8.1 电子自旋态与自旋算符
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量子力学(第八章自旋)
乌仑贝克（Uhlenbeck）和哥德斯密脱
（Goudsmit）为了解释这些现象，于1925年 左右提出了电子自旋的假设：
（1）每个电子都具有一个自旋角动量 sr ，它
在空间任何方向上的投影只能取两个数值：
r （2S）z 每个h2 （电若子将具空有间自任旋意磁方矩向r 取s 它为与z方自向旋）角动 量 s 的关系是
因而
ˆ x
0
b*
b
0
(31)
而
ˆ
2 x
0
b*
b 0
0
b*
b
0
b2 0
0 1 (32)
b 2
所以 b 2 1，因而可以令 b ei ( 为实)
于是
ˆ x
0
ei
ei
0
(33)
再利用 y i z x ，可得
ˆ y
0
i
ei
ei 0
0
e i (
2)
ei( 2)
系，即
^^
^ ^^
^ ^^
^
[S x , S y ] ih S z ,[S y , S z ] ih S x ,[S z , S x ] ih S y
(11)
或
^r ^r
^r
S S ih S
由于Srˆ 在任意空间方向上投影只能取 h 2这
两 的个 本函征数值值都，是故hSˆ2x ，Sˆy而Sˆz分量这平三方个算分符量的算本符征
1
ir
[(
pr
e
r A)
(
pr
e
r A)]
2 c
2
c
c
其中利用了公式
(r
Ar )(r
16讲电子自旋
实验上，高温炉中的氢原子处于高压， 从炉中出来后气压骤降迅速冷却，使得 电子处于基态： ) = (10)， l = 0 → m = 0 (nl ∴ 所以， 所以， → Fz =0,原子似乎不应该偏转。 ∴→ M z电子偏转必然不来自轨道磁矩
7
一、电子自旋实验(6) 电子自旋实验
∂B 实验表明 Fz = − M z ≠ 0, 且 M z = ± µ B ∂z 分析表明 M z 不应该是轨道磁矩( M z = µ B m ) 由此，人们猜测： (1)除轨道磁矩外，必然存在别的磁矩。 (2)如果存在某种磁矩，它应该只取两个值。 此外，对银原子、钠原子这些多电子原 子，该如何解释？
20
三、自旋角动量算符与泡里算符(2) 自旋角动量算符与泡里算符 r
三、自旋角动量算符与泡里算符(3) 自旋角动量算符与泡里算符 r ˆ 引进无量纲的算符 σ → Pauli 算符， r r ˆ ˆ 其定义为 S = (h 2)σ , 有 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ σ xσ y − σ yσ x = 2iσ z S x S y − S y S x = ih S z ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ S y S z − S z S y = i h S x → σ yσ z − σ zσ y = 2i σ x ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ S S − S S = ihS ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ σ σ − σ σ = 2i σ
14
二、自旋态与自旋波函数(2) 自旋态与自旋波函数
∴ψ ( r , s z )可用一个列向量来表示 ψ 1 ( r ) → s z = h / 2的自旋态 ψ = ψ 2 ( r ) → s z = − h / 2的自旋态 按波函数的统计诠释，电子以 一定的概率处于 ψ 1 ( r )或 ψ 2 ( r )，
811《量子力学》 - 中国科学院
811《量子力学》中科院研究生院硕士研究生入学考试《量子力学》考试大纲本《量子力学》考试大纲适用于中国科学院研究生院物理学相关各专业（包括理论与实验类）硕士研究生的入学考试。
本科目考试的重点是要求熟练掌握波函数的物理解释，薛定谔方程的建立、基本性质和精确的以及一些重要的近似求解方法，理解这些解的物理意义，熟悉其实际的应用。
掌握量子力学中一些特殊的现象和问题的处理方法，包括力学量的算符表示、对易关系、不确定度关系、态和力学量的表象、电子的自旋、粒子的全同性、泡利原理、量子跃迁及光的发射与吸收的半经典处理方法等，并具有综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。
一．考试内容：（一）波函数和薛定谔方程波粒二象性，量子现象的实验证实。
波函数及其统计解释，薛定谔方程，连续性方程，波包的演化，薛定谔方程的定态解，态叠加原理。
（二）一维势场中的粒子一维势场中粒子能量本征态的一般性质，一维方势阱的束缚态，方势垒的穿透，方势阱中的反射、透射与共振，d--函数和d-势阱中的束缚态，一维简谐振子。
（三）力学量用算符表示坐标及坐标函数的平均值，动量算符及动量值的分布概率，算符的运算规则及其一般性质，厄米算符的本征值与本征函数，共同本征函数，不确定度关系，角动量算符。
连续本征函数的归一化，力学量的完全集。
力学量平均值随时间的演化，量子力学的守恒量。
（四）中心力场两体问题化为单体问题，球对称势和径向方程，自由粒子和球形方势阱，三维各向同性谐振子，氢原子及类氢离子。
（五）量子力学的矩阵表示与表象变换态和算符的矩阵表示，表象变换，狄拉克符号，谢振子的占有数表象。
（六）自旋电子自旋态与自旋算符，总角动量的本征态，碱金属原子光谱的双线结构与反常塞曼效应，电磁场中的薛定谔方程，自旋单态与三重态，光谱线的精细和超精细结构，自旋纠缠态。
（七）定态问题的近似方法定态非简并微扰轮，定态简并微扰轮，变分法。
