北京市中考数学试题分类汇总——二次函数
北京中考二次函数综合分类汇总
北京中考二次函数综合分类汇总函数的对称性和增减性1）求出c的值及a，b之间的关系式。
2）如果抛物线在点A、B之间从左到右上升，求a的取值范围。
3）结合函数图像判断：抛物线是否能同时经过点M(-1+m,n)和N(4-m,n)？如果可以，请写出一个符合要求的抛物线方程和n的值；如果不行，请说明理由。
二次函数与不等式1.（2020·丰台一模26题）已知二次函数y＝ax2﹣2ax。
1）二次函数图像的对称轴是直线x＝a。
2）当0≤x≤3时，y的最大值与最小值的差为4，求该二次函数的表达式。
3）如果a0的解集。
二次函数与角度相关问题2.（2020·西城一模26题）已知抛物线y=ax2+bx+a+2（与x轴交于点A（x1，0），点B（x2，0），在点B的左侧），抛物线的对称轴为直线x=-1.1）如果点A的坐标为（-3，0），求抛物线的表达式及点B的坐标。
2）C是第三象限的点，且点C的横坐标为-2，如果抛物线恰好经过点C，直接写出x2的取值范围。
3）抛物线的对称轴与x轴交于点D，点P在抛物线上，且∠DOP=45°，如果抛物线上满足条件的点P恰有4个，结合图像，求a的取值范围。
二次函数与线段公共点问题--定线段21、（2020二模东城26）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（6，4），抛物线y=x^2-5x+a-2的顶点为C。
1）如果抛物线经过点B，求顶点C的坐标。
2）如果点C在线段AB上，求a的取值范围。
2）若抛物线与线段AB恰有一个公共点，求N的取值范围；3）已知点C(-1,0)，D(3,0)，若抛物线与线段CD都没有公共点，求M的取值范围．2、已知点B(3,4)，将其向左平移3个单位长度得到点C。
若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数的图像，求a的取值范围。
解析：点B向左平移3个单位长度得到点C(-1,4)。
设抛物线的方程为y=ax^2+bx+c，由于抛物线与线段BC恰有一个公共点，因此该点必定在抛物线的对称轴上。
北京各区中考数学 二次函数及压轴题人教版
朝阳24．（本小题满分7分）已知直线y=kx-3与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点C ，抛物线234y x mx n =-++经过点A 和点C,动点P 在x 轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x 轴的另一个交点B 向点A 运动，点Q 由点C 沿线段CA 向点A 运动且速度是点P 运动速度的2倍. （1）求此抛物线的解析式和直线的解析式； （2）如果点P 和点Q 同时出发，运动时间为t （秒），试问当t 为何值时，△PQA 是直角三角形；（3）在直线CA 上方的抛物线上是否存在一点D ，使得△ACD 的面积最大，若存在，求出点D 坐标；若不存在，请说明理由．崇文2５．已知抛物线21y ax bx =++经过点A （1，3）和点B （2，1）． （1）求此抛物线解析式；（2）点C 、D 分别是x 轴和y 轴上的动点，求四边形ABCD 周长的最小值；（3）过点B 作x 轴的垂线，垂足为E 点．点P 从抛物线的顶点出发，先沿抛物线的对称轴到达F 点,再沿FE 到达E 点，若P 点在对称轴上的运动速度是它在直线FE ,试确定点F 的位置,使得点P 按照上述要求到达E 点所用的时间最短．（要求：简述确定F 点位置的方法，但不要求证明）23．已知P （3,m -)和Q （1，m ）是抛物线221y x bx =++上的两点．（1）求b 的值；（2）判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；（3）将抛物线221y x bx =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴无交点，求k 的最小值．东城18．已知：二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠中的x y ，满足下表：（1）m 的值为 ；（2）若1()A p y ，，2(1)B p y +，两点都在该函数的图象上，且0p <，试比较1y 与2y 的大小.23. 已知抛物线C 1：22y x x =-的图象如图所示，把C 1的图象沿y 轴翻折，得到抛物线C 2的图象，抛物线C 1与抛物线C 2的图象合称图象C 3．（1）求抛物线C 1的顶点A 坐标，并画出抛物线C 2的图象；（2）若直线y kx b =+与抛物线2(0)y ax bx c a =++≠有且只有一个交点时,称直线与抛物线相切. 若直线y x b =+与抛物线C 1相切，求b 的值； （3）结合图象回答，当直线y x b =+与图象C 3 有两个交点时，b 围．24．如图，在平面直角坐标系中，A（0），B（2）.把矩形OABC 逆时针旋转30︒得到矩形111OA B C . （1）求1B 点的坐标；（2）求过点（2，0）且平分矩形111OA B C 面积的直线l 方程；（3）设（2）中直线l 交y 轴于点P ，直接写出1PC O ∆与11PB A ∆的面积和的值及1POA ∆与11PBC ∆的面积差的值.丰台23．（本小题满分7分）已知二次函数22-+-=m mx x y ．（1） 求证：无论m 为任何实数，该二次函数的图象与x 轴都有两个交点； （2） 当该二次函数的图象经过点（3，6）时，求二次函数的解析式；（3） 将直线y =x 向下平移2个单位长度后与（2）中的抛物线交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），一个动点P 自A 点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E ，再到达x 轴上的某点F ，最后运动到点B ．求使点P 运动的总路径最短的点E 、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长．25．（本小题满分8分）已知抛物线22--=x x y ． （1）求抛物线顶点M 的坐标；（2）若抛物线与x 轴的交点分别为点A 、B （点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点N 为线段BM 上的一点，过点N 作x 轴的垂线，垂足为点Q ．当点N 在线段BM 上运动时（点N 不与点B ，点M 重合），设NQ 的长为t ，四边形NQAC 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使△P AC 为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．海淀23．关于x 的一元二次方程240x x c -+=有实数根，且c 为正整数. （1）求c 的值；（2）若此方程的两根均为整数，在平面直角坐标系xOy 中,抛物线24y x x c =-+与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 左侧），与y 轴交于点C . 点P 为对称轴上一点，且四边形OBPC 为直角梯形，求PC 的长；（3）将（2）中得到的抛物线沿水平方向平移，设顶点D 的坐标为(),m n ,当抛物线与（2）中的直角梯形OBPC 只有两个交点，且一个交点在PC 边上时，直接写出m 的取值范围.24. 点P 为抛物线222y x mx m =-+(m 为常数，0m >)上任一点，将抛物线绕顶点G 逆时针旋转90︒后得到的新图象与y 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的上方），点Q 为点P 旋转后的对应点.（1）当2m =，点P 横坐标为4时，求Q 点的坐标； （2）设点(,)Q a b ，用含m 、b 的代数式表示a ；（3) 如图，点Q 在第一象限内, 点D 在x 轴的正半轴上，点C 为OD 的中点，QO 平分AQC ∠，2AQ QC =，当QD m =时，求m 的值.石景山23．已知：ax y =与xb y 3+=两个函数图象交点为()n m P ,，且n m <，n m 、是关于x 的一元二次方程()03722=++-+k x k kx 的两个不等实根，其中k 为非负整数．（1）求k 的值； （2）求b a 、的值；（3）如果()0≠=c c y 与函数ax y =和x b y 3+=交于B A 、两点（点A 在点B 的左侧），线段23=AB ，求c 的值．25．已知：如图1，等边ABC ∆的边长为32，一边在x 轴上且()0,31-A ，AC 交y 轴于点E ，过点E 作EF ∥AB 交BC 于点F ．（1）直接写出点C B 、的坐标；（2）若直线()01≠-=k kx y 将四边形EABF 的面积两等分，求k 的值；（3）如图2，过点C B A 、、的抛物线与y 轴交于点D ，M 为线段OB 上的一个动点，过x 轴上一点()0,2-G 作DM 的垂线，垂足为H ，直线GH 交y 轴于点N ，当M 点在线段OB 上运动时，现给出两个结论： ① CDM GNM ∠=∠ ②DCM MGN ∠=∠，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪个结论正确，并证明．西城23．已知关于x 的方程032)1(32=-+--m x m mx ．（1）求证：无论m 取任何实数时，方程总有实数根；（2）若关于x 的二次函数32)1(321-+--=m x m mx y 的图象关于y 轴对称．①求这个二次函数的解析式；②已知一次函数222-=x y ，证明：在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值y 1≥y 2均成立；图1 图2x（3）在（2）的条件下，若二次函数y 3＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过点（－5，0），且在实数范围内，对于x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值y 1≥y 3≥y 2均成立． 求二次函数y 3＝ax 2＋bx ＋c 的解析式. 25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数333+=x y 的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点C的坐标为（3,0），连结BC ．（1）求证：△ABC 是等边三角形；（2）点P 在线段BC 的延长线上，连结AP ，作AP 的垂直平分线，垂足为点D ，并与y 轴交于点D ，分别连结EA 、EP ．①若CP ＝6，直接写出∠AEP 的度数；②若点P 在线段BC 的延长线上运动（P 不与点C 重合），∠AEP 的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠ADP 的度数；（3）在（2）的条件下，若点P 从C 点出发在BC 的延长线上匀速运动，速度为每秒1个单位长度． EC 与AP 于点F ，设△AEF 的面积为S 1，△CFP 的面积为S 2，y ＝S 1－S 2，运动时间为t （t >0）秒时，求y 关于t 的函数关系式．宣武24．已知：将函数y 的图象向上平移2个单位，得到一个新的函数的图像．(1)求这个新的函数的解析式；(2)若平移前后的这两个函数图象分别与y 轴交于O 、A 两点，与直线x =C 、B 两点．试判断以A 、B 、C 、O 四点为顶点的四边形形状，并说明理由；212++b (3)若⑵中的四边形（不包括边界）始终覆盖的图象的一部分，求满足条件的实数b 的取值范围．25．已知：如图，在直角坐标系中，已知点0P 的坐标为(10)，，将线段0OP 按逆时针方向旋转45，再将其长度伸长为0OP 的2倍，得到线段1OP ；又将线段1OP 按逆时针方向旋转45，长度伸长为1OP 的2倍，得到线段2OP ；如此下去，得到线段3OP ，4OP ， ，n OP （n 为正整数） (1)求点6P 的坐标；(2)求56POP △的面积；(3)我们规定：把点()n n n P x y ，（0123n = ，，，，）的横坐标 n x 、纵坐标n y 都取绝对值后得到的新坐标()n n x y ，称之为点 n P 的“绝对坐标”．根据图中点n P 的分布规律，请你猜想点n P 的“绝对坐标”，并写出来．大兴24. 若21,x x 是关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根，则方程的两个根21,x x 和系数c b a ,,有如下关系：acx x abx x =⋅-=+2121,. 我们把它们称为根与系数关系定理. 如果设二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴的两个交点为)0,(),0,(21x B x A .利用根与系数关系定理我们又可以得到A 、B 两个交点间的距离为：.444)(4)(22222122121a acb aac b a c a b x x x x x x AB -=-=--=-+=-= 请你参考以上定理和结论，解答下列问题:设二次函数)0(2a c bx ax y ++=的图象与x 轴的两个交点为)0,(),0,(21x B x A ，抛物线的顶点为C ，显然ABC ∆为等腰三角形.（1）当ABC ∆为等腰直角三角形时，求;42的值ac b - （2）当ABC ∆为等边三角形时，=-ac b 42.（3）设抛物线12++=kx x y 与x 轴的两个交点为A 、B ，顶点为C ，且︒=∠90ACB ,试问如何平移此抛物线，才能使︒=∠60ACB ？5P25．已知抛物线22y x x a =-+（0a <）与y 轴相交于点A ，顶点为M .直线12y x a =-分别与x 轴，y 轴相交于B C ，两点，并且与直线AM 相交于点N .(1)填空：试用含a 的代数式分别表示点M 与N 的坐标，则()()M N ， ， ， ；(2)如图11，将N A C △沿y 轴翻折，若点N 的对应点N ′恰好落在抛物线上，AN ′与x 轴交于点D ，连结CD ，求a 的值和四边形ADCN 的面积；(3)在抛物线22y x x a =-+（0a <）上是否存在一点P ，使得以P A C N ，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，试说明理由.23．已知抛物线2442y ax ax a =-+-， 其中a 是常数． （1）求抛物线的顶点坐标；（2）若25a >，且抛物线与x 轴交于整数点（坐标为整数的点），求此抛物线的解析式．25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点,1)A 关于x 轴的对称点为C ，AC 与x 轴交于点B ，将△OCB 沿OC 翻折后，点B 落在点D处．（1）求点C 、D 的坐标；（2）求经过O 、D 、B 三点的抛物线的解析式；（3）若抛物线的对称轴与OC 交于点E ，点P 为 线段OC 上一点，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点Q .① 当四边形EDQP 为等腰梯形时，求出点P 的坐标；② 当四边形EDQP 为平行四边形时，直接写出点P 的坐标.房山23． 已知：抛物线1C ： 2445y ax ax a =++-的顶点为P ，与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），点B 的横坐标是1．（1）求抛物线的解析式和顶点P 的坐标；（2）将抛物线沿x 轴翻折，再向右平移，平移后的抛物线2C 的顶点为M ，当点P 、M 关于点B 成中心对称时，求平移后的抛物线2C 的解析式；（3）直线35y x m =-+与抛物线1C 、2C 的对称轴分别交于点E 、F ，设由点E 、P、F 、M 构成的四边形的面积为s, 试用含m 的代数式表示s ． 25、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l 1：y =+x 轴、y 轴于A 、B 两点，点M(m,n)是线段AB 上一动点, 点C 是线段OA 的三等分点．（1）求点C 的坐标；（2）连接CM ，将△ACM 绕点M 旋转180°，得到△A ’C ’M.①当BM=12AM 时，连结A ’C 、AC ’,若过原点O 的直线l 2将四边形A ’CAC ’分成面积相等的两个四边形，确定此直线的解析式；②过点A ’作A ’H ⊥x 轴于H ，当点M 的坐标为何值时，由点A ’、H 、C 、M 构成的四边形为梯形？怀柔23．已知二次函数y ＝x 2－x ＋c ．(1)若点A (－1，n )、B (2，2n －1)在二次函数y ＝x 2－x ＋c 的图象上，求此二次函数的最小值；(2)若D (2，y 1)、E (x 2，2)两点关于坐标原点成中心对称，试判断直线DE 与抛物线y ＝x 2－x ＋c ＋ 38的交点个数，并说明理由．24．已知如图，在梯形ABCD 中，24AD BC AD BC ==∥，，，点M 是AD 的中点，MBC △是等边三角形． （1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形；（2）动点P 、Q 分别在线段BC 和MC 上运动，且60MPQ =︒∠保持不变．设PC x MQ y ==，，求y 与x的函数关系式；（3）在（2）中，当y 取最小值时，判断PQC △的形状，并说明理由．25．