九年级数学北师大版下册课件：第三章 3.3 垂径定理
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北师大版九年级下册垂径定理课件(共25张)
O
C AEB D
变式2:求如证图:,AA⌒CB=、B⌒CDD. 是⊙O的弦,且AB∥CD.
O
F
A
E
B
C
D
G
自学指点2:(4+2分钟)
(一)如图,AB是⊙O的弦(不是直径),作一条平分 AB的直径CD,交AB于点M. 1.你能发现图中有哪些相等的量?并说明理由.
AB⊥CD
⌒⌒
AC=BC
C
A
M
B
⌒⌒
垂直于弦的 直径 平分这条 弦 ,并且平分 弦所对的 弧 .
几何语言:
∵∵在在⊙⊙OO中中,,C直D径是C直D径⊥,弦CDA⊥B 弦AB
C
∴ A⌒M=B⌒M
AC=BC
A
M
B
⌒⌒
O
AD=BD
D
应用: 方法:环绕已知弦构造直角三角形.
1.(202X•温州)如图,在⊙O中,OC⊥弦AB于点
C,AB=4,OC=1,则OB的长是
.
C
A
M
B
O
D
2.如图,在⊙O中,CD是直径,AB是弦,且CD⊥AB,
已知CD=20,CM=4,则AB的长为
.
解:连接OA ∵ CD=20 ∴ AO=CO=10
∴ OM=OC–CM =10–4=6
在⊙O中,直径CD⊥弦AB
∴ AB=2AM
在Rt△OMA中,AO=10,OM=6
根据勾股定理，
AM AO2 OM 2 102 62 8
E,且AB=CD,已知CE=1,ED=3,则⊙O的半径
是
.
4.已知⊙O的直径CD=10cm,AB是⊙O的
弦,AB⊥CD,垂足为M,且AB=8cm,则AC的长
C AEB D
变式2:求如证图:,AA⌒CB=、B⌒CDD. 是⊙O的弦,且AB∥CD.
O
F
A
E
B
C
D
G
自学指点2:(4+2分钟)
(一)如图,AB是⊙O的弦(不是直径),作一条平分 AB的直径CD,交AB于点M. 1.你能发现图中有哪些相等的量?并说明理由.
AB⊥CD
⌒⌒
AC=BC
C
A
M
B
⌒⌒
垂直于弦的 直径 平分这条 弦 ,并且平分 弦所对的 弧 .
几何语言:
∵∵在在⊙⊙OO中中,,C直D径是C直D径⊥,弦CDA⊥B 弦AB
C
∴ A⌒M=B⌒M
AC=BC
A
M
B
⌒⌒
O
AD=BD
D
应用: 方法:环绕已知弦构造直角三角形.
1.(202X•温州)如图,在⊙O中,OC⊥弦AB于点
C,AB=4,OC=1,则OB的长是
.
C
A
M
B
O
D
2.如图,在⊙O中,CD是直径,AB是弦,且CD⊥AB,
已知CD=20,CM=4,则AB的长为
.
解:连接OA ∵ CD=20 ∴ AO=CO=10
∴ OM=OC–CM =10–4=6
在⊙O中,直径CD⊥弦AB
∴ AB=2AM
在Rt△OMA中,AO=10,OM=6
根据勾股定理，
AM AO2 OM 2 102 62 8
E,且AB=CD,已知CE=1,ED=3,则⊙O的半径
是
.
4.已知⊙O的直径CD=10cm,AB是⊙O的
弦,AB⊥CD,垂足为M,且AB=8cm,则AC的长
九年级数学北师大版初三下册--第三单元3.3《垂径定理》课件
⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （√ ）
挑战自我找一找
2.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD, 直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F. 图中相等的线段有 :
. 图中相等的劣弧有:
.
挑战自我算一算
3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，C 为
⌒ AB
的中点，OC交AB
于D
例题解析
例1：如图，已知在圆O中，弦AB的长为8
㎝，圆心O到AB的距离为3 ㎝，求圆O的
半径。
A
E
B
O
练习1:在半径为50㎜的圆O中，有长50㎜的弦AB， 计算：⑴点O与AB的距离；
⑵∠AOB的度数。
E
例2：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ，
DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，
求半径OC的长。
O
D
A
B
练习2:在圆O中，直径CE⊥AB于 D，OD=4 ㎝，弦AC= 10 ㎝ ， 求圆O的半径。
挑战自我画一画
如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB, 使AB过点M.并且AM=BM.
●M ●O
挑战自我填一填
1、判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条
弧.
