均值不等式总结
均值不等式公式完全总结归纳(非常实用)
均值不等式归纳总结1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当ba =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当ba =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x xx x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b bababa+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）5.若R b a ∈,，则2)2(222b ab a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y＝3x 2＋12x 2（2）y＝x＋1x解：(1)y ＝3x 2＋12x 2 ≥23x 2·12x 2＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
均值不等式知识点
均值不等式知识点均值不等式是高等数学中的一种重要的数学不等式，其在解决各类数学问题中起到了重要的作用。
本文将通过逐步思考的方式，详细介绍均值不等式的相关知识点。
1.均值不等式的基本概念均值不等式是指对于一组实数，其算术平均数大于等于几何平均数，即若有n个正实数x1、x2、……、xn，则它们的算术平均数A≥它们的几何平均数G。
这一不等式可表示为：（x1 + x2 + …… + xn）/ n ≥ (x1 * x2 * …… * xn) ^ (1/n)2.均值不等式的证明为了证明均值不等式，可以使用数学归纳法或其他数学方法。
下面以数学归纳法为例，来证明均值不等式。
首先，当n=2时，我们有：（x1 + x2）/ 2 ≥ √(x1 * x2) 化简可得：x1 + x2 ≥2√(x1 * x2) 这是一种常见的数学不等式，称为算术平均数和几何平均数之间的不等式。
接下来，假设当n=k时，均值不等式成立。
即对于任意的k个正实数x1、x2、……、xk，有：（x1 + x2 + …… + xk）/ k ≥ (x1 * x2 * …… * xk) ^ (1/k)然后，我们来证明当n=k+1时，均值不等式也成立。
即对于任意的k+1个正实数x1、x2、……、xk+1，有：（x1 + x2 + …… + xk + xk+1）/ (k+1) ≥ (x1 * x2* …… * xk * xk+1) ^ (1/(k+1))我们可以将左边的式子进行拆分，得到：[(x1 + x2 + …… + xk) + xk+1] / (k+1)≥ [(x1 * x2 * …… * xk) * xk+1] ^ (1/(k+1))根据不等式的性质，我们有：(x1 + x2 + …… + xk) / k ≥ (x1 * x2 * …… * xk) ^(1/k) 即：[(x1 + x2 + …… + xk) / k] * k ≥ [(x1 * x2 * …… * xk) ^ (1/k)] * k将上式代入前面的不等式，得到：[(x1 + x2 + …… + xk) + xk+1] / (k+1) ≥ [(x1 *x2 * …… * xk) * xk+1] ^ (1/(k+1))这样，我们证明了当n=k+1时，均值不等式也成立。
均值不等式的公式
均值不等式的公式1. 算术平均数(Arithmetic Mean):对于任意非负实数a₁,a₂,...,aₙ，它们的算术平均数定义为：A.M.(a₁,a₂,...,aₙ)=(a₁+a₂+...+aₙ)/n2. 几何平均数(Geometric Mean):对于任意正实数a₁,a₂,...,aₙ，它们的几何平均数定义为：G.M.(a₁,a₂,...,aₙ)=((a₁^t)*(a₂^t)*...*(aₙ^t))^(1/n)其中t为任意实数，通常取t=13.均值不等式(均值-均值不等式):对于任意非负实数a₁,a₂,...,aₙ和b₁,b₂,...,bₙ，其中t₁,t₂,...,tₙ为任意实数，且满足1/t₁+1/t₂+...+1/tₙ=1，则有：((a₁^t₁)*(a₂^t₂)*...*(aₙ^tₙ))^(1/(t₁+t₂+...+tₙ))≤((b₁^t₁)*(b₂^t₂)*...*(bₙ^tₙ))^(1/(t₁+t₂+...+tₙ))特别地，当t₁=t₂=...=tₙ=1时，即为均值不等式：((a₁+a₂+...+aₙ)/n)≤((b₁+b₂+...+bₙ)/n)4.广义均值不等式(均值-幂不等式):对于任意非负实数a₁,a₂,...,aₙ和b₁,b₂,...,bₙ，其中p,q为实数，且p≠0，满足1/p+1/q=1，则有：((，a₁，^p+，a₂，^p+...+，aₙ，^p)/n)^(1/p)≤((，b₁，^q+，b₂，^q+...+，bₙ，^q)/n)^(1/q)5. 切比雪夫不等式(Chebyshev's Inequality):对于任意实数a₁,a₂,...,aₙ和b₁,b₂,...,bₙ，其中a₁≤a₂≤...≤aₙ，b₁≤b₂≤...≤bₙ，则有：(a₁+a₂+...+aₙ)/n≤(a₁+b₂+...+bₙ)/n≤(b₁+b₂+...+bₙ)/n特别地，当a₁=b₁,a₂=b₂,...,aₙ=bₙ时，即为等号情况，表明最小值和最大值可以取到。
均值不等式总结
1 + ������ 2 1 ������ 2 解：������√1 + ������ 2 = ������√2 ∙ = √2x ∙ √ + ≤ √2 ∙ 2 2 2 3 ∴ ������√1 + ������ 2 ������������������ = √2 4 技巧八：
1 ������ 2 ������ + (√2 + 2 )
