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第二章轴向拉压应力与材料的力学性能2-1试画图示各杆的轴力图。

题2-1图
解：各杆的轴力图如图2-1所示。

图2-1
2-2试画图示各杆的轴力图，并指出轴力的最大值。

图a与b所示分布载荷均沿杆轴均匀分布，集度为q。

题2-2图
(a)解：由图2-2a(1)可知，
qx
qa
x
F-
=2
)
(
N
轴力图如图2-2a(2)所示，
qa
F2
m ax
,
N
=
图2-2a
(b)解：由图2-2b(2)可知，
qa
F=
R
qa
F
x
F=
=
R
1
N
)
(
2
2
R
2
N
2
)
(
)
(qx
qa
a
x
q
F
x
F-
=
-
-
=
轴力图如图2-2b(2)所示，
qa F =m ax N,
图2-2b
2-3 图示轴向受拉等截面杆，横截面面积A =500mm 2
，载荷F =50kN 。

试求图
示斜截面m -m 上的正应力与切应力，以及杆内的最大正应力与最大切应力。

题2-3图
解：该拉杆横截面上的正应力为
100MPa Pa 1000.1m
10500N
105082
63=⨯=⨯⨯==－A F σ 斜截面m -m 的方位角， 50-=α故有
MPa 3.41)50(cos MPa 100cos 22=-⋅== ασσα
MPa 2.49)100sin(MPa 502sin 2
-=-⋅== ασ
τα
杆内的最大正应力与最大切应力分别为
MPa 100max ==σσ
MPa 502
max ==
σ
τ 2-5 某材料的应力-应变曲线如图所示，图中还同时画出了低应变区的详图。

试确定材料的弹性模量E 、比例极限p σ、屈服极限s σ、强度极限b σ与伸长率δ，并判断该材料属于何种类型（塑性或脆性材料）。

题2-5
解：由题图可以近似确定所求各量。

220GPa Pa 102200.001
Pa 10220ΔΔ96=⨯=⨯≈=εσE
MPa 220p ≈σ, MPa 240s ≈σ
MPa 440b ≈σ, %7.29≈δ
该材料属于塑性材料。

2-7 一圆截面杆，材料的应力-应变曲线如题2-6图所示。

若杆径d =10mm ，
杆长 l =200mm ，杆端承受轴向拉力F = 20kN 作用，试计算拉力作用时与卸去后杆的轴向变形。

题2-6图
解： 255MPa Pa 1055.2m
0.010πN
1020482
23=⨯=⨯⨯⨯==A F σ 查上述εσ-曲线，知此时的轴向应变为 %39.00039.0==ε 轴向变形为
mm 780m 108700390m)2000(Δ4
....l εl =⨯=⨯==-
拉力卸去后，有
00364.0e =ε， 00026.0p =ε
故残留轴向变形为
0.052mm m 105.2000260(0.200m)Δ5p =⨯=⨯==-.l εl
2-9 图示含圆孔板件，承受轴向载荷F 作用。

已知载荷F =32kN ，板宽b
=100mm ，板厚=δ15mm ，孔径d =20mm 。

试求板件横截面上的最大拉应力（考虑应力集中）。

题2-9图
解：根据
2.0m)100.0m/(020.0/==b d
查应力集中因数曲线,得
42.2≈K
根据
δ
d b F
σ)(n -=
， n max σσK =
得
64.5MPa Pa 1045.60.015m
0.020)(0.100N
103242.2)(72
3n max =⨯⨯⨯⨯=-==＝－δd b KF K σσ 2-10 图示板件，承受轴向载荷F 作用。

已知载荷F =36kN ，板宽b 1
=90mm ，
b 2=60mm ，板厚δ=10mm ，孔径d =10mm ，圆角半径R =12mm 。

试求板件横截面上的最大
拉应力（考虑应力集中）。

题2-10图
解：1.在圆孔处
根据
111100.090m
m 010.01.b d == 查圆孔应力集中因数曲线，得 6.21≈K
故有
117MPa Pa 1017.1m
010.0)010.0090.0(N
10366.2)(82
311n 1max 1=⨯=⨯⨯⨯===－－δd b F K σK σ 2．在圆角处
根据
1.50.060m
m 090.021===b b d D 2.00.060m
m 012.02===b R d R 查圆角应力集中因数曲线，得 74.12≈K
故有
104MPa Pa 1004.10.010m
0.060N 103674.182
322n 2max 2
=⨯=⨯⨯⨯===δb F K σK σ 3. 结论
MPa 117max =σ（在圆孔边缘处）
2-14
图示桁架，承受铅垂载荷F 作用。

设各杆的横截面面积均为A ，许用
应力均为[σ]，试确定载荷F 的许用值[F ]。

题2-14图
解：先后以节点C 与B 为研究对象，求得各杆的轴力分别为
F F 2N1=
F F F ==N3N2
根据强度条件，要求 ][2σ≤A
F
由此得
2
][][A
F σ=
2-15 图示桁架，承受载荷F 作用，已知杆的许用应力为[σ]。

若在节点B
和C 的位置保持不变的条件下，试确定使结构重量最轻的α值（即确定节点A 的最佳位置）。

题2-15图
解：1.求各杆轴力
设杆AB 和BC 的轴力分别为N1F 和N2F ，由节点B 的平衡条件求得
αF F α
F F ctan sin N2N1==
， 2.求重量最轻的α值 由强度条件得
ασF
A σF A ctan ]
[ ]sin [21==
，α
结构的总体积为
)ctan sin22
(][ctan ][cos ]sin [2211αα
σFl ασFl αl ασF l A l A V +=+⋅=
+=
由
0d d =αV
得
01cos 32=-α
由此得使结构体积最小或重量最轻的α值为
4454opt '= α
2-16 图示桁架，承受载荷F 作用，已知杆的许用应力为[σ]。

若节点A
和C 间的指定距离为 l ，为使结构重量最轻，试确定θ的最佳值。

题2-16图
解：1.求各杆轴力
由于结构及受载左右对称，故有
θ
F
F F sin 2N2N1=
= 2.求θ的最佳值 由强度条件可得
θ
σF
A A ]sin [221=
=
结构总体积为
θ
σFl
θl θσF l A V ]sin2[cos 2]sin [211=
⋅=
= 由 0d d =θ
V
得
0cos2=θ
由此得θ的最佳值为
45opt =θ
2-17
图示杆件，承受轴向载荷F 作用。

已知许用应力[σ]＝120MPa ，许用
切应力[τ]＝90MPa ，许用挤压应力[σbs ]＝240MPa ，试从强度方面考虑，建立杆径d 、墩头直径D 及其高度h 间的合理比值。

