多自由度体系强迫振动

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§10-7 两个自由度体系在简谐荷载下的强迫振动解析

m212 1 m2 22 2
m1 21
幅值方程的系数行列式
m111
1 2
1P 2 P m212 D2 D0
m1 21 Y2 1 m111 2 m1 21
1 m2 22 2
5.求各个质量惯性力的幅值
惯性力：
I1 (t ) m1 y1 2m1Y1 sin t I 2 (t ) m2 y2 2m2Y2 sin t
2
F2 k12 k22 2m 2

D2 D0
k21
5.共振
当＝1 （或＝2）时， D0＝0
y1 则 y2
∞
6.求各个质量惯性力的幅值
惯性力：
y1 (t ) Y1 sin t y2 (t ) Y2 sin t
I1 (t ) m1 y1 2m1Y1 sin t I 2 (t ) m2 y2 2m2Y2 sin t
2
k21Y1 (k22 m2 )Y2 F2
2
—— 非齐次方程组，有确定的非零解。
4.位移幅值
Y1
F1 k11 m 1
2
k12 k12 k22 2m 2 D1 D0
F2 k22 2 m 2 k21
幅值方程的系数行列式
k11 2 m 1 F1 Y2 k21 k11 m 1
（5）计算内力：将荷载幅值和惯性力幅值作用在结构上，按静力进行计算
P
1 .6 P
1 .2 P
0 .6 P
1 .2 P
0 .6 P 0 .3 P
1 .2 P
0.15 Ph
0 .3 P
0.45 Ph

第六讲--多自由度系统振动-2

解： 1）求柔度系数
m
31
k/5
m
21
k/3
P=1
2m k
11
32 4
P=1
22 4 12
P=1
33 9
23 4 13
11 1/ k 21 31 11
22
1 k
1 k /3
4
22
1 k
1 k/3
1 9
k /5
3.3.1 柔度法
1 1 1
柔度矩阵: [ ] 1 4 4
1 4 9
2）求频率
2 0 0
质量矩阵: [M] m 0 1 0
0 0 1
由频率方程: M I 0
2 1 1 m 2 4 4 0 ,
2 4 9
展开式为： 3 15 2 42 30 0
1 m m2
方程三个根为: 1 11.601 2 2.246 3 1.151
三个频率为:
1 0.2936
k m
4Y
4 4
3.4.1 主振型矩阵与正则坐标
（2）正则坐标任意一个质点的位移 y 都可按主振型来组合：
y1 1Y11 2Y12 3Y13 y2 1Y21 2Y22 3Y23
yi 1Yi1 2Yi2 3Yi3
yn 1Yn1 2Yn2 3Yn3
nY1n nY2n
y1
y2
Y1 Y121
Y YYY132111
Y2 1
Y2 2
Y32
Y3 1
Y3 2
Y33
Y14 Y4
2
Y34
Y41
Y2 4
Y3 4
Y44
主振
型矩阵
第一振型
1

多自由度系统的振动

分别以两物体的平衡位置为坐标原点，取两物体离开其平衡位置的距离x1、x2为广义坐标，两物体沿x方向的受力如图示，它们的运动微分方程分别为
m1x1 2kx1 kx2 0 2mx2 kx1 2kx2 0
5.1 两自由度系统的模态
m
0
0 2m
xx12
2k k
k
2k
xx12
5.1 两自由度系统的模态
主振动 x(t) u cos(t )
代入运动微分方程 Mx Kx 0
化简可得代数齐次方程组 (K 2M )u 0
k1+k2
-k2
2
m1
-k2
k2+k3
2m2
uu12
0 0
上式存在非零解的充要条件：系数行列式为零，即：
K 2M 0
k1+k2 2m1
两自由度系统的振动
多自由度系统的特点：
各个自由度彼此相互联系，某一自由度的振动往往导致整个系统的振动。
运动微分方程的变量之间通常相互耦合，需要求解联立方程。
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两自由度系统的振动
多自由度系统是指具有两个以上自由度以上的动力学系统，二自由度系统是最简单的多自由度系统。
汽车左右对称，化为平面系统
5.1 两自由度系统的模态
再将初始条件（2）代入式，得
A(1) 1
0,
1 0,
A(2) 1
1,
2 0
x1(t) cos2t cos 3
kt m
(cm)
x2 (t) cos2t cos 3
k t (cm)
m
这表明，由于初始位移之比等于该系统的第二振幅比，因此，系统按第二主振型以频率ω2作谐振动。