（ ）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另
一条弧.
（√ ）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ）
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ）
C
A M└ B 你可以写出相应的命题吗?
●O
相信自己是最棒的!
D
C
A M└
B
垂径定理及逆定理
●O
条件 ①② ①③ ①④ ①⑤
3-3 垂径定理 -2022-2023学年九年级数学下册同步精品课件(北师大版)
∴AC=AE﹣CE=8﹣2 7．
随堂测试
7.已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则
AC的长为（
A．2 5cm
）
B．4 5 cm
C．2 5cm或4 5cm
D．2 3cm或4 3cm
【解析】
连接AC，AO，
1
1
∵O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=2AB=2×8=4cm,OD=OC=5cm,
O
⌒
⌒
BC =BD.
E
B
D
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
符号语言：
C
∵ CD是直径， CD⊥AB
·
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
∴ AE=BE，AC=BC，AD=BD.
O
E
B
A
D
概念理解
平分弦的直径垂直于这条弦吗？
情况一：弦是直径
不一定
情况二：弦不是直径
C
A
C
·
O
D
O
B
E
A
B
课堂基础练
⌒
ＡＣ＝ AD
⌒
⌒
， BC＝ ＢＤ
A
已知：线段CD是⊙O的一条弦，直径AB⊥CD，
垂足为E。
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
求证：CE=DE, AC = AD, BC =BD.
C
证明：连接OC、OD,在△OCD中，
∵OC=OD，且OE⊥CD,
∴CE=DE，∠COB=∠BOD,
⌒ =AD,
⌒
∴ ∠AOC=∠AOD, ∴AC
则OE=
3
，AB=
8
?
.
随堂测试
7.已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则
AC的长为（
A．2 5cm
）
B．4 5 cm
C．2 5cm或4 5cm
D．2 3cm或4 3cm
【解析】
连接AC，AO，
1
1
∵O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=2AB=2×8=4cm,OD=OC=5cm,
O
⌒
⌒
BC =BD.
E
B
D
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
符号语言：
C
∵ CD是直径， CD⊥AB
·
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
∴ AE=BE，AC=BC，AD=BD.
O
E
B
A
D
概念理解
平分弦的直径垂直于这条弦吗？
情况一：弦是直径
不一定
情况二：弦不是直径
C
A
C
·
O
D
O
B
E
A
B
课堂基础练
⌒
ＡＣ＝ AD
⌒
⌒
， BC＝ ＢＤ
A
已知：线段CD是⊙O的一条弦，直径AB⊥CD，
垂足为E。
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
求证：CE=DE, AC = AD, BC =BD.
C
证明：连接OC、OD,在△OCD中，
∵OC=OD，且OE⊥CD,
∴CE=DE，∠COB=∠BOD,
⌒ =AD,
⌒
∴ ∠AOC=∠AOD, ∴AC
则OE=
3
，AB=
8
?
.
3.3+垂径定理++课件++2023—2024学年北师大版数学九年级下册
弦，观察一下，还有与刚才类似的结论吗？
C
AE=BE， AC=BC，AD=BD
A
O E
B
D
探索新知——垂径定理及其逆定理
活动：
在圆纸片上画出图形，并沿CD折叠，实验后提出
猜想.
C
猜想：垂直于弦的直径
平分这条弦，并且平分弦所
O
对的弧.
E
A
B
D
你能写出已知求 证，并证明吗？
探索新知——垂径定理及其逆定理
别相等.
A M
B
O
B′ M′ A′
探索新知——垂径定理及其逆定理
（1）在探索圆的轴对称性的过程中，若沿两条直径 折叠可以是哪些位置关系呢？ 斜交，垂直
垂直是特殊情况，你能得出哪些等量关系？
C
A
B
O
D
AO=BO，CO=DO，AC=BC，AD=BD
探索新知——垂径定理及其逆定理
（2）若把AB向下平移到任意位置，变成非直径的
直径，并且CD⊥AB ，垂足为M.
C
求证：AE=BE， AC=BC， AD=BD.
若只证明AE=BE，还有什么方
A
法？
O E
B D
探索新知——垂径定理及其逆定理
猜想得以证明，命题是真命题，我们把真命题叫 做____定___理____.
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平 分弦所对的弧.
垂径定理的推理格式
弓形CED.
弓形的高：从圆心向弦作垂 线,垂线被弦和弧所截的线段的长,
称为弓形的高.如EF .
C E
FD
O
应用实际
例2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C，D两点.
