结构有限元练习题
有限单元法考试题及答案
有限单元法考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 有限元法中，单元刚度矩阵的计算是基于（）。
A. 位移法B. 势能原理C. 能量守恒定律D. 牛顿第二定律答案：B2. 在有限元分析中，以下哪项不是网格划分时需要考虑的因素？（）A. 网格数量B. 网格形状C. 材料属性D. 边界条件答案：C3. 有限元分析中，以下哪项不是结构分析的基本步骤？（）A. 离散化B. 求解C. 后处理D. 优化设计答案：D4. 在有限元分析中，以下哪种类型的单元不适用于平面应力问题？（）A. 三角形单元B. 四边形单元C. 六面体单元D. 楔形单元答案：C5. 有限元分析中，以下哪种边界条件不属于几何边界条件？（）A. 固定支座B. 压力C. 温度D. 位移答案：C二、多项选择题（每题3分，共15分）6. 有限元法中，以下哪些因素会影响单元的精度？（）A. 单元形状B. 单元数量C. 材料属性D. 网格划分答案：ABD7. 在有限元分析中，以下哪些是常见的数值积分方法？（）A. 一阶积分B. 二阶积分C. 高斯积分D. 牛顿-莱布尼茨积分答案：ABC8. 有限元分析中，以下哪些是常见的单元类型？（）A. 线性单元B. 二次单元C. 三次单元D. 非线性单元答案：ABCD9. 在有限元分析中，以下哪些是常见的后处理技术？（）A. 应力云图B. 位移云图C. 模态分析D. 热分析答案：ABC10. 有限元分析中，以下哪些是常见的非线性问题？（）A. 几何非线性B. 材料非线性C. 接触非线性D. 热应力问题答案：ABCD三、填空题（每题2分，共20分）11. 有限元法中，单元刚度矩阵的计算通常基于___________原理。
答案：势能12. 在有限元分析中，网格划分的目的是将连续的___________离散化为有限数量的单元。
答案：域13. 有限元分析中，___________是将实际问题转化为数学问题的关键步骤。
有限元的考试试的题目及问题详解——第一组
有限元考试试题与答案一、简答题〔5道，共计25分〕。
1.有限单元位移法求解弹性力学问题的根本步骤有哪些？〔5分〕答：〔1〕选择适当的单元类型将弹性体离散化；〔2〕建立单元体的位移插值函数；〔3〕推导单元刚度矩阵；〔4〕将单元刚度矩阵组装成整体刚度矩阵；〔5〕代入边界条件和求解。
2.在划分网格数一样的情况下，为八节点四边形等参数单元精度大于四边形矩形单元？〔5分〕答：在对于曲线边界的边界单元，其边界为曲边，八节点四边形等参数单元边上三个节点所确定的抛物线来代替原来的曲线，显然拟合效果比四边形矩形单元的直边好。
3.轴对称单元与平面单元有哪些区别？〔5分〕答：轴对称单元是三角形或四边形截面的空间的环形单元，平面单元是三角形或四边形平面单元；轴对称单元内任意一点有四个应变分量，平面单元内任意一点非零独立应变分量有三个。
4.有限元空间问题有哪些特征？〔5分〕答：〔1〕单元为块体形状。
常用单元：四面体单元、长方体单元、直边六面体单元、曲边六面体单元、轴对称单元。
〔2〕结点位移3个分量。
〔3〕根本方程比平面问题多。
3个平衡方程，6个几何方程，6个物理方程。
5.简述四节点四边形等参数单元的平面问题分析过程。
〔5〕分〕答：〔1〕通过整体坐标系和局部坐标系的映射关系得到四节点四边形等参单元的母单元，并选取单元的唯一模式；〔2〕通过坐标变换和等参元确定平面四节点四边形等参数单元的几何形状和位移模式；〔3〕将四节点四边形等参数单元的位移模式代入平面问题的几何方程，得到单元应变分量的计算式，再将单元应变代入平面问题的物理方程，得到平面四节点等参数单元的应力矩阵；〔4〕用虚功原理求得单元刚度矩阵，最后用高斯积分法计算完成。
二、论述题〔3道,共计30分〕。
1. 简述四节点四边形等参数单元的平面问题分析过程。
〔10分〕答：〔1〕通过整体坐标系和局部坐标系的映射关系得到四节点四边形等参单元的母单元，并选取单元的唯一模式；〔2〕通过坐标变换和等参元确定平面四节点四边形等参数单元的几何形状和位移模式；〔3〕将四节点四边形等参数单元的位移模式代入平面问题的几何方程，得到单元应变分量的计算式，再将单元应变代入平面问题的物理方程，得到平面四节点等参数单元的应力矩阵；〔4〕用虚功原理求得单元刚度矩阵，最后用高斯积分法计算完成。
有限元库题2022
有限元库题2021有限元试题（2021）问答题1、简述有限元的基本思想及其基本步骤。
2、有限元分析在汽车结构上的应用主要体现哪些方面？3、阐述汽车结构有限元分析的内容。
4、阐述汽车结构有限元分析的流程。
5、有限元分析的基本流程是什么？6、什么是平面问题？有哪些类型及各种类型特点？7、在分析平面问题划分单元时，应注意什么？8、在进行有限元分析时，位移函数应满足哪些条件？ 9、在进行有限元分析时，单元刚度矩阵具有哪些性质？ 10、在进行有限元分析时，总刚度矩阵具有哪些性质？11、根据平问题有限元法基本理论，其主要分析步骤有哪些？ 12、什么杆系结构？杆系单元有哪些特点？13、在小挠度弹性薄板变曲理论中，有哪些基本假设？ 14、什么是结构动力问题？有哪些类型？15、在选择有限元分析软件时，应考虑哪些因素？16、从解决工程实际问题的角度来看，结构强度分析的内容有哪些？ 17、有限元分析的数据前处理工作包括哪些方面？18、在使用有限元软件时，划分网格时应注意哪些问题？ 19、什么绝对位移约束？其包括几种类型？ 20、什么是自由度耦合？其有哪些用途？ 21、简述有限元分析的数据后理处过程。
22、在进行有限元分析时，选择建立汽车有限元计算模型要考虑哪些问题？23、在汽车结构分析时，制定分析方案的主要步骤有哪些？ 24、简述使用ANSYS 软件进行有限元分析的基本流程。
25、ANSYS软件的前处理主要完成有限元分析中的哪些内容？ 26、ANSYS软件的后处理主要完成有限元分析中的哪些内容？ 27、ANSYS软件在进行网格划分时应注意哪些问题？计算题1、如下图所示1D杆结构，设杆截面积为A，弹性模量为E，应用取微单元体的方法推导基本方程和边界条件。
2、设平面问题中的应力为?x?a1?a2x?a3y?y?a4?a5x?a6y ?xy?a7?a8x?a9y其中ai?i?1.2?9?为常数，设所有体积力为零，证明下列条件是否满足平衡？并求出满足平衡条件时ai之间关系。
西工大结构有限元习题库.
