第3章 角动量守恒定律
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p O
θ
x
3.3 刚体的运动
(3) 角速度
∆θ dθ lim = 角速度 ω = ∆t → 0 ∆t dt
在定轴转动中， 在定轴转动中，转向只可能有 两个方向。 两个方向。取逆时针转动ω >0， ， 顺时针转动ω < 0。 。 每分转 n 转 (4) 角加速度 角加速度
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3.3 刚体的运动
3.3.2 平动和转动
平动——刚体运动时 刚体内任一直线恒保持平行的 刚体运动时,刚体内任一直线恒保持平行的 平动 刚体运动时 运动。 运动。
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3.3 刚体的运动
转动 刚体运动时， 刚体运动时，其上各质 O’
元都绕同一直线作圆周运动， 元都绕同一直线作圆周运动，这 种运动称转动。该直线称为转轴。 种运动称转动。该直线称为转轴。 若转轴不动，称定轴转动。 若转轴不动， 定轴转动。 1. 定轴转动特征 O
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3.1 质点的角动量 力矩
3.1.2 质点的角动量定理
质点m对定点 的角动量 对时间求导， 质点 对定点O的角动量 L= r × p 对时间求导，得： 对定点
dL d = (r × p) dt dt dr dp = × p+r× dt dt = v × mv + r × F = r×F
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3.3 刚体的运动
(6) 角量与线量的关系 线量——质点做圆周运动的位移 、速度 、加速度 质点做圆周运动的位移r、速度v、加速度a 线量 质点做圆周运动的位移 角量——描述刚体转动整体运动的 θ，ω，β 描述刚体转动整体运动的 角量 弧长 线速度 切向加速度 法向加速度
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3.4 刚体的角动量 转动定律 转动Leabharlann Baidu量
三、转动惯量J 转动惯量 1、质点刚体： J = mr 、质点刚体： 2、离散刚体： J = 、离散刚体：
2
J的单位：kgm2 的单位： 的单位 量纲: 量纲 ML2
2
∑
i =1
n
m i ri 2
3、质量连续分布的刚体： 、质量连续分布的刚体：
J = ∫ r dm
V
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3.4 刚体的角动量 转动定律 转动惯量
[例3-4] 一质量为 ，长为 的细棒，求其对于 例 一质量为m，长为l的细棒 的细棒， (1) 通过棒的一端并与棒垂直轴的转动惯量； 通过棒的一端并与棒垂直轴的转动惯量； (2) 通过棒的中点并与棒垂直轴的转动惯量。 通过棒的中点并与棒垂直轴的转动惯量。 在距o点为 处取线元dx,其质量为 点为x处取线元 其质量为dm, 解： (1) 在距 点为 处取线元 其质量为 dm 绕给定轴的转动惯量为 l o x dx m
s = θr
v = rω
at = βr 2 v an = = ω 2r r
y
r et
O θ r s x
的原点必须在转轴上. 注: r 的原点必须在转轴上
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3.4 刚体的角动量 转动定律 转动惯量
一、刚体定轴转动的角动量 个质点m 第i 个质点 i 相对于给定轴的 角动量为 大小： 大小：
(1) 刚体上各点都在垂直于固定轴的平面内 转动平面 刚体上各点都在垂直于固定轴的平面内(转动平面 转动平面) 做圆周运动.其圆心都在一条固定不动的直线 转轴 做圆周运动 其圆心都在一条固定不动的直线(转轴 上. 其圆心都在一条固定不动的直线 转轴)上 (2) 刚体上各点到转轴的垂直线在同样的时间内所转过 的角度都相同。因而用角量描述刚体的运动. 的角度都相同。因而用角量描述刚体的运动 用角量描述刚体的运动
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普通高等教育“十一五” 普通高等教育“十一五”国家级规划教材
大学物理（第二版） 大学物理（第二版）
袁玉珍 武步宇 陈钦生 主编
第 3 章
角动量守恒定律 课件制作者： 课件制作者：陈钦生
第 3章
角动量守恒定律
3.1 质点的角动量
力矩