技巧二：凑系数 例 1：当0 < x < 4 时，求 y = x(8 − 2x)的最大值 解：当 0 < x < 4 时，8 − 2x > 0，y = x(8 − 2x) = 1 1 2������ + 8 − 2������ 2 ∙ 2x(8 − 2x) ≤ ( ) =8 2 2 2
（当且仅当 2������ = 8 − 2������ 即������ = 2时取“=” ） ，y������������������ = 8 例 2：当0 < x < 2 时，求 y = 4x(3 − 2x)的最大值 解： ∵ 0 < x < 3 2������ + 3 − 2������ 2 9 ∴ 3 − 2x > 0 ∴ y = 4x(3 − 2x) = 2 ∙ 2x(3 − 2x) ≤ 2 ( ) = 2 2 2
均值不等式总结
1.（1）若a, b ∈ R，则a2 + ������2 ≥ 2������������ 2.（1）若a, b ∈ ������ ∗，则
a+b 2
（2）若a, b ∈ R，则 ab ≤
������2 +������2 2
（当且仅当 a = b 时取“ = ” ）
≥ √������������
均值不等式类型总结
均值不等式类型总结1. 算术平均不等式算术平均不等式是最基本的均值不等式类型。
对于任意一组非负实数 $a_1, a_2, ..., a_n$，有以下不等式成立：$$\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2\cdot ... \cdot a_n}$$其中，等号成立当且仅当 $a_1 = a_2 = ... = a_n$。
2. 几何平均不等式几何平均不等式是算术平均不等式的推广。
对于任意一组正实数 $a_1, a_2, ..., a_n$，有以下不等式成立：$$\sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n} \geq \frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n}$$其中，等号成立当且仅当 $a_1 = a_2 = ... = a_n$。
3. 平方均值不等式平方均值不等式是基于平方的均值不等式。
对于任意一组实数$a_1, a_2, ..., a_n$，有以下不等式成立：$$\frac{a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2}{n} \geq \left(\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n}\right)^2$$其中，等号成立当且仅当 $a_1 = a_2 = ... = a_n$。
4. 加权均值不等式加权均值不等式将不同权重的变量考虑在内。
对于任意一组非负实数 $a_1, a_2, ..., a_n$ 和对应的正权重 $w_1, w_2, ..., w_n$，满足 $\sum_{i=1}^{n} w_i = 1$，有以下不等式成立：$$w_1 \cdot a_1 + w_2 \cdot a_2 + ... + w_n \cdot a_n \geq\sqrt[n]{w_1 \cdot a_1^k \cdot w_2 \cdot a_2^k \cdot ... \cdot w_n \cdot a_n^k}$$其中，$k$ 为任意实数。
高中数学均值不等式知识点
高中数学均值不等式知识点一、均值不等式的形式。
1. 基本形式。
- 对于任意的正实数a、b，有(a + b)/(2)≥slant√(ab)，当且仅当a = b时，等号成立。
- 这里(a + b)/(2)叫做a、b的算术平均数，√(ab)叫做a、b的几何平均数。
2. 推广形式（三元均值不等式）- 对于任意的正实数a、b、c，有(a + b + c)/(3)≥slantsqrt[3]{abc}，当且仅当a=b = c时，等号成立。
- 其中(a + b + c)/(3)是a、b、c的算术平均数，sqrt[3]{abc}是a、b、c的几何平均数。
二、均值不等式的证明。
1. 对于(a + b)/(2)≥slant√(ab)(a,b>0)的证明。
- 方法一：作差法。
- 因为((a + b)/(2))^2 - ab=(a^2 + 2ab + b^2)/(4)-ab=(a^2 - 2ab + b^2)/(4)=((a - b)^2)/(4)≥slant0。
- 当且仅当a = b时，((a + b)/(2))^2 - ab = 0，即(a + b)/(2)≥slant√(ab)。
- 方法二：分析法。
- 要证(a + b)/(2)≥slant√(ab)(a,b>0)，只需证((a + b)/(2))^2≥slant ab，即证a^2 + 2ab + b^2≥slant4ab，也就是证a^2 - 2ab + b^2≥slant0，即(a - b)^2≥slant0，显然成立，当且仅当a = b时等号成立。
三、均值不等式的应用。
1. 求最值。
- 类型一：和定积最大。
- 已知a + b = m（m为定值，a>0,b>0），根据均值不等式(a +b)/(2)≥slant√(ab)，可得ab≤slant((a + b)/(2))^2=(m^2)/(4)，当且仅当a = b=(m)/(2)时，ab 取得最大值(m^2)/(4)。
(均值不等式)总结整理及典例
