高考数学复习 专题一 第一讲 函数与方程思想
高考数学第一轮章节复习课件 函数与方程思想
得F1(－1,0)，F2(1,0)．
设M(x，y)，则P(1，y)．
由|MF1|＝|MP|，
得(x＋1)2＋y2＝(x－1)2，y2＝－4x.
此轨迹是抛物线．
法二：因为点M在线段PF1的垂直平分线上，所以|MF1| ＝|MP|，即M到F1的距离等于M到l1的距离． 此轨迹是以F1(－1,0)为焦点，l1：x＝1为准线的抛物线， 轨迹方程为y2＝－4x.
【示例4】 已知向量 =(2,0),
=(0,1),
动点M到定直线y＝1的距离等于d，并且满足
d2)，其中O为坐标原点，k为
参数．
(1)求动点M的轨迹方程，并判断曲源自类型；(2)如果动点M的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e满足
≤e≤ ，求实数k的取值范围．
[解] (1)设M(x，y)，则由 =(2,0),
从而解方程组
即满足题设条件的P点为
[领悟] 解析几何是将“形”的问题转化为“数”的问题 解决的学科，如在解题中常将交点问题转化为方程根的 问题，将最值问题转化为函数问题解决．
四、分类讨论思想 分类讨论思想在解析几何中应用广泛，主要表现的方面
有：(1)过定点的直线的斜率是否存在问题．(2)与截距有关 的直线问题要分零截距与非零截距情形讨论．(3)直线与圆 锥曲线的交点问题．(4)含参数的方程表示的曲线的讨论问 题．(5)圆与圆的位置关系判断问题．(6)椭圆、双曲线、抛 物线焦点位置与标准方程间关系的问题等等．
1．(2009·全国卷Ⅰ)设双曲线
(a>0，b>0)的渐
近线与拋物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率等于
() B.2
解析：双曲线的渐近线方程为y＝
与拋物线方程联
立得x2± ＋1＝0，Δ＝(± )2－4＝0⇒b2＝4a2，
高三数学专题一 函数与方程的思想方法课件
［答案］ 3 返回目录
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2.设向量a=(1, 2)，b=(2, 3)，若向量λa+b与向量c=(－4, －7)共线，则λ= ［解析］ . 由向量坐标运算法则得λa＋b＝(λ＋2, 2λ＋
3)，由向量共线条件得－7(λ＋2)＝－4(2λ＋3)，解得λ＝2.
［点评］ 本题主要考查向量的基本运算和向量共线
函数是方程与不等式的“中介”，他们既有区别，又联系
紧密.高考试题中既通过客观试题考查函数与方程的思想的基本 应用，又利用解答题从深层次上对函数与方程思想进行综合考
查.
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1.已知在△ABC中, ∠ACB=90°, BC=3, AC=4, P是AB上 的点, 则点P到AC、BC的距离乘积的最大值是 ［分析］ 如右图，设P点到 AC 、 BC 的距离分别为 x 、 y ，由 y 都是正实数，问题转化为在此 条件下，求xy的最大值问题.
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4. 如图，正方形 ABCD 、 ABEF 的 边长都是 1 ，而且平面 ABCD 、 ABEF 互相垂直 . 点 M 在 AC 上移动 , 点 N 在 BF 上移动,若CM=BN=a (0＜a＜ 2 ). (Ⅰ)求MN的长; (Ⅱ)当a为何值时,MN的长最小. ［分析］ 取a作为变量，建立MN的长的表达式，利用 函数思想求MN的最小值. ［解析］ (Ⅰ)作MP∥AB交BC于点P, NQ∥AB交BE于 点Q, 连结PQ, 依题意可得MP∥NQ, 且MP=NQ, 即MNQP是 平行四边形, 所以MN=PQ, 返回目录
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解法2：(看成不等式的解集) ∵a，b都是正数，∴a＋b 2 ab . 又ab＝a＋b＋3,∴ab 2 ab ＋3,
即( ab ) 2 2 ab 3 0. 解得 ab 3或 ab 1(舍), ab 9.
2014年高考三轮复习数学思想方法专题一 函数与方程思想学生版
数学思想方法专题一 函数与方程思想1． (2013·陕西)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范 围是( )A ．[15,20]B ．[12,25]C ．[10,30]D ．[20,30] 2． (2012·浙江)设a >0，b >0，e 是自然对数的底数( )A ．若e a ＋2a ＝e b ＋3b ，则a >bB ．若e a ＋2a ＝e b ＋3b ，则a <bC ．若e a －2a ＝e b －3b ，则a >bD ．若e a －2a ＝e b －3b ，则a <b 3． (2013·安徽)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．题型一 利用函数与方程思想求解最值、范围问题例1 设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M 、N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A ．1 B.12 C.52 D.22变式训练1 若点O 和点F (－2,0)分别是双曲线x2a2－y 2＝1 (a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为 ( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫－74，＋∞ D ．⎣⎡⎭⎫74，＋∞ 题型二 利用函数与方程思想研究方程根的问题例2 如果方程cos 2x －sin x ＋a ＝0在(0，π2]上有解，求a 的取值范围．变式训练2 已知方程9x －2·3x ＋(3k －1)＝0有两个实根，求实数k 的取值范围． 题型三 利用函数与方程思想求解不等式问题例3 已知f (t )＝log 2t ，t ∈[2，8]，对于f (t )值域内的所有实数m ，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立，求x 的取值范围．变式训练3 设不等式2x －1>m (x －1)对满足|m |≤2的一切实数m 的取值都成立，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，34B ．(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫34，＋∞ D ．(－∞，2)题型四 利用函数与方程思想解决数列问题例4 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2－4n ＋4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n 2n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：14≤T n<1.典例 (14分)(2012·北京)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程． (2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值． 规范解答解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝ 2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.[4分](2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 22＝1得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.[5分]设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2.[8分]所以|MN |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2(1＋k 2)(4＋6k 2)1＋2k 2.[10分]又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k 2， 所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2.[12分]由|k |4＋6k 21＋2k2＝103，解得k ＝±1.∴k 的值为1或－1.[14分] 评分细则 (1)不列方程没有a 2＝b 2＋c 2，扣1分；(2)求|MN |时直接使用弦长公式没有中间变形，扣1分；(3)最后结论不写不扣分．阅卷老师提醒(1)本题易错点：不会整合题目条件，没有列出方程求b 、c ；运算能力较差，用弦长表示面积出现计算错误；(2)阅卷中发现考生的快捷解法：直线y ＝k (x －1)过定点T (1,0)，则S △AMN＝12·|AT |·|y 1－y 2|， 大大简化运算过程．1． 在正实数集上定义一种运算“*”：当a ≥b 时，a *b ＝b 3；当a <b 时，a *b ＝b 2，则满足3*x =27的x 的值为( )A ．3B ．1或9C ．1或 2D ．3或3 32． (2012·课标全国)设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为 ( )A.12B.23C.34D.453． 方程x 2－32x －m ＝0在x ∈[－1,1]上有实根，则m 的取值范围是 ( )A ．