欧拉-伯努利梁单元刚度矩阵推导

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Euler-Bernoulli_beam_theroy(欧拉伯努利梁理论与有限元计算)

Euler-Bernoulli beam一、理论部分Euler-Bernoulli beam 假设()()'000u u yv v v x u u x ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩ (1.1)由(1.1)式可得'''00xx yy xy u yv εεγ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩ (1.2)虚位移原理 0int ext P P δδ+=(1.3) 其中d d ext P f u V T u S δδδ=+⎰⎰(1.4)()()()/2/20/2''''''/20''''''eee int h l xxxxh h l h l P dVb dxdyb E u yv u y v dxdy EAu u EIv v dxδσδεσδεδδδδ--=-=-=---=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰令12e x l ξ+=，e l 为单元长度，则上式成为()1''''''0012e int lP EAu u EIv v d δδδξ-=-+⎰(1.5)单元节点位移取为 {}()''01110222,,,,,Tq u v v u v v =(1.6)令{}(){}{}(){}01212340000u u u N N q v N N N N q = 0 0 ⎧⎪⎨= ⎪⎩ (1.7)其中形函数121212u u N N ξξ-⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ (1.8)()()()()()()()()2122232411241181124118e e N l N N l N ξξξξξξξξ⎧=-+⎪⎪⎪=-+⎪⎨⎪=+-⎪⎪⎪=+-+⎩(1.9)分别对式(1.7)、(1.8)求一阶和两阶导数得'1'21212u u N N ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (1.10)''1''2''3''4323144323144e eN N l N N l ξξξξ⎧=⎪⎪⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=-⎪⎪⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩(1.11)由2ex l ξ∂=∂，可得 '2ui ui e N N x l ∂=∂ (1.12)222'''''22i ii i i e N N N N N x x xx x x l ξξ⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(1.13)将(1.6)、(1.11)式代入(1.4)式，可得{}()'11''12'12''1''2''''''''1234''3''4002000000000u Tint u u e u N P q EA N N d l N N N EI N N N N N N δδξ-⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎨ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎩⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪ +0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎰(){}3112e d q l ξ-⎫⎪⎪⎪⎛⎫⎪ ⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎭⎰ (1.14)刚度矩阵e e eu v K K K =+ (1.15)()0'11''12'12002000000u eu u u e u N K EA N N d l N ξ-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎰(1.16)()''13''120''''''''12341''3''40200v e N N K EI N N N N d l N N ξ- ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎛⎫ ⎪=0 ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎰(1.17)二、算例本文所举算例为悬臂梁端部受竖向载荷P ，挠度理论曲线为2326Pl P y x x EI EI=-+ 具体数据如下：0.02b m =，0.05h m =，1l m =，82.110EA N =⨯，424.37510EI N m =⨯⋅，10P kN =P划分10个单元，11个结点。

西南交大高等混凝土采用插值方法的梁单元刚度矩阵推导

(6)
对应“广义应变”曲率的“广义应力”则为弯矩
M = EI ⋅ χ
(7)
此处需要注意坐标系的定义 “广义物理矩阵”可以定义为则，
[D] = EI
则，由前面介绍的单元刚度矩阵形成原理 (8)
[K ] = ∫ [B] [D][B ]dx
L T e 0
⎛ 12ξ − 6 ⎞ ⎜ ⎟ L2 ⎜ ⎟ ⎜ 6ξ − 4 ⎟ 1 ⎜ ⎟⎛ 12ξ − 6 L = EI ⋅ L ⋅ ∫ ⎜ ⎜ 12ξ − 6 ⎟⎝ L2 0 − ⎜ ⎟ L2 ⎟ ⎜ 6ξ − 2 ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ L ⎝ ⎠
2
x − L ⎞⎛ x ⎞ ⎛ ⎜1 − 2 ⎟⎜ ⎟ L ⎠⎝ L ⎠ ⎝
2
⎛ yi ⎞ ⎜ ⎟ ⎛x⎞ ⎫ ⎪⎜ θ i ⎟ (x − L )⎜ ⎟ ⎬⎜ ⎟ ⎝L⎠ ⎪ ⎭⎜ y j ⎟ ⎜θ ⎟ ⎝ j⎠
2
Байду номын сангаас
(1)
艾米特插值的特性
为了方便推导，定义
ξ=
x L
(2)
则，式(1)可写为
y = (1 + 2ξ )(ξ − 1)
采用插值方法的梁单元刚度矩阵推导
一、位移场插值
根据 Euler 梁理论，每个节点有两个自由度，即一个竖向位移和一个转角，且转角为位移的一阶导数。则，对于 Euler 梁可以采用艾米特插值
⎧ 2 x ⎞⎛ x − L ⎞ ⎪⎛ y = ⎨⎜1 + ⎟⎜ ⎟ L ⎠⎝ L ⎠ ⎪ ⎩⎝
2
⎛ x−L⎞ x⎜ ⎟ ⎝ L ⎠
{
2
L ⋅ ξ (ξ − 1)
2
(3 − 2ξ )ξ
2
⎛ yi ⎞ ⎜ ⎟ θ 2 ⎜ i ⎟ L ⋅ (ξ − 1)ξ ⎜ ⎟ y ⎜ j⎟ ⎜θ ⎟ ⎝ j⎠

变截面Euler_Bernoulli梁在轴力作用下固有振动的级数解

T [ 1]
性质可以得到 : an+ 2 ( c) =
T+ 3
AT + 4- i ai+ n- T - 2 ( 4) ( n + c + 1 ) ( n + c) ( n + c - 1) ( n + c - 2 ) 式中 : A i = - i ( n + c - 1 ) ( n + c- 2 ) ( n + c- i+ 1 ) ( n + c - i ) 0 i= 1
2
图 1 不同边界条件下一阶频率因子与轴力变化因子
- ( n + c- 1) ( n + c- 2) ( n+ c- 3) ( n+ c- 4) 0 ( n + c + 1 ) ( n + c) ( n + c - 1 ) ( n + c - 2 ) - ( n + c- 1) ( n + c- 2) ( n+ c- 4) ( n+ c- 5) ( n + c + 1 ) ( n + c) ( n + c - 1 ) ( n + c - 2 ) 0
2
x,
图 1 给出了多种边界条件下 ∀由 - 10 变化到 10 时, 一阶频率因子 1的变化曲线。可以看出 : 轴向拉力使一阶频率增大, 轴向压力使一阶频率降低; 由曲线的变化梯度可以看出 : 约束越弱, 轴向力对一阶频率的影响越明显 ; 在 ! 自由 - 固定 ∀ 边界条件下 , 当 ∀ 等于 7 . 837 3 时 , 轴向压力的作用使梁体失稳 ; 此时再增大 ∀ , 梁体无法再得到稳定的一阶振型与频率。

