多自由度体系强迫振动

[计算举例]
1．求图示结构的最大动位移反应，并作最大动力弯矩图。 已知，各杆长L， 9EI 不计阻尼。
mL3
m
y1 t
Psinθt
EI
EI1=∞ m
EI
EI
y2 t
解： 1）两个动力自由度，时刻 t 质点的位置如图
2）用刚度法建立振动方程
y1 t
在时刻 t ,2个质点都处于平衡
y2 t
EA L
12EI EA
K22
L3
L
y2 t
K12
K 21
EA L
K12
1 K22 K21
怎么建立方程？
y1 t
V
6EI L3
2
y2
EA L
t
2
y2254tLE3Iy1yt1t
my1t
my2 t
y1 t
y2 t
y2 t
EPLAt2 y2 t y1t
my1t K11 y1(t) 2K12 y2 (t) 0
动载向左 2.1738
例题3
用振型叠加法求解图示质点处的最大位移，已知，
ξ1=ξ2=0.10 ，动力荷载幅值为1KN ，
4E，I
mL3
EI=9×103kN·m2
1sinθt
解：1)求自振频率和振型
1 0.285
EI m
EI EI
m 2m
2 0.995
EI m
2m
A1 1.0 0.414 T
A2 1.0 2.414T
A1 1.7391 10 4 米 不考虑阻尼影响结果 A2 1.5459 10 4 米
例题4
L
P sin t
K12
m K
m
K11 m
K m
m K
m
K22
K11
K 22
3EI L3
KN
K21 KN
K21
P sin t
m y1t
K m
y2 t
L
m1y1t K11 y1(t) K12 y2 (t) P sint m2 y2 t K21 y1(t) K22 y2 (t) 0
多自由度体系 强迫振动
重 点：最大动位移 最大动弯矩 振型叠加法
难 点：建立方程 方程系数的求法
强迫振动，振型叠加法
一、振动方程
Pn (t)
1.柔度法
n
n
Pj (t)
yi (t) ijm j yj (t) ij Pj t
j 1
j 1
P2 (t)
n
ij m j yj (t) iP t
如何调整 m 及 KN 使得上质点不振动？
例题5
m2
P2 t EI
EI1
EI
L
m1
P1t EI1
EI
EI
L
K 21 K11
y2 t y1 t
K 22 K12
K 21 K11
K 22 K12
12EI K11 4 L3 k1 k2
K12
K21
2 12EI L3
k2
K 22
2
12EI L3
K12
1
3 i /L
K22
6 i /L
支杆 1 单位位移
6 i /L
6 i /L
支杆 2 单位位移
❖ 求恢复力
当质点各有位移 y1t ，y2t 时，由叠加原理
FEK1 K11 y1(t) K12 y2 (t)
FEK 2 K21 y1(t) K22 y2 (t)
3i 式中 K11 L2
K12
2. 振型叠加法
n个质点的振动具有n个振型，这n个振型是线性无关的，在
数学上构成n维空间的一组基底。故，n个质点的振动的位
移反应可写作 y(t) Aq(t)
A11 A12 A1n
A
A21
An1
A22 An2
A2n
Ann
A1
A2 An
------称为振型矩阵
q(t) q1(t) q2(t) qn (t)T 称为广义坐标
0
在上式中左乘 Ai T
AiT [K]
Aj
2 j
Ai
T
M
Aj
0
-----------（1）
再考虑第 i 振型 [K ]Aii2M Ai 0
在上式中左乘 Aj T Aj T [K]Aii2 Aj T M Ai 0 ----------(2)
求（2）式的转置
AiT [K] Aj i2AiT M Aj 0 -----------（3）
K21 3 i /L
K12
1
3 i /L
K22
6 i /L
M1
支杆 1 单位位移
6 i /L
6 i /L
M2
支杆 2 单位位移
M max M1 A1 M 2 A2
4PL/13
PL/13 4PL/13
4PL/13
4PL/13
例题2. 求质点的最大动位移，并绘最大动力弯矩图。已知，动