1 约束反
力。
（3） 如果 Q2=0，Q3=P，其他条件不变，试根据问题（ 2）的解答和有关力学概念直接给出节点 2、
3 的位移。
6. 图示杆 - 弹簧系统，材料弹性模量为 E。试列出其有限元平衡方程，并进行约束处理。
4
7. 如图所示一维杆系由两个材料相同截面不同的直杆单元（
1）与（ 2）组成，弹性模量 E，节点 1， 3
P
2
1
3x
24．平面桁架如图所示， E 2 106 kg/cm2 ， A 1.0cm 2 。求节点位移和单元内力，并利用节点
1的
9
平衡检验计算结果。
y 2
30cm
3
P 100kg
40cm
1x
25．下图中结构分别采用（ b）、（ c）两种编节点号方式，分别求其刚度矩阵带宽。
9
3
4
5
6
7
6
8
5
2
53
4
30. 对图示平面问题，考虑到对称性，试用图形表示出其有限元模型，要求： （1）划分单元，单元数目适当； （2）给出节点编号方案； （3）标出节点载荷和位移约束。
31．根据单元刚度矩阵元素的物理意义求弹簧单元和杆单元的刚度矩阵。
32. 通过对节点位移插值建立三节点三角形单元的位移模式和形函数。
33. 用虚功原理推导出三节点三角形单元刚度方程。
2
3
4
1
1
6
1
2
( a)
( b)
( c)
26．教材 P20 练习题 1-9 中，求下列 2 种情况下节点位移、节点 1 约束反力。
（ 1）节点 1 位移为 0， Q2= Q3=P （ 2）节点 1 位移为 0，Q2= Q3=0，整个杆受到沿轴线的均匀线分布力 q，方向向右。 27．根据材料力学知识和单元刚度矩阵物理意义推导出简单梁单元刚度矩阵的第三列和第四列元素。
有限元试题及答案
有限元试题及答案一、选择题1.有限元分析是一种利用计算机数值方法进行结构分析的方法，下面哪个说法是正确的？A. 有限元分析对结构的约束条件没有要求B. 有限元分析只适用于静力分析C. 有限元分析可以用来研究结构的动力响应D. 有限元分析的计算结果一定是精确的答案：C2.有限元法的基本步骤包括以下几个环节：I. 离散化II. 单元划分III. 节点连接IV. 计算材料性质V. 施加边界条件VI. 构建刚度矩阵和载荷向量VII. 求解节点位移和应力VIII. 后处理与结果分析请问选择项中正确的顺序是：A. IV – I – II – III – V – VI – VII – VIIIB. I – II – III – IV – V – VI – VII – VIIIC. II – III – V – IV – VI – I – VII – VIIID. I – III – II – IV – V – VI – VII – VIII答案：B3.在有限元分析中，单元是指将结构划分为有限个小单元来近似表示结构的方法。
下面哪个选项给出了常用的结构单元类型？A. 三角形单元，四面体单元，六面体单元B. 矩形单元，六面体单元，圆形单元C. 圆形单元，矩形单元，六面体单元D. 四面体单元，矩形单元，三角形单元答案：D二、填空题1.有限元分析中，刚度矩阵的计算需要根据单元的_________和材料的_________计算得到。
答案：几何形状，物理性质2.有限元法最常用的数学插值函数是_________函数。
答案：形函数3.在有限元分析中，自由度是指结构中的每个_________未知量。
答案：位移三、计算题1.给定如图所示的二维结构，使用有限元法进行分析。
假设结构材料为线性弹性材料，其杨氏模量为200 GPa，泊松比为0.3。
结构整体尺寸为5m x 3m，单元尺寸为1m x 1m。
分析载荷为2000 N，施加在结构的中心节点上。
有限元考试试卷
有限元考试试卷1． 对图1所示的人字形屋架进行静力分析。
左边端点是固定铰链支座，右端是滑动铰链支座，在上面的3个点作用向下的集中力N F 1000=，结构的几何尺寸和便捷条件如图所示，各杆的截面面积均为201.0m ，弹性模量为Pa 1110*07.2，泊松比为0.3，分析该屋架在3个集中力作用下的变形。
要求：选用LINK1单元，每个杆件划分为1个单元，结果文件保存为：truss1.db2． 图2所示桁架，左边端点是固定铰链支座，右边端点是滑动铰链支座，结构的几何尺寸和边界条件如图所示，各杆的截面面积均为202.0m ，弹性模量为Pa 1110*07.2，泊松比为0.3，分析桁架在2个集中力作用下的变形。
要求：选用LINK1单元，每个杆件划分为1个单元，结果文件保存为：truss2.db3． 计算图3所示梁受力后的变形。
弹性模量为Pa 1110*1.2，泊松比为0.3，梁长为m 4，梁的横截面积为m m 04.0*04.0的正方形截面，分布力m N q /05.0=。
图2 桁架示意图 2m图1 人字形屋架示意图要求：选用BEAM3单元，该梁整个划分20个单元，结果文件保存的文件名为：beam1.db4． 如图4所示的一个梁，该梁受到0～15Pa 的分布力，计算该梁在承受力后的变形。
弹性模量为Pa 1110*1.2，泊松比为0.3，梁长为1m ，梁的横截面积为m m 02.0*02.0的正方形截面。
要求：选用BEAM3单元，该梁整个划分5个单元，结果文件保存的文件名为：beam2.db5． 如图5所示的一空心平板，一端固定，另一端受两个集中力作用，平板为铝材，厚度为1cm ，弹性模量为GPa 80，泊松比为0.33。
求平板受力后的变形和应力分布。
要求：选用PLANE82单元，单元尺寸设置为5mm ，结果文件保存的文件名为：plane1.db图5 平板示意图图4 梁示意图图3 梁示意图6． 如图6所示的一空心平板，一端固定，另一端受0～20Pa 的分布力，平板材料为铝材，厚度为1mm ，弹性模量为GPa 80，泊松比为0.33。
有限元考试题库及答案
有限元考试题库及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 有限元法中，单元刚度矩阵的计算是基于（）。