题2-17图
解：根据杆件拉伸、挤压与剪切强度，得载荷F 的许用值分别为 ][4π][2
t σd F =
(a)
][4
)(π][bs 22b σd D F -=
(b)
][π][s τdh F =
(c) 理想的情况下，
s b t ][][][F F F ==
在上述条件下，由式（a ）与（c ）以及式（a ）与（b ），分别得
d h ][4]
[τσ=
d D bs
][]
[1σσ+
= 于是得
1:]
[4]
[:][][1::bs τσσσ+
=d h D 由此得
1:333.0:225.1::=d h D
2-18 图示摇臂，承受载荷F 1
与F 2
作用。

已知载荷F 1
=50kN ，F 2
=35.4kN ，许
用切应力[τ]=100MPa ，许用挤压应力][bs σ=240MPa 。

试确定轴销B 的直径d 。

题2-18图
解：1. 求轴销处的支反力 由平衡方程0=∑x F 与0=∑y F ，分别得
kN 25cos4521=-= F F F Bx
kN 25sin452== F F By
由此得轴销处的总支反力为
kN 435kN 252522.F B =+=
2.确定轴销的直径
由轴销的剪切强度条件（这里是双面剪）
][π22s τd
F A F τB
≤==
得
m 0150m 10100104.352][26
3
.τF d B =⨯⨯⨯⨯=≥ππ
由轴销的挤压强度条件
][bs b bs σd F d F σB
≤==
δ
δ 得
m 014750m 10240010010
4.35][6
3
bs ..σδF d B =⨯⨯⨯=≥
结论：取轴销直径15m m m 015.0=≥d 。

2-19图示木榫接头，承受轴向载荷F = 50 kN 作用，试求接头的剪切与挤
压应力。

题2-19图
解：剪应力与挤压应力分别为
MPa 5)m 100.0)(m 100.0(N
10503=⨯=τ
MPa 5.12)
m 100.0)(m 040.0(N
10503bs =⨯=σ
2-20
图示铆接接头，铆钉与板件的材料相同，许用应力[σ] =160MPa ，
许用切应力[τ] = 120 MPa ，许用挤压应力[σbs ] = 340 MPa ，载荷F = 230 kN 。

试
校核接头的强度。

题2-20图
解：最大拉应力为
MPa 3.153)
m )(010.0)(020.0170.0(N
102302
3max =-⨯=σ 最大挤压与剪切应力则分别为
MPa 2300.010m)5(0.020m)(N
102303bs =⨯=σ
MPa 4.146π(0.020m)
5N 1023042
3=⨯⨯⨯=τ 2-21 图示两根矩形截面木杆，用两块钢板连接在一起，承受轴向载荷F =
45kN 作用。

已知木杆的截面宽度b =250mm ，沿木纹方向的许用拉应力[σ]=6MPa ，许用挤压应力][bs σ=10MPa ，许用切应力[τ]=1MPa 。

试确定钢板的尺寸δ与l 以及木杆的高度h 。

题2-21图
解：由拉伸强度条件 ][)
2(σδh b F
σ≤-=
得
0.030m m 10625001045][26
3
=⨯⨯⨯=≥-.σb F δh
（a ） 由挤压强度条件 ][2bs bs σb δ
F
σ≤=
得
mm 9m 0090m 1010250.021045][26
3
bs ==⨯⨯⨯⨯=≥.σb F δ
（b ）
由剪切强度条件 ][2τbl
F
τ≤=
得
mm 90m 0900m 101250.021045][26
3
==⨯⨯⨯⨯=≥.b F l τ 取m 009.0=δ代入式（a ），得
48mm m 0480m )009.02030.0(==⨯+≥.h
结论：取
m m 9≥δ，m m 90≥l ，m m 48≥h 。

2-22 图示接头，承受轴向载荷F 作用。

已知铆钉直径d =20mm ，许用应力
[σ]=160MPa ，许用切应力[τ]=120MPa ，许用挤压应力][bs σ=340MPa 。

板件与铆钉的材料相同。

试计算接头的许用载荷。

题2-22图
解：1.考虑板件的拉伸强度
由图2-22所示之轴力图可知，
4/3 N2N1F F F F ==，
][)(1N11σδ
d b F
A F σ≤-==
432kN N 104.32N 10160015.0)02002000(][)(56=⨯=⨯⨯⨯=-≤.-.σδd b F
][)2(432N22σδ
d b F
A F σ≤-==
512kN N 105.12N 10160015.0)040.0200.0(3
4
][)2(3456=⨯=⨯⨯⨯-=-≤σδd b F
图2-22
2.考虑铆钉的剪切强度 8
s F F = ][π842s τd
F A F τ≤==
302kN N 1002.3N 101200200π2][π25622=⨯=⨯⨯⨯⨯=≤.τd F
3．考虑铆钉的挤压强度
]
[ 4 4
bs b bs b σδδσ≤===
d F d F F F
kN 408N 1008.4N 103400.0200.0154][456bs =⨯=⨯⨯⨯⨯=≤σd F δ
结论：比较以上四个F 值，得
kN 302][=F
2-23 图a 所示钢带AB ，用三个直径与材料均相同的铆钉与接头相连接，
钢带承受轴向载荷F 作用。

已知载荷F=6kN ，带宽b=40mm ，带厚δ=2mm ，铆钉直径d=8mm ，孔的边距a=20mm ，钢带材料的许用切应力[τ]=100MPa ，许用挤压应力[σbs ]=300MPa ，
许用拉应力 [σ]=160MPa 。

试校核钢带的强度。

题2-23图
解：1．钢带受力分析
分析表明，当各铆钉的材料与直径均相同，且外力作用线在铆钉群剪切面上的投影， 通过该面的形心时，通常即认为各铆钉剪切面的剪力相同。

铆钉孔所受挤压力F b 等于铆钉剪切面上的剪力，因此，各铆钉孔边所受的挤压力F b 相同，钢带的受力如图b 所示，挤压力则为
N 100.23
N
106333b ⨯=⨯==F F
孔表面的最大挤压应力为
][MPa 125Pa 1025.1)
m 008.0)(m 002.0(N 100.2bs 83b bs
σδσ<=⨯==⨯==d F 在挤压力作用下，钢带左段虚线所示纵截面受剪（图b ），切应力为
][MPa 25Pa 105.2)
m 020.0)(m 002.0(2N
100.2273b τδτ<=⨯==⨯==a F
钢带的轴力图如图c 所示。