均值不等式归纳总结1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+(2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当ba =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b bababa+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）5.若R b a ∈,，则2)2(222b ab a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定 值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』应用一：求最值 例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：(1)y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧 技巧一：凑项例 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
(均值不等式)总结整理及典例
1．已知 为两两不相等的实数，求证：
1）正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc
例6：已知a、b、c ，且 。求证：
分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又 ，可由此变形入手。
解： a、b、c ， 。 。同理 ， 。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得
应用一：求最值
例1：求下列函数的值域
（1）y＝3x2＋ （2）y＝x＋
解：(1)y＝3x2＋ ≥2 ＝ ∴值域为[ ，+∞）
(2)当x＞0时，y＝x＋ ≥2 ＝2；
当x＜0时， y＝x＋ = －（－x－ ）≤－2 =－2
∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）
解题技巧
技巧一：凑项
例 已知 ，求函数 的最大值。
当 ,即 时, （当且仅当x＝1时取“＝”号）。
技巧四：换元
解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。
当 ,即t= 时, （当t=2即x＝1时取“＝”号）。
评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为 ，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。
。当且仅当 时取等号。
应用三：均值不等式与恒成立问题
例：已知 且 ，求使不等式 恒成立的实数 的取值围。
解：令 ，
。 ，
应用四：均值定理在比较大小中的应用：
例：若 ，则 的大小关系是.
分析：∵ ∴
（
∴R>Q>P。
∴ W≤ ＝2
变式:求函数 的最大值。
均值不等式公式完总结归纳非常实用
均值不等式公式完总结归纳非常实用
三种不等式：
1、大数定理
大数定理定义指：如果随机变量的样本数足够大，则样本平均值将收敛于总体均值，且收敛是按反正比律进行的，即样本容量n越大，收敛速度越快。
它的数学表述为：设X1,X2,…,Xn 是从总体中独立同分布的随机变量，则有lim n→∞ P(，ΣXi/n-μ，>ε)→0。
2、中心极限定理
中心极限定理定义指：当样本数量n足够大时，样本数值构成的概率分布接近正态分布，即样本容量n越大，样本的分布越接近正态分布。
中心极限定理的数学表述为：设X1,X2,…,Xn是从总体中独立同分布的随机变量，则有lim n→∞ P((ΣXi-nμ)/σ√n→N(0,1))。
3、拉普拉斯定理
拉普拉斯定理定义指：随机变量的样本均值估计值无偏，即其均值等于总体均值。
拉普拉斯定理的数学表述为：设X1,X2,…,Xn是从总体中独立同分布的随机变量，则E(ΣXi/n)=μ。
以上三种不等式是概率论中重要的不等式，它们在统计学中有着重要的应用意义。
首先，大数定理说明了，随着样本量n的增大，样本平均值收敛于总体均值，而收敛速度随着样本量的增加而增快，使得我们可以通过样本平均数来估计总体均值，从而使统计学中的问题更容易处理。
均值不等式知识点
均值不等式知识点
均值不等式，又称为平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。
均值不等式有以下几个应用条件：
- 一正：这些数都必须是正实数，因为只有正数才有几何平均值。
- 二定：分为积定与和定。
当这组数的乘积为定值，则这组数的和才能取到最小值。
当这组数的和为定值，则这组数的乘积能取到最大值。
所以要求和的最值，就要让这组数的乘积为定值。
要求乘积的最值就要让组数的和为定值。
- 三相等：表示什么时候能取到最值，也就是取到等号的时候。
只有当这组数据都相同的时候，算术平均值等于几何平均值。
不等式之均值不等式
证明思路：利用拉格朗 日中值定理，将a, b, c 视为函数f(x)在[a, b]上 的三个点，通过构造辅 助函数，推导出均值不
等式。
D
具体证明过程：略（根 据具体证明过程进行详
细描述）。
利用泰勒展开式证明
01
02
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感谢您的耐心观看
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证明方法：利用完全 平方公式
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适用范围：实数域
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推广形式：a^p + b^p ≥ pa^(p-1)b
