2015届高考数学总复习第二章函数与导数第13课时函数模型及其应用教学案(含最新模拟、试题改编)

第二章 函数与导数第13课时 函数模型及其应用

第三章 (对应学生用书(文)、(理)33～36页

)

,

1. (必修1P 110练习1)某地高山上温度从山脚起每升高100 m 降低0.6 ℃.已知山顶的温度是14.6 ℃，山脚的温度是26 ℃，则此山的高为________m.

答案：1 900

解析：(26－14.6)÷0.6×100＝1 900.

2. (必修1P 71习题10改编)已知某种产品今年产量为1 000件，若计划从明年开始每年的产量比上一年增长10%，则3年后的产量为________件．

答案：1 331

解析：1 000×(1＋10%)3＝1 331.

3. (必修1P 35练习3改编)已知等腰三角形的周长为20，底边长y 是关于腰长x 的函数，则该函数的定义域为________．

答案：(5，10)

4. (必修1P 110复习10)在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)、火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)的函数关系式为v ＝2 000ln ⎝⎛⎭⎫1＋M m .当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可以达到12 km/s.

答案：e 6－1

解析：由2 000ln ⎝⎛⎭⎫1＋M m ＝12 000，得1＋M m ＝e 6，所以M

m

＝e 6－1. 5. (必修1P 100练习3改编)某商品在近30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数

关系为P ＝⎩

⎪⎨⎪⎧t ＋20，0

－t ＋100，25≤t ≤30，t ∈N ，且该商品的日销售量Q 与时间t(天)的函数关系为

Q ＝－t ＋40(0

解析：设日销量金额为W 元，则W ＝P·Q ＝

⎩

⎪⎨⎪⎧（t ＋20）（－t ＋40），0

当0

1. 常用的函数模型有一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数．

2. 指数函数、对数函数、幂函数的增长速度的比较：一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y ＝a x (a>1)，y ＝log a x(a>1)和y ＝x n (n>0)都是增函数，但是它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次上”．随着x 的增大，y ＝a x (a>1)的增长速度越快，会越过并远远大于y ＝x n (n>0)的增长速度；而y ＝log a x(a>1)的增长速度会越慢．因此，总会存在一个x 0，当x>x 0

时，有ax 0>x n 0>log a x 0(比较ax 0，x n

0，log a x 0的大小)．

3. 函数模型的应用实例的基本题型 (1) 给定函数模型解决实际问题． (2) 建立合适的函数模型解决问题． (3) 建立拟合函数模型解决实际问题．

4. 函数建模的基本程序

题型1 一次、二次函数模型

例1 市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系作数据分析发现有如下规律：该商品的价格每上涨x%(x>0)，销售数量就减少kx%(其中k 为正常数)．目前该商品定价为每个a 元，统计其销售数量为b 个．

(1) 当k ＝1

2时，该商品的价格上涨多少，才能使销售的总金额达到最大？

(2) 在适当的涨价过程中，求使销售总金额不断增加时k 的取值范围.

解：由题意，价格上涨x%以后，销售总金额为y ＝a(1＋x%)·b(1－kx%)＝ab

10 000[－kx 2

＋100(1－k)x ＋10 000]．

(1) 当k ＝12时，y ＝ab 10 000(－12x 2＋50x ＋10 000)＝ab

20 000[22 500－(x －50)2]，

因此当x ＝50，即价格上涨50%时，y 取最大值9

8

ab.

(2) y ＝

ab

10 000

[－kx 2＋100(1－k)x ＋10 000]，此二次函数的图象开口向下，对称轴为x ＝50（1－k ）k

.

在适当涨价的过程中，销售总金额不断增加，即要求此函数当自变量x 在{x|x>0}的一个子集内增大时，y 也增大，因此50（1－k ）

k

>0，解得0

备选变式（教师专享）

如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1 km ，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －1

20(1＋k 2)x 2(k>0)表示的曲线上，

其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．

(1) 求炮的最大射程；

(2) 设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2 km ，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．

解：(1) 令y ＝0，得kx －1

20(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x>0，k>0，故x ＝

20k 1＋k

2＝20k ＋1k

≤20

2＝10.当且仅当k ＝1时取等号．所以炮的最大射程为10 km. (2) 因为a>0，所以炮弹可击中目标存在k>0，使3.2＝ka －1

20(1＋k 2)a 2成立关于k

的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根判别式Δ＝(－20a)2－4a 2(a 2＋64)≥0a ≤6.所以当

a 不超过6(km)时，可击中目标．

题型2 指数、对数函数模型

例2 设在海拔xm 处的大气压强是yPa ，y 与x 之间的函数关系为y ＝ce kx ，其中c 、k 为常量．已知某天的海平面的大气压为1.01×105 Pa ，1000m 高空的大气压为0.90×105Pa ，求600m 高空的大气压强．(保留3位有效数字)

解：将x ＝0时，y ＝1.01×105Pa 和x ＝1000时，y ＝0.90×105 Pa 分别代入函数式y ＝

ce kx

，得⎩⎪⎨⎪⎧1.01×105＝ce 0

，

0.90×105＝ce 1 000k

， ∴ c ＝1.01×105， ∴ e

1 000k

＝0.90×1051.01×105＝0.90

1.01

， ∴ k ＝

11000×ln 0.901.01

，用计算器算得k ≈－1.154×10－

4， ∴ y ＝1.01×105×e －1.154×10－

4x ，将x ＝600代入上述函数式，得y ≈9.42×104Pa ，

即在600m 高空的大气压强约为9.42×104 Pa.

备选变式（教师专享）

我国辽东半岛普兰附近的泥炭层中，发掘出的古莲子，至今大部分还能发芽开花，这些