高考数学题型专题--选择题的解法

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高考数学命题热点名师解密：专题(39)快速解选择题的解法大全(理)(含答案)

专题39 快速解选择题的解法大全一、题型特点近几年来，在新课标全国卷Ⅰ数学试题中选择题一直是12道题，填空题一直是4道题，所占分值为80分，约占数学试题总分数的53%. 且在高考题中属于中低难度的试题，仅有个别题属于较高难度试题，在一般的情况下分别按由易到难的顺序排列，在高考数学中选择题和填空题是一种只要求得到结果，不要求写出解答过程的试题．具有概括性强、小巧灵活、知识覆盖面广，其中融入多种数学思想和方法等特点，可以有效地检验考生的数学思维层次及分析问题、判断问题、推理问题和解决问题的能力．二、解题思路做选填题的步骤为：1．首先，审题．能很好的把数学的三种语言(文字语言、图形语言、数字符号语言)之间快速转化并发掘题目中的隐含条件，要去伪存真，快速领会题目的真正含义．2．其次，要注意选填题的解题技巧．小题小做、巧做，简单做，要多用数形结合、特殊值法等技巧，节约时间．3．最后，仔细检查答卷不能有漏填的现象(遇到不会做的，也不要空着不做，一定要写一个答案)，不能有把答案抄错的现象．三、典例分析 (一)直接演绎法所谓直接演绎法，就是直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果．例1(2015课标全国Ⅰ)已知点M(x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )A .⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B .⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36C .⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223 D .⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233【解析】选A .由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3， ∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)． ∵MF 1→·MF 2→<0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0, 即x 20－3＋y 20<0. ∵点M(x 0，y 0)在双曲线上， ∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20. ∴2＋2y 20－3＋y 20<0， ∴－33<y 0<33.故选A . 【反思】直接演绎法是解选择填空题最基本的方法，涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目，充分挖掘题设条件，通过严谨的推理，正确的运算必能得出正确的答案．因此，学会熟练运用基本知识，并能迅速分析题目，抓住主干，吃透题意是用直接演绎法解题的不二法宝．练习1．已知为三角形内角，且，若，则关于的形状的判断，正确的是A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．三种形状都有可能【答案】C练习2．如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为( )A． B． C．3 D．【答案】D【解析】，得到，所以，结合的面积为，得到,得到，所以，故选D。

