量子力学辅导1共98页文档
高中物理竞赛辅导《量子力学初步》课件
是否存在一个
根据某种条件可求出微观粒子的
基本算符
量子力学中的
算符是表示对某一函数进行某种数学运算的符号。在量子力学中，一切力学量都可用算符来表示。这是量子力学的一个很重要的特点。
算 符
劈形算符
数学运算符号
拉普拉斯算符
动量算符
动能算符
哈密顿算符
含动、势能
位矢算符
力 学 量 算 符 统称 举 例
（4）
小议链接2
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请在放映状态下点击你认为是对的答案
下列波函数中合理的是
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4）
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下列波函数中合理的是
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4）
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下列波函数中合理的是
（1） ；
（2） ；
自由粒子的
波函数
自由粒子的能量和动量为常量，其波函数所描述的德布
罗意波是平面波。
不是常量，其波函数所描述的德布罗意波就不是平面波。
对于处在外场作用下运动的非自由粒子，其能量和动量
外场不同，粒子的运动状态及描述运动状态的波函数也
不相同。
微观客体的运动状态可用波函数来描述，这是
量子力学的一个基本假设。
量子化等概念。
续上求解
阱内
阱外
只有
因
及
要连续、有限，
薛定谔方程才成立，
在阱外
故粒子在无限深势阱外出现的概率为零。
设质量为 的微观粒子，
处在一维无限深势阱中，
量子力学辅导讲义
第三章 原子核物理
2.4， 衰变
衰变－原子核X（母核）自发地放 出一个 粒子而转变为另一种原子
核Y（子核）的过程。
子核质量数比母核少4，电荷数比母 核少2，其过程：
A
Z
X
Y A4
Z 2
4 2
He
5.14
第三章 原子核物理
母核与子核静质能差－－衰变能，Ed
Ed M X M Y M c2
电子数目
Auger 电 子谱线
电子动能
第三章 原子核物理
对 衰变第二个问题的理解
－－与光子的产生类比。
衰变的本质是核内一个中子变为
质子或一个质子变为中子；
中子和质子可视为核子的两个不同 状态，中子与质子之间的转变相当 于一个量子态到另一个量子态的跃 迁；
第三章 原子核物理
这种跃迁过程放出电子和中微子， 它们事先并不存在于核内，就好像 光子是原子不同状态之间跃迁的产 物，事先并不存在于原子内；
为整数；
第三章 原子核物理
所有偶偶核的自旋 量子数I =0 所有奇偶核的自旋 量子数I 值为半
奇数；
原子核的自旋指原子核基态的自旋。
（2）核子磁矩
核子自旋磁矩：
Ns
g Ns
N
s
5.5
第三章 原子核物理
N e 2mN
－核磁子，mN：核子质量。 核子自旋磁矩朗德因子（实验测量）：
第三章 原子核物理
ER 发射谱
ER 吸收谱
E0-ER
E0
E0+ER
共振吸收
第三章 原子核物理
2.7，放射系 放射性重元素发生的一系列连续衰变， －形成放射系 天然存在的放射系：三个 铀系、钍系、锕系 半衰期长～109 年，至今在地壳中存在。
量子力学基础知识共98页文档
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于学基础知识
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
量子力学复习资料.doc
8.波长增量A X=X z -X随散射角增大而增大.这一现象称为康普第一章知识点:1. 黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体.2. 处于某一温度T 下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等 时，辐射达到热平衡状态。
