误差理论及测量平差基础第七章
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n1 nt t1 n1
BT PV 0
BT PBxˆ BT Pl 0
N BB BT PB,
tt
W BT Pl t1
NBB xˆ W 0
法方程！
xˆ (BT PB)1 BT Pl V Bxˆ l
Xˆ X 0 xˆ Lˆ L V
§7.1 间接平差原理
§7.1 间接平差原理
第一步：列误差方程 观 测 方 程
316 10 25.6
三、测边网函数模型
Xˆ D YˆD
X D0 和YD0
三、测边网函数模型
四、拟合函数模型
圆曲线参数方程以平差值表示为： 将上式线性化，得误差方程为： 式中
四、拟合函数模型
2.多项式拟合模型
式中 未知参数为 则其误差方程为
为常数
观测方程
五、坐标转换函数模型
上式变为
误差方程！
ˆ jk Yˆj
0
X
0 jk
S0 2 jk
,
ˆ jk Xˆ k
0
Y
0 jk
S0 2 jk
,
ˆ jk Yk
0
X
0 jk
S0 2 jk
二、测角网函数模型
jk
Y
0 jk
S0 2 jk
xˆ j
X
0 jk
S0 2 jk
yˆ j
Y
0 jk
S0 2 jk
xˆk
X
0 jk
S0 2 jk
yˆk
" jk
"
sin
0 jk
S
0 jk
xˆ j
"
c
os
0 jk
S
0 jk
yˆ j
"
sin
0 jk
S
0 jk
xˆk
"
cos
0 jk
S
0 jk
yˆ k
Li vi ˆ jk ˆ jh
αˆ jk
α
0 jk
δα'j'k；αˆ jh
α
0 jh
δα
'' jh
ˆ jh h
li
Li
(
0 jk
n1 n1 n1
V B xˆ l (l L (BX 0 d ) L L0 )
n1 nt t1 n1
观测方程
误差方程 — n个 V 和 t个 xˆ共 n t个 未 知 数
V T PV min
V T PV 2V T P V V T PB 0
xˆ
xˆ
BT PV 0
基础方程
V B xˆ l
第七章 间接平差
§7.0 概述 §7.1 间接平差原理 §7.2 误差方程 §7.3 精度评定 §7.4 间接平差公式汇编
和水准网平差示例
第七章 间接平差
§7-5 间接平差特例——直接平差 §7-8 导线网间接平差 §7-9 GPS网平差 §7-10 七参数坐标转换模型平差
§7.0 概 述
间接平差的函数模型
QLLˆ QXˆLˆ
QVLˆ QLˆLˆ
L
或
Z
Xˆ
：V
Lˆ
§7.3 精度评定
因为：l L (BX 0 d ) 所以：Qll QLL Q
间接平差基本向量的关系式为：
L l L0
xˆ
N
1 BB
B
T
pl
V
Bxˆ l
(
B
N
1 BB
0 jh
)
Li
L0i
最后得到：vi
δα
'' jk
δα
'' jh
li
注意：δα"jk
δαk"j；δα
" jh
δαh"j
j
k Li
ˆ jk
三、测边网函数模型
测边网坐标平差的误差方程:
Xˆ j
X
0 j
xˆ j ,
Yˆj
Y
0 j
yˆ j；Xˆ k
X
0 k
xˆk ,
Yˆk Yk0 yˆk .
Lˆi Li vi ( Xˆ k Xˆ j )2 (Yˆk Yˆj )2
一、测方向三角网函数模型 二、测角网函数模型 三、测边网函数模型 四、拟合函数模型 五、坐标转换函数模型
一、测方向三角网函数模型
0
由图7-2可得： 观测方程
误差方程
按泰勒级数展开取至一次项，得：
一、测方向三角网函数模型
令：
式中：
一、测方向三角网函数模型
所以：
或： 令： 则：
一、测方向三角网函数模型
§7.1 间接平差原理
令:
则: 第二步：组成法方程
误差方程!