由图b 与c 可以看出，截面1-1削弱最严重，而截面2-2的轴力最大，因此，应对此二截面进行拉伸强度校核。

截面1-1与2-2的正应力分别为
[]σδσ<=⨯-⨯=-==MPa 3.83m)
002.0(m)008.02.040m 03(N)106(2)23(231N11d b F A F
[]σδσ<=-⨯=-==MPa 8.93m)
002.0(m)008.0.040m 0(N 106)(32N22d b F A F
第三章 轴向拉压变形
3-2 一外径D=60mm 、内径d =20mm 的空心圆截面杆，杆长l = 400mm ，两端
承受轴向拉力F = 200kN 作用。

若弹性模量E = 80GPa ，泊松比μ=0.30。

试计算该杆外径的改变量∆D 及体积改变量∆V 。

解：1. 计算∆D
由于 EA
F D D
εEA F εμμε-
=-=='=
Δ ， 故有
0.0179mm
m 1079.1 m
020.00600(π1080060
.01020030.04)(π4Δ5229322-=⨯-=-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-=--=-='=-）.d D E FD EA FD
D εD μμ
2.计算∆V
变形后该杆的体积为 )21()1)(1(])()[(4π
)(222εεV εεAl d εd D εD l l A l V '++≈'++='+-'++=''='ε
故有
3
373
9
3mm 400m 1000.4 )
3.021(m 1080400.010200)21()2(Δ=⨯=⨯-⨯⨯⨯=-='+=-'=-μE Fl εεV V V V 3-4 图示螺栓，拧紧时产生l ∆=0.10mm 的轴向变形。

已知：d 1
= 8.0mm ，d 2
= 6.8mm ，d 3 = 7.0mm ；l 1=6.0mm ，l 2=29mm ，l 3=8mm ；E = 210GPa ，[σ]=500MPa 。

试求预紧力F ，并校核螺栓的强度。

题3-4图
解：1.求预紧力F
各段轴力数值上均等于F ，因此， )(π4)(Δ23
3222
211332211d l d l d l E F A l A l A l E F l ++=++=
由此得
kN 6518N 108651N )007.0008.00068.0029.0008.0006.0(41010.010210π)(4Δπ42
223
923
3222211..d l d l
d l l E F =⨯=++⨯⨯⨯⨯⨯=++=-
2.校核螺栓的强度
514MPa Pa 1014.5m
00680πN
1065.184π482
2322min max =⨯=⨯⨯⨯===.d F A F σ 此值虽然超过][σ，但超过的百分数仅为2.6％，在5％以内，故仍符合强度要求。

3-5 图示桁架，在节点A 处承受载荷F 作用。

从试验中测得杆1与杆2的纵
向正应变分别为1ε= 4.0×10-4
与
2ε= 2.0×10-4。

已知杆1与杆2的横截面面积A 1= A 2=200mm 2，弹性模量E 1= E 2=200GPa 。

试确定载荷F 及其方位角θ之值。

题3-5图
解：1.求各杆轴力 16kN N 1061N 10200100.4102004649111N1=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==--.A εE F
8kN N 108N 10200100.2102003649222N2=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==--A εE F
2.确定F 及θ之值
由节点A 的平衡方程0=∑x F 和0=∑y F 得
0sin30sin sin30N1N2=-+ F θF F
0cos cos30cos30N2N1=-+θF F F
化简后，成为 θF F F sin 2N2N1=-
(
及
θF F F cos 2)(3N2N1=+
(
联立求解方程(a)与(b)，得 1925.010)816(310)816()(3tan 3
3
N2N1N2N1=⨯+⨯-=+-=F F F F θ
由此得 9.1089.10≈=θ
kN 2.21N 102.12N 89
10sin 210)816(2sin 43
N2N1=⨯=⨯-=-=
.θF F F 3-6图示变宽度平板，承受轴向载荷F 作用。

已知板的厚度为δ，长度为l ，
左、右端的宽度分别为b 1与b 2，弹性模量为E 。

试计算板的轴向变形。

题3-6图
解：对于常轴力变截面的拉压平板，其轴向变形的一般公式为
x x b E F x x EA F l l l d )
(d )(Δ00⎰⎰==δ
(a)
由图可知，若自左向右取坐标x ，则该截面的宽度为
x l
b b b x b 121)(-+=
代入式(a)，于是得
1
2120121ln
)(d 1Δb b b b E δFl
x x l b b b δE F l l -=⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-+=
⎰ 3-7 图示杆件，长为l ，横截面面积为A ，材料密度为ρ，弹性模量为E ，
试求自重下杆端截面B 的位移。

题3-7图
解：自截面B 向上取坐标y ，y 处的轴力为
gAy F ρ=N
该处微段d y 的轴向变形为
y E
gy
y EA
gAy
Δy d d d ρρ=
=
于是得截面B 的位移为 E
gl y y E
g
Δl
Cy 2d 2
0 ρρ=
=
⎰ )(↓
3-8 图示为打入土中的混凝土地桩，顶端承受载荷F ，并由作用于地桩的摩
擦力所支持。

设沿地桩单位长度的摩擦力为f ，且f = ky 2
，式中，k 为常数。

已知地桩的横截面面积为A ，弹性模量为E ，埋入土中的长度为l 。

试求地桩的缩短量δ。

题3-8图
解：1. 轴力分析
摩擦力的合力为
3
d d 3
0 2
kl y ky y f F l
l
y =
==⎰⎰
根据地桩的轴向平衡，
F kl =3
3
由此得
3
3l F k =
（a ）
截面y 处的轴力为
3
d d 3
0 2
N ky y ky y f F y
y
=
==*
**
⎰⎰
2. 地桩缩短量计算
截面y 处微段d y 的缩短量为 EA
y
F δd d N =
积分得
EA
kl y y EA k EA y F δl l 12d 3d 4
0 3 0 N =
==⎰⎰
将式(a)代入上式，于是得
EA
Fl
δ4=
3-9 图示刚性横梁AB ，由钢丝绳并经无摩擦滑轮所支持。

设钢丝绳的轴向
刚度（即产生单位轴向变形所需之力）为k ，试求当载荷F 作用时端点B 的铅垂位移。

题3-9图
解：载荷F 作用后，刚性梁AB 倾斜如图(见图3-9)。

设钢丝绳中的轴力为N F ，
其总伸长为l Δ。

图3-9
以刚性梁为研究对象，由平衡方程∑=0A M 得
)2()(N N b a F b a F a F +=++
由此得
F F =N
由图3-9可以看出， )2( b a y +=θ∆
)2()(Δ21b a b a a ΔΔl y y +=++=+=θθθ
可见，
l Δy Δ=
(
根据k 的定义，有 y k Δl k F ==ΔN
于是得
k
F
k F Δy ==
N
3-10 图示各桁架，各杆各截面的拉压刚度均为EA ，试计算节点A 的水平
与铅垂位移。