基于欧拉-伯努利梁和铁木辛柯梁理论的功能梯度材料模量测定

基于欧拉-伯努利梁和铁木辛柯梁理论的功能梯度材料模量测
定
杨小姜;施伟辰
【期刊名称】《计算机辅助工程》
【年(卷),期】2012(21)5
【摘要】为测定功能梯度材料的弹性模量和剪切模量,引入梁理论并将梁沿长度方向离散,建立单元平衡方程后可得到弹性模量和剪切模量分布；假设弹性模量为沿长度方向的线性函数或指数函数,用有限元软件仿真计算功能梯度材料梁单元节点处的挠度和转角,然后用插值法构造变形特征函数,并计算得出弹性模量和剪切模量,且计算值与理论值的误差较小.计算结果还表明,采用铁木辛柯梁理论不仅可以得到弹性模量,还可以计算剪切模量,且弹性模量计算结果比用欧拉-伯努利梁计算结果更接近真实值,但铁木辛柯梁理论中需测定转角,对测定过程的要求会更加严格.
【总页数】5页(P25-29)
【作者】杨小姜;施伟辰
【作者单位】上海海事大学物流工程学院,上海200135;上海海事大学物流工程学院,上海200135
【正文语种】中文
【中图分类】O343.7;TB115.1
【相关文献】
1.基于薄板和伯努利-欧拉梁理论的六维力传感器动态特性分析 [J], 卫然;张志才;许德章
2.基于薄板和伯努利-欧拉梁理论的六维力传感器动态特性分析 [J], 卫然;张志才;许德章
3.基于欧拉·伯努利梁的自动控制原理案例教学探索与实践 [J], 钟佳岐;蔡林沁
4.基于模态应变能与频率融合方法的功能梯度欧拉伯努利梁损伤识别研究 [J], 梁福安;黄君;黄立新
5.基于模态应变能与频率融合方法的功能梯度欧拉伯努利梁损伤识别研究 [J], 梁福安;黄君;黄立新
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欧拉-伯努利方程

欧拉-伯努利方程
欧拉-伯努利方程是流体力学中的一种重要方程，描述了流体在不可压缩、定常、理想流动条件下沿流线的行为。

它是基于质量守恒和动量守恒原理推导而来的。

欧拉-伯努利方程可以表示为：
P + 1/2ρv²+ ρgh = 常数
其中：P是流体的压力，ρ是流体的密度，v是流体的速度，g是重力加速度，h是流体的高度。

这个方程的意义是，沿着流体的流线，在没有外力做功的情况下，流体的总能量保持不变。

方程左边的三项分别代表了流体的压力能、动能和重力势能。

欧拉-伯努利方程在流体力学中有广泛的应用，例如可以用来解释飞机的升力产生、水流的速度和压力分布、水泵和风扇的工作原理等。

它为理解和分析流体力学问题提供了重要的工具和方法。

需要注意的是，欧拉-伯努利方程是一种基于一些假设条件的简化模型，在特定的情况下有效，但也有其适用范围和限制。

伯努利方程积分推导

伯努利方程积分推导伯努利方程（Bernoulli's equation）是流体力学中的一个重要方程，描述了沿着流体的流动方向，流体质点在流动过程中总能量守恒的情况。

下面将对伯努利方程进行推导。

设流体在运动中的某一点的物理量为P、ρ、v和h，分别代表流体的压强、密度、速度和高度。

根据流体力学基本原理，伯努利方程可表示为：P + 1/2 ρv^2 + ρgh = 常数其中，P + 1/2 ρv^2 是动压项，ρgh 是静压项。

为了推导伯努利方程，我们先从流体力学的基本公式出发——欧拉方程开始。

欧拉方程是描述流体运动的基本方程之一，其数学形式为：∂v/∂t + (v · ∇)v = - 1/ρ ∇P + g其中，∂v/∂t 是速度随时间的变化率，(v ·∇)v 是速度随空间的变化率，∇P 是压力随空间的变化率，g 是重力加速度。

将欧拉方程中的各项乘以ρ，并利用连续性方程（∇·v = 0），可以得到：ρ∂v/∂t + ρ(v · ∇)v = - ∇P + ρg这样，方程就变成了一个由速度、时间、压力和重力加速度构成的方程。

接下来，我们考虑无粘流体在等压情况下的流动。

在等压情况下，压力沿着流体的流动方向不变，即∇P = 0。

再考虑自由面，自由面上的压强为大气压，即 P = P0。

这时，欧拉方程可以简化为：ρ∂v/∂t + ρ(v · ∇)v + ρg = 0同时，假设流体为定常流动，即流体的速度与时间无关∂v/∂t = 0。

这样，方程可以进一步简化为：ρ(v · ∇)v + ρg = 0对于无粘流体，在速度的梯度值极小的条件下，可以利用链式法则将∇v进行展开，即∇v ≈ (∂v/∂x,∂v/∂y, ∂v/∂z)。

这样，方程可以进一步简化为：(v ·∇)v ≈ v · (∂v/∂x, ∂v/∂y, ∂v/∂z) ≈ (v ∂v/∂x, v ∂v/∂y, v ∂v/∂z)由于流体是连续的，在稳定流动中，速度大小在不同位置上是相等的，即 v = |v|。

等效刚度计算公式

等效刚度计算公式等效刚度是描述结构在荷载作用下的变形特性的一个参数，它表示了结构对荷载变形的抵抗能力。

等效刚度的计算公式可以根据不同的结构类型和计算方法而有所差异。

下面将介绍几种常见的等效刚度计算公式。

1.单自由度系统的等效刚度计算公式：在单自由度系统中，结构可以简化为单个质量与单个弹簧组成的系统。

等效刚度可以通过单自由度系统的自然频率和质量来计算。

等效刚度（k）可以用以下公式表示：k=mω²其中，m表示质量，ω表示自然频率。

2.梁的等效刚度计算公式：对于梁这种结构，可以使用欧拉－伯努利梁理论来计算等效刚度。

在此理论下，梁的等效刚度可以通过断面上每个单元体的刚度之和来计算。

等效刚度（k）可以用以下公式表示：k = ∫E(x)I(x)dx / L其中，E(x)表示断面上每个单元体的杨氏模量，I(x)表示断面上每个单元体的惯性矩，dx表示每个单元体的长度，L表示整个梁的长度。

