域为．30．（2024高一·全国·课后作业）若函数()tan f x x =在区间ππ,32a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数，则实数a 的取值范围是 ．31．（2024高一·上海·专题练习）函数2tan 4tan 1y x x =+-的值域为32．（2024高一下·上海静安·期中）函数ππtan 63y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域是．33．（2024高一下·湖北·期中）已知函数()πππ,222ππtan ,22a x x x f x x x ⎧+£-³ïï=⎨ï-<<ï⎩或，若函数()3π2y f f x ⎡⎤=-⎣⎦有5个零点，则实数a 的取值范围是 ．34．（2024高一下·全国·课后作业）已知函数tan y x ω=-在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内是减函数，则ω的取值范围是 ．35．（2024高一上·江苏徐州·期末）已知函数()()tan 4f x nx n π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭Z 在区间3,88ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，则n 的取值集合为 .（用列举法表示）36．（2024·全国·模拟预测）若函数tan 4y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，且在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为ω=.37．（2024高一下·上海浦东新·期中）若函数tan()y x ω=在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为严格减函数，则实数ω的取值范围是 ．四、解答题38．（2024高一·全国·课后作业）已知()tan 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的最小正周期；（2）若()f x ϕ+是奇函数，则ϕ应满足什么条件？并求出满足||2ϕπ<的ϕ值.39．（2024高一下·辽宁抚顺·期中）已知函数()()π2tan 08f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π2，(1)求()f x 图象的对称中心；(2)求不等式()2f x >-在5π3π,1616⎛⎫- ⎪⎝⎭上的解集．40．（2024高一·全国·课堂例题）画出函数1π2tan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[0,2π] x ∈上的简图．41．（2024高一下·江西抚州·阶段练习）设函数()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，已知函数()y f x =的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2，且图象关于点π,08M ⎛⎫- ⎪⎝⎭对称.(1)求()f x 的单调区间；(2)求不等式()1f x -££的解集.42．（2024高一·全国·课后作业）已知函数()y f x =，其中()()tan f x A x ωϕ=+，（0ω>，π2ϕ<），()y f x =的部分图像如下图．(1)求A ，ω，ϕ的值；(2)求()y f x =的单调增区间，43．（2024高一下·上海·课后作业）已知函数()()0xf x πωω=>．（1）当4ω=时，求()f x 的最小正周期及单调区间；（2）若()3f x …在,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上恒成立，求ω的取值范围．44．（2024高一·全国·课后作业）已知函数π()tan 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0ω>．(1)若2ω=，求()f x 的最小正周期与函数图像的对称中心；(2)若()f x 在[]0,π上是严格增函数，求ω的取值范围；(3)若方程()f x =在[],a b 上至少存在2022个根，且b －a 的最小值不小于2022，求ω的取值范围．45．（2024高一下·上海虹口·期末）已知函数()πtan 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中0ω>.(1)若2ω=，求函数()f x 的最小正周期以及函数图象的对称中心；(2)若()f x 在闭区间[]0,π上是严格增函数，求正实数ω的取值范围.。

专题5.3 三角函数的图象与性质(原卷版)

专题5.3 三角函数的图象与性质(原卷版)

专题5.3 三角函数的图象与性质题型一 三角函数的值域题型一 三角函数的值域例1．（2023春·重庆铜梁·高一铜梁中学校校考期中）求2()2cos 2sin 3R f x x x x =--+∈（）的最小值是_____例2．（2023·上海·高三专题练习）已知函数()1πsin 223f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 的值域为______．练习1．（2023春·北京·高一清华附中校考期中）当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()14sin sin f x x x =+的最小值为（ ） A ．5 B ．4C ．2D ．1练习2．（2023春·江苏镇江·高三江苏省扬中高级中学校联考期中）函数π()cos (sin ),[0,]4f x x x x x =∈的最大值与最小值的和为（ ）A B C D ．3练习3．（2022·高三课时练习）函数y ＝tan(π－x )，x ∈(,)43ππ-的值域为________．练习4．（2023·全国·高三专题练习）函数()sin 2sin 1cos x xf x x=+的值域__________．练习5．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）已知()23sin 8cos2xf x x =-，若()()f x f θ≤恒成立，则sin θ=（ ）A ．35B ．35 C ．45D ．45-题型二 求三角函数的周期性，奇偶性，单调性，对称性例3．（2023春·北京·高三北京一七一中校考期中）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（ ）A ．sin2cos2y x x =+B ．sin cos y x x =+C ．πsin 22y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．πcos 22y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭例4．（2023春·海南海口·高三海口一中校考期中）（多选）已知函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭则（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图像关于直线π6x =-对称 C ．函数()f x 为偶函数D ．函数()f x 的图像向左平移ϕ个单位后关于y 轴对称，则ϕ可以为5π6练习6．（2023春·全国·高三专题练习）（多选）若函数44()sin cos f x x x =+，则（ ） A ．函数()f x 的一条对称轴为π4x =B ．函数()f x 的一个对称中心为π,04⎛⎫⎪⎝⎭C ．函数()f x 的最小正周期为π2D ．若函数3()8()4g x f x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，则()g x 的最大值为2练习7．（2023春·安徽六安·高三六安市裕安区新安中学校考期中）（多选）函数()π2sin 2f x x =+⎛⎫ ⎪⎝⎭，则以下结论中正确．．的是（ ）A ．()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B ．直线 π6x =为()f x 图象的一条对称轴C ．()f x 的最小正周期为2πD ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上的值域是(练习8．（2023春·江西·高三校联考期中）（多选）已知函数π()cos 25x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()f x 的图象关于2π,05⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图象关于直线8π5x =对称 C ．3π5f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数D ．()f x 为偶函数练习9．（2023·北京海淀·高三专题练习）函数()cos π6f x x ω=+⎛⎫ ⎪⎝⎭在[]π,π-的图象如图所示．则（1）()f x 的最小正周期为__________； （2）距离y 轴最近的对称轴方程__________．练习10．（2023·北京海淀·高三专题练习）函数()()()cos sin f x x a x b =+++，则（ ） A ．若0a b +=，则()f x 为奇函数B ．若π2a b +=，则()f x 为偶函数C ．若π2b a -=，则()f x 为偶函数 D ．若πa b -=，则()f x 为奇函数题型三 解三角不等式例5．（2023春·广东佛山·高三佛山一中校考阶段练习）不等式tan 1x >-的解集是________．例6．（2023春·辽宁本溪·高三校考阶段练习）已知函数()π2cos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(1)用五点法画出函数()f x 在2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的大致图像，并写出()f x 的最小正周期；(2)1≤.练习11．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）已知函数()()lg 2cos 1f x x =-，则函数()f x 的定义域为（ ）A ．ππ2π,2π,Z 33k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭B ．ππ2π,2π,Z 33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C ．Z ππ,ππ2,266k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D ．Z ππ,ππ2,266k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦练习12．（2023春·广东深圳·高一深圳市光明区高级中学统考期中）已知函数()()2sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式； (2)求函数()f x 的单调区间；(3)若()f x >x 的取值范围.练习13．（2021春·高三课时练习）解不等式1tan x ≤≤－练习14．（2023春·辽宁铁岭·高三铁岭市清河高级中学校考阶段练习）已知某地某天从6时到22时的温度变换近似地满足函数π510sin π2084y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.(1)求该地这一天该时间段内温度的最大温差；(2)若有一种细菌在15C 到25C 之间可以存活则在这段时间内，该细菌最多能存活多长时间？练习15．（2023春·江西南昌·高三校考阶段练习）函数lgsin y x =_________．题型四 由三角函数的值域（最值）求参数例7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()11sin 06f x a x x a =-≠，且()7π6f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，则()f x =______例8．（2023春·上海青浦·高三上海市朱家角中学校考期中）设函数sin y x =定义域为[],a b ，值域为11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，则b a -的最大值为______练习16．（2023春·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考期中）已知()π0,sin sin3a f x x a x ⎛⎫>=-- ⎪⎝⎭=a __________.练习17．（2023春·辽宁朝阳·高三朝阳市第一高级中学校考期中）已知函数()cos f x x x =-的定义域为[,]a b ，值域为[1,2]-，则b a -的取值范围是（ ） A ．π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π24π,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2433ππ,⎡⎤⎢⎥⎣⎦练习18．（2023·上海·高三专题练习）若函数πsin 3y x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭（常数0ω>）在区间()0,π没有最值，则ω的取值范围是__________.练习19．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）若函数()sin cos()f x x x ϕ=++的最小值为ϕ的一个取值为___________.（写出一个即可）练习20．（2023春·北京·高三北师大二附中校考期中）已知函数()ππ2sin 25f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若对任意的实数x ，总有()()()12f x f x f x ≤≤，则12x x -的最小值是（ ） A ．2 B ．4C ．πD ．2π题型五 根据单调求参数例9．（2021·高一课时练习）若不等式tan x a >在ππ,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭- 上恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．1a > B ．1a ≤ C ．1a <- D ．1a ≤-例10．（2023·山东烟台·统考二模）已知函数()()()cos 202πf x x ϕϕ=+≤<在ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ϕ的取值范围为（ ）． A ．4ππ3ϕ≤≤ B ．π4π23ϕ≤≤ C ．4π2π3ϕ≤≤ D ．4π3π32ϕ≤≤练习21．（2023秋·云南楚雄·高三统考期末）已知函数()()πcos 03f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若()f x 在区间3π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上为单调函数，则ω的取值范围是______．练习22．（2023春·河南南阳·高三南阳中学校考阶段练习）（多选）若函数cos2y x =与函数()sin 2y x ϕ=+在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性相同，则ϕ的一个值为（ ）A ．π6B ．3π4C ．4π3-D ．4π3练习23．（2023春·四川成都·高三成都市第二十中学校校考阶段练习）已知函数 tan y x ω=在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内是减函数， 则（ ） A ．01ω<< B ．10ω-≤< C ．1ω≥ D ．1ω≤-练习24．（2023春·辽宁·高二辽宁实验中学校考阶段练习）若函数()()cos 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，则实数ω的取值范围是______.练习25．（2023·河北承德·统考模拟预测）已知1ω>，函数π()cos 3f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(1)当2ω=时，求()f x 的单调递增区间； (2)若()f x 在区间ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，求ω的取值范围.题型六 根据对称求参数例11．（2023春·河北石家庄·高三石家庄市第十五中学校考阶段练习）若()ππcos 232f x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=++< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭是奇函数，则ϕ=_________.例12．（湖南省名校2023届高三考前仿真模拟（二）数学试题）函数()()()sin cos f x x x ϕϕ=++的图象的一条对称轴方程是π4x =-，则ϕ的最小正值为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2练习26．（2023·全国·高三专题练习）（多选）若函数()ππsin cos sin sin 36f x x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象关于坐标原点对称，则ϕ的可能取值为（ ） A ．π3-B ．π6-C ．π3D ．2π3练习27．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数π()sin()(0)3f x x ωω=+>，若对于任意实数x ，都有π()()3f x f x =--，则ω的最小值为（ ）A ．2B ．52C ．4D ．8练习28．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考期中）已知函数()2s πsin co 2f x x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．(1)设[0,π)θ∈，函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；(2)若()f x 在区间,π3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有三条对称轴，求实数m 的取值范围．练习29．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，若()0f =π6x =为()f x 图象的一条对称轴，则ω的最小值为______．练习30．（2022·高三课时练习）已知()()3sin f x x ωϕ=+对任意x 都有()()33ππ+=-f x f x ，则3f π⎛⎫⎪⎝⎭等于________．题型七 由图象确定三角函数解析式例13．（2023春·陕西安康·高三陕西省安康中学校考阶段练习）已知函数()()πcos 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（ ）A ．()7ππ2cos 123f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B ．()ππ2cos 243f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()11ππ2cos 243f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭ D ．()11ππ2cos 243f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭例14．（2022春·福建·高二统考学业考试）（多选）函数()()sin 0y A x A ωϕ=+>的一个周期内的图象如图所示，下列结论正确的有（ ）A ．函数()f x 的解析式是()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．函数()f x 的最大值是2C ．函数()f x 的最小正周期是πD ．函数()f x 的一个对称中心是π,06⎛⎫⎪⎝⎭练习31．（2023春·四川成都·高三石室中学校考期中）如图，函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0ω>，π<ϕ）的部分图象与坐标轴的三个交点分别为()1,0P -，Q ，R ，且线段RQ 的中点M 的坐标为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()2f -等于（ ）A ．1B ．－1CD ．练习32．（2023春·吉林长春·高三东北师大附中校考阶段练习）函数()()πsin (0,0,)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部图象如图所示，则ω=______，ϕ=______；练习33．（2023春·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校联考期中）（多选）已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭ 的部分图像如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的图像关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图像关于直线5π12x =-对称 C ．将函数2cos2y x =的图像向右平移π12个单位长度得到函数()f x 的图像D ．若方程()f x m =在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是(2,-练习34．（湖南省部分名校联盟2023届高三5月冲刺压轴大联考数学试题）（多选）如图是某质点作简谐运动的部分图象，位移y （单位：mm ）与时间t （单位：s ）之间的函数关系式是()sin 0,0,0,2y A t A πωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=+>>∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列命题正确的是（ ）A ．该简谐运动的初相为π6B ．该简谐运动的频率为12πC ．前6秒该质点的位移为12mmD ．当42π,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，位移y 随着时间t 的增大而增大练习35．（2023春·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）已知函数()()tan f x A x ωϕ=+π02ϕϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭,，()y f x =的部分图象如图，则 7π24f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．2+BC ．D ．题型八 描述三角函数的变换过程例15．（2022春·福建·高二统考学业考试）为了得到函数π()2cos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需把曲线()cos f x x =上所有的点（ ）A ．向左平移π3个单位，再把纵坐标伸长到原来的2倍B ．向右平移π3个单位，再把纵坐标伸长到原来的2倍C ．向左平移π3个单位，再把纵坐标缩短到原来的12D ．向右平移π3个单位，再把纵坐标缩短到原来的12例16．（北京市2023届高三高考模拟预测考试数学试题）要得到cos 2xy =的图像，只要将sin 2xy =的图像（ ）A ．向左平移π2个单位B ．向右平移π2个单位C ．向左平移π个单位D ．向右平移π个单位练习36．（2021·高三课时练习）函数ππ()2sin(),0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示， 为了得到这个函数的图象，只要将2sin y x =的图象上所有的点 （ ）A ．向右平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B ．向右平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变练习37．（2023春·江西赣州·高三校考期中）（多选）要得到函数y x =的图象，只需将函数π24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有的点的（ ）A ．先向左平移π8个单位长度，再横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）B ．先向左平移π4个单位长度，再横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）C ．先横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π4个单位长度D ．先横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π8个单位长度练习38．（2023春·贵州·高三校联考期中）为了得到函数πsin 28y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只要将函数πcos 24y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象（ ）A ．向左平移5π8个单位长度 B ．向右平移5π8个单位长度 C ．向左平移5π16个单位长度 D ．向右平移5π16个单位长度练习39．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考期中）为得到函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数()cos g x x =图象上的所有点的（ ）A ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移π6个单位长度B ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移π12个单位长度 C ．横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移π6个单位长度D ．横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移π12个单位长度练习40．（2023春·辽宁朝阳·高二校联考期中（多选））已知函数()()2sin (π0,)f x x ωϕϕω><=+的部分图象如图所示，则()f x 的图象可以由函数()2sin g x x =的图象（ ）A ．先纵坐标不变，横坐标变为原来的12，再向左平移11π12个单位长度得到 B ．先纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向右平移π12个单位长度得到 C ．先向右平移π12个单位长度，再纵坐标不变，横坐标变为原来的12得到 D ．先向右平移π6个单位长度，再纵坐标不变，横坐标变为原来的12得到题型九 求图象变换前（后）的函数解析式例17．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）将函数cos2y x =的图象向右平移π20个单位长度，再把所得图象各点的横坐标缩小到原来的12（纵坐标不变），所得图象的一条对称轴为x =（ ） A ．π80B ．π60C ．π40D ．π20例18．（2023·江苏南通·统考模拟预测）将函数()πsin 13f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象上的点横坐标变为原来的12（纵坐标变）得到函数()g x 的图象，若存在()0,πθ∈，使得()()2g x g x θ+-=对任意x ∈R 恒成立，则θ=（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6练习41．（2023·河南郑州·模拟预测）把函数()y f x =图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再把所得曲线向右平移π4个单位长度，得到函数πcos 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，则()f x =（ ） A ．15πsin 212x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．πsin 212x ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．5πsin 212x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．1πsin 212x ⎛⎫- ⎪⎝⎭练习42．（2023·辽宁·校联考三模）（多选）已知函数()()cos 202f x x πϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭图像的一条对称轴为8x π=，先将函数()f x 的图像上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，再将所得图像上所有的点向右平移4π个单位长度，得到函数()g x 的图像，则函数()g x 的图像在以下哪些区间上单调递减（ ） A ．[],2ππ B ．[]2,ππ--C ．79,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．9,42ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦练习43．（2023春·重庆铜梁·高三铜梁中学校校考期中）（多选）将函数π3sin()3y x =+的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把得到的图象向右平移π3个单位长度，得到函数()y g x =的图象，下列结论正确的是（ ） A ．函数()y g x =的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．函数()y g x =的图象最小正周期为πC ．函数()y g x =的图象在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()y g x =的图象关于直线5π12x =对称练习44．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知π3是函数()sin cos f x x a x =+的一个零点，将函数()2y f x =的图象向右平移π12个单位长度后所得图象的表达式为（ ） A ．7π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．2cos 2y x =-D ．2cos2y x =。