m ≤－916B ．－916<m <52C ．m ≥52D ．－916≤m ≤524． 已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x，等比数列{a n }的前n 项和为f (n )－c ，则a n 的最小值为 ( )A ．－1B ．1 C.23 D ．－235． 对于满足0≤p ≤4的实数p ，使x 2＋px >4x ＋p －3恒成立的x 的取值范围是__________．专题限时规范训练一、选择题1． 函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)2． 若函数f (x )、g (x )分别为R 上的奇函数、偶函数，且满足f (x )－g (x )＝e x ，则有 ( )A ．f (2)<f (3)<g (0)B ．g (0)<f (3)<f (2)C ．f (2)<g (0)<f (3)D ．g (0)<f (2)<f (3)3． 设函数D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则下列结论错误的是( )A ．D (x )的值域为{0,1}B ．D (x )是偶函数C ．D (x )不是周期函数D ．D (x )不是单调函数4． 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，若a 1＝1，则S 4等于( )A ．7B ．8C ．15D ．165． (2012·陕西)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( )A.32B.22C.12 D ．－126． 若a >1，则双曲线x 2a 2－y2(a ＋1)2＝1的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，5)C ．[2，5]D ．(3，5)7． 设函数f (x )＝x 3＋sin x ，若0≤θ≤π2时，f (m cos θ)＋f (1－m )>0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(－∞，0) C ．(－∞，1) D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 8． 若不等式ax －1x ＋b >0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式bx ＋1ax ＋1<0的解集是 ( )A ．{x |12<x <1}B ．{x |x <12或x >2}C ．{x |－12<x <1}D ．{x |x <－1或x >2}.二、填空题9． 若关于x 的方程(2－2－|x －2|)2＝2＋a 有实根，则实数a 的取值范围是________．10．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是____________．11．已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________． 12．已知数列{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________． 三、解答题13．椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，短轴长为2，离心率为22，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝3PB →.(1)求椭圆C 的方程； (2)求m 的取值范围．。
数学高考备考二轮复习第二部分-第1讲函数与方程思想PPT课件
D．E∩F＝∅
许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多 有关函数的问题也可以用方程的方法来解决．函数与方程思想 是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点和热点．
1．函数的思想：它是用运动和变化的观点，分析和研究数 学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，并运用函数的图 象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．函数 思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函 数知识或函数观点观察、分析和解决问题．
【配对练习】
1．(2011 年全国)已知函数 y＝f(x)的周期为 2，当 x∈[－1,1]
时 f(x)＝x2，那么函数 y＝f(x)的图象与函数 y＝|lgx|的图象的交
点共有( A )
A．10 个
B．9 个 C．8 个 D．1 个
解析：由题意作出函数图象如图 D45，由图象知共有 10 个 交点．
图 D45
函数与方程思想在不等式中的应用
在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是 构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题．在含有多 个变量的数学问题中，需要确定合适的变量或参数，能使函数 关系更加清晰明朗．一般地，已知存在范围的量为变量，而待 求范围的量为参数．
例 1：设集合 A＝{x|4x－2x＋2＋a＝0，x∈R}． (1)若 A 中仅有一个元素，求实数 a 的取值集合 B； (2)若对于任意 a∈B，不等式 x2－6x＜a(x－2)恒成立，求 x 的取值范围． 解：(1)令2x＝t(t＞0)，设f(t)＝t2－4t＋a. 由f(t)＝0在(0，＋∞)有且仅有一实根或两相等实根，得 ①当f(t)＝0有两相等实根时，Δ＝0⇒16－4a＝0⇒a＝4. 验证：t2－4t＋4＝0⇒t＝2∈(0，＋∞)，这时x＝1. ②当f(t)＝0有一正实根和一负实根时，f(0)＜0⇒a＜0，
高考数学第一轮考点复习课件 函数思想和方程思想
11.
（*）已知集合 A {(x, y) |
y3 x2
a 1
}，
集合
B {(x, y) | (a2 1)x (a 1)y 15} , 若 A B ，求a的值。
分析：1集合A表示的是什么图形？
2集合A、B表示的图形的位置关系是什么？
集合A变形为：y-3=(a+1)(x-2) (x≠2),图形如下
= -2（sinx-1）2 +3≤3，
第8题
所以
－a+5>3，
即
>a-2，
上式等价于
或
解得 ≤a<8.
第9题
9.（***）在数列{an}中，已知，a1 1 a2 5
an2 an1 an (n∈N+），则等于__________
解：因为an+2 ＝ an+1 - an（n∈N+）， 所以an+3 = an+2 - an+1，两式相加，
三是借助数形结合的思想，寻求解答思路及方法。
39数形结合思想
5.（**）已知数列 {a n }中，an
n n
98 99
，则最大项___
分析：化简
an
n n
98 n 99
99 n
99 99
98 1
99 98 n 99
99 98 0
若右图所示
1 10
所以最大项为第10项
99
第8题
38函数思想和方程思想
3.（*）关于 x 的方程 sin2 x cosx a 0 有实根，则实
数 a的取值范围是________________
分析：设cosx＝t，t∈[-1,1]， 又因为sin2x+cos2x=1 所以原式等价于： a＝t 2－t－1
高考数学二轮复习第一部分一函数与方程思想课件
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突破点一
突破点二
突破点三
突破点四
(方法二)因为f(x)=1-2sin2x+2sin x,
设t=sin x,又x∈(0,π),所以sin x∈(0,1],即t∈(0,1].
则y=1-2t2+2t=-2t2+2t+1(t∈(0,1]).
如图,作出函数y=-2t2+2t+1的图象.
导函数,则关于x的不等式exf(x)>ex-1的解集是( C )
A.(-∞,0)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(0,+∞)
C.(0,+∞)
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
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突破点一
突破点二
突破点三
突破点四
分析推理(1)首先根据对数函数的单调性确定集合A,然后以m为
变量构造与不等式对应的函数,根据函数的图象和性质确定参数所
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2
高考命题聚焦
素养思想诠释
1.函数与方程思想的含义
(1)函数思想是用运动和变化的观点分析和研究数学中的数量关
系,是对函数概念的本质认识,建立函数关系或构造函数,运用函数
的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决的思想
方法.
(2)方程思想就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或
数列之间的关系,通过构造相应的函数,转化为函数问题求解.
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突破点一
突破点二
突破点三
突破点四
即时巩固3已知数列{an},其前n项和为Sn.当n≥2时,都有2an=an-1
+an+1,且S5=0,S6=3.
