二次曲面的一般理论

第六章 二次曲面的一般理论
教学目的 : 本章讨论了一般二次曲面的渐近方向、中心、切线、切平面、径面 奇向、主径面与主方向等重要概念 ,从不同角度对二次曲面进行了分类 .
研究了二次曲面的几何性质 , 并通过坐标变换和不变量、半不变量两种形式 化二次曲面的一般方程为规范方程 , 对二次曲面进行了分类和判定 , 是二次曲面理 论的推广和扩充 .
教学重难点 : 通过坐标变换和运用不变量、半不变量化二次曲面的一般方程为 规范方程 , 既是重点又是难点 .
基本概念
二次曲面 : 在空间 , 由三元二次方程
2 2 2
a 11x
a 22 y a 33z 2a 12 xy 2a 13 xz 2a 23 yz 2a 14 x 2a 24 y 2a 34z a 44 0 (1)
所表示的曲面 .
虚元素 :空间中，有序三复数组 (x,y,z) 叫做空间复点的坐标，如果三坐标全是 实数，那么它对应的点是 实点 ，否则叫做 虚点 二次曲面的一些记号
F(x,y,z)
F 1(x,y,z) a 11x a 12y a 13z a 14
F 2(x,y,z) a 12x a 23y a 23z a 24 F 3( x, y, z) a 13x a 23y a 33z a 34 F 4 (x,y,z) a 14x a 24y a 34z a 44
2 2 2
(x, y,z) a 11x 2
a 22
y 2 a 33z 2 2a 12 xy 2a 13 xz 2a 23 yz
1
(x,y,z) a 11x a 12 y a 13z 2
(x,y,z) a 12 x a 22 y a 23z
2
a 11 x 22
a 22 y a 33 z
2a 12 xy 2a 13 xz 2a 23 yz 2a 14 x 2a 24 y 2a 34 z a 44
3
(x, y,z) a 13x a 23 y a 33z 4
(x,y,z) a 14 x a 24 y a 34 z
即有恒等式成立 : F(x,y,z) xF 1 ( x, y,z) yF 2 (x, y, z) zF 3(x,y,z) F 4(x,y,z)
(x,y,z) x 1(x,y,z) y 2(x, y,z) z 3(x,y,z)
a 11 a 12 a 13 a 14 二次曲面 F(x,y,z) 的系数矩阵
A
a 12
a 22
a 23
a 24
a 13 a 23 a 33 a 34
a 14
a 24 a 34 a 44
a 11 a 12 a 13
而由 (x, y,z) 的系数矩阵为
A
a 12 a 22 a 23
a 13
a 23
a 33
二次曲面(1)的矩阵 A 的第一，第二，第三，与第四行的元素分别是 F 1 (x, y,
z) ，
a 11 a 12 a 13
a 11 a 12 a 11 a 13
a 22 a 23
1 a 11 a 2
2 a 3
3 I 2
I 3
a 12 a 22 a 23
a 12 a 22
a 13 a 33
a 23 a 33
a 13 a 23 a 33
a 11 a 12 a 14
a 11 a 13 a 14 a 22 a 23 a 24
K 2
a 12 a 22 a 24
a 13 a 33 a 34 a 23 a 33 a 34
a 14
a 24
a 44
a 14
a 34
a 44
a 24
a 34
a 44
§6.1 二次曲面与直线的相关位置
2 2 2 F(x, y,z) a 11x a 22 y a 33
z 2a 12xy 2a 13xz
2a 23 yz 2a 14 x 2a 24 y 2a 34 z a 44
(1)
x x 0 Xt
与过点 (x 0, y 0, z 0 )的直线 y y 0 Yt (2)
z z 0 Zt
将(2)代入(1)得
F 2(x,y,z)， F 3(x, y, z) ， F 4(x,y,z) 的系数。

