高二下学期数学期末考试试卷第14套真题

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14-15(下)高二文科数学期末试卷

2014-2015学年度第二学期高二级文科数学期末考试试卷本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分.考试用时120分钟.注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上.2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上.3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4、考生必须保持答题卡的整洁和平整.第一部分选择题(共 60 分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知集合{1,2,3,4}A =,2{|,}B x x n n A ==∈,则A B =A ．{1，2}B ．{1,9}C ．{1}D ．{1，4}2、已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量方向相同的单位向量为A ．3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，- B ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-C ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， 3、集合A={2,3},B={1,2,3},已知点(,),,M x y x A y B ∈∈，则点(,)M x y 落在直线4x y +=上的概率是A ．23B ．13C ．12D ．164、i 为虚数单位，则20151+1i i ⎛⎫⎪-⎝⎭A ．iB ．1-C ．i -D ． 15、函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是A ．4,3πB ．2,6π-C ．4,6π-D ．2,3π-6、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,8374,2S a a ==-,则9a =A ．2-B ．4-C ．6-D ．27、函数()2()=ln 1f x x +的图象大致是．8、阅读如下程序框图，如果输出i ＝4，那么空白的判断框中应填入的条件是A ．S ＜8B ．S ＜9C ．S ＜10D ．S ＜119、一个多面体的三视图如图所示，则多面体的体积是 A.7 B.476 C.6 D.23310、已知0>>b a ，椭圆1C 的方程为12222=+b y a x ，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 与2C 的离心率之积为23，则2C 的渐近线方程为 A.02=±y x B.02=±y x C. 02=±y x D.02=±y x11、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有黍米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛12、已知函数22,0,()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩,若|()|f x ax ≥,则a 的取值范围是A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-俯视图视图主正)(视图左侧)(第二部分非选择题 (共 90 分)二．填空题：本大题共4小题, 每小题5分, 共20分. 把答案填在答卷的相应位置13、若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴,则a =____________.14、某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于________．15、若x ,y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩,则z =3x +y 的最大值为．16、已知F 为双曲线22:=1916x y C -的左焦点，,P Q 为C 双曲线上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点(5,0)A 在线段PQ 上，则PQF ∆的周长为__________．三、解答题：必做大题共5小题，共60分；选做大题二选一，共10分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（本题满分12分）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2. (1)求角C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积．18.（本题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：（II ）估计这种产品质量指标值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（III ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？19. （本题满分12分）如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ABCD ⊥平面，（I ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（II ）若120ABC ∠=，,AE EC ⊥ 三棱锥E ACD -锥的侧面积.••••••••••••••••O20．(本题满分12分）已知点)2,2(P ，圆C :0822=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点. （1）求M 的轨迹方程；（2）当OM OP =时，求l 的方程及POM ∆的面积 21.(本题满分12分）设函数()ln xf x e a x =-.（1）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数；（2）证明：当0a >时()2ln f x a a a ≥-.请考生在第21、22题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图AB 是 O 直径，AC 是 O 切线，BC 交 O 与点E.（1）若D 为AC 中点，证明：DE 是 O 切线；（2）若OA = ，求ACB ∠的大小.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求12,C C 的极坐标方程.（2）若直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆ 的面积.2014-2015学年度第二学期高二级文科数学期末考试答卷成绩：注意事项：1、本答卷为第二部分非选择题答题区.考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在各题目指定区域内的相应位置上答题，超出指定区域的答案无效.2、如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.。

2024河南省新未来高二下学期7月期末联考数学试题及答案

绝密★启用前金科·新未来2023~2024学年度下学期期末质量检测高二数学全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2、请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。

4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知等差数列{}n a 满足3616a a +=，且534a a −=，则首项1a =（） A ．1−B ．0C ．1D ．32．已知曲线()ln 2f x ax x =+−在点()()1,1f 处的切线方程是2y x b =+，则b =（） A ．3−B ．2−C ．1D ．-13．在各项为正的等比数列{}n a 中，8a 与10a 的等比中项为2，则26212log log a a +=（） A ．4 B ．3C ．1D ．24．函数()()321303f x x x x x =−−≤的最大值是（） A ．53B ．0C ．2D ．35．已知双曲线2222:1x y C a b−=的一条渐近线与圆22:(25E x y −+=相交于,A B 两点，且8AB =，则双曲线C 的离心率为（）A BC D6．若函数()22e xf x ax =−在区间()2,1−−上单调递减，则a 的取值范围是（） A ．[)2e,+∞B ．41,2e−+∞C ．21,e−∞−D ．21,0e−7．已知*211,,212nn n a b n n n∈==−+N ，数列{}n a 与数列{}n b 的公共项按从大到小的顺序排列组成一个新数列{}n c ，则数列{}n c 的前99项和为（） A ．12B ．99199C ．99197D ．1981998．在平面坐标系xOy 中，一个质点从原点出发，每次移动一个单位长度，且上下左右四个方向移动的概率相等，若该质点移动6次后所在坐标为()2,0，则该质点移动的方法总数为（） A ．120B ．135C ．210D ．225二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，则（） A ．{}n n a b +不可能为等比数列 B ．{}n n a b 可能为等差数列 C ．n S n是等差数列D ．2n n T是等比数列 10．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，点P 是C 上位于第一象限的动点，点M 为l 与x 轴的交点，则下列说法正确的是（） A ．F 到直线l 的距离为2B ．以P 为圆心PF 为半径的圆与l 相切C ．直线MP 斜率的最大值为2D ．若FM FP =，则FMP △的面积为211．已知函数()()e ,ln xf x xg x x x =−=−，则下列说法正确的是（） A ．()exg 在()0,+∞上是增函数B ．1x ∀>，不等式()()2ln f ax f x≥恒成立，则正实数a 的最小值为2eC ．若()f x t =有两个零点12,x x ，则120x x +>D ．若()()12(2)f x g x t t ==>，且210x x >>，则21ln tx x −的最大值为1e三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知变量x 和y 的统计数据如下表：x 1 2 3 4 5 y 1.5 2 m 4 4.5若由表中数据得到经验回归直线方程为 0.80.6x y =+，则m =_________．13．已知函数()2e xf x ax =−，若()f x 的图象经过第一象限，则实数a 的取值范围是_________．14．不透明的袋子中装有2个白球，3个黑球（除颜色外，质地大小均相同），学生甲先取出2个球（不放回），学生乙在剩下的3个球中随机取一个，已知甲至少取走了1个黑球，则乙取出白球的概率为_________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15．（本小题满分13分）已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，111a =−，且256,,a a a 成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设n S 为{}n a 的前n 项和，求n S 的最小值． 16．（本小题满分15分）如图，在三棱锥P ABC −中，AB ⊥平面,,PAC E F 分别为,BC PC 的中点，且22PA AC AB ===．（1）证明：PC ⊥平面ABF ；（2）若AC PA ⊥，求平面AEF 与平面PAC 的夹角的余弦值． 17．（本小题满分15分）某学校食堂提供甲、乙、丙三种套餐，每日随机供应一种，且相邻两天不重复．已知食堂今天供应套餐甲，（1）求接下来的三天中食堂均未供应套餐甲的概率；（2）用随机变量X 表示接下来的三天中食堂供应套餐乙的天数，求X 的分布列与期望． 18．（本小题满分17分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，，过F 的直线交C 于,A B 两点，O 为坐标原点，当AB OF ⊥时，AB =．（1）求C 的方程；（2）过F 的另一条直线交C 于,D E 两点，设直线AB 的斜率为()110k k ≠，直线DE 的斜率为2k ，若122k k =，求AB DE −的最大值．19．（本小题满分17分）已知函数()()()e 1,ln 1xf xg x x =−=+．（1）若()()f x kg x ≥在()0,+∞上恒成立，求k 的取值范围；（2）设()()111,0A x y x >为()y f x =图象上一点，()()222,0B x y x >为()y g x =−图象上一点，O 为坐标原点，若AOB ∠为锐角，证明：221x x >．金科·新未来2023~2024学年度下学期期末质量检·高二数学参考答案、提示及评分细则题号 1 2 3 45 6 7 891011答案 C A D A D B B D BC ABD ABD一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为3616a a +=，且534a a −=，所以36153271624a a a d a a d +=+= −== ，所以112a d ==．故选C ． 2．【答案】A【解析】函数()ln 2f x ax x =+−，求导得()1f x a x′=+，依题意，()112f a +′==，得()1,ln a f x x x ==+−2，显然()11f =−，因此12b −=+，所以3b =−．故选A ．3．【答案】D【解析】因为8a 与10a 的等比中项为2，所以281024a a ==，所以()()26212261228102log log log log log 42a a a a a a +=⋅=⋅==．故选D ．4．【答案】A 【解析】因为()()321303f x x x x x =−−≤，所以()223f x x x =−−′，令()0f x ′>，得1x <−，令()0f x ′<，得10x −<<，所以函数()f x 在(),1−∞−上单调递增，在()1,0−上单调递减，所以()f x 的最大值是()513f −=．故选A ． 5．【答案】D【解析】根据题意得，圆心E 到C的渐近线的距离为3,=∴设渐近线方程为by x a=，则223,9,b e a =∴=，故选D ． 6．【答案】B【解析】依题意，()222e0xf x ax =−≤′在()2,1−−恒成立，即2e x a x ≥恒成立，设()2e xg x x=，则()()22e 21x x g x x′−=，所以()0g x ′≤，所以()g x 在()2,1−−单调递减，所以()4122e a g ≥−=−，故选B ． 7．【答案】B【解析】因为数列{}21n −是正奇数数列，对于数列{}22n n +等价于{}2(1)1n +−，当n 为奇数时，设()*21n k k =−∈N ，则22(1)141n k +−=−为奇数；当n 为偶数时，设()*2n k k =∈N ，则()22(1)1(21)141n k k k +−=+−=+为偶数，所以()()22111111,4141212122121n nc c n n n n n n====−−−−+−+，所以129911111111991123351971992199199c c c +++=×−+−++−=×−=，故选B ． 8．【答案】D【解析】情形一，质点往右移动4次，往左移动2次，26C 15=，情形二，质点往右移动3次，往左移动1次，往上移动一次，往下移动一次，3363C A 120=，情形三，质点往右移动2次，往上移动2次，往下移动2次，2264C C 90=，所以质点移动的方法总数为225，故选D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．【答案】BC （全部选对得6分，选对1个得3分，有选错的得0分）【解析】对于A ，当{}n a 为常数列，且0n a =时，因为{}n b 是等比数列，所以{}n n a b +为等比数列，所以A 错误．对于B ，当{}n b 为常数列时，因为{}n a 为等差数列，所以{}n n a b 为等差数列，所以B 正确．对于C ，设{}n a 的公差为d ，则()112n n n S na d +=+，得()112nn Sa d n +=+，因为1112n n S S d n n +−=+，所以数列n S n是等差数列，所以C 正确．对于D ，设{}n b 的公比为q ，则1111112122222n n n n n n n n n nT T b b q T T +++++⋅，当1q ≠时，112n b q 不是常数，所以2n n T 不是等比数列，所以D 错误．故选BC ．10．【答案】ABD （全部选对得6分，选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得0分）【解析】易知()1,0F ，准线:1l x =−，所以F 到直线l 的距离为2，A 选项正确；由抛物线的定义，点P 到准线的距离等于PF ，所以以P 为圆心PF 为半径的圆与l 相切，B 选项正确；当直线MP 与抛物线相切时，MP 的斜率取得最大值．设直线:1MP x my =−，与抛物线24y x =联立可得：2440y my −+=，令2Δ16160m =−=得：1m =±，所以直线MP 斜率的最大值为1，C 选项错误；若2FM FP ==，设200,4y P y，则2124y +=，解得02y =，所以FMP △的面积为01222y ××=，D 选项正确，故选ABD ． 11．【答案】ABD （全部选对得6分，选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得0分）【解析】A 项中，令e xt =，则ln x t =，由()0,x ∈+∞知1t >，此时函数为1ln ,10y t t y t′=−=−>，所以函数ln y t t =−在()1,+∞上是单调增函数，即()exg 在()0,+∞上是增函数，所以A 项正确；B 项中，1x >时，2ln 0x >，又a 为正实数，所以0ax >，又()e 10x f x =′−>，所以()f x 单调递增，所以不等式等价于2ln ax x ≥对1x ∀>恒成立，即max2ln x a x ≥，令()2ln x x x ϕ=，知()222ln x x x ϕ−′=，所以()x ϕ在()1,e 上递增，在()e,+∞上递减，所以()()max 2()e ex ϕϕ==，所以B 项正确；C 项中，易知()e x f x x =−在(),0−∞上递减，在()0,+∞上递增，()min ()01f x f ==，所以1t >，不妨设12x x <，则必有120x x <<，若12x x +> 0，则等价于210x x >−>，等价于()()21f x f x >−，等价于()()11f x f x >−，令()()()F x f x f x =−−，()()()(),0,e e 20x x x F x f x f x −′′′∈−∞=+−=+−>，即()F x 在(),0−∞上递增，所以()()00F x F <=，则()1,0x ∈−∞时，()()11f x f x <−，所以120x x +>不成立，即C 错误；D 项中，由()e xf x x =−在(),0−∞上递减，在()0,+∞上递增，()g x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，易知()()f x g x =有唯一的解()00,1x ∈，又()1e 12f =−<，所以211x x >>，由()()12f x g x =，即12ln 1222e ln e ln x x x x x x −=−=−，即有()()12ln f x f x =，所以12ln x x =，即12e x x =，所以1211ln ln ln e x t t tx x x t ==−−，又2t >，所以21min ln 1e t x x =− ，所以D 正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．【答案】3【解析】易知3x =，经验回归直线 0.80.6x y =+过样本点的中心(),x y ，所以0.830.63y =×+=，所以524 4.3.515m ++++=×，解得3m =．13．【答案】e ,2+∞【解析】由()f x 的图象经过第一象限，得0x ∃>，使得()0f x >，即e 2xa x >，设()e (0)x g x x x=>，求导得()()2e 1x x g x x =′−，当01x <<时，()0g x ′<，当1x >时，()0g x ′>，函数()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，则()min ()1e g x g ==，有2e a >，所以实数a 的取值范围是e ,2+∞．14．【答案】49【解析】甲取走1个黑球1个白球的方法数为1123C C 6=，取走2个黑球的方法数为23C 3=，所以乙取出白球的概率为613246336339P=×+×=++．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15．【答案】（1）213na n =−（2）36− 【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，则25611,114,115a d a d a d =−+=−+=−+，依题意，2526a a a =，即()()2(114)11115d d d −+=−+−+，整理得，()1120d d −=，解得，2d =或0d =（舍），所以()1121213n a n n =−+−=−；（2）21112131222n n a a n S n n n n +−+−=×=×=−，因为2212(6)3636n S n nn =−=−−≥−，当且仅当6n =时，等号成立，所以n S 的最小值为36−．16．【答案】（1）略（2【解析】（1）因为F 为PC 的中点，PA AC =，所以PC AF ⊥，因为AB ⊥平面,PAC PC ⊂平面PAC ，所以AB PC ⊥，又,,AF AB A AF AB =⊂ 平面ABF ；所以PC ⊥平面ABF ；（2）若AC PA ⊥，则,,AB AC AP 两两垂直，建立如图所示分别以,,AB AC AP 为,,x y z 轴的空间直角坐标系，()()()()0,0,0,,0,1,1,1,0,0,0,2,0A E F B C，()()()10,2,0,,1,0,0,1,1,1,0,02ACAE AF AB ====，设平面AEF 的法向量为()111,,n x y z = ，则有0,0,AE n AF n ⋅=⋅=即111110,20,x y y z +=+=令11y =，则112,1x z =−=−，所以平面AEF 的一个法向量为()2,1,1n =−−，易知AB ⊥平面,PAC ∴平面PAC 的法向量为()1,0,0AB =，设平面AEF 与平面PAC 夹角为θ，则cos AB n AB nθ⋅==⋅，所以平面AEF 与平面PAC ． 17．【答案】（1）14 （2）98【解析】（1）记事件A =“接下来的三天中食堂都未供应套餐甲”，则()1111224P A =××=，所以接下来的三天中食堂均未供应套餐甲的概率为14；（2）X 的所有可能取值分别为0，1，2，则()111102228P X ==××=， ()11121224P X ==××=()11511488P X ==−−=X 的分布列为X 0 1 2P18 58 14所以X 的期望为()151********E X =×+×+×=． 18．【答案】（1）2212x y += （2【解析】（1）设焦距为2c ，当AB OF ⊥时，将x c =代入椭圆方程可得，22221c y a b +=，解得2b y a =±，所以22b AB a==ca=，解得1a b ，所以C 的方程为2212x y +=；（2）设直线()()11112211:1,,,,AB x m y m A x y B x y k=+=，与椭圆线方程联立1221220x m y x y =+ +−=可得，()22112210m y m y ++−=，由韦达定理，11212221121,22m y y y y m m −−+==++，所以2AB y =−=21112m − +，同理可得，22112CD m =− +，2212AB DE m −=−+，因为122k k =，所以212m m =，故21142AB DE m −=−=+1≤，当且仅当11k =±时，等号成立，所以||AB DE −的最大值为． 19．【答案】（1）1k ≤（2）略【解析】（1）先证明()f x x >，构造函数()()e 1x F x f x x x =−=−−，则()e 10xF x =′−>，故()F x 单调递增，从而()()00F x F >=，即e 1xx >+，因此()ln 1x x >+，当1k ≤时，()()ln 1ln 1e 1x k x x x +≤+<<−，符合题意；当1k >时，构造函数()()()()e 1ln 1x G x f x kg x k x −−−+，则()()e ,1x k G x G x x ′=−+′单调递增，且()()010,ln 01ln k G k G k k k =′′−<=−>+，故存在()00,ln x k ∈，使得()00G x ′=，且()00,x x ∈时，()0G x ′<，即()G x 单调递减，则当()00,x x ∈时，()()00G x G <=，与题意矛盾．综上所述，1k ≤；（2）依题意可知，cos 0AOB ∠>，则0OA OB ⋅> ，即12120x x y y +>，即()()1122e 1ln 1x x x x >−+．因为12,0x x >，则不等式为()1212ln 1e 1x x x x +>−，设11e 1x x =′−，则不等式为()()22ln 1ln 11x x x x +++′>′，设()()ln 1x h x x+=，则()()2ln 11x x x h x x −+′+=，设()()ln 1H x x =−+，则()22110(1)1(1)x H x x x x ′−=−=<+++，因此()()00H x H <=，即()0h x ′<，即()h x 单调递减，因此()()12h x h x ′>，可得12x x ′<，即12e 1xx <+．首先证明：2e 1(0)x x x >+>，设()2e 1x t x x =−−，则()e 2x t x x =′−，由（1）可知1e 1,e x x x x −>+∴>，从而e e 2x x x >>，故()()0,t x t x ′>单调递增，因此()()00t x t >=，从而2e 1x x >+，因而12211e 1x x x +>>+，故221x x >．。