3.线性弹簧支撑系统的等效刚度计算公式：对于弹簧支撑系统，可以通过各个弹簧的刚度来计算等效刚度。

在此情况下，等效刚度可以通过各个弹簧刚度之和来计算。

等效刚度（k）可以用以下公式表示：k = Σki其中，ki表示每个弹簧的刚度。

4.平板的等效刚度计算公式：对于平板这种结构，可以使用板的弯曲刚度和剪切刚度来计算等效刚度。

等效刚度（k）可以用以下公式表示：k=k1+k2其中，k1表示板的弯曲刚度，k2表示剪切刚度。

需要注意的是，在实际工程中，结构的等效刚度也可能受到其他因素的影响，例如结构的几何形状、材料的非线性特性等。

因此，在实际计算中，还需要考虑这些因素，并选择适合的计算方法和公式来计算等效刚度。

总之，等效刚度的计算公式因结构类型和计算方法而异。

本文只介绍了几种常见的计算公式，实际计算中还需要考虑其他因素。

对于不同的结构和问题，需要根据具体情况选择相应的等效刚度计算公式。

SMA计算

根据欧拉-伯努利梁理论假设，由上图可知00(),0,()dv u u x yw v v x dx=-== （1）其中，(,,)u v w 是点(,,)x y z 处沿x 轴、y 轴、z 轴上的位移，00(,)u v 为点(,0,0)x 处的位移。

根据这个假设，梁中唯一的非零应变为：200112du d v du y dx dx dxε==- (2)由图可以看到梁的某个微分单元中受到的力和弯矩，根据牛顿第二运动定律00x y zF F M ===∑∑∑ (3) 可以得到梁的平衡方程：()dNf x dx=- (4) ()dQq x dx=- (5) 0dMQ dx-= (6) 其中，()N x 是净轴向力，()M x 是弯矩，()Q x 是剪切力，()q x 为纵向均布力，()f x 为轴向力。

将方程(6)代入(5)后就可以得到一个新的方程：22()d Mq x dx-= (7) 由(4)和(7)可以得到梁的微分方程为：()dNf x dx-=， 22()d Mq x dx-= 其中， 3511111211311()()A N x dA b k k k dy σθεεε=⎰=⎰∆++3511111211311()()A M x ydA b y k k k dy σθεεε=⎰=⎰∆++建立方程()()Nf x x Qq x x vxw x∂=-∂∂=-∂∂=∂ 1.两端固支的边界条件，f=50N/m 2.两端固支，q=1000N/m3.F=1000N由图可以看到梁的某个微分单元中受到的力和弯矩，根据牛顿第二运动定律22220,()()0,()0,()2xy z Ff x dx N x v QF q x dx Adx Q dx Q t x Q v dx MM M Q dx dx Adx M dxx t x ρρ==∂∂=+++=∂∂∂∂∂=+++=+∂∂∂∑∑∑略去微分高次项，简化可以得到梁的平衡方程：()Nf x x∂=-∂22()v QA q x t xρ∂∂+=-∂∂0MQ x∂-=∂ 写成矩阵形式222222000()00 000u t N f x v A Q q x t x vx w w t ρ⎡⎤∂⎢⎥∂⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎡⎤∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦∂⎢⎥⎢⎥∂⎣⎦1.f=100*sin(100*t) 2F=2000*t复合梁2112222112220,()()0,()()0,()()2xy z Ff x dx N x v QF q x dx A A dx Q dx Qt x Q v dx MM M Q dx dx A A dx M dx x t xρρρρ==∂∂=++++=∂∂∂∂∂=++++=+∂∂∂∑∑∑2221122222000()00 ()00ut N f x v A A Q q x t x vx w w t ρρ⎡⎤∂⎢⎥∂⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎡⎤∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦∂⎢⎥⎢⎥∂⎣⎦221122353522211111211311111211311222()()()h h h A h h h N x dA b k k k dy b E dy b k k k dyσθεεεεθεεε---=⎰=⎰∆+++⎰+⎰∆++221122353522211111211311111211311222()()()h h h A h h h M x ydA b y k k k dy b yE dy b y k k k dyσθεεεεθεεε---=⎰=⎰∆+++⎰+⎰∆++。

