统筹与优化

第十二讲 统筹与优化
一、过桥问题
宗旨：快的来回过，慢的一起过
例1 一家五口人要在夜晚过一座独木桥，爷爷需要12分钟，爸爸需要8分钟，妈妈需要6分钟，姐姐需要3分钟，弟弟需要1分钟。

他们有一盏油灯，同时可以有两个人借助灯光过桥，这盏灯只能再维持30分钟了，该怎样过桥呢？
解析：五口人过桥的过程可以简化为这样几个必须的步骤：
去-回-去-回-去-回-去（每次“去”都是两个人，“回”都是一个人送油灯）
3 +1 +12 +3 +6 +1 +3=29（分钟）
姐姐和弟弟过桥
弟弟回来
弟弟和妈妈过桥
姐姐回来
爷爷和爸爸过桥
弟弟回来
姐姐和弟弟过桥
同学们想想，哪些地方是可以微调的？比如，第一次“回”让姐姐回来，第二次“回”让弟弟回可以吗？
二、排队问题
宗旨：优先快的！
注意概念：1、每个人的时间总和：每个人花费的时间都要加起来
2、历时多久：客观上钟表走了多少时间
（尖子）学案1 5个人各拿一个水桶在自来水龙头前等候打水，他们打水所需的时间分别为1分钟，2分钟，3分钟，4分钟，5分钟。

如果只有一个水龙头，试问怎样安排他们的打水顺序，才能使每个人排队和打水时间的总和最小？并求出最小值。

解析：根据“优先快的”的思想，我们安排的打水顺序应该是
1分钟 - 2分钟 - 3分钟 - 4分钟 - 5分钟
（5人在场） （4人在场）（3人在场）（2人在场）（1人在场）
每个人的时间总和为1×5+2×4+3×3+4×2+5×1=35（分钟）
例2 有甲、乙两个水龙头，6个人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟，4分钟，3分钟，10分钟，7分钟，6分钟。

怎么安排这6个人打水，才能使他们等候的总时间最短，最短的时间是多少？
解析：本题与上题的区别在哪里呢——有两个水龙头，不就意味着要排2支队伍吗？每支队伍不还是希望是最快的人排最前面吗？根据这个思想，我们尝试排序
甲：3-5-7 时间总和：3×3+5×2+7×1=26（分）
乙：4-6-10 时间总和：4×3+6×2+10×1=34（分）
时间和共计：26+34=60（分）
同学们想想，哪些地方是可以微调的？比如，将5分钟与6分钟的对调可以吗？
补充：车间有5台机床同时出现故障，已知第一台到第五台修复时间依次为18,30,17,25,20分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失5元，现有两名工作效率相同的修理工，（1）怎样安排才能使经济损失最少？（2）怎样安排才能使开始维修到维修结束历时最短？ 解析：（1）每台车床停产都会造成损失，要想损失最少，那么应该是每台机器停产的时间和最少。

两个工人，那就排两个队伍。

甲：17-20-30；乙：18-25.停产总时间为17×3+20×2+30×1+18×2+25×2=182（分），总损失为5×182=910（元）
（2）历时最短，即两个工人每人维修的时间之差最小。

一人修17,18,20分钟的，另一人修25和30分钟的。

每个人都是55分钟，即历时55分钟，五台机器就都修好了。

三、设置车站/仓库问题
1、求距离各点的总距离最短：向中心车站靠拢
（1）当有偶数个车站时，选择中间两个车站之间（包括这两个车站） （2）当有奇数个车站时，选择正中间的车站
例3 如图，在街道上有A,B,C,D,E,F 六栋居民楼，现在设立一个公交站，要想使居民到达车站的距离之和最短，车站应该设在何处？？
F
E D C
B A
解析：找最中间的两点C,D，车站建在CD 之间（包括CD 两点）均可。

因为在CD 之间的任一点，到A 与到F 的距离和等于AF 的距离，是一个定值，到B 与到E 的距离和等于BE 的距离，也是一个定值，同理，到C 与到D 的距离和等于CD 的距离，是一个定值。

（尖子）学案2 有1993名少先队员分散在一条公路上执勤宣传交通规则，问完成任务后应该在公路的什么地点集合，可以使他们从各自的宣传岗位沿公路走到集合地点的路程总和最小？
解析：考虑最简单的奇数点的情况，如果有三个点。

C
B A
在AC 之间的任一点到A 与到C 的距离和都是AC 的距离，是一个定值，要让这个点到B 的距离最短，总距离和就最短，显然这个点应选B，这样到B 的距离就是0了。

本题有奇数个点，那就找最中间的那个岗位，即（1993+1）÷2=997（名）同学所在的岗位。

2、求费用最少（即跟每个点上的数值有关时）：小向大靠拢
注意：当点比较多时，每次比较都是两个数比较，即要把所有点的数分成“两堆”来比较。

例4 一条公路上，每隔10千米有一座仓库，共有五座，图中数字表示各仓库库存货物的重量，现在要把所有的货物集中存放到一个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要运费0.9元，那么集中到哪个仓库运费最少？
60吨10吨20吨30吨10吨B E
D C A
解析：本题的最优化不光跟各点到所选仓库的距离和有关，还跟各点的货物重量有关。

那么这时要采取“小向大靠拢”的原则。

先找最重的点，是E 点，60吨，但它左边所有的重量加起来是70吨，60<70，所以E 点的货物要移动，移动到D 点，这时D 点有70吨，而D 左边只有60吨，70>60，所以选D。