高二下学期文数期末考试试卷第14套真题

高二下学期文数期末考试试卷一、选择题1. 已知集合A={x∈Z||x|＜5}，B={x|x﹣2≥0}，则A∩B等于（）A . （2，5）B . [2，5）C . {2，3，4}D . {3，4，5}2. 命题“∃x0∈R，x ”的否定形式是（）A . ∃x0∈R，xB . ∃x0∈R，xC . ∀x∈R，x2=1D . ∀x ∈R，x2≠13. 下列四个条件中，使a＞b成立的必要而不充分的条件是（）A . a＞b﹣1B . a＞b+1C . |a|＞|b|D . 2a＞2b4. 椭圆上一点M到左焦点F1的距离是2，N是MF1的中点，O为坐标原点，则|ON|的值为（）A . 4B . 8C . 3D . 25. 设命题p：∃x0∈（0，+∞），3 +x0=2016，命题q：∀a∈（0，+∞），f（x）=|x|﹣ax，（x∈R）为偶函数，那么，下列命题为真命题的是（）A . p∧qB . （￢p）∧qC . p∧（￢q）D . （￢p）∧（￢q）6. 已知点P（x0，y0）在抛物线W：y2=4x上，且点P到W的准线的距离与点P到x轴的距离相等，则x0的值为（）A .B . 1C .D . 27. 若不等式x2﹣kx+k﹣1>0对x∈（1，2）恒成立，则实数k的取值范围是（）A . （﹣∞，2）B . （﹣∞，2]C . （2，+∞）D . [2，+∞）8. 关于x，y的方程y=mx+n和+ =1在同一坐标系中的图象大致是（）A .B .C .D .9. 曲线y=lnx上的点到直线y=x+1的最短距离是（）A .B . 2C .D . 110. 下列求导运算正确的是（）A . （x+ ）′=1+B . （log2x）′=C . （3x）′=3xlog3eD . （x2cosx）′=﹣2xsinx11. 双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上任意一点P可向圆x2+y2=（）2作切线PA，PB，若存在点P使得•=0，则双曲线的离心率的取值范围是（）A . [ ，+∞）B . （1，]C . [ ，）D . （1，）12. 设函数f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=2，f′（x）﹣f（x）＞ex，则使得f（x）＞xex+2ex成立的x的取值范围是（）A . （0，+∞）B . （1，+∞）C . （0，1）D . （﹣∞，+∞）二、填空题13. 已知集合M={x||x|＜1}，N={a}，若M∪N=M，则实数a的取值范围是________．14. 抛物线y2=﹣12x的准线与双曲线﹣=1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于________．15. 已知函数f（x）=lnx﹣（m∈R）在区间[1，e]取得最小值4，则m=________．16. 给出下列命题：①定义在R上的函数f（x）满足f（2）＞f（1），则f（x）一定不是R上的减函数；②用反证法证明命题“若实数a，b，满足a2+b2=0，则a，b都为0”时，“假设命题的结论不成立”的叙述是“假设a，b都不为0”．③把函数y=sin（2x+ ）的图象向右平移个单位长度，所得到的图象的函数解析式为y=sin2x．④“a=0”是“函数f（x）=x3+ax2（x∈R）为奇函数”的充分不必要条件．其中所有正确命题的序号为________．三、解答题17. 设命题p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，命题q：实数x 满足2＜x≤3．（1）若a=1，有p且q为真，求实数x的取值范围．（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18. 已知双曲线方程为16x2﹣9y2=144．（1）求该双曲线的实轴长、虚轴长、离心率；（2）若抛物线C的顶点是该双曲线的中心，而焦点是其左顶点，求抛物线C的方程．19. 已知函数f（x）=xex+ax2+2x+1在x=﹣1处取得极值．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数y=f（x）﹣m﹣1在[﹣2，2]上恰有两个不同的零点，求实数m的取值范围．20. 已知椭圆C：+ =1（a＞b＞0）的离心率为，其左、右焦点为F1、F2，点P是坐标平面内一点，且|OP|=，• = ，其中O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，过点S（0，﹣）的动直线l交椭圆于A、B两点，是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．21. 已知函数．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求a的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设函数，若在[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）≥g（x0）成立，求实数a的取值范围．四、选做题22. 已知曲线C在直角坐标系xOy下的参数方程为（θ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρcos（θ﹣）=3 ，射线OT：θ= （ρ＞0）与曲线C交于A点，与直线l交于B，求线段AB的长．23. 设f（x）=|x﹣1|+|x+1|，（x∈R）（1）求证：f（x）≥2；（2）若不等式f（x）≥ 对任意非零实数b恒成立，求x的取值范围．。

高二下学期期末考试数学试卷和答案

高二下学期期末考试数学试卷和答案一、选择题：(每题4分，共48分) 将答案填图在答题卡上.1．复数31ii--等于（） A ．i 21+ B.12i - C.2i + D.2i - 2．=-⎰π20)sin (dx x （）A ．0 C.－23．若复数i i z -=1，则=|z |( )A ．21B ．22C ．1D ．24．从0，1，2，…，9这10个数字中，任取两个不同数字作为平面直角坐标系中点的坐标，能够确定不在x 轴上的点的个数是（）A ．100 B ．90 C ．81 D ．725.若函数3()33f x x bx b =-+在（0，1）内有极小值，则（） A ．01b <<B ．1b <C ．0b >D ．12b <6．在二项式5)1(xx -的展开式中，含x 3的项的系数是（）7．若函数()y f x =的导函数．．．在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是（）.A ．B ．C ．D ．8．若圆的方程为⎩⎨⎧+=+-=θθsin 23cos 21y x （θ为参数），直线的方程为⎩⎨⎧-=-=1612t y t x （t 为参数），则直线与圆的位置关系是（）。

A. 相交过圆心B.相交而不过圆心C.相切D.相离9．有外形相同的球分装三个盒子，每盒10个．其中，第一个盒子中7个球标有字母A 、3个球标有字母B ；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中则有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一号盒子中任取一球，若取得标有字母A 的球，则在第二号盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B 的球，则在第三号盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验成功，那么试验成功的概率为（） A ． B ． C ． D ．y y y10．设31(3)n x x+的展开式的各项系数的和为P ，所有二项式系数的和为S ，若P +S =272，则n 为（）A ．4B ．5C ．6D ．811．设一随机试验的结果只有A 和A ，()P A p =，令随机变量10A X A =⎧⎨⎩，出现，，不出现，，则X 的方差为（）Ａ．p Ｂ．2(1)p p -Ｃ．(1)p p -- Ｄ．(1)p p -天津市大港一中08—09学年高二下学期期末考试（数学理）12.参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-==1112t t y t x （t 为参数）所表示的曲线是（）。

北京第十四中学高二数学理下学期期末试题含解析

北京第十四中学高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若函数的图象与轴有公共点，则的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：A2. 直线x=3的倾斜角是（）A.0B.C.D.不存在参考答案：B略3. 椭圆+=1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=a，且a∈[，]，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．[，1] B．[，] C．[，1） D．[，]参考答案：B【考点】椭圆的简单性质．【分析】设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a，根据B和A关于原点对称可知|BF|=|AF′|，推知|AF|+|BF|=2a，又根据O是Rt△ABF的斜边中点可知|AB|=2c，在Rt△ABF中用α和c分别表示出|AF|和|BF|代入|AF|+|BF|=2a中即可表示出即离心率e，进而根据α的范围确定e 的范围．【解答】解：∵B和A关于原点对称∴B也在椭圆上设左焦点为F′根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a又∵|BF|=|AF′|∴|AF|+|BF|=2a…①O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c又|AF|=2csinα…②|BF|=2ccosα…③②③代入①2csinα+2ccosα=2a∴=即e==∵a∈[，]，∴≤α+π/4≤∴≤sin（α+）≤1∴≤e≤故选B4. 函数的定义域为（）A．[1，2)∪(2，+∞） B．(1，+∞） C．[1，2) D．[1，+∞)参考答案：A略5. 某同学证明+＜+的过程如下：∵﹣＞﹣＞0，∴＜，∴＜，∴+＜+，则该学生采用的证明方法是（）A6. 若随机变量X～,则的值为 ( )A . B. C. D.参考答案：D7. 已知点的极坐标为,则过点且垂直于极轴的直线方程为A. B. C．D．参考答案：C略8. 圆心在x轴上，半径为1且过点(2,1)的圆的方程为A．B．C．D．参考答案：B9. 若能把单位圆O：x2+y2=1的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“完美函数”，下列函数不是圆O的“完美函数”的是（）A．f（x）=4x3+x B．C．D．f（x）=e x+e﹣x参考答案：D【考点】函数的图象．【分析】由圆O的“和谐函数”的定义，我们易分析出满足条件的函数f（x）是图象经过原点的奇函数，逐一分析四个函数的奇偶性，可得答案．【解答】解：若函数f（x）是圆O的“和谐函数”，则函数f（x）的图象经过圆心，且函数f（x）的图象关于圆心对称．由圆O：x2+y2=1的圆心为坐标原点，故满足条件的函数f（x）是图象经过原点的奇函数．由于A中f（x）=4x3+x，B中f（x）=ln，C中f（x）=tan，都是奇函数，且经过原点，故它们都是“和谐函数”．D中f（x）=e x+e﹣x为奇函数，但由于它的图象不经过原点，故它不是“和谐函数”，故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，其中根据新定义圆O的“和谐函数”判断出满足条件的函数为过原点的奇函数，是解答的关键，属于中档题．10. 若x，y满足约束条件，且目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣4，2）C．（﹣4，0）D．（﹣4，2）参考答案：B【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的意义，确定目标函数的斜率关系即可得到结论．【解答】解：画出区域图，可知当a=0时，z=2y，即y=z，符合题意；当a＞0时，y=﹣x+z，斜率﹣＞﹣1，即0＜a＜2时符合题意；当a＜0时，y=﹣x+z，斜率﹣＜2，即﹣4＜a＜0时符合题意；综上，a∈（﹣4，2），故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 求与双曲线共焦点，则过点（2，1）的圆锥曲线的方程为.参考答案：或；略12. 已知关于x 的实系数方程x 2－2a x+a 2－4a +4=0的两虚根为x 1、x 2，且|x 1|+|x 2|=3，则实数a 的值为．参考答案： 1/213. .对于各数互不相等的整数数组(i 1, i 2, i 3…，i n )(n 是不小于3的正整数)，若对任意的p ，q ∈{1，2，3…，n},当p ＜q 时有i p ＞i q ，则称i p ，i q 是该数组的一个“逆序”.一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，则数组（2，4，3，1）的逆序数为 . 参考答案： 4 略14. （坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是（是参数），若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，则曲线C 的极坐标方程可写为 .参考答案：15. 设函数则=___________.参考答案：16. 椭圆的一个焦点是，那么；参考答案：略17.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。

河南省漯河市2023-2024学年高二下学期期末考试数学含答案

漯河市2023-2024学年下学期期末质量监测高二数学（答案在最后）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的､1.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且331,,a S 也为等差数列，25a =，则1a =（）A.-1B.1C.2D.32.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A.y =B.y x =±C.3y x =±D.y =3.直线210x y -+=与圆222x y +=交于A B ､两点，则弦AB 的长（）A.5B.5C.5D.54.甲乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为15和14，在目标被击中的情况下，甲乙同时击中目标的概率为（）A.18B.16 C.712D.125.已知如图所示的几何体中，底面ABC 是边长为4的正三角形，侧面11AA C C 是长方形，16AA =，平面11AA C C ⊥平面,ABC D 为棱1CC 上一点，113CD CC = ，且112CD BB =，则1B D 与平面11AA C C 所成角的正弦值为（）A.5B.5C.5D.56.点P 是曲线3ln 1y x x =-+上任意一点，则点P 到21y x =-的最短距离为（）B.5D.57.现有包含,A B两本书的六本不同的书，分给甲､乙､丙三个人，要求每人至少一本，其中,A B两本书被分给甲的概率为（）A.112 B.724 C.554 D.3228.已知数列{}n a满足()*1121,1,,2,nnna n na a na n n++-⎧==∈⎨-+⎩N为奇数为偶数，①78a=；②{}21na-是等差数列；③{}222na n-+是等比数列；④数列{}n a前2n项和为2323n n n⋅+--.上述语句正确的有（）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.随机变量()16,,2132X B D x⎛⎫~+=⎪⎝⎭B.随机变量()0,1,(2)N P pξξ~>=，则1(20)2P pξ-<<=-C.若,A B相互独立且()0P B≠，则()()P A B P A=∣D.随机变量()()6,0.8,X B P X k~=最大时，5k=10.如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱ABF DCE-组合而成，,4,AB AF AB AD AF G⊥===是 CD上的动点.则（）A.G为 CD的中点时，平面EFBC⊥平面BCGB.G为 CD的中点时，BF∥平面ADGC.存在点G，使得三棱锥E ACG-体积是8D.存在点G，使得直线CF与平面BCG所成的角为6011.我们在解析几何学习过程中知道椭圆､双曲线定义分别是到两定点距离之和､距离之差的绝对值等于某个定值.天文学家卡西尼在研究土星及其卫星运行规律时发现了到两定点距离之积为常数的点的轨迹，我们称之为卡西尼卵形线.已知两定点()()122,0,2,0F F -，动点()00,P x y 满足124PF PF ⋅=，设P 的轨迹为曲线C ，则下列命题正确的是（）A.曲线C 过原点B.P 的横坐标最大值是C.P 的纵坐标最大值是32D.()22002ln 1y x ≤+三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知nx⎛⎝的展开式的各二项式系数之和为512，则其展开式的常数项的值为__________.13.已知0x 是函数()e e ln e (1)xxf x x x x x =-->的零点，则010e ln x x --=__________.14.半径为2的球内切于一个圆锥，则该圆锥的侧面积的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13）为了丰富校园文化生活，学校增设了两门全新的课程,A B ，学生根据自己的兴趣爱好在这两门课程中任选一门进行学习.学校统计了学生的选课情况，得到如下表格.选择课程A选择课程B男生4060女生2080（1）根据上表，依据小概率值0.01α=的2χ独立性检验，能否据此推断选择课程与性别有关？（2）现从男生的样本中，按比例分配分层抽样的方法选出10人组成一个小组，再从这10名男生中抽取3人做问卷调查，求这3人中选择课程A 的人数比选择课程B 的人数多的概率.附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++.α0.050.010.0050.001x α3.8416.6357.87910.82816.（本小题满分15分）如图，已知四棱锥P ABCD -中，AB ∥,6,3CD AB AD CB ===，9CD =，且5,PA PB Q ==在线段PC 上，且满足BQ ∥平面PDA .（1）求PQQC；（2）若平面PAB ⊥平面ABCD ，求平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值.17.（本小题满分15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为121,,2F F 是C 的左､右焦点，椭圆上一个动点到2F 2,Q 点在C 上.（1）求C 的方程；（2）若P 为直线:42l x =上任意一点，直线OQ PQ ､的斜率之积为34-，平面内是否存在定点T 满足PT QT ⊥恒成立.若存在，求出T 的坐标；若不存在，说明理由.18.（本小题满分17分）已知函数()()ln 0a xf x a x=≠.（1）求()f x 的单调区间；（2）对任意的()()10,,1x f x x∞∈+≤-恒成立，求a 的值；（3）证明：1111*23411e ,n n n ++++>∈N .19.（本小题满分17分）正项数列{}n a 满足：对于*221,n n n a a d +∀∈-=N ，其中d 为非零常数，则称数列{}n a 为平方等差数列.记1n n n b a a +=+.（1）判断无穷数列21n c n =-12n n d -=是否是平方等差数列，若是求出d ，若不是，说明理由；（2）若{}n a 是平方等差数列且0d >，证明：任意的正常数M ，存在正整数n ，使得11ni iM b =≥∑.（3）若{}n a 是平方等差数列，121,2a a ==[]x 是不大于x 的最大整数，求4000011i i a =⎡⎤⎢⎥⎣⎦∑.漯河市2023-2024学年下学期期末质量监测高二数学参考答案（解答题方法不唯一，请阅卷前先做题，然后同组老师讨论，细化评分标准；确保阅卷过程中宽严适度，始终如一，让努力学习､认真答题的学生有获得感.辛苦大家!）一､单项选择题：1.C2.D3.B4.A5.D6.B7.C8.D二､多项选择题：9.BCD10.ABC11.ABD三､填空题：12.8413.114.(43π+四､解答题：15.解：（1）零假设0H ：选择课程与性别无关，()()()()2220.01()200(32001200)9.524 6.635,10010014060n ad bc x a b c d a c b d χ-⨯-==≈>=++++⨯⨯⨯根据小概率值0.01α=的2χ独立性检验，推断0H 不成立，即认为选择课程与性别有关.（2）由表可知，男生中选A 课程的人数占25，选B 课程的人数占35，故10名男生中，选择课程A 的人数为2545⨯=，选择课程B 的人数为356,5⨯=则所求的概率为32144631013C C C C +=.16.（1）过点Q 作QE ∥CD 交PD 于E ，连接AE ，由于BQ ∥平面PDA ，由线面平行性质知BQ ∥AE ，又QE ∥CD ∥,AB ∴四边形ABQE 为平行四边形.所以26,3QE QE CD ==，则2PQQC=.（2）取线段AB 的中点O ，连接,,OP PA PB PO AB =∴⊥ .又平面PAB ⋂平面ABCD AB =，由已知：平面PAB ⊥平面,ABCD PO ∴⊥平面ABCD .以O 为坐标原点，过O 作AB 的垂线为y 轴，以OB 所在直线为x 轴，以OP 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.则易得平面APB 的一个法向量()10,1,0,n =()933933,,0,0,0,4,,,02222C P D ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()9339,0,0,,,422DC PC ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面PCD 的法向量为()2,y,z n x =，则229093340,22n CD x n PC x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩令8y =，可得(20,8,33n =.设平面PAB 与平面PCD 夹角为1288,cos cos ,919191n n θθ===.故平面PAB 与平面PCD 89191.17.解：（1）由已知：222122622c a a b a c c a c ⎧⎧==⎪⎪∴∴=-=⎨⎨=⎪⎪⎩-=⎩，∴椭圆C 的方程为22186x y +=.（2）设()()0042,,,P m Q x y ，则00003442y x x -=-整理得220003412240x y x my +--=，又()00,Q x y 在22186x y +=上，22003424x y ∴+=.000024240,632,my my ∴--=∴-=①由对称性知：若存在点T 满足PT QT ⊥恒成立，则T 在x 轴上，设(),0T t ，则0PT QT ⋅=，即()()20000042,,0,42420t m t x y t t tx my --⋅--=∴--++=，将①代入，得：()20002620,2320t t tx t t x -+-+=∴--=，t =适合题意.即存在定点)T满足PT QT ⊥恒成立.18.解：（1）()f x 的定义域为()()()21ln 0,,a x f x x∞-+='，当0a >时，令()0f x '>，得()f x 的单调递增区间为()0,e ；令()0f x '<，得()f x 的单调递减区间为()e,∞+.当0a <时，令()0f x '>，得()f x 的单调递增区间为()e,∞+；令()0f x '<，得()f x 的单调递减区间为()0,e .（2）()()10,1x f x x∞∈+∴≤-等价于ln 1a x x ≤-，令()ln 1g x a x x =-+，则不等式等价于()ln 10g x a x x =-+≤，()1a g x x'=-当0a ≤，则()()10,ag x g x x=-<'在()0,∞+上单调递减，()()10,0,1g x =∴∈时()0g x >不合题意；当0a >，令()0g x '>得()g x 的递增区间为()0,a ，令()0g x '<得()g x 的递减区间为(),a ∞+，若()01,10a g <<= ，则当(),1x a ∈时，()0g x >，不合题意；若()()1,ln 110a g x a x x g ==-+≤=，适合题意；若()1,10a g >= ，则当()1,x a ∈时，()0g x >，不合题意；综上，1a =.（3）由（2）知：当1a =时，有ln 10x x -+≤，当且仅当1x =时等号成立.*n ∴∈N 时，1ln10,ln 111111n n n n n n n n n -+<∴<-=-+++++，()111ln ,ln 1ln 11n n n n n n +∴>∴+->++，()1111ln2ln1,ln3ln2ln3,,ln 1ln 2341n n n ∴->->->+->+ ，()111ln 1ln1231n n ∴+->++++ ，即()111ln 1231n n +>++++ ，1111*23411e,n n n +++∴+>∈N .19.解：（1）数列n c =.理由如下：()22121212n n c c n n +-=+--=，满足平方等差数列定义，此时2d =.数列12n n d -=不是平方等差数列.理由如下：()()222212212232nn n n nd d --+-=-=⨯不是常数.（2）由221n naa d +-=，得()()11n n n n a a a a d +++-=，从而11n n n nda a a a +++=-.由{}0,n d a >为正项数列，从而10n n a a +->.1122334111111ni in n b a a a a a a a a =+=++++++++∑ 324311121n n n a a a a a a a a a a d d d d d++-----=++++= ，又由221n n a a d +-=，得()()()22222222111211n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+ 21a nd=+故1n a +=.要使11ni iM b =≥∑，只需11n a a M d +-≥，即1a Md -≥，解得2*12,n M d a M n ≥+∈N ，令2121n M d a M ⎡⎤≥++⎣⎦，即满足11ni iM b =≥∑.（3）由于{}n a是平方等差数列，且121,a a ==2211d =-=，易得*n a n =∈N .又122i a ==，故400001111399i ia =<+++=∑，40000111398i ia =>+>∑所以4000011398i i a =⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑.。