（八）量子跃迁量子态随时间的演化，突发微扰与绝热微扰，周期微扰和有限时间内的常微扰，光的吸收与辐射的半经典理论。
电子自旋算符和自旋函数
2
现在来找特定表象下， x , y , z 算符的矩阵形式。由于S 与 S z 对易，则在它们的共同表象中， S z 的矩阵必然为
Sz 1 0 2 0 1
z 0 1
1
0
（6.2.15）
这是因为 S z 只有两个本征值，因而它对应的矩阵只能是 2 2 的矩阵，而且在 S 自身表象中，矩阵对角线上的元素就是 z 它的本征值。
（6.2.3）
ˆ 在空间中任意方向的投影只能取 2两个值。 由于自旋 S ˆ ,S ˆ ,S ˆ S x,坐标系后， y, z 因此，任意选定 x 三个算符的本 y z 2 2 2 2 ˆ ,S ˆ 的值都是 ˆ 2 S 4 征值都是 ， 即 x y , Sz
Sx 2 S y 2 Sz 2
在表象中由本征函数6224622562所以的本征函数为6226自旋算符用矩阵表示后自旋算符的任一波函数1112212262276228包含自旋在内的电子波函数可表示为表示在时刻在点周围单位体积内找到电子的几率
6.2 电子自旋算符和自旋函数
自旋是一个力学量，在量子力学中，它应该用线性厄 米算符表示。其次，既然是算符，它的性质就应该由算符 所满足的对易关系决定。由于自旋具有角动量性质，而角 ˆ 满足的对易关系是： 动量算符 J
所以
s1
2
为方便起见，引入算符 ，令 S
即
ˆ ˆ ˆ ˆx ,S ˆy ,S ˆz S x y z 2 2 2
2
（6.2.7） （6.2.8）
则由（6.2.2）及（6.2.7）式得
2i
（6.2.9）
6.2 电子自旋算符和自旋函数
写成分量形式 ˆ x ˆ y ˆ y ˆ x [ ˆ x , ˆ y ] 2i ˆz ˆ y ˆz ˆ z ˆ y [ ˆ y , ˆ z ] 2i ˆx ˆ x , ˆ y , ˆz ˆ z ˆx ˆ x ˆ z [ ˆ z , ˆ x ] 2i ˆy
现在来找特定表象下， x , y , z 算符的矩阵形式。由于S 与 S z 对易，则在它们的共同表象中， S z 的矩阵必然为
Sz 1 0 2 0 1
z 0 1
1
0
（6.2.15）
这是因为 S z 只有两个本征值，因而它对应的矩阵只能是 2 2 的矩阵，而且在 S 自身表象中，矩阵对角线上的元素就是 z 它的本征值。
（6.2.3）
ˆ 在空间中任意方向的投影只能取 2两个值。 由于自旋 S ˆ ,S ˆ ,S ˆ S x,坐标系后， y, z 因此，任意选定 x 三个算符的本 y z 2 2 2 2 ˆ ,S ˆ 的值都是 ˆ 2 S 4 征值都是 ， 即 x y , Sz
Sx 2 S y 2 Sz 2
在表象中由本征函数6224622562所以的本征函数为6226自旋算符用矩阵表示后自旋算符的任一波函数1112212262276228包含自旋在内的电子波函数可表示为表示在时刻在点周围单位体积内找到电子的几率
6.2 电子自旋算符和自旋函数
自旋是一个力学量，在量子力学中，它应该用线性厄 米算符表示。其次，既然是算符，它的性质就应该由算符 所满足的对易关系决定。由于自旋具有角动量性质，而角 ˆ 满足的对易关系是： 动量算符 J
所以
s1
2
为方便起见，引入算符 ，令 S
即
ˆ ˆ ˆ ˆx ,S ˆy ,S ˆz S x y z 2 2 2
2
（6.2.7） （6.2.8）
则由（6.2.2）及（6.2.7）式得
2i
（6.2.9）
6.2 电子自旋算符和自旋函数
写成分量形式 ˆ x ˆ y ˆ y ˆ x [ ˆ x , ˆ y ] 2i ˆz ˆ y ˆz ˆ z ˆ y [ ˆ y , ˆ z ] 2i ˆx ˆ x , ˆ y , ˆz ˆ z ˆx ˆ x ˆ z [ ˆ z , ˆ x ] 2i ˆy
量子力学 08自旋
其中a,b,c,d为复数
可得 1 0
a c 0 a 1 c
即
0 1
ˆ ˆ ˆ ˆ z x x z
b a d c b d
b 1 d 0
b a d c
所以，
ˆ ˆ x
y
ˆ ˆ y
x
ˆ i z
三、泡利算符在 z 表象中的具体形式 上面我们引入了自旋算符，并讨论了它的代数，在适当表象中，可以
ˆ ˆ ˆ 将它们表示成矩阵。 现在来找特定表象下， x , y , z 算符的矩阵形式。
z 表象：指在 的本征矢作为基矢构成的空间中态矢量和力学量 ˆ
凡满足上式（5）的算符都是角动量。自旋既然是角动量，那
么它自然满足作为角动量定义的对易关系：
ˆ s is ˆ ˆ s
其分量形式：
（9）
ˆ ˆ ˆ [ s x , s y ] isz
ˆ ˆ ˆ [s y , sz ] is x
ˆ ˆ ˆ [sz , s x ] is y
第8章
自旋
一、提出电子自旋的实验根据：
1.钠黄线的精细结构
3p
D1
58 93 Å 58 96 Å
3p3/2 3p1/2
D2
58 90 Å
钠原子光谱中的一条亮黄线 = 5893Å，用高分辨率的光谱仪观 测，可以看到该谱线其实是由靠 的很近的两条谱线组成。
3s 2.反常塞曼效应
3s1/2
在弱磁场中，一条原子光谱线分裂成偶数条谱线的现象。 1912年反常塞曼效应，特别是氢原子的偶数重磁场谱线分裂 ， 无法用轨道磁矩与外磁场相互作用来解释 ，因为这只能分裂谱 线为 （2n+1）重，即奇数重。
第八章 自旋
0 e i ( ) i ( ) e 0
这里有一个相位不定性，习惯上取α= 0,于是得到 Pauli算符的矩阵形式为：
16
0 1 x 1 0
0 i y i 0
1 0 z 0 1
得：b = c*(或c = b*)
0 c x c 0
*
x
2
0 c* 0 c* c 0 c 0 | c |2 0 0 | c |2 I
| c |2 1