题3-10图
（a ）解：
利用截面法，求得各杆的轴力分别为
（拉力）
N2N1F F F == （压力） 2N4F F =
0N3=F
于是得各杆的变形分别为 )( 21伸长EA Fl
l l =∆=∆
)( 2224伸长＝EA
Fl
EA l F l ⋅=
∆
03=∆l
如图3－10(1)所示，根据变形∆l 1与∆l 4确定节点B 的新位置B ’,然后，过该点作长为l +∆l 2的垂线，并过其下端点作水平直线，与过A 点的铅垂线相交于A ’,此即结构变形后节点A 的新位置。

于是可以看出，节点A 的水平与铅垂位移分别为
0=Ax Δ
()
EA
Fl
EA Fl EA Fl EA Fl l l l ΔAy 2
12222241+=++=
∆+∆+∆=
图3-10
（b ）解：显然，杆1与杆2的轴力分别为
（拉力）
N1F F = 0N2=F
于是由图3－10(2)可以看出，节点A 的水平与铅垂位移分别为
EA Fl
l ΔAx =
∆=1 EA Fl l ΔAy =∆=1 3-11 图示桁架ABC ，在节点B 承受集中载荷F 作用。

杆1与杆2的弹性模
量均为E ，横截面面积分别为A 1=320mm 2
与A 2 =2 580mm 2。

试问在节点B 和C 的位置保持不变的条件下，为使节点B 的铅垂位移最小，θ应取何值（即确定节点A 的最佳位置）。

题3-11图
解：1.求各杆轴力
由图3-11a 得
θF F θ
F
F ctan sin N2N1==
，
图3-11
2.求变形和位移 由图3-11b 得 2
2
22N221211N11ctan Δ sin22ΔEA θ
Fl EA l F l θEA Fl EA l F l ===
＝， 及
)ctan sin sin22(tan Δsin Δ2
21221A θθθA E Fl θl θl ΔBy +=+=
3.求θ的最佳值
由0d /d =θΔBy ，得
0csc ctan 2sin 2sin )sin2cos sin cos22(222221=⋅-+-A θ
θθ
θθθθθA
由此得
0)cos 31(cos 22231=--θA θA
将21A A 与的已知数据代入并化简，得
003125.4cos 09375.12cos 23=-+θθ
解此三次方程，舍去增根，得
5649670cos .θ=
由此得θ的最佳值为
6.55opt =θ
3-12 图示桁架，承受载荷F 作用。

设各杆的长度为l ，横截面面积均为A ，
材料的应力应变关系为σn
=B ε，其中n 与B 为由试验测定的已知常数。

试求节点C 的铅垂位移。

题3-12图
解：两杆的轴力均为
α
cos 2N F
F =
轴向变形则均为
B l A F l B l l n
n
⎪⎭⎫ ⎝⎛===∆ασεcos 2 于是得节点C 的铅垂位移为
α
α1cos 2cos +=
∆=n n n n Cy B A l
F l Δ 3-13 图示结构，梁BD 为刚体，杆1、杆2与杆3的横截面面积与材料均
相同。

在梁的中点C 承受集中载荷F 作用。

已知载荷F = 20kN ，各杆的横截面面积均为A =100mm 2
，弹性模量E = 200GPa ，梁长l = 1 000mm 。

试计算该点的水平与铅垂位移。

题3-13图
解：1.求各杆轴力 由0=∑x F ，得
0N2=F
由∑=0y F ，得
kN 102
N3N1==
=F
F F 2．求各杆变形
0Δ2=l
34-6
93N11Δ0.50mm m 105.0m 10
10010200000
.11010Δl EA l F l ==⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==- 3．求中点C 的位移 由图3-13易知，
图3-13
)(mm 50.0Δ )(mm 50.0Δ11↓==→==l Δl Δy x ，
3-14 图a 所示桁架，承受载荷F 作用。

设各杆各截面的拉压刚度均为EA ，
试求节点B 与C 间的相对位移∆B/C 。

题3-14图
解：1. 内力与变形分析
利用截面法，求得各杆的轴力分别为
（拉力）
2
4N 3N 2N 1N F
F F F F =
=== （压力）
5N F F = 于是得各杆得变形分别为
)( 24321伸长EA
Fl
l l l l =
∆=∆=∆=∆ )( 225缩短EA
Fl
EA l F l =⋅=
∆ 2. 位移分析
如图b 所示，过d 与g 分别作杆2与杆3的平行线，并分别与节点C 的铅垂线相交于e 与h ，然后，在de 与gh 延长线取线段∆l 3与∆l 2，并在其端点m 与n 分别作垂线，得交点C ’，即为节点C 的新位置。

可以看出，
()()
EA Fl EA Fl EA Fl l l iC'Ci ΔC B 2222222222235/+=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=⎪
⎭⎫ ⎝⎛∆+∆=+= 3-15 如图所示桁架，设各杆各截面的拉压刚度均为EA ，试用能量法求载
荷作用点沿载荷作用方向的位移。

题3-15图
(a)解：各杆编号示如图3-15a ，各杆轴力依次为
F F F F F F 2
1
22 22N3N2N1=-==，，
该桁架的应变能为
)4122(2)4122221(2122223
12N +=+⨯⋅==∑=EA l F l F l F EA EA
l F V i i
i ε
图3-15
依据能量守恒定律， εV F Δ
=2
最后得
EA
Fl
EA l F F Δ4)122()4122(222+=
+⋅= )(→ (b)解：各杆编号示如图b 列表计算如下：
i
i F N i l
i i l F 2N
1 F
l l F 2
2 0
l 0
3
F
l
l F 2
4 F
l l F 2
5
F 2-
l 2
l F 222 ∑
l F 2)22(3+
于是，
∑=+==5
1
22
N 2)223(2i i
i εEA l F EA l F V
依据能量守恒定律， εV F Δ
=2 可得
)( )223(→+=
EA
Fl
Δ
3-16 图示桁架，承受载荷F 作用。

设各杆各截面的拉压刚度均为EA ，试
用能量法求节点B 与C 间的相对位移∆B/C 。

题3-16图
解：依据题意，列表计算如下：
i
i F N i l
i i l F 2N
1 2/2F l 22/l F
2 2/2F l 22/l F
3 2/2F l 22/l F
4 2/2F
l 22/l F 5
F -
l 2
l F 22 ∑
l F 2)22(+
由表中结果可得
EA l F EA l F V i i
i ε2)22(225
1
2N +==∑=
依据 εV W =
得
EA
Fl
ΔC B )22(/+=
)(←→
3-17 图示变宽度平板，承受轴向载荷F 作用。