3.2 质点的角动量守恒定律
主要 内容
3.3 刚体的角动量守恒定律 3.4 刚体的角动量 转动定律 惯性定律 3.5 刚体的角动量守恒定律
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3.2 质点的角动量守恒定律
力矩等于零，有三种情况： 力矩等于零，有三种情况：
(1) r = 0 , M = 0 (2) F = 0 , M = 0 (3) r ≠ 0 , F ≠ 0 , M = r × F = 0
这三种情况分别为： 这三种情况分别为： 质点处在定点上静止不动； (1) 质点处在定点上静止不动； 质点孤立，不受力的作用； (2) 质点孤立，不受力的作用； 质点受“有心力” (3) 质点受“有心力”作用
J =
∫
J 0
dJ =
∫
l 2 − l 2
1 m 2 ml x dx = 12 l
l
2
dm = λdx =
m dx l
o'
x
dx
m
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3.4 刚体的角动量 转动定律 转动惯量
四、平行轴定理 m 轴是通过刚体质心的转轴， 设o' 轴是通过刚体质心的转轴，刚体 1 绕o'轴的转动惯量为 轴的转动惯量为 2 o h
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3.3 刚体的运动
3.3.1 刚体
刚体——是受力时不改变形状和体积的物体， 是受力时不改变形状和体积的物体， 刚体 是受力时不改变形状和体积的物体 是理想模型。 是理想模型。 特点 (1) 是一个质点组（刚体可以看成由许多质点 是一个质点组（ 组成，每一个质点叫做刚体的一个质元） 组成，每一个质点叫做刚体的一个质元） (2) 质点组内任意两点间的距离保持不变 质点组内任意两点间的距离保持不变.
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3.1 质点的角动量 力矩
3.1.1 质点的角动量
一个质量为m的质点以速度 v 运动，其动量为 p ，若 一个质量为 的质点以速度 运动， 其相对于定点O的位置矢量为 则其角动量定义为： 的位置矢量为r， 其相对于定点 的位置矢量为 ，则其角动量定义为：
L=r× p
角动量是矢量，其大小为： 角动量是矢量，其大小为：
A
L
Li = ri ×mivi
Li
ω
ri
mi
L i = rm i v sin 90
o
o
vi
= ri m i ( ri ω ) = m i ri 2 ω
由于所有质点的角动量的方向相同， 由于所有质点的角动量的方向相同，所以刚体的角动量为
L = ∑ Li = ∑ mi ri 2ω
i i
令 J =
∑
i
m i ri 2
0
t
θ = θ 0 + ωt
dω = β (t )dt
匀变速转动 =常量 常量
ω − ω0 = ∫ β (t )dt
0
t
ω = ω0 + β t
1 2 θ = θ 0 + ωt + βt 2 2 2 ω − ω0 = 2β（θ − θ0）
与质点匀变速直线运动公式相对应。 与质点匀变速直线运动公式相对应。
P(t+∆t )
θ +∆θ ∆
O
P(t) x θ
2πn πn = rad/s ω= 60 30
∆ ω dω β = lim = ∆t → 0 ∆ t dt
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3.3 刚体的运动
(5) 刚体定轴转动运动方程
dθ = ω(t )dt
匀速转动 ω = 常量
θ − θ 0 = ∫ ω (t ) d t
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3.3 刚体的运动
2. 定轴转动的描述 (1) 角坐标θ
ω
p O x
θ 称角位置或角坐标。 角位置或角坐标。
为正。 规定逆时针转向θ 为正。 刚体定轴转动的运动学方程
θ = θ (t)
(2) 角位移 θ 角位移∆ ∆θ 为 ∆t时间内刚体所转过的角度。 时间内刚体所转过的角度。 时间内刚体所转过的角度
Jc =
o'
12
ml
l
可以证明：绕任意平行于o'轴的转动惯量为 可以证明：绕任意平行于 轴的转动惯量为
又因为
L
和
ω
的方向相同 J称为转动惯量 称为转动惯量
∴L= Jω
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3.4 刚体的角动量 转动定律 转动惯量
二、刚体的转动定律
由刚体定轴转动的角动量定理
M
Q
可得
L = Jω
dω M = J dt
dL = dt
= Jβ
β 为刚体的角加速度
