{高中试卷}北京海淀区高二期末数学(文)[仅供参考]
北京市海淀区2023-2024学年高二下学期期末数学试卷(含答案)
北京市海淀区2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷本试卷共6页，共两部分。
19道题，共100分。
考试时长90分钟。
试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，请将答题卡交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.5(1)x -的展开式中，所有二项式的系数和为A.0B.52C.1D.622.已知函数sin (),cos xf x x=则(0)f '的值为A.0B.1C.1- D.π3.若等比数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，则公比q =A.12B.12-C.2D.2-4.下列函数中，在区间[]1,0-上的平均变化率最大的时A.2y x = B.3y x = C.12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D.2xy =5.将分别写有2,0,2,4的四章卡片，按一定次序排成一行组成一个四位数（首位不为0），则组成的不同四位数的个数为A.9B.12C.18D.246.小明投篮3次，每次投中的概率为0.8，且每次投篮互不影响，若投中一次的2分，没投中得0分，总得分为X ，则A.() 2.4E X = B.() 4.8E X = C.()0.48D X = D.()0.96D X =7.已知一批产品中，A 项指标合格的比例为80%，B 项指标合格的比例为90%，A 、B 两项指标都合格的比例为60%，从这批产品中随机抽取一个产品，若A 项指标合格，则该产品的B 项指标也合格的概率是A.37B.23C.34D.568.已知等差数列n a 的前n 项和为n S ，若10a <、则“n S 有最大值”是“公差0d <”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.设函数()()ln 1sin f x x a x =-+.若()()0f x f ≤在()1,1-上恒成立，则A.0a =B.1a ≥C.01a <≤ D.1a =10.在经济学中，将产品销量为x 件时的总收益称为收益函数，记为()R x ，相应地把()R x '称为边际收益函数，它可以帮助企业决定最优的生产或销售水平.假设一个企业的边际收益函数()1000R x x '=-(注:经济学中涉及的函数有时是离散型函数，但仍将其看成连续函数来分析).给出下列三个结论:①当销量为1000件时，总收益最大;②若销量为800件时，总收益为T ，则当销量增加400件时，总收益仍为T ;③当销量从500件增加到501件时，总收益改变量的近似值为500.其中正确结论的个数为A.0B.1C.2D.3第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。
海淀区2023-2024学年第二学期期末高二数学试题答案
数学参考答案第1页（共6页）海淀区2024年高二年级学业水平调研数学参考答案2024.07一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）B （2）B （3）C （4）B （5）A （6）B（7）C（8）C（9）D（10）D二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）（11）24（12）0,1；23（13）21n n --（14）0.7；0.22（15）①③④三、解答题（共4小题，共40分）（16）（共8分）解：（Ⅰ）()f x 在(,0)-∞上单调递增，证明如下：因为2()(1)e x f x x x =--，所以'()e (1)e 2e 2(e 2)x x x x f x x x x x x =+--=-=-，又因为(,0)x ∈-∞，从而e 2120x -<-<，所以'()(e 2)0x f x x =->，所以()f x 在(,0)-∞上单调递增.（Ⅱ）由（Ⅰ）知：'()(e 2)x f x x =-，因为(0,)x ∈+∞，令'()0f x =，得ln 2x =．()f x 与'()f x 在区间(0,)+∞上的情况如下：xln 2(0,)ln 2ln 2(,)+∞'()f x -+()f x ↘极小↗数学参考答案第2页（共6页）因为02(0)(01)e 010f =--=-<，2222(2)(21)e 2e 20f =--=->，所以由零点存在定理及()f x 单调性可知，()f x 在(0,)+∞上恰有一个零点．（17）（共10分）解：（Ⅰ）记A 表示“从甲生产线上随机抽取一件产品，该产品满足1A q >且2B q >”．用频率估计概率，则3()10P A =．所以该产品满足1A q >且2B q >的概率为310.（Ⅱ）由题意，X 的所有可能取值为0，1，2.511(0)10816P X ==⨯=，51571(1)1081082P X ==⨯+⨯=，577(2)10816P X ==⨯=.所以X 的分布列为X 012P11612716所以X 的数学期望为11711012162168EX =⨯+⨯+⨯=.（Ⅲ）甲生产线上的产品质量更好，因为甲生产线上Q 值的平均值0.800.0810Q ==甲，乙生产线上Q 值的平均值0.870.18Q =>乙，所以甲生产线上Q 值的平均值明显比乙小，所以甲生产线上的产品质量更好．其它理由：计算甲生产品的Q 值小于乙的概率744+5+5+4+3+5+2+691810162++=>⨯（注：答案不唯一，理由需要支撑相应结论，只计算甲乙方差不能作为理由。
2024北京海淀高二(上)期末数学(教师版)
2024北京海淀高二（上）期末数 学2024.01一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 椭圆C：2222x y +=的焦点坐标为（）A. (1,0)−，(1,0)B. (0,1)−，(0,1) C. ()，) D. (0,，( 2. 抛物线2y x =的准线方程是（ ）A. 12x =−B. 14x =−C. 12y =−D. 14y =− 3. 直线310x ++=的倾斜角是（ ）A. 30°B. 60°C. 120°D. 150° 4. 已知点P 与(0,2),(1,0)A B −共线，则点P 的坐标可以为（ ）A.(1,1)−B. (1,4)C. 1,12⎛⎫−− ⎪⎝⎭D. (2,1)− 5. 已知P 为椭圆222:14x y C b+=上的动点．(1,0),(1,0)A B −，且||||4PA PB +=，则2b =（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4 6. 已知三棱柱111ABC A B C 中，侧面11ABB A ⊥底面ABC ，则“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 在空间直角坐标系O xyz −中，点(2,3,1)−P 到x 轴的距离为（ ）A. 2B. 3 8. 已知双曲线222:1y C x b−=的左右顶点分别为12,A A ，右焦点为F ，以1A F 为直径作圆，与双曲线C 的右支交于两点,P Q ．若线段PF 的垂直平分线过2A ，则2b 的数值为（ ）A. 3B. 4C. 8D. 9 9. 设动直线l 与()22:15C x y ++=交于,A B 两点．若弦长AB 既存在最大值又存在最小值，则在下列所给的方程中，直线l 的方程可以是（ ）A. 2x y a +=B. 2ax y a +=C. 2ax y +=D. x ay a +=10. 如图，已知菱形ABCD 的边长为2，且60,,A E F ∠=︒分别为棱,AB DC 中点．将BCF △和ADE分别沿,BF DE 折叠，若满足//AC 平面DEBF ，则线段AC 的取值范围为（ ）A. B. 3,2 C. 2,⎡⎣ D. 2,⎡⎣第二部分（非选择题 共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．11. 双曲线22:14y C x −=的渐近线方程为_________． 12. 如图，已知E ，F 分别为三棱锥D ABC −的棱,AB DC 的中点，则直线DE 与BF 的位置关系是__________（填“平行”，“异面”，“相交”）．13. 经过点(0,1)A 且与直线:210l x y +−=垂直的直线方程为_______________．14. 作为我国古代称量粮食的量器，米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味．右图是一件清代老木米斗，可以近似看作正四棱台，测量得其内高为12cm ，两个底面内棱长分别为18cm 和9cm ，则估计该米斗的容积为__________3cm ．15. 已知四边形ABCD 是椭圆22:12x M y +=的内接四边形，其对角线AC 和BD 交于原点O ，且斜率之积为13−．给出下列四个结论： ①四边形ABCD 是平行四边形；②存在四边形ABCD 是菱形；③存在四边形ABCD 使得91AOD ∠=︒；④存在四边形ABCD 使得2264||||5AC BD +=． 其中所有正确结论的序号为__________． 三、解答题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16. 已知圆222:(2)(0)C x y r r −+=>与y 轴相切．（1）直接写出圆心C 的坐标及r 的值；（2）直线:3410l x y −−=与圆C 交于两点,A B ，求||AB ．17. 已知直线:1l y kx =+经过抛物线2:2C x py =的焦点F ，且与C 的两个交点为P ，Q ．（1）求C 的方程；（2）将l 向上平移5个单位得到,l l ''与C 交于两点M ，N ．若24MN =，求k 值．18. 如图，四棱锥E ABCD −中，⊥AE 平面,,,2,1ABCD AD AB AD BC AE AB BC AD ⊥====∥，过AD 的平面分别与棱,EB EC 交于点M ，N ．（1）求证：AD MN ∥;（2）记二面角A DN E −−的大小为θ，求cos θ的最大值．19. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的两个顶点分别为(2,0),(2,0)A B −，离心率()()0001,,02e P x y y =≠为椭圆上的动点，直线,PA PB 分别交动直线x t =于点C ，D ，过点C 作PB 的垂线交x 轴于点H ．（1）求椭圆E 的方程；（2）HC HD ⋅是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．参考答案第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 【答案】B【分析】先化为标准方程2212y x +=，求得222,1,1a b c ====，判断焦点位置，写焦点坐标. 【详解】因为椭圆C ：2222x y +=， 所以标准方程为2212y x +=，解得222,1,1a b c ====，因为焦点在y 轴上，所以焦点坐标为(0,1)−，(0,1).故选：B【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.2. 【答案】B【分析】由抛物线的标准方程及性质，直接求解.【详解】由抛物线方程2y x =可知1212p p ==，， 故准线方程为：124px =−=−.故选：B.3. 【答案】C【分析】先求解出直线的斜率，然后根据倾斜角与斜率的关系求解出倾斜角的大小.【详解】因为直线方程为310x ++=，所以斜率k ==设倾斜角为θ，所以tan θ=，所以120θ，故选：C.4. 【答案】B【分析】三点共线转化为向量共线，利用共线条件逐个判断即可.【详解】设(,)P x y ，则(,2),(1,2)AP x y AB =−=−−，由,,P A B 三点共线，则//AP AB ，所以2(2)0x y −+−=，则220x y −+=.选项A ，21(1)250⨯−−+=≠，不满足220x y −+=，故A 错误；选项B ，21420⨯−+=，满足220x y −+=，故B 正确；选项C ，12(1)2202⎛⎫⨯−−−+=≠ ⎪⎝⎭，不满足220x y −+=，故C 错误； 选项D ，2(2)1230⨯−−+=−≠，不满足220x y −+=，故D 错误.故选：B.5. 【答案】C【分析】根据题意，结合椭圆的定义，得到点P 的轨迹表示以,A B 为焦点的椭圆，进而求得2b 的值.【详解】因为(1,0),(1,0)A B −，可得2AB =，则||||42A PA PB B +>==，由椭圆的定义，可得点P 的轨迹表示以,A B 为焦点的椭圆，其中24,21a c ==，可得2,1a c ==，所以2223b a c =−=，又因为点P 在椭圆222:14x y C b+=，所以23b =. 故选：C.6. 【答案】B【分析】由面面垂直的性质定理可证明“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥ ”的必要条件，由底面为正三角形的直三棱柱模型，可知“1CB BB ⊥”不是“CB AB ⊥”的充分条件.【详解】①已知侧面11ABB A ⊥底面ABC ，且侧面11ABB A 底面ABC AB =， 又BC ⊂平面ABC ，若BC AB ⊥，则由面面垂直的性质定理可得BC ⊥平面11ABB A ，1BB ⊂平面11ABB A ，则1CB BB ⊥，所以则“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的必要条件；②若三棱柱111ABC A B C 是直三棱柱，底面ABC 是正三角形，则1BB ⊥底面ABC ，1BB ⊂平面11ABB A ，则满足条件侧面11ABB A ⊥底面ABC .又BC ⊂平面ABC ，则1CB BB ⊥，但BC 与AB 不垂直.所以“1CB BB ⊥”不是“CB AB ⊥”的充分条件.综上所述，“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的必要不充分条件.故选：B.7. 【答案】D【分析】结合空间直角坐标系，数形结合利用勾股定理求解点(2,3,1)−P 到x 轴的距离.【详解】在空间直角坐标系O xyz −中，过P 作PH ⊥平面xOy ，垂足为H ，则PH x ⊥轴，在坐标平面xOy 内，过H 作1HP x ⊥轴，与x 轴交于1P ，由(2,3,1)−P ，则1(2,0,0)P −，(2,3,0)H −，由1PH HP H =，PH ⊂平面1PHP ，1HP ⊂平面1PHP ，则x 轴⊥平面1PHP ，1PP ⊂平面1PHP ，则x 轴1PP ⊥，故1PP即点(2,3,1)−P 到x 轴的距离，则1PP == 故选：D.8. 【答案】C【分析】由双曲线方程得1a =，结合圆的性质及线段垂直平分线的性质得2A 是1A F 的中点，得到,a c 关系求c ，进而求出2b . 【详解】由双曲线222:1y C x b −=，得1a =，12(1,0),(1,0),(,0)A A F c −， 由题意，点P 在以1A F 为直径的圆上，则1A P PF ⊥，取PF 的中点M ,由线段PF 的垂直平分线过2A ，则2A M PF ⊥，则12//A P A M ，故2A 是1A F 的中点，122A A A F = 且12222,1A A a A F c a c ===−=−，所以12c −=，解得3c =，故222918b c a =−=−=.故选：C.9. 【答案】D【分析】由动直线恒与圆相交得直线过圆内一定点，再验证弦长取最值即可.【详解】()22:15C x y ++=，圆心(1,0)C −，半径r =， 选项A ，由直线2x y a +=斜率为12−，可得动直线为为平行直线系，圆心(1,0)C −到直线20x y a +−=的距离d =，当6a ≤−或4a ≥时，d ≥A 错误；选项B ，由直线2ax y a +=可化为(2)0a x y −+=，则直线恒过(2,0)，因为()2215+>，点(2,0)在圆外，故直线不一定与圆相交，故B 错误；选项C ，由直线2ax y +=恒过(0,2)，点(0,2)在圆上， 当12a =时，直线方程可化为240x y +−=，此时圆心(1,0)C −到直线240x y +−=的距离d r ===，圆与直线相切，不满足题意，故C 错误； 选项D ，由直线方程x ay a +=可化为(1)0x a y +−=，则直线恒过(0,1)M ，且点M 在圆C 内，故直线恒与圆C 相交，当直线过圆心C 时，弦长最长，由1,0)−在直线(1)0x a y +−=上，可得1a =−，AB 取到最大值；如图，取AB 中点T ，则CT AB ⊥，圆心到直线的距离d CT CM =≤AB ==，当d 取最大值CM 时，弦长最短，即当直线与CM 垂直时，弦长最短，由CM 的斜率为01110CM k −==−− 此时直线斜率为11k a==，即当1a =时，AB 取到最小值.故D 正确. 故选：D.10. 【答案】A【分析】借助空间直观想象，折叠前在平面图形中求出AC 的长度，折叠过程中证明平面//EAB 平面FDC ，面面距离即为AC 的最小值，由此得到AC 的范围.【详解】折叠前，连接,AC BD .由题意，在菱形ABCD 中，2AB BC ==，18060120ABC ∠=−=， 则由余弦定理得，22212cos 44222122AC AB BC AB BC ABC ⎛⎫=+−⋅∠=+−⨯⨯⨯−= ⎪⎝⎭，所以，AC =，故在折叠过程中，AC ≤.折叠后，若//AC 平面DEBF ，则AC ⊄平面DEBF ，则AC <BD 项错误；折叠前，在菱形ABCD 中，2BA BD ==，60DAB ∠=，则ABD △是正三角形，由,E F 分别为棱,AB DC 中点，则,,//DE AB BF DC AB DC ⊥⊥，所以//DE BF .折叠后，,,DE AE DE EB AE EB E ⊥⊥=，又AE ⊂平面EAB ，且EB ⊂平面EAB ，则DE ⊥平面EAB ，同理BF ⊥平面FDC ，所以平面//EAB 平面FDC ，则平面EAB 与平面FDC 的距离即为22DE =⨯=，由点A ∈平面EAB ，点C ∈平面FDC ，则AC ≥在折叠过程中，当60DFC AEB ∠=∠=时，由,AE EB DF FC ==，则,EBA DFC 均为正三角形，可构成如图所示的正三棱柱DFC EBA −，满足//AC 平面DEBF ，此时AC DE ==所以AC A 正确，C 项错误.故选：A.第二部分（非选择题 共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．11. 【答案】2y x =±【分析】利用双曲线的性质即可求得渐近线方程.【详解】由双曲线的相关知识可知：1a =，2b =所以焦点在x 轴双曲线的渐近线方程为：2b y x x a =±=± 故答案为：2y x =±12. 【答案】异面【分析】假设共面推出矛盾.【详解】假设直线,DE BF 共面，EB ⊂平面DEBF ，由A EB ∈，则AB ⊂平面DEBF ，同理，DC ⊂平面DEBF ，故,AB CD 共面，这与D ABC −是三棱锥矛盾，故假设错误，故直线,DE BF 异面. 故答案为：异面.13. 【答案】210x y −+=【分析】求出所求直线的斜率，利用点斜式方程可得出所求直线的方程.【详解】直线:210l x y +−=的斜率为12−， 则与直线:210l x y +−=垂直的直线的斜率为2，则直线方程为12(0)y x −=−，即210x y −+=.故答案为：210x y −+=14. 【答案】2268【分析】先画出正四棱台的直观图，再利用台体的体积公式即可求解. 【详解】根据题意，正四棱台的直观图如下：由题意可知，高112cm OO h ==，下底面正方形的变长9cm AB =，其面积()219981cmS =⨯=， 上底面正方形的变长18cm AB =，其面积()221818324cm S =⨯=，由台体的体积公式可得，该正四面体的体积:()()()3121181324122268cm 33V S S h =+=⨯+⨯=. 故该米斗的容积为32268cm . 故答案为：2268. 15. 【答案】①③④【分析】利用椭圆的对称性判断①；利用菱形的对角线互相垂直可判断②；利用正切函数的和差公式与性质判断③；利用斜率关系得到22||||OA OB +的表达式，然后利用基本不等式求22||||AC BD +的最大值，可判断④.【详解】因为四边形ABCD 是椭圆22:12x M y +=的内接四边形，AC 和BD 交于原点O ，由椭圆的对称性可知OA OC =且OB OD =， 所以四边形ABCD 是平行四边形，故①正确； 假设对角线AC 和BD 的斜率分别为12,k k ，若四边形ABCD 是菱形，则其对角线互相垂直，即121k k ，而这与1213k k ⋅=−矛盾，所以不存在四边形ABCD 是菱形，故②错误； 不妨设直线AC 的倾斜角为α，直线BD 的倾斜角为β，且αβ>， 则12tan ,tan 0k k αβ==>，又1213k k ⋅=−，则1213k k =−，则()122122tan tan 31tan tan 1tan tan 123k k AOD k k k k αβαβαβ⎛⎫−−∠=−===−− ⎪++⎝⎭3tan1202≤−⨯==︒，又0180AOD ︒<∠<︒，则90120AOD ︒<∠<︒， 所以存在四边形ABCD 使得91AOD ∠=︒，故③正确； 直线AC 的方程1y k x =，直线BD 的方程2y k x =，由12212y k xx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()12222k x x +=，即122122k x =+，可得1222212A C x k x =+=， 同理可得2222212B D x k x =+=，则()()122221222222121111112211||||22222k k k k OA OB k k +=+=++++++++，由1213k k ⋅=−，得222119k k =，令()22121,09k t k t t==>， 则22211119||||222221199t t t ttOA OB +=+++++=+++()()()9221192212332t t t t +−=+−++=++2552181321813116333355t t t t t ++++=+=+≤=+=， 当且仅当218t t =，即221211,33t k k ===时，等号成立；于是()()()22222264||||2||2||||||54AC BD OA OB OA OB +=≤=++，当且仅当221213k k ==，即四边形ABCD 矩形时，等号成立， 所以存在四边形ABCD 使得2264||||5AC BD +=，故④正确. 故答案为：①③④.【点睛】关键点睛：本题结论④的解决关键是利用弦长公式得到22||||AC BD +关于t 的表达式，从而利用基本不等式即可得解.三、解答题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16. 【答案】（1）圆心(2,0)C ，2r = （2）【分析】（1）由圆的方程得圆心坐标，结合图形，圆与y 轴相切得半径； （2）法一由弦长公式求解；法二利用几何法勾股定理求解. 【小问1详解】圆222:(2)(0)C x y r r −+=>，则圆心(2,0)C ，因为圆222:(2)(0)C x y r r −+=>与y 轴相切，则半径2r =. 【小问2详解】由（1）知，圆的方程为22:(2)4C x y −+=，圆心(2,0)C ，半径为2. 法一：设()()1122,,,A x y B x y ，联立()22341024x y x y −−=⎧⎪⎨−+=⎪⎩，得2257010x x −+=， 2(70)42548000∆=−−⨯=>，则1212141,525x x x x +==，所以12AB x =−=== 法二：圆心(2,0)C 到直线:3410l x y −−=的距离12d ==<，则AB ===故AB =.17. 【答案】（1）24x y =（2）k =【分析】（1）由直线l 与y 轴交点得焦点F ，待定p 可得方程；（2）联立直线l '与抛物线C 的方程，由已知弦长利用弦长公式建立关于k 的方程，求解可得. 【小问1详解】抛物线2:2C x py =的焦点F 在y 轴上，直线:1l y kx =+，令0x =，得1y =，则焦点(1,0)F ， 所以12p=，即2p =， 所以抛物线C 的方程为24x y =； 【小问2详解】直线:1l y kx =+向上平移5个单位得到:6l y kx '=+，由246x y y kx ⎧=⎨=+⎩，消y 得24240x kx −=， 设直线l '与C 交于两点1122(,),(,)M x y N x y ， 则216960k ∆=+>，且12124,24x x k x x +==−，MN =====，由24MN =，化简整理得427300k k +−=， 解得210k =−（舍）或23k =，所以k =.18. 【答案】（1）证明见解析（2 【分析】（1）由线面平行判定定理与性质定理可证；（2）建立空间直角坐标系，设[],0,1BM BE λλ=∈，利用法向量方法，用λ表示两平面法向量夹角的余弦，再由向量夹角与二面角大小关系求cos θ最大值. 【小问1详解】因为//AD BC ，AD ⊄平面BCE ，BC ⊂平面BCE ， 所以//AD 平面BCE .因为过AD 的平面分别与棱,EB EC 交于,M N ， 所以//AD MN ； 【小问2详解】因为⊥AE 平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， 所以,AE AB AE AD ⊥⊥， 又因为AB AD ⊥，如图，建立空间直角坐标系A xyz −，则(2,0,0),(2,0,2),(0,2,0),(0,0,1)B C E D ，所以(0,2,1),(2,2,2),(2,2,0),(0,0,1)ED EC BE AD =−=−=−=， 设[],0,1BM BE λλ=∈，则(2,0,0)(2,2,0)(22,2,0)AM AB BM λλλ=+=+−=−， 设平面AND 即平面AMND 的法向量为111(,,)m x y z =，则1110(22)20m AD z m AM x y λλ⎧⋅==⎪⎨⋅=−+=⎪⎩，令x λ=，则1y λ=−， 于是(,1,0)m λλ=−；设平面END 即平面ECD 的法向量为222(,,)n x y z =，则22222202220n ED y z n EC x y z ⎧⋅=−+=⎪⎨⋅=−+=⎪⎩，令21y =，则222,1z x ==−， 于是(1,1,2)n =−，所以cos ,6m n m n m n⋅===⋅⋅因为[]0,1λ∈，所以cos ,m n ⎡∈−⎢⎣⎦， 由二面角A DN E −−的大小为θ，根据(,1,0),(1,1,2)m n λλ=−=−的方向判断可得π,m n θ=−， 所以，当12λ=时，cos θ的最大值为3. 19. 【答案】（1） 22143x y +=（2） 存在；12【分析】（1）由离心率及顶点坐标结合222b c a +=即可求解；（2）结合两点式得直线,PA PB 方程，进而得到点,C D 坐标，由直线CH 与直线PB 垂直得到直线CH 的斜率，结合点斜式得直线CH 的方程，进而的到点H 坐标，结合数量积的坐标运算及二次函数的最值即可求解.【小问1详解】 由12ce a==，又两个顶点分别为(2,0),(2,0)A B −， 则2,1a c ==，2223b a c =−=，故椭圆E 的方程为22143x y +=；【小问2详解】()()000,0P x y y ≠为椭圆上的动点，则02x ≠±，故直线,PA PB 的斜率存在且不为0，则直线PA ：0022y x y x +=+，即00(2)2y y x x =++，则点0(,(2))2y C t t x ++， 则直线PB ：0022y x y x −=−，即00(2)2y y x x =−−，则点00(,(2))2yD t t x −−， 则直线CH 的斜率为002x y −，故直线CH ：00002(2)()2y x y t x t x y −−+=−+， 令0y =,得220(2)4H t y x t x +=+−， 又()00,P x y 在椭圆上，则2200143x y +=，整理得()2020344x y −=， 所以36(2)44H t x t t −=−+=，则6,04t H −⎛⎫⎪⎝⎭， 所以()22200020004(2)(2)3636(36),,4242164t y t y t y t t t HC HD x x x −⎛⎫⎛⎫+−+++⋅=⋅=+ ⎪ ⎪+−−⎝⎭⎝⎭()22234(36)3(6)1216416t t t −+−=−=−+综上，存在6t =，使得HC HD ⋅有最大值12.【点睛】按题意结合两点式，点斜式求得点坐标，结合数量积运算及二次函数的最值即可求，思路相对明确，运算要细心，是中档题.。
