同济大学《高等数学》(第四版)第二章习题课

求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.
基本初等函数的微分公式
d (C ) 0 d (sin x ) cos xdx d (tan x ) sec2 xdx d ( x ) x 1 dx d (cos x ) sin xdx d (cot x ) csc2 xdx
微分形式的不变性
无论x是自变量还是中间变量,函数y f ( x ) 的微分形式总是 dy f ( x )dx
二、典型例题
例1 设 f ( x ) x ( x 1)( x 2)( x 100),
求 f (0).
解
f ( x ) f ( 0) f (0) lim x 0 x0
x x0
,即
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) y y x x 0 lim lim . x 0 x x 0 x
单侧导数
1.左导数:
f ( x 0 ) lim
x x0 0
f ( x ) f ( x0 ) f ( x 0 x ) f ( x 0 ) lim ; x 0 x x0 x
d (sec x ) sec x tan xdx d (csc x ) csc x cot xdx
d (a x ) a x ln adx 1 dx x ln a 1 d (arcsin x ) dx 2 1 x 1 d (arctan x ) 2 dx 1 x d (log a x )
一、主要内容
关 dy y dy y dx y dy o( x ) 系 dx
y lim x 0 x
导
数
基本公式 高阶导数 高阶微分
微 分
dy y x
求 导 法 则
1、导数的定义
定义 设函数y f ( x )在点x 0的某个邻域内有定义,
当自变量x在x 0处取得增量x (点x 0 x仍在该邻域 内)时, 相应地函数y取得增量y f ( x 0 x ) f ( x 0 ); 如果y与x之比当x 0时的极限存在, 则称函数 y f ( x )在点x 0处可导, 并称这个极限为函数y f ( x ) dy 在点x 0处的导数, 记为y x x 0 , dx df ( x ) x x0 或 dx
解 分析: 当t 0时, t 不存在,
dx dy 当t 0时, , 不存在, dt dt
t 0
.
不能用公式求导.
5( t ) 2 4t t y t[5 4 sgn(t )] lim lim lim x 0 x t 0 t 0 2t t 2 sgn(t )
3、求导法则
(1) 函数的和、差、积、商的求导法则
设u u( x ), v v ( x ) 可导，则
c （1）( u v ) u v , （2）( cu ) cu ( 是常数),
uv uv , （4）( u ) uv uv (v 0) . （3）( uv ) 2
（常数和基本初等函数的导数公式） 2、基本导数公式
( C ) 0 (sin x ) cos x (tan x ) sec2 x (sec x ) sec xtgx ( a x ) a x ln a 1 (log a x ) x ln a 1 (arcsin x ) 1 x2 1 (arctan x ) 1 x2
4、高阶导数 (二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)
f ( x x ) f ( x ) 二阶导数 ( f ( x )) lim , x 0 x
记作
d 2 y d 2 f ( x) f ( x ), y , 2 或 . 2 dx dx
d3y 二阶导数的导数称为三阶导数, f ( x ), y , 3 . dx
2.右导数:
f ( x 0 ) lim
x x0 0
f ( x ) f ( x0 ) f ( x 0 x ) f ( x 0 ) lim ; x 0 x x0 x
函数 f ( x )在点x 0 处可导 左导数 f ( x 0 ) 和右 导数 f ( x 0 ) 都存在且相等.
1 1 1 1 1 1 , ( ) 4 2 4 2 2x x 2(1 u ) 4 u 1 u 1 1 u
2
x , u ( 1 x ) x 2 1 x 1 yx . 3 2 (2 x x ) 1 x
x 2t t dy 例3 设 ,求 2 dx y 5t 4t t
2
y(ln y 1) 2 x(ln x 1) 2 xy(ln y 1) 3
例5
设f ( x ) x x( x 2) , 求 f ( x ).
解 先去掉绝对值
x 2 ( x 2), x 0 2 f ( x ) x ( x 2),0 x 2, x 2 ( x 2), x 2
(4) 对数求导法
先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法 求出导数. 适用范围:
多个函数相乘和幂指函 u( x ) v ( x ) 的情形. 数
(5) 隐函数求导法则
用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
(6) 参变量函数的求导法则
x (t ) 若参数方程 确定y与x间的函数关系, y (t ) dy dy dt ( t ) d 2 y ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) ; . 2 3 dx dx ( t ) dx (t ) dt
当x 0时,
f (0) f (0) 0,
f (0) 0;
当x 2或x 0时, 当0 x 2时,
f ( x ) 3 x 2 4 x; ( x ) 3 x 2 4 x; f
当x 2时,
f ( x ) f ( 2) x 2 ( x 2) 4. f ( 2) lim lim x2 x 2 x2 x2 f ( x ) f ( 2) x 2 ( x 2) f ( 2) lim lim 4. x2 x 2 x2 x2
dy 故 dx
0.
t 0
0.