专题：高考数学选择题的解题方法与技巧

专题：选择题的解题方法与技巧一、教学目标1、了解并掌握选择题的解题方法与技巧，使学生能够达到准确、迅速解答选择题的目的；2、培养学生灵活多样的辩证唯物主义观点；3、培养学生的自信心，提高学生的创新意识．二、重点聚集高考数学选择题占总分值的52．其解答特点是“四选一”，快速、准确、无误地选择好这个“一”是十分重要的．选择题和其它题型相比，解题思路和方法有着一定的区别，产生这种现象的原因在于选择题有着与其它题型明显不同的特点：①立意新颖、构思精巧、迷惑性强、题材内容相关相近，真假难分；②技巧性高、灵活性大、概念性强、题材内容储蓄多变、解法奇特；③知识面广、跨度较大、切入点多、综合性强．正因为这些特点，使得选择题还具有区别与其它题型的考查功能：①能在较大的知识范围内，实现对基础知识、基本技能和基本思想方法的考查；②能比较确切地考查考生对概念、原理、性质、法则、定理和公式的掌握和理解情况；③在一定程度上，能有效地考查逻辑思维能力，运算能力、空间想象能力及灵活和综合地运用数学知识解决问题的能力．三、基础训练（1）若定义在区间（-1，0）内的函数)1(log )(2+=x x f a ，满足0)(>x f ，则a 的取值范围是：A ．)210(，B ．]210(，C ．)21[∞+，D ．)0(∞+，（2）过原点的直线与圆03422=+++x y x 相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是：A ．x y 3=B ．x y 3-=C ．x y 33=D ．x y 33-= （3）如果函数x a x y 2cos 2sin +=的图像关于直线8π=x 对称，那么a 等于：A ．2B ．2-C ．1D ．-1（4）设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(21x x x x f x，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围为：A ．（-1，1）B ．),1(+∞-C ．),0()2,(+∞--∞D ．),1()1,(+∞--∞（5）已知向量≠，1||=，且对任意R t ∈，恒有||||t -≥-，则A ．e a ⊥B ．)(e a a -⊥C ．)(e a e -⊥D ．)()(e a a e -⊥+ 答案：（1）A （2）C （3）C （4）D （5）C四、典型例题（一）直接法直接从题目条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理和准确的运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选择支“对号入座”作出相应的选择、涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．例1、关于函数21)32(sin )(||2+-=x x x f ，看下面四个结论：①)(x f 是奇函数；②当2007>x 时，21)(>x f 恒成立；③)(x f 的最大值是23；④)(x f 的最小值是21-．其中正确结论的个数为：A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】||||||2)32(2cos 21121)32(22cos 121)32(sin )(x x x x x x x f --=+--=+-=， ∴)(x f 为偶函数，结论①错；对于结论②，当π1000=x 时，01000sin ,20072=>πx ，∴21)32(21)1000(1000<-=ππf ，结论②错．又∵12cos 1≤≤-x ，∴232cos 21121≤-≤x ，从而23)32(2cos 211||<--x x ，结论③错．21)32(s i n)(||2+-=x x x f 中，1)32(,0sin ||2-≥-≥x x ，∴21)(≥x f ，等号当且仅当x=0时成立，可知结论④正确．【题后反思】直接法是解答选择题最常用的基本方法，低档选择题可用此法迅速求解，直接法运用的范围很广，只要运算正确必能得到正确的答案，提高直接法解选择题的能力，准确地把握中档题的“个性”，用简便方法巧解选择题，是建在扎实掌握“三基”的基础上的，否则一味求快则会快中出错．（二）排除法排除法也叫筛选法或淘汰法，使用排除法的前提条件是答案唯一，具体的做法是采用简捷有效的手段对各个备选答案进行“筛选”，将其中与题干相矛盾的干扰支逐一排除，从而获得正确结论．例2、直线0=+-b y ax 与圆02222=+-+by ax y x 的图象可能是：【解析】由圆的方程知圆必过原点，∴排除A 、C 选项，圆心（a ，-b ）, 由B 、D 两图知0,0>->b a ．直线方程可化为b ax y +=，可知应选B ．【题后反思】用排除法解选择题的一般规律是：（1）对于干扰支易于淘汰的选择题，可采用筛选法，能剔除几个就先剔除几个；（2）允许使用题干中的部分条件淘汰选择支；（3）如果选择支中存在等效命题，那么根据规定---答案唯一，等效命题应该同时排除；（4）如果选择支存在两个相反的，或互不相容的判断，那么其中至少有一个是假的；（5）如果选择支之间存在包含关系，必须根据题意才能判定．（三）特例法特例法也称特值法、特形法．就是运用满足题设条件的某些特殊值、特殊关系或特殊图形对选项进行检验或推理，从而得到正确选项的方法，常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．例3、设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(21x x x x f x，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围为：A ．（-1，1）B ．（+∞-,1）C ．),0()2,(+∞--∞D ．),1()1,(+∞--∞【解析】∵122)21(<=f ，∴21不符合题意，∴排除选项A 、B 、C ，故应选D ．例4、已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图像如图所示，则b 的取值范围是：A ．)0,(-∞B ．)1,0(C ．（1，2）D ．),2(+∞【解析】设函数x x x x x x x f 23)2)(1()(23+-=--=此时0,2,3,1==-==d c b a ．【题后反思】这类题目若是脚踏实地地求解，不仅运算量大，而且极易出错，而通过选择特殊点进行运算，既快又准，但要特别注意，所选的特殊值必须满足已知条件．（四）验证法又叫代入法，就是将各个选择项逐一代入题设进行检验，从而获得正确的判断，即将各个选择支分别作为条件，去验证命题，能使命题成立的选择支就是应选的答案．例5、在下列四个函数中，满足性质：“对于区间（1，2）上的任意)(,2121x x x x ≠，|||)()(|2121x x x f x f -<-恒成立”的只有：A ．xx f 1)(=B ．||)(x x f =C ．x x f 2)(=D ．2)(x x f = 【解析】当x x f 1)(=时，1||1|||)()(|212112<=--x x x x x f x f ，所以|||)()(|2121x x x f x f -<-恒成立，故选A ．例6、若圆)0(222>=+r r y x 上恰有相异两点到直线02534=+-y x 的距离等于1，则r 的取值范围是：A ．[4，6]B ．)6,4[C ．]6,4(D ．)6,4(【解析】圆心到直线02534=+-y x 的距离为5，则当4=r 时，圆上只有一个点到直线的距离为1，当6=r 时，圆上有三个点到直线的距离等于1，故应选D ．【题后反思】代入验证法适用于题设复杂、结论简单的选择题，这里选择把选项代入验证，若第一个恰好满足题意就没有必要继续验证了，大大提高了解题速度．（五）数形结合法“数缺形时少直观，形少数时难入微”，对于一些具体几何背景的数学题，如能构造出与之相应的图形进行分析，则能在数形结合，以形助数中获得形象直观的解法．例7、若函数))((R x x f y ∈=满足)()2(x f x f =+，且]1,1[-∈x 时，||)(x x f =，则函数))((R x x f y ∈=的图像与函数||log 3x y =A ．2B ．3C ．4D ．无数个【解析】由已知条件可做出函数)(x f 及||log 3x y = 的图像，如下图，由图像可得其交点的个数为4个，故应选C ．例8、设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(21x x x x x f x ，若1)(0>x f 若1)(0>x f ，则0x 的取值范围为：||xA ．（-1，1）B ．),0()2,(+∞--∞C ．（+∞-,1）D ．),1()1,(+∞--∞ 【解析】在同一直角坐标系中，做出函数)(x f 和直线x=1的图像，它们相交于（-1，1）和（1，1）两点，则1)(0>x f ，得1100>-<x x 或，故选D ．【题后反思】严格地说，图解法并非属于选择题解题思路范畴，而是一种数形结合的解题策略，但它在解有关选择题时非常简便有效，不过运用图解法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉，否则错误的图像反会导致错误的选择．（六）逻辑分析法分析法就是根据结论的要求，通过对题干和选择支的关系进行观察分析、寻求充分条件，发现规律，从而做出正确判断的一种方法，分析法可分为定性分析法和定量分析法．例9、若定义在区间（-1，0）内的函数)1(log )(2+=x x f a 满足0)(>x f ，则a 的取值范围是：A ．)21,0(B ．]21,0(C ．),21(+∞ D ．),0(+∞【解析】要使0)(>x f 成立，只要2a 和x+1同时大于1或同时小于1成立，当)0,1(-∈x 时，)1,0(1∈+x ，则)1,0(2∈a ，故选A ．例10、用n 个不同的实数n a a a a ,,,321 可得!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的矩阵，对第i 行in i i i a a a a ,,,321 ，记in n i i i i a a a a b )1(32321-++-+-=，（n i ,,3,2,1 =）例如用1、2、3排数阵如图所示，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以2412312212621-=⨯-⨯+-=+++b b b ，那么用1， 2，3，4，5形成的数阵中，=+++12021b b bA ．-3600B ．1800C ．-1080D ．-720【解析】3=n 时，6!3=，每一列之和为12!2!3=⋅，24)321(12621-=-+-⨯=+++b b b ，5=n 时，6!5=，每一列之和为360!4!5=⋅，1080)54321(36012021-=-+-+-⨯=+++b b b ，故选C ．【题后反思】分析法实际是一种综合法，它要求在解题的过程中必须保持和平的心态、仔细、认真的去分1 2 31 3 22 1 32 3 13 2 13 1 2析、学习、掌握、验证学习的结果，再运用所学的知识解题，对考察学生的学习能力要求较高．（七）极端值法从有限到无限，从近似到精确，从量变到质变，应用极端值法解决某些问题，可以避开抽象、复杂的运算，隆低难度，优化解题过程．例11、对任意)2,0(πθ∈都有：A ．)cos(cos cos )sin(sin θθθ<<B ．)cos(cos cos )sin(sin θθθ>>C ．θθθcos )cos(sin )sin(cos <<D ．)cos(sin cos )sin(cos θθθ<<【解析】当0→θ时，0)sin(sin →θ，1cos )cos(cos ,1cos →→θθ，故排除A 、B ，当2πθ→时，1cos )cos(sin →θ，0cos →θ，故排除C ，因此选D ．例12、设ββααcos sin ,cos sin +=+=b a ，且40πβα<<<，则A ．222222b a b b a a +<<+<B ．222222b a b a b a +<+<< C ．b b a b a a <+<+<222222 D ．222222b a b a b a +<<<+ 【解析】∵40πβα<<<，∵令4,0πβα→→，则232,2,122→+→→b a b a ，易知：5.125.11<<<，故应选A ．【题后反思】有一类比较大小的问题，使用常规方法难以奏效（或过于繁杂），又无特殊值可取，在这种情况下，取极限往往会收到意想不到的效果．（八）估值法由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程，因此可通过猜测、合情推理、估算而获得答案，这样往往可以减少运算量，避免“小题大做”．例13、如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF//AB ，23=EF ，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为：A ．29B ．5C ．6D ．215 【解析】由已知条件可知，EF//面ABCD ，则F 到平面ABCD的距离为2，∴623312=⨯⨯=-ABCD F V ，而该多面体的体积必大于6，故选D ．