2019高考数学(文)思想技法攻略精讲 ：第一讲函数与方程思想
第一讲函数与方程思想要点一函数与方程思想在函数、方程、不等式中的应用[解析](1)设f(x)＝e x－x－1，x>0，则f′(x)＝e x－1>0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(0)＝0，f(x)>0，∴e x－1>x，即e a－1>a.又y＝a x(0<a<1)在R上是减函数，得a>a e，从而e a－1>a>a e，故选B.(2)∵f(x)＝－f′(0)e x＋2x，∴f′(x)＝－f′(0)e x＋2，则f′(0)＝－f′(0)e0＋2，解得f′(0)＝1，则f(x)＝－e x＋2x，f(0)＝－e0＋0＝－1，则切线l：y ＝x－1，对y＝e x求导得y′＝e x，当过Q的切线与直线l平行时，|PQ|最小．由e x＝1，可得x＝0，即切点Q(0,1)，Q到直线l的距离为|0－1－1| 12＋(－1)2＝22＝2，故|PQ|的最小值为 2. [答案](1)B (2) 2函数与方程思想在函数、方程、不等式中的应用技巧 (1)求字母(式子)的值的问题往往要根据题设条件构建以待求字母(式子)为元的方程(组)，然后由方程(组)求得．(2)求参数的取值范围一般有两种途径：其一，充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式(组)求解；其二，充分应用题设中的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后，应用函数知识求值域．(3)在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题．同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化．一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数．[对点训练]1．(2017·河南平顶山一模)若对于任意的x >0，不等式x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．a ≥15B ．a >15C ．a <15D ．a ≤15[解析] 由x >0，得xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12x ·1x＋3＝15，当且仅当x ＝1时，等号成立．则a ≥15，故选A.[答案] A2．(2018·豫南九校联考)若关于x的方程2－2－|x＋2|＝2＋a有实根，则实数a的取值范围是________．[解析]令f(x)＝2－2－|x＋2|，要使方程f(x)＝2＋a有实根，只需2＋a是f(x)值域内的值，又可知f(x)的值域为[1,2)，∴1≤2＋a<2，解得－1≤a<0.[答案][－1,0)要点二函数与方程思想在数列中的应用[解](1)因为a1＝2，a23＝a2·(a4＋1)，又因为{a n}是正项等差数列，故d≥0，所以(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)，解得d＝2或d＝－1(舍去)，所以数列{a n}的通项公式a n＝2n.(2)由①可求得S n＝n(n＋1)，b n＝1S n＋1＋1S n＋2＋…＋1S2n＝1(n＋1)(n＋2)＋1(n＋2)(n＋3)＋…＋12n(2n＋1)＝1n＋1－1n＋2＋1n＋2－1n＋3＋…＋12n－12n＋1＝1n＋1－12n＋1＝n2n2＋3n＋1＝12n ＋1n＋3， 令f (x )＝2x ＋1x(x ≥1)，则f ′(x )＝2－1x2，当x ≥1时，f ′(x )>0恒成立， 所以f (x )在[1，＋∞)上是增函数， 故当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝3， 即当n ＝1时，(b n )max ＝16，要使对任意的正整数n ，不等式b n ≤k 恒成立， 则须使k ≥(b n )max ＝16，所以实数k 的最小值为16.函数与方程思想在数列中的应用技巧(1)数列的通项与前n 项和是自变量为整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数或一元二次方程来解决．(2)本题完美体现了函数与方程思想的应用，第(2)问求出b n 的表达式，说明要求b n ≤k 恒成立时k 的最小值，只需求b n 的最大值，从而构造函数f (x )＝2x ＋1x(x ≥1)，利用函数求解．[对点训练]3．已知等比数列{a n }的首项为32，公比为－12，前n 项和为S n ，则S n －1S n的最大值与最小值之和为( )A.12 B.14 C.18D ．1[解析] 由等比数列前n 项和公式可得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n.当n 为奇数时，S n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，∴1<S n ≤S 1＝32；当n 为偶数时，S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，∴34＝S 2≤S n <1.令f (t )＝t －1t ，则函数f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，32上单调递增，∴当t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，32时，－712≤f (t )≤56，故所求最大值与最小值之和为－712＋56＝14，故选B.[答案] B4．(2018·长春二模)已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a nn的最小值为________．[解析] ∵a n ＋1－a n ＝2n ，∴当n ≥2时，a n －a n －1＝2(n －1)， ∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝(2n －2)＋(2n －4)＋…＋2＋33＝n 2－n ＋33(n ≥2)．又a 1＝33＝1－1＋33，故a 1满足上式，∴a n ＝n 2－n ＋33(n ∈N *)，∴a n n ＝n ＋33n－1，令f (x )＝x ＋33x －1(x >0)，则f ′(x )＝1－33x2.令f ′(x )＝0，得x ＝33，易知当x ∈(0，33)时，f ′(x )<0，当x ∈(33，＋∞)时，f ′(x )>0，∴f (x )在区间(0，33)上递减，在区间(33，＋∞)上递增， 又5<33<6，且f (5)＝5＋335－1＝535，f (6)＝6＋336－1＝212，f (5)>f (6)，∴当n ＝6时，a n n 有最小值212.[答案] 212要点三 函数与方程思想在解析几何中的应用[解] (1)证明：设P (x 0，y 0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 21，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 22，y 2.因为PA ，PB 的中点在抛物线上， 所以y 1，y 2为方程⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋y 022＝4·14y 2＋x 02 即y 2－2y 0y ＋8x 0－y 20＝0的两个不同的实根． 所以y 1＋y 2＝2y 0，因此，PM 垂直于y 轴．(2)由(1)可知⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2y 0，y 1y 2＝8x 0－y 20，所以|PM |＝18(y 21＋y 22)－x 0＝34y 20－3x 0，|y 1－y 2|＝22(y 20－4x 0).因此，△PAB 的面积S △PAB ＝12|PM |·|y 1－y 2|＝324(y 20－4x 0)32.因为x 20＋y 204＝1(x 0<0)，所以y 20－4x 0＝－4x 20－4x 0＋4∈[4,5]．因此，△PAB 面积的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤62，15104.函数与方程思想在解析几何中的应用技巧(1)求圆锥曲线的方程、离心率，通常利用方程的思想建立a ，b ，c 的关系式求解．(2)在解析几何中，求某个量(直线斜率，直线在x 、y 轴上的截距，弦长，三角形或四边形面积等)的取值范围或最值问题的关键是利用条件把所求量表示成关于某个变量(通常是直线斜率，动点的横、纵坐标等)的函数，并求出这个变量的取值范围(即函数的定义域)，将问题转化为求函数的值域或最值．[对点训练]5．(2018·郑州质检)已知圆M ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)与直线l 1：x －3y ＋4＝0相切，设点A 为圆上一动点，AB ⊥x 轴于B ，且动点N 满足AB →＝2NB →，设动点N 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)直线l 与直线l 1垂直且与曲线C 交于P ，Q 两点，求△OPQ (O 为坐标原点)面积的最大值．[解] (1)设动点N (x ，y )，A (x 0，y 0)，因为AB ⊥x 轴于B ，所以B (x 0,0)，由题意得，r ＝|4|1＋3＝2， 所以圆M 的方程为M ：x 2＋y 2＝4.