记
∴
M = Jβ
刚体的转动定律：刚体转动过程中， 刚体的转动定律：刚体转动过程中，刚体的角加速度与 作用在刚体上的合外力矩成正比与转动惯量成反比。 作用在刚体上的合外力矩成正比与转动惯量成反比。 注：与牛顿第二定律地位相当
L
L = r m v sin ϕ
的夹角； 式中 ϕ为 r 与 p 的夹角；
ϕ
p
m r O
角动量的方向：垂直于r和 所组成的平面 所组成的平面， 角动量的方向 ： 垂直于 和 p所组成的平面， 其指向 由右手螺旋法则确定
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3.1 质点的角动量 力矩
3.1.1 质点的角动量
M = r Fτ
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3.2 质点的角动量守恒定律
dL M = dt
由上式： 由上式：当 M = 0 时 或
L= L 0
L =常矢量
质点的角动量守恒定律：质点在运动过程中，所 质点的角动量守恒定律：质点在运动过程中， 受的合外力矩等于零时，质点对给定点（转轴） 受的合外力矩等于零时，质点对给定点（转轴）的角动 量保持不变。 量保持不变。
质点的角动量与质点的位矢有关。 质点的角动量与质点的位矢有关。 质点相对于O点做圆周运动时， 质点相对于 点做圆周运动时，位矢 r 与 p 处处垂 点做圆周运动时 故角动量大小可写为： 直， ϕ =1 ，故角动量大小可写为： sin
L = r m v = mr ω
2
L
v m r O
角动量方向： 角动量方向： 垂直于圆周轨道平面 角动量单位： 量纲： 角动量单位：kg.m2.s-1 ；量纲：ML2T-1
dm = λdx = m dx l
dJ = x 2 dm = x 2 λ dx
两边积分得
m = x dx l
2
J =
∫
J
0
dJ =
∫
l
0
m 2 1 x dx = ml l 3
2
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3.4 刚体的角动量 转动定律 转动惯量
[例3-4] 一质量为 ，长为 的细棒，求其对于 例 一质量为m，长为l的细棒 的细棒， (1) 通过棒的一端并与棒垂直轴的转动惯量； 通过棒的一端并与棒垂直轴的转动惯量； (2) 通过棒的中点并与棒垂直轴的转动惯量。 通过棒的中点并与棒垂直轴的转动惯量。 解：(2) 分析求解同 (1)
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第 3章
角动量守恒定律
基本要求
1、正确理解角动量的概念，理解角动量定理。 、正确理解角动量的概念， 2、正确理解转动惯量的概念，会计算几种规则形状物 、正确理解转动惯量的概念， 体的转动惯量。 体的转动惯量。 3、掌握刚体绕定轴的转动定律，并能熟练应用它来求 、掌握刚体绕定轴的转动定律， 解定轴转动刚体和质点的联动问题。 解定轴转动刚体和质点的联动问题。 4、掌握角动量守恒定律及其适用条件，并能用来分析、 、掌握角动量守恒定律及其适用条件，并能用来分析、 计算有关问题。 计算有关问题。
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3.1 质点的角动量 力矩
3.1.2 质点的角动量定理
力矩定义： 力矩定义： 力矩大小： 力矩大小：
M = r×F
M = r F sin θ
M =Fd
为力臂， 式中 rsinθ = d为力臂，则
即合力切向分量，所以： 因 Fsinθ = F ，即合力切向分量，所以： τ
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3.2 质点的角动量守恒定律
例3-1 自看 例3-2 利用角动量守恒定律导出开普勒行星运动第二 定律； 定律；行星对太阳的位矢在单位时间内扫过的 面积为常量。 面积为常量。 解：行星绕太阳运动过程中，受太阳吸引力的作 行星绕太阳运动过程中， 是有心力，力矩为零，角动量守恒。 用，是有心力，力矩为零，角动量守恒。 行星相对于太阳任意时刻的角动量
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3.2 质点的角动量守恒定律 恒矢量 L = r × mv =恒矢量
其大小为
L = rmv sin α =恒量 恒量
时间内， 设∆t时间内，位矢扫过的面积为 时间内
r L
太阳
1 ∆s = r∆r sin α 2
r r ∆r α v r r 行星 m