河北省衡水市第十四中学高二下学期期末考试数学(文)试题(含答案)

衡水市第十四中学高二下学期期末考试数学（文）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、知U ＝{1,2,3, 4,5,6,7,8}，A ＝{1,3,5,7}，B ＝{2,4,5}，则C U (A ∪B)等于（）A ．{6,8}B ．{5,7}C ．{4,6,7}D ．{1,3,5,6,8} 2、已知i 是虚数单位，则复数ii-+131的模为（） A.1 B.2 C.5 D.53、下列函数中，在定义域上既是减函数又是奇函数的是（）A. x y lg =B.xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21 C. ||x x y = D.3x y -=4、设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若3184=S S ，则168S S 等于（） A. 91 B. 81 C. 31 D. 1035、过原点的直线与圆03422=+-+x y x 有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（） A. ]6,6[ππ-B. ]65,6[ππC. ),65[]6,0[πππD. ]65,2()2,6[ππππ6、已知sin 3cos 53cos sin αααα+=-，则2sin sin cos ααα-的值是（）A.25B.25－ C.-2 D. 27、已知βα,是平面，n m ,是直线，给出下列命题，其中正确的命题的个数是( )( 1 )若βα⊂⊥m m ,,则βα⊥( 2 )若ββαα//,//,,n m n m ⊂⊂,则βα//( 3 )如果n m n m ,,,αα⊄⊂是异面直线,那么n 与α相交( 4 )若m n m //,=βα ,且βα⊄⊄n n ,,则α//n 且β//n .A. 1B. 2C. 3D. 48、在ABC ∆中，21=,P 是BN 上的一点，若m 92+=,则实数m 的值为（）A.3B. 1C.31D. 91 9．阅读如下程序，若输出的结果为6463，则在程序中横线 ? 处应填入语句为（）（A ）6≥i （B ）7≥i （C ）7≤i （D ） 8≤i10．如图，一个几何体三视图的正视图和侧视图为边长为2锐角︒60的菱形，，俯视图为正方形，则此几何体的内切球表面积为（）（A ）π8 （B ）π4 （C ）π3 （D ）π211、已知函数f （x ）是R 上的偶函数，且满足f （5+x ）= f （5–x ），在[0,5]上有且只有f （1）=0，则)(x f 在[–2012,2012]上的零点个数为 ( )A ．808B ．806C ．805D ．80412．函数x x y -+=lg 1的图象大致形状是（）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13、已知向量,a b 满足(2)()6a b a b +∙-=-，且1,2a b ==，则a 与b 的夹角为 .14、若在不等式组02y x x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩所确定的平面区域内任取一点(),P x y ，则点P 的坐标满足221x y +≤的概率是 .15、已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的一条渐近线与曲线32y x =+相切，则该双曲线的离心率等于． 16. 设函数f(x)=x-1x,对任意0)()(),,1[<++∞∈x mf mx f x 恒成立，则实数m 的取值范围是三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）在ABC ∆中，A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且cos 3cos cos b C a B c B =-． (1)求cos B 的值；(2)若2BA BC⋅=，b =，求a 和c ．18．（本题满分12分）某公司生产A 、B 两类产品，每类产品均有一般品和优等品两种，某月的产量如下表：按分层抽样的方法在该月生产的产品中抽取50个，其中A 类20个。

湖南省长沙市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题含答案

2024年上学期高二期末考试数学（答案在最后）得分：__________本试卷分第工卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟.满分150分.第I 卷一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.集合{}{24},182A xx B x x x =<=--∣∣ ，则A B ⋃=（）A.[)2,4 B.[)3,4 C.[)2,∞+ D.[)3,∞+2.已知0,0a b >>，设甲:1a b ->，乙1>，则（）A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲是乙的既不充分也不必要条件3.设2ln1,log 3,a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c <<B.a c b <<C.b c a<< D.b a c<<4.某商家统计了某商品最近5个月销量，如表所示，若y 与x 线性相关，且经验回归方程为.ˆ6ˆ0yx a =-+，则下列说法不正确的是（）时间x 12345销量/y 万只5 4.54 3.5 2.5A.由题中数据可知，变量y 与x 负相关B.当5x =时，残差为0.2C.可以预测当6x =时销量约为2.1万只D.经验回归方程.ˆ6ˆ0yx a =-+中ˆ 5.7a =5.某饮料厂生产,A B 两种型号的饮料，已知这两种饮料的生产比例分别为40%,60%，且这两种饮料中的碳酸饮料的比例分别为20%,80%，若从该厂生产的饮料中任选一瓶，则选到非碳酸饮料的概率约为（）A.0.12B.0.20C.0.44D.0.326.已知π4sin 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.2425B.2425-C.725D.725-7.函数()sin 1f x x x x =--在区间()0,∞+上的零点个数为（）A.无穷多个B.4C.2D.08.若正数,a b 满足：32a b ab +=，则a 的最大值为（）A.13 B.14D.2二､多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求.若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）9.已知函数()πsin 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（）A.2π为()f x 的一个周期B.()y f x =的图象关于直线4π3x =对称C.()πf x +的一个零点为π3D.()f x 在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减10.已知向量)()(),cos ,sin 0πa b θθθ==，则下列命题正确的是（）A.若a b ⊥，则tan θ=B.若b 在a 上的投影向量为2a a - ，则向量a 与b 的夹角为2π3C.存在θ，使得a b a b+=+D.a b ⋅11.设函数()ln 1x f x x=-，则下列选项正确的是（）A.()f x 为奇函数B.当0x >时，()f x 的最小值为11e-C.若函数()()g x f x a =-有四个零点，则实数a 的取值范围是111,1e e ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭D.函数()()2y f x f x =+的图象关于点()0,2对称第II 卷三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知复数()i 0,,z a b a a b =+≠∈R ，则当b a =__________时，复数1iz+对应的点在虚轴上.13.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-，则A =__________.14.已知两个不同的正数,a b 满足33(1)(1)a b a b++=，则ab 的取值范围是__________.四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）已知())22sin ,cos ,,2a x x b x ==，且函数()f x a b =⋅.（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）求函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.16.（本小题满分15分）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为(),,,2cos cos a b c b c A a C -=.（1）求A ；（2）若ABC BC 边上的高为1，求ABC 的周长.17.（本小题满分15分）已知函数()()e 2xf x a x =-+.（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围.18.（本小题满分17分）甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分且对方不得分，答错不得分且对方积1分，然后换对方抽题作答，直到有领先2分者晋级，比赛结束.已知甲答对题目的概率为45，乙答对题目的概率为p ，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲乙两人各积1分的概率为35.记甲乙两人的答题总次数为()2n n .（1）求p ；（2）当2n =时，求甲得分X 的分布列及数学期望；（3）若答题的总次数为n 时，甲晋级的概率为()n P A .证明：()()()2342153n P A P A P A +++< .19.（本小题满分17分）已知函数()()()e ,ln ,xf x ag x x b a b ==+∈R .（1）当1b =时，()()f x g x 恒成立，求实数a 的取值范围；（2）已知直线12,l l 是曲线()y g x =的两条切线，且直线12,l l 的斜率之积为1.（i ）记0x 为直线12,l l 交点的横坐标，求证：01x <；（ii ）若12,l l 也与曲线()y f x =相切，求,a b 的关系式并求出实数b 的取值范围.2024年上学期高二期未考试数学参考答案题号1234567891011答案CBABCCDBACBCDBD一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.C 【解析】由182x x -- ，解得3x ，即{}3B x x =∣ ，{}{24},2A x x A B x x =<∴⋃= ∣∣ .故选：C.2.B 【解析】不妨设3,1a b ==，满足1a b ->11=<，充分性不成立，11>⇒>，两边平方得1a b >++，又0b >，故11a b ->+>，必要性成立，故甲是乙的必要不充分条件.故选：B.3.A【解析】ln10a ==，因为222log 2log 3log 4<<，所以21log 32<<，故12b <<，122c =>=，所以a b c <<.故选：A.4.B 【解析】对于选项A ，从数据看y 随x 的增大而减小，所以变量y 与x 负相关，故A 正确；对于选项B ，由表中数据知123455 4.54 3.5 2.53, 3.955x y ++++++++====，所以样本中心点为()3,3.9，将样本中心点()3,3.9代入.ˆ6ˆ0yx a =-+中得 3.9 1.8 5.7ˆa =+=，所以经验回归方程为0.6 5.7ˆyx =-+，所以50.65 5.7 2.7, 2.5 2.70.2ˆˆy e =-⨯+==-=-，故B 错误；对于选项C ，当6x =时销量约为0.66 5.7 2.1ˆy=-⨯+=（万只），故C 正确.对于选项D ，由上得 3.9 1.8 5.7ˆa=+=，故D 正确.故选：B.5.C 【解析】由题意，选到非碳酸饮料的概率为()()40%120%60%180%0.44⨯-+⨯-=.故选：C.6.C 【解析】设π6βα=+，则π4,sin 65αββ=-=，所以ππππsin 2sin 2sin 2cos26662αβββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()22167cos212sin 2sin 1212525βββ-=--=-=⨯-=.故选：C.7.D【解析】当()0,x ∞∈+时，由()0f x =，即sin 10x x x --=，得1sin 1x x=+，当()0,x ∞∈+时，sin 1x 恒成立，而111x +>恒成立，因此1sin 1x x=+不成立，所以函数()sin 1f x x x x =--在区间()0,∞+上的零点个数为0.故选：D.8.B 【解析】因为,a b 为正数，所以322a b += ，因为32a b ab +=，所以2ab ，所以1 ，所以14a ，当且仅当11,48a b ==时，取等号.故选：B.二､多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求.若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）9.AC 【解析】对于A ，根据函数()πsin 3f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭知最小正周期为2π，故A 正确；对于B ，当4π3x =时，4π4ππsin sinπ0333f ⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；对于C ，()2πππ2ππsin ,πsin sinπ03333f x x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+∴+=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 正确；对于D ，函数()πsin 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间π5π,66⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在区间5π11π,66⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故D 错误.故选：AC.10.BCD 【解析】因为向量)()(),cos ,sin 0πa b θθθ==，对于A ，由a b ⊥ 得sin 0a b θθ⋅=+= ，解得tan θ=A 错误；对于B ，由b 在a 上的投影向量为2a a -，得1cos ,2b a b =- ，而1b = ，所以1cos ,2a b =- ，又因为[],0,πa b ∈ ，所以2π,3a b =，故B 正确；对于C ，因为当(0)b ta t => 时，a b a b +=+ ，所以()cos 0πsin tθθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，因此2221t t +=，解得t =，故C 正确；对于D ，因为()sin a b θθθϕ⋅=+=+，而π0π,0,tan 2θϕϕ<<= ，所以当π2θϕ+=时，a b ⋅ 的最D 正确.故选：BCD.11.BD【解析】对于()()()()ln ln A,10,1x x f x x f x f x =-≠-=+≠-，故A 错误；对于B ，当0x >时，()()()2ln ln 11,,x x f x f x f x x x -=-∴'=在()0,e 上递减，()e,∞+上递增，()f x 的最小值为()1e 1ef =-，故B 正确；对于C ，当0x >时，()()()2ln ln 11,,x x f x f x f x x x-=-∴'=在()0,e 上递减，()e,∞+上递增，且0x →时，(),f x x ∞∞→+→+时，()1f x →；当0x <时，()()()()()()22ln 1ln ln 11,,x x x f x f x f x xxx-----=-=-=∴'在(),e ∞--上递增，()e,0-上递减，且0x →时，(),f x x ∞∞→-→-时，()1f x →，画出图象，知()f x a =不可能有4个零点，故C 错误；对于D ()()ln ln 2,2112x x y f x f x xx =+=-+-，令()ln ln 2ln ln 211222x x x x g x xxxx=-+--=--，()g x 的定义域为{}0x x ≠∣，则()()ln ln 2ln ln 2022x xx xg x g x x x x x ⎛⎫---+=++-= ⎪--⎝⎭，()g x ∴是奇函数，图象关于原点对称，()()2y f x f x ∴=+关于点()0,2对称，故D 正确.故选：BD.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.-113.60【解析】由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，故由正弦定理得222b c a bc +-=.由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==.因为0180A << ，所以60A = .14.10,4⎛⎫⎪⎝⎭【解析】将33(1)(1)a b a b++=两边展开，得到22113333a a b b a b +++=+++，从而()()221130a ba b a b ⎛⎫-+-+-= ⎪⎝⎭，故()130a b a b ab ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭，而a b ≠，故130a b ab ++-=，又0,0a b >>，故133a b ab=++>，从而321+<.设函数()3223g x x x =+，则112g g ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，观察易得()g x 在()0,∞+12<，又0,0a b >>，所以104ab <<.故答案为：10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭.四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.【解析】（1）())22sin ,cos ,,2a x x b x == ，由()2cos 2cos f x a b x x x =⋅=+ πcos212sin 216x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，得()f x 的最小正周期2ππ2T ==，由ππ3π2π22π,262k x k k +++∈Z ，得π2πππ,63k x k k ++∈Z，故()f x 的单调递减区间为π2ππ,π,63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）由π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎣⎦，当π7π266x +=时，函数()f x 取得最小值为7π2sin 106+=，当ππ262x +=时，函数()f x 取得最大值为π2sin 132+=，故得函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为3，最小值为0.16.【解析】（1）因为()2cos cos b c A a C -=，由正弦定理，得()2sin sin cos sin cos B C A A C -=，即2sin cos sin cos sin cos B A A C C A =+，即2sin cos sin B A B =.因为在ABC 中，sin 0B ≠，所以1cos 2A =.又因为0πA <<，所以π3A =（2）因为ABC 112a ⨯⨯=，即a =，所以1sin 24bc A ==，所以4bc =.由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，即2212b c bc =+-，得2()12324b c bc +=+=，所以b c +=，所以ABC 周长为a b c ++=17.【解析】由题意，()f x 的定义域为(),∞∞-+，且()e xf x a '=-.（1）当1a =时，()e 1xf x '=-，令()0f x '=，解得0x =，∴当(),0x ∞∈-时，()()0,f x f x '<单调递减，当()0,x ∞∈+时，()()0,f x f x '>单调递增，()f x ∴在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增.（2）①当0a 时，()e 0xf x a =->'恒成立，()f x 在(),∞∞-+上单调递增，不符合题意；②当0a >时，令()0f x '=，解得ln x a =，当(),ln x a ∞∈-时，()()0,f x f x '<单调递减，当()ln ,x a ∞∈+时，()()0,f x f x '>单调递增，()f x ∴的极小值也是最小值为()()()ln ln 21ln f a a a a a a =-+=-+，又当x ∞→-时，()f x ∞→+，当x ∞→+时，()f x ∞→+，∴要使()f x 有两个零点，只要()ln 0f a <即可，则1ln 0a +>，可得1ea >，综上，若()f x 有两个零点，则实数a 的取值范围是1,e∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.18.【解析】（1）记i A =“第i 次答题时为甲”，B =“甲积1分”，则()()()()()11441,,1,1,,2555i i i i P A P B A P B A P B A p P B A p ===-==-=∣∣∣∣，()()3141114115255255p p p p ⎡⎤⎡⎤=⋅+⋅-+-⋅+⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则33155p +=，解得23p =.（2）由题意可知当2n =时，X 可能的取值为0,1,2，则由（1）可知()315P X ==，()11221202533515P X ⎛⎫==⨯+⨯=⎪⎝⎭，()14114422533515P X ⎛⎫==⨯+⨯= ⎪⎝⎭，X 的分布列为：X 012P21535415随机变量X 的数学期望为()234170121551515E X =⨯+⨯+⨯=.（3）由答题总次数为n 时甲晋级，不妨设此时甲的积分为x 甲，乙的积分为x 乙，则2x x -=甲乙，且2x x n +=甲，所以甲晋级时n 必为偶数，令*2,n m m =∈N ，当n 为奇数时，()0n P A =，则()()()()()()2324n n P A P A P A P A P A P A +++=+++ 012134343434515515515515m -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭012131154333342313155555153515m m m -⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=++++==- ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎝⎭-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，又1m 时，()()()23n P A P A P A +++ 随着m 的增大而增大，()()()2342153n P A P A P A ∴+++< .19.【解析】（1）由于e ln 1x a x + ，则ln 1ex x a +，设()ln 1e x x F x +=，则()()1ln 1,10e x x x F x F --'=='，且1ln 1y x x =--在()0,∞+上单调递减，令()0F x '>得01x <<，令()0F x '<得1x >，所以()F x 在()0,1上单调递增，()1,∞+上单调递减，所以()max ()1F x F =，则()11ea F = .（2）（i ）设两条切线在()g x 上的两个切点横坐标分别为12,x x ，有()()1212111g x g x x x ''=⋅=，即121x x =，此时，切线为：()()()()11221211ln ,ln y x b x x y x b x x x x -+=--+=-，相减得()21211211ln ln x x x x x x x x ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，所以212220212222ln ln ln ln 2ln 11x x x x x x x x x x x x -+===---，设()()21212ln ,10k x x x k x x x x⎛⎫=--=-'- ⎪⎝⎭ ，所以()k x 在()0,∞+上单调递减.故当()0,1x ∈时，()()10k x k >=，所以102ln x x x ⎛⎫>>-⎪⎝⎭；当()1,x ∞∈+时，()()10k x k <=，所以102ln x x x ⎛⎫<<- ⎪⎝⎭，则20222ln 11x x x x =<-.（ii ）由题意得，存在实数,s t ，使()f x 在x s =处的切线和()g x 在x t =处的切线重合，所以()()()()f sg t f s g t s t -='=-'，即1ln 1e ln e ss t b a t b t a t s t s t ----===--，则()1ln ,1ln 1s t t t bt s t t b t -=--=---，又因为1e ln ln s a a s t t=⇒+=-，所以()ln ln ln 1ln 1a t s t t t b t =--=--++-，题目转化为()()ln 1ln 1ln h t t t t b t a =--++-=有两个不等实根，且互为倒数，不妨设两根为1,m m ，则由()1h m h m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得()()1111ln 1ln 1ln 1ln 1m m m b m b m m m m --++-=--++-，化简得()()()()2211111ln 111212b m b m m m m b m m m m m ⎛⎫-- ⎪--+⎝⎭===-+--+-，所以()()()()()ln 1ln 111111a m m b m b m b m b =--+-=----+-=-，所以ln b a =-（也可写为)e b a -=.代入()h t 中得()()ln 1ln 1h t t t t b t b =--++-=-有两个不等实根，即11ln 1t b t t --=⋅+，设()()()()22111ln 11ln 2ln 1ln ,1(1)(1)t t t t t t t t t G t t G t t t t ⎛⎫--+---- ⎪-⎝⎭=⋅'==+++，由于()1ln H t t t t=--在()0,∞+上单调递减且()10H =，所以()G t 在()0,1单调递增，()1,∞+单调递减，而t 无限趋近于0时，()G t 无限趋向于负无穷大，t 无限趋近于正无穷大时，()G t 无限趋向于负无穷大，()10G =，所以10b -<，即1b <.。