因为AB →＝2NB →，所以(0，－y 0)＝2(x 0－x ，－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝2y ，将A (x,2y )代入圆M ：x 2＋y 2＝4中，得动点N 的轨迹方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意，设直线l ：3x ＋y ＋m ＝0，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立直线l 与椭圆C的方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x －m ，x 2＋4y 2＝4，消去y ，得13x 2＋83mx ＋4m 2－4＝0，Δ＝192m 2－4×13(4m 2－4)＝16(－m 2＋13)>0，解得m 2<13，x 1＋x 2＝－83m 13，x 1·x 2＝4(m 2－1)13.又点O 到直线l 的距离d ＝|m |2，|PQ |＝2|x 1－x 2|＝813－m 213，所以S △OPQ ＝12·|m |2·813－m 213＝2m 2(13－m 2)13≤1，当且仅当m 2＝13－m 2，即m ＝±262时，等号成立．故△OPQ 面积的最大值为1.1.函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f (x )＝0，就是求函数y ＝f (x )的零点，再如方程f (x )＝g (x )的解的问题可以转化为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的交点问题，也可以转化为函数y ＝f (x )－g (x )与x 轴的交点问题，方程f (x )＝a 有解，当且仅当a属于函数f (x )的值域．2.当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想． 3．借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题，二是在问题的研究中，可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解．专题跟踪训练(一)一、选择题1．若x >y >1,0<a <b <1，则下列各式中一定正确的是( ) A ．a x <b y B ．a x >b y C.ln x b <ln yaD.ln x b >ln y a[解析] 因为函数y ＝a x (0<a <1)在R 上单调递减，且x >y >1,0<a <b <1，所以a x <a y .根据幂函数y ＝x α(α>0)在(0，＋∞)上单调递增，可得a y <b y ，所以a x <b y ，故选A.[答案] A2．已知倾斜角为π6的直线l 过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F ，抛物线C 上存在点P 与点Q (5,0)关于直线l 对称，则p ＝( )A.12 B ．1 C ．2D ．4[解析] 由题意，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设P (x 0，y 0)，直线PQ 的方程为y ＝－3(x －5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 20＝2px 0y 0＝－3(x 0－5)，∴3(x 0－5)2＝2px 0.又x 0＋p2＝5－p2，∴x 0＝3，p ＝2，故选C. [答案] C3．(2018·银川模拟)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13，若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4 C.94D ．－94[解析] ∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0， 即t m ·n ＋|n |2＝0，∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0. 又4|m |＝3|n |，∴t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4，故选B. [答案] B4．(2018·沈阳模拟)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，S 3＝S 11，当S n 最大时，n 的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8[解析] 解法一：由S 3＝S 11，得a 4＋a 5＋…＋a 11＝0，根据等差数列的性质，可得a 7＋a 8＝0，根据首项a 1＝13可推知数列{a n }递减，从而得到a 7>0，a 8<0，故n ＝7时，S n 最大，故选C.解法二：设{a n }的公差为d ，由S 3＝S 11，可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d ，把a 1＝13代入，得d ＝－2，故S n ＝13n －n (n －1)＝－n 2＋14n ，根据二次函数的性质，知当n ＝7时，S n 最大，故选C.解法三：根据a 1＝13，S 3＝S 11，知这个数列的公差不等于零，且这个数列的和先是单调递增然后单调递减，根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，以及二次函数图象的对称性，得只有当n ＝3＋112＝7时，S n 取得最大值，故选C.[答案] C5．(2018·济南一模)方程m ＋1－x ＝x 有解，则m 的最大值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．－2[解析] 由原式得m ＝x －1－x ，设1－x ＝t (t ≥0)， 则m ＝1－t 2－t ＝54－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122，∵m ＝54－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122在[0，＋∞)上是减函数．∴t ＝0时，m 的最大值为1，故选A. [答案] A6．(2018·江西七校联考)直线y ＝a 分别与曲线y ＝2(x ＋1)，y ＝x ＋ln x 交于点A ，B ，则|AB |的最小值为( )A ．3B ．2C.324D.32[解析] 当y ＝a 时，2(x ＋1)＝a ，所以x ＝a2－1.设方程x ＋ln x ＝a 的根为t ，则t ＋ln t ＝a ，则|AB |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －a 2＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －t ＋ln t 2＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2－ln t 2＋1.设g (t )＝t 2－ln t2＋1(t >0)，则g ′(t )＝12－12t ＝t －12t ，令g ′(t )＝0，得t ＝1，当t ∈(0,1)时，g ′(t )<0；当t ∈(1，＋∞)时，g ′(t )>0，所以g (t )min ＝g (1)＝32，所以|AB |≥32，所以|AB |的最小值为32，故选D.[答案] D 二、填空题7．(2018·厦门一中月考)设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋3＝0垂直，则a 等于________．[解析] y ′＝(x －1)－(x ＋1)(x －1)2＝－2(x －1)2，将x ＝3代入，得曲线y＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线斜率k ＝－12，故与切线垂直的直线的斜率为2，即－a ＝2，得a ＝－2.[答案] －28．(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F (c,0)到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值是________．[解析] 双曲线的一条渐近线方程为bx －ay ＝0，则F (c,0)到这条渐近线的距离为|bc |b 2＋(－a )2＝32c ，∴b ＝32c ，∴b 2＝34c 2，又b2＝c 2－a 2，∴c 2＝4a 2，∴e ＝ca＝2.[答案] 29．在各项都为正数的等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2n ＋2＋4a 2n ＝4a 2n ＋1，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.[解析] 因为a 2n ＋2＋4a 2n ＝4a 2n ＋1，所以(a n q 2)2＋4a 2n ＝4(a n q )2，所以q 4－4q 2＋4＝0⇒q ＝2，则a n ＝2×2n －12＝2n ＋12.[答案] 2n ＋12三、解答题10．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2.