均值不等式总结

2已知 a b =1(x, y, a,b R )，求mx ny(m, n 0)的最小值._______
xy
利用基本不等式求最值常见类型
类型二：定值天然型（对勾结构）.
（4）“上二下一，或上一下二的分式“型
x 0, 求 x2 x 4 的最小值 x
利用基本不等式求最值常见类型
类型二：定值天然型（对勾结构）.
（2）变形应用
（1）已知a,b R ,且满足2a b 4,则a b的最大值为 _____
（2）已知x, y R ,且满足 x y 1,则x y的最大值为 ________ 34
(3)已知a 0,b 0,且满足a2 b2 1,则a 1 b2的最大值为 _____ 2
(4)若a,b,c 0且2a b c 6，求aa b c+bc的最大值
“一正,二定,三相等”
③必须有自变量值能使函数值取到“=”号.
求下列函数值域
(1) y sin x 2 sin x
(2)x 1 x2
利用基本不等式求最值常见类型
类型一：定值直接给型.
（1）直接应用
例1：a, b是正数且 a b 4，求ab的最值
利用基本不等式求最值常见类型
类型一：定值直接给型.
利用基本不等式求最值常见类型
类型二：定值天然型（对勾结构）.
（1）直接利用型
(1) y sin x 2 sin x
利用基本不等式求最值常见类型
类型二：定值天然型（对勾结构）.
（2）配、凑系数或常数用型
(1)已知x 2，求y x＋ 4 的最小值； x2
2已知x 5 ,求函数y=4x 2 1 的最大值。
典例导悟
1、1代换 2、对二元二次不等式分解因式，构造积为定值 3、消元，构造函数 4、三角代换
综合运用
[例 4] 设 a＞b＞c，且a－ 1 b＋b－ 1 c≥a－ m c恒成立，则 m 的取值范围是__________．
[答案] (－∞，4]
[分析] 由 a＞b＞c 知：a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0.因此， 不等式等价于aa－ －bc＋ab－ －cc≥m，要使原不等式恒成立，只需aa－ －bc ＋ab－ －cc的最小值不小于 m 即可．
（3）“上二下一，或上一下二的分式“型
1已知x -1,求y x2 2x 2的最低点的坐标为_____
x+1
2 已知x
0, 求y
x 的最大值ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ x2 +3x+4
3已知x
0, 求y
x2 +x+1的最大值. x2 +1
利用基本不等式求最值常见类型
类型二：定值天然型（对勾结构）.
（3）“上二下一，或上一下二的分式“型
(2)已知x 0, y 0, 且 8 1 1, 求x 2 y的最小值. xy
(3)已知a 0, b 0, 且 2 1 1 , 若不等式2a b 9m恒成立 ab 5
则m的最大值为 _____________ .
利用基本不等式求最值常见类型
类型二：定值天然型（对勾结构）.
（3）整体代换(“1”的妙用)型
类型三：定值“自造”型.
典例导悟
1、利用ab
a
2
b
2
将式子转化为含ab或a
b的一元二次不等式
将ab, (a b)作为整体解出范围
2、对二元二次不等式分解因式，构造积为定值 3、消元，构造函数
利用基本不等式求最值常见类型
类型二：定值天然型（对勾结构）.
（3）整体代换(“1”的妙用)型
已知x＞0，y＞0，且 1 ＋ 9 ＝1，求x＋y的最小值 xy
(4)已知x 0, y 0, 且x+3y 5xy, 求3x 4 y的最小值. (5)已知a 0, b 0, 且 2 1 1, 若a 2b m2 +2m恒成立
ab 则m的取值范围是 _____________ .
利用基本不等式求最值常见类型
类型二：定值天然型（对勾结构）.
（3）整体代换(“1”的妙用)型
4 求y x 2 的最大值.
2x+5
5求y x2 +5 的最大值.
x2 4
利用基本不等式求最值常见类型
类型三：定值“自造”型.
已知x 0, y 0, 且3xy x y 1则
1 x y的最小值是_________; 2 x y的最小值是_________;
利用基本不等式求最值常见类型
题型1.利用基本不等式求最值
题型2:利用基本不等式证明不等式 题型3:用基本不等式求解实际应用题
复习巩固:
2.常见的不等式
适用范围
(a 、b∈R) (a>0,b>0)
(a、b同号）
(a>0）
(a＜0）
和定积最大 积定和最小
5.应用基本不等式应注意的事项:
①各项必须为正值;
②含变量的各项和或积必须为定值;
[解析] ∵aa－ －bc＋ab－ －cc
＝a－ba－ ＋bb－c＋a－bb＋ －cb－c
＝2＋ab－ －bc＋ab－ －bc≥2＋2
ab－ －bc·ab－ －bc＝4.
当且仅当ab－ －bc＝ab－ －bc，即 2b＝a＋c 时，等号成立．
∴m≤4，即 m∈(－∞，4]．
[点评] (1)分离 m 以后，注意到 a－c＝(a－b)＋(b－c)是 求解aa－ －bc＋ab－ －cc的最小值的关键．
4
4x 5
利用基本不等式求最值常见类型
类型二：定值天然型（对勾结构）.
（3）整体代换(“1”的妙用)型
已知x＞0，y＞0，且 1 ＋ 9 ＝1，求x＋y的最小值 xy
利用基本不等式求最值常见类型
类型二：定值天然型（对勾结构）.
（3）整体代换(“1”的妙用)型
(1)已知x 0, y 0, 且x+y 2, 求 4 9 的最小值. xy
(2)注意到 a＞b＞c.及式子a－1 b＋b－ 1 c≥a－ m c中分母都是多 项式略嫌复杂，可换元简化．
令 x＝a－b＞0，y＝b－c＞0. 则 a－c＝x＋y. ∴a－1 b＋b－ 1 c≥a－ m c恒成立，
变式：
(1)已知0 x 1,则y 4 9 的最小值为 ________ x 1 x
2已知0 x 1 ，则 2 9 的最小值为 ________
2
x 1 2x
利用基本不等式求最值常见类型
类型二：定值天然型（对勾结构）.
（3）整体代换(“1”的妙用)型
整体代换适用的两种题型
(1)已知ax by m(x, y, a,b R ),求y 1 1 的最小值为. xy