湖南省部分学校2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题(含解析)

高二期末联考数学试题本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题日的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则（）A.1C.3D.52.若，则下列三角函数值一定为负值的是（）A.B.C.D.3.在中，内角的对边分别为，则（）A.C.D.14.设为抛物线的焦点，点为上一点，过作轴的垂线，垂足为，若，则（）B.C. D.5.某学校开展“国学知识竞赛”，共有“诗经组”，“论语组”，“春秋组”，“礼记组”4个小组参赛，每组10位选手，若该组每位选手的失分不超过6分，该组获得“优秀”称号，则根据每组选手的失分情况，下列小组一定获得“优秀”称号的是（）A.诗经组中位数为3，众数为2B.论语组平均数为3，方差为1C.春秋组平均数为3，众数为2()43i 5i z +=z =tan 0θ<sin θcos θsin2θcos2θABC V ,,A B C π,,,,2,13a b c A b c ===CA AB ⋅= 1-F 2:8C y x =()00,P x y C P y A 3PF PA =cos FPA ∠=1313-D.礼记组中位数为3，极差为46.如图，在四棱锥中，平面，，则异面直线与所成角的余弦值为（）C. D.7.函数的部分图象如图所示，则（）A.B.C.在区间共有8097个零点D.的图象向左平移个单位长度后得到的新图象关于轴对称8.在平面直角坐标系中，为曲线上位于第一象限上的一点，为在轴上的投影，则的最大值为（）A.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目P ABCD -PA ⊥,ABCD AD ∥,BC AB BC ⊥4,5,2AB PA BC ===PC AD 45910()()(0,ππ)f x x ωϕωϕ=+>-<<π4ϕ=()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x []2024π,2024π-()f x 3π8y xOy M ln xy x=N M x sin MON ∠1e 12e要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知均为正数，则使得“”成立的充分条件可以为（）A.B.C.D.10.如图，棱长为2的正方体中，，则下列说法正确的是（）A.时，平面B.时，四面体的体积为定值C.时，，使得平面D.若三棱锥的外接球表面积为，则11.已知函数，其中实数，且，则（）A.当时，没有极值点B.当有且仅有3个零点时，C.当时，为奇函数,a b a b >11a b<34a b ->-22a b b ab a+>+()()22ln 2024ln 2024a b +>+1111ABCD A B C D -11,,,(0,1)BP BB BQ BC λμλμ==∈λμ=11C B ∥1D PQ 12λ=1APQD 12μ=()0,1λ∃∈1A Q ⊥1D PA P CBD -41π434λ=()3233a f x x ax axb =--+,a b ∈R 0a >1a =()f x ()f x 5,93b a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭113b a =()1f x +D.当时，过点作曲线的切线有且只有1条三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知某果园中芒果单果的质量（单位：）服从正态分布，若从该果园中随机挑选4个芒果，则恰有2个单果的质量均不低于100的概率为__________.13.已知数列是首项为，公比为的等比数列，且，则的最大值为__________.14.在锐角中，依次为三个内角的对边，已知，求的取值范围为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）北京地铁四号线被誉为“学霸地铁”，因为它贯穿了几所国内特别有名的高校.某校5名高中生利用暑假假期去北京游学，他们在动物园站开始乘坐4号线，以下几个站：国家图书馆，魏公村，人民大学，中关村，北京大学为他们的可能参观点，由于时间安排和个人喜好不同，他们各自行动，每人选一个自己最喜欢的景点，每个人在北京大学站下车的概率为，在其他站下车的概率均为，且不走回头路，在圆明园站汇合，每个人在各个车站下车互不影响.（1）求在魏公村下车的人数的分布列及期望；（2）已知贾同学比李同学先下车，求贾同学在魏公村下车且李同学在北京大学站下车的概率.16.（本小题满分15分）数列的前项和为，当时，，数列满足：.（1）证明：数列是等比数列；（2）记数列，数列的前项和为，求.17.（本小题满分15分）如图，是半圆的直径，依次是半圆弧上的两个三等分点，将沿翻折到,3a m b ∞⎛⎫∈++⎪⎝⎭()0,A m ()f x M g ()2100,N σg {}1n a -2313123100n a a a a ++++< n ABC V ,,a b c ,,A B C 2222b c a +=cos A 1316X {}n a n 12,3,5n S a a ==2n (11211)n n n S S S n n n -+=+-+{}n b 3n an b ={}n b n n n c a b =⋅{}n c n n T n T AB O ,M N »AB ONB V ON，使得，得到四棱锥.（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值.18.（本小题满分17分）已知函数.（1）若是的极大值点，求的值；（2）用表示中的最大值，设函数，试讨论零点的个数.注：若，当时，，当时，.19.（本小题满分17分）已知椭圆的离心率上的点到.（1）求的方程；（2）过的直线与交于，记关于轴的对称点为.①试证直线恒过定点；②若在直线上的投影分别为，记的面积分别为，求的取值范围.ONP V 12PB BM ==P AMNB -BP ⊥PAM A PM N --()()()2e 1,ln 2xf x x axg x x =---=-+0x =()f x a {}Max ,m n ,m n ()()(){}Max ,h x f x g x =()h x ()2e 1x x m x x--=x ∞→+()m x ∞→+0x →()1m x →()2222:10x y E a b a b +=>>e =E ()0,2Q E Q l E ,A B A y C BC P ,B C 2y =11,B C 1111,,PBB PB C PCC V V V 123,,S S S 132S S S +高二期末联考数学参考答案及解析一､选择题1.A 【解析】.故选A.2.C 【解析】与异号，又.故选C.3.C 【解析】由题意可得..故选C.4.D 【解析】由抛物线定义可知2，即有，解得，所以为原点，从而.故选D.5.B 【解析】对于A 数据为：时，满足中位数为3，众数为2，但不满足每位选手的失分不超过6分，故A 错误；对于B ，假设有一位同学失7分，则方差与方差为1矛盾，假设不成立，故B 正确；对于C ，数据为：1，2，2，2，2，时，满足平均数为3，众数为2，但是不满足每位选手失分不超过6分，故C 错误；对于D ，数据为：，满足中位数为3，极差为4，但最大值超过6分，故D 错误.故选B.6.A 【解析】（或补角）为异面直线与所成的角，平面，又平面，，.故选A.()()()()5i 43i 5i 1520i 3443i 5i,i,143i 43i 43i 2555z z z-++=∴====+∴==++- sin tan 0,sin cos θθθθ=<∴cos θsin22sin cos ,sin20θθθθ=∴<CA AB CA AB ⋅=()cos πcos 1A bc A -=-=-002PPF x x =+=+0023x x +=01x =0y O =1cos cos 3FPA PFO ∠∠=-==-1,2,2,2,2,4,6,7,8,922(73) 1.610s -=…2,2,3,5,93,3,3,3,3,3,3,3,7,7AD ∥,BC PCB ∠∴PC AD PA ⊥ ,ABCD PA BC ∴⊥,,AB BC PA AB A BC ⊥⋂=∴⊥,PAB BC PB ∴⊥PC ∴===cos PCB ∠∴==7.D 【解析】对于A ，由题图可知，，从而，且位于单调递增区间，结合，可知，故A 不正确；对于B ，由图可得，解得，，又，所以，所以，故，故B 错误；对于，共有8096个零点，故C 不正确；对于D ，的图象向左平移个单位长度后得到的图象的函数解析式为，显然的定义域为全体实数，所以的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称.故D 正确.故选D.8.B 【解析】由题意设，设，，则，故，对任意的，则，令函数，其中，则.当（时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增.所以，故故选B.()01f ϕ==-sin ϕ=0x =ππϕ-<<π4ϕ=-ππ2π,84k k ω⋅-=∈Z 162k ω=+k ∈Z π48T >04ω<<2ω=()ππππ2224424f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()ππππππC,202π,,,2024π448282k k f x x x k x k ⎛⎫=-=⇔-==+∈-+⎪⎝⎭Z (11)2024π,4048404844k ---………()f x 3π8()3π3πππ228842g x f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()g x ()f x 3π8y ()ln xy f x x==(0M x ())()001f x x >()0,MN f x OM ==01x >sin MNMON OM∠==()ln 1,0xx f x x>=>0ln x x MN OM ===()2ln x g x x=1x >()()222ln 12ln (ln )(ln )x x x x x g x x x '--==x ∈()0g x '<()g x )x ∞∈+()0g x '>()g x min ()2e g x g==max (sin )MON ∠=二､多选题9.AD 【解析】对于A ，因为，故，故A 选项正确；对于B ，取，此时满足0，但，B 选项错误；对于C ，取，满足，所以C 选项错误；对于D ，由可知，，因为，所以，故D 选项正确.故选AD.10.ABD 【解析】对于A 选项，时，，，又平面，平面，故平面，故A 正确；对于B 选项，时，的面积为定值；而点是边上的点，且平面点到平面的距离即为直线到平面的距离为定值，四面体的体积为定值，故B 正确；对于C 选项，时，以为坐标原点，分别为轴为正向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，则，，记平面的法向量为，则，即，故可取，又时，，即不存在，使得平面，故C 不正确；对于D 选项，平面于点，且的外接圆半径球的半径；故由有：，故D 正确.故选ABD.0,b a ab ab ab><a b >2,4a b ==1>a b <1,12a b ==22,a b b ab a a b +>+<()()22ln 2024ln 2024a b +>+22a b >,0a b >a b >λμ=1BP BB λ= 1,BQ BC PQ μ=∴∥11C B PQ ⊂1D PQ 11C B ⊄1D PQ 11C B ∥1D PQ 12λ=1AD P V Q 1BC 1BC ∥1,APD ∴Q 1AD P 1BC 1AD P ∴1APQD 12μ=D 1,,DA DC DD,,x y z ()()()()112,0,0,0,0,2,2,2,2,2,0,2A D P A λ()1,2,1Q ()()12,0,2,0,2,2AD AP λ=-=()11,2,1A Q =-- 1D PA ()000,,n x y z = 10AD n AP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩0000220220x z y z λ-+=⎧⎨+=⎩()1,,1n λ=-- ()11,2,1,A n =--∥1A ()20,1λ=∉()0,1λ∈1A Q ⊥1D PA PB ⊥CBD B CBD V r =R =2222BP r R ⎛⎫+= ⎪⎝⎭222419332,,2161624BP R r BP λ⎛⎫=-=-=∴=∴= ⎪⎝⎭11.BCD 【解析】当时，，则，当时，，当或时，，所以分别是函数的极大值点和极小值点，选项A 错误；当时，，当，，当或时，，即在上单调递减，在和上单调递增.当有且仅有3个零点时，且得得，选项B 正确；当时，，所以为奇函数，选项C 正确；不在曲线上.设过点的曲线切线的切点为，过点的曲线切线的方程为，又点在的切线上，有，即，设，当或时，单调递减，当时，单调递增，，易知与只有一个交点，选项D 正确.故选BCD.1a =()32133f x x x x b =--+()()()22331f x x x x x =--=-+'13x -<<()0f x '<1x <-3x >()0f x '>1,3x x =-=()f x ()3233a f x x ax axb =--+()()()13f x a x x =+-'13x -<<()0f x '<1x <-3x >()0f x '>()f x ()1,3-(),1∞--()3,∞+()f x ()10f ->()30f <5390a b a b ⎧+>⎪⎨⎪-+<⎩5,93b a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭113b a =()3143a f x x ax +=-()1f x +()()0,0,3af b b m A m =<+<∴ ()f x ()0,A m ()f x 320000,33a x x ax ax b ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭()0,f b =∴()0,A m ()f x (()322000000323)3a y x ax ax b ax ax a x x ⎛⎫---+=---⎪⎝⎭()0,A m ()f x ()3220000003233a m x ax ax b ax ax a x ⎛⎫---+=--- ⎪⎝⎭230023m b x x a --=()()()()2323200022,,222133g x x x g x x x g x x x x x =-=-='=--0x <1x >()()0,g x g x '<01x <<()()0,g x g x '>()111,,,333a m b g m b a ∞-⎛⎫=∈++∴> ⎪⎝⎭()0g x m b y a -=三､填空题12.【解析】由题可知，若从该果园中随机挑选4个芒果，则恰有2个单果的质量均不低于100g 的概率为.故答案为.13.99 【解析】由已知，可得-，所以，设数列的前项和为，则，若100，即，因为函数为单调递增函数，所以满足的最大整数的值为99.故答案为99.14. 【解析】，同理：看作常数，上式可以看作关于的函数，故只需求分母的取值范围，令，解法一：，当单调递增，当单调递减；当，又，代入.故答案为.解法二：令，令，则，因为，当38()11002P M = (2)224113C 1228⎛⎫⎛⎫⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭381211233n n a -⎛⎫-=⨯= ⎪⎝⎭13n ⎛⎫ ⎪⎝⎭1213nn a ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭{}n a n n S 23111331111122113333313nn n nS n n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+++++=⨯+=+- ⎪⎝⎭- n S <111003n n +-<113x y x =+-100n S <n 12⎡⎢⎣222222222223023202a c a b b c a b a b b +->⇒++-=->⇒<22222222230.cos 222a b c a a a b c c A bc bc +-+->⇒<∴===a b ()2223222a a f b b ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭()22f b ='()()22,0,ba fb f b >'<()()22,0,b a f b f b <'>()222max ,0,()2b a f b f b a '===2,f f a ⎫⎫==⎪⎪⎪⎪⎭⎭()222,2a f b a <…()21cos 2a A f b ⎡=∈⎢⎣12⎡⎢⎣()2223222a a f b b ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭2b x =2==()22222y x a x a x x =-=-时，取最大值，当或时，取，即，代入.故答案为.四､解答题15.解：（1）的可能取值为，由题意知每个人在魏公村下车的概率均为，且相互不影响，所以，，12345.（2）设事件：贾同学比李同学先下车；事件：贾同学在魏公村下车，且李同学在北京大学站下车，，，.16.解：（1）由时，，知数列是等差数列，由，知数列的公差为1，则，，2x a =y 4a 22a x =232ay 434a 222a <()222f b a <…()21cos 2a A f b ⎡=∈⎢⎣12⎡⎢⎣X 0,1,2,3,4,51615,6X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭()()5515C 0,1,2,3,4,566kkk P X k k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭X P312577763125777612507776250777625777617776()56E X =A B ()1514131276666666618P A =⨯+⨯+⨯+⨯=()1116318P AB =⨯=()()()17P AB P B A P A ==∣2n …11211n n n S S S n n n -+=+-+n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭123,412S S ==n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭()11121n S S n n n =+-⋅=+()2n S n n ∴=+当时，，且也满足上式，，，由为定值，知数列是等比数列.（2）易见，则则两式相减得，化简得.17.解：（1）如图1，连接，设，连接，由是依次是半圆弧上的两个三等分点，所以，又是全等的等边三边形，四边形及均为菱形，由，得，在中，是的中点，且，所以，在中，是的中点，且，所以，又，所以平面.（2）法一：如图2，由为半圆的直径，在半圆弧上，所以∴2n …121n n n a S S n -=-=+13a =21n a n ∴=+213n n b +∴=23121393n n n n b b +++=={}n b ()21213n n n n c a b n +==+()35721335373213,n n T n +=⨯+⨯+⨯+++⨯ ()()57921239335373213213,n n n T n n ++=⨯+⨯+⨯++-⨯++⨯ ()3572123833232323213n n n T n ++-=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯ ()192498132n n n T ++-=OM 1BM ON O ⋂=1PO ,M N »AB 60AOM MON NOB ∠∠∠=== ,,,OA OB OM ON OAM OMN ONB ===V V V OMNB AMNO BM =112,OA OB MN PO BO PB ======PAB V O AB PO OA OB ==PA PB ⊥PMB V 1O BM 111PO O M O B ==PM PB ⊥PA PM P ⋂=PB ⊥PAM AB O M ,MA MB ⊥由（1）得平面，又平面，所以，又，，所以平面，所以二面角的大小等于二面角的大小与的和，由平面，所以平面，作于，由，得为的中点，连，因为平面，所以，又，则平面，又平面，所以，故即为的平面角.在中，，在中，分别为的中点，所以，设二面角的大小为，所以法二：由，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，BP ⊥PAM MA ⊂PAM PB MA ⊥MB PB B ⋂=AM ⊥PMB APM N --1OPM N --90 AM ∥,ON AM ⊥PMB 1NO ⊥PMB 1O HPM ⊥H 11PO O M =H PM HN PM ⊂PMB 1NO PM ⊥111NO O H O ⋂=PM ⊥1NO H HN ⊂1NO H PM HN ⊥1O HN ∠1O PM N --1Rt NHO V 1112O N ON ==PMB V 1,H O ,PM BM 112O H PB ==HN =A PM N --θ11sin cos O H O HN HN θ∠===MA MB ⊥M Oxyz ()())0,2,0,,1,0A B N-32P ⎫⎪⎪⎭，设平面的法向量，由，即，取，则则，由（1）平面，所以可取平面的法向量，设二面角的大小为，则.18.解：（1），由是的极大值点，则，解得当时，，当时，，令，则所以在上单调递减，则，即，此时在上单调递增；当时，令3332,,,222AP MP NP ⎫⎫⎫=-==⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎭⎭PMN ()1,,n x y z =1100MP n NP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 302302x z x y z +=++=1x =y z ==(1n =PB ⊥3,2PAM BP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ PAM (2n ==-121212cos ,n n n n n n ⋅===⋅A PM N --θsin θ==()e 2xf x x a =--'0x =()f x ()00f '=1,a =1a =()e 21xf x x =--'0x <()e 1xf x x >--'()e 1xx x ϕ=--()e 10,xx ϕ=-<'()x ϕ(),0∞-()()00x ϕϕ>=()0f x '>()f x (),0∞-0ln2x <<()()e 21,xh x x h x =--'=，则故即单调递减，又所以当时，单调递减，故当时，是的极大值点.（2）I ：当时，，，此时无零点；II ：当时，，①若，即时，，此时不是的零点；②若，即时，，此时是的零点.III ：当时，零点个数等于零点个数.显然是的一个零点.e 2x -()0,h x '<()h x ()f x '()00,f '=0ln2x <<()f x 1a =0x =()f x 21x -<<-()0g x >()()()()max ,0h x f x g x g x ⎡⎤=>⎣⎦…()h x 1x =-()()110,12eg f a -=-=-+()10f ->12ea >-()()()()1max 1,110h f g f ⎡⎤-=--=->⎣⎦1x =-()h x ()10f - (1)2ea -…()()()()1max 1,110h f g g ⎡⎤-=--=-=⎣⎦1x =-()h x 1x >-()()0,g x h x <()f x 0x =()f x当时，可转化为，令，则，由（1）知，，所以在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，的图象如下：①当或或时，有1个零点；②当或时，有2个零点；③当时，无零点.综合I ，II ，III 得，当或时，有2个零点；当或或时，有3个零点；当或时，有4个零点.19.解：（1）由的离心率，，设上的点，则，0x ≠()0f x =()()2e 1,1,00,x x a x x ∞--=∈-⋃+()2e 1x x p x x--=()()()22e2e 1xx x x x p x x ----='()()21e 1x x x x ⎡⎤--+⎣⎦=e 1x x >+()p x ()1,0-()0,1()1,∞+()()min ()1e 2,p x p p x ==-12ea -…e 2a =-1a =()p x e 21a -<<112ea <<-()p x e 2a <-()f x 12ea >-e 2a <-()h x e 2a =-12ea =-1a =()h x e 21a -<<112ea <<-()h x E e =1,2c b a ==222:4E x y a +=E (),M x y 22222||(2)34MQ x y y y a =+-=--++11422a y a ⎛⎫- ⎪⎝⎭……，①当，即时，的最大值为，由，则，又，所以，所以此时椭圆的方程为②当，即时，的最大值为，由，即，解得，不合题意.综上可知，的方程为.（2）①当直线斜率存在时，设直线的方程为，，则，由得，，即222216||333MQ y a ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭121232a a --……43a …2||MQ 2163a +2163a +2=24a =0a >2a =E 24x +21;y =1223a ->-403a <<2||MQ 221134422a a a ⎛⎫⎛⎫-⨯--⨯-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221134422a a a ⎛⎫⎛⎫-⨯--⨯-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2=2324640a a +-=440,3a ⎛⎫=-±⎪⎝⎭E 2214x y +=l l 2y kx =+()()1122,,,A x y B x y ()11,C x y -22142x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()221416120k x kx +++=()22Δ(16)48140k k =-+>23,4k >，直线方程为，当时，，故直线恒过定点.当直线斜率不存在时，直线方程为也过.故直线恒过定点.②由题意知，此时的斜率一定存在.由及，所以121212122216124,,14143k kx x x x x x x x k k +=-=+=-++BC ()212221y y y y x x x x --=-+0x =()()()21212211221221212122y y x x kx x kx x y x y y y x x x x x x -++++=-==+++1212211222122423kx x kx x x x kx x =+=+=+-l 10,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭l BC 0x =10,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭l 10,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭l k ()111122212,2PBB PB C S S y x S S ==-==V V ()112311131,2222PCC x x S S y x +⨯==-V 120x x >()120k x x +<()()2211132122223y x y x S S S x x -+-+=⨯+22111223kx x kx x x x --=⨯+，因为，令，所以在上单调递增.故的取值范围为.()22121212*********x x x x k k x x x x x x ⎡⎤+=-⨯=-+-=⎢⎥++⎣⎦22216381113142314k k k k k ⎛⎫⎛⎫--+=-- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭234k >234t k t ⎛⎫=> ⎪⎝⎭1328111314S S S t +⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭3,4t ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭132S S S +51,3⎛⎫⎪⎝⎭。