单位时间内， 单位时间内，位矢扫过的面积为 ds ∆s 1 ∆r 1 L = lim = r lim sin α = rmv sin α = =恒量 恒量 dt ∆ t → 0 ∆ t 2 ∆ t → 0 ∆ t 2m 2m
p O
θ
x
3.3 刚体的运动
(3) 角速度
∆θ dθ lim = 角速度 ω = ∆t → 0 ∆t dt
在定轴转动中， 在定轴转动中，转向只可能有 两个方向。 两个方向。取逆时针转动ω >0， ， 顺时针转动ω < 0。 。 每分转 n 转 (4) 角加速度 角加速度
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3.3 刚体的运动
3.3.2 平动和转动
平动——刚体运动时 刚体内任一直线恒保持平行的 刚体运动时,刚体内任一直线恒保持平行的 平动 刚体运动时 运动。 运动。
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3.3 刚体的运动
转动 刚体运动时， 刚体运动时，其上各质 O’
元都绕同一直线作圆周运动， 元都绕同一直线作圆周运动，这 种运动称转动。该直线称为转轴。 种运动称转动。该直线称为转轴。 若转轴不动，称定轴转动。 若转轴不动， 定轴转动。 1. 定轴转动特征 O
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3.1 质点的角动量 力矩
3.1.2 质点的角动量定理
质点m对定点 的角动量 对时间求导， 质点 对定点O的角动量 L= r × p 对时间求导，得： 对定点
dL d = (r × p) dt dt dr dp = × p+r× dt dt = v × mv + r × F = r×F
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3.3 刚体的运动
(6) 角量与线量的关系 线量——质点做圆周运动的位移 、速度 、加速度 质点做圆周运动的位移r、速度v、加速度a 线量 质点做圆周运动的位移 角量——描述刚体转动整体运动的 θ，ω，β 描述刚体转动整体运动的 角量 弧长 线速度 切向加速度 法向加速度
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3.4 刚体的角动量 转动定律 转动Leabharlann Baidu量
三、转动惯量J 转动惯量 1、质点刚体： J = mr 、质点刚体： 2、离散刚体： J = 、离散刚体：
2
J的单位：kgm2 的单位： 的单位 量纲: 量纲 ML2
2
∑
i =1
n
m i ri 2
3、质量连续分布的刚体： 、质量连续分布的刚体：
J = ∫ r dm
V
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3.4 刚体的角动量 转动定律 转动惯量
[例3-4] 一质量为 ，长为 的细棒，求其对于 例 一质量为m，长为l的细棒 的细棒， (1) 通过棒的一端并与棒垂直轴的转动惯量； 通过棒的一端并与棒垂直轴的转动惯量； (2) 通过棒的中点并与棒垂直轴的转动惯量。 通过棒的中点并与棒垂直轴的转动惯量。 在距o点为 处取线元dx,其质量为 点为x处取线元 其质量为dm, 解： (1) 在距 点为 处取线元 其质量为 dm 绕给定轴的转动惯量为 l o x dx m
s = θr
v = rω
at = βr 2 v an = = ω 2r r
y
r et
O θ r s x
的原点必须在转轴上. 注: r 的原点必须在转轴上
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3.4 刚体的角动量 转动定律 转动惯量
一、刚体定轴转动的角动量 个质点m 第i 个质点 i 相对于给定轴的 角动量为 大小： 大小：
(1) 刚体上各点都在垂直于固定轴的平面内 转动平面 刚体上各点都在垂直于固定轴的平面内(转动平面 转动平面) 做圆周运动.其圆心都在一条固定不动的直线 转轴 做圆周运动 其圆心都在一条固定不动的直线(转轴 上. 其圆心都在一条固定不动的直线 转轴)上 (2) 刚体上各点到转轴的垂直线在同样的时间内所转过 的角度都相同。因而用角量描述刚体的运动. 的角度都相同。因而用角量描述刚体的运动 用角量描述刚体的运动
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袁玉珍 武步宇 陈钦生 主编
第 3 章
角动量守恒定律 课件制作者： 课件制作者：陈钦生
第 3章
角动量守恒定律
3.1 质点的角动量
力矩
3.2 质点的角动量守恒定律
主要 内容
3.3 刚体的角动量守恒定律 3.4 刚体的角动量 转动定律 惯性定律 3.5 刚体的角动量守恒定律