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应用：求函数最值、 证明不等式等
02 均值不等式的性质
非负性
均值不等式：a^2+b^2+c^2>=abc 非负性：当且仅当a=b=c时，等号成立 几何意义：表示三角形的三条边长之和大于或等于其面积 物理意义：表示动能、势能和总机械能之间的关系
证明不等式
01
均值不等式： a^2 + b^2 ≥ 2ab
02
证明方法：使用 代数方法，如柯 西不等式
03
应用范围：求解 最值问题、证明 不等式等
04
实例：如求解函 数f(x) = x^2 + 2x + 1的最值问 题，可以使用均 值不等式进行证 明
求解最值问题
01
均值不等式：一种求解最值问题的方法
传递性
均值不等式的传递性是指，如果a≤b，b≤c，那么a≤c。 传递性是均值不等式的基本性质之一，可以用来证明一些不等式。 传递性也可以用来推导出一些新的不等式，例如：a²+b²≥2ab，a²+b²+c²≥ab+bc+ca。 传递性在数学中具有广泛的应用，特别是在分析学、代数、几何等领域。
最新高中数学23个经典不等式归纳汇总
最新高中数学23个经典不等式归纳汇总一、均值不等式：均值不等式是不等式理论中的重要分支，其中最基本的是算术平均数和几何平均数之间的关系。
1.算术均值不等式(AM-GM):对于非负实数 x1 , x2 , x3 ,⋯, xn , 有以下不等式成立：(x1 + x2 + x3 + ⋯ + xn) / n ≥ √(x1 · x2 · x3 ⋯ xn)证明：令a = (x1 + x2 + x3 + ⋯ + xn) / n，其中x1, x2, x3,⋯, xn为非负实数。
令 b = √(x1 · x2 · x3 ⋯ xn) ，则要证明的不等式即为 a ≥ b。
根据均值不等式的性质，两个算术均值之间有一个几何均值，即a≥b。
2. 加权平均值不等式 (Chebyshev 不等式)：对于非负实数 x1 , x2 , x3 ,⋯, xn 和 w1 , w2 , w3 ,⋯, wn 为正实数，并且 w1 + w2 + w3 + ⋯ + wn = 1，有以下不等式成立：w1x1 + w2x2 + w3x3 + ⋯ + wn xn ≥ (x1^w1 · x2^w2 · x3^w3 ⋯xn^wn)证明：将w1x1 + w2x2 + w3x3 + ⋯ + wn xn 展开为 w1/x1 + w2/x2 +w3/x3 + ⋯ + wn/xn，利用 AM-GM 不等式即可证明。
即 w1x1 + w2x2 + w3x3 + ⋯ + wn xn ≥(x1^w1 · x2^w2 · x3^w3 ⋯ xn^wn)二、特殊不等式：特殊不等式是指在一些特殊条件下成立的不等式，是数学中的一种重要类型。
1. 柯西不等式 (Cauchy-Schwarz):对于任意实数 a1, a2, a3,⋯, an 和 b1, b2, b3,⋯, bn，有以下不等式成立：(a1b1 + a2b2 + a3b3 + ⋯ + anbn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + a3^2 + ⋯+ an^2)· (b1^2 + b2^2 + b3^2 + ⋯ + bn^2)证明：考虑函数 f(t) = (a1t + a2t + a3t + ⋯ + ant)^2 ，求导可证明。
均值不等式公式完全总结归纳
均值不等式公式完全总结归纳1.算术平均数不等式：对于任意非负实数 a1, a2, ..., an，有以下不等式成立：(1/n) * (a1 + a2 + ... + an) >= [(a1^n + a2^n + ... + an^n) / n]^(1/n)等号成立的条件是 a1 = a2 = ... = an。
2.几何平均数不等式：对于任意正实数 a1, a2, ..., an，有以下不等式成立：(1/n) * (a1 + a2 + ... + an) >= (a1 * a2 * ... * an)^(1/n)等号成立的条件是 a1 = a2 = ... = an。
3.加权算术平均数不等式：对于任意非负实数 a1, a2, ..., an 和正实数 w1, w2, ..., wn （满足 w1 + w2 + ... + wn = 1），有以下不等式成立：w1 * a1 + w2 * a2 + ... + wn * an >= (a1^w1 * a2^w2 * ... * an^wn)等号成立的条件是 a1 = a2 = ... = an。
4.加权几何平均数不等式：对于任意正实数 a1, a2, ..., an 和正实数 w1, w2, ..., wn（满足 w1 + w2 + ... + wn = 1），有以下不等式成立：w1 * a1 + w2 * a2 + ... + wn * an >= (a1^w1 * a2^w2 * ... * an^wn)等号成立的条件是 a1 = a2 = ... = an。
5.平方平均数不等式：对于任意非负实数 a1, a2, ..., an，有以下不等式成立：(n * (a1^2 + a2^2 + ... + an^2))^(1/2) >= (a1 + a2 + ... + an) / n等号成立的条件是 a1 = a2 = ... = an。
均值不等式