自由度系统的强迫振动

建立振动方程
根据牛顿第二定律和系统运动学关系，建立系统的振动方程，描述系统的振动行为。
考虑外部激励
考虑系统受到的外部激励，如力、力矩或位移等，并将其作为已知条件或输入。
自由度系统强迫振动的求解方法
01
解析法
对于简单系统，可以使用解析法求解振动方程，得到系统的振动响应。
数值法
02
03
实验法
对于复杂系统，可以使用数值法求解振动方程，如有限元法、有限差分法等。
相位
阻尼
强迫振动的相位与外界激励源的相位有关，可以通过调整激励源的相位来控制结构的振动相位。
结构在强迫振动过程中会受到阻尼力的作用，阻尼力的大小与结构本身的阻尼系数和外界激励频率有关。
04 自由度系统的强迫振动分析
自由度系统强迫振动的模型建立
确定系统自由度数
根据系统动力学特性，确定系统的自由度数，以便建立准确的振动模型。
通过实验测试系统的振动响应，并利用测试数据进行分析和求解。
自由度系统强迫振动的特性分析
频率响应分析
01
分析系统在不同频率下的振动响应，了解系统的频率特性和共
振现象。
稳定性分析
02
分析系统的稳定性，判断系统是否处于稳定状态或发生失稳。
能耗分析
03
分析系统的能量耗散特性，了解系统能量损失的原因和程度。
研究相对较少。
在实际工程中，系统通常具有非线性特性，而目前的研究主
要集中在线性系统。
未来的研究可以进一步探讨多自由度系统的强迫振动行为，以及非线性系统中的复杂动力学行为。
同时，可以结合实验研究，对理论分析和数值模拟的结果进行验证和修正，以更好地应用于实际工程中。

强迫振动资料

强迫振动，振动系统在周期性的外力作用下，其所发生的振动称为受迫振动，这个周期性的外力称为驱动力。

受迫振动也称强迫振动．在外来周期性力的持续作用下，振动系统发生的振动称为受迫振动．这个“外来的周期性力”叫驱动力（或强迫力）。

中文名
强迫振动
要求
周期性的外力
含义
外力下振动系统发生的振动
发生对象
振动系统
分为两大类：单自由度强迫振动多自由度强迫振动
1,单自由度系统强迫振动
1）旋转时恒英气的强迫振动：在旋转机械中，旋转失衡是使系统振动的外界激励的主要来源，如：发动机的曲轴，飞轮，车轮，车辆传动系统的齿轮，机床的主轴，洗衣机，空调和冰箱的压缩机，风扇等等。

旋转失衡的主要原因是高速旋转机械中转动部分的质量中心和转轴中心不重合造成的。

2）支撑运动引起的强迫振动：强迫振动不一定都是由激扰力引起的，振动系统支座的周期运动同样可以引发强迫振动。

例如精密仪表受到基座振动的影响而振动，如果支撑的运动可以用简谐函数来描述，则系统的振动也可以用简谐强迫振动理论来分析。

支撑运动的运动和受力简图
单自由度强迫振动的运用实例。

结构动力学之多自由度体系的振动问题

3 13.027
2.760 3.342 1
0.163
0.924
2.76
柔度法
利用刚度法的方程间接导出柔度法方程：
由刚度法振幅方程：
令λ=1/ω2 得频率方程：
( [K]－ω2 [M] ){Y}={0}
前乘[K]－1=[δ]后得： ( [I ]－ω2 [δ] [M] ){Y}={0} ( [δ] [M] － λ [I ] ){Y}={0} ┃ [δ] [M] － λ [I ] ┃=0
刚度法
2）如果初始条件是任意的，则任其自然后，系统所发生的振动就不是按主振型的简谐自由振动，而是复杂的周期振动，这时可以用各阶主振动的线性组合来描述它，也就是说其通解表为各个特解之和，即
y j sin( j t v j )
j 1 n
所以系统的任意振动可以表示为各个主振动的叠加。
Yij为正时表示质1 1.293 5Y11 6.70Y21 3 0 量mi的运动方向与单 3Y 1.707 0
21
Y
(1)
0.163 0.569 1