高三数学一轮复习知识点讲解5-5函数y=Asin(ωx+φ)的图象及其应用

高三数学一轮复习知识点讲解5-5函数y=Asin(ωx+φ)的图象及其应用

高三数学一轮复习知识点讲解专题5.5 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及其应用【考纲解读与核心素养】1.了解函数 y ＝A sin (ωx ＋φ) 的物理意义，掌握 y ＝A sin (ωx ＋φ) 的图象，了解参数 A ， ω，φ 对函数图象变化的影响.2.本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等.3.高考预测：（1） “五点法”作图； （2）函数图象的变换； （3）三角函数模型的应用问题.（4）往往将恒等变换与图象和性质结合考查 4.备考重点：（1）掌握函数图象的变换； （2）掌握三角函数模型的应用.【知识清单】知识点1．求三角函数解析式 （1）()sin y A x ωϕ=+的有关概念（2）用五点法画sin y A x =+一个周期内的简图用五点法画()sin y A x ωϕ=+一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：知识点2．三角函数图象的变换1.函数图象的变换（平移变换和上下变换）平移变换：左加右减，上加下减把函数()y f x =向左平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()y f x ϕ=+的图象; 把函数()y f x =向右平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()y f x ϕ=-的图象; 把函数()y f x =向上平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()y f x ϕ=+的图象; 把函数()y f x =向下平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()y f x ϕ=-的图象. 伸缩变换:把函数()y f x =图象的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的1ω，得到函数()()01y f x ωω=<<的图象; 把函数()y f x =图象的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的1ω，得到函数()()1y fx ωω=>的图象;把函数()y f x =图象的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的A ，得到函数()()1y Af x A =>的图象; 把函数()y f x =图象的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的A ，得到函数()()01y Af x A =<<的图象. 2. 由sin y x =的图象变换出()sin y x ωϕ=+()0ω>的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换,利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少. 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将sin y x =的图象向左()0ϕ>或向右()0ϕ<平移ϕ个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(0ω>)，便得()sin y x ωϕ=+的图象.途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换：先将sin y x =的图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(0ω>)，再沿x 轴向左(0ϕ>)或向右(0ϕ<)平移ωϕ||个单位，便得()sin y x ωϕ=+的图象.注意：函数sin() y x ωϕ=+的图象，可以看作把曲线sin y x ω=上所有点向左(当0ϕ>时)或向右(当0ϕ<时)平行移动ϕω个单位长度而得到. 知识点3．函数()sin y A x ωϕ=+的图象与性质的综合应用 （1）x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，)(Z k ∈. （2）对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.sin )y A x ωϕ=+（的图象有无穷多条对称轴，可由方程()2x k k Z πωϕπ+=+∈解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与x 轴的交点，可由()x k k Z ωϕπ+=∈，解得()k x k Z πϕω-=∈，即其对称中心为(),0k k Z πϕω-⎛⎫∈⎪⎝⎭．（3）若sin()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()2k k Z πϕπ=+∈;若为奇函数则有()k k Z ϕπ=∈.（4）()sin()f x A x ωϕ=+的最小正周期都是2||T πω=. 【典例剖析】高频考点一 求三角函数解析式【典例1】（2020·湖南娄星�娄底一中高一期末）将函数sin 2y x =的图象向左平移π6个单位长度后得到曲线1C ，再将1C 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线2C ，则2C 的解析式为（ ） A ．πsin 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．πsin 6y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．πsin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．πsin 43y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】A 【解析】将函数sin 2y x =的图像向左平移π6个单位长度后得到曲线1C ，则1C 的解析式为sin 2()sin(2)63y x x ππ=+=+，再将1C 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线2C ，则2C 的解析式为1sin(2)sin()233y x x ππ=⨯+=+故选：A【典例2】（2020·山东五莲�高三月考）函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ϕ=__________；将函数()f x 的图象沿x 轴向右平移(0)2b b π<<个单位后，得到一个偶函数的图象，则b =__________.【答案】4π 38π 【解析】根据函数的图象可得134884T πππ=-=，所以T π=，所以2ππω=，所以2ω=， 又因为18f π⎛⎫=⎪⎝⎭，所以sin 218πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，所以242k ππϕπ+=+，k Z ∈， 所以24k πϕπ=+，k Z ∈，因为||2ϕπ<，所以4πϕ=. 所以()sin(2)4f x x π=+，将()f x 的图象沿x 轴向右移b 个长度单位得函数()sin 2sin 2244y x b x b ππ⎡⎤⎛⎫=-+=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象， 因为函数sin 224y x b π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是偶函数，所以242b k πππ-=+，k Z ∈， 所以28k b ππ=--，k Z ∈， 因为02b π<<，所以1k =-，38b π=. 故答案为：4π；38π. 【规律方法】1.由()sin y A x ωϕ=+的图象求其函数式：在观察图象的基础上可按以下规律来确定A ，ω，φ． (1)A ：一般可由图象上的最大值、最小值来确定．(2)ω：因为T ＝2πω，故往往通过求周期T 来确定ω.可通过已知曲线与x 轴的交点来确定T ，即相邻的最高点与最低点之间的距离为T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T ．(3)φ：从“五点法”中的第一个点(－φω，0)(也叫初始点)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个点的位置．依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系如下： “第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0； “第二点”(即图象曲线的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π； “第四点”(即图象曲线的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”(即图象第二次上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝2π．在用以上方法确定φ的值时，还要注意题目中给出的φ的范围，不在要求范围内的要通过周期性转化到要求范围内．(4)A ，ω，φ三个量中初相φ的确定是一个难点，除使用初始点(－φω，0)外，还可在五点中找两个特殊点列方程组来求解φ．2.利用图象变换求解析式：由sin y x =的图象向左()0ϕ>或向右()0ϕ<平移ϕ个单位，得到函数()sin y x ϕ=+，将图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(0ω>)，便得()sin y x ωϕ=+，将图象上各点的纵坐标变为原来的A 倍(0A >)，便得()sin y A x ωϕ=+. 【变式探究】1.（2018安徽省六安市寿县第一中学上学期第一次月考）函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位后的解析式为（ ）A. B.C.D.【答案】B 【解析】根据函数的部分图象知，，解得，根据五点法画正弦函数图象，知时，，解得，将的图象向左平移个单位后，得到，故选B.2.（2020·江苏南通�高三其他）已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的最小正周期是π，若将该函数的图象向右平移3π个单位长度后得到的图象关于原点对称，则函数的解析式()f x =________. 【答案】2sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭【解析】因为函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的最小正周期是π， 所以22ππωω=∴=函数的图象向右平移3π个单位长度后得到sin 2()3y x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 因为sin 2()3y x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭关于原点对称， 所以22()()33k k Z k k Z ππϕπϕπ-+=∈∴=+∈ 203πϕπϕ<<∴=因此()f x =2sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭故答案为：2sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭【总结提升】根据函数的图象确定函数sin()y A x ωϕ=+中的参数的主要方法： （1）A 主要是根据图象的最高点或最低点的纵坐标确定；（2）ω主要由最小正周期T 确定，而T 的值主要是根据一个周期内图象的零点与最值点的横坐标确定； （3）ϕ主要是由图象的特殊点的坐标确定． 高频考点二 三角函数图象的变换【典例3】（2018·浙江镇海中学）函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωπϕ=+>>-<<的部分图象如图所示，则ϕ=________，为了得到()cos g x A x ω=的图象，需将函数()y f x =的图象最少向左平移________个单位长度．【答案】6π- 3π【解析】由图知2A =，236T πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，所以22T πω==，所以()2sin(2)f x x ϕ=+ 把点,23π⎛⎫⎪⎝⎭代入，得2sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以22()32k k Z ππϕπ+=+∈即2()6k k Z πϕπ=-+∈，又0πϕ-<<，所以6πϕ=-所以()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭因为()2cos22sin 22sin 2236g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以要得到函数()g x 的图象需将函数()f x 的图象最少向左平移3π个单位长度． 故答案为：6π-；3π 【典例4】（2020·浙江高一课时练习）已知函数()sin (,0)4f x x x R πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则将()y f x =的图象向________平移________个单位长度可得到函数()cos g x x ω=的图象． 【答案】左 8π【解析】由于T π=，则2ω=，因此()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． 又因为()cos 2sin 22g x x x π⎛⎫==+⎪⎝⎭， 假设将()f x 的图象平移ϕ个单位，则()sin 2()sin 2244f x x x ππϕϕϕ⎡⎤⎛⎫+=++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 故242ππϕ+=，得8πϕ=，所以只需将函数()y f x =的图象向左平移8π个单位长度就得到函数()cos g x x ω=的图象． 故答案为：左，8π. 【规律方法】函数的图象变换除了平移变换外，还有对称变换．如本例．一般地，函数f (x )的图象与f (－x )的图象关于y 轴对称；－f (x )的图象与f (x )的图象关于x 轴对称；－f (－x )的图象与f (x )的图象关于原点对称；f (|x |)的图象关于y 轴对称． 【变式探究】1.（2020·浙江高一单元测试）如图是函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将sin ()y x x R =∈的图象上所有的点（ ）．A ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变 B ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标仲长到原来的12，纵坐标不变C ．