ABC D EF例14、已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是：A ．916πB ．38πC ．π4D ．964π【解析】设球的半径为R ，ABC ∆的外接圆半径332=r ，则ππππ53164422>=≥=r R S 球，故选D ．【题后反思】有些问题，由于受条件限制，无法（有时也没有必要）进行精确的运算和判断，而又能依赖于估算，估算实质上是一种数字意义，它以正确的算理为基础，通过合理的观察、比较、判断、推理，从而做出正确的判断、估算、省去了很多推导过程和比较复杂的计算，节省了时间，从而显得快捷．其应用广泛，它是人们发现问题、研究问题、解决问题的一种重要的运算方法．（九）割补法“级割善补”是解决几何问题常用的方法，巧妙地利用割补法，可以将不规则的图形转化为规则的图形，这样可以使问题得到简化，从而缩短解题时间．例15、一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为：A ．π3B ．π4C ．π33D ．π6【解析】如图，将正四面体ABCD 补成正方体，则正四面体、正方体的中心与其外接球的球心共一面，因为正四面体棱长为2，所以正方体棱长为1，从而外接球半径23=R ，故π3=球S ，选A ．【题后反思】“割”即化整为零，各个击破，将不易求解的问题，转化为易于求解的问题；“补”即代分散不集中，着眼整体，补成一个“规则图形”来解决问题，当我们遇到不规则的几何图形或几何体时，自然要想到“割补法”．五、限时课后练习（1）已知βα,是锐角，且32πβα=+，则βα22cos cos +的取值范围是： A ．]2321[， B ．)2321[， C ．]4321[， D ．)4321[，（2）（2007，安徽高考）若},822|{2Z x x A x ∈<≤=-，},1|log ||{2R x x x B ∈>=，则A 交B 补中元素的个数为：A ．0B ．1C ．2D ．3ABCD（3）（2007，山东高考）已知集合}1,1{-=M ，},4221|{1Z x x N x ∈<<=+，则=N M A ．}1,1{- B ．}1{- C ．}0{ D ．}0,1{-（4）过原点的直线与圆03422=+++x y x 相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是：A ．x y 3=B ．x y 3-=C ．x y 33=D ．x y 33-= （5）如果n 是正偶数，则=+++n n n n C C C 20A ．n 2B ．12-nC ．12+nD ．12)1(-⨯-n n（6）函数)0)(sin()(>+=ωϕωx M x f ，则区间[a ，b]上是增函数，且M b f M a f =-=)(,)(，则函数)cos()(ϕω+=x M x g 在[a ，b]上是：A ．增函数B ．减函数C ．有最大值MD ．有最小值—M（7）函数x x x f 2sin )23sin()(+-=π的最小正周期是：A ．2πB ．πC ．2πD ．4π（8）过点A （1，-1），B （-1，1）且圆心在直线02=-+y x 上的圆的方程是： A ．4)1()3(22=++-y x B ．4)1()3(22=-++y xC ．4)1()1(22=-+-y xD ．4)1()1(22=+++y x（9）定义在),0()0,(+∞-∞ 上的奇函数)(x f ，在),0(+∞上为增函数，当0>x 时，)(x f 的图像如下图所示，则不等式0)]()([<--x f x f x 的解集是：A ．)3,0()0,3( -B ．),3()3,(+∞--∞C ．),3(]3,(+∞--∞D ．),3()0,3(+∞-（10）函数1|1|2+-=x y 的图像与函数x y 2=的图像交点的个数为： A ．1 B ．2 C ．3 D ．4（11）如下图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且BCF ADE ∆∆,均为正三角形，EF//AB ，EF=2，则该多面体的体积为：A ．32B ．33 C ．34 D ．23ACD EF（12）如下图，直三棱柱ABC —A1B1C1的体积为V ，P 、 Q 分别为侧棱AA1、和CC1上的点，且AP=C1Q ，则四棱锥B —A1PQC 的体积为： A ．32V B ．3V C ．73V D ．72V （13）如右图所示，在正方体AC1中， E 为AD 的中点，O 为侧面AA1B1B 的中心，F 为CC1上任意一点，则异面直线OF 与BE 所成的角是：A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π（14）要得到函数x y 2sin 2=的图像，只需把函数)6cos()6sin(4ππ++=x x y 的图像：A ．向右平移3π个单位 B ．向左平移3π个单位 C ．向右平移6π个单位 D ．向左平移6π个单位（15）函数|log |21x y =的定义域为[a ，b]，值域为[0，2]，则区间[a ，b]的长度b-a 的最小值是： A ．2 B ．23 C ．3 D ．43 （16）已知函数x x f x 2log )31()(-=，正实数a ，b ，c 满足)()(0)(b f a f c f <<<，若实数d是函数)(x f 的一个零点，那么下列四个判断：①d<a ；②d>b ；③d<c ；④d>c ，其中可能成立的个数为：A ．1B ．2C ．3D ．4（17）设函数⎩⎨⎧≥--<+=1,141,)1()(2x x x x x f ，则使得1)1()1(=-+-m f f 成立的m 的取值为：A ．10B ．0，-1C ．0，-2，10D ．1，-1，11（18）已知点P 是椭圆14822=+y x 上的动点，F 1，F 2分别为椭圆的左右焦点，O 为坐标原点，则||||||||21OP PF PF -的取值范围是：A ．]22,0[ B ．]2,0[ C ．]22,21( D ．]2,0[ 答案：（1）D （2）C （3）B （4）C （5）B （6）C （7）B （8）C （9）A （10）C （11）A （12）B （13）D （14）C （15）D （16）B （17）D （18）DABCC 1 B 1A 1P QABC DA 1C 1 B 1D 1 GH FO E第二节填空题的解题方法与技巧一、教学目标1．了解填空题的题型特点和考查角度，掌握填空题的解题方法和技巧，规范其解答； 2．培养学生分析问题和解决问题的能力； 3．使学生会一分为二的辩证的看待问题．二、重点聚集填空题的主要作用是考查学生的基础知识、基本技能及思维能力和分析问题、解决问题的能力，填空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达式（数）最简，结果稍有毛病，便得零分．填空题的基本特点： 1．方法灵活，答案唯一； 2．答案简短，具体明确．学生在解答填空题时注意以下几点；1．对于计算型填空题要运算到底，结果要规范； 2．填空题所填结果要完整，不可缺少一些限制条件； 3．填空题所填结论要符合高中数学教材要求；4．解答填空题平均每小题3分钟，解题时间应控制在12分钟左右．总之，解填空题的基本原则是“小题小做”，要“准”、“活”、“灵”、“快”．三、基础训练（1）设直线α平面⊂l ，过平面α外一点A 作直线，则与α,l 都成 45角的直线有条．（2）如下图所示，过点Q （2，1）的动直线l 分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，则线段AB 的中点P 有轨迹方程为：．（3）若数列}{n a 中，)1(3,111≥==+n S a a n n ，则n S 为：．（4）对于满足40≤≤p 的一切实数x ，不等式342-+>+p x px x 恒成立，则x 的取值范围是：（5）设实数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-0520402y x y x y x ，则|42|-+y x 的最大值是：答案：（1）2 （2）)1(022≠=--x y x xy（3）)(4*1N n S n n ∈=- （4）),3()1,(+∞--∞ （5）21四、典型例题（一）直接法直接法求解就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等，得出正确的结论．例1、不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是：【解析】当0≥x 时，原不等式等价于0)1)(1(>-+x x ，∴11<<-x ，此时应有：10<≤x ；当0<x 时，原不等式等价于0)1(2>+x ， ∴1-≠x ，此时应有：011<<--<x x 或；∴不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是：}11|{-≠<x x x 且．例2、在等差数列}{n a 中，135,3851-=-=a na a ，则数列}{n a 的前n 项和S n 的最小值为：【解析】设公差为d ，则13)73(5)43(11-+-=+-d d ，∴95=d ，∴数列}{n a 为递增数列，令0≥n a ，∴095)1(3≤⨯-+-n ，∴526≤n ，∵*N n ∈，∴7≤n ，∴前6项和均为负值， ∴S n 的最小值为3296-=S ．【题后反思】由于填空题不需要解题材过程，因此可以透过现象看本质，自觉地、有意识地采用灵活、简洁的解法，省去某些步骤，大跨度前进，也可配合心算、速算、力求快速，辟免“小题大做”．（二）特殊值法当填空结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，我们只需把题材中的参变量用特殊值代替之，即可得到结论．例3、函数)(x f y =在（0，2）上是一增函数，函数)2(+=x f y 是偶函数，则)27(),25(),1(f f f 的大小关系为：（用“<”号连接）【解析】取2)2()(--=x x f ，则)25()1()27(f f f <<，例4、椭圆14922=+y x 的焦点为21,F F ，点P 为其上的动点，当21PF F ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是：【解析】设P(x,y)，则当 9021=∠PF F 时，点P 的轨迹方程为522=+y x ，由此可得点P 的横坐标53±=x ，又当点P 在x 轴上时， 021=∠PF F ；点P 在y 轴上时，21PF F ∠为钝角，由此可得点P 横坐标的取值范围是：553553<<-x ．【题后反思】特殊值法一般可取特殊值、特殊函数、特殊角、特殊数列、图形的特殊位置、特殊性点、特殊方程、特殊模型等．（三）数形结合法根据题目条件，画出符合题意的图形，以形助数，通过对图形的直观分析、判断，往往可以简捷地得出正确的结果，它既是方法，也是技巧，更是基本的数学思想．例5、已知直线m x y +=与函数21x y -=不同的交点，则实数m 的取值范围是：．【解析】∵函数21x y -=的图像如图所示， ∴由图可知：21<≤m ．例6、设函数c bx ax x x f +++=22131)(23，若当)1,0(∈x 时，)(x f 可取得极大值；当)2,1(∈x 时，)(x f 可取得极小值，则12--a b 的取值范围是：【解析】b ax x x f 2)(2/++=，由条件知，0)(/=x f 的一个根在（0，1）上，另一个根在（1，2）上，∴⎪⎩⎪⎨⎧>><0)2(0)0(0)1(///f f f ，即⎪⎩⎪⎨⎧>++><++020012b a b b a 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中作出上述区域，得点P （a ，b ）在图中的阴影区域内，而12--a b 的几何意义是过两点P （a ，b ）与A （1，2）的直线的斜率，易知)1,41(12∈=--PA k a b ．【题后反思】数形结合法，常用的有Venn 图，三角函数线，函数图像及方程的曲线等，另一面，有些图1 1-x形问题转化为数量关系，如直线垂直可转化为斜率关系或向量积等．（四）等价转化法通过“化复杂为简单，化陌生为熟悉”将问题等价转化为便于解决的问题，从而等到正确的结果．例7、若不论k 为何实数，直线1+=kx y 与圆0422222=--+-+a a ax y x 恒有交点，则实数a 的取值范围是：【解析】题设条件等价于直线上的定点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆心（a ，0）的距离小于或等到于圆的半径42+a ，所以31≤≤-a 例8、计算=-++33257257【解析】分别求这两个二重根式的值显然不是那么容易，不妨从整体考虑，通过解方程求之．设x =-++33257257，两边同时立方得：01433=-+x x ，即：0)72)(2(2=++-x x x ， ∵0722≠++x x ，∴2=x ，即=-++332572572，因此应填2. 【题后反思】在研究解决数学问题时，常采用转化的手段将问题向有利于解答的方面转化，从而使问题转化为熟悉的、规范的、甚至模式的问题，把复杂的问题转化为简单的问题．（五）构造法根据题设条件与结论的特殊性，构造出一些新的数学形式，并借助于它来认识和解决问题．例9、如果))2,0((,cos )cos 1(sin )sin 1(44πθθθθθ∈+>+，那么角θ的取值范围是：．