8.1 电子自旋态与自旋算符
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a −c
b −a b = − d −c d
(19)
可得 c = b∗ ，因而
σ + = σ x 要求， 所以a=d=0 ，再根据厄米性 要求， 所以
x
0 b σx = b∗ 0
8.1 电子自旋态与自旋算符
量子力学教程 (第二版) 量子力学教程( 量子力学教程 第二版) 而
量子力学教程(第二版) 量子力学教程(第二版)
第8章
自 旋
量子力学教程 (第二版) 量子力学教程( 量子力学教程 第二版) 8.1 电子自旋态与自旋算符
G.E.Uhlenbeck与 与 S.A.Goudsmit 提出了 电子自旋的假设。 电子自旋的假设。 8.1 电子自旋态与自旋算符
量子力学教程 (第二版) 量子力学教程( 量子力学教程 第二版) 8.1.1 电子自旋态的描述 电子除具有空间坐标的三个自由度， 电子除具有空间坐标的三个自由度，还具有一个 内禀自由度— 内禀自由度—自旋 sz ，所以含自旋的波函数可以 写为 ψ = ψ (r , s z ) 只能取±h/2 两个离散值，因此可 两个离散值， 考虑到自旋 sz 只能取 以使用二分量波函数, 以使用二分量波函数,即 ψ (r , h / 2 ) ψ = （1） ψ (r , − h / 2 ) 称为旋量波函数. 称为旋量波函数
（7）
波函数表示为
ψ ( r , s z ) = ψ ( r , h / 2 ) α + ψ ( r , − h / 2 ) β （8）
8.1 电子自旋态与自旋算符
量子力学教程 (第二版) 量子力学教程( 量子力学教程 第二版)
8.1.2 电子自旋算符，Pauli矩阵
假设：自旋算符 有三个分量 并满足对易关系： 有三个分量， 假设：自旋算符s有三个分量，并满足对易关系：
式中| | 的概率， 式中|a|2与|b|2分别代表电子 sz=±h/2 的概率， | 归一化条件表示为 2 2 + ∗ ∗ a a + b = χ χ = (a b ) = 1 （5） b
8.1 电子自旋态与自旋算符
量子力学教程 (第二版) 量子力学教程( 量子力学教程 第二版) 特例： 特例：sz=±h/2 的本征态 χ ±1/ 2 (s z ) 常简记为 α 和β，即 ，
0 σ x = −iα e
e 0
iα
8.1 电子自旋态与自旋算符
量子力学教程 (第二版) 量子力学教程( 量子力学教程 第二版) 再利用 σ y = − i σ zσ x ，可求出
0 e 0 e σy =−i⋅ iα = −i(α−π 2) 0 −e 0 e
[σi ,σ j ] = 2i εijkσk
（12） ）
（单位算符） 单位算符）
σ =σ =σ = I
2 x 2 y 2 z
（13） ）
可以证明 σ 的三个分量反对易
σ xσ y + σ yσ x = 0 σ yσ z + σ zσ y = 0 σ zσ x + σ xσ z = 0
8.1 电子自旋态与自旋算符
2
位置在r 处的概率密度. 位置在 处的概率密度
而
∫ d r ψ (r , h / 2 )
3
2
表示电子自旋向上 s z = h 2
的概率， 的概率，
8.1 电子自旋态与自旋算符
量子力学教程 (第二版) 量子力学教程( 量子力学教程 第二版)
∫d
3
r ψ (r ,− h / 2) 表示电子自旋向下 s z = − h 2
8.1 电子自旋态与自旋算符
量子力学教程 (第二版) 量子力学教程( 量子力学教程 第二版) 其物理意义如下： 其物理意义如下：
ψ (r ,h / 2) 是电子自旋向上 s z = h 2 ，
2
位置在r 处的概率密度， 位置在 处的概率密度，
ψ (r ,− h / 2 ) 是电子自旋向下 s z = − h 2 ，
2
的概率. 的概率 归一化条件表示为
ψ (r , h / 2) ∑/∫2 d rψ (r, sz ) = ∫ d r(ψ (r, h / 2),ψ (r,−h / 2))ψ (r,−h / 2) sz = ± h
3 2 3 ∗ ∗
= ∫ d r[ψ (r , h / 2 ) + ψ (r ,− h / 2 ) ]
σ αβ = δ αβ + i ∑ ε αβγ σ γ
γ
（16） ）
σ + = σ 概括了 概括了Pauli 算符的全部代数性质. 上式与
8.1 电子自旋态与自旋算符
量子力学教程 (第二版) 量子力学教程( 量子力学教程 第二版) 对角化的表象， 下面采用 σ z 对角化的表象，把Pauli 算符表成矩阵 形式. 形式.
