第3章 角动量守恒定律
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角动量守恒定律
角动量守恒定律角动量守恒定律，也称转动动量守恒定律，是描述旋转系统中物体角动量守恒的物理定律。
它是在伽利略与牛顿的基础上，由欧拉和拉格朗日等人发展起来的。
它表明，在无外力矩作用下，一个封闭系统的总角动量守恒。
在物理学中，角动量是描述物体旋转运动的物理量。
一个物体的角动量等于其自转角速度和惯性矩的乘积。
考虑一个刚性物体，其围绕某个轴心旋转。
此时，物体的角动量L等于其自转惯性矩I和角速度ω的积，即L=Iω。
这个公式可以用来描述物体的旋转状态。
在没有外力矩作用的情况下，物体的角动量守恒。
也就是说，在这种情况下，刚体自身的角速度和惯性矩不会发生改变。
这个定律可以由牛顿第二定律的角动量形式推导出来。
当一个刚体受到外部力矩时，他的角动量就会发生变化。
这个变化量等于力矩与旋转时间的积。
一个封闭系统中的物体，在没有外部力矩作用时，总角动量守恒，即所有物体的角动量的代数和不变。
如果物体中有某一个物体受到外部力矩，那么这个物体的角动量就会发生变化，但是，由于总系y运中的总力矩为零，所以其他物体的角动量将以相反的方式发生变化，以保证总角动量守恒。
一个典型的例子是一个旋转跳板启动一个跳跃者，高度和角速度的变化取决于跳板和跳跃者的质量和形状。
在这个过程中，跳板和跳跃者的角动量守恒，因为在计算角速度和角动量时，两个物体的总和是不变的。
总之，角动量守恒定律是一种重要的动力学基本定律。
它说明，封闭系统中的角动量总和保持不变。
在硬物体的运动中往往非常有用，可以帮助计算速度、加速度和其他涉及运动的数值。
在工程学和物理学中，它被广泛地应用于旋转系统、制药生产，以及其他需要涉及转动的领域。
角动量守恒
x
r
θ
p
y
质点对圆心的角动量（动量矩） 质点对圆心的角动量（动量矩）
大小 | L |= Pr⊥ = Pr sin θ 矢量式 L = r × P = mr × v
p
o m
r
行星在公转轨道上的角动量
p
p
r
d
O
d
r
L = pd = pr sin
定义：质点对点的角动量为 定义 质点对点的角动量为
L = r × P = r ×(mv ) 面积） 角动量大小 L= rmv sinα（面积）
dL mgR cos θ = dt mR 2 dt = dθ L
(1)
(2)
t = 0,θ0 = 0, L0 = 0, 对上式积分 ∫ LdL = ∫0 m gR cosθ dθ
L 0 2 3
θ
即 由
2 1/ L = mR3/（2 g sin θ）2 （3）
L = mR2ω 2g 1/ ω=（ sin θ）2 R
∵ M = r × F； L = r × mv dL ∴ M= dt
dP 上式与牛顿第二定律F = 在形式上是相似的 dt 只是用M 代替了F，用L代替了P。
上式还可以写成
Mdt = dL
Mdt为力矩对时间的累积效应，仿照冲量的定义 我们称之为冲量矩
Mdt = dL
对此式左右积分得 ∫ Mdt = ∫ dL = L2 L1
大小不变
L
方向不变 方向不变
L
O
r
α m
v
α
r
v
质点对圆心O的角动量为恒量 质点对圆心 的角动量为恒量
2. 质点的角动量定理
设质量为m的质点，在合力F的作用下，其运动方程为
r
θ
p
y
质点对圆心的角动量（动量矩） 质点对圆心的角动量（动量矩）
大小 | L |= Pr⊥ = Pr sin θ 矢量式 L = r × P = mr × v
p
o m
r
行星在公转轨道上的角动量
p
p
r
d
O
d
r
L = pd = pr sin
定义：质点对点的角动量为 定义 质点对点的角动量为
L = r × P = r ×(mv ) 面积） 角动量大小 L= rmv sinα（面积）
dL mgR cos θ = dt mR 2 dt = dθ L
(1)
(2)
t = 0,θ0 = 0, L0 = 0, 对上式积分 ∫ LdL = ∫0 m gR cosθ dθ
L 0 2 3
θ
即 由
2 1/ L = mR3/（2 g sin θ）2 （3）
L = mR2ω 2g 1/ ω=（ sin θ）2 R
∵ M = r × F； L = r × mv dL ∴ M= dt
dP 上式与牛顿第二定律F = 在形式上是相似的 dt 只是用M 代替了F，用L代替了P。
上式还可以写成
Mdt = dL
Mdt为力矩对时间的累积效应，仿照冲量的定义 我们称之为冲量矩
Mdt = dL
对此式左右积分得 ∫ Mdt = ∫ dL = L2 L1
大小不变
L
方向不变 方向不变
L
O
r
α m
v
α
r
v
质点对圆心O的角动量为恒量 质点对圆心 的角动量为恒量
2. 质点的角动量定理
设质量为m的质点，在合力F的作用下，其运动方程为
角动量 角动量守恒定律大学物理
对定轴转动的刚体 Miin 0 ，合外力矩
M
Miex
d dt
(
mi
ri
2
)
d(J
dt
)
d( J )
dL
M
dt dt
第3章 守恒定律
12
大学物
理学
第二版
t2 t1
Mdt
L2
L1
t2 t1
Mdt
L2
L1
当转轴给定时，作用在物体上的冲量 矩等于角动量的增量．——定轴转动的角 动量定理
第3章 守恒定律
然长度处以
垂直于弹簧运动，当
弹簧与初始位置垂直时，弹簧长度
v
求此时滑块的速度.
v0
第3章 守恒定律
图 3.4
大学物 理学
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【解】 由角动量和机械能守恒
结论：对于有心力问题，系统对力心处的 角动量守恒.
第3章 守恒定律
大学物
理学
第二版
三、角动量守恒定律的应用
（1）常平架回转仪（陀螺仪） （2）直升飞机尾翼
质点角动量定理的推导
L r p r mv
dL
d
(r
p)
r
dp
dr
p
dt dt dr v，v p 0
dt dL
dt
r
dp
r
F
dt
dt
dt
第3章 守恒定律
4
大学物
理学
第二版
dL
M
dt
作用于质点的合外力对参考点 O 的力 矩，等于质点对该点 O 的角动量随时间的 变化率.