a 11 a 12 a 13 a 14
a 12 a 22 a 23 a 24
a 13 a 23 a 33 a 34 a 14
a 24
a 34
a 44
K 1
a 11
a 14 a 22
a 24 a 33
a 34
a 14 a 44 a 24 a 44 a 34 a 44
(X,Y,Z)t2 2 XF1(x0,y0,z0) YF2(x0,y0,z0) ZF3( x0 , y0 , z0 ) t F (x0, y0 , z0) 0
(3)
现讨论直线( 2)与二次曲面( 1)相交的各种情况:
1. (X,Y,Z) 0 ,这时方程( 3)是一个关于t 的二次方程，它的判别式为：XF1(x0,y0,z0) YF2
( x0, y0 ,z0 ) ZF3 ( x0 , y0 , z0 ) 2(X,Y,Z)F(x0,y0,z0)
100 ,有两不等实根,直线与二次曲面有两不同实交点;
200 ,有两相等实根,直线与二次曲面有两相互重合实交点;
300 ,有两共轭虚根,直线与二次曲面有两共轭虚交点
2. (X,Y,Z) 0
10XF1(x0,y0,z0) YF2 ( x0 , y0 , z0) ZF3(x0,y0,z0) 0 ,直线与二次曲面有唯一交点;
20XF1 ( x0 , y0,z0) YF2 ( x0 , y0 , z0 ) ZF3 ( x0 , y0 , z0 ) 0,但F (x0 , y0 , z0 ) 0 直线与二次曲面无交点
30XF1( x0 , y0 , z0 ) YF2(x0,y0,z0) ZF3(x0,y0,z0) 0,且F(x0, y0) 0 ，直线与二次曲面有无穷交点,直线在二次曲面上.
§6.2 二次曲面的渐进方向与中心
1. 二次曲面的渐进方向
定义 5.2.1: 满足(X,Y,Z) 0的方向X :Y：Z 称为二次曲面的渐进方向,否则称为非渐进方向.
对于给定的二次曲面F(x,y,z) a11x2 a22y2 a33z2 2a12xy 2a13xz
2a23 yz 2a14x 2a24 y 2a34z a44 (1)
x x0 Xt
和过点(x0, y0, z0 )的直线y y0 Yt (2)
z z0 Zt
当X : Y ：Z为曲面( 1)的渐进方向时，直线( 2)与曲面(1)总有两个交点；
当X :Y :Z 为曲面( 1)的渐进方向时，直线( 2)与( 1)或者只有一个交点，或者没有交点，或者整条直线在曲面上。

2. 二次曲面的中心
当X :Y:Z 为二次曲面的非渐进方向时, 即当
(X,Y) a11X 2 2a12 XY a22Y2 0
x x0 Xt
以非渐进方向为方向的直线y y0 Yt 与二次曲面交于两个点,由这两点决z z0 Zt 定的线段叫二次曲面的弦.
定义 6.2.2 :若点C是二次曲面的通过它的所有弦的中点,C 是二次曲面的对称中心, 那么点C叫做二次曲面的中心.
定理 6.2.1 若点C( x0 , y0 ,z0)是二次曲面的中心,其充要条件是:
F1(x0,y0,z0) a11x0 a12y0 a13z0 a14 0
F2(x0,y0,z0) a12x0 a23y0 a23z0 a24 0 ( 6.2-1)
F3(x0,y0,z0) a13x0 a23y0 a33z0 a34 0
推论坐标原点是二次曲面的中心, 其充要条件是曲面的方程不含有x,y,z 的
一次项
F 1(x,y,z) a 11x a 12y a 13z a 14 0 二次曲面的中心坐标，由方程组
F 2(x,y,z) a 12x a 23y a 23z a 24 0 ( 6.2-2)
F 3(x,y,z) a 13x a 23y a 33z a 34 0
解，二次曲面（ 1）有惟一中心。

20 r R 2 ，（6.2-2）有无数多解，这些解可用一个参数来线性表示。

曲面有 无数个中心，这些中心构成一条直线。

30 r R 1，（ 6.2-2）有无数多解，这些解可用两个参数来线性表示。

曲面有 无数个中心，这些中心构成一个平面。

40r R ，（ 6.2-2）无解，这时二次曲面（ 1）无中心。

定义 6.2.3 : 有唯一中心的二次曲面叫 中心二次曲面 , 没有中心的二次曲面叫 无心二次曲面 , 有无数中心构成一条直线的二次曲面叫 线心二次曲面 , 有无数中 心构成一平面的二次曲面叫 面心二次曲面 , 二次曲面中的无心曲面、线心曲面与面 心曲面统称为 非中心二次曲面 .
推论 二次曲面（ 1）成为中心二次曲面的充要条件为 I 3 0 ，成为非中心
二次曲面的充要条件为 I 3 0
所以椭球面与双曲面都是中心曲面，他们的中心方程组分别为
a 11 a 12 a 13
a 11 a 12 a 13
A
a 12 a 22 a 23
，B
a 12 a 22 a 23
a 13 a 23 a 33
a 13 a 23 a 33
10 r
R 3 ，这时方程组的系数行列式
a 11 a 12 a 13
3
a 12 a 22 a 23 0 ，方程组有惟
一
a 13
a 23
a 33
例1
椭球面
222
xyz
z
2 1 与双曲面 x
2
c 2 2 2 yz b
2
2
1的 I 3分别为
c
1
1
2
0 0
2
0 0 a
a
1
2
2 2 2
0 与
1
2
b 2
a 2
b 2c
2
b 2
1 2
1 2
c
c
1
决定，方程组（ 6.2-2）叫做二次曲面（ 1）的 中心方程组 。

根据（ 6.2-2 ）的系数矩阵 A 与增光矩阵 B
a 24 的秩 r 与 R ，有：
a 34
a
ab
222
abc
22
x
F 1( x, y, z)
2
a 与 F 2(x,y,z) y
2 0 b
F 3(x,y,z) 2 0
c
因此，它们的中心都是坐标原点( 0，0 ，0)
22
例2 抛物面
a
x 2 b
y 2 2z .
00
12 0 0 ， 所 以 抛 物 面 为 非 中 心 二 次 曲 面 ， 它 的
b
2 00
F 3(x, y, z) 1，中心方程组有矛盾，因此抛物面为无心二次曲面。