0.569
5Y13 5.027Y23 3 0 (1) Y 3Y21 10.027 0 3.342 1.227
1 1 4 0 , m m 2 9
展开得: 解之:
3 15 2 42 30 0
ξ1=11.601，ξ2=2.246，ξ3=1.151
1 m
三个频率为：
1 0.2936
1 1 3 0.9319 m m 3）求主振型：（令Y3i=1）将λ1代入振型方程：（[δ] [M ]－λ1[I]）{Y}＝0的前两式：

高等结构振动学-第5章-结构的强迫振动响应分析

（5－42）
由最初的两个假定式（5-40）（5-41），求出用{Utt} 表示的{Utt} 和{Utt}
的表达式，代入上方程求出{Utt} ，然后回代求出{Utt} 和{Utt} 。
,
a2 2a0 ,
a3

1 a2
（5－5）
4．计算
{Ut} {U0} t{U0} a3{U0}
（5－6）
5．形成
[Mˆ ] a0[M ] a1[C]
（5－7）
6．分解
[Mˆ ] [L][D][L]T
（5－8）
对每一步长，进行如下计算：
1．求 t 时刻的有效载荷 {Pˆt} {Pt} ([K ] a2[M ]){Ut} (a0[M ] a1[C]){Utt} （5－9）
（5－18）
7．对每一步长，求
（1）
（2）（3）
{Pˆt t} {Pt t} [M ](a2{Ut} a4{Ut t} a6{Ut 2t} [C](a3{Ut} a5{Utt} a7{Ut2t}) [L][D][L]T {Utt} {Pˆtt}
显然，要求解{Ut t} 必须知道{Ut}, {Ut t}, {Ut 2t}
在使用 Houbolt 方法时，不是用此格式求初始两个时间步上的位移响应
{Ut}, {U2t}，而是用其它方法如中心差分法，步长取 t 的几分之一来求得。
Houbolt 方法是一个隐式差分格式，其步长可以取得比中心差分法大一些，
第五章结构的强迫振动响应分析
§5.1 概述
如果结构已经用有限元方法进行了离散化，当一个结构系统受到外激励作用时，其响应就是一个多自由度系统的强迫振动问题的解。求解多自由度系统强迫振动响应的方法之一就是直接积分法。考虑到实际结构的高维数（自由度数很大）而给求解带来的困难，往往在实际求解中采用模态叠加法。直接积分法和模态叠加法这两种方法都可以得到具有相当精度的振动响应解，并且各有其特点。

结构力学专题十三(多自由度体系的动力计算)

FP1
m1
l
EI
l
FP 2
m2
l
二、任意荷载作用*
运动方程： M y(t) Ky(t) FP (t) (a)
1、主振型矩阵
1 2 n
2、广义质量、广义刚度
} M * T M 对角阵
K* T K
3、正则坐标
y(t) (t)
(b)
M y(t) Ky(t) FP(t) (a)
４、振型迭加法分析强迫振动
例1：求图示结构的动位移幅值和动内力幅值。
k1 k，k2 2k，
m1
m1 m，m2 2m；
P0 sin t
EI1
k1 m2
h
已知：
2
k m
EI1
k2
h
A
P0 k
1 0
1
1
I
F
0P0
P0
P0
P0 k
动位移幅值图
动荷载图（虚拟）
例2：求图示结构的动位移幅值和动内力幅值。
已知：
i
(t
)
i
(0)
cos
it
i (0) i
sin
it
(i 1, 2)
l
0E.I041
P0 L3 EI
sinP0 stin
m
t
EI
从以上例题的计算中可看出，一般情况下１l 〉２〉l〉ｎ
故在振型迭加法中,一般是前几阶振型起主要作用。
思考：用振型叠加法求例1所示结构的位移幅值。
2
k m
2
1 3
k m
2 5 k 3m
2
k m
P0 sin t
P0 sin t