重庆第十四中学高二数学理下学期期末试题含解析

重庆第十四中学高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数f（x）=﹣x3+3x2+9x+a，x∈[﹣2，2]的最小值为﹣2，则f（x）的最大值为（）A．25 B．23 C．21 D．20参考答案：A【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】先将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值，再根据条件求出a的值，最小值即可求得．【解答】解：求导函数可得f′（x）=﹣3x2+6x+9=﹣3（x+1）（x﹣3）令f′（x）=﹣3x2+6x+9=0，解得x=﹣1或3∵x∈[﹣2，﹣1）时，f′（x）＜0，函数单调减，x∈（﹣1，2]时，f′（x）＞0，函数单调增，∴函数在x=﹣1时，取得最小值，在x=﹣2或x=2时，函数取得最大值，∵f（﹣1）=﹣5+a=﹣2，∴a=3，∴f（﹣2）=2+a=5，f（2）=22+a=25，函数的最大值为25，故选：A．2. 某产品的广告费用x（万元）与销售额y（万元）的统计数据如下表所示，根据表中的数据可得回归方程=x+，其中=0，据此模型预报，当广告费用为7万元时的销售额为（）x 4 2 3 5参考答案：B【考点】线性回归方程．【专题】对应思想；数学模型法；概率与统计．【分析】根据表中数据计算、，由回归方程=x+过样本中心点，求出的值，再计算x=7时的值即可．【解答】解：根据表中数据，得： =×（4+2+3+5）=3.5，=×（38+20+31+51）=35；且回归方程=x+过样本中心点（，），其中=0，所以×3.5+0=35，解得=10，所以回归方程为=10x；当x=7时，=10×7=70，即广告费用为7万元时销售额为70万元．故选：B．【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题目3. 对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）A. －1≤ a ≤ 0B. －1＜a＜0C. －1≤ a＜0D.－1＜a ≤ 0参考答案：D4. “，”是“双曲线的离心率为”的（）A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 既不充分也不必要条件D. 充分不必要条件参考答案：D【分析】当时，计算可得离心率为，但是离心率为时，我们只能得到，故可得两者之间的条件关系.【详解】当时，双曲线化为标准方程是，其离心率是；但当双曲线的离心率为时，即的离心率为，则，得，所以不一定非要.故“”是“双曲线的离心率为”的充分不必要条件.故选D. 【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若则”是真命题，“若则”是假命题，则是的充分不必要条件；若“若则”是真命题，“若则”是真命题，则是的充分必要条件；若“若则”是假命题，“若则”是真命题，则是的必要不充分条件；若“若则”是假命题，“若则”是假命题，则是的既不充分也不必要条件.5. A、B是直二面角的棱上的两点，分别在内作垂直于棱的线段AC，BD，已知AB=AC=BD=1，那么CD的长为（）A.1B.2C.D.参考答案：D6. 已知f（x）=sinx+2cosx，若函数g（x）=f（x）﹣m在x∈（0，π）上有两个不同零点α，β，则cos（α+β）=（）A．﹣1 B．﹣1 C．D．参考答案：D【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】f（x）=sinx+2cosx=sin（x+φ），其中cosφ=，sinφ=．由x∈（0，π），可得φ＜x+φ＜π+φ．由于函数g（x）=f（x）﹣m在x∈（0，π）上有两个不同零点α、β，可得y=m与y=f（x）的图象有两个交点，可得α与β关于直线x=对称，即可得出．【解答】解：f（x）=sinx+2cosx=（sinx+cosx）=sin（x+φ），其中cosφ=，sinφ=．∵x∈（0，π），∴φ＜x+φ＜π+φ．∵函数g（x）=f（x）﹣m在x∈（0，π）上有两个不同零点α、β，∴y=m与y=f（x）的图象有两个交点，cos2φ=2cos2φ﹣1=2×（）2﹣1=﹣，∴sinφ＜m＜．且α与β关于直线x=对称，∴α+β+2φ=π，则cos（α+β）=﹣cos2φ=．故选：D．【点评】本题考查了和差公式、三角函数的图象与性质、函数的零点转化为图象的交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7. 两个集合A与B之差记作“A/B”，定义为：A/B＝{x｜x∈A，且x B}，如果集合A＝{x｜log x＜1，x∈R}，集合B＝｛x｜｜x－2｜＜1，x∈R｝，那么A/B等于（）A.｛x｜x≤1｝B.｛x|0＜x≤1｝C.｛x｜1≤x＜2｝D.｛x｜x≥3｝参考答案：B8. 直线的倾斜角是（）A．B． C．D．参考答案：C9. 已知二次函数的图象如图所示，则它与轴所围图形的面积为A ．B ．C ．D ．参考答案：B 10. 曲线处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（） A ．B ．C ．D ．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 方程表示一个圆，则的取值范围是：▲．参考答案：12. 图（1）为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块木块堆成; 图（2）中的三视图表示的实物为_____________。

高二下期数学测试十四

高二下期数学测试十四2.在等差数列｛ａｎ｝中，ａ１＝251，从第10项开始比1大，记21()lim n n n a S t n →∞+=，那么t 的取值范畴是DA.754 tB.253758≤t C.253754 t D.503754≤t 3.一个三棱锥的所有棱长差不多上1，那么那个三棱锥在平面α上的射影的面积不可能．．．是B A 43B23 C21 D 424.上、下两个底面平行且差不多上长方形，四个侧面差不多上全等的等腰梯形的六面体DA.是不存在的B.是正四棱台C.是四棱台但可能不是正四棱台D.存在但可能不是正棱台 5.四面体的顶点和各棱中点共10个点，其两两连线可组成异面直线的对数为B A.83 B.87 C.91 D.95 6．三条直线m 、n 、l ，三个平面α、β、γ，下面四个命题中，正确的选项是D A.αγβγ⇒⎭⎬⎫⊥⊥a ∥β B.ββ⊥⇒⎭⎬⎫⊥l m l m // C.nm m //////⇒⎭⎬⎫γβγ D .nm n m //⇒⎭⎬⎫⊥⊥γγ7.关于二项式)()1(3N n x xn ∈+，四位同学作出了四种判定：①存在N n ∈，展开式中有常数项；②对任意N n ∈，展开式中没有常数项；③对任意N n ∈，展开式中没有x 的一次项；④存在N n ∈，展开式中有x 的一次项。

上述判定中正确的选项是D A ①与③ B ②与③ C ②与④ D ④与①8．从6名理想者中选出4人分不从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作，假设其中甲、乙两名理想者都不能从事翻译工作，那么选派方案共有B A. 280种 B. 240种 C. 180种 D .96种 9.设平面α⊥平面β，直线a ⊂α，直线b ⊂β，且a ⊥b ，那么CA.a ⊥βB.b ⊥αC.a ⊥β与b ⊥α中至少有一个成立D.a ⊥β与b ⊥α同时成立 10、A 1B 1C 1－ABC 是直三棱柱，∠BCA ＝90°，点D 1、E 1分不是A 1B 1、 A 1C 1的中点，假设 BC ＝CA ＝C 1C ，那么 B D 1与A E 1所成角的余弦值是A A.1030 B.21 C.1530 D.101511。