例 3 对于曲面 y 2 z 2 c 2 0
000
I 3= 0 1 0 0 ，所以他是非中心二次曲面，但由于 F 1(x,y,z) 0 001
y0
F 2( x, y, z) y F 3 (x, y, z) z ，所以曲面有一条中心直线
，所给曲面为线心曲面。

z0
(曲面实际上是一个圆柱面，中心直线就是它的对称轴。

)
作业： P 2542,4,6,8
x F 1(x,y,z) 2 0 a y F 2 (x,y,z) 2 0 b F 3(x,y,z) z
2 0
c
其I
1 2 a 0 0
§ 6.3 二次曲面的切线与切平面
定义 6.3.1: 直线与二次曲面相交于互相重合的两个点, 那么这条直线叫二次曲面的切线. 重合的交点称之为切点.
特殊情形: 直线全部在二次曲面上, 亦称之为二次曲面的切线, 直线上每一点均是切点.
(二次曲面的直母线线也是切线。

)
一. 通过曲面上点( x0, y0, z0 )的切线方程
2 2 2
F(x, y,z) a11x a22 y a33z 2a12 xy 2a13 xz
2a23yz 2a14x 2a24 y 2a34z a44 0 (1)
x x0 Xt
通过曲面( 1)的点(x0, y0, z0 )的直线y y0 Yt (2)
z z0 Zt
1. 直线( 2)曲面( 1)相交于连个重合点的充要条件：
(X,Y,Z) 0 XF1 (x0 , y0 , Z0 ) YF2(x0,y0,Z0) ZF3 (x0 , y0 , Z0 ) 0
2. 直线( 2)整个属于曲面( 1)的充要条件：
(X,Y,Z) 0 XF1 (x0 , y0 , Z0 ) YF2(x0,y0,Z0) ZF3 (x0 , y0 , Z0 ) 0
综合1、2、两种情况：通过曲面( 1)上的点( x0, y0 , z0)的直线( 2)成为曲面在这个点处的切线的充要条件是：
XF1(x0,y0,Z0) YF2(x0,y0,Z0) ZF3(x0,y0,Z0) 2 0 (3)
10，F1(x0,y0,z0)，F2(x0,y0,z0) ，F3(x0,y0,z0)不全为零。

由( 2)得X：Y：Z (x x0):(y y0):(z z0 ) ，代入( 3)得
(x x0)F1(x0,y0,Z0) (y y0)F2(x0,y0,z0) (z z0)F3(x0,y0,Z0) 0 (6.3-1 ) 定义 6.3.2 二次曲面在一点处的一切切线上的点构成的平面叫做二次曲面的切平面，这一点叫切点。

20F1(x0,y0,z0)，F2(x0, y0,z0) ，F3( x0, y0 ,z0)全为零。

( 3)恒成立，它被任何的方向
X :Y: Z所满足，因此通过点( x0 , y0, z0)的任何一条直线都是二次曲面的切线。

定义6.3.3 二次曲面( 1)上满足条件
F1(x0,y0,z0) F2(x0,y0,z0) F3(x0,y0,z0) 0的点( x0 , y0, z0 )叫做二次曲面( 1)
的奇异点，简称奇点，二次曲面的非奇异点叫做二次曲面的正常点定理 6.3.1如果( x0 , y0 , z0 )是二次曲面(1)的正常点,那么曲面在点(x0,y0,z0)处存在惟一的切平面，它的方程是( 6.3-1)
推论如果( x0 , y0 , z0 )是二次曲面( 1)的正常点,那么在( x0 , y0, z0 )处曲面的切平面方程是:
a11x0 x a22 y0y a33z0z a12(x0y y0x) a13(x0z xz0)
6.3-3 )
a23(y0z yz0) a14(x x0) a24 (y y0) a34 (z z0) a44 0
例求二次曲面F(x,y,z) x2 y2 z2 4xy 4xz 4yz 2x 2y 2z 18 0
在点(1,2,3) 的切平面方程
解法一因为 F (1,2,3) 1 4 9 8 12 24 2 4 6 18 0 ，所以点(1,2,3)
F1(x,y,z) x 2y 2z 1
在二次曲面上，又因为F2(x,y,z) 2x y 2z 1，
F3( x, y,z) 2x 2y z 1
所以F1(1,2,3) 8，F2 (1,2,3) 5，F3(1,2,3) 2，这说明(1,2,3) 是已知曲面上的正常点，所以根据公式( 6.3-1 )得曲面在点(1,2,3) 处的切平面方程为
8(x 1) 5(y 2) 2(z 3) 0，即8x 5y 2z 24 0
解法二由解法一知(1,2,3)是已知曲面上的正常点，所以根据公式( 6.3-3 ) 得所求切平面的方程是
x 2y 3z 2(2x y) 2(3x z) 2(3y 2z) (x 1) (y 2) (z 3) 18 0
即8x 5y 2z 24 0
作业: P258 3,5,6,8
§ 6.4 二次曲面的径面与奇向
本节讨论二次曲面F(x,y,z) a11x2 a22y2 a33z2 2a12 xy 2a13xz
2a23 yz 2a14 x 2a24 y 2a34 z a44 (1)
的平行弦的中点轨迹。