C
AE=BE， AC=BC，AD=BD
A
O E
B
D
探索新知——垂径定理及其逆定理
活动：
在圆纸片上画出图形，并沿CD折叠，实验后提出
猜想.
C
猜想：垂直于弦的直径
平分这条弦，并且平分弦所
O
对的弧.
E
A
B
D
你能写出已知求 证，并证明吗？
探索新知——垂径定理及其逆定理
别相等.
A M
B
O
B′ M′ A′
探索新知——垂径定理及其逆定理
（1）在探索圆的轴对称性的过程中，若沿两条直径 折叠可以是哪些位置关系呢？ 斜交，垂直
垂直是特殊情况，你能得出哪些等量关系？
C
A
B
O
D
AO=BO，CO=DO，AC=BC，AD=BD
探索新知——垂径定理及其逆定理
（2）若把AB向下平移到任意位置，变成非直径的
直径，并且CD⊥AB ，垂足为M.
C
求证：AE=BE， AC=BC， AD=BD.
若只证明AE=BE，还有什么方
A
法？
O E
B D
探索新知——垂径定理及其逆定理
猜想得以证明，命题是真命题，我们把真命题叫 做____定___理____.
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平 分弦所对的弧.
垂径定理的推理格式
弓形CED.
弓形的高：从圆心向弦作垂 线,垂线被弦和弧所截的线段的长,
称为弓形的高.如EF .
C E
FD
O
应用实际
例2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C，D两点.
垂径定理课件北师大版九年级下册数学
预习导学
2.平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所
对的另一条弧.
3.圆的两条平行弦所夹的弧相等.
预习导学
1.如图，AB是☉O的弦，OC⊥AB于C.若AB＝8，OC＝3，则
半径OB的长为( C )
A.3
B.4
C.5
D.10
预习导学
2.如图，☉O的半径为13，弦AB＝24，M是AB的中点，则
第三章 圆
3 *垂径定理
素养目标
1.会运用圆的对称性探究垂径定理，并会运用垂径定理解决
相应问题.
2.知道垂径定理的逆定理并会运用它解决问题.
◎重点:知道垂径定理和逆定理及其应用.
预习导学
你知道赵州桥吗？它修建于隋朝，距今已有1360多年的历
史.这座石拱桥是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥是圆
合作探究
解:OC＝OD.理由如下:如图，过点O作OE⊥AB于E，则AE
＝BE，
又∵AC＝BD，∴CE＝DE.∴OE是CD的中垂线，∴OC＝
OD.
合作探究
某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为
更换管道，需确定管道的半径，如图，这是水平放置的破裂管
道有水部分的截面.维修人员测得这个输水管道有水部分的水面
(1)条件中的“弦”可以是直径.(2)结论中的“平分弧”指
平分弦所对的劣弧、优弧.
预习导学
垂径定理的逆定理
阅读教材本课时“想一想”及其后面的内容，并回答问题.
平分弦(不是直径)的直径 垂直于弦 ，并且
平分 弦
所及垂径定理还有如下结
论:
1.弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
求的点.
合作探究
3.3 垂径定理 课件 2023-2024学年 北师大版数学九年级下册
*3.3 垂径定理
续表
（1）定理中的“垂径”可以是直径、半径或过圆心的直线（线段），其 本质是“过圆心”； 特别提醒 （2）“平分弦所对的两条弧”是指既平分弦所对的优弧（如图中的
），又平分弦所对的劣弧（如图中的 ）
-2-
*3.3 垂径定理
2. 垂径定理的推论
文字描述 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 如图，直径 CD 与非直径的弦 AB
的是 （ ）
A. CM=DM B.
C. ∠ACD=∠ADC D. OM=MB
（第 1 题图）
（第 2 题图）
2. 如图所示，⊙O 的半径为 13，弦 AB 的长度是 24，ON⊥AB，垂足为 N，
则 ON= （ ）
A． 5
B． 7
C． 9
D． 11
-1-
*3.3 垂径定理
3.（教材 P76，习题 T2 变式）如图，AE 是⊙O 的直径，半径 OD 垂直于 弦 AB，垂足为 C，AB=8 cm，CD=2 cm，求 BE 的长．
∴AN= AB=12， 在 Rt△AON 中， ∵AO=13，∴ON=
=5．
3. 解：∵ 半径 OD 垂直于弦 AB，垂足为 C， AB=8 cm，∴AC= AB=4 cm，
设 CO=x cm，则 AO=DO=（x+2）cm，在 Rt△AOC 中，AO2=CO2+AC2， ∴（x+2）2=x2+42，解得 x=3，即 CO=3 cm. ∵AO=EO，AC=CB，OC 为△ABE 的中位线，∴BE=2CO=6 cm． 4. D 提示：一条直线经过圆心，平分弦所对的劣弧，根据垂径定理及其推论可 知，它垂直平分这条弦，并且平分弦所对的优弧． 5. 120 提示：∵ 弦 AC 与半径 OB 互相平分，∴OA=AB，∵OA=OB，∴△OAB 是 等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠AOC=2∠AOB=120°.