基于Hopfield神经网络的有限元模型修正

d o i :10.3963/j .i s s n .1674-6066.2022.04.012基于H o pf i e l d 神经网络的有限元模型修正杨昕怡(武汉理工大学土木工程与建筑学院,武汉430070)摘要: 工程结构的有限元模型对结构的健康监测与可靠性评估有重大意义,但实际工程中测量数据和模型都与结构初始有限元模型有一定的差异,因此有必要对实际结构的有限元模型进行修正㊂首先建立有限元模型修正方程来表达结构响应与待修正参数之间的关系,再通过H o p f i e l d 递归神经网络技术,对模型修正方程进行求解㊂通过一个数值梁模型对提出的方法进行了验证,结果显示H o p f i e l d 神经网络在求解线性模型修正仿真中有较好的效果㊂关键词: H o pf i e l d 神经网络; 模型修正; 线性方程组; 有限元模型F i n i t eE l e m e n tM o d e lM o d i f i c a t i o nB a s e do nH o p f i e l d N e u r a lN e t w o r kY A N G X i n -yi (S c h o o l o fC i v i l E n g i n e e r i n g a n dA r c h i t e c t u r e ,W u h a nU n i v e r s i t y o fT e c h n o l o g y ,W u h a n430000,C h i n a )A b s t r a c t : T h e f i n i t e e l e m e n tm o d e l o f e n g i n e e r i n g s t r u c t u r ew a so f g r e a t s i g n i f i c a n c e t o t h eh e a l t h m o n i t o r i n g a n d r e l i a b i l i t y e v a l u a t i o n o f t h e s t r u c t u r e ,b u t t h em e a s u r e d d a t a a n d t h em o d e l i n t h e a c t u a l e n g i n e e r i n g w e r e d i f f e r e n t f r o m t h e i n i t i a l f i n i t e e l e m e n tm o d e l o f t h es t r u c t u r e ,s o i tw a sn e c e s s a r y t o m o d i f y t h e f i n i t ee l e m e n tm o d e l o f t h ea c t u a l s t r u c t u r e .F i r s t l y ,t h e f i n i t ee l e m e n tm o d e lm o d i f i c a t i o ne q u a t i o n w a se s t a b l i s h e dt oe x p r e s st h er e l a t i o n s h i p b e t w e e n s t r u c t u r a l r e s p o n s e a n d p a r a m e t e r s t o b em o d i f i e d ,a n d t h e n t h eH o p f i e l d r e c u r s i v e n e u r a l n e t w o r k t e c h n o l o g y wa s u s e d t os o l v e t h em o d e lm o d i f i c a t i o n e q u a t i o n .An u m e r i c a lb e a m m o d e lw a s u s e d t o v e r i f y t h e p r o p o s e dm e t h o d ,a n d t h e r e -s u l t s s h o w e d t h a tH o p f i e l dn e u r a l n e t w o r kw a s e f f e c t i v e i n s o l v i n g l i n e a rm o d e lm o d i f i c a t i o n s i m u l a t i o n .K e y wo r d s : H o p f i e l dn e u r a l n e t w o r k ; m o d e lm o d i f i c a t i o n ; l i n e a r e q u a t i o n s ; f i n i t e e l e m e n tm o d e l 收稿日期:2022-04-08.基金项目:武汉理工大学土木工程与建筑学院国家级大学生创新创业训练计划资助(202110497067).作者简介:杨昕怡(2000-),本科生.E -m a i l :y a n g x i n y i @w h u t .e d u .c n 自有限单元元分析法问世至今,一直备受工程界学者的广泛关注㊂利用有限元模型来模拟研究结构响应对结构的设计㊁运营㊁维护㊁监测等活动具有重大作用㊂有限元模型修正主要是用结构实测的响应来反演结构力学参数,如弹性模型㊁质量㊁密度㊁尺寸参数等㊂常用的结构实测响应数据主要有静力数据和动力数据㊂由于结构动力数据种类丰富㊁测量方便,因此基于动力数据的有限元模型修正方法较多㊂国内外很多工程领域的研究人员都对基于动力数据的模型修正方法开展了研究,例如,方圣恩等[1]提出了一种模型修正措施,将建立的响应面模型与应用蒙特卡罗仿真技术得到的结构响应样本相联合,用于结构有限元模型修正㊂姚春柱等[2]采用了贝叶斯模型修正方法,将使用吉布斯抽样的蒙特卡罗马尔科夫链抽样方法得到的数据代入随机模型,应用贝叶斯理论,得到关于模型参数的后验分布动态统计特征,达到对参数进行识别的目标㊂陈辉等[3]结合结构随机响应实测数据列出了能准确表达待修正参数与结构反应之间联系的模型修正方程式,并在求解该方程时运用混合摄动-伽辽金方法,从而获取修正参数的概率统计特征㊂在国际上,美国的B e c k JL 教授[4]在对线弹性土木结构的随机模型修正研究中应用了贝叶斯方法,通过判断所抽取样本对应的响应与测量结果是否吻合来确定修正参数㊂R u i [5]通过响应面法㊁改进的蒙特卡洛统计模拟法和移动最小二乘法求解了模型修正方程㊂模型修正是力学反问题,求解模型修正方程,会涉及大型矩阵反复求逆,或存在多解或者病态问题,导致64建材世界 2022年第43卷第4期计算精度不高㊂并且根据目前国内外研究人员的研究成果可以看出学者们对模型修正的研究还在初级阶段,还需克服许多困难㊂因此,在工程界的迫切需求下,提出更为实用和高效的模型修正方法具有必要性㊂使用H o p f i e l d神经网络来求解模型修正方程能有效解决上述问题㊂首先建立基于动力模态数据的模型修正方程,并对H o p f i e l d神经网络解决实际问题的理论解与模型推导进行阐述,然后通过一个两跨连续梁对该方法进行了验证㊂结果表明,该方法能非常准确地求解模型修正方程,使修正结果与预设的工况一致,修正后的结构参数能够复现结构动力响应,具有实际工程意义㊂1理论1.1模型修正方程的建立考虑具有N个自由度的无阻尼结构,初始模型满足以下特征值方程K aφi=λi M aφi(i=1, ,n c)(1)式中,K a和M a分别是初始结构模型的整体刚度矩阵和质量矩阵;λi和φi分别是初始模型的第i阶特征值和特征向量;n c为初始模型的计算模态个数㊂类似地,实际结构的特征方程可以表示为K dφ-j=λ-j M dφ-j(j=1, ,n m)(2)式中,K d和M d分别是实际结构模型的整体刚度矩阵和质量矩阵;λ-j和φ-j分别是实际模型的第j阶特征值和特征向量;n m为实际模型的计算模态的个数㊂初始结构跟实际结构的质量矩阵与刚度矩阵存在以下关系M d=M a+ðN e n=1βn M n(3)K d=K a+ðN e n=1αn K n(4)式中,N e为结构的单元个数;K n和M n分别是结构第n个单元的NˑN单元组装矩阵;αn和βn分别为结构第n个单元的质量和刚度的修正系数,表示为实际结构的单元刚度和质量相对于初始矩阵的变化率㊂将式(1)的每个方程左乘φ-T j,其中j=1, ,n m㊂同样,将式(2)的每个方程左乘φT i,其中i=1, ,n c㊂可以得到φ-T j K aφi=λiφ-T j M aφi(5)φT i K dφ-j=λ-T jφi M dφ-j(6)合并式(5)和式(6)可以得到φT i K dφ-jφT i K aφ-j =λ-jφT i M dφ-jλiφT i M aφ-j(7)将式(3)㊁式(4)代入式(7)可以得到1+ðN e n=1αnφT i K nφ-jφT i K aφ-j =λ-jλi1+ðN e n=1βnφT i M nφ-jφT i M aφ-æèçöø÷j(8)对式(8)进行因式变换可以得到ðN e n=1αnφT i K nφ-jφT i K aφ-j -ðN e n=1βnφT i M nφ-jφT i M aφ-j=λ-jλi-1(9)式(9)可以简写为C(0)E(0[])㊃γ(0)=f(0)(10)式中,C=Φ()i T K nΦj,E=ðN e n=1-λ-jΦ()i T M nΦj,f(0)=λ-jΦ()i T MΦj-Φ()i T KΦj,γ=α[]βT㊂1.2H o p f i e l d神经网络H o p f i e l d神经网络作为一种递归神经网络,具有多反馈回路㊂递归神经网络通过结构递归建立,根据不同形式的递归性应用,产生了许多具有不同结构的递归网络㊂在各种神经网络的学习算法中,梯度下降法应用十分广泛㊂采用H o p f i e l d神经网络来求解现行矩阵方程,根据得到的解与理论解之间的对比,能判断该74建材世界2022年第43卷第4期神经网络模型求解线性矩阵方程的有效性㊂数学矩阵论中求C (0)E (0[])㊃γ(0)=f (0)的方法如下x =C ()0 E ()[]0/f ()0=C ()0 E ()[]0-()1㊃f ()0 下面依据负梯度设计方法推导该神经网络模型:1)构造一个基于矩阵范数的标量误差函数ε(t )= C ()0E ()[]0 22/2=C ()0E ()[](0㊃γ()0-f ())0T C ()0E ()[]0㊃γ()0-f ()()0/2 2)为了使上述误差减小,可采用经典的负梯度方法,因此我们可以得到如下误差函数负梯度方向作为下降方向-∂ε∂χ=-C ()0E ()[]0T C ()0E ()[](0㊃γ()0-f ())0 3)线性的基于负梯度的神经网络模型如下γ㊃()0()t =-γC ()0E ()[]0T C ()0E ()[](0㊃γ()0-f ())0其中参数γ>0决定网络的收敛速度,如条件允许,越大越好㊂2 数值算例下面对一个双跨连续梁进行模型修正研究,跨长和梁截面如图1所示㊂模拟连续梁的有限元模型由12个相同的欧拉-伯努利梁单元组成㊂单元中的每一个节点包括两个自由度㊁一个垂直位移和一个扭转角度㊂假设初始梁模型弹性模量为2.8ˑl 010P a ,密度为2.5ˑ103k g /m 3㊂假设第②㊁⑤㊁⑩三个单元的真实质量分别下降了40%㊁30%和20%,同时第③㊁⑤㊁⑨㊁⑩㊁单元的弹性模量分别减少30%㊁40%㊁35%㊁30%和20%,其他单元的质量与弹性模量保持初始值不变㊂将12个单元的弹性模量和质量认定为修正参数㊂修正后的弹性模量参数从左到右编为1~12号,相应的质量参数为13~24㊂换句话说,修正后的参数总数为24㊂计算得到该两跨连续梁24个参数修正后的神经网络预测值与实际真值结果对比如图2所示㊂由图2可以看出,修正后的H o p f i e l d 识别值与实际真值基本吻合,由此可证明H o p f i e l d 神经网络修正模型的有效性㊂(下转第65页)84建材世界 2022年第43卷第4期建材世界2022年第43卷第4期[10]施有志,柴建峰,赵花丽,等.地铁深基坑开挖对邻近建筑物影响分析[J].防灾减灾工程学报,2018,38(6):927-935.[11]郑翔,汤继新,成怡冲,等.软土地区地铁车站深基坑施工全过程对邻近建筑物影响实测分析[J].建筑结构,2021,51(10):128-134.[12]A n JB,S u nCF.S a f e t y A s s e s s m e n t o f t h e I m p a c t s o f F o u n d a t i o nP i t C o n s t r u c t i o n i nM e t r oS t a t i o no nN e a r b y B u i l d i n g s[J].I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f S a f e t y a n dS e c u r i t y E n g i n e e r i n g,2020,10(3):423-429.[13]王利军,邱俊筠,何忠明,等.超大深基坑开挖对邻近地铁隧道变形影响[J].长安大学学报(自然科学版),2020,40(6):77-85.[14]尚国文,李飒,翟超,等.基坑开挖与邻近地铁结构变形相关性的实测分析[J].防灾减灾工程学报,2020,40(1):107-115.[15]丁智,张霄,金杰克,等.基坑全过程开挖及邻近地铁隧道变形实测分析[J].岩土力学,2019,40(S1):415-423.[16]许四法,周奇辉,郑文豪,等.基坑施工对邻近运营隧道变形影响全过程实测分析[J].岩土工程学报,2021,43(5):804-812.[17]左自波,黄玉林,吴小建,等.基坑施工对下方双线地铁隧道影响的数值模拟[J].北京交通大学学报,2019,43(3):50-56.[18]章润红,刘汉龙,仉文岗.深基坑支护开挖对临近地铁隧道结构的影响分析研究[J].防灾减灾工程学报,2018,38(5):857-866.[19]S u nH S,W a n g,L W,C h e nSW,e t a l.AP r e c i s e P r e d i c t i o n o f T u n n e l D e f o r m a t i o nC a u s e d b y C i r c u l a r F o u n d a t i o nP i t E x-c a v a t i o n[J].A p p l i e dS c i e n c e s,2019,9(11),2275.[20]徐宏增,石磊,王振平,等.深基坑开挖对邻近大直径管线影响的优化分析[J].科学技术与工程,2021,21(2):714-719.[21]贺雷,张亚楠,曹明洋,等.软土区基坑开挖对邻近电缆隧道的影响研究[J].建筑结构,2020,50(S1):1032-1037.[22]施有志,葛修润,李秀芳,等.地铁深基坑施工对周边管线影响数值分析[J].中山大学学报(自然科学版),2017,56(6):83-93.[23]L iWJ,H a nX M,C h e nT,e t a l.R e s e a r c ho n I n f l u n e n c eL a wo f E x i s t i n g P i p e-j a c k i n g T u n n e lA f f e c t e db y A d j a c e n t F o u n-d a t i o nP i tE x c a v a t i o ni nS o f tC l a y S t r a t u m[J].I O P C o n fe r e n c eS e r i e s M a t e r i a l sS c i e n c ea n d E n g i n e e r i n g,2019,688:022041.(上接第48页)3结论该文提出了一种基于H o p f i e l d人工神经网络和模态数据求解有限元模型修正参数的方法㊂基于结构实测响应,通过构建修正方程与H o p f i e l d神经网络对一两跨连续梁质量与弹性模量参数进行修正,修正后得到的有限元模型与结构实际特征基本统一㊂因此可以认为将H o p f i e l d神经网络引入模型参数修正中可以避免大型矩阵求逆和正则化,能更准确的修正结构参数㊂参考文献[1]方圣恩,林友勤,夏樟华.考虑结构参数不确定性的随机模型修正方法[J].振动.测试与诊断,2014,34(5):832-837,973.[2]姚春柱,王红岩,芮强,等.车辆点焊结构有限元模型参数不确定性修正方法[J].机械科学与技术,2014,33(10):1545-1550.[3]陈辉,张衡,李烨君,等.测量模态不确定的梁式结构随机有限元模型修正[J].振动工程学报,2019,32(4):653-659.[4] B e c k JL,K a t a f y g i o t i sLS.U p d a t i n g M o d e l s a n dT h e i rU n c e r t a i n t i e s-I:B a y e s i a nS t a t i s t i c a l F r a m e w o r k[J].J o u r n a l o f E n-g i n e e r i n g M e c h a n i c s,1988,124(4):455-461.[5] R u iQ,O u y a n g H,W a n g H Y.A nE f f i c i e n tS t a t i s t i c a l l y E q u i v a l e n tR e d u c e d M e t h o do nS t o c h a s t i c M o d e lU p d a t i n g[J].A p p l i e d M a t h e m a t i c a lM o d e l l i n g,2013,37(8):6079-6096.56。