定理 6.4.1 二次曲面的一族平行弦的中点的轨迹是一个平面
证明：设X :Y :Z 为二次曲面的任意一个非渐进方向，而( x0 , y0 ,z0)为平行于
x x0 Xt
方向X :Y: Z的任意弦的中点，那么弦的方程可以写成y y0 Yt (2)
z z0 Zt 面弦的两端点是由二次方程
(X,Y,Z)t2 2 XF1(x0,y0,z0) YF2(x0,y0,z0) ZF3( x0 , y0 , z0 ) t F (x0, y0 , z0) 0 的两根t1和t 2所决定，因为(x0,y0,z0) 为弦的中点的充要条件是t1 t2 0，即XF1(x0 , y0, z0 ) YF2 ( x0 , y0 , z0 ) ZF3(x0,y0,z0) 0 ，把上式中的(x0,y0,z0) 改写为(x,y,z) 便得平行弦中点的轨迹方程为XF1( x, y, z) YF2( x, y, z) ZF3(x, y, z) 0 ( 6.4-1)即
X(a11x a12 y a13z a14 ) Y(a12x a22 y a23z a24) Z(a13x a23y a33z a34) 0
(a11X a12Y a13Z)x (a12 X a22Y a23Z ) y
(a13X a23Y a33Z)z (a14 X a24Y a34Z) 0
即1(X,Y,Z)x 2(X,Y,Z)y 3(X,Y,Z)z 4(X,Y,Z) 0 (6.4-2)
因为X :Y: Z为非渐进方向，所以有
(X,Y,Z) X 1(X,Y,Z) Y 2(X,Y,Z) Z 3(X,Y,Z) 0
因此1(X,Y,Z)，2(X,Y,Z)，3(X,Y,Z)不全为零，所以( 6.4-2)或( 6.4-1)为一个三元一次方程，它代表一个平面。

定义 6.4.1 二次曲面的平行弦的中点轨迹，就是( 6.4-1)或( 6.4-2)所代表的平面，叫做共轭于平行弦的径面。

而平行弦叫做这个径面的共轭弦，平行弦的方向
叫做这个径面的共轭方向。

定理 6.4.2 二次曲面的任何径面一定通过它的中心（假如曲面的中心存在的话）推论 1 线心二次曲面的任何径面通过他的中心线。

推论 2 面心二次曲面的径面与它的中心平面重合。

如果方向X :Y : Z为二次曲面（1）的渐进方向，那么平行与它的弦不存在，但如果仍有1（X,Y,Z），2（X,Y,Z），3（X,Y,Z）不全为零，那么方程（ 6.4-2）任然表示一个平面，我们把这个平面叫做共轭于渐进方向X :Y:Z 的径面。

如果
1（x,y,z） a11X a12Y a13Z 0
2（x,y,z） a12X a22Y a23Z 0 （3）
3（x,y,z） a13X a23Y a33Z 0
那么方程（ 6.4-2）不表示任何平面。

定义 6.4.2 满足条件（3）的渐进方向X :Y:Z 叫做二次曲面（1）的奇异方
向，简称奇向。

定理 6.4.3 二次曲面（1）有奇向的充要条件是I3 0
推论中心二次曲面而且只有中心二次曲面没有奇向。

定理 6.4.4 二次曲面的奇向平行于它的任何径面。

证设二次曲面（ 1 ）的奇向为X0:Y0:Z0 ，那么
1(X0,Y0,Z0) 2(X0,Y0,Z0) 3(X0,Y0,Z0) 0 因此
X0 1(X,Y,Z) Y0 2(X,Y,Z) Z0 3(X,Y,Z)
X0(a11X a12Y a13Z) Y0(a12X a22Y a23Z) Z0(a13 X a23Y a33Z)
X(a11X0 a12Y0 a13 Z0 ) Y(a12 X0 a22Y0 a23 Z0 ) Z(a13X0 a23Y0 a33Z0) X 1(X0,Y0,Z0) Y 2(X0,Y0,Z0) Z 3(X0,Y0,Z0)
所以二次曲面的奇向X0 :Y0 : Z0平行于它的任意径面（ 6.4-2）
2 2 2
例1 求单叶双曲面x2y2z21的径向
abc
解因为单叶双曲面为中心曲面，即I3 0 。