【解析】设函数x x x f 4)1()(+=，则051)(4/>+=x x f ，所以)(x f 是增函数，由题设，得出)(cos )(sin θθf f >，得θθcos sin >，所以)45,4(ππθ∈．例10、P 是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的上底面A 1B 1C 1D 1内任意一点，AP 与三条棱AA 1，AB 1，AD 的夹角分别为γβα,,，则=++γβα222cos cos cos 【解析】如上图，过P 作平面PQQ /P /，使它们分别与平面B 1C 1CB 和平面C 1D 1DC 平行，则构造一个长方体AQ /P /R /—A 1QPR ，故1cos cos cos 222=++γβα．【题后反思】凡解题时需要根据题目的具体情况来设计新模式的的问题，通常要用构造法解决．（六）分析法根据题设条件的特征进行观察、分析、从而得出正确的结论．AB CDC 1A 1B 1D 1 PRQ Q /R /P /例11、以双曲线1322=-y x 的左焦点F 和左准线l 为相应的焦点和准线的椭圆截直线3+=kx y ，所得的弦恰好被x 轴平分，则k 的取值范围是：．【解析】双曲线的左焦点为F （-2，0），左准线l 为23-=x ，因为椭圆截直线所得的弦恰好被x 轴平分，故根据椭圆的对称性，知椭圆的中心即为直线3+=kx y 与x 轴的交点（0,3k-），故23-<-k ，得230<<k ．例12、（2007福建）某射手射击1次，击中目标的概率为0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是1.09.03⨯；③他至少击中目标1次的概率是41.01-．【解析】①第3次击中目标意味着1、2、4次可击中，也可不击中，从而第3次击中目标的概率为9.0)1.09.0(9.0)1.09.0()1.09.0(=+⨯⨯+⨯+；②恰好击中目标3次的概率是独立重复试验，故概率为1.09.0334⨯⨯C ；③运用对立事件4次射击，一次也没有击中的概率为41.0，从而至少击中目标一次的概率为41.01-．故正确结论的序号为①、③．【题后反思】分析法是解答问题的常用方法，该方法需要我们从题设出发，对条件进行观察、分析，找到相应的解决方法．五、限时课后练习（1）已知函数52)(3+-=x x x f 在)1,32(-上单调递减，在),1(+∞上单调递增，且)(x f 的导数记为)(/x f ，则下列结论中，正确的是： ①32-是方程0)(/=x f 的根； ②1是方程0)(/=x f 的根； ③有极小值)1(f ； ④有极大值)32(-f ； ⑤5.0-=a（2）设m 、n 是异面直线，则：①一定存在平面α，使α⊂m 且α//n ；②一定存在平面β，使β⊂m 且β⊥n ；③一定存在平面γ，使m 、n 到γ的距离相等；④一定存在无数对平面α和β，使βαβα⊥⊂⊂且n m ,．上述四个命题中，正确命题的序号是：．（3）i 是虚单位，=++-ii43105 （用R b a bi a ∈+,，的形式表示）（4）设1>>b a ，则b b a ab a b log ,log ,log 的大小关系是：．（5）“x 、y 中至少有一个小于0”是“0<+y x ”的条件．（6）若记符号“*”表示求两个实数a 与b 的算术平均数的运算，即2*ba b a +=，则两边均含有运算符号“*”和“+”，且对于任意3个实数a 、b 、c 都能成立的一个等式可以是：．（7）设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为F 1，右准线为1l ，若过F 1且垂直于x 轴的弦长等于点F 1到直线1l 的距离，则椭圆的离心率是：．（8）设j i m a 3)1(-+=，j m i b )1(-+=，其中j i ,为互相垂直的单位向量，又)()(b a b a -⊥+，则实数m= ．（9）如果函数c bx x x f ++=2)(对任意实数t ，都有)2()2(t f t f -=+，那么)4(),2(),1(f f f 的大小关系是：（10）过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一直线与抛物线交于P 、Q 两点，若线段PF 、FQ 的长分别为p 、q ，则=+qp 11 ．（11）椭圆13422=+y x 的长轴的两端点为M 、N ，点P 在椭圆上，则PM 与PN 的斜率之积为：．（12）方程x x 41)4sin(=-π的实数解的个数是：．（13）不等式23+>ax x 的解集为（4，b ），则a= ，b= ；（14）已知函数812)(3+-=x x x f 在（-3，3）上的最大值与最小值分别为M 、m ，则M+m= ．（15）已知集合}2|),{(2y mx x y x A =++=，}20,01|),{(≤≤=+-=x y x y x B ，如果φ≠B A ，则实数m 的取值范围是：．（16）定义在R 上的函数)(x f 是奇函数，且满足)(1)1(x f x f -=+，则=+++++)7()6()5()4(_)3()2()1(f f f f f f f ．（17）设F 1，F 2是双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且 9021=∠PF F ，则21PF F ∆的面积是：．（18）在数列}{n a 中，若)1(32,111≥+==+n a a a n n ，则该数列的通项=n a ．答案：（1）①②③④⑤；（2）①③④；（3）i 21+；（4）a b b b a ab log log log <<；（5）必要不充分；（6）))*()*()*()*()*()((*)()*(c a b c b a c b c a c b a c a b a c b a +=++=+++=+或或（答案不唯一）；（7）21；（8）-2；（9）)4()1()2(f f f <<；（10）4a ； (11)43-；（12）3；（13）3681==b a ，；（14）16；（15）1-≤m ；（16）0；（17）1；（18） 321-+n ．第三节解答题的解题策略一、教学目标1．使学生掌握解答题的解题策略和技巧，使学生在解答客观性问题时能较为迅速的明确解题的方向和解题的策略；2．培养学生客观的分析问题、解决问题的能力，同时提高学生处理问题的整体意识．二、重点聚集解答题可分为低档题、中档题和高档题三个档次，低档题主要考查基础知识和基本方法与技能，中档题还要考查数学思想方法和运算能力、思维能力、整合与转化能力、空间想象能力，高档题还要考查灵活运用数学知识的能力及分析问题和解决问题的能力．三、基础训练（1）试求常数m 的范围，使曲线2x y =的所有弦都不能被直线)3(-=x m y 垂直平分．思路点拨：“不能”的反面是“能”，被直线垂直平分的弦的两端点关于此直线对称，于是问题转化为“抛物线2x y =上存在两点关于直线)3(-=x m y 对称，求m 的取值范围”，再求出m 的取值集合的补集即为原问题的解．（2）已知R a ∈，求函数)cos )(sin (x a x a y --=的最小值．思路点拨：x x x x a a x a x a y cos sin )cos (sin )cos )(sin (2++-=--=，而x x cos sin +与x x cos sin 有联系，可设x x t cos sin +=，则原来的问题可转化为二次函数的闭区间上的最值问题．（3）已知x 、y 满足条件1251622=+y x ，求y －3x 的最大值与最小值．思路点拨：此题令b=y －3x ，即y=3x+b ，视b 为直线y=3x+b 的截距，而直线与椭圆必须有公共点，故相切，b 有最值．（4）设不等式)1(122->-x m x 对满足]2,2[-∈m 的一切实数m 都成立，求x 的取值范围．思路点拨：此问题由于是常见的思维定势，易把它看成关于x 的不等式讨论，若变换一个角度，以m 为变量，使)12()1()(2---=x m x m f ，则问题转化为求一次函数（或常函数）)(m f 的值在[-2，2]内恒负时，参数x 应满足的条件．四、典型例题（一）以退为进策略 1、由整体向局部退某些问题，可以退到构成这一整体内容的部分上，用带有整体特征的部分来处理问题，解题思路便会豁然开朗．例1、在锐角ABC ∆中，求证：C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++．【解析】∵)2,0(,,π∈C B A ，∴2π>+B A ，即02>->B A π，由于x y sin =在)2,0(π上是单调递减的．∴B B A cos )2sin(sin =->π，同理可证：A C C B cos sin ,cos sin >>．上述三式相加，得：C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++．【题后反思】本题由整体退向局部，由一个角的三角函数或两个角的三角函数关系式入手，进行研究，解出部分证明了整体． 2、由巧法向通法退巧法的思维起点高，技巧性也强，有匠心独具、出人意料等特点，而巧法本身的思路难寻，方法不易把握，而通法则体现了解决问题的常规思路，而顺达流畅，通俗易懂的特点．例2、已知21cos sin =βα，求βαsin cos 的取值范围．【解析】由21cos sin =βα，得αβ22sin 41cos =，∴αααββ22222sin 41sin 4sin 411cos 1sin -=-=-=，∴)sin 1(sin 41sin 4)sin 1(sin cos sin 2222222ααααβαβ-⋅-=-= 41145)s i n 41(s i n 45s i n 41s i n 5s i n 422224=-≤+-=-+-=ααααα，从而得]2121[sin cos ，-∈βα．【题后反思】本题是一典型、常见而又方法繁多、技巧性较强的题目，求解时常常出错，尤其是题目的隐含条件的把握难度较大，将解法退到常用的数学方法之一——消元法上来，则解法通俗、思路清晰．（二）合理转化策略转化思想方法用于研究、解释数学问题时思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化成另一种情况，也就是转化到另一种情境，使问题得到解释的一种方法，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维模式，转化的目的是使问题变的简单、容易、熟知，达到解决问题的有利境地，通向问题解决之策．1、常量转化为变量有的问题需要常、变量相互转化，使求解更容易．例3、设0tan cos 4sin 0tan sin 3cos 92=⋅-=++C A B C B A ，，求证：61|cos |≤A ．【解析】令3=x ，则有0tan sin cos 2=++C B x A x ，若0cos =A ，则610|cos |≤=A 成立；若0cos ≠A ，则0tan cos 4sin 2=⋅-=∆C A B ，∴方程有两个相等的实数根，即321==x x ，由韦达定理，ACx x cos tan 921==，即A C cos 9tan =，又0tan cos 4sin 2=-C A B ， ∴0cos 9cos 4sin 2=-A A B ，∴1sin cos 3622≤=B A ，∴61|cos |≤A ．【题后反思】把变量变为常量，也就是从一般到特殊，是我们寻找规律时常用的解题方法，而本题反其道而行之，将常量变为变量，从特殊到一般使问题得到解决． 2、主元转化为辅元有的问题按常规确定主元进行处理往往受阻，陷于困境，这时可以将主元化为辅元，即可迎刃而解．例4、对于满足2||≤p 的所有实数p ，求使不等式p x px x +>++212恒成立的x 的取值范围．【解析】把p x px x +>++212转化为012)1(22>+-+-x x p x ，则成为关于p 的一次不等式，则2||≤p ，得22≤≤-p ，由一次不等式的性质有：0)1)(1()1()1(2>+--=-+-p x x x p x ，当2-=p 时，0)3)(1(>--x x ，∴31>-<x x 或；当2=p 时，0)1)(1(>+-x x ，∴11>-<x x 或，综上可得：31>-<x x 或．【题后反思】视x 为主元，不等式是关于x 的一元二次不等到式，讨论其取值情况过于繁琐，将p 转化为主元，不等式是关于p 的一次的不等式，则问题不难解决． 3、正向转化为反向有些数学问题，如果是直接正向入手求解难度较大，可以反向考虑，这种方法也叫“正难则反”例5、若椭圆)0(2222>=+a a y x 与连接A （1，2）、B （3，4）两点的线段没有公共点，求实数a 的取值范围．【解析】设线段AB 和椭圆有公共点，由A 、B 两点的坐标可得线段AB 的方程为1+=x y ，]3,1[∈x ，则方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==+12222x y a y x ，消去y得：222)1(2a x x =++，即31)32(231223222++=++=x x x a ， ∵]3,1[∈x ，∴]241,29[2∈a ，∵0>a ，∴282223≤≤a ， ∴当椭圆与线段AB 无公共点时，实数a 的取值范围为),282()223,0(+∞ ．【题后反思】在探讨某一问题的解决办法时，如果我们按照习惯的思维方式从正面思考遇到困难，则应从反面的方向去探索． 4、数与形的转化数形结合，实质上是将抽象的语言与直观图形结合起来，以便化抽象为直观，达到化难为易，化简为繁的目的．。