把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变【答案】AC 【解析】由图象知，A=1,T=π，所以ω=2，y=sin （2x+ϕ），将（6π-，0）代入得：sin(ϕ3π-)=0，所以ϕ3π-=kπ，k z ∈，取ϕ=3π，得y=sin （2x+3π）， sin y x =向左平移3π，得sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．然后各点的横坐标缩短到原来的12，得sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．故A 正确．sin y x =各点的横坐标缩短到原来的12，得sin 2y x =．然后向左平移6π个单位，得sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．故C正确．故选：AC2.（2019·江苏高三开学考试）将函数πsin 6y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上所有的点向左平移π4个单位，再将图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象的函数解析式为________． 【答案】15sin 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【解析】将函数sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上所有的点向左平移4π个单位长度， 得到函数5sin sin 4612y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象， 再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)， 可得函数15sin 212y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象. 因此变换后所得图象对应的函数解析式为15sin 212y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭故答案为：15sin 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 【特别提醒】1.图象的左右平移是针对x 而言的，即平移多少是指自变量“x ”的变化，x 系数为1，而不是对“ωx ＋φ”而言的．2．图象的伸缩变换即周期变换也是针对x 而言的，即只是自变量x 的系数发生改变，变为原来的1ω倍，而不涉及φ．3.在进行图象变换时，先平移后伸缩与先伸缩后平移是两种不同的变换，且这两种变换中，平移的单位长度不同，前者平移了|φ|个单位长度，而后者平移了|φω|个单位长度，这是因为由y ＝sin ωx 的图象变换为y ＝sin(ωx＋φ)的图象的过程中，各点的横坐标增加或减少了|φω|个单位长度，即x →x ＋φω，ωx →ωx ＋φ．高频考点三 三角函数模型的应用【典例5】平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深y （米）是随着一天的时间()024,t t ≤≤单位小时呈周期性变化，某天各时刻t 的水深数据的近似值如下表： 0 3 6 9 12 15 18 21 24 1.52．41.50．61.42.41.60.61.5（Ⅰ）根据表中近似数据画出散点图（坐标系在答题卷中）.观察散点图，从 ①()sin y A t ωφ=+， ②()cos b y A t ωφ=++，③sin y A t b ω=-+(A 0,0,0)ωπφ>>-<<中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；（Ⅱ）为保证队员安全，规定在一天中的5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据（Ⅰ） 中的选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全. 【答案】(1) 选②()cos b y A t ωφ=++做为函数模型， 0.9sin 1.56y t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭;(2) 这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练. 才能确保集训队员的安全. 【解析】（Ⅰ）根据表中近似数据画出散点图，如图所示：-依题意，选②()cos b y A t ωφ=++做为函数模型，2.40.6 2.40.60.9 1.522A b -+∴==== 2126T ππωω==∴=0.9cos 1.56y t πϕ⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭0.9 1.532.462.40.93 1.5612102y cos t cos cos sin πϕπϕπϕϕπϕπϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎛⎫∴=⨯⨯++ ⎪⎝⎭⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭∴=--<<∴=-又函数的图象过点（，）又 0.9cos 1.50.9sin 1.5626y t t πππ⎛⎫⎛⎫∴=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（Ⅱ）由（Ⅰ）知： 0.9sin 1.56y t π⎛⎫=+⎪⎝⎭令 1.05y ≥，即0.9sin 1.5 1.056t π⎛⎫+≥⎪⎝⎭1sin 62t π⎛⎫∴≥- ⎪⎝⎭()722666k t k k Z πππππ∴-≤≤+∈ 121127k t k ∴-≤≤+又518t ≤≤571118t t ≤≤≤≤或∴这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练， 才能确保集训队员的安全. 【规律方法】三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型再利用三角函数的有关知识解决问题． 【变式探究】据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元．则7月份的出厂价格为 元． 【答案】6000． 【解析】作出函数简图如图：三角函数模型为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，由题意知：A ＝2 000，B ＝7 000，T ＝2×(9－3)＝12， ∴ω＝2πT ＝π6.高频考点四 函数 的图象与性质的综合应用【典例6】（2020·浙江高三专题练习）【多选题】先将函数()cos 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象上所有的点向右平移4π个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到函数()y g x =的图象，则下列说法中正确的是（ ）． A ．()f x 的周期是πB ．12f x π⎛⎫+⎪⎝⎭是奇函数 C ．()g x 的图象关于点7,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．()g x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 【答案】AD 【解析】由题意得()f x 的最小正周期22T ππ==，A 正确； cos2112f x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭为偶函数，B 错误；将()f x 的图象上所有的点向右平移4π个单位，再向上平移1个单位后， 得到函数()sin 226g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，令26x k ππ-=，得212k x ππ=+，k Z ∈， 令1k =，得712x π=，则()g x 的图象关于点7,212π⎛⎫⎪⎝⎭对称，C 错误； 若x ∈0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则2[,]662x πππ-∈-，则()g x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，D 正确． 故选：AD.【典例7】(2019年高考全国Ⅲ卷文)函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4D ．5【答案】B【解析】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=， 得sin 0x =或cos 1x =，[]0,2πx ∈，0π2πx ∴=、或．()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3，故选B ．【典例8】（2017·山东高考真题（理））设函数，其中.已知.（Ⅰ）求； （Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.【答案】(1) .(2).【解析】 （Ⅰ）因为，所以由题设知，所以，. 故，，又，所以. （Ⅱ）由（Ⅰ）得所以.因为，所以，当，即时，取得最小值.【规律方法】1.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．2.研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题． 【变式探究】1.（2020·嘉祥县第一中学高三其他）【多选题】已知函数()()sin 0,02f x A x A ωϕωϕπ=+>⎛⎫< ⎪⎝>⎭，的最2，其图像相邻的两条对称轴之间的距离为2π，且()f x 的图像关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则下列结论正确的是（ ）.A ．函数()f x 的图像关于直线5π12x =对称B ．当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最小值为C ．若65f πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则44sin cos αα-的值为45-D ．要得到函数()f x 的图像，只需要将()2g x x =的图像向右平移6π个单位 【答案】BD 【解析】由题知：函数()f x ，所以A =因为函数()f x 图像相邻的两条对称轴之间的距离为2π，所以22T π=，2T ππω==，2ω=，()()2 f x x ϕ=+. 又因为()f x 的图像关于点π,012⎛⎫-⎪⎝⎭对称，所以 =0126f ππϕ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=-+，6k ππϕ-+=，k Z ∈.所以6k πϕπ=+，k Z ∈.因为2πϕ<，所以6π=ϕ.即()2 6f x x π=+⎛⎫ ⎪⎝⎭.对选项A ，0512f ππ==⎫⎪⎝⎭≠⎛A 错误. 对选项B ，,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，2,662x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，当ππ266x时，()f x 取得最小值2-， 故B 正确.对选项C ，sin(2)2625f ππααα⎛⎫-=-==⎪⎝⎭， 得到3cos 25α=.因为()()4422223sin cos sin cos sincos cos 25ααααααα-=+-=-=-，故C 错误. 对选项D ，()2g x x =的图像向右平移6π个单位得到222263236y x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 正确. 故选：BD2. （2020·全国高三（文））已知0ϕπ≤<，函数2())sin f x x x ϕ=++． （Ⅰ）若6π=ϕ，求()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）若()f x 的最大值是32，求ϕ的值．【答案】（Ⅰ）2[,]36k k ππππ--,k Z ∈;（Ⅱ）2ϕπ=. 【解析】（Ⅰ）由题意()11cos2sin2442f x x x =-+ 11cos 2232x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 由2223k x k ππππ-≤+≤，得236k x k ππππ-≤≤-． 所以单调()f x 的单调递增区间为2,36k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.（Ⅱ）由题意()11cos cos2sin22222f x x x ϕϕ⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，由于函数()f x 的最大值为32，即221cos 1222ϕϕ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 从而cos 0ϕ=，又0ϕπ≤<， 故2πϕ=．。

初中数学中考一轮复习专题5 二次函数重点、考点知识、方法总结及真题练习

初中数学中考一轮复习专题5 二次函数重点、考点知识、方法总结及真题练习

【答案】 【解析】解：（1）把 A（0，﹣1）代入 y1=a（x﹣2）2，得：﹣1=4a，即 a=﹣ ，
∴二次函数解析式为 y1=﹣ （x﹣2）2=﹣ a2+a﹣1；
设直线 AB 解析式为 y=kx+b，
把 A（0，﹣1），B（2，0）代入得：
，
解得：k= ，b=﹣1，
则直线 AB 解析式为 y= x﹣1；
选叏的五点为：顶点、不 y 轴的交点 0，c 、以及 0，c 关于对称轴对称的点 2h ，c 、 不 x 轴的交点 x1 ，0 ， x2 ，0 （若不 x 轴没有交点，则叏两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口斱向，对称轴，顶点，不 x 轴的交点，不 y 轴的交点.
4. 二次函数 y ax2 bx c 的性质
正斱形的面积，∴y=﹣x2+36．
3.抛物线 y=x2﹣2x+3 的顶点坐标是
．
【答案】（1，2）
【解析】解：∵y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=（x﹣1）2+2，
∴抛物线 y=x2﹣2x+3 的顶点坐标是（1，2）．
4.已知抛物线 y=﹣2（x+1）2﹣3，如果 y 随 x 的增大而减小，那么 x 的叏值范围
D. y=1﹣ x2
【解析】解：把每一个函数式整理为一般形式， A、y=（x﹣1）（x+2）=x2+x﹣2，是二次函数，故 A 丌符合题意； B、y= （x+1）2= x2+x+ ，是二次函数，故 B 丌符合题意；
C、y=2（x+3）2﹣2x2=12x+18，是一次函数，故 C 符合题意； D、y=1﹣ x2=﹣ x2+1，是二次函数，故 D 丌符合题意． 故选：C．

