完整版相似三角形题型归纳

三角形题型归纳

一、线段比例问题(构造平行)

1、下图中，E为平行四边形ABCD勺对角线AC上一点，AE： EC=1： 3, BE的延长线交CD的

延长线于G,交AD于F,求证：BF： FG=1： 2.

3、如图1,在Rt△ ABC中，/ BAC=90 , AD L

BC

于点D,点O是AC边上一点，连接BO交

J

AD于F, OEL OB交BC边于点E. (1)求证：△ ABF^A COE (2)当O为AC的中点，’丨时，OF 埜二@

如图2,求啲值；(3)当O为AC边中点，…'时，请直接写出•的值.

2、已知：如图，在直角三角形ABC中，/ BAC= 90°, AB= AC, D为BC的中点,E为AC上

一点，点G在BE上,连结DG并延长交AE于F,若/ FGE=45°,

(2)求证：AGL BE ( 3)若E为AC的中点，求EF ：FD的值。

(1)求证：BD- BC=BG- BE

A F f C

4、如图，四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形，点 R 为DE 的中点，BR 分别

交AC , CD 于点P , Q . (1)请写出图中各对相似三角形(相似比为 1除外);(2)求 BP:PQ:QR .

二、相似比乘积处理方法(逆向和正向分析找解题思路)

1、如下图，已知在厶ABC 中，AD 平分/ BAC,EM 是AD 的中垂线，交 BC 延长线于 E.求证: D E=BE ・ CE.

2、过厶ABC 的顶点C 任作一直线，与边AB 及中线AD 分别交于点F 和E,求证：AE ： ED=2AF FB.

3、如果四边形

ABCD 勺对角线交于 0,过O 作直线 0G/ AB 交BC 于E ,交AD 于

F ,交CD 的 延长线于 G,求证：0G=GE ・

GF.

4

、已知如图，CD是Rt△ ABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED

的延长线交CA于F。求

证：= 匸丘

5、如图，在Rt△ ABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上, DH L BM且与AC的延长线交于点 E.求证：(1 )△ AEB A CBIM (2) AE-CM = AC- CD

6、如图，BD CE分别是△ ABC的两边上的高，过D作DGLBC于G 分别交CE及BA的延长线于F、H。求证：(1) DG = BG- CG (2) BG- CG= GF- GH

7、已知如图，P为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，过P的直线与AD BC CD的延长

线、AB的延长线分别相交于点

PE _FH E、F、G H.求证：⑴

& ( 1)如图1,点丄二在平行四边形ABCD勺对角线BD上，一直线过点P分别交BA BC的延

长线于点Q, S,交-匚二于点三「.求证:(2)如图2，图3，当点丄二在平行四边形ABCD的对角线汀或二三的延长线上时---< 「二是否仍然成立？若成立，

试给出证明；若不成立，试说明理由(要求仅以图2为例进行证明或说明)；

團i 區2 團d

三、构造相似辅助线一一A X字型

AS _ CF 1、如图：△ ABC中，D是AB上一点，AD=AC BC边上的中线AE交CD于F。求证：1d~~DF

2、四边形ABCD中, AC为AB AD的比例中项，且AC平分/ DAB求证：°区

3

、如图，过平行四边形

ABCD勺顶点A的直线交BD于P,交CD于Q并交BC的延长线于R,

求

证：

2

PQ PD

PR PB2

四、相似类定值问题

1、如图，在等边厶ABC中，M N分别是边AB, AC的中点，D为MN上任意一点，BD CD的延长线分别交AC AB于点E、F.

1 1 3

—+ --- 二--

求证：一二一丄.

1 1 _ ：

2、已知，在△ ABC中作内接菱形CDEF设菱形的边长为a.求证: M

3、如图，在△ ABC中，已知CD为边AB上的高，正方形EFGH的四个顶点分别在厶ABC上。

I 1 1

--- + ---- = ---- 求证. 丄丄’ 一二匚

4

、如图所示，？ABCD中，AC与BD交于0点，E为AD延长线上一点,

线交AB于G.求证：丄丄二-・

5、一条直线截△ ABC的边BC CA AB（或它们的延长线）于点D E、F.求证一 -•丄二

6、已知：p为？ABC D边BC上任意一点，DP交AB的延长线于Q点，求证：一—

0E交CD于F, E0延长

五、证明线段相等

1、在等腰A ABC , AB AC分别过点B、C作两腰的平行线，经过点A的直线与两平行线分别交于点D E,连接DC BE DC与AB边相交于点M BE与AC边相交于点N⑴如图1, 若DE//CB，写出图中所有与AM相等的线段，并选取一条给出证明。（2）如图2，若DE 与

CB不平行，在（1）中与AM相等的线段中找出一条仍然与AM相等的线段，并给出证明。

2、在面积为24的厶ABC中，矩形DEFG勺边DE在AB上运动，点F、G分别在BC AC上。

（1 ）若AE= 8, DE= 2EF,求GF的长；（2）若/ ACB= 90°，如图2，线段DM EN分别为△ ADG^D^ BEF的角平分线，求证：MG NF; （3）请直接写出矩形DEFG的面积的最大值。

3

、在厶ABC 中，点D 从A 出发，在AB 边上以每秒一个单位的速度向 B 运动，同时点F 从B 出发，在BC 边上以相同的速度向 C 运动，过点D 作DEI BC 交 AC 于点E .运动时间为t 秒.

(1 )若AB= 5, BO 6,当t 为何值时，四边形 DFCE 为平行四边形；(2)连接AF CD 若

BD= DE 求证：/ BAF=Z BCD (3) AF 交DE 于点M 在DC 上取点N,使MN/ AC 连接FN

六、对应练习题

1、如下图，在△ ABC 中，D E 分别为BC 的三等分点，CM 为AB 上的中线，CM 分别交AE 、 AD 于 F 、G 贝U CF ： FG ： GM=5 3 ：2

①求证: N._N D _c F

一 F B 一②若AB= 5, BO 6, AC= 4，当MN k FN 时，请直接写出 t 的值.