北师大版数学九年级下册3.3垂径定理教学课件
则OD=0C-DC=R-2.
O
的一条直径，CD交AB于点M，且AM=BM，
解：连接OC，设弯路的半径为Rm，则：OF＝（R－90）m， ∵AM ＝ BM，CD为⊙O的直径，
（1）两条弦在圆心的同侧 ∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC.
∵OE⊥CD，∴CF＝ CD ＝ ×600 ＝ 300（m）， 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
例如图，一 条公路的转弯处是一段弧（即
C
CD 图中 CD，点O是 则AE＝BE，CE＝DE。
所在圆的圆心）.其中
CD m E OE CD ＝600 ， 为 证明：连结OA、OB，则OA＝OB。
（3）AM ＝ BM；
CD ＝ ， ＝ ,
上一点，且 ⊥ ，垂足
E FD
F EF m 为 ， ＝90 .求这段弯路的半径. AE－CE＝BE－DE。
OC2＝CF2＋OF2，∴R2＝3002＋（R－90）2
N
图中 ，点O是 所在圆的圆心）.
∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件)
∴∠AON－∠CON ＝ ∠BON － ∠DON ∴ ∠AOD ＝ ∠BOD
OC2＝CF2＋OF2，∴R2＝3002＋（R－90）2 所以，当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，AC、AD分别和BC、BD重合。
提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况。
（1）两条弦在圆心的同侧
（2）两条弦在圆心的两侧
1.两条弦在圆心的同侧
M
（3）AM ＝ BM； 证明：连接OA、OB、OC、OD，
∠BOD ＝ 180°－ ∠BOC，
作直径MN⊥AB，则MN⊥CD， ∵∠AOD ＝ 180°－ ∠AOC，
O
的一条直径，CD交AB于点M，且AM=BM，
解：连接OC，设弯路的半径为Rm，则：OF＝（R－90）m， ∵AM ＝ BM，CD为⊙O的直径，
（1）两条弦在圆心的同侧 ∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC.
∵OE⊥CD，∴CF＝ CD ＝ ×600 ＝ 300（m）， 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
例如图，一 条公路的转弯处是一段弧（即
C
CD 图中 CD，点O是 则AE＝BE，CE＝DE。
所在圆的圆心）.其中
CD m E OE CD ＝600 ， 为 证明：连结OA、OB，则OA＝OB。
（3）AM ＝ BM；
CD ＝ ， ＝ ,
上一点，且 ⊥ ，垂足
E FD
F EF m 为 ， ＝90 .求这段弯路的半径. AE－CE＝BE－DE。
OC2＝CF2＋OF2，∴R2＝3002＋（R－90）2
N
图中 ，点O是 所在圆的圆心）.
∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件)
∴∠AON－∠CON ＝ ∠BON － ∠DON ∴ ∠AOD ＝ ∠BOD
OC2＝CF2＋OF2，∴R2＝3002＋（R－90）2 所以，当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，AC、AD分别和BC、BD重合。
提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况。
（1）两条弦在圆心的同侧
（2）两条弦在圆心的两侧
1.两条弦在圆心的同侧
M
（3）AM ＝ BM； 证明：连接OA、OB、OC、OD，
∠BOD ＝ 180°－ ∠BOC，
作直径MN⊥AB，则MN⊥CD， ∵∠AOD ＝ 180°－ ∠AOC，
数学【北师大版】九年级下册：3.3-垂径定理ppt教学课件
（1）连接AO,BO,则AO=BO,
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
C
∴∠AEO=∠BEO=90°， ∴CD⊥AB.
⌒ ， AD ⌒ =BC ⌒ =BD. ⌒ （2）由垂径定理可得AC
E A
·
B D
O
归纳总结
垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的弧.
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不 C 能，请举出反例.
证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.
即△AOB是等腰三角形.