令：c = exp[iα ] (α 为实），则
从自旋算符与 Pauli 矩阵的关系自然得到自旋算符的 矩阵表示：
0 1 Sx 1 0 2 0 i Sy i 0 2 1 0 Sz 0 1 2
四、含自旋波函数的归一化和几率密度 （1）归一化
1 ( r , t ) 电子波函数表示成矩阵形式后， (r , t ) 2
13
3. Pauli算符的矩阵形式
根据定义:
1 0 ˆ z Sz 0 1 2 2 1 0 ˆ z 0 1
求Pauli 算符的其他两个分量. 令:
a b ˆ x c d
利用反对易 关系
2 ( r , t )d
五、自旋波函数
波函数
1 2
一般情况下，ψ1 ≠ψ2，
二者对(x, y, z)的依赖是不一样的。
(r , S z , t ) (r , t ) ( S z ) ˆ 其中 ( S z )是S z的本征函数，称为自旋波函数。
曾谨言《量子力学教程》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-自旋(圣才出品)
上式中任何一式的左侧的 3 个二体自旋算符中任何两个都构成 2 电子体系的一组 CSCO．例如，{σ1x,σ2x,σ1y,σ2y）的共同本征态，列于表 8．2 中[采用（σ1z,σ2z）表象]，
这就是著名的 Bell 基． 表 8.2 Bell 基
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对于 j = l −1/ 2(l 0) ，
（1）
（2）方程的解以及光谱双线粗细结构原因
（2）
电子能量本征值与量子数
都有关，记为 ，是（2j＋1）重简并．可以得出
即 j = l +1/ 2 能级略高于 j = l −1/ 2(l 0) 能级．但由于自旋轨道耦合很小，这两条能级 很靠近．这就是造成光谱双线粗细结构的原因．
本征态 SM 可以表示为
以它们为基矢的表象，称为角动量耦合（coupling）表象．
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（4）分离态与纠缠态
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由两个粒子组成的复合体系的量子态，如果能够表示为每个粒子的量子态的乘积，则
称为可分离态（separablestate）．反之，为纠缠态（entangled state）．例如，（S1z ，
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2．反常 Zeeman 效应 考虑磁场后能量本征值为
（3） 与 则是求解径向方程（1）和（2）得出的本征函数和本征值．当无外磁场 时（B＝0），能级 是（2j＋1）重简并．当加上外磁场时，如式（3）所示，能级 将依赖于磁量子数 mj，一般说来， 能级分裂为（2j＋1）条．（2j＋1）为偶数，这就 造成了反常 Zeeman 分裂现象．
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电子自旋与自旋电子学的物理基础
电子自旋与自旋电子学的物理基础自旋是描述电子的一种量子性质，它是电子固有的角动量，类似于物体的自转。
自旋在电子学领域起着至关重要的作用，特别是在自旋电子学中。
本文将介绍电子自旋及其与自旋电子学的物理基础。
一、电子自旋的基本概念与性质电子自旋是描述电子的一种内禀角动量，它没有经典物理学的对应物。
电子的自旋取值为1/2或-1/2，表示两个相反的自旋状态，分别称为自旋“上”态和自旋“下”态。
自旋“上”态用符号↑表示，自旋“下”态用符号↓表示。
电子自旋与电子的轨道运动是相互独立的，即电子可以具有不同的自旋态，而处于相同轨道。
这意味着一个能级最多可以容纳两个电子，分别处于上自旋态和下自旋态。
这就是著名的泡利不相容原理，否定了多个电子同时处于相同状态的可能性。
二、自旋电子学的基本思想自旋电子学是利用电子的自旋来操控和传输信息的一种新兴领域。
自旋电子学的基本思想是通过利用电子自旋的两个状态来表示信息的“0”和“1”。
与传统的电子学（即利用电子的电荷来传输信息）相比，自旋电子学具有更低的能耗和更高的速度。
在自旋电子学中，常用的一种方法是通过磁性材料来实现对自旋的操控，这种材料被称为磁性隧道结。
磁性隧道结由两层磁性材料之间夹着一层非磁性材料组成。
当施加适当的电压时，电子可以在磁性材料之间通过隧道效应进行转移，从而实现对自旋的操控。
三、自旋传输与自旋扭曲效应自旋传输是自旋电子学中的关键技术之一。
在自旋传输中，电子的自旋信息在材料中的输运过程中得以保持。
这与传统的电子输运不同，传统电子输运中，电子受到碰撞等因素的影响，自旋信息很容易被破坏。
自旋传输的实现离不开自旋扭曲效应。
自旋扭曲效应是指由于材料中存在非均匀磁场或自旋轨道耦合等因素，导致电子的自旋在空间中发生扭曲。
这种自旋扭曲可以用来操控和传输自旋信息。
四、应用与展望自旋电子学具有广泛的应用前景。
一方面，它可以用于构建更快、更低功耗的电子器件，如自旋晶体管、自旋存储器等，以满足现代信息技术对高性能电子器件的需求。
量子力学中的自旋和自旋运算符
量子力学中的自旋和自旋运算符量子力学是物理学中的一门重要学科，探讨了微观世界的规律和现象。
自旋是量子力学中的一个基本概念，它代表了粒子固有的角动量。
在这篇文章中，我们将深入探讨自旋以及与之相关的自旋运算符。
自旋是指粒子的角动量，既不是经典物理学中的自转角动量，也不是轨道角动量，而是一种纯量子现象。
它最早由斯特恩和格拉赫于1922年在实验中观察到，随后由Pauli在1925年引入量子理论中。
自旋具有类似于经典角动量的性质，包括取离散值、能够与其他角动量相互作用等特点。