3. 实验发现： 热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度T 有关而与黑体的形状和材料无关。
4. 光电效应…光照射到金属上,有电子从金属上逸出的现5. 光电效应特点：1.临界频率vO 只有当光的频率大于某一定值vO 时，才有光电子发射 出来.若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有电子产生.光的 这一•频率V0称为临界频率。
2.光电子的能量只是与照射光的频率有关,与光强无关, 光强只决定电子数目的多少（爱因斯坦对光电效应的解释）3.当入射光的频率大于v 0时，不管光有多么的微弱，只要光一照上，立即观察到光电子（10-9s ）6. 光的波粒二象性：普朗克假定a.原子的性能和谐振子一样，以给定的频率v 振荡；b.黑体只能以E = hv 为能量单位不连续的发射和 吸收能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的 发射和吸收能量.7. 总结光子能量、动量关系式如下：［E=hv=ha ） 把光子的波动性和粒子性联系了起来\Eh v h _p=—h ———n=—n=—n = tikICC2XIngA2 = 220 sin 2 — 其中 20 = ------- = 2.4 x I 。
-" cm称为电子的 Compton 波长。
m 0C散射波的波长入'总是比入射波波长长（V >入）且随散射角0增大而增大。
9. 波尔假定：1.原子具有能量不连续的定态的概念.2.量子跃迁的概念. 10. 德布罗意：假定：与一定能量E 和动量p 的实物粒子相联系的波（他称之为“物质波”）的频率和波长分别为：E = hvn v = E/hP = h/X=>X = h/p该关系称为de. Broglie 关系.德布罗意波：T = A exp —(p»r — Et)\ I de Broglie 关系：v = E/h n(0 = 2K v = 2丸E/h = E/力2 = h/p =>k = 1/ X = 2冗 / 4 =p 〃第二章知识点：.1.描写自由粒子的平面波波函数: T = Aexp -(p»r-Et) h2. 在电子衍射实验中，照相底片上r 点附近衍射花样的强度~正比于该点附近感光点的数 目，~正比于该点附近出现的电子数目，~正比于电子出现在r 点附近的几率.3. |W (r)|2的意义是代表电子出现在r 点附近单位体积内的几率。
第一章量子力学基础知识.doc
第一章 量子力学基础知识1.1 微观粒子的运动特征基本内容一、微观子的能量量子化1. 黑体辐射黑体:是理想的吸收体和发射体.Plank 假设:黑体中原子或分子辐射能量时作简谐振动,它只能发射或吸收频率为ν,数值为ε=hν整数倍的电磁波,及频率为ν的振子发射的能量可以等于:0hν,1 hν,2 hν,3 hν,…..,n hν.由此可见，黑体辐射的频率为ν的能量，其数值是不连续的，只能为hν的倍数，称为能量量子化。
2. 光电效应和光子光电效应:是光照射在金属样品表面上,使金属发射出电子的现象。
金属中的电子从光获得足够的能量而逸出金属，称为光电子。
光电效应的实验结果:(1) 只有当照射光的频率超过某个最小频率ν时金属才能发射光电子，不同金属的ν值也不同。
(2) 随着光强的增加，发射的电子数也增加，但不影响光电子的动能。
(3) 增加光的频率，光电子的动能也随之增加。
光子学说的内容如下：(1) 光是一束光子流，每一种频率的光的能量都有一个最小单位称为光子，光子的能量与光子的频率成正比即：νεh =0(2) 光子不但有能量，还有质量（m ），但光子的静止质量为零。
按相对论质能联系定律，20mc =ε,光子的质量为:c h c m νε==2，所以不同频率的光子有不同的质量。
(3) 光子具有一定的动量(p) p=mc=c h ν=λh(4) 光子的强度取决于单位体积内光子的数目即光子密度:ττρτd dNN =∆∆=→∆0lim将频率为ν的光照射到金属上,当金属中的一个电子受到一个光子撞击时,产生光电效应,并把能量hν转移给电子。
电子吸收的能量，一部分用于克服金属对它的束缚力，其余部分则表现为光电子动能。