D O ·
∵AB⊥CD， ∴AP=BP， ∠AOC=∠BOC. 从而∠AOD=∠BOD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC =BC. ∴AD =BD，
A
P C
B
归纳总结 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧. C 推导格式： ∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件) ⌒ ⌒ ⌒ =⌒ ∴ AP=BP, AC BC,AD =BD.(结论)
数 学 精 品 课 件
北 师 大 版
Байду номын сангаас翼 课件
学练优九年级数学下（BS） 教学课件
第三章
圆
*3.3 垂径定理
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标 1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用 它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点）
3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
特别说明： A O ·
圆的两条直径是互相平分的. D
B
垂径定理的本质是: （1）一条直线过圆心 （2）这条直线垂直于弦 满足其中任 两条，必定 同时满足另 三条 （3）这条直线平分不是直径的弦 （4）这条直线平分不是直径的弦所 对的优弧 （5）这条直线平分不是直径的弦所 对的劣弧
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
C
∴∠AEO=∠BEO=90°， ∴CD⊥AB.
⌒ ， AD ⌒ =BC ⌒ =BD. ⌒ （2）由垂径定理可得AC
E A
·
B D
O
归纳总结
垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的弧.
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不 C 能，请举出反例.
证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.
即△AOB是等腰三角形.
D O ·
∵AB⊥CD， ∴AP=BP， ∠AOC=∠BOC. 从而∠AOD=∠BOD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC =BC. ∴AD =BD，
A
P C
B
归纳总结 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧. C 推导格式： ∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件) ⌒ ⌒ ⌒ =⌒ ∴ AP=BP, AC BC,AD =BD.(结论)
数 学 精 品 课 件
北 师 大 版
Байду номын сангаас翼 课件
学练优九年级数学下（BS） 教学课件
第三章
圆
*3.3 垂径定理
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标 1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用 它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点）
3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
特别说明： A O ·
圆的两条直径是互相平分的. D
B
垂径定理的本质是: （1）一条直线过圆心 （2）这条直线垂直于弦 满足其中任 两条，必定 同时满足另 三条 （3）这条直线平分不是直径的弦 （4）这条直线平分不是直径的弦所 对的优弧 （5）这条直线平分不是直径的弦所 对的劣弧
3.3垂径定理(课件)九年级数学下册(北师大版)
C
➢特别说明：圆的两条直径是互相平分的.
A
·O
B
D
二、自主合作，探究新知
典型例题
C
例2：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,
点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,
且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
E
●
解:连接OC. 设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.
股定理计算或建立方程.
五、当堂达标检测
1.已知☉O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心到
弦AB的距离为( D )
A.8cm
B.5cm
·O
C.9cm
D.12cm
2.坐标网格中一段圆弧经过点A，B，C，其中点B
的坐标为（4，3），点C坐标为（6，1），则该圆
弧所在圆的圆心坐标为（ B ）A.（0，0） B.
六、布置作业
教材习题3.3；
圆心的 直线 .对称中心为 圆心 。
2.在 同圆或等圆 中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相
等，那么它们所对应的其余各组量都分别
相等 ．
一、创设情境，引入新知
问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)
O
F
D
三、即学即练，应用知识
1.如图，CD是☉O的直径，弦AB⊥CD于点E，连接OA，
OB，下列结论中不一定正确的是( C )
⌒ ⌒
A.AE＝BE
B.AD＝BD
C.OE＝DE
D.∠AOD＝∠BOD
2.如图，在☉O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB
➢特别说明：圆的两条直径是互相平分的.
A
·O
B
D
二、自主合作，探究新知
典型例题
C
例2：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,
点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,
且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
E
●
解:连接OC. 设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.
股定理计算或建立方程.
五、当堂达标检测
1.已知☉O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心到
弦AB的距离为( D )
A.8cm
B.5cm
·O
C.9cm
D.12cm
2.坐标网格中一段圆弧经过点A，B，C，其中点B
的坐标为（4，3），点C坐标为（6，1），则该圆
弧所在圆的圆心坐标为（ B ）A.（0，0） B.
六、布置作业
教材习题3.3；
圆心的 直线 .对称中心为 圆心 。
2.在 同圆或等圆 中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相
等，那么它们所对应的其余各组量都分别
相等 ．
一、创设情境，引入新知
问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)
O
F
D
三、即学即练，应用知识
1.如图，CD是☉O的直径，弦AB⊥CD于点E，连接OA，
OB，下列结论中不一定正确的是( C )
⌒ ⌒
A.AE＝BE
B.AD＝BD
C.OE＝DE
D.∠AOD＝∠BOD
2.如图，在☉O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB
3.3 垂径定理 北师大版数学九年级下册导学课件
感悟新知
2. 示例：如图3-3-1，CD ⊥ AB 于点E，CD是⊙ O 的直径， 那么可用几何语言表述为
感悟新知
例 1 如图3-3-2，弦CD 垂直于⊙ O 的直径AB，垂足为点H， 且CD=2 2，BD= 3，则AB 的长为( B ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
感悟新知
解题秘方：构造垂径定理的基本图形解题. 把 半径、圆心到弦的垂线段、弦的一半构建在 一个直角三角形里是解题的关键. 解：连接OD，如图3-3-2. ∵ CD ⊥ AB，CD=2 2， ∴ CH=DH= 2 .
