工程力学教案2

课时授课计划（第2讲）课题名称：§１-1静力学公理；§１-2力、力矩、力偶。

教学目的：理解并掌握静力学公理的基本内容；理解力、力矩、力偶的基本概念；并比较力、力矩、力偶三个物理量的实际意义。

教学重点：①静力学公理②力、力矩、力偶的基本概念教学难点：①力矩②力偶教学方法：作业及要求：思考题：①“合力一定大于分力”的说法是否正确？说明原因。

②用手拔钉子拔不出来，为什么用钉锤能拔出来？③试比较力矩和力偶的异同。

习题：1-4 1-5对构件进行外力分析，主要是研究构件在外力的作用下处于平衡状态的规律。

平衡状态是物体机械运动的一种特殊形式，是指构件相对于空间惯性参考系处于静止或匀速直线运动的状态。

在一般的工程实际问题中，通常把固连于地球的参考系视为惯性参考系，这样，就使所得结果能够很好地与实际情况相符合。

实际构件在受力后都会发生不同程度的变形，但由于工程实际中的这种变形非常微小，对我们所研究的平衡问题几乎不产生影响，因此，在本篇所研究的问题中，忽略构件所发生的变形，即把构件简化为刚体，从而使问题的研究得到简化。

本篇着重研究如下几个问题：(1) 物体的受力分析。

(2) 力系的简化。

(3) 建立各种不同力系的平衡方程。

一、二力平衡公理刚体只在两个力的作用下而处于平衡的充要条件是：此二力等值、反向、共线。

例如，当一条绳子受到沿轴线方向的一对等值反向的压力作用时是不能平衡的。

把受两个力作用而平衡的物体叫做二力体或二力构件。

如图1-1所示的起重支架中的CD杆，在不计自重的情况下，它只在C，D两点受力，是二力体，两力必沿作用点的连线，且等值、反向。

二、加减平衡力系公理在刚体上可以任意增加或去掉一个任意平衡力系，而不会改变刚体原来的运动状态。

这一公理可以用来对力系进行简化。

但应当注意，该公理只适用于刚体，对变形体无论是增加还是减去平衡力系，都将改变其受力状态。

三、力的可传性原理作用在刚体内任一点的力，可在刚体内沿其作用线任意移动而不会改变它对刚体的作用效果。

如图1-2的刚体，在A点受到一个力F 的作用，根据加减平衡力系公理，可在其作用线上任取一点B，并加一对平衡力系F′、F″，且使F = F′= F″,从另一角度看，则F与F″又可看成一平衡力系，将此力系去掉后就会得到作用于B点的力F′，而对刚体的作用效果并未改变。

显然，对于刚体而言，力的作用效果与作用点的位置无关，而取决于作用线的方位。

四、力的平行四边形公理作用在物体上同一点的两个力，其合力的作用点仍在该点，合力的大小和方向由以此二力为邻边所作的平行四边形的对角线确定。

矢量等式为：R=F1+F2这一公理是力系简化与合成的基本法则，所画出的平行四边形叫作力的平行四边形。

力的平行四边形也可简化成力的三角形，由它可更简便地确定合力的大小和方向，所示，这一法则称为力的三角形法则。

如图1-3c所示，画力的三角形时，对力的先后次序没有要求。

五、作用和反作用公理两物体间的相互作用力总是：等值、反向、沿同一直线分别作用在相互作用的两物体上。

应注意，作用力和反作用力这一对力与一对平衡力的区别是：前者两个力分别作用在相互作用的两个物体上，而后者的两个力则是作用于同一物体上，如图1-4所示。

一、力1．力的概念力是物体间的相互机械作用。

我们把使物体运动状态发生改变的效应称为力的运动效应或外效应，而把力使物体的形状发生改变的效应称为力的变形效应或内效应。

三要素：即力的大小、方向、作用点。

对于刚体来说，力的三要素则是：大小、方向、作用线。

力是矢量，可以用一个带箭头的线段表示力的三要素。

力的单位：是牛顿（N）或千牛顿（kN），在工程中，力的常用单位还有千克力（kgf）。

两种单位制的换算关系为：1 kgf = 9.8 N。

集中力（集中荷载）：当力的作用范围相对于构件的尺寸很小时，可将其抽象为一个点，对应的力称为集中力或集中荷载。

分布力（分布荷载）：大小用载荷集度q表示，体分布力的单位为牛/米3（N/m3）;面分布力的单位为牛/米2（N/m2）；而工程上常见的分布力是按线性分布的，称为线分布力，对应的单位为牛/米（N/m）。

2．力的投影由于力是矢量，计算时既需要考虑力的大小，又需考虑其方向，非常麻烦，为了计算的方便，常常将力向坐标轴上投影。

（1）力在坐标轴上的投影F x = F cosαP x = -P cosβ（2）力在直角坐标系中的投影 （a ）一次投影法如图1-6a 力F 及力与三个坐标轴间的夹角α、β、γ，则力在三个坐标轴的投影分别是： X = F cos α，Y = F cos β，Z = F cos γ 。

用i 、 j 、 k 分别表示三个坐标 轴的单位矢量，力沿三个坐标轴 的分力分别为F x 、F y 、 F z ，于 是有：F = F x + F y + F z = X i +Y j +Z k 其中，力的大小为：F =（1-2）（b ）二次投影法 即：cos sin cos sin sin sin cos xy xy X F F YF F Z F ϕγϕϕγϕγ=====（1-3）3．合力投影定理设一力系由F 1, F 2, … ,F n 组成，对应的合力为R 。