2021mv h E w h k +=+=νν 当νh <w 时,光子没有足够的能量,使电子逸出金属,不发生光电效应,当νh =w 时,这时的频率时产生光电效应的临阈频率0ν,当νh >w 时从金属中发射的电子具有一定的动能,它随ν的增加而增加,阈光强无关。
量子力学第一章
学习方法
● ● ●
加强预习和复习 提高听课效率 独立完成作业， 独立完成作业，多做练习
§1.1 经典物理学的困难
• 黑体辐射→普朗克能量子假设 黑体辐射→ • 光电效应 、康普顿效应→光的波粒二象性 康普顿效应→ • 原子光谱→玻尔理论，量子化 原子光谱→玻尔理论， →德布罗意:微观粒子的波粒二象性 德布罗意: →量子力学
量子力学
主讲人：顾运厅 主讲人：
量子力学参考书
1 量子力学 曾谨言 科学出版社 （2套） 套 2 量子力学导论 曾谨言 北京大学出版社 3 量子力学教程 曾谨言 科学出版社 4 量子力学（第三版） 汪德新 科学出版社 量子力学（第三版） 5 量子力学教程 钱伯初 高等教育出版社 6 量子力学 苏汝铿 高等教育出版社 7 量子力学 张永德 科学出版社 8 量子力学 梁绍荣 北京师范大学出版社 9 量子力学教程习题剖析 孙婷雅 （曾谨言） 曾谨言） 10 量子力学习题精解 吴强（ 吴强（张永德 ） 11 量子力学考研辅导教材 史守华 清华大学出版社 12 量子力学习题精选与剖析 钱伯初 曾谨言
§1.2 光的波粒二象性
一、黑体辐射 （一）热辐射（温度辐射） 热辐射（温度辐射）
（1）处于热平衡的具有一定温度的物 ） 体内带电粒子的热运动， 体内带电粒子的热运动，以电磁波形式向 外发射辐射能量。 外发射辐射能量。 （2）给定物体，单位时间内发射辐射 ）给定物体， 能量的多少取决于它的温度 T 。
激光技术的物理基础
• • • • • • • 1860 Maxwell 建立光的电磁理论； 建立光的电磁理论； 1900 Plank提出能量子假设； 提出能量子假设； 提出能量子假设 1917 Einstein 提出受激辐射理论； 提出受激辐射理论； 1953 Towns 建立第一台微波激射器（maser); 建立第一台微波激射器（ 1958 Towns, Shawlow开始研制激光器； 开始研制激光器； 开始研制激光器 1960 Maiman制成第一台红宝石激光器； 制成第一台红宝石激光器； 制成第一台红宝石激光器 1961~1965 激光光谱，用于大气污染分析；半导体激光 激光光谱，用于大气污染分析； 用于激光通讯； 激光器，用于激光熔炼、 器，用于激光通讯；CO2激光器，用于激光熔炼、激光切 激光钻孔； 割、激光钻孔； • 1968~1969 月球上设置激光反射器；地面与卫星联系； 月球上设置激光反射器；地面与卫星联系； • 1982 激光全息术； 激光全息术； • 80~90年代 激光外科手术，通讯、光盘、激光武器。 年代 激光外科手术，通讯、光盘、激光武器。
量子力学 辅导材料
量子力学辅导材料河北师范大学物理科学与信息工程学院《量子力学》课题组二00三年三月一日一、课程总体说明1、课程性质量子力学是近代物理两大支柱之一，是近代物理的重要基础。
因而本课是物理专业最重要的一门专业基础必修课。
2、学习目的（1）系统地了解微观世界的基本规律；（2）理解掌握量子力学基本概念和基本原理，并能应用基本概念和规律解释微观现象；（3）了解量子力学史上的重要物理思想，培养辩证唯物主义的世界观和科学方法。
3、主要内容量子力学主要内容包括：量子力学发展简况，波函数，薛定谔方程，力学量和算符，态和力学量的表象，微扰论，自旋和全同粒子。
4、主要考核目标（1）掌握波粒二象性是一切物质客体所具有的普遍属性。
（2）正确理解和熟练掌握描写微观粒子运动状态的波函数的意义及量子力学的基本方程—薛定谔方程的求解。
（3）熟练掌握力学量用算符表示后量子力学规律所取的形式及力学量与算符的关系。
（4）了解表象的物理意义和一些简单的表象变换。
（5）掌握用久期方程求解算符的本征值和本征函数的方法。
（6）正确理解定态微扰论的方法和使用条件,熟练掌握非简并情况下体系能级的二级近似值与一级近似波函数的计算方法,了解与时间有关的微扰理论。