如图,在平面直角坐标系xoy 中,抛物线21410189y x x =--与ｘ正半轴交于点A,与ｙ轴交于点B,过点B 作x 轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结AC ．现有两动点P 、Q 分别从O 、C 两点同时出发,点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动,点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动,点P 停止运动时,点Q 也同时停止运动,线段OC,PQ 相交于点D,过点D 作DE ∥OA,交CA 于点E,射线QE 交x 轴于点F ．设动点P,Q 移动的时间为t(单位:秒)(1)求A,B,C 三点的坐标;(2)当t 为何值时,四边形PQCA 为平行四边形?请写出计算过程; (3)当0＜t ＜92时,△PQF 的面积是否总为定值?若是,求出此定值,若不是,请说明理由;(4)当t 时,△PQF 为等腰三角形?门头沟23.关于x 的一元二次方程01)2(2)1(22=+---x m x m . （1）当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）点A （1-，1-）是抛物线1)2(2)1(22+---=x m x m y 上的点，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若点B 与点A 关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点B 的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由.25. 如图：抛物线经过A （－3，0）、B （0，4）、C （4，0三点． （1）求抛物线的解析式．（2）已知AD ＝AB （D 在线段AC 上），有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1一个动点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动，经过t ADCBPMQ60°的移动，线段PQ 被BD 垂直平分，求t 的值；（3）在（2）的条件下， M 为抛物线的对称轴上一动点，当MQ ＋MC 的值最小时，请求出点M 的坐标．密云24Rt △ABC （C ∠是直角）放在平面直角坐标系中的第二象限， 使顶点A 在y 轴上， 顶点B 在抛物线22y ax ax =+-上，顶点C 在x 轴 上，坐标为（1-，0）．（1）点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ；（2）抛物线的关系式为 ，其顶点坐标为 ；（3）将三角板ABC 绕顶点A 逆时针方向旋转90°，到达AB C ''△的位置．请判断点B '、C '是否在（2）中的抛物线上，并说明理由．25．如图，在梯形ABCD 中，3510AD BC AD DC BC ===∥，，，，梯形的高为4．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）．（1）当MN AB ∥时，求t 的值；（2）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．顺义23．已知：抛物线2(1)22y k x kx k =-++-与x 轴有两个不同的交点．（1）求k 的取值范围；（2）当k 为整数，且关于x 的方程31x kx =-的解是负数时，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，若在抛物线和x 轴所围成的封闭图形内画出一个最大的正方形，使得正方形的一边在x 轴上，其对边的两个端点在抛物线上，试求出这个（第22题图①）（第22题图②）最大正方形的边长．25．如图，直线1l ：y kx b =+平行于直线1y x =-，且与直线2l ：12y mx =+相交于点(1,0)P -． （1）求直线1l 、2l 的解析式；（2）直线1l 与y 轴交于点A ．一动点C 从点A 出发，先沿平行于x 轴的方向运动，到达直线2l 上的点1B 处后，改为垂直于x 轴的方向运动，到达直线1l 上的点1A 处后，再沿平行于x 轴的方向运动，到达直线2l 上的点2B 处后，又改为垂直于x 轴的方向运动，到达直线1l 上的点2A 处后，仍沿平行于x 轴的方向运动，…… 照此规律运动，动点C 依次经过点1B ，1A ，2B ，2A ，3B ，3A ，…，n B ，n A ，…①求点1B ，2B ，1A ，2A 的坐标；②请你通过归纳得出点n A 、n B 的坐标；并求当动点C 到达n A 处时，运动的总路径的长．通州22．如图①所示，直角梯形OABC 的顶点A 、C 分别在y 轴正半轴与x 轴负半轴上.过点B 、C 作直线l .将直线l平移，平移后的直线l 与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E .（1）将直线l 向右平移，设平移距离CD 为t （t ≥0），直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积（图中阴影部份）为s ，s 关于t 的函数图象如图②所示，OM 为线段，MN 为抛物线的一部分，NQ 为射线，且NQ 平行于x 轴，N 点横坐标为4，求梯形上底AB 的长及直角梯形OABC 的面积. （2）当24t <<时，求S 关于t 的函数解析式.25．在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =+-与x 轴交于A 、B 两点，（点A 在点B 左侧）.与y 轴交于点C ，顶点为D ，直线CD 与x 轴交于点E .（1）请你画出此抛物线，并求A 、B 、C 、D 四点的坐标.（2）将直线CD 向左平移两个单位，与抛物线交于点F （不与A 、B 两点重合），请你求出F 点坐标. （3）在点B 、点F 之间的抛物线上有一点P ，使△PBF 的面积最大，求此时P 点坐标及△PBF 的最大面积.（4）若平行于x 轴的直线与抛物线交于G 、H 两点，以GH 为直径的圆与x 轴相切，求该圆半径.17．已知二次函数22y x bx b =-++的图象的顶点在x 轴的负半轴上，求出此二次函数的解析式.延庆23．已知: 关于x 的一元二次方程0)2(2=+++-n m x n m mx ①. （1）求证: 方程①有两个实数根;（2）求证: 方程①有一个实数根是1; （3）设方程①的另一个根为1x ，若2=+n m ，m 为正整数且方程①有两个不相等的整数根时，确定关于x 的二次函数n m x n m mx y +++-=)2(2的解析式；（4）在（3）的条件下，把Rt △ABC 放在坐标系内，其中∠CAB = 90°，点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0），BC = 5， 将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在抛物线上时，求△ABC 平移的距离。
2022年北京市朝阳区中考数学总复习：二次函数附答案解析
第 1 页 共 8 页 2022年北京市中考数学总复习：二次函数
1．已知二次函数y ＝ax 2+2x +c （a ≠0）的图象与x 轴的交于A 、B （1，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣3），
（1）求二次函数的表达式及A 点坐标；
（2）D 是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点D 到直线AC 的距离取得最大值时点D 的坐标；
（3）M 是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N ，使以M 、N 、
B 、O 为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N 的坐标（不写求解过程）．
【解答】解：（1）把B （1，0），C （0，﹣3）代入y ＝ax 2+2x +c
则有{c =−3a +2+c =0
， 解得{a =1c =−3
， ∴二次函数的解析式为y ＝x 2+2x ﹣3，
令y ＝0，得到x 2+2x ﹣3＝0，解得x ＝﹣3或1，
∴A （﹣3，0）．
（2）如图1中连接AD ，CD ．
∵点D 到直线AC 的距离取得最大，
∴此时△DAC 的面积最大，
设直线AC 解析式为：y ＝kx +b ，
∵A （﹣3，0），C （0，﹣3），
∴{b =−3−3k +b =0
， 解得，{k =−1b =−3
， ∴直线AC 的解析式为y ＝﹣x ﹣3，。
2022届北京市东城区中考数学总复习：二次函数附答案解析
第 1 页 共 6 页 2022年北京市中考数学总复习：二次函数
1．如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x ＝﹣1，抛物线经过A （1，0），C （0，3）两点，与x 轴交于A 、B 两点．
（1）若直线y ＝mx +n 经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式．
（2）在该抛物线的对称轴x ＝﹣1上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；
（3）设点P 为该抛物线的对称轴x ＝﹣1上的一个动点，直接写出使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．
提示：若平面直角坐标系内有两点P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2），则线段PQ 的长度PQ =
√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2）
．
【解答】解：（1）由题意得：{−b 2a =−1a +b +c =0c =3
， 解得：{a =−1
b =−2
c =3
，
∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3，
∵对称轴为x ＝﹣1，且抛物线经过A （1，0），
∴把B （﹣3，0）、C （0，3）分别代入直线y ＝mx +n ，
得{−3m +n =0n =3
， 解得：{m =1n =3
， ∴直线y ＝mx +n 的解析式为y ＝x +3；
（2）设直线BC 与对称轴x ＝﹣1的交点为M ，则此时MA +MC 的值最小． 把x ＝﹣1代入直线y ＝x +3得，y ＝﹣1+3＝2，。
2023北京中考数学备考微专题——二次函数“新定义”学生版
2023北京中考数学备考微专题——二次函数“新定义”1．在平面直角坐标系xOy中，已知一条开口向上的抛物线，连接此抛物线上关于对称轴对称的两点A，B（A点在B点左侧），以AB为直径作⊙M．取线段AB下方的抛物线部分和线段AB上方的圆弧部分（含端点A，B），组成一个封闭图形，我们称这种图形为“抛物圆”，其中线段AB叫做“横径”，线段AB的垂直平分线被“抛物圆”截得的线段叫做“纵径”，规定“纵径”长度和“横径”长度的比值叫做此“抛物圆”的“扁度”．（1）已知抛物线y＝x2．①若点A横坐标为﹣2，则得到的“抛物圆”的“横径”长为，“纵径”长为；②若点A横坐标为t，用t表示此“抛物圆”的“纵径”长，并求出当它的“扁度”为2时t的值；（2）已知抛物线y＝x2﹣2ax+a2+a，若点A在直线y＝﹣4ax+a上，求“抛物圆”的“扁度”不超过3时a的取值范围．2．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是平行四边形，点A（4，0），∠AOC＝60°，点C的纵坐标为，点D是边BC上一点，连接OD，将线段OD绕点O逆时针旋转60°得到线段OE．给出如下定义：如果抛物线y＝ax2+bx（a≠0）同时经过点A，E，则称抛物线y＝ax2+bx（a≠0）为关于点A，E的“伴随抛物线”．（1）如图1，当点D与点C重合时，点E的坐标为，此时关于点A，E的“伴随抛物线”的解析式为；（2）如图2，当点D在边BC上运动时，连接CE．①当CE取最小值时，求关于点A，E的“伴随抛物线”的解析式；②若关于点A，E的“伴随抛物线”y＝ax2+bx（a≠0）存在，直接写出a的取值范围．3．定义：若两个函数的图象关于某一点Q中心对称，则称这两个函数关于点Q互为“对称函数”．例如，函数y＝x2与y＝﹣x2关于原点O互为“对称函数”．（1）函数y＝﹣x+1关于原点O的“对称函数”的函数解析式为，函数y＝（x ﹣2）2﹣1关于原点O的“对称函数”的函数解析式为；（2）已知函数y＝x2﹣2x与函数G关于点Q（0，1）互为“对称函数”，若函数y＝x2﹣2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而减小，求x的取值范围；（3）已知点A（0，1），点B（4，1），点C（2，0），二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0），与函数N关于点C互为“对称函数”，将二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与函数N的图象组成的图形记为W，若图形W与线段AB恰有2个公共点，直接写出a的取值范围．4．对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数y＝﹣（x﹣3）2+2是有上界函数，其上确界是2．（1）函数①y＝x2+2x+1和②y＝2x﹣3（x≤2）中是有上界函数的为（只填序号即可），其上确界为；（2）如果函数y＝﹣x+2（a≤x≤b，b＞a）的上确界是b，且这个函数的最小值不超过2a+1，求a的取值范围；（3）如果函数y＝x2﹣2ax+2（1≤x≤5）是以3为上确界的有上界函数，求实数a的值．5．定义：如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上，同时，抛物线C2的顶点在抛物线C1上，则称抛物线C1与C2关联．例如，如图，抛物线y＝x2的顶点（0，0）在抛物线y＝﹣x2+2x 上，抛物线y＝﹣x2+2x的顶点（1，1）也在抛物线y＝x2上，所以抛物线y＝x2与y＝﹣x2+2x关联．（1）已知抛物线C1：y＝（x+1）2﹣2，分别判断抛物线C2：y＝﹣x2+2x+1和抛物线C3：y＝2x2+2x+1与抛物线C1是否关联；（2）抛物线M1：的顶点为A，动点P的坐标为（t，2），将抛物线M1绕点P（t，2）旋转180°得到抛物线M2，若抛物线M1与M2关联，求抛物线M2的解析式；（3）抛物线M1：的顶点为A，点B是与M1关联的抛物线的顶点，将线段AB绕点A按顺时针方向旋转90°得到线段AB1，若点B1恰好在y轴上，请直接写出点B1的纵坐标．6．定义：若点P（a，b）在函数y＝的图象上，将以a为二次项系数，b为一次项系数构造的二次函数y＝ax2+bx称为函数y＝的一个“二次派生函数”．（1）点（2，）在函数y＝的图象上，则它的“二次派生函数”是；（2）若“二次派生函数”y＝ax2+bx经过点（1，2），求a，b的值；（3）若函数y＝ax+b是函数y＝的一个“一次派生函数”，在平面直角坐标系xOy中，同时画出“一次派生函数”y＝ax+b和“二次派生函数”y＝ax2+bx的图象，当﹣4＜x＜1时，“一次派生函数”始终大于“二次派生函数”，求点P的坐标．。
2023~2024学年北京市九年级上期末数学分类——二次函数的应用(原卷版)