[全]高考数学选择题六大答题技巧(附例题详解)

[全]高考数学选择题六大答题技巧（附例题详解）选择题是高考数学试卷的三大题型之一．选择题的分数一般占全卷的40%左右：(1)绝大部分数学选择题属于中低档题，且一般按由易到难的顺序排列，主要的数学思想和数学方法能通过它得到充分的体现和应用，并且因为它还有相对难度(如思维层次、解题方法的优劣选择，解题速度的快慢等)，所以选择题已成为具有较好区分度的基本题型之一。

(2)选择题具有概括性强、知识覆盖面广、小巧灵活及有一定的综合性和深度等特点，且每一题几乎都有两种或两种以上的解法，能有效地检测学生的思维层次及观察、分析、判断和推理能力。

目前高考数学选择题采用的是一元选择题(即有且只有一个正确答案)，由选择题的结构特点，决定了解选择题除常规方法外还有一些特殊的方法．解选择题的基本原则是：“小题不能大做”，要充分利用题目中(包括题干和选项)提供的各种信息，排除干扰，利用矛盾，作出正确的判断。

数学选择题的求解，一般有两条思路：一是从题干出发考虑，探求结果。

二是从题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件。

解答数学选择题的主要方法包括直接法、概念辨析法、数型结合法、特殊值法、排除法、逆向思维法等，这些方法既是数学思维的具体体现，也是解题的有效手段。

一一、直接法直接对照型选择题是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，从而直接得出正确结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，从而确定正确的选择支。

这类选择题往往是由计算题、应用题或证明题改编而来，其基本求解策略是由因导果，直接求解。

思路解析：关于直线与圆锥曲线位置关系的题目，通常是联立方程解方程组．本题即是利用渐近线与抛物线相切，求出渐近线斜率．二、概念辨析法概念辨析是从题设条件出发，通过对数学概念的辨析，进行少量运算或推理，直接选择出正确结论的方法．这类题目常涉及一些似是而非、很容易混淆的概念或性质，这需要考生在平时注意辨析有关概念，准确区分相应概念的内涵与外延，同时在审题时要多加小心，准确审题以保证正确选择．一般说来，这类题目运算量小，侧重判断，下笔容易，但稍不留意则易误入命题者设置的“陷阱”。

高考数学(理)二轮复习：巧解客观题的10大妙招(一)选择题的解法

值 49＝7，故选 B.
题型概述
解题方法
归纳总结
方法二特例法
从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置进行判断.特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊数列等.适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题.
题型概述
解题方法
归纳总结
探究提高图形化策略是依靠图形的直观性进行研究的，用这种策略解题比直接计算求解更能简捷地得到结果.运用图解法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉，否则，错误的图象反而会导致错误的选择.
题型概述
解题方法
归纳总结
【训练 4】过点( 2，0)引直线 l 与曲线 y＝ 1－x2相交于 A、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线 l 的斜率等于( )
则 tan θ2 等于(
)
m－3 A.9－m
m－3 B.|9－m|
C.－15
D.5
解析由于受条件 sin2θ＋cos2θ＝1 的制约，m 一定为确定
的值进而推知 tan θ2 也是一确定的值，又π2 ＜θ＜π，所以π4
θπ
＜ 2 ＜ 2 ，故 tan
2θ＞1.所以 D 正确.
答案 D
题型概述
解题方法
x＝－1，排除 B.
(2)f(x)＝14x2＋sinπ2 ＋x＝14x2＋cos
x，故
f′(x)＝14x2＋cos
x′
＝12x－sin x，记 g(x)＝f′(x)，其定义域为 R，且 g(－x)＝12(－x)－
sin(－x)＝－12x－sin

高考数学选择题解题方法与技巧

1 , 则使 f ( x ) > 0的x取值范围是( D )
A、x﹥1
B、 x ﹥1 且 - 1﹤x﹤0
C、- 1﹤x﹤0
D、x ﹥1 或 - 1﹤x﹤0
3、知识面广、切入点多、综合性强，题材内容知识点多，跨度较大。
如：若π/2 < θ < π，且cosθ= - 3/5 ,则sin(θ+π/3)等于
• 3．解数学选择题的常用方法，主要分直接法和间接法两大类.直接法是解答选择题最基本、最常用的方法；但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答.因此，我们还要掌握一些特殊的解答选择题的方法.
• 关于选择题的几点说明
1、占据《数学》试卷“半壁江山”的选择题，自然是三种题型（选择题、填空题、解答题）中的 “大姐大”。可以说“得数学者得高考，得选择题者得数学”。
• 用特殊值代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确的判断.常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.
例6．如果n是正偶数，则Cn0＋Cn2＋…＋Cnn-2＋
Cnn＝（ B ）
A. 2 n B. 2n-1 C. 2 n-2 D. (n－1)2n-1
• 解：（特值法）当n＝2时，代入得C20＋ C22＝2，排除答案A、C；当n＝4时，代入得C40＋C42＋C44＝8，排除答案D.所以选B. 另解：（直接法）由二项展开式系数的性质有Cn0＋Cn2＋…＋Cnn-2＋Cnn＝2n-1选B.
例7．等差数列{an}的前m项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m项和为（ C ）
3、抓往关键，全面分析
在解题过程中，通过审题、析题后找到题目的关键所在是十分重要的，从关键处入手，找突破口，联系知识进行全面的分析形成正确的解题思路，就可以化难为易，化繁为简，从而解出正确的答案。