A. 材料力学B. 结构力学C. 弹性力学D. 流体力学答案：C2. 在有限元分析中，边界条件不包括以下哪一项？（）A. 位移边界条件B. 载荷边界条件C. 温度边界条件D. 速度边界条件答案：D3. 有限元分析中，以下哪种类型的单元是二维的？（）A. 杆单元B. 梁单元C. 壳单元D. 体单元答案：C4. 有限元分析中，以下哪种类型的网格划分方法适用于复杂几何形状？（）A. 结构化网格B. 非结构化网格C. 规则网格D. 混合网格答案：B5. 在有限元分析中，以下哪种方法用于求解线性方程组？（）A. 高斯消元法B. 牛顿迭代法C. 有限差分法D. 有限体积法答案：A二、多项选择题（每题3分，共15分）6. 有限元分析中，以下哪些因素会影响网格划分的质量？（）A. 网格大小B. 网格形状C. 网格数量D. 网格排列答案：ABCD7. 在有限元分析中，以下哪些是常见的单元类型？（）A. 三角形单元B. 四边形单元C. 六面体单元D. 楔形单元答案：ABCD8. 有限元分析中，以下哪些是常见的边界条件？（）A. 固定边界B. 自由边界C. 压力边界D. 位移边界答案：ACD9. 在有限元分析中，以下哪些是常见的求解器类型？（）A. 直接求解器B. 迭代求解器C. 混合求解器D. 并行求解器答案：ABD10. 有限元分析中，以下哪些是常见的后处理技术？（）A. 应力云图B. 位移云图C. 模态分析D. 频率响应分析答案：ABCD三、简答题（每题5分，共20分）11. 简述有限元分析中网格划分的基本原则。
答案：有限元分析中网格划分的基本原则包括：确保网格的几何形状规则、避免过度扭曲的单元、保持网格大小的一致性、在应力集中区域细化网格、以及考虑分析的精度和计算成本。
12. 描述有限元分析中单元刚度矩阵的物理意义。
有限元考试试题
有限元考试试题有限元考试试题在工程学领域中，有限元分析是一种常用的数值计算方法，用于解决结构力学、热传导、流体力学等问题。
有限元方法的应用广泛，因此在相关领域中的考试中，有限元试题是非常重要的一部分。
本文将探讨一些有限元考试试题，以帮助读者更好地理解和应用这一方法。
1. 问题描述：一根长度为L的杆件，两端固定，如何确定杆件上各个位置的位移？解答：这是一个典型的弹性力学问题，可以通过有限元方法进行求解。
首先，将杆件分割成若干个小单元，每个小单元内部的位移近似为线性。
然后，根据杆件的边界条件，建立相应的刚度矩阵和载荷向量。
最后，通过求解线性方程组，得到杆件上各个位置的位移。
2. 问题描述：如何确定一个结构的应力分布情况？解答：有限元分析可以用来计算结构的应力分布情况。
首先，将结构分割成若干个小单元，每个小单元内部的应力近似为线性。
然后，根据结构的边界条件和加载情况，建立相应的刚度矩阵和载荷向量。
最后，通过求解线性方程组，得到结构上各个位置的应力分布情况。
3. 问题描述：如何确定一个结构的固有频率？解答：固有频率是指结构在没有外界激励下自由振动的频率。
有限元分析可以用来计算结构的固有频率。
首先，将结构分割成若干个小单元，每个小单元内部的位移近似为线性。
然后，根据结构的边界条件，建立相应的刚度矩阵和质量矩阵。
最后，通过求解特征值问题，得到结构的固有频率和相应的振型。
4. 问题描述：如何考虑非线性材料的影响？解答：有限元分析可以考虑非线性材料的影响。
在材料的应力-应变关系中，通常存在非线性现象，如材料的屈服、硬化、蠕变等。
为了考虑这些非线性现象，可以采用增量形式的有限元分析方法。
在每个增量步骤中，根据当前应力状态和材料的非线性特性，更新刚度矩阵和载荷向量。
通过迭代求解，可以得到结构的非线性响应。
5. 问题描述：如何考虑流体结构耦合问题？解答：有限元分析可以考虑流体结构耦合问题。
在流体结构耦合问题中，结构的变形会影响流体的流动，而流体的流动又会对结构施加载荷。
有限元法基础习题答案
有限元法基础习题答案有限元法是一种常用的工程分析方法，广泛应用于结构力学、热传导、流体力学等领域。
它通过将复杂的物理问题离散化为一系列简单的子问题，并利用数值方法求解这些子问题，从而得到整体问题的近似解。
在学习有限元法的过程中，习题是必不可少的一环。
本文将给出一些有限元法基础习题的答案，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一方法。
习题一：一维线性弹性力学问题考虑一根长度为L的弹性杆，杆的截面积为A，杨氏模量为E。
在杆的一端施加一个沿杆轴向的拉力F，另一端固定。
假设杆轴向变形u(x)满足以下方程：EAu''(x) = -F，0 < x < Lu(0) = 0, u(L) = 0其中，u''(x)表示u(x)对x的二阶导数。
解答：根据上述方程，我们可以得到杆的位移函数u(x)的表达式。
首先，对方程两边进行积分，得到：EAu'(x) = -Fx + C1其中，C1为积分常数。
再次对方程两边进行积分，得到：EAu(x) = -F/2*x^2 + C1*x + C2其中，C2为积分常数。
根据边界条件u(0) = 0，可得C2 = 0。
代入边界条件u(L) = 0，可得：EAu(L) = -F/2*L^2 + C1*L = 0由此可得C1 = F/2*L。
将C1代入上式，可得：EAu(x) = -F/2*x^2 + F/2*L*x最终得到杆的位移函数u(x)的表达式为：u(x) = (-F/2*E)*(x^2 - L*x)，0 < x < L习题二：二维平面弹性力学问题考虑一个正方形薄板，边长为L，板的厚度为h。
假设薄板的杨氏模量为E，泊松比为ν。
在薄板的一侧施加一个沿法向的均匀表面压力P，另一侧固定。
求薄板的位移和应力分布。
解答：根据平面弹性力学理论，我们可以得到薄板的位移和应力分布。
首先，根据杨氏模量E、泊松比ν和薄板的厚度h，可以计算出薄板的弹性模量D：D = E*h^3 / (12*(1-ν^2))接下来，根据薄板的边界条件和平衡方程，可以得到薄板的位移和应力分布。
有限元试题及答案[1]
![有限元试题及答案[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/fd06db80f524ccbff1218440.png)
∴ 又因
证明3、如图所示纯弯梁
梁的厚度很薄，外载沿厚度方向无变化，其中性层为y层，梁长为， 弹性模量为E，基本变量为：
位移（对中性层） 应力（为主应力，其方向很小，不考虑） 应变（为主要应变，中性层取微段莱推导三大方程）
解：根据力得平衡方程（体积力为零时） 知 上两个等式成立，即平衡方程成立，即此情况满足平衡条件。 其边界应力，
， ，
作图如下： 故边界下应力如图2.2所示：
其边界得剪应力如图2.3所示：
四、如图所示 已知，，（平面应力问题）
求：（1）斜面上应力，的表达式 （2）最大主应力，最小主应力及此时斜面的方向余弦。
衡。 （2） 当时，、并不一定为零，此情况下平衡方程并不一定成立，
故此情况下不满足平衡，只有在时，才满足平衡。 （3） 当时，平衡方程成立，故此情况下满足平衡。 （4） 所有均为非零时，只有当，时，平衡方程才成立，才能够满
足平衡，否则不平衡。 三、下列应力分布是否满足平衡条件（体积力为零），（2D平面应力问 题），描述就如图所示平面结构，该应力函数所表示时得边界应力。