（7）认识微观粒子的自旋角动量的性质,熟记自旋角动量算符与自旋波函数的表达方式。
（8）理解全同粒子的不可区分性、全同性原理以及波函数的对称性与统计法之间的关系。
二、章节说明本课程重点阐述非相对论量子力学之波动力学的完整自洽的知识体系。
考虑到专业特点和学时要求，在保留量子力学完整知识结构的基础上，我们删减了一些章节的内容。
主要内容如下：第一章绪论掌握§1-§4，重点和难点是§4。
1、 了解经典物理学的困难，黑体辐射、光电效应和原子的线状光谱及其规律。
2、 了解光的波粒二象性，理解Planck 能量子假设、Einstein 的光量子理论和Bohr 的原子量子论。
3、 掌握Compton 效应的内容和物理含义。
量子力学讲义(修订)
第一部分：经典物理学所遇到的困难 1、黑体辐射1）热辐射：在一定温度下任何物体都能以电磁波形式向外辐射能量，这种依赖物体温度的辐射叫热辐射2）黑体：如果一具物体能够吸收入射到它上面的全部电磁波而不反射电磁波，那么这种物体就叫做黑体，黑体是一个理想模型，如一个空腔只开一个很小的口，从入口中射入的电磁波在空腔中反复反射，我们认为最终会将所有的电磁波吸收，很少有机会从反射出来。
如下图所示当达到热平衡时，也就是说，黑体空腔内的温度与壁的温度一致时，空腔内的辐射的能量分布只与温度有关，关于黑体辐射的几个公式 1）维恩公式维恩从分析实验数据得到的经验公式为：处于频率v v dv -+间的能量为：2/31()c v T E v dv c v e dv -= （1）其中12,c c 为经验参数，除了低频率部分，维恩公式实验结果符合很很好。
2）瑞利-金斯公式处于频率v v dv -+间的能量为：238()E v dv kTv dv cπ=（2） 其中c 为光速，k 为玻耳兹曼常量，此公式在低频部分与实验曲线符合得很好，但是在高频部分是发散的，与实验明显不符，称之为紫外灾难。
3）普朗克公式普朗克总结了分析了上述两个公式，发现上述两个公式可以用一个公式来总结，这就是普朗克公式，与实验结果符合非常好。
231/()1c v kTc v E v dv dv e=- （3）不难看出，在高频段，v →∞，此公式趋向于维恩公式，这是因为 当v →∞，22//1c v kTc v kT e e -≈，所以有223/311/()1c v kT c v kTc v E v dv dv c v e dv e-=≈-在低频段，也就是0v →时，趋向于瑞利-金斯公式，这是因为 当0v →时，2/21/c v kT e c v kT ≈+，所以有3221122()1/1c v cE v dv dv kTv dv ckTv dv c v kT c =≈=+-普朗克首先是从数学上发现了这一公式，他觉得非常呀，他认为这里面一定有不为人知的物理原因，经过几个月的思考，最后他得出的结论是，如果承认能量是分散的，也就是辐射能是一份份的，就可以推导出上述公式，于是普朗克得到了能量量子化的结论，这和经典的物理思想是格格不入的，因为经典的电磁理论认为，辐射能是连续的。
量子力学课件
且随散射角θ增大而增大。
•式中也包含了 Planck 常数 h，经典物理学无法解释它，Compton 散射实验是对光量子概念的一个直接的强有力的支持。
（3） 证 明
根据能量和动量守恒定律：
k’
k
k
mc
mv
2
m0c 2
代
两边平方
入
2
2c
c
kc
得：
k
mv
c(k k) (m m0 )c2
于是得光子的能动量关系： E pC 或 p E / C
把光子的波动性和粒子性 联系了起来
• 虽然爱因斯坦对光电效应的解释是对Planck量子 概念的极大支持，但是Planck不同意爱因斯坦的光 子假设，这一点流露在Planck推荐爱因斯坦为普鲁 士科学院院士的推荐信中。
“ 总而言之，我们可以说，在近代物理学结出 硕果的那些重大问题中，很难找到一个问题是爱因 斯坦没有做过重要贡献的，在他的各种推测中，他 有时可能也曾经没有射中标的，例如，他的光量子 假设就是如此，但是这确实并不能成为过分责怪他 的理由，因为即使在最精密的科学中，也不可能不 偶尔冒点风险去引进一个基本上全新的概念 ”
对 Planck 辐射定律的