所以它没有奇向，任取方向
X Y Z
X :Y:Z ，那么1(X,Y,Z) 2 ，2(X,Y,Z) 2 ，3(X,Y,Z) 2 ，a b c
X Y Z
4(X,Y,Z) 0 ，所以单叶双曲面共轭于方向X :Y:Z 的径面为2x 2y 2z 0 ， a b c
显然它通过曲面的中心(0,0,0) 。

22 例 2 求椭圆抛物面x2y22z的径面。

ab
解因为椭圆抛物面为无心曲面，I3 0 ，所以曲面有奇向X0 : Y0 : Z0，因为XY
1(X,Y,Z) 2 2(X,Y,Z) 2 3(X,Y,Z) 0 ，所以曲面的奇向为ab
X0 :Y0 :Z0 0 : 0 : 1，任取非齐方向X :Y:Z ，又有3(X,Y,Z) Z ，因此根据 (604-2)椭圆抛物面共轭于非齐方向X :Y:Z 的径面为X2x Y2y Z 0，显然它a2b2
平行于奇向0:0:1
作业: P262 1(3),2,4
§ 6.5 二次曲面的主径面与主方向，特征方程与特征根
定义 6.5.1 主径面 :如果二次曲面的径面垂直于它所共轭的方向，那么这个径 面就叫做二次曲面的 主径面 。

定义 6.5.2 主方向: 二次曲面主径面的共轭方向（即垂直于主径面的方向） ， 或者二次曲面的奇向，叫做二次曲面的 主方向
设二次曲面为 F （x,y,z ） a 11x 2 a 22y 2 a 33z 2 2a 12xy 2a 13xz
2a 23 yz 2a 14x 2a 24 y 2a 34 z a 44
方向 X :Y : Z 如果是（ 1）的渐进方向，那么它成为（ 1）的主方向的条件是
a 11X a 12Y a 13Z 0 a 12X a 22Y a 23Z 0 a 13X a 23Y a 33Z 0
成立，即 X :Y :Z 必须是（ 1）的奇向
如果 X :Y :Z 是（1）的非渐进方向，那么它成为（ 1）的主方向的条件是与
它的共轭径面
(a 11X a 12Y a 13Z)x (a 12X a 22Y a 23Z)y
(a 13X a 23Y a 33Z)z (a 14 X a 24Y a 34Z) 0
垂直，所以有 (a 11X a 12Y a 13Z):(a 12X a 22Y a 23Z):(a 13X a 23Y a 33Z) X :Y :Z
a 11X a 12Y a 13Z
X
从而得 a 12X a 22Y a 23Z Y
a 13 X a 23Y a 33Z Z
显然，如果在（ 6.5-1）中取 0 ，那么就得到（ 2），因此方向 X :Y: Z 成为 二次曲面（ 1）的主方向的充要条件是存在 使得（ 6.5-1）成立，把（ 6.5-1）改写
（a 11
）X
a 12Y
a 13Z 0
成 a
12
X
（a
22 ）Y
a
23Z
（6.5-2）
a 13 X
a 23Y （a 33 ）Z 0
这是 一个 关于 X,Y,Z 的 其次 线性方程 组，因此 X,Y,Z 不 能全 为零，因 此
a 11 a 12 a 13
a 12 a 22
a 23
(6.5-3)
a 13
a 23
a 33
(1)
2）
3）
6.5-1)
定义 6.5.3 方程（ 6.5-3）或（6.5-4）叫做二次曲面的特征方程，特征方程的根叫做 二次曲面的特征根。

从特征方程（ 6.5-3）或（ 6.5-4）求得特征根 ，代入（ 6.5-1）或（ 6.5-2），就 可以求出相应的主方向 X,Y,Z ，当 0时，与它相应的主方向为二次曲面的奇向； 当 0时，与它相应的主方向为非奇主方向，将非奇主方向 X :Y: Z 代入（ 6.4-1） 或（6.4-2）就得共轭于这个非奇主方向的主径面。

例 1 求二次曲面 3x 2 y 2 3z 2 2xy 2xz 2yz 4x 14y 4z 23 0 的主方
二次曲面的特征方程为 3 7 2 12 0 ，所以特征根为
4,3,0
XYZ0
1 将 4代入（ 6.5-2）得 X 3Y Z 0 XYZ0
解该方程组得对应于特征根 4的主方向为 X :Y :Z 1:0:（ 1） ，将其代入（6.4-1） 或者（ 6.4-2）并化简的共轭于这个主方向的主径面为：
xz0
YZ0
2 将
3代入（ 6.5-2）得 X 2Y Z 0
XY0
解该方程组得对应于特征根 3的主方向为 X :Y:Z 1:（ 1） :1 ，将其代入（6.4-1）
或者（ 6.4-2）并化简的共轭于这个主方向的主径面为：
x y z 1 0
即 3 I 1 2 I 2 I 3 0 6.5-4)
向与主径面。