在量子力学中，自旋的运算符用符号S表示。
自旋运算符有许多重要的性质，其中之一是自旋分量的测量结果只能取离散值，例如针对自旋1/2粒子，自旋分量只能取正负1/2。
自旋运算符还具有与经典角动量相似的代数性质，包括自旋分量的对易关系、自旋矢量的加法和相应的旋转等。
自旋运算符的对易关系是量子力学中的重要数学工具之一。
对于自旋1/2的粒子，自旋分量Sz和自旋算符Sx、Sy之间的对易关系可以表示为[Sx, Sy] = iħSz。
根据这个关系，我们可以推导出自旋算符之间的各种对易关系，进一步研究自旋的性质和相互作用。
除了对易关系，自旋运算符还可以用于描述自旋矩阵的变换和自旋态间的变换。
自旋矩阵描述了自旋在不同方向上的分量，通常用泡利矩阵表示。
自旋态是表示粒子自旋状态的量子态，可以用自旋向上、自旋向下等基矢表示。
通过对自旋矩阵和自旋态的变换，我们可以研究自旋的旋转和相应的测量结果。
自旋在各个领域中都有广泛的应用，尤其在物理、化学和材料科学中扮演着重要角色。
例如，在量子信息科学中，自旋可以用作量子比特，实现量子计算和通信。
在凝聚态物理中，自旋可以用于研究磁性材料和拓扑绝缘体等新型材料的电子结构。
在原子物理学和粒子物理学中，自旋可以用于研究原子核结构和粒子性质的微观现象。
总而言之，自旋是量子力学中的一个重要概念，代表了粒子固有的角动量。
自旋运算符是描述自旋性质和相互作用的数学工具，具有对易关系和相应的变换性质。
两个电子的自旋态和自旋算符
300
中央民族大学学报 ( 自然科学版)
第 13 卷
1
S ^ 1z =
0 1 0 0
0 0 - 1 0
0 0 0 - 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , S ^ 2z =
1 0 2 0 0 0 0 0 - 1
0 - 1 0 0
0 0 1 0
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第4期
朱振和 : 两个电子的自旋态和自旋算符
301
列写在一起 . 我们按照这种数学表示方法来验证 ( 32) 式 ,证明如下 :
摘 要: 本文给出两个电子的自旋态和各种自旋算符在无耦合表象和耦合表象中的矩阵表示式 ,也给出在 两电子自旋相互作用可以忽略的条件下的另一种数学表示方式 ,即把两个电子的自旋态表示为两个二行一 列矩阵 ( 一个电子的自旋态矢量) 并列的写在了一起 . 关键词 : 自旋态 ; 自旋算符 ; 直积 ; 无耦合表象 ; 耦合表象 中图分类号 :O41311 文献标识码 :A 文章编号 :100528036 (2004) 0420297207
…
bm b1
…
a1 bm a2 b1 a2 b2
a1
b1 b2
| A〉 | B 〉=
a2
…
an
…
bm
=
a2 ×
b2
…
bm
=
…
a2 bm a3 b1
( 5)
…
b1 an × b2
…
a n b1
…
bm
…
电子自旋
性质
进一步研究表明，不但电子存在自旋，中子、质子、光子等所有微观粒子都存在自旋，只不过取值范围不同。 自旋和静质量、电荷等物理量一样，也是描述微观粒子固有属性的物理量。在电子自旋的学习中，首先要了解电 子自旋的实验依据及自旋假设，重点掌握电子自旋的描述，同时能应用电子自旋的理论解释原子光谱现象。
因为电子有1/2的自旋，所以在外加磁场下能级二分。当外加具有与此能量差相等的频率电磁波时，便会引 起能级间的跃迁。此现象称为电子自旋共振。缩写为ESR。对相伴而产生的电磁波吸收称ESR吸收。产生ESR的条 件为νo（MHz）=1.4·g·Ho（高斯）。式中νo为电磁波的频率，Ho为外部磁场强度，g为格朗因子、g因子（g factor）或g值。一个分子中有多数电子，一般说每二个其自旋反相，因此互相抵消，净自旋常为0。但自由基有 奇数的电子，存在着不成对的电子（其无与之相消的电子自旋）。也有的分子虽然具有偶数的电子，但二个电子 自旋同向，净自旋为一（例如氧分子）。原子和离子也有具有净自旋的，Cu2+、Fe3+、和Mn2+等常磁性离子即是。 这些原子和分子为ESR研究的对象。由于电子自旋与原子核的自旋相互作用，ESR可具有几条线的结构，将此称为 超微结构（hyperfine structure）。g因子及超微结构都有助于了解原子和分子的电子详细状态。也可鉴定自 由基。另外，从ESR吸收的强度可进行自由基等的定量。因为电子自旋的缓和依赖于原子及分子的旋转运动，所 以通过对ESR的线宽测定，可以了解原子及分子的动的状态。
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数学表示
量子力学中关于自旋的数学表示 量子力学中自旋的算符为 其中 对于电子，是泡利矩阵： 自旋算符满足 其中称为升算符，称为降算符。 每个方向上电子都具有两个本征值和，相应的本征矢为： 因此 由于泡利矩阵不对易，因此各个方向测量自旋是不相容的。特别的， 这可以用来解释在x轴方向自旋为的电子经过y轴方向测量时，各有的概率测到自旋为和 ；之后再次在x轴轴 测量，各有的概率测到自旋为和。
量子力学(第八章自旋)解读
乌仑贝克（Uhlenbeck）和哥德斯密脱 （Goudsmit）为了解释这些现象，于1925年
左右提出了电子自旋的假设：
（1）每个电子都具有一个自旋角动量
Sz
s
，它
在空间任何方向上的投影只能取两个数值： （2）每个电子具有自旋磁矩 s 它与自旋角动
量
2
（若将空间任意方向取为z方向） 的关系是
ms 称为自旋磁量子数。由
且
2
S S S S
2 2
2 2 x
^2
(13)
2
3 故 S 的本征值是 S S S S 4
2 y 2 z