三点讨论：
d
8h 3
C3
exp(h
1 /
kT
)
1
d
•（1）当 v 很大（短波）时，因为 exp(hv /kT)-1 ≈ exp(hv /kT)， 于是 Planck 定律 化为 Wien 公式。
d
8h 3
C3
exp(h
1 /
kT
)
1
d
d
8h 3
C3
exp(h
量子力学辅导刚要4
《量子力学》辅导纲要（4）25 一个电荷为q 、质量为μ和角频率为ω的线谐振子，受到沿x 方向恒定弱电场ε的作用，即x q Wˆε-=，求基态能量，近似到二级修正、波函数到一级修正。
已知：111()()()n n n xx x x ψα-+⎤⎥⎥⎦=+ 解：'()()nn nn n n q W x q x x x dx εεψψ+∞''-∞=-=-⎰在线性谐振子的情况下，利用111()()()n n n x x x x ψα-+⎤⎥⎥⎦=+得()()''1'111{1()()1()()}1nn n n n n nn n n n n q q q W x x x dxx x dx εεεψψαψψαα-++∞''--∞+∞'+-∞=--⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⋅⎰+⋅⎰=()()()0'0'10'10'1.1n n n n q q W εεα-+-⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭=-可见，只有01100.q W W ε=-=≠带入微扰公式得基态能量一级修正()10000.E W ==基态能量二级修正()()22200100000001201000001,.nn nW W EE E E E W E E E E ≠==--≈+-∑基态一级修正()()()()()()()()()()()100010010000000100100010001',.n n n n W W E E E E W E E ψψψψψψ≠==--≈+-∑26．求自旋角动量在任意方向n（方向余弦为 γβαcos ,cos ,cos ）的投影算符γβαcos ˆcos ˆcos ˆˆz y x n s s s s++= 的本征值和相应的本征矢。
解：01010ˆ[cos cos cos ]100012n i s i αβγ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭cos cos cos cos cos cos 2i a a i b b γαβλαβγ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭cos cos cos 2cos cos cos i a a i b b γαβλαβγ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭2cos cos cos 02cos cos cos i a b i γλαβαβγλ⎛⎫-- ⎪⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭+-- ⎪⎝⎭2cos cos cos 02cos cos cos i i γλαβαβγλ--=+--得222224cos cos cos 0γλαβ-+--=222224cos cos cos 1λαβγ=++= 21,2λλ=±∴=±当2λ=时，cos cos cos cos cos cos i a a i b b γαβαβγ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭cos (cos cos )(cos cos )cos a b i a a i b b γαβαβγ+-=+-=(cos cos )1cos b i a αβγ-=-cos cos 1cos 1i αβγψ-⎛⎫⎪-∴= ⎪ ⎪⎝⎭归一化后为cos cos 1cos 1i αβγψ-⎫⎪-∴=⎪⎪⎭当2λ=-时，cos cos cos cos cos cos i a a i b b γαβαβγ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭cos (cos cos )(cos cos )cos a b i aa ib b γαβαβγ+-=-+-=-(cos cos )1cos b i a αβγ-=-+(cos cos )1cos 1i αβγψ-⎛⎫- ⎪+= ⎪ ⎪⎝⎭归一化后(cos cos )1cos 1i αβγψ-⎫-⎪+=⎪⎪⎭27．