运费最少是0.9×（10×30+30×20+20×10+60×10）=1530（元） 也可以分仓库算，A 点的货物运到D 点需要0.9×10×30=270（元）
B 点的货物运到D 点需要0.9×30×20=540（元）
C 点的货物运到
D 点需要0.9×20×10=180（元）
E 点的货物运到D 点需要0.9×60×10=540（元）
共计：1530元
（提高）学案3 一条公路上，每隔100千米有一座仓库，共有五座，图中数字表示各仓库库存货物的重量，现在要把所有的货物集中存放到一个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要运费0.5元，那么集中到哪个仓库运费最少？
40吨0吨0吨20吨10吨B
E
D
C
A
解析：E 点货物最重，且40>10+20+0+0，所以E 点不动，应该是10吨和20吨的货物向它靠拢。

进而算出运费最少是0.5×（10×400+20×300）=5000（元）
（尖子）学案3 一条直街上有5栋楼，从左到右编号为1,2,3,4,5，相邻两楼的距离都是50米，第1号楼有1名职工在A 厂上班，第2号楼有2名职工在A 厂上班……第5号楼有5名职工在A 厂上班.A 厂计划在直街上建一车站接送这5栋楼的职工上下班，为使这些职工到车站所走路程之和最小，车站应建在距1号楼多少米处？
解析：虽然问的是总路程最短，但不光跟各点的距离有关，还跟各点的人数有关，所以要用“小向大靠拢”的原则。

应建在4号楼的位置，即距1号楼150米处。

例5 下图是ABCDE 五个村之间的道路示意图，圈中数字是各村要上学的学生人数，道路上的数表示两村之间的距离（单位：千米）。

现在要在五村之中选一个村建立一所小学，为使所有学生到学校的总距离最短，试确定最合理的方案。

B A
解析：50<40+20+20+35,所以E 点要向左移，移到D 点后，D 点的人数50+35，大于左边的40+20+20，所以小学建在D 点最合理。

说明：当路线不是一条直线时，即有一些分支时，可以先确定一条“主干道”（选取数目比较大的当主干道），然后将“支向干靠拢”后再采取“小向大靠拢”的原则也可以。

如本题选取
A-C-D-E 作主干道，先将B 向C 移动，变成下图
D
C
A
再由“小向大靠拢”不难得到建在D 点最好。

四、调运货物问题 1、对比比较法
例5 北京、洛阳分别有11台和5台完全相同的机器，准备给杭州7台，西安9台，每台机器的运费如下表，如何调运使总运费最省？
杭州 西安 北京 800 1000 洛阳
700
600
解析：对比比较，北京更愿意运往杭州，洛阳更愿意运往西安。

调运方案如下 北京运往杭州7台，运往西安4台，洛阳运往西安5台。

运费为800×7+1000×4+600×5=12600（元）
补充 北京、洛阳分别有10台和6台完全相同的机器，准备给杭州11台，西安5台，每台机器的运费如下表，如何调运使总运费最省？
杭州 西安 北京 500 600 洛阳
700
1000
解析：北京和洛阳都愿意运往杭州，怎么办呢？应优先满足洛阳运往杭州，因为如果将一台机器由杭州改运西安，北京只多花100元，而洛阳要多花300元。

于是，方案如下： 北京运往杭州5台，运往西安5台，洛阳运往杭州6台。

运费为500×5+600×5+700×6=9700（元）
方法二：设洛阳运往杭州x 台，那么洛阳运往西安应该是（6-x）台，
北京运往杭州（11-x）台，北京运往西安10-（11-x）=x-1台。

运费应该为：700x+1000（6-x）+500（11-x）+600（x-1）=10900-200x。

要想运费最少，那么要x 最大，即x=6，洛阳运往杭州6台。

运费最少为10900-200×6=9700（元）
2、不对流原则
家庭作业6 产地A 1，A 2,A 3和销售地B 1，B 2，B 3，B 4都在铁路线上，位置如下图，已知A 1，A 2,A 3的产量分别为5吨，3吨，2吨，B 1，B 2，B 3，B 4的销量分别为1吨，2吨，3吨，4吨。

试求出使总运输吨公里数最小的调运方案。

B 1 A 1 B 2 B 3 A 2 B 4 A 3
解析：我们用箭头的方向表示货物的流向，显然发生对流的调运方案不可能是最优方案。

如下图：
对流代表着重复运输。

所以根据不对流的原则，本题的最佳方案如下：
B 1 A 1 B 2 B 3 A 2 B 4 A 3 1 5 2 3 3 4 2
五、粗细水管问题
家庭作业4 有十个村庄，坐落在从县城出发的一条公路上，现要安装水管，从县城供各村自来水，可以用粗、细两种水管，粗管每千米7000元，细管每千米2000元，粗管足够供应所有各村用水，细管只能供应一个村用水，各村与县城间距离如右图所示（图中单位是千米），现要求按最节约的方法铺设，总费用是多少？
A 10
A 9A 8A 7A 6A 5A 4A 3A 25
2
2
2
2
2
5
4
3
A 1
解析：对于这种粗细水管的题，我们要掌握的核心是“在同一段路上，粗、细水管是互相替代的关系”。

即用粗管，就不用细管，用细管，肯定就不用粗管。

我们采取替换的思路，比如先都铺成细管，那么从县城到A1村要铺设10根细管，A1到A2要铺设9根细管，以此类推，如图：
粗管每千米7000元，细管每千米2000元，所以4根细管的价钱大于1根粗管的价钱，即凡是超过3根细管的路段，都应替换为粗管更省钱。

方案改为： 总费用为
7000×（30+5+2+4+2+3+2）+2000×（2×3+2×2+5×1）=36600（元）
A 1
A 2
A 3
A 4
A 5
A 6
A 7
A 8
A 9
A 10
A 1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8A 9A 10。