法方程：
即
§7.1 间接平差原理
法方程：
第三步：解算法方程 第四步：计算改正数 第五步：计算平差值
第六步：检核
§7.1 间接平差原理
lˆ
41
观
测
图5-3
方
程
误 差 方 程
组成法方程
§7.1 间接平差原理
解算
§7.2 误差方程 — 间接平差函数模型
——观测方程！
令：
三、测边网函数模型
三、测边网函数模型
表7-7
点名
A B C A
已知数据
坐 标（m）
X
Y
2692.201 5203.153
2092.765 5132.304
2210.593 5665.422
ຫໍສະໝຸດ Baidu
边长 S m
603.608 545.984 667.562
186 44 26.4 77 32 13.3
若做条件平差，有
令
—— 观测方程
§7.0 概 述
则有
则 —— 观测方程
§7.0 概 述
间接平差 数学模型
函数模型 随机模型
平差准则
间接平差法是：
观测方程! 误差方程!
5.评定精度。
§7.1 间接平差原理
Lˆ B Xˆ d
n1 nt t1 n1
Xˆ X 0 xˆ
t1 t1 t1
Lˆ LV
将
代入
0 中得
特点分析
1.每测站仅有一个定向角，且其系数为-1； 2.两点坐标前系数对应相等，符号相反； 3.已知点前系数为零；
二、测角网函数模型
测角网坐标平差的误差方程:
ˆ jk arctan
Yk0 yˆk
X
0 k
xˆk
Y
0 j
yˆ j
X
0 j
xˆ j
ˆ jk
arctan
Yk0
X
0 k
§7.3 精度评定
随机模型：
D
ˆ
2 0
Q
ˆ
2 0
P
1
一、单位权方差的估值公式
ˆ
2 0
V T PV r
V T PV nt
σˆ0
V T PV nt
V T PV (Bxˆ l)T PV xˆT BT PV l T PV
V T PV 的简便算法：
BT PV 0
V T PV l T P(Bxˆ l) l T Pl l T PBxˆ
l T PB (BT Pl )T
V T PV l T Pl (BT Pl)T xˆ l T Pl W T xˆ 二、协因数阵的计算
已知：QLL Q 令：Z T LT Xˆ T V T LˆT
QLL
则：QZZ
QXˆL QQVLˆLL
QLXˆ QXˆXˆ QVXˆ QLˆXˆ
QLV QXˆV QVV QLˆV
Yj0
X
0 j
ˆ jk Xˆ j
0
xˆ j
ˆ jk Yˆj
0
yˆ j
ˆ jk Xˆ k
0
xˆk
ˆ jk Yˆk
0
yˆk
jk
ˆ Xˆ
jk j
xˆ j
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ˆ jk Yˆk
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h
j
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ˆ jk
BT PV 0
BT PBxˆ BT Pl 0
N BB BT PB,
tt
W BT Pl t1
NBB xˆ W 0
法方程！
xˆ (BT PB)1 BT Pl V Bxˆ l
Xˆ X 0 xˆ Lˆ L V
§7.1 间接平差原理
§7.1 间接平差原理
第一步：列误差方程 观 测 方 程
316 10 25.6
三、测边网函数模型
Xˆ D YˆD
X D0 和YD0
三、测边网函数模型
四、拟合函数模型
圆曲线参数方程以平差值表示为： 将上式线性化，得误差方程为： 式中
四、拟合函数模型
2.多项式拟合模型
式中 未知参数为 则其误差方程为
为常数
观测方程
五、坐标转换函数模型
上式变为
误差方程！
ˆ jk Yˆj
0
X
0 jk
S0 2 jk
,
ˆ jk Xˆ k
0
Y
0 jk
S0 2 jk
,
ˆ jk Yk
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0 jk
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二、测角网函数模型
jk
Y
0 jk
S0 2 jk
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X
0 jk
S0 2 jk
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n1 n1 n1
V B xˆ l (l L (BX 0 d ) L L0 )
n1 nt t1 n1
观测方程
误差方程 — n个 V 和 t个 xˆ共 n t个 未 知 数
V T PV min
V T PV 2V T P V V T PB 0
xˆ
xˆ
BT PV 0
基础方程
V B xˆ l
第七章 间接平差
§7.0 概述 §7.1 间接平差原理 §7.2 误差方程 §7.3 精度评定 §7.4 间接平差公式汇编
和水准网平差示例
第七章 间接平差
§7-5 间接平差特例——直接平差 §7-8 导线网间接平差 §7-9 GPS网平差 §7-10 七参数坐标转换模型平差
§7.0 概 述
间接平差的函数模型
QLLˆ QXˆLˆ
QVLˆ QLˆLˆ
L
或
Z
Xˆ
：V
Lˆ
§7.3 精度评定
因为：l L (BX 0 d ) 所以：Qll QLL Q
间接平差基本向量的关系式为：
L l L0
xˆ
N
1 BB
B
T
pl
V
Bxˆ l
(
B
N
1 BB
0 jh
)
Li
L0i
最后得到：vi
δα
'' jk
δα
'' jh
li
注意：δα"jk
δαk"j；δα
" jh
δαh"j
j
k Li
ˆ jk
三、测边网函数模型
测边网坐标平差的误差方程:
Xˆ j
X
0 j
xˆ j ,
Yˆj
Y
0 j
yˆ j；Xˆ k
X
0 k
xˆk ,
Yˆk Yk0 yˆk .