力荷载幅值为1KN，EI=9×103 kN·m2 ，不计阻尼。
y1 y2
t t
P
0
s in t
L2
以 y(t) Asint 代入方程中
3i
m
0
0 m
2 2
A1 A2
LL32 i2
3i L2
27i
L2
A1 A2
0 P
PL2
A1 A2
2
39i P L2
此就是最大动位移
39i
❖ 4)最大动力弯矩图
1 K11
5） 解方程
y1 y2
(t (t
) )
A1 sint A2 sint
代入振动方程
m(m211122A1 1)
A1 m m 22 2
2
12
1
A2 A2
1P 2P
解得两质点的位移幅值（最大动位移）：
A1 1.7391 10 4 米 A2 1.5459 10 4 米
6）作最大动力弯矩图
sint
q2 (t)
2 2
2q2 (t)
2 2
q(t
)
P2* (t)
--------（2）
3）求解（1）、（2）可用杜哈美积分
q j (t)
Pj*
m
2 j
1
j
1
2
2
4
2 j
j
2
sin t j
tg j
2
2 j
j j 2
q1 (t) 9.34 10 5 sin(t 1 )
q2 (t) 7.7 10 5 sin(t 2 )
0
0
M
* i
K
* i
0
0
记 Pi*t AiT P(t) 方程解藕为：
M i*qi (t) Ci*qi t Ki*qi t Pi* t
记
i2
Ki*
M
* i
2ii
Ci*
M
* i
qi (t)
2iiqi ti2qi
t
Pi* t
M
* i
求出qi (t) 后，利用 y(t) Aq(t) 求位移反应
AiT M A1 M A2 M Ai M Aj M An
注意到正交性，上式为：
0 0 Ai T M Ai 0 0 0
同理，方程左边第三项的系数变成
0 0 Ai T K Ai 0 0
记 Mi* AiT M Ai
Ki* AiT KAi
Ci*
M
* i
K
* i
则，方程左边第二项的系数变成
k2
k1, k2为底层刚度和上层刚度
m1y1t K11 y1(t) K12 y2 (t) P1t
m2 y2 t K21 y1(t) K22 y2 (t) P2 t
例题6
m
EI
EI
A
L
m
EI
EI1=∞
Pt
L
L/2 L/2
y1 t
y2 t
y1 t
K11 1
K11
24EI 5L3
方程是藕合的，为了解藕，令
C M K
式中，α，β为两个常数，可由前两个振型获得
M y(t) M Ky(t) Ky(t) P(t)
把y(t) Aq(t) 代入上述方程
M Aq(t) M KAq(t) KAq(t) P(t)
以AiT 左乘上式，先考虑其第一项的系数
AiT M A AiT M A1 A2 An
n
❖ 又可写作 y(t) q j (t) Aj
j 1
现考虑有阻尼的强迫振动，其振动方程为：
M y(t) Cy(t) K y(t) P(t)
C11 C12 C1n
C C21
C22
C2n
Cn1
Cn2
Cnn
n
FDi Cij yj (t) j 1
称为阻尼矩阵。其意义如下
i =1，2，...，n 。它是由各质 点的速度引起的在 i 质点的阻 尼力的叠加
AiT [K]
Aj
2 j
Ai
T
M
Aj
0
-----------（1）
由（1），（3）两式相减，得
2 i
2 j
Ai
T
M
Aj
0
由于 i ≠ j ，所以有
Ai T M Aj 0 振型关于质量矩阵的正交性，又称为第一正交性
Ai T [K] Aj 0 振型关于刚度矩阵的正交性，又称为第二正交性
P=1
P=1
2
P=1
2
MP图
M1
2
M2
M max M P M1 I1 max M 2 I2 max
❖ 最大惯性力 I my(t) m 2 Asint
I1 max 0.7826
I
2
max
0.6957
P=1
P=1
2
P=1
2
MP图
1.5652
M1
2
M2
1.5652
1.8261
动载向右
即，my1t
24EI 5L3
y1(t)
EA L
2
y2
(t
)
y1t
0
my2 t
L 2
6EI L3
2
y2 t
2L
EA L
2 y2