天津市四校联考2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学含答案

2023～2024学年度第二学期期末考试高二数学（答案在最后）一、选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分）1.已知集合{}12A x x =->，()(){}140B x x x =-->，则A B = （）A.{}13x x <<B.{}34x x <<C.{1x x <-或}4x > D.{1x x <-或}3x >2.使不等式2111x x +≤-成立的一个充分不必要的条件是（）A.<2x - B.2<<1x - C.21x -£< D.21x -≤≤3.已知具有线性相关关系的变量x ，y ，设其样本点为(),i i i A x y （1,2,3,,10i = ），经验回归方程为2y x a =+，若10140i i x ==∑，101100i i y ==∑，则=a （）A.20B.17- C.170- D.24.2024年汤姆斯杯需招募志愿者，现从某高校的8名志愿者中任意选出3名，分别负责语言服务、人员引导、应急救助工作，其中甲、乙、丙3人不能负责语言服务工作，则不同的选法种数共有（）A .102种B.105种C.210种D.288种5.定义在R 上的函数()f x 导函数为()f x '，若对任意实数x ，有()()f x f x '>，且()2024f x +为奇函数，则不等式()2024e 0xf x +<的解集为（）A.(),0∞- B.()0,∞+ C.1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭6.设0.83a =，0.69b =，πlog e c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.b c a >>B.a c b>> C.c a b>> D.b a c>>7.已知()4f x x x=+，()338g x x x a =-+-，若对[]11,3x ∀∈，总[]21,3x ∃∈，使()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围为（）A.[]2,21 B.5,213⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.[]1,22D.[]11,228.已知()sin 1f x x x =-+，则不等式()()2322f mf m ++>的解集为（）A.()3,0-B.()2,1--C.()(),30,-∞-⋃+∞ D.()(),21,-∞-⋃-+∞9.已知函数()21ln 23f x x ax x =--存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是（）A.3,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ B.3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C.3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D.()1,+∞二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分）10.若命题“x ∃∈R 使()2110x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为_____，11.某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为34，知道正确答案时，答对的概率为100%，而不知道正确答案来时猜对的概率为14，那么他答对题目的概率为______12.已知621ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项是540，则实数a 的值为______13.已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，{}n b 是公比为3的是等比数列，且113a b ==，设123n n n n n b b b b n S a a a a ++++=+++ ，则nS n=______14.设,m n 为正数，且2m n +=，则233712m n m n +++++的最小值为______15.若()221f x x ax ax =---+有四个零点，则实数a 的取值范围为______三、解答题（本题共5题，共75分）16.本着健康低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分，每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为14，14；两人租车时间都不会超过四小时.（1）求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；（2）求甲所付的租车费用比乙所付的租车费用多2元的概率；（3）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X ，求X 的分布列、均值()E X 、方差()D X 17.如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，//AF DE 且24DE AF ==.（1）求证：//BF 平面DEC ；（2）求平面BEC 与平面BEF 夹角的余弦值；（3）求点D 到平面BEF 的距离.18.已知()()1e xf x x ax =-+，()212a g x x ax =+-，其中0a >（1）令()()()hx f x g x =-（i ）求()h x 的单调区间和极小值；（ii ）若()h x 存在大于0的零点，且方程()1h x a =-恰有三个实根，求实数a 的取值范围（2）若对1x ∀∈R ，()20,x ∈+∞，()()121222f x x f x x x +-->恒成立，求实数a 的取值范围.19.已知数列{}n a 是递增的等差数列，{}n b 是等比数列，1122b a ==，求222b a =，342b a =（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记数列(){}21nn a -的前n 项和为n S ，若2n n mb S >对*N n ∀∈恒成立，求实数m 的取值范围；（3）设1231n n nc a a a a += ，求1n i i c =∑的值.20.已知()()24ln 1f x ax b x =+--.（1）若()y f x =在()()0,0f 处的切线方程为810x y --=，求实数,a b 的值；（2）当0b =时，若()()()21240x f x x x a a +++-+≥对任意()0,x ∞∈+恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若()f x 有零点，求证：22e 2a b +≥.2023～2024学年度第二学期期末考试高二数学一、选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分）1.已知集合{}12A x x =->，()(){}140B x x x =-->，则A B = （）A.{}13x x <<B.{}34x x <<C.{1x x <-或}4x > D.{1x x <-或}3x >【答案】C 【解析】【分析】分别解出集合,A B 中的不等式，再运用集合交运算即可求解.【详解】由12x ->，得12x ->或12x -<-，即3x >或1x <-，故{|3A x x =>或}1x <-，()()140x x -->，即()()140x x -->，解得>4x 或1x <，故{|4B x x =>或}1x <，则A B = {1x x <-或}4x >.故选：C .2.使不等式2111x x +≤-成立的一个充分不必要的条件是（）A.<2x -B.2<<1x - C.21x -£< D.21x -≤≤【答案】B 【解析】【分析】首先解分式不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】由2111x x +≤-等价于21101x x +-≤-，即201x x +≤-，解得21x -£<，因为()2,1-真包含于[)2,1-，所以不等式2111x x +≤-成立的一个充分不必要的条件是2<<1x -．故选：B ．3.已知具有线性相关关系的变量x ，y ，设其样本点为(),i i i A x y （1,2,3,,10i = ），经验回归方程为2y x a =+，若10140i i x ==∑，101100i i y ==∑，则=a （）A.20 B.17- C.170- D.2【答案】D 【解析】【分析】求出样本中心点，代入求解出2a =.【详解】由于10140ii x==∑，101100i i y ==∑，所以4x =，10y =.将()4,10代入2y x a =+，即2410a ⨯+=，解得：2a =.故选：D.4.2024年汤姆斯杯需招募志愿者，现从某高校的8名志愿者中任意选出3名，分别负责语言服务、人员引导、应急救助工作，其中甲、乙、丙3人不能负责语言服务工作，则不同的选法种数共有（）A.102种B.105种C.210种D.288种【答案】C 【解析】【分析】先算从8名志愿者中任意选出3名的方法数，再减去甲、乙、丙3人有一人负责语言服务工作的方法数，即可得解.【详解】先从8名志愿者中任意选出3名，分别负责语言服务、人员引导、应急救助工作，有38A 种，其中甲、乙、丙3人有一人负责语言服务工作，有1237C A 种，故符合条件的选法共有312837A C A 210-=种.故选：C5.定义在R 上的函数()f x 导函数为()f x '，若对任意实数x ，有()()f x f x '>，且()2024f x +为奇函数，则不等式()2024e 0xf x +<的解集为（）A.(),0∞- B.()0,∞+ C.1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】构造()()ex f x g x =，根据导数研究()g x 单调性，结合已知将问题化为()(0)g x g <，再根据()g x 的单调性即可求出结果.【详解】设()()e x f x g x =，则()()()exf x f xg x ''-=，对任意实数x ，有()()f x f x >'，所以()0g x '<，则()g x 在R 上单调递减.因为()2024f x +为奇函数，且()f x 的定义域为R ，所以()02024=0f +，所以(0)2024f =-，所以(0)2024g =-.因为e 0x >，所以求不等式()2024e 0x f x +<的解集，即求()2024e xf x <-的解集，即求()(0)g x g <的解集，因为()g x 在R 上单调递减，所以()(0)g x g <的解集为0x >，所以不等式()2024e 0xf x +<的解集为()0,+∞.故选：B【点睛】关键点点睛：构造函数()()e xf xg x =，根据题意，可得其单调性，从而求解不等式.6.设0.83a =，0.69b =，πlog e c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.b c a >>B.a c b>> C.c a b>> D.b a c>>【答案】D 【解析】【分析】首先和特殊值1比较大小，再根据函数的单调性比较a 和b 的大小.【详解】1e π<<，所以π0log e<1<，即()0,1c ∈，0.80331a =>=，0.60991b =>=，且0.6 1.20.8933b a ==>=，所以10b a c >>>>，即b a c >>.故选：D7.已知()4f x x x=+，()338g x x x a =-+-，若对[]11,3x ∀∈，总[]21,3x ∃∈，使()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围为（）A.[]2,21B.5,213⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.[]1,22D.[]11,22【答案】A 【解析】【分析】由题意可得函数()f x 的值域是函数()g x 的值域的子集，求出两函数的值域，列不等式组可求得结果.【详解】由()4f x x x =+，得()222244(2)(2)1x x x f x x x x-+-'=-==，所以当12x ≤<时，()0f x '<，当23x <≤时，()0f x '>，所以()f x 在[1,2)上递减，在(2,3]上递增，所以min ()(2)4f x f ==，因为413(1)5,(3)333f f ==+=，所以max ()5f x =，所以()f x 的值域为[4,5]，由()338g x x x a =-+-，得()2333(1)(1)g x x x x '=-=+-，当[]1,3x ∈时，()0g x '≥，所以()g x 在[]1,3上递增，所以min ()(1)1386g x g a a ==-+-=-，max ()(3)279826g x g a a ==-+-=-，所以()g x 的值域为[6,26]a a --，因为对[]11,3x ∀∈，总[]21,3x ∃∈，使()()12f x g x =成立，所以[4,5][6,26]a a ⊆--，所以64265a a -≤⎧⎨-≥⎩，解得221a ≤≤.故选：A8.已知()sin 1f x x x =-+，则不等式()()2322f m f m ++>的解集为（）A.()3,0-B.()2,1--C.()(),30,-∞-⋃+∞ D.()(),21,-∞-⋃-+∞【答案】B 【解析】【分析】构造函数()()1cos g x f x x x =-=-，判断出函数的奇偶性，利用导数判断函数的单调性，再根据函数的奇偶性与单调性解不等式即可.【详解】令()()1cos g x f x x x =-=-，()cos 10g x x =-≤'，所以函数()g x 在R 上单调递减，因为()()sin g x x x g x -=-+=-，所以函数()g x 为奇函数，由()()2322f m f m ++>，得()()()21321321f m f m f m ⎡⎤->-++=-+-⎣⎦，即()()()23232g mg m g m >-+=--，所以232m m <--，解得21m -<<-,所以不等式()()2322f m f m ++>的解集为()2,1--.故选：B.9.已知函数()21ln 23f x x ax x =--存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是（）A.3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ B.3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C.3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ D.()1,+∞【答案】B 【解析】【分析】由题意转化为存在0x >，使()0f x '<，参变分离后，转化为求函数的最值问题，即可求解.【详解】()212326233ax xf x ax x x--'=--=，0x >，由题意可知，存在0x >，使()0f x '<，即23260ax x --<，则2362,0xa x x ->>，2min 362x a x -⎛⎫> ⎪⎝⎭，22361313,0x x x x -⎛⎫=--> ⎪⎝⎭当1x =时，21313x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭取得最小值3-，即23a >-，得32a >-.故选：B二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分）10.若命题“x ∃∈R 使()2110x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为_____，【答案】[]1,3-【解析】【分析】原命题等价于命题“2R,(1)10x x a x ∀∈+-+≥，”是真命题【详解】由题意得若命题“2R,(1)10x x a x ∃∈+-+<”是假命题，则命题“2R,(1)10x x a x ∀∈+-+≥，”是真命题，则需()2014013a a ∆≤⇒--≤⇒-≤≤,故本题正确答案为[]1,3-．【点睛】本题主要考查全称量词与存在量词以及二次函数恒成立的问题．属于基础题．11.某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为34，知道正确答案时，答对的概率为100%，而不知道正确答案来时猜对的概率为14，那么他答对题目的概率为______【答案】1316##0.8125【解析】【分析】由全概率公式计算可得.【详解】依题意，他答对题目的概率3113100%3414416P ⎛⎫+-⨯=⎪⎝⎭=⨯ .故答案为：131612.已知621ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项是540，则实数a 的值为______【答案】6±【解析】【分析】利用二项式定理求出261()ax x+的展开式的通项，令x 的指数为0，求出常数项，建立关于a 的方程，即可求解.【详解】由题意得，261()ax x +的展开式的通项为()62361661C C kkk k k k k T ax a xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令360k -=，解得，2k =，所以261()ax x+的展开式中的常数项为2226C 15540a a ==，解得6a =±.故答案为：6±.13.已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，{}n b 是公比为3的是等比数列，且113a b ==，设123n n n n n b b b b n S a a a a ++++=+++ ，则nS n=______【答案】232n n ⋅++【解析】【分析】先求出数列{}n a ，{}n b 的通项，再利用分组求和法出n S ，即可得解.【详解】由题意，21,3nn n a n b =+=，则123n n n n n b b b b nS a a a a ++++=+++ ()()()()21122123121n n n n b b b b n =++++++++++++ ()22123n n b n n=⋅++++++ ()12322n n n n n+=⋅+⋅+2232n n n n =⋅++，所以2232232n n n S n n n n n n⋅++==⋅++.故答案为：232n n ⋅++.14.设,m n 为正数，且2m n +=，则233712m n m n +++++的最小值为______【答案】295##5.8【解析】【分析】由题意，原式可化简为：11512m n ++++，由2m n +=，得125m n +++=，即1(12)15m n +++=，再利用基本不等式“1”的代换即可求解.【详解】由题意，23372(1)13(2)1115121212m n m n m n m n m n +++++++=+=+++++++，因为2m n +=，所以125m n +++=，所以1(12)15m n +++=，所以11111112(12)()(2)12512521m n m n m n m n n m +++=⋅+++⋅+=⋅+++++++142]55≥⋅=，当且仅当1221m n n m ++=++，即32m =，12n =时，等号成立，所以11429551255m n ++≥+=++，所以233729125m n m n +++≥++，即233712m n m n +++++的最小值为295.故答案为：295.15.若()221f x x ax ax =---+有四个零点，则实数a 的取值范围为______【答案】(),-∞⋃+∞【解析】【分析】令2()||g x x ax =-，()|2|1h x ax =--，将函数()f x 零点问题转化为函数()g x 与()h x 的图象交点问题，分类讨论0,0,0a a a =><时，函数()g x 与()h x 图象的交点个数，即可求解.【详解】由()0f x =，得2|||2|10x ax ax ---+=，即2|||2|1x ax ax -=--，令2()||g x x ax =-，()|2|1h x ax =--，则函数()f x 有四个零点等价于函数()g x 与()h x 的图象有四个交点，若0a =，则2()1f x x =-，由()0f x =，解得1x =±，仅有两个零点，不满足题意；若0a >，由()0g x =，解得0x =或x a =，由()0h x =，解得1x a=或3x a =，当102030a a a a a a⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩，即a >如图①所示，在(,0]-∞上，由于函数()g x 的增长速度大于函数()h x 的增长速度，故有且仅有一个交点；在(0,)a 上，函数()g x 与函数()h x 有两个交点；同理，在[,)a +∞上，有且仅有一个交点，所以函数()g x 与()h x 的图象有四个交点，函数()f x 有四个零点，满足题意；当10203a a a a a a ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪≥⎪⎩，即a <≤如图②所示，在(,0]-∞上，由于函数()g x 的增长速度大于函数()h x 的增长速度，故有且仅有一个交点；在(0,)a 上，函数()g x 与函数()h x 有一个交点；同理，在[,)a +∞上，没有交点，所以函数()g x 与()h x 的图象有两个交点，函数()f x 有两个零点，不满足题意；当1023a a a a a a ⎧<<⎪⎪⎪≥⎨⎪⎪≥⎪⎩，即1a <≤如图③所示，在(,0]-∞上，由于函数()g x 的增长速度大于函数()h x 的增长速度，故有且仅有一个交点；在(0,)a 上，函数()g x 与函数()h x 有一个交点；同理，在[,)a +∞上，没有交点，所以函数()g x 与()h x 的图象有两个交点，函数()f x 有两个零点，不满足题意；当123aa a aa a ⎧≥⎪⎪⎪≥⎨⎪⎪≥⎪⎩，即01a <≤时，当(0,)x a ∈时，2|||2|10x ax ax ---+=可化为2()(2)10x ax ax --+-+=，即2210x ax -+=，因为判别式2440a ∆=-<，所以2210x ax -+=无解所以函数()g x 与()h x 的图象在(0,)a 上没有交点，如图④所示，在(,0]-∞上，由于函数()g x 的增长速度大于函数()h x 的增长速度，故有且仅有一个交点；在(0,)a 上，函数()g x 与函数()h x 没有交点；同理，在[,)a +∞上，有且仅有一个交点，所以函数()g x 与()h x 的图象有两个交点，函数()f x 有两个零点，不满足题意；若a<0，当102030a a a a a a⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩，即a <如图⑤所示，在(,]a -∞上，由于函数()g x 的增长速度大于函数()h x 的增长速度，故有且仅有一个交点；在(,0)a 上，函数()g x 与函数()h x 有两个交点；同理，在[0,)+∞上，有且仅有一个交点，所以函数()g x 与()h x 的图象有四个交点，函数()f x 有四个零点，满足题意；当10203a a a a a a ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪≤⎪⎩，即a ≤<如图⑥所示，在(,]a -∞上，由于函数()g x 的增长速度大于函数()h x 的增长速度，故没有交点；在(,0)a 上，函数()g x 与函数()h x 有且仅有一个交点；同理，在[0,)+∞上，有且仅有一个交点，所以函数()g x 与()h x 的图象有两个交点，函数()f x 有两个零点，不满足题意；当1023a a a a a a ⎧<<⎪⎪⎪≤⎨⎪⎪≤⎪⎩，即1a ≤<-时，如图⑦所示，在(,]a -∞上，由于函数()g x 的增长速度大于函数()h x 的增长速度，故没有交点；在(,0)a 上，函数()g x 与函数()h x 有且仅有一个交点；同理，在[0,)+∞上，有且仅有一个交点，所以函数()g x 与()h x 的图象有两个交点，函数()f x 有两个零点，不满足题意；当123aa a aa a ⎧≤⎪⎪⎪≤⎨⎪⎪≤⎪⎩，即10a -≤<时，当(,0)x a ∈时，2|||2|10x ax ax ---+=可化为2()(2)10x ax ax --+-+=，即2210x ax -+=，因为判别式2440a ∆=-<，即2210x ax -+=无解所以函数()g x 与()h x 的图象在(,0)a 上没有交点，如图⑧所示，在(,]a -∞上，由于函数()g x 的增长速度大于函数()h x 的增长速度，故有且仅有一个交点；在(,0)a 上，函数()g x 与函数()h x 没有交点；同理，在[0,)+∞上，有且仅有一个交点，所以函数()g x 与()h x 的图象有两个交点，函数()f x 有两个零点，不满足题意；综上所述，实数a 的取值范围为(,)-∞⋃+∞.故答案为：(,)-∞⋃+∞.【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的零点问题，关键在于将零点问题转化为直线与曲线的交点问题，应用数形结合、分类讨论思想判断交点个数.三、解答题（本题共5题，共75分）16.本着健康低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分，每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为14，14；两人租车时间都不会超过四小时.（1）求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；（2）求甲所付的租车费用比乙所付的租车费用多2元的概率；（3）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X ，求X 的分布列、均值()E X 、方差()D X 【答案】（1）516（2）14（3）答案见解析【解析】【分析】（1）首先求出两个人租车时间在三小时以上且不超过四小时的概率，则甲、乙两人所付的租车费用相同：都不超过两小时，都在两小时以上且不超过三小时和都在三小时以上且不超过四小时三类求解即可；（2）根据题意分为甲两小时以上且不超过三小时还车，且乙不超过两小时还车，或者甲三小时以上且不超过四小时还车，且乙两小时以上且不超过三小时还车两种情况，求解即可；（3）列出随机变量X 的分布列，再利用期望、方差公式求值.【小问1详解】由题意可知，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为12，14，设甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A ，则1111115()=42442416P A =⨯+⨯+⨯，所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为516；【小问2详解】若甲所付的租车费用比乙所付的租车费用多2元，则分为甲两小时以上且不超过三小时还车，且乙不超过两小时还车，或者甲三小时以上且不超过四小时还车，且乙两小时以上且不超过三小时还车两种情况，甲所付的租车费用比乙所付的租车费用多2元的概率为1111142244⨯+⨯=；【小问3详解】X 的可能取值为0，2，4，6，8，()()111110,2,84216344P X P X ====⨯+⨯=()11111 1324444428P X ==⨯+⨯+⨯=，()111136442416P X ==⨯+⨯=，()2811184P ξ==⨯=，分布列如下表：X02468P 183163831618数学期望()133310246848168168E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，()()()()()()222221333111042444648481681682D X ==-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.17.如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，//AF DE 且24DE AF ==.（1）求证：//BF 平面DEC ；（2）求平面BEC 与平面BEF 夹角的余弦值；（3）求点D 到平面BEF 的距离.【答案】（1）证明见解析（2）5（3）17【解析】【分析】（1）以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，求出()0,3,2BF =- ，平面DEC 的一个法向量为()3,0,0DA = ，则由0DA BF ⋅= ，即可证得//BF 平面DEC ；（2）分别求出平面BEC 与平面BEF 的一个法向量,m n ，则利用向量坐标运算，求得平面BEC 与平面BEF夹角的余弦值；（3）由平面BEF 的一个法向量为()2,2,3n = ，()0,0,4DE = ，利用点到平面的距离公式即可求得点D到平面BEF 的距离.【小问1详解】由已知，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，由DA DC ⊂、平面ABCD ，所以DE DA DE DC ⊥⊥，，又DA DC ⊥，DE DC D ⋂=，DE DC ⊂、平面DEC ，所以DA ⊥平面DEC ，以D 为原点，DA DC DE 、、为x y z 、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，已知24DE AF ==，则()()3,3,0,3,0,2B F ，所以()0,3,2BF =- ，易知平面DEC 的一个法向量为()3,0,0DA = ，得0DA BF ⋅=，又BF ⊄平面DEC ，所以//BF 平面DEC .【小问2详解】由上坐标系可知()()0,0,4,0,3,0E C ，则()()3,3,4,3,0,0BE BC =--=- ，设平面BEC 与平面BEF 的一个法向量分别为()(),,,,,m a b c n x y z ==，则有03340300m BE a b c a m BC ⎧⋅=--+=⎧⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩ ，033403200n BE x y z y z n BF ⎧⋅=--+=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩ ，取4,2b y ==，则0,3,2,3a c x z ====，即()()0,4,3,2,2,3m n == ，设平面BEC 与平面BEF 的夹角为θ，则cos 5m n m n θ⋅===⋅ .【小问3详解】由（2）得平面BEF 的一个法向量为()2,2,3n =，又()0,0,4DE = ，所以点D 到平面BEF的距离17DE n d n ⋅=== .18.已知()()1e x f x x ax =-+，()212a g x x ax =+-，其中0a >（1）令()()()h x f x g x =-（i ）求()h x 的单调区间和极小值；（ii ）若()h x 存在大于0的零点，且方程()1h x a =-恰有三个实根，求实数a 的取值范围（2）若对1x ∀∈R ，()20,x ∈+∞，()()121222f x x f x x x +-->恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）（i ）答案见解析；（ii ）()2e ,+∞（2）11,e ∞⎡⎫++⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）（i ）()()21e 12x a h x x x =--+，求出导函数()h x '，然后分0a ≤，01a <<，1a =，1a >四种情况分别讨论即可求解；（ii ）由（1）可知只能1a >，此时10a -<，通过分析()h x 的极值，可得方程()1h x a =-恰有三个实根，只需(ln )1h a a <-，求解即可；（2）将不等式变形为()()()()12121212f x x x x f x x x x +++>-+-，设()()F x f x x =-，则问题等价于()()1212F x x F x x +>-对任意()12R,0,x x ∞∈∈+恒成立，故只需函数()()1e x F x x ax x =-+-在R 上单调递增，即()1e ,R xa x x ≥-∈恒成立，从而求出a 的最小值.【小问1详解】（i ）根据题意，()()()()()221e 11e 122x x a a h x f x g x x ax x ax x x ⎛⎫=-=-+-+-=--+ ⎪⎝⎭，()()e e x x h x x ax x a =-=-'，所以当0a ≤时，(,0)-∞0(0,)+∞()h x '-0+()h x 单调递减极小值单调递增当01a <<时，(,ln )a -∞ln a (ln ,0)a 0(0,)+∞()h x '+0-0-()h x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增当1a =时，()h x 在R 上单调递增，当1a >时，(,0)-∞0(0,ln )a ln a (ln ,)a +∞()h x '+0-0-()h x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增综上可得：当0a ≤时，()h x 在(,0)-∞上单调递减，(0,)+∞上单调递增，当01a <<时，()h x 在(,ln )a -∞上单调递增，(ln ,0)a 上单调递减，(0,)+∞上单调递增，当1a =时，()h x 在R 上为增函数，当1a >时，()h x 在(,0)-∞单调递增，(0,ln )a 上单调递减，(ln ,)a +∞上单调递增；（ii ）因为方程()1h x a =-恰有三个实根，由（1）可知0a ≤和1a =两种情况显然不符合题意，当01a <<时，(0)110h =-+=，而,()0x ∈+∞时，()h x 单调递增，无大于0的零点，不符合题意，所以只能1a >，此时10a -<，由于()h x 在(0,ln )a 单调递减，(0)0h =，在(,0)-∞单调递增，2(ln )(ln 1)ln 12a h a a a a =--+，()h x 在(ln ,)a +∞上单调递增，()()()()22111e 112e 1122a a a a h a a a a +++=-++=-++，令()()21()2e 1,0x m x x x +=-+>，则()1()2e21x m x x +'=-+，令()()1()2e 21,0x v x x x +=-+>，则()1()2e 10x v x +=-'>，所以()v x 在(0,)+∞单调递增，则()(0)2e 20v x v >=->，即()0m x '>，所以()m x 在(0,)+∞单调递增，则()(0)2e 10m x m >=->，所以()10h a +>，即()h x 在(ln ,)a +∞从最小值(ln )h a 增大到大于0，所以方程()1h x a =-恰有三个实根，只需(ln )1h a a <-，即2(ln 1)ln 112a a a a a --+<-，化简为1ln ln 102a a a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，而1a >，ln 0a >，则1ln 102a ->，则2e a >，故实数a 的取值范围为()2e ,∞+；【小问2详解】由题意可得原不等式可化为()()()()12121212f x x f x x x x x x +-->+--，故不等式()()()()12121212f x x x x f x x x x +-+>---在R 上恒成立．设()()F x f x x =-，则上式等价于()()1212F x x F x x +>-，要使()()1212F x x F x x +>-对任意1x ∀∈R ，()20,x ∞∈+恒成立，由1212x x x x +>-，只需函数()()1e x F x x ax x =-+-在R 上单调递增，()e 10x F x x a +-'=≥在R 上恒成立．即()1e ,R xa x x ≥-∈恒成立，令()()1e ,R x G x x x =-∈，则()()1e ,xG x x =-+'当(),1x ∞∈--时，0(),G x '>则()G x 单调递增，当()1,x ∞∈-+时，()0,G x '<则()G x 单调递减，所以max 1()(1)1e G x G =-=+，故11e a ≥+，则实数a 的取值范围为11,e ∞⎡⎫++⎪⎢⎣⎭.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．19.已知数列{}n a 是递增的等差数列，{}n b 是等比数列，1122b a ==，求222b a =，342b a =（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记数列(){}21n n a -的前n 项和为n S ，若2n n mb S >对*N n ∀∈恒成立，求实数m 的取值范围；（3）设1231n n n c a a a a += ，求1n i i c =∑的值.【答案】（1）,2nn n a b n ==（2）52m >（3）11(1)!n -+【解析】【分析】（1）设数列{}n a 的公差为(0)d d >，数列{}n b 的公比为q ，然后根据已知条件列方程组可求出,d q ，从而可求出数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）由（1）()()2211n n n a n -=-，利用并项求和法可求出222n S n n =+，则将问题转化为222n n n m +>对*N n ∀∈恒成立，令222n n n n d +=，求出n d 的最大值即可；（3）由（1）可得11!(1)!n c n n =-+，然后利用裂项相消法可求得结果.【小问1详解】解：根据题意设数列{}n a 的公差为(0)d d >，数列{}n b 的公比为q ，因为1122b a ==，所以11(1),2n n n a n d b q -=+-=⋅，因为222b a =，342b a =，所以222(1)22(13)q d q d =+⎧⎨=+⎩，解得12d q =⎧⎨=⎩或01d q =⎧⎨=⎩（舍去），所以,2n n n a b n ==；【小问2详解】解：由（1）知()()2211n n n a n -=-，所以22222221234(21)(2)n S n n =-+-+-⋅⋅⋅--+()()2222222143(2)(21)n n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+--⎣⎦(21)(21)(43)(43)(221)[2(21)]n n n n =+⨯-++⨯-+⋅⋅⋅++---1234(21)2n n=++++⋅⋅⋅+-+22(21)22n n n n +==+，由2n n mb S >，得222n m n n ⋅>+，所以222n n n m +>对*N n ∀∈恒成立，令222n n n n d +=，则2221112(1)12233222n n n n n n n n n n n d d +++++++-++-=-=当1n =时，2110d d -=>，当2n =时，32891088d d -+-==>，当3n =时，43189330168d d -++-==-<，所以由二次函数的性质可知当3n ≥时，1n n d d +<，所以3292582d ⨯+==最大，所以52m >；【小问3详解】由（1）知1231123(1)(1)!n n n n n c a a a a n n n +===⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-+ (1)111(1)!!(1)!n n n n +-==-++，所以11111111!2!2!3!!(1)!n i i c n n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑11(1)!n =-+【点睛】关键点点睛：此题考查等差数列和等比数列的综合问题，考查分组求和与裂项相消求和法，考查数列与不等式的综合问题，第（2）问解的关键是求出2n S 后，将问题转化为222n n n m +>对*N n ∀∈恒成立，再次转化为求出222n n n n d +=的最大值，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.20.已知()()24ln 1f x ax b x =+--.（1）若()y f x =在()()0,0f 处的切线方程为810x y --=，求实数,a b 的值；（2）当0b =时，若()()()21240x f x x x a a +++-+≥对任意()0,x ∞∈+恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若()f x 有零点，求证：22e 2a b +≥.【答案】（1）2a =，1b =（2）[)2,+∞（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据已知条件及直线810x y --=的纵截距和斜率得到()()0108f f ⎧=-='⎪⎨⎪⎩，再代入表达式即可解出,a b 的值；（2）先根据定义域得到基础的条件0a >，然后先证明原不等式恒成立的情况下一定有2a ≥，再证明2a ≥时原不等式恒成立，即可得到a 的取值范围是[)2,+∞；（3）设()f x 的零点为0x ，构造函数证明()201220e e 12x x +≥+，然后利用()00f x =得到()()()222200e 112x a b x +≤++，即可证明结论.【小问1详解】由()()24ln 1f x ax b x =+--，知()42a f x x ax b-+'=.由已知可得，()y f x =在()()0,0f 处的切线810x y --=经过()0,1-，且斜率为8.故有()()0108f f ⎧=-='⎪⎨⎪⎩，代入函数表达式知4ln 1148b a b-=-⎧⎪⎨=⎪⎩，从而ln 02b a b =⎧⎨=⎩.故0e 1b ==，22a b ==.【小问2详解】设()ln 1g t t t t =-+，则()ln 11ln g t t t =+-='.故对01t <<有()ln 0g t t ='<，对1t >有()ln 0g t t ='>，从而()g t 在(]0,1上递减，在[)1,+∞上递增，故对任意0t >均有()()10g t g ≥=.回到原题，当0b =时，有()()24ln 1f x ax x =--.根据题意，()f x 在()0,x ∞∈+时首先要有定义，故()ln ax 要有意义，从而首先有0a >.此时，原不等式()()()21240x f x x x a a +++-+≥等价于()()4ln 240x ax x a a +-+≥.一方面，若()()4ln 240x ax x a a +-+≥对()0,x ∞∈+恒成立，则特别地，该不等式对1x a=成立，代入得()42ln140a a a a +-+≥，即820a a -+≥.从而由0a >知2280a a -+≥，解得2a ≥或4a ≤-，结合0a >知2a ≥.另一方面，若2a ≥，则对任意()0,x ∞∈+，有()()()()()()4ln 244ln 222424ln 242220x ax x a a x x x x x x g x +-+≥+-+=-+=≥.故()()4ln 240x ax x a a +-+≥对()0,x ∞∈+恒成立.综上，a 的取值范围是[)2,+∞.【小问3详解】若()f x 有零点，记0x 是()f x 的零点，则()2004ln 10ax b x +--=，即()20012ln 2x ax b +=+.由于对任意0t >均有()0g t ≥，故22222222200000000011111111122220000222222222111110e e e 1e 1e e e e e 222e 2x x x x x x x x x x x x x g --------+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++≤=⋅-+=-+=-=⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.从而20120211e e 2x x ++⋅≥，即()201220e e 12x x +≥+，这就得到()()()()()20012222ln 220000e 1e e 2x ax b x ax b ax b bx a +++≤==+≤++-()()()()2222222222222220000000221a x b abx b x a abx a x b b x a a b x =++++-=+++=++.所以()()()222200e 112x a b x +≤++，故22e 2a b +≥.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于构造恰当的函数()ln 1g t t t t =-+，进而得到关键性的不等式，最后解决相应问题.。