13
大学物
理学
第二版
对定轴转动的刚体，受合外力矩M，
大学物理课件 第3章 动量 角动量
例 如图所示,一个有四分之一圆弧光滑槽的大物体,质量为 M, 置于 光滑的水平面上。另一质量为m的小物体从圆弧顶点由静止开始下滑。 求当小物体m滑到底时，M滑槽在水平上移动的距离。
解 以 M和 m 为研究对象，其在水平方向不受外力（所受外力都 在竖直方向），故水平方向动量守恒。
设在下滑过程中，m相对于M的滑动速度为m ， M 对地速 度为 M ，并以水平方向右为正，则有
t
问题 结果与m与槽M间是否存在摩擦有关系吗？
3. 质心运动定理
C
mii mc m i 1 质点系的动量 p mc
i 1
m
n
rC
mi ri
n i 1
m
n
i i
质点系的动量等于质点系的质量乘以质心的速度。 注 质点系的动量的两种表达式
n p mii , p mc
pA m j ,
pB mi
y
B
I AB pB pA m (i j )
C
pC m j
o
A
x
I AC pC pA 2m j
质点的动量定理
例 一质量为10kg的物体沿x轴无摩擦地运动，设t=0时，物体 位于原点，速度为零。设物体在力(F=3+4t)N作用下运动了3秒， 求此时它的速度和加速度。 解
3.2
角动量定理 角动量守恒定律
3.2.1 质点的角动量定理及守恒定律
1. 力矩
讨论
力F 对定点O 的力矩 Mo F r F
单位：牛 米（N m）
(1)力矩的大小和方向
所组成的平面，指向是由 180 的角转到 F 时的右手螺旋前进的方向
①方向垂直于 r 和 F o
r 经小于
x 方向： m sin m0 sin 0 y 方向： ( f mg )t m cos m0 cos sin 由第一式 0 sin
第3章动量角动量
(3)动量守恒定律只适用于惯性系, 使用时所有速度必须相 对于同一惯性系。
(4)动量守恒定律是物理学中最普遍、最基本的定律之一。 在微观高速范围同样适用。
例3-3 如图,在光滑的水平面上,有一质量为M、长为l 的小车, 车上一端站有质量为m的人，起初m、M均静止，若人从车 的一端走到另一端，则人和车相对地面走过的距离为多少？
为ω，杆长均为l 。(2)如系统作加速转
动,系统的动量和角动量变化吗？
三、质点的角动量(动量矩)定理
Lrp
求
dL
导
d (r
p)
dr
p
r
dp
F
dt
dt
M
dL
dt
dt
dt
质点的角动量定理（微分形式）
质点所受合力对点O 的力矩, 等于质点对点O的角 动量的时间变化率。
M
dL
dt
改写
Mdt dL
t2 t1
F dt
p2
p1
(1)定理中的冲量指的是质点所受合力的冲量,或者质点所
受冲量的矢量和。
I
t2 t1
F合
dt
＝ ＝
t2 t1
(
F1＋F2＋＋Fn
)
d
t
t2 t1
F1dt
t2 t1
F2dt＋
＋
t2 t1
Fndt ＝
i 1
Ii
(2)冲量是过程量,动量是状态量,冲量的方向可用动量变化的
由动量定理 I p2 得 p1
(3) 2.7 m/s
（2）3s末质点的加速度
a(3) F (3) 1.5 m/s2 m
3.1.2 质点系的动量定理 动量守恒定律
(4)动量守恒定律是物理学中最普遍、最基本的定律之一。 在微观高速范围同样适用。
例3-3 如图,在光滑的水平面上,有一质量为M、长为l 的小车, 车上一端站有质量为m的人，起初m、M均静止，若人从车 的一端走到另一端，则人和车相对地面走过的距离为多少？
为ω，杆长均为l 。(2)如系统作加速转
动,系统的动量和角动量变化吗？
三、质点的角动量(动量矩)定理
Lrp
求
dL
导
d (r
p)
dr
p
r
dp
F
dt
dt
M
dL
dt
dt
dt
质点的角动量定理（微分形式）
质点所受合力对点O 的力矩, 等于质点对点O的角 动量的时间变化率。
M
dL
dt
改写
Mdt dL
t2 t1
F dt
p2
p1
(1)定理中的冲量指的是质点所受合力的冲量,或者质点所
受冲量的矢量和。
I
t2 t1
F合
dt
＝ ＝
t2 t1
(
F1＋F2＋＋Fn
)
d
t
t2 t1
F1dt
t2 t1
F2dt＋
＋
t2 t1
Fndt ＝
i 1
Ii
(2)冲量是过程量,动量是状态量,冲量的方向可用动量变化的
由动量定理 I p2 得 p1
(3) 2.7 m/s
（2）3s末质点的加速度
a(3) F (3) 1.5 m/s2 m
3.1.2 质点系的动量定理 动量守恒定律
3.3 角动量 角动量守恒定律
3.3.3 刚体定轴转动的角动量守恒定律
➢ 若 M 0 ，则 L J 常量 .
讨论 1. 守恒条件 M 0
若 J 不变， 不变；若 J 变， 也变，但 L J 不变.
2. 内力矩不改变系统的角动量.
3. 在冲击等问题中 M in M ex L 常量
4. 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
的单位为s，F的单位为N，该力的作用时间为0.02 s。求：
（1）棒所获得的冲量矩；（2）棒所获得的角速度。
（1）冲量矩 t2 Mdt t2 Fldt t2 1104t 1dt
t1
t1
t1
o
1 104t 2 0.02 2(kg m2 /s)
2
2
（2） t2 Mdt J - 0 J t1
3.3 角动量 角动量守恒定律
力的时间累积效应 冲量、动量、动量定理.
冲量
力对时间的积分（矢量） I
t2
Fdt
t1
动量 p mv
t2 t1
Fdt
p2
p1
mv2
mv1
力矩的时间累积效应 冲量矩、角动量、角动量定理
第3章 刚体的定轴转动
3.3 角动量 角动量守恒定律
3.3.1 质点的角动量和刚体的角动量
1. 质点角动量
质点在垂直于 z 轴平面
z
上以角速度 作半径为 r
的圆周运动.
➢
质点角动量（相对圆心）
L
r
p
r
mv
大小: L rmvsin
o
r
mv
90 A
z L
mv
方向: 符合右手螺旋
L rmv mr 2 （圆周运动）
r
➢ 若 M 0 ，则 L J 常量 .
讨论 1. 守恒条件 M 0
若 J 不变， 不变；若 J 变， 也变，但 L J 不变.
2. 内力矩不改变系统的角动量.
3. 在冲击等问题中 M in M ex L 常量
4. 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
的单位为s，F的单位为N，该力的作用时间为0.02 s。求：
（1）棒所获得的冲量矩；（2）棒所获得的角速度。
（1）冲量矩 t2 Mdt t2 Fldt t2 1104t 1dt
t1
t1
t1
o
1 104t 2 0.02 2(kg m2 /s)
2
2
（2） t2 Mdt J - 0 J t1
3.3 角动量 角动量守恒定律
力的时间累积效应 冲量、动量、动量定理.
冲量
力对时间的积分（矢量） I
t2
Fdt
t1
动量 p mv
t2 t1
Fdt
p2
p1
mv2
mv1
力矩的时间累积效应 冲量矩、角动量、角动量定理
第3章 刚体的定轴转动
3.3 角动量 角动量守恒定律
3.3.1 质点的角动量和刚体的角动量
1. 质点角动量
质点在垂直于 z 轴平面
z
上以角速度 作半径为 r
的圆周运动.
➢
质点角动量（相对圆心）
L
r
p
r
mv
大小: L rmvsin
o
r
mv
90 A
z L
mv
方向: 符合右手螺旋
L rmv mr 2 （圆周运动）
r
3-4 角动量守恒定律
即
d 1 dr 2 2 mgr cos ( ml mr ) 2mr dt 12 dt
考虑到
7lg 12v0 dr g cost cos( t) dt 2 24v0 7l
t
3 – 4 角动量守恒定律
第三章 刚体的定轴转动
例 一杂技演员 M 由距水平跷板高为 h 处自由下落到跷 板的一端A,并把跷板另一端的演员N 弹了起来.设跷板是 匀质的,长度为l,质量为 m',跷板可绕中部支撑点C 在竖直 平面内转动,演员的质量均为m.假定演员M落在跷板上,与 跷板的碰撞是完全非弹性碰撞.问演员N可弹起多高?