最新北京市海淀区高二上学期期末考试数学(文)试题(含答案)
海淀区高二年级第一学期期末练习数学（文科）20xx.01学校 班级 姓名 成绩一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）抛物线22y x =的准线方程是 （ ）（A ） 12y =-（B ）1y =- （C ）12x =-（D ）1x =-（2）若直线10x ay ++=与直线20x y ++=平行，则实数a = ( ) （A ）12-（B ）2- （C ）12（D ）2 （320y +-=与圆224x y +=相交所得的弦的长为 （ ）（A） （B） （C（D（4）已知双曲线221x ay -=的两条渐近线方程为y =?，那么此双曲线的虚轴长为（ ）（A） （B ）2 （C（D ）1（5）已知函数()f x 的导函数为'()f x ，那么“0'()0f x =”是“0x 是函数()f x 的一个极值点”的 （ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）已知命题:p 函数3()f x x =是增函数，命题:q x R $?，1x的导数大于0，那么 （ ） （A ）p q ∧是真命题 （B ）p q ∨是假命题 （C ）p ⌝是真命题 （D ）q ⌝是真命题（7）函数2e 1x y x =-的部分图象为 （ ）（B （C ） （D ）（8）在平面直角坐标系xOy 中，已知集合{}2()001x,y y x ,x ≤≤≤≤且所表示的图形的面积为31，若集合},1),{(≤-=x y y x M }1),{(2+≥=x y y x N ，则N M 所表示的图形面积为（ ） （A ）31 （B ）32 （C ）1 （D ）34二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上. （9）已知()cos f x x x =，则'()f x = .（10）过点(1,1)且与圆2220x x y -+=相切的直线的方程是 .（11）曲线2y ax b =+在1x =处的切线方程为41y x =-，则a =______，b =______.（12）已知抛物线C ：24y x =，O 为坐标原点，F 为C 的焦点，P 是C 上一点. 若OPF ∆是等腰三角形，则PO = .（13）已知点12,F F 是双曲线C 的两个焦点，过点2F 的直线交双曲线C 的一支于,A B 两点，若1ABF ∆为等边三角形，则双曲线C 的离心率为 . （14）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1CC 上的一个动点，平面1BED 交棱1AA 于点F ．给出下列四个结论：①存在点E ，使得11A C //平面1BED F ；F ED 1C 1B 1A 1DCBA②存在点E ，使得1B D ⊥平面1BED F ； ③对于任意的点E ，平面11A C D ⊥平面1BED F ； ④对于任意的点E ，四棱锥11B BED F -的体积均不变. 其中，所有正确结论的序号是___________．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题共11分）已知函数321()43f x x ax =-+，且2x =是函数()f x 的一个极小值点. （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）求)(x f 在区间[1,3]-上的最大值和最小值.(16)（本小题共11分）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于点P ，Q . （Ⅰ）若3PF =（点P 在第一象限），求直线l 的方程； （Ⅱ）求证：OP OQ ⋅为定值（点O 为坐标原点）.(17)（本小题共11分）已知椭圆M ：22221(0)x y a b a b+=>>经过点(1,)2--，(0,1). （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）设椭圆M 的左、右焦点分别为12,F F ，过点2F 的直线交椭圆M 于, A B 两点，求1ABF ∆面积的最大值.(18)（本小题共11分）已知函数22()2ln (0)f x x a x a =->. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）记函数()f x 的最小值为M ，求证：1M ≤.海淀区高二年级第一学期期末练习数学（文科）参考答案及评分标准 20xx ．01一. 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.（9）cos sin x x x - （10）10y -= （11）2，1（12）32或1 （13 （14）①③④ 注：（11）题每空2分；（12）题少一个答案扣2分.三.解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分11分）解：（Ⅰ）2'()2f x x ax =-. ………………………2分2x =是函数()f x 的一个极小值点，∴'(2)0f =.即440a -=，解得1a =. ………………………4分 经检验，当1a =时，2x =是函数()f x 的一个极小值点.∴ 实数a 的值为1. ………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，321()43f x x x =-+. 2'()2(2)f x x x x x =-=-.令'()0f x =，得0x =或2x =. ………………………6分 当x 在[1,3]-上变化时，()'(),f x f x 的变化情况如下：当1x =-或2x =时，()f x 有最小值83； 当0x =或3x =时，()f x 有最大值4. ………………………11分（16）（本小题满分11分）解：（Ⅰ）设00(,)P x y ，由题意，00x >且00y >. 点P 在抛物线C 上，且3PF =，∴点P 到准线1x =-的距离为3.∴013x +=，02x =. ………………………2分又2004y x =，00y >，∴0y =∴(2,P .(1,0)F ， ………………………4分∴直线l 的方程为1)y x =-，即y =-………………………5分（Ⅱ）由题意可设直线l 的方程为：1x my =+.由21,4x my y x=+⎧⎨=⎩得214y my =+，即2440y my --=. ………………………7分显然216160m ∆=+>恒成立.设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则12124,4.y y m y y +=⎧⎨⋅=-⎩ ………………………9分∴1212OP OQ x x y y ⋅=+1212(1)(1)my my y y =+++21212(1)()1m y y m y y =++++224(1)41m m =-+++3=-.即3OP OQ ⋅=-为定值. ………………………11分（17）（本小题满分11分）解：（Ⅰ）由题意1b =，椭圆M 的方程为2221(1)x y a a+=>. ………………………1分将点(1,-代入椭圆方程，得21112a +=，解得22a =. 所以 椭圆M 的方程为2212x y +=. ………………………3分 （Ⅱ）由题意可设直线AB 的方程为：1x my =+.由221,22x my x y =+⎧⎨+=⎩得22(2)210m y my ++-=.显然 2244(2)0m m ∆=++>.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1221222,21.2m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩………………………7分因为 1ABF ∆的面积12121||(||||)2S F F y y =+，其中120y y <. 所以 12121||||2S F F y y =-. 又22121212()()4y y y y y y -=+-22221422m m m --⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭22288(2)m m +=+，12(1,0),(1,0)F F -. ………………………9分 ∴2212()S y y =-2222211118[]8()222(2)22m m m =-=--+≤+++. 当0m =时，上式中等号成立.即当0m =时，1ABF ∆ ………………………11分（18）（本小题满分11分） 解：（Ⅰ）22()2ln (0)f x x a x a =->的定义域为(0,)+∞.22'()2a f x x x =-2222x a x -=2()()x a x a x+-=. ………………………2分 令'()0f x =，解得x a =或x a =-（舍）.当x 在(0,)+∞内变化时，()'(),f x f x 的变化情况如下：由上表知，()f x 的单调递增区间为(,)a +∞；()f x 的单调递减区间为(0,)a .………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 的最小值222ln M a a a =-. ………………………6分 令22()2ln (0)g x x x x x =->，则'()24ln 24ln g x x x x x x x =--=-.令'()0g x =，解得1x =. ………………………8分 当x 在(0,)+∞内变化时，()'(),g x g x 的变化情况如下：所以 函数()g x 的最大值为1，即()1g x ≤.因为0a >，所以 222ln 1M a a a =-≤. ………………………11分注：对于其它正确解法，相应给分.。
2023-2024学年北京市海淀区高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．椭圆y 22+x 2=1的焦点坐标为（ ） A ．（﹣1，0），（1，0）B ．（0，﹣1），（0，1）C ．（−√3，0），（√3，0）D ．(0，−√3)，(0，√3) 2．抛物线y 2＝x 的准线方程是（ ）A ．x =−12B ．x =−14C ．y =−12D ．y =−143．直线3x +√3y +1=0的倾斜角为（ ）A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°4．已知点P 与A （0，2），B （﹣1，0）共线，则点P 的坐标可以为（ ）A ．（1，﹣1）B ．（1，4）C ．(−12，−1)D ．（﹣2，1） 5．已知P 为椭圆C ：x 24+y 2b 2=1上的动点，A （﹣1，0），B （1，0），且|P A |+|PB |＝4，则b 2＝（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1⊥底面ABC ，则“CB ⊥BB 1”是“CB ⊥AB “的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．在空间直角坐标系O ﹣xyz 中，点P （﹣2，3，1）到x 轴的距离为（ ）A ．2B ．3C ．√5D ．√10 8．已知双曲线C ：x 2−y 2b 2=1的左右顶点分别为A 1，A 2，右焦点为F ，以A 1F 为直径作圆，与双曲线C 的右支交于两点P ，Q ．若线段PF 的垂直平分线过A 2，则b 2的数值为（ ）A ．3B ．4C ．8D ．910．如图，已知菱形ABCD 的边长为2，且∠A ＝60°，E ，F 分别为棱AB ，DC 中点．将△BCF 和△ADE 分别沿BF ，DE 折叠，若满足AC ∥平面DEBF ，则线段AC 的取值范围为（ ）A ．[√3，2√3）B ．[√3，2√3]C ．[2，2√3)D ．[2，2√3]二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。
北京市海淀区2023-2024学年高二上学期期末练习数学试卷含答案
海淀区高二年级练习数学（答案在最后）2024.01考生须知1．本试卷共7页，共3道大题，19道小题．满分100分．考试时间90分钟．2．在试卷上准确填写学校名称、班级名称、姓名．3．答案一律填涂或书写在试卷上，用黑色字迹签字笔作答．4．考试结束，请将本试卷交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.椭圆C ：2222x y +=的焦点坐标为（）A.(1,0)-，(1,0) B.(0,1)-，(0,1)C.()，)D.(0,，(【答案】B 【解析】【分析】先化为标准方程2212y x +=，求得222,1,1a b c ====，判断焦点位置，写焦点坐标.【详解】因为椭圆C ：2222x y +=，所以标准方程为2212y x +=，解得222,1,1a b c ===，因为焦点在y 轴上，所以焦点坐标为(0,1)-，(0,1).故选：B【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.2.抛物线2y x =的准线方程是（）A.12x =-B.14x =-C.12y =-D.14y =-【答案】B 【解析】【分析】由抛物线的标准方程及性质，直接求解.【详解】由抛物线方程2y x =可知1212p p ==，，故准线方程为：124p x =-=-.故选：B.3.直线310x ++=的倾斜角是（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】C 【解析】【分析】先求解出直线的斜率，然后根据倾斜角与斜率的关系求解出倾斜角的大小.【详解】因为直线方程为310x +=，所以斜率k ==设倾斜角为θ，所以tan θ=，所以120θ=°，故选：C.4.已知点P 与(0,2),(1,0)A B -共线，则点P 的坐标可以为（）A.(1,1)- B.(1,4)C.1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭D.(2,1)-【答案】B 【解析】【分析】三点共线转化为向量共线，利用共线条件逐个判断即可.【详解】设(,)P x y ，则(,2),(1,2)AP x y AB =-=--，由,,P A B 三点共线，则//AP AB，所以2(2)0x y -+-=，则220x y -+=.选项A ，21(1)250⨯--+=≠，不满足220x y -+=，故A 错误；选项B ，21420⨯-+=，满足220x y -+=，故B 正确；选项C ，12(1)2202⎛⎫⨯---+=≠ ⎪⎝⎭，不满足220x y -+=，故C 错误；选项D ，2(2)1230⨯--+=-≠，不满足220x y -+=，故D 错误.故选：B.5.已知P 为椭圆222:14x y C b+=上的动点．(1,0),(1,0)A B -，且||||4PA PB +=，则2b =（）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合椭圆的定义，得到点P 的轨迹表示以,A B 为焦点的椭圆，进而求得2b 的值.【详解】因为(1,0),(1,0)A B -，可得2AB =，则||||42A PA PB B +>==，由椭圆的定义，可得点P 的轨迹表示以,A B 为焦点的椭圆，其中24,21a c ==，可得2,1a c ==，所以2223b a c =-=，又因为点P 在椭圆222:14x y C b+=，所以23b =.故选：C.6.已知三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ⊥底面ABC ，则“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由面面垂直的性质定理可证明“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的必要条件，由底面为正三角形的直三棱柱模型，可知“1CB BB ⊥”不是“CB AB ⊥”的充分条件.【详解】①已知侧面11ABB A ⊥底面ABC ，且侧面11ABB A 底面ABC AB =，又BC ⊂平面ABC ，若BC AB ⊥，则由面面垂直的性质定理可得BC ⊥平面11ABB A ，1BB ⊂平面11ABB A ，则1CB BB ⊥，所以则“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的必要条件；②若三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，底面ABC 是正三角形，则1BB ⊥底面ABC ，1BB ⊂平面11ABB A ，则满足条件侧面11ABB A ⊥底面ABC .又BC ⊂平面ABC ，则1CB BB ⊥，但BC 与AB 不垂直.所以“1CB BB ⊥”不是“CB AB ⊥”的充分条件.综上所述，“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的必要不充分条件.故选：B.7.在空间直角坐标系O xyz -中，点(2,3,1)-P 到x 轴的距离为（）A.2B.3C.D.【答案】D 【解析】【分析】结合空间直角坐标系，数形结合利用勾股定理求解点(2,3,1)-P 到x 轴的距离.【详解】在空间直角坐标系O xyz -中，过P 作PH ⊥平面xOy ，垂足为H ，则PH x ⊥轴，在坐标平面xOy 内，过H 作1HP x ⊥轴，与x 轴交于1P ，由(2,3,1)-P ，则1(2,0,0)P -，(2,3,0)H -，由1PH HP H = ，PH ⊂平面1PHP ，1HP ⊂平面1PHP ，则x 轴⊥平面1PHP ，1PP ⊂平面1PHP ，则x 轴1PP ⊥，故1PP即点(2,3,1)-P 到x 轴的距离，则1PP ==故选：D.8.已知双曲线222:1y C x b-=的左右顶点分别为12,A A ，右焦点为F ，以1A F 为直径作圆，与双曲线C 的右支交于两点,P Q ．若线段PF 的垂直平分线过2A ，则2b 的数值为（）A.3B.4C.8D.9【答案】C 【解析】【分析】由双曲线方程得1a =，结合圆的性质及线段垂直平分线的性质得2A 是1A F 的中点，得到,a c 关系求c ，进而求出2b .【详解】由双曲线222:1y C x b-=，得1a =，12(1,0),(1,0),(,0)A A F c -，由题意，点P 在以1A F 为直径的圆上，则1A P PF ⊥，取PF 的中点M ,由线段PF 的垂直平分线过2A ，则2A M PF ⊥，则12//A P A M ，故2A 是1A F 的中点，122A A A F=且12222,1A A a A F c a c ===-=-，所以12c -=，解得3c =，故222918b c a =-=-=.故选：C.9.设动直线l 与()22:15C x y ++= 交于,A B 两点．若弦长AB 既存在最大值又存在最小值，则在下列所给的方程中，直线l 的方程可以是（）A.2x y a +=B.2ax y a +=C.2ax y +=D.x ay a+=【答案】D 【解析】【分析】由动直线恒与圆相交得直线过圆内一定点，再验证弦长取最值即可.【详解】()22:15C x y ++= ，圆心(1,0)C -，半径5r =，选项A ，由直线2x y a +=斜率为12-，可得动直线为为平行直线系，圆心(1,0)C -到直线20x y a +-=的距离15a d --=当6a ≤-或4a ≥时，5d ≥A 错误；选项B ，由直线2ax y a +=可化为(2)0a x y -+=，则直线恒过(2,0)，因为()2215+>，点(2,0)在圆外，故直线不一定与圆相交，故B 错误；选项C ，由直线2ax y +=恒过(0,2)，点(0,2)在圆上，当12a =时，直线方程可化为240x y +-=，此时圆心(1,0)C -到直线240x y +-=的距离1455d r --===，圆与直线相切，不满足题意，故C 错误；选项D ，由直线方程x ay a +=可化为(1)0x a y +-=，则直线恒过(0,1)M ，且点M 在圆C 内，故直线恒与圆C 相交，当直线过圆心C 时，弦长最长，由(1,0)-在直线(1)0x a y +-=上，可得1a =-，AB 取到最大值；如图，取AB 中点T ，则CT AB ⊥，圆心到直线的距离d CT CM=≤AB ==，当d 取最大值CM 时，弦长最短，即当直线与CM 垂直时，弦长最短，由CM 的斜率为01110CM k -==--此时直线斜率为11k a==，即当1a =时，AB 取到最小值.故D 正确.故选：D.10.如图，已知菱形ABCD 的边长为2，且60,,A E F ∠=︒分别为棱,AB DC 中点．将BCF △和ADE V 分别沿,BF DE 折叠，若满足//AC 平面DEBF ，则线段AC 的取值范围为（）A. B. C.2,⎡⎣ D.2,⎡⎣【答案】A 【解析】【分析】借助空间直观想象，折叠前在平面图形中求出AC 的长度，折叠过程中证明平面//EAB 平面FDC ，面面距离即为AC 的最小值，由此得到AC 的范围.【详解】折叠前，连接,AC BD .由题意，在菱形ABCD 中，2AB BC ==，18060120ABC ∠=-= ，则由余弦定理得，22212cos 44222122AC AB BC AB BC ABC ⎛⎫=+-⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以，AC =，故在折叠过程中，AC ≤.折叠后，若//AC 平面DEBF ，则AC ⊄平面DEBF ，则AC <BD 项错误；折叠前，在菱形ABCD 中，2BA BD ==，60DAB ∠= ，则ABD △是正三角形，由,E F 分别为棱,AB DC 中点，则,,//DE AB BF DC AB DC ⊥⊥，所以//DE BF .折叠后，,,DE AE DE EB AE EB E ⊥⊥= ，又AE ⊂平面EAB ，且EB ⊂平面EAB ，则DE ⊥平面EAB ，同理BF ⊥平面FDC ，所以平面//EAB 平面FDC ，则平面EAB 与平面FDC 的距离即为22DE =⨯=，由点A ∈平面EAB ，点C ∈平面FDC ，则AC ≥.在折叠过程中，当60DFC AEB ∠=∠= 时，由,AE EB DF FC ==，则,EBA DFC 均为正三角形，可构成如图所示的正三棱柱DFC EBA -，满足//AC 平面DEBF ，此时AC DE ==.所以AC A 正确，C 项错误.故选：A.第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．11.双曲线22:14y C x -=的渐近线方程为_________．【答案】2y x =±【解析】【分析】利用双曲线的性质即可求得渐近线方程.【详解】由双曲线的相关知识可知：1a =，2b =所以焦点在x 轴双曲线的渐近线方程为：2by x x a=±=±故答案为：2y x=±12.如图，已知E ，F 分别为三棱锥D ABC -的棱,AB DC 的中点，则直线DE 与BF 的位置关系是__________（填“平行”，“异面”，“相交”）．【答案】异面【解析】【分析】假设共面推出矛盾.【详解】假设直线,DE BF 共面，EB ⊂平面DEBF ，由A EB ∈，则AB ⊂平面DEBF ，同理，DC ⊂平面DEBF ，故,AB CD 共面，这与D ABC -是三棱锥矛盾，故假设错误，故直线,DE BF 异面.故答案为：异面.13.经过点(0,1)A 且与直线:210l x y +-=垂直的直线方程为_______________．【答案】210x y -+=【解析】【分析】求出所求直线的斜率，利用点斜式方程可得出所求直线的方程.【详解】直线:210l x y +-=的斜率为12-，则与直线:210l x y +-=垂直的直线的斜率为2，则直线方程为12(0)y x -=-，即210x y -+=.故答案为：210x y -+=14.作为我国古代称量粮食的量器，米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味．右图是一件清代老木米斗，可以近似看作正四棱台，测量得其内高为12cm ，两个底面内棱长分别为18cm 和9cm ，则估计该米斗的容积为__________3cm ．【答案】2268【解析】【分析】先画出正四棱台的直观图，再利用台体的体积公式即可求解.【详解】根据题意，正四棱台的直观图如下：由题意可知，高112cm OO h ==，下底面正方形的变长9cm AB =，其面积()219981cmS =⨯=，上底面正方形的变长18cm AB =，其面积()221818324cm S =⨯=，由台体的体积公式可得，该正四面体的体积:()()()3121181324122268cm 33V S S h =++=⨯++⨯=.故该米斗的容积为32268cm .故答案为：2268.15.已知四边形ABCD 是椭圆22:12x M y +=的内接四边形，其对角线AC 和BD 交于原点O ，且斜率之积为13-．给出下列四个结论：①四边形ABCD 是平行四边形；②存在四边形ABCD 是菱形；③存在四边形ABCD 使得91AOD ∠=︒；④存在四边形ABCD 使得2264||||5AC BD +=．其中所有正确结论的序号为__________．【答案】①③④【解析】【分析】利用椭圆的对称性判断①；利用菱形的对角线互相垂直可判断②；利用正切函数的和差公式与性质判断③；利用斜率关系得到22||||OA OB +的表达式，然后利用基本不等式求22||||AC BD +的最大值，可判断④.【详解】因为四边形ABCD 是椭圆22:12x M y +=的内接四边形，AC 和BD 交于原点O ，由椭圆的对称性可知OA OC =且OB OD =，所以四边形ABCD 是平行四边形，故①正确；假设对角线AC 和BD 的斜率分别为12,k k ，若四边形ABCD 是菱形，则其对角线互相垂直，即121k k ×=-，而这与1213k k ⋅=-矛盾，所以不存在四边形ABCD 是菱形，故②错误；不妨设直线AC 的倾斜角为α，直线BD 的倾斜角为β，且αβ>，则12tan ,tan 0k k αβ==>，又1213k k ⋅=-，则1213k k =-，则()122122tan tan 31tan tan 1tan tan 123k k AOD k k k k αβαβαβ⎛⎫--∠=-===-- ⎪++⎝⎭3tan1202≤-⨯=︒，又0180AOD ︒<∠<︒，则90120AOD ︒<∠<︒，所以存在四边形ABCD 使得91AOD ∠=︒，故③正确；直线AC 的方程1y k x =，直线BD 的方程2y k x =，由12212y k xx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22122x k x +=，即122122k x =+，可得1222212A C x k x =+=，同理可得2222212B D x k x =+=，则()()22122222221212212111||221212121k kOA OB k k k k +++=+=++++++，由1213k k ⋅=-，得222119k k =，令()22121,09k t k t t==>，则22211119||||222221199t t t ttOA OB +=+++++=+++()()()92221123321922192t t t t t t +-+-=++=+++++2552181321813116333355t t t t t ++++=+=+≤++=，当且仅当218t t =，即221211,33t k k ===时，等号成立；于是()()()22222264||224||5AC BD OA OB OA OB +=+=+≤，当且仅当221213k k ==，即四边形ABCD 矩形时，等号成立，所以存在四边形ABCD 使得2264||||5AC BD +=，故④正确.故答案为：①③④.【点睛】关键点睛：本题结论④的解决关键是利用弦长公式得到22||||AC BD +关于t 的表达式，从而利用基本不等式即可得解.三、解答题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16.已知圆222:(2)(0)C x y r r -+=>与y 轴相切．（1）直接写出圆心C 的坐标及r 的值；（2）直线:3410l x y --=与圆C 交于两点,A B ，求||AB ．