感悟新知
︵ 例 5 如图3-3-7，一条公路的转弯处是一段圆弧(AB)，
︵ 点O 是这段弧所在圆的圆心，点C 是AB的中点，半 径OC 与AB相交于点D，AB=120 m，CD=20 m，求 这段弯路所在圆的半径. 解题秘方：紧扣垂径定理的推论，利用 “平分弧，且经过圆心”推出“垂直平分 弦”，结合勾股定理求出半径的长.
感悟新知
在Rt △ BHD 中，由勾股定理，得BH=1.
设⊙O的半径为r，
在Rt △ OHD 中，OH2+HD2=OD2，
即(r－1)2+( 2)2=r2，
解得r=
3 2
∴ AB=3.
.
利用勾股定理列方程
感悟新知
1-1.［中考·泸州］ 如图，AB 是⊙ O 的直径，OD垂直于
弦AC于点D，DO 的延长线交⊙ O 于点E. 若AC=4 2，
感悟新知
证明：过点O 作OM ⊥ AB，垂足为M，如图3-3-3. ∵ OM ⊥ AB，∴ AM=BM. ∵ AC=BD，∴ CM=DM. 又∵ OM ⊥ CD， ∴ OC=OD. ∴△ OCD 为等腰三角
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9
探究二：如图①，横跨南渡江的琼州大桥的两边均 有五个红色的圆拱，其中最高的圆拱的跨度 CD 为 110 米，拱高 AB 为 22 米(A，B 分别是C︵D和弦 CD 的中点)， 如图②，那么这个圆拱所在圆的半径为多少米？
10
解：由垂径定理推论，得 OA⊥CD，又 BC＝55，设 OC＝x，则 OB＝x－22，由勾股定理求得半径为 79.75 米.
11
◎基础训练 1. (2018·威海)如图，⊙O 的半径为 5，AB 为弦， 点 C 为A︵B的中点，若∠ABC＝30°，则弦 AB 的长为 (D )
12
A.12
5 C.
2
3
B．5 D．5 3
13
2. (2018·遂宁)如图，在⊙O 中，AE 是直径，半径 OC 垂直于弦 AB 于点 D，连接 BE，若 AB＝2 7，CD ＝1，则 BE 的长是( B )
3
2. 垂径定理推论：平分弦(不是直径)的 直径 垂 直于弦
1. 如图，CD 是⊙O 的直径，弦 AB⊥CD 于点 E，
连接 AD，BD，下列结论中不一定正确的是( C )
5
A．AE＝BE
B.A︵D＝B︵D
C．OE＝DE
D．AD＝BD
24
解：作 AE⊥MN 于点 E，由已知求得 AE＝80＜100，
故会受影响． 以 A 为圆心，100 m 为半径作⊙A，
交 MN 于点 C，点 D，连 AC，则 AC＝100， 求得 CE＝60 m，CD＝120 m，
又 18 km/h＝5 m/s，120÷5＝24(s)．
25
A．5 C．7
B．6 D．8
14
3. (2018·海南)如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是(20，0)，点 B 的坐标是(16，0)，点 C，D 在
以 OA 为直径的半圆 M 上，且四边形 OCDB 是平行四边
形，则点 C 的坐标为 (2，6) ．
15
【解析】连接 MC，过点 C 作 CE⊥OA 于点 E，过 点 M 作 MF⊥CD 于点 F，由题意，易得 CF＝21CD＝21OB ＝8，则 ME＝8，又 OM＝21OA＝10，∴OE＝2，在 Rt△CME 中，CM＝10，ME＝8，∴CE＝ CM2－ME2＝6，∴点 C 的坐标为(2，6)．
第三章 圆 *3.3 垂径定理
1
◎学习目标 1. 理解圆的轴对称性，了解拱高、弦心距等概念． 2. 掌握垂径定理，并能应用它解决有关弦的计算和 证明问题．
2
◎新知梳理 1. 垂径定理：垂直于弦的直径 平分 这条弦，并 且平分弦所对的 两条弧 ．该定理也可以理解为：若一 条直线具有两条性质：①过圆心，②垂直于一条弦，则 此直线具有另外三条性质：③ 平分 此弦；④平分此 弦所对的优弧；⑤平分此弦所对的 劣弧 ．
∵∠COB＝56°，∴∠OBA＝56°.