均值不等式及其应用戴又发一．基本均值不等式（一般形式）设0>i a ，n i ,,,, 321=， 记：na a a nH 1++1+1=21 为n a a a a ,,,, 321的调和平均值， n n a a a a G 321= 为n a a a a ,,,, 321的几何平均值， n a a a a A n++++=321 为n a a a a ,,,, 321的算术平均值， na a a a Q n 2232221++++=为n a a a a ,,,, 321的平方平均值， 则 Q A G H ≤≤≤，当且仅当n a a a a ====321 时，等号成立． （特殊形式2=n ）若0>0>b a ,，则 2+≤2+≤≤1+1222b a b a ab ba ， 当b a =时，等号成立．二．基本均值不等式证明1．证明一 （2=n ） （比较法证A G ≤）0≥21=2+21=2+=2)()(b a ab b a ab b a G A －－－－ ． A G ≤∴，当b a =时，等号成立．（分析法证Q A ≤）由 2+≤2+22b a b a ， 得2+≤42++2222b a ab b a ，即 22+≤2b a ab ，显然成立，以上各步均可逆，所以2+≤2+22b a b a ． 当b a =时，等式成立．（放缩法证Q A ≤）2+=2+=42++≥4+++=2+222222222ba b a ab b a b a b a b a )( ，所以2+≤2+22b a b a ． 当b a =时，等式成立．（放缩法证G H ≤）ab ba abab b a ab ba ≤+2×=+2=1+12． 所以 ab ba ≤1+12∴．当b a =时，等式成立．2．证明二 （3=n ）如果+R c b a ∈,,，那么abc c b a 3≥++333．（当且仅当c b a ==时等号成立）∵abc ab b a c b a abc c b a 333++=3++2233333－－－－)()(])())[((c b a ab c c b a b a c b a ++3+++++=22－－ ])[(ab c bc ac b ab a c b a 3++2+++=222－－－ ))((ca bc ab c b a c b a －－－222++++=])()())[((222++++21=a c cb b ac b a －－－．A BCDOA 1 A 2A 3A 4B 1 B 2 B 3 B 4∵+R c b a ∈,, ， 0≥3++∴333abc c b a －，即 abc c b a 3≥++333．当且仅当c b a ==时等号成立． 于是有 3333333333≥++c b a c b a )()()(⇒33≥++abc c b a3≥3++abc c b a ． 3．均值不等式（2=n ）几何解释1：以b a +为直径作圆O （如图），AB 为直径，a AC =，b CB =，过C 作AB CD ⊥交圆上一点D ， 过O 作AB OM ⊥交圆上一点M ， 连接CM ，OD ，过C 作OD CE ⊥于E ， 于是2=b a OC －，2+==ba OM OD ，ab CD =，2+=22b a CM ，ba DE 1+12=，由CM OM CD DE ≤≤≤，得 2+≤2+≤≤1+1222b a b a ab ba ． 当b a =时，等号成立．4．均值不等式（2=n ）几何解释2 ：梯形ABCD 中，上底a AB =，上底b CD =，对角线BD AC ,相交于O （如图）， 点4321A A A A ,,,在AD 上，点4321B B B B ,,,在BC 上，且44332211B A B A B A B A //////，若11B A 过点O ，则ba b a ab B A 1+12=+2=11； 若22B A 使得梯形∽22A ABB 梯形CD B A 22，则ab B A =22；ABCDOMabE若33B A 是梯形ABCD 的中位线，则2+=33ba B A ；若44B A 使得梯形44A ABB 和梯形CD B A 44的面积相等，则2+=2244b a B A ；于是有 得 2+≤2+≤≤1+1222b a b a ab ba ．三．对数均值不等式和指数均值不等式及其证明 1．若0>0>b a ,，且b a ≠，称ba ba ln ln －－为b a ,的对数平均值，则2+<<ba b a b a ab ln ln －－．证明：不妨设0>>b a ，另1>=bat ， 由2+<<b a b a b a ab ln ln －－，得21+<1<)(ln )(t b t t b t b －， 即21+<1<t t t t ln －， 所以 tt t t t 1<<1+12－－ln )(． 构造函数1+12=t t t t f )(ln )(－－，则0>1+1=1+41=′222)()()()(t t t t t t f －－， 所以)(t f 在),[∞+1上是增函数，又0=1)(f ， 所以0>)(t f ，即t t t ln )(<1+12－． 再构造函数tt t t g 1+=－ln )(， 则0<21=212=21211=′2tt t t t t t t t t t t g )()(－－－－－－， 所以)(t g 在),[∞+1上是减函数，又0=1)(g ，所以0<)(t g ，即tt t 1<－ln ．所以tt t t t 1<<1+12－－ln )(，故2+<<ba b a b a ab ln ln －－． 2．若R b R a ∈,∈，且b a ≠，称ba e e ba －－为b a ,的指数平均值， 则 2+<<2+b a b a b a e e b a e e e－－． 证明：在对数均值不等式2+<<ba b a b a ab ln ln －－中，将正数b a ,分别用b a e e ,代替，即得2+<<2+b a b a ba e eb a e e e－－．四．均值不等式应用 利用均值不等式求最值：（1）如果正数y x ,满足积P xy =（是定值），则y x =时，和y x +有最小值P 2；（2）如果正数y x ,满足和S y x =+（是定值），则y x =时，积xy 有最大值22)(S ． 例1 已知实数y x ,满足0>>y x ，且1=2+4+1yx y x －，则y x +2的最小值是 ．