例4 设函数y f ( x )由方程 x y
y
x ( x 0, y 0)
d y 所确定, 求 2 . dx
1 1 解 两边取对数 ln y ln x , 即y ln y x ln x , x y ln x 1 y , (1 ln y ) y ln x 1, 1 ln y 1 1 (ln y 1) (ln x 1) y x y y (1 ln y ) 2
f ( 2) f ( 2),
2பைடு நூலகம்
f ( x )在x 2处不可导.
3 x 4 x , x 2, 或x 0 f ( x ) 0, x 0, 3 x 4 x ,0 x 2,
2
例6
设y x(sin x )cos x , 求 y.
lim( x 1)( x 2)( x 100)
x 0
100!
1 1 1 x 1 2 例2 设 y arctan 1 x ln , 2 2 4 1 x 1 求 y .
2
解 设 u 1 x2 ,
y u
1 1 u1 则 y arctan u ln , 2 4 u1
v v
(2) 反函数的求导法则
如果函数x ( y )的反函数为y f ( x ), 则有 1 f ( x ) . ( x )
(3) 复合函数的求导法则
设y f ( u), 而u ( x )则复合函数y f [( x )]的导数为 dy dy du 或 y ( x ) f ( u) ( x ). dx du dx
x x0 x x0
或df ( x 0 ), 即
A x .
微分dy叫做函数增量y的线性主部. (微分的实质)
6、导数与微分的关系
定理 函数f ( x )在点x 0 可微的充要条件是函数f ( x )
在点x 0处可导, 且 A f ( x 0 ).
7、 微分的求法
dy f ( x )dx
d (e x ) e x dx d (ln x ) 1 dx x
1 d (arccos x ) dx 2 1 x 1 d (arccot x ) 2 dx 1 x
8、 微分的基本法则
函数和、差、积、商的微分法则
d ( u v ) du dv d ( uv ) vdu udv d (Cu) Cdu u vdu udv d( ) v v2
解
y y(ln y ) y(ln x cos x ln sin x )
1 cos2 x x(sin x )cos x ( sin x ln sin x ) x sin x
例7
4x 1 设y 2 , 求 y (n) . x 1
2
4x2 1 4x2 4 3 3 1 1 解 y 2 4 ( ) 2 x 1 x 1 2 x 1 x 1
一般地, 函数f ( x )的n 1阶导数的导数称为 函数f ( x )的n阶导数, 记作
d n y d n f ( x) f ( n ) ( x ), y ( n ) , n 或 . n dx dx
5、微分的定义
定义 设函数y f ( x )在某区间内有定义, x 0 及x 0 x
在这区间内, 如果 y f ( x 0 x ) f ( x 0 ) A x o( x ) 成立(其中A是与x无关的常数), 则称函数y f ( x ) 在点x 0 可微, 并且称A x为函数y f ( x )在点x 0 相应 于自变量增量x的微分, 记作dy dy
( x ) x 1 (cos x ) sin x (cot x ) csc2 x (csc x ) csc xctgx (e x ) e x 1 (ln x ) x 1 1 x2 1 (arccot x ) 1 x2 (arccos x )
1 (n) ( 1) n n! 1 (n) ( 1) n n! ( ) , ( ) , n 1 n 1 x 1 ( x 1) x 1 ( x 1)
y
(n)
3 1 1 n ( 1) n![ ]. n 1 n 1 2 ( x 1) ( x 1)
一、选择题： x 1、函数 f ( x ) 在点 0 的导数 f ( x 0 ) 定义为（ ） f ( x 0 x ) f ( x 0 ) （A） ； x f ( x 0 x ) f ( x 0 ) （B） lim ； x x0 x f ( x) f ( x0 ) （C） lim ； x x0 x f ( x) f ( x0 ) lim （D） x x ； 0 x x0 y f ( x) x 2、若函数 在点 0 处的导数 f ( x 0 ) 0 ，则 y f ( x) 曲线 在点( x 0 , f ( x 0 ) )处的法线（ ） x x （A）与 轴相平行； （B）与 轴垂直； x （C）与 y 轴相垂直； （D）与 轴即不平行也不垂直：