分部积分法(课件)

（3） 解：

x
1 4
x ln xd x
3
3
ln xd x
4
ln x d x
4
1
ln x d x 4

( x ln x
4
x
4
d ln x )
3


1 4 1
4
( x ln x
( x ln x
4

1 4
x dx)
x )c
4
归纳2：
形如 x arctan xdx，x arc cot xdx，x lnxdx ,
第4章 不定积分
数学与应用数学系 张益
引例： xe
xe
x
x
dx
1
dx
e 2
1 2
x
dx
2
(令 u x )
2


e
u
du
显然不能解决！
将 e 凑入微分号呢？
x

xe d x
x

xd e
x
还是不能解决！
xd e
x
——
e
x
dx
u d v — — vd u
它们之间有没有联系呢？


x x x )dx 1 ( x adrc ta n (1 1 x a rc ta n x ) c x 2
2 2
x 1 1 1 2
2
1
（2）
arc sin xdx
x arcsin x
解：
arcsin xdx
x a rc s in x
xd arcsin x
用分部积分公式计算引例得：
xe
x
dx
xd e
x
x
xe
x
e
x
x
dx
xe e c
在此是令
u x, v e
x
注 意
当 v d u比较容易计算时，则利用 分部积分公式将 u d v 化为 vd u .
解题的关键在于恰当的选择u和v.

xe dx
x
1
2
x cos xdx
c o s xd x 2
1 2
1 2
2
2

( x cos x
x
x
2
d cos x )

( x cos x
2
2
s in xd x )

x co s x d x
x
2
sin x d x

x co s x d x
3
次数为1
次数为2
次数为3
（1） 解：
x co s xd x
（3）
arctan xdx
x arctan x
解： arctan xdx
1 2 1 2
xd arctan x
d ( x 1)]
2
( x a rc ta n x [ x a rc ta n x
1
1 2
x x 1
2
dx)
1
x
2
2

1 2
[ x a rc ta n x
由函数乘积的微分公式
d ( uv ) udv vdu
移项得
udv d ( uv ) vdu
对上式两端同时积分，得
udv uv vdu
(1)
(2)
或
uv' dx uv u' vdx
公式(1)或公式(2)称为分部积分公式 .
udv uv vdu

1
x 1 x 1 1 x
2
dx
x a rc s in x
2
dx
2
2
x a rc s in x
1
2
1 1 x
2
2
d (1 x )
2

1 u
du 2
u
x arcsin x
1 x c
arccos xdx , arctan xdx , arc cot xdx
x
再次使用 分部积分公式
x
x e 2 ( xe
2 x x
e dx)
x
x e 2( xe e ) c
2 x x
归纳1：
形如 x sin xdx，x cos xdx，x e dx 的
n n n x
不定积分
解决方法：
cos x、 x、 e sin
x
凑入微分号构成 v
x cos xdx xd sin x
x sin x sin xdx
x sin x cos x c
这里是令 u x , v sin x
（4）

2
x e dx
2
2
x
解： x
e dx
x
x
x
2
de
x
x e
2 x
e
x
dx
2
x e 2 xe d x

1 2
ln ( x 1)] c
（6）
x cos
x
x 2
dx
2 x cos x 2 d x 2
解：
x cos 2 dx
2 xd s in
x 2
2 ( x s in
2 ( x s in
x 2
x 2

s in
x 2
x 2
dx)
)c
2 cos
（12） 解：
1
2
e dx
x
x
2
u x, v e
x


1 2 1
2
( xe
( xe
x
x

2
de )
x
x

x e dx )
2
在此是令
u e ,v x
x
2
再次用分部积分公式
x
2
e dx
x
1
e 3
x
dx
x
3

1 3 1 3
(x e (x e
3
3

x x
3
de )
x
x
x
3
e dx )
xe
x
dx

x e dx
次数为2
2
x
x
3
e dx
x
次数为1
次数为3
越来越复杂！
到底应该 怎样来选择 u、v呢？
下面通过例题来归纳总结
类型一 ： 例1 求下列不定积分
（1） （2） （3）
x co s xd x


x sin xdx
xe d x
2 x
x
（4）

x e dx
如果令
u cos x , v x
e (sin x , co s x )
x ( 包 括 n 0)
n
x
作业布置：
计算下列不定积分 1、(2)(5)(8)(9)(10)(14)(15)
谢 谢!
n n n
x
n
arcsin xdx, x arccos xdx的不定积分
n
解决方法：
x
n
凑入微分号构成 v
归纳 选择凑入微分号构成v先后顺序：
e (sin x , co s x )
x ( 包 括 n 0)
n
x
课堂练习： P203.
一、判断下列积分应该哪部分凑入微分号构成v 1、(1)(2)(3)(5)(6)(8)(9) (10)(12)(13)(14)(15) 二、计算不定积分 1、(3)(6)(12)
类型二： 例2 求下列不定积分
（1）
（2） （3）

x arctan xdx
arc sin xdx

x ln xd x
3
（1）


x arctan xdx
x arctan xdx 1
解：
arctan 2
xdx
2
1 a rc c o s x d x , x a rc ta n x d x x ( x 2 a rc ta n x x 2 d a rc ta n x ) 2 2 x a rc c o t x d x , x a rc s in x d x 1 x 2 ( x a rc ta n x dx) 2 2 1 x
u d v — — vd u
d ( uv ) ＝ udv ＋ vdu
移项得 udv d ( uv ) vdu 对上式两端同时积分， 得 udv d ( uv ) vdu
udv uv udv uv
＋C
vd u
vd u
4.3 分部积分法


ln x x
x
2
2
dx
1
ln x
d x ln x d x
1
(x
ln x ln x
ln x

1 3
x d ln x ) x dx )
x
3
1
(x
(x
1
2
1
)c
本课小结
1 2
分部积分公式：
选择凑入微分号 的先后顺序：
udv uv vdu