第11讲二自由度系统受迫振动及吸振

2
多自由度系统强迫振动 \ 吸振
多自由度系统强迫振动 \ 吸振故系统受迫振动响应为
例1 线。
图a所示的系统中，已知m1 m, m2 2m，k1 k2 k, k3 2k, Q2 0.
(1)试求系统的响应；（ 2）计算共振时的振幅比；（3）做振幅频率响应曲
解：（1）由已知
K11 2k , K12 K 21 k , K 22 3k
则微分方程式可写成
M 11 x1 K11 x1 K12 x2 Q1 sin t M 22 x2 K 21 x1 K 22 x2 Q2 sin t
（2）
多自由度系统强迫振动 \ 吸振
多自由度系统强迫振动 \ 吸振
M 11 x1 K11 x1 K12 x2 Q1 sin t （2） M 22 x2 K 21 x1 K 22 x2 Q2 sin t

k
k 2 F1
1
2 k 2 m1 2 k 2 m 2 2 k 2

22 m2 F 1 k11 m1 2 k22 m2 2
k

2 2 m2 F 1 2 k1 k2 m1 k2 m2 2
k

m1m2 4 m1k 2 m2 k1 k 2 2 k1k 2
• 方程（2）是二阶线性常系数非齐次微分方程组，它的解应由齐次方程组的通解（自由振动）与非齐次方程组的特解（受迫振动）叠加而成。其中非齐次方程的特解为稳定阶段的等幅振动，系统按与激振力相同的频率，作受迫振动。
对（3）式求二次导数，即得加速度
x1 B1 2 sin t

抗震分析

2动力分析理论和有限单元法基础 2.1单自由度体系的振动如图2.1所示为一单自由度体系，质点的质量为m ，体系的刚度为k ，阻尼系数为c ，承受动力荷载P(t)的作用。

当质点上受到随时间变化的动力荷载P(t)作用时，体系所产生的振动称为强迫振动。

根据达朗贝尔原理，其动力平衡方程为:p(t)ky y c ym =++ 经过整理后可以写成()mt p y y =++22y ωξω其中m k =ω为单自由度体系无阻尼自由振动的圆频率，kmc m 22c ==ωξ为阻尼式( 2.1) 即为单自由度体系强迫振动的微分方程，这是一个二阶线性常系数非齐次方程，其通解为：()()()()()ττωωϕωτξωξωd t e t P m Ae t d t d t -++=---⎰sin 1sin y 0（2.2）式(2。

2)中第一项为(2。

1)相应的齐次方程的解，即为自由振动方程：022=++y y yωξω (2.3) 的解，设体系的初始位移和初始速度分别为0y 和0y，则 0002002y y y y arctg y y A d d ξωωϕωξω+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+= (2.4) 式中，21w ξω-=d 称为有阻尼自由振动的圆频率。

式(2。

2)中的第二项为非齐次方程式(2.1)的一个特解。

若体系的初始位移0y 和初始速度0y等于零，则方程式(2。

1)的解()()()τωτξωd et P m t t td--⎰=1y (2.5)它可以用来计算单自由度体系对于任何给定的加载过程的弹性动力反应，当荷载P(t)能用简单的数学式子表示时，上式能用解析方法进行计算。

然而地震时地面运动是没有规律性的，很难用一个关于时间函数的式子来表达，通常采用数值积分。

对于地震荷载，一般来说必须计算加载过程中一连串时间的反应，此时采用从一时刻到下一时刻递增地进行计算较为方便。

2.2多自由度体系的振动2.2.1多自由度体系的振动方程假设所讨论的体系具有n 个自由度，体系的质点1m 、2m 、3m 、···n m 受到相应外力i p (t)的作用，各质点在其静力平衡位置附近振动。