解 碰撞前 M 落在 A点 的速度
vM (2gh)
l u 2
12
M
碰撞后的瞬间, M、N 具有相同的线速度
B
h
N C A l/2
l
3 – 4 角动量守恒定律
第三章 刚体的定轴转动
vM (2gh)
l u 2
12
M
h N
C A
把M、N和跷板作为 B l/2 一个系统, 角动量守恒 l l l 1 1 2 2 mvM J 2mu ml ml 2 2 12 2 解得
第三章 刚体的定轴转动
Lrp
dL d dp dr (r p) r p dt dt dt dt dL dp dr v, v p 0 r r F dt dt dt
dL M dt
3 质点的角动量守恒定律
M 0, L
恒矢量
质点所受对参考点 O 的合力矩为零时，质点对该 参考点 O 的角动量为一恒矢量.
第三章 刚体的定轴转动 3 – 4 角动量守恒定律 应用质点的角动量守恒定律可以证明
第三章-动量-角动量
对于同一点的角动量对时间的变化率，这一结论称为质点的角
动量定理。
质点的角动量定理可以写为
Mdt dL
其中 Mdt 称为dt 时间内力矩 M对质点的冲量矩。两边
积分有：
t2 t1
Mdt
L2
L1
上式表明：作用于质点的合外力矩M 从 t1 到 t2 时间间隔 内的冲量矩，等于质点在同一时间间隔内角动量的增量。
力心
例4、一质点在x-y平面内运动，已知质点的质量为20 g，在A 、
B 两位置处的速率都是20 m/s ，vA与X轴成45 o角，vB垂 直于y轴。求质点由A点到B点这段时间内，作用在质点
上外力对O点的总冲量矩（已知OA=2m，OB=4m）。
解： 由质点的角动量定理知：
y vB B
由A到B，角动量的方向均垂 直于x-y平面向上
标量式为
(3-5)
对于冲量 I 应注意：
（1）冲量是力对时间的积累作用。
I
t2
Fdt
t1
mv1
mv
mv2
（2）冲量是矢量，其方向与动量增量方向相同。 即 I 的方向与 P 或 mv 的方向相同。
对动量原理应注意：
（1） F 是指物体所受的合外力，I 是合外力的冲量。 （2） 动量原理是矢量式，常用其分量式。 （3） 动量原理用于惯性系。
②已知炮弹对炮车的相对速度为v ，仰角
为时速θ ，度由v速’ 的度水叠平加分原量理为，炮弹对V地的瞬
v’ x = v cosθ – V
系统总动量为 m (v cosθ - V) – MV 系统总动量的水平分量守恒方程：
m (v cos θ - V) – MV = 0
代入数字 解得：
v v
§2-3 角动量守恒定律
v F
γ
v lz r
O
）
θ
M z = M cos γ
= r F sin θ cos γ
y
3
x
二、
角动量和角动量定理
z
1、角动量 (angular momentum) 设质点的质量、位矢、速度 v v p v r、 v、 。 和动量分别为 m 、 质点相对参考点O的角动量定义为
v mv
v r
）
）
4
θ
v v w r1 , r2 , L , rn
v L = v li =
质点系的角动量为所有质点的角动量的矢量之 和，即
∑
n
i =1
∑
n
i =1
v v ri × m i v i
10
对每个质点，根据角动量定理列方程 v v v v v dln d l1 v dl2 M1 = ,M 2 = , ⋅ ⋅⋅ , M n = dt dt dt
即
v l = 恒矢量
若作用于质点的合力对参考点的力矩始终为零, 则质点对同一参考点的角动量将保持恒定。 注意： (1)这也是自然界普遍适用的一条基本规律。 v v v v v (2) M = 0，可以是r = 0,也可以是F = 0, 还可能是r 与F 同向或反向，例如有心力情况。 8
如果作用于质点的合力矩不为零，而合力矩沿Oz 轴的分量为零,则
v 当 ∑M =0 时
v L = 恒矢量
如果外力对参考点O的力矩的矢量和始终等于零， 那么质点系对同一参考点的角动量不随时间变化。 当
∑M
z
= 0 时 Lz = 恒量
上式称为质点系对轴的角动量守恒定律。
12
观察发现, 宇宙中存在着大大小小各种层次的天体 系统, 它们都具有旋转的盘状结构, 并且系统中的天体 基本上都朝同一方向转动, 无论是太阳系、银河系以 及众多的河外旋涡星系都是如此，这种现象的形成是 天体系统遵从角动量守恒定律的必然结果。
γ
v lz r
O
）
θ
M z = M cos γ
= r F sin θ cos γ
y
3
x
二、
角动量和角动量定理
z
1、角动量 (angular momentum) 设质点的质量、位矢、速度 v v p v r、 v、 。 和动量分别为 m 、 质点相对参考点O的角动量定义为
v mv
v r
）
）
4
θ
v v w r1 , r2 , L , rn
v L = v li =
质点系的角动量为所有质点的角动量的矢量之 和，即
∑
n
i =1
∑
n
i =1
v v ri × m i v i
10
对每个质点，根据角动量定理列方程 v v v v v dln d l1 v dl2 M1 = ,M 2 = , ⋅ ⋅⋅ , M n = dt dt dt
即
v l = 恒矢量
若作用于质点的合力对参考点的力矩始终为零, 则质点对同一参考点的角动量将保持恒定。 注意： (1)这也是自然界普遍适用的一条基本规律。 v v v v v (2) M = 0，可以是r = 0,也可以是F = 0, 还可能是r 与F 同向或反向，例如有心力情况。 8
如果作用于质点的合力矩不为零，而合力矩沿Oz 轴的分量为零,则
v 当 ∑M =0 时
v L = 恒矢量
如果外力对参考点O的力矩的矢量和始终等于零， 那么质点系对同一参考点的角动量不随时间变化。 当
∑M
z
= 0 时 Lz = 恒量
上式称为质点系对轴的角动量守恒定律。
12
观察发现, 宇宙中存在着大大小小各种层次的天体 系统, 它们都具有旋转的盘状结构, 并且系统中的天体 基本上都朝同一方向转动, 无论是太阳系、银河系以 及众多的河外旋涡星系都是如此，这种现象的形成是 天体系统遵从角动量守恒定律的必然结果。
8 刚体角动量定理 角动量守恒定律
m
p
质点对某参考点的角动量大 小反映其绕参考点旋转运动的 强弱. 2.4.3 质点的角动量定理 对圆周运动的质点 d M J J dt dJ dL M dt dt
P.7/34
大小:
L rmv sin
p
o
方向: 满足右手螺旋
r
质点绕参考点 作圆周运动
i
O
ri
vi
mi
J
P.10/34
第3章 刚体力学基础
2. 刚体定轴转动的角动量定理 刚体对z轴的总角动量
t2
t1
M z dt L2 L1 J 2 2 J11
Lz J
d d Lz M z J J dt dt
t
t0
M dt
称为冲量矩 又称角冲量
t2
t1
M z dt L2 L1 J 2 J1
3.2.4 定轴转动角动量守恒定律 刚体定轴转动的角动量守恒 定律: 刚体所受合外力矩为零, 则刚体的角动量保持不变.