【答案】（1）圆心(2,0)C ，2r =（2）【解析】【分析】（1）由圆的方程得圆心坐标，结合图形，圆与y 轴相切得半径；（2）法一由弦长公式求解；法二利用几何法勾股定理求解.【小问1详解】圆222:(2)(0)C x y r r -+=>，则圆心(2,0)C ，因为圆222:(2)(0)C x y r r -+=>与y 轴相切，则半径2r =.【小问2详解】由（1）知，圆的方程为22:(2)4C x y -+=，圆心(2,0)C ，半径为2.法一：设()()1122,,,A x y B x y ，联立()22341024x y x y --=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，得2257010x x -+=，2(70)42548000∆=--⨯=>，则1212141,525x x x x +==，所以12AB x=-===法二：圆心(2,0)C到直线:3410l x y--=的距离12d==<，则AB===故AB=.17.已知直线:1l y kx=+经过抛物线2:2C x py=的焦点F，且与C的两个交点为P，Q．（1）求C的方程；（2）将l向上平移5个单位得到,l l''与C交于两点M，N．若24MN=，求k值．【答案】（1）24x y=（2）k=【解析】【分析】（1）由直线l与y轴交点得焦点F，待定p可得方程；（2）联立直线l'与抛物线C的方程，由已知弦长利用弦长公式建立关于k的方程，求解可得.【小问1详解】抛物线2:2C x py=的焦点F在y轴上，直线:1l y kx=+，令0x=，得1y=，则焦点(1,0)F，所以12p=，即2p=，所以抛物线C的方程为24x y=；【小问2详解】直线:1l y kx=+向上平移5个单位得到:6l y kx'=+，由246x y y kx ⎧=⎨=+⎩，消y 得24240x kx --=，设直线l '与C 交于两点1122(,),(,)M x y N x y ，则216960k ∆=+>，且12124,24x x k x x +==-，MN =====，由24MN =，化简整理得427300k k +-=，解得210k =-（舍）或23k =，所以k =.18.如图，四棱锥E ABCD -中，⊥AE 平面,,,2,1ABCD AD AB AD BC AE AB BC AD ⊥====∥，过AD 的平面分别与棱,EB EC 交于点M ，N ．（1）求证：AD MN ∥;（2）记二面角A DN E --的大小为θ，求cos θ的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）33【解析】【分析】（1）由线面平行判定定理与性质定理可证；（2）建立空间直角坐标系，设[],0,1BM BE λλ=∈，利用法向量方法，用λ表示两平面法向量夹角的余弦，再由向量夹角与二面角大小关系求cos θ最大值.【小问1详解】因为//AD BC ，AD ⊄平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，所以//AD 平面BCE .因为过AD 的平面分别与棱,EB EC 交于,M N ，所以//AD MN ；【小问2详解】因为⊥AE 平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以,AE AB AE AD ⊥⊥，又因为AB AD ⊥，如图，建立空间直角坐标系A xyz -，则(2,0,0),(2,0,2),(0,2,0),(0,0,1)B C E D ，所以(0,2,1),(2,2,2),(2,2,0),(0,0,1)ED EC BE AD =-=-=-=，设[],0,1BM BE λλ=∈，则(2,0,0)(2,2,0)(22,2,0)AM AB BM λλλ=+=+-=-，设平面AND 即平面AMND 的法向量为111(,,)m x y z =，则1110(22)20m AD z m AM x y λλ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1x λ=，则11y λ=-，于是(,1,0)m λλ=-；设平面END 即平面ECD 的法向量为222(,,)n x y z =，则22222202220n ED y z n EC x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令21y =，则222,1z x ==-，于是(1,1,2)n =-，所以cos ,m nm n m n ⋅===⋅，因为[]0,1λ∈，所以cos ,,36m n ⎡∈--⎢⎣⎦，由二面角A DN E --的大小为θ，根据(,1,0),(1,1,2)m n λλ=-=- 的方向判断可得π,m n θ=-，所以，当12λ=时，cos θ的最大值为33.19.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的两个顶点分别为(2,0),(2,0)A B -，离心率()()0001,,02e P x y y =≠为椭圆上的动点，直线,PA PB 分别交动直线x t =于点C ，D ，过点C 作PB 的垂线交x 轴于点H ．（1）求椭圆E 的方程；（2）HC HD ⋅是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．【答案】19.22143x y +=20.存在；12【解析】【分析】（1）由离心率及顶点坐标结合222b c a +=即可求解；（2）结合两点式得直线,PA PB 方程，进而得到点,C D 坐标，由直线CH 与直线PB 垂直得到直线CH 的斜率，结合点斜式得直线CH 的方程，进而的到点H 坐标，结合数量积的坐标运算及二次函数的最值即可求解.【小问1详解】由12ce a==，又两个顶点分别为(2,0),(2,0)A B -，则2,1a c ==，2223b a c =-=，故椭圆E 的方程为22143x y +=；【小问2详解】()()000,0P x y y ≠为椭圆上的动点，则02x ≠±，故直线,PA PB 的斜率存在且不为0，则直线PA ：0022y x y x +=+，即00(2)2y y x x =++，则点00(,(2))2y C t t x ++，则直线PB ：0022y x y x -=-，即00(2)2y y x x =--，则点00(,(2))2y D t t x --，则直线CH 的斜率为002x y -，故直线CH ：00002(2)()2y x y t x t x y --+=-+，令0y =,得2020(2)4H t y x t x +=+-，又()00,P x y 在椭圆上，则2200143x y +=，整理得()2020344x y -=，所以36(2)44H t x t t -=-+=，则6,04t H -⎛⎫⎪⎝⎭，所以()22200020004(2)(2)3636(36),,4242164t y t y t y t t t HC HD x x x -⎛⎫⎛⎫+-+++⋅=⋅=+ ⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭ ()22234(36)3(6)1216416t t t -+-=-=-+综上，存在6t =，使得HC HD ⋅有最大值12.确，运算要细心，是中档题.。
【精品高二数学期末】2018-2019海淀区高二年级第一学期期末数学练习+答案(文)
海淀区高二年级第一学期期末练习数 学 （文科） 2019.1学校 班级 姓名 成绩本试卷共100分．考试时间90分钟．一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线210x y +-=在y 轴上的截距为（ ）A ．2- B. 1- C. 12- D. 12．双曲线22:1169x y C -=的渐近线方程为（ ）A ．34y x =± B. 43y x =± C. 916y x =± D. 169y x =±3. 已知圆 22310x y x m +-++=经过原点，则实数m 等于（ ）A ．32- B. 1- C. 1 D. 324. 鲁班锁是曾广泛流传于民间的智力玩具，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，不用钉子和绳子，完全靠自身结构的连接支撑. 它看似简单，却凝结着不平凡的智慧. 下图为鲁班锁的其中一个零件的三视图，则它的体积为（ ） A. 32 B. 34C. 36D. 405. 椭圆22:11612x y C +=的焦点为1F ，2F ，若点M 在C 上且满足122MF MF -=，则12F MF ∆中最大角为（ ）A. 90︒B. 105︒C. 120︒D. 150︒ 6. “0m <”是“方程22x my m +=表示双曲线”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件12244俯视图C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7. 已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，下面说法正确的是（ ）A. m m n n αβαβ⊥⎫⎪⊂⇒⊥⎬⎪⊂⎭B. m m n n αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪⊂⎭C.m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭D. mm αββα⎫⇒⎬⊂⎭8． 在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为BC 中点，点Q 为线段1AD （与1,A D 不重合）上一动点. 给出如下四个推断： ① 对任意的Q ，1A Q 平面11B BCC② 存在点Q ，使得11AQ B P③ 对任意的Q ，11B Q AC ⊥ 则上面推断中所有正确．．的为（ ） A. ① ② B. ② ③ C. ① ③ D. ① ② ③ 二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9．直线:10l x y +-=的倾斜角为____, 经过点(1,1)且与直线l 平行的直线方程为_____． 10. 抛物线24y x =的焦点坐标为____，点(4,4)到其准线的距离为____. 11．请从正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点中，找出4个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的4个面都是直角三角形，则这4个点 可以是_________. (只需写出一组)12. 直线10x y +-= 被圆221x y += 截得的弦长为_______. 13. 已知椭圆和双曲线的中心均为原点，且焦点均 在轴上，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于右表中, 则双曲线的离心率为_______.14．曲线W3=.① 请写出曲线W 的一条对称轴方程______________； ② 请写出曲线W 上的两个点的坐标______________； ③ 曲线W 上的点的纵坐标的取值范围是____________.1C 2C x1A 1D 1C 1A 1B 1DA BC三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的半径为1，其圆心在射线(0)y x x ≥上，且OC （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l 过点(1,0)P 且与圆C 相切，求直线l 的方程.如图，在三棱锥P ABC -中，PB PC =，AB AC =，且点D ，E 分别是BC ，PB 的中点． （Ⅰ）求证：//DE 平面PAC ； （Ⅱ）求证：BC ⊥PA ．EDCBAPC如图，平面ABCF ⊥平面FCDE ，四边形ABCF 和FCDE 是 全等的等腰梯形，其中ABFC ED ，且122AB BC FC ===，点O 为FC 的中点，点G 是AB 的中点. （Ⅰ）求证：直线OG ⊥平面FCDE ；（Ⅱ）请在图中所给的点中找出两个点，使得这两点所在直线与平面EGO 垂直，并给出证明．．； （Ⅲ）在线段CD 上是否存在点H ，使得BH 平面EGO ？如果存在，求出DH 的长度，如果不存在，请说明理由.18．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左，右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为A ，12AF F ∆是斜边长为 （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）直线y x m =+与椭圆C 交于不同两点,P Q .(i)当1m =时，求线段PQ 的长度；(ii)是否存在m ，使得43OPQ S ∆=？ 若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．海淀区高二年级第一学期期末练习数 学（文科）参考答案及评分标准2019.1一. 选择题:本大题共8小题, 每小题4分,共32分.二.填空题：本大题共6小题, 每小题4分, 共24分.9.3π4，20x y +-= 10. (1,0),5 11. 1,,,A A B C （此答案不唯一）12. 13.14. ① 0x =（或0y =） ② (0,2),(0,2)- 此答案不唯一 ③ [2,2]-说明：9，10题每空2分， 14题中 ① ②空 各给1分，③给2分 三. 解答题:本大题共4小题,共44分. 15.（本小题满分10分）解: （I ）设圆心(,)C a a ，则 OC = …………………1分解得2a =，2a =-（舍掉） …………………2分 所以圆22:(2)(2)1C x y -+-= …………………4分 （Ⅱ）① 若直线l 的斜率不存在，直线l ：1x =，符合题意 …………………5分 ② 若直线l 的斜率存在，设直线l 为(1)y k x =-，即 0kx y k --= …………………6分由题意,圆心到直线的距离1d ==， …………………8分解得34k =…………………9分 所以直线l 的方程为3430x y --= …………………10分综上所述，所求直线l 的方程为1x =或3430x y --=．16．（本小题满分10分）解: （Ⅰ）证明：在PBC ∆中，因为D ，E 分别是BC ，PB 的中点 ,所以 //DE PC …………………1分 因为 DE ⊄平面PAC ，PC ⊂平面PAC …………………3分说明：上面两个必须有，少一个扣1分.所以 //DE 平面PAC ． …………………4分 （Ⅱ）证明：因为 PB PC =，AB AC =，D 是BC 的中点,C因为 PDAD D =，,PD AD ⊂平面PAD …………………8分所以 BC ⊥平面PAD …………………9分 因为 BC ⊂平面ABC所以 平面ABC ⊥平面PAD …………………10分17.（本小题满分12分）解：（Ⅰ） 因为四边形ABCF 是等腰梯形，点O 为FC 的中点，点G 是AB 的中点所以OG FC ⊥ …………………1分 又平面ABCF ⊥平面FCDE ，平面ABCF平面FCDE FC =………………3分所以OG ⊥平面FCDE …………………4分 （II ） ,F D 点为所求的点因为FD ⊂平面FCDE , 所以OG ⊥FD …………………5分又EDFO ，且EF ED =，所以EFOD 为菱形 …………………6分所以FD EO ⊥ …………………7分 因为EO OG O =，所以FD ⊥平面EGO …………………8分 （Ⅲ）假设存在点H ，使得BH 平面EOG …………………9分由EDOC ，所以EOCD 为平行四边形，所以EO DC …………………10分因为EO ⊂平面EOG又BH DC H =，所以平面EOG平面BCD ，所以BC平面EOG ，所以BCOG ，所以GBCO 为平行四边形，所以 GB CO = ，矛盾， 所以不存在点H ，使得BH平面EOG …………………12分18．（本小题满分12分）解: （I）由题意，12F F =b c = …………………1分所以2b c a === …………………3分椭圆C 的标准方程为22142x y += …………………4分 （II ）把直线1l 和椭圆的方程联立22142x y y x m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩ 2234240x mx m ++-= …………………5分当1m =时，有23420x x +-=，1243x x +=-， 1223x x =-…………………6分 所以12|||PQ x x -=…………………8分 （Ⅲ）假设存在m ，使得43OPQ S ∆=.因为12|||PQ x x -= …………………9分 点O 到直线y x m =+的距离为d = …………………10分所以114||223OPQ S PQ d ∆=⋅== 所以42680m m -+=，解得2,m =± …………………11分 代入221612(24)0,m m ∆=-->m=±均符合题意…………………12分说明：所以2,解答题有其它正确解法的请酌情给分.。
北京市海淀区高二数学上学期期末练习试题 文
海淀区高二年级第一学期期末练习数学（文科）学校班级姓名成绩本试卷共100分.考试时间90分钟.一、选择题：本大题共8小题, 每小题4分,共32分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.直线2y x =+的倾斜角是（）A.π6 B.π4 C. 2π3 D.3π42. 焦点在x 轴上的椭圆2213x ym +=的离心率是12，则实数m 的值是（）A.4B.94C. 1D.343. 一个空间几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积为（） A. 8 B. 83 C.163D. 6 4. 已知圆22:1O x y +=，直线:3430l x y +-=，则直线l 被圆O 所截的弦长为（） A.65 B. 1 C.85D.2 5. 命题“0k ∃>，使得直线2y kx =-的图象经过第一象限”的否定是（） A. 0k ∃>，使得直线2y kx =-的图象不经过第一象限 B. 0k ∃≤，使得直线2y kx =-的图象经过第一象限 C. 0k ∀>，使得直线2y kx =-的图象不经过第一象限 D. 0k ∀≤，使得直线2y kx =-的图象不经过第一象限6.已知等差数列{}n a ，则“21a a >”是“数列{}n a 为单调递增数列”的（） A. 充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.已知正四面体A BCD -的棱长为2，点E 是AD 的中点，则下面四个命题中正确的是（） A. F BC ∀∈，EF AD ⊥ B. F BC ∃∈，EF AC ⊥C. F BC ∀∈，EF ≥ D. F BC ∃∈，EF AC ∥8.已知曲线||1W y =, 则曲线W 上的点到原点距离的最小值是（） A.12B.2C.21二、填空题：本大题共6小题, 每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上. 9.已知直线10x ay --=与直线y ax =平行，则实数___.a =10.双曲线221169x y -=的渐近线方程为________________.11.椭圆2212516x y +=上一点P 到一个焦点的距离为4，则P 到另一个焦点的距离是_______.12.已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左右焦点分别为12,F F ，若等边12P F F △的一个顶点P在椭圆C 上，则椭圆C 的离心率为______.13. 已知平面αβ⊥，且l αβ=I ，在l 上有两点,,A B 线段AC α⊂， 线段BD β⊂，, AC l ⊥, BD l ⊥ 4, 3, 12, AB AC BD === 则线段CD 的长为_____.14. 已知点(1,0)A -, 抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 在抛物线上，且|||AP PF =，则||___.OP =三、解答题:本大题共4小题,共44分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.（本小题共10分）已知点(0,2)A , 圆22:1O x y +=.( I ) 求经过点A 且与圆O 相切的直线方程；( II ) 若点P 是圆O 上的动点，求OA AP ⋅u u u r u u u r的取值范围.16.（本小题共12分）已知直线:l y x t =+与椭圆22:22C x y +=交于,A B 两点.( I ) 求椭圆C 的长轴长和焦点坐标；( II )若||AB =，求t 的值.17.（本小题共12分）如图所示的几何体中，直线AF ⊥平面ABCD ，且ABCD 为正方形，ADEF 为梯形，DE AF ∥，又1AB =，2=2AF DE a =.( I ) 求证：直线CE ∥平面ABF ； ( II ) 求证：直线BD ⊥平面ACF (Ⅲ) 若直线AE CF ⊥，求a 的值.18.（本小题共10分）已知椭圆22143x y +=，经过点(0,3)A 的直线与椭圆交于,P Q 两点.( I ) 若||||PO PA =，求点P 的坐标；( II ) 若=OAP OPQ S S △△，求直线PQ 的方程.海淀区高二年级第一学期期末练习数学（文科） 参考答案及评分标准2015.1一. 选择题:本大题共8小题, 每小题4分,共32分.二.填空题：本大题共6小题, 每小题4分,共24分. 9. 1或1- 10.34y x =或34y x =- 11. 612.1213. 13说明：9，10题每个答案两分，丢掉一个减两分 三.解答题:本大题共4小题,共44分. 15. （本小题满分10分）解:（I ）由题意知道，所求直线的斜率存在，设切线方程为2y kx =+,即20kx y -+=，-------------1分 所以圆心O 到直线的距离为d =，-------------3分所以1d ==，解得k =, -------------4分所求的直线方程为2y =+或2y =+. -------------5分 （II ）设点(,)P x y ，所以 (0,2)OA =u u u r ，(,2)AP x y =-u u u r，-------------6分 所以 2(2)OA AP y ⋅=-u u u r u u u r.-------------7分又因为22=1x y +，所以11y -≤≤, -------------9分 所以[6,2]OA AP ⋅∈--u u u r u u u r. -------------10分16．（本小题满分12分）解:（I ）因为2222x y +=,所以2212x y +=，-------------1分所以1a b ==，所以1c =, -------------3分所以长轴为2a =焦点坐标分别为12(1,0),(1,0)F F -. -------------4分 （II ）设点1122(,),(,)A x y B x y .因为22220x y y x t ⎧+-=⎨=+⎩, 消元化简得2234+220x tx t +-=, -------------6分所以222122121612(22)=24804+3223t t t t x x t x x ⎧⎪∆=--->⎪-⎪=⎨⎪⎪-=⎪⎩-------------8分所以12||AB x x -=-------------10分又因为|AB，解得1t =±. -------------12分 17.（本小题满分12分）解: （I ）因为ABCD 为正方形，所以AB CD P . -------------1分 又DE AF ∥，且,AB AF A CD DE D ==I I .所以平面ABF ∥平面DCE . -------------3分 而CE ⊂平面EDC ,所以CE ∥平面ABF . -------------4分 (II) 因为ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥-------------5分 因为直线AF ⊥平面ABCD ， 所以AF BD ⊥，-------------6分 因为AF AC A =I ,所以直线BD ⊥平面ACF . -------------8分 (Ⅲ)连接FD .因为直线AF ⊥平面ABCD ， 所以AF CD ⊥，又CD AD ⊥, AD AF A =I所以CD ⊥平面ADEF ，-------------9分 所以CD AE ⊥.又AE CF ⊥, FC CD C =I , 所以AE ⊥平面FCD ，所以AE FD ⊥. -------------11分所以π2EAD FDA ∠+∠=, 所以11tan 1tan 2a EAD EAD a∠===∠解得a =-------------12分18．（本小题满分10分）解:（I ）设点11(,)P x y , 由题意||||PO PA =, 所以点P 在OA 的中垂线上，而OA 的中垂线为32y =, 所以有132y =.-------------2分 把其代入椭圆方程，求得11x =±.所以3(1,)2P 或3(1,)2P -. -------------4分 (II) 设22(,)Q x y .根据题意，直线PQ 的斜率存在， 设直线PQ 的方程为3y kx =+,所以22341203x y y kx ⎧+-=⎨=+⎩.消元得到22(34)24240k x kx +++=,所以22122122(24)96(34)024+342434k k k x x k x x k ⎧⎪∆=-+>⎪-⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩-------------6分 因为=OAP OPQ S S △△，所以=2OAQ OPQ S S △△, 即1211||||=2||||22OA x OA x ⋅-------------7分 所以有12||=2||x x ，-------------8分 因为12224034x x k =>+,所以12x x ，同号，所以122x x =.所以12122122224342434x x k x x k x x k ⎧⎪=⎪-⎪+=⎨+⎪⎪=⎪+⎩，-------------9分 解方程组得到32k =±, 经检验，此时0∆>, 所以直线PQ 的方程为332y x =+，或332y x =-+. -------------10分法二：设22(,)Q x y ，因为=OAP OPQ S S △△，所以||||AP PQ =. -------------6分 即点P 为线段OQ 的中点，所以2121=2, 23x x y y =-. -------------7分 把点,P Q 的坐标代入椭圆方程得到22112211143(2)(23)143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨-⎪+=⎪⎩-------------8分 解方程组得到11132x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或者11132x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩,即3(1,)2P , 或者3(1,)2P -. -------------9分所以直线PQ 的斜率为32k =或者32k =-, 所以直线PQ 的方程为332y x =+，332y x =-+. -------------10分说明：解答题有其它正确解法的请酌情给分.。
数学北京市海淀区高二上期末试卷文解析版