1 α = χ1/2 (sz ) = , 0 0 β = χ−1/2 (sz ) = 1
（6）
α 与β构成电子自选态空间的一组正交完备基 一 构成电子自选态空间的一组正交完备基.一 构成电子自选态空间的一组正交完备基
般自旋态可以展开为
a χ ( s z ) = = aα + b β b
习惯上取相角 α = 0, 得出 得出Pauli 算符的下列矩阵表示
0 1 σx = , 1 0 0 −i σy = , i 0 1 0 σz = 0 −1
iα
i(α−π 2)
（20）
称为Pauli 矩阵. 矩阵. 称为
8.1 电子自旋态与自旋算符
则式(9)可以表示为
σ xσ y − σ yσ x = 2i σ z σ yσ z − σ zσ y = 2i σ x σ zσ x − σ xσ z = 2i σ y
（10）
(11a) (11b) (11c)
8.1 电子自旋态与自旋算符
量子力学教程 (第二版) 量子力学教程( 量子力学教程 第二版) 或 并且
（14） ）
量子力学教程 (第二版) 量子力学教程( 量子力学教程 第二版) 式（11）和（14）联立得 11） 14）
σ xσ y = −σ yσ x = i σ z σ yσ z = −σ zσ y = i σ x σ zσ x = −σ xσ z = i σ y
（15） ）
式（15）与（13）归纳为 15） 13）
3 2 2
（2）
= ∫ d 3 rψ +ψ = 1
8.1 电子自旋态与自旋算符
量子力学教程 (第二版) 量子力学教程( 量子力学教程 第二版)
设波函数可以分离变量，即 ψ (r , s z ) = ψ (r )χ (s z )
a χ (s z ) = b
（3）
是描述自旋态的波函数， 其中 χ (s z ) 是描述自旋态的波函数，一般形式为 （4）
σ z 本征值只能取±1，因此矩阵表示为 本征值只能取± 因此矩阵表示为
1 0 σz = 0 −1
(17)
令
ห้องสมุดไป่ตู้
σx
矩阵为
a σx = c b d
(18)
8.1 电子自旋态与自旋算符
量子力学教程 (第二版) 量子力学教程( 量子力学教程 第二版) 利用 σ σ = −σ σ 得 z x x z
2 0 b 0 b b 2 σx = = ⋅ b* 0 b* 0 0 0 =1 2 b
所以|b|2 =1.令 b = e iα,则 所以 令 则
sx s y − s y sx = i hsz s y sz − sz s y = i hsx sz sx − sx sz = i hs y
（9）
8.1 电子自旋态与自旋算符
量子力学教程 (第二版) 量子力学教程( 量子力学教程 第二版) 引入Pauli 算符 σ 引入
h s= σ 2
b −a b = − d −c d
(19)
可得 c = b∗ ，因而
σ + = σ x 要求， 所以a=d=0 ，再根据厄米性 要求， 所以
x
0 b σx = b∗ 0
8.1 电子自旋态与自旋算符
量子力学教程 (第二版) 量子力学教程( 量子力学教程 第二版) 而
量子力学教程(第二版) 量子力学教程(第二版)
第8章
自 旋
量子力学教程 (第二版) 量子力学教程( 量子力学教程 第二版) 8.1 电子自旋态与自旋算符
G.E.Uhlenbeck与 与 S.A.Goudsmit 提出了 电子自旋的假设。 电子自旋的假设。 8.1 电子自旋态与自旋算符
量子力学教程 (第二版) 量子力学教程( 量子力学教程 第二版) 8.1.1 电子自旋态的描述 电子除具有空间坐标的三个自由度， 电子除具有空间坐标的三个自由度，还具有一个 内禀自由度— 内禀自由度—自旋 sz ，所以含自旋的波函数可以 写为 ψ = ψ (r , s z ) 只能取±h/2 两个离散值，因此可 两个离散值， 考虑到自旋 sz 只能取 以使用二分量波函数, 以使用二分量波函数,即 ψ (r , h / 2 ) ψ = （1） ψ (r , − h / 2 ) 称为旋量波函数. 称为旋量波函数
（7）
波函数表示为
ψ ( r , s z ) = ψ ( r , h / 2 ) α + ψ ( r , − h / 2 ) β （8）
8.1 电子自旋态与自旋算符
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8.1.2 电子自旋算符，Pauli矩阵
假设：自旋算符 有三个分量 并满足对易关系： 有三个分量， 假设：自旋算符s有三个分量，并满足对易关系：
式中| | 的概率， 式中|a|2与|b|2分别代表电子 sz=±h/2 的概率， | 归一化条件表示为 2 2 + ∗ ∗ a a + b = χ χ = (a b ) = 1 （5） b
8.1 电子自旋态与自旋算符
量子力学教程 (第二版) 量子力学教程( 量子力学教程 第二版) 特例： 特例：sz=±h/2 的本征态 χ ±1/ 2 (s z ) 常简记为 α 和β，即 ，
0 σ x = −iα e
e 0
