第7章刚体力学习题课

o
A
加速度从大到小.
(D) 角速度从大到小,角 加速度从小到大.
例3：已经一半圆环半径为R，质量为M，求 它的质心位置。
解：建坐标系如图，取dl
dm dl, dl Rd
y dθ
dm M Rd M d
R
x R cos , y R sin
dm
θ
o
x
xc 0
yc
ydm
R sin
0
解:A由水平下摆至垂直,机械能守恒.
以地面为零势能点 mgl 1 A与B碰撞对O点角动量守恒2
I12
1 2
m
gl
mB
I1 I2 mvl .
B向右滑动,根据动能定理：
1 m v2 m gS.
2
A向上摆动机械能守恒
12
l mo
l 2m
（2） M 2mgl mgl I g
4l
（3）机械能守恒
0 m gl 2m gl 1 I 2
2
g
2l
例5. 一圆盘可绕垂直于盘面且 v 通过盘心的中心轴OO’以角速度 沿顺时针方向转动.
O v
(1) 在同一水平直线以相反 方向同时射入两颗质量相同, 速率相等的子弹,并留在盘中, 盘的角速度如何变化?
第7章 刚体力学习题课
例2.均匀细棒 oA 可绕通过其一端 o 而与棒垂直
的水平固定光滑轴转动,如图所示.今使棒从水
平位置由静止开始自由下落,在棒摆动到竖直位
置的过程中,下列情况哪一种说法是正确的?
（ A）
(A) 角速度从小到大,角加速度从大到小.
(B) 角速度从小到大,角加速度从小到大.
(C) 角速度从大到小,角
O'
I I00 I I0 0
盘的角速度减小,因为
角动量L=I不变,但转
(2)两大小相等,方向相反但不在 动惯量I加大了.
同一直线上的力沿盘面同时作用 在盘上,盘的角速度如何变化?
F
O F'
M与同方向， 0
盘的角速度增大,因为转盘受到同向的力矩
O'
6.一半径为R质量为m的均质圆形平板在粗糙 的水平桌面上，绕通过圆心且垂直于平板的 oo′轴转动，摩擦力对oo′轴的力矩为（ ）A
解:在剪断的瞬间:
Fix 0, Fiy mgT
acy
mgT m
(质 心 运 动 定 理)
T
L 2
1 12
m L2
(转 动 定 理)
acy
L
2
解得:
acy
3 4
g
F
1 4
mg
例12.如图,知A: m,l,质量均匀,开始时水平静止
B:m , , A竖直时被碰,然后
滑行距离S.
m
A
l
O
求 :碰后A的质心可达高度h.
盘边缘之间无相对滑动。已知 A、B 的半径分别为R1 ，
R2 ，A 、B、C 的质量分别为 m1，m2 ，m，求：重物
C 由静止下降 h时的速度 v 。
解一：应用机械能守
A
m1, R1
O1
m2 , R2
恒定律
B O2
mgh
1 2
m v2
1 2
I112
1 2
I
2
22
EP 0
Cm
h
mgh
1 2
m v2
用而发生变化，则A点称为“打击中心”。设杆长为L,
质量为m ，求打击中心与支点的距离
y
解：建立图示坐标系，据题意，杆
Nx
受力及运动情况如图所示。 由质心运动定理：
mg
ac
N mg 0,
F
mac
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m
L 2
(1)
由转动定理：
F oA
Io
1 3
mL2
(2)
联立（1），（2）得：
oA
2 3
L
15
例11.如图所示,一长为L质量为m的匀质细棒AB,用 细线拴住其两端,水平悬于空中,若将A端悬线剪断, 试求剪断的瞬间杆的质心的加速度和B端悬线对杆的 拉力.
A. 2 mgR ; B.mgR ; C. 1 mgR ; D. 0
3
2
例7.质量为 m1 和m2 两个物体， 跨在定滑轮上 m2 放在光滑的桌 面上，滑轮半径为 R，质量为
M，求：m1 下落的加速度，和 绳子的张力 T1、T2。
解：m1 g T1 m1a （1）
T2 m2a
（2）
(T1 T2 )R I （3）
M d
R
sind
2R
M
M
0
例4. 一长为2l，质量为3m的细棒的两端粘有质量分
别为2m和m的物体，此杆可绕中心O轴在铅直平面
内转动。先使其在水平位置，然后静止释放。求：
（1）此刚体的转动惯量；（2）水平位置时的杆的
角加速度；（3）通过铅直位置时杆的角速度。
解：（1） I 1 (3m)(2l)2 m l2 2m l2 4m l2
1 2
I112
1 2
I
2
22
不打滑：有 v R11 R22
考虑到：
I1
1 2
m1 R12
I2
1 2
m2 R22
得 v2
mgh
m1 m2 2m
解二：应用牛顿第二定律和转动定律
A： T1R1 I11
A
（1）
m1, R1
T O1
1
T1 m2, R2
B
O2
T2
B：T2 R2 T1R2 I22 （2）
C： mg T2 ma （3）
T2
Cm
mg h
不打滑，有 a R11 R22 （4）
联立（1）、（2）、（3）、（4）解得：
a 2mg m1 m2 2m
v 2ah 2
mgh
m1 m2 2m
例10. 匀质杆可绕点O转动，当与杆垂直的冲击力
作用某点A时，支点O对杆的作用力并不因此冲力之作
例8. 一个半径为 R 的半球固定在地面上，在它的
顶部有一半径为 r 的球从静止只滚不滑地开始滚
下，问：小球滚到何处恰好脱离大球面？
解：当小球滚至任一角
r
f
N
度θ 时，其受力为
重 力mg， 摩 擦
力f
和 支 撑 力N
R
mg
根据质心运动定律，有
mg cos N m vc2
1
Rr
9
以小球和大球为系统，外力 N, f 不做功机 械能守恒，取地面为重力势能零点，则有
a R
I 1 MR2 2
（4）
m2
M ,R
T1
m1 m1
M ,R
m1g T2
T1
m2
T2
联立方程，求解得：
a
m1g
m1 m2 M /2
T1
m1 (m 2 m1 m2
M /2)g M /2
T2
m1
m1m 2 g m2 M
/2
m2
M ,R
m1
当 M=0 时：
T1
T2
m1m 2 g m1 m2
mg R r mg R r cos
1 2
mvc2
1 2
Ic 2
2
由题意为纯滚动，所以
vc r 3
Ic
2 mr2 5
(4)
开始脱离时有 N 0
5
联立（1）、（2）、（3）、（4）、（5）解得：
cos 10 ,即 arccos 10
10
17
17
例9.如图所示，A、B 两圆盘可分别绕 O1 ，O2轴无摩 擦地转动。重物 C 系在绳上（绳不伸长），且与圆