刚体定轴转动的角动量定理: 在一段时间内, 刚体所受合外力 矩的冲量矩等于该时间内刚体 角动量的增量.
L J 恒矢量
M
定义: 力F 对参考点O 的力矩 M 的大小等于此力和力臂(从 参考点到力的作用线的垂直距 离)的乘积.
M1 M 2 M n
ri Fi r1 F1 r2 F2 rn Fn
M Fr Fr sin M rF
M z F r sin
第3章 刚体力学基础
转动定律
第三章动量与角动量分解
dP
dt F
dt
dt
dL
v
mv
r F
dt
称：M r F
dL
v mv
rF
dt
为质点所受合外力对同一固定点o的合外力矩
大小：M＝Frsin (为矢径与力之间的夹角)
方向：右手螺旋定则
单位v：mmNv
dL
＝0
M
o
r
F
rF M
dt
M
dL
角动量定理：质点所受的合外力矩
解：卫星在运动中仅受地球的引力（其他引力比此小得多， 可忽略），该引力始终指向地心O，因而对O的外力矩为 零，所以卫星对O的角动量守恒。
卫星在近地点的角动量 L1 mv1 (R l1 )
卫星在远地点的角动量 L2 mv2 (R l2 )
因角动量守恒 mv1 (R l1 ) mv 2 (R l2 )
t
0 (N-mg)dt mvz mv0 m 2gh
Nt mgt m 2gh 6.5
N
1 2h
0.55 56
1
1
mg t g
t
5.5×102
△t为10-1s、10-2s、10-3s、10-4s 5.5×103
计算结果表明，撞击作用持续时间愈短，平均 冲击力N与重力之比就愈大。若作用的持续时间 只有10-4秒时，N比mg要大5500倍，相比之下 重力微不足道。因此，在许多打击和碰撞问题 中，只要持续作用时间足够短，略去诸如重力 这类有限大小的力是合理的。
I
t2
Fdt＝P
mv2
- mv1
t1
质点所受合外力Biblioteka 冲量，等于该质点动量 的增量。这个结论称为质点的动量定理。
3 角动量守恒定律(收藏)
dt t 0 t 2 t 0 t
2 m
2m
3.3 刚体的运动
3.3.1 刚体
刚体——是受力时不改变形状和体积的物体， 是理想模型。
特点
(1) 是一个质点组（刚体可以看成由许多质点 组成，每一个质点叫做刚体的一个质元）
(2) 质点组内任意两点间的距离保持不变.
3.3 刚体的运动 3.3.2 平动和转动
dm绕给定轴的转动惯量为
or
m
R 2
dr
dJr2dm
积分得
dm 2rdr
JR r2 d m R r2 2rd 1 rR 4 1 m 2R
0
0
2
2
3.4 刚体的角动量 转动定律 转动惯量
六、转动定律的应用
[例题] 一个质量为M、半径为R的定滑轮（均匀圆盘）上面绕有细绳。绳的一 端固定在滑轮上，另一端系一质量为m的物体。忽略轴处摩擦，求物体m下滑 的加速度a和滑轮转动的角加速度β。
点的联动问题。 4、掌握角动量守恒定律及其适用条件，并能用来分析、计算有关问题。
3.1 质点的角动量 力矩
3.1.1 质点的角动量 一个质量为m的质点以速度 v 运动，其动量为 p ，若其相对于定点O的位置 矢量为r，则其角动量定义为：
Lrp 角动量是矢量，其大小为： L
Lrm vsin 式中 为 r 与 p 的夹角；
注：与牛顿第二定律地位相当
3.4 刚体的角动量 转动定律 转动惯量
三、转动惯量J
1、质点刚体：
J mr2
J的单位：kgm2
2、离散刚体：
n
J miri2
量纲: ML2
i 1
3、质量连续分布的刚体：
J r2dm V
3-2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律
第三章 刚体与流体
t2 t1
M
dt
J
J11
3 – 2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律
二、刚体定轴转动的角动量守恒定律
t2 t1
M
dt
J2
J1
若M 0 , 则J 常量
如果刚体所受合外力矩等于零，或者不受外力矩的 作用，则刚体的角动量守恒．此即角动量守恒定律．
茹科夫斯基转椅
第三章 刚体与流体
3 – 2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律
第三章 刚体与流体
3 – 2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律
例4 一根长度为L=0.60m的均匀棒，绕其端点O转
动时的转动惯量为J=0.12kgm2．当棒摆到竖直位置
时，其角速度为0=2.4rad/s．此时棒的下端和一质量
第三章 刚体与流体
3 – 2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律
M d L d(J) t2 M d t 2d(J)
dt
dt
t1
1
t2 t1
M
dt
J2
J1
——角动量定理
合外力矩的冲量矩（角冲量）
刚体所受合外力矩的冲量矩等于在这段时间内刚体 角动量的增量．
t1 t2时间内，J1 J2
3 – 2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律
3-2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律 一、刚体定轴转动的角动量 角动量定理
转动定律 M J J d d(J)
dt dt
令 L J，称为绕定轴转动刚体的角动量，则
M dL dt
刚体绕定轴转动时，作用于刚体的合外力矩 M 等于 刚体绕此轴的角动量 L 随时间的变化率.
t2 t1
M
dt
J
J11
3 – 2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律
二、刚体定轴转动的角动量守恒定律
t2 t1
M
dt
J2
J1
若M 0 , 则J 常量
如果刚体所受合外力矩等于零，或者不受外力矩的 作用，则刚体的角动量守恒．此即角动量守恒定律．
茹科夫斯基转椅
第三章 刚体与流体
3 – 2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律
第三章 刚体与流体
3 – 2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律
例4 一根长度为L=0.60m的均匀棒，绕其端点O转
动时的转动惯量为J=0.12kgm2．当棒摆到竖直位置
时，其角速度为0=2.4rad/s．此时棒的下端和一质量
第三章 刚体与流体
3 – 2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律
M d L d(J) t2 M d t 2d(J)
dt
dt
t1
1
t2 t1
M
dt
J2
J1
——角动量定理
合外力矩的冲量矩（角冲量）
刚体所受合外力矩的冲量矩等于在这段时间内刚体 角动量的增量．
t1 t2时间内，J1 J2
3 – 2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律
3-2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律 一、刚体定轴转动的角动量 角动量定理
转动定律 M J J d d(J)
dt dt
令 L J，称为绕定轴转动刚体的角动量，则
M dL dt
刚体绕定轴转动时，作用于刚体的合外力矩 M 等于 刚体绕此轴的角动量 L 随时间的变化率.
第3章 角动量守恒定律
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3.2 质点的角动量守恒定律
力矩等于零，有三种情况：
(1) r 0 , M 0 (2) F 0 , M 0 (3) r 0 , F 0 , M r F 0
这三种情况分别为： (1) 质点处在定点上静止不动； (2) 质点孤立，不受力的作用； (3) 质点受“有心力”作用
规定逆时针转向 为正。
p x
O
刚体定轴转动的运动学方程
= (t) (2) 角位移
为 t时间内刚体所转过的角度。
p x O
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3.3 刚体的运动
(3) 角速度 角速度 lim Δ d Δt0 Δt dt 在定轴转动中，转向只可能有
M Fd
因 Fsin θ F ，即合力切向分量，所以：
M r F
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3.2 质点的角动量守恒定律
M dL dt
由上式：当 M 0 时守恒定律：质点在运动过程中，所 受的合外力矩等于零时，质点对给定点（转轴）的角动 量保持不变。
(1) 刚体上各点都在垂直于固定轴的平面内(转动平面) 做圆周运动.其圆心都在一条固定不动的直线(转轴)上.