最全一次函数图像专题(带解析)完整版.doc

最全一次函数图像专题(带解析)完整版.doc

最全一次函数图像专题(带解析)完整版.doc最全一次函数图像专题(带解析)完整版一次函数也称为一次方程或线性方程，是数学中的重要概念。

在本专题中，我们将详细讨论一次函数的图像及相关概念和性质。

一、一次函数的定义与性质一次函数是指形如y = kx + b的函数，其中k和b为常数，k 称为斜率，b称为截距。

一次函数的图像是一条直线，其斜率决定了直线的倾斜程度，截距决定了直线与y轴的交点位置。

二、一次函数的图像特征1. 斜率k的正负决定了直线的倾斜方向。

当k为正数时，直线向右上方倾斜；当k为负数时，直线向右下方倾斜。

2. 斜率k的绝对值决定了直线的倾斜程度。

绝对值越大，倾斜程度越大。

3. 当k为0时，直线为水平线；当k不存在时，直线为竖直线。

三、一次函数图像的基本形状1. 当k>0时，直线从左下方向右上方倾斜。

2. 当k=1时，直线为45°斜线。

3. 当k=-1时，直线为水平斜线。

4. 当k=0时，直线为水平线。

5. 当k不存在时，直线为竖直线。

四、一次函数的图像平移1. 沿x轴平移的结果：将y = kx + b中的b替换为b'，则得到的函数为y = kx + b'。

平移后的直线与原直线平行，斜率不变，但截距发生了变化。

2. 沿y轴平移的结果：将y = kx + b中的k替换为k'，则得到的函数为y = k'x + b。

平移后的直线与原直线平行，截距不变，但斜率发生了变化。

五、一次函数的图像伸缩1. 垂直伸缩的结果：将y = kx + b中的k替换为ak，其中a 为正数。

当a>1时，直线变得更陡峭；当0<a<1时，直线变得更平缓。

2. 水平伸缩的结果：将y = kx + b中的x替换为x/a，其中a为正数。

当a>1时，直线变得更平缓；当0<a<1时，直线变得更陡峭。

六、一次函数的解析法与图像的关系1. 斜率k的正负决定了图像的倾斜方向。

专题05 二次函数的图象和性质(解析版)

专题05 二次函数的图象和性质(解析版)

专题五二次函数的图象和性质【专题导航】目录【考点一二次函数定义】【考点二二次函数y=ax2的图像性质】【考点三二次函数y=ax2+k的图像性质】【考点四二次函数y=a（x-p）2的图像性质】【考点五二次函数y=a（x-p）2+k的图像性质】【聚焦考点1】二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数且a≠0）的函数，叫做二次函数。

其中x是自变量，a、b、c分别是二次函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项（区别于二次项，一次项）注意点：A.强调未知数最高次幂为2；B.二次项系数不等于零； C.先化简，再判断是否为二次函数。

【典例剖析1】【典例1-1】已知函数y＝（m2﹣m）x2+mx+（m+1），m是常数．（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，求m的值．【分析】（1）根据二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零，可得方程组，根据解方程组，可得答案；（2）根据二次项的系数不等于零，可得方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：依题意得∴∴m＝1（2）依题意得m2﹣m≠0∴m≠0且m≠1．【点评】本题考查了二次函数的定义，二次函数的二次项的系数不等于零是解题关键．【典例1-2】函数y＝（kx﹣1）（x﹣3），当k为何值时，y是x的一次函数？当k为何值时，y是x的二次函数？【分析】利用一次函数与二次函数的定义分别分析得出即可．【解答】解：∵y＝（kx﹣1）（x﹣3）＝kx2﹣3kx﹣x+3＝kx2﹣（3k+1）x+3，∴k＝0时，y是x的一次函数，k≠0时，y是x的二次函数．【点评】此题主要考查了二次函数与一次函数的定义，正确把握有关定义是解题关键．针对训练1【变式1-1】已知函数y＝（m﹣1）+2x﹣m是二次函数，求m的值，并指出二次项系数，一次项系数及常数项．【分析】根据二次函数的定义列出方程组求解即可．【解答】解：由题意得∴∴m＝﹣2二次项系数为﹣3，一次项系数为2，常数项为2【点评】本题考查二次函数的定义，利用了二次函数的二次项的系数不等于零，次数是2得出方程组是解题关键．【变式1-2】已知是x的二次函数，求出它的解析式．【分析】根据二次函数的定义得出有关m的方程与不等式解答即可．【解答】解：由二次函数的定义，可知m2+m≠0，即m≠0，m≠﹣1又因为m2﹣2m﹣1＝2，m2﹣2m﹣3＝0解得m＝3或m＝﹣1（不合题意，舍去）所以m＝3故y＝12x2+9．【点评】主要考查了二次函数的定义．【能力提升1】二次函数定义【提升1-1】已知函数y＝（m2+m）x．（1）当函数是二次函数时，求m的值；（2）当函数是一次函数时，求m的值．【分析】（1）这个式子是二次函数的条件是：m2﹣2m+2＝2并且m2+m≠0；（2）这个式子是一次函数的条件是：m2﹣2m+2＝1并且m2+m≠0．【解答】解：（1）依题意，得m2﹣2m+2＝2，解得m＝2或m＝0；又因m2+m≠0，解得m≠0且m≠﹣1；因此m＝2．（2）依题意，得m2﹣2m+2＝1，解得m＝1；又因m2+m≠0，解得m≠0且m≠﹣1；因此m＝1．【点评】本题主要考查一次函数与二次函数的定义与一般形式．【提升1-2】一个二次函数y＝（k﹣1）+2x﹣1．（1）求k值．（2）求当x＝0.5时y的值？【分析】（1）根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数可得k2﹣3k+4＝2，且k﹣1≠0，再解即可；（2）根据（1）中k的值，可得函数解析式，再利用代入法把x＝0.5代入可得y的值．【解答】解：（1）由题意得：k2﹣3k+4＝2，则k2﹣3k+2＝0，（k﹣1）（k﹣2）＝0，解得：k1＝1，k2＝2，∵k﹣1≠0，∴k＝2；（2）把k＝2代入y＝（k﹣1）+2x﹣1得：y＝x2+2x﹣1，当x＝0.5时，y＝（）2+2×﹣1＝．【点评】此题主要考查了二次函数以及求函数值，关键是掌握判断函数是否是二次函数，要抓住二次项系数不为0和自变量指数为2这个关键条件【聚焦考点2】y=ax²的图像的性质小结：从二次函数的图象可以看出，对于抛物线y=ax²来说，a越大，抛物线的开口越小【典例剖析2】二次函数y=ax2的图像性质【典例2-1】）抛物线y＝2x2与y＝－2x2相同的性质是（）A．开口向下B．对称轴是y轴C．有最低点D．对称轴是x轴【答案】B【解析】解：抛物线=22的开口向上，对称轴为轴，有最低点；抛物线=−22开口向下，对称轴为轴，有最高点；故抛物线=22与=−22相同的性质是对称轴都是轴.故答案为：B.【点评】本题考查了二次函数的基本性质，利用二次函数的性质解决问题是关键。

初中数学函数图像总结

初中数学函数图像总结

初中数学函数图像总结函数是数学中一个非常重要的概念，而函数的图像则是函数概念的直观表现。

在初中数学中，我们学习了一些常见的函数及其图像，下面我将对初中数学中常见的函数图像进行总结。

一、一次函数。

一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k和b为常数，k为斜率，b为截距。

一次函数的图像是一条直线，斜率决定了直线的倾斜程度，截距决定了直线与y轴的交点位置。

二、二次函数。

二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数且a≠0。

二次函数的图像是一个抛物线，开口方向由a的正负决定，a>0时开口向上，a<0时开口向下。

抛物线的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。

三、指数函数。

指数函数的一般形式为y=a^x，其中a为底数，a>0且a≠1。

指数函数的图像是一条逐渐增长（a>1）或逐渐减小（0<a<1）的曲线，且必过点(0,1)。

四、对数函数。

对数函数的一般形式为y=loga(x)，其中a为底数，a>0且a≠1，x>0。

对数函数的图像是一条逐渐增长（0<a<1）或逐渐减小（a>1）的曲线，且必过点(1,0)。

五、绝对值函数。

绝对值函数的一般形式为y=|x|。

绝对值函数的图像是一条以原点为对称中心的V形曲线。

六、三角函数。

三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

它们的图像是周期性的波浪线，正弦函数和余弦函数的波峰和波谷分别在y轴上方和下方，而正切函数的图像则有无数个渐近线。

以上是初中数学中常见的函数图像总结，通过对这些函数图像的了解，我们可以更好地理解函数的性质和特点，为进一步学习数学打下坚实的基础。

希望本文对你有所帮助，谢谢阅读！。

2019高中数学课本典例改编之高一必修一：专题五_函数的图象含解析

2019高中数学课本典例改编之高一必修一：专题五_函数的图象含解析

2018高中数学课本典例改编之高一必修一：专题五_函数的图象含解析一、题之源：课本基础知识1.作函数的图象有两种基本方法： (1)利用描点法作图，其一般步骤为： ①确定函数定义域； ②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)； ④描点并作出函数图象． (2)图象变换法． ㈠平移变换①水平平移：y ＝f (x )的图象向左平移a (a ＞0)个单位长度，得到()y f x a =+的图象；y ＝f (x －a )(a ＞0)的图象可由y ＝f (x )的图象向左平移a 个单位长度而得到．②竖直平移：y ＝f (x )的图象向上平移b (b ＞0)个单位长度，得到()y f x b =+的图象；y ＝f (x )－b (b ＞0)的图象可由y ＝f (x )的图象向下平移b 个单位长度而得到． 总之，对于平移变换，记忆口诀为“左加右减，上加下减”． ㈡对称变换① y ＝f (－x )，y ＝－f (x )，y ＝－f (－x )三个函数的图象与y ＝f (x )的图象分别关于y 轴、x 轴、原点对称；②若对定义域内的一切x 均有f (m ＋x )＝f (m －x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x=m 对称．2.作分段函数的图象时,分别作出各段的图象,在作每一段图象时,先不管定义域的限制,作出其图象,再保留定义域内的一段图象即可,作图时要特别注意接点处点的虚实,保证不重不漏． 3．识图与用图 (1)识图对于给定的图象，要能从图象的左、右、上、下分布的范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、最大值、最小值等． (2)用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，使问题成功获解的重要依托．函数图象主要应用于以下方面：①求函数的解析式；②求函数的定义域；③求函数的值域；④求函数的最值；⑤判断函数的奇偶性；⑥求函数的单调区间；⑦解不等式；⑧证明不等式；⑨探求关于方程根的分布问题；⑩比较大小；⑪求函数周期等．二、题之本：思想方法技巧1.证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；如已知函数)(1)(R a xa ax x f ∈--+=。

专题05 三角函数的图象及性质(原卷版)

专题05 三角函数的图象及性质(原卷版)