[ S , S z ] [ S , S y ] [ S , S x ] 0 (14)
2
若将任何角动量平方算符的本征值记为
J j ( j 1)
0 1 (Sz ) 2 1
(7)
与 构成电子自旋态空间的一组正交完备基，
任何一个自旋态式（4），均可用它们来展开， 表示为 a (8) ( S z ) a b
(9)
b 而计及空间坐标的波函数式（1），可以表示为
(r , Sz ) (r , 2) (r , 2)
^
^
^
^
^
(24)
z x x z i y
即
^
^
^
^
^
i
式(21)和(24)和 数性质。
概括了Pauli算符的全代
特例: 在量子力学中凡与自旋有关的力学量常 ˆ 算符表示。 ˆ 在任意方向n 的分量算符 ˆn 以
或表示为
[ i , j ] 2iijk k
量子力学_8.1电子自旋态与自旋算符
习惯上取相角 a 0, 得出Pauli 算符的下列矩阵表示
0 1 0 i 1 0 x , y , z 1 0 i 0 0 1
（20）
称为Pauli 矩阵.
量子力学教程 量子力学教程(第二版)
8.2 总角动量的本征态
(17)
令
x
矩阵为
a x c b d
(18)
利用 得 z x x z
a c
b a b c d d
(19)
所以a=d=0 ，再根据厄米性 x x 要求， 可得 c b ，因而
d
3
r r , / 2 表示电子自旋向下 sz 2
2
的概率. 归一化条件表示为
(r , / 2) d r (r , sz ) d r ( (r , / 2), (r , / 2)) (r , / 2) sz / 2
（18） （19）
利用归一化条件，并取适当相位，可得出( l2,j2,jz) 的共同本征态
( , , s z ) ( , , s z )
l m 1 Ylm 1 , 2l 1 l m Yl ,m 1 l m Ylm 1 , 2l 1 l m 1 Yl ,m 1 j l 1/ 2 j l 1 / 2(l 0)
2 x 2 y 2 z
（13）
可以证明 的三个分量反对易
x y y x 0 y z z y 0 z x x z 0
（14）
式（11）和（14）联立得
第一讲电子自旋的实验证明及性质
总磁矩为：
Mz
dM z
Je d r2 sin2
meh
r sin
nlm
2
d
r2 sin2
meh
2
2 r sin
nlm
2
d
meh
2
2 r sin nlm 2 d
• 其中：d rddr，利用波函数 nlm 的归一 关系：
nlm 2 d nlm 2 r2 sin d ddr
• 根据轨道磁矩与轨道角动量的关系：
M¶
z
gL
e
2
L$z
• 假设这个关系定性地适用于所有角动量与
磁矩。由于原子核（质子或中子）的质量
远远大于电子的质量，所以核磁矩导致的
贡献要远远小于电子自旋磁矩的贡献。
• 对于氢原子基态而言，l=0，所以原子束分 裂是电子自旋磁矩导致的，取值个数为：； 所以电子自旋为1/2。
• •
令： 属于
1 2
(
S
z)
S
z
为 S2,S
的本征值
z
的共同本征自旋波函数，
ms 1/ 2
S 2, Sz 可互相对易，本征方程为
Sˆz 1
2
(Sz )
h 2
1
2
(Sz ), Sˆz 1 2
(Sz )
h 2
1 2
(Sz )
Sˆ
2
1
2
(Sz
)
3h 4
1
(S
z
),
Sˆ
2
1
(S
z
)
2
2
3h2 4
1 (Sz) 2
• 例如在轨道角动量l的取值中不包含半整数。 而角动量A则包含了半整数，因为它代表着 角动量的普遍性。
电子的自旋
ˆ 描写，它无经典对 ③ 自旋角动量用自旋算符 s 应，因为不能写成坐标和动量的函数。
那么，电子的自旋算符该如何表示？计及自
旋后，电子的态函数又该如何表示？
§2 电子的自旋态和自旋算符
（一）电子自旋态的描述
考虑自旋后，电子的波函数写为二分量形式：
(r , 2 ) ( r , sz ) ( r , ) 2 第4个变量
【量子计算机中的基本概念 】 比特和昆比特
传统计算机的基本单元是一个用固体设备（晶 体管）代表的二进制数字位（bit，比特）0或者1。 晶体管关闭（输出电压为0V）代表了二进制数0， 晶体管打开（输出电压为5V）代表了二进制数1。 在任意时刻，一个存储器位只能存储和处理一个数 字0或1，不能同时存储和处理0和1。
归一化条件
d 1
共轭态
(r , ) 2 1 * ( r , ) * ( r , ) d 2 2 ( r , ) 2
* ( r , ) * ( r , ) 2 2
(sz ) 2
自旋向上的态 — (4)
(5)
ˆz 1 2 ( r , sz ) 1 2 ( r , sz ) s 2
本征值-ħ/2（自旋向下），本征函数-1/2。
0 , 1 ( r , sz ) ( r , ) 2 2
令
(sz ) 自旋向下的态 2
( m 电子折合质量 )
自旋磁矩在空间任何方向上的投影只能取两个值：
e z B 2m
(SI)
所以Stern-Gerlach实验中，原子磁矩应该来自于 电子的自旋运动，即自旋磁矩，它在 z 向投影有2个 值，所以观察到2条个分立线。
第8章 自旋
ˆ2 的本征态，即 首先要求它是 L
ˆ2 c L ˆ c 1 1 L 2 ˆ c L 2 2
2
(7)
ˆ2 的本征态，且对应于 也就是说 1和 2 都是 L ˆ 的本征态，即 同一本征值。其次要求 是 J
z
1 ˆ J ' ˆ 1 1 0 1 J z z Lz 0 1 2 J 'z 2 2 2 ˆ ( J ' / 2) L z 1 ˆz 1 (8) Lz 2 ( J 'z / 2)2
量子理论使得人们对光谱规律的认识深入了一步，反过来，
1925年乌伦贝克（G.E.Uhlenbeck）和哥德斯密特（S.