解 这个二次曲面的矩阵是
3
1
3
11
1
2
1 1
1 31
3
3
1
1
2 1 1 1 7
，则 I 1 3 1 3 7
1
1 3 2
2
7
2
23
3 1 1
12 ，I 3
1 1 1 0
1
1
3
3X Y Z 0
3 将0代入（ 6.5-2）得X Y Z 0
X Y 3Z 0 解该方程组得对应于特征根0的主方向为
X :Y :Z
曲面的奇向二次曲面特征根的性质：
定理 6.5.1 二次曲面的特征根都是实数。

定理 6.5.2 特征方程的三个根至少有一个不为零，非奇主方向。

推论二次曲面至少有一个主径面
作业: P269 1(1) (4),21 : 2 : 1 ，这一主方向为二次因而二次曲面总有一个
§ 6.6 二次曲面方程的化简与分类
本节利用空间直角坐标变换,讨论二次曲面的化简与分类。

一.空间直角坐标变换
设在空间给出了两个由标架O;i, j,k 与O;i ,j ,k 决定的右手直角坐标系，为了叙述方便，我们把前面的一个叫做旧坐标系，后面的一个坐标系叫做新坐标系。

它们之间的位置关系完全可以由新坐标系的原点在旧坐标系的坐标，以及新坐标系的坐标向量在旧坐标系内的坐标所决定。

在这里我们先讨论两种特殊的坐标变换，然后研究一般坐标变换
（1）移轴
设标架O;i, j,k 与O;i , j ,k 的原点O与O 不同，O 在极坐标系下的坐标为
（x0 , y0, z0），但是i i ，j j ，k k ，这时新坐标系可以看成由O;i, j,k 平移到使O 与O 重合而得来，我们把这种情况下的坐标变换叫做移轴。

设P 为空间任意一点，它在O;i, j,k 与O;i , j ,k 下的坐标分别是（x,y,z）与（x,y,z），那么OP xi yj zk，（1）
OP xi yj zk xi yj zk （2）
此外又有OO x0i y0 j z0k （3）
OP OO OP
将（1）（2）（3）三式代入（4）得xi yj zk （x x0）i （y y0）j （z z0）k
z z z0
6.6-1)
这就是空间直角坐标系的移轴公式。

从（ 6.6-1）解出（x,y,z）就得到用旧坐标表示新坐标的坐标变换公式，即移轴的x x x0 逆变换公式y y y 0
z z z0
（2）转轴
设两个右手标架O;i, j,k 与O;i , j ,k 的原点相同，但坐标向量不同，这时新坐标系可以看成由旧坐标系绕原点旋转，使得i, j,k 分别与i , j ,k 重合得到的，我们把这种情况下的坐标变换叫做转轴。

具有相同原点的两坐标系之间的位置关系完全由新、旧坐标轴之间的交角来
决定，列表如下：
i icos 1 1 1
从表( 5)我们知道j icos 2 jcos 2 kcos 2 ( 6)
k icos 3 j cos 3 kcos 3
设空间任意一点P，它的旧坐标为(x,y,z) ，在新坐标系内的坐标为(x,y,z) ，那么有空间直角坐标变换的转轴公式：
x x cos 1 y cos 2 z cos 3
y x cos 1y cos 2 z cos 3 ( 6.6-3 )
x x cos1 y cos 2 z cos 3
转轴的逆变换公式为：
x xcos 1ycos 1zcos 1
y xcos 2ycos 2zcos 2
z xcos 3ycos 3zcos 3
(6.6-4 )
转轴的正交条件
2 2 2
cos
1
cos
2
cos
3
1
cos 2 1 cos 2 2 cos 2 3 1
cos 2 1 cos 2 2 cos 2 3 1
cos 1 cos 1 cos 2 cos 2 cos 3cos 3 0 cos 1 cos 1 cos 2 cos 2 cos 3 cos 3 0
3)一般变换公式
O;i, j,k 决定的旧坐标系与由标架 O;i , j ,k 决定的新
坐标系，且 O 在旧坐标系的坐标为 (x 0, y 0, z 0 ) ，两坐标系的坐标轴之间的交角由表 格(5)决定，那么在这种一般情况下，由旧坐标系变换到新坐标系可以分两步来 完成，可以先移轴，使原点 O 与坐标系的原点 O 重合，变成辅助坐标系 O x y z 然后再由辅助坐标系转轴变到新坐标系。

