第五节 椭圆-高考状元之路

第五节 椭 圆
预习设计 基础备考
知识梳理 1．椭圆的概念
平面内与两定点21F F 、的距离的和等于常数（ ||21F F ）的点的轨迹叫椭圆，这两定点叫做椭圆的 两焦点间的距离叫做
集合,2||,2||||}{2121c F F a MF MF M P ==+=其中>a ,0,0>c 且a ，c 为常数）． (1)若 ,则集合P 为椭圆； (2)若 ,则集合P 为线段； (3若 ,则集合P 为空集．
2．椭圆的标准方程和几何性质
典题热身
1．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆13
22
=+y x 上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是 ( )
32.A 6.B 34.C 12.D
答案：C
2.如果方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( )
)1,0.(A )2,1.(B )2,0.(C ⋅ )1,0.(⋅D
答案：A
3．椭圆14
2
2=+y m x 的焦距等于2，则m 的值为 ( ) 35.或A 8.B 5.c 16.D
答案：A
4．已知椭圆C 的短轴长为6