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a1,an互素.
定理4.2.3
假定I是唯一分解环, a, b I , 那么有
(1)在I中, a和b有最大公因子； (2) 若d , d 均为a和b的最大公因子，则d , d 是相伴关系.
§4.3
主理想环
定义4.3.1 如果整环I中的每一个理想都是主理想，
则称I是一个主理想环，记为PID.
则 是一个映射, 且a, b Z , 一定存在q, r Z使得 b aq r, r 0或 (r) r a (a). 故 (Z, , ,0,1)是一个欧氏环.
定义4.4.1 设I是整环，若 : I n Z : n 0 Z. 存在映射
由分解唯一性知 p是某个qi或q j 的相伴元， ' q ； 如 1 p则p b . 如 q1 p, 则p a
an p 推论 在一个UFD中, 若素元 p a1 a2 ，则 必整除某一个
ai ．
定理4.2.2 若整环I满足：
(1)I \ U (I )中每一个元均有一个分解式； (2) 若 p是I的素元, 则必有p ab p a或p b, a, b I . 那么I一定是唯一分解环.
引理4.5.1
设Z是I的商域, 0 f ( x) Z[ x], 则 b (1) f ( x) f 0 ( x), a, b I , f 0 ( x)是I [ x]中的本原多项式; a
(2) 若f ( x) b f0 ( x) d g0 ( x), a, b, c, d I , f 0 ( x), g 0 ( x) 均为I [ x]中的本原
定义4.2.2 假定d, a1,an I , 如果d ai , i 1,, n, 则称d为a1,, an的一个公因子；
假定d为a1,, an的一个公因子, 若a1,, an的每一个Βιβλιοθήκη Baidu因子都能整除d，则称 d为a1 ,, an的一个最大公因子.
定义4.2.3 假定a ,a
1
n
I , 如果a1 ,, an 在I中的最大公因子是单位 ，则称
引理4.4.1 假定 I[ x]是整环I 上的一元多项式，I[ x]的元
f ( x) q( x) g ( x) r ( x),
其中r ( x) 0或r ( x)的次数小于g(x)的次数 n.
g ( x) an xn an1xn1 a1x a0 的最高系数 an U (I ), 那么对 f ( x) I [ x], 存在q( x), r ( x) I [ x]使得
§4.4
欧氏环
使得对a, b I , a 0, 存在q, r I 满足 b qa r , 其中 r 0或 (r ) (a).则称I 是一个欧氏环( ED). 例1 整环 (Z, , ,0,1)是一个欧氏环.
证明 令 : Z Z; a a , a Z.
即 r ( x) 0或 (r ( x)) ( g ( x)).故F[ x]是唯一分解环.
附注 几种常见的整环之间的关系图：
整环①
UFD② PID③ ED④ 域⑤
例①可取 Z 3 ；
例②可取 Z[ x ]；
1 19 Z 例③可取 ； 2
例④可取 Z 或数域F 上的一元多项式环 F [ x] ； 例⑤可取有理数域、实 数域、复数域等．
p是单位.此与p是素元矛盾.
(3) p只有平凡因子.
定 理4.1.3 整环中一个不等于零的元a有真因子的充
分而且必要条件是：a=bc，b和c都不是单位元.
证明 ()a有真因子 b U (I )使得b a且b不是a的相伴元.
c I 使得a bc. 若c U ( I ), 则a与b是相伴关系，故c U (I ). ()假定a bc，b, c U ( I ) b不是a的相伴元，否则
' ' 则存在 k , l Z
2 : Z[i] \{0} Z; a bi a2 b ， 则 是一个映射.
使得
k k'
1 1 , l l' 2 2
2
令 k ' l 'i Z[i], ， 则 . 若
0, 则（ ）＝（ －）＝（ ） － 1 ' 2 ' 2 ＝ ( k k l l ) ( ) ( ). 2
单位
两个单位 和 的乘积 是一个单位， 1 的逆 也是一个单位.
定 理4.1.2 单位同素元p的乘积也是一个素元. 证明 (1) 0, p 0 p 0;
(2) p不是单位, 若不然，‘ I使得1 ‘ (p) (‘ ) p
第四章 整环里的因子分解
§ 4.1- § 4.3
目的与要求: ◆掌握整除,单位,相伴元,平凡因子,真因子,素元, 唯一分解的概念及性质. ◆掌握唯一分解环的概念及等价定义,了解公因子 最大公因子的概念与最大公因子的存在性. ◆掌握主理想环的概念和性质，以及主理想环与 唯一分解环的关系.
§4.1
素元
例1 证明
整数环(Z , , ,0,1)是主理想环.
{0} ）A是Z的理想，记A中的最小正整数为a, 则(a) A. 设（
另一方面，若m A, m (a),则a m, 设m as e,0 r a,
则 r m as A此与a的最小性矛盾，故A (a).从而A (a).
p是I中的素元， 则(p)为I的极大理想.
定理4.3.1 设 ( I ,,,0,1)是一个PID, 则I是UFD. 注：定理的逆不成立. 例如 Z[ x]是UFD但不是PID.
§ 4.4- § 4.6
目的与要求:
◆掌握欧氏环的定义以及欧氏环和主理想环的关系 ◆掌握本原多项式的定义与性质,以及多项式的可 约性判断. ◆掌握多项式的根,重根,导数；重根的判别定理.
故
A ( f ( x)), 从而A ( f ( x)).