解之知 所以： 所以，其形态函数矩阵 又因 所以几何矩阵 又 所以其应力矩阵 单元的势能为： 其刚度矩阵为： 十五、如图所示，为一由两根杆组成的结构（二杆分别沿X,Y）方向， 结构参数 试写成下列FEM分析
（1） 写出各单元的刚度矩阵 （2） 写出总刚度矩阵 （3） 求出节点2的位移 （4） 求各单元应力
如图所示8.4所示力的平衡：
几何方程：由变形后的几何关系可知 其中y为距中性层坐标，为挠度曲率。 即 由虎克定律知物理方程为： 整理上述方程得知下基本方程组 故纯弯梁的应变能： 九、如图所示为1个1D拉压问题 （1）写出描写该问题的所有基本变量 （2）写出所有基本方程，包括BC （3）写出应变能，外力功 （4）写出最小势能原理的一般表达式（1D问题） （5）证明（4）（即该原理与原基本方程的关系） 解（1）基本变量 位移 应力 应变 （2）基本方程 平衡方程 几何方程 物理方程 BC()： BC(p)： 由平衡方程得知 （待定） 由几何方程得知 （待定） 由BC（）知 由BC（p）知 ∴ （3）应变能 外力功 （4）最小势能一般表达式（1D问题）
有限元考试试题及答案——第一组
有限元考试试题及答案一、简答题（5道，共计25分）。
1.有限单元位移法求解弹性力学问题的基本步骤有哪些？（5分）答：（1）选择适当的单元类型将弹性体离散化；（2）建立单元体的位移插值函数；（3）推导单元刚度矩阵；（4）将单元刚度矩阵组装成整体刚度矩阵；（5）代入边界条件和求解。
2. 在划分网格数相同的情况下，为什么八节点四边形等参数单元精度大于四边形矩形单元？（5分）答：在对于曲线边界的边界单元，其边界为曲边，八节点四边形等参数单元边上三个节点所确定的抛物线来代替原来的曲线，显然拟合效果比四边形矩形单元的直边好。
3.轴对称单元与平面单元有哪些区别？（5分）答：轴对称单元是三角形或四边形截面的空间的环形单元，平面单元是三角形或四边形平面单元；轴对称单元内任意一点有四个应变分量，平面单元内任意一点非零独立应变分量有三个。
4.有限元空间问题有哪些特征？（5分）答：（1）单元为块体形状。
常用单元：四面体单元、长方体单元、直边六面体单元、曲边六面体单元、轴对称单元。
（2）结点位移3个分量。
（3）基本方程比平面问题多。
3个平衡方程，6个几何方程，6个物理方程。
5.简述四节点四边形等参数单元的平面问题分析过程。
（5）分）答：（1）通过整体坐标系和局部坐标系的映射关系得到四节点四边形等参单元的母单元，并选取单元的唯一模式；（2）通过坐标变换和等参元确定平面四节点四边形等参数单元的几何形状和位移模式；（3）将四节点四边形等参数单元的位移模式代入平面问题的几何方程，得到单元应变分量的计算式，再将单元应变代入平面问题的物理方程，得到平面四节点等参数单元的应力矩阵；（4）用虚功原理求得单元刚度矩阵，最后用高斯积分法计算完成。
二、论述题（3道,共计30分）。
1. 简述四节点四边形等参数单元的平面问题分析过程。
（10分）答：（1）通过整体坐标系和局部坐标系的映射关系得到四节点四边形等参单元的母单元，并选取单元的唯一模式；（2）通过坐标变换和等参元确定平面四节点四边形等参数单元的几何形状和位移模式；（3）将四节点四边形等参数单元的位移模式代入平面问题的几何方程，得到单元应变分量的计算式，再将单元应变代入平面问题的物理方程，得到平面四节点等参数单元的应力矩阵；（4）用虚功原理求得单元刚度矩阵，最后用高斯积分法计算完成。
汽车结构有限元分析试题及答案(精华)
一 、20分）（×）1. 节点的位置依赖于形态，而并不依赖于载荷的位置（√）2. 对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元 （×）3. 不能把梁单元、壳单元和实体单元混合在一起作成模型 （√）4. 四边形的平面单元尽可能作成接近正方形形状的单元（×）5. 平面应变单元也好，平面应力单元也好，如果以单位厚来作模型化处理的话会得到一样的答案（×）6. 用有限元法不可以对运动的物体的结构进行静力分析 （√）7. 一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好（×）8. 所谓全约束只要将位移自由度约束住，而不必约束转动自由度 （√）9. 同一载荷作用下的结构，所给材料的弹性模量越大则变形值越小 （√）10一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。
二、填空（20分）1．平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是 薄板 ，但前者受力特点是： 平行于板面且沿厚度均布载荷作用 ，变形发生在板面内；后者受力特点是： 垂直于板面 的力的作用，板将变成有弯有扭的曲面。
2．平面应力问题与平面应变问题都具有三个独立的应力分量： σx ，σy ，τxy ，三个独立的应变分量：εx ，εy ，γxy ，但对应的弹性体几何形状前者为 薄板 ，后者为 长柱体 。
3．位移模式需反映 刚体位移 ，反映 常变形 ，满足 单元边界上位移连续 。
4．单元刚度矩阵的特点有：对称性 ， 奇异性 ，还可按节点分块。
5．轴对称问题单元形状为：三角形或四边形截面的空间环形单元 ，由于轴对称的特性，任意一点变形只发生在子午面上，因此可以作为 二 维问题处理。
6．等参数单元指的是：描述位移和描述坐标采用相同的形函数形式。
等参数单元优点是：可以采用高阶次位移模式，能够模拟复杂几何边界，方便单元刚度矩阵和等效节点载荷的积分运算。
7．有限单元法首先求出的解是 节点位移 ，单元应力可由它求得，其计算公式为{}{}[][]eD B σδ=。
有限元考试复习题
第1章 杆件结构1.1 单元刚度如何叠加成结构的整体刚度矩阵？为什么这样叠加？如何从刚度矩阵的物理意义去理解此叠加关系？叠加成的整体刚度矩阵又有什么特点？答：（1）首先对杆件结构进行自然离散，并对其进行节点编号和单元编号，然后通过坐标转换公式将局部坐标系下的单元刚度矩阵转换为整体坐标系下的单元刚度矩阵。
将所得的单元刚度矩阵按节点编号进行组装，即可形成整体刚度。
（2）这样的叠加方法条理清晰，便于电脑程序编程，分块进行，效率较高，且尤其适用于大量杆件结构体系，将所有的计算程序化后，大大节省了时间，并且精度较高。
（3）刚度矩阵的物理意义是表示结构或构件单元在单位位移或变形下所能承受的力的大小。
通过单元刚度矩阵建立单元节点力与节点位移之间的关系，通过整体刚度矩阵建立所受外荷载与整体位移之间的关系。