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3.2 质点的角动量守恒定律
力矩等于零，有三种情况： 力矩等于零，有三种情况：
(1) r = 0 , M = 0 (2) F = 0 , M = 0 (3) r ≠ 0 , F ≠ 0 , M = r × F = 0
这三种情况分别为： 这三种情况分别为： 质点处在定点上静止不动； (1) 质点处在定点上静止不动； 质点孤立，不受力的作用； (2) 质点孤立，不受力的作用； 质点受“有心力” (3) 质点受“有心力”作用
J =
∫
J 0
dJ =
∫
l 2 − l 2
1 m 2 ml x dx = 12 l
l
2
dm = λdx =
m dx l
o'
x
dx
m
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3.4 刚体的角动量 转动定律 转动惯量
四、平行轴定理 m 轴是通过刚体质心的转轴， 设o' 轴是通过刚体质心的转轴，刚体 1 绕o'轴的转动惯量为 轴的转动惯量为 2 o h
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3.3 刚体的运动
3.3.1 刚体
刚体——是受力时不改变形状和体积的物体， 是受力时不改变形状和体积的物体， 刚体 是受力时不改变形状和体积的物体 是理想模型。 是理想模型。 特点 (1) 是一个质点组（刚体可以看成由许多质点 是一个质点组（ 组成，每一个质点叫做刚体的一个质元） 组成，每一个质点叫做刚体的一个质元） (2) 质点组内任意两点间的距离保持不变 质点组内任意两点间的距离保持不变.
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3.1 质点的角动量 力矩
3.1.1 质点的角动量
一个质量为m的质点以速度 v 运动，其动量为 p ，若 一个质量为 的质点以速度 运动， 其相对于定点O的位置矢量为 则其角动量定义为： 的位置矢量为r， 其相对于定点 的位置矢量为 ，则其角动量定义为：
L=r× p
角动量是矢量，其大小为： 角动量是矢量，其大小为：
A
L
Li = ri ×mivi
Li
ω
ri
mi
L i = rm i v sin 90
o
o
vi
= ri m i ( ri ω ) = m i ri 2 ω
由于所有质点的角动量的方向相同， 由于所有质点的角动量的方向相同，所以刚体的角动量为
L = ∑ Li = ∑ mi ri 2ω
i i
令 J =
∑
i
m i ri 2
0
t
θ = θ 0 + ωt
dω = β (t )dt
匀变速转动 =常量 常量
ω − ω0 = ∫ β (t )dt
0
t
ω = ω0 + β t
1 2 θ = θ 0 + ωt + βt 2 2 2 ω − ω0 = 2β（θ − θ0）
与质点匀变速直线运动公式相对应。 与质点匀变速直线运动公式相对应。
P(t+∆t )
θ +∆θ ∆
O
P(t) x θ
2πn πn = rad/s ω= 60 30
∆ ω dω β = lim = ∆t → 0 ∆ t dt
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3.3 刚体的运动
(5) 刚体定轴转动运动方程
dθ = ω(t )dt
匀速转动 ω = 常量
θ − θ 0 = ∫ ω (t ) d t
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3.3 刚体的运动
2. 定轴转动的描述 (1) 角坐标θ
ω
p O x
θ 称角位置或角坐标。 角位置或角坐标。
为正。 规定逆时针转向θ 为正。 刚体定轴转动的运动学方程
θ = θ (t)
(2) 角位移 θ 角位移∆ ∆θ 为 ∆t时间内刚体所转过的角度。 时间内刚体所转过的角度。 时间内刚体所转过的角度
Jc =
o'
12
ml
l
可以证明：绕任意平行于o'轴的转动惯量为 可以证明：绕任意平行于 轴的转动惯量为
又因为
L
和
ω
的方向相同 J称为转动惯量 称为转动惯量
∴L= Jω
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3.4 刚体的角动量 转动定律 转动惯量
二、刚体的转动定律
由刚体定轴转动的角动量定理
M
Q
可得
L = Jω
dω M = J dt
dL = dt
= Jβ
β 为刚体的角加速度
记
∴
M = Jβ