2023~2024学年北京市九年级上期末数学分类——二次函数的应用1．（2024•海淀区）如图，在边长为4cm的正方形ABCD各边上取点E，F，G，H（可与A，B，C，D重合），使得四边形EFGH为正方形．设AE为x cm，正方形EFGH的面积为y cm2．（1）y关于x的函数表达式是，自变量x的取值范围是；（2）在下面的平面直角坐标系xOy中，画出（1）中函数的图象；（3）当x＝cm时，正方形EFGH面积有最小值cm2．2．（2023•西城区）如图，小云在生活中观察到一个拱门，拱门的上方拱线M和下方拱线N的最高点均为点C，拱门的跨径间对称分布有8根立柱．他搜集到两条拱线的相关数据，拱线N的跨径AB长为14m，高HC为6.125m．HC右侧的四根立柱在拱线N上的端点D，E，F，B的相关数据如下表所示．点D点E点F点B 距HC的水平距离（m）4567距AB的竖直距离（m） 4.125 3.000 1.6250所查阅的资料显示：拱线M为某个圆的一部分，拱线N为某条抛物线的一部分．根据以上信息，解答下列问题：（1）选取拱线M上的任意三点，通过尺规作图作出拱线M所在的圆；（2）建立适当的平面直角坐标系，选取拱线N上的点，求出拱线N所在的抛物线对应的函数解析式，并验证拱线N上的其他已知点都在抛物线上，写出验证过程（不添加新的字母）．3．（2023秋•东城区期末）如图1，一名男生推铅球，铅球的运动路线近似是抛物线的一部分．铅球出手位置的高度为，当铅球行进的水平距离为4m时，高度达到最大值3m．铅球的行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系满足二次函数．若以最高点为原点，过原点的水平直线为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，该二次函数的解析式为，若以过出手点且与地面垂直的直线为y轴，y轴与地面的交点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系xOy，则该二次函数的解析式为．4．（2023秋•朝阳区期末）如图1所示，草坪上的喷水装置PA高1m，喷头P一瞬间喷出的水流呈抛物线状，喷出的抛物线水流在与喷水装置PA的水平距离为4m处，达到最高点C，点C距离地面．（1）请建立适当的平面直角坐标系xOy，求出该坐标系中水流所呈现的抛物线的解析式；（2）这个喷水装置的喷头P能旋转220°，它的喷灌区域是一个扇形，如图2所示，求出它能喷灌的草坪的面积（π取3，结果保留整数）．5．（2023秋•丰台区期末）如图1，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图2是灌溉车浇水操作时的截面图．现将灌溉车喷出水的上、下边缘线近似地看作平面直角坐标系xOy中两条抛物线的部分图象．已知喷水口H离地竖直高度OH为1.2m，草坪水平宽度DE＝3m，竖直高度忽略不计．上边缘抛物线最高点A 离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，设灌溉车到草坪的距离OD为d（单位：m）．（1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC的长；（2）下边缘抛物线落地点B的坐标为；（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为．6．（2023秋•石景山区期末）投掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被投掷后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，实心球从出手（点A 处）到落地的过程中，其竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m）近似满足二次函数关系．小石进行了三次训练，每次实心球的出手点A 的竖直高度为2m ．记实心球运动路线的最高点为P ，训练成绩（实心球落地点的水平距离）为d （单位：m ）．训练情况如下：第一次训练第二次训练第三次训练训练成绩d 1＝8.39md 2d 3最高点P 1（3，2.9）P 2（4，3.6）P 3（3，3.4）满足的函数关系式（a ＜0）根据以上信息，（1）求第二次训练时满足的函数关系式；（2）小石第二次训练的成绩d 2为m ；（3）直接写出训练成绩d 1，d 2，d 3的大小关系．7．（2023秋•大兴区期末）如图1，某公园一个圆形喷水池，在喷水池中心O处竖直安装一根高度为1.25m 的水管OA，A处是喷头，喷出水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，喷出水流的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，测得喷出水流距离喷水池中心O的最远水平距离OB为2.5m，水流竖直高度的最高处位置C距离喷水池中心O的水平距离OD为1m．（1）求喷出水流的竖直高度y（m）与距离水池中心O的水平距离x（m）之间的关系式，并求水流最大竖直高度CD的长；（2）安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动（假设抛物线水流移动时，保持对称轴及形状不变），若水管OA的高度增加0.64m时，则水流离喷水池中心O的最远水平距离为m．8．（2024•平谷区）电动汽车的续航里程也可以称作续航能力，是指电动汽车的动力蓄电池在充满电的状态下可连续行驶的总里程，它是电动汽车重要的经济性指标．高速路况状态下，电动车的续航里程除了会受到环境温度的影响，还和汽车的行驶速度有关．某科研团队为了分析续航里程与速度的关系，进行了如下的探究：下面是他们的探究过程，请补充完整：（1）他们调取了某款电动汽车在某个特定温度下的续航里程与速度的有关数据：速度（千米/小时）102030406080100120140160续航里程（千米）100340460530580560500430380310则设为y ，为x ，y 是x 的函数；（2）建立平面直角坐标系，在给出的格点图中描出表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，下列说法正确的有；①y 随x 的增大而减小；②当汽车的速度在60千米/小时左右时，汽车的续航里程最大；③实验表明，汽车的速度过快或过慢时，汽车的续航里程都会变小．（4）若想要该车辆的续航里程保持在500千米以上，该车的车速大约控制在至千米/小时范围内．9．（2024•房山区）原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系．实心球从出手（点A处）到落地的过程中，实心球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．九年级一名男生进行了两次训练．（1）第一次训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x/m035679竖直高度y/m25根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；（2）第二次训练时，实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系．记该男生第一次训练实心球落地的水平距离为d1，第二次训练实心球落地的水平距离为d2，则d1d2（填“＞”“＝”或“＜”）．10．（2023秋•门头沟区期末）如图，杂技团进行杂技表演，演员要从跷跷板右端A处弹跳后恰好落在人梯的顶端B处，其身体（看成一点）的路径是一条抛物线．现测量出如下的数据，设演员身体距起跳点A水平距离为d米时，距地面的高度为h米．d（米）… 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50…h（米）… 3.40 4.15 4.60 4.75 4.60 4.15…请你解决以下问题：（1）在下边网格中建立适当平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接；（2）结合表中所给的数据或所画的图象，直接写出演员身体距离地面的最大高度；（3）求起跳点A距离地面的高度；（4）在上述的条件下，有一次表演，已知人梯到起跳点A的水平距离是3米，人梯的高度是3.40米．问此次表演是否成功？如果成功，说明理由；如果不成功，说明应怎样调节人梯到起跳点A的水平距离才能成功？11．（2023秋•昌平区期末）如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点O和点A处，测得OA距离为6m，若以点O为原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面1m的B处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线C1：y＝a（x﹣3）2+2的一部分，小静恰在点C（0，c）处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线C2：的一部分．（1）抛物线C1的最高点坐标为；（2）求a，c的值；（3）小林在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，则n的整数值可为．12．（2023秋•密云区期末）某景观公园计划修建一个人工喷泉，从垂直于地面的喷水枪喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水流距喷水枪的水平距离为x m，距地面的竖直高度为y m，获得数据如表：x（米）00.5 2.0 3.55y（米） 1.67 2.25 3.0 2.250小华根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整：（1）在平面直角坐标系xOy中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线画出该函数的图象；（2）直接写出水流最高点距离地面的高度为米；（3）求该抛物线的表达式，并写出自变量的取值范围；（4）结合函数图象，解决问题：该景观公园准备在距喷水枪水平距离3m处修建一个大理石雕塑，使喷水枪喷出的水流刚好落在雕塑顶端，则大理石雕塑的高度约为m．（结果精确到0.1m）13．（2024•顺义区）正面双手前掷实心球是发展学生力量和协调性的运动项目之一，实心球出手后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从出手到着地的过程中，实心球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．小明进行了三次训练．（1）第一次训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x/m0123456789竖直高度y/m2 2.7 3.2 3.5 3.6 3.5 3.2 2.72 1.1根据上述数据，求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0），并求出实心球着地点的水平距离d1；（2）第二次、第三次训练时，实心球的竖直高度y与水平距离x的函数图象的一部分如图所示，其中A，B分别为第二次、第三次训练抛物线的顶点．记小明第二、三次训练时实心球着地点的水平距离分别为d2，d3，则d1，d2，d3的大小关系为．14．（2023秋•燕山期末）学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况．在两种不同的场景A和场景B下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x 分钟时，在场景A，B中的剩余质量分别为y1，y2（单位：克）．下面是某研究小组的探究过程，请补充完整：记录y1，y2与x的几组对应值如下：x（分钟）05101520…y1（克）2523.52014.57…y2（克）252015105…（1）在同一平面直角坐标系xOy中，描出上表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（2）进一步探究发现，场景A的图象是抛物线的一部分，y1与x之间近似满足函数关系y1＝﹣0.04x2+bx+c．场景B的图象是直线的一部分，y2与x之间近似满足函数关系y2＝ax+c（a≠0）．请分别求出场景A，B满足的函数关系式；（3）查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用．在上述实验中，记该化学试剂在场景A，B中发挥作用的时间分别为x A，x B，则x A x B（填“＞”，“＝”或“＜”）．。
2023~2024学年北京市九年级上期末数学分类——二次函数(原卷版)
2023~2024学年北京市九年级上期末数学分类——二次函数一．二次函数的性质（共16小题）1．（2023秋•东城区期末）关于二次函数y＝2（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（）A．当x＝1时，有最小值为2B．当x＝1时，有最大值为2C．当x＝﹣1时，有最小值为2D．当x＝﹣1时，有最大值为22．（2023秋•丰台区期末）抛物线y＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标是（）A．（﹣1，﹣2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（1，2）3．（2024•海淀区）抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（1，﹣2）B．（1，2）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣1，2）4．（2024•房山区）抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（﹣1，2）B．（1，2）C．（﹣1，﹣2）D．（1，﹣2）5．（2023秋•门头沟区期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是一条抛物线，自变量x与函数y的部分对应值如表：x…﹣2﹣10123…y…0﹣2﹣3﹣3﹣20…有如下结论：①抛物线的开口向上②抛物线的对称轴是直线③抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3）④由抛物线可知ax2+bx+c＜0的解集是﹣2＜x＜3其中正确的是（）A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④6．（2023秋•大兴区期末）抛物线y＝（x﹣2）2+1的对称轴是（）A．x＝2B．x＝﹣2C．x＝1D．x＝﹣17．（2023•西城区）下列关于函数y＝x2﹣1的结论中，正确的是（）A．y随x的增大而减小B．当x＞0时，y随x的增大而增大C．当x＜0时，y随x的增大而增大D．当x＞0时，y随x的增大而减小8．（2023秋•通州区期末）下列关于二次函数y＝3x2的说法正确的是（）A．它的图象经过点（﹣1，﹣3）B．它的图象的对称轴是直线x＝3C．当x＜0时，y随x的增大而减小D．当x＝0时，y有最大值为09．（2023秋•东城区期末）已知二次函数y＝﹣x2+8x+3，当x＞m时，y随x的增大而减小，则m的值可以是（写出一个即可）．10．（2023秋•丰台区期末）已知二次函数y＝x2+bx，当x＞1时，y随x的增大而增大．写出一个满足题意的b的值为．11．（2023秋•朝阳区期末）抛物线y＝x2﹣2x+4的顶点坐标是．12．（2023秋•朝阳区期末）已知函数y1＝kx+4k﹣2（k是常数，k≠0），（a是常数，a≠0），在同一平面直角坐标系中，若无论k为何值，函数y1和y2的图象总有公共点，则a的取值范围是．13．（2023秋•门头沟区期末）二次函数y＝2（x﹣1）2+3的顶点坐标为．14．（2023秋•大兴区期末）写出一个过点（0，1）且当自变量x＞0时，函数值y随x的增大而增大的二次函数的解析式．15．（2024•平谷区）已知二次函数y＝x2+2x﹣3．（1）求该抛物线的顶点坐标；（2）求该二次函数图象与x轴、y轴的交点坐标；（3）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数y＝x2+2x﹣3的图象．16．（2024•房山区）已知二次函数y＝x2+2x﹣3．（1）在平面直角坐标系中画出它的图象，并写出它的对称轴；（2）结合图象直接写出当﹣1＜x＜1时，y的取值范围．17．（2023秋•石景山区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为P（﹣1，k），且经过点A（﹣3，0），其部分图象如图所示，下面四个结论中，①a＜0；②b＝﹣2a；③若点M（2，m）在此抛物线上，则m＜0；④若点N（t，n）在此抛物线上且n＜c，则t＞0．所有正确结论的序号是．18．（2023秋•昌平区期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的对称轴是直线x＝1，其部分图象如图，则以下四个结论中：①abc＞0；②2a+b＝0；③3a+c＜0；④4a+b2＞4ac，其中，正确结论的序号是．19．（2023秋•大兴区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（0，1），（2，1）．给出下面三个结论：①2a﹣b＝0；②a+b+c＞1；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c ﹣m＝0（m＜1）有两个异号实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是．20．（2024•平谷区）已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上部分对应点坐标如表，m的值为（）x…﹣1﹣0.5 2.535…y…0﹣3.5﹣3.5m24…A．1B．2C．﹣5D．021．（2023秋•石景山区期末）在平面直角坐标系xOy中，若点（4，y1），（6，y2）在抛物线y＝a（x﹣3）2+1（a＞0）上，则下列结论正确的是（）A．1＜y1＜y2B．1＜y2＜y1C．y2＜y1＜1D．y1＜y2＜1 22．（2023•西城区）若抛物线y＝x2+3x+c经过点（0，2），则c的值为（）A．2B．1C．0D．﹣223．（2024•海淀区）已知y是x的二次函数，表中列出了部分y与x的对应值：x012y01﹣1则该二次函数有（填“最小值”或“最大值”）．24．（2023秋•大兴区期末）在平面直角坐标系xOy中，若点（2，y1），（4，y2）在抛物线y＝2（x﹣3）2﹣4上，则y1y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．25．（2023秋•密云区期末）若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）三点都在二次函数y＝﹣3x2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（按从小到大的顺序，用“＜”连接）．四．二次函数图象与几何变换（共13小题）26．（2024•平谷区）将抛物线y＝向下平移1个单位长度，得到的抛物线是（）A．