通过单元刚度矩阵叠加构建整体刚度矩阵，则建立起了结构整体外荷载与整体位移之间的方程，进而通过求得的整体位移进一步求出单元之间的节点位移，并最终求得各单元之间的节点力。
（4）特点：1）对称性。
由于杆单元的单刚是对称矩阵，则由它们集成的总刚也具有对称性。
2)奇异性。
即无论是单刚还是总刚都是奇异的，它们不存在逆阵。
3)存在相当数量的零元素。
由于杆系结构的特点，一个节点可能只连接少数几个单元，因此可能与周围邻近的几个节点之间存在非零的元素。
1.2 如图所示的圆杆，由两个不同截面的杆件（1）与（2）组成，在节点1，2，3上作用有轴向节点载荷1Q 、2Q 、3Q 而平衡。
试写出3个轴向载荷与节点的轴向位移1u 、2u 、3u 之间的矩阵关系。
解：杆件1的单元刚度矩阵为：[]1111111EA k l -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦；杆件2的单元刚度矩阵为：[]2221111EA k l -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦； 结构的整体刚度矩阵为：1111111112112211222122111211222221222222EA EA l l k k EA EA EA EA K k k k k l l l l k k EA EA l l ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+=-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦而又12l l L ==，所以11112222A A E K A A A A L A A -⎡⎤⎢⎥=-+-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦令节点位移向量为{}123,,Tu u u δ=，节点力为{}123,,TF Q Q Q =，从而可得3个轴向载荷与节点的轴向位移其关系为11112112223223Q A A u E Q A A A A u L Q A A u -⎧⎫⎡⎤⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎢⎥=-+-⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥-⎩⎭⎣⎦⎩⎭1.3 如图所示为三角桁架，已知25/101.2mm N E ⨯=，两直边的长度m l 1=，各杆的截面积21000mm A =，求此结构的整体刚度矩阵[]K ，若节点的编号改变后，问[]K 的有无变化？解：杆件的单元刚度矩阵为：[]1111ii iEA k l -⎡⎤'=⎢⎥-⎣⎦，从而可得各个单元在局部坐标系下的单元刚度矩阵为：[]11111EA k l -⎡⎤'=⎢⎥-⎣⎦；[]21111EA k l -⎡⎤'=⎢⎥-⎣⎦；[]31111k -⎡⎤'=⎢⎥-⎣⎦平面杆单元坐标转置矩阵：cos sin cos sin T αααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，而又00012390045ααα===-、和，从而各个单元的坐标转置矩阵分别为：10101T ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦；21010T ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦；3222T ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎢-⎢⎣⎦根据上面给出的坐标转置矩阵，可得各个单元在整体坐标系下的单元刚度矩阵为[][]1111000000101101000101001100010000010101T EA EA k T k T l l ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎡⎤⎡⎤'⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦[][]2222101010001110000000011100101010000000T EA EA k T k T l l -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎡⎤⎡⎤'⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦[][]3333101111101111001111011100111111011111T k T k T --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-----⎡⎤⎡⎤'⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦令节点位移向量为{}112233,,,,,Tu v u v u v δ=，节点力为{}112233,,,,,Tx y x y x y F q q q q q q =，按照整体刚度矩阵的拼装原则，可得[]1010000100011010000011 EAKl-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦若节点的编号改变后，[]K会发生变化，但是并不影响最终的计算结果。
有限元考试试题及答案——第一组 (2)
有限元考试一试题及答案——第一组有限元考试一试题及答案一、简答题（ 5 道，共计 25 分）。
1.有限单元位移法求解弹性力学问题的基本步骤有哪些？（5 分）答：（1）选择合适的单元种类将弹性体失散化；（2）建立单元体的位移插值函数；（3）推导单元刚度矩阵；（4）将单元刚度矩阵组装成整体刚度矩阵；（5）代入界线条件和求解。
2.在划分网格数相同的情况下，为什么八节点四边形等参数单元精度大于四边形矩形单元？（5 分）答：在对于曲线界线的界线单元，其界线为曲边，八节点四边形等参数单元边上三个节点所确定的抛物线来代替原来的曲线，显然拟合收效比四边形矩形单元的直边好。
3. 轴对称单元与平面单元有哪些差异？（5分）答：轴对称单元是三角形或四边形截面的空间的环形单元，平面单元是三角形或四边形平面单元；轴对称单元内任意一点有四个应变重量，平面单元内任意一点非零独立应变重量有三个。