一中学13—14学年下学期高二期末联考数学(理)(附答案)

高二过程性检测理科数学试题本试卷共4页，分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．填空和解答题直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、本题共10小题，每小题5分，共计50分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的选项． 1．23log 9log 4⨯=A ．14 B ．12C ．2D ．42．函数)2sin(sin )(x x x f -=π的最小正周期为A ．πB ．23π C ．2πD ．2π 3. 下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是 A ．x y -=B ．xy -=11C ．x y 12=D ．122++-=x x y4．函数2()21log f x x x =-+的零点所在区间是A ．11(,)84B ．11(,)42C ．1(,1)2D ．（1，2）5．{}{}211,,log 1,A x x x R B x x x R =-≥∈=>∈，则“x A ∈”是“x B ∈”的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件6.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为A. π6B. π3C. π6 或 5π6D. π3 或 2π37．已知3153-⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ，2153-⎪⎭⎫ ⎝⎛=b ，2134-⎪⎭⎫⎝⎛=c ，则a,b,c 三个数的大小关系是A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．c a b <<8.已知函数)(),(,cos 2)(,sin 2)(x g x f m x x x g x x f 与直线=== 的图象分别交M 、N 两点，则|MN |的最大值为A. 3B. 4C. D ．29．设函数()sin cos =+f x x x x 的图像在点()(),t f t 处切线的斜率为k ，则函数()=k g t 的部分图像为10．已知()f x 是R 上的偶函数，若将()f x 的图象向右平移一个单位，则得到一个奇函数的图象，若()21f =-则()()()()1232013f f f f +++⋅⋅⋅+=A ．1B ．0C ．1-D ．1005.5-第II 卷(非选择题，共100分)二．填空题：本题共5小题，每小题5分，计25分；直接将结果填在题中的横线上。