B．C．D．27．（2023秋•朝阳区期末）把抛物线y＝3x2向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为（）A．y＝3（x﹣5）2+2B．y＝3（x+5）2+2C．y＝3（x+2）2+5D．y＝3（x﹣2）2+528．（2024•房山区）将二次函数y＝x2的图象向上平移5个单位，得到的函数图象的表达式是（）A．y＝x2+5B．y＝x2﹣5C．y＝（x+5）2D．y＝（x﹣5）229．（2023秋•门头沟区期末）如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，向左平移1个单位长度，得到新的抛物线的表达式是（）A．y＝（x+1）2﹣3B．y＝（x+1）2+3C．y＝（x﹣1）2﹣3D．y＝（x﹣1）2+330．（2023秋•石景山区期末）将抛物线y＝3x2向左平移1个单位长度，平移后抛物线的解析式为（）A．y＝3（x+1）2B．y＝3（x﹣1）2C．y＝3x2+1D．y＝3x2﹣131．（2023秋•昌平区期末）将抛物线y＝2x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线的表达式为（）A．y＝2（x+2）2+3B．y＝2（x﹣2）2+3C．y＝2（x﹣2）2﹣3D．y＝2（x+2）2﹣332．（2023秋•大兴区期末）在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝3x2先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线是（）A．y＝3（x+4）2﹣1B．y＝3（x+4）2+1C．y＝3（x﹣4）2﹣1D．y＝3（x﹣4）2+133．（2023秋•通州区期末）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝2x2先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后所得到的抛物线的表达式为（）A．y＝2（x﹣3）2+4B．y＝2（x﹣3）2﹣4C．y＝2（x+3）2+4D．y＝2（x+3）2﹣434．（2024•顺义区）若将抛物线y＝2x2向右平移2个单位长度，则所得抛物线的表达式为．35．（2023秋•东城区期末）将抛物线y＝2x2向下平移3个单位长度，得到新的抛物线的解析式是．36．（2024•海淀区）在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝3x2向下平移1个单位，得到的抛物线表达式为．37．（2023秋•密云区期末）将抛物线y＝x2先向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的新抛物线解析式为．38．（2023•西城区）已知二次函数y＝2x2﹣4x+5．（1）将y＝2x2﹣4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）抛物线y＝2x2﹣4x+5可以由抛物线y＝2x2经过平移得到，请写出一种平移方式．五．二次函数的最值（共1小题）39．（2023秋•密云区期末）二次函数y＝3（x+1）2﹣4的最小值是（）A．1B．﹣1C．4D．﹣4六．待定系数法求二次函数解析式（共7小题）40．（2024•顺义区）将二次函数y＝﹣x2+2x+3化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，则所得表达式为（）A．y＝（x+1）2﹣4B．y＝﹣（x﹣1）2+4C．y＝﹣（x+1）2+2D．y＝﹣（x﹣1）2+241．（2023秋•昌平区期末）写出一个开口向下且过（0，1）的抛物线的表达式．42．（2023•西城区）写出一个开口向上，且过原点的抛物线的表达式：．43．（2023秋•石景山区期末）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点A（1，0）和B（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）当1＜x＜4时，结合图象，直接写出函数值y的取值范围．44．（2023秋•昌平区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的y与x的部分对应值如表：x…﹣3﹣113…y…﹣3010…（1）求这个二次函数表达式；（2）在平面直角坐标系中画出这个函数图象；（3）当x的取值范围为时，y＞﹣3．45．（2023秋•大兴区期末）已知抛物线y＝x2+bx+c经过点（1，0），（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标．46．（2023秋•通州区期末）已知二次函数几组x与y的对应值如下表：x…﹣3﹣2﹣1134…y…1250﹣405…（1）写出此二次函数图象的对称轴；（2）求此二次函数的表达式．七．抛物线与x轴的交点（共9小题）47．（2024•海淀区）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c ＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．有实数根D．没有实数根48．（2023秋•石景山区期末）若抛物线y＝x2+2mx+9与x轴只有一个交点，则m的值为（）A．3B．﹣3C．D．±349．（2024•平谷区）若抛物线y＝x2﹣2x+k﹣1与x轴有交点，则k的取值范围是．50．（2023秋•密云区期末）请写出一个常数a的值，使得二次函数y＝x2+4x+a的图象与x轴没有交点，则a的值可以是．51．（2024•顺义区）已知二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象经过点A（﹣1，0），B（2，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）直接写出y＞0时，x的取值范围．52．（2023秋•丰台区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示：x…﹣10124…y…830﹣13…（1）求二次函数的解析式及顶点坐标；（2）直接写出当y＞0时，x的取值范围．53．（2023秋•门头沟区期末）已知二次函数y＝x2+2x﹣3．（1）求此二次函数图象的顶点坐标；（2）求此二次函数图象与x轴的交点坐标；（3）当y＞0时，直接写出x的取值范围．54．（2023秋•石景山区期末）已知二次函数y＝x2+2x﹣3．（1）将y＝x2+2x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的形式，并写出其图象的顶点坐标；（2）求此函数图象与x轴交点的坐标；（3）在平面直角坐标系xOy中，画出此函数的图象．55．（2023•西城区）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2x+c与x轴的一个交点为A（﹣1，0）．（1）c＝；（2）画出函数y＝x2﹣2x+c的图象；（3）当﹣2＜x≤2时，结合函数图象直接写出y的取值范围．八．二次函数与不等式（组）（共4小题）56．（2023•西城区）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣1，0）．下面有四个结论：①a＞0；②2a+b＜0；③4a+2b+c＞0；④关于x的不等式ax2+（b﹣c）x＞0的解集为﹣1＜x＜0．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．③④D．②③④57．（2024•顺义区）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，写出一个满足不等式ax2+bx+c＜﹣1的x的值，这个值可以是．58．（2023秋•东城区期末）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+bx的图象过点A（3，3）．（1）求该二次函数的解析式；（2）用描点法画出该二次函数的图象；（3）当0＜x＜3时，对于x的每一个值，都有kx＞x2+bx，直接写出k的取值范围．59．（2023秋•朝阳区期末）已知一次函数y1＝mx+n（m≠0）和二次函数，下表给出了y1，y2与自变量x的几组对应值：x…﹣2﹣101234…y1…543210﹣1…y2…﹣503430﹣5…（1）求y2的解析式；（2）直接写出关于x的不等式ax2+bx+c＞mx+n的解集．。
北京中考压轴二次函数综合分类解析
代数几何综合一、二次函数压轴题类类型解析在北京中考中二次函数的重要性不言而喻，稳坐压轴题倒数第三题，数学想上90分的学生，这道题严格意义上来说必须拿下的，基本的布置有三问，前两问比较简单，基本一半以上的学生都能拿下，但最后一问涉及临界点问题，有的题目甚至需要将图像想象成会动的函数来讲，对学生的分析能力来说是一个比较大的挑战。
在二次函数前两问中，通常考查函数的对称轴，与x轴的交点坐标，顶点坐标，求函数解析式，或者带点计算的基本能力。
常见考点：1．顶点（-b2a ，4ac−b24a），对称轴是直线x=-b2a2．与x轴交点坐标（−b+√b2−4ac2a ，0）（−b−√b2−4ac2a，0）3．顶点式求函数解析式4．函数图像平移以及翻折问题，平移规律左加右减，上加下减，函数图像关于x轴翻折图像类似M或W。
5．抛物线中对称性与距离问题6．抛物线常见的定点函数。
最后一问的解答过程中，一般情况从六个方面确定函数的图像的基本性质。
1.分析开口方向和大小，有的函数需要分类讨论2.分析抛物线的对称轴3. 分析定点坐标4. 分析抛物线与x 轴的交点坐标5. 分析抛物线与y 轴的交点坐标6. 分析抛物线的其它定点总的来说，给定的条件中，一定能确定二次函数某些性质，例如：开口大小固定，过固定点，与x 轴交点固定，截x 轴的线段长度固定等，具体情况还是要具体分析，但基本上都离不开对图像的分析。
一、公共点类型线段或直线与抛物线有交点时，考察类型较多，也是模拟考试中的重点内容，根据函数图像的性质，分析临界点，代数即可。
易（房山）26．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y x mx n =++的图象经过点 A (−1，a )，B (3，a )，且顶点的纵坐标为 -4． （1）求 m ，n 和 a 的值；（2）记二次函数图象在点 A ，B 间的部分为 G (含 点A 和点B )，若直线 2y kx =+与 图象G 有公共点，结合函数图象，求 k 的取值范围．易（延庆）26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2432y ax ax a =-+-（0a ≠）的对称轴与x 轴交于点A ，将点A 向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度，得到点B ． （1）求抛物线的对称轴及点B 的坐标；（2）若抛物线与线段AB 有公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．易（顺义）26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 2(3)3y mx m x =+--（0m >）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C , 4=AB ，点D 为抛物线的顶点. （1）求点A 和顶点D 的坐标；（2）将点D 向左平移4个单位长度，得到点E ,求直线BE 的表达式；（3）若抛物线26=-y ax 与线段DE 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围.中（平谷）26．平面直角坐标系xOy 中，抛物线3222-+-=m mx x y 与y 轴交于点A ，过A 作AB ∥x 轴与直线x =4交于B 点．（1）抛物线的对称轴为x = （用含m 的代数式表示）； （2）当抛物线经过点A ，B 时，求此时抛物线的表达式；（3）记抛物线在线段AB 下方的部分图象为G （包含A ，B 两点），点P （m ,0）是x 轴上一动点，过P 作PD ⊥x 轴于P ，交图象G 于点D ，交AB 于点C ，若CD ≤1，求m 的取值范围．中（石景山）26．在平面直角坐标系xOy 中，直线1y kx =+(0)k ≠经过点(2,3)A ，与y 轴交于点B ，与抛物线2y ax bx a =++的对称轴交于点(,2)C m . （1）求m 的值；（2）求抛物线的顶点坐标；（3）11(,)N x y 是线段AB 上一动点，过点N 作垂直于y 轴的直线与抛物线交于点22(,)P x y ,33(,)Q x y （点P 在点Q 的左侧）．若213x x x <<恒成立，结合函数的图象，求a 的取值范围．中（西城）26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x mx n =-+．（1）当2m 时， ①求抛物线的对称轴，并用含n 的式子表示顶点的纵坐标；②若点1(2,)A y ，22(,)B x y 都在抛物线上，且21y y ，则2x 的取值范围是_______；（2）已知点P (－1,2)，将点P 向右平移4个单位长度，得到点Q ．当n ＝3时，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图像，求m 的取值范围．中（东城）26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2691(0)y mx mx m m =-++≠（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若抛物线与x 轴的两个交点分别为A 和B （点A 在点B 的左侧），且AB =4，求m 的值；（3）已知四个点C （2,2），D （2,0），E （5,-2），F （5,6），若抛物线与线段CD 和线段EF 都没有公共点，请直接写出m 的取值范围．中（大兴）26. 在平面直角坐标系中xOy 中，抛物线（1）求抛物线的对称轴；（2）若抛物线过点A （-1，6），求二次函数的表达式；（3）将点A （-1，6）沿x 轴向右平移7个单位得到点B ，若抛物线与线段AB 始终有两个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围.中（密云）26．已知抛物线2224y x mx m =-+-，抛物线的顶点为P . （1）求点P 的纵坐标．（2）设抛物线x 轴交于A 、B 两点，1122(,),(,)A x y B x y ，21x x >. ①判断AB 长是否为定值，并证明．②已知点M （0，-4），且MA ≥5，求21-x x m +的取值范围．2-41y ax ax =+难（门头沟）26．在平面直角坐标系xOy中，一次函数4=+的图象与x轴交于点A，与过点（0，5）y x平行于x轴的直线l交于点B，点A关于直线l的对称点为点C．（1）求点B和点C坐标；（2）已知某抛物线的表达式为22=-+-．2y x mx m m①如果该抛物线顶点在直线4=+上，求m的值；y x②如果该抛物线与线段BC有公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．难（朝阳）26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-2x+a-3，当a=0时，抛物线与y轴交于点A，将点A向右平移4 个单位长度，得到点B.（1）求点B的坐标；（2）将抛物线在直线y=a上方的部分沿直线y=a翻折，图象的其他部分保持不变，得到一个新的图象，记为图形M，若图形M与线段AB恰有两个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围.二、对称性对称性考察比较灵活，两点纵坐标相同时，说明两点关于对称轴对称。
北京市中考数学--二次函数综合
24．（07北京24题）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y m x x n =++经过(02)P A ，，两点． （1）求此抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为B ，将直线A B 沿y 轴向下平移两个单位得到直线l ，直线l 与抛物线的对称轴交于C 点，求直线l 的解析式；（3）在（2）的条件下，求到直线O B O C BC ，，距离相等的点的坐标．24．（08北京24题）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c=++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧．．），与y 轴交于点C ，点B 的坐标为（3，0），将直线y kx =沿y 轴向上平移3个单位长度后恰好经过B 、C 两点． （1） 求直线BC 及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D ，点P 在抛物线的对称轴上，且∠APD =∠ACB ，求点P 的坐标； （3） 连结CD ，求∠OCA 与∠OCD 两角和的度数．24. （09朝阳一模24） 抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B 两点，与y 轴交于点C （0，－3），抛物线顶点为M ，连接AC 并延长AC 交抛物线对称轴于点Q ，且点Q 到x 轴的距离为6. （1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上找一点D ，使得DC 与AC 垂直，求出点D 的坐标；（3）抛物线对称轴上是否存在一点P ，使得S △PAM =3S △ACM ，若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由. 23．（09大兴一模23）已知抛物线12++=bx x y 的顶点在x 轴上，且与y 轴交于A 点. 直线m kx y +=经过A 、B 两点，点B 的坐标为（3，4）。