2022年高考数学二轮复习教案：第二部分专题一选择、填空题常用的10种解法 Word版含答案

专题一选择、填空题常用的10种解法抓牢小题，保住基本分才能得高分________________________________________________________________________ 原则与策略：1.基本原则：小题不用大做．2.基本策略：充分利用题干和选项所供应的信息作出推断．先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，选择题可先排解后求解．解题时应认真审题、深化分析、正确推演运算、谨防疏漏．题型特点：1.高中低档题，且多数按由易到难的挨次排列.2.留意基本学问、基本技能与思想方法的考查.3.解题方法机敏多变不唯一.4.具有较好的区分度，试题层次性强.方法一定义法所谓定义法，就是直接利用数学定义解题，数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来的．简洁地说，定义是对数学实体的高度抽象，用定义法解题是最直接的方法．一般地，涉及圆锥曲线的顶点、焦点、准线、离心率等问题，常用定义法解决．[例1] 如图，F 1，F 2是双曲线C 1：x 216－y 29＝1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限的公共点．若|F 1A |＝|F 1F 2|，则C 2的离心率是( )A.56B.23C.25D.45解析：由双曲线C 1的方程可得|F 1F 2|＝216＋9＝10，由双曲线的定义可得|F 1A |－|F 2A |＝216＝8，由已知可得|F 1A |＝|F 1F 2|＝10，所以|F 2A |＝|F 1A |－8＝2.设椭圆的长轴长为2a ，则由椭圆的定义可得2a ＝|F 1A |＋|F 2A |＝10＋2＝12. 所以椭圆C 2的离心率e ＝2c 2a ＝1012＝56.故选A.答案：A[增分有招] 利用定义法求解动点的轨迹或圆锥曲线的有关问题，要留意动点或圆锥曲线上的点所满足的条件，机敏利用相关的定义求解．如[本例]中依据双曲线的定义和已知条件，分别把A 到两个焦点的距离求出来，然后依据椭圆定义求出其长轴长，最终就可依据离心率的定义求值． [技法体验]1．(2021·广州模拟)假如P 1，P 2，…，P n 是抛物线C ：y 2＝4x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，…，x n ，F 是抛物线C 的焦点，若x 1＋x 2＋…＋x n ＝10，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝( ) A ．n ＋10 B ．n ＋20 C ．2n ＋10D ．2n ＋20解析：由题意得，抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为(1,0)，准线为x ＝－1，由抛物线的定义，可知|P 1F |＝x 1＋1，|P 2F |＝x 2＋1，…，|P n F |＝x n ＋1，故|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝x 1＋x 2＋…＋x n ＋n ＝n ＋10，选A. 答案：A2．(2022·高考浙江卷)设双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2.若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________．解析：借助双曲线的定义、几何性质及余弦定理解决．∵双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，∴|F 1F 2|＝4，||PF 1|－|PF 2||＝2.若△F 1PF 2为锐角三角形，则由余弦定理知|PF 1|2＋|PF 2|2－16>0，可化为(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|>16①.由||PF 1|－|PF 2||＝2，得(|PF 1|＋|PF 2|)2－4|PF 1||PF 2|＝4.故2|PF 1||PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2|2－42，代入不等式①可得(|PF 1|＋|PF 2|)2>28，解得|PF 1|＋|PF 2|>27.不妨设P 在左支上，∵|PF 1|2＋16－|PF 2|2>0，即(|PF 1|＋|PF 2|)·(|PF 1|－|PF 2|)>－16，又|PF 1|－|PF 2|＝－2，∴|PF 1|＋|PF 2|<8.故27<|PF 1|＋|PF 2|<8. 答案：(27，8)方法二特例法特例法，包括特例验证法、特例排解法，就是充分运用选择题中单选题的特征，解题时，可以通过取一些特殊数值、特殊点、特殊函数、特殊数列、特殊图形、特殊位置、特殊向量等对选项进行验证的方法．对于定性、定值的问题可直接确定选项；对于其他问题可以排解干扰项，从而获得正确结论．这是一种求解选项之间有着明显差异的选择题的特殊化策略．[例2] (2022·高考浙江卷)已知实数a ，b ，c ( ) A ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 B ．若|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 C ．若|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 D ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2－c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 解析：结合特殊值，利用排解法选择答案．对于A ，取a ＝b ＝10，c ＝－110，明显|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1成立，但a 2＋b 2＋c 2>100，即a 2＋b 2＋c 2<100不成立．对于B ，取a 2＝10，b ＝－10，c ＝0，明显|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1成立，但a 2＋b 2＋c 2＝110，即a 2＋b 2＋c 2<100不成立．对于C ，取a ＝10，b ＝－10，c ＝0，明显|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1成立，但a 2＋b 2＋c 2＝200，即a 2＋b 2＋c 2<100不成立．综上知，A ，B ，C 均不成立，所以选D. 答案：D[增分有招] 应用特例排解法的关键在于确定选项的差异性，利用差异性选取一些特例来检验选项是否与题干对应，从而排解干扰选项． [技法体验]1．函数f (x )＝cos x ·log 2|x |的图象大致为( )解析：函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (12)＝cos 12log 2|12|＝－cos 12，f (－12)＝cos(－12)·log 2|－12|＝－cos 12，所以f (－12)＝f (12)，排解A ，D ；又f (12)＝－cos 12＜0，故排解C.综上，选B. 答案：B2．已知E 为△ABC 的重心，AD 为BC 边上的中线，令AB →＝a ，AC →＝b ，过点E 的直线分别交AB ，AC 于P ，Q 两点，且AP →＝m a ，AQ →＝n b ，则1m ＋1n＝( )A ．3B ．4C ．5D.13解析：由于题中直线PQ 的条件是过点E ，所以该直线是一条“动”直线，所以最终的结果必定是一个定值．故可利用特殊直线确定所求值．法一：如图1，PQ ∥BC ，则AP →＝23AB →，AQ →＝23AC →，此时m ＝n ＝23，故1m ＋1n＝3.故选A.法二：如图2，取直线BE 作为直线PQ ，明显，此时AP →＝AB →，AQ →＝12AC →，故m ＝1，n ＝12，所以1m ＋1n ＝3.故选A.答案：A方法三数形结合法数形结合法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用分为两种情形：一是代数问题几何化，借助形的直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是几何问题代数化，借助于数的精确性阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．[例3] (2021·安庆模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，－7≤x ≤0ln x ，e －2≤x ≤e ，g (x )＝x 2－2x ，设a 为实数，若存在实数m ，使f (m )－2g (a )＝0，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1，＋∞)B ．[－1,3]C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D ．(－∞，3]解析：∵g (x )＝x 2－2x ，a 为实数，∴2g (a )＝2a 2－4a .∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，－7≤x ≤0ln x ，e －2≤x ≤e ，作出函数f (x )的图象可知，其值域为[－2,6]，∵存在实数m ，使f (m )－2g (a )＝0，∴－2≤2a 2－4a ≤6，即－1≤a ≤3，故选B.答案：B[增分有招] 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，如[本例]中求解，可通过作出图象，数形结合求解． [技法体验]1．(2021·珠海摸底)已知|a |＝|b |，且|a ＋b |＝3|a －b |，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．120°解析：通解：设a 与b 的夹角为θ，由已知可得a 2＋2a ·b ＋b 2＝3(a 2－2a ·b ＋b 2)，即4a ·b ＝a 2＋b 2，由于|a |＝|b |，所以a ·b ＝12a 2，所以cos θ＝a ·b |a |·|b |＝12，θ＝60°，选C.优解：由|a |＝|b |，且|a ＋b |＝3|a －b |可构造边长为|a |＝|b |＝1的菱形，如图，则|a ＋b |与|a －b |分别表示两条对角线的长，且|a ＋b |＝3，|a －b |＝1，故a 与b 的夹角为60°，选C. 答案：C2．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，则点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线的焦点F 的距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( ) A ．(14，1)B ．(14，－1)C ．(1,2)D ．(1，－2)解析：如图，由于点Q (2，－1)在抛物线的内部，由抛物线的定义可知，|PF |等于点P 到准线x ＝－1的距离．过Q (2，－1)作x ＝－1的垂线QH ，交抛物线于点K ，则点K 为点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到准线x ＝－1的距离之和取得最小值时的点．将y ＝－1代入y 2＝4x 得x ＝14，所以点P 的坐标为(14，－1)，选B.答案：B方法四待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后依据所给条件来确定这些未知系数的方法叫作待定系数法，其理论依据是多项式恒等——两个多项式各同类项的系数对应相等．使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决．待定系数法主要用来解决所求解的数学问题具有某种确定的数学表达式，例如数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等． [例4] (2021·天津红桥区模拟)已知椭圆C 的焦点在y 轴上，焦距等于4，离心率为22，则椭圆C 的标准方程是( ) A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1C.x 24＋y 28＝1 D.x 28＋y 24＝1 解析：由题意可得2c ＝4，故c ＝2，又e ＝2a ＝22，解得a ＝22，故b ＝222－22＝2，由于焦点在y 轴上，故选C. 答案：C[增分有招] 待定系数法主要用来解决已经定性的问题，如[本例]中已知椭圆的焦点所在坐标轴，设出标准方程，依据已知列方程求解． [技法体验]1．若等差数列{a n }的前20项的和为100，前45项的和为400，则前65项的和为( ) A ．640 B ．650 C ．660D ．780解析：设等差数列{a n}的公差为d ，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 20a 1＋20×192d ＝10045a 1＋45×442d ＝400⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9245d ＝1445，则前65项的和为65a 1＋65×642d ＝65×9245＋65×642×1445＝780.答案：D2．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图象如图所示，则f (π4)的值为( )A. 2 B ．0 C ．1D. 3解析：由题图可知，A ＝2，34T ＝11π12－π6＝34π，∴T ＝2πω＝π，∴ω＝2，即f (x )＝2sin(2x ＋φ)，由f (π6)＝2sin(2×π6＋φ)＝2得2×π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，又0＜φ＜π，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)，∴f (π4)＝2sin(2×π4＋π6)＝2cos π6＝3，故选D.答案：D 方法五估值法估值法就是不需要计算出代数式的精确数值，通过估量其大致取值范围从而解决相应问题的方法．该种方法主要适用于比较大小的有关问题，尤其是在选择题或填空题中，解答不需要具体的过程，因此可以猜想、合情推理、估算而获得，从而削减运算量．[例5] 若a ＝20.5，b ＝log π3，c ＝log 2sin 2π5，则( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．b >c >a解析：由指数函数的性质可知y ＝2x在R 上单调递增，而0<0.5<1，所以a ＝20.5∈(1,2)．由对数函数的性质可知y ＝log πx ，y ＝log 2x 均在(0，＋∞)上单调递增，而1<3<π，所以b ＝log π3∈(0,1)；由于sin 2π5∈(0,1)，所以c ＝log 2sin 2π5<0.综上，a >1>b >0>c ，即a >b >c .故选A. 答案：A[增分有招] 估算，省去很多推导过程和比较简单的计算，节省时间，是发觉问题、争辩问题、解决问题的一种重要的运算方法．但要留意估算也要有依据，如[本例]是依据指数函数与对数函数的单调性估量每个值的取值范围，从而比较三者的大小，其实质就是找一个中间值进行比较． [技法体验]已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋1⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，其图象与直线y ＝－1相邻两个交点的距离为π.若f (x )>1对于任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π3恒成立，则φ的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π3D.⎝⎛⎦⎥⎤π6，π2解析：由于函数f (x )的最小值为－2＋1＝－1，由函数f (x )的图象与直线y ＝－1相邻两个交点的距离为π可得，该函数的最小正周期为T ＝π，所以2πω＝π，解得ω＝2.故f (x )＝2sin(2x ＋φ)＋1.由f (x )>1，可得sin(2x ＋φ)>0.又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π3，所以2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，2π3.对于选项B ，D ，若取φ＝π2，则2x ＋π2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，7π6，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π，7π6上，sin(2x ＋φ)<0，不合题意；对于选项C ，若取φ＝π12，则2x ＋π12∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，3π4，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0上，sin(2x ＋φ)<0，不合题意．选A.答案：A方法六反证法反证法是指从命题正面论证比较困难，通过假设原命题不成立，经过正确的推理，最终得出冲突，因此说明假设错误，从而证明白原命题成立的证明方法．反证法证明问题一般分为三步：(1)反设，即否定结论；(2)归谬，即推导冲突；(3)得结论，即说明命题成立．[例6] 已知x ∈R ，a ＝x 2＋32，b ＝1－3x ，c ＝x 2＋x ＋1，则下列说法正确的是( )A ．a ，b ，c 至少有一个不小于1B ．a ，b ，c 至多有一个不小于1C ．a ，b ，c 都小于1D ．a ，b ，c 都大于1解析：假设a ，b ，c 均小于1，即a <1，b <1，c <1，则有a ＋b ＋c <3，而a ＋b ＋c ＝2x 2－2x ＋72＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋3≥3.明显两者冲突，所以假设不成立．故a ，b ，c 至少有一个不小于1.选A. 答案：A[增分有招] 反证法证明全称命题以及“至少”“至多”类型的问题比较便利．其关键是依据假设导出冲突——与已知条件、定义、公理、定理及明显的事实冲突或自相冲突．如[本例]中导出等式的冲突，从而说明假设错误，原命题正确． [技法体验]假如△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( ) A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形解析：由条件知△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形．假设△A 2B 2C 2是锐角三角形，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ sin A 2＝cos A 1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－A 1，sin B 2＝cos B 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 1，sin C 2＝cos C 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A 2＝π2－A 1，B 2＝π2－B 1，C 2＝π2－C 1，所以A 2＋B 2＋C 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 1，即π＝3π2－π，明显该等式不成立，所以假设不成立．易知△A 2B 2C 2不是锐角三角形，所以△A 2B 2C 2是钝角三角形．故选D. 答案：D 方法七换元法换元法又称帮助元素法、变量代换法．通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者变为生疏的形式，把简单的计算和推证简化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．理论依据是等量代换，目的是变换争辩对象，将问题移至新对象的学问背景中去争辩，从而使非标准型问题标准化、简单问题简洁化．换元法经常用于三角函数的化简求值、复合函数解析式的求解等． [例7] 已知正数x ，y 满足4y －2yx＝1，则x ＋2y 的最小值为________．解析：由4y －2y x ＝1，得x ＋2y ＝4xy ，即14y ＋12x ＝1，所以x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫14y ＋12x ＝1＋x 4y ＋y x ≥1＋2x 4y ×yx＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x 4y ＝yx ，即x ＝2y 时等号成立.所以x ＋2y 的最小值为2.答案：2[增分有招] 换元法主要有常量代换和变量代换，要依据所求解问题的特征进行合理代换．如[本例]中就是使用常数1的代换，将已知条件改写为“14y ＋12x ＝1”，然后利用乘法运算规律，任何式子与1的乘积等于本身，再将其开放，通过构造基本不等式的形式求解最值． [技法体验]1．(2022·成都模拟)若函数f (x )＝1＋3x＋a ·9x，其定义域为(－∞，1]，则a 的取值范围是( ) A ．a ＝－49B ．a ≥－49C ．a ≤－49D ．－49≤a <0解析：由题意得1＋3x ＋a ·9x≥0的解集为(－∞，1]，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋a ≥0的解集为(－∞，1]．令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，则t ≥13，即方程t 2＋t ＋a ≥0的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋13＋a ＝0，所以a ＝－49.答案：A2．函数y ＝cos 2x －sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值为________．解析：y ＝cos 2x －sin x ＝－sin 2x －sin x ＋1. 令t ＝sin x ，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，22，∴y ＝－t 2－t ＋1，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，22.∵函数y ＝－t 2－t ＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，22上单调递减，∴t ＝0时，y max ＝1.答案：1 方法八补集法补集法就是已知问题涉及的类别较多，或直接求解比较麻烦时，可以通过求解该问题的对立大事，求出问题的结果，则所求解问题的结果就可以利用补集的思想求得．该方法在概率、函数性质等问题中应用较多． [例8]某学校为了争辩高中三个班级的数学学习状况，从三个班级中分别抽取了1,2,3个班级进行问卷调查，若再从中任意抽取两个班级进行测试，则两个班级不来自同一班级的概率为________．解析：记高一班级中抽取的班级为a 1，高二班级中抽取的班级为b 1，b 2，高三班级中抽取的班级为c 1，c 2，c 3.从已抽取的6个班级中任意抽取两个班级的全部可能结果为(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，c 1)，(a 1，c 2)，(a 1，c 3)，(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)，共15种．设“抽取的两个班级不来自同一班级”为大事A ，则大事A 为抽取的两个班级来自同一班级．由题意，两个班级来自同一班级的结果为(b 1，b 2)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)，共4种．所以P (A )＝415，故P (A )＝1－P (A )＝1－415＝1115. 所以两个班级不来自同一班级的概率为1115.答案：1115[增分有招] 利用补集法求解问题时，肯定要精确把握所求问题的对立大事．如[本例]中，“两个班级不来自同一班级”的对立大事是“两个班级来自同一班级”，而高一班级只有一个班级，所以两个班级来自同一班级的可能性仅限于来自于高二班级，或来自于高三班级，明显所包含基本大事的个数较少． [技法体验]1．(2022·四川雅安中学月考)已知命题“∃x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,3) C ．(－3，＋∞)D ．(－3,1)解析：依题意可知“∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12＞0”为真命题，所以Δ＝(a －1)2－4×2×12＜0，即(a ＋1)·(a －3)＜0，解得－1＜a ＜3.故选B. 答案：B2．已知函数f (x )＝ax 2－x ＋ln x 在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为________．解析：f ′(x )＝2ax －1＋1x.(1)若函数f (x )在区间(1,2)上单调递增，则f ′(x )≥0在(1,2)上恒成立，所以2ax －1＋1x≥0，得a ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2.①令t ＝1x ，由于x ∈(1,2)，所以t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，设h (t )＝12(t －t 2)＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋18，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，明显函数y ＝h (t )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减，所以h (1)＜h (t )＜h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即0＜h (t )＜18. 由①可知，a ≥18.(2)若函数f (x )在区间(1,2)上单调递减，则f ′(x )≤0在(1,2)上恒成立，所以2ax －1＋1x≤0，得a ≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2.②结合(1)可知，a ≤0.综上，若函数f (x )在区间(1,2)上单调，则实数a 的取值范围为(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，＋∞. 所以若函数f (x )在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18 方法九分别参数法分别参数法是求解不等式有解、恒成立问题常用的方法，通过分别参数将问题转化为相应函数的最值或范围问题求解，从而避开对参数进行分类争辩的繁琐过程．该种方法也适用于含参方程有解、无解等问题的解决．但要留意该种方法仅适用于分别参数后能够求解相应函数的最值或值域的状况．[例9] 若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值是________．解析：由于x >0，则由已知可得a ≥－x －1x 在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立，而当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x max ＝－52， ∴a ≥－52，故a 的最小值为－52.答案：－52[增分有招] 分别参数法解决不等式恒成立问题或有解问题，关键在于精确分别参数，然后将问题转化为参数与函数最值之间的大小关系．分别参数时要留意参数系数的符号是否会发生变化，假如参数的系数符号为负号，则分别参数时应留意不等号的变化，否则就会导致错解． [技法体验]1．(2022·长沙调研)若函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，518 B ．(－∞，3] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫518，＋∞D ．[3，＋∞)解析：f ′(x )＝3x 2－2tx ＋3，由于f (x )在区间[1,4]上单调递减，则有f ′(x )≤0在[1,4]上恒成立，即3x 2－2tx ＋3≤0在[1,4]上恒成立，则t ≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在[1,4]上恒成立，由于y ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在[1,4]上单调递增，所以t ≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋14＝518，故选C.答案：C2．(2022·湖南五校调研)方程log 12(a －2x)＝2＋x 有解，则a 的最小值为________．解析：若方程log 12(a －2x )＝2＋x 有解，则⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋x ＝a －2x有解，即14⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2x ＝a 有解，∵14⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2x ≥1，故a 的最小值为1. 答案：1 方法十构造法构造法是指利用数学的基本思想，经过认真的观看，深化的思考，构造出解题的数学模型，从而使问题得以解决．构造法的内涵格外丰富，没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础，针对具体问题的特点实行相应的解决方法，其基本的方法是借用一类问题的性质，来争辩另一类问题的相关性质．常见的构造法有构造函数、构造方程、构造图形等． [例10] 已知m ，n ∈(2，e)，且1n 2－1m 2<ln mn，则( )A ．m >nB ．m <nC ．m >2＋1nD ．m ，n 的大小关系不确定解析：由不等式可得1n 2－1m2<ln m －ln n ，即1n 2＋ln n <1m2＋ln m .设f (x )＝1x2＋ln x (x ∈(2，e))，则f ′(x )＝－2x 3＋1x ＝x 2－2x3.由于x ∈(2，e)，所以f ′(x )>0，故函数f (x )在(2，e)上单调递增．由于f (n )<f (m )，所以n <m .故选A. 答案：A[增分有招] 构造法的实质是转化，通过构造函数、方程或图形等将问题转化为对应的问题来解决．如[本例]属于比较两个数值大小的问题，依据数值的特点，构造相应的函数f (x )＝1x2＋ln x .[技法体验]1．a ＝ln 12 014－12 014，b ＝ln 12 015－12 015，c ＝ln 12 016－12 016，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b解析：令f (x )＝ln x －x ，则f ′(x )＝1x －1＝1－xx.当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0，即函数f (x )在(0,1)上是增函数．∵1＞12 014＞12 015＞12 016＞0，∴a ＞b ＞c .答案：A2．如图，已知球O 的面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________．解析：如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以CD ＝22＋22＋22＝2R ，所以R ＝62，故球O 的体积V ＝4πR33＝6π.答案：6π。