解析： 0>2+0>y x y x ,－ ，)()(y x y x y x 2++=+2－))(())((yx yx y x y x y x y x y x y x －－－－2++2+4+4+1=2+4+12++= 9=42+5≥．当6=2+=2y x y x )(－时，即1=4=y x ,时，y x +2的最小值是9．例2 已知正实数y x ,满足6=3+2xy x ，则y x 3+2的最小值是（ ）3.A234－.B 29.C211.A 解析：由6=3+2xy x ，得26=3－xy ，234≥26+2=3+2－－∴xx y x ． 当3=x 时，y x 3+2 取得最小值 234－，选B ．例3 设0>>b a ，则)(b a a ab a －1+1+2的最小值是（ ） 1.A2.B3.C4.D解析：4≥1++1+=1+1+2abab b a a b a a b a a ab a )()()(－－－ ， 当1=ab ，且1=)(b a a －时，即22=2=b a ,等号成立，故选.D例4．求证：)(c b a a c c b b a ++2≥+++++222222．解析： 由2+≥2+22b a b a ，得)(b a b a +22≥+22，同理)(c b c b +22≥+22，)(a c a c +22≥+22， 所以)(c b a a c c b b a ++2≥+++++222222．例5．设0>0>b a ,，且1=+b a ，求证：225≥1++1+22)()(b b a a ． 解析：∵21=2+≤b a ab ， ∴41≤ab ， ∴4≥1ab， 于是 22)()(21+1+12=21++1+2≥1++1+22b a b b a a bb a a )()(225=252≥21+12=2++12=2)(22)()(ab ab b a ． 225≥1++1+∴22)()(b b a a ．例6 已知的三边长为c b a ,,，其外接圆半径为R ，求证：222222236≥1+1+1++R CB A c b a )sin sin sin )((． 解析：由正弦定理，有R a A 2=sin ，所以2224=1aR A sin ，同理，2224=1b R B sin ，2224=1cR C sin ，所以，)sin sin sin )((CB A c b a 2222221+1+1++ 2322232222222222236=3×3×≥1+1+1++4=R cb ac b a R c b a c b a R 4))((，即 222222236≥1+1+1++R CB A c b a )sin sin sin )((．例7 设c b a ,,为正实数，求证32≥+1+1+1333abc c b a ． 解析：32≥+3≥+1+1+1333abc abc abc c b a ．当且仅当613===c b a 时，等号成立．例8 设c b a ,,均为正数，证明：361+1+1+++2222≥)(cb ac b a ，并确定c b a ,,为何值时等号成立．解析：3≥2222223++c b a c b a ，322223219=131+1+1cb a abc c b a ))((≥， 36=27219+31+1+1+++32222222222≥≥∴3cb ac b a c b a c b a )(．当且仅当c b a ==，且3=2223c b a 时等号成立，即43===c b a 时等号成立．例9 已知函数x xe x f －=)(，如果21≠x x ，且)()(21=x f x f ， 证明：2>+21x x ．证明：由x xe x f －=)(，x x x e x xe e x f －－－－－)()(1==′，可知，当0<x 时，0<)(x f ；当0>x 时，0>)(x f ；当1<x 时，0>′)(x f ；当1>x 时，0<′)(x f ； 由)()(21=x f x f ，得0>0>21x x ,，2121=x x e x e x －－，2211=x x x x －－ln ln即1=2121x x x x ln ln －－，由 2+<=1212121x x x x x x ln ln －－， 所以2>+21x x ．例10 设数列}{n a 的通项公式为na n 1++31+21+1= ，证明：)ln(1+2<n a n ． 证明：由2+<b a b a b a ln ln －－，得 ba b a b a +2>－－ln ln ， 令 12=1+2=－n b n a ,，得n n n 21>2121+2)ln()ln(－－， 所以 nn n 1>121+2)ln()ln(－－． 于是 na n 1++31+21+1= )ln()ln()ln(ln ln ln ln 1+2=121+2++35+13<n n n －－－－ ，即 )ln(1+2<n a n ．四．练习题1． 已知正数b a ,满足2=2+1b a ，求224+1ba 的最小值． 2．已知0>>y x ，且1=xy ，则yx y x －22+的最小值为 ．3．若对任意0>x ，a x x x≤1+3+2恒成立，则的取值范围是 ．4．若0>0>b a ,，且不等式0≥++1+1ba kb a 恒成立，则实数k 的最小值等于 ． 5．①求函数)(x x y －1=2的最大值)(1<<0x ；②求函数)(21=x x y －的最大值)(1<<0x ．6．若1=+b a ，求证：2≤21++21+b a ． 7．设c b a ,,均为正数，且1=++c b a ，证明：31≤++ca bc ab ．8．当2>n 时，求证：1<1+1)(log )(log n n n n －．9．设函数x a ax x x f )(ln )(－－2+=2的两个零点是21x x ,，求证：0<2+′1)(xx f ． 10．设数列}{n a 的通项公式为1+1+1=)(n n a n ，其前n 项和为n S ，证明：)ln(1+<n S n ．