（1）求抛物线的解析式，并判断点B 是否在抛物线上；（2）如果点B 在抛物线上，P 为线段AB 上的一个动点（点P 与A 、B 不重合），过P 作x 轴的垂线与这个．．二次函数的图象交于点E ，设线段PE 的长为h ，点P 的横坐标为x ，当x 为何值时，h 取得最大值，求出这时的h 值24．(09密云二模24)x已知：抛物线2(1)y x b x c =+-+经过点(12)P b --，． （1）求b c +的值；（2）若3b =，求这条抛物线的顶点坐标；（3）若3b >，过点P 作直线P A y ⊥轴，交y 轴于点A ，交抛物线于另一点B ，且2B P P A =，求这条抛物线所对应的二次函数关系式．（提示：请画示意图思考）24．（09顺义一模24）已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(1y ax x c =+++经过A (2,0)，B (1,n ) ， C （0，2）三点．（1）求抛物线的解析式； （2）求线段BC 的长； （3）求O A B ∠的度数．23．（09石景山二模23）如图，四边形ABCD 是菱形，点D 的坐标是（0，3），以点C 为顶点的抛物线c bx ax y ++=2恰经过x 轴上的点A 、B ． （1）求点C 的坐标；（2）若抛物线向上平移后恰好经过点D ，求平移后抛物线的解析式．24．（09顺义二模24）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线m x m x y ++-=)1(2（m 是常数）与y 轴交于点C ，与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），且A 、B 两点在原点两侧．(1) 求A 、B 两点的坐标（可用含m 的代数式表示）； （2）若6ABC S ∆=，求抛物线的解析式；(3) 设抛物线的顶点为D ，在（2）的条件下，试判断△ACD 的形状，并求tan ∠ACB 的值．23. （09通县二模23）第23题已知二次函数y =ax 2－2ax ＋b (a ≠0)的图象与x 轴分别交于A 、B 两点（A 点在B 点左侧），与y 轴交于点C ,直线 y =－x ＋b 经过点B 、C ，且B 点坐标为(3，0). (1)求二次函数解析式；(2)在y 轴上是否存在点P ，使得以点P 、B 、C 、A 为顶点的四边形是梯形？若存在，求出P 点坐标； 若不存在，请说明理由.24．在平面直角坐标系xOy 中，直线3+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于C A 、两点，抛物线c bx x y ++=221经过A 点，与x 轴的另一个交点为B 点（A 点在B 点的右侧），且AB的长度为4．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D ，在x 轴上是否存在一点P ，使以P 为圆心的圆与直线AC 、直线AD 及y 轴都相切？如果存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若E 是线段AD 的中点，动点M 在x 轴上，动点N 在y 轴上，求使得四边形DEMN周长最小的点M 和点N 的坐标，并直接写出此时四边形DEMN 的周长．24.（09密云一模24）已知抛物线2y x bx c =++经过点A(0,5)和B(3,2)点.(1)求抛物线的解析式; (2)现有一半径为1，圆心P 在抛物线上运动的动圆，问当 P 在运动过程中，是否存在 P 与坐标轴相切的情况？若存在，请求出圆心P 的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若 Q 的半径为r ，点Q 在抛物线上，当 Q 与两坐标轴都相切时，求半径r 的值. 25. （09延庆一模25）在平面直角坐标系中，抛物线c bx ax y ++=2的对称轴为x=2,且经过B （0，4）， C （5，9），直线BC 与x 轴交于点A. （1）求出直线BC 及抛物线的解析式.（2）D （1，y ）在抛物线上，在抛物线的对称轴上是否存在两点M 、N ，且MN=2 ，点M在点N 的上方，使得四边形BDNM 的周长最小，若存在，求出M 、N 两点的坐标，若不存在，请说明理由.x（3）现将直线BC 绕B 点旋转与抛物线相交于另一点P ，请找出抛物线上所有满足到直线BC 距离为P ．25．（09丰台二模25）已知抛物线2y ax bx c =++经过点A （5，0）、B （6，-6）和原点． （1）求抛物线的解析式；（2）若过点B 的直线y kx n =+与抛物线相交于点C （2，m ），求∆OBC 的面积；（3）过点C 作平行于x 轴的直线交y 轴于点D ，在抛物线对称轴右侧位于直线DC 下方的抛物线上，任取一点P ，过点P 作直线PF 平行于y 轴交x 轴于点F ，交直线DC 于点E ．是否存在点P ，使得以C 、E 、P 为顶点的三角形与∆OCD 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．24．（09平谷一模24）如图，抛物线y ＝ 12x 2＋bx －2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A (－1，0)． （1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；） （2）判断A B C △的形状，证明你的结论； （3）点(0)M m ，是x 轴上的一个动点，当MC ＋MD 的值最小时，求m24．（09房山二模24）如图，已知抛物线经过点B (-2,3)、原点O 和x 轴上另一点A ,它的对称轴与x 轴交于点C（2，0）， （1）求此抛物线的函数关系式；（2）联结CB, 在抛物线的对称轴上找一点E,使得CB=CE,（3）在(2)的条件下, 联结BE,设BE 的中点为G ,存在点P ，使得△PBG 的周长最小？若存在，求出P 说明理由.23．（09门头沟二模23）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线212y x bx c =-++与x轴交于A 、B 两点（点A 在原点的左侧，点B 在原点的右侧），与y 轴交于点C ，且OA ＝2，OC ＝3．（1）求抛物线的解析式；（2）若点E 在第一象限内的此抛物线上，且OE ⊥BC 于D ，求点E 的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使线段PA 与PE 之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点P 的坐标；若不存在，请说明理由．25.（09北京25题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 三个顶点的坐标分别为A (6,0)-，B （6，0），C (0,，延长AC 到点D ，使CD =12AC ，过D 点作DE ∥AB 交BC 的延长线于点E .（1）求D 点的坐标；（2）作C 点关于直线DE 的对称点F ，分别连结DF 、EF ，若过B 点的直线y kx b =+将四边形CDFE 分 成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（3）设G 为y 轴上一点，点P 从直线y kx b =+与 y轴的交点出发，先沿y 轴到达G 点，再沿GA 到 达A 点.若P 点在y 轴上运动的速度是它在直线 GA 上运动速度的2倍，试确定G 点的位置，使 P 点按照上述要求到达A 点所用的时间最短. （要求：简述确定G 点位置的方法，但不要求证明）25．（09海淀一模25）已知抛物线经过点 A (0, 4)、B (1, 4)、C (3, 2)，与x 轴交于点D .（1）求此抛物线的解析式及点D 的坐标；（2）在x 轴上求一点E , 使得△BCE 是以BC 等腰三角形；（3）在（2）的条件下，过线段ED 上动点P 作直线PF 与BE 、CE 分别交于点F 、G ，将△EFG 沿FG E 'FG . 设P （x, 0）, △E 'FG 与四边形FGCB重叠部分的面积为S ，求S 与x 量x 的取值范围.24. （09东城一模24腰直角三角板ABC 图所示，抛物线22y ax ax =+-经过点B ． （1）求点B 的坐标； （2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P （点B 除外），使△ACP 仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．24．（09西城一模24）已知：如图，在平面直角坐标系xO y 中，直线364y x =-+与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，将∠OBA 对折，使点O 的对应点H 落在直线AB 上，折痕交x 轴于点C . （1）直接写出点C 的坐标，并求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D ，在直线BC 上是否存在点P ，使得四边形ODAP 为平行四 边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线BC 的交点为T ，Q 为线段BT 上一点，直接写出Q A Q O -的取值范围.24．（09崇文一模24）如图，抛物线两点轴交于与B A x bx axy ,32-+=，与y 轴交于点C ，且OA OC OB 3==． （I ）求抛物线的解析式；（II ）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以点C A P ,,为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出P 点坐标，若不存在，请说明理由；（III ）直线131+-=x y 交y 轴于D 点，E 为抛物线顶点．若α=∠DBC ，βαβ-=∠求,CBE 的值． 21．（09朝阳毕业21）如图，已知二次函数322++=x ax y 的图象与x 轴交于点A 、点B ，与y 轴交于点C ，其顶点为D ，tan ∠OBC =1， （1）求点B 的坐标；（2）求a 的值和二次函数322++=x ax y 的顶点坐标；（3）求直线DC 的解析式；（4）在该二次函数的图象上是否存在点P （点P 与点B 、C 不重合），使得ΔPBC 是以BC 为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点理由.24．（09昌平一模24）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++与x 左侧），过点A 的直线1y kx =+交抛物线于点()2,3C ． （1）求直线A C 及抛物线的解析式； （2）若直线1y kx =+与抛物线的对称轴交于 点E ，以点E 为中心将直线1y kx =+顺时针 旋转90︒得到直线l ，设直线l 与y 轴的交点 为P ，求APE ∆的面积；（3）若G 为抛物线上一点，是否存在x 轴上的点F ，使以B E F G 、、、为顶点的四边形为平行四边形，若存在，直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由． 25、（09大兴一模25）在平面直角坐标系中，直线621+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点．（1）直接写出B 、C 两点的坐标； （2）直线x y =与直线621+-=x y 交于点A ，动点P 从点O 沿OA 方向以每秒1个单位的速度运动，设运动时间为t 秒（即OP = t ）.过点P 作PQ ∥x 轴交直线BC 于点Q ． ① 若点P 在线段OA 上运动时（如图1），过P 、Q 分别作x 轴的垂线，垂足分别为N 、M ，设矩形PQMN 的面积为S ，写出S 和t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值． ② 若点P 经过点A 后继续按原方向、原速度运动，当运动时间t 为何值时,过P 、Q 、O 三点的圆与x 轴相切.24．（09通县一模24）下表给出了代数式x 2+bx +c 与x 的一些对应值：（1）根据表格中的数据，确定b 、c 的值，并填齐表格空白处的对应值； （2）设y =x 2 + bx + c 的图象与x 轴的交点为A 、B 两点（A 点在B 点左侧），与y 轴 交于点C ，P 为线段AB 上一动点，过P 点作PE ∥AC 交BC 于E ，连结PC ， 当△PEC 的面积最大时，求P 点的坐标.24．（09海淀二模24）如图，已知抛物线224323m m x m x m y -+-+-=)()(的顶点在双曲线xy 3=上, 直线y =mx +b 经过点A , 与y 轴交于点 与x 轴交于点C .（1）确定直线AB 的解析式;（2）将直线AB 绕点O 顺时针旋转90︒, 与x 轴交于点D , y 轴交于点E , 求sin ∠BDE 的值;（3）过点B 作x 轴的平行线与双曲线交于点G , 点M BG 上, 且到抛物线的对称轴的距离为6. 设点N 在直线BG 请你直接写出使得∠AMB +∠ANB =45︒的点N 的坐标24．（09西城二模24）如图，抛物线2y ax bx c =++的顶点为A (0,1)，与x 轴的一个交点B 的坐标为(2,0)．点P 在抛物线上，它的横坐标为2n (01)n <<，作PC ⊥x 轴于C ，PC 交射线AB 于点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）用n 的代数式表示CD 、PD 的长，并通过计算说明P D C D与O C O B的大小关系；（3）若将原题中“01n <<”的条件改为“1n >”，其它条件不变，请通过计算说明（2）中的结论是否仍然成立．25．（09崇文二模25）在平面直角坐标系中，抛物线cxaxy++=2经过直线42+=xy与坐标轴的两个交点B C、，它与x轴的另一个交点为A．点N是抛物线对称轴与x轴的交点，点M为线段AB上的动点．（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；（2）如图①，若过动点M的直线BCME//交抛物线对称轴于点E．试问抛物线上是否存在点F，使得以点FENM,,,为顶点组成的四边形是平行四边形，若存在，求出点F 的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图②，若过动点M的直线ACMD//交直线BC于D，连接CM．当CDM∆的面积最大时，求点M的坐标？图①图②25.（09宣武二模25）如图，菱形OABC的顶点O在坐标原点，顶点B在x轴的正半轴上，OA边在直线xy33=上，AB边在直线233+-=xy上。
2024北京中考数学二轮专题复习 专题七 二次函数综合题(课件)
②当t＋1＜1，即t＜0时， m＝(t－1)2－4，n＝(t＋1－1)2－4＝t2－4， ∵m－n＝3， ∴(t－1)2－4－(t2－4)＝3， ∴t＝－1； ③当t＞1时， 同理可得t＝2， 综上所述，t的值为－1或2.
2. (2023北京)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2－4x＋3与x轴交
第2题解图① 第2题解图②
3.(2021海淀区二模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2－2mx＋m2 与y轴的交点为A，过点A作直线l垂直于y轴. (1)求抛物线的对称轴(用含m的式子表示)；
解：(1)抛物线y＝x2－2mx＋m2的对称轴为直线x＝ -2m ＝m；
2
(2)将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成
第3题解图①
②若对于x1＝m－2，x2＝m＋2，都有y1＞y2，求m的取值范围．
②通过计算可知，抛物线翻折之前M、N对应点的坐标分别为 P(m－2，4)，Q(m＋2，4)为抛物线上关于对称轴x＝m对称的两点， 下面讨论当m变化时，y轴与点P，Q的相对位置： (ⅰ)如解图②，当y轴在点P左侧时(含点P)，
②当h<2时，总有4－h>2.
值范围．
(2)∵y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1， ∴抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2，－1)． 由题意可知，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1<x2)关于直线x＝2对称， ∴x1＋x2＝4.