(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .[解] (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π，得sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B )．上式两边平方，结合sin 2B ＝1－cos 2B ，整理得17cos2B－32cos B＋15＝0，解得cos B＝1(舍去)，cos B＝15 17 .(2)由cos B＝1517得sin B＝817，故S△ABC＝12ac sin B＝417ac.又S△ABC＝2，则ac＝17 2.由余弦定理及a＋c＝6，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)＝36－2×172×⎝⎛⎭⎪⎫1＋1517＝4.所以b＝2.11．(2018·深圳调研)已知等差数列{a n}的公差d≠0，a1＋a4＝14，且a1，a2，a7成等比数列．(1)求{a n}的通项公式a n与前n项和公式S n；(2)令b n＝S nn＋k ，若{b n}是等差数列，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n＋1的前n项和T n的最小值．[解](1)a1＋a4＝2a1＋3d＝14，由a1，a2，a7成等比数列得a1(a1＋6d)＝(a1＋d)2，整理得d2＝4a1d，∵d≠0，∴d＝4a1，由d＝4a1与2a1＋3d＝14联立，解得a1＝1，d＝4，∴a n＝a1＋(n－1)d＝4n－3，S n＝n(1＋4n－3)2＝2n2－n.(2)由(1)知b n＝2n2－nn＋k，∵{b n}为等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3，代入可解得k ＝－12或k ＝0，当k ＝－12时，b n ＝2n ，则1b n b n ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴T n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝n 4(n ＋1)，又y ＝x 4(x ＋1)＝14⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x 在(0，＋∞)上是增函数，∴当n ＝1时，T n 有最小值18.当k ＝0时，b n ＝2n －1，则1b n b n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫11－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝n2n ＋1， 又y ＝x 2x ＋1＝12＋1x在(0，＋∞)上是增函数，∴当n ＝1时，T n 取到最小值13.综上，当k ＝－12时，T n 的最小值为18；当k ＝0时，T n 的最小值为13.12．设椭圆中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k >0)与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点．(1)若ED →＝6DF →，求k 的值； (2)求四边形AEBF 面积的最大值．[解] (1)依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k >0)．如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1<x 2，且x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝21＋4k2.① 由ED →＝6DF →知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)， 得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k 2； 由D 在AB 上知x 0＋2kx 0＝2，得x 0＝21＋2k ，所以21＋2k ＝1071＋4k 2，化简得24k 2－25k ＋6＝0，解得k ＝23或k ＝38.(2)根据点到直线的距离公式和①式知，点E ，F 到AB 的距离分别为h 1＝|x 1＋2kx 1－2|5＝2(1＋2k ＋1＋4k 2)5(1＋4k 2)，h 2＝|x 2＋2kx 2－2|5＝2(1＋2k －1＋4k 2)5(1＋4k 2). 又|AB |＝22＋12＝5， 所以四边形AEBF 的面积为S ＝12|AB |(h 1＋h 2)＝12·5·4(1＋2k )5(1＋4k 2)＝2(1＋2k )1＋4k 2 ＝21＋4k 2＋4k1＋4k 2＝21＋41k＋4k≤22， 当且仅当4k 2＝1(k >0)，即当k ＝12时，上式取等号．所以S 的最大值为2 2.即四边形AEBF 面积的最大值为2 2.。
2019年高考数学复习之名师解题系列中学数学解题思想方法课件函数与方程思想第1课
【例 3】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速 度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是
A．消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米 B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C．甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 ห้องสมุดไป่ตู้时，消耗 10 升汽油 D．某城市机动车最高限速 80 千米/小时. 相同条件下，在该市 用丙车比用乙车更省油
1 2x 4x a 1 3 0 ，且 a 2 a 1 a 0 ， 【解析】由题意得， 2 a a 1 2 4
1 1 1 2x 4 x a 0 ，即 a x x 4 2 1 1 当 x ,1 时， y x 和 y x 4 2 .
1 1 y x x 的单调性转换为函数最值巧妙地求出了实数 a 的 4 2
取值范围， 此法也叫参变分离法.
3．建立函数关系
对于实际问题，在正确过好事理关，文理关， 明白题意后，根据题目的要求，选择相应的函数关系 建立数学模型，利用函数的性质解决问题，是函数思 想应用的一个热点，也是高考的热点.
【分析】本题是函数实际应用问题，“燃油效率”是指汽 车每消耗1升汽油行驶的里程，由图像判断燃油效率随着 速度的变化该如何变化. 【解析】“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，A 中乙车消耗1升汽油，最多行驶的路程为乙车图像最高点的纵 坐标值，A错误；B中以相同速度行驶相同路程，甲燃油效率最 高，所以甲最省油，B错误，C中甲车以80千米/小时的速度行 驶1小时，甲车每消耗1升汽油行驶的里程10km,行驶80km，消 耗8升汽油，C错误，D中某城市机动车最高限速80千米/小时. 由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用丙车比用乙 车更省油,选D.
高考数学复习第1讲 函数与方程思想
(2)g1x＝－lnx＋x， 设 h(x)＝g(x)－g1x＝2lnx－x＋1x， 则 h′(x)＝－x－x212， 当 x＝1 时，h(1)＝0，即 g(x)＝g1x， 当 x∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h′(x)<0，因此，h(x)在(0， ＋∞)内单调递减．
当 0<x<1 时，h(x)>h(1)＝0，即 g(x)>g1x；
(2)因为Sn是常数项为零的二次函数，所以也可以利用二次 函数求最值的方法来求Sn的最小值．
(3)既然Sn是常数项为零的二次函数，那么能结合二次函数 的图象来解决本题．二次函数Sn＝ nd22＋ a1－d2n中，当n＝5 与n＝13时，对应的函数值相等．由抛物线的对称性得其对称 轴方程即可求解．
【配对练习】
3．设数列{an}是等差数列，Sn是其前 n 项和，且满足 a1 ＞0，S12＞0，S13＜0，则使 Sn最大的 n 的值为( B )
A．1
B．6
C．7
D．12
解析：由S12>0有a1＋a12＝a6 ＋a7>0 ，由 S13 ＝a1 ＋a13 ＝
2a7<0，则有 a6>0，a7<0，故当 n＝6 时，Sn 最大．
例1：设集合 A＝{x|4x－2x+2＋a＝0，x∈R}， (1)若 A 中仅有一个元素，求实数 a 的取值集合 B； (2)若对于任意 a∈B，不等式 x2－6x＜a(x－2)恒成立，求 x 的取值范围． 解：(1)令2x＝t(t＞0)，设f(t)＝t2－4t＋a， 由 f(t)＝0 在(0，＋∞)有且仅有一根或两相等实根，则有：
D.
答案：D
4．(2011 年全国)已知函数 y＝f(x)的周期为 2，当 x∈[－1,1]
年高考数学二轮复习 数学思想领航 一 函数与方程思想课件 文.pptx
典例 3 关于 x 的不等式 ex－x22－1－a－94x≥0 在12，＋∞上恰成立，则 a 的取值集合为__{_2__e_}__. 思维升华 求解此类含参不等式恰成立问题时注意与含参不等式恒成立问 题区分开，含参不等式恰成立问题一般转化为求函数的值域，得参数的方 程；而含参不等式恒成立问题一般转化为最值问题.