河南省鹤壁市高中2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学含答案

鹤壁市高中2023—2024学年（下）期末考试高二数学试题卷（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合2π4π6π2πsin sin sin sin ,Z,02023202320232023k A x x k k ⎧⎫==+++⋅⋅⋅+∈⎨⎬⎩⎭|>，则集合A 的元素个数为（）A.1011B.1012C.2022D.20232.已知实数2log 3a =，2cos36b =，c =,,a b c 的大小关系是（）A.b c a>> B.b a c>> C.a b c>> D.a c b>>3.在四面体ABCD 中，点E 满足DE DC λ=，F 为BE 的中点，且111236AF AB AC AD =++ ，则实数λ=（）A.14B.13C.12D.234.在ABC 中，π3B =，D 是AB的中点，CD =，则2AB BC +的取值范围为（）A.B.(C.(D.(0,5.已知tan()αβ+，tan()αβ-是函数2()64f x x x =-+的零点，则23πcos 224sin 2αβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-（）A.25-B.35-C.710-D.45-6.已知()()()()()()828901289321111x x a a x a x a x a x ++=+++++++++ ，则8a =（）A.8B.10C.82D.927.已知正方体1111ABCD A B C D -，过点B 且以1DB为法向量的平面为α，则α截该正方体所得截面的形状为（）A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形8.已知a ，b ∈R ，若2a b ≤<，b a a b =，则b 的可能值为（）A.2.5B.3.5C.4.5D.6二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分．9.已知正实数,a b 满足221a ab b -+=，则（）A.a b +的最大值为2B.ab 的最小值为1C.22a b +的最大值为2D.22a b +的最小值为110.随机变量X ，Y 分别服从正态分布和二项分布，即()~2,1X N ，14,2Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则（）A.()122P X ≤=B.()()E X E Y = C.()()D X D Y = D.()112P Y ==11.已知圆()221:31C x y -+=，()2222:0C x y a a +=>，则下列结论正确的有（）A.若圆1C 和圆2C 相交，则24a <<B.若圆1C 和圆2C 外切，则2a =C.当52a =时，圆1C 和圆2C 有且仅有一条公切线D.当3a =时，圆1C 和圆2C 相交弦长为3三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．12.已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，若()14f x -，()124x f x -+都为偶函数，则()651k f k ='=∑______．13.在ABC 中，若2225AC BC AB +=，则tan tan tan tan C CA B+=__________．14.直线l 经过点()2,3P -，与圆22:22140C x y x y +++-=相交截得的弦长为，则直线l 的方程为________．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.2023年12月28日工业和信息化部等八部门发布了关于加快传统制造业转型升级的指导意见，某机械厂积极响应决定进行转型升级．经过市场调研，转型升级后生产的固定成本为300万元，每生产x 万件产品，每件产品需可变成本()p x 万元，当产量不足50万件时，()21160120p x x =+；当产量不小于50万件时，()264001460201p x x x=+-．每件产品的售价为200元，通过市场分析，该厂生产的产品可以全部销售完．（1）求利润函数的解析式；（2）求利润函数的最大值．16.已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2cos a C c A b A +=.（1）求角A ；（2）若a =2b =，求边c 及ABC 的面积；（3）在（2）的条件下，求()sin 2B A -的值.17.已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是正方形，平面PAB ⊥平面,,1ABCD PA AB PA AB ⊥==，M 为棱PD 的中点．（1）求证：PA ⊥平面ABCD ；（2）求平面ACM 与平面PAB 夹角的正弦值．18.已知双曲线2222;1(0,0)x y C a b a b -=>>经过点63,2⎛ ⎝⎭，右焦点为(),0F c ，且222,,c a b 成等差数列.（1）求C 的方程；（2）过F 的直线与C 的右支交于,P Q 两点（P 在Q 的上方），PQ 的中点为,M M 在直线:2l x =上的射影为,N O 为坐标原点，设POQ △的面积为S ，直线,PN QN 的斜率分别为12,k k ，试问12k k S-是否为定值，如果是，求出该定值，如果不是，说明理由.19.已知实数0q ≠，定义数列{}n a 如下：如果{}2012222,0,1kk i n x x x x x =++++∈ ，0,1,2,,i k = ，则2012kn k a x x q x q x q =++++ ．（1）求7a 和8a （用q 表示）；（2）令12n n b a -=，证明：211n nii b a-==∑；（3）若12q <<，证明：对于任意正整数n ，存在正整数m ，使得1n m n a a a <≤+．鹤壁市高中2023—2024学年（下）期末考试高二数学试题卷注意事项：1．答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合2π4π6π2πsin sin sin sin ,Z,02023202320232023k A x x k k ⎧⎫==+++⋅⋅⋅+∈⎨⎬⎩⎭|>，则集合A 的元素个数为（）A.1011B.1012C.2022D.2023【答案】B 【解析】【分析】依题意由表达式中角的特征可知当01011,Z k k ≤∈<时，2πsin 2023k 的取值各不相同，当1012k ≥时，利用诱导公式以及集合元素的互异性即可求得元素个数为1012.【详解】根据题意可知，当01011,Z k k ≤∈<时，()2π0,π2023k ∈，此时()2πsin 0,12023k ∈；又因为2023为奇数，2k 为偶数，且2π2023k 中的任意两组角都不关于π2对称，所以2πsin 2023k 的取值各不相同，因此当01011,Z k k ≤∈<时集合A 中x 的取值会随着k 的增大而增大，所以当1011k =时，集合A 中有1011个元素；当1012k =时，易知2π4π2022π2024πsin sin sin sin 2023202320232023x =++⋅⋅⋅++2π4π2022ππsin sin sin sin π2023202320232023⎛⎫=++⋅⋅⋅+++ ⎪⎝⎭2π4π2022ππsinsin sin sin 2023202320232023=++⋅⋅⋅+-又易知2022ππsin sin 20232023=，所以可得2π4π2022π2024π2π4π2020πsin sin sin sin sin sin sin 2023202320232023202320232023x =++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅+，即1012k =时x 的取值与1010k =时的取值相同，根据集合元素的互异性可知，1012k =时并没有增加集合中的元素个数，当2022k =时，易知2π4π4042π4044πsinsin sin sin 2023202320232023x =++⋅⋅⋅++2π4π2022π2022π4π2πsin sin sin sin sin sin 202320232023202320232023=+⋅⋅⋅+--⋅⋅⋅--0=，可得当1012k ≥时，集合A 中的元素个数只增加了一个0，所以可得集合A 的元素个数为1012个.故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键在于通过观察集合中元素的特征，利用的三角函数值的范围以及图象的对称性，由集合中元素的互异性得出当1012k ≥时，集合A 中的元素个数的增加情况即可求得结果.2.已知实数2log 3a =，2cos36b = ，c =,,a b c 的大小关系是（）A.b c a >>B.b a c>> C.a b c>> D.a c b>>【答案】B 【解析】【分析】利用余弦函数的单调性可得到b c >，利用对数函数的单调性可得到a c >，假设在ABC 中，AB AC =，36A ∠=︒，角B 的平分线交边AC 于点D ，利用长度关系和正弦定理可得到152cos362+︒=，然后利用作差法能得到b a >，即可求解【详解】由于cos36cos 45︒>︒可得2cos36︒>b c >，又由于2223log 3log log 2=>=>a c >，假设在ABC 中，AB AC =，36A ∠=︒，角B 的平分线交边AC 于点D ，所以18036722C ABC ︒-︒∠=∠==︒，36CBD ABD ∠=∠=︒，180367272BDC ∠=︒-︒-︒=︒，所以BCD ABC △△,所以BC AB CD BC =即2BC CD AB =，所以2BC AD AC CD AB AB =-=-，所以2BC BC BD AD AB AB===-，所以22BC AB AB BC ⋅=-即21AB AB BC BC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解得12AB BC +=，在ABC 中，sin 72sin 36AB BC =︒︒即sin 722sin 36cos362cos36sin 36sin 36AB BC ︒︒︒===︒︒︒，所以12cos362+︒=，由于5832<即5ln 38ln 2<，所以ln 38ln 25<，所以28log 35a =<，因为85161101251010+=+--=>，所以b a >，所以b a c >>故选：B【点睛】关键点点睛：这道题的关键时计算出12cos362︒=，需假设在ABC 中，AB AC =，36A ∠=︒，角B 的平分线交边AC 于点D ，然后利用相似三角形和正弦定理即可得到3.在四面体ABCD 中，点E 满足DE DC λ=，F 为BE 的中点，且111236AF AB AC AD =++ ，则实数λ=（）A.14B.13C.12D.23【答案】D 【解析】【分析】由空间向量线性和基本定理运算可解.【详解】由F 为BE 的中点，得1122AF AB AE =+，又111236AF AB AC AD =++ ，所以2133AE AC AD =+ ，由DE DC λ= ，得()AE AD AC AD λ-=- ，即()1AE AC AD λλ=+- ，所以2.3λ=故选：D4.在ABC 中，π3B =，D 是AB 的中点，3CD =，则2AB BC +的取值范围为（）A.(3,3 B.(3,6 C.(23,43 D.(0,43【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由正弦定理可得2sin ,2sin BD BCD BC BDC =∠=∠，即可得到π236AB BC BCD ⎛⎫+=∠+ ⎪⎝⎭，再由正弦型函数的值域，代入计算，即可求解.【详解】因为π3B =，3CD =，在BCD △中，由正弦定理可得32sin sin sin 32BD BC CDBCD BDC B===∠∠∠，则2sin ,2sin BD BCD BC BDC =∠=∠，且D 是AB 的中点，则2224sin 4sin AB BC BD BC BCD BDC +=+=∠+∠，又π3B =，则2π3BCD BDC ∠=-∠，则224sin π4sin 3AB BC BDC BDC ⎛⎫+=-∠+∠⎪⎝⎭14cos sin 22BCD BCD BCD ⎛⎫=∠+∠+∠ ⎪ ⎪⎝⎭34sin 22BCD BCD ⎛⎫=∠+∠ ⎪ ⎪⎝⎭π6BCD ⎛⎫=∠+ ⎪⎝⎭，又20π3BCD ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，，则ππ5π666BCD ⎛⎫∠+∈ ⎪⎝⎭，，所以π1sin 162BCD ⎛⎫⎛⎤∠+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，，则(π6BCD ⎛⎫∠+∈ ⎪⎝⎭，即2AB BC +的取值范围为(.故选：C5.已知tan()αβ+，tan()αβ-是函数2()64f x x x =-+的零点，则23πcos 224sin 2αβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-（）A.25-B.35-C.710-D.45-【答案】B 【解析】【分析】利用韦达定理求出tan()tan()αβαβ++-，tan()tan()αβαβ+-，再由诱导公式变形()()()()23πcos 2sin sin 2124sin 22cos 22cos ααβαβαββαβαβ⎛⎫+ ⎪⎡⎤++-⎝⎭⎣⎦==-⨯--⎡⎤+--⎣⎦，最后由和（差）角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切.【详解】因为tan()αβ+，tan()αβ-是函数2()64f x x x =-+的零点，所以tan()tan()6αβαβ++-=，tan()tan()4αβαβ+-=，所以()()()()23πcos 2sin sin 2124sin 22cos 22cos ααβαβαββαβαβ⎛⎫+ ⎪⎡⎤++-⎝⎭⎣⎦==-⨯--⎡⎤+--⎣⎦()()()()()()()()sin cos cos sin 12cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβαβ+-++-=-⨯+-++-()()()()tan tan 116321tan tan 2145αβαβαβαβ++-=-⨯==-⨯=-++-+.故选：B 6.已知()()()()()()828901289321111x x a a x a x a x a x ++=+++++++++ ，则8a =（）A.8B.10C.82D.92【答案】B 【解析】【分析】由()()()()88321211x x x x ⎡⎤⎡⎤++=++++⎣⎦⎣⎦，利用二项式定理求解指定项的系数.【详解】()()()()88321211x x x x ⎡⎤⎡⎤++=++++⎣⎦⎣⎦，其中()811x ⎡⎤++⎣⎦展开式的通项为()()88188C 11C 1rrr r rr T x x --+=+⋅=+，N r ∈且8r ≤，当0r =时，()()8818C 11T x x =+=+，此时只需乘以第一个因式()12x ⎡⎤++⎣⎦中的2，可得()821x +；当1r =时，()()77128C 181T x x =+=+，此时只需乘以第一个因式()12x ⎡⎤++⎣⎦中的()1x +，可得()881x +.所以82810a =+=.故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键点是把()()832x x ++表示成()()81211x x ⎡⎤⎡⎤++++⎣⎦⎣⎦，利用即可二项式定理求解.7.已知正方体1111ABCD A B C D -，过点B 且以1DB 为法向量的平面为α，则α截该正方体所得截面的形状为（）A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形【答案】A 【解析】【分析】作出辅助线，根据线面垂直的判定定理得到1B D ⊥平面11A C B ，故平面α即为平面11A C B ，得到截面的形状.【详解】连接111111,,,A C BA BC B D ，因为1BB ⊥平面1111D C B A ，11AC ⊂平面1111D C B A ，所以111BB AC ⊥，又四边形1111D C B A 为正方形，所以1111B D A C ⊥，又1111BB B D B ⋂=，111,BB B D ⊂平面11BB D D ，所以11A C ⊥平面11BB D D ，因为1DB ⊂平面11BB D D ，所以111A C DB ⊥，同理可证明11BC DB ⊥，因为1111BC A C C ⋂=，111,BC A C ⊂平面11A C B ，故1B D ⊥平面11A C B ，故平面α即为平面11A C B ，则α截该正方体所得截面的形状为三角形.故选：A.8.已知a ，b ∈R ，若2a b ≤<，b a a b =，则b 的可能值为（）A.2.5B.3.5C.4.5D.6【答案】B 【解析】【分析】构造函数()ln xf x x =，求导确定其单调性，结合(2)(4)f f =可得答案.【详解】由b a a b =得ln ln a b a b=，设()ln xf x x =，则()()f a f b =，又21ln ()xf x x -'=，当0e x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增，当e x >时，()0f x '<，()f x 单调递减．因为ln 22ln 2ln 4(2)(4)244f f ====，所以2e 4a b ≤<<≤．结合选项可知B 正确，ACD 错误.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分．9.已知正实数,a b 满足221a ab b -+=，则（）A.a b +的最大值为2B.ab 的最小值为1C.22a b +的最大值为2D.22a b +的最小值为1【答案】AC 【解析】【分析】由题可得223(124b b a -+=，可令cos 2b a θ-=，sin 2θ=，即cos 3a θθ=+，sin 3b θ=，代入选项依次化简即可结果.【详解】由221a ab b -+=，可得223()124b b a -+=，令cos 2b a θ-=，3sin 2θ=，所以cos sin 3a θθ=+，sin 3b θ=，2π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭对于A ，则πcos 2sin()6a b θθθ=++=，当π3θ=时，a b +取最大值为2，故A 正确对于B ，22112π1cos cos sin 2cos 2sin(2)333363ab θθθθθθθθθ⎛⎫=+=+=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭当π3θ=时，ab 的最大值为1，故B 错误；对于C 、D ，由B 可得01ab <≤，由221a b ab +=+，则2221a b <≤+，故C 正确，D 错误.故选：AC10.随机变量X ，Y 分别服从正态分布和二项分布，即()~2,1X N ，14,2Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则（）A .()122P X ≤=B.()()E X E Y =C.()()D X D Y =D.()112P Y ==【答案】ABC【解析】【分析】A 选项，根据正态分布对称性得到A 正确；BC 选项，根据正态分布和二项分布求期望和方差公式求出答案；D 选项，利用二项分布求概率公式进行求解.【详解】A 选项，根据正态分布的定义得()12P X μ≤=，故A 正确；B 选项，()2E X μ==，()1422E Y =⨯=，故()()E X E Y =，故B 正确；C 选项，()21D X σ==，()114122D Y =⨯⨯=，故()()D X D Y =，故C 正确；D 选项，()3141111C ×1224P Y ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，故D 错误.故选：ABC ．11.已知圆()221:31C x y -+=，()2222:0C x y aa +=>，则下列结论正确的有（）A.若圆1C 和圆2C 相交，则24a <<B.若圆1C 和圆2C 外切，则2a =C.当52a =时，圆1C 和圆2C 有且仅有一条公切线D.当3a =时，圆1C 和圆2C 相交弦长为【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意求圆心和半径.对于AB ：根据圆与圆的位置关系分析求解；对于C ：结合选项A 分析判断；对于D ：先两圆方程作差求公共弦所在直线的方程，结合垂径定理求弦长.【详解】由题意可知：圆()221:31C x y -+=的圆心()13,0C ，半径11r =；圆()2222:0C x y a a +=>的圆心()20,0C ，半径2r a =；则123C C =，对于选项A ：若圆1C 和圆2C 相交，则121212r r C C r r -<<+，即131a a -<<+，解得24a <<，故A 正确；对于选项B ：若1C 和2C 外切，则1212C C r r =+，即31a =+，解得2a =，故B 正确；对于选项C ：当52a =时，由选项A 可知：圆1C 和圆2C 相交，所以圆1C 和圆2C 有且仅有2条公切线，故C 错误；对于选项D ：当3a =时，由选项A 可知：圆1C 和圆2C 相交，且圆221:680C x y x +-+=，222:9C x y +=，两圆方程作差得176x =，即公共弦所在直线的方程为176x =，圆心()20,0C 到直线176x =的距离176d =，所以公共弦长为3=，故D 正确.故选：ABD三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．12.已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，若()14f x -，()124x f x -+都为偶函数，则()651k f k ='=∑______．【答案】520【解析】【分析】利用函数的奇偶性，推出函数()f x '的图象关于点(1,0)对称以及关于点1(2,4对称，即可依次求得(1),(2),f f '' 的值，根据等差数列的求和公式，即可求得答案.【详解】因为(14)f x -为偶函数，则(14)(14)f x f x +=-，即(1)(1)f x f x +=-，则(1)(1)f x f x ''+=--，即(1)(1)0f x f x ''++-=，故()f x '的图象关于点(1,0)对称，且()01f '=；又1(2)4x f x -+为偶函数，则11(2)(2)44x f x x f x ---+=-+，则11(2)(2)44f x f x ''-+-+=-+，即1(2)(2)2f x f x ''-+++=，故()f x '的图象关于点1(2,4对称，且1(2)4f '=，又将1x =代入(1)(1)0f x f x ''++-=得(2)(0)0f f ''+=，则1(0)4f '=-；令1x =，由1(2)(2)2f x f x ''-+++=可得1(3)(1)2f f ''+=，则1(3)2f '=；同理可得1(4)(0)2f f ''+=，则3(4)4f '=；因为1(5)(1)2f f ''+-=，(3)(1)0f f ''+-=，所以1(5)(3)2f f ''-=，则(5)1f '=；L ，由此可得(),N f n n *'∈组成了以0为首项，14为公差的等差数列，故16511365641()01665052042424k f k =⨯'=+++++=⨯+⨯=∑，故答案为：520【点睛】关键点睛：解答此类关于抽象函数的性质类问题，要能综合利用函数的性质进行求解，比如函数的奇偶性和对称性以及周期性等，解答本题的关键就在于要根据函数的奇偶性推出函数的对称性，从而采用赋值法求值，发现规律，进而求解.13.在ABC 中，若2225AC BC AB +=，则tan tan tan tan C CA B+=__________．【答案】12##0.5【解析】【分析】先将目标式切变弦变形整理，然后利用余弦定理计算将条件代入，结合目标式可得答案.【详解】2tan tan cos cos sin sin cos cos sin sin tan tan tan sin sin cos sin sin sin sin cos C C A B C A B A BC C A B A B C A B A B C +⎛⎫+=+=⋅= ⎪⎝⎭．由余弦定理得22224cos 22AC BC AB AB C AC BC AC BC+-==⋅⋅．由正弦定理得22sin cos sin sin CC A B=，从而2sin sin cos 2sin A B C C =．所以tan tan 1tan tan 2C C A B +=．故答案为：12.14.直线l 经过点()2,3P -，与圆22:22140C x y x y +++-=相交截得的弦长为，则直线l 的方程为________．【答案】512460x y --=或2x =【解析】【分析】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，根据弦长求出圆心到直线的距离，分斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出直线方程.【详解】圆22:22140C x y x y +++-=，即()()221116x y +++=，圆心为()1,1C --，半径4r =，因为直线与圆相交截得的弦长为所以圆心到直线的距离3d ==，若直线的斜率不存在，此时直线方程为2x =，满足圆心()1,1C --到直线2x =的距离为3，符合题意；若直线的斜率存在，设斜率为k ，则直线方程为()32y k x +=-，即230kx y k ---=，则3d =，解得512k =，所以直线方程为()53212y x +=-，即512460x y --=，综上可得直线方程为512460x y --=或2x =.故答案为：512460x y --=或2x =四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.2023年12月28日工业和信息化部等八部门发布了关于加快传统制造业转型升级的指导意见，某机械厂积极响应决定进行转型升级．经过市场调研，转型升级后生产的固定成本为300万元，每生产x 万件产品，每件产品需可变成本()p x 万元，当产量不足50万件时，()21160120p x x =+；当产量不小于50万件时，()264001460201p x x x=+-．每件产品的售价为200元，通过市场分析，该厂生产的产品可以全部销售完．（1）求利润函数的解析式；（2）求利润函数的最大值．【答案】（1）()3140300,050,12064001160,50x x x f x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--+≥⎪⎩．（2）1000万元．【解析】【分析】（1）根据题意，分段表示销售利润，即得利润函数；（2）对利润函数分段讨论，利用求导、基本不等式等方法求函数的最大值即得.【小问1详解】由题意得，销售收入为200x 万元．当产量不足50万件时，()21160120p x x =+，利润为：()()2311200300200(160)30040300120120f x x x p x x x x x x =-⋅-=-⋅+-=-+-；当产量不小于50万件时，()264001460201p x x x=+-，利润为：()()2640014606400200300200(201)3001160f x x x p x x x x x x x=-⋅-=-+--=--+.所以利润函数为()3140300,050,12064001160,50x x x f x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--+≥⎪⎩．【小问2详解】当050x <<时，()()()1404040f x x x +'=--，所以当040x <<时，()()0,f x f x '>在()0,40上单调递增；当4050x <<时，()()0,f x f x '<在()40,50单调递减，所以当40x =时，()f x 取得最大值()2300403f =；当50x ≥时，()6400116011601000f x x x ⎛⎫=-++≤-= ⎪⎝⎭当且仅当6400x x =，即80x =时，等号成立又230010003>，故当80x =时，所获利润最大，最大值为1000万元．16.已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2cos a C c A b A +=.（1）求角A ；（2）若a =2b =，求边c 及ABC 的面积；（3）在（2）的条件下，求()sin 2B A -的值.【答案】（1）π3（2）3c =，ABC S =△（3）14【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式求出cos A ，即可得角A ；（2）根据余弦定理求得边长c ，再利用面积公式求解即可.（3）利用正弦定理求出sin 7B =，再求出cos 7B =，再利用二倍角公式求出sin 2,cos 2B B ，最后再利用两角和与差的正弦公式即可.【小问1详解】因为cos cos 2cos a C c A b A +=，由正弦定理可得sin cos sin cos 2sin cos A C C A B A +=，即()sin 2sin cos A C B A +=，即sin 2sin cos B B A =，又()0,πB ∈，所以sin 0B >，则1cos 2A =，又()0,πA ∈，所以π3A =.【小问2详解】由余弦定理得2222471cos 242b c a c A bc c +-+-===，整理得2230c c --=，解得3c =或1c =-（舍），所以ABC 的面积11sin 232222ABC S bc A ==⨯⨯⨯=△.【小问3详解】由正弦定理得sin sin a b A B =，即2πsin sin 3B =，解得sin 7B =，因为c a b >>，故角B 为锐角，故cos 7B ==，所以212743sin 22sin cos 2777B B B ==⨯=，221cos 212sin 1277B B ⎛=-=-⨯= ⎝⎭，所以sin(2)sin 2cos cos 2sin B A B A B A-=-11727214=⨯-⨯=.17.已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是正方形，平面PAB ⊥平面,,1ABCD PA AB PA AB ⊥==，M 为棱PD 的中点．（1）求证：PA ⊥平面ABCD ；（2）求平面ACM 与平面PAB 夹角的正弦值．【答案】（1）证明见详解（2）63【解析】【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，得到平面的法向量，利用空间向量求面面夹角.【小问1详解】因为平面PAB ⊥平面ABCD ，PA AB ⊥，且平面PAB ⋂平面,ABCD AB PA =⊂平面PAB ，所以PA ⊥平面ABCD ．【小问2详解】由题意和（1）知，,,AB AD AP 两两垂直，以A 为原点，,,AB AD AP 所在直线分别为x ，y ，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,1,1,0P A B D C ．可得11110,,,(1,1,0),0,,2222M AC AM ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．易知平面PAB 的一个法向量为(0,1,0)AD =．设平面ACM 的法向量为(,,)n x y z = ，则·011·022n AC x y n AM y z ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩，令1y =-，则1,1x z ==，可得(1,1,1)n =-．设平面ACM 与平面PAB 的夹角为π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则cos cos ,3·n AD n AD n ADθ⋅====，可得6sin 3θ==所以平面ACM 与平面PAB的夹角的正弦值为3．18.已知双曲线2222;1(0,0)x y C a b a b -=>>经过点3,2⎛ ⎝⎭，右焦点为(),0F c ，且222,,c a b 成等差数列.（1）求C 的方程；（2）过F 的直线与C 的右支交于,P Q 两点（P 在Q 的上方），PQ 的中点为,M M 在直线:2l x =上的射影为,N O 为坐标原点，设POQ △的面积为S ，直线,PN QN 的斜率分别为12,k k ，试问12k k S-是否为定值，如果是，求出该定值，如果不是，说明理由.【答案】（1）22163x y -=（2）是定值，定值为23【解析】【分析】（1）根据题意和222c a b =+可得222a b =，然后根据点3,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在双曲线上即可求解；（2）依题意可设PQ ：3x my =+，将直线方程与圆锥曲线方程联立得到()222630m y my -++=，利用韦达定理和已知条件求出12k k -的表达式，然后求出12k k S-的表达式，化简即可求证.【小问1详解】因为2c ，2a ，2b 成等差数列，所以2222a c b =+，又222c a b =+，所以222a b =.将点63,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭的坐标代入C 的方程得2269412b b -=，解得23b =，所以26a =，所以C 的方程为22163x y -=.【小问2详解】依题意可设PQ ：3x my =+，由223163x my x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()222630m y my -++=,设()11,P x y ，()22,Q x y ，12y y >，则1221226232m y y m y y m -⎧+=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩.1212,22x x y y M ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，122,2y y N +⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1221122112121222222211PN QN y y y y y y y y k k k k x x my my -----=-=-=--++()()()121221212221y y m y y m y y m y y ⎡⎤-++⎣⎦=⎡⎤+++⎣⎦，而()()12121322S OF y y y y =⋅-=-，所以()()121221212231m y y k k S m y y m y y ++-=⎡⎤+++⎣⎦22222222624422663363122m m m m m m m m -+---===--⎛⎫-++ ⎪--⎝⎭，所以12k k S -是定值，定值为23.【点睛】关键点点睛：（1）本题的关键是根据题目条件得到等式，解方程组；（2）本题的关键是把目标转化成两根之和以及两根之积的形式，然后代入韦达定理化简.19.已知实数0q ≠，定义数列{}n a 如下：如果{}2012222,0,1kk i n x x x x x =++++∈ ，0,1,2,,i k = ，则2012k n k a x x q x q x q =++++ ．（1）求7a 和8a （用q 表示）；（2）令12n n b a -=，证明：211n n i i b a-==∑；（3）若12q <<，证明：对于任意正整数n ，存在正整数m ，使得1n m n a a a <≤+．【答案】（1）23781,a q q a q=++=（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）观察题目条件等式中的系数可得答案；（2）112n n n b a q --==，分别计算1ni i b =∑和21n a -可证明结论；（3）先根据112n n a q--=无上界说明存在正整数m ，使得n m a a <，分1m -是偶数和1m -是奇数分别说明.【小问1详解】因为27122=++，所以271a q q =++；因为382=，所以38a q =；【小问2详解】由数列{}n a 定义得：112n n n b a q--==；所以2111n n i i b q q q -==++++∑ ．而21211222n n --=++++ ，所以121211n n n i i a q q qb --==++++=∑ ；【小问3详解】当12q <<，由（2）可知，112n n a q --=无上界，故对任意n a ，存在m a ，使得m n a a >．设m 是满足m n a a >的最小正整数．下面证明1m n a a ≤+．①若1m -是偶数，设{}2121222,0,1,1,2,,k k i m x x x x i k -=+++∈= ，则2121222k k m x x x =++++ ，于是212111k m k m a x q x q x q a -=++++=+ ．因为1n m a a -≥，所以111m m n a a a -=+≤+．②若1m -是奇数，设2221122222l l k l k m x x ++-=+++++++ ，则()()()()12221111111l l l l m m a a q q q q q q q q q q q +--=-++++=-++++-+++++< ．所以111m m n a a a -<+≤+．综上所述，对于任意正整数n ，存在正整数m ，使得1n m n a a a <≤+．。

河南省信阳市淮滨县多校联考2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题(含答案)

淮滨县多校联考2023-2024学年下期期末考试高二数学试卷注意事项:本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。

考试时间120分钟，满分150分。

考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效。

交卷时只交答题卡。

第I 卷(选择题，共58分)一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。

每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。

）1．已知集合，，则下列结论不正确的是（）A ．B ．C ．D ．2．某同学喜爱球类和游泳运动．在暑假期间，该同学上午去打球的概率为．若该同学上午不去打球，则下午一定去游泳；若上午去打球，则下午去游泳的概率为．已知该同学在某天下午去游了泳，则上午打球的概率为（）A ．B ．C ．D ．3．已知定义在上的函数满足，且，则的解集是（）A ．B ．C ．D ．4．已知关于的不等式成立的一个必要不充分条件是，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．5．下列函数既是奇函数又在上单调递增的是（）A ．B ．C ．D ．6．等差数列前项和为，则（）A ．44B ．48C ．52D ．56{}1,0,1,2A =-{}|0B x x =>1A B∈ A B∅⊆ {}2A B⊆ {}|0x x A B>= 131434231912()0,∞+()f x ()()0xf x f x -<'()22f =()0f x x ->(),ln2∞-()ln2,∞+()0,2()2,∞+x 2230x x --<3a x <<a (),1-∞-(],1-∞-()1,3-[)1,3-()0,12y x x =-2x y =sin πy x=33y x x=+{}n a n 7,4n S a =13S =7．双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程为（）A ．B ．C ．D ．8．已知分别是函数的零点，则（）A ．B ．C ．3D ．4二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．已知是方程的实根，则下列各数为正数的是（）A ．B ．C ．D ．10．如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱组合而成，是上的动点.则（）A ．为的中点时，平面平面B ．为的中点时，平面C ．存在点，使得三棱锥体积是8D ．存在点，使得直线与平面所成的角为11．已知函数的定义域为，且满足，，当时，，则下列结论正确的是（）A ．为偶函数B ．在上单调递增C ．关于点中心对称D ．()222210,0x y a b a b -=>>y x =y =y x =±y =12,x x ()()333,log 3x f x x g x x x =+-=+-1323log xx +=3e ln3+9ln3+a e 40x x +-=22a a -e 2a -ln a23a a -ABF DCE -,4,AB AF AB AD AF G ⊥===»CDG »CDEFBC ⊥BCG G »CD//BF ADG G E ACG -G CF BCG 60()f x R ()()33f x f x +=-()()3f x f x +=-[]3,0x ∈-()23428x f x x =++()f x ()f x []4,5()f x ()3,0()17202416f =-第II 卷(非选择题，共92分)三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分）12．某不透明纸箱中共有8个小球，其中2个白球，6个红球，它们除颜色外均相同．一次性从纸箱中摸出4个小球，摸出红球个数为，则．13．已知是函数的零点，则.14．设函数，若且，则的取值范围是．四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．(13分)已知的内角A ，，所对的边分别为，，，的最大值为.(1)求角；(2)若点在上，满足，且，.16．(15分)已知函数（）．(1)当时，求函数的最小值；(2)若，求实数的取值范围．17．(15分)某学校准备订做新的校服，有正装和运动装两种风格可供选择，为了解学生和家长们的偏好，学校随机调查了200名学生及每名学生的一位家长，得到以下的列联表：更喜欢正装更喜欢运动装家长12080学生16040(1)根据以上数据，判断是否有的把握认为学生与家长对校服风格的偏好有差异；(2)若从家长中按不同偏好的人数比例用分层随机抽样的方法抽取5人进行座谈，再从这5人中任选2人，记这2人中更喜欢正装的家长人数为X ，求X 的分布列和数学期望．附：．X ()E X =0x ()e e ln e (1)x x f x x x x x =--≥010e ln x x --=()ln ,0e2ln ,ex x f x x x ⎧<≤=⎨->⎩()()()123f x f x f x ==123x x x <<31211x x x ++ABC V B C a b c ()π4cos sin 6f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f A A D BC 3BC DC =AD =AB =()ln e a x xf x x x a-=--0a >1a =()f x ()0f x ≥a 22⨯99%22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++0.10.050.010.0012.7063.8416.63510.82818．(17分)已知数列满兄，，数列的前项和为，且．(1)求数列，的通项公式，(2)求数列的前项和为．19．(17分)已知点，在双曲线（，）上，直线.(1)求双曲线的标准方程；(2)当且时，直线与双曲线分别交于，两点，关于轴的对称点为.证明：直线过定点；(3)当时，直线与双曲线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于，两点.当点运动时，求点的轨迹方程.αx α{}n a 11n n n a aa+=+112a ={}n b n n S 1233n n S +=-{}n a {}n b 1n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 12⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛ ⎝2222:1x y C a b -=0a >0b >:l y kx m =+C 1m =0k ≠l C A B A y D BD bk a≠±l C M M l x y (),0S x ()0,T y M (),P x y淮滨县多校联考2023-2024学年下期期末考试高二数学参考答案第I 卷(选择题，共58分)一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。