Goudsmit）为了解释原子光谱
的精细结构(光谱双线), 提出了大胆 的假设： 电子不是质点，有固有的 自旋角动量 S 和相应的自旋磁 矩 S 。
S
s
3
S
这就是说，为了要在re 的半径下旋转得出的角动量，电子必须 以137倍的光速转动才行。显然这是一个不能接受的图象。对 此，乌、哥二人(当时不到25岁)曾想撤回自旋的论文，但是他
4
们的导师埃伦菲斯特(P.Ehrenfest)鼓励道： “You are both young enough to allow yourselves some foolishness!” 自旋虽然不能用经典的图象来理解，但仍然和 角动量有关。 根据量子力学，角动量是量子化的： 轨道角动量 L l (l 1) ， Lz ml l = 0, 1, 2…(n-1)
令x 矩阵表为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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2
的概率. 的概率 归一化条件表示为
ψ (r , h / 2) ∑/∫2 d rψ (r, sz ) = ∫ d r(ψ (r, h / 2),ψ (r,−h / 2))ψ (r,−h / 2) sz = ± h
3 2 3 ∗ ∗
= ∫ d r[ψ (r , h / 2 ) + ψ (r ,− h / 2 ) ]
（14） ）
量子力学教程 (第二版) 量子力学教程( 量子力学教程 第二版) 式（11）和（14）联立得 11） 14）
σ xσ y = −σ yσ x = i σ z σ yσ z = −σ zσ y = i σ x σ zσ x = −σ xσ z = i σ y
（15） ）
式（15）与（13）归纳为 15） 13）
[σi ,σ j ] = 2i εijkσk
（12） ）
（单位算符） 单位算符）
σ =σ =σ = I
2 x 2 y 2 z
（13） ）
可以证明 σ 的三个分量反对易
σ xσ y + σ yσ x = 0 σ yσ z + σ zσ y = 0 σ zσ x + σ xσ z = 0
8.1 电子自旋态与自旋算符
σ z 本征值只能取±1，因此矩阵表示为 本征值只能取± 因此矩阵表示为
1 0 σz = 0 −1
(17)
令
σx
矩阵为
a σx = c b d
(18)
8.1 电子自旋态与自旋算符
量子力学教程 (第二版) 量子力学教程( 量子力学教程 第二版) 利用 σ σ = −σ σ 得 z x x z
8.1 电子自旋态与自旋算符
量子力学教程 (第二版) 量子力学教程( 量子力学教程 第二版) 其物理意义如下： 其物理意义如下：
ψ (r ,h / 2) 是电子自旋向上 s z = h 2 ，
2
位置在r 处的概率密度， 位置在 处的概率密度，
ψ (r ,− h / 2 ) 是电子自旋向下 s z = − h 2 ，
σ αβ = δ αβ + i ∑ ε αβγ σ γ
γ
（16） ）
σ + = σ 概括了 概括了Pauli 算符的全部代数性质. 上式与
8.1 电子自旋态与自旋算符
量子力学教程 (第二版) 量子力学教程( 量子力学教程 第二版) 对角化的表象， 下面采用 σ z 对角化的表象，把Pauli 算符表成矩阵 形式. 形式.