(2) 刚体上各点到转轴的垂直线在同样的时间内所转过 的角度都相同。因而用角量描述刚体的运动.
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3.3 刚体的运动
2. 定轴转动的描述
(1) 角坐标 称角位置或角坐标。
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第3章 角动量守恒定律
第3章 角动量守恒定律
3.1 质点的角动量 力矩 3.2 质点的角动量守恒定律
主要
3.3 刚体的角动量守恒定律
大学物理 第三章 角动量守恒定律 刚体汇总
求它由此下摆 角时的角加速度和角速度。
解：棒下摆为加速过程，外
力矩为重力对O的力矩。在 O
棒上取质元dm,当棒处在下
摆 角时，棒 的重力矩为：
M l d(mg)
l
设 m
L
L
gl sin(
)dl
1
mgL cos
0
2
2
X dm
dmg
J 1 mL2
3
M
1 mgL cos
2
3g cos
J
1 mL2
整个刚体绕轴的角动量为所有质元角动量之和：
L Li ( miri2 )
i
i
令：J miri2 称为刚体对轴的转动惯量。
i
则刚体对轴的角动量为：L J
力对转轴的力矩
f 在转动平面内 Mz r f
Mz fr sin
Z
Mz
Or
d
P
f
转动平面
方向如图
例题P40：3-3
f 不在转动平面内，有时间可以补讲。
（2）通过棒的中点并与棒垂直的转轴的转动惯量。
解：（1） m
l
dm dx
x dx
x l
J x2dm l x2dx 1l3 1 ml2
0
33
例1、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动 惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。
解: J R2dm R2 dm mR2
OR dm
例2、求质量为m、半径为R、厚为l 的均匀圆 盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。
平行轴定理
若有任一轴与过质心的轴平行，相距
为d，刚体对其转动惯量为J，则有：
l
J＝JC＋md2。
z
刚体的质心： xc
解：棒下摆为加速过程，外
力矩为重力对O的力矩。在 O
棒上取质元dm,当棒处在下
摆 角时，棒 的重力矩为：
M l d(mg)
l
设 m
L
L
gl sin(
)dl
1
mgL cos
0
2
2
X dm
dmg
J 1 mL2
3
M
1 mgL cos
2
3g cos
J
1 mL2
整个刚体绕轴的角动量为所有质元角动量之和：
L Li ( miri2 )
i
i
令：J miri2 称为刚体对轴的转动惯量。
i
则刚体对轴的角动量为：L J
力对转轴的力矩
f 在转动平面内 Mz r f
Mz fr sin
Z
Mz
Or
d
P
f
转动平面
方向如图
例题P40：3-3
f 不在转动平面内，有时间可以补讲。
（2）通过棒的中点并与棒垂直的转轴的转动惯量。
解：（1） m
l
dm dx
x dx
x l
J x2dm l x2dx 1l3 1 ml2
0
33
例1、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动 惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。
解: J R2dm R2 dm mR2
OR dm
例2、求质量为m、半径为R、厚为l 的均匀圆 盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。
平行轴定理
若有任一轴与过质心的轴平行，相距
为d，刚体对其转动惯量为J，则有：
l
J＝JC＋md2。
z
刚体的质心： xc
角动量守恒
r L
O
r φ r m
r v
说明： 说明：
（1）质点对点的角动量，不但与质点运动有关， ）质点对点的角动量，不但与质点运动有关， 且与参考点位置有关。 且与参考点位置有关。
r r 圆周运动时， （2）质点做匀速率圆周运动时，由于 r ⊥ v ， ）质点做匀速率圆周运动时
质点对圆心的角动量大小为
L = rmv = mr ω
（3）
ml0 v0 sin θ = l ( m + m′)v
而且
所以
r dr r r r ×v = v ×v = 0 dt r r d r r r × F = ( r × mv ) dt
r r r r r r Q M = r × F ； L = r × mv r r dL ∴ M= dt r r 上式还可以写成 Mdt = dL
若考虑一过程， 若考虑一过程，时间从t1-t2，两端积分
d
p y
三、角动量守恒定律和角动量定理 角动量守恒定律和角动量定理 1. 角动量定理
由牛顿第二定律
r r r dp d ( mv ) F= = dt dt
r r r d ( mv ) r r 有： 两边同时叉乘r 有： r × F = r × dt r r r r d ( mv ) dr r d r ( r × mv ) = r × 考虑到 + × mv dt dt dt
O
r v0
l0
l
r v
θ
m
m′
解：简单分析可知： 简单分析可知： （1）子弹与滑块的碰撞过程动量守恒 ） （2）滑块运动过程机械能守恒、角动量守恒 ）滑块运动过程机械能守恒、 为子弹打入滑块的瞬间它们的共同速度，当弹簧伸长至l 设v’为子弹打入滑块的瞬间它们的共同速度，当弹簧伸长至 于是有 时滑块的速度v与 的夹角为 时滑块的速度 与l的夹角为θ，于是有
第03章守恒定律及其在力学中的应用3(角动量)
对“m1+m2 + 轻绳 + 滑轮”系统：
条件：M 外 0 所以角动量守恒 设两小孩分别以 v1 , v2 速度上升。
外力：m1 g , m2 g , N
N R
0
r L1 m1 Rv1 ∥ ∥ m1 L2 r2 m2 v2 m2 ( R r// ) v2 m2 R v2
i 1
Fi
mi
m1
i 1
第i个质点角动量的时间变化率 dLi mj ri ( Fi f ij ) dt i j ri f ji 质点系角动量的时间变化率 dL fij ) 0 ri Fi (ri rj dt i i j i M 外 M内 M 外 ri Fi M内 ( ri f ij ) 0 i i i j dL M外 M 外 0 时 L Li 常矢量 dt i
M
O
r
r
A
F
大小
M Fr sin Fr
dL 或 M dt
方向：右手螺旋
Mdt dL Mdt冲量矩
质点对某固定点所受的合外力矩等于它对该点角动量的时间变化率
t2
t1
对同一参考点O,质点所受的冲量矩等 Mdt L2 L1 于质点角动量的增量。
O
L
vB
k
L0
B
v0
M A
解: (2) AB, 只有弹力作功,
1 2
机械能守恒
mv0 (m M ) v A
(1) m和M相撞时, 系统的动量守恒
第3章刚体转动动能和角动量
2 Mdθ = Jω 2 / 2 − J 0ω 0 / 2 ∫
17
牛顿力学的知识结构
外 力 牛 顿 第 二 定 律
F = dP dt M = dL dt
力 对时间累积