则空间直角坐标变换的一般公式为：
x x cos 1 y cos 2 z cos 3 x 0 y x cos 1 y cos 2 z cos 3 y 0 ( 6.6-8 )
x
x cos 1 y cos
2
z cos 3
z 0
上式的逆变换公式是：
x (xx 0 ) cos 1 (y y 0)cos 1 (z z 0)cos 1 y (x x 0) cos 2 (y y 0)cos 2 (z z 0)cos 2 ( 6.6-9 )
z
(x x 0)cos
3
(y
y 0)cos
3
(z z 0 ) cos
3
注：它们的系数分别满足正交条件( 6.6-5 )(6.6-6 )，它们的系数行列式都等
6.6-5 )
cos 1 cos 1 cos 2cos 2 cos 3 cos 3 0
cos 2 1 cos 2 1 cos 2 1 1 cos 2 2 cos 2 2 cos 2 2 1
与
cos 2 3 cos 2 3 cos 2 3 1 cos 1cos 2 cos 1 cos 2 cos 1cos 2 0
cos 2cos 3 cos 2 cos 3 cos 2 cos 3 0 cos 3cos 1 cos 3 cos
1
cos 3cos 1 0
6.6-6 )
又因为 (ijk ) (i j k ) 1，可得( 6.6-3 )与( 6.6-4 )的系数行列式
cos 1 cos 1 cos 1
cos 2 cos 2
cos 2 1
cos 3 cos 3
cos 3
6.6-7 )
设在空间给出了由标架 cos 1 cos 2 cos 3 cos 1 cos 2 cos 3 cos 1 cos 2 cos 3
解析几何教案 第六章 二次曲面的一般理论
[9]
于 1.
二. 二次曲面的化简与分类
定理 6.6.1 适当选取坐标系，二次曲面的方程总可以化为下列五个简化方程 中的一个：
2 2 2 ( )a 11x a 22
y 2a 34z
0, 22 ( )a 11x a 22 y
a 44 0,
a 11a 22 0;
2 ( V)a 11x
2a 22y 0, a 11a 24 0; 2
(V)a 11x a 44 0,
a 11 0;
定理 6.6.2 适当选取坐标系，二次曲面的方程总可以化为下列十七种标准方 程的一种形式：
[1]
2
x
2 a
2 y 2 b 2
2 z 2 2 c
2
2
2
x
y 2
z 2
2
2
2
a
b
c
2
2
2
x
y 2
z 2
2
2 2
a
b
c
2
2 2
x y
z 2
2
2
a
b
c
2 2
2
x
y 2
z 2 2
2
a
b
c
2
2
2
x
y 2
z 2
2
2
a
b
c
2
2
x 2
y 2 2
2z
a
b 2
2 2
x 2
y
2
2z
a b 2
2
2
x
2 y 2 2
1
a
b 2
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
1
1
1
（椭球面 ） （虚椭球面 ）
（点或称虚母线二次锥面 ） （ 单叶双曲面 ） （双叶双曲面 ） （二次锥面 ） （椭圆抛物
面
（双曲抛物
面
（椭圆柱
面 ）
( )a 11x a 22 y a 33z a 44 0, a 11a 22a 33
0;
a 11a 22a 34 0;
解析几何教案第六章二次曲面的一般理论22
[10]
[11]
[12]
[13]
[14]
[15]
[16]
[17]
作业：a
x2 b y2
22
a x
2
2 b y22 0
（虚椭圆柱
面）
（交于一条实直线的一
对
22
x2y21 （双曲柱面）
a
2
b
2
（一对相交平
面）
x2 2py （抛物柱面）
x2 a2（一对平行平面）
x2a2（一对平行的共轭虚平
面）
x2 0 （一对重合平面）
P2861,2,3
共轭虚平
面）
解析几何教案 第六章 二次曲面的一般理论
§ 6.7 应用不变量化简二次曲面的方程
一. 不变量与半不变量
2 2 2 F(x, y,z) a 11x a 22 y a 33
z 2a 12 xy 2a 13 xz
2a 23 yz 2a 14x 2a 24 y 2a 34 z a 44 0 (1)
定义: 由(1) 式的左端 F(x,y,z) 的系数组成的一个非常数函数 f,如果经过直角坐标 变换
( 6.6-8)， F(x,y,z) 变为 F (x,y,z)时，有 f(a 11,a 12,...,a 44) f (a 11,a 12,...,a 44)，那 么这个函数 f 就叫做二次曲面( 1)在直角坐标变换( 6.6-8)下的 不变量 。

如果这个函数 f 只
是经过转轴变换不变，那么这个函数叫做二次曲面( 1)在直角坐标变换下的 半不变量。

定理 6.7.1 二次曲面( 1)在空间直角坐标变换下，有四个不变量
I 1,I 2,I 3,I 4 与两个半
不变量
K 1,K 2 ，即
K 1
a 11 a 14 a 22 a 24
a 33 a 34
a 14 a 44
a 24 a 44
a 34 a 44
a 11 a 12 a 14
a 11 a 13 a 14 a 22 a 23 a 24
K 2
a 12 a 22 a 24
a 13 a 33 a 34 a 23 a 33 a 34
a 14
a 24
a 44
a 14
a 34
a 44
a 24
a 34
a 44
推论 在直角坐标变换下，二次曲面的特征方程不变，从而特征根也不变。

定理 6.7.2 K 1是第 V 类二次曲面在直角坐标变换下的不变量，而 K 2 是第 III ， 第Ⅳ与
I 3 a 12
a 22
a 11
a 12
a 12 a 22 a 13 a 23 a 14 a 24
a 13 a 14
a 23 a 24
a 33 a 34 a 34 a 44
I 1 a 11 a 22 a 33
a 11 a 12
a 13 a 23
a 13 a 23
a 33
第Ⅴ二次曲面在直角坐标变换下的不变量。