专题05三角函数的图象及性质一、单选题1．（2022·江苏海安·高三期末）函数()cos()6f x x πω=+的部分图象如图，则下列选项中是其一条对称轴的是（ ）A ．724x π= B ．38x π= C ．512x π=D ．1124x π=【答案】C 【分析】由给定解析式及图象确定ω值的表达式，再逐项分析判断作答. 【详解】 依题意，点2(,0)3π是函数()cos()6f x x πω=+的图象对称中心，且2π3在函数()f x 的一个单调增区间内，则22,Z 362k k πππωπ+=-∈，即31k ω=-，Z k ∈， 令函数()f x 周期为T ，由图象知2233243T T ππ⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，即有8493T ππ<<，而2T πω=，则有3924ω<<， 因此，393124k <-<，解得513612k <<，而Z k ∈，则1k =，2ω=，()cos(2)6f x x π=+， 由2,Z 6x n n ππ+=∈得函数()f x 图象的对称轴：,Z 212n x n ππ=-∈， 当0n =时，12x π=-，当1n =时，512x π=，当2n =时，1112π=x ，即选项A ，B ，D 不满足，选项C 满足.故选：C2．（2022·江苏海安·高三期末）通信卫星与经济发展、军事国防等密切关联，它在地球静止轨道上运行，地球静止轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为h km （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球（球心为O ，半径为r km ），地球上一点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面，在点A 处放置一个仰角为θ的地面接收天线（仰角是天线对准卫星时，天线与水平面的夹角），若点A 的纬度为北纬30，则tan θ=（ ）A2rr h + B2rr h + C2hr h+ D2hr h+ 【答案】A 【分析】根据题意作出图形，由三角形的边角关系以及正弦定理结合同角三角函数基本关系、两角差的正弦公式即可求解. 【详解】如图：30AOB ∠=，CAD θ∠=，BC h =， 在Rt AOD 中3tan 303AD OA =⋅=，2cos303OA OD ==，所以BD OD OB r =-=-=，CD BC BD h =-=， 因为180903060ADO ∠=--=，所以18060120ADC ∠=-=，18012060ACD θθ∠=--=-，在ACD △中，由正弦定理可得：sin sin CD ADCAD ACD =∠∠即()33sin sin 60h θθ=-，所以1sin sin 2h θθθ⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, sin 2r hθθ+=，所以sin 2tan cos rr hθθθ==+， 故选：A.3．（2022·江苏如东·高三期末）正弦信号是频率成分最为单一的一种信号，因为这种信号的波形是数学上的正弦函数而得名，很多复杂的信号都可以通过多个正弦信号叠加得到，因而正弦信号在实际中作为典型信号或测试信号获得广泛应用.已知某个信号的波形可以表示为f (x )＝sin x ＋sin2x ＋sin3x .则（ ） A ．f (x )的最大值为3 B ．π是f (x )的一个周期 C ．f (x )的图像关于(π，0)对称 D ．f (x )在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】C 【分析】由函数解析式判断各选项中的性质可得． 【详解】sin y x =取最大值1时，22x k ππ=+，k Z ∈，sin 2y x =取最大值1时，,4x k k Z ππ=+∈，sin3y x =取最大值1时，2,36k x k Z ππ=+∈，三者不可能同时取得，因此sin sin 2sin 33y x x x =++<，A 错； ()sin()sin(22)sin(33)sin sin 2sin3f x x x x x x x ππππ+=+++++=-+-与()f x 不可能恒相等，π不可能是周期，B 错；()()()()()2sin 2πsin 42sin 63sin sin 2sin3f x x x x x x x f x πππ-=-+-+-=---=-，所以()f x 的图象关于点(,0)π对称，C 正确； 函数图象是连续的，而3sin sin sin0222f ππππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，()sin sin sin ()66322f f πππππ=++=>，因此()f x 在(0,)2π上不可能递增，D 错误． 故选：C ．4．（2022·江苏如皋·高三期末）已知1sin 32πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．12B ．12-C D 【答案】B 【分析】利用诱导公式及二倍角的正弦公式即可求解. 【详解】1sin 32πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭2sin 2sin 2cos 212sin 63233πππππαααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+-=-+=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦22112sin 121322πα⎛⎫⎛⎫=+-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：B5．（2022·江苏常州·高三期末）函数()sin 2tan f x x x =+的最小正周期是（ ）A ．π4B ．π2C ．πD ．2π【答案】C 【分析】分别判断函数sin 2y x =和tan y x =的最小正周期，从而可得出答案. 【详解】解：因为函数sin 2y x =的最小正周期为22ππ=，函数tan y x =的最小正周期为π， 且()()()()πsin2πtan πsin 22πtan sin2tan f x x x x x x x +=+++=++=+， πT ∴=.故选：C.6．（2022·广东揭阳·高三期末）已知函数()3sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则该函数的增区间为（ ）A ．()2,222k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ZB ．()52,266k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z C ．()5,1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z D ．()7,1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 【答案】C 【分析】利用整体代换法和复合函数的单调性求函数的增区间. 【详解】 令222232k x k πππππ-+≤+≤+，解得5,1212k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ，所以函数的增区间是()5,1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z . 故选：C.7．（2022·广东潮州·高三期末）己知1cos 3x =，则sin(2)2x π+=（ ）A ．79-B ．79C ．89-D ．89【答案】A 【分析】利用诱导公式和二倍角公式化简计算. 【详解】解：217sin(2)cos 22cos 121299x x x π+==-=⨯-=-.故选：A8．（2022·广东东莞·高三期末）若π(0,)2α∈，212tan cos αα=，则tan α=（ ）A ．12B ．1C ．2D 【答案】B 【分析】根据22sin cos 1αα+=，和sin tan cos ααα=，即可得到22tan tan 1αα=+，进而求出结果. 【详解】因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 0α≠，所以222221sin cos tan 1cos cos ααααα+==+， 所以22tan tan 1αα=+，即()2tan 10α-=，所以tan 1α=， 故选：B.9．（2022·广东东莞·高三期末）已知函数()sin f x x =，()x x g x e e -=+，则下列结论正确的是（ ） A ．()()f x g x 是偶函数 B ．|()|()f x g x 是奇函数 C ．()|()|f x g x 是奇函数 D ．|()()|f x g x 是奇函数【答案】C 【分析】先以偶函数定义去判断选项A 的正误，再以奇函数的定义去判断选项B 、C 、D 的正误.选项A: ()()(e e )sin x x f x g x x -=+()()(e e )sin()(e e )sin ()()x x x x f x g x x x f x g x ----=+-=-+=-，是奇函数，判断错误；选项B: sin (e e )|())|(x xf x xg x -=+sin()(e e )sin (e e )|()|()()()x x x x f x g x f x x x g x ----=-++==,是偶函数，判断错误；选项C: ()|()|e e sin x xg x f x x -=+e e sin()e ()|()|()e sin ()x x x x x xf xg x f x g x --+-+=---==-， 是奇函数，判断正确；选项D: (e |()()e s |)in x xf xg x x -+=(e e )sin()(e e )si |()()||()n ()|x x x x x f x g x f x x g x --+---==+， 是偶函数，判断错误. 故选：C10．（2022·广东罗湖·高三期末）已知3sin 35πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则cos 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．45B ．45-C ．35D ．35【答案】D 【分析】利用三角函数诱导公式将所求式子转化后即可得出结论. 【详解】3sin 35πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，3cos cos sin 63235ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D.11．（2022·广东佛山·高三期末）已知1sin ,,0222ππαα⎛⎫⎛⎫+=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan α等于（ ）A ．BC ．D 【答案】A利用诱导公式求出cos α，再用平方关系求出sin α即可计算作答. 【详解】因1sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则1cos 2α=，而,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，于是得sin α=所以sin tan cos ααα== 故选：A12．（2022·湖南常德·高三期末）已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0>ω，2πϕ<）的部分图象如图所示，则下列四个结论中正确的是（ ）A ．若,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，则函数f (x )的值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭是函数f （x ）图象的一个对称中心C ．函数f （x ）在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数D ．函数f （x ）的图象可以由函数cos 2y x =的图象向右平移12π个单位长度得到 【答案】A 【分析】结合五点法求得函数解析式，然后利用正弦函数性质确定单调性、对称中心、函数值域及三角函数图象变换判断即得． 【详解】由题图及五点作图法得1A =，512πωϕπ⋅+=，2332πωϕπ⋅+=， 则2ω=，6π=ϕ，故()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭.由,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，得52,666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，故()1sin 21,62f x x π⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，函数f (x )在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不是增函数，故A 正确，C 错误；∵当3x π=-时，262x ππ+=-，所以点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭不是函数f (x )图象的一个对称中心，故B 错误；由cos 2sin 22y x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，将函数cos 2y x =的图象向右平移12π个单位长度得到sin 2122y x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故D 错误.故选：A ．13．（2022·湖南娄底·高三期末）将函数()()cos 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()g x 在5,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω的最大值为（ ）A ．14B ．34C ．12D ．1【答案】B 【分析】求得()cos 44g x x ωππω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由5,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可求得4444x πωπππωωπ<-+<+，结合函数()g x 的单调性可得出关于ω的不等式，由此可得出ω的最大值. 【详解】将()f x 的图象向右平移4π个单位长度后得到()cos 44g x x ωππω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象. 因为5,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4444x πωπππωωπ<-+<+， 因为()g x 在5,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以4πωππ+≤，304ω<≤，所以ω的最大值为34.故选：B.14．（2022·湖北武昌·高三期末）已知函数()y g x =的图象与函数sin 2y x =的图象关于直线x π=对称，将()g x 的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()y f x =的图象，则函数()y f x =在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时的值域为（ ）A ．⎡⎢⎣⎦ B ．1⎡-⎢⎣⎦C ．1⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]01，【答案】C 【分析】由对称性先求出()g x 的解析式，再由平移得出()y f x =的解析式，再由正弦函数的性质得出其值域. 【详解】设(),x y 为()g x 的图像上一点，则点(),x y 关于直线x π=对称的点为()2,x y π- 由题意点()2,x y π-在函数sin 2y x =的图象上，则()sin 22sin 2y x x π=-=-所以()sin 2g x x =-，则()2sin 2sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，223323,x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦-，则2sin 23x π⎡⎛⎫-∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦所以()1f x ≤≤ 故选：C15．（2022·湖北江岸·高三期末）计算)tan 70cos10201︒︒︒-=（ ）A ．1B ．﹣1C ．12D ．12-【答案】B 【分析】根据诱导公式、三角恒等变换、二倍角公式可得结果，尽可能地化简为同角的三角函数值 【详解】)))()tan 70cos10201cot 20cos10201cos 20cos101sin 20cos 20cos10sin 20cos1020cos 20sin 20cos102sin10sin 20sin 20sin 201︒︒︒-=︒︒︒-︒⎫=︒⎪︒⎭︒=︒︒⎝⎭︒=︒-︒︒︒=-︒︒-︒=︒=-故选：B16．（2022·湖北江岸·高三期末）下列四个函数中，以π为最小正周期，其在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的是（ ）A ．sin y x =B ．sin y x =C ．cos 2y x =D ．sin 2y x =【答案】A 【分析】对于A ，sin y x =符合题中要求，对于B, sin y x =不是周期函数，对于C ，D ，sin 2y x =,cos 2y x =在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上都不是单调函数，由此可判断正确答案. 【详解】sin y x =的最小正周期为π，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，符合题意，故A 正确；sin y x =不是周期函数，故B 错误；cos 2y x =中，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2π,2πx，故cos 2y x =中在,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时不是单调函数，故C 错误；sin 2y x =,,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2π,2πx，故sin 2y x =中在,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时不是单调函数，故D 错误，故选：A.17．（2022·湖北襄阳·高三期末）已知tan 226θπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 3πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．35B ．35 C ．45D ．45-【答案】B 【分析】利用倍角公式可得cos 3πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭22cos sin 2626θπθπ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再利用弦化切，即求.【详解】∵tan 226θπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,∴cos 3πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭22cos 2cos sin 262626θπθπθπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222cos sin 2626cos sin 2626θπθπθπθπ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221tan 1426141tan 26θπθπ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭==+⎛⎫+- ⎪⎝⎭35=-.18．