即a13＝aa，所以a＝13 .经检验知a＝13 符合要求.
解析 6 答案
方法二
平面向量问题的函数(方程)法
7
模型解法 平面向量问题的函数(方程)法是把平面向量问题，通过模、数量积等转 化为关于相应参数的函数(方程)问题，从而利用相关知识结合函数或方 程思想来处理有关参数值问题.破解此类题的关键点： ①向量代数化，利用平面向量中的模、数量积等结合向量的位置关系、 数量积公式等进行代数化，得到含有参数的函数(方程). ②代数函数(方程)化，利用函数(方程)思想，结合相应的函数(方程)的性 质求解问题. ③得出结论，根据条件建立相应的关系式，并得到对应的结论.
4
典例1 函数y＝ax (a>0，且a≠1)的反函数的图象过点( a，a)，则a的值为
A.2
B.3
C.2或
1 2
√D. 12
解析 因为函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数为y＝logax(a>0，且a≠1)， 且y＝logax的图象过点( a，a)， 所以a＝loga a，所以aa＝ a ， 所以a＝12，检验易知当a＝12 时，函数有意义.故选D.
方程思想的实质就是将所求的 量设成未知数，根据题中的等 量关系，列方程(组)，通过解方 程(组)或对方程(组)进行研究， 以求得问题的解决
函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的.函
超实用高考数学复习教学课件： 第1讲 函数与方程思想
∴8＝2px0，①
点 A(x0,2 2)在圆 x2＋y2＝r2 上，
∴x20＋8＝r2，②
点 Dp2，
5在圆 x2＋y2＝r2 上，
∴5＋p22＝r2，③ 联立①②③，解得 p＝4(负值舍去)，
即 C 的焦点到准线的距离为 p＝4．故选 B．
(2)因为∠PAQ＝60°，|AP|＝|AQ|，
所以|AP|＝|AQ|＝|PQ|，
• 函数与方程思想在不等式中的应用 • 函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的 图象和性质可解决相关的问题、常涉及不等式恒成立问题、比较大
小问题．一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解．
应用二 函数与方程思想在数列中的应用
典例2
(1)(2020·泰安模拟)已知函数 f(x)＝x3＋lg( x2＋1
＝
1＋2471RR22＝ 27.
• 解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率等几何量 经常要用到方程(组)的思想；直线与圆锥曲线的位置关系问题，可以 通过转化为一元二次方程，利用判别式进行解决；求变量的取值范 围和最值问题常转化为求函数的值域、最值，用函数的思想分析解 答．
做题时要善于总结。不仅总结方法，也要总结错误。这样，作完之后才会有 所收获，才能举一反三。
第三轮复习，即考前冲刺复习阶段
在这个阶段我们应该大量做一些练习，要做题先要选题，高考真题一定是
最好的练习题！因此建议一定要好好做一下最十年以来的高考试卷，包括全国 卷和地方卷，其次最好能找到近5年以来各区的统考试题，在做题的过程中来巩 固前面复习过的考点。同时最后的复习别忘了课本，特别是在考前应该再次翻 开课本把里面公式和定理再看看，把典型的例题再做做，因为书上的例题毕竟 比较简单，在考前做例题一是防止手生，便于高考正常发挥，一是有助于提高 我们的自信心。
专题1函数与方程思想
* a n N a n n （3）已知数列 中， n 98 ， ，则数列 an 的
n 97
前30项中最大项和最小项分别是（ A、 a1 , a30 B、a1 , a9
）
a10 , a30 C、a10 , a9 D、
（4）已知 f t log2 t, t [ 2,8], 对于 f t 值域内的所 2 有实数m，不等式 x mx 4 2m 4 x 恒成立，则 x 的取 值范围为 .
专题一：函数与方程的思想
四、巩固与提高
x2 y2 1 1、设点 F1 是椭圆 3 的左焦点，弦AB过椭圆的右焦点， 2 求△F1 AB 的面积的最大值。
2 2 x y 2、已知双曲线C的方程为 2 1 (a 0, b 0) ， 2 a b 5 ，顶点到渐近线的距离为 2 5 . 离心率e 5 2
专题一：函数与方程的思想
2 6 (2)过点 F1 的直线 l与该椭圆交与M、N两点，且F2 M F2 N ， 3 求直线 l 的方程。
（1）求曲线 y f x 在点M (t , f t ) 处的切线方程；
专题一：函数与方程的思想
六、课堂总结
（1）掌握函数思想的实质：建立函数关系，构造函数
（2）掌握方程思想的实质：建立方程或方程组
B 、1 实根的个数是（ C、2 D、无数 ）
（1）方程 A 、0
（2）设 f x , g x 分别是定义在上的奇函数和偶函数，当 x<0时， f ' x.g x f x.g ' x 0 ，则不等式 f x .g x 0 的解集 为 .
专题一：函数与方程的思想
则该双曲线的离心率等于（ ） A、 3 B、 2 C、 5 D、 6
高三数学高三二轮复习函数与方程思想PPT
2创新应用 应用 1 函数与方程思想在函数、方程、不等式中的应用 [典例 1] (1)(2016· 全国卷Ⅲ)已知 f(x)为偶函数， 当 x＜0 时， f(x)＝ln( －x)＋3x，则曲线 y＝f(x) 在点(1，－3)处的切线方程是 ________． (2)(2016· 天津卷)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数， 且在区间 － (－∞，0)上单调递增．若实数 a 满足 f(2|a 1|)＞f(－ 2)，则 a 的 取值范围是________．
[反思领悟] (1)本题是数列与不等式交汇，在第(1)问中，是 由一元二次不等式转化为数列， 而第三问借助于函数的单调性证 明不等式成立， 在证明中， 利用了函数思想， 要注意定义域范围． (2) 求解这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系， 将条件进行准确转化；对于函数的有关性质，主要利用函数的单 调性或有界性来求解数列中的最值． 但由于数列的通项是一类特 殊的函数，所以借助函数的性质研究数列问题，一定要注意数列 中的自变量只能取正整数这一特点．
1 3 (2) ， 2 2
利用偶函数的对称性和函数单调性的定义将函
数值大小关系转化为不等式求解． ∵ f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增， ∴ 在(0，＋∞)上单调递减，f(－ 2)＝f( 2)， 1 |a－1| |a－1| ∴ f(2 )＞f( 2)，∴ 2 ＜ 2＝2 ， 2 1 1 1 1 3 ∴ |a－1|＜2，即－2＜a－1＜2，即2＜a＜2.