参考答案与提示：第1题 2； 第2题 22； 第3题（),[+∞51）； 第4题 4－； 第5题 ①274，32=x② 932，33=x ； 第9题 由0=2+=12111x a ax x x f )(ln )(－－，0=2+=22222x a ax x x f )(ln )(－－，两式相减，0=2++21212121))(())((ln ln x x a x x x x a x x －－－－－，2+<2++1=21212121x x a x x a x x x x －－－)(ln ln ， 于是有 0>2+2++21221－－))(()(x x a x x a ，即0>1++2+2121))()((x x x x a －， 0>2+21－)(x x a ，且0>a ，又因为))(()()(11+2=1+2+2=2+21=′2－－－－－－ax x xx a ax a ax x x f ，当0≤a 时，0>′)(x f 在),(+∞0上恒成立；当0>a 时，)(x f 在),(a10上单调递增，在),(+∞1a上单调递减；由0>2+21－)(x x a ，且0>a ，知a x x 1>2+21，0<2+′∴1)(xx f ．第10题 设0>>b a ，由2+<22b a b a b a ln ln －－，得22+2>ba b a b a )(ln ln －－，令n b n a =1+=,，有 n a n n n n >1+2+22>1+2ln )ln(－，所以 n n a a a S +++=21)ln(ln )ln(ln ln ln ln 1+=1+++23+12<n n n －－－ ，所以 )ln(1+<n S n ．。
均值不等式公式完全总结归纳(非常实用)
均值不等式归纳总结1. (1)假设R b a ∈,，那么ab b a 222≥+ (2)假设R b a ∈,，那么222b a ab +≤〔当且仅当b a =时取“=〞〕 2. (1)假设*,R b a ∈，那么ab b a ≥+2(2)假设*,R b a ∈，那么ab b a 2≥+ 〔当且仅当b a =时取“=〞〕(3)假设*,R b a ∈，那么22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=〞〕3.假设0x >，那么12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=〞〕假设0x <，那么12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=〞〕假设0x ≠，那么11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=〞〕 4.假设0>ab ，那么2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=〞〕假设0ab ≠，那么22-2a b a b a b bababa+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=〞〕5.假设R b a ∈,，那么2)2(222b ab a +≤+〔当且仅当b a =时取“=〞〕『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大〞．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等〞(3)均值定理在求最值、比拟大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』应用一：求最值例1：求以下函数的值域〔1〕y＝3x 2＋12x 2〔2〕y＝x＋1x解：(1)y＝3x 2＋12x 2≥23x 2·12x 2＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞〕(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －〔－ x －1x 〕≤－2x ·1x=－2∴值域为〔－∞，－2]∪[2，+∞〕解题技巧技巧一：凑项例 54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
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2x+5
5求y x2 +5 的最大值.
x2 4
利用基本不等式求最值常见类型
类型三：定值“自造”型.
已知x 0, y 0, 且3xy x y 1则
1 x y的最小值是_________; 2 x y的最小值是_________;
利用基本不等式求最值常见类型
（2）变形应用
（1）已知a,b R ,且满足2a b 4,则a b的最大值为 _____
（2）已知x, y R ,且满足 x y 1,则x y的最大值为 ________ 34
(3)已知a 0,b 0,且满足a2 b2 1,则a 1 b2的最大值为 _____ 2
(4)若a,b,c 0且2a b c 6，求aa b c+bc的最大值
2已知 a b =1(x, y, a,b R )，求mx ny(m, n 0)的最小值._______
xy
利用基本不等式求最值常见类型
类型二：定值天然型（对勾结构）.
（4）“上二下一，或上一下二的分式“型
x 0, 求 x2 x 4 的最小值 x
利用基本不等式求最值常见类型
类型二：定值天然型（对勾结构）.
利用基本不等式求最值常见类型
类型二：定值天然型（对勾结构）.
（1）直接利用型
(1) y sin x 2 sin x
利用基本不等式求最值常见类型
类型二：定值天然型（对勾结构）.
