451相似三角形性质及其应用教学设计

4.5.1

相似三角形性质及其应用

课型：新授课

备课人：

教材分析：

《相似三角形的性质及其应用》在初中几何中《相似三角形》的这章重点内容之一。而

且这是学生学完相似三角形定义及其判定的基础上，进一步研究相似三角形的特性， 以完成

对相似三角形的全面研究。相似三角形的性质也是全等三角形性质的拓展，

也是研究相似多

边形的基础。这些性质是解决有关实际问题的重要工具，因此，这一节课无论在知识上，还 是对学生能力的培养上，都起着十分重要的作用。 教学目标

1、 掌握相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

2、 会运用上述两个性质解决简单的几何问题。

3、 了解三角形重心和的概念和重心分每一条中线成 1:2的两条线段的性质。

4、 思想方法：类比思想和转化思想

重点：相似三角形性质的基本性质 ：对应角相等，对应边成比例的应用。 难点：例2证明需要添加辅助线，是本节教学难点。 学情分析：

学生已经学习过相似三角形的定义：

对应角相等，对应边成比例的两个三角形是相似三

角形；已经掌握相似三角形的基本性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例；还掌握 了判定相似三角形的方法：

1、预备定理；

2、两个角对应相等的两个三角形相似；

3、两边

对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似； 4、三边对应成比例的两个三角形相似。相似

三角形的性质应用非常广泛， 学生也经历过很多用到相似三角形性质的应用，且判定方法也

掌握比较熟练。 教学过程： 一、复习导入

如图，△ A ' 1

又••• A ' D'为/B'

A ' C '的角平分线，••• /B' A ' D' =— /

B ' A ' C'

2

1

••• AD 为 ZBAC 的角平分线，•

/BAD* ZBAC •/B ' A' D =/BAD

2

• △ A ' B ' D' ◎△ ABD(ASA),： A' D' =AD

教师：我们发现什么结论呢？

学生：全等三角形的对应角的角平分线相等。

(说明：本节课的导入以全等三角形的角度切入，学生在八年级已经将全等三角形的定义， 性质及其判定方法熟练掌握，

而相似三角形为全等三角形的拓展，

在知识的构架基础上思维

连贯，为后面相似三角形的性质及其应用做好铺垫。 )

二、探索新知

教师：现在老师将全等三角形的

条件弱化，将全等三角形变成相似三角形，则对应角的角平

/B ' A C =/BAC,A' B ' =AB

B' C'也厶ABC A D'、AD 分别是对应角平分线，问 A D'、AD 的数量 = /B , 关系？

C

学生 2：v^ A ' B' C's △ ABC •- /B' =/B , ZB ' A ' C' =/BAC, （复习相似三角形性质：相似三角形对应角相等，对应边成比例

----

1

又••• A D'为/B '

A C 的角平分线，••• Z

B ' A D 二一/B'

A C '

2

•

△ A B ' D's △ ABD,：

k

AD AB

（复习相似三角形判定方法 1：有两个角相等的三角形相似 。） 教师：这位同学相似三角形的性质和判定方法掌握不错，思维清晰。

（教师及时评价学生，肯定学生。）

教师：通过这道例题，我们发现两个相似三角形的对应角的角平分线有何结论？ 学生：两个相似三角形的角对应角的角平分线之比等于相似比。

（说明：相似三角形的性质应用非常广泛， 本题为相似三角形对应角相等和对应边成比例这 两个基本性质的应用有新的用意， 本题实际将相似三角形的对应边成比例拓广到对应角平分 线与对应边成比例。） 三、合作学习，应用新知

教师：如果老师将例1的对应角的角平分线改成： 变式一：对应边上的高线，结论会是什么? 变式二：对应边上的中线，结论又会是什么？

（以六人为一小组， 进行合作学习，时间五分钟，在讨论过程中，个别有困难的小组予以思路 点拨，后让学生进行展示。）

教师：（予以点评），通过这道例题，我们发现两个相似三角形的对应边上的高线有何结论? 学生：两个相似三角形的角对应边上的高线之比等于相似比。

分线还会相等吗? 学生 教师 学生 不相等。

那么它们有什么数量关系?

成比例。 （同时教师切入第二张 PPT )

A'B' 的比。

如图,

△ A ' B ' C 's^ ABC ，相似比

_ J k

AB

■ k ，求则对应角平分线 A ' D '与AD

教师： 少？又是怎样得到。请同学们思考。

（B 考1分钟D 后请同学回答同时写解题过程板书。 思

A'B'

概念板书）

1

T AD 为 ZBAC 的 角平分线，• /BADd ZBAC •/B' A ' D' =/BAD 2

A'D ' A'B'

A '

'CC 与厶ABC 的相似比为

如果△ A

D '与AD 的比为多

A ' k,

D

A ' D '与

（本题实际将相似三角形的对应边成比例拓广到对应边上的高线与对应边成比例。）

A

C'

变式二： 如图，△ A ' B ' C 's^ ABC ,相似比舘二k

，求则对应边上的中线 A ' D '与

AD 的比。

A 'D ' A'R '

小组4上台展示：讲解解题思路，得出结论：

= A-R -= k AD AR

教师：（予以点评），通过这道例题，我们发现两个相似三角形的对应边上的中线有何结论? 学生：两个相似三角形的角对应边上的高中线之比等于相似比。

（本题实际将相似三角形的对应边成比例拓广到对应边上的中线与对应边成比例。）

A E

四、应用相似，新知再探 •卩''■■

教师：在右图△ ARC 中添加第二条中线 BE ,交AD..于点P （得到例2的条件），问DP 与AP 的 比值为多少？

PE 与RP 的比值为多歩-？（提问后切入例—2,PPT,并给学生1分钟思考的时间， 期间观察学生的表情，判断学生

的思考结果，若难度较大，引导学生提点学生，例如

AD 和

BE ARC 的中线，即可得到两个中点，你能联想到什么知识点？你会构造什么？）

一分钟后；

请学生5板演，并讲解。 学生5:连接DE,

••• AD,REARC 的两条中线， 1 e ••• DE// AR,DE=—AR.

2

• ZPED= Z ARP,ZEDP= /RAP •••△ PED

PRA

教师点评

（本题的由来，承上题中的右图由原三角形中的一条中线再增加一条中线得出例

2的条件,

自认为过度比较自然，而且安排本题的目的是引出三角形重心的概念一级重心的常用性质， 本题又有起下的作用。且本题的难点在于需要添加辅助线，让学生思考如何添加，有根据哪 些条件推出。添加的辅助线又是△ ARC 的中位线，利用他的性质又可以推出三角形相似，

本质还是先判定两个三角形相似，再利用相似三角形的性质而得出。）

F,我们知道三角形的中线是相交于同一个点的， 所

为多少？

FP 1

学生：

匚匚=丄

CP 2 R

C

教师：我们发现三角形三条中线的交点将中线分成了

1:2两部分，这个交点是如此的特殊它

有个名字叫做重心，那么大家能归纳出重心的定义吗？ 学生：三角形三条中线的交点叫做重心。（ 教师黑板书写三角形重心定义。 ）

动手实验，让学生动手实验，了解平衡鸟

能保持平衡鸟的原理，进一步理解重心的意 义，以及作用，教师讲解重心物理教师讲解

教师：在右图△ ARC 中添加第三条中线 以第三条中线经过点 P,则FP A

C