《强迫振动现象分析》课件

2
域中的应用，特别是对于降噪和控制有着重要的作用。
介绍强迫振动在机械设计、机床加工、车辆
工程和地震工程等相关领域的应用。
3
无损检测和医学成像中的应用
强迫振动在无损检测和医学成像等领域的作用，探讨最新的应用技术和发展方向。
结论
对强迫振动进行概括性的阐述，总结强迫振动的研究意义和其在相关领域的应用前景。探讨需要进一步深入研究的问题和方向，以期在未来实现新的突破和发展。
多自。
耦合阻尼比和应力解耦
耦合阻尼比和应力解耦的概念，进行实例分析。
模态分析
讲解模态分析的基本概念，阐述模态分析的思想和步骤，并进行实际计算。
强迫振动的应用
1
振动控制和降噪
探讨强迫振动在音响、通讯和航空航天等领
振动工业和车辆工程中的应用
强迫振动现象分析
强迫振动是指外力周期性地作用于振动系统上，使其振幅也变成周期性变化的一种振动现象。这是一个探讨强迫振动现象的课件。
引言
强迫振动是很多工程和物理问题中的基础。研究强迫振动的意义在于深入理解和应用。介绍强迫振动的定义和分类，以及振动系统受到强迫振动力之后的运动特征。
单自由度系统的强迫振动
运动方程和通解
单自由度系统的强迫振动运动方程和其通解，导出强迫振动的幅频特性和相频特性。
静态平衡和动态平衡
讲解静态平衡和动态平衡的概念，介绍相平衡和反相平衡的含义。
系统响应的分析和优化
引入系统响应的概念，讲解分析强迫振动系统的相位和幅度响应，进行优化设计。
多自由度系统的强迫振动
运动方程和通解
参考文献
汇总相关领域内的名著、期刊和研究成果，提供对感兴趣的读者和学习者进行深度拓展和了解的工具和资源。

第七章多自由度体系的动力响应分析

第七章多自由度体系的动力响应分析在第七章中，我们将学习多自由度体系的动力响应分析。

多自由度体系是指由多个部件或质点相互作用而构成的体系，在动力学中具有广泛应用。

其动力学行为比单自由度体系更为复杂，需要采用不同的方法进行分析。

多自由度体系的动力响应分析可分为两个主要步骤：建立动力学模型和求解动力学方程。

首先，我们需要根据实际问题建立多自由度体系的动力学模型。

常见的模型包括单自由度体系的推广、多质点系统和连续体模型等。

根据问题的特点选择合适的模型是十分重要的。

其次，我们需要求解多自由度体系的动力学方程。

一般来说，动力学方程可以通过运动方程和力学关系两个方面来建立。

运动方程描述了系统的几何特征，力学关系则描述了系统受到的力和约束。

通常，我们采用拉格朗日方程或哈密顿方程来建立动力学方程，并通过使用牛顿—克尔系统简化计算过程。

在求解动力学方程之后，我们可以通过模拟和分析来获得多自由度体系的动力响应。

常见的动力响应包括自由振动、强迫振动和阻尼振动等。

自由振动是指系统在无外力作用下的自我周期性振动。

强迫振动是指系统受到外界力作用而产生的振动。

阻尼振动是指系统在存在耗散力的情况下的振动。

在分析多自由度体系的动力响应时，我们还需要考虑共振现象和模态分析。

共振是指外界激励频率与系统固有频率相等时产生的特殊现象。

通过研究系统的固有频率和激励频率之间的关系，我们可以预测系统是否会发生共振，并作出相应的调整。

模态分析则是通过分解系统的振动模态，研究每个模态的特性和相互之间的耦合关系。

通过模态分析，我们可以更好地理解多自由度体系的动力响应。

在实际应用中，多自由度体系的动力响应分析经常涉及到复杂的计算和仿真。

因此，我们可以借助于计算机辅助工具，例如有限元分析和动力学仿真软件，来进行更精确和高效的分析。

总之，多自由度体系的动力响应分析是动力学中的一个重要课题。

它不仅具有理论研究的价值，还具有广泛的工程应用。

通过深入理解和掌握多自由度体系的动力响应分析方法，我们可以更好地分析和设计复杂的工程系统，推动科学技术的进步。

多自由度系统振动微分方程的建立

多自由度系统振动微分方程的建立如下图所示三个自由度系统的有阻尼强迫振动，分别用达朗贝尔原理、牛顿第二定律、拉格朗日方程、能量法、虚位移原理建立其振动微分方程。

1、直接平衡法建立方程（1）达朗贝尔原理根据达朗贝尔原理，当系统振动时，将受到干扰力、惯性力、阻尼力以及弹性恢复力作用，这四种力在系统的每一个广义坐标上的分量应保持平衡。