根据矢量合成法则有R = F 1 + F 2 + …+ F n =∑F i∑∑∑=+++==+++==+++=ZZ Z Z R Y Y Y Y R X X X X R n z n y n x 212121（1-4）即合力在某一轴上的投影，等于各分力在同一轴上的投影的代数和，这一定理称为合力投影定理。

根据合力投影定理，我们可先由各分力的投影求出合力在三个坐标轴上的投影，再由合力的投影求出合力的大小和方向：R 的大小：()()()222222∑∑∑++=++=Z Y X R R R R z y xR 的方向 RRR R R R z y x ===γβαcos ;cos ;cos （1-5） 其中α，β，γ是合力与三个坐标轴的夹角，称为方向角，对应的余弦值称为方向余弦。

二、力矩 1．力对点之矩力对物体的外效应除移动效应外还有转动效 应。

移动效应可由力矢来度量，而转动效应则取 决于矩矢。

（1）力矩的概念我们以扳手拧紧螺丝为例来分析力对物体的转动效应。

在力学中用F 的大小与d 的乘积来度量力使物体绕矩心的转动效应，称为力F 对O 点之矩，以符号m o (F )表示。

并把从矩心O 到力F 的作用线的垂直距离d 称为力臂。

由力的作用线和矩心O 所决定的平面称为力矩作用面。

即()o m F Fd =± （1-6）在平面问题中，将力矩规定为代数量：力使物体绕矩心逆时针转动时，力矩取正值；反之为负。

力矩的常用单位为牛顿·米 ()N m 、牛顿·毫米()N mm 、千牛顿·米()kN m 等。

（2）力矩的性质（a ）力矩的大小和转向与矩心的位置有关，同一力对不同的矩心的力矩不同。

（b ）力的大小等于零或力的作用线过矩心时，力矩为零。

（c ）力的作用点沿其作用线移动时，力对点之矩不变。

（d ）互成平衡的两个力对同一点之矩的代数和为零。

2．力对轴之矩所以，平面内力对O 点之矩可以看成是空间力对z 轴之矩。

力F 对z 轴之矩用符号m z (F )表示（见图1-8）。

很容易看出，当力的作用线与转轴平行或相交，即力的作用线与轴线共面时，力对转轴之矩为零。

其中F 1对Z 轴不产生力矩作用，F 2对Z 轴之矩实际上就是对o 点的力矩。

图1-9m z ( F ) = m o ( F 2 ) = ± F 2 d （1-7）上式表明，力F 对轴之矩等于该力在垂直于此轴的平面上的分力（投影）对该轴与此平面的交点的力矩。

通常情况下，把力对轴之矩看成是代数量，其正负用右手法则来确定，即用右手握住转轴，弯曲的四指指向力矩的转向，拇指所指的方向如果与转轴的正向相同，对应的力矩为正，反之为负。

（见图1-10）。

例1-1如图1-11所示的皮带轮， 轮的直径为D=100mm, 皮带的拉力 分别为T 1=1000N, T 2=500N, 分别求 皮带拉力T 1 、T 2对轮子 中心的力矩。

解：由于皮带的拉力沿轮子的切线方向，因此，皮带轮的半径就是拉力的力臂。

()1150000250o Dm T T N mm N m=-=-=- ()2225000225o Dm T T N mmN m=== 3．合力矩定理合力的投影与分力的投影间满足合力投影定理，合力对某点或某轴的力矩与分力对同一点或同一轴之矩也有一定的关系。

合力矩定理：合力对某点之矩矢，等于各分力对同一点之矩矢的矢量和。

上述定理对平面力对点之矩及力对轴之矩同样适用，合力对平面内任意一点（轴）的力矩等于各分力对同一点（轴）的力矩的代数和。

即：m o (R )=∑m o (F )或m z (R ) =∑m z (F ) （1-8）利用合力矩定理，不仅可以由分力的力矩求出合力的力矩，当直接求某个力的力矩困难时，也可以将该力正交分解成容易求力矩的分力，再求出此力的力矩。

例1-2 已知支架上的A 点作用一个力P=10KN ，支架的各部分的尺寸（单位：cm ） 如图1-12所示，求力P 对O 点的力矩。

解：此题可根据力矩的定义求解，但力臂是未知的，且求解非常麻烦。

故可将力分解成两个分力，分别求出每个分力的力矩，再利用合力矩定理，求出力P 的力矩。

即：()()()21P m P m P m o o o +=()00cos601028sin 6029.28P P kN cm=--=-三、力偶 1．力偶的概念在日常生活和生产实践中，我们常会看到物体同时受到大小相等，方向相反，作用线平行的两个力的作用。

它们作用在物体上将使物体产生转动效应。

在力学中把大小相等、方向相反、作 用线平行的两个力称为力 偶。

记为（F , F ’）力偶中两力作用线间的垂直距离d 叫做力偶臂。

力偶所在的平面叫做力偶作用面。

力偶中的一个力的大小与力偶臂的乘积叫做力偶矩。

用符号m 表示。

Fd=（1-9）m±式中正负号表示力偶的转向。

通常规定：使物体产生逆时针转动的力偶的力偶矩为正，反之为负。

在空间问题中，力偶矩为一矢量。

矢量m的模仍为Fd，表示力偶矩矢的大小。

2．力偶的性质(1) 组成力偶的两个力向任意轴的投影的代数和为零，因此力偶无合力，力偶作用在物体上不产生移动效应，只产生转动效应，力偶不能与一个力等效。

（2）力偶的两个力对其作用面内的任意一点的力矩的代数和恒等于其力偶矩，而与矩心的位置无关，因此，力偶的转动效应只取决于力偶矩的大小和转向。

（3）力偶只能与力偶等效，当两个力偶的力偶矩大小相等、转向相同、力偶作用面共面或平行时，两力偶互为等效力偶。