2023高考_高考数学选择题蒙题技巧

2023高考数学选择题蒙题技巧2023高考数学选择题蒙题技巧死亡拯救法：“三短一长就选长，三长一短就选短，两长两短就选B，参差不齐C无敌。

一样长选C，一样短选B。

"这是网上的，如果是图像题。

那就蒙B、C吧，几率大一点!1、答案有根号的，不选2、答案有1的，选3、三个答案是正的时候，在正的中选4、有一个是正X，一个是负X的时候，在这两个中选5、题目看起来数字简单，那么答案选复杂的，反之亦然6、上一题选什么，这一题选什么，连续有三个相同的则不适合本条7、答题答得好，全靠眼睛瞟8、以上都不实用的时候选B9、在计算题中，要首先写一答字：然后在答题，即使只有一个答字10、最后一招杀手锏：如果你在选择题上不想地O分的话，建议所有选择题全选A，我就这样的。

培养“蒙感”：这个所谓“蒙感”，就是这蒙题的感觉。

因为不可能一面卷子上你一道题也不会做(当然也有例外)，你也有很大可能有不会做的题。

这时，就要看蒙题的感觉了。

所有考试的人都知道，选择题中选择B、C选项的占绝大多数。

所以遇到不会的题，就往B、C上靠，几率会大一点。

还有，如果你有很多题不会——比如说五道题里你有三道不会，那就要看你平时做题的感觉了。

高考数学快速蒙题技巧1.高考时带一个量角器进考场，因为高考解析几何题一定会有求度数的小题，这时你就可以用量角器测一下，就可以写出最后结论，这是最简单也是最牛的高考数学蒙题技巧。

2.在数学计算题中，要首先写一答字!如果选项是4个数，一般是第二大的是正确选项。

单看选项，一般BD稍多，A较少。

还有一点，选了之后就不要改了，除非你有90以上的把握。

这个经验堪称是史上最牛的'高考数学蒙题技巧。

3.经过历年高考经验总结，高考数学第一题和最后一题一般不会是A!高考数学选择题的答案分布均匀!填空题不会就填0或1!答案有根号的，不选!答案有1的，选!有一个是正X，一个是负X的时候，在这两个中选!题目看起来数字简单，那么答案选复杂的，反之亦然!上一题选什么，这一题选什么，连续有三个相同的则不适合本条!以上都不实用的时候选B!4.数学选择不会时去除最大值与最小值再二选一，老师告诉我们的!高考题百分之八十是这样的。

高考数学中选择题常用解题方法和技巧

，，
一
(x + 2 )
判断如下三个命题的真假
；
：
到准确无误达到事半功倍之效
，
．
命题甲，( z
：
，
+ 2 ) 是偶函数 )在(
；
一
1
．
直接法
，
就是从条件出发通过正确的运算
，，
命题乙，( z
：
o o
，
2)上
是减函数在 ( 2
，
．
：+ 2 n 1
1 2
一
’
“
m
r 、
分 }羊析法
，
通过对题干与四个选项之间
。
【例
3】
( 2 0 0 7 年高考全国卷 I ) 下面给出的
x
-
F亍析利用所学的知识作出符合逻辑分
。
而确定正确结论
．
四个点中到直线
，
y
+ 1
—
0
的距离为华且位
，
，
【例
2】
(200 7 年
高考北京理科卷 ) 对于函数
1 )
；
互交错在解题过程中要采用适当的方法或把几
．
，
① ，( z ) ③ ，( z )
一
lg (
c o s
Iz
一
2
．
I+
② ，( z )
一
(z
一
2 )

高考数学选择题解题方法归纳总结(真题为例)：分类讨论法

高考数学选择题解题方法归纳总结(真题为例)：分类讨论法备战201*高考数学选择题解题方法归纳总结(真题为例)：分类争论法选择题解法归纳总结分类争论法在解答某些问题时，有时会遇到多种状况，需要对各种状况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类争论法。

分类争论是一种规律方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。

有关分类争论思想的数学问题具有明显的规律性、综合性、探究性，能训练人的思维条理性和概括性。

解答分类争论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定争论对象以及所争论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行争论，分级进行，猎取阶段性结果；最终进行归纳，综合得出结论。

对于分类争论法方法的使用，笔者将另文具体解析。

典型例题：例1：已知an为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10【】(A)7(B)5(C)(D)【答案】D。

【考点】等比数列。

【解析】∵an为等比数列，a4a72，a5a6a4a78，∴a44,a72或a42,a74。

由a44,a72得a18,a101，即a1a107；由a42,a74得a11,a108，即a1a107。

故选D。

1)nan＝2n－1，则an的前60项和为【】例2：数列an满意an1＋(－（A）3690（B）3660（C）1845（D）1830【答案】D。

【考点】分类归纳（数字的变化类），数列。

1)nan＝2n－1得，【解析】求出an的通项：由an1＋(－a21a1；a33a2=2；a45a3=7；当n=1时，当n=2时，当n=3时，1a1a当n=4时，a57a4=a1；当n=5时，a69a5=9a1；当n=6时，a711a6=2a1；当n=7时，a713a6=15a1；当n=8时，a815a7=a1；当n=4m+1时，a4m28m1a1；当n=4m+2时，a4m22a1；当n=4m+3时，a4m48m7a1；当n=4m+4时，a4m5a1（m=0,1,2，。

高考数学选择题答题技巧解题套路有哪些

高考数学选择题答题技巧解题套路有哪些在高考时，把握肯定的答题技巧能够帮助同学们更好的答题，节省时间。

以下是我为大家整理的相关内容，以供参考，一起来看看！高考数学选择题答题技巧有哪些1、小题不能大做；2、不要不管选项；3、能定性分析就不要定量计算；4、能特值法就不要常规计算；5、能间接解就不要直接解；6、能排解的先排解缩小选择范围；7、分析计算一半后直接选选项；8、三个相像选相像。

可以利用简便方法进行答题。

数学常考答题套路1、函数或方程或不等式的题目，先直接思索后建立三者的联系。

首先考虑定义域，其次使用“三合肯定理”。

2、假如在方程或是不等式中消失超越式，优先选择数形结合的思想方法。

3、面对含有参数的初等函数来说，在讨论的时候应当抓住参数没有影响到的不变的性质。

如所过的定点，二次函数的对称轴或是.....4、选择与填空中消失不等式的题目，优选特别值法。

5、求参数的取值范围，应当建立关于参数的等式或是不等式，用函数的定义域或是值域或是解不等式完成，在对式子变形的过程中，优先选择分别参数的方法。

6、恒成立问题或是它的反面，能够转化为最值问题，留意二次函数的应用，敏捷使用闭区间上的最值，分类争论的思想，分类争论应当不重复不遗漏。

7、圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成，直线与圆维曲线相交问题，若与弦的中点相关，选择设而不求点差法，与弦的中点无关，选择韦达定理公式法;使用韦达定理必需先考虑是否为二次及根的判别式。

8、求曲线方程的题目，假如知道曲线的外形，则可选择待定系数法，假如不知道曲线的外形，则所用的步骤为建系、设点、列式、化简(留意去掉不符合条件的特别点)。

9、求椭圆或是双曲线的离心率，建立关于a、b、c之间的关系等式即可。

10、三角函数求周期、单调区间或是最值，优先考虑化为一次同角弦函数，然后使用帮助角公式解答;解三角形的题目，重视内角和定理的使用;与向量联系的题目，留意向量角的范围。

11、数列的题目与和相关，优选和通公式，优选作差的方法;留意归纳、猜想之后证明;猜想的方向是两种特别数列;解答的时候留意使用通项公式及前n项和公式，体会方程的思想。

XX广东高考数学单选题解题技巧

XX广东高考数学单项选择题解题技巧单项选择题是高考数学考试中重要的题型之一，也是历年来高考生丢分的重灾区，所以我们要在考前进行强化复习。

下面是的高考数学单项选择题解题技巧，希望对您有所帮助!1.特值检验法：对于具有一般性的数学问题，我们在解题过程中，可以将问题特殊化，利用问题在某一特殊情况下不真，那么它在一般情况下不真这一原理，到达去伪存真的目的。

例：△ABC的三个顶点在椭圆4x2+5y2=6上，其中A、B两点原点O对称，设直线AC的斜率k1，直线BC的斜率k2，那么k1k2的值为A.-5/4B.-4/5C.4/5D.2√5/5解析：因为要求k1k2的值，由题干暗示可知道k1k2的值为定值。

题中没有给定A、B、C三点的具体位置，因为是选择题，我们没有必要去求解，通过简单的画图，就可取最容易计算的值，不妨令A、B分别为椭圆的长轴上的两个顶点，C为椭圆的短轴上的一个顶点，这样直接确认交点，可将问题简单化，由此可得，应选B。

2.极端性原那么：将所要研究的问题向极端状态进行分析，使因果关系变得更加明显，从而到达迅速解决问题的目的。

极端性多数应用在求极值、取值范围、解析几何上面，很多计算步骤繁琐、计算量大的题，一但采用极端性去分析，那么就能瞬间解决问题。

3.剔除法：利用条件和选择支所提供的信息，从四个选项中剔除掉三个错误的答案，从而到达正确选择的目的。

这是一种常用的方法，尤其是答案为定值，或者有数值范围时，取特殊点代入验证即可排除。

4.数形结合法：由题目条件，作出符合题意的图形或图象，借助图形或图象的直观性，经过简单的推理或计算，从而得出答案的方法。

数形结合的好处就是直观，甚至可以用量角尺直接量出结果来。

5.递推归纳法：通过题目条件进行推理，规律，从而归纳出正确答案的方法。

6.顺推破解法：利用数学定理、公式、法那么、定义和题意，通过直接演算推理得出结果的方法。

例：银行方案将某资金给工程M和N投资一年，其中40%的资金给工程M，60%的资金给工程N，工程M能获得10%的年利润，工程N能获得35%的年利润，年终银行必须回笼资金，同时按一定的回扣率支付给储户.为了使银行年利润不小于给M、N总投资的10%而不大于总投资的15%，那么给储户回扣率最小值为()A.5%B.10%C.15%D.20%解析：设共有资金为α，储户回扣率χ，由题意得解出0.1α≤0.1×0.4α+0.35×0.6α-χα≤0.15α解出0.1≤χ≤0.15，故应选B.7.逆推验证法(代答案入题干验证法)：将选择支代入题干进行验证，从而否认错误选择支而得出正确选择支的方法。