对于n 个自由度结构系统，力的平衡关系可以表示成为：)(t P F F F S D I =++I F 为惯性力列阵，D F 为阻尼力列阵；S F 为弹性恢复力列阵)(t P 为干扰力列阵。

设系统位移矢量为Tn t y y y y Y ]......,[21=，则： ..X M F I =, .X C F D = , KX F S = ∴)(...t P KX X C X M =++对以上三自由度系统进行受力分析如下图所示：11x k )(1t F )(122x x k - )(2t F )(233x x k - )(3t F.11x c ..11x m .1.22)(x x c - ..22x m .2.33)(x x c - ..33x m由达朗贝尔原理列平衡方程：1m ：0)()()(..11.11.1.22111221=---+--+x m x c x x c x k x x k t F1m2m 3m2k2c3k 3c1k 1c1x2x3x)(1t F )(2t F)(3t F1m2m2m2m ：0)()()()()(..22.1.22.2.331222332=----+---+x m x x c x x c x x k x x k t F 3m ：0)()()(..33.2.332333=-----x m x x c x x k t F整理得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=-++--++-=-++-++)()()()()()()(33323.33.23..3323323212.33.232.12..22122121.22.121..11t F x k x k x c x c x m t F x k x k k x k x c x c c x c x m t F x k x k k x c x c c x m 写成矩阵形式得：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+--++⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+--++⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)()()(0)(0)(0)(0)(00000321321333322221.3.2.1333322221..3..2..1321t F t F t F x x x k k k k k k k k k x x x c c c c c c c c c x x x m m m 2、牛顿第二定律由牛顿第二定律建立上述系统振动微分方程，与达朗贝尔原理类似，分析各质量单元受力图，只是此时将不加惯性力。

机械振动5多自由度系统10-11有阻尼.

i 2 i n) η
式中， N 0i u ( i ) F0
T
(i 1,2,, n)
则正则坐标的稳态响应：
ηi (t )
式中， H i ( )
N 0i
, arctan2 i i , , i i (1 i2 ) 2 (2 i i ) 2 1 i2 i 频率比相位角正则坐标的放大因子 2018 年12月2日
《振动力学》
4
例如：三自由度系统
2k
m
x1
k
x2 m
k
x3 m
2k
c
m 0 0 M 0 m 0 0 0 m
3k K k 0
k 2k k
0 k 3k
c 0 0 C 0 0 0 0 0 0
一般情况下，可将各种类型的阻尼化作等效粘性阻尼。
2018年12月2日《振动力学》
2
有阻尼的 n 自由度系统的强迫振动方程为：
Cq Kq F (t ) Mq
阻尼矩阵元素 cij 阻尼影响系数
q Rn
物理意义：是使系统仅在第 j 个广义坐标上产生单位速度而相应于第 i 个坐标上所需施加的力阻尼力为广义速度的线性函数表示为：
6 k u T Ku 0 0 0 6k 0 0 12k 0
1 1 1 u 2 0 1 1 1 1
0 6 m 0 uT Mu 0 2 m 0 0 3m 0
2018年12月2日《振动力学》
5.10 多自由度系统的阻尼
2018年12月2日《振动力学》
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任何实际的机械系统都不可避免的存在着阻尼因素材料的结构阻尼，介质的粘性阻尼等由于各种阻尼力机理复杂，难以给出恰当的数学表达。在阻尼力较小时，或激励远离系统的固有频率时，可以忽略阻尼力的存在，近似地当作无阻尼系统。当激励的频率接近系统的固有频率，激励时间又不是很短暂的情况下，阻尼的影响是不能忽略的。