如解图①，当x1＜x2且x2＝x3时， 此时N、B、Q三点重合，x3＝3， 此时x1＋x2＋x3＝1＋3＋3＝7；
如解图②，当x1＝x2＜x3时， 此时点P、Q重合且在抛物线顶点处， 此时点P纵坐标为－1， 将y＝－1代入直线BC的表达式，则x3＝4， 此时x1＋x2＋x3＝2＋2＋4＝8；
北京中考数学二次函数综合题
北京中考数学二次函数综合题一、二次函数1．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣43与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=32． （1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ；（3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【解析】【分析】（1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=32列出关于a 、c 的方程组求解即可；（2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可；（3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可．【详解】（1）当y=0时，140 33x-=，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x=32，得161203322a ca-+=⎧⎪-⎨-=⎪⎩，解得14ac=⎧⎨=-⎩，抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；（2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m，∴直线m的解析式为y=13x．∵点P是直线1上任意一点，∴设P（3a，a），则PC=3a，PB=a．又∵PE=3PF，∴PC PBPF PE=．∴∠FPC=∠EPB．∵∠CPE+∠EPB=90°，∴∠FPC+∠CPE=90°，∴FP⊥PE．（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6﹣a．∵CF=3BE=18﹣3a，∴OF=20﹣3a．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF为矩形，∴22x x x xQ P F E++=，22y y y yQ P F E++=，∴Q x+6=0+a，Q y+2=20﹣3a+0，∴Q x=a﹣6，Q y=18﹣3a．将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．∴Q（﹣2，6）．如下图所示：当点E 在点B 的右侧时，设E （a ，0），则BE=a ﹣6．∵CF=3BE=3a ﹣18，∴OF=3a ﹣20．∴F （0，20﹣3a ）．∵PEQF 为矩形， ∴22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0，∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ． 将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．∴Q （2，﹣6）．综上所述，点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a 的式子表示点Q 的坐标是解题的关键．2．某厂家生产一种新型电子产品，制造时每件的成本为40元，通过试销发现，销售量(y 万件)与销售单价(x 元)之间符合一次函数关系，其图象如图所示．()1求y 与x 的函数关系式；()2物价部门规定：这种电子产品销售单价不得超过每件80元，那么，当销售单价x 定为每件多少元时，厂家每月获得的利润()w 最大？最大利润是多少？【答案】（1）2280y x =-+；（2）当销售单价x 定为每件80元时，厂家每月获得的利润()w 最大，最大利润是4800元．【解析】【分析】()1根据函数图象经过点()40,200和点()60,160，利用待定系数法即可求出y 与x 的函数关系式；()2先根据利润=销售数量(⨯销售单价-成本)，由试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克80元，结合电子产品的成本价即可得出x 的取值范围，根据二次函数的增减性可得最值．【详解】解：()1设y 与x 的函数关系式为()0y kx b k =+≠，Q 函数图象经过点()40,200和点()60,160，{4020060160k b k b +=∴+=，解得：{2280k b =-=， y ∴与x 的函数关系式为2280y x =-+．()2由题意得：()()224022802360112002(90)5000w x x x x x =--+=-+-=--+． Q 试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克80元，且电子产品的成本为每千克40元，∴自变量x 的取值范围是4080x ≤≤．20-<Q ，∴当90x <时，w 随x 的增大而增大，80x ∴=时，w 有最大值，当80x =时，4800w =，答：当销售单价x 定为每件80元时，厂家每月获得的利润()w 最大，最大利润是4800元．【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的应用，根据点的坐标利用待定系数法求出函数关系式是解题的关键，并注意最值的求法．3．如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0），C （0，3）三点，其顶点为D ，对称轴是直线l ，l 与x 轴交于点H ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P 是该抛物线对称轴l 上的一个动点，求△PBC 周长的最小值；（3）如图（2），若E 是线段AD 上的一个动点（ E 与A 、D 不重合），过E 点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F ，交x 轴于点G ，设点E 的横坐标为m ，△ADF 的面积为S ． ①求S 与m 的函数关系式；②S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E 的坐标； 若不存在，请说明理由．【答案】（1）2y x 2x 3=--+.（2）3210.（3）①2S m 4m 3=---.②当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）.【解析】【分析】（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可.（2）根据BC 是定值，得到当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可.（3）设点E 的横坐标为m ，表示出E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+），最后表示出EF 的长，从而表示出S 于m 的函数关系，然后求二次函数的最值即可.【详解】解：（1）∵抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0），∴可设抛物线交点式为()()y a x 3x 1=+-.又∵抛物线2y ax bx c =++经过C （0，3），∴a 1=-.∴抛物线的解析式为：()()y x 3x 1=-+-，即2y x 2x 3=--+.（2）∵△PBC 的周长为：PB+PC+BC ，且BC 是定值.∴当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小.∵点A 、点B 关于对称轴I 对称，∴连接AC 交l 于点P ，即点P 为所求的点.∵AP=BP ，∴△PBC 的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC.∵A （－3，0），B （1，0），C （0，3），∴2，10.∴△PBC 的周长最小是：3210.（3）①∵抛物线2y x 2x 3=--+顶点D 的坐标为（﹣1，4），A （﹣3，0），∴直线AD 的解析式为y=2x+6∵点E 的横坐标为m ，∴E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+）∴()22EF m 2m 32m 6m 4m 3=--+-+=---. ∴()22DEF AEF 1111S S S EF GH EF AG EF AH m 4m 32m 4m 32222∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅=⋅---⋅=---.∴S 与m 的函数关系式为2S m 4m 3=---.②()22S m 4m 3m 21=---=-++，∴当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）.4．已知抛物线26y x x c =-++.（1）若该抛物线与x 轴有公共点，求c 的取值范围；（Ⅱ）设该抛物线与直线21y x =+交于M ，N 两点，若25MN =C 的值；（Ⅲ）点P ，点Q 是抛物线上位于第一象限的不同两点，,PA QB 都垂直于x 轴，垂足分别为A ，B ，若OPA OQB ∆≅∆，求c 的取值范围.【答案】（I ）9c -…；（Ⅱ）2c =-；（Ⅲ）c 的取值范围是2174c -<< 【解析】【分析】(1) 抛物线与x 轴有公共点，则判别式为非负数，列不等式求解即可;(2)求出二次函数与直线的交点，并根据勾股定理求出MN 的长度，列方程即可求解;(3)由OPA OQB ∆≅∆可知，P ,Q 两点的坐标特点，设坐标得到设点P 的坐标为(, )m n ，则点Q 的坐标为(,)n m ，代入二次函数，得到n,m 的关系，则只需保证该方程有正根即可求解.【详解】解：（I ）∵抛物线26y x x c =-++与x 轴有交点，∴一元二次方程260x x c -++=有实根。
北京中考数学二次函数综合题
一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1如图，抛物线y=5x 2+bx -2与x 轴交于A , B 两点，与y 轴交于C 点，且A (-1,求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； 判断△ ABC 的形状，证明你的结论；点M 是抛物线对称轴上的一个动点，当MC + MA 的值最小时，求点M 的坐标.13 3(1)抛物线的解析式为y = 5x 2-5 x -2,顶点D 的坐标为(万,(2) △ ABC 是直角三角形，证明见解析；(3)点M 的坐标为(3 , - 5 ) 【解析】 【分析】(1)因为点A 在抛物线上，所以将点A 代入函数解析式即可求得答案；(2)由函数解析式可以求得其与x 轴、y 轴的交点坐标，即可求得AB 、BC 、 勾股定理的逆定理可得三角形的形状；(3)根据抛物线的性质可得点A 与点B 关于对称轴x = 3对称，求出点B , C 的坐标，根 据轴对称性，可得MA = MB ，两点之间线段最短可知，MC +MB 的值最小.则BC 与直线 x = 3交点即为M 点，利用得到系数法求出直线BC 的解析式，即可得到点M 的坐标. 【详解】1 3••・抛物线的解析式为y = 5 x 2 -5 x -2. 11/3、 25 一-2—— (x 2-3 x - 4 ) —— (x— — )2—— , A 顶点 D 的坐标为22 2 83 25(一，——).2 80).(1)(2) (3)-25 )；8 ；AC 的长，由(1) ;点 A ( -1, 0)在抛物线 y = 2 12 + bx -2 上，「• 2义 (-1)2 + b x (- 1)- 2=0, 【答案】(2)当x=0 时y =- 2,「. C (0,- 2), OC =2.1 3当y=0 时，^x2—^x - 2 = 0, A x 1=-1, x2=4,「. B (4, 0),「. OA = 1, OB=4, AB=5.AB 2 = 25, AC2 = OA2+OC2 = 5, BC2 = OC2+OB2 = 20, AC2+BC2=AB2.「.△ABC 是直角三角形.3 25 (3)二•顶点。
2014-2023北京中考真题数学汇编：二次函数的图像和性质
2014-2023北京中考真题数学汇编二次函数的图像和性质（1）求点C 的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．7．（2017北京中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=x 2-4x+3与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求直线BC 的表达式；（2）垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于点()()1122P ,,,x y Q x y ，与直线BC 交于点()33N ,x y ，若x 1<x 2<x 3，结合函数的图象，求x 1+x 2+x 3的取值范围.8．（2016北京中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=mx 2－2mx ＋m －1（m ＞0）与x 轴的交点为A ，B ．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当m=1时，求线段AB 上整点的个数；②若抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m 的取值范围．9．（2015北京中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，过点（0，2）且平行于x 轴的直线，与直线y ＝x －1交于点A ，点A 关于直线x ＝1的对称点为B ，抛物线C 1：y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A ，B ．（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；（3）若拋物线C2：y＝ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围.（3）过点(0，m)（0m >）作平行于x 21||(1)(2)6y x x x x =-+≥-的图象有两个交点，则抛物线的表达式为对称轴的取值范围是∵经过点代入得：∴抛物线的表达式为对称轴二次函数的最小值为的解析式为时，的取值范围是251034a a a --=，解得13a =．②当抛物线过点B 时．34a -=，解得43a =-．③当抛物线顶点在BC 上时．此时顶点为（1，4）∴234a a a --=，解得1a =-．∴综上所述43a <-或13a ≥或1a =-点睛：属于二次函数的综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点，点的平移，抛物线对称轴，抛物线与线段交点问题，注意分类讨论思想在解题中的应用7．（1）y=-x+3;(2)7<x 1+x 2+x 3<8.【详解】试题分析：（1）先求A 、B【点睛】本题考查二次函数与形正确地求解是关键.8．（1）顶点坐标（1，－【详解】试题分析：（1）将抛物线表达式变为顶点式，即可得到顶点坐标；（2）①m=1时，抛物线表达式为②抛物线顶点为（1，-1）0，所以即要求AB线段上（含到A、B两点坐标分别为（得到123m≤<，即可得到结论．试题解析：（1）将抛物线表达式变为顶点式（2）①m=1时，抛物线表达式为的整点有（0，0），（1，0②抛物线顶点为（1，-1）。
北京中考中关于二次函数的题目汇编