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）已知tan 2θ=-，则sin sin cos θθθ=+（ ）A ．2B ．12-C ．12D ．2-【答案】A 【分析】以齐次式法去求值即可解决. 【详解】sin sin tan 2cos 2sin cos sin cos tan 121cos cos θθθθθθθθθθθ-====++-++ 故选：A19．（2022·湖北·高三期末）若点55sin ,cos 66M ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭在角α的终边上，则cos2=α（ ）A ．12-B ．12C． D【答案】A 【分析】先将点55sin ,cos 66M ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭化简，得1,2M ⎛ ⎝⎭，结合同角三角函数先求出cos α，再结合二倍角公式求出cos2α即可【详解】 由55sin ,cos66M ππ⎛⎫⎪⎝⎭得1,2M ⎛ ⎝⎭， 则1cos 2α=，21cos22cos 12αα=-=-.故选：A.20．（2022·山东省淄博实验中学高三期末）已知函数()() 2sin 10,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭，()1f α=-，()3f β=，若αβ-的最小值为32π，且的图像关于点,14π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，则函数()f x 的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程是（ ） A ．34x π=-B ．2x π=-C ．12x π=D ．4x π=【分析】根据题意分别求出ω与ϕ，即求出()f x 的解析式，再求出()f x 的对称轴，找到离原点最近的对称轴方程即可. 【详解】由()1f α=-，()3f β=，αβ-的最小值为32π知， 3T π=，223T πω==， ()22sin 13f x x ϕ⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭.()f x 的图像关于点,14π⎛⎫⎪⎝⎭对称， 2()2sin()11sin()04346f πππϕϕ∴=⨯++=⇒+=2πϕ<6πϕ∴=-.()22sin 136f x x π⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭.()f x 的对称轴为2=,362x k k z πππ-+∈.3,2x k k z ππ⇒=+∈.当1k =-时，2x π=-是离原点最近的对称轴方程. 故选：B.21．（2022·山东青岛·高三期末）已知角α的终边上一点P 的坐标为55sin ,cos 66ππ⎛⎫⎪⎝⎭，则角α的最小正值为（ ） A ．6πB ．23π C ．76π D ．53π 【答案】D 【分析】先根据角α终边上点的坐标判断出角α的终边所在象限，然后根据三角函数的定义即可求出角α的最小正值． 【详解】 因为5sin06π>，5cos 06π<，所以角α的终边在第四象限， 根据三角函数的定义，可知5sin cos6πα==， 故角α的最小正值为5233ππαπ=-=． 故选：D ．22．（2022·山东枣庄·高三期末）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的体积为（ ）．A．2πB ．CD ．π【答案】C 【分析】设此圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线长为l ，根据底面圆周长等于展开扇形的弧长，建立关系式解出r ，再根据勾股定理，即可求出此圆锥高，进而求得体积. 【详解】设此圆的底面半径为r ，高为h ，母线长为l ， ∵圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为23π的扇形， ∴3l =，又2223r l πππ=⨯=，解得1r =，因此，此圆锥的高h =圆锥的体积为21133V r h ππ==⨯ 故选：C ．23．（2022·山东枣庄·高三期末）已知30.4tan 1,tan0.1,a b c πππ⎛⎫=+-== ⎪⎝⎭，则（ ）．A ．b c a <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．a b c <<【答案】D 【分析】 由3010.12ππ<-<<，得到3tan(1)tan0.1π-<，令()tan f x x x =-，利用导数求得()f x 在(0,1)上单调递增，得到()0f x >，得出tan ,(0,1)x x x >∈，进而得到b c < ，即可求解. 【详解】因为3010.12ππ<-<<，且tan y x =在(0,)2π为单调递增函数， 所以33tan(1)tan(1)tan0.1πππ+-=-<，即a b <，令()tan ,(0,1)f x x x x =-∈，可得()211cos f x x'=-， 当(0,1)x ∈时，21cos y x=单调递减，所以()f x '在(0,1)单调递增，且()00f '=， 所以()0f x '>在(0,1)上恒成立，所以()f x 在(0,1)上单调递增，且()00f =， 所以()0f x >，即tan 0x x ->，即tan ,(0,1)x x x >∈，所以0.1tan0.1>， 又因为0.40.1c π=>，所以a b c <<.故选：D.24．（2022·山东枣庄·高三期末）已知sin 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则4cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）． A ．59- B ．59 C ．13- D ．13【答案】A 【分析】利用三角恒等变换公式化简求值得解. 【详解】解：2cos 2cos(2)cos(2)[12sin ()]3336πππππαααα⎛⎫-+-=--=--=--- ⎪⎝⎭25(12)99=--⋅=-.故选：A25．（2022·山东枣庄·高三期末）θ为第三或第四象限角的充要条件是（ ）． A ．sin 0<θ B ．cos 0<θC ．sin tan 0θθ<D ．cos tan 0θθ<【答案】D 【分析】第三或第四象限角，不含终边在y 轴负半轴. 【详解】对于A ：第三或第四象限角，以及终边在y 轴负半轴，故A 错误； 对于B ：第二或第三象限角，以及终边在x 轴负半轴，故B 错误； 对于C ：第二或第三象限角，故C 错误； 对于D ：第三或第四象限角，故D 正确.故选：D26．（2022·山东莱西·高三期末）要得到cos 34y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将sin3y x =的图象（ ）A ．向左平行移动4π个单位长度 B ．向右平行移动12π个单位长度 C ．向右平行移动712π个单位长度D ．向左平行移动512π个单位长度 【答案】C 【分析】首先利用诱导公式统一函数名，即3sin 3cos 32y x x π⎛⎫==+⎪⎝⎭，然后根据平移变换即可求解. 【详解】解：因为函数37sin3cos 3cos 32124y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以要得到cos 34y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将sin3y x =的图象向右平行移动712π个单位长度，故选：C.27．（2022·山东青岛·高三期末）已知04παβ<<<，则下列大小关系中正确的是（ ）A ．cos cos (sin )(sin )αβαα>B ．sin sin log cos log cos αααβ>C ．sin sin (cos )(cos )αβαβ>D ．sin cos (cos )(sin )ββαα< 【答案】C 【分析】A.构造函数()sin xy α=，利用其单调性比较大小； B.构造函数sin log y x α=，利用其单调性比较大小；C.构造函数()cos xy α=及函数sin y x β=，利用其单调性比较大小；D.将sin cos (cos )(sin )ββαα<转化为cos tan log sin αβα>，判断cos tan ,log sin αβα的大小关系即可. 【详解】04παβ<<<，则0sin cos 1αα<<<，且cos cos αβ>，sin sin αβ<A.因为函数()sin xy α=在R 上单调递减，故cos cos sin sin αβαα<，A 错误；B.因为函数sin log y x α=在()0,∞+上单调递减，故sin sin log cos log cos αααβ<，B 错误；C.因为函数()cos xy α=在R 上单调递减，函数sin y x β=在()0,∞+上单调递增，sin sin sin (cos )(cos )(cos )αββααβ>>，C 正确；D.sin cos sin ln (cos )(sin )(cos )cos ln(sin )ββαααβαβ⇔<<cos ln(sin )tan log sin cos (c sin l s )n o αααβαββ⇔>⇔> 04πβ<<，0tan 1β∴<<又cos cos log sin log cos 1αααα>=，cos tan log sin αβα∴<，D 错误； 故选：C.28．（2022·山东德州·高三期末）若函数()cos f x x x ωω-，0>ω，x ∈R ，又()12f x =，()20f x =，且12x x -的最小值为3π8，则ω的值为（ ）A ．43B ．83C ．4D ．163【答案】A 【分析】利用辅助角公式化简函数()y f x =的解析式，由12x x -的最小值为函数()y f x =的最小正周期的14，可求得函数()y f x =的最小正周期，进而可求得正数ω的值. 【详解】()()cos 2sin 06πωωωω⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭f x x x x ，所以()22sin 26πω⎛⎫-≤=-≤ ⎪⎝⎭f x x ，因为12x x -的最小值为函数()y f x =的最小正周期的14，所以，函数()y f x =的最小正周期为33482ππ=⨯=T ， 因此，222433ππωπ⨯===T . 故选：A29．（2022·山东济南·高三期末）已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（ ）A ．()2sin 32f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()12sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】A 【分析】由函数()()sin f x A x ωϕ=+的部分图象，即可求出,,A ωϕ的值，即可求出结果． 【详解】由图象可知，327=4126πππω⎛⎫⨯-- ⎪⎝⎭，所以2ω=， 又()f x 过点7,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2A =，且772sin 221212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭即7sin 16πϕ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，所以73=2,62k k ππϕπ++∈Z ，即=2,3k k πϕπ+∈Z ， 又2πϕ<，所以=3πϕ，所以()2sin 32f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选：A.30．（2022·山东临沂·高三期末）已知πsin (,π)2αα=∈，则cos()6πα-=（ ）A ．-1B ．0C ．12D 【答案】B 【分析】先根据πsin (,π)2αα=∈求出2π3α=，进而求出πcos()6α-∵πsin (,π)2αα=∈，∴2π3α=，故ππcos()cos 0.62α-== 故选：B31．（2022·河北深州市中学高三期末）函数()2sin 1x f x x x =++在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性排除部分选项，再由函数的值域判断. 【详解】∵()()f x f x -=，∴()f x 为偶函数，故排除A ，B ．∵sin 1x ≤，211x x ++≥，∴()1f x <，故排除C ， 故选：D ．32．（2022·河北深州市中学高三期末）235cos sinsin 242412πππ=（ ）A ．116BC ．18D【分析】利用诱导公式及二倍角的正弦公式计算可得； 【详解】 解：235cos sinsin cos sin sin 2424122424212ππππππππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 111cossincossin cos sin 24241221212468ππππππ====． 故选：C33．（2022·河北唐山·高三期末）为了得到函数sin 2y x =的图像，只需把函数sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像（ ）A ．向左平移2π个单位 B ．向右平移2π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右移4π个单位 【答案】D 【分析】先对函数sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的解析式进行整理，再结合三角函数的平移规律即可得到结论．【详解】因为：sin 2sin 224y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以：函数sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位，可得到函数sin 2y x =的图象． 故选:D.34．（2022·河北保定·高三期末）已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()510log 42f <<C ．()f x 的图象关于点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭对称D ．()451log log 23f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭【答案】D根据三角函数的周期性定义和三角函数的对称性的概念，即可判断选项A ，C 是否正确；当02x π<<时，易得1()f x ⎤⎥⎝⎦∈，再根据50log 412π<<<，即可判断B 是否正确；由函数sin y x =的单调性，可知()f x 在,36ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，再根据4511log log 232613ππ-<<<<-<，由单调性新即可判断D 是否正确. 【详解】因为函数()()sin =sin =sin =333f x x x x f x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()f x 的最小正周期为π，故A 错误； 当02x π<<时，5,336x πππ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1sin ,132x π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以()1,12f x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，而50log 412π<<<，所以()51log 412f <<，故B 错误； 若()f x 的图象关于点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭对称，则()23f x f x π⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 又22sin =sin 3333f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()sin =sin =sin 333f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--+----- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()23f x f x π⎛⎫-≠-- ⎪⎝⎭，故C 错误；由于函数sin y x =的图象是将函数sin y x =在x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，所以可知sin y x =在,,2k k k πππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭Z 上单调递增， 令,32k x k k ππππ<+<+∈Z ，所以()f x 在区间,,36k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z 上单调递增，所以()f x 在,36ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，又44511log 3log log 123263ππ<-=<<<<--，所以()451log log 23f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：D.35．（2022·山东淄博·高三期末）cos102cos102sin10-=（ ）ABCD ．2【答案】A 【分析】利用二倍角的正弦公式以及两角差的正弦公式化简可得结果. 【详解】()cos102sin 3010cos10cos104sin10cos10cos102sin 202cos102sin102sin102sin102sin10-----===()cos10cos103sin1032sin10--==.故选：A.36．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）已知11tan ,tan ,37αβ==-且,(0,)αβπ∈，则2αβ-=（ ）A ．4πB ．4π-C ．34π-D ．34π-或4π 【答案】C 【分析】根据给定条件利用三角恒等变换求出tan 2()αβ-的值，再判断2αβ-的范围即可得解. 【详解】因11tan ,tan 37αβ==-，则22122tan 33tan 211tan 41()3ααα⨯===--， 31()tan 2tan 47tan(2)1311tan 2tan 1()47αβαβαβ----===++⨯-， 因,(0,)αβπ∈，tan 0,tan 0αβ><，则0,22ππαβπ<<<<，又tan 20α>，有022πα<<，于是得20παβ-<-<，因此，324παβ-=-， 所以324παβ-=-. 故选：C37．（2022·湖南常德·高三期末）若1tan 5α=，则cos2α的值为（ ） A ．1213-B ．126-C ．1213D ．2526【答案】C 【分析】根据二倍角公式以及商数关系即可求出． 【详解】2222222211cos sin 1tan 125cos 2cos sin 1tan 13115ααααααα⎛⎫- ⎪--⎝⎭====++⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 故选：C ．38．（2022·江苏扬州·高三期末）已知ππsin 136αα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos2=α（ ）A．B ．