已知板的厚度为δ，长度为
l ，左、右端的宽度分别为b 1与b 2，弹性模量为E ，试用能量法计算板的轴向变形。

题3-17图
解：对于变截面拉压板件，应变能的表达式为
x x b E F x x EA F V l l
d )
(2d )(202
N
02N ⎰⎰==δε
(a)
由图可知，若自左向右取坐标x ，则该截面的宽度为
x l
b b b x b 1
21)(-+
= 将上式代入式（a ）,并考虑到F F =N ,于是得
1
21221212 0 ln )(2d 21b b b b E δl
F x x l b b b δF E V l
ε-=⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-+=⎰
设板的轴向变形为∆l ，则根据能量守恒定律可知，
εV l
F =2
Δ 或 1
2122ln )(22Δb b b b E δl
F l F -= 由此得
1
212ln )(Δb b b b E δFl
l -=
3-19 图示各杆，承受集中载荷F 或均布载荷q 作用。

各杆各截面的的拉
压刚度均为EA ，试求支反力与最大轴力。

题3-19图
(a)解：杆的受力如图3-19a(1)所示，平衡方程为
∑=--+=0 ,0Bx Ax
x
F F
F F F
一个平衡方程，两个未知支反力，故为一度静不定。

图3-19a
AC ，CD 与DB 段的轴力分别为
2 , ,3N 2N 1N F F F F F F F F Ax Ax Ax -=-== 由于杆的总长不变，故补充方程为
()()02=-+-+=
∆EA
a
F F EA a F F EA a F l Ax Ax Ax 得
0=-F F Ax
由此得
F F Ax =
F F F F Ax Bx =-=2
杆的轴力图如3-19a(2)所示，最大轴力为
F F =max N,
(b)解：杆的受力如图3-19b(1)所示，平衡方程为
∑=--=0 ,0Bx Ax x F F qa F
一个平衡方程，两个未知支反力，故为一度静不定。

图3-19b
AC 与CB 段的轴力分别为
,2N 1N qx F F F F Ax Ax -==
由于杆的总长不变，故补充方程为
()0d 10
=-+
=
∆⎰x qx F EA EA a F l a
Ax Ax 得
02212=⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-qa a F EA Ax 由此得
4qa
F Ax =
4
3qa
F qa F Ax Bx =-= 杆的轴力图如3-19b(2)所示，最大轴力为
4
3max
N qa
F =
3-20图示结构，杆1与杆2的横截面面积相同，弹性模量均为E ，梁BC 为
刚体，载荷F =20kN ，许用拉应力[σt ]=160MPa, 许用压应力[σc ]=110MPa ，试确定各杆的横截面面积。

题3-20图
解：容易看出，在载荷F 作用下，杆2伸长，杆1缩短，且轴向变形相同，故F N2
为拉力，
F N1为压力，且大小相同，即
N1N2F F =
以刚性梁BC 为研究对象，铰支点为矩心，由平衡方程
02 ,0N1N2=⋅-⋅+⋅=∑a F a F a F M
由上述二方程，解得
F F F ==N1N2
根据强度条件，
246
3c N11m 10818.1Pa 10110N 1020][-⨯=⨯⨯==σF A 2
463t N22m 1025.1Pa
10160N 1020][-⨯=⨯⨯==σF A
取
221mm 182==A A
3-21 图示桁架，承受铅垂载荷F 作用。

设各杆各截面的拉压刚度相同，试
求各杆轴力。

题3-21图
(a)解：此为一度静不定桁架。

设AB F ,N 以压为正，其余各段轴力以拉力为正。

先取杆AB 为研究对象，由
∑=0y F ，得
F F F AB BC =+,N ,N
(
后取节点A 为研究对象，由0=∑x F 和0=∑y F 依次得到
AG AD F F ,N ,N =
(
及
AB AD F F ,N ,N cos452=
(
在节点A 处有变形协调关系（节点A 铅垂向下）
AD AD
AB BC l l l l Δ2cos45
ΔΔΔ==
-
(d)
物理关系为
AG AD AD AB AB BC BC l EA
l F l EA
l F l EA
l F l Δ2Δ Δ Δ,N ,N ,N ===
=
，，
(e)
将式(e)代入式(d)，化简后得
AD AB BC F F F ,N ,N ,N 2=-
)(d '
联解方程(c) (a)，和)(d '，得
F F BC 22,N =
（拉）， F F AB 22
2,N -=（压）， F F F AG AD N 212,N ,-==（拉）
(b)解：此为一度静不定问题。

考虑小轮A 的平衡，由∑=0y F ，得
0sin451N =-F F
由此得
F F 21N =
在F 作用下，小轮A 沿刚性墙面向下有一微小位移，在小变形条件下，0Δ2≈l ，
故有
02N =F
N1F 的水平分量由刚性墙面提供的约束反力来平衡。

3-22 图示桁架，杆1、杆2与杆3分别用铸铁、铜和钢制成，许用应力分
别为[1σ]=40MPa ，[2σ]=60MPa ，[3σ]=120MPa ，弹性模量分别为E 1=160GPa ，E 2=100GPa ，E 3=200GPa 。

若载荷F =160kN ，A 1= A 2= 2A 3，试确定各杆的横截面面积。

题3-22图
解：此为一度静不定结构。

节点C 处的受力图和变形图分别示如图3-22a 和b 。

图3-22
由图a 可得平衡方程 N21N 2
3
0F F F x =
=∑， (
∑=+=F F F F y N3N221
0， (
由图b 得变形协调方程为
32
1Δsin30
Δctan30Δl l l =+
(
根据胡克定律，有
3
31N3333N33321N2222N22311N1111N113Δ 3Δ 2ΔA E l
F A E l F l A E l F A E l F l A E l F A E l F l ======
，， )d (
将式(d)代入式(c)，化简后得补充方程为
N3N2N183215F F F =+
)c ('
联解方程(a)，(b)和(c ’)，并代入数据，得
kN 6.22N1=F (压)， kN 1.26N2=F （拉）， kN 9.146N3=F （拉） 根据强度要求，计算各杆横截面面积如下：
2242
6
31N11mm 565m 1065.5m 1040106.22][=⨯=⨯⨯=≥-σF A
2242
6
32N22mm 435m 1035.4m 1060101.26][=⨯=⨯⨯=≥-σF A
2232
6
33N33mm 1224m 10224.1m 10
120109.146][=⨯=⨯⨯=≥-σF A 根据题意要求，最后取
2321mm 24502≥==A A A
3-23图a 所示支架，由刚体ABC 并经由铰链A 、杆1与杆2固定在墙上，
刚体在C 点处承受铅垂载荷F 作用。