北京中考中关于二次函数的题目汇编11．若把二次函数2x 6x y 2++=化为k )h x (y 2+-= 的形式，其中h ，k 为常数，则h ＋k= ．6．二次函数224y x x =--的顶点坐标是A ．(1,3)--B ．(1,5)--C ．(1,3)-D ．(1,5)-24. 若21,x x 是关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根，则方程的两个根21,x x 和系数c b a ,,有如下关系：acx x abx x =-=+2121,. 我们把它们称为根与系数关系定理.如果设二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴的两个交点为)0,(),0,(21x B x A .利用根与系数关系定理我们又可以得到A 、B 两个交点间的距离为：.444)(4)(22222122121a acb aac b a c a b x x x x x x AB -=-=--=-+=-= 请你参考以上定理和结论，解答下列问题:设二次函数)0(2 a c bx ax y ++=的图象与x 轴的两个交点为)0,(),0,(21x B x A ，抛物线的顶点为C ，显然ABC ?为等腰三角形.（1）当ABC ?为等腰直角三角形时，求;42的值ac b - （2）当ABC ?为等边三角形时，=-ac b 42.（3）设抛物线12++=kx x y 与x 轴的两个交点为A 、B ，顶点为C ，且?=∠90ACB ,试问如何平移此抛物线，才能使?=∠60ACB ？25．已知抛物线22y x x a =-+（0a <）与y 轴相交于点A ，顶点为M .直线12y x a =-分别与x 轴，y 轴相交于B C ，两点，并且与直线AM 相交于点N .(1)填空：试用含a 的代数式分别表示点M 与N 的坐标，则()()M N ，，，；(2)如图11，将N A C △沿y 轴翻折，若点N 的对应点N ′恰好落在抛物线上，AN ′与x轴交于点D ，连结CD ，求a 的值和四边形ADCN 的面积；(3)在抛物线22y x x a =-+（0a <）上是否存在一点P ，使得以P A C N ，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，试说明理由.（图11）24. 如图，在直角坐标系中，O 为原点．点A 在x 轴的正半轴上，点B 在y 轴的正半轴上，2OAB tan =∠．二次函数22y x mx =++的图象经过点A ，B ，顶点为D ．（1）求这个二次函数的解析式；（2）将O A B △绕点A 顺时针旋转90后，点B 落到点C 的位置．将上述二次函数图象沿y轴向上或向下平移后经过点C ．请直接写出点C 的坐标和平移后所得图象的函数解析式；（3）设（2）中平移后所得二次函数图象与y 轴的交点为1B ，顶点为1D ．点P 在平移后的二次函数图象上，且满足1PBB △P 的坐标．25．在平面直角坐标系xOy 0）、B （4，0）两点，直线122y x =+交y 轴于点(8,)D m ．（1）求抛物线的解析式；（2）在x 轴上找一点P ，使CP DP +的值最小，求出点P 的坐标；（3）将抛物线2y x bx c =++左右平移，记平移后点A 的对应点为'A ，点B 的对应点为'B ，当四边形''A B DC 的周长最小时，求抛物线的解析式及此时四边形''A B DC 周长的最小值．16．已知：点P(1，a )在反比例函数xky =的图象上，它关于y 轴的对称点在一次函数42+=x y 的图象上，求此反比例函数的解析式24．已知：一元二次方程x 2+px+q+1=0的一根为2，y -52x13-4123-1-2-3-1-2O（1）求q 关于p 的关系式（2）求证：抛物线y= x 2+px+q+1与x 轴总有交点（3）当p=-1时，（2）中的抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，A 在B 的左侧，若P 点在抛物线上，当S △BPC =4时，求P 点的坐标.25.如图，直线y x b =+经过点B(2)，且与x 轴交于点A ．将抛物线213y x =沿x 轴作左右平移，记平移后的抛物线为C ，其顶点为P ．（1）求∠BAO 的度数；（2）抛物线C 与y 轴交于点E ，与直线AB 交于两点，其中一个交点为F ．当线段EF ∥x 轴时，求平移后的抛物线C 对应的函数关系式；（3）在抛物线213y x =平移过程中，将△PAB 沿直线AB 翻折得到△DAB ，点D 能否落在抛物线C 上？如能，求出此时抛物线C 顶点P 的坐标；如不能，说明理由．18．（本小题满分5分）已知反比例函数y ＝ kx的图象与二次函数y ＝ax 2＋x －1的图象相交于点A （2，2）（1）求反比例函数与二次函数的解析式；（2）设二次函数图象的顶点为B ，判断点B 是否在反比例函数的图象上，并说明理由；（3）若反比例函数图象上有一点P ，点P 的横坐标为1，求△AOP 的面积．解：（1）23．（本小题满分7分）已知：二次函数y=22(2)x n m x m mn +-+-．（1）求证：此二次函数与x 轴有交点；（2）若m-1=0,求证方程22(2)0x n m x m mn +-+-=有一个实数根为1；（3）在（2）的条件下，设方程22(2)0x n m x m mn +-+-=的另一根为a,当x=2时，备用图关于n 的函数1y nx am =+与222(2)y x n m ax m mn =+-+-的图象交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），平行于y 轴的直线L 与1y nx am =+、222(2)y x n m ax m mn =+-+-的图象分别交于点C 、D ，若CD=6，求点C 、D 的坐标.24．（本小题满分7分）如图，已知二次函数()220y ax ax c a =-+<的图象与x 轴负半轴交于点A （-1，0），与y 轴正半轴交与点B ，顶点为P ，且OB=3OA ，一次函数y=kx+b 的图象经过A 、B ．（1）求一次函数解析式；（2）求顶点P 的坐标；（3）平移直线AB 使其过点P ，如果点Ｍ在平移后的直线上，且3tan 2OAM ∠=，求点M 坐标；（４）设抛物线的对称轴交x 轴与点E ，联结AP 交y 轴与点D ，若点Q 、N 分别为两线段PE 、PD 上的动点，联结QD 、QN ，请直接写出QD+QN 的最小值．23.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象经过点A (3，0)，B (2，-3)，C (0，-3)．(1)求此函数的解析式及图象的对称轴；(2)点P 从B 点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC 向C 点运动，点Q 从O 点出发以相同的速度沿线段OA 向A 点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t 秒．①当t 为何值时，四边形ABPQ 为等腰梯形；②设PQ 与对称轴的交点为M ，过M 点作x 轴的平行线交AB 于点N ，设四边形ANPQ 的面积为S ，求面积S 关于时间t 的函数解析式，并指出t 的取值范围；当t 为何值时，S 有最大值或最小值．18．已知一元二次方程0k x 4x 2=+-有两个不相等的实数根，（1）求k 的取值范围；（2）如果k 是符合条件的最大整数，且关于x 的方程0k x 4x 2 =+-与01mx x 2=--有一个相同的根，求此时m 的值.25．已知抛物线y =k mx 43x 412+-，与直线l : y = x+m 的左交点是A ，抛物线与y 轴相交于点C ，直线l 与抛物线的对称轴相交于点E. ⑴ 直接写出抛物线顶点D 的坐标（用含m 、k 的式子表示）；⑵ 当m=2，k= -4时，求∠ACE 的大小；⑶ 是否存在正实数m=k ，使得抛物线在直线l 下方的一段弧上有且仅有两个点P 1和P 2，且∠A P 1E=∠A P 2E= 45°？如果存在，求m 的值和点P 1、P 2的坐标；如果不存在，请说明理由.O A BCP Q M N第23题图23. 已知关于x 的一元二次方程210x px q +++=的一个实数根为2． (1) 用含p 的代数式表示q ；(2) 求证：抛物线2y x px q =++与x 轴有两个交点；(3) 设抛物线21y x px q =++的顶点为M ，与 y 轴的交点为E ，抛物线221y x px q =+++ 顶点为N ，与y 轴的交点为F ，若四边形FEMN 的面积等于2，求p 的值．25．平面直角坐标系xOy 中，抛物线244y ax ax a c =-++与x 轴交于点A 、点B ，与y 轴的正半轴交于点C ，点 A 的坐标为(1, 0)，OB =OC ，抛物线的顶点为D ． (1) 求此抛物线的解析式；(2) 若此抛物线的对称轴上的点P 满足∠APB =∠ACB ，求点P 的坐标；(3) Q 为线段BD 上一点，点A 关于∠AQB 的平分线的对称点为A'，若2=-QB QA ，求点Q 的坐标和此时△QAA '的面积．23．已知：关于x 的一元二次方程：22240x mx m -+-=. （1）求证：这个方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线2224y x mx m =-+-与x 轴的交点位于原点的两侧，且到原点的距离相等时，求此抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，其余部分保持能够不变，得到图形C 1,将图形C 1向右平移一个单位,得到图形C 2，当直线y=x b +(b <0)与图形C 2恰有两个公共点时，写出b 的取值范围.25．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，以点P （2y 轴相切于点A ，与x 轴相交于B 、C 两点（点B 在点C 的左边）．（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）在（1）中的抛物线上是否存在点M ，使△MBP 的面积是菱形ABCP 面积的21．如果存在，请直接写出所有满足条件的M 点的坐标；如果若不存在，请说明理由；（3）如果一个动点D 自点P 出发，先到达y 轴上的某点，再到达x 轴上某点，最后运动到（1）中抛物线的顶点Q 处，求使点D 运动的总路径最短的路径的长．.。
北京中考数学专题复习二次函数的综合题
①当点P在点M上方时，即0＜t＜3时，PM=t﹣3﹣（ ）= ，∴S= PM×QF= = ，②如图3，当点P在点M下方时，即t＜0或t＞3时，PM= ﹣（t﹣3）= ，∴S= PM×QF= （ ）= ．
5．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）
（1）求该函数的关系式；
（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．
【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15.
4．若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三组数”．
(1)实数1，2，3可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由；
(2)若M(t，y1)，N(t+1，y2)，R(t+3，y3)三点均在函数y＝ (k为常数，k≠0)的图象上，且这三点的纵坐标y1，y2，y3构成“和谐三组数”，求实数t的值；
【详解】
（1）不能，理由如下：
∵1、2、3的倒数分别为1、 、 ，
∴ + ≠1，1+ ≠ ，1+ ≠ ，
∴实数1，2，3不可以构成“和谐三组数”；
（2）∵M(t，y1)，N(t+1，y2)，R(t+3，y3)三点均在函数 (k为常数，k≠0)的图象上，
中考二次函数题归类
北京中考二次函数压轴题汇编24．已知抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于点(03)A ，，与x 轴分别交于(10)B ，，(50)C ，两点． （1）求此抛物线的解析式；（2）若点D 为线段OA 的一个三等分点，求直线DC 的解析式；（3）若一个动点P 自OA 的中点M 出发，先到达x 轴上的某点（设为点E ），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F ），最后运动到点A ．求使点P 运动的总路径最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长．解答24．解：（1）根据题意，3c =，所以3025530.a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得3518.5a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以抛物线解析式为2318355y x x =-+．（2）依题意可得OA 的三等分点分别为(01)，，(02)，． 设直线CD 的解析式为y kx b =+．当点D 的坐标为(01)，时，直线CD 的解析式为115y x =-+；当点D 的坐标为(02)，时，直线CD 的解析式为25y x =-+302M ⎛⎫⎪⎝⎭，．点M 关于x轴的对称 点为302M ⎛⎫'- ⎪⎝⎭，， 点A 关于抛物线对称轴3x =的对称点为(63)A '，．连结A M ''．根据轴对称性及两点间线段最短可知，A M ''的长就是所求点P 运动的最短总路径的长． 5分 所以A M ''与x 轴的交点为所求E 点，与直线3x =的交点为所求F 点．可求得直线A M ''的解析式为3342y x =-．可得E 点坐标为(20)，，F 点坐标为334⎛⎫⎪⎝⎭，由勾股定理可求出152A M ''=．所以点P 运动的最短总路径()ME EF FA ++的长为15225．已知：抛物线222(0)y x mx m m =-++>与x 轴交于A B ，两点，点A 在点B 的左边，C 是抛物线上一个动点（点C 与点A B ，不重合），D 是OC 的中点，连结BD 并延长，交AC 于点E ．（1）用含m 的代数式表示点A B ，的坐标； （2）求CEAE 的值； （3）当C A ，两点到y 轴的距离相等，且85CED S =△时，求抛物线和直线BE 的解析式．解答:25（1）解：抛物线222y x mx m =-++与x 轴交于AB ，两点， ∴关于x 的方程2220x mx m -++=有两个不相等的实数根1x 和2x ．解得1x m =-，22x m =．点A 在点B 的左边，且0m >，∴(0)(20)A mB m -，，， （2）解法一：如图1，延长BE 到F 使得DF BD =，连结CF ．x 'D 是OC 的中点， DC DO ∴=． FDC BDO ∴△≌△．2CF OB m ∴==，F OBD ∠=∠． FC AB ∴∥． EFC EBA ∴△∽△． CE CF AE AB ∴=． 32AB m CF m ==，，23CE AE ∴=．解法二：如图2，过点O 作OG AC ∥交BE 于点G ． CED OGD ∴△∽△．DC CEDO OG ∴=． DC DO =， CE OG ∴=．OG AC ∥， BOG BAE ∴△∽△．OG OBAE AB∴=． 23OB m AB m ==，，23CE OG OB AE AE AB ∴===． (4)（3）解法一：如图3， 点C 在抛物线上（与点A 不重合），C A，两点到y 轴的距离相等，2(2)C m m ∴，． 过点E 作DC 边上的高EP ，过点A 作OC 边上的高AQ ．EP AQ ∴∥． CEP CAQ ∴△∽△．EP CE AQ CA ∴=．23CE AE =，25EP AQ ∴=． 1212CED AOCCOEP S S OC AQ =△△··，D 是OC 的中点， 121255CED AOC S CD EP S OC AQ ∴==⨯=△△·． 85585AOC CED S S ∴==⨯=△△．2311222AOC C S OA y m m m ===△··，38m ∴=． 解得2m =．x3x2∴抛物线的解析式为228y x x =-++． 点C 的坐标为(28)，，点B 的坐标为(40)，． 分别过点D C ，作x 轴的垂线，交x 轴于点M N ，． DM CN ∴∥． D 是OC 的中点， 112OM ON ∴==． 142DM CN ∴==．D ∴点的坐标为(14)，．设直线BE 的解析式为y kx b =+，044.k b k b =+⎧∴⎨=+⎩，解得4316.3k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线BE 的解析式为41633y x =-+． ··· 9分解法二：如图4，连结OE ．D 是OC 的中点，2OCE CED S S ∴=△△．25OCE AOC S CE S CA ==△△，15CED AOC S S ∴=△△．以下同（3）解法一．2y mx n=++24．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线经过(02)P A ，两点． （1）求此抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为B ，将直线AB 沿y 轴向下平移两个单位得到直线l ，直线l 与抛物线的对称轴交于C 点，求直线l 的解析式；（3）在（2）的条件下，求到直线OB OC BC ，，距离相等的点的坐标．24．解：（1）根据题意得3652m m n n ++=⎧⎨=⎩x 4x解得132m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以抛物线的解析式为：2123233y x x =++ （）由2123233y x x =++得抛物线的顶点坐标为B （31）， 依题意，可得C （3-1），且直线 过原点， 设直线 的解析式为y kx =，则31k -=- 解得33k = 所以直线 的解析式为33yx =（3）到直线OB 、OC 、BC 距离相等的点有四个，如图， 由勾股定理得 OB=OC=BC=2，所以△OBC 为等边三角形。
北京初三中考专项练习---二次函数试题汇编
二次函数与一元二次方程2x22mx?y?mx?yy0m?轴交于点）在平面直角坐标系与O抛物线中，（1．x轴交于点BA，其对称轴与。
，B的坐标；（1）求点A ll关于该抛物线的对称轴对称，求直线2）设直线的解析式；与直线AB（l3x?1?2?x?2??这一（3）若该抛物线在的上方，并且在这一段位于直线AB 的下方，求该抛物线的解析式。
段位于直线2 = 0．?1?m x的一元二次方程x)?(4?mx2．已知关于m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（1）求证：无论2个单位，得到一个新的抛物31?m向右平移?(4?m)x??（2）此方程有一个根是?3，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线yx 的值．?b与这个新抛物线有且只有一个公共点时，求b线，当直线y?x2x0?1??(m?2)x(m?1)x. 的一元二次方程（3. 已知：关于m为实数）m）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；（12x1m?2)x?y?(m?1)x?(总过（2）求证：抛物线轴上的一个定点；2mx0?x?1?1)x?(m?2)(m有两个不相等的整数根时，把抛物线是整数，且关于（3）若的一元二次方程21x?m?2)?(m?1)x(?y个单位长度，求平移后的解析式．向右平移322??2)xy?ax?(a,4)A(3．4．已知：抛物线过点（1）求抛物线的解析式；22?(a?2)xaxy??1??1y?y?得到的新函数翻折，在直线下方的部分沿直线）（2将抛物线图象其余的部分保持不变，??0y≤ymM,GG图象记为．点上，且在图象．11m 求的取值范围；①??4≥yky,kNm?G若点也在图象上，且满足恒成立，则的取值范围为．②2222??mxy?3x、已知抛物线5 x轴总有两个交点。
