第二时间序列分析的基本概念

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二、样本自协方差函数
对于时间序列的一次样本现，我们
也需要通过样本自协方差函数估计总体
自协方差函数。这里有两种形式：
(1)
ˆk
1 n
nk
( xt
t 1
x)(xtk
x)
(2)
ˆˆk
1 n
k
nk t 1
( xt
x )(xt k
x)
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通过证明有如下结论：
上述样本自协方差函数 ˆk ˆˆk 都是总体自协方差函数 k 的渐近无偏估计，且ˆk 比ˆˆk 的偏要大。但是，ˆk 比ˆˆk 的方差小，且在大样本情况下（n很大），二者差别不大，因此我们通
常用作为样本自协ˆk方差函数。
由于当k相对于n而言较大时，ˆk 的偏比ˆˆk 更大，因此，在时间序列分析时，一般滞后期k最多取至n/4
EXt Xtk
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相应的，严平稳序列的自相关函数记为：
k
k 0
2.平稳序列的自协方差序列和自相关函数列的性质
(1) k k k k
(2) k 0 k 1
四、白噪声序列和独立同分布序列
1.白噪声（White noise）序列定义：若时间序列{Xt}满足下列性质：
特征统计量
均值
t EX t xdFt (x)
方差
DX t
E(Xt t )2
2
(x t ) dFt (x)
自协方差函数 (t, s) E( X t t )( X s s ) 自相关函数 (t, s) (t, s)
(t,t) (s, s)
由此可见，时间序列的自协方差函数是随机变量间协方差推广差时间序列自协方差函数具有对称性：
么，zt=axt+byt t=0, ±1, ±2 …… 为序列{Xt}与{Yt}的一种线性运算。
2.时间序列的迟运算设{Xt}为一时间序列，d为一正整数，那么， yt=xt-d t=0, ±1, ±2 ……为Xt的d步延迟运算。
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3.时间序列的线性与延迟联合运算
yt=a0xt+a1xt-1+ … +apXt-p t=0,1,2…为
三、样本自相关函数（SACF）
1.对给定的序列x1,x2, … xn，样本自相关
函数定义为：
nk
ˆk
ˆk ˆ0
t 1
(xt x)(xtk x)
n
(xt x)2
t 1
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四、样本偏自相关函数（SPACF）
1.样本偏自相关函数有如下递推公式：
k
ˆ k1 ˆkj ˆ K 1 j
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第二节随机过程的特征描述
一、样本均值二、样本自协方差函数三、样本自相关函数（SACF）四、样本偏自相关函数
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一、样本均值
对时间序列的一次样本实现，需要
用样本均值代替总体均值
x
1 n
n t 1
xt
可以证明，x 是的无偏、一致估计。
(1)EXt 0
2
(2)EXt
Xs
0
ts ts
则称此序列为白噪声序列。上一页下一页返回本首页
白噪声序列是一种特殊的宽平稳序列，也是一种最简单的平稳序列，它在时间序列分析中占有非常重要的地位。
2.独立同分布（iid）序列定义：如果时间序列{Xt}中的随机变量Xt，
t=0, ±1, ±2 ……是相互独立的随机变量，且Xt具有相同的分布（当Xt有一阶矩时，往往还假定EXt=0）,则称{Xt}为独立同分布序列。
j
2 j
j
为线性平稳序列。
注：可以证明，{Xt}为一宽平稳序列。
六、偏自相关函数
偏自相关函数：指扣除Xt和Xt+k之间的随机
变量Xt+1,Xt+2, …Xt+k-1等影响之后的Xt和
Xt+k之间的相关性。
偏自相关函数一般用 kk 表示。
偏自相关其实就是如下的条件相关：
cov(Xt,Xt+k|Xt+1,Xt+2 … Xt+k-1)
一、两种不同的平稳性定义
注：由于在实际中严平稳序列的条件非常难以满足，我们研究的通常是宽平稳序列，在以后讨论中，若不作特别说明，平稳序列即指宽平稳序列。
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二、时间序列的分布、均值和协方差函数 1.时间序列的概率分布随机过程是一族随机变量，类似于随机变
量，可以定义随机过程的概率分布函数和概率密度函数。它们都是两个变量t,x 的函数。
时间序列线性与延迟联合运算。
当ai=1/p，i=0,1,2, …时，{Yt}即为对序
列{Xt}的移动平均序列。
4.时间序列的非线性运算非线性运算的形式是多种多样的：如 yt=xt2+axt，yt=xt-1/(1+xt-2)2等。
5.平稳线性序列设{at}为正态白噪声序列，则称序列：
xt
j at j
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如果我们能确定出时间序列的概率分布，我们就可以对时间序列构造模型，并描述时间序列的全部随机特征，但由于确定时间序列的分布函数一般不可能，人们更加注意使用时间序列的各种特征量的描述，如均值函数、协方差函数、自相关函数、偏自相关函数等，这些特征量往往能代表随机变量的主要特征。
可见独立同分布序列{Xt}是一个严平稳序列。
一般来说，白噪声序列与独立同分布序列是不同的两种序列，但是当白噪声序列为正态序列时，它也是独立同分布序列，此时我们称其为正态白噪声序列（NID）。
4
正
态
2
白
噪
声
0
序
列
-2
-4
80
82
84
86
88
90
92
94
96
五、线性平稳序列
1.时间序列的线性运算设{Xt}与{Yt}为两个时间序列，a，b为两个实数，那
ˆ k 1,k 1
j 1 k
1 ˆkjˆ j
j 1
其中
ˆ11 ˆ1 ˆk 1, j ˆkj ˆ ˆ k 1,k 1 k ,k 1 j
j 1,2, k
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例如，根据上述递推公式Βιβλιοθήκη Baidu我们有：
ˆ11 ˆ1
ˆ22
ˆ 2 ˆ12 1 ˆ12
(t, s) (s,t)
三、平稳序列的自协方差和自相关函数
1.平稳序列的自协方差函数和自相关函数
若{Xt}为平稳序列，假定EXt=0，由于 (t, s) (t s,0) 令s=t-k，于是我们就可以
用以下记号表示平稳序列的自协方差函数，即：
k E(Xt EXt )(Xtk EXtk )

第二 时间序列分析的基本概念

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