杆1与杆2的长度、横截面面积与弹性模量均相
同，分别为l =100 mm ，A =100 mm 2
，E =200 GPa 。

设由千分表测得C 点的铅垂位移δy =0.075 mm ，试确定载荷F 与各杆轴力。

题3-23图
解：1. 求解静不定
在载荷F 作用下，刚体ABC 将绕节点A 沿顺时针方向作微小转动，刚体的位移、杆件的变形与受力如图b 所示。

显然，本问题具有一度静不定。

由平衡方程∑=0A M ，得
02
N2
N1=-+
F F F (
由变形图中可以看出，变形协调条件为
212l l ∆=∆
(
根据胡克定律，
EA
l
F l EA l F l N22N11Δ ,Δ==
(
将上述关系式代入式（b ），得补充方程为
N2N12F F =
联立求解平衡方程（a ）与上述补充方程，得
5
2 ,54N2N1F
F F F =
=
(
2. 由位移δy 确定载荷F 与各杆轴力
变形后，C 点位移至C ’(CC ’⊥AC )（图b ），且直线AC 与AB 具有相同的角位移θ，因此，C 点的总位移为
112'l l AB
AC
CC ∆=∆=
=δ 又由于 y δδ2= 由此得
y l δ=∆1
将式（c ）与（d ）的第一式代入上式，于是得
N 10875.1m)
10(1004)m 10075.0)(m 10100)(Pa 10200(54543
3269⨯=⨯⨯⨯⨯==
---l EA F y
δ 并从而得
N 105.7 ,N 105.13N24N1⨯=⨯=F F
3-24
图示钢杆，横截面面积A =2500mm 2
，弹性模量E =210GPa ，轴向载荷
F =200kN 。

试在下列两种情况下确定杆端的支反力。

(a) 间隙δ=0.6 mm ； (b) 间隙δ=0.3 mm 。

题3-24图
解：当杆右端不存在约束时，在载荷F 作用下，杆右端截面的轴向位移为
mm 57.0)
m 102500)(Pa 10210()m 5.1)(N 10200(2693=⨯⨯⨯==-EA Fa
F δ
当间隙δ=0.6 mm 时，由于δδ<F ，仅在杆C 端存在支反力，其值则为
kN 200==F F Cx
当间隙δ=0.3 mm 时，由于δδ>F ，杆两端将存在支反力，杆的受力如图3-24所
示。

图3-24
杆的平衡方程为
0=--Cx Bx F F F
补充方程为 δ=⋅-EA
a F EA Fa Bx 2 由此得
kN
5.47)
m 5.1(2)m 102500)(Pa 10210)(m 0003.0(2N 10200 222
693=⨯⨯-⨯=-=
-a
EA
F F Bx δ
而C 端的支反力则为
kN 5.152kN 5.47kN 200=-=-=Bx Cx F F F
3-25 图示两端固定的等截面杆AB ，杆长为l 。

在非均匀加热的条件下，距
A 端x 处的温度增量为22/l x T T
B ∆=∆，式中的B T ∆为杆件B 端的温度增量。

材料的
弹性模量与线膨胀系数分别为E 与l α。

试求杆件横截面上的应力。

题3-25图
解：1.求温度增高引起的杆件伸长
此为一度静不定问题。

假如将B 端约束解除掉，则在x 处的杆微段x d 就会因温升而有一个微伸长
x l x T αx T αl B l l d Δd Δ)d(Δ2
2
t ==
全杆伸长为
3Δd ΔΔ 0
2
2
t l T αx l x T α
l B l l B l ==⎰
2．求约束反力
设固定端的约束反力为F ，杆件因F 作用而引起的缩短量为
EA
Fl
EA l F l F =
=
N Δ 由变形协调条件 t ΔΔl l F =
可得
3Δ3ΔB
l B l T EA αl T αl EA F =
⋅=
3．求杆件横截面上的应力
3
ΔN B
l T E αA F A F σ=
==
3-26 图示桁架，杆BC 的实际长度比设计尺寸稍短，误差为∆。

如使杆端B
与节点G 强制地连接在一起，试计算各杆的轴力。

设各杆各截面的拉压刚度均为EA 。

题3-26图
解：此为一度静不定问题。

自左向右、自上向下将各杆编号1~5。

由强制装配容
易判断，杆1~3受拉，杆4和5受压。

装配后节点G 和C 的受力图分别示如图3-26a 和b 。

图3-26
根据平衡条件，由图a 可得
N3N2N1F F F ==
(
由图b 可得
N4N4N3N5N43cos302 F F F F F === ，
(b)
变形协调关系为(参看原题图)
34
1Δcos30Δcos60Δl l l Δ++=
(c)
依据胡克定律，有
EA
l F l i
i i N Δ=
)5~1(=i (d) 将式(d)代入式(c)，得补充方程
EA l
F EA
l F EA l F ΔN3N4N13322++=
(e)
联立求解补充方程(e)、平衡方程(a)与(b)，最后得 Δl
EA
F Δl EA F 23)233( ,23)329(N4N3-=-=
即 Δl
EA
F F F GE GD BC 23)329(,N ,N ,N -=
== （拉）
Δl
EA F F CE
CD 23)233(N,N,-== （压）
3-27图a 所示钢螺栓，其外套一长度为l 的套管。

已知螺栓与套管的横截
面面积分别为A b 与A t ，弹性模量分别为E b 与E t ，螺栓的螺距为p 。

现将螺母旋紧1/5圈，试求螺栓与套管所受之力。

螺帽与螺母的变形忽略不计。

题3-27图
解：首先设想套管未套上，而将螺母由距螺帽l 处旋转1/5圈，即旋进δ=p /5的距离。

然后，再将套管套上。

由于螺帽与螺母间的距离小于套管的长度，故套合后的螺栓将受拉，而套管则受压。

设螺栓所受拉力为F Nb ，伸长为∆l b ，套管所受压力为F Nt ，缩短为∆l t ，则由图b 与c 可知，平衡方程为
0Nt Nb =-F F
(
而变形协调方程则为
δ=∆+∆t b l l
利用胡克定律，得补充方程为
δ=+t
t Nt b b Nb E A l
F E A l F (
最后，联立求解平衡方程（a ）与补充方程（b ），得螺栓与套管所受之力即预紧力为
()k E A l F F F +===1b
b Nt Nb N0δ
式中，
t
t b
b E A E A k =
3-28 图示组合杆，由直径为30mm 的钢杆套以外径为50mm 、内径为30mm
的铜管组成，二者由两个直径为10mm 的铆钉连接在一起。