氢原子在0=t时刻处于状态()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=r r r C r 3212131210,ϕϕϕψ式中，()r n ϕ为氢原子的第n 个能量本征态。
量子力学入门(最全版)PTT文档
象，这是和而“微测粒说量”不结相容果的。显示电磁波的速度非常的接近于光速。也就是 1874年，乔说治·强，斯顿光·史也东尼是首次一提出种了电电荷的磁概念波，它。是带亨电体里的基克本量·，赫不能兹再被制拆分作成更了小的一部分个。 能够产
生低于可见光频率的电磁波（现在我们称之为微波）的仪 器。早期研究的争议在于如何解释电磁辐射的本质，一些 人认为这是因为其的粒子性，而另一些人宣称这是一种波 动现象。在经典物理里，这两种思想是完全相悖的。
• 不久之后的一些实验现象如光电效应，只能把光看作“一 这个被称为紫外灾难的结果显然是错的。
不久之后的一些实验现象如光电效应，只能把光看作“一份一份”的或是将其量子化才能得到合理的解释。
•
• 不同温度下的黑体所辐射出的总能量和峰值波长。经典电磁理论过份 高估增强幅度，特别是短波长的部分。瑞利－金斯定律符合实验数据 中的长波长部分。但在短波长部分，经典物理预测炽热物体所发射出 的能量会趋于无穷大。这个被称为紫外灾难的结果显然是错的。
• 第一个能够完整解释热辐射光谱的模型是由马克斯·普朗克于1900年 提出的普朗克把热辐射建立成一群处于平衡状态的谐振子模型。为了 符合实验结果，普朗克不得不假设每一个谐振子必定以自身的特征频 率为能量单位的整数倍，而不能随意发射出任意量的能量。也就是说， 每一个谐振子的能量都经过“量子化”。每一个谐振子的能量量子与 谐振子的频率成一比例，这个比例常数就称为普朗克常数。普朗克常 数的符号为h，其值为 6.63×10−34 J s，频率f的谐振子能量E为
峰值频率和辐射源的温度有关）后再逐渐衰减至零。
如果我们知还道“是h”和理光子论的频上率，，就能牛用这顿个方的程计理算出论光子都的能失量。去了以往的地位。
量子力学讲义最新修正版
（实）
Θ lm (θ ) = ( − ) m
2l + 2
1i
(l (l
− +
m m
) )
! !
Pl
m
(cos
θ
)
m = l , l − 1, ..., − l + 1, − l
(29)
满足
∫π 0
Θlm
(θ
)Θl′m
(θ
)
sin
θ
dθ
= δll′
(30)
于是，(L2, Lz ) 的共同的正交归一的本征态 可以表示为
∂Y
∂θ
)
−
2
sin2
θ
∂2Y
∂ϕ2
=λ
2Y
(17)
代入
Y(θ,ϕ)
= Θ(θ)ψ(ϕ)
,
方程左右乘
(− sin2 θ ), Θψ
可得
sinθ d (sinθ dΘ) +λsin2θ = − 1 d2ψ ≡ μ2
Θ dθ dθ
ψ dϕ2
(18)
其中左边仅与θ有关,右方仅与 ϕ有关, 故
恒等于一常数 μ2,从而可分离成两个方程:
征函数：
Bˆφn = Bnφn
n ↔ λ ; ∑ ∫ ↔ d λ ; δ mn ↔ δ (λ − λ ' ); (33) n
而归一化条件可表示为
∑ ∑ <ψ ,ψ >= 1 = Cm*ϕm* Cnϕn
m
n
∑∑ ∑ =
Cm*Cnδmn = Cn 2
mn
n
(34)
∫ <ψ,ψ >=1= Cλ 2dλ
(35)
若 Aˆ 的本征函数既有分立谱又有连续谱时，
量子力学课件
量子力学彭斌地址：微固楼211电话：83201475Email: bpeng@引言牛顿力学质点运动牛顿力学（F、p、a）22dtvdmmaF==牛顿力学成功应用到从天体到地上各种尺度的力学客体的运动中。