12CD【答案】B 【分析】化简已知条件，求得sin α，进而求得cos2α. 【详解】由题意可知，11sin cos 122αααα⎫-=⎪⎪⎭， 即2sin 1α=，解得1sin 2α=， 所以2211cos 212sin 1222αα⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭.故选：B二、多选题39．（2022·江苏扬州·高三期末）已知函数()cos f x x x ωω+(ω>0)，下列说法中正确的有（ ）A ．若ω=1，则f (x )在(0,)2π上是单调增函数B ．若()()66f x f x ππ+=-，则正整数ω的最小值为2C ．若ω=2，则把函数y =f (x )的图象向右平移6π个单位长度，所得到的图象关于原点对称 D ．若f (x )在(0,)π上有且仅有3个零点，则1723<66ω≤ 【答案】BD 【分析】化简函数f (x )的表达式，再逐一分析各个选项中的条件，计算判断作答. 【详解】依题意，()2sin()6f x x πω=+，对于A ，1ω=，()2sin()6f x x π=+，当(0,)2x π∈时，有2(,)663x πππ+∈，因sin y x =在2(,)63ππ上不单调，所以()2sin()6f x x π=+在(0,)2π上不单调，A 不正确；对于B ，因()()66f x f x ππ+=-，则6x π=是函数()f x 图象的一条对称轴，,Z 662k k πππωπ+=+∈，整理得62k ω=+，而0>ω，即有N k *∈，min 2ω=，B 正确；对于C ，2ω=，()2sin(2)6f x x π=+，依题意，函数()2sin[2()]2sin(2)6666y f x x x ππππ=-=-+=-，这个函数不是奇函数，其图象关于原点不对称，C 不正确； 对于D ，当(0,)x π∈时，(,)666x πππωωπ+∈+，依题意，3<46ππωππ+≤，解得1723<66ω≤，D 正确.故选：BD40．（2022·江苏通州·高三期末）已知函数()3sin 2f x A x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(A ＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，则（ ）A ．π4ϕ=B ．π6f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是偶函数C ．当ππ,3x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，f (x )的最大值为1D ．若()()()12122f x f x x x ⋅=≠，则12x x +的最小值为π【答案】AC 【分析】根据图象求得,A ϕ，根据三角函数的奇偶性、最值等知识对选项逐一分析，从而确定正确选项. 【详解】由图可知()35π5π3πsin 12ππ264240π0πk k Z ϕϕϕϕϕ⎧⎛⎫⎧⨯+=-+=+⎪⎪ ⎪⇒∈⇒=⎝⎭⎨⎨⎪⎪<<<<⎩⎩，A 选项正确. ()3πsin 24f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()π0sin14f A A ==⇒= 所以()3π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.π3ππ362642f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦为奇函数，B 选项错误.π33π53πππ,π,π32224244x x x -≤≤--≤≤--≤+≤-，3π3π1sin 124224x x ⎛⎫⎛⎫-≤+≤+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 选项正确.()3π24f x x ⎛⎫⎡=+∈ ⎪⎣⎝⎭， 若()()()12122f x f x x x ⋅=≠，则11223ππ3ππ2π,2π242242x k x k +=++=+，12,Z k k ∈，11224π4ππ,π3636x k x k =+=+，12,Z k k ∈， 12124π4πππ3636x x k k +=+++()124ππ33k k =++， 当120k k +=时，12x x +取得最小值为π3，D 选项错误.故选：AC41．（2022·江苏宿迁·高三期末）将函数()()sin f x A x ωϕ=+的图象向左平移6π个单位长度后得到()y g x =的图象如图，则（ ）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C ．方程()1f x =在()0,2π内有4个实数根D ．()f x 的解析式可以是()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】BC 【分析】利用图象可求得函数()g x 的解析式，利用函数图象平移可求得函数()f x 的解析式，可判断D 选项；计算()0f 可判断A 选项；利用正弦型函数的单调性可判断B 选项；当()0,2x π∈时，求出方程()1f x =对应的223x π-可能取值，可判断C 选项. 【详解】由图可知，函数()g x 的最小正周期为453123T πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，22Tπω∴==，()max 2A g x ==， 所以，()()2sin 2g x x ϕ=+，则552sin 2126g ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得5sin 16⎛⎫+= ⎪⎝⎭πϕ， 所以，()52Z 62k k ππϕπ+=+∈，得()2Z 3k k πϕπ=-∈， 因为2πϕ<，则3πϕ=-，所以，()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将函数()g x 的图象向右平移6π个单位可得到函数()f x 的图象，故()22sin 22sin 2633f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.对于A 选项，因为()202sin 03f π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭，故函数()f x 不是奇函数，A 错；对于B 选项，当63x ππ<<时，22033x ππ-<-<，故函数()f x 在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，B 对；对于C 选项，由()22sin 213f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，可得21sin 232x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 当()0,2x π∈时，22102333x πππ-<-<，所以，2513172,,,36666x πππππ⎧⎫-∈⎨⎬⎩⎭，C 对； 对于D 选项，()22sin 22sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 错.故选：BC.42．（2022·江苏如皋·高三期末）已知函数2cos sin cos 1()()f x x x x =+-，则下列说法正确的是（ ）A ．5()()8f x f π≥B ．()()88f x f x ππ+=-C ．()()088f x f x ππ++-=D ．()1)(2f f >【答案】ABD 【分析】根据给定条件利用二倍角公式、辅助角公式化简函数()f x ，再逐项分析判断作答. 【详解】依题意，2()2sin cos 2cos 1sin 2cos2)4f x x x x x x x π=+-=++，对于A ，553())8842f ππππ=⨯+==min ()f x = 即R x ∀∈，5()()8f x f π≥，A 正确；对于B ，()sin(2)282f x x x ππ+=+=，()2)82f x x ππ-=-2x =，即()()88f x f x ππ+=-，B 正确；对于C ，取8x π=，()()()(0)20884f x f x f f πππ++-=+=≠，C 不正确；对于D ，因3244πππ<+<，34224πππ<+<，则10))2((f f >>，D 正确. 故选：ABD43．（2022·广东潮州·高三期末）已知函数()sin cos (*)n n f x x x n N =+∈，则（ ） A ．对任意正奇数n ，f (x )为奇函数B ．当n =3时，f (x )在[0，2π]上的最小值为2C ．当n =4时，f (x )的单调递增区间是[,]()4Z k k k πππ-+∈D ．对任意正整数n ，f (x )的图象都关于直线4x π=对称【答案】BD 【分析】通过判断(0)f 的值，判断A 的正误；利用函数的导数判断函数的单调性，求解最大值，判断B 的正误；求出函数的单调增区间判断C 的正误；判断()()2f x f x π-=，判断D 的正误．【详解】解：对于A ，取1n =，则()sin cos f x x x =+，从而(0)10f =≠，此时()f x 不是奇函数，则A 错误； 对于B ，当3n =时，22()3sin cos 3cos sin 3sin cos (sin cos )f x x x x x x x x x '=-=-，当x [0,)4π∈时，()0f x '<；当(,]42x ππ∈时，()0f x '>．所以()f x 在[0,)4π上单调递减，在(,]42ππ上单调递增，所以()f x 的最小值为33()4f π=+=B 正确；对于C ，当4n =时，4422222211cos413()sin cos (sin cos )2sin cos 1sin 21cos42444x f x x x x x x x x x -=+=+-=-=-=+， 令242k x k πππ-+≤≤，则4,442k k x k Z πππ-+≤≤∈， 所以()f x 的递增区间为[,]()422k k k Z πππ-+∈，则C 错误；对于D ，因为()sin ()cos ()cos sin ()222n n n n f x x x x x f x πππ-=-+-=+=，所以()f x 的图象关于直线4x π=对称，则D 正确； 故选：BD.44．（2022·广东东莞·高三期末）已知函数()sin cos f x a x b x =+，若()0f x ∈R 都有()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A ．()s 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()6πf x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()f x 的图象向左平移 6π个单位后，图象关于原点对称D ．()f x 的图象向右平移2 3π个单位后，图象关于y 轴对称 【答案】BD 【分析】先根据条件()0f =b 值，根据()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭可知3f π⎛⎫⎪⎝⎭为函数最大值，据此列出关于a 的方程，求出a 值，得到函数f(x)的解析式，结合辅助角公式和诱导公式，可判断A 、B 的正误，再根据三角函数图象的变换规律，可判断B 、D 的正误. 【详解】()sin cos ,(0)f x a x b x f =+=，b ∴=，又对任意x ∈R 都有()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则()3f π为()f x 的最大值，()3f π∴== ，整理得：2(3)0a -= ，则3a = ，所以()3sin ))63f x x x x x ππ==+=- ，因此A 选项错误，B 正确；()f x 的图象向左平移6π个单位后得到的图象对应的函数解析式为：()))663g x x x πππ=++=+ ，该函数图象不关于原点对称，故C 错误；()f x 的图象向右平移23π个单位后，得到函数2())63x x x ππϕ=+-=- 的图象， 该图象关于y 轴对称，故D 正确， 故选：BD45．（2022·广东汕尾·高三期末）设函数1,0()cos ,0x xx f x e x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，下列四个结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 在区间[),1π-上单调递增B ．函数()y f x x =-有且只有两个零点C ．函数()f x 的值域是[]1,1-D ．对任意两个不相等正实数12,x x ，若12()()f x f x =，则122x x +> 【答案】CD 【分析】利用导数判断0x >时，()y f x =的单调性，根据单调性可求值域，然后结合0x ≤时，()cos f x x =，从而可判断选项A ，C ；首先利用导数判断0x ≤时，()()cos g x f x x x x =-=-的零点个数；然后再利用单调性判断0x >时，()1()ex x g x f x x x -=-=-的零点个数，从而可判断选项B ；不妨设1201x x <<<，根据题意把要证明122x x +>，转化为证明()()112f x f x ->；然后构造函数112()(01)ee x xxxx x ϕ---=-<<，利用导数判断函数的单调性即可证明，从而判断选项D. 【详解】 当0x >时，1()e x x f x -=，所以()11211e e 1()e e x x x x x x f x -----='-=，所以当01x <<时，()0,()f x y f x '>=在(0,1)单调递增， 当1x >时，()0,()f x y f x '<=在(1,)+∞单调递减， 故0x >时，0()(1)1f x f <≤=，又当0x ≤时，()cos f x x =，所以(0)1f =，1()1f x -≤≤， 所以函数()f x 在[,0),(0,1)π-单调递增，所以A 错误，C 正确； 当0x ≤时，令()()cos g x f x x x x =-=-，则()sin 10g x x =-'-≤， 所以()cos g x x x =-在(,0]-∞单调递减，所以当0x ≤时，()(0)1g x g ≥=， 所以函数()y f x x =-在(,0]-∞上没有零点； 当0x >时，()1()ex x g x f x x x -=-=-，所以只需求函数11()1e x h x -=-在(0,)+∞上零点个数，又因为11()1ex h x -=-在(0,)+∞上单调递减，且111(1)10e h -=-=， 所以函数()y f x x =-在(0,)+∞上只有一个零点． 所以函数()y f x x =-有且仅有一个零点，所以B 错误；当0x >时，若()()12f x f x =，因为函数()f x 在(0,1)单调递增，在()1,+∞单调递减， 所以不妨设1201x x <<<，则1122x <-<，所以要证122x x +>，只需证122x x -<，即只需证()()122f x f x ->， 又因为()()12f x f x =，所以只需证()()112f x f x ->.因为()()111111111112111222x x x x x x x x f x f x ee e e ---------=-=-， 所以令函数112()(01)ee x xx xx x ϕ---=-<<， 则()22111(1)e e 11()0e e e xx x x x x x x ϕ--+----=-'=>，所以112()e e x xx xx ϕ---=-在(0,1)单调递增，所以1111121()(1)0e e x ϕϕ---<=-=， 即112()0(01)ee x xxxx x ϕ---=-<<<恒成立，所以1()0x ϕ<， 即()()11111111220x x x x f x f x e e -----=-<，所以()()112f x f x ->， 从而122x x +>成立. 所以选项D 正确. 故选：CD.46．（2022·广东清远·高三期末）将函数1cos (0)6⎛⎫=+> ⎪⎝⎭y x πωω图象上所有的点向右平移6π个单位长度后，得到函数2cos(2)||2⎛⎫=+< ⎪⎝⎭y x πϕϕ的图象，若函数12()f x y y =+，则（ ）A ．()f x 的最小值是B ．()f x 的图象关于直线4x π=对称C ．()f x 的最小正周期是πD ．()f x 的单调递增区间是,()2k k k πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦Z【答案】ACD 【分析】根据题意先求出2y ，进而求出()f x ，然后通过两角和与差的余弦公式进行化简，最后结合三角函数值的图象和性质求得答案. 【详解】由题意知，12cos 2,cos 2cos 26666⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦y x y x x ππππ，则11()cos 2cos 2cos 2sin 2cos 2sin 26622f x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-=⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2x =，()f x 的最小值是π，故A ，C 正确；令2()x k k π=∈Z ，得()2k x k π=∈Z ，若24k ππ=，则12=∉Z k ，故B 错误；令222()-≤≤∈Z k x k k πππ，得()2-≤≤∈Z k x k k πππ，即()f x 的单调递增区间是,()2k k k πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦Z ，故D 正确． 故选：ACD.47．（2022·广东汕尾·高三期末）以下关于函数()sin 22f x x x =的命题，正确的是（ ） A ．函数()y f x =的最小正周期为πB ．点,012π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =图象的一个对称中心C ．直线3x π=的函数()y f x =图象的一条对称轴D ．将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位后得到的函数的图象关于原点对称 【答案】AD 【分析】整理可得2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，代入周期公式，可判断A 的正误，根据212f π⎛⎫= ⎪⎝⎭可判断B 的正误，根据03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭可判断C 的正误，求得平移后的解析式，可判断D 的正误，即可得答案. 【详解】由题意得()sin 222sin 23f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以最小正周期22T ππ==，所以A 对． 2sin 2212123πππf ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以直线12x π=是函数()f x 图象的一条对称轴，所以B 错．2sin 20333πππf ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心，所以C 错．将函数2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后得到的图象对应的函数为2sin 22sin 263y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，是奇函数，所以D 对．故选：AD ．48．（2022·广东·铁一中学高三期末）将函数()()πcos 02f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向右平移π2个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()01g =-，则下列说法正确的是（ ） A ．()g x 为奇函数 B ．π02g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭。