2021-2021学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（4分）直线﹣=0的斜率是（）A．1 B．﹣1 C．D．2．（4分）圆（﹣1）22=1的圆心和半径分别为（）A．（0，1），1 B．（0，﹣1），1C．（﹣1，0），1 D．（1，0），13．（4分）若两条直线2﹣=0与a﹣2﹣1=0互相垂直，则实数a的值为（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．44．（4分）双曲线的渐近线方程为（）A．=±3 B．C．D．5．（4分）已知三条直线m，n，，三个平面α，β，γ，下面说法正确的是（）A．⇒α∥βB．⇒m∥nC．⇒∥βD．⇒m⊥γ6．（4分）一个三棱锥的三视图如图所示，则三棱锥的体积为（）A．B．C．D．7．（4分）“直线的方程为=（﹣2）”是“直线经过点（2，0）”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（4分）椭圆的两个焦点分别为F1（﹣1，0）和F2（1，0），若该椭圆与直线﹣3=0有公共点，则其离心率的最大值为（）A．B．﹣1 C．D．二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分9．（4分）抛物线2=4的焦点到准线的距离是．10．（4分）已知命题=2﹣，则m的最小值为．12．（4分）如图，在棱长均为2的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M是侧棱AA1的中点，点，n，，三个平面α，β，γ，知：在A中，⇒α与β相交或平行，故A错误；在B中，⇒m与n相交、平行或异面，故B错误；在C中，⇒与β相交、平行或⊂β，故C错误；在D中，⇒m⊥γ，由线面垂直的判定定理得m⊥γ，故D正确．故选：D．6．B【解析】如图所示，三棱锥a==．故选：A．二．填空题9．2【解析】根据题意可知焦点F（1，0），准线方程=﹣1，∴焦点到准线的距离是11=2,故答案为2．10．∃＞1，2﹣21≤0【解析】命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即∃＞1，2﹣21≤0，故答案为：∃＞1，2﹣21≤011．﹣3【解析】满足的可行域如下图所示：当m=2﹣过（﹣2，﹣1）点时，m取最小值﹣3，故答案为：﹣312．2【解析】由题意，点，A1，则的直径，则圆心M的坐标为（﹣1，0）．又因为|AM|=2，所以圆M的方程为（1）22=4．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知圆M的圆心M（﹣1，0），半径为2．设N为DE中点，则MN⊥，，则．当的斜率不存在时，的方程为=0，此时|MN|=1，符合题意；当的斜率存在时，设的方程为=2，由题意得,解得，故直线的方程为，即3﹣48=0．综上，直线的方程为=0或3﹣48=0．16．证明：（Ⅰ）如图，在正四棱锥O．因为ABCD为正方形，则O为AC中点．又因为M为侧棱O∥，MO⊂面BDM，所以．（Ⅱ）连接O∥O⊥O∩BD=O，且MO⊂平面BDM，BD⊂平面BDM，所以．17．解：（Ⅰ）因为抛物线的顶点在原点，且关于轴对称，可设抛物线方程为2=2（＞0），由抛物线经过P（1，2）可得=2．所以抛物线方程为2=4，准线方程为=﹣1．（Ⅱ）由,得或,可得,点P到直线=的距离,所以．18．解：（Ⅰ）∵椭圆经过D（0，1），∴b=1．∵一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，∴a=．所以椭圆C的方程为=1．（Ⅱ）以AB为直径的圆经过点D，理由如下：当直线AB与轴垂直时，由题意知D在圆上，当直线AB不与轴垂直时，设直线AB的方程为．设A（1，1），B（2，2），由，得9（221）2﹣12﹣16=0，△=144264×9（221）＞0，，，，．∴==（12）12﹣（12）=（12）[﹣]﹣•=0，∴DA⊥DB，∴点D在圆上．综上所述，点D一定在以AB为直径的圆上．。
2023北京海淀区高二(下)期末数学试卷和答案
2023北京海淀高二（下）期末数 学一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合A ＝{x |﹣3＜x ＜3}，B ＝{﹣3，0，1，2}，则A ∩B ＝（ ）A ．{0，1}B ．{0，1，2}C ．{﹣3，0，1，2}D ．{﹣2，﹣1，0，1，2}2．已知命题p ：∃x ≤3，|x ﹣2|≤1，则¬p 为（ ）A ．∃x ≤3，|x ﹣2|＞1B ．∃x ＞3，|x ﹣2|≤1C ．∀x ≤3，|x ﹣2|＞1D ．∀x ＞3，|x ﹣2|＞13．已知{a n }为等比数列，公比q ＞0，a 2+a 3＝12，a 1•a 5＝81，则a 5＝（ ）A ．81B ．27C ．32D ．164．下列四个函数中，在区间[0，1]上的平均变化率最大的为（ ）A ．y ＝xB ．y ＝e xC ．y ＝sin xD ．11y x =+5．已知a ＜b ，则（ ）A ．a 2＜b 2B ．e ﹣a ＜e ﹣bC ．ln （|a |+1）＜ln （|b |+1）D ．a |a |＜b |b |6．已知函数f （x ）＝x 2•sin x ，则'(2f π的值为（ ）A ．0B ．πC ．24πD ．24π-7．从A ，B ，C ，D 4本不同的文学读物中选出3本分给甲、乙、丙3名学生（每人一本）．如果甲不得A 读物，则不同的分法种数为（ ）A ．24B ．18C ．6D ．48．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ，则“S n 有最大值”是“d ＜0”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．学校要从8名候选人中选4名同学组成学生会．已知恰有3名候选人来自甲班，假设每名候选人都有相同的机会被选中，则甲班恰有2名同学被选中的概率为（ ）A ．14B ．23C ．37D ．41510．已知函数f （x ）＝x 3+3x 2+bx +c ．若函数g （x ）＝e ﹣x f （x ）有三个极值点m ，1，n ，且m ＜1＜n ，则mn 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，1）B ．（﹣∞，14）C ．（﹣∞，﹣1）D ．（﹣∞，﹣2）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。
2022-2023学年北京市海淀区高二(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年北京市海淀区高二（下）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合A ＝{x |﹣3＜x ＜3}，B ＝{﹣3，0，1，2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{0，1} B ．{0，1，2}C ．{﹣3，0，1，2}D ．{﹣2，﹣1，0，1，2}2．已知命题p ：∃x ≤3，|x ﹣2|≤1，则¬p 为（ ） A ．∃x ≤3，|x ﹣2|＞1 B ．∃x ＞3，|x ﹣2|≤1 C ．∀x ≤3，|x ﹣2|＞1D ．∀x ＞3，|x ﹣2|＞13．已知{a n }为等比数列，公比q ＞0，a 2+a 3＝12，a 1•a 5＝81，则a 5＝（ ） A ．81B ．27C ．32D ．164．下列四个函数中，在区间[0，1]上的平均变化率最大的为（ ） A ．y ＝xB ．y ＝e xC ．y ＝sin xD ．y =1x+15．已知a ＜b ，则（ ） A ．a 2＜b 2B ．e ﹣a ＜e ﹣bC ．ln （|a |+1）＜ln （|b |+1）D ．a |a |＜b |b |6．已知函数f （x ）＝x 2•sin x ，则f ′(π2)的值为（ ） A ．0B ．πC ．π24D ．−π247．从A ，B ，C ，D 4本不同的文学读物中选出3本分给甲、乙、丙3名学生（每人一本）．如果甲不得A 读物，则不同的分法种数为（ ） A ．24B ．18C ．6D ．48．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ，则“S n 有最大值”是“d ＜0”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．学校要从8名候选人中选4名同学组成学生会．已知恰有3名候选人来自甲班，假设每名候选人都有相同的机会被选中，则甲班恰有2名同学被选中的概率为（ ） A ．14B ．23C ．37D ．41510．已知函数f （x ）＝x 3+3x 2+bx +c ．若函数g （x ）＝e ﹣x f （x ）有三个极值点m ，1，n ，且m ＜1＜n ，则mn 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，1）B ．（﹣∞，14）C ．（﹣∞，﹣1）D ．（﹣∞，﹣2）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。
北京市海淀区高二数学上学期期末试卷 文(含解析)-人教版高二全册数学试题
市海淀区2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）直线x+y=2的倾斜角是（）A．B．C．D．2．（4分）焦点在x轴上的椭圆的离心率是，则实数m的值是（）A．4 B．C．1 D．3．（4分）一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．8 B．C．D．64．（4分）已知圆O：x2+y2=1，直线l：3x+4y﹣3=0，则直线l被圆O所截的弦长为（）A．B．1 C．D．25．（4分）命题“∃k＞0，使得直线y=kx﹣2的图象经过第一象限”的否定是（）A．∃k＞0，使得直线y=kx﹣2的图象不经过第一象限B．∃k≤0，使得直线y=kx﹣2的图象经过第一象限C．∀k＞0，使得直线y=kx﹣2的图象不经过第一象限D．∀k≤0，使得直线y=kx﹣2的图象不经过第一象限6．（4分）已知等差数列{a n}，则“a2＞a1”是“数列{a n}为单调递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（4分）已知正四面体A﹣BCD的棱长为2，点E是AD的中点，则下面四个命题中正确的是（）A．∀F∈BC，EF⊥AD B．∃F∈BC，EF⊥AC C．∀F∈BC，EF≥D．∃F∈BC，EF∥AC8．（4分）已知曲线W：+|y|=1，则曲线W上的点到原点距离的最小值是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.9．（4分）已知直线x﹣ay﹣1=0与直线y=ax平行，则实数a=．10．（4分）双曲线的两条渐近线方程为．11．（4分）已知椭圆上的点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为．12．（4分）已知椭圆C=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，若等边△F1F2P 的一个顶点P在椭圆C上，则椭圆C的离心率为．13．（4分）已知平面α⊥β，且α∩β=l，在l上有两点A，B，线段AC⊂α，线段BD⊂β，AC⊥l，BD⊥l，AB=4，AC=3，BD=12，则线段CD的长为．14．（4分）已知点，抛物线y2=2x的焦点为F，点P在抛物线上，且|AP|=|PF|，则|OP|=．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（10分）已知点A（0，2），圆O：x2+y2=1．（Ⅰ）求经过点A与圆O相切的直线方程；（Ⅱ）若点P是圆O上的动点，求的取值X围．16．（12分）已知直线l：y=x+t与椭圆C：x2+2y2=2交于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的长轴长和焦点坐标；（Ⅱ）若|AB|=，求t的值．17．（12分）如图所示的几何体中，直线AF⊥平面ABCD，且ABCD为正方形，ADEF为梯形，DE∥AF，又AB=1，AF=2DE=2a．（Ⅰ）求证：直线CE∥平面ABF；（Ⅱ）求证：直线BD⊥平面ACF；（Ⅲ）若直线AE⊥CF，求a的值．18．（10分）已知椭圆，经过点A（0，3）的直线与椭圆交于P，Q两点．（Ⅰ）若|PO|=|PA|，求点P的坐标；（Ⅱ）若S△OAP=S△OPQ，求直线PQ的方程．市海淀区2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）直线x+y=2的倾斜角是（）A．B．C．D．考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：直线的倾斜角与斜率之间的关系解答：解：设倾斜角为θ，θ∈[0，π）．∵直线x+y﹣2=0，∴k=﹣1=tanθ，∴．故选：D．点评：本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，属于基础题．2．（4分）焦点在x轴上的椭圆的离心率是，则实数m的值是（）A．4 B．C．1 D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用椭圆的简单性质，离心率写出方程即可求出m的值．解答：解：焦点在x轴上的椭圆，可知a2=m，b2=3，c2=m﹣3，椭圆的离心率是，可得，解得m=4．故选：A．点评：本题考查椭圆的简单性质的应用，基本知识的考查．3．（4分）一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．8 B．C．D．6考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图可得，该几何体为以俯视图为底面的四棱锥，求出底面面积和高，代入棱锥体积公式，可得答案．解答：解：由已知中的三视图可得，该几何体为以俯视图为底面的四棱锥，棱锥的底面面积S=2×2=4，棱锥的高h=2，故棱锥的体积V==，故选：B点评：本题考查三视图、三棱柱的体积，本试题考查了简单几何体的三视图的运用．培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力．基础题．4．（4分）已知圆O：x2+y2=1，直线l：3x+4y﹣3=0，则直线l被圆O所截的弦长为（）A．B．1 C．D．2考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：根据直线和圆的位置关系结合弦长公式即可得到结论．解答：解：圆心到直线的距离d=，则直线l被圆O所截的弦长为==，故选：C点评：本题主要考查直线和圆相交的应用，根据圆心到直线的距离结合弦长公式是解决本题的关键．5．（4分）命题“∃k＞0，使得直线y=kx﹣2的图象经过第一象限”的否定是（）A．∃k＞0，使得直线y=kx﹣2的图象不经过第一象限B．∃k≤0，使得直线y=kx﹣2的图象经过第一象限C．∀k＞0，使得直线y=kx﹣2的图象不经过第一象限D．∀k≤0，使得直线y=kx﹣2的图象不经过第一象限考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．解答：解：命题为特称命题，则根据特称命题的否定是全称命题得命题的否定是∀k＞0，使得直线y=kx﹣2的图象不经过第一象限，故选：C点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．6．（4分）已知等差数列{a n}，则“a2＞a1”是“数列{a n}为单调递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：等差数列与等比数列；简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：在等差数列{a n}中，若a2＞a1，则d＞0，即数列{a n}为单调递增数列，若数列{a n}为单调递增数列，则a2＞a1，成立，即“a2＞a1”是“数列{a n}为单调递增数列”充分必要条件，故选：C．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，等差数列的性质是解决本题的关键．7．（4分）已知正四面体A﹣BCD的棱长为2，点E是AD的中点，则下面四个命题中正确的是（）A．∀F∈BC，EF⊥AD B．∃F∈BC，EF⊥AC C．∀F∈BC，EF≥D．∃F∈BC，EF∥AC考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意画出图形，利用线面垂直的判定判定AD⊥面BCE，由此说明A正确；由三垂线定理结合∠BEC为锐角三角形说明B错误；举例说明C错误；由平面的斜线与平面内直线的位置关系说明D错误．解答：解：如图，∵四面体A﹣BCD为正四面体，且E为AD的中点，∴BE⊥AD，CE⊥AD，又BE∩CE=E，∴AD⊥面BCE，则∀F∈BC，EF⊥AD，选项A正确；由AE⊥面BCE，∴AE⊥EF，若AC⊥EF，则CE⊥EF，∵∠BEC为锐角三角形，∴不存在F∈BC，使EF⊥AC，选项B错误；取BC中点F，可求得DF=，又DE=1，得EF=，选项C错误；AC是平面BCE的一条斜线，∴AC与平面BCE内直线的位置关系是相交或异面，选项D错误．故选：A．点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了空间中直线与平面的位置关系，考查了线线垂直与线面平行的判定，考查了空间想象能力，是中档题．8．（4分）已知曲线W：+|y|=1，则曲线W上的点到原点距离的最小值是（）A．B．C．D．考点：两点间距离公式的应用．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：化简方程+|y|=1，得到x2=1﹣2|y|，作出曲线W的图形，通过图象观察，即可得到到原点距离的最小值．解答：解：+|y|=1即为=1﹣|y|，两边平方，可得x2+y2=1+y2﹣2|y|，即有x2=1﹣2|y|，作出曲线W的图形，如右：则由图象可得，O与点（0，）或（0，﹣）的距离最小，且为．故选A．点评：本题考查曲线方程的化简，考查两点的距离公式的运用，考查数形结合的思想方法，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.9．（4分）已知直线x﹣ay﹣1=0与直线y=ax平行，则实数a=1或﹣1．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：由平行关系可得向量相等，排除截距相等即可．解答：解：当a=0时，第二个方程无意义，故a≠0，故直线x﹣ay﹣1=0可化为x﹣，由直线平行可得a=，解得a=±1故答案为：1或﹣1点评：本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．10．（4分）双曲线的两条渐近线方程为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．解答：解：∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±x∴双曲线的渐近线方程为故答案为：点评：本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想11．（4分）已知椭圆上的点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为7．考点：椭圆的定义．专题：计算题．分析：椭圆的长轴长为10，根据椭圆的定义，利用椭圆上的点P到一个焦点的距离为3，即可得到P到另一个焦点的距离．解答：解：椭圆的长轴长为10根据椭圆的定义，∵椭圆上的点P到一个焦点的距离为3∴P到另一个焦点的距离为10﹣3=7故答案为：7点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的定义，属于基础题．12．（4分）已知椭圆C=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，若等边△F1F2P 的一个顶点P在椭圆C上，则椭圆C的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意和椭圆的对称性可得：点P是椭圆短轴上的顶点，由椭圆的性质即可求出椭圆C的离心率．解答：解：因为等边△F1F2P的一个顶点P在椭圆C上，如图：所以由椭圆的对称性可得：点P是椭圆短轴上的顶点，因为△F1F2P是等边三角形，所以a=2c，则=，即e=，故答案为：．点评：本题考查椭圆的简单几何性质的应用，解题的关键确定点P的位置，属于中档题．13．（4分）已知平面α⊥β，且α∩β=l，在l上有两点A，B，线段AC⊂α，线段BD⊂β，AC⊥l，BD⊥l，AB=4，AC=3，BD=12，则线段CD的长为13．考点：点、线、面间的距离计算．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由于本题中的二面角是直角，且两线段都与棱垂直，可根据题意作出相应的长方体，CD恰好是此长方体的体对角线，由长方体的性质求出其长度即可．解答：解：如图，由于此题的二面角是直角，且线段AC，BD分别在α，β内垂直于棱l，AB=4，AC=3，BD=12，作出以线段AB，BD，AC为棱的长方体，CD即为长方体的对角线，由长方体的性质知，CD==13．故答案为：13．点评：本题考查与二面角有关的线段长度计算问题，根据本题的条件选择作出长方体，利用长方体的性质求线段的长度，大大简化了计算，具体解题中要注意此类问题的合理转化．14．（4分）已知点，抛物线y2=2x的焦点为F，点P在抛物线上，且|AP|=|PF|，则|OP|=．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求得抛物线的焦点F，设P（m2，m），运用两点的距离公式，结合条件|AP|=|PF|，计算可得m，再由两点的距离公式计算即可得到结论．解答：解：抛物线y2=2x的焦点为F（，0），设P（m2，m），由|AP|=|PF|，可得|AP|2=2|PF|2，即有（m2+）2+m2=2[（m2﹣）2+m2]，化简得m4﹣2m2+1=0，解得m2=1，即有|OP|===．故答案为：．点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的焦点坐标，同时考查两点的距离公式的运用，属于中档题．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（10分）已知点A（0，2），圆O：x2+y2=1．（Ⅰ）求经过点A与圆O相切的直线方程；（Ⅱ）若点P是圆O上的动点，求的取值X围．考点：直线和圆的方程的应用．专题：平面向量及应用；直线与圆．分析：（1）由已知中直线过点A我们可以设出直线的点斜式方程，然后化为一般式方程，代入点到直线距离公式，根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，可以求出k值，进而得到直线的方程；（2）设出P点的坐标，借助坐标来表示两个向量的数量积，再根据P在圆上的条件，进而得到结论．解答：（本小题满分10分）解：（ I）由题意，所求直线的斜率存在．设切线方程为y=kx+2，即kx﹣y+2=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）所以圆心O到直线的距离为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所以，解得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）所求直线方程为或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（ II）设点P（x，y），所以，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）因为点P在圆上，所以x2+y2=1，所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）又因为x2+y2=1，所以﹣1≤y≤1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）点评：本题考查的知识是直线和圆的方程的应用，其中熟练掌握直线与圆不同位置关系时，点到直线的距离与半径的关系是关键，还考查了向量数量积的坐标表示．16．（12分）已知直线l：y=x+t与椭圆C：x2+2y2=2交于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的长轴长和焦点坐标；（Ⅱ）若|AB|=，求t的值．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）求出椭圆的标准方程，即可求椭圆C的长轴长和焦点坐标；（Ⅱ）联立直线和椭圆方程转化为一元二次方程，结合弦长公式进行求解即可．解答：解：（ I）因为x2+2y2=2，所以，所以，所以c=1，所以长轴为，焦点坐标分别为F1（﹣1，0），F2（1，0）．（ II）设点A（x1，y1），B（x2，y2）．因为，消元化简得3x2+4tx+2t2﹣2=0，所以，所以，又因为，所以，解得t=±1．点评：本题主要考查椭圆方程的应用和性质，以及直线和椭圆相交的弦长公式的应用，转化一元二次方程是解决本题的关键．17．（12分）如图所示的几何体中，直线AF⊥平面ABCD，且ABCD为正方形，ADEF为梯形，DE∥AF，又AB=1，AF=2DE=2a．（Ⅰ）求证：直线CE∥平面ABF；（Ⅱ）求证：直线BD⊥平面ACF；（Ⅲ）若直线AE⊥CF，求a的值．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（I）由AB∥CD，DE∥AF，且AB∩AF=A，CD∩DE=D，可证平面ABF∥平面DCE即可证明CE∥平面ABF．（II）先证明AC⊥BD，AF⊥BD，即可证明直线BD⊥平面ACF．（Ⅲ）连接 FD，易证明CD⊥AE．又AE⊥CF，可证AE⊥FD．从而可得，即有，即可解得a的值．解答：（本小题满分12分）解：（ I）因为ABCD为正方形，所以AB∥CD．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）又DE∥AF，且AB∩AF=A，CD∩DE=D．所以平面ABF∥平面DCE．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）而CE⊂平面EDC，所以CE∥平面ABF．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（II）因为ABCD为正方形，所以AC⊥BD﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）因为直线AF⊥平面ABCD，所以AF⊥BD，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）因为AF∩AC=A，所以直线BD⊥平面ACF．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（Ⅲ）连接 FD．因为直线AF⊥平面ABCD，所以AF⊥C D，又CD⊥AD，AD∩AF=A所以CD⊥平面ADEF，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）所以CD⊥AE．又AE⊥CF，FC∩CD=C，所以AE⊥平面FCD，所以AE⊥FD．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）所以，所以==解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）．点评：本题主要考察了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考察了转化思想，属于中档题．18．（10分）已知椭圆，经过点A（0，3）的直线与椭圆交于P，Q两点．（Ⅰ）若|PO|=|PA|，求点P的坐标；（Ⅱ）若S△OAP=S△OPQ，求直线PQ的方程．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由|PO|=|PA|，得P在OA的中垂线上，求出中垂线方程，代入椭圆方程进行求解即可求点P的坐标；（Ⅱ）求出直线方程，联立直线和椭圆方程，转化为一元二次方程，结合三角形面积之间的关系即可得到结论．解答：解：（ I）设点P（x1，y1），由题意|PO|=|PA|，所以点P在OA的中垂线上，而OA的中垂线为，所以有．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）把其代入椭圆方程，求得x1=±1．所以或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（II）设Q（x2，y2）．根据题意，直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y=kx+3，所以．消元得到（3+4k2）x2+24kx+24=0，所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）因为S△OAP=S△OPQ，所以S△OAQ=2S△OPQ，即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）所以有|x1|=2|x2|，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）因为，所以x1，x2同号，所以x1=2x2．所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）解方程组得到，经检验，此时△＞0，所以直线PQ的方程为，或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）法二：设Q（x2，y2），因为S△OAP=S△OPQ，所以|AP|=|PQ|．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）即点P为线段OQ的中点，所以x2=2x1，y2=2y1﹣3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）把点P，Q的坐标代入椭圆方程得到﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）解方程组得到或者，即，或者．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）所以直线PQ的斜率为或者，所以直线PQ的方程为，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）点评：本题主要考查椭圆方程的应用和性质，直线和椭圆相交的性质，利用设而不求的思想是解决本题的关键．考查学生的运算能力．。