引言牛顿力学热力学●统计物理Ludwig Boltzmann Willard Gibbs引言牛顿力学热力学●统计力学 电动力学电磁现象——Maxwell方程组¾统一电磁理论¾光─> 电磁波1600170018001900时间t力学电磁学热学物理世界（力、光、电磁、热…）经典热力学（加上统计力学）经典电动力学（Maxwell 方程组）经典力学（牛顿力学）迈克尔逊－莫雷实验黑体辐射动力学理论断言，热和光都是运动的方式。
但现在这一理论的优美性和明晰性却被两朵乌云遮蔽，显得黯然失色了……——开尔文（1900年）引言什么是量子力学？什么是量子力学？——研究微观实物粒子（原子、电子等）运动变化规律的一门科学。
相对论量子力学量子电动力学量子场论高能物理相对论力学经典电动力学V~C量子力学（非相对论）经典力学v<<C微观宏观量子力学的重要应用量子力学的重要应用¾自从量子力学诞生以来，它的发展和应用一直广泛深刻地影响、促进和促发人类物质文明的大飞跃。
¾百年（1901－2002）来总颁发Nobel Prize 97次单就物理奖而言：——直接由量子理论得奖25次——直接由量子理论得奖＋与量子理论密切相关而得奖57次¾量子力学成为整个近代物理学的共同理论基础。
在原理和基础方面，仍然存在着至今尚未完全理解、物理学家普遍的困惑的根本性问题。
在原理和基础方面，仍然存在着至今尚未完全理解、物理学家普遍的困惑的根本性问题。
任何能思考量子力学而又没有被搞得头晕目眩的人都没有真正理解量子力学"Anyone who has not been shocked by quantum physics has not understood it." -Niels Bohr 任何能思考量子力学而又没有被搞得头晕目眩的人都没有真正理解量子力学"Anyone who has not been shocked by quantum physics has not understood it."-Niels Bohr 我想我可以相当有把握地说，没有人理解量子力学。
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因为势函数满足对称性，故波函数具有确定的宇称。
但在原点处波函数必为0，从而知道波函数是奇函数
故可令
(x )A sikn ,x|x| a
利用边界条件 (a)0 得 ka n,n1,2,
从而有
kn
a
2 2E,
Enn22a 2 22
归一化的波函数是
n(x)
1sinnx,
aa
| x|a
﹟
0
| x|a
1. 3 求在半壁无限深方势阱
, x 0
V(x) 0, 0 x a
V0,
xa
V0
中，求束缚态的条件 (V0 0) 。
0
a
提示： （1）分区求解
（2）除了要用边界条件外，还要用连续性条件
（3）涉及到波函数的连续条件时，一般要求解 超越方程组。本题中方程组是
2c2 tg2V20a2 Q2
1. 4 质量为 的粒子在一维势场
（2）根据势场的性质确定波函数的特点及相关参数。
（3）根据所得波函数代入薛定谔方程求得能量差。
包含时间在内的定态波函数为
n(r,t)eiE nt n(r)
含时Schrödinger方程 的一般解为
(r,t) CneiE nt n(r) n1
其中 C n 为任意常数。如果已知初条件
(r,t0) (r)
则常数 C n 不再是任意的，它由(r) 唯一地确定：
C n ( n , ) * n (r) (r)d
| C n |2 代表粒子的能量取值为 E n 的几率。
3. 一维束缚定态有如下性质： (1)能量是非简并的； (2)波函数是实函数； (3)如果势函数V ( x)满足对称条件 V(x)V(x), 则波函数(x) 有确定的宇称,即为奇(偶)函数
4. 一维无限深势阱
0, 0xa V(x), x0,xa
ˆ 2 2 V(r,t) 2
是粒子的哈密顿算符。它由动能算符 Tˆ 2 2与
2
势能算符V(r,t)组成。如果势能 VV(r)不含t，则
(r,t)eiE t (r)
波函数 (r) 满足方程
22 2V(r)E(r)
或
H ˆ(r)E(r)
上述方程称为能量的本征值方程。其定态解为
En
n(r), n1,2,