动 量 守 恒 作 功 机 械 能 守 恒 外 力 矩 为 零 角 动 量 守 恒
18
力对时间累积
为 牛 顿 第 三 定 律
12 21
df = µ gdm m σ= 2 dm = σ 2π rdr πR 2 R 2 M = − ∫ µσ 2π gr dr = − mg µ R 0 3 2π 4π A = ∫ Mdθ = − mg µ R 0 3 dM = −rdf
Байду номын сангаас
r
6
光滑， 例2：已知：均匀直杆质量为 ，长为 ，轴o光滑， ：已知：均匀直杆质量为m，长为l， 初始静止在水平位置。 AO = l / 4 初始静止在水平位置。
ω0 例1：在摩擦系数为µ桌面上有 细杆， 细杆，质量为 m、长度为 l， 、 ， m, l o 以初始角速度 ω0 绕垂直于杆 的质心轴转动， 的质心轴转动，问细杆经过多 µ 长时间停止转动。 长时间停止转动。 以细杆为研究对象，受力分析， 解：以细杆为研究对象，受力分析，重力及桌面的 支持力不产生力矩，只有摩擦力产生力矩。 支持力不产生力矩，只有摩擦力产生力矩。
刚体定轴转动动能 角动量
1
转动中的功和能
一、力矩的功
设刚体上P点受到外力 的作用， 设刚体上 点受到外力 F 的作用， 点受到 位移为 d r , 功为 d A ,
z
0′
F ∥
r
F
F⊥
0′
dθ
dr
P
r
P
17
牛顿力学的知识结构
外 力 牛 顿 第 二 定 律
F = dP dt M = dL dt
力 对时间累积
动 量 守 恒 作 功 机 械 能 守 恒 外 力 矩 为 零 角 动 量 守 恒
18
力对时间累积
为 牛 顿 第 三 定 律
12 21
df = µ gdm m σ= 2 dm = σ 2π rdr πR 2 R 2 M = − ∫ µσ 2π gr dr = − mg µ R 0 3 2π 4π A = ∫ Mdθ = − mg µ R 0 3 dM = −rdf
Байду номын сангаас
r
6
光滑， 例2：已知：均匀直杆质量为 ，长为 ，轴o光滑， ：已知：均匀直杆质量为m，长为l， 初始静止在水平位置。 AO = l / 4 初始静止在水平位置。
ω0 例1：在摩擦系数为µ桌面上有 细杆， 细杆，质量为 m、长度为 l， 、 ， m, l o 以初始角速度 ω0 绕垂直于杆 的质心轴转动， 的质心轴转动，问细杆经过多 µ 长时间停止转动。 长时间停止转动。 以细杆为研究对象，受力分析， 解：以细杆为研究对象，受力分析，重力及桌面的 支持力不产生力矩，只有摩擦力产生力矩。 支持力不产生力矩，只有摩擦力产生力矩。
刚体定轴转动动能 角动量
1
转动中的功和能
一、力矩的功
设刚体上P点受到外力 的作用， 设刚体上 点受到外力 F 的作用， 点受到 位移为 d r , 功为 d A ,
z
0′
F ∥
r
F
F⊥
0′
dθ
dr
P
r
P
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3.3 刚体的运动
2. 定轴转动的描述 (1) 角坐标θ
ω
p O x
θ 称角位置或角坐标。 角位置或角坐标。
为正。 规定逆时针转向θ 为正。 刚体定轴转动的运动学方程
θ = θ (t)
(2) 角位移 θ 角位移∆ ∆θ 为 ∆t时间内刚体所转过的角度。 时间内刚体所转过的角度。 时间内刚体所转过的角度
M = r Fτ
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3.2 质点的角动量守恒定律
dL M = dt
由上式： 由上式：当 M = 0 时 或
L= L 0
L =常矢量
质点的角动量守恒定律：质点在运动过程中，所 质点的角动量守恒定律：质点在运动过程中， 受的合外力矩等于零时，质点对给定点（转轴） 受的合外力矩等于零时，质点对给定点（转轴）的角动 量保持不变。 量保持不变。
又因为
L
和
ω
的方向相同 J称为转动惯量 称为转动惯量
∴L= Jω
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3.4 刚体的角动量 转动定律 转动惯量
二、刚体的转动定律
由刚体定轴转动的角动量定理
M
Q
可得
L = Jω
dω M = J dt
dL = dt
= Jβ
β 为刚体的角加速度
记
∴
M = Jβ
刚体的转动定律：刚体转动过程中， 刚体的转动定律：刚体转动过程中，刚体的角加速度与 作用在刚体上的合外力矩成正比与转动惯量成反比。 作用在刚体上的合外力矩成正比与转动惯量成反比。 注：与牛顿第二定律地位相当
0
t
θ = θ 0 + ωt
dω = β (t )dt
匀变速转动 =常量 常量
ω − ω0 = ∫ β (t )dt
0
t
ω = ω0 + β t
1 2 θ = θ 0 + ωt + βt 2 2 2 ω − ω0 = 2β（θ − θ0）
与质点匀变速直线运动公式相对应。 与质点匀变速直线运动公式相对应。
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3.3 刚体的运动
(6) 角量与线量的关系 线量——质点做圆周运动的位移 、速度 、加速度 质点做圆周运动的位移r、速度v、加速度a 线量 质点做圆周运动的位移 角量——描述刚体转动整体运动的 θ，ω，β 描述刚体转动整体运动的 角量 弧长 线速度 切向加速度 法向加速度
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第 3章
角动量守恒定律
基本要求
1、正确理解角动量的概念，理解角动量定理。 、正确理解角动量的概念， 2、正确理解转动惯量的概念，会计算几种规则形状物 、正确理解转动惯量的概念， 体的转动惯量。 体的转动惯量。 3、掌握刚体绕定轴的转动定律，并能熟练应用它来求 、掌握刚体绕定轴的转动定律， 解定轴转动刚体和质点的联动问题。 解定轴转动刚体和质点的联动问题。 4、掌握角动量守恒定律及其适用条件，并能用来分析、 、掌握角动量守恒定律及其适用条件，并能用来分析、 计算有关问题。 计算有关问题。
s = θr
v = rω
at = βr 2 v an = = ω 2r r
y
r et
O θ r s x
的原点必须在转轴上. 注: r 的原点必须在转轴上
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3.4 刚体的角动量 转动定律 转动惯量
一、刚体定轴转动的角动量 个质点m 第i 个质点 i 相对于给定轴的 角动量为 大小： 大小：
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3.3 刚体的运动
3.3.1 刚体
刚体——是受力时不改变形状和体积的物体， 是受力时不改变形状和体积的物体， 刚体 是受力时不改变形状和体积的物体 是理想模型。 是理想模型。 特点 (1) 是一个质点组（刚体可以看成由许多质点 是一个质点组（ 组成，每一个质点叫做刚体的一个质元） 组成，每一个质点叫做刚体的一个质元） (2) 质点组内任意两点间的距离保持不变 质点组内任意两点间的距离保持不变.