(数学)高三数学思想方法专题讲座【第1讲：函数与方程思想】
高三数学思想方法专题讲座【第1讲：函数与方程思想】【思想方法要点】1．在高中数学的各个部分，都有一些公式和定理，这些公式和定理本身就是一个方程，如等差数列的通项公式、余弦定理、解析几何的弦长公式等，当题目与这些问题有关时，就需要根据这些公式或者定理列方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使题目获得解决．2．当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，利用函数的性质如单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换来探究问题的答案，例如对函数),(x f y =当0>y 时，就化为不等式,0)(>x f 借助于函数的图象和性质可解决有关问题．3．借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题，二是在问题的研究中，可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解．4．许多数学问题中，一般都含有常量、变量或参数，这些参变量中必有一个处于突出的主导地位，把这个参变量称为主元，构造出关于主元的方程，主元思想有利于回避多元的 困扰，解方程的实质就是分离参变量.【典型例题分析】 1．若,5252x yyx--+≤+ 则有( )A ．0≥+y xB ．0≤+y xC ．0≤-y xD ．0≥-y x 2．长度都为2的向量OB OA ,的夹角为60°，点C 在以O 为圆心的圆弧AB （劣弧）上，,OB n OA m OC +=则n m +的最大值是_______.3．已知数列}{n a 是等差数列，,11=a .1441032=+++a a a (1)求数列}{n a 的通项n a ； (2)设数列}{n b 的通项11,n n n b a a +=记n S 是数列}{n b 的前n 项和，若3≥n 时，有m S n ≥ 恒成立，求m 的最大值．4．设1ln )(-+=x x x f ，证明：(1)当1>x 时，)1(23)(-<x x f ； (2)当31<<x 时，5)1(9)(+-<x x x f .5．已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为,22坐标原点O 到过右焦点F且斜率为1的直线的距离为⋅22(1)求椭圆的方程；(2)设过右焦点F 且与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆于P 、Q 两点，在线段OF 上是否存在点),0,(m M 使得以MQ MP 、为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值范围. 若不存在，请说明理由．6．已知).)(1ln()()(23R a a x ax x x f ∈-+-=(1)若方程0)(=x f 有3个不同的根，求实数a 的取值范围；(2)在(1)的条件下，是否存在实数a ，使得)(x f 在)1,0(上恰有两个极值点,,21x x 且满足,212x x = 若存在，求实数a 的值，若不存在，请说明理由．参考答案1．解析：把不等式变形为,5252y y x x -≤---构造函数,52x x y --=其为R 上的增函数，所以有y x -≤，选B.2．解析：建立平面直角坐标系，设向量),0,2(=向量)3,1(=，设向量=),sin 2,cos 2(αα⋅≤≤30πα 由,OB n OA m OC +=得),3,2()sin 2,cos 2(n n m +=αα 即,3sin 2,2cos 2n n m =+=αα 解得,sin 31cos αα-=m .sin 32α=n 故332)3sin(332sin 31cos ≤+=+=+παααn m 3．解：(1)}{n a 是等差数列，,11=a ,1441032=+++a a a,14510=∴S ,2)(1010110a a S +=∴ ,2810=∴a∴公差.3=d *)(23N n n a n ∈-=∴. (2)由(1)知),131231(31)13)(23(111+--=+-==+n n n n a a b n n n ),1311(31S 21+-=+++=∴n b b b n n.13+=∴n n S n ,0)13)(43(1134311>++=+-++=-+n n n n n n S S n n ∴数列}{n S 是递增数列， 当3≥n 时，,103)(3min ==S S n 依题意，得,103≤m m ∴的最大值为⋅1034．证明：(1)方法一：记),1(231ln )(---+=x x x x g则当1>x 时，,023211)('<-+=x x x g 又,0)1(=g所以有,0)(<x g 即)1(23)(-<x x f 方法二：当1>x 时，,12+<x x 故212+<x x ① 令,1ln )(+-=x x x k 则,0)1(=k ,011)('<-=xx k 故,0)(<x k 即.1ln -<x x ②由①②得，当1>x 时，)1(23)(-<x x f . (2)方法一：记,5)1(9)()(+--=x x x f x h 由(1)得2)5(54211)('+-+=x x x x h 2322)5(4216)5()5(5445)5(5422+-+=+-+<+-+=x x xx x x x x x x 令,216)5()(3x x x G -+= 则当31<<x 时，,0216)5(3)('2<-+=x x G 因此)(x G 在)3,1(内是减函数．又由,0)1(=G 得,0)(<x G 所以.0)('<x h 因此)(x h 在)3,1(内是减函数． 又,0)1(=h 所以.0)(<x h 于是当31<<x 时，,5)1(9)(+-<x x x f 方法二：记),1(9)()5()(--+=x x f x x h 则当31<<x 时，由(1)得9)211)(5()1(239)(')5()()('-+++-<-++=xx x x x f x x f x h x 21=]18)2)(5()1(3[x x x x x -+++-]18)2122)(5()1(3[21x x x x x x -++++-< .0)25327(412<+-=x x x因此)(x h 在)3,1(内单调递减．又,0)1(=h 所以,0)(<x h 即,5)1(9)(+-<x x x f5．解：(1)由已知，椭圆方程可设为12222=+by a x )0(>>b a ，设),0,(c F直线,0:=--c y x l 由坐标原点O 到l 的距离为,22 得,22200=--c解得.1=c 又,22==ac e 故,1,2==b a ∴所求椭圆方程为1222=+y x (2)假设存在点)10)(0,(≤≤m m M 满足条件，使得以MQ MP ,为邻边的平行四边形是菱形，因为直线与x 轴不垂直， 所以设直线l 的方程为),0)(1(=/-=k x k y ),,(11y x P ),,(22y x Q由⎩⎨⎧-==+)1(2222x k y y x , 可得.0224)21(2222=-+-+k x k x k 显然0>∆恒成立，,2142221k k x x +=+∴⋅+-=22212122k k x x 设线段PQ 的中点为),,(00y x N 则,212222210kk x x x +=+=⋅+-=-=20021)1(k kx k y ∵以MQ MP 、为邻边的平行四边形是菱形，,PQ MN ⊥∴ .1-=⋅∴PQ MN k k即121221222-=⋅-++-k mk k k k，,12122222k k k m +=+=∴ ,02>k ⋅<<∴210m6．解：(1)由0)(=x f 得：03=-ax x 或0)1ln(2=-+a x可得0=x 或a x =2且,012>-+a x∵方程0)(=x f 有3个不同的根，∴方程a x =2有两个不同的根,0>∴a 又,012>-+a x 且要保证x 能取到0， 01>-∴a 即1<a .10<<∴a(2)ax a x x a x a x x f -+-+-+-=1)(2)1ln()3()('22222令,2t x = 设)('1)(2)1ln()3()(x f at a t t a t a t t g =-+-+-+-=0)1ln()0(>--=∴a a g ，,2)1(2)2ln()3()1(aa a a g --+--= ,10<<a ,12>-∴a0)1(>∴g ，,0)(=a g a a a a a a a a a a g ---=--⋅+-=2)21ln(221)2()21ln(2)2(2 ,10<<a ,12121<-<∴a ,02>-a 0)2(<∴ag∴存在),2,0(1a t ∈使得,0)(1=t g 另外有),1,2(aa ∈使得0)(=a g假设存在实数a ，使得)(x f 在)1,0(上恰有两个极值点,,21x x 且满足122x x = 则存在)2,0(1ax ∈使得,0)('1=x f 另外有,0)('=a f 即a x =2 ,21a x =∴,0)2('=∴a f 即0431)43(2)431ln(4=--⋅+--a a a a a 即023)431ln()431(=+--a a a （*）设,23)431ln()431()(a a a a h +--=43)431ln(43)('+--=∴a a h10<<a ，.0)431ln(<-∴a ,0)('>∴a h )1,0()(在a h ∴上是增函数，,0)0()(=>∴h a h ∴方程（*）无解，即不存在实数a ，使得)1,0()(在x f 上恰有两个极值点,,21x x 且满足122x x =。
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[思路点拨] 函数y＝f(x)的图像与y＝g(x)的图
像有且仅有两个不同的公共点，即方程f(x)－g(x)＝0有且
仅有两个不同的实数根，故可构造方程，利用方程思想解
பைடு நூலகம்
决．[解析]
由题意知函数f(x)＝
1 x
，g(x)＝ax2＋bx(a，b∈R，
a≠0)的图像有且仅有两个公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，等价于
法二：若设ab＝t，则a＋b＝t－3， 所以a，b可看成方程x2－(t－3)x＋t＝0的两个正根．
Δ＝t－32－4t≥0， 从而有a＋b＝t－3>0，
ab＝t>0，
t≤1或t≥9， 即t>3，
t>0，
解得t≥9，即ab≥9.