（2）配、凑系数或常数用型
(1)已知x 2，求y x＋ 4 的最小值； x2
2已知x 5 ,求函数y=4x 2 1 的最大值。
变式：
(1)已知0 x 1,则y 4 9 的最小值为 ________ x 1 x
2已知0 x 1 ，则 2 9 的最小值为 ________
2
x 1 2x
利用基本不等式求最值常见类型
类型二：定值天然型（对勾结构）.
（3）整体代换(“1”的妙用)型
整体代换适用的两种题型
(1)已知ax by m(x, y, a,b R ),求y 1 1 的最小值为. xy
题型1.利用基本不等式求最值
题型2:利用基本不等式证明不等式 题型3:用基本不等式求解实际应用题
复习巩固:
2.常见的不等式
适用范围
(a 、b∈R) (a>0,b>0)
(a、b同号）
(a>0）
(a＜0）
和定积最大 积定和最小
5.应用基本不等式应注意的事项:
①各项必须为正值;
②含变量的各项和或积必须为定值;
“一正,二定,三相等”
③必须有自变量值能使函数值取到“=”号.
求下列函数值域
(1) y sin x 2 sin x
(2)x 1 x2
利用基本不等式求最值常见类型
类型一：定值直接给型.
（1）直接应用
例1：a, b是正数且 a b 4，求ab的最值
利用基本不等式求最值常见类型
类型一：定值直接给型.
[解析] ∵aa－ －bc＋ab－ －cc
＝a－ba－ ＋bb－c＋a－bb＋ －cb－c
＝2＋ab－ －bc＋ab－ －bc≥2＋2
ab－ －bc·ab－ －bc＝4.
当且仅当ab－ －bc＝ab－ －bc，即 2b＝a＋c 时，等号成立．
∴m≤4，即 m∈(－∞，4]．
[点评] (1)分离 m 以后，注意到 a－c＝(a－b)＋(b－c)是 求解aa－ －bc＋ab－ －cc的最小值的关键．
(2)已知x 0, y 0, 且 8 1 1, 求x 2 y的最小值. xy
(3)已知a 0, b 0, 且 2 1 1 , 若不等式2a b 9m恒成立 ab 5
则m的最大值为 _____________ .
利用基本不等式求最值常见类型
类型二：定值天然型（对勾结构）.
（3）整体代换(“1”的妙用)型
(2)注意到 a＞b＞c.及式子a－1 b＋b－ 1 c≥a－ m c中分母都是多 项式略嫌复杂，可换元简化．
令 x＝a－b＞0，y＝b－c＞0. 则 a－c＝x＋y. ∴a－1 b＋b－ 1 c≥a－ m c恒成立，
典例导悟
1、1代换 2、对二元二次不等式分解因式，构造积为定值 3、消元，构造函数 4、三角代换
综合运用
[例 4] 设 a＞b＞c，且a－ 1 b＋b－ 1 c≥a－ m c恒成立，则 m 的取值范围是__________．
[答案] (－∞，4]
[分析] 由 a＞b＞c 知：a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0.因此， 不等式等价于aa－ －bc＋ab－ －cc≥m，要使原不等式恒成立，只需aa－ －bc ＋ab－ －cc的最小值不小于 m 即可．
(4)已知x 0, y 0, 且x+3y 5xy, 求3x 4 y的最小值. (5)已知a 0, b 0, 且 2 1 1, 若a 2b m2 +2m恒成立
ab 则m的取值范围是 _____________ .
利用基本不等式求最值常见类型
类型二：定值天然型（对勾结构）.
（3）整体代换(“1”的妙用)型
4
4x 5
利用基本不等式求最值常见类型
类型二：定值天然型（对勾结构）.
（3）整体代换(“1”的妙用)型
已知x＞0，y＞0，且 1 ＋ 9 ＝1，求x＋y的最小值 xy
利用基本不等式求最值常见类型
类型二：定值天然型（对勾结构）.
（3）整体代换(“1”的妙用)型
(1)已知x 0, y 0, 且x+y 2, 求 4 9 的最小值. xy
类型三：定值“自造”型.
典例导悟
1、利用ab
a
2
b
2
将式子转化为含ab或a
b的一元二次不等式
将ab, (a b)作为整体解出范围
2、对二元二次不等式分解因式，构造积为定值 3、消元，构造函数
利用基本不等式求最值常见类型
类型二：定值天然型（对勾结构）.
（3）整体代换(“1”的妙用)型
已知x＞0，y＞0，且 1 ＋ 9 ＝1，求x＋y的最小值 xy
（3）“上二下一，或上一下二的分式“型
1已知x -1,求y x2 2x 2的最低点的坐标为_____
x+1
2 已知x
Hale Waihona Puke 0, 求yx 的最大值. x2 +3x+4
3已知x
0, 求y
x2 +x+1的最大值. x2 +1
利用基本不等式求最值常见类型
类型二：定值天然型（对勾结构）.
（3）“上二下一，或上一下二的分式“型