1（）求证：无论m为任何实数，抛物线与4420??23x?mx之间（不包括－1、）时，求（2）若m为整数，当关于x的方程的两个有理根在－1与m的值。
332y?3x?mx?2在x）的条件下。
2022届北京市顺义区中考数学总复习：二次函数附答案解析
2022年北京市中考数学总复习：二次函数
1．如图，已知二次函数L：y＝mx2+2mx+k（其中m，k是常数，k为正整数）．（1）若L经过点（1，k+6），求m的值．
（2）当m＝2，若L与x轴有公共点时且公共点的横坐标为非零的整数，确定k的值；
（3）在（2）的条件下将L：y＝mx2+2mx+k的图象向下平移8个单位，得到函数图象M，求M的解析式；
（4）将M的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新
的图象N，请结合新的图象解答问题，若直线y=1
2x+b与N有两个公共点时，请直接写
出b的取值范围．
【解答】解：（1）将点（1，k+6）代入y＝mx2+2mx+k并解得：m＝2；
（2）y＝mx2+2mx+k＝2x2+4x+k，
由题意得：△＝16﹣8k≥0，解得：k≤2，
∵k为正整数，当k＝1时，方程没有整数解，故舍去，
则k＝2；
（3）在m＝2，k＝2时，y＝2x2+4x+2，向下平移8个单位，平移后的表达式为：y＝2x2+4x+2﹣8＝2x2+4x﹣6；
（4）由（3）知，M的表达式为：y＝2x2+4x﹣6①，
则翻折后抛物线的表达式为：y′＝﹣2x2﹣4x+6②，
设直线m为：y=1
2x+b③，
①当直线m与翻折后的图象有一个交点（点H）时，如下图，
第1页共7页。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
北京市中考数学试题分类汇总——二次函数1.（04年）已知：关于x 的两个方程2x 2＋(m ＋4)x ＋m －4＝0，……①与 mx 2＋(n －2)x ＋m －3＝0，……②方程①有两个不相等的负实数根，方程②有两个实数根．⑴ 求证方程②的两根符号相同；⑵ 设方程②的两根分别为α、β，若α:β＝1:2，且n 为整数，求m 的最小整数值．2.（04年）25．已知：在平面直角坐标系xOy 中，过点P(0，2)任作．．一条与抛物线y ＝ax 2(a ＞0)交于两点的直线，设交点分别为A 、B ．若∠AOB ＝90°，⑴ 判断A 、B 两点纵坐标的乘积是否为一个确定的值，并说明理由；⑵ 确定抛物线y ＝ax 2(a ＞0)的解析式；⑶ 当△AOB 的面积为4 2 时，求直线AB 的解析式．3.（05年）已知：关于x 的方程()a x ax a +-+=2202有两个不相等的实数根x 1和x 2，并且抛物线()y xa x a =-++-22125与x 轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁。
（1）求实数a 的取值范围；（2）当x x 1222+=时，求a 的值。
4.（05年） 已知：在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx k =-4的图象与x 轴交于点A ，抛物线y ax bx c =++2经过O 、A 两点。
（1）试用含a 的代数式表示b ；（2）设抛物线的顶点为D ，以D 为圆心，DA 为半径的圆被x 轴分为劣弧和优弧两部分。
若将劣弧沿x 轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D 内，它所在的圆恰与OD 相切，求⊙D 半径的长及抛物线的解析式；（3）设点B 是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x 轴上方的部分上是否存在这样的点P ，使得∠∠P O A O B A =43？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
5.（06年） 已知：关于x 的方程mx x 21470--=有两个实数根x x 12和，关于y 的方程y n y n n 222120--+-=()有两个实数根y y 12和，且-≤<≤2412y y 。
当26221401212122x x x x y y +-+-+=()时，求m 的取值范围。
6.（06年）已知：抛物线y x m x m m =-++>2220（）与x 轴交于A 、B 两点，点A 在点B 的左边，C 是抛物线上一个动点（点C 与点A 、B 不重合），D 是OC 的中点，连结BD 并延长，交AC 于点E 。
（1）用含m 的代数式表示点A 、B 的坐标；（2）求C E A E的值；（3）当C 、A 两点到y 轴的距离相等，且S C E D ∆=85时，求抛物线和直线BE 的解析式。
7.（07年）．在平面直角坐标系x Oy中，抛物线2y m x x n =++经过P，5）A （0，2）两点。
（1）求此抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为B ，将直线AB 沿y 轴向下平移两个单位得到直线l ，直线l 与抛物线的对称轴交于C 点，求直线l 的解析式；（3）在（2）的条件下，求到直线OB ，OC ，BC 距离相等的点的坐标。
8.（08年）．已知：关于x 的一元二次方程2(32)220(0)m x m x m m -+++=>． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为1x ，2x （其中12x x <）．若y 是关于m 的函数，且212y x x =-，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m 的取值范围满足什么条件时，2y m ≤．9.（08年）．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A B ，两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点B 的坐标为(30)，，将直线y kx =沿y 轴向上平移3（1）求直线B C 及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D ，点P 在抛物线的对称轴上，且A P D A C B ∠=∠， 求点P 的坐标；（3）连结C D ，求O C A ∠与O C D ∠两角和的度数． 解10（09年）已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根，k 为正整数. （1）求k 的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数2241y x x k =++-的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线()12y x b b k =+<与此图象有两个公共点时，b 的取值范围.x11.（09年） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，A B C 三个机战的坐标分别为()6,0A -，()6,0B ，(0,C ，延长AC 到点D,使CD=12A C ,过点D 作DE ∥AB 交BC 的延长线于点E.（1）求D 点的坐标；（2）作C 点关于直线DE 的对称点F,分别连结DF 、EF ，若过B 点的直线y kx b=+将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（3）设G 为y 轴上一点，点P 从直线y kx b =+与y 轴的交点出发，先沿y 轴到达G 点，再沿GA 到达A 点，若P 点在y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2倍，试确定G 点的位置，使P 点按照上述要求到达A 点所用的时间最短。
12、（10年）已知反比例函数xk y =的图象经过点A （3-，1）.（1）试确定此反比例函数的解析式；（2）点O 是坐标原点，将线段OA 绕O 点顺时针旋转30°得到线段OB ，判断点B 是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；（3）已知点P （m ，63+m ）也在此反比例函数的图象上（其中0<m ），过P 点作x 轴的垂线，交x 轴于点M .若线段PM 上存在一点Q ，使得△OQM 的面积是21，设Q 点的纵坐标为n ，求9322+-n n 的值.13.（10年）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23454122+-++--=m m x m x m y 与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B （2，n ）在这条抛物线上.（1）求B 点的坐标；（2）点P 在线段OA 上，从O 点出发向A 点运动，过P 点作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E ，延长PE 到点D ，使得ED =PE ，以PD 为斜边，在PD 右侧作等腰直角三角形PCD （当P 点运动时，C 点、D 点也随之运动）. ①当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；②若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q 点到达O 点时停止运动，P 点也同时停止运动）.过Q 点作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F ，延长QF 到点M ，使得FM =QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当Q 点运动时，M 点、N 点也随之运动）.若P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值.（思考）14．已知抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于点(03)A ，，与x 轴分别交于(10)B ，，(50)C ，两点． （1）求此抛物线的解析式；（2）若点D 为线段O A 的一个三等分点，求直线D C 的解析式；（3）若一个动点P 自O A 的中点M 出发，先到达x 轴上的某点（设为点E ），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F ），最后运动到点A ．求使点P 运动的总路径最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长．三解答题1.（1）解法一：∵关于x 的方程()a x ax a +-+=2202有两个不相等的实数根∴+≠=--+>⎧⎨⎩a a a a 2024202∆()()解得：a <0，且a ≠-<>21………………1分设抛物线()y xa x a =-++-22125与x 轴的两个交点的坐标分别为()α，0、()β，0，且αβ<∴α、β是关于x 的方程()x a x a 221250-++-=的两个不相等的实数根()[]()() ∆'=-+-⨯⨯-=-+>2141252120022a a a∴a 为任意实数 <2>由根与系数关系得：αβαβ+=+=-2125a a ， ∵抛物线()y xa x a =-++-22125与x 轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁()()()()∴<>∴--<∴-++<∴--++<αβαβαβαβ222202402522140，a a解得：a >-<>323………………2分由<1>、<2>、<3>得 a 的取值范围是-<<320a ………………3分 解法二：同解法一，得：a <0，且a ≠-<>21………………1分∵抛物线()y xa x a =-++-22125与x 轴的两个交点分别位于点（2，0）两旁，且抛物线的开口向上∴当x =2时，y <0()∴-++-<4221250a a 解得：a >-<>322………………2分由<1>、<2>得 a 的取值范围是-<<320a ………………3分（2）解：∵x 1和x 2是关于x 的方程()a xax a +-+=2202的两个不相等的实数根∴+=+=+-<<∴+>x x a a x x a a a a 12122223220，∴=+<x x a a 1220………………4分不妨设x x 1200><， ∴+=-=x x x x 121222………………5分∴-+=x x x x 12122228，即()x x x x 1221248+-=∴+⎛⎝ ⎫⎭⎪-+=224282a a a a解这个方程，得：a a 1241=-=-，………………6分经检验，a a 1241=-=-，都是方程224282a a a a +⎛⎝ ⎫⎭⎪-+=的根a =-<-432，舍去∴=-a 1为所求………………7分6．解：（1）根据题意，3c =，所以3025530.a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得3518.5a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以抛物线解析式为2318355y x x =-+． ······················································ 2分（2）依题意可得O A 的三等分点分别为(01)，，(02)，． 设直线C D 的解析式为y kx b =+．当点D 的坐标为(01)，时，直线C D 的解析式为115y x =-+； ························ 3分 当点D 的坐标为(02)，时，直线C D 的解析式为225y x =-+． ······················ 4分（3）如图，由题意，可得302M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．点M 关于x 轴的对称点为302M ⎛⎫'- ⎪⎝⎭，，点A 关于抛物线对称轴3x =的对称点为(63)A '，． 连结A M ''．根据轴对称性及两点间线段最短可知，A M ''的长就是所求点P 运动的最短总路径的长． 5分 所以A M ''与x 轴的交点为所求E 点，与直线3x =的交点为所求F 点． 可求得直线A M ''的解析式为3342y x =-．可得E 点坐标为(20)，，F 点坐标为334⎛⎫⎪⎝⎭，． ················································· 7分 由勾股定理可求出152A M ''=．所以点P 运动的最短总路径()ME EF FA ++的长为152．······························ 8分x'7. （1）解法一：∵一次函数y kx k =-4的图象与x 轴交于点A ∴点A 的坐标为（4，0） ∵抛物线y axbx c =++2经过O 、A 两点∴=+=c a b 01640， ∴=-b a 4………………1分解法二：∵一次函数y kx k =-4的图象与x 轴交于点A ∴点A 的坐标为（4，0） ∵抛物线y axbx c =++2经过O 、A 两点∴抛物线的对称轴为直线x =2 ∴=-=x b a22∴=-b a 4………………1分（2）解：由抛物线的对称性可知，DO ＝DA ∴点O 在⊙D 上，且∠DOA ＝∠DAO 又由（1）知抛物线的解析式为y ax ax =-24∴点D 的坐标为（24，-a ） ①当a >0时，如图1，设⊙D 被x 轴分得的劣弧为OmA ⌒，它沿x 轴翻折后所得劣弧为OnA ⌒，显然OnA ⌒所在的圆与⊙D 关于x 轴对称，设它的圆心为D'∴点D'与点D 也关于x 轴对称 ∵点O 在⊙D'上，且⊙D 与⊙D'相切 ∴点O 为切点………………2分 ∴D'O ⊥OD∴∠DOA ＝∠D'OA ＝45° ∴△ADO 为等腰直角三角形 ∴=OD 22………………3分∴点D 的纵坐标为-2∴-=-∴==-=-421242a ab a ，∴抛物线的解析式为y xx =-1222………………4分②当a <0时， 同理可得：OD =22抛物线的解析式为y xx =-+1222………………5分综上，⊙D 半径的长为22，抛物线的解析式为y x x =-1222或y x x =-+1222（3）解答：抛物线在x 轴上方的部分上存在点P ，使得∠∠P O A O B A =43设点P 的坐标为（x ，y ），且y ＞0 ①当点P 在抛物线y x x =-1222上时（如图2）∵点B 是⊙D 的优弧上的一点 ∴==︒∠∠O B A A D O 1245 ∴==︒∠∠P O A O B A 4360过点P 作PE ⊥x 轴于点E∴=∴=︒∴=tan tan ∠PO E EP O Ey xy x603由y xy x x ==-⎧⎨⎪⎩⎪31222解得：x y x y 112242364300=+=+⎧⎨⎪⎩⎪==⎧⎨⎩，（舍去） ∴点P 的坐标为()423643++，………………7分 ②当点P 在抛物线y x x =-+1222上时（如图3）同理可得，y x =3由y xy x x ==-+⎧⎨⎪⎩⎪31222解得：x y x y 112242364300=-=-+⎧⎨⎪⎩⎪==⎧⎨⎩，（舍去） ∴点P 的坐标为()423643--+，………………9分综上，存在满足条件的点P ，点P 的坐标为 ()423643++，或()423643--+，8.（07年）．解：（1）根据题意得3652.m m n n ++=⎧⎨=⎩，解得132.m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以抛物线的解析式为21233y x x =++。