刚体的转动定律：刚体转动过程中， 刚体的转动定律：刚体转动过程中，刚体的角加速度与 作用在刚体上的合外力矩成正比与转动惯量成反比。 作用在刚体上的合外力矩成正比与转动惯量成反比。 注：与牛顿第二定律地位相当
L
L = r m v sin ϕ
的夹角； 式中 ϕ为 r 与 p 的夹角；
ϕ
p
m r O
角动量的方向：垂直于r和 所组成的平面 所组成的平面， 角动量的方向 ： 垂直于 和 p所组成的平面， 其指向 由右手螺旋法则确定
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3.1 质点的角动量 力矩
3.1.1 质点的角动量
M = r Fτ
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3.2 质点的角动量守恒定律
dL M = dt
由上式： 由上式：当 M = 0 时 或
L= L 0
L =常矢量
质点的角动量守恒定律：质点在运动过程中，所 质点的角动量守恒定律：质点在运动过程中， 受的合外力矩等于零时，质点对给定点（转轴） 受的合外力矩等于零时，质点对给定点（转轴）的角动 量保持不变。 量保持不变。
质点的角动量与质点的位矢有关。 质点的角动量与质点的位矢有关。 质点相对于O点做圆周运动时， 质点相对于 点做圆周运动时，位矢 r 与 p 处处垂 点做圆周运动时 故角动量大小可写为： 直， ϕ =1 ，故角动量大小可写为： sin
L = r m v = mr ω
2
L
v m r O
角动量方向： 角动量方向： 垂直于圆周轨道平面 角动量单位： 量纲： 角动量单位：kg.m2.s-1 ；量纲：ML2T-1
dm = λdx = m dx l
dJ = x 2 dm = x 2 λ dx
两边积分得
m = x dx l
2
J =
∫
J
0
dJ =
∫
l
0
m 2 1 x dx = ml l 3
2
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3.4 刚体的角动量 转动定律 转动惯量
[例3-4] 一质量为 ，长为 的细棒，求其对于 例 一质量为m，长为l的细棒 的细棒， (1) 通过棒的一端并与棒垂直轴的转动惯量； 通过棒的一端并与棒垂直轴的转动惯量； (2) 通过棒的中点并与棒垂直轴的转动惯量。 通过棒的中点并与棒垂直轴的转动惯量。 解：(2) 分析求解同 (1)
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第 3章
角动量守恒定律
基本要求
1、正确理解角动量的概念，理解角动量定理。 、正确理解角动量的概念， 2、正确理解转动惯量的概念，会计算几种规则形状物 、正确理解转动惯量的概念， 体的转动惯量。 体的转动惯量。 3、掌握刚体绕定轴的转动定律，并能熟练应用它来求 、掌握刚体绕定轴的转动定律， 解定轴转动刚体和质点的联动问题。 解定轴转动刚体和质点的联动问题。 4、掌握角动量守恒定律及其适用条件，并能用来分析、 、掌握角动量守恒定律及其适用条件，并能用来分析、 计算有关问题。 计算有关问题。
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3.1 质点的角动量 力矩
3.1.2 质点的角动量定理
力矩定义： 力矩定义： 力矩大小： 力矩大小：
M = r×F
M = r F sin θ
M =Fd
为力臂， 式中 rsinθ = d为力臂，则
即合力切向分量，所以： 因 Fsinθ = F ，即合力切向分量，所以： τ
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3.2 质点的角动量守恒定律
例3-1 自看 例3-2 利用角动量守恒定律导出开普勒行星运动第二 定律； 定律；行星对太阳的位矢在单位时间内扫过的 面积为常量。 面积为常量。 解：行星绕太阳运动过程中，受太阳吸引力的作 行星绕太阳运动过程中， 是有心力，力矩为零，角动量守恒。 用，是有心力，力矩为零，角动量守恒。 行星相对于太阳任意时刻的角动量
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3.2 质点的角动量守恒定律 恒矢量 L = r × mv =恒矢量
其大小为
L = rmv sin α =恒量 恒量
时间内， 设∆t时间内，位矢扫过的面积为 时间内
r L
太阳
1 ∆s = r∆r sin α 2
r r ∆r α v r r 行星 m
单位时间内， 单位时间内，位矢扫过的面积为 ds ∆s 1 ∆r 1 L = lim = r lim sin α = rmv sin α = =恒量 恒量 dt ∆ t → 0 ∆ t 2 ∆ t → 0 ∆ t 2m 2m