二端连续元件动力学特性的矩阵描述法

阵法被广泛应用于解决诸如转子动力学等领域的线
性链式、时不变系统的动力学问题。传递矩阵法一直
在不断发展。Ｈｍｅ和Ｐｌｅ提出了Ｒｃａｉｏｒｉｙｋｉｔ传递矩ｃ阵法，解决数值稳定性问题。于百胜对传递矩阵法
矩阵和导纳矩阵的解析公式，研究了四种矩阵的特性。结合欧拉梁和杆的相关公式，得到了般二维梁的传递矩阵和广义阻抗矩阵的解析公式。数值算例表明：在激励频率较低时，该方法与有限元法的结果基本相同。最后，讨论了动力学中的矩阵描述法（阻抗矩阵法、导纳矩阵法和传递矩阵法）与静力学中的矩阵描述法（移法、位力法和混合法）的对应关系。矩阵描述法有利于利用计算机编程计算动力学问题，所推导的公式可用于连续系统的动力学分析，计算工作量不大且精
Ｌｅ提出了谱传递矩阵法（ＴｅＳＭＭ）。左鹤声详细介
绍了阻抗矩阵和导纳矩阵的概念及测试方法。李江涛等基于机械阻抗原理，阻抗平台上测量了复合材在
料杆的机械阻抗，进行了参数识别 ¨ 。
其中：Ｙ＝ＹｘｅＰ为密度，（），，Ａ为截面积，为弹性
１欧拉梁
研究欧拉梁作小挠度振动时的特性。建立局部坐
标系¨ 垂向速度ｖ，角，，ｙ转弯矩，剪力的正
方向如图１示。所
阵的特性。传递矩阵法的应用，般限于以下三方一
面：１（）研究离散系统的振动特性；２（）研究连续系统的振动特性；３研究杆件系统的振动特性时，杆（）将离散成无质量弹性杆和有集中质量的刚性杆。传递矩

