初升高数学衔接知识点

初升高数学衔接知识点 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998

1．绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即

,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩

绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．

两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．

1．填空：

（1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，则x =_________.

（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________.

2．选择题：

下列叙述正确的是 （ ）

（A ）若a b =，则a b = （B ）若a b >，则a b >

（C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则a b =±

3．化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）．

2. 乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；

（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+．

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；

（2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；

（3）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；

（4）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．

练 习

1．填空：

（1）221111()9423

a b b a -=+（ ）； （2）(4m + 22)164(m m =++ )；

(3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )．

2．选择题：

（1）若212

x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于 （ ） （A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116

m （2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ）

（A ）总是正数 （B ）总是负数

（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数

3.分解因式

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．

1．十字相乘法

例1 分解因式：

（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12；

（3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．

2．提取公因式法与分组分解法

例2 分解因式：

（1）32933x x x +++； （2）222456x xy y x y +--+-．

练 习

1．选择题：

多项式22215x xy y --的一个因式为 （ ）

（A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y -

2．分解因式：

（1）x 2＋6x ＋8； （2）8a 3－b 3；

（3）x 2－2x －1； （4）4(1)(2)x y y y x -++-．

3．分解因式：

（1） 31a +； （2）424139x x -+；

（3）22222b c ab ac bc ++++； （4）2235294x xy y x y +-++-．

4.根的判别式

我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为 2224()24b b ac x a a

-+=． ① 因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是

（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根

x 1，2 （2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根

x 1＝x 2＝－2b a

； （3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a

+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．

由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．

综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有

（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根

x 1，2 （2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根

x 1＝x 2＝－2b a

； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根．

x 1＝x 2＝1；

5.根与系数的关系（韦达定理）

若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根

1x =，2x =， 则有

1222b b x x a a

-+===-；

221222(4)444b b ac ac c x x a a a

--====． 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：

如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a

-，x 1·x 2＝c a ．这一关系也被称为韦达定理．

例1 已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．

例2 已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的