第九章 多元函数微分法及其应用(答案)

第九章 多元函数微分法及其应用

1．填空题

(1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ∂∂∂2，x y z

∂∂∂2 连续 ，则在D 上，

x

y z

y x z ∂∂∂=∂∂∂22。 (2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的 必要 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。

2．求下列各极限 (1)x xy y x sin lim

00→→ (2)11lim 0

0-+→→xy xy

y x

解：原式⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛⋅=→→y xy xy y x sin lim 00 解：原式)11)(11()11(lim 00-+++++=→→xy xy xy xy y x 001=⋅= (

)

211lim

=++=→→xy y x

(3)22222200)()

cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 解：原式⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⋅⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛++=→→222222222200422sin 2lim y x y x y x y x y x +∞=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+=

→→220011lim 21y x y x 3．设()xy x z ln =，求y x z ∂∂∂23及2

3y x z

∂∂∂ 解：

()()1ln ln +=⋅+=∂∂xy xy

y

x xy x z x xy y x

z 12

2==∂∂，023=∂∂∂y x z ，

y xy x y x z 12==∂∂∂，2

231

y y x z -=∂∂∂ 4．求下列函数的偏导数 (1)x y arctg

z = 解：2222

22

211

y x y y x y x x x y x x y x

z +-=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=

∂∂ 类似地

2

2211

y x x

x y y x y x

z +=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=∂∂ (2)()xy z ln = 解：

xy

x x y x y x x x z ln 21

1ln ln 121ln ln =

⋅+=+∂∂=∂∂ 同理可证得：

xy

y y z ln 21

=

∂∂ (3)3

2z xy e u = 解：

()

32323232z xy z xy e z y z xy x

e x z

=∂∂=∂∂ ()

3

223322z xy z xy e xyz z xy y

e y u =∂∂=∂∂

()

323222323z xy z xy e z xy z xy z

e z u

=∂∂=∂∂ 5．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数

dt

dz

。 解：

()

u t v u t uv u u z sin cos 22-=+∂∂=∂∂，

()

uv u t uv v v z 2cos 2=+∂∂=∂∂，u t

z cos =∂∂ 依复合函数求导法则，全导数为

dt

dt t z dt dv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂= ()

1cos 1

2sin 2⋅+⋅+-=u t uv e u t v t

()

t t t t e t e t

e e t t cos ln 2

sin ln 2++-=

6．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dt

du 。 解：

dt

dz z u dt dy y u dt dx x u dt du ∂∂+∂∂+∂∂= ()t e t e z y e x x x sin cos ++-= t e t sin 2=

7．求方程122

2222=++c

z b y a x 所确定的函数z 的偏导数。

解：关于x 求导，得到

02222

=⋅+x z c

z

a x ，即z a x c z x 22-= 关于y 求导，有

02222

=⋅+y z c

z

b y ，即z b y

c z y 22-=。 8．设y x ye z x 2sin 2+=，求所有二阶偏导数。 解：先求一阶偏导数，得

y ye x

z

x 2sin 22+=∂∂，y x e y z x 2cos 22+=∂∂ 再求二阶偏导数，得

()

x x ye y ye x x z x x

z 222242sin 2=+∂∂

=

⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂，

()

y e y ye y

x z y y x z x x 2cos 222sin 2222+=+∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂∂， ()

y e y x e y

y z x x y z x

x 2cos 222cos 2222+=+∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂∂， ()

y x y x e y y z y y

z x 2sin 42cos 2222-=+∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂ 9．设()y x f z ,=是由方程

y z z x ln =确定的隐函数，求x

z

∂∂，y z ∂∂。