求梁单元的刚度矩阵

A 点其相对于中性层的弧长伸长量 l y ab ds ab dx 1

y y dx dx dx
d 2v 此时，由弯曲引起的线应变为 b y 2 dx dx y
l y
（考虑到随着 x 的增大而减小，所以， dx 为正时， d 是负的。）在上面的推导中，采用的是传统的材料力学的坐标系——x 轴正方向指向右，y 轴指向挠曲的方向，即向下。此时的 y 是正的。而在有限元中，y 轴的方向是按右手螺旋定则决定的，应指向上方。所以，图 3 所示 y 点的位置是-y。从而在下面的公式中，有
b
l y dx

y

y
d 2v dx 2
2、求单元的应变向量和应力向量
du 0 dx , 2 b y d v dx 2

E 0
0 E
（注：这里 0 表示拉压时的应变， b 表示受纯弯曲时的沿弯曲方向的正应变，y 表示点沿杆件偏离中轴线方向的位置）利用虚功原理，求出其单元刚度矩阵。（也可使用平衡法）。结果中将 y 2 dA I
12 y 2 6 x 2 5 x 1 l l3 l2 2 2 4 y 9x 9x 2 l l2 l2 积分后可 0 2 2 12 y 6 x 5 x 3 2 1 l l l 2 2 4 y 9x 6x 1 l l2 l2 0
关于此题的说明：此处取逆时针方向角度为正，那么
dv 。 dx
图2 图3 证明：图 2 中， m1 , m2 在中性层的挠度曲线上，当弯曲一个 d 时，考虑到挠度很小，有 tg

二维欧拉梁单元公式

二维欧拉梁单元公式
二维欧拉梁单元是一种常用的结构力学中的有限元单元，用于分析和计算梁结构的变形和应力。

二维欧拉梁单元的公式可以表示为：
在局部坐标系下，欧拉梁单元的位移场可以由以下公式表示：\[ u(x) = a_1 + a_2x + a_3x^2 + a_4x^3 \]
\[ v(x) = b_1 + b_2x + b_3x^2 + b_4x^3 \]
其中，\( u(x) \) 和 \( v(x) \) 分别代表梁在 x 方向和 y 方向的位移，\( x \) 代表梁的局部坐标。

欧拉梁单元的刚度矩阵和载荷矢量可以由以下公式表示：
刚度矩阵：
\[ \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} \\ K_{21} & K_{22}
\end{bmatrix} \]
载荷矢量：
\[ \begin{bmatrix} F_1 \\ F_2 \end{bmatrix} \]
其中，\( K_{11} \)、\( K_{12} \)、\( K_{21} \) 和 \( K_{22} \) 分别代表刚度矩阵的元素，\( F_1 \) 和 \( F_2 \) 分别代表载荷矢量的元素。

刚度矩阵和载荷矢量的具体计算公式可以通过对欧拉梁单元的形函数进行合适的求导和积分得到。

欧拉梁假设公式

欧拉梁假设公式
欧拉－伯努利梁理论有两个假设：变形前垂直梁中心线的平剖面，变形后仍然为平面（刚性横截面假定）；变形后横截面的平面仍与变形后的轴线相垂直。

在任何一个规则球面地图上，用R记区域个数，V记顶点个数，E记边界个数，则R+ V- E= 2，这就是欧拉定理，它于1640年由Descartes首先给出证明。

R+ V- E= 2就是欧拉公式。

1.当R= 2时，由说明1,这两个区域可想象为以赤道为边界的两个半球面，赤道上有两个“顶点”将赤道分成两条“边界”，即R= 2，V= 2，E= 2；于是R+ V- E= 2,欧拉定理成立.。

2.设R= m(m≥2)时欧拉定理成立，下面证明R= m+ 1时欧拉定理也成立。

由说明2，我们在R= m+ 1的地图上任选一个区域X ,则X 必有与它如此相邻的区域Y ，使得在去掉X 和Y 之间的唯一一条边界后，地图上只有m 个区域了。

在去掉X 和Y 之间的边界后，若原该边界两端的顶点现在都还是3条或3条以上边界的顶点。

则该顶点保留，同时其他的边界数不变;若原该边界一端或两端的顶点现在成为2条边界的顶点，则去掉该顶
点,该顶点两边的两条边界便成为一条边界。

于是,在去掉X 和Y之间的唯一一条边界时只有三种情况：减少一个区域和一条边界。

减少一个区域、一个顶点和两条边界。

减少一个区域、两个顶点和三条边界。

3c 虚功原理推导单元刚度矩阵

§3-3 虚功原理推导梁单元的（单元）刚度矩阵设在力P 的作用下，梁单元i-j 的两端点分别发生了线位移和角位移，用{}e δ来表示梁单元的端点位移（又称结点位移）： {}{}Teii jj v v δθθ=使梁单元发生结点位移{}e δ的单元结点力（杆端力）为： {}{}Teii jj F F M F M =根据材料力学，如果已知梁的两端点位移，则可求出等截面梁上任意一点的位移（挠度）。

即梁上任意一点的位移v(x)可以用{}e δ表示出来，设二者的关系为：{}1234()()()()(){}{}i i T e j j v v x N x N x N x N x N v θδθ⎧⎫⎪⎪⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭又设由于某种其他原因，该梁发生了变形，引起梁单元○e 两端点的位移为（用向量形式表示）：{}**{}je i ij v v δθθ=梁中任意一点的位移为：{}***1234()()()()(){}{}i i T e j j v v x N x N x N x N x N v θδθ⎧⎫⎪⎪⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭相对于力P 引起的位移v(x),称v*(x)为虚位移计算梁单元○e 的外力虚功和内力虚功对梁单元来说，两端点的力即是外力，则外力虚功为：**{}{}({}){}e T e e T e ex W F F δδ==内力虚功 = 虚应变能2*22**222in l l l d v dv dv d v W M d EI d EI dx dx dx dx dx θ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ ∵ 22222312422222{''}{}{}[]{}TT ee e d N d N d N d N d v N B dx dxdx dx dx δδδ⎧⎫===⎨⎬⎩⎭22222****312422222{''}{}{}[]{}TT e e e d N d N d N d N d v N B dx dxdx dx dx δδδ⎧⎫===⎨⎬⎩⎭∴****[]{}[]{}{}[][]{}{}[][]{}{}[]{}e e in l e T T e le T T e le T e e W EI B B dxB D B dxB D B dx k δδδδδδδδ====⎰⎰⎰式中： [][][]e Tl k B D B dx =⎰虚功原理：系统保持平衡状态的充要条件是外力虚功=内力虚功即： ex in W W = **{}{}{}[]{}e Te e T e eF k δδδ=而虚位移为任意、不为零，所以上式等价于：{}[]{}e e e F k δ=§3-4 单元位移函数的基本概念对于梁和二力杆，已知单元两端点位移（两端点的力），即可求得单元内任意一点的位移。