海淀区2023-2024学年第一学期期末检测高二数学试题
石景山区2023-2024学年第一学期初二期末试卷物理学校__________姓名__________准考证号__________第一部分一、单项选择题（下列各小题均有四个选项，其中只有一个选项符合题意。
共24 分，每小题2 分）1．在国际单位制中，质量的单位是A．米（m） B．牛顿（N） C．千克（kg） D．千克/立方米（kg/m3）2．实验室中，常用的测量力的工具是A．弹簧测力计 B．天平 C．刻度尺 D．量筒3．乘客坐在行驶的列车里，若说他是静止的，则所选择的参照物是A．路边的树 B．铁轨C．车厢内走动的乘务员 D．乘客所乘坐的列车4．在图1 中所示的自行车四个部件的设计中，为了减小摩擦的是5．通常情况下关于某中学生的估测，下列数据合理的是A．质量约为100 kg B．立定跳远的距离约为 220 dm C．步行速度约为 1 m/s D．50 m 短跑用时约为 9 min 6．如图2 所示的现象中，主要由于光的折射形成的是7．北京大兴国际机场试点安装了探鸟雷达，能预防飞鸟对起落的飞机构成威胁。
鸟防实验场地如图3 所示。
如雷达发现飞鸟可能对航班造成威胁，机场立刻开启声波驱鸟设备，利用模拟的猛禽叫声驱赶飞鸟，为了使驱鸟作用长期有效，会调整声音的频率，为了使效果更好,工作人员还会调大播放的音量。
下列关于声波驱鸟的说法中正确的是A．“模拟的猛禽叫声”主要是模拟猛禽叫声的音色B．“模拟的猛禽叫声”主要是模拟猛禽叫声的响度C．“模拟的猛禽叫声”主要是模拟猛禽叫声的音调D．“调大播放的音量”是指改变声音的音调8．物理知识在生活中的应用随处可见。
以下实例与惯性知识无关的是A．汽车后窗贴有“保持车距”B．立交桥下标有“限高3.2 m”C．交通规则中注明“行车时请系好安全带”D．公路旁警示牌写有“雨天路滑，减速慢行”9．关于质量和密度，下列说法中正确的是A．将一铁块压成薄片，它的质量变大B．一瓶水完全凝固成冰后，质量变小，密度不变C．一杯水喝掉一半后，剩下的水质量和密度一定都变小D．把一本物理书完整的从北京带到了上海，物理书的质量不变10．如图4 所示，能说明近视眼的成因及矫正方法的是A．①③ B．①④ C．②③ D．②④11．2022 年2 月6 日，中国女足再夺亚洲杯冠军。
北京市海淀区2019-2020学年高二上学期期末考试文科数学试卷 Word版含解析
北京市海淀区2019-2020学年上学期期末考试高二文科数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线x﹣y=0的斜率是（）A．1 B．﹣1 C．D．2．圆（x﹣1）2+y2=1的圆心和半径分别为（）A．（0，1），1 B．（0，﹣1），1 C．（﹣1，0），1 D．（1，0），13．若两条直线2x﹣y=0与ax﹣2y﹣1=0互相垂直，则实数a的值为（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．44．双曲线的渐近线方程为（）A．y=±3x B．C．D．5．已知三条直线m，n，l，三个平面α，β，γ，下面说法正确的是（）A．⇒α∥βB．⇒m∥n C．⇒l∥βD．⇒m⊥γ6．一个三棱锥的三视图如图所示，则三棱锥的体积为（）A．B．C．D．7．“直线l的方程为y=k（x﹣2）”是“直线l经过点（2，0）”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．椭圆的两个焦点分别为F1（﹣1，0）和F2（1，0），若该椭圆与直线x+y﹣3=0有公共点，则其离心率的最大值为（）A ．B ．﹣1C ．D ．二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 9．抛物线y 2=4x 的焦点到准线的距离是 ．10．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2﹣2x+1＞0，则￢p 是 ．11．实数x ，y 满足，若m=2x ﹣y ，则m 的最小值为 ．12．如图，在棱长均为2的正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，点M 是侧棱AA 1的中点，点P 是侧面BCC 1B 1内的动点，且A 1P ∥平面BCM ，则点P 的轨迹的长度为 ．13．将边长为2的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD=2，则三棱锥D ﹣ABC 的顶点D 到底面ABC 的距离为 ．14．若曲线F （x ，y ）=0上的两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）满足x 1≤x 2且y 1≥y 2，则称这两点为曲线F （x ，y ）=0上的一对“双胞点”．下列曲线中：①；②；③y 2=4x ； ④|x|+|y|=1．存在“双胞点”的曲线序号是 ．三．解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．已知点A（﹣3，0），B（1，0），线段AB是圆M的直径．（Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）过点（0，2）的直线l与圆M相交于D，E两点，且，求直线l的方程．16．如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，点M为侧棱PA的中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BDM；（Ⅱ）若PA⊥PC，求证：PA⊥平面BDM．17．顶点在原点的抛物线C关于x轴对称，点P（1，2）在此抛物线上．（Ⅰ）写出该抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）若直线y=x与抛物线C交于A，B两点，求△ABP的面积．18．已知椭圆经过点D（0，1），一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过的直线l交椭圆C于A，B两点，判断点D与以AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．北京市海淀区2019-2020学年上学期期末考试高二文科数学试卷参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线x﹣y=0的斜率是（）A．1 B．﹣1 C．D．【考点】直线的斜率．【分析】直接化直线方程为斜截式得答案．【解答】解：由x﹣y=0，得y=x，∴直线x﹣y=0的斜率是1．故选：A．2．圆（x﹣1）2+y2=1的圆心和半径分别为（）A．（0，1），1 B．（0，﹣1），1 C．（﹣1，0），1 D．（1，0），1【考点】圆的标准方程．【分析】根据圆的标准方程可以直接得到圆心和半径．【解答】解：由圆的标准方程（x﹣1）2+y2=1可以得到该圆的圆心是（1，0），半径是1．故选：D．3．若两条直线2x﹣y=0与ax﹣2y﹣1=0互相垂直，则实数a的值为（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．【解答】解：∵两条直线2x﹣y=0与ax﹣2y﹣1=0互相垂直，∴2a+2=0，解得a=﹣1．故选B．4．双曲线的渐近线方程为（）A．y=±3x B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由标准方程，求出a和b的值，再根据焦点在x轴上，求出渐近线方程．【解答】解：双曲线中a=3，b=1，焦点在x轴上，故渐近线方程为y=±x，故选B．5．已知三条直线m，n，l，三个平面α，β，γ，下面说法正确的是（）A．⇒α∥βB．⇒m∥n C．⇒l∥βD．⇒m⊥γ【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，α与β相交或平行；在B中，m与n相交、平行或异面；在C中，l与β相交、平行或l⊂β；在D中，由线面垂直的判定定理得m⊥γ．【解答】解：三条直线m，n，l，三个平面α，β，γ，知：在A中，⇒α与β相交或平行，故A错误；在B中，⇒m与n相交、平行或异面，故B错误；在C中，⇒l与β相交、平行或l⊂β，故C错误；在D中，⇒m⊥γ，由线面垂直的判定定理得m⊥γ，故D正确．故选：D．6．一个三棱锥的三视图如图所示，则三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，三棱锥P﹣ABC，点P在平面ABC的投影D，则四边形ABCD是矩形．【解答】解：如图所示，三棱锥P﹣ABC，点P在平面ABC的投影D，则四边形ABCD是矩形．则三棱锥的体积V==．故选：B．7．“直线l的方程为y=k（x﹣2）”是“直线l经过点（2，0）”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：若直线l的方程为y=k（x﹣2），则直线l过（2，0），是充分条件，若直线l经过点（2，0），则直线方程不一定是：y=k（x﹣2），比如直线：x=0，故不是必要条件，故选：A．8．椭圆的两个焦点分别为F1（﹣1，0）和F2（1，0），若该椭圆与直线x+y﹣3=0有公共点，则其离心率的最大值为（）A． B．﹣1 C． D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意，c=1， =，从而a越小e越大，而椭圆与直线相切时，a最小，由此能求出其离心率的最大值．【解答】解：∵椭圆的两个焦点分别为F1（﹣1，0）和F2（1，0），∴由题意，c=1，∴=，∴a越小e越大，而椭圆与直线相切时，a最小设椭圆为+=1，把直线x+y﹣3=0代入，化简整理可得（2a2﹣1）x2+6a2x+10a2﹣a4=0由△=0，解得：a2=5，于是a=，==．emax故选：A．二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9．抛物线y2=4x的焦点到准线的距离是 2 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的方程求得抛物线的焦点坐标和准线的方程，进而利用点到直线的距离求得焦点到准线的距离．【解答】解：根据题意可知焦点F（1，0），准线方程x=﹣1，∴焦点到准线的距离是1+1=2故答案为2．10．已知命题p：∀x∈R，x2﹣2x+1＞0，则￢p是∃x＞1，x2﹣2x+1≤0 ．【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即∃x＞1，x2﹣2x+1≤0，故答案为：∃x＞1，x2﹣2x+1≤011．实数x，y满足，若m=2x﹣y，则m的最小值为﹣3 ．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足的可行域，进而可得当m=2x﹣y过（﹣2，﹣1）点时，m取最小值．【解答】解：满足的可行域如下图所示：当m=2x﹣y过（﹣2，﹣1）点时，m取最小值﹣3，故答案为：﹣312．如图，在棱长均为2的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M是侧棱AA1的中点，点P是侧面BCC1B1内的动点，且A1P∥平面BCM，则点P的轨迹的长度为 2 ．【考点】轨迹方程．【分析】由题意，点P是侧面BCC1B1内的动点，且A1P∥平面BCM，A1P∥平面BCM，则P的轨迹是平行于BC 的一条线段，即可得出结论． 【解答】解：由题意，点P 是侧面BCC 1B 1内的动点，且A 1P ∥平面BCM ，A 1P ∥平面BCM ，则P 的轨迹是平行于BC 的一条线段，长度为2． 故答案为2．13．将边长为2的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD=2，则三棱锥D ﹣ABC 的顶点D 到底面ABC 的距离为．【考点】棱锥的结构特征．【分析】取AC 的中点，连结OB ，OD ，求出OB ，OD ，利用勾股定理的逆定理得出OB ⊥OD ，结合OD ⊥AC 得出OD ⊥平面ABC ，由此能求出结果． 【解答】解：解：取AC 的中点O ，连结OB ，OD ， ∵AD=CD=2，∠ADC=90°，∴AC=2，OD=AC=，OD ⊥AC ．同理OB=，∵BD=2，∴OD 2+OB 2=BD 2，∴OB ⊥OD ，又AC ⊂平面ABC ，OB ⊂平面ABC ，AC ∩OB=O ， ∴OD ⊥平面ABC ，∴三棱锥D ﹣ABC 的顶点D 到底面ABC 的距离为OD=．故答案为：14．若曲线F （x ，y ）=0上的两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）满足x 1≤x 2且y 1≥y 2，则称这两点为曲线F（x，y）=0上的一对“双胞点”．下列曲线中：①；②；③y2=4x；④|x|+|y|=1．存在“双胞点”的曲线序号是①③④．【考点】曲线与方程．【分析】利用新定义，分别验证，即可得出结论．【解答】解：由题意①，在第一、三象限，单调递减，满足题意；②，在第一象限，单调递减，第三象限单调递增，不满足题意；③y2=4x，存在“双胞点”比如（1，﹣1），（4，﹣4），满足题意；④|x|+|y|=1，存在“双胞点”比如（0，1），（1，0），满足题意；故答案为①③④．三．解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．已知点A（﹣3，0），B（1，0），线段AB是圆M的直径．（Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）过点（0，2）的直线l与圆M相交于D，E两点，且，求直线l的方程．【考点】直线与圆的位置关系；圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）利用A（﹣3，0），B（1，0），线段AB是圆M的直径，则圆心M的坐标为（﹣1，0），又因为|AM|=2，即可求圆M的方程；（Ⅱ）过点（0，2）的直线l与圆M相交于D，E两点，且，分类讨论，即可求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）已知点A（﹣3，0），B（1，0），线段AB是圆M的直径，则圆心M的坐标为（﹣1，0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又因为|AM|=2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以圆M的方程为（x+1）2+y2=4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）由（Ⅰ）可知圆M的圆心M（﹣1，0），半径为2．设N为DE中点，则MN⊥l，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣则．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当l的斜率不存在时，l的方程为x=0，此时|MN|=1，符合题意；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+2，由题意得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣故直线l的方程为，即3x﹣4y+8=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣综上，直线l的方程为x=0或3x﹣4y+8=0．16．如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，点M为侧棱PA的中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BDM；（Ⅱ）若PA⊥PC，求证：PA⊥平面BDM．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连接AC，设AC∩BD=O，连接MO，推导出MO∥PC，由此能证明PC∥平面BDM．（Ⅱ）连接PO，推导出PO⊥BD，BD⊥AC，从而BD⊥平面PAC，进而BD⊥PA，再推导出MO⊥PA，由此能证明PA⊥平面BDM．【解答】证明：（Ⅰ）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，连接AC，设AC∩BD=O，连接MO．因为ABCD为正方形，则O为AC中点．又因为M为侧棱PA的中点，所以MO∥PC．又因为PC⊄面BDM，MO⊂面BDM，所以PC∥平面BDM．（Ⅱ）连接PO，在正四棱锥P﹣ABCD中，PO⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PO⊥BD．又因为BD⊥AC，AC∩PO=O，且AC⊂平面PAC，PO⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC，又因为PA⊂平面PAC，所以BD⊥PA．由（Ⅰ）得MO∥PC，又因为PA⊥PC，则MO⊥PA．又MO∩BD=O，且MO⊂平面BDM，BD⊂平面BDM，所以PA⊥平面BDM．17．顶点在原点的抛物线C关于x轴对称，点P（1，2）在此抛物线上．（Ⅰ）写出该抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）若直线y=x与抛物线C交于A，B两点，求△ABP的面积．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）设抛物线方程为y2=2px（p＞0），由抛物线经过P（1，2）可得p，即可写出该抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）若直线y=x与抛物线C交于A，B两点，求出|AB|，点P到直线y=x的距离，即可求△ABP的面积．【解答】解：（Ⅰ）因为抛物线的顶点在原点，且关于x轴对称，可设抛物线方程为y2=2px（p＞0），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由抛物线经过P（1，2）可得p=2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以抛物线方程为y2=4x，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣准线方程为x=﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）由﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣得或﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣可得）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣点P到直线y=x的距离﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣18．已知椭圆经过点D（0，1），一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过的直线l交椭圆C于A，B两点，判断点D与以AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆经过D（0，1），一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）以AB为直径的圆经过点D．当直线AB与x轴垂直时，D在圆上；当直线AB不与x轴垂直时，设直线AB 的方程为，由，得9（2k 2+1）x 2﹣12kx ﹣16=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量数量积公式，结合已知条件能推导出点D 在圆上．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆经过D （0，1），∴b=1．∵一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，∴a=．所以椭圆C 的方程为=1． （Ⅱ）以AB 为直径的圆经过点D ，理由如下：当直线AB 与x 轴垂直时，由题意知D 在圆上，当直线AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程为．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由， 得9（2k 2+1）x 2﹣12kx ﹣16=0，△=144k 2+64×9（2k 2+1）＞0，，，，．∴==（1+k 2）x 1x 2﹣（x 1+x 2）+=（1+k 2）[﹣]﹣•+=0，∴DA ⊥DB ，∴点D 在圆上．综上所述，点D 一定在以AB 为直径的圆上．。
XX.1高二文科数学上册期末试卷(海淀区含答案)【DOC范文整理】
XX.1高二文科数学上册期末试卷(海淀区含答案)海淀区高二年级学期期末练习数学XX.1部分一、选择题共8小题，每小题4分，共32分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
直线在轴上的截距为A.B.c.D.双曲线的渐近线方程为A.B.c.D.已知圆经过原点，则实数等于A.B.c.D.鲁班锁是曾广泛流传于民间的智力玩具，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，不用钉子和绳子，完全靠自身结构的连接支撑.它看似简单，却凝结着不平凡的智慧.下图为鲁班锁的其中一个零件的三视图，则该零件的体积为A.32B.34c.36D.40椭圆的焦点为，若点在上且满足，则中最大角为A.B.c.D.“”是“方程表示双曲线”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条c.充分必要条件D.既不充分也不必要条已知两条直线，两个平面，下面说法正确的是A.B.c.D.在正方体的中，点是的中点，点为线段上一动点.给出如下四个推断：①对任意的点，平面；②存在点，使得；③对任意的点，则上面推断中所有正确的为A.①②B.②③c.①③D.①②③第二部分二、填空题共6小题，每小题4分，共24分。
直线的倾斜角为,经过点且与直线平行的直线方程为.抛物线的焦点坐标为，点到其准线的距离为.请从正方体的8个顶点中，找出4个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的4个面都是直角三角形，则这4个点可以是.直线被圆所截得的弦长为.已知椭圆和双曲线的中心均在原点，且焦点均在轴上，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中，则双曲线的离心率为.曲线的方程为①请写出曲线的一条对称轴方程；②请写出曲线上的两个点的坐标；③曲线上的点的纵坐标的取值范围是.三、解答题共4小题，共44分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
在平面直角坐标系中，圆的半径为1，其圆心在射线上，且.求圆的方程；若直线过点，且与圆相切，求直线的方程.如图，在三棱锥中，，且点分别是的中点.求证：平面；求证：.如图，平面平面，四边形和是全等的等腰梯形，其中，且，点为的中点，点是的中点.求证：平面；请在图中所给的点中找出两个点，使得这两点所在的直线与平面垂直，并给出证明；在线段上是否存在点，使得平面？如果存在，求出的长度；如果不存在，请说明理由.已知椭圆的左，右焦点分别为，上顶点为，是斜边长为的等腰直角三角形.求椭圆的标准方程；若直线与椭圆交于不同两点.当时，求线段的长度；是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.海淀区高二年级学期期末练习数学参考答案及评分标准XX.1一.选择题:本大题共8小题,每小题4分,共32分.题号12345678答案DABcAcDD二.填空题：本大题共6小题,每小题4分,共24分.10.11.13.①②此答案不唯一③说明：9，10题每空2分，14题中①②空各给1分，③给2分三.解答题:本大题共4小题,共44分.解:设圆心，则…………………1分解得，…………………2分所以圆…………………4分①若直线的斜率不存在，直线：，符合题意…………………5分②若直线的斜率存在，设直线为，即…………………6分由题意,圆心到直线的距离，…………………8分解得…………………9分所以直线的方程为…………………10分综上所述，所求直线的方程为或．．解:证明：在中，因为，分别是，的中点,所以…………………1分因为平面，平面…………………3分说明：上面两个必须有，少一个扣1分.所以平面．…………………4分证明：因为，，是的中点,所以，…………………6分因为，平面…………………8分所以平面…………………9分因为平面所以平面平面…………………10分解：因为四边形是等腰梯形，点为的中点，点是的中点所以…………………1分又平面平面，平面平面………………3分所以平面…………………4分点为所求的点因为平面,所以…………………5分又，且，所以为菱形…………………6分所以…………………7分因为，所以平面…………………8分假设存在点，使得平面…………………9分由，所以为平行四边形，所以…………………10分因为平面所以平面…………………11分又，所以平面平面，所以平面，所以，所以为平行四边形，所以，矛盾，所以不存在点，使得平面…………………12分．解:由题意，，且…………………1分所以…………………3分椭圆的标准方程为…………………4分把直线和椭圆的方程联立…………………5分当时，有，，…………………6分所以…………………8分假设存在，使得.因为…………………9分点到直线的距离为…………………10分所以所以，解得…………………11分代入所以均符合题意…………………12分说明：解答题有其它正确解法的请酌情给分.。
海淀区高二数学(文)期末试卷