强迫振动

强迫振动一．单自由度体系对任意荷载的反应（single-degree -of-freedom-system ） 1.1时域分析法—Duhamel 积分 1、单位脉冲反应函数定义：作用时间很短，冲量等于一的荷载，即δ函数 δ函数定义： 0lim →ε)(τδε-t =)(τδ-t ={其他，,0τ=∞t 且1)(0=-⎰∞dt t τδδ函数的筛选性：)()()(ττδf dt t t f =-⎰+∞∞-在t=τ时刻，单位脉冲)()(t t p δ=作用在SDOFsys 上，使结构获得一个单位冲量，脉冲结束后，质点获得一个一个初速度，即m ⎰⎰++===+εττεττδετ1)()()(dt t dt t p u当0→ε，mu1)(=τ 0)(=x u （因为时间短，未激起位移）单位脉冲作用下的反应（responce ）相当于给出一个初始条件：,0)(=τu mu1)(=τ 下的自由振动将其代入单自由度体系的自由振动的一般解，得：（单位脉冲反应函数一般用)(τ-t h 表示）：无阻尼体系： m kn =ω （对于单自由度扭转，Jk Q n =ω Q K :扭转刚度；Ｊ：转动惯量）ττωωτ≥-==-t t t m t u t h n n)],(sin[1)()( 有阻尼体系： 21ξωω-=n D ττωωττξω≥-==---t t e m t u t h D t Dn )],(sin[1)()()(２．对任意函数的反应将荷载分解成一系列脉冲，然后求得每一个脉冲作用下的结构反应，最后叠加各结果求得结构总反应。

将任意荷载离散成一系列脉冲及各脉冲作用下的反应：任一脉冲)(τp τd 作用下的反应：=)(t du ττττ≥-t t h d p ),()(ＳＤＯＦ体系在任意时间ｔ的总反应就是ｔ之前所有脉冲作用下反应之和： τττd t h p t u t)()()(0-=⎰将前后)(τ-t h 表达式带入得：无阻尼体系：ττωτωd t p m t u n tn)](sin[)(1)(0-=⎰有阻尼体系：ττωτωτξωd t e p m t u D t tDn )](sin[)(1)()(0-=--⎰若初始条件不为零，则Ｄｕｈａｍｅｌ积分给出：无阻尼：τττωωωd t h p t ut u t u tn nn )()(s i n )0(c o s )0()(0-++=⎰无阻尼：ττωτωτττωωτξωξωd t e p m d t h p t B t A et u D t tDtD D tn n )](sin[)(1)()()sin cos ()()(0-+-++=---⎰⎰（Ａ、Ｂ由初始条件定）1.2频域分析法—Fourier 变换法 1.Euler 公式：x i x e ixsin cos += 1,2-==ππi ie e icosx=2/)(ix ix e e -+, i e e x ix ix 2/)(sin --=, )sin (cos y i y e e e e x iy x iy x +==+2.Fourier 积分：设f(x)为周期2l 的函数，并满足狄利克雷条件，则)sin cos (2)(10x l n b x l n a a x f n n n ππ++=∑∞= xdx ln f l b xdx l n f l a l l n l l n ⎰⎰--==ππsin 1,cos1 改写为复数形式：dxex f l c dxec x f x ln i lln x ln in nππ--∞-∞=⎰∑==)(21)(对非周期函数，如果满足狄利克雷条件,)(∞⎰∞∞- dt t f 则可用fourier 积分表示：在fourier 级数公式中，令T=2l,21Tπω=（讲x 改为t,为后面统一符号）则：∑∞-∞==n tin n ex t f 1)(ω （1）dt e t f Tx t in T T n 12/2/)(1ω--⎰=（2）当0→T (因为是周期函数)，由πω21d T =有：ωωπd T==12 ωωω==1n n 则：ωωπωωππωωωd e x d e x d e x t f t i n t in nti n n n )(21)2(21)(⎰∑∑∞∞-===其中：dte tf dt e t f d d dt e t f T d x d x t i t ti t t d t T T t i n n n n ωωπωωπωωπωπωπω-∞∞-∞→--=--⎰⎰⎰⇒⇒⇒=)()(2*2])(1[22)(2/2/212/2/2带入）（令()）（称为当t )(,t ),()(f x x x n ωωω∞→=的fourier 变换。