(1)在值全, 即空间(r找,t)到是粒平子方的可几积率的；| (rr, t) |2 d 取有限
(2) |(r,t)|是单值的； (3) (r,t)与(r,t)是连续的。
2. 波函数 (r,t)满足方程
i t (r,t) 2 2 2V(r,t) (r,t)
或
i(r,t) ˆ(r,t)
t
其中
（3）δ函数的作用
1. 6 谐振子势中心附加 函数势， V (x)2x 2/2 V 0(x),
在原定态解中，哪些仍是解，哪些不再是解， 需要重新求？
V(x)
0
x
提示：
（1）熟练掌握谐振子能量本征函数及其特点 （2）了解δ函数的作用，会使用跃变条件
1.10 质量为 的粒子在势场V ( x)中作一维运动，
0 x0 V(x)( x)V', V' V 0 x0
V
0
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
中运动，其中 与 V 0 均为正实数。
(1)试给出存在束缚态的条件，并给出其能量本
征值和相应的本征函数； (2)给出粒子处于 x0区域中的几率.它是1/2
还是1/ 2，为什么？
提示：（1）分区求解
（2）除了要用边界条件外，还要用跃变条件
'(0)'(0)2 2 (0)
中的定态能量和波函数为
En22a222 , n1,2
2 nx
n(r)
sin aa
,
0
0xa x0,xa
如果坐标原点取在势阱的中心，则定态波函数为
n(r)
a 1sinn2axa,
0,
xa xa
n(x)具有确定的宇称 (1)n1 。
5. 势能为V(x) 2x2/2的一维谐振子定态能量和波 函数为
两个能量本征函数分别为 1 ( x ) A x 2 / 2 ,e 2 ( x ) B ( x 2 b c ) e x x 2 / 2
A,B,b,c均为实常数。试确定参数 b, c 的取 值，并求这两个态的能量之差 E2 E1 。
提示：
（1）尽管没有给出势场的具体形式，但薛定谔方程的 形式是确定的，可以从波函数出发来求势场。
(2)相等的实1根 r2r (c1c2x)er1x
(3)共轭r1,复 2根 i e x(c 1co x s c 2six n )
c1 e( i)xc2e( i)xexsinx() ﹟
1. 2 质量为 的粒子处于一维势场
V
(x)
0
0
xa 0 xa
x0 a x0
I
II
III
I
-a
0
a
Enn1 2, n0,1,2, n(x )N n e 2x22H n( x ),N n 12 2 nn ! n(x)具有确定的宇称 (1) n 。
6. 在δ函数势场 V(x)A (xa)中，定态波函数
(x) 在xa点连续，但'(x)在xa点不连续：
(a) (a)2 2 A (a)
7. 波函数为( x)的一维运动粒子的动量几率分布
教学目的：
1、系统了解量子力学I的基本内容
2、系统掌握量子力学结题的基本思路和方法
3、为进一步学习量子力学II和考研打下坚实 的基础
第一部分 Schrödinger方程 一维定态问题
一、学习要点
1.在坐标表象中，无自旋的粒子或虽有自旋但不 考虑自旋运动的粒子的态，用波函数(r,t)表示. |(r,t)|2d表示 t 时刻粒子处于空间 r处 d 体积 元内的几率，即 |(r,t)|2代表几率密度。根据波 函数的物理意义,波函数 (r,t)应具有如下性质：
函数为
2
W (p)(p)2(21 )12 eip x (x)dx
几率密度为
j 2i*(x)ddx(x)(x)ddx*(x)
Im*(x)ddx(x)
﹟
二、例题
▲量子力学中常用的二阶常系数
齐次线性微分方程的解
对方程
''p'q0
其特征方程为
r2prq0
若两个根r1， 为2r，则其解为
(1)两不相等的实根 r1,2 c1er1xc2er2x
中，求定态能量E与波函数 ( x) 。
解： 涉及的问题分三个区
I 区 阱外
波函数为0
II 区 III区
-a<x<0 0<x<a
''k20,
k
2E
2
其特征方程解为两个共轭复根 r1,2i
考虑到不涉及平面波，故波函数可写为形式
1(x)A 1co k s xB 1sikn,xax0 2(x)A 2co k s xB 2sikn,x0xa