北京海淀区2015-2016学年度第一学期期末练习高二数 学（文科） 2016．1本试卷共100分．考试时间90分钟．一、选择题：（本大题共10小题, 每小题4分,共40分． 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）．1．已知圆22(1)=2x y ++，则其圆心和半径分别为 ( )A ．（1,0),2B ．（-1,0),2 C ．（ D ．（ 2．抛物线24x y =的焦点到其准线的距离是 （ ） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 43．双曲线2214x y -=的离心率为 （ ）A ．2B C ． D ． 4．圆x 2＋y 2－2x =0与圆x 2＋y 2＋4y =0的位置关系是 （ ） A ．相离 B ．外切 C ． 相交 D ．内切5．已知直线,m n 和平面α，且n α⊂，则“m n ⊥”是“m α⊥”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ． 充分必要条件 D ． 既不充分也不必要条件6．已知直线l 的方程为20x my +-=，则直线l ( ) A ．恒过点(2,0)-且不垂直x 轴 B ．恒过点(2,0)-且不垂直y 轴 C ．恒过点(2,0)且不垂直x 轴 D ．恒过点(2,0)且不垂直y 轴7．已知直线10x ay +-=和直线420ax y ++=互相平行，则a 的取值是 （ ） A ．2 B ．2± C ．2- D ．0 8．已知O 为坐标原点，直线2y =与2240x y Dx y ++-=交于两点,M N ，则M O N ∠=（ ） A ．30 B ．45 C ．60 D ．909．已知两平面α,β，两直线m ,n ，下列命题中正确的是 ( ) A ．若m α∥，n ⊂α，则m n ∥ B ．若m ⊂α，n ⊂α，且m ∥β，n ∥β，则α∥β C ．若m ⊥α，m n ∥，n ⊂β，则α⊥β D ．若m α∥，α∩β＝n ，则m n ∥ 10． 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在正方体表面上移动，且满足B 1P ⊥D 1E ，则点1B 和点P 构成的图形是 （ ）ED 1C 1B 1A 1D C AA ．三角形B ． 四边形C ．曲边形D ． 五边形二、填空题：（本大题共6小题, 每小题4分,共24分．把答案填在题中横线上）． 11．已知命题p ：“R x ∀∈，20x ≥”，则p ⌝：___________________________________． 12．已知111222:,:l y k x b l y k x b =+=+，命题p ：“若12l l ⊥，则121k k =-”的逆否命题是_____________________，原命题p 为____________命题．（填“真”或“假”）13．双曲线2214x y -=的实轴长为__________，渐近线的方程为________________．14．已知12,F F 为椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，若3(1,)2P 在椭圆上，且满足12||||4PF PF +=，则椭圆C 的方程为________________．15．已知点(5,0)A ，若抛物线24y x =上的点(,)P m n 到直线1x =-的距离与到点A 的距离相等，则m =_______________．16．已知四棱锥的三视图（如图所示），则该四棱锥的体积为__________________，在该四棱锥的四个侧面中，面积最小的侧面面积是________________．三、解答题:（本大题共3小题,共36分． 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）． 17． （本小题共10分）已知圆M :222()(4)(>0)x a y r r -+-=过点(0,0),(6,0)O A ． （Ⅰ）求,a r 的值；（Ⅱ）若圆M 截直线430x y m ++=所得弦的弦长为6，求m 的值．()主正视图俯视图()侧左视图18．（本小题共14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，2AC CB ==，且AC CB ⊥，1AA ⊥底面ABC ，E 为AB 中点．（Ⅰ）求证：BC ⊥1A C ； （Ⅱ）求证：1BC //平面1ACE ； （Ⅲ）若13AA =，BP a =，且AP ⊥1A C ，写出a 的值（不需写过程）．PC 1B 1A 1EAB C19．（本小题共12分）已知直线:l y x n =+与椭圆:G 22(3)(3)m x my m m -+=-交于两点,B C ． （Ⅰ）若椭圆G 的焦点在y 轴上，求m 的取值范围；（Ⅱ）若(0,1)A 在椭圆上，且以BC 为直径的圆过点A ，求直线l 的方程．。
2022-2023学年北京市海淀区高二(上)期末数学试卷(含答案解析)
2022-2023学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷1. 在复平面内，复数(2−i)(1+3i)对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2. 经过点P(−1,0)且倾斜角为60∘的直线的方程是( )A. √3x −y −1=0B. √3x −y +√3=0C. √3x −y −√3=0D. x −√3y +1=0 3. 已知直线l 经过点A(1,1,2)，B(0,1,0)，平面α的一个法向量为n ⃗ =(−2,0,−4)，则( )A. l//αB. l ⊥αC. l ⊂αD. l 与α相交，但不垂直4. 已知抛物线y 2=ax 上的点M(12,y 0)到其焦点的距离是1，那么实数a 的值为( ) A. 14B. 12C. 1D. 25. 在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点M 满足2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .若A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，则下列向量中与B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的是( )A. 12a ⃗ −12b ⃗ +c ⃗B. 12a ⃗ +12b ⃗ +c ⃗C. −12a ⃗ +12b ⃗ +c ⃗ D. −12a ⃗ −12b ⃗ +c ⃗ 6. 已知直线l ：y =kx +b ，⊙O ：x 2+y 2=1，则“|b|<1”是“直线l 与⊙O 相交”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，直线l 是底面ABCD 所在平面内的一条动直线，记直线A 1C与直线l 所成的角为α，则sinα的最小值是( )A. √33 B. 12C. √22D. √638. 已知A ，B(异于坐标原点)是圆(x −2)2+(y −1)2=5与坐标轴的两个交点，则下列点M中，使得△MAB 为钝角三角形的是( )A. M(0,0)B. M(4,3√22) C. M(2,1−√5) D. M(1,2√2)9. “天问一号”是执行中国首次火星探测任务的探测器，该名称源于屈原长诗《天问》，寓意探求科学真理征途漫漫，追求科技创新永无止境．图(1)是“天问一号”探测器环绕火星的椭圆轨道示意图，火星的球心是椭圆的一个焦点．过椭圆上的点P 向火星被椭圆轨道平面截得的大圆作两条切线PM ，PN ，则∠MPN 就是“天问一号”在点P 时对火星的观测角．图(2)所示的Q，R，S，T四个点处，对火星的观测角最大的是( )A. QB. RC. SD. T10. 如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为BD1，B1C1的中点，P为正方体ABCD−A1B1C1D1表面上的动点．下列叙述正确的是( )A. 当点P在侧面AA1D1D上运动时，直线CN与平面BMP所成角的最大值为π2B. 当点P为棱A1B1的中点时，CN//平面BMPC. 当点P在棱BB1上时，点P到平面CNM的距离的最小值为√66D. 当点P∉NC时，满足MP⊥平面NCP的点P共有2个11. 若复数z满足(1+i)⋅z=i3，则|z|=______.12. 已知直线l1：ax−y+2=0，直线l2：x−(a+1)y−1=0.若l1⊥l2，则实数a=______.13. 已知双曲线x2a2−y2b2=1的渐近线为y=±√2x，则该双曲线的离心率为______.14. 已知椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，A(0,b)，且△AF1F2是面积为√3的正三角形．过F1垂直于AF2的直线交椭圆M于B，C两点，则△ABC的周长为______.15. 古希腊数学家阿波罗尼斯在其著作《圆锥曲线论》中，系统地阐述了圆锥曲面的定义和利用圆锥曲面生成圆锥曲线的方法，并探究了许多圆锥曲线的性质．其研究的问题之一是“三线轨迹”问题：给定三条直线，若动点到其中两条直线的距离的乘积与到第三条直线距离的平方之比等于常数，求该点的轨迹．小明打算使用解析几何的方法重新研究此问题，他先将问题特殊化如下：给定三条直线l1：y=12x+12，l2：y=−12x−12，l3：x=1，动点P到直线l1，l2和l3的距离分别为d1，d2和d3，且满足d1d2d32=15，记动点P的轨迹为曲线C.给出下列四个结论：①曲线C关于x轴对称；②曲线C上的点到坐标原点的距离的最小值为√22；③平面内存在两个定点，曲线C上有无数个点P到这两个定点的距离之差为√2；④d1+d2的最小值为2√55.其中所有正确结论的序号是______.16. 已知直线l1：y=1与直线l2：y=kx−2交于点A，点A关于坐标原点的对称点为C，点B在直线l1上，点D在直线l2上．(Ⅰ)当k=1时，求C点的坐标；(Ⅰ)当四边形ABCD为菱形时，求k的值．17. 已知曲线M上的任意一点到点(1,0)的距离比它到直线x=−2的距离小1.(Ⅰ)求曲线M的方程；(Ⅰ)设点E(0,1)，若过点A(2,1)的直线与曲线M交于B、C两点，求△EBC的面积的最小值．18. 如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，点F为PD的中点．(Ⅰ)已知点G为线段BC的中点，求证：CF//平面PAG；(Ⅰ)若PA=AB=2，直线PC与平面ABCD所成的角为30∘，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择几个作为已知，使四棱锥P−ABCD唯一确定，求：(i)直线CD到平面ABF的距离；(ii)二面角B−AF−C的余弦值．条件①：PA⊥平面ABCD；条件②：AD=2√2；条件③：平面PAB⊥平面PAD.19. 已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2，长轴长为4.(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅰ)过点M(−3,0)且与x轴不重合的直线l与椭圆E交于不同的两点B，C，点B关于x轴的对称点为B′.问：平面内是否存在定点P，使得B′恒在直线PC上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】解：(2−i)(1+3i)=2+3+6i −i =5+5i ， 则复数(2−i)(1+3i)对应的点(5,5)位于第一象限． 故选：A.根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解． 本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：倾斜角为60∘的直线的方程的斜率k =tan60∘=√3，∴经过点P(−1,0)且倾斜角为60∘的直线的方程是y −0=√3(x +1)，即为√3x −y +√3=0. 故选：B.根据点斜式方程和一般式方程即可求出．本题考查了点斜式方程和一般式方程，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：根据题意，A(1,1,2)，B(0,1,0)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,−2)， 而平面α的一个法向量为n ⃗ =(−2,0,−4)，则有n ⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即n ⃗ //AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，必有l ⊥α， 故选：B.根据题意，求出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，分析可得n ⃗ //AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由平面法向量的定义分析可得答案． 本题考查空间向量的应用，涉及向量平行的判断方法，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：由抛物线方程知：抛物线焦点为F(a4,0)(a >0)，准线为x =−a4， 由抛物线定义知：|MF|=12+a 4=1，解得：a =2， 故选：D.利用抛物线焦半径公式可直接构造方程求得结果． 本题主要考查抛物线的性质，属于中档题．5.【答案】C【解析】解：平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点M 满足2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .若A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ， 所以B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ +12(−a ⃗ +b ⃗ )=−12a ⃗ +12b ⃗ +c ⃗ .故选：C.直接利用向量的线性运算求出结果．本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．6.【答案】A【解析】解：⊙O ：x 2+y 2=1， 则⊙O 的圆心为(0,0)，半径为1， 圆心到直线l 的距离为|b|√k 2+1，当|b|<1时，|b|√k 2+1<1，故直线l 与⊙O 相交，充分性成立，当直线l 与⊙O 相交，则|b|√k 2+1<1，即|b|<√k 2+1，必要性不成立，故“|b|<1”是“直线l 与⊙O 相交”的充分而不必要条件，故A 正确． 故选：A.根据已知条件，结合点到直线的距离公式，即可求解．本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：如图，过C 作l 的平行线，过A 1作该平行线的垂线，垂足为P ，则∠A 1CP =α，∴sinα=|A 1P||A 1C|，设正方体的棱长为1，则|A 1C|=√3，|A 1P|≥|A 1A|=1， ∴sinα=|A 1P||A 1C|≥√3=√33，当且仅当P 与A 重合时，取得等号，∴sinα的最小值为√33.故选：A.过点C作l的平行线，过A1作该平行线的垂线，垂足为P，则∠A1CP=α，则sinα=|A1P||A1C|，根据|A1P|≥|A1A|可求出结果．本题考查正方体结构特征、异面直线所成角的定义及正弦值求法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8.【答案】D【解析】解：对于圆(x−2)2+(y−1)2=5，令x=0，解得y=0，2；令y=0，解得x=0，4.不妨取A(4,0)，B(0,2)，可得直线AB的方程：x4+y2=1，即x+2y−4=0.圆心C(2,1)满足直线BA的方程，下列点M中，使得△MAB为钝角三角形，则点M必须在⊙C的内部．经过验证(0,0)，(2,1−√5)在⊙C上，点(4,3√22)在⊙C的外部，只有点M(1,2√2)在圆的内部，故选：D.对于圆(x−2)2+(y−1)2=5，可得A(4,0)，B(0,2)，可得直线AB的方程x+2y−4=0.圆心C(2,1)满足直线BA的方程，下列点M中，使得△MAB为钝角三角形，点M必须在⊙C的内部，经过验证进而得出结论．本题考查了点及其直线与圆的位置关系、钝角三角形、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.【答案】A【解析】解：设火星半径为R，椭圆左焦点为F1，连接PF1，则∠MPN=2∠MPF1，因为sin∠MPF 1=RPF 1，所以PF 1越小，∠MPF 1越大，∠MPN 越大， 所以当点P 位于条件中点Q 处，对火星的观测角最大． 故选：A.连接点P 和椭圆的左焦点，由对称性和椭圆上点到焦点距离的特征得点P 位于条件中点Q 处，对火星的观测角最大．本题考查了椭圆的几何性质，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：由于线面角的最大值为π2，因为NC 与MB 不可能垂直，故直线CN 与平面BMP 所成角的最大值达不到π2，故选项A 错误； 取DC 的中点为H ，A 1B 1的中点为P ，连接A 1C 1，B 1D 1相交于点O ，连接OH ，ON ，因为ON//HC 且ON =HC ，所以四边形ONCH 时平行四边形， 故OH//NC ，因为H ∈平面HBPD 1，OH ⊄平面HBPD 1，故CN 不能与平面BMP 平行，故B 错误； 因为V P−CNM =V M−PNC ，M 到平面PNC 的距离为12，故当点P 运动到点B 1时，△PNC 取最小值为12×12×1=14， 故V P−CNM =V M−PNC =13S △PNC ×12=124=13S △CNM ⋅ℎ，因为MC =√32，MN =√22，NC =√52，S △CNM =12×√32×√22=√68，故ℎ=√66，故C 正确；当点P ∉NC 时，满足MP ⊥平面NCP 的点P 共有1个，点当P 为平面BCC 1B 1的中心时满足，故D 错误． 故选：C.NC 与MB 不可能垂直，故选项A 错误；平移NC 与平面相交于一点H ，故选项B 错误；利用体积相等即可求出点P 到平面CNM 的距离的最小值为√66判断选项C ，当点P ∉NC 时，满足MP ⊥平面NCP 的点P 共有1个，当点P 为平面BCC 1B 1的中心时满足，故判断选项D.本题主要考查直线与平面所成的角，直线与平面的平行，直线与平面的垂直，点到平面的距离的求法，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．11.【答案】√22【解析】解：∵(1+i)⋅z=i3，∴(1+i)z=−i，即z=−i1+i =−i(1−i)(1+i)(1−i)=−12−12i，∴|z|=√(−12)2+(−12)2=√22.故答案为：√22.根据已知条件你，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．12.【答案】−12【解析】解：∵直线l1：ax−y+2=0，直线l2：x−(a+1)y−1=0，且l1⊥l2，∴1×a+1×(a+1)=0，∴a=−12，故答案为：−12.直线的垂直关系可得a的方程，解方程可得a值．本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．13.【答案】√3【解析】解：已知双曲线x 2a2−y2b2=1的渐近线为y=±bax，又双曲线x 2a2−y2b2=1的渐近线为y=±√2x，则ba=√2，则c 2−a2a2=2，即c 2a2=3，即ca=√3，即该双曲线的离心率为√3，故答案为：√3.由双曲线的性质，结合双曲线离心率的求法求解即可．本题考查了双曲线的性质，属基础题．14.【答案】8【解析】解：如图，设|OF2|=c，则a2=b2+c2，因△AF1F2面积为√3，且其为正三角形，又|OA|=b，则{b=√3c12⋅2c⋅b=√3⇒{b=√3c=1，则a=2，又直线BC过F1，与AF2垂直，△AF1F2为正三角形，则直线BC为AF2中垂线，则|AB|=|BF2|，|AC|=|CF2|，又|BC|=|BF1|+|F1C|，故△ABC的周长C=|BF2|+|BF1|+|F1C|+|F2C|，又C，B在椭圆上，则由椭圆定义有C=4a=8.故答案为：8.由△AF1F2面积为√3，且其为正三角形，可得a，然后由中垂线性质结合椭圆定义可得答案．本题考查了椭圆的性质，属于中档题．15.【答案】①③④【解析】解：直线l1的方程为x−2y+1=0，直线l2的方程为x+2y+1=0，设点P(x,y)，x≠1，则d1=√5，d2=√5，d3=|x−1|，所以d1d2d32=|x−2y+1|⋅|x+2y+1|5(x−1)2=15，化简可得|(x+1)2−4y2|=(x−1)2，对于①，在曲线C上任取一点P(x,y)，则点P关于x轴的对称点为P(x,−y)，所以|(x+1)2−4(−y)2|=|(x+1)2−4y2|=(x−1)2，故点P在曲线C上，故①对；对于②，设点P(x,y)，当(x+1)2≥4y2时，则曲线C的方程可化为(x+1)2−4y2=(x−1)2，可得y2=x，设坐标原点为O，则|OP|=√x2+y2==√x2+x≥0，且原点坐标满足方程|(x +1)2−4y 2|=(x −1)2，此时d 1d 2d 32=15有意义，故②错；对于③，当(x +1)2<4y 2，则曲线C 的方程可化为4y 2−(x +l)2=(x −1)2， 整理可得y 212−x 2=1，取双曲线y 212−x 2=1的焦点F 1(0,−√62)，F 2(0,√62)，根据双曲线的定义可知，曲线C 上有无数个点P ，使得||PF 1|−|PF 2||=2√12=√2，故③对； 对于④，当点P 在抛物线y 2=x 上，且x ≠1时， d 1+d 2=√5=22√5=2√5≥2√55，当且仅当y =0时，等号成立，当点P 在双曲线y 212−x 2=1的上支时，则y ≥√22，且y =√12(x 2+1)且x ≠1，此时d 1+d 2=√5=|x−√2(x 2+1)+1|+|x+√2(x 2+1)+1|√5，因为(√2(x 2+1))2−(x +l)2=(x −1)2>0， 所以√2(x 2+1)>x +1且√2(x 2+1)>−(x +1)， 故d 1+d 2=|x−√2(x 2+1)+1|+|x+√2(x 2+1)+1|√5=√2(x 2+1)−(x+1)+√2(x 2+1)+(x+1)√5=2√2(x 2+1)√5≥√2√5=2√105， 当且仅当x =0时，等号成立； 当点P 在y 212−x 2=1的下支时，同理可求得d 1+d 2的最小值为2√105，综上所述，d 1+d 2的最小值为2√55，故④对． 故答案为：①③④．设点P(x,y)，求出点P 的轨迹方程，根据曲线对称性的定义可判断①；化简曲线C 的方程，利用两点间的距离公式结合二次函数的基本性质可判断②；化简曲线C 的方程，根据双曲线的定义可判断③；对点P 的位置进行分类讨论，利用二次函数的基本性质可求得d 1+d 2的最小值可判断④． 本题主要考查曲线有关几何性质的应用，解题的关键在于根据题中的几何关系求出曲线的方程，并对曲线的方程进行化简，进而通过曲线的方程对曲线的几何性质进行分析求解，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题．16.【答案】解：(Ⅰ)当k =1时，直线l 2：y =x −2，又直线l 1：y =1，∴可得A 为(3,1)，∴C 为(−3,−1)； (Ⅰ)联立{y =1y =kx −2，可得A(3k ,1)，设D(t,kt −2)，又四边形ABCD 为菱形，∴B(−t,2−kt)，且k OA ⋅k OD =−1，又B 在直线l 1：y =1上，∴{2−kt =113k⋅kt−2t=−1，解得k =±√3， ∴k 的值为±√3.【解析】(Ⅰ)求出A 点坐标，从而可得C 点坐标； (Ⅰ)根据菱形的性质，建立方程即可求解．本题考查直线，点的对称性问题，菱形的性质，方程思想，属中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)曲线M 上的任意一点P 到点(1,0)的距离比它到直线x =−2的距离小1，所以P 到点(1,0)的距离等于它到直线x =−1的距离，根据抛物线的定义可知， M 为抛物线，且焦点为(1,0)，故p =2， 故M 的方程为：y 2=4x ； (Ⅰ)由题意设B(x 1,y 1)，C(x 2,y 2)，且BC 所在直线为x −2=m(y −1)，代入y 2=4x 整理得： y 2−4my +4m −8=0，易知Δ>0， 且y 1+y 2=4m ，y 1y 2=4m −8，故|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=4√m 2−m +2=4√(m −12)2+74≥2√7，当m =12时取等号，故S △EBC =12|AE||y 1−y 2|≥12×2×2√7=2√7， 故当m =12时，△EBC 的面积的最小值为2√7.【解析】(Ⅰ)根据抛物线的定义，求出曲线M 的方程；(Ⅰ)把直线B(x 1,y 1)，C(x 2,y 2)的方程设成x −2=m(y −1)，代入曲线M 的方程消去x ，然后将|y 1−y 2|表示为m 的函数，求其最小值即可．本题利用抛物线的定义求其标准方程，以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，点F为PD 的中点，∴取PA 的中点E ，连接EF ，EG ，则易得EF//GC ，且EF =GC ， ∴四边形EFCG 为平行四边形，∴CF//GE ，又CF ⊄平面PAG ，GE ⊂平面PAG ， ∴CF//平面PAG ；(Ⅰ)根据题意可得：选条件①，②或选条件①，③才能使四棱锥P −ABCD 唯一确定， 当选条件①，②时，则PA ⊥平面ABCD ，AD =BC =2√2， 又PA =AB =2，且直线PC 与平面ABCD 所成的角为∠PCA =30∘， ∴AC =√3PA =2√3，∴AB 2+BC 2=AC 2，∴AB ⊥BC ，∴底面平行四边形ABCD 为矩形，当选条件①，③时，则PA ⊥平面ABCD ，平面PAB ⊥平面PAD ， ∴∠BAD =90∘，又PA =AB =2，且直线PC 与平面ABCD 所成的角为∠PCA =30∘， ∴AC =√3PA =2√3，∴BC =√12−4=2√2， 故选条件①，②或选条件①，③确定的四棱锥P −ABCD 相同，∴建系如图，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2√2,0)，D(0,2√2,0)，F(0,√2,1)，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√2,0)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,1)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2√2,0)，(i)∵CD//BA ，CD ⊄平面ABF ，BA ⊂平面ABF ， ∴CD//平面ABF ，∴直线CD 到平面ABF 的距离等于D 到平面ABF 的距离， 又AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√2,0)，设平面ABF 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2y +z =0m ⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x =0，取m ⃗⃗⃗ =(0,1,−√2)，∴D 到平面ABF 的距离d =|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||m⃗⃗⃗ |=2√2√3=2√63； (ii)设平面AFC 的法向量为n ⃗ =(a,b,c)，则{n ⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2b +c =0n ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a +2√2b =0，取n ⃗ =(√2,−1,√2)，又由(i)知平面ABF 的法向量m ⃗⃗⃗ =(0,1,−√2)，设二面角B −AF −C 的平面角为θ，由图可知θ为锐角， ∴cosθ=|cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||m ⃗⃗⃗ ||n ⃗ |=3√5×√3=√155，故二面角B −AF −C 的余弦值为√155.【解析】(Ⅰ)根据线面平行的判定定理即可证明；(Ⅰ)选条件①，②或选条件①，③都可以确定四棱锥P −ABCD ，再利用向量法即可分别求解(i)与(ii).本题考查线面平行的判定定理，向量法求解点面距问题，向量法求解二面角问题，属中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)∵椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的焦距为2，长轴长为4，∴c =1，a =2，∴b 2=4−1=3，∴椭圆E 的方程为x 24+y 23=1；(Ⅰ)存在定点P(−43,0)，使得B′恒在直线PC 上，理由如下：设直线l ：x =my −3，设B(x 1,y 1)，C(x 2,y 2)，B′(x 1,−y 1)， ∴PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+43,y 2)，PB′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+43,−y 1)，由{x 24+y 23=1x =my −3，得(3m 2+4)y 2−18my +15=0，∴Δ=8(3m 2−5)>0，y 1+y 2=18m3m 2+4，y 1y 2=153m 2+4， ∵x 1=my 1−3，x 2=my 2−3，∴(x 2+43)y 1+(x 1+43)y 2=2my 1y 2−53(y 1+y 2)=2m ×153m 2+4−53×18m3m 2+4=0，∴PC ⃗⃗⃗⃗⃗ //PB′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴B′，P ，C 三点共线．【解析】(Ⅰ)由已知易得c ，a ，进而可求椭圆E 的方程；(Ⅰ)存在定点P(−43,0)，使得B′恒在直线PC 上，设直线l ：x =my −3，设B(x 1,y 1)，C(x 2,y 2)，B′(x 1,−y 1)，可得PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+43,y 2)，PB′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+43,−y 1)，可证PC ⃗⃗⃗⃗⃗ //PB′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而可得B′，P ，C 三点共线．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属中档题．。