引理4.3.1
设 ( I ,,,0,1) 是一个PID, 则I中的每一个真因子序列一定
是有限序列. 即若序列 a1 , a2 ,, (ai I ) 中每一个元素都是前面一个
元的真因子，则该列一定是有限序列.
引理4.3.2设 ( I ,,,0,1) 是一个PID,
pi 是I的素元 );
qi （ii）若同时 a q1q2 q (s 是I的素元 ); qi 且可把 那么 r s. qi , 的次序掉换 i pi i I的单位）. （ 是
例
(Z[ 3],,,是整环， 0,1)
4 2 2 (1 3)( 1 4 3) 是 在此环中两种
相伴元
定义4.1.3 元b叫做元a相伴元，假如b=εa ,其中ε是I的一
个单位.
平凡因子；真因子 定义4.1.4 单位以及元a的相伴元叫做a的平凡因子，其
余的a的因子，叫做真因子.
素元 定义4.1.5
整环I的一个元p叫做一个素元，假如p既不 是零元，也不是单位，并且p只有平凡因子.
定 理4.1.1
不同的分解.
证明 (i)
(ii)
a b 3(a, b Z )是单位 ＝1.
适合条件 ＝4的元是素元 .
2
. (iii) 1 3都不是2的相伴元
§4.2
唯一分解环
唯一分解环
定义4.2.1 一个整环I叫做一个唯一分解环(UFD)，如果I
的每一个既不等于零又不是单位的元都有唯一分
因此
(Z[i], , ,0,1)是欧氏环.
定理4.4.3 域F上的一元多项式环 F[ x]是一个欧氏环. 证明 显然 F[ x]是一个整环，令
则
：F[ x] Z; f ( x) deg( f ( x)), f ( x) F[ x]. 是一个映射. g ( x) F[ x] , f ( x) F[ x],
解．
例 Z 是一个UFD, Z[
3]
不是一个UFD．
p 是I中的素元，则对任 定理4.2.1 假定I是一个UFD，
意
a, b I
证明
p ab p a或p b 有：
．
当 a , b中有一个是零或是单位时，定理显真.
现设a, b 皆非零元，也非单位. p ab ab pc, c 0, c也非单位.
唯一分解
单位 定义4.1.1 整环I中的可逆元ε称I的一个单位.
注:
单位和单位元是两个不同的概念，单位元一定 是一个单位，而单位未必是单位元.
整除 定义4.1.2 称整环I的一个元a可以被I的元b整除，假如
在I里找得出元c，使得a=bc.假如a能被 b整除，我们 说b是a的因子，并且用符号b|a 来表示，否则用 b a 来表示.
(否则若c是单位，则pc是素元与pc可写成两个非单位的元之积矛盾).
于是 c p1 p2 pn , 诸pi皆素元 .又令 a q1q2 qr , b q1'q2' qs' , 诸q j ,qk '皆素元. 于是 q1q2 qr q1' q2 ' qs '＝p p1 p2 pn .
例 2 F是域，则(F[ x], , ,0,1)是主理想环.
证明：设（{0} ）A是F[ x]的理想，
记A中次数最低的多项式为f ( x), 则( f ( x)) A.
另一方面，若 g ( x) A, g ( x) ( f ( x)),则f ( x)
g ( x ),
设g ( x) f ( x)u( x) v( x), (v( x)) ( f ( x))而v( x) A此与f ( x)次数最小矛盾.
b a bc c 1 c U (I ) ,矛盾.
故a有真因子.
推论 假定a≠0，并且a有真因子b，a=bc，那么c也是a
的真因子.
唯一分解 定义4.1.6 我们说，一个整环I的一个元a在I里有唯一分
解，假如以下条件能被满足： （i） a p1 p2 pr (
定理4.4.1 任何一个欧氏环一定是一个主理想环，因而一
定是一个唯一分解环.
注：定理4.4.1的逆不真，P.I.D未必是欧氏环. 如复数域的子环
19 1 R a b a, b Z 是一个P.I.D但不是欧氏环. 2
定理4.4.2 (Z, , ,0,1)是欧氏环,从而是唯一分解环.
g ( x) 0 g ( x)的最高项系数an 0, 而an F , 则an可逆.
由引理4.4.1可知，q( x), r ( x) F[ x]使得
f ( x) q( x) g ( x) r ( x),
其中 r ( x) 0或r ( x)的次数小于g(x)的次数
n.
§4.5 多项式环的因子分解 设 I 为U .F .D，I [ x]为F 上的一元多项式环，则有如下简单事实： (1) U ( I [ x]) U ( I ), 且I[ x]为整环; (2) I[ x]中多项式f ( x)称为本原多项式，如果f ( x)系数的最大公因子是单位. (3) 若本原多项式 f ( x)可约, 则 f ( x) g ( x)h( x), g ( x), h( x) I[ x]且deg f ( x) deg g ( x) 0. (4) f ( x) g ( x)h( x)是本原的 g ( x)和h( x)均是本原的; (5) f ( x) I [ x], 若deg f ( x) 0, 则f ( x)是本原的 f ( x) U (I[ x]).
例2 数域F上的多项式环 ( F[ x], , ,0,1)是一个欧氏环. 例3 Gauss整数环 (Z[i], , ,0,1)是欧氏环. 证明 易证 (Z[i], , , 0,1) 是整环. 令
设 a bi Z[i]\{0}, c di Z[i], k li, k , l Z，