4.有限元空间问题有哪些特色？（5 分）答：（1）单元为块体形状。
常用单元：周围体单元、长方体单元、直边六面体单元、曲边六面体单元、轴对称单元。
（2）结点位移 3 个重量。
（3）基本方程比平面问题多。
3 个平衡方程， 6 个几何方程， 6 个物理方程。
5.简述四节点四边形等参数单元的平面问题解析过程。
（5）分）答：（1）经过整体坐标系和局部坐标系的照射关系获取四节点四边形等参单元的母单元，并采用单元的唯一模式；（2）经过坐标变换和等参元确定平面四节点四边形等参数单元的几何形状和位移模式；（3）将四节点四边形等参数单元的位移模式代入平面问题的几何方程，获取单元应变重量的计算式，再将单元应变代入平面问题的物理方程，获取平面四节点等参数单元的应力矩阵；（4）用虚功原理求得单元刚度矩阵，最后用高斯积分法计算完成。
二、论述题（ 3 道, 共计 30 分）。
1.简述四节点四边形等参数单元的平面问题解析过程。
（ 10 分）答：（1）经过整体坐标系和局部坐标系的照射关系获取四节点四边形等参单元的母单元，并采用单元的唯一模式；（2）经过坐标变换和等参元确定平面四节点四边形等参数单元的几何形状和位移模式；（3）将四节点四边形等参数单元的位移模式代入平面问题的几何方程，获取单元应变重量的计算式，再将单元应变代入平面问题的物理方程，获取平面四节点等参数单元的应力矩阵；（4）用虚功原理求得单元刚度矩阵，最后用高斯积分法计算完成。
《结构分析中的有限元法》2015-有限元习题-参考答案
，
lk
(
1) 4
16x2
64 3
x
16 3
，
34 3
lk
(1)
2x2
7 6
x
1 6
根据拉格朗日插值多项式：
pn (x)
n
lk (x) f (xk )或pn (x)
k 0
nn
(
k0 j0
x xj )f xk x j
(xk ) 。
jk
将
n
2
带入：
p2
(x)
-38x2
349 6
x
35 3
2015 年 3 月 24 日作业
2、简述结构离散(或有限元建模)的内容和要求。 有限元建模的内容： 1）网格划分---即把结构按一定规则分割成有限单元 2）边界处理---即把作用于结构边界上约束和载荷处理为结点约束和结点载
荷 有限元建模的要求： 1）离散结构必须与原始结构保形---单元的几何特性 2）一个单元内的物理特性必须相同---单元的物理特性
4、说明用有限单元法解题的主要步骤。 答：研究问题的力学建模；结构离散；单元分析；整体分析与求解；结果分析及 后处理。
5、推导基于变分原理的总势能泛函极值条件。 解：有积分形式确立的标量泛函有
Π
F
u,
u x
,
dΩ
E
u,
u x
,
d
其中 u 是未知函数， F 和 E 是特定的算子， 是求解域， 是 的边界。 Π 称 为未知函数 u 的泛函，随函数 u 的变化而变化。连续介质问题的解 u 使泛函 Π 对 于微小的变化u 取驻值，即泛函的“变分”等于零 Π 0 ，此为变分法。
来待求场函数的无穷自由度问题转换为求解场函数结点值的有限自由度问题。 (3)有限元法是通过和原问题数学模型（基本方程、边界条件）等效的变分
有限元分析中的 梁—平面刚架问题上机练习题
梁问题1、一个长6m的工字截面梁，截面高0.42m，截面面积0.0072m2，截面惯性矩2.108e-4m4，材料弹性模量为3e11Pa, 泊松比0.3.两端简支，跨中受100N的集中力，试用有限元计算梁中点的挠度定义单元类型：Beam3；(分10份)定义材料弹性模量Ex=3e11和泊松比0.3；定义实常数：梁的截面积0.0072，惯性矩2.108e-4,高度0.42m2、一个长10m的方形截面梁，截面边长5mm，截面面积2.5e-4m2，截面惯性矩5.2e-7m4，材料弹性模量为3e11Pa, 泊松比0.3.两端简支，跨中受100N的集中力，试用有限元计算梁中点的挠度定义单元类型：Beam3；(分10或20份)定义材料弹性模量Ex=2e11和泊松比0.3；定义实常数：梁的截面积2.5e-4，惯性矩5.2e-7,高度0.05m3、一悬臂梁长10m，截面高0.1m，截面宽0.05m，材料弹性模量为2e11Pa, 泊松比0.3.在集中力P=10000N作用下求该梁A点处的挠度。
平面刚架问题1、建立如图所示的平面刚架结构；(建立节点和单元)2、定义单元类型：Beam33、定义材料弹性模量Ex=2e11和泊松比0.34、定义实常数：梁的截面积0.03，惯性矩2.5e-5,高度0.1m5、定义约束6 、施加载荷7 、进行求解8 、观察变形图、列出节点位移值2、一平面刚架右端固定，如图所示，已知组成刚架的各梁除梁长外，其余几何特性相同。
试以静力来分析各节点的位移。
横截面积：0.0072m 2横截高度：0.42m惯性矩：0.000218m 4 弹性模量：2.06e11n/m2泊松比0.3P x =100N200NP x =100N。
有限元复习题及答案(2013)
1.结点的位置依赖于形态，而并不依赖于载荷的位置（×）2.对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元。
√3.平面应变单元也好，平面应力单元也好，如果以单位厚来作模型化处理的话会得到一样的答案（×）4.用有限元法不可以对运动的物体的结构进行静力分析（×）5.一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好 （√）6.四结点四边形等参单元的位移插值函数是坐标x 、y 的一次函数√7.在三角形单元中其面积坐标的值与三结点三角形单元结点形函数值相等。
√ 8.等参单元中Jacobi 行列式的值不能等于零。
√ 9.四边形单元的Jacobi 行列式是常数。
×10.等参元是指单元坐标变换和函数插值采用相同的结点和相同的插值函数。
√ 11.有限元位移模式中，广义坐标的个数应与单元结点自由度数相等 √12.为了保证有限单元法解答的收敛性，位移函数应具备的条件是位移函数必须能反映单元的刚体位移和常量应变以及尽可能反映单元间的位移连续性。
√13.在平面三结点三角形单元中，位移、应变和应力具有位移呈线形变化，应力和应变为常量特征。
√1.梁单元和杆单元的区别？(自己分析:自由度不同)杆单元只能承受拉压荷载，梁单元则可以承受拉压弯扭荷载。
具体的说，杆单元其实就是理论力学常说的二力杆，它只能在结点受载荷，且只有结点上的荷载合力通过其轴线时，杆件才有可能平衡，像均布荷载、中部集中荷载等是无法承担的，通常用于网架、桁架的分析；而梁单元则基本上适用于各种情况（除了楼板之类），且经过适当的处理（如释放自由度、耦合等），梁单元也可以当作杆单元使用。