高一数学函数图像专题(含详解)

高一数学函数图像专题(含详解)

高一数学函数图像专题(含详解)一、函数的概念函数是一种数学关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。

在数学中，我们用函数来描述数量之间的关系。

二、函数图像的绘制为了更好地理解函数的性质和规律，我们可以通过绘制函数图像来进行观察和分析。

绘制函数图像时，我们需要确定函数的定义域和值域，并选取一些代表性的输入值，计算出对应的输出值，然后将这些点连接起来，即可得到函数图像。

三、常见函数图像1.直线函数图像：直线函数的图像通常是一条直线，可以通过确定直线的斜率和截距来确定。

2.平方函数图像：平方函数的图像是一条抛物线，开口的方向由平方项的系数决定，开口向上为正，开口向下为负。

3.正弦函数图像：正弦函数的图像是一条波浪形曲线，表现周期性的特点。

4.指数函数图像：指数函数的图像呈现出递增或递减的趋势，斜率随着自变量的增大而增大或减小。

5.对数函数图像：对数函数的图像通常是一条曲线，呈现出随着自变量的增大，函数值增长趋缓的特点。

四、函数图像的性质1.奇偶性：函数图像关于原点对称的称为奇函数，图像关于y轴对称的称为偶函数。

2.单调性：函数图像上的点随着自变量的增大或减小而具有递增或递减的趋势。

3.零点与极值点：函数图像与x轴相交的点称为零点，图像上的极值点包括最大值和最小值。

五、总结函数图像是研究函数性质和规律的重要工具。

通过绘制函数图像，我们可以直观地了解函数的特点，并进行更深入的分析和推理。

在研究函数图像时，需要注意函数的定义域、值域以及一些常见函数的特点和性质。

这对于理解和应用函数概念都非常重要。

以上是关于高一数学函数图像专题的详细解释和内容总结，希望对你有所帮助。

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专题五 函数及其图像专题备考技巧一．理解四个“一次”之间的关系一次函数与二元一次方程、一元一次方程、一元一次不等式有着密切的联系，二元一次方程中的未知数,x y 可以看成关于,x y 的一次函数中的两个变量。

因此，把满足二元一次方程的,x y 的值分别看成是点的横坐标和纵坐标，那么就可以在直角坐标系中画出二元一次方程的图像，而且每个二元一次方程的图像都是一条直线。

对于同一条直线，从方程的角度看，直线上一个点的坐标就是方程的一个解；从函数的角度看，直线上一个点的横坐标与纵坐标分别是一个函数的自变量与所对函数值。

由两个二元一次方程组成的方程组对应着两条直线，也对应着两个一次函数。

从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一元一次方程0ax b +=的解相当于直线y ax b =+与x 轴交点的横坐标，或者说函数为零时的自变量的值；一元一次不等式0ax b +>（0a >）的解集相当于函数值大于零时所对应的自变量的所有值的集合。

二．掌握两个“二次”之间的关系一元二次方程20ax bx c ++=的解是抛物线2y ax bx c =++与x 轴交点的横坐标。

当240b ac ->时，一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实根，抛物线2y ax bx c =++与x 轴有两个交点；当240b ac -=时，一元二次方程20ax bx c ++=有两个相等的实根，抛物线2y ax bx c =++与x 轴只有一个交点；当240b ac -<时，一元二次方程20ax bx c ++=没有实数根，抛物线2y ax bx c =++与x 轴没有交点。

三．弄清函数图像的平移规律不论一次函数还是二次函数和反比例函数，图像平移的规律均为“上加下减，左加右减”。

四．在求函数图象与坐标轴所围三角形面积时，尽量把坐标轴上的一边做底，这样易于计算 例：（2007成都中考）如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象交于(21)(1)A B n -，，，两点．（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式； （2）求AOB △的面积．解：（1）∵点(21)A -，在反比例函数my x=的图象上， (2)12m =-⨯=-∴．∴反比例函数的表达式为2y x=-． ∵点(1)B n ，也在反比例函数2y x =-的图象上，2n =-∴，即(12)B -，．把点(21)A -，，点(12)B -，代入一次函数y kx b =+中，得212k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，，解得11k b =-⎧⎨=-⎩，．∴一次函数的表达式为1y x =--．（2）在1y x =--中，当0y =时，得1x =-．∴直线1y x =--与x 轴的交点为(10)C -，．∵线段OC 将AOB △分成AOC △和BOC △，1113111212222AOB AOC BOC S S S =+=⨯⨯+⨯⨯=+=△△△∴．五、数学思想本专题的主要数学思想有：1．函数思想：利用变化的，运动的观点来观察问题，分析问题，根据问题的条件及数量关系，借助函数图像性质，常能化难为易。

2．数形结合思想：平面直角坐标系使几何图形和代数问题有机结合起来，使抽象的数直观化，形象化，由数导形，由形索数，以达到解决问题的目的。

3．转化思想：将复杂的问题转化为简单问题，将陌生的问题转化为熟悉的问题，将生活中的实际问题转化为具体的函数问题加以解决。

专题热点透析题型一．函数基础知识的应用（2009莆田中考）如图1，在矩形MNPQ 中，动点R 从点N 出发，沿N →P →Q →M 方向运动至点M 处停止．设点R 运动的路程为x ，MNR △的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2点R 应运动到（ ）A ．N 处B ．P 处C ．Q 处D ．M 处（2009贵州黔东南州中考）如图，在凯里一中学生耐力测试比赛中，甲、乙两学生测试的路程s （米）与时间t （秒）之间的函数关系的图象分别为折线OABC 和线段OD ，下列说法正确的是（ ） A 、乙比甲先到终点B 、乙测试的速度随时间增加而增大C 、比赛进行到29.4秒时，两人出发后第一次相遇D 、比赛全程甲的测试速度始终比乙的测试速度快 题型二．函数的实际应用（2009吉林中考）某数学研究所门前有一个边长为4米的正方形花坛，花坛内部要用红、黄、紫三种颜色的花草种植成如图所示的图案，图案中AE=MN ．准备在形如Rt △AEH 的四个全等三角形内种植红色花草，在形如Rt △AEH 的四个全等三角形内种植黄色花草，在正方形MNPQ 内种植紫色花草，每种花草的价格如下表：设AE 的长为x 米，正方形EFGH 的面积为S 平方米，买花草所需的费用为W 元，解答下列问题： （1）S 与x 之间的函数关系式为S= ；（2）求W 与x 之间的函数关系式，并求所需的最低费用是多少元； （3）当买花草所需的费用最低时，求EM 的长．（图1）题型三．函数综合创新题（2006吉林中考）如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，在对称中心O 处有一钉子.动点P 、Q 同时从点A 出发，点P 沿A→D →C 方向每秒2cm 的速度运动，到点C 停止，点Q 沿A→B 方向以每秒1cm 的速度运动到点B 停止.P 、Q 两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设x 秒后橡皮筋扫过的面积为ycm 2. (1)当0≤x≤1时，求y 与x 之间的函数关系式； (2)当橡皮筋刚好触及钉子时，求x 值；(3)当1≤x≤2时，求y 与x 之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时∠POQ 的变化范围； (4)当0≤x≤2时，请在给出的直角坐标系中画出y 与x 之间的函数图象.练习题1（2009安顺中考）乌鸦口渴到处找水喝，它看到了一个装有水的瓶子，但水位较低，且瓶口又小， 乌鸦喝不着水，沉思一会后，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水。

在这则乌鸦喝水的故事中，从乌鸦看到瓶的那刻起开始计时并设时间为x ，瓶中水位的高度为y ， 下列图象中最符合故事情景的是：（ ）2（2009威海中考）如图，△ABC 和△DEF 是等腰直角三角形，∠C=∠F=90°，AB=2.DE=4．点B 与点D 重合，点A,B(D),E 在同一条直线上，将△ABC 沿D E →方向平移，至点A 与点E 重合时停止．设点B,D 之间的距离为x ，△ABC 与△DEF 重叠部分的面积为y ，则准确反映y 与x 之间对应关系的图象是（ ）3（2009恩施中考）一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E ”图案，如图所示，设小矩形的长和宽分别为x 、y ，剪去部分的面积为20，若210x ≤≤，则y 与x 的函数图象是（ ）4(2009鄂州中考)如图，直线y=mx 与双曲线y=x k交于A 、B 两点，过点A 作AM ⊥x 轴，垂足为M ，连结BM,若ABM S ∆=2，则k 的值是（ ）A ．2B ．m-2C ．mD ．45（2009荆门中考）函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6（2009黄石中考）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ． ①③④C ．①②③⑤D ．①②③④⑤7（2009乌鲁木齐中考）要得到二次函数222y x x =-+-的图象，需将2y x =-的图象（ ）A.向左平移2个单位，再向下平移2个单位B.向右平移2个单位，再向上平移2个单位C.向左平移1个单位，再向上平移1个单位D.向右平移1个单位，再向下平移1个单位8（2009湖州中考）已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，请你在图中任意画一条抛物线，问所画的抛物线最多能经过81个格点中的多少个？（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．99（2009台州中考）已知二次函数c bx ax y ++=2的y 与x 的部分对应值如下表：A ．抛物线开口向上B ．抛物线与y 轴交于负半轴C ．当x ＝4时，y ＞0D ．方程02=++c bx ax 的正根在3与4之间10（2009年常德市）一个函数的图象关于y 轴成轴对称图形时，称该函数为偶函数． 那么在下列四个函数，偶函数有 （填出所有偶函数的序号）。

①2y x =；②31y x =--；③6y x=；④21y x =+ 11（2009年湖北十堰市）已知函数1+-=x y 的图象与x 轴、y 轴分别交于点C 、B ，与双曲线xky =交于点A 、D , 若AB+CD= BC ，则k 的值为 。

12（2009济宁中考）如图，⊙A 和⊙B 都与x 轴和y 轴相切，圆心A 和圆心B 都在反比例函数1y x=的图象上，则图中阴影部分的面积等于 . 13（2009黔东南州中考）二次函数322--=x x y 的图象关于原点O （0, 0）对称的图象的解析式是_________________。

14（2009包头中考）将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm 2。

B ．C ．D ．15（2009济宁中考）阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义.下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们平行的定义：设一次函数111(0)y k x b k =+≠的图象为直线1l ，一次函数222(0)y k x b k =+≠的图象为直线2l ，若12k k =，且12b b ≠，我们就称直线1l 与直线2l 互相平行. 解答下面的问题：（1）求过点(1,4)P 且与已知直线21y x =--平行的直线l 的函数表达式,并画出直线l 的图象；（2）设直线l 分别与y 轴、x 轴交于点A 、B ，如果直线m ：(0)y kx t t =+>与直线l 平行且交x 轴于点C ，求出△ABC 的面积S 关于t 的函数表达式.16（2009河池中考）为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x 如图9所示．根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）写出从药物释放开始，y 与x （2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.45始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？17（2009武汉中考）如图，抛物线24y ax bx a =+-经过(10)A -，、(04)C ，两点，与x 轴交于另一点B ．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点(1)D m m +，在第一象限的抛物线上，求点D 关于直线BC 对称的点的坐标；x（3）在（2）的条件下，连接BD ，点P 为抛物线上一点，且45DBP ∠=°，求点P 的坐标．18（2009 安徽）已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示． （1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．（2）写出批发该种水果的资金金额w （元）与批发量m （kg ）之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（3）所示，该经销商拟每日售出60kg 以上该种水果，且当日零售价不变，请帮助该经销商设计进货和销售方案，使得当日获得利润最大。

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