Lˆi Li vi ( Xˆ k Xˆ j )2 (Yˆk Yˆj )2
一、测方向三角网函数模型 二、测角网函数模型 三、测边网函数模型 四、拟合函数模型 五、坐标转换函数模型
一、测方向三角网函数模型
0
由图7-2可得： 观测方程
误差方程
按泰勒级数展开取至一次项，得：
一、测方向三角网函数模型
令：
式中：
一、测方向三角网函数模型
所以：
或： 令： 则：
一、测方向三角网函数模型
§7.1 间接平差原理
令:
则: 第二步：组成法方程
误差方程!
法方程：
即
§7.1 间接平差原理
法方程：
第三步：解算法方程 第四步：计算改正数 第五步：计算平差值
第六步：检核
§7.1 间接平差原理
lˆ
41
观
测
图5-3
方
程
误 差 方 程
组成法方程
§7.1 间接平差原理
解算
§7.2 误差方程 — 间接平差函数模型
——观测方程！
令：
三、测边网函数模型
三、测边网函数模型
表7-7
点名
A B C A
已知数据
坐 标（m）
X
Y
2692.201 5203.153
2092.765 5132.304
2210.593 5665.422
ຫໍສະໝຸດ Baidu
边长 S m
603.608 545.984 667.562
186 44 26.4 77 32 13.3
若做条件平差，有
令
—— 观测方程
§7.0 概 述
则有
则 —— 观测方程
§7.0 概 述
间接平差 数学模型
函数模型 随机模型
平差准则
间接平差法是：
观测方程! 误差方程!
5.评定精度。
§7.1 间接平差原理
Lˆ B Xˆ d
n1 nt t1 n1
Xˆ X 0 xˆ
t1 t1 t1
Lˆ LV
将
代入
0 中得
特点分析
1.每测站仅有一个定向角，且其系数为-1； 2.两点坐标前系数对应相等，符号相反； 3.已知点前系数为零；
二、测角网函数模型
测角网坐标平差的误差方程:
ˆ jk arctan
Yk0 yˆk
X
0 k
xˆk
Y
0 j
yˆ j
X
0 j
xˆ j
ˆ jk
arctan
Yk0
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0 k
§7.3 精度评定
随机模型：
D
ˆ
2 0
Q
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2 0
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1
一、单位权方差的估值公式
ˆ
2 0
V T PV r
V T PV nt
σˆ0
V T PV nt
V T PV (Bxˆ l)T PV xˆT BT PV l T PV
V T PV 的简便算法：
BT PV 0
V T PV l T P(Bxˆ l) l T Pl l T PBxˆ
l T PB (BT Pl )T
V T PV l T Pl (BT Pl)T xˆ l T Pl W T xˆ 二、协因数阵的计算
已知：QLL Q 令：Z T LT Xˆ T V T LˆT
QLL
则：QZZ
QXˆL QQVLˆLL
QLXˆ QXˆXˆ QVXˆ QLˆXˆ
QLV QXˆV QVV QLˆV
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