（7）
波函数表示为
ψ ( r , s z ) = ψ ( r , h / 2 ) α + ψ ( r , − h / 2 ) β （8）
8.1 电子自旋态与自旋算符
量子力学教程 (第二版) 量子力学教程( 量子力学教程 第二版)
8.1.2 电子自旋算符，Pauli矩阵
假设：自旋算符 有三个分量 并满足对易关系： 有三个分量， 假设：自旋算符s有三个分量，并满足对易关系：
则式(9)可以表示为
σ xσ y − σ yσ x = 2i σ z σ yσ z − σ zσ y = 2i σ x σ zσ x − σ xσ z = 2i σ y
（10）
(11a) (11b) (11c)
8.1 电子自旋态与自旋算符
量子力学教程 (第二版) 量子力学教程( 量子力学教程 第二版) 或 并且
3 2 2
（2）
= ∫ d 3 rψ +ψ = 1
8.1 电子自旋态与自旋算符
量子力学教程 (第二版) 量子力学教程( 量子力学教程 第二版)
设波函数可以分离变量，即 ψ (r , s z ) = ψ (r )χ (s z )
a χ (s z ) = b
（3）
是描述自旋态的波函数， 其中 χ (s z ) 是描述自旋态的波函数，一般形式为 （4）
量子力学教程(第二版) 量子力学教程(第二版)
第8章
自 旋
量子力学教程 (第二版) 量子力学教程( 量子力学教程 第二版) 8.1 电子自旋态与自旋算符
G.E.Uhlenbeck与 与 S.A.Goudsmit 提出了 电子自旋的假设。 电子自旋的假设。 8.1 电子自旋态与自旋算符
量子力学教程 (第二版) 量子力学教程( 量子力学教程 第二版) 8.1.1 电子自旋态的描述 电子除具有空间坐标的三个自由度， 电子除具有空间坐标的三个自由度，还具有一个 内禀自由度— 内禀自由度—自旋 sz ，所以含自旋的波函数可以 写为 ψ = ψ (r , s z ) 只能取±h/2 两个离散值，因此可 两个离散值， 考虑到自旋 sz 只能取 以使用二分量波函数, 以使用二分量波函数,即 ψ (r , h / 2 ) ψ = （1） ψ (r , − h / 2 ) 称为旋量波函数. 称为旋量波函数
2 0 b 0 b b 2 σx = = ⋅ b* 0 b* 0 0 0 =1 2 b
所以|b|2 =1.令 b = e iα,则 所以 令 则
sx s y − s y sx = i hsz s y sz − sz s y = i hsx sz sx − sx sz = i hs y
（9）
8.1 电子自旋态与自旋算符
量子力学教程 (第二版) 量子力学教程( 量子力学教程 第二版) 引入Pauli 算符 σ 引入
h s= σ 2
习惯上取相角 α = 0, 得出 得出Pauli 算符的下列矩阵表示
0 1 σx = , 1 0 0 −i σy = , i 0 1 0 σz = 0 −1
iα
i(α−π 2)
（20）
称为Pauli 矩阵. 矩阵. 称为
8.1 电子自旋态与自旋算符
2
位置在r 处的概率密度. 位置在 处的概率密度
而
∫ d r ψ (r , h / 2 )
3
2
表示电子自旋向上 s z = h 2
的概率， 的概率，
8.1 电子自旋态与自旋算符
量子力学教程 (第二版) 量子力学教程( 量子力学教程 第二版)
∫d
3
r ψ (r ,− h / 2) 表示电子自旋向下 s z = − h 2
式中| | 的概率， 式中|a|2与|b|2分别代表电子 sz=±h/2 的概率， | 归一化条件表示为 2 2 + ∗ ∗ a a + b = χ χ = (a b ) = 1 （5） b
8.1 电子自旋态与自旋算符
量子力学教程 (第二版) 量子力学教程( 量子力学教程 第二版) 特例： 特例：sz=±h/2 的本征态 χ ±1/ 2 (s z ) 常简记为 α 和β，即 ，
0 σ x = −iα e
e 0
iα
8.1 电子自旋态与自旋算符
量子力学教程 (第二版) 量子力学教程( 量子力学教程 第二版) 再利用 σ y = − i σ zσ x ，可求出
0 e 0 e σy =−i⋅ iα = −i(α−π 2) 0 −e 0 e
a −c
b −a b = − d −c d
(19)
可得 c = b∗ ，因而
σ + = σ x 要求， 所以a=d=0 ，再根据厄米性 要求，所以
x
0 b σx = b∗ 0
8.1 电子自旋态与自旋算符
量子力学教程 (第二版) 量子力学教程( 量子力学教程 第二版) 而
1 α = χ1/2 (sz ) = , 0 0 β = χ−1/2 (sz ) = 1
（6）
α 与β构成电子自选态空间的一组正交完备基 一 构成电子自选态空间的一组正交完备基.一 构成电子自选态空间的一组正交完备基
般自旋态可以展开为
a χ ( s z ) = = aα + b β b
的概率. 的概率 归一化条件表示为
ψ (r , h / 2) ∑/∫2 d rψ (r, sz ) = ∫ d r(ψ (r, h / 2),ψ (r,−h / 2))ψ (r,−h / 2) sz = ± h
3 2 3 ∗ ∗
= ∫ d r[ψ (r , h / 2 ) + ψ (r ,− h / 2 ) ]
（14） ）
量子力学教程 (第二版) 量子力学教程( 量子力学教程 第二版) 式（11）和（14）联立得 11） 14）
σ xσ y = −σ yσ x = i σ z σ yσ z = −σ zσ y = i σ x σ zσ x = −σ xσ z = i σ y
（15） ）
式（15）与（13）归纳为 15） 13）
[σi ,σ j ] = 2i εijkσk
（12） ）
（单位算符） 单位算符）
σ =σ =σ = I
2 x 2 y 2 z
（13） ）
可以证明 σ 的三个分量反对易
σ xσ y + σ yσ x = 0 σ yσ z + σ zσ y = 0 σ zσ x + σ xσ z = 0
8.1 电子自旋态与自旋算符
σ z 本征值只能取±1，因此矩阵表示为 本征值只能取± 因此矩阵表示为
1 0 σz = 0 −1
(17)
令
σx
矩阵为
a σx = c b d
(18)
8.1 电子自旋态与自旋算符
量子力学教程 (第二版) 量子力学教程( 量子力学教程 第二版) 利用 σ σ = −σ σ 得 z x x z
8.1 电子自旋态与自旋算符
量子力学教程 (第二版) 量子力学教程( 量子力学教程 第二版) 其物理意义如下： 其物理意义如下：
ψ (r ,h / 2) 是电子自旋向上 s z = h 2 ，
2
位置在r 处的概率密度， 位置在 处的概率密度，
ψ (r ,− h / 2 ) 是电子自旋向下 s z = − h 2 ，
σ αβ = δ αβ + i ∑ ε αβγ σ γ
γ
（16） ）
σ + = σ 概括了 概括了Pauli 算符的全部代数性质. 上式与
8.1 电子自旋态与自旋算符
量子力学教程 (第二版) 量子力学教程( 量子力学教程 第二版) 对角化的表象， 下面采用 σ z 对角化的表象，把Pauli 算符表成矩阵 形式. 形式.