铆接后，温度升高40℃，试计算铆钉剪切面上的切应力。

钢与铜的弹性模量分别为E s = 200GPa 与E c =100GPa ，
线膨胀系数分别为s l α=12.5×10-6
℃-1
与c l α=16×10-6℃-1。

题3-28图
解：设温度升高T ∆时钢杆和铜管自由伸长量分别为Ts δ和Tc δ，由于二者被铆钉连在一起，变形要一致，即变形协调条件为
c Tc s Ts ΔΔl δl δ-=+
或写成
Ts Tc c s ΔΔδδl l -=+
这里，伸长量s Δl 和缩短量c Δl 均设为正值。

引入物理关系，得
T l ααA E l
F A E l F l l Δ)(s c c
c Nc s s Ns -=+ 将静力平衡条件F F F ==Nc Ns 代入上式，得
T ααA E A E A E A E F l l )Δ(s c c
c s s c
c s s -+=
注意到每个铆钉有两个剪切面，故其切应力为 )
(2)Δ(2c c s s s c c c s s S A E A E A T
ααA E A E A F A F τl l +-=
==
由此得
59.3MPa
Pa 1093.5 )]m 030.0050.0(10100030.010200[010.02N 4010)5.1216)(030.0050.0(10100030.01020072229292622929=⨯=-⨯+⨯⨯⨯⨯⨯--⨯⨯⨯⨯=
-τ 3-29
图示结构，杆1与杆2各截面的拉压刚度均为EA ，梁BD 为刚体，试
在下列两种情况下，画变形图，建立补充方程。

(1) 若杆2的实际尺寸比设计尺寸稍短，误差为δ；
(2) 若杆1的温度升高∆T ，材料的热膨胀系数为αl 。

题3-29图
(1)解：如图3-29(1)a 所示，当杆2未与刚性杆BD 连接时，下端点位于D ''，即
δ=''D D 。

当杆2与刚性杆BD 连接后，下端点铅垂位移至D '，同时，杆1的下端点则铅垂位移至C '。

过C '作直线C ’e 垂直于杆1的轴线，显然1Δl Ce =，即代表杆1的弹性变形，
同时，2Δl D D ='''，即代表杆2的弹性变形。

与上述变形相应，杆1受压，杆2受拉，刚性杆BD 的受力如图3-29(1)b 所示。

图3-29(1)
可以看出，
C C
D D '='2
即变形协调条件为
12Δ22Δl l ⋅=-δ
而补充方程则为
0412=--
EA
l
F EA l F δ 或
0412=-
+l
EA F F δ
(2)解：如图3-29(2)a 所示，当杆1未与刚性杆BD 连接时，由于其温度升高，下端点位于C ''，即T l C C l Δ2α=''。

当杆1与刚性杆BD 连接后，下端点C 铅垂位移至C '，而杆2的下端点D 则铅垂位移至D '。

过C '作直线C ’e 垂直于直线C C ''，显然，
1Δl C e =''即代表杆1的弹性变形，同时，2Δl D D ='，代表杆2的弹性变形。

与上述
变形相应，杆1受压，杆2受拉，刚性杆BD 的受力如图3-29(2)b 所示。

图3-29(2)
可以看出，
C C
D D '='2
故变形协调条件为
()
12ΔΔ222Δl T l l l -⋅=α
而补充方程则为
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅-=EA l F T l EA l F l 2Δ22212α 或
0Δ4412=-+T EA F F l α
3-30 图示桁架，三杆的横截面面积、弹性模量与许用应力均相同，并分别
为A ，E 与[σ]，试确定该桁架的许用载荷[F ]。

为了提高许用载荷之值，现将杆3的设计长度l 变为Δ+l 。

试问当∆为何值时许用载荷最大，其值[F ]max 为何。

题3-30图
解:此为一度静不定问题。

节点C 处的受力及变形示如图3-30a 和b 。

图3-30
由图a 得平衡方程为
F F F F F =+=N3N1N2N1cos302
，
(a)
由图b 得变形协调条件为
cos30ΔΔ31l l =
(b)
依据胡克定律,有
EA
l
F l i i i N Δ= )321(,,i =
(c) 将式(c)代入式(b)，化简后得补充方程为
N1N33
4
F F =
(
将方程(b ’)与方程(a)联解，得
N1N3N2N13
344
3343F F F F F F >+=+=
=，
][)334(4N3max σA
F
A F σ≤+==
由此得
4
])[334(][ ,4])[334(A
F A F σσ+=
+≤
为了提高][F 值，可将杆3做长∆，由图b 得变形协调条件为
cos30
ΔΔ1
3l Δl =
+ 式中，13l l ∆∆与均为受载后的伸长，依题意，有了∆后，应使三根杆同时达到][σ，即
l E σΔl E σ3]4[][=+ 由此得 E
l σE l σΔ3][][)134
(=
-= 此时，各杆的强度均充分发挥出来，故有
A A A F ])[31(][)cos30]([2][max σσσ+=+=
第四章 扭 转
4-5 一受扭薄壁圆管，外径D = 42mm ，内径d = 40mm ，扭力偶矩M = 500N •m ，
切变模量G =75GPa 。

试计算圆管横截面与纵截面上的扭转切应力，并计算管表面纵线
的倾斜角。

解：该薄壁圆管的平均半径和壁厚依次为
mm 12
2 mm 5.20)22(210=-==+=d D d D R δ，
于是，该圆管横截面上的扭转切应力为
189.4MPa Pa 10894.1m
001.00.02052πN
500π282
220=⨯=⨯⨯==δτR T 依据切应力互等定理，纵截面上的扭转切应力为 MPa 4.189=='ττ 该圆管表面纵线的倾斜角为
rad 102.53rad 10
75104.189396
-⨯=⨯⨯==
G τγ 4-7 试证明，在线弹性范围内，且当R 0
/δ≥10时，薄壁圆管的扭转切应力
公式的最大误差不超过4.53%。

解：薄壁圆管的扭转切应力公式为
δ
R T
τ2
0π2=
设βδR =/0，按上述公式计算的扭转切应力为
3
220π2π2δ
βT
δR T τ== (a)
按照一般空心圆轴考虑，轴的内、外直径分别为 δR D δR d +=-=002 2，
极惯性矩为 )4(2π])2()2[(32π)(32π22
00404044p δR δR δR δR d D I +=--+=-=
由此得
)
14(π)12()2()4(π)2(23022000p max ++=++=+=
ββδβδδδT R R R T
δR I T τ (b)
比较式(a)与式(b)，得
)12(21
4)12()14(ππ22233
2max
++=++⋅=ββββββδδβT T
ττ
当100
==δ
βR 时，
9548.0)
1102(1021
1042max =+⨯⨯⨯+⨯=ττ
可见，当10/0≥δR 时，按薄壁圆管的扭转切应力公式计算τ的最大误差不超过4.53％。