2.有限单元法结构刚度矩阵的特点？对称性，奇异性，主对角元恒正，稀疏性，非零元素呈带状分布。
1、 对于图示划分为三角形单元平面结构，写出整体刚度矩阵的表达式。
（即只组集总体刚度矩阵，不计算单元刚度矩阵）解：对各单元节点编号，各单元刚度矩阵为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1111121131211221231311321331k kk k kkk k k k []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2442432422342332322242232222k kk k k kk k k k []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3333343353433443453533543553k kk k k kk k k k []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4664654644564554544464454444k kk k k kk kk k 组集各单元刚度矩阵，得到总体刚度矩阵：1 2[][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=466465464454354454354353444344244343243242333233133232132131222122121111k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k 对称2、试利用形函数的性质求出图示四节点矩形单元的形函数分量),(1ηξN 。
结构有限元练习题
2䁠Ͷ 䁠ͳ
2
䁠 䁡 ͳ䁠 䁡䁡 䁠Ͷ2쳌 ͳ䁠2ͳ䁡Ͷ 䁠ͳ 2 䁠2Ͷ Ͷ
䁠 쳌 쳌 䁠 䁡
2䁠Ͷ 䁠 䁡 䁠 쳌 쳌 䁠ͳ 2 䁡䁠 Ͷ쳌䁡 䁠Ͷ2쳌
䁠ͳ 2 ͳ䁠 䁡䁡 䁠 䁡 䁠2Ͷ Ͷ 䁠Ͷ2쳌 ͳ䁠2ͳ䁡
位移分量为：
等效节点力载荷列阵为： 已知 P=10MPa，则 F=P×A，A=0.05×0.01=0.0005 ㎡，则 F=5000N。 2 2 = 䁡 = 代入刚度方程： 求解得位移分量为： = 䁠 ͳ 䁠 䁡 䁠2ͳͶͶ 䁠 − 䁠 ͳͳ 䁠2 则单元 1 的单元应力为： = 䁡䁠ͳ䁡 䁡 䁡䁠 쳌 쳌 䁡䁠ͳ䁡 䁡 䁡䁠 쳌 쳌 = Ͷ䁠 2 Ͷ䁡䁠 Ͷ䁠 2 Ͷ䁡䁠 䁠䁡쳌Ͷ Ͷ䁠쳌 ͳͳ Ͷ䁠쳌 ͳͳ 䁠䁡쳌Ͷ − m ∗ 䁠 ͳ 䁠 䁡 䁠2ͳͶͶ 䁠 䁡䁠ͳ䁡 䁡 䁡䁠 쳌 쳌 Ͷ䁠 2 Ͷ䁡䁠 䁠䁡쳌Ͷ Ͷ䁠쳌 ͳͳ ∗ 䁠 ͳͳ 䁠2
2 2 2
即薄板中间点的位移为 24.62mm。
=
䁡
2
=
= ͳ 䁠2
K=䁡
כ䁡
2
2 䁡 ͳ䁠
= 䁠 2Ͷ 2
10.求：1. 最大挠度。2. 最大应力。3. 变形图。4. 应力图。 （30 分）
75 kN 1500 mm 5 75 kN 75 kN 75 kN
A
B
750 mm 1500 mm 4
=Ͷ
9 、一四边固支的正方形薄板，边长为 l=10 cm ，厚度为 t=1 mm ，弹性模量为 E=210 GPa，泊松比= 0.3，若薄板在正中间承受集中载荷 P=2 kN，求薄板中 间点的位移。 （10 分） 答：如图，取 1/4 板进行分析。
3 P 2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
说明弹性力学中的几个基本假设。 （5 分） 简述线应变与切应变的几何含义。 （5 分） 有限单元法的基本思想是什么？它有哪些优点？（5 分） 简述用有限单元法分析的基本步骤。 （5 分） 结构刚度矩阵有什么性质和特点？（5 分） 有限元解的收敛准则是什么？（5 分）
1、 弹性力学基本假设： 1）连续性：整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不存在空隙， 连续函数来描述应力、应变、变形、位移； 2）完全弹性：服从胡克定律σ = E ∗ ε，任意瞬时反应完全取决于该瞬时物体 所受的载荷，而与加载历史和加载顺序无关； 3）均匀性：整个物体由同一种材料组成，整个物体具有相同的物理特性 4）各向同性：物体的弹性性质在所有各个方向上是相同的； 5）小位移和小变形： 建立变形体的平衡方程时我们可以用变形前的尺寸来代 替变形后的尺寸，而这种代替不至于引起显著的误差。 2、 简述线应变与切应变的几何含义。 答：线应变：在直角坐标系中所取单元体为正六面体时，三条相互垂直的棱边的 长度在变形前后的改变量与原长之比，定义为线应变，用ε来表示。线应变 以伸长为正，缩短为负； 切应变：表示单元的两条相互垂直的棱边，在变形后的直角改变量。定义为 角应变或切应变，用γ表示。切应变以直角减少为正，反之为负。 3、 有限单元法的基本思想是什么？它有哪些优点？ 答：基本思想：首先，将表示结构的连续离散为若干个子域，单元之间通过其边 界上的节点连接成组合体。其次，用每个单元内所假设的近似函数分片地表 示求解域内待求的未知厂变量。 优点：有限元法可以模拟各种几何形状复杂的结构，得出其近似解；通过计 算机程序，可以广泛地应用于各种场合；可以从其他 CAD 软件中导入建好 的模型；数学处理比较方便，对复杂形状的结构也能适用；有限元法和优化 设计方法相结合，以便发挥各自的优点。 4、 简述用有限单元法分析的基本步骤。 答： 1）将结构进行离散化，包括单元划分、结点编号、单元编号、结点坐标计 算、位移约束条件确定； 2）等效结点力的计算； 3）刚度矩阵的计算（先逐个计算单元刚度，在组装成整体刚度矩阵） ； 4）建立整体平衡方程，引入约束，求解结点位移； 5）应力计算。 5、 结构刚度矩阵有什么性质和特点？ 答：对称性，奇异性，稀疏性；刚度矩阵中每一列元素表示使弹性体的某一节点 在坐标轴方向发生单位位移而其他节点都保持为零的变形状态时在各节点 上所需要施加的节点力。 刚度矩阵主对角线上的元素恒为正。 6、 有限元解的收敛准则是什么？ 答： 1）完备性要求：如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是 m 阶，则有限元法收 敛的条件之一是单元内场函数的试探函数至少是 m 次完全多项式，或者说试探 函数中必须包括本身和至少 m 阶导数为常数的项，单元的差值函数满足上述要 求时，我们称单元是完备的。 2）协调性要求：如果出现在泛函中的最高阶导数是 m 阶，则试探函数在单元交 界面上必须具有 Cm-1 的连续性， 即在相邻单元的交界面上应有函数直至 m-1 阶 的连续导数，当单元的差值函数满足上述要求时，我们称单元是协调的