2022-2023学年北京市海淀区高二下学期期末考试数学试题【含答案】
2022-2023学年北京市海淀区高二下学期期末考试数学试题一、单选题1．已知集合{}20A x x =-≥，{}1,2,3B =，则A B = （）A ．{}1B ．{}2C ．{}3D ．{}2,3【答案】D【分析】根据集合的交运算即可求解.【详解】{}{}202A x x x x =-≥=≥，{}1,2,3B =，所以A B = {}2,3，故选:D2．由数字1，2，3组成的三位数中，至少有两位数字相同的三位数的个数为（）A ．21B ．18C ．15D ．12【答案】A【分析】根据已知，先利用分类加法计数原理进行分类，再利用组合数以及有限制的排数问题列举求解.【详解】由题可知，至少有两位数字相同的三位数分为两种情况，有三位数字相同的三位数有：111，222，333共3个；有两位数字相同的三位数的个数为236C 18=,所以，由数字1，2，3组成的三位数中，至少有两位数字相同的三位数的个数为21，故B ，C ，D 错误.故选：A.3．已知数列{}n a 是递增的等比数列,且149a a +=,238a a =,则数列{}n a 的前n 项和为（）A ．21n -B ．11612n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦C ．121n --D ．111612n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【答案】A【分析】由题可得141,8a a ==,进而可得2q =,然后利用求和公式即得.【详解】设数列{}n a 的公比为q ,由题意可得：14231498a a a a a a +=⎧⎨==⎩,又数列{}n a 是递增的等比数列,所以141,8a a ==,所以4312a q a ==,所以数列{}n a 的前n 项和为()1122112n n n S ⨯-==--.故选:A.4．马老师从课本上抄录一个随机变量X 的概率分布律如下表X123P!?尽管“!”处无法完全看清，且两个“?”处字迹模糊，但能肯定这两个“?”处的数值相同．据此求()E X 的结果为（）A ．1.5B ．2C ．2.5D ．不确定【答案】B【分析】设()1P X a ==，()2P X b ==，由分布列的性质可得出21a b +=，再利用随机变量的期望公式可求得()E X 的值.【详解】设()1P X a ==，()2P X b ==，由分布列的性质可得21a b +=，所以，()()2342222E X a b a a b a b =++=+=+=.故选：B.5．若函数3213()432f x x x ax =-++在区间(0，4)上不单调，则实数a 的取值范围为（）A ．944⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，B ．904⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．944⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．904⎛⎫⎪⎝⎭，【答案】C【解析】求出()f x 的导数，先求出()f x 在区间(0，4)上单调的a 的范围，即()0f x '≥或()0f x '≤在()0,4恒成立，即可得出不单调的a 的取值范围.【详解】可知()2239324f x x x a x a ⎛⎫'=-+=--+ ⎪⎝⎭，若函数3213()432f x x x ax =-++在区间(0，4)上单调，则()0f x '≥或()0f x '≤在()0,4恒成立，39024f a ⎛⎫'∴=-≥ ⎪⎝⎭或()440f a '=+≤，解得4a ≤-或94a ≥，函数3213()432f x x x ax =-++在区间(0，4)上不单调，944a ∴-<<.故选：C.【点睛】本题考查导数与函数单调性的关系，属于基础题.6．中国历法推测遵循以测为辅，以算为主的原则.例如《周髀算经》里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的.二十四节气中，从冬至到夏至的十三个节气依次为：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至.已知《周髀算经》中记录某年的冬至的晷影长为13尺，夏至的晷影长是1.48尺，按照上述规律，那么《周髀算经》中所记录的立夏的晷影长应为（）A ．3.4尺B ．4.36尺C ．5.32尺D ．21.64尺【答案】B【分析】根据等差数列定义求得公差，再求解立夏的晷影长在数列中所对应的项即可．【详解】设从冬至到夏至的十三个节气依次为等差数列{}n a 的前13项，则11313, 1.48==a a 所以公差为()11.48130.96131=⨯-=--d ，则立夏的晷影长应为()1011011390.96 4.36=+-=-⨯=a a d (尺)故选：B7．已知函数()ln f x x x m =-+，若存在1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()0f x ≤，则m 的取值范围是（）A ．(],1-∞B ．1,1e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦C ．(],e 1-∞-D ．(],e -∞【答案】C【分析】将题意转化为ln m x x ≤-，1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令()ln g x x x =-，即()max m g x ≤，对()g x 求导，求出()g x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值即可得出答案.【详解】若存在1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()0f x ≤，即()ln 0f x x x m =-+≤，所以ln m x x ≤-，令()ln g x x x =-，1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()111x g x x x-'=-=，令()0g x '>，解得：(]1,e x ∈，令()0g x '<，解得：1,1e x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，所以()g x 在[]1,e x ∈上单调递增，在1,1e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()111111,ln 1,11e ee e e g e e g e ⎛⎫=-=-=+->+ ⎪⎝⎭所以1m e ≤-.故选：C.8．某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（）A ．10B ．20C ．24D ．30【答案】D【分析】利用排列中的定序问题的处理方法进行处理.【详解】6位同学排成一排准备照相时，共有66A 种排法，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则有6644A 30A =种排法，故A ，B ，C 错误.故选：D.9．函数()()1ln f x x x =-的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】由函数的定义域可排除B ，取特值可排除D ，当x 趋近负无穷时，()0f x <可排除C ，即可得出答案.【详解】函数()()1ln f x x x =-的定义域为{}0x x ≠，排除B ；当12x =时，()11ln 022f x =->，排除D ；当x 趋近负无穷时，10,ln x x -<趋于正无穷，所以()()1ln 0f x x x =-<，排除C.故选：A.10．某企业拟定4种改革方案，经统计它们在该企业的支持率分别为10.9p =，20.75p =，30.3p =，40.2p =，用“1i ξ=”表示员工支持第i 种方案，用“0i ξ=”表示员工不支持第i 种方案()1,2,3,4i =，那么方差()1D ξ，()2D ξ，()3D ξ，()4D ξ的大小关系为（）A ．()()()()1234D D D D ξξξξ<<<B ．()()()()4321D D D D ξξξξ<<<C ．()()()()2314D D D D ξξξξ<<<D ．()()()()1423D D D D ξξξξ<<<【答案】D【分析】由题意可知：随机变量()1,2,3,4i i ξ=服从两点分布，由两点分布的方差公式()(1)D p p ξ=-可解.【详解】由题意可知：用“1i ξ=”表示员工支持第i 种方案，用“0i ξ=”表示员工不支持，第i 种方案()1,2,3,4i =，所以随机变量()1,2,3,4i i ξ=服从两点分布，则()111(1)0.90.10.09D p p ξ=-=⨯=，()2220.750.250.1875(1)D p p ξ-==⨯=，()333(1)0.30.70.21D p p ξ=-=⨯=，()444(1)0.20.80.16D p p ξ=-=⨯=，所以()()()()1423D D D D ξξξξ<<<，D 选项正确.故选：D11．若a 、b 为实数，则“01ab <<”是“1a b <或1b a>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】若01ab <<，若0b >，则0a >，此时有10a b<<，若a<0，则0b <，此时有10b a<<，所以，若01ab <<，则“10a b <<或10b a<<”，即“01ab <<”⇒“1a b <或1b a>”；若“1a b <或1b a>”，若1a b <，不妨取2a =-，1b =-，则1ab >；若1b a>，不妨取2b =，1a =，则1ab >.所以，“01ab <<”⇐/“1a b <或1b a>”.因此，“01ab <<”是“1a b <或1b a>”的充分不必要条件.故选：A.12．已知项数为()*k k ∈N 的等差数列{}n a 满足11a =，()-112,3,,4n n a a n k ≤= ．若128k a a a +++= ，则k 的最大值是（）A ．14B ．15C ．16D ．17【答案】B【分析】通过条件11a =，()-112,3,,4n n a a n k ≤= ，得到332d k ≥--，再利用条件128k a a a +++= 得到162(1)k k k d =+-，进而得到不等关系：3162(1)32k k k k -≥+--，从而得到k 的最大值.【详解】由11a =，()-112,3,,4n n a a n k ≤= ，得到[]1(2)41(1)n d n d +-≤+-，即3(32)0n d +-≥，当2,3,,n k = 时，恒有3(32)0n d +-≥，即332d n ≥--，所以332d k ≥--，由128k a a a +++= ，得到[]12(1)()822k k k d k a a +-+==，所以3162(1)2(1)32k k k d k k k k -=+-≥+--，N,2k k ∈≥ ，整理得到：2349320k k -+≤，所以15k ≤.故选：B二、填空题13．如表定义函数()f x ：x12345()f x 54312对于数列{}n a ，14a =，()1n n a f a -=，n =2，3，4，…，则2023a =．【答案】5【分析】根据已知条件及数列的周期性即可求解.【详解】由题意，14a =，()1n n a f a -=，所以()()()()()()21324341,15,52,a f a f a f a f a f a f =========()()()()()()54657624,41,15,,a f a f a f a f a f a f ========= 所以数列{}n a 是以4为周期的周期数列，所以20235054335a a a ⨯+===.故答案为：5.14．4封信随机投入A ，B ，C 三个空邮箱，则邮箱A 的信件数X 的数学期望()E X =．【答案】43【分析】根据已知，利用二项分布以及二项分布的期望公式计算求解.【详解】4封信随机投入A ，B ，C 三个空邮箱，每封信投入邮箱A 的都是13，所以邮箱A 的信件数1~43X B ⎛⎫⎪⎝⎭，，所以邮箱A 的信件数X 的数学期望()43E X =.故答案为：43.15．已知数列{an }为等比数列，Sn 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5等于．【答案】31【分析】根据两个已知条件求出1,a q 的值，再利用等比数列的前n 项和求S 5.【详解】设数列{a n }的公比为q ，则a 2·a 3＝231a q ＝a 1·a 4＝2a 1⇒a 4＝2，a 4＋2a 7＝a 4＋234a q ＝2＋4q 3＝2×54⇒q ＝12.故a 1＝4316a q =，()5151311a q S q-==-.故答案为：3116．过点()0,2P 作曲线()2f x x x=+的切线l ，则l 的方程为．【答案】22x y =+【分析】利用导数计算公式、导数的几何意义以及直线的点斜式方程求解.【详解】设曲线()2f x x x=+的切点为()00,P x y ，又()221f x x '=-，所以切线斜率()0k f x '=，所以切线方程为()00y y k x x -=-，即()00200221y x x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭，又因为切线过点()0,2P ，所以()0020022210x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭，解得02x =，所以切点()2,3P ，所以切线l 的方程为：22x y =+.故答案为：22x y =+.17．5个相同的篮球，分给甲、乙、丙三位同学，不同分法的总数为．【答案】6【分析】在5个相同的篮球中间形成的4个空位中插入两块板，结合隔板法可得出结果.【详解】问题等价于：在5个相同的篮球中间形成的4个空位中插入两块板，所以，不同的分法种数为24C 6=种.故答案为：6.18．已知函数()2ln 2f x x a x x =+-，有下列四个结论：①当0a ≥时，()y f x =在()0,∞+上为增函数；②当102a <<时，()y f x =存在两个极值点；③当0a ≤时，()y f x =存在极大值；④若函数存在两个不同的极值点1x ，2x ，则()122f x x 的最大值恒为负．其中所有正确结论的序号是．【答案】②④【分析】根据导函数的正负，即可判断①,极值点的定义，结合函数的单调性即可判断②③，根据极值点，构造函数()2ln 2,g a a a a a =+-，即可利用导数求解函数单调性进而可求解④【详解】()2ln 2f x x a x x =+-的定义域为()0,∞+，()22222a x x af x x x x-+'=+-=，当0a ≥时，2211112222222x x a x a a ⎛⎫-+=-+-≥-≥- ⎪⎝⎭，故无法确定()y f x =在()0,∞+上为增函数；故①错误，若()y f x =存在两个极值点；则2220x x a -+=有两个相异的正实数根，所以1212Δ4800210a a x x x x =->⎧⎪⎪=>⎨⎪+=>⎪⎩，解得102a <<，故②正确，当0a ≤时，令()0,f x '=则2220x x a -+=，设该方程的两个根为1x <2x ，则1202ax x =≤，则120,0x x <>，当()()'∈<20,,0x x f x ，当()()'∈+∞>2,,0x x f x ，所以()f x 在()20,x 单调递减，在()2,x +∞单调递增，因此当2x x =时，()f x 取极小值，不存在极大值；③错误，由②知若函数存在两个不同的极值点1x ，2x ，102a <<，()()21212ln ,222x x f x x f a a a a a a +===-∴，令()()2ln 2,2ln 1g a a a a a g a a a '=+-=+-，由于2,ln 1y a y a ==-均为102a <<上的单调递增函数，所以()2ln 1g a a a '=+-为102a <<上的单调递增函数，11ln 21ln 202g ⎛⎫'=--=-< ⎪⎝⎭，所以()0g a '<在102a <<恒成立，故()g a 为102a <<上的单调递减函数，当a 趋近于0时，()g a 也趋向于于0，因此()0g a <，则()122f x x 的最大值恒为负．④正确，故答案为：②④【点睛】对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．三、解答题19．已知函数()32241=+-+f x x x x ．(1)求()f x 的单调区间；(2)求()f x 在[]3,1-上的最值．【答案】(1)减区间为22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，增区间为(),2-∞-和2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2)最大值为9，最小值为1327-【分析】（1）求出()f x '，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数()f x 的增区间和减区间；（2）求出函数()f x 在区间[]3,1-上的极大值和极小值，再与()3f -、()1f 比较大小，即可得出结论.【详解】（1）解：因为()32241=+-+f x x x x ，其中x ∈R ，则()()()2344322f x x x x x '=+-=-+，由()0f x '<可得223x -<<，由()0f x ¢>可得<2x -或23x >，所以，函数()f x 的减区间为22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，增区间为(),2-∞-和2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（2）解：列表如下：x[)3,2--2-22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭232,13⎛⎤ ⎥⎝⎦()f x '+-+()f x 增极大值9减极小值1327-增又因为()34f -=，()10f =，则1304927-<<<，因此，函数()f x 在[]3,1-上的最大值为9，最小值为1327-.20．甲、乙足球爱好者为了提高球技，两人轮流进行点球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得－1分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲、乙每次踢球命中的概率均为12，甲扑到乙踢出球的概率为12，乙扑到甲踢出球的概率13，且各次踢球互不影响．(1)经过1轮踢球，分别求甲、乙进球的概率；(2)经过1轮踢球，记甲的得分为X ，求X 的分布列及数学期望；(3)经过10轮踢球，请直接写出甲最有可能进球的个数．【答案】(1)甲、乙进球的概率分别为13，14(2)分布列见解析，1()12=E X (3)3【分析】（1）根据独立事件的乘法公式即可求解，（2）根据独立事件的概率乘法公式求解概率，即可得分布列，由期望的计算公式及可求解期望，（3）利用期望的性质即可求解.【详解】（1）记一轮踢球，甲进球为事件A ，乙进球为事件B ，A ，B 相互独立，由题意得：111()(1)233P A =⨯-=，111()(1)224P B =⨯-=，（2）甲的得分X 的可能取值为1-，0，1，111(1)()()()(1)346P X P AB P A P B =-===-⨯=，11117(0)()()()()()()(1)(1)343412P X P AB P AB P A P B P A P B ==+=+=⨯+-⨯-=，111(1)()()()(1)344P X P AB P A P B ====⨯-=，所以X 的分布列为：X1-01p16712141711()101612412E X =-⨯+⨯+⨯=．（3）又（1）知一轮比赛中甲进球的个数Y 的可能取值为0，1，所以一轮比赛中甲进球个数Y 的分布列为Y1p2313211()01333E Y =⨯+⨯=,故10轮比赛的进球个数为()10(10)1033E Y E Y ==≈，故经过10轮踢球，请直接写出甲最有可能进球的个数为3.21．已知椭圆G ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为32，且过点31,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．(1)求椭圆G 的方程；(2)若过点M （1，0）的直线与椭圆G 交于两点A ，B ，设点1,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，求NA NB + 的范围．【答案】(1)2214x y +=(2)1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据题意列方程解出,,a b c ，即可得出方程；（2）根据题意设直线AB 及交点,A B 坐标，联立直线与椭圆的方程得到12y y +，12y y ，表示出NA NB +，再由向量的模长公式结合基本不等式求解即可.【详解】（1）依题意可得22222=+3=213+=14a b cca ab ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩，解得=2=1=3a b c ⎧⎪⎨⎪⎩，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）当直线AB 斜率为0时，:0AB l y =，()()2,0,2,0A B -，1,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()53,0,01,022NA NB ⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1NA NB += ，当直线AB 斜率不为0时，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为：1x my =+，联立方程组可得22=+1+=14x my x y ⎧⎪⎨⎪⎩，得到()224230m y my ++-=，()222412416480m m m ∆=++=+>，由根与系数的关系得到12224m y y m +=-+，12234y y m -=+，1,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()1122121211,,1,22NA NB x y x y x x y y ⎛⎫⎛⎫+=-+-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，而()21212222411144m m x x m y y m m m -+⎛⎫+-=++=⋅-+= ⎪++⎝⎭，所以222224244m m NA NB m m ⎛⎫-+⎛⎫+=+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ 42422242424241681612121816816816m m m m m m m m m m m m -+++-===-++++++当0m =时，NA NB +=101-=，当0m ≠时，NA NB +=22121168m m-++，因为2222161682816m m m m++≥⋅+=，当且仅当2216m m=时取等，221230,1648m m⎛⎤∈ ⎥⎝⎦++，221211,11648m m ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭++，所以221211,11628m m⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭++.故NA NB + 的范围为：1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭.综上所述：NA NB + 的范围为：1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】思路点睛：解答直线与椭圆的题目时，联立直线方程与椭圆方程，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，再由基本不等式和向量的模长公式求解即可.22．已知函数()()2e 1xf x ax x =--．(1)求曲线()y f x =在点()0,1-处的切线方程；(2)若()f x 在2x =-处取得极大值，求a 的取值范围；(3)求证：当1a ≥时，()e f x ≥-．【答案】(1)210x y ++=(2)12a >-(3)证明见解析【分析】（1）求出()0f '的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；（2）求得()()()e 12x f x ax x '=-+，对实数a 的取值进行分类讨论，利用导数分析函数()f x 在2x =-附近的单调性，结合极值点的定义可得出实数a 的取值范围；（3）由()0f x <可得11411422a a x a a -+++<<，利用导数分析函数()f x 在114114,22a a a a ⎛⎫-+++ ⎪ ⎪⎝⎭上的单调性，证明出函数()f x 在114114,22a aa a ⎛⎫-+++ ⎪ ⎪⎝⎭上的最小值1e f a ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭即可.【详解】（1）解：因为()()2e 1xf x ax x =--，则()()()()22e 1e 21e 212x x xf x ax x ax ax a x '⎡⎤=--+-=+--⎣⎦，所以，()02f '=-，又因为()01f =-，所以，曲线()y f x =在点()0,1-处的切线方程为21y x =--，即210x y ++=.