20
◎拓展提升 6. (2018·枣庄)如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD
交 AB 于点 P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则 CD 的
长为( C )
21
A. 15 C．2 15
B．2 5 D．8
22
【解析】过点 O 作 OE⊥CD 于点 E，连接 OD，∵ AP＝2，BP＝6，∴AB＝8，∴OA＝4，∴OP＝2，在 Rt △POE 中，∠EPO＝∠APC＝30°，∴OE＝1，在 Rt△DOE 中，DE＝ 42－1＝ 15，∴CD＝2DE＝2 15.
19
解：过点 O 作 OE⊥AB 于点 E，则 BE＝12AB， ∵OD＝12AB，∴BE＝OD，
∵点 B，C 在⊙O 上，∴OB＝OC，∵CD⊥OB，
∴∠ODC＝90°，∵OE⊥AB，∴∠OEB＝90°， 在 Rt△OBE 与 Rt△COD 中，BOBE＝ ＝OODC.， ∴Rt△OBE≌Rt△COD，∴∠OBA＝∠COB，
16
4. 已知：如图，⊙O 的半径为 3，弦 AB 的长为 4， 求 sinA 的值．
17
解：作 OE⊥AB 于 E， 得 AE＝2，求得 OE＝ 5，
sinA＝ 35.
18
5. 如图，点 A，B，C 在⊙O 上，且∠COB＝56°， CD⊥OB，垂足为 D，当 OD＝12AB 时，求∠OBA 的度数．
23
7. 如图，公路 MN 和公路 PQ 在 P 处交汇，且∠QPN ＝30°，点 A 处有一所中学，AP＝160 m．假设拖拉机
行驶时，周围 100 m 以内会受到噪声的影响，那么拖拉
机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声
影响？请说明理由；如果受影响，那么学校受影响的时 间为多少秒？(已知拖拉机的速度为 18 km/h)
6
2. (2018·张家界)如图，AB 是⊙O 的直径，弦
CD⊥AB 于点 E，OC＝5 cm，CD＝8 cm，则 AE＝( A )
A．8 cm C．3 cm
B．5 cm D．2 cm
7
3. 如图，在⊙O 中，弦 AB∥CD，AB＜CD，直径
MN⊥AB，垂足为 E，交弦 CD 于点 F.
图中相等的线段有 AE＝BE，DF＝CF
．
图中相等的劣弧有 A︵M＝B︵M，D︵M＝C︵M，B︵N＝A︵N，
D︵N＝C︵N，B︵D＝A︵C，A︵MD＝B︵MC (写四对)．
8
探究一：如图，在⊙O 中，直径 AB 垂直于弦 CD 于
点 M，AM＝18，BM＝8，求弦 CD 的长．
解：连 OC，AB＝26，OC＝13，OM＝5， 求得 CM＝12，CD＝24.
探究二：如图①，横跨南渡江的琼州大桥的两边均 有五个红色的圆拱，其中最高的圆拱的跨度 CD 为 110 米，拱高 AB 为 22 米(A，B 分别是C︵D和弦 CD 的中点)， 如图②，那么这个圆拱所在圆的半径为多少米？
10
解：由垂径定理推论，得 OA⊥CD，又 BC＝55，设 OC＝x，则 OB＝x－22，由勾股定理求得半径为 79.75 米.
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◎基础训练 1. (2018·威海)如图，⊙O 的半径为 5，AB 为弦， 点 C 为A︵B的中点，若∠ABC＝30°，则弦 AB 的长为 (D )