二. 二次曲面五种类型的判别
定理 6.7.3 如果给出了二次曲面（ 1），那么用不变量来判别曲面（ 1）为何种 类型的充要条件是：
第 I 类曲面： I 3 0；
第 II 类曲面： I 3 0,I 4 0;
第 III 类曲面： I 3 0,I 4 0,I 2 0;
第 IV 类曲面： I 3 0,I 4 0,I 2 0,K 2 0;
第 V 类曲面： I 3 0,I 4 0,I 2 0,K 2 0;
三. 应用不变量化简二次曲面的方程
我们应用二次曲面（ 1）的四个不变量 I 1,I 2,I 3,I 4与两个半不变量 K 1,K 2 来化简二 次曲面（ 1）的方程。

10 I 3 0 .这时曲面（ 1）是第 I 类曲面，它的简化方程为
2 2 2 a 11x 2 a 22y 2 a 33z 2 a 44 0, 所以 I 1 I 1 a 11 a 22 a 33
二次曲面（ 1）的特征方程是 3 I 1 2 I 2 I 3 0 ，所以根据根与系数的关 a 11a 22a 33 0
I 2 I 2 a 11
0 a 22 a 22 0 a 11a 22 a 11a 33 a 22 a 33
I 3 I 3
a 11 0 0 a 22 0
0 0 a 33 a 11a 22a 33 系立刻可知
次 曲 面 的 三 个 特征 根 为 1 a 11, 2 a 22, 3 a 33 。

又因为 a 11 0 0
0 0
a 22 0
0 a 33 0 a 44
a 11a 22a 33a 44 I 3a 44 . 所以 a 44 ，因此第 I 类曲面的简
I 3
这里 1, 2, 3 为二次曲面（ 1）的三个特征根。

20 I 3 0,I 4 0. 这时曲面（ 1）是第 II 类曲面，它的简化方程为
第 II 类曲面的简化方程也可以写成 1x 2 2y 2 2 I I 42 z 0, （6.7-2），这里 1, 2 为二次曲面（ 1）的两个不为零的特征根。

30 I 3 I 4 0,I 2 0;这时曲面（ 1）是第 III 类曲面，它的简化方程为
第 III 类曲面的简化方程也可以写成 1x 2 2 y 2 K 2 0, （6.7-3），这里 1, 2为 I 2 二次曲面（ 1）的两个不为零的特征根。

40 I 3 I 4 I 2 0,K 2 0;这时曲面（ 1）是第 IV 类曲面，它的简化方程为 a 11x 2 2a 24y 0, a 11a 24 0
第 IV 类曲面的简化方程也可以写成 I 1x 2 2 K 2 y 0,
（6.7-4）。

I 1 50 I 3 I 4 I 2 K 2 0;这时曲面（ 1）是第 V 类曲面，它的简化方程为 a 11x 2 a 44 0, a 11 0
第 IV 类曲面的简化方程也可以写成 I 1x 2 K 1 0,
（ 6.7-4）。

I 1 定理 6.7.5 如果给出了二次曲面（ 1），那么用它的不变量来判断一直曲面的 条件是：
[1] 椭球面： I 2 0,I 1,I 3 0,I 4 0;
[2] 虚椭球面： I 2 0,I 1,I 3 0,I 4 0;
[3] 点（或虚母线二次锥面） ： I 2 0,I 1,I 3 0,I 4 0;
[4] 单叶双曲面： I 3 0,I 2 0（或I 1I 3 0）,I 4 0;
[5] 双叶双曲面： I 3 0,I 2 0（或I 1I 3 0）,I 4 0;
化方程可以写成
2y 3z 2 I I 34 0 6.7-1) a 11x 2 a 22y 2 2a 34z 0,
[6] 二次锥面：I3 0,I2 0（或I1I3 0）,I 4 0;
[7] 椭圆抛物面：I3 0,I4 0;
[8] 双曲抛物面：I3 0,I4 0;
[9] 椭圆柱面：I3 I4 0,I 2 0,I1K2 0;
[10] 虚椭圆柱面：I3 I 4 0,I2 0,I1K2 0;
[11] 交于一条实直线的一对共轭虚平面：I3 I4 K2 0,I 2 0;
[12] 双曲柱面：I3 I 4 0,I2 0,K2 0;
[13] 一对相交平面：I3 I4 K 2 0,I 2 0;
[14] 抛物柱面：I3 I 4 I 2 0,K2 0;
[15] 一对平行平面：I3 I4 I 2 K2 0,K1 0;
[16] 一对平行的共轭虚平面：I3 I4 I 2 K2 0,K1 0;
[17] 一对重合平面：I3 I4 I 2 K2 K1 0.
作业：P11,3,6,10。