（2）解：因为()()()()2e 212e 12x xf x ax a x ax x '⎡⎤=+--=-+⎣⎦，因为()f x 在2x =-处取得极大值，①当0a =时，()()2e xf x x '=-+，当<2x -时，()0f x ¢>，此时函数()f x 单调递增，当2x >-时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减，则函数()f x 在2x =-处取得极大值，合乎题意；②当0a >时，12a>-，当<2x -时，()0f x ¢>，此时函数()f x 单调递增，当12x a-<<时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减，则函数()f x 在2x =-处取得极大值，合乎题意；③当12a=-时，即当12a =-时，()()21e 202x f x x '=-+≤且()f x '不恒为零，所以，函数()f x 在R 上单调递减，即函数()f x 无极值点，不合乎题意；④当102a -<<时，12a <-，当12x a<<-时，()0f x ¢>，此时函数()f x 单调递增，当2x >-时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减，所以，函数()f x 在2x =-处取得极大值，合乎题意；⑤当12a <-时，12a>-，当<2x -时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减，当12x a-<<时，()0f x ¢>，此时函数()f x 单调递增，所以，函数()f x 在2x =-处取得极小值，不合乎题意.综上所述，12a >-.（3）证明：当1a ≥时，由()()2e 10xf x ax x =--<，可得11411422a a x a a -+++<<，因为1a ≥，则()()14141141411420222a a a a a a a a++-+-+-++==>，所以，11422aa-+>-，所以，只需证当11411422a ax a a-+++<<时，()e f x ≥-，当11412a x a a -+<<时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减，当11142ax a a++<<时，()0f x ¢>，此时函数()f x 单调递增，所以，当11411422a ax a a -+++<<时，()11e e a f x f a ⎛⎫≥=-≥- ⎪⎝⎭，因此，当1a ≥时，对任意的x ∈R ，()e f x ≥-.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.23．设数列()12:,,,2n A a a a n ≥ .如果{}()1,2,,1,2,,i a n i n ∈= ，且当i j ≠时，()1,i j a a i j n ≠≤≤，则称数列A 具有性质P .对于具有性质P 的数列A ，定义数列()121:,,,n T A t t t - ，其中()111,,1,2,,10,k k k k k a a t k n a a ++⎧==-⎨⎩ ＜＞.(1)对():0,1,1T A ，写出所有具有性质P 的数列A ；(2)对数列()121:,,,2n E e e e n -≥ ，其中{}()0,11,2,,1i e i n ∈=- ，证明：存在具有性质P 的数列A ，使得()T A 与E 为同一个数列；(3)对具有性质P 的数列A ，若()115n a a n -=≥且数列()T A 满足()0,,1,2,,11,i i t i n i ⎧==-⎨⎩为奇数为偶数，证明：这样的数列A 有偶数个.【答案】(1)4,1,2,3、3,1,2,4、2,1,3,4(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据数列()T A 的定义，得到4n =且12a a >，23a a <，34a a <，确定21a =，按照14a =或44a =分别讨论可得答案；（2）设数列E ：121,,,n e e e - 中恰有s 项为1，在按照0s =、1s n =-、01s n <<-三种情况分别讨论可证结论；（3）按照n 的奇偶分类讨论，结合数列()T A 的定义可证结论.【详解】（1）因为():0,1,1T A ，所以13-=n ，则4n =因为10t =，21t =，31t =，所以12a a >，23a a <，34a a <，又{1,2,3,4}(1,2,3,4)i a i ∈=，所以21a =，14a =或44a =，当14a =时，342,3a a ==，当44a =时，133,2a a ==或132,3a a ==，综上所述：所有具有性质P 的数列A 为：4,1,2,3、3,1,2,4、2,1,3,4.（2）由于数列E ：121,,,n e e e - ，其中{0,1}i e ∈(1,2,3,1,2)i n n =-≥ ，不妨设数列E ：121,,,n e e e - 中恰有s 项为1，若0s =，则:,1,,1A n n - 符合题意，若1s n =-，则:1,2,,A n 符合题意，若01s n <<-，则设这s 项分别为12,,,s k k k e e e 12()s k k k << ，构造数列12:,,,n A a a a L ，令1211,,1,s k k k a a a +++ 分别为1,2,,n s n s n -+-+ ，数列A 的其余各项12,,,n s m m m a a a - 12()n s m m m -<<< 分别为,1,,1n s n s --- ，经检验数列A 符合题意.（3）对于符合题意的数列1,2:,,(5)n A a a a n ≥ ，①当n 为奇数时，存在数列11:,,,n n A a a a -' 符合题意，且数列A 与A '不同，()T A 与()T A '相同，按这样的方式可由数列A '构造出数列A ，所以n 为奇数时，这样的数列A 有偶数个，当3n =时，这样的数列A 也有偶数个，②当n 为偶数时，如果,1n n -是数列A 中不相邻的两项，交换n 与n 1-得到数列A '符合题意，且数列A 与A '不同，()T A 与()T A '相同，按这样的方式可由数列A '构造出数列A ，所以这样的数列A 有偶数个，如果,1n n -是数列A 中相邻的两项，由题设知，必有1n a n -=，1n a n =-，12a n =-，除这三项外，232,,,n a a a - 是一个3n -项的符合题意的数列A ，由①可知，这样的数列A 有偶数个，综上，这样的数列A 有偶数个.【点睛】关键点点睛：正确理解数列()T A 的定义，并利用定义求解是解题关键.。
2022-2023学年北京市海淀区高二期末练习数学试题【含答案】
2022-2023学年北京市海淀区高二期末练习数学试题一、单选题1．在复平面内，复数对应的点位于（ ）(2i)(13i)-+A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【分析】计算得到复数的代数形式，即可得答案.【详解】(2i)(13i)26i i 355i -+=+-+=+其对应的点位于第一象限()5,5故选：A.2．经过点且倾斜角为的直线的方程是（ ）(1,0)P -60︒A B 10y --=0y -+=C D ．0y -=10x +=【答案】B【分析】首先求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程；【详解】由倾斜角为知，直线的斜率60︒k =因此，其直线方程为01)y x -=+0y -=故选：B3．已知直线l 经过点，平面的一个法向量为，则（ ）(1,1,2),(0,1,0)A B α(2,0,4)n =--A ．B ．l α∥l α⊥C ．D ．l 与相交，但不垂直l ⊂αα【答案】B【分析】根据平面的法向量与直线的方向向量的关系即可求解.αl 【详解】因为直线l 经过点，(1,1,2),(0,1,0)A B 所以，又因为平面的一个法向量为，(1,0,2)AB =--α(2,0,4)n =-- 且，所以平面的一个法向量与直线l 的方向向量平行，2n AB = α则，l α⊥故选：.B 4．已知抛物线上的点到其焦点的距离是，那么实数的值为（ ）2y ax =01,2M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭1a A ．B ．C ．D ．141212【答案】D【分析】利用抛物线焦半径公式可直接构造方程求得结果.【详解】由抛物线方程知：抛物线焦点为，准线为，,0(0)4a F a ⎛⎫> ⎪⎝⎭4a x =-由抛物线定义知：，解得：.1124a MF =+=2a =故选：D.5．在平行六面体中，点M 满足．若，则下列1111ABCD A B C D -2AM AC =11111,,A B a A D b A A c ===向量中与相等的是（ ）1B MA ．B ．1122a b c -+ 1122a b c ++C ．D ．1122-++ a b c1122a b c--+ 【答案】C【分析】结合图形，由空间向量的线性运算可得.【详解】由点M 满足，所以M 为中点，2AM AC =AC 因为四边形ABCD 为平行四边形，所以M 为中点,BD 所以，111()()222BM BD BA BC a b ==+=-+所以.11111()222B M B B BM c a b a b c=+=+-+=-++ 故选：C6．已知直线，，则“”是“直线与相交”的（ ）:l y kx b =+22:1O x y += ||1b <l O A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据点到直线的距离公式，结合直线与圆的位置关系分别验证充分性，必要性即可得到结果.【详解】由题意可得直线与相交，:l y kx b =+22:1O x y +=2211b k <⇒<+当时，满足，即“”是“直线与相交”的充分条件；||1b <221b k <+||1b <l O 当直线与相交时，不一定有，比如也满足，所以:l y kx b =+22:1O x y += ||1b <2,3b k ==“”是“直线与相交”的充分不必要条件.||1b <l O 故选:A.7．在正方体中，直线是底面所在平面内不过的一条动直线，记直线1111ABCD A B C D -l ABCD C 与直线所成的角为，则的最小值是（ ）1A C l αsin αAB ．CD12【答案】A【分析】过作的平行线，过作该平行线的垂线，垂足为，则，，C l 1A P 1A CP α∠=11||sin ||A P A C α=根据可求出结果.11||||A P A A ≥【详解】如图：过作的平行线，过作该平行线的垂线，垂足为，C l 1A P 则，所以，1A CP α∠=11||sin ||A P A C α=设正方体的棱长为，则，，11||A C =11||||1A P A A ≥=所以与重合时，取得等号，11||sin ||A P A C α=≥P A所以sin α故选：A8．已知A ，B （异于坐标原点）是圆与坐标轴的两个交点，则下列点M 中，使22(2)(1)5x y -+-=得为钝角三角形的是（ ）MAB △A ．B ．(0,0)M M ⎛ ⎝C ．D ．(2,1M M 【答案】D【分析】先求出直线AB 的方程，确定弦AB 为该圆的直径，再判断A ，B ，C ，D 各选项中的点M 与圆的位置关系，即可确定的形状，从而得解．MAB △【详解】由A ，B （异于坐标原点）是圆与坐标轴的两个交点，22(2)(1)5x y -+-=不妨得，，则直线AB 的方程为，(0,2)A (4,0)B 122y x =-+显然圆心在直线AB 上，即弦AB 为该圆的直径，(2,1)对于A ，，即在圆上，则为直角三角形，故A 错误；22(02)(01)5-+-=(0,0)M MAB △对于B ，，即在圆外，则为锐角三角形，故B 错误；22(42)1)5-+>M ⎛ ⎝MAB △对于C ，，即在圆上，则为直角三角形，故C 错误；22(22)(11)5-+=(2,1M -MAB △对于D ，，即在圆内，则为钝角三角形，故D 正确．22(12)1)5-+<M MAB △故选：D ．9．“天问一号”是执行中国首次火星探测任务的探测器，该名称源于屈原长诗《天问》，寓意探求科学真理征途漫漫，追求科技创新永无止境．图（1）是“天问一号”探测器环绕火星的椭圆轨道示意图，火星的球心是椭圆的一个焦点．过椭圆上的点P 向火星被椭圆轨道平面截得的大圆作两条切线，则就是“天问一号”在点P 时对火星的观测角．图（2）所示的Q ，R ，S ，T 四个,PM PN MPN ∠点处，对火星的观测角最大的是（ ）A ．QB ．RC ．SD ．T【答案】A【分析】连接点P 和椭圆的左焦点，由对称性和椭圆上点到焦点距离的特征得点P 位于条件中点Q 处，对火星的观测角最大.【详解】设火星半径为R ，椭圆左焦点为，连接，则，1F 1PF 12MPN MPF ∠=∠因为，所以越小，越大，越大，11sin RMPF PF ∠=1PF 1MPF ∠MPN ∠所以当点P 位于条件中点Q 处，对火星的观测角最大.故选：A.10．如图，在棱长为1的正方体中，M ，N 分别为的中点，P 为正方体1111ABCD A B C D -111,BD B C 表面上的动点．下列叙述正确的是（ ）1111ABCD A B C D -A ．当点P 在侧面上运动时，直线与平面所成角的最大值为11AA D D CN BMP 2πB ．当点P 为棱的中点时，CN ∥平面11A B BMPC ．当点P 在棱上时，点P 到平面1BB CNMD ．当点时，满足平面的点P 共有2个P NC ∉MP ⊥NCP 【答案】C【分析】与不可能垂直，故选项A 错误；平移与平面相交于一点，故选项B 错误；NC MB NC H利用体积相等即可求出点P 到平面C ，当点时，满足CNM P NC ∉平面的点P 共有1个.当点为平面的中心时，故判断选项DMP ⊥NCP P 11BCC B 【详解】由于线面角的最大值为，2π与不可能垂直，故直线与平面所成角的最大值达不到.选项A 错误；NC MB CN BMP 2π取的中点为，的中点为,连接,相交于点，连接,DC H 11A B Q 11A C 11B D O ,OH ON 且//ON HC ON HC =故//OH NC平面,面，故不能与平面平行，故选项B 错误；H ∈ 1HBQD OH ⊄1HBQD CN BMP P CNM M PNC V V --= 到平面的距离始终为，故当点运动到点时，取得最小值为，故MPNC 12P 1B PNC △1111224⨯⨯=111132243P CNM M PNC PNC CNM V V S S h --==⨯==⋅MC MN == NC =12MNC S ==故，故选项C 正确.h =当点时，满足平面的点P 共有1个.当点为平面的中心时，故选项DP NC ∉MP ⊥NCP P 11BCC B 错误故选：C.二、填空题11．若复数满足，则___________．z ()31ii z +⋅=z=【分析】利用复数的四则运算化简复数，利用复数的模长公式可求得.z z【详解】由题意可得()()()3i 1i i 11i 1i 1i 1i 22z --===--++-=.12．已知直线，直线．若，则实数___________．1:20l ax y -+=2:(1)10l x a y -+-=12l l ⊥=a 【答案】##12-0.5-【分析】直接根据两直线垂直的公式计算即可.【详解】由得，解得12l l ⊥()10a a ++=12a=-故答案为：12-13．已知双曲线的渐近线为，则该双曲线的离心率为___________．22221x y a b -=y =【分析】根据渐近线方程可得：ba=e ==【详解】因为双曲线的渐近线为，22221xy a b -=y =所以，ba =c e a =====14．已知椭圆的左、右焦点分别是，且2222:1(0)x y M a b a b +=>>12(0,.)，F F A b 12AF F△正三角形．过垂直于的直线交椭圆M 于B ，C 两点，则的周长为___________．1F 2AF ABC 【答案】8【分析】由.后由中垂线性质结合椭圆定义可得答案.12AF F △a 【详解】如图，设，则，因，且其为正三角形，又，2OF c=222a b c =+12AF F △OA b=则，则.122b c b ⎧=⎪⇒⎨⋅⋅=⎪⎩1b c ⎧=⎪⎨=⎪⎩2a =又直线BC 过，与垂直，为正三角形，则直线BC 为中垂线，1F 2AF 12AF F △2AF 则，又，22，AB BF AC CF ==11BC BF F C=+故的周长，又C ，B 在椭圆上，则由椭圆定义有.ABC 2112C BF BF F C F C=+++48C a ==故答案为：815．古希腊数学家阿波罗尼斯在其著作《圆锥曲线论》中，系统地阐述了圆锥曲面的定义和利用圆锥曲面生成圆锥曲线的方法，并探究了许多圆锥曲线的性质．其研究的问题之一是“三线轨迹”问题：给定三条直线，若动点到其中两条直线的距离的乘积与到第三条直线距离的平方之比等于常数，求该点的轨迹．小明打算使用解析几何的方法重新研究此问题，他先将问题特殊化如下：给定条直线，，，动点到直线、和的距离分别为、111:22l y x =+211:22l y x =--3:1l x =P 1l 2l 3l 1d 和，且满足，记动点的轨迹为曲线．给出下列四个结论：2d 3d 122315d d d =P C ①曲线关于轴对称；C x②曲线；C ③平面内存在两个定点，曲线上有无数个点；C P ④．12d d +其中所有正确结论的序号是___________．【答案】①③④【分析】设点，求出点的轨迹方程，根据曲线对称性的定义可判断①；化简曲线的方(),P x y P C 程，利用两点间的距离公式结合二次函数的基本性质可判断②；化简曲线的方程，根据双曲线C 的定义可判断③；对点的位置进行分类讨论，利用二次函数的基本性质可求得的最小值.P 12d d +【详解】直线的方程为，直线的方程为，1l210x y -+=2l 210x y ++=设点，则，(),,1P x y x ≠1d 2d 31d x =-所以，，化简可得.()1222321211551x y x y d d d x -+⋅++==-()()222141x y x +-=-对于①，在曲线上任取一点，则点关于轴的对称点为，C (),P x y P x ()1,P x y -所以，，故点在曲线上，①对；()()()()2222214141x y x y x +-⨯-=+-=-1P C 对于②，设点.(),Px y 当时，则曲线的方程可化为，可得，()2214x y +≥C ()()222141x y x +-=-2y x =设坐标原点为，O 0=≥且原点坐标满足方程，此时有意义，②错；()()222141x y x +-=-122315d d d =对于③，当，则曲线的方程可化为，()2214x y +<C()()222411y x x -+=-整理可得，取双曲线的焦点、，22112y x -=22112y x -=10,F ⎛⎝2F ⎛ ⎝根据双曲线的定义可知，曲线上有无数个点，使得，③对；C P 12PF PF -==对于④，当点在抛物线上，且时，P 2y x =1x ≠，12d d +当且仅当时，等号成立，0y =当点在双曲线的上支时，则，P 22112y x -=y ≥y =1x ≠此时，12d d +因为，()()222110xx -+=->，1x >+()1x >-+故12d d+=≥=当且仅当时，等号成立；0x =当点在双曲线的下支时，同理可求得.P 22112y x -=12d d +综上所述，，④对.12d d +故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：本题考查曲线有关几何性质的应用，解题的关键在于根据题中的几何关系求出曲线的方程，并对曲线的方程进行化简，进而通过曲线的方程对曲线的几何性质进行分析求解.三、解答题16．已知直线与直线交于点，点关于坐标原点的对称点为，点在直线1:1l y =2:2l y kx =-A A C B 上，点在直线上．1l D 2l (1)当时，求点的坐标；1k =C (2)当四边形为菱形时，求的值．ABCD k 【答案】(1)()3,1C --(2)k =【分析】（1）当时，联立直线、的方程，求出点的坐标，再利用对称性可得出点的坐1k =1l 2l A C 标；（2）求出点的坐标，设点，求出点的坐标，根据点在直线上可得出，由菱A (),1B t D D 2l 1t k =-形的几何性质可得出，根据斜率关系可得出关于的等式，即可得解.OA OB ⊥k 【详解】（1）解：当时，直线的方程为，联立可得，即点，1k =2l 2y x =-12y y x =⎧⎨=-⎩31x y =⎧⎨=⎩()3,1A 因为点关于坐标原点的对称点为，故点的坐标为.A C C ()3,1--（2）解：若，则，不合乎题意，所以，，0k =12//l l 0k ≠联立可得，即点，12y y kx =⎧⎨=-⎩31x k y ⎧=⎪⎨⎪=⎩3,1A k ⎛⎫⎪⎝⎭设点为坐标原点，则，O 133OA k k k ==设点，因为四边形为菱形，且的中点为，则的中点为，(),1B t ABCD AC O BD O 所以点，因为点在直线上，所以，，则，即点，(),1D t --D 2l21kt --=-1t k =-1,1B k ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以，，11OB k k k ==--由菱形的几何性质可知，所以，，解得.OA OB ⊥213OAOBk k k =-=-k =17．已知曲线M 上的任意一点到点的距离比它到直线的距离小1．(1,0)2x =-(1)求曲线M 的方程；(2)设点．若过点的直线与曲线M 交于B ，C 两点，求的面积的最小值．(0,1)E (2,1)A EBC【答案】(1)24y x=(2)【分析】（1）利用抛物线的定义即可求解；（2）设直线的方程，联立直线与抛物线的方程，可知的面积，结合韦达定理BC EBC 12S y y =-及二次函数求最值，即可得解.【详解】（1）由已知得，曲线M 上的任意一点到点的距离与它到直线的距离相等，(1,0)=1x -所以曲线M 的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，(1,0)=1x -所以曲线M 的方程为24y x=（2）设，()11,B x y ()22,C x y 显然，过点的直线斜率不为0，设其方程为(2,1)A BC 2x my m=+-联立，整理得224x my m y x =+-⎧⎨=⎩()24042y my m -+-=其中，()()222121621628021616m m m m m ⎛⎫∆=-=-+=-+> ⎪⎝⎭-由韦达定理得：，，124y y m +=()1242y y m =-所以的面积EBC 12112S EA y y y =⨯⨯-=-===当时，12m =min 4S ===所以的面积的最小值为EBC 18．如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，点F 为的中点．P ABCD -ABCD PD(1)已知点G 为线段的中点，求证：CF ∥平面；BC PAG (2)若，直线与平面所成的角为，再从条件①、条件②、条件③这三个2PA AB ==PC ABCD 30︒条件中选择几个作为已知，使四棱锥唯一确定，求：P ABCD -（ⅰ）直线到平面的距离；CD ABF （ⅱ）二面角的余弦值．B AFC --条件①：平面；PA ⊥ABCD条件②：AD =条件③：平面平面．PAB ⊥PAD 【答案】(1)证明过程见详解(2)（ⅰⅱ【分析】(1) 取的中点，连接，，，，利用中位线证明平面，再利AD E EF EC AG PG //EF PAG 用平行四边形对边平行证明平面，然后利用面面平行的判定得到平面平面，//CE PAG //PAG EFC 最后由面面平行得到证明即可；(2)选择条件①和③（ⅰ）设点到平面的距离为，利用等体积法即可求解；D ABF h （ⅱ）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，分别求出两个平面的法向量，进而求解即可.【详解】（1）取的中点，连接，，，；ADE EF EC AG PG 因为分别为的中点，所以，平面，,E F ,PD AD //EF PA PA ⊂PAG 平面，所以平面，EF ⊄PAG //EF PAG 又因为分别为的中点，四边形为平行四边形，,G E ,BC AD ABCD 所以且，则四边形为平行四边形，//AE GC AE GC =AGCE 所以，平面，平面，所以平面，//CE GA GA ⊂PAG CE ⊄PAG //CE PAG 因为，平面，所以平面平面，CE EF E = ,CE EF ⊂EFC //PAG EFC 因为平面，所以平面.FC ⊂EFC //FC PAG（2）选择条件①和③（ⅰ）因为平面，所以即为直线与平面所成的角，PA ⊥ABCD PCA ∠PC ABCD由题意可知：，又，所以30∠=︒PCA 2PA AB ==AC =因为平面平面，且平面平面，因为平面，PAD ⊥PAB PAD ⋂PAB PA =PA ⊥ABCD 所以，所以平面，平面，所以,AB PA ⊥AB ⊥PAD AD ⊂PAD AB AD ⊥则四边形为矩形，因为，所以ABCD 2,AB AC ==AD ==设点到平面的距离为，由平面可知：，D ABF h AB ⊥PAD AB AF ⊥在中，Rt PAD△PD ==因为为的中点，所以FPD 12AF PD ==所以11222ABF S AB AF =⋅=⨯= 11222ABD S AB AD =⋅=⨯⨯= 因为，平面，平面，所以平面，//DC AB AB ⊂ABF DC ⊄ABF //DC ABF 所以点到平面的距离也就是直线到平面的距离.D ABF CD ABF 因为，即，D ABFF ABD VV --=111332ABF ABD S h S AP ⋅=⋅ 也即，所以11133h=⨯h 故直线到平面CD ABF （ⅱ）由（ⅰ）可知：，，两两垂直，分别以，，所在直线为轴，轴，AB AP AD AB AP AD x z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，则y (0,0,0)A (2,0,0)BF C ，，，(2,0,0)AB = AF = (2,AC =设平面的法向量为，平面的法向量为，ABF 111(,,)m x y z = AFC 222(,,)n x y z =则有，也即，令，则；·0·0m AF m AB ⎧=⎪⎨=⎪⎩111020z x +==⎪⎩12z =(0,2)m =则有，也即，令，则，·0·0n AF n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩2222020z x +=+=⎪⎩12z =(2,2)n =则cos ,m n m n m n<>== 由图可知：二面角为锐二面角，B AFC --所以二面角B AFC --19．已知椭圆的焦距为2，长轴长为4．2222:1(0)x y E a b a b +=>>(1)求椭圆E 的方程；(2)过点且与x 轴不重合的直线l 与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，点B 关于x 轴的对称点(3,0)M -为．问：平面内是否存在定点P ，使得恒在直线上？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，B 'B 'PC 说明理由．【答案】(1)22143x y +=(2)存在，4,03P ⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据条件求出，即可得椭圆E 的方程；,,a b c （2）直线l 为，，消去得，利用点写出3x ty =-()()1122,,,B x y C x y x ()223418150t y ty +-+=,B C '直线的方程，利用韦达定理整理变形可得直线过定点.B C '【详解】（1）由已知得，则，22,24c a ==1,2c a ==2223b ac ∴=-=椭圆E 的方程为；22143x y +=（2）设直线l 为，，则3x ty =-()()1122,,,B x y C x y ()11,B x y '-联立，消去得，223143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩x ()223418150t y ty +-+=，解得()()221860340t t ∴∆=-+>253t >则，1212221815,3434t y y y y t t +==++又直线的方程为B C '()212221y y y x x y x x +=-+-2122122112212112212212121212121y y y x y x y y x y x y y y x y x y y x y x x x x x x x x x x x x y y ⎛⎫++++++∴=-+=-=- ⎪-----+⎝⎭又，()()()212211212122121212121533234342318334ty y ty y ty y y y x y x y t t t y y y y y y t -+--+++===⨯-=-++++，恒过定点212143y y y x x x +⎛⎫∴=+ ⎪-⎝⎭4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭故存在定点，使得恒在直线上.4,03P ⎛⎫- ⎪⎝⎭B 'PC。