t
y1t
L
Pt
L
运用之妙，存乎于心 正确的受力分析，是解决问题的前提
你能画出下列结构的变形图吗？
q
EI
4）位移反应
y1 y2
(t ) (t)
A11 A21
A12 A22
qq12
(t ) (t)
y1(t) A11q1(t) A12q2 (t) 9.34 10 5 sin(t 1) 7.7 10 5 sin(t 2 )
y2 (t) A21q1 (t) A22q2 (t) 3.87 10 5 sin(t 1) 18.59 10 5 sin(t 2 )
P1(t)
j 1
i 1,2,....,n
yn (t)
y j (t)
y2 (t ) y1(t)
y(t) M y(t) p (t)
❖ 2. 刚度法
Pn (t)
考虑第i质点的受力平衡
Pj (t)
n
Kij y j (t) mi yt Pi t
P2 (ຫໍສະໝຸດ Baidu)
j 1
M y(t) K y(t) Pt P1(t)
用位移法或直接求柔度矩阵的逆，不难得出刚度矩阵 [K]
2)求广义质量、广义刚度、广义荷载
M
* 1
A1T
M
A1
1.0
0.414
m
0
0 m
1.0 0.414
1.176m
K1*
A1
T
K11 K 21
K12 K 22
A1
1.0
3EI
0.414
14 9EI
28
9EI 28
K 21
3i L2
K 22
27i L2
m1y1t K11 y1(t) K12 y2 (t) 0 m2 y2 t K21 y1(t) K22 y2 (t) P sint
❖ 矩阵表达式
3i
m1
0
0 m2
y1 t y2 t
LL32 i2
3）方程的解-----最大动位移
3i L2 27i
6EI
1.0 0.414
0.095EI
7
P1* (t) A1T P(t) 1.0
0.414
P
0 sin
t
1
M
* 1
0.3534 sint
m
q1 (t)
21
1q1 (t)
2 1
q(t
)
P1* (t)
-------（1）
M
* 2
6.827 m
K
* 2
6.761 EI
P2*
(t)
0.3536 m
4EI mL3
1sinθt
1sinθt
y2 t
m
EI EI
m 2m
y1t
2m
解：1 ) 2个动力自由度，用柔度法 2）任意时刻 t 质点的位置如图
3）振动方程的形式
建立方程的依据：
y1t , y2 t 由2 个方向的惯性力
及动力荷载共同产生
1sinθt
y1(t) y2 (t)
m11 m 21
平衡方程：
FEK1 m1y1t 0
FEK2 m2 y2 t P sint
m1
FEK1 m1y1t
m2
FEK2 m2y2t P sint
恢复力FEK1及FEK2都是刚架提供的
求恢复力
2个质点分别有不同的位移，不容 易确定各自恢复力的大小。为此， 仍然采用叠加法。
1 2
1 3 i /L
K11 K21
yn (t)
y j (t)
y2 (t ) y1(t)
二、振动方程的解
当动荷载为简谐荷载时，稳态振动解，亦即动力位移反应。 其形式为
y(t) Asint
三、振型叠加法
1. 主振型的正交性
刚度法表示的振型方程 K 2 M A 0
考虑第
j
振型方程
[K
]
2 j
[M
]
Aj
0
[K
]
Aj
2 j
M
Aj
y1(t y1(t
) )
m12 y2 (t) m22 y2 (t)
1P 2P
s in t s in t
4）求方程中各系数
P=1
P=1
2
y2 t
m
y1t
P=1
2
MP图
M1
2
M2
求出各系数
11
32 3EI
12
21
4 EI
1P
4 EI
4.4444104
22
8 3EI
2P
8 3EI
2.9629104
整理后得
y1 (t) 10 4 (1.67 sint 0.302 cost)
y2 (t) 10 4 (0.8573 sint 0.4233 cost)
y1 (t)max 1.697 10 4
y2 (t) max 0.956 10 4
与不考虑阻尼影响比较，质点的竖向最大位移由于阻尼的 作用减小了2.4%；水平位移减小了38.0%。