4-8 图a 所示受扭圆截面轴，材料的γτ-曲线如图b 所示，并可用m
C /1γ
τ=表示，式中的C 与m 为由试验测定的已知常数。

试建立扭转切应力公式，并画横截面
上的切应力分布图。

题4-8图
解：所研究的轴是圆截面轴，平面假设仍然成立。

据此，从几何方面可以得到
x
d d ϕ
ρ
γρ= (
根据题设，轴横截面上距圆心为ρ处的切应力为
m
ρx
C τ/1)d d (ϕρ
= (
由静力学可知，
⎰⎰==+A m m m
A
ρT A ρx
C A d )d d (
d /)1(/1ϕρτ
(c)
取径向宽度为ρd 的环形微面积作为A d ，即
ρρA d π2d = (d)
将式(d)代入式(c)，得 ⎰=+2/0/)12(/1d )d d (π2d m m m T ρρx
C ϕ
由此得
m m m d C T x /)13(/1)2
m(π2)1m 3()d d (
++=ϕ
(e)
将式(e)代入式(b)，并注意到T=M ，最后得扭转切应力公式为
m
m m
d m m M 1)/(3/1)2
(13π2++=
ρτρ 横截面上的切应力的径向分布图示如图4-8。

图4-8
4-9 在图a 所示受扭圆截面轴内，用横截面ABC 和DEF 与径向纵截面ADFC
切出单元体ABCDEF （图b ）。

试绘各截面上的应力分布图，并说明该单元体是如何平衡的。

题4-9图
解：单元体ABCDEF 各截面上的应力分布图如图4-9a 所示。

图4-9
根据图a ，不难算出截面D AOO 1上分布内力的合力为
2max π4)2(211d
Tl l d τF x ='=
同理，得截面1OCFO 上分布内力的合力为
2
π42d Tl
F x =
方向示如图c 。

设21x x F F 与作用线到x 轴线的距离为1z e ，容易求出
3
2321d
d e z =⋅=
根据图b ，可算出单元体右端面上水平分布内力的合力为
d
T θρρθI T
F d z π38d d )2πcos(π02/0
p 2=-=⎰
⎰
ρ 同理，左端面上的合力为
d
T
F z π381=
方向亦示如图c 。

设2z F 作用线到水平直径DF 的距离为y e （见图b ），由 ⎰⎰=-=
π
02/032
p
4d )d 2π
(cos 2T I T
e F d y z ρρθθ 得
d d T d T
e y 295.032
π38π34≈=⋅=
同理，1z F 作用线到水平直径AC 的距离也同此值。

根据图b ，还可算出半个右端面E DO 1上竖向分布内力的合力为
⎰
⎰=-=2/π0
2/0
p 3π4d d )2πsin(3d
T θρρθI T ρ
F d y 设3y F 作用线到竖向半径E O 1的距离为2z e （见图b ），由 ⎰⎰==
2/π02/032p 8
d d cos 23d z y T I T
e F ρρθθ 得
d d
T d T e z 295.032
π34π382≈=⋅=
同理，可算出另半个右端面FE O 1以及左端面OCB AOB 、上的竖向分布内力的合力为
d
T F F F y y y π34214=
== 方向均示如图c 。

它们的作用线到所在面竖向半径的距离均为2z e 。

由图c 可以看得很清楚，该单元体在四对力的作用下处于平衡状态，这四对力构成四个力偶，显然，这是一个空间力偶系的平衡问题。

02
2)(2)2(0121224
=-=⋅-⋅-⋅+⋅=∑T
T e F e F e F e F M y z z y y z z y
x ，
0π38π38)2(0112=-=
⋅-⋅=∑d Tl
d Tl
e F l F M z x z y ，
0π34π34034=-=⋅-⋅=∑d Tl
d Tl l F l F M y y z ，
既然是力偶系，力的平衡方程（共三个）自然满足，这是不言而喻的。

上述讨论中，所有的T 在数值上均等于M 。

4-11 如图所示，圆轴AB 与套管CD 用刚性突缘E 焊接成一体，并在截面A
承受扭力偶矩M 作用。

圆轴的直径d = 56mm ，许用切应力[1τ]=80MPa ，套管的外径D = 80mm ，壁厚δ= 6mm ，许用切应力[2τ]= 40MPa 。

试求扭力偶矩M 的许用值。

题4-11图
解：由题图知，圆轴与套管的扭矩均等于M 。

1.由圆轴AB 求M 的许用值
][π16131
p11max1ττ≤==
d
M W M 由此得M 的许用值为
m 2.76kN m N 102.76m N 16
1080056.0π16][π][36
3131⋅=⋅⨯=⋅⨯⨯⨯==τd M
2．由套管CD 求M 的许用值
106mm 37mm mm 2
680200R δD R >==-=-=，δ
此管不是薄壁圆管。

85.08068
802680==⨯=－α
][)
1(π162432
p22max2τατ≤-==D M W M
由此得M 的许用值为
m
1.922kN m N 1092
2.1 m
N 16
1040)0.85(1080.0π16])[1(π][36
432432⋅=⋅⨯=⋅⨯⨯-⨯⨯=-=ταD M 可见，扭力偶矩M 的许用值为
m 1.922kN ][][2⋅==M M
4-13 图示阶梯形轴，由AB 与BC 两段等截面圆轴组成，并承受集度为m
的均匀分布的扭力偶矩作用。

为使轴的重量最轻，试确定AB 与BC 段的长度l 1与l 2以及直径d 1与d 2。

已知轴总长为l ，许用切应力为[τ]。

题4-13图
解：1.轴的强度条件
在截面A 处的扭矩最大，其值为
ml T =max1
由该截面的扭转强度条件
][π163
1p1max1max1τd ml
W T ≤==
τ 得
3
]
π[161τml
d =
(
BC 段上的最大扭矩在截面B 处，其值为
2max2ml T =
由该截面的扭转强度条件得
3
]
π[m 162
2τl d =
2．最轻重量设计 轴的总体积为 ])]
π[16()()]π[16[(4π4π)(4π23/2223
/2222221l τml l l τml l d l l d V +-=+-=
根据极值条件
0d d 2
=l V。