2䁠Ͷ 䁠ͳ
2
䁠 䁡 ͳ䁠 䁡䁡 䁠Ͷ2쳌 ͳ䁠2ͳ䁡Ͷ 䁠ͳ 2 䁠2Ͷ Ͷ
䁠 쳌 쳌 䁠 䁡
2䁠Ͷ 䁠 䁡 䁠 쳌 쳌 䁠ͳ 2 䁡䁠 Ͷ쳌䁡 䁠Ͷ2쳌
䁠ͳ 2 ͳ䁠 䁡䁡 䁠 䁡 䁠2Ͷ Ͷ 䁠Ͷ2쳌 ͳ䁠2ͳ䁡
位移分量为：
等效节点力载荷列阵为： 已知 P=10MPa，则 F=P×A，A=0.05×0.01=0.0005 ㎡，则 F=5000N。 2 2 = 䁡 = 代入刚度方程： 求解得位移分量为： = 䁠 ͳ 䁠 䁡 䁠2ͳͶͶ 䁠 − 䁠 ͳͳ 䁠2 则单元 1 的单元应力为： = 䁡䁠ͳ䁡 䁡 䁡䁠 쳌 쳌 䁡䁠ͳ䁡 䁡 䁡䁠 쳌 쳌 = Ͷ䁠 2 Ͷ䁡䁠 Ͷ䁠 2 Ͷ䁡䁠 䁠䁡쳌Ͷ Ͷ䁠쳌 ͳͳ Ͷ䁠쳌 ͳͳ 䁠䁡쳌Ͷ − m ∗ 䁠 ͳ 䁠 䁡 䁠2ͳͶͶ 䁠 䁡䁠ͳ䁡 䁡 䁡䁠 쳌 쳌 Ͷ䁠 2 Ͷ䁡䁠 䁠䁡쳌Ͷ Ͷ䁠쳌 ͳͳ ∗ 䁠 ͳͳ 䁠2
1, 1
1.5, 4 I 0, 0
4, 0
9. 一四边固支的正方形薄板，边长为 l=10 cm ，厚度为 t=1 mm ，弹性模量为 E=210 GPa，泊松比= 0.3，若薄板在正中间承受集中载荷 P=2 kN，求薄板 中间点的位移。 （10 分） 10. 求：1. 最大挠度。2. 最大应力。3. 变形图。4. 应力图。 （30 分）
2 2
䁠 쳌 쳌 䁠 䁡 䁠 쳌 쳌 䁠 䁡 䁠ͳ 2 䁠2Ͷ Ͷ
䁠2Ͷ Ͷ 䁠ͳ 2
䁠ͳ 2 䁠2Ͷ Ͷ
䁠ͳ 2䁠Ͷ
2䁠Ͷ 䁠ͳ
2
2
䁠 䁡 ͳ䁠 䁡䁡 䁠 䁡 ͳ䁠 䁡䁡
=
䁠Ͷ2쳌 ͳ䁠2ͳ䁡 䁠 䁡 䁠2Ͷ Ͷ 䁠ͳ 2 ͳ䁠 䁡䁡 =
ͳ䁠2ͳ䁡Ͷ 䁠Ͷ2쳌
䁠 䁡 ͳ䁠 䁡䁡
䁡 Ͷ
䁠Ͷ2쳌 䁡䁠 Ͷ쳌䁡
Ͷ䁠쳌 ͳͳ
䁠䁡쳌Ͷ
䁠ͳ 2䁠Ͷ
2䁠Ͷ 䁠ͳ
2
䁠 䁡 ͳ䁠 䁡䁡 䁠 䁡 ͳ䁠 䁡䁡
2
=
总刚度矩阵为 䁡䁠 Ͷ쳌䁡 䁠Ͷ2쳌 䁠 쳌 쳌 䁠ͳ 2 2䁠Ͷ 䁠 䁡
䁡䁠 Ͷ쳌䁡 䁠Ͷ2쳌 䁠 쳌 쳌 䁠ͳ 2 2䁠Ͷ 䁠 䁡
䁠Ͷ2쳌 ͳ䁠2ͳ䁡 䁠 䁡 䁠2Ͷ Ͷ 䁠ͳ 2 ͳ䁠 䁡䁡 䁠 쳌 쳌 䁠 䁡 䁡䁠 Ͷ쳌䁡 䁠Ͷ2쳌 2䁠Ͷ 䁠ͳ 2
4 16 5
单元号 相邻结点
1 1 2 3
2 4 3 2
平面三角形单元面积为 2A =
2 2 2 䁡 䁡
弹性矩阵为 D=
= 䁠 = 2䁠
䁡
쳌 䁠䁡
2
单元 1 应变矩阵为： = 2
2
䁡
ͳ쳌 䁠2
䁠䁡
䁠䁡
单元 1 的应力矩阵：
2
2
=
䁡䁠ͳ䁡 䁡 䁡䁠 쳌 쳌 = Ͷ䁠 2 Ͷ䁡䁠 䁠䁡쳌Ͷ Ͷ䁠쳌 ͳͳ 单元 1 的刚度矩阵： 䁡䁠 Ͷ쳌䁡 䁠Ͷ2쳌 䁠 쳌 쳌 䁠ͳ 2 2䁠Ͷ 䁠 䁡
䁡 䁡 Ͷ , 1
1.5, 4 I 0, 0
x
-1, -1
1, -1 单元 III 的，空间
4, 0
2 2
答：
= =
2 䁡 Ͷ
其中
= = =
Ͷ Ͷ Ͷ
2 2
䁡 䁡
Ͷ Ͷ
由题可知：
= 䁠 ， 2 = ， 䁡 = ， Ͷ = 䁡; = Ͷ ， 2 = Ͷ ， 䁡 = 쳌， Ͷ = 쳌 ; 当（x, y）=(6.0, 8.0)时，代入上述公式得（ξ，η）=（1，1） ； 当（ξ，η）=（0.5，-0.5）时，代入上述公式得（x, y）=(4.406,5 )。
其中，A 点为固定铰支座，B 点为活动铰支座，外圈杆：80mm10mm，内部杆： 70mm10mm，E = 206GPa，自重 7850kg/m3, = 0.3。 解：最大挠度为 51.495mm 最大应力为 577MPa
图 1 变形云图
图 2 应力云图
=香∗ 䁡䁠ͳ䁡 䁡 Ͷ䁠 2
2
2 䁠2
䁠2
䁠2 䁡䁠 쳌 쳌 Ͷ䁡䁠 2
2
2
=
当单元 2 按 432 对应单元 1 的 123 排码时，两个单元刚度矩阵内容完全一样。 单元 2 的刚度矩阵：
䁠Ͷ2쳌 ͳ䁠2ͳ䁡 䁠 䁡 䁠2Ͷ Ͷ 䁠ͳ 2 ͳ䁠 䁡䁡
= 香 ∗כ 䁠 쳌 쳌 䁠ͳ 2 䁠 䁡 䁠2Ͷ Ͷ 䁠 쳌 쳌 䁠2Ͷ Ͷ 䁠ͳ 2 䁠 䁡
2 2 2
即薄板中间点的位移为 24.62mm。
=
䁡
2
=
= ͳ 䁠2
K=䁡
כ䁡
2
2 䁡 ͳ䁠
= 䁠 2Ͷ 2
10.求：1. 最大挠度。2. 最大应力。3. 变形图。4. 应力图。 （30 分）
75 kN 1500 mm 5 75 kN 75 kN 75 kN
A
B
750 mm 1500 mm 4
7、 一长方形薄板如图所示。其两端受均匀拉伸。板长 16cm，宽 5cm，厚 1cm。 材料的弹性模量 E = 200GPa，= 0.3。均匀拉力 p = 10MPa。试用有限元法 求解板内应力，并和精确解比较。 答：
3 4
②
1
1
2
如图 结点编号 X 坐标 Y 坐标
1 0 0
2 16 0
3 0 5
75 kN 1500 mm 5 75 kN 75 kN 75 kN
A
B
750 mm 1500 mm 4
其中，A 点为固定铰支座，B 点为活动铰支座，外圈杆：80mm10mm，内部杆： 70mm10mm，E = 206GPa，自重 78500kg/m3, = 0.3。 （请注意：只有最后一题可以使用有限元软件计算，其它需要计算题目请给出详 细计算步骤。 ）
8. 如图所示的平面四边形单元模型，利用四边形插值函数证明坐标点（6.0， 8.0）对应于局部坐标中的点（1，1） 。对 = 0.5 和= -0.5，确定其在整体坐标 系中的坐标。 （10 分）
y 3, 8 III 5, 4 6, 8 IV 8.5, 4 II 8, 0 x -1, -1 1, -1 单元 III 的，空间 9, 8 -1, 1
䁠
Ͷ䁠쳌 ͳͳ
䁠
䁡
䁠䁡쳌Ͷ
䁠2ͳͶͶ
䁡䁠 쳌 쳌 Ͷ䁡䁠
−
m
8、 如图所示的平面四边形单元模型， 利用四边形插值函数证明坐标点 （6.0， 8.0） 对应于局部坐标中的点（1，1） 。对 = 0.5 和= -0.5，确定其在整体坐标系中的 坐标。 （10 分）
y 3, 8 III 5, 4 6, 8 IV 8.5, 4 II 8, 0
=Ͷ
9 、一四边固支的正方形薄板，边长为 l=10 cm ，厚度为 t=1 mm ，弹性模量为 E=210 GPa，泊松比= 0.3，若薄板在正中间承受集中载荷 P=2 kN，求薄板中 间点的位移。 （10 分） 答：如图，取 1/4 板进行分析。