二次曲面的一般理论
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第六章 二次曲面的一般理论
教学目的 : 本章讨论了一般二次曲面的渐近方向、中心、切线、切平面、径面 奇向、主径面与主方向等重要概念 ,从不同角度对二次曲面进行了分类 .
研究了二次曲面的几何性质 , 并通过坐标变换和不变量、半不变量两种形式 化二次曲面的一般方程为规范方程 , 对二次曲面进行了分类和判定 , 是二次曲面理 论的推广和扩充 .
教学重难点 : 通过坐标变换和运用不变量、半不变量化二次曲面的一般方程为 规范方程 , 既是重点又是难点 .
基本概念
二次曲面 : 在空间 , 由三元二次方程
2 2 2
a 11x
a 22 y a 33z 2a 12 xy 2a 13 xz 2a 23 yz 2a 14 x 2a 24 y 2a 34z a 44 0 (1)
所表示的曲面 .
虚元素 :空间中，有序三复数组 (x,y,z) 叫做空间复点的坐标，如果三坐标全是 实数，那么它对应的点是 实点 ，否则叫做 虚点 二次曲面的一些记号
F(x,y,z)
F 1(x,y,z) a 11x a 12y a 13z a 14
F 2(x,y,z) a 12x a 23y a 23z a 24 F 3( x, y, z) a 13x a 23y a 33z a 34 F 4 (x,y,z) a 14x a 24y a 34z a 44
2 2 2
(x, y,z) a 11x 2
a 22
y 2 a 33z 2 2a 12 xy 2a 13 xz 2a 23 yz
1
(x,y,z) a 11x a 12 y a 13z 2
(x,y,z) a 12 x a 22 y a 23z
2
a 11 x 22
a 22 y a 33 z
2a 12 xy 2a 13 xz 2a 23 yz 2a 14 x 2a 24 y 2a 34 z a 44
3
(x, y,z) a 13x a 23 y a 33z 4
(x,y,z) a 14 x a 24 y a 34 z
即有恒等式成立 : F(x,y,z) xF 1 ( x, y,z) yF 2 (x, y, z) zF 3(x,y,z) F 4(x,y,z)
(x,y,z) x 1(x,y,z) y 2(x, y,z) z 3(x,y,z)
a 11 a 12 a 13 a 14 二次曲面 F(x,y,z) 的系数矩阵
A
a 12
a 22
a 23
a 24
a 13 a 23 a 33 a 34
a 14
a 24 a 34 a 44
a 11 a 12 a 13
而由 (x, y,z) 的系数矩阵为
A
a 12 a 22 a 23
a 13
a 23
a 33
二次曲面(1)的矩阵 A 的第一，第二，第三，与第四行的元素分别是 F 1 (x, y,
z) ，
a 11 a 12 a 13
a 11 a 12 a 11 a 13
a 22 a 23
1 a 11 a 2
2 a 3
3 I 2
I 3
a 12 a 22 a 23
a 12 a 22
a 13 a 33
a 23 a 33
a 13 a 23 a 33
a 11 a 12 a 14
a 11 a 13 a 14 a 22 a 23 a 24
K 2
a 12 a 22 a 24
a 13 a 33 a 34 a 23 a 33 a 34
a 14
a 24
a 44
a 14
a 34
a 44
a 24
a 34
a 44
§6.1 二次曲面与直线的相关位置
2 2 2 F(x, y,z) a 11x a 22 y a 33
z 2a 12xy 2a 13xz
2a 23 yz 2a 14 x 2a 24 y 2a 34 z a 44
(1)
x x 0 Xt
与过点 (x 0, y 0, z 0 )的直线 y y 0 Yt (2)
z z 0 Zt
将(2)代入(1)得
F 2(x,y,z)， F 3(x, y, z) ， F 4(x,y,z) 的系数。
a 11 a 12 a 13 a 14
a 12 a 22 a 23 a 24
a 13 a 23 a 33 a 34 a 14
a 24
a 34
a 44
K 1
a 11
a 14 a 22
a 24 a 33
a 34
a 14 a 44 a 24 a 44 a 34 a 44
(X,Y,Z)t2 2 XF1(x0,y0,z0) YF2(x0,y0,z0) ZF3( x0 , y0 , z0 ) t F (x0, y0 , z0) 0
(3)
现讨论直线( 2)与二次曲面( 1)相交的各种情况:
1. (X,Y,Z) 0 ,这时方程( 3)是一个关于t 的二次方程，它的判别式为：XF1(x0,y0,z0) YF2
( x0, y0 ,z0 ) ZF3 ( x0 , y0 , z0 ) 2(X,Y,Z)F(x0,y0,z0)
100 ,有两不等实根,直线与二次曲面有两不同实交点;
200 ,有两相等实根,直线与二次曲面有两相互重合实交点;
300 ,有两共轭虚根,直线与二次曲面有两共轭虚交点
2. (X,Y,Z) 0
10XF1(x0,y0,z0) YF2 ( x0 , y0 , z0) ZF3(x0,y0,z0) 0 ,直线与二次曲面有唯一交点;
20XF1 ( x0 , y0,z0) YF2 ( x0 , y0 , z0 ) ZF3 ( x0 , y0 , z0 ) 0,但F (x0 , y0 , z0 ) 0 直线与二次曲面无交点
30XF1( x0 , y0 , z0 ) YF2(x0,y0,z0) ZF3(x0,y0,z0) 0,且F(x0, y0) 0 ，直线与二次曲面有无穷交点,直线在二次曲面上.