所以ab的取值范围是[9，＋∞)．
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法三：(看成不等式的解集) ∵a，b为正数， ∴a＋b≥2 ab，又ab＝a＋b＋3， ∴ab≥2 ab＋3. 即( ab)2－2 ab－3≥0， 解得 ab ≥3或 ab≤－1(舍去)， ∴ab≥9.∴ab的取值范围是[9，＋∞)．
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思想方法概述
角度一
角度二
专
第
应用角度例析 角度三
题
一
角度四
一
讲
角度五
通法归纳领悟
专题专项训练
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1．函数与方程思想的含义 (1)函数的思想： 函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研 究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函 数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、 转化问题，从而使问题获得解决．经常利用的性质是单调 性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等．
因此该问题可转化为：求x为何值时，函数F(x)＝x2－ln x取得
最小值．
(2)由ab＝a＋b＋3变形可得b＝
a＋3 a－1
，从而求ab＝
aa＋3 a－1
的
取值范围问题可转化为求函数f(a)＝aaa－＋13的值域问题；若设
ab＝t，则a＋b＝t－3，从而a，b可看成方程x2－(t－3)x＋t＝0的
两根，利用方程的思想解决．
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(2)法一：(看成函数的值域) ∵ab＝a＋b＋3，a≠1，∴b＝aa＋ －31. 而b>0，∴aa＋ －31>0. 即a>1或a<－3，又a>0， ∴a>1，故a－1>0. ∴ab＝a·aa＋ －31＝a－12＋a－5a1－1＋4 ＝(a－1)＋a－4 1＋5≥9. 当且仅当a－1＝a－4 1，即a＝3时取等号． ∴ab的取值范围是[9，精品＋课件∞)．
设f(x)＝－cos2x＋sin x，x∈0，π2. 显然当且仅当a属于f(x)的值域时，a＝f(x)有解．
f(x)＝－(1－sin2x)＋sin
x＝sin
x＋122－54，
且由x∈0，π2知sin x∈(0,1]． 易求得f(x)的值域为(－1,1]．
故a的取值范围是(－1,1].
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函数与方程思想在解决函数图像交点及 方程根等问题中的应用
[例2] (2012·山东高考)设函数f(x)＝1x，g(x)＝ax2＋bx(a， b∈R，a≠0)．若y＝f(x)的图像与y＝g(x)的图像有且仅有两个不 同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是 ( )
A．当a<0时，x1＋x2<0，y1＋y2>0 B．当a<0时，x1＋x2>0，y1＋y2<0 C．当a>0时，x1＋x2<0，y1＋y2<0 D．当a>0时，x1＋x2>0，y1＋y2>0
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(3)当问题中出现两数积与这两数和时，是构建一
元二次方程的明显信息，构造方程后再利用方程知识可使问
题巧妙解决.
(4)当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关
系减少变量的个数，如果最后能把其中一个变量表示成关于
另一个变量的表达式，那么就可用研究函数的方法将问题解
决.
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1．如果方程cos2x－sin x＋a＝0在0，π2上有解，求a的取值范围． 解：把方程变形为a＝－cos2x＋sin x.
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(2)方程的思想： 方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量 关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或 方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题 得以解决．方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指 导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问 题．方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系．
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函数与方程思想在求最值及参数范围中 的应用
[例1] (1)设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图像分别
交于点M、N，则当|MN|达到最小时t的值为
()
A．1
B.12
5 C. 2
2 D. 2
(2)若a，b是正数，且满足ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围．
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[思路点拨] (1)由题意可知|MN|＝f(x)－g(x)＝x2－ln x，
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[解析] (1)可知|MN|＝f(x)－g(x)＝x2－ln x. 令F(x)＝x2－ln x，则F′(x)＝2x－1x＝2x2x－1， 所以当0<x< 22时，F′(x)<0，F(x)单调递减； 当x> 22时，F′(x)>0，F(x)单调递增， 故当x＝ 22时，F(x)有最小值，即|MN|达到最小． [答案] D
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(1)求字母(式子)的值的问题往往要根据题设条件构 建以待求字母(式子)为元的方程(组)，然后解方程(组)求得.
(2)求参数的取值范围是函数、方程、不等式、数列、 解析几何等问题中的重要问题，解决这类问题一般有两种途径： 其一，充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元 的不等式(组)求解；其二，充分应用题设中的等量关系，将待 求参数表示成其他变量的函数，然后，应用函数知识求值域.
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2．函数思想与方程思想的联系 函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可 以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题
加以解决，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点， 解不等式f(x)>0(或f(x)<0)，就是求函数y＝f(x)的正(或负) 区间，再如方程f(x)＝g(x)的解的问题可以转化为函数y＝ f(x)与y＝g(x)的交点问题，也可以转化为函数y＝f(x)－ g(x)与x轴的交点问题，方程f(x)＝a有解，当且仅当a属于函 数f(x)的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要．