12
A.12
5 C.
2
3
B．5 D．5 3
13
2. (2018·遂宁)如图，在⊙O 中，AE 是直径，半径 OC 垂直于弦 AB 于点 D，连接 BE，若 AB＝2 7，CD ＝1，则 BE 的长是( B )
3
2. 垂径定理推论：平分弦(不是直径)的 直径 垂 直于弦
1. 如图，CD 是⊙O 的直径，弦 AB⊥CD 于点 E，
连接 AD，BD，下列结论中不一定正确的是( C )
5
A．AE＝BE
B.A︵D＝B︵D
C．OE＝DE
D．AD＝BD
24
解：作 AE⊥MN 于点 E，由已知求得 AE＝80＜100，
故会受影响． 以 A 为圆心，100 m 为半径作⊙A，
交 MN 于点 C，点 D，连 AC，则 AC＝100， 求得 CE＝60 m，CD＝120 m，
又 18 km/h＝5 m/s，120÷5＝24(s)．
25
A．5 C．7
B．6 D．8
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3. (2018·海南)如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是(20，0)，点 B 的坐标是(16，0)，点 C，D 在
以 OA 为直径的半圆 M 上，且四边形 OCDB 是平行四边
形，则点 C 的坐标为 (2，6) ．
15
【解析】连接 MC，过点 C 作 CE⊥OA 于点 E，过 点 M 作 MF⊥CD 于点 F，由题意，易得 CF＝21CD＝21OB ＝8，则 ME＝8，又 OM＝21OA＝10，∴OE＝2，在 Rt△CME 中，CM＝10，ME＝8，∴CE＝ CM2－ME2＝6，∴点 C 的坐标为(2，6)．
第三章 圆 *3.3 垂径定理
1
◎学习目标 1. 理解圆的轴对称性，了解拱高、弦心距等概念． 2. 掌握垂径定理，并能应用它解决有关弦的计算和 证明问题．
2
◎新知梳理 1. 垂径定理：垂直于弦的直径 平分 这条弦，并 且平分弦所对的 两条弧 ．该定理也可以理解为：若一 条直线具有两条性质：①过圆心，②垂直于一条弦，则 此直线具有另外三条性质：③ 平分 此弦；④平分此 弦所对的优弧；⑤平分此弦所对的 劣弧 ．
∵∠COB＝56°，∴∠OBA＝56°.
20
◎拓展提升 6. (2018·枣庄)如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD
交 AB 于点 P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则 CD 的
长为( C )
21
A. 15 C．2 15
B．2 5 D．8
22
【解析】过点 O 作 OE⊥CD 于点 E，连接 OD，∵ AP＝2，BP＝6，∴AB＝8，∴OA＝4，∴OP＝2，在 Rt △POE 中，∠EPO＝∠APC＝30°，∴OE＝1，在 Rt△DOE 中，DE＝ 42－1＝ 15，∴CD＝2DE＝2 15.
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解：过点 O 作 OE⊥AB 于点 E，则 BE＝12AB， ∵OD＝12AB，∴BE＝OD，
∵点 B，C 在⊙O 上，∴OB＝OC，∵CD⊥OB，
∴∠ODC＝90°，∵OE⊥AB，∴∠OEB＝90°， 在 Rt△OBE 与 Rt△COD 中，BOBE＝ ＝OODC.， ∴Rt△OBE≌Rt△COD，∴∠OBA＝∠COB，
16
4. 已知：如图，⊙O 的半径为 3，弦 AB 的长为 4， 求 sinA 的值．
17
解：作 OE⊥AB 于 E， 得 AE＝2，求得 OE＝ 5，
sinA＝ 35.
18
5. 如图，点 A，B，C 在⊙O 上，且∠COB＝56°， CD⊥OB，垂足为 D，当 OD＝12AB 时，求∠OBA 的度数．
23
7. 如图，公路 MN 和公路 PQ 在 P 处交汇，且∠QPN ＝30°，点 A 处有一所中学，AP＝160 m．假设拖拉机
行驶时，周围 100 m 以内会受到噪声的影响，那么拖拉
机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声
影响？请说明理由；如果受影响，那么学校受影响的时 间为多少秒？(已知拖拉机的速度为 18 km/h)
6
2. (2018·张家界)如图，AB 是⊙O 的直径，弦
CD⊥AB 于点 E，OC＝5 cm，CD＝8 cm，则 AE＝( A )
A．8 cm C．3 cm
B．5 cm D．2 cm
7
3. 如图，在⊙O 中，弦 AB∥CD，AB＜CD，直径
MN⊥AB，垂足为 E，交弦 CD 于点 F.
图中相等的线段有 AE＝BE，DF＝CF
．
图中相等的劣弧有 A︵M＝B︵M，D︵M＝C︵M，B︵N＝A︵N，
D︵N＝C︵N，B︵D＝A︵C，A︵MD＝B︵MC (写四对)．
8
探究一：如图，在⊙O 中，直径 AB 垂直于弦 CD 于
点 M，AM＝18，BM＝8，求弦 CD 的长．
解：连 OC，AB＝26，OC＝13，OM＝5， 求得 CM＝12，CD＝24.