（7）
波函数表示为
ψ ( r , s z ) = ψ ( r , h / 2 ) α + ψ ( r , − h / 2 ) β （8）
8.1 电子自旋态与自旋算符
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8.1.2 电子自旋算符，Pauli矩阵
假设：自旋算符 有三个分量 并满足对易关系： 有三个分量， 假设：自旋算符s有三个分量，并满足对易关系：
则式(9)可以表示为
σ xσ y − σ yσ x = 2i σ z σ yσ z − σ zσ y = 2i σ x σ zσ x − σ xσ z = 2i σ y
（10）
(11a) (11b) (11c)
8.1 电子自旋态与自旋算符
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3 2 2
（2）
= ∫ d 3 rψ +ψ = 1
8.1 电子自旋态与自旋算符
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设波函数可以分离变量，即 ψ (r , s z ) = ψ (r )χ (s z )
a χ (s z ) = b
（3）
是描述自旋态的波函数， 其中 χ (s z ) 是描述自旋态的波函数，一般形式为 （4）
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第8章
自 旋
量子力学教程 (第二版) 量子力学教程( 量子力学教程 第二版) 8.1 电子自旋态与自旋算符
G.E.Uhlenbeck与 与 S.A.Goudsmit 提出了 电子自旋的假设。 电子自旋的假设。 8.1 电子自旋态与自旋算符
量子力学教程 (第二版) 量子力学教程( 量子力学教程 第二版) 8.1.1 电子自旋态的描述 电子除具有空间坐标的三个自由度， 电子除具有空间坐标的三个自由度，还具有一个 内禀自由度— 内禀自由度—自旋 sz ，所以含自旋的波函数可以 写为 ψ = ψ (r , s z ) 只能取±h/2 两个离散值，因此可 两个离散值， 考虑到自旋 sz 只能取 以使用二分量波函数, 以使用二分量波函数,即 ψ (r , h / 2 ) ψ = （1） ψ (r , − h / 2 ) 称为旋量波函数. 称为旋量波函数
2 0 b 0 b b 2 σx = = ⋅ b* 0 b* 0 0 0 =1 2 b
所以|b|2 =1.令 b = e iα,则 所以 令 则
sx s y − s y sx = i hsz s y sz − sz s y = i hsx sz sx − sx sz = i hs y
（9）
8.1 电子自旋态与自旋算符
量子力学教程 (第二版) 量子力学教程( 量子力学教程 第二版) 引入Pauli 算符 σ 引入
h s= σ 2
习惯上取相角 α = 0, 得出 得出Pauli 算符的下列矩阵表示
0 1 σx = , 1 0 0 −i σy = , i 0 1 0 σz = 0 −1
iα
i(α−π 2)
（20）
称为Pauli 矩阵. 矩阵. 称为
8.1 电子自旋态与自旋算符
2
位置在r 处的概率密度. 位置在 处的概率密度
而
∫ d r ψ (r , h / 2 )
3
2
表示电子自旋向上 s z = h 2
的概率， 的概率，
8.1 电子自旋态与自旋算符
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∫d
3
r ψ (r ,− h / 2) 表示电子自旋向下 s z = − h 2
式中| | 的概率， 式中|a|2与|b|2分别代表电子 sz=±h/2 的概率， | 归一化条件表示为 2 2 + ∗ ∗ a a + b = χ χ = (a b ) = 1 （5） b
8.1 电子自旋态与自旋算符
量子力学教程 (第二版) 量子力学教程( 量子力学教程 第二版) 特例： 特例：sz=±h/2 的本征态 χ ±1/ 2 (s z ) 常简记为 α 和β，即 ，
0 σ x = −iα e
e 0
iα
8.1 电子自旋态与自旋算符
量子力学教程 (第二版) 量子力学教程( 量子力学教程 第二版) 再利用 σ y = − i σ zσ x ，可求出
0 e 0 e σy =−i⋅ iα = −i(α−π 2) 0 −e 0 e
a −c
b −a b = − d −c d
(19)
可得 c = b∗ ，因而
σ + = σ x 要求， 所以a=d=0 ，再根据厄米性 要求，所以
x
0 b σx = b∗ 0
8.1 电子自旋态与自旋算符
量子力学教程 (第二版) 量子力学教程( 量子力学教程 第二版) 而
1 α = χ1/2 (sz ) = , 0 0 β = χ−1/2 (sz ) = 1
（6）
α 与β构成电子自选态空间的一组正交完备基 一 构成电子自选态空间的一组正交完备基.一 构成电子自选态空间的一组正交完备基
般自旋态可以展开为
a χ ( s z ) = = aα + b β b