高考数学复习：高考题型解法训练(选择题的解法等10个) 人教课标版1最新优选公开课件

考题剖析
又a,b,c为正整数，取c=1，则 a+1＞ba≥b，所以a2≥b2＞4ac=4a a＞4. 从而a≥5，所以b2＞4ac≥20. 又b＜5+1=6，所以b=5，因此a+b+c有最小值为11. 下面可证c≥2时，a≥3，从而b2＞4ac≥24，所以b≥5. 又a+c＞b≥5，所以a+c≥6，所以a+b+c≥11. 综上可得，a+b+c的最小值为11.
［解析］
由|x－1|＜b，
得A={x|1－b＜x＜1+b}；再由|f(x)－3|＜a，得B={x|1－
a 2
＜x＜1+
a 2
}；
所以|x－1|＜b是|f(x)－3|＜a的充分条件A B，结合
数轴得b≤
a 2
［点评］
本题考查不等式的解法、充要条件的判断转化为两个集
合的关系判断，然后利用数轴进行分析，数轴往往用来
［点评］立体几何中的拆线最值问题往往转化到同一个平面上来，要结合立体图形与平面图形思考.
专题二填空题的解法
规律总结
1. 解填空题的一般方法是直接法，除此以外，对于带有一般性命题的填空题，也可采用特例法，和图形、曲线等有关的命题可考虑数形结合法. 解题时，常常需要几种方法综合使用，才能迅速作出正确的结果.
［点评］可以利用图形来判断方程的根的个数.
专题二填空题的解法
考题剖析
11.
定义运算a*b为:a*b=
a(a b (a

b) b)
, 例如，1*2=1,则函数
f(x)=sinx*cosx的值域为________.
［解析］由题意可得函数在一个周期内的表达式. 即：

高考数学选择题方法2.特殊值法

最佳策略．近几年高考选择题中可用或结合特例法解答的约占
30％左右．
例 7【 2009 辽宁高考，理 6】设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn 若 S6 =3 则 S9 = （）（（
S3
S 6
7
8
A. 2
B.
C.
D.3
3
3
【常规解法】由等比数列性质可知
Sn ， S2 n
Sn ， S3n S2n 为等比数列，设 S3
k ，则由 S6 S3
3
可得 S6 3k 然后根据等比数列性质进行求解。
【特值法】采用特值法令 S3 1则 S6
3 根据 Sn ， S2 n Sn ， S3n S2n 为等比数列得 S9
7 ，所以 S9 S6
7 3
例 8【 2012 辽宁高考，理 7】已知 sin -cos = 2, 0, ，则 tan
（）
A． 1
2
B．
2
【常规解法】对等式 sin
cos
2
C．
2
D．1
C
0 n
＋
C
2 n
＋…
＋
C
n n
2
＋
C
n n
＝（
）
（A） 2 n
（B） 2 n 1
（ C） 2 n 2
（D ） (n－ 1)2 n 1
解：（特值法）当
n＝ 2 时，代入得
C
0 2
＋
C
2 2
＝
2，排除答案
A、 C；当 n＝ 4 时，代入得
C
0 4
＋
C
2 4
＋C
4 4
＝
8，
排除答案 D ．所以选 B．

浅析高考选择题的解法

较大，果所有选择题都用直接法解答，但时间不允许，至如不甚
图解法等结合使用是解选择题的常用方法，近几年高考选择题
中约占４％．０
３估算法．
由于选择题提供了唯一正确的选择支，答又无需过程．解因
考研
试题赏析
２１０２年２月
◆
例２
⑩ 苏滨中慧江省海学
为０有下列四个命题：，
匿
（０１年海南理１已知ａｂ为单位向量，夹角２１Ｏ）与均其
ＰＩ＞ｌ口Ｉ１：＋
：
『１０，；
Ｌ３，ｌｊ，
ｌ＞铮 ∈ｆ，１口１＇；柏ｌＴ
：
［ｂ１ｆ］ａＩ甘 ∈０＂；－＞，ＩＴ
ＬｊＪ
：
ｌｂ＞甘 ∈ ＿，１口ｌｆ１．－１＂ｒ＝Ｔｉ－
、３
－二
、
题型精点解读
其中的真命题是（
Ａ．，４ＰＩ尸
用复杂的定量计算；能使用特殊值判断的，就不必采用常规解
法；使用间接法解的，能就不必采用直接法解；于明显可以否对定的选择项应及早排除，以缩小选择的范围；于具有多种解题对
Ａ．６０．Ｂ．．０４Ｃ．３０．
今使 “ 凸轮 ” 轴正向滚动前进，滚动过程中 “ 沿在凸轮 ” 时每每刻都有一个 “ 高点 ”，中心也在不断移动位置，最其则在 “ 轮 ” 凸滚动一周的过程中，其 “ 高点 ” “ 心点 ” 形成的图形按将最和中所上、放置，大致为（下应

高考数学复习：高考题型解法训练(选择题的解法等10个) 人教课标版精品课件

[f(x1)+f(x2)]≥f(
x1 x2 )，主要是通过作差法
2
f(x1)+f(x2)－
2f(
x1 x2 2
)解决的，作差是比较
大小的一种常用方法.
专题四函数解答题的解法
考题剖析
5. （2007·黄冈中学模拟题）已知集合M是满足下列性质的函数f (x)的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有 f (x＋T) =Tf (x)成立.
专题四函数解答题的解法
应试策略
3. 重视函数思想的指导作用. 用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想. 函数思想是函数概念、性质等知识在更高层次上的提炼和概括，是在知识和方法反复学习运用中抽象出来的带有观念性的指导方法. 函数思想的应用：
(1)在求变量范围时，考虑能否把该变量表示为另一变量的函数，从而转化为求该函数的值域；
专题四函数解答题的解法考题剖析
1. （2007·上海模拟题）已知函数f(x)= ax
+
x x

2 1
，a＞1.
（1）证明：函数f(x)在(－1,+∞)上为增函数；
（2）用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.
专题四函数解答题的解法
（1）证明：设－1＜x1＜x2, ∴0＜x1+1＜x2+1,
(2)因为函数f(x)=ax(a＞0且a≠1)的图象与函数y=x的图象有公共点，所以方程组：y a x 有解，消去y得 y x ax=x，显然x=0 不是方程ax=x的解，所以存在非零常数 T, 使aT=T.于是对于f(x)=ax有f(x+T)=ax+T=aT·ax=T·ax=Tf(x)
专题四函数解答题的解法考题剖析

高考数学选择题答题技巧总结

2019高考数学选择题答题技巧总结选择题从难度上讲是比其他类型题目降低了，但学问覆盖面广，要求解题娴熟、精确、敏捷、快速。

选择题的解题思想，渊源于选择题与常规题的联系和区分。

它在肯定程度上还保留着常规题的某些痕迹。

而另一方面，选择题在结构上具有自己的特点，即至少有一个答案(若一元选择题则只有一个答案)是正确的或合适的。

因此可充分利用题目供应的信息，解除迷惑支的干扰，正确、合理、快速地从选择支中选出正确支。

选择题中的错误支具有两重性，既有干扰的一面，也有可利用的一面，只有通过仔细的视察、分析和思索才能揭露其潜在的示意作用，从而从反面供应信息，快速作出推断。

由于我多年从事高考试题的探讨，尤其对选择题我有自己的一套考试技术，我知道无论是什么科目的选择题，都有它固有的漏洞和详细的解决方法，我把它总结为：6大漏洞、8大法则。

“6大漏洞”是指：有且只有一个正确答案;不问过程只问结果;题目有示意;答案有示意;错误答案有严格标准;正确答案有严格标准;“8大原则”是指：选项唯一原则;范围最大原则;定量转定性原则;选项对比原则;题目示意原则;选择项示意原则;客观接受原则;语言的精确度原则。

经过我的培训，许多的学生的选择题甚至1分都不丢。

下面是一些实例：1.特值检验法：对于具有一般性的数学问题，我们在解题过程中，可以将问题特别化，利用问题在某一特别状况下不真，则它在一般状况下不真这一原理，达到去伪存真的目的。

2.极端性原则：将所要探讨的问题向极端状态进行分析，使因果关系变得更加明显，从而达到快速解决问题的目的。

极端性多数应用在求极值、取值范围、解析几何上面，许多计算步骤繁琐、计算量大的题，一但采纳极端性去分析，那么就能瞬间解决问题。

3.剔除法：利用已知条件和选择支所供应的信息，从四个选项中剔除掉三个错误的答案，从而达到正确选择的目的。

这是一种常用的方法，尤其是答案为定值，或者有数值范围时，取特别点代入验证即可解除。

4.数形结合法：由题目条件，作出符合题意的图形或图象，借助图形或图象的直观性，经过简洁的推理或计算，从而得出答案的方法。

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专题十二探索性问题的解法
考题剖析
4.（2007·山东省泰安市第一次考试）如图，在四棱锥
P— ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，
PA=AD，AB= 2AD，E是线段PD上的点，F是线段
AB上的点，且
PE ED

BF FA
=λ(λ＞0).
（Ⅰ）判断EF与平面PBC的关系，并证明；
（Ⅱ）当λ=1时，证明DF⊥平面PAC；
am
1 an
==aam1m－(aamn－+ na－1m 1－)(aa1mn+n=－an1(a) m－n－1)－a 1m (am－n－1) 若a＞1，则由m＞n＞0 am-n＞0,am+n＞0
不等式成立；
若0＜a＜1，则由m＞n＞0 0＜am－n＜1, 0＜am+n＜1
不等式成立
专题十二探索性问题的解法
专题十二探索性问题的解法
考题剖析
则

x y
x0 2 y0 2
1 3
得
x0 2 x

y
0

6
y
∵f(x0)=
x
3 0
+3 x
2 0
+x0+2
=(－2－x)3+3(－2－x)2+(－2－x)+2
=－(8+12x+6x2+x3)+3(4+4x+x2)－x
你对数列{an}的k方数列进行研究,写出一个不是常数数列 {an}的k方数列关于S（k，n）的恒等式, 并给出证明过程.
专题十二探索性问题的解法
考题剖析
［解析］
（1）S（1，2）=a1+a2,S(3,2)=a