梁单元有限元分析

梁单元-有限元分析一、有限元法介绍有限元法的基本思想是将结构离散化，用有限个容易分析的单元来表示复杂的对象，单元之间通过有限个节点相互连接，然后根据变形协调条件综合求解。

由于单元的数目是有限的，节点的数目也是有限的，所以称为有限元法(FEM，Finite Element Method)。

是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种弹性力学问题的数值求解方法。

有限元法是最重要的工程分析技术之一。

它广泛应用于弹塑性力学、断裂力学、流体力学、热传导等领域。

有限元法是60年代以来发展起来的新的数值计算方法，是计算机时代的产物。

虽然有限元的概念早在40年代就有人提出，但由于当时计算机尚未出现，它并未受到人们的重视。

随着计算机技术的发展，有限元法在各个工程领域中不断得到深入应用，现已遍及宇航工业、核工业、机电、化工、建筑、海洋等工业，是机械产品动、静、热特性分析的重要手段。

早在70年代初期就有人给出结论：有限元法在产品结构设计中的应用，使机电产品设计产生革命性的变化，理论设计代替了经验类比设计。

目前，有限元法仍在不断发展，理论上不断完善，各种有限元分析程序包的功能越来越强大，使用越来越方便。

二．梁单元的分类所谓梁杆结构是指其长度比横截面尺寸大很多的梁和杆件、以及由它们组成的系统，这一类结构的应力、应变和位移都是一个坐标的函数，所以属于一维单元问题。

1．平面桁架特点：杆件位于一个平面内，杆件间用铰节点连接，作用力也在该平面内。

单元特性：只承受拉力或压力。

单元划分：常采用自然单元划分。

即以两个铰接点之间的杆件作为一个单元。

为使桁架杆件只产生轴力，桁架的计算常作以下假定：①桁架中每根杆件的两端由理想铰联结；②每根杆件的轴线必须是直线；③所有杆件的轴线都只交于所联理想铰的几何中心。

④荷载均只作用于理想铰的几何中心。

在此条件下所算得的各种应力称为主应力。

实际上各种桁架结构不可能完全满足上述各假定，因而杆件将产生弯曲，由这种弯曲而在杆件中所引起的轴向应力称为次应力。

基于欧拉—伯努利刚度矩阵的r减摇鳍轴升力检测分析

基于欧拉—伯努利刚度矩阵的r减摇鳍轴升力检测分析孙明晓;栾添添;梁利华;刘彦文【摘要】常规减摇鳍多采用鳍角反馈控制方式,实际减摇效果很难达到理论设计水平.主要是由于产生控制力矩的升力是估算值,与实际值有较大偏差.文中分析了偏差产生原因并以此为据,避开多种干扰因素和繁琐的理论推导;设计了内含轴芯的空心轴,运用欧拉—伯努利梁刚度矩阵进行理论分析;将难以测量的升力转化成易于检测的位移量,建立两者的量化关系,并探讨了三种主要影响因素;设计可拆卸的端盖和两种传感器安装方式,便于维修检测.以实际装船的某型减摇鳍设计参数为依据,通过计算和仿真对比验证了设计的有效性和准确性.【期刊名称】《船舶力学》【年(卷),期】2018(022)008【总页数】11页(P944-954)【关键词】减摇鳍;刚度矩阵;空心轴设计;升力检测【作者】孙明晓;栾添添;梁利华;刘彦文【作者单位】哈尔滨理工大学自动化学院, 哈尔滨 150080;哈尔滨理工大学自动化学院, 哈尔滨 150080;哈尔滨工程大学自动化学院, 哈尔滨 150001;哈尔滨工程大学自动化学院, 哈尔滨 150001【正文语种】中文【中图分类】U664.70 引言航行于海上的船舶，受风、浪、流等干扰影响，不可避免地会产生六自由度运动，其中横摇尤为剧烈。

不仅影响适航性及船载设备可靠性，而且大幅降低船体安全性与乘员舒适度。

对于水面作战舰艇而言，直接影响武器精度，威胁战场生存能力[1-2]。

因此，如何提高横摇稳定性成为船舶领域长期关注的研究热点。

近百年来，经过国内外学者与科研人员不断探索与尝试，减摇技术得到长足发展，减摇鳍成为迄今应用最为广泛的主动式减横摇装置。

理论减摇效果可达90%以上，但实际工程中却很难实现。

究其原因，主要是因为目前减摇鳍系统研究中，一般采用鳍角反馈控制方式。

由于鳍角信号易于测量，检测装置简单可靠，且位于船体内部便于维修更换，实际工程中得到广泛运用；但其建立在简单定常流场水动力特性基础上，估算静态升力，不能真实反映鳍在海水中受到复杂动态水动力状况，两者的偏差限制了单纯依靠鳍角控制策略来提高减摇效果[3]。