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p O
θ
x
3.3 刚体的运动
(3) 角速度
∆θ dθ lim = 角速度 ω = ∆t → 0 ∆t dt
在定轴转动中， 在定轴转动中，转向只可能有 两个方向。 两个方向。取逆时针转动ω >0， ， 顺时针转动ω < 0。 。 每分转 n 转 (4) 角加速度 角加速度
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3.2 质点的角动量守恒定律
例3-1 自看 例3-2 利用角动量守恒定律导出开普勒行星运动第二 定律； 定律；行星对太阳的位矢在单位时间内扫过的 面积为常量。 面积为常量。 解：行星绕太阳运动过程中，受太阳吸引力的作 行星绕太阳运动过程中， 是有心力，力矩为零，角动量守恒。 用，是有心力，力矩为零，角动量守恒。 行星相对于太阳任意时刻的角动量
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3.1 质点的角动量 力矩
3.1.2 质点的角动量定理
质点m对定点 的角动量 对时间求导， 质点 对定点O的角动量 L= r × p 对时间求导，得： 对定点
dL d = (r × p) dt dt dr dp = × p+r× dt dt = v × mv + r × F = r×F
L
L = r m v sin ϕ
的夹角； 式中 ϕ为 r 与 p 的夹角；
ϕ
p
m r O
角动量的方向：垂直于r和 所组成的平面 所组成的平面， 角动量的方向 ： 垂直于 和 p所组成的平面， 其指向 由右手螺旋法则确定
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3.1 质点的角动量 力矩
3.1.1 质点的角动量
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普通高等教育“十一五” 普通高等教育“十一五”国家级规划教材
大学物理（第二版） 大学物理（第二版）
袁玉珍 武步宇 陈钦生 主编
第 3 章
角动量守恒定律 课件制作者： 课件制作者：陈钦生
第 3章
角动量守恒定律
3.1 质点的角动量
力矩
3.2 质点的角动量守恒定律
主要 内容
3.3 刚体的角动量守恒定律 3.4 刚体的角动量 转动定律 惯性定律 3.5 刚体的角动量守恒定律
dm = λdx = m dx l
dJ = x 2 dm = x 2 λ dx
两边积分得
m = x dx l
2
J =
∫
J
0
dJ =
∫
l
0
m 2 1 x dx = ml l 3
2
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3.4 刚体的角动量 转动定律 转动惯量
[例3-4] 一质量为 ，长为 的细棒，求其对于 例 一质量为m，长为l的细棒 的细棒， (1) 通过棒的一端并与棒垂直轴的转动惯量； 通过棒的一端并与棒垂直轴的转动惯量； (2) 通过棒的中点并与棒垂直轴的转动惯量。 通过棒的中点并与棒垂直轴的转动惯量。 解：(2) 分析求解同 (1)
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3.2 质点的角动量守恒定律
力矩等于零，有三种情况： 力矩等于零，有三种情况：
(1) r = 0 , M = 0 (2) F = 0 , M = 0 (3) r ≠ 0 , F ≠ 0 , M = r × F = 0
这三种情况分别为： 这三种情况分别为： 质点处在定点上静止不动； (1) 质点处在定点上静止不动； 质点孤立，不受力的作用； (2) 质点孤立，不受力的作用； 质点受“有心力” (3) 质点受“有心力”作用
(1) 刚体上各点都在垂直于固定轴的平面内 转动平面 刚体上各点都在垂直于固定轴的平面内(转动平面 转动平面) 做圆周运动.其圆心都在一条固定不动的直线 转轴 做圆周运动 其圆心都在一条固定不动的直线(转轴 上. 其圆心都在一条固定不动的直线 转轴)上 (2) 刚体上各点到转轴的垂直线在同样的时间内所转过 的角度都相同。因而用角量描述刚体的运动. 的角度都相同。因而用角量描述刚体的运动 用角量描述刚体的运动
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3.3 刚体的运动
3.3.2 平动和转动
平动——刚体运动时 刚体内任一直线恒保持平行的 刚体运动时,刚体内任一直线恒保持平行的 平动 刚体运动时 运动。 运动。
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3.3 刚体的运动
转动 刚体运动时， 刚体运动时，其上各质 O’
元都绕同一直线作圆周运动， 元都绕同一直线作圆周运动，这 种运动称转动。该直线称为转轴。 种运动称转动。该直线称为转轴。 若转轴不动，称定轴转动。 若转轴不动， 定轴转动。 1. 定轴转动特征 O
Jc =
o'
12
ml
l
可以证明：绕任意平行于o'轴的转动惯量为 可以证明：绕任意平行于 轴的转动惯量为
J =
∫
J 0
dJ =
∫
l 2 − l 2
1 m 2 ml x dx = 12 l
l
2
dm = λdx =
m dx l
o'
x
dx
m
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3.4 刚体的角动量 转动定律 转动惯量
四、平行轴定理 m 轴是通过刚体质心的转轴， 设o' 轴是通过刚体质心的转轴，刚体 1 绕o'轴的转动惯量为 轴的转动惯量为 2 o h
J = ∫ r dm
V
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3.4 刚体的角动量 转动定律 转动惯量
[例3-4] 一质量为 ，长为 的细棒，求其对于 例 一质量为m，长为l的细棒 的细棒， (1) 通过棒的一端并与棒垂直轴的转动惯量； 通过棒的一端并与棒垂直轴的转动惯量； (2) 通过棒的中点并与棒垂直轴的转动惯量。 通过棒的中点并与棒垂直轴的转动惯量。 在距o点为 处取线元dx,其质量为 点为x处取线元 其质量为dm, 解： (1) 在距 点为 处取线元 其质量为 dm 绕给定轴的转动惯量为 l o x dx m
3.3 刚体的运动
2. 定轴转动的描述 (1) 角坐标θ
ω
p O x
θ 称角位置或角坐标。 角位置或角坐标。
为正。 规定逆时针转向θ 为正。 刚体定轴转动的运动学方程
θ = θ (t)
(2) 角位移 θ 角位移∆ ∆θ 为 ∆t时间内刚体所转过的角度。 时间内刚体所转过的角度。 时间内刚体所转过的角度
M = r Fτ
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3.2 质点的角动量守恒定律
dL M = dt
由上式： 由上式：当 M = 0 时 或
L= L 0
L =常矢量
质点的角动量守恒定律：质点在运动过程中，所 质点的角动量守恒定律：质点在运动过程中， 受的合外力矩等于零时，质点对给定点（转轴） 受的合外力矩等于零时，质点对给定点（转轴）的角动 量保持不变。 量保持不变。
又因为
L
和
ω
的方向相同 J称为转动惯量 称为转动惯量
∴L= Jω
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3.4 刚体的角动量 转动定律 转动惯量
二、刚体的转动定律
由刚体定轴转动的角动量定理
M
Q
可得
L = Jω
dω M = J dt
dL = dt
= Jβ
β 为刚体的角加速度
记
∴
M = Jβ
刚体的转动定律：刚体转动过程中， 刚体的转动定律：刚体转动过程中，刚体的角加速度与 作用在刚体上的合外力矩成正比与转动惯量成反比。 作用在刚体上的合外力矩成正比与转动惯量成反比。 注：与牛顿第二定律地位相当
0
t
θ = θ 0 + ωt
dω = β (t )dt
匀变速转动 =常量 常量
ω − ω0 = ∫ β (t )dt
0
t
ω = ω0 + β t
1 2 θ = θ 0 + ωt + βt 2 2 2 ω − ω0 = 2β（θ − θ0）
与质点匀变速直线运动公式相对应。 与质点匀变速直线运动公式相对应。
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3.3 刚体的运动
(6) 角量与线量的关系 线量——质点做圆周运动的位移 、速度 、加速度 质点做圆周运动的位移r、速度v、加速度a 线量 质点做圆周运动的位移 角量——描述刚体转动整体运动的 θ，ω，β 描述刚体转动整体运动的 角量 弧长 线速度 切向加速度 法向加速度
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第 3章
角动量守恒定律
基本要求
1、正确理解角动量的概念，理解角动量定理。 、正确理解角动量的概念， 2、正确理解转动惯量的概念，会计算几种规则形状物 、正确理解转动惯量的概念， 体的转动惯量。 体的转动惯量。 3、掌握刚体绕定轴的转动定律，并能熟练应用它来求 、掌握刚体绕定轴的转动定律， 解定轴转动刚体和质点的联动问题。 解定轴转动刚体和质点的联动问题。 4、掌握角动量守恒定律及其适用条件，并能用来分析、 、掌握角动量守恒定律及其适用条件，并能用来分析、 计算有关问题。 计算有关问题。
s = θr
v = rω
at = βr 2 v an = = ω 2r r
y
r et
O θ r s x
的原点必须在转轴上. 注: r 的原点必须在转轴上
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3.4 刚体的角动量 转动定律 转动惯量
一、刚体定轴转动的角动量 个质点m 第i 个质点 i 相对于给定轴的 角动量为 大小： 大小：
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3.3 刚体的运动
3.3.1 刚体
刚体——是受力时不改变形状和体积的物体， 是受力时不改变形状和体积的物体， 刚体 是受力时不改变形状和体积的物体 是理想模型。 是理想模型。 特点 (1) 是一个质点组（刚体可以看成由许多质点 是一个质点组（ 组成，每一个质点叫做刚体的一个质元） 组成，每一个质点叫做刚体的一个质元） (2) 质点组内任意两点间的距离保持不变 质点组内任意两点间的距离保持不变.