多自由度体系的振动

振动的基本概念
振动定义
振动是指物体在平衡位置附近进行的往复运动。在多自由度体系中，各质点间的振动相互作用和能量传递使得整个体系呈现出复杂的振动行为。
振动分类
根据振动频率的不同，可以分为低频振动和高频振动；根据振动原因的不同，可以分为自然振动和受迫振动。
振动分析方法
对多自由度体系的振动进行分析时，可以采用模态分析法、直接积分法、传递矩阵法等多种方法。模态分析法是一种常用的简化分析方法，通过求解体系的特征值和特征向量来确定体系的模态参数，进而分析其振动特性。
振动控制的方法
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主动控制
通过向系统输入能量或信号，主动改变系统的振动状态，以达到减振的目的。
被动控制
通过吸收、隔离或阻尼系统振动能量，被动地抑制系统振动。
混合控制
结合主动和被动控制方法的优点，以提高减振效果。
主动控制
主动控制利用外部能源向系统提供控制力，通过实时监测和反馈系统振动状态，主动调整控制力的大小和方向，以达到减振的目的。
将结构划分为有限个单元，通过建立单元间的传递矩阵来描述振动能量的传递和散射。
模态分析
模态振型
描述结构在不同频率下的振动形态。
模态频率
结构的固有频率，对应于特定的模态振型。
模态刚度和模态阻尼
描述模态的力学特性和能量耗散特性。
模态分析的应用
用于结构的动力学特性分析、振动控制和优化设计等。
响应分析
数据采集系统
将振动传感器采集到的信号进行放大、滤波和模数转换，以便进行后续处理和分析。
振动隔离技术
主动控制技术
通过传感器检测多自由度体系的振动，并使用主动控制算法产生

多自由度体系的动力响应分析

多自由度体系的动力响应分析多自由度体系的动力响应分析是研究多个质点或刚体组成的系统在外界作用下的运动规律和响应特性的一项重要课题。

多自由度体系是指由多个相对独立的质点或刚体组成的系统，其中每个质点或刚体都可以在三个方向上自由运动，因此系统具有多个自由度。

多自由度体系的动力学方程可由牛顿第二定律推导得出，即∑F = ma，其中∑F 表示作用在系统中各质点上的合力，m 表示质点的质量，a 表示质点的加速度。

根据每个质点的运动规律，可以得到系统在不同自由度上的运动方程。

为了简化多自由度体系动力学方程的求解，常采用试解法和模态分析法。

试解法是假设质点的位置和速度可以用特定的试解函数表示，然后将试解函数代入动力学方程中，从而得到未知系数的值。

模态分析法则是将系统的自由度进行正交分解，得到一组特征向量和特征值，将试解函数表示为特征向量的线性组合。

通过求解特征值问题，可以得到系统的固有频率和模态振型，从而分析系统的动力响应。

自由振动是指在没有外界作用的情况下，多自由度体系在初始时刻给定的初始条件下的运动。

通过求解系统的运动方程，可以得到质点位置随时间的变化规律。

自由振动的特点是系统在固有频率上做周期性的振动，同时各自由度之间存在能量的转移和耦合。

强迫振动是指在外界施加周期性的激励力下，多自由度体系的运动。

外界激励力的形式可以是单频、多频或宽频带等。

通过求解系统的运动方程，可以得到系统在激励力作用下的动力响应。

强迫振动的特点是系统在激励频率附近发生共振现象，振幅会显著增大。

阻尼振动是指当多自由度体系存在阻尼力的情况下的振动。

阻尼力可以分为线性阻尼和非线性阻尼两种情况。

线性阻尼是指阻尼力与质点速度成正比的情况，非线性阻尼是指阻尼力与质点速度的高阶项有关的情况。

根据阻尼力的形式，可以得到不同类型的阻尼振动方程。

求解阻尼振动方程，可以得到系统的动力响应，包括振动幅值、相位和能量耗散等。

多自由度体系的动力响应分析在工程领域有广泛的应用。