iα
8.1 电子自旋态与自旋算符
量子力学教程 (第二版) 量子力学教程( 量子力学教程 第二版) 再利用 σ y = − i σ zσ x ，可求出
0 e 0 e σy =−i⋅ iα = −i(α−π 2) 0 −e 0 e
[σi ,σ j ] = 2i εijkσk
（12） ）
（单位算符） 单位算符）
σ =σ =σ = I
2 x 2 y 2 z
（13） ）
可以证明 σ 的三个分量反对易
σ xσ y + σ yσ x = 0 σ yσ z + σ zσ y = 0 σ zσ x + σ xσ z = 0
8.1 电子自旋态与自旋算符
2
位置在r 处的概率密度. 位置在 处的概率密度
而
∫ d r ψ (r , h / 2 )
3
2
表示电子自旋向上 s z = h 2
的概率， 的概率，
8.1 电子自旋态与自旋算符
量子力学教程 (第二版) 量子力学教程( 量子力学教程 第二版)
∫d
3
r ψ (r ,− h / 2) 表示电子自旋向下 s z = − h 2
8.1 电子自旋态与自旋算符
量子力学教程 (第二版) 量子力学教程( 量子力学教程 第二版) 其物理意义如下： 其物理意义如下：
ψ (r ,h / 2) 是电子自旋向上 s z = h 2 ，
2
位置在r 处的概率密度， 位置在 处的概率密度，
ψ (r ,− h / 2 ) 是电子自旋向下 s z = − h 2 ，
2
的概率. 的概率 归一化条件表示为
ψ (r , h / 2) ∑/∫2 d rψ (r, sz ) = ∫ d r(ψ (r, h / 2),ψ (r,−h / 2))ψ (r,−h / 2) sz = ± h
3 2 3 ∗ ∗
= ∫ d r[ψ (r , h / 2 ) + ψ (r ,− h / 2 ) ]
σ αβ = δ αβ + i ∑ ε αβγ σ γ
γ
（16） ）
σ + = σ 概括了 概括了Pauli 算符的全部代数性质. 上式与
8.1 电子自旋态与自旋算符
量子力学教程 (第二版) 量子力学教程( 量子力学教程 第二版) 对角化的表象， 下面采用 σ z 对角化的表象，把Pauli 算符表成矩阵 形式. 形式.
1 α = χ1/2 (sz ) = , 0 0 β = χ−1/2 (sz ) = 1
（6）
α 与β构成电子自选态空间的一组正交完备基 一 构成电子自选态空间的一组正交完备基.一 构成电子自选态空间的一组正交完备基
般自旋态可以展开为
a χ ( s z ) = = aα + b β b
习惯上取相角 α = 0, 得出 得出Pauli 算符的下列矩阵表示
0 1 σx = , 1 0 0 −i σy = , i 0 1 0 σz = 0 −1
iα
i(α−π 2)
（20）
称为Pauli 矩阵. 矩阵. 称为
8.1 电子自旋态与自旋算符
则式(9)可以表示为
σ xσ y − σ yσ x = 2i σ z σ yσ z − σ zσ y = 2i σ x σ zσ x − σ xσ z = 2i σ y
（10）
(11a) (11b) (11c)
8.1 电子自旋态与自旋算符
量子力学教程 (第二版) 量子力学教程( 量子力学教程 第二版) 或 并且
（14） ）
量子力学教程 (第二版) 量子力学教程( 量子力学教程 第二版) 式（11）和（14）联立得 11） 14）
σ xσ y = −σ yσ x = i σ z σ yσ z = −σ zσ y = i σ x σ zσ x = −σ xσ z = i σ y
（15） ）
式（15）与（13）归纳为 15） 13）
3 2 2
（2）
= ∫ d 3 rψ +ψ = 1
8.1 电子自旋态与自旋算符
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设波函数可以分离变量，即 ψ (r , s z ) = ψ (r )χ (s z )
a χ (s z ) = b
（3）
是描述自旋态的波函数， 其中 χ (s z ) 是描述自旋态的波函数，一般形式为 （4）
σ z 本征值只能取±1，因此矩阵表示为 本征值只能取± 因此矩阵表示为
1 0 σz = 0 −1
(17)
令
ห้องสมุดไป่ตู้
σx
矩阵为
a σx = c b d
(18)
8.1 电子自旋态与自旋算符
量子力学教程 (第二版) 量子力学教程( 量子力学教程 第二版) 利用 σ σ = −σ σ 得 z x x z
2 0 b 0 b b 2 σx = = ⋅ b* 0 b* 0 0 0 =1 2 b
所以|b|2 =1.令 b = e iα,则 所以 令 则
sx s y − s y sx = i hsz s y sz − sz s y = i hsx sz sx − sx sz = i hs y
（9）
8.1 电子自旋态与自旋算符
量子力学教程 (第二版) 量子力学教程( 量子力学教程 第二版) 引入Pauli 算符 σ 引入
h s= σ 2