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p O
θ
x
3.3 刚体的运动
(3) 角速度
∆θ dθ lim = 角速度 ω = ∆t → 0 ∆t dt
在定轴转动中， 在定轴转动中，转向只可能有 两个方向。 两个方向。取逆时针转动ω >0， ， 顺时针转动ω < 0。 。 每分转 n 转 (4) 角加速度 角加速度
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3.2 质点的角动量守恒定律
例3-1 自看 例3-2 利用角动量守恒定律导出开普勒行星运动第二 定律； 定律；行星对太阳的位矢在单位时间内扫过的 面积为常量。 面积为常量。 解：行星绕太阳运动过程中，受太阳吸引力的作 行星绕太阳运动过程中， 是有心力，力矩为零，角动量守恒。 用，是有心力，力矩为零，角动量守恒。 行星相对于太阳任意时刻的角动量
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3.1 质点的角动量 力矩
3.1.2 质点的角动量定理
质点m对定点 的角动量 对时间求导， 质点 对定点O的角动量 L= r × p 对时间求导，得： 对定点
dL d = (r × p) dt dt dr dp = × p+r× dt dt = v × mv + r × F = r×F
L
L = r m v sin ϕ
的夹角； 式中 ϕ为 r 与 p 的夹角；
ϕ
p
m r O
角动量的方向：垂直于r和 所组成的平面 所组成的平面， 角动量的方向 ： 垂直于 和 p所组成的平面， 其指向 由右手螺旋法则确定
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3.1 质点的角动量 力矩
3.1.1 质点的角动量
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普通高等教育“十一五” 普通高等教育“十一五”国家级规划教材
大学物理（第二版） 大学物理（第二版）
袁玉珍 武步宇 陈钦生 主编
第 3 章
角动量守恒定律 课件制作者： 课件制作者：陈钦生
第 3章
角动量守恒定律
3.1 质点的角动量
力矩
3.2 质点的角动量守恒定律
主要 内容
3.3 刚体的角动量守恒定律 3.4 刚体的角动量 转动定律 惯性定律 3.5 刚体的角动量守恒定律
dm = λdx = m dx l
dJ = x 2 dm = x 2 λ dx
两边积分得
m = x dx l
2
J =
∫
J
0
dJ =
∫
l
0
m 2 1 x dx = ml l 3
2
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3.4 刚体的角动量 转动定律 转动惯量
[例3-4] 一质量为 ，长为 的细棒，求其对于 例 一质量为m，长为l的细棒 的细棒， (1) 通过棒的一端并与棒垂直轴的转动惯量； 通过棒的一端并与棒垂直轴的转动惯量； (2) 通过棒的中点并与棒垂直轴的转动惯量。 通过棒的中点并与棒垂直轴的转动惯量。 解：(2) 分析求解同 (1)
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3.2 质点的角动量守恒定律
力矩等于零，有三种情况： 力矩等于零，有三种情况：
(1) r = 0 , M = 0 (2) F = 0 , M = 0 (3) r ≠ 0 , F ≠ 0 , M = r × F = 0
这三种情况分别为： 这三种情况分别为： 质点处在定点上静止不动； (1) 质点处在定点上静止不动； 质点孤立，不受力的作用； (2) 质点孤立，不受力的作用； 质点受“有心力” (3) 质点受“有心力”作用
(1) 刚体上各点都在垂直于固定轴的平面内 转动平面 刚体上各点都在垂直于固定轴的平面内(转动平面 转动平面) 做圆周运动.其圆心都在一条固定不动的直线 转轴 做圆周运动 其圆心都在一条固定不动的直线(转轴 上. 其圆心都在一条固定不动的直线 转轴)上 (2) 刚体上各点到转轴的垂直线在同样的时间内所转过 的角度都相同。因而用角量描述刚体的运动. 的角度都相同。因而用角量描述刚体的运动 用角量描述刚体的运动
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3.3 刚体的运动
3.3.2 平动和转动
平动——刚体运动时 刚体内任一直线恒保持平行的 刚体运动时,刚体内任一直线恒保持平行的 平动 刚体运动时 运动。 运动。
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3.3 刚体的运动
转动 刚体运动时， 刚体运动时，其上各质 O’
元都绕同一直线作圆周运动， 元都绕同一直线作圆周运动，这 种运动称转动。该直线称为转轴。 种运动称转动。该直线称为转轴。 若转轴不动，称定轴转动。 若转轴不动， 定轴转动。 1. 定轴转动特征 O
Jc =
o'
12
ml
l
可以证明：绕任意平行于o'轴的转动惯量为 可以证明：绕任意平行于 轴的转动惯量为
J =
∫
J 0
dJ =
∫
l 2 − l 2
1 m 2 ml x dx = 12 l
l
2
dm = λdx =
m dx l
o'
x
dx
m
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3.4 刚体的角动量 转动定律 转动惯量
四、平行轴定理 m 轴是通过刚体质心的转轴， 设o' 轴是通过刚体质心的转轴，刚体 1 绕o'轴的转动惯量为 轴的转动惯量为 2 o h
J = ∫ r dm
V
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3.4 刚体的角动量 转动定律 转动惯量
[例3-4] 一质量为 ，长为 的细棒，求其对于 例 一质量为m，长为l的细棒 的细棒， (1) 通过棒的一端并与棒垂直轴的转动惯量； 通过棒的一端并与棒垂直轴的转动惯量； (2) 通过棒的中点并与棒垂直轴的转动惯量。 通过棒的中点并与棒垂直轴的转动惯量。 在距o点为 处取线元dx,其质量为 点为x处取线元 其质量为dm, 解： (1) 在距 点为 处取线元 其质量为 dm 绕给定轴的转动惯量为 l o x dx m