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梁理论有欧拉－伯努利（Ｅｕｌｅｒ－Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ）梁和铁摩辛柯（Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ）梁两种理论，后者计入剪切变形而前者一般不计入剪切变形［１］，前者又称为经典梁理论。现阶段常用的结构力学教程往往针对经典梁理论，并在矩阵位移法中通过两端固结等截面梁的梁端位移与梁端支反力的关系给出梁单元的刚度矩阵［２］。而在有限元理论中，则是通过对单元变形指定合理的形函数并结合最小势能原理［１，３］或虚功原理［４］给出单元刚度矩阵。尽管最小势能原理与虚功原理是等价的［３］，但推导方式仍有差异，尤其是最小势能原理涉及变分原理而不便理解。另外，部分文献并未给出完整坐标系统以及荷载、内力和位移的正方向，不同文献所给坐标系统也不完全一致，这
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水利与建筑工程学报
第１７卷
定变形前垂直于中面的截面，变形后仍为平面且与中面保持垂直，或者说可忽略剪切变形的影响，适用于高度远小于跨度的梁［１］。
以ｘｙ平面梁单元为例，图１给出了右手螺旋法则的坐标系统，并针对伸缩、扭转和弯曲问题给出了对应的杆端荷载和分布荷载，所示荷载方向均与坐标轴正方向一致，也即荷载的正方向。图１（ｃ）还给出了截面内力正方向：轴力Ｆ以受拉为正，扭矩Ｔ
第１７卷第３期
水利与建筑工程学报
Ｖｏｌ．１７Ｎｏ．３
２０１９年６月
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＷａｔｅｒＲｅｓｏｕｒｃｅｓａｎｄＡｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ
Ｊｕｎ．，２０１９
ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７２－１１４４．２０１９．０３．０１５
欧拉－伯努利梁单元刚度矩阵推导
并最终根据虚功原理得到单元刚度矩阵。这不仅有助于对单元刚度矩阵以及推导过程的理解，还可为
参阅有限元专业ห้องสมุดไป่ตู้籍提供帮助。
关键词：欧拉－伯努利梁；单元刚度矩阵；形函数；基本方程
中图分类号：Ｏ３
文献标识码：Ａ
文章编号：１６７２—１１４４（２０１９）０３—００８９—０５
ＤｅｒｉｖａｔｉｏｎｏｆＥｌｅｍｅｎｔＳｔｉｆｆｎｅｓｓＭａｔｒｉｘｏｆＥｕｌｅｒ－ＢｅｒｎｏｕｌｌｉＢｅａｍＥｌｅｍｅｎｔ
１坐标系统与形函数
欧拉－伯努利梁理论基于Ｋｉｒｃｈｈｏｆｆ假设，即假
收稿日期：２０１９０１１９
修稿日期：２０１９０３０２
基金项目：国家自然科学基金资助项目（５１５０８５２３）
作者简介：张军锋（１９８３—），男，河南平顶山人，博士，副教授，主要从事结构和桥梁抗风研究的工作。Ｅｍａｉｌ：ｂｒｉｌｌｉａｎｔｓｈｉｎｅ＠１６３．ｃｏｍ
的正方向与Ｆ方向一致，弯矩Ｍ以梁底（即－ｙ方向）纤维受拉为正，剪力Ｑ以使微段发生逆时针转动为正。部分文献对单元刚度矩阵推导时，单元长度范围内还受有集中荷载，包括集中力和集中力矩，而实际对结构划分单元时往往在集中荷载位置均设置有节点，故图１中的单元没有再受集中力作用。另外，单元范围内的荷载也只影响最终的荷载向量而对刚度矩阵没有影响［１，３－４］。
也不便理解其推导过程。为系统介绍等截面梁刚度矩阵的推导过程，基
于欧拉－伯努利梁理论，采用统一的坐标系统和参数正方向规定，详细介绍了不同受力模式包括伸缩、扭转和弯曲问题的拉格朗日形函数或厄米特形函数，系统给出了刚度矩阵推导所需的基本方程包括几何方程、本构方程和平衡方程，并最终得到单元刚度矩阵，以便深刻全面的理解梁单元刚度矩阵以及对梁结构受力特性的认识，并有助于参阅其他专业书籍。
ＺＨＡＮＧＪｕｎｆｅｎｇ，ＹＩＮＨｕｉｎａ，ＬＩＪｉｅ，ＣＨＥＮＨｕａｉ
（ＳｃｈｏｏｌｏｆＣｉｖｉｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＺｈｅｎｇｚｈｏｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ，Ｈｅ’ｎａｎ４５０００１，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＴｈｅｄｅｒｉｖａｔｉｏｎｐｒｏｃｅｓｓｏｆｅｌｅｍｅｎｔｓｔｉｆｆｎｅｓｓｍａｔｒｉｘｏｆＥｕｌｅｒＢｅｒｎｏｕｌｌｉｂｅａｍｅｌｅｍｅｎｔｗａｓｐｒｅｓｅｎｔｅｄｉｎｄｅｔａｉｌｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ．Ｔｈｅｄｅｒｉｖａｔｉｏｎｗａｓｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｕｎｉｆｏｒｍｃｏｏｒｄｉｎａｔｅａｎｄｐｏｓｉｔｉｖｅｄｉｒｅｃｔｉｏｎｒｅｇｕｌａｔｉｏｎｓｏｆｌｏａｄｓ，ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔｓ，ｉｎｔｅｒｎａｌｆｏｒｃｅｓａｎｄｓｔｒｅｓｓｅｓ．Ｆｏｌｌｏｗｉｎｇｔｈｅｄｅｔａｉｌｅｄｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎｏｆｓｈａｐｅｆｕｎｃｔｉｏｎｓｆｏｒｔｅｎｓｉｏｎ，ｔｏｒｓｉｏｎａｎｄｂｅｎｄｉｎｇｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ，ｔｈｅｂａｓｉｃｅｑｕａｔｉｏｎｓｉｎｃｌｕｄｉｎｇｔｈｅｇｅｏｍｅｔｒｉｃｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ｐｈｙｓｉｃａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓａｎｄｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍｅｑｕａｔｉｏｎｓｗｅｒｅｐｒｏｖｉｄｅｄａｓｗｅｌｌ．Ｔｈｅｎｔｈｅｅｌｅｍｅｎｔｓｔｉｆｆｎｅｓｓｍａｔｒｉｘｗａｓｄｅｄｕｃｅｄａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｔｈｅｐｒｉｎｃｉｐｌｅｏｆｍｉｎｉｍｕｍｐｏｔｅｎｔｉａｌｅｎｅｒｇｙ．Ｔｈｅｃｏｍｐｌｅｔｅａｎｄｓｙｓｔｅｍａｔｉｃｄｅｒｉｖａｔｉｏｎｐｒｏｃｅｓｓｉｓｖｅｒｙｈｅｌｐｆｕｌｆｏｒｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇｏｆｅｌｅｍｅｎｔｓｔｉｆｆｎｅｓｓｍａｔｒｉｘ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ＥｕｌｅｒＢｅｒｎｏｕｌｌｉｂｅａｍ；ｅｌｅｍｅｎｔｓｔｉｆｆｎｅｓｓｍａｔｒｉｘ；ｓｈａｐｅｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｂａｓｉｃｅｑｕａｔｉｏｎ
张军锋，尹会娜，李杰，陈淮
（郑州大学土木工程学院，河南郑州４５０００１）
摘要：为明确欧拉－伯努利梁单元刚度矩阵推导过程，用统一的坐标系统和参数正方向规定，包括荷
载、位移、内力和应力等，对等截面梁详细介绍了不同受力模式包括伸缩、扭转和弯曲问题的拉格朗日形
函数和厄米特形函数，系统给出了刚度矩阵推导所需的基本方程包括几何方程、本构方程和平衡方程，
图１单元坐标系以及参量正方向示意图
形函数是用来表示结构变形形状的物理量，通
过结点位移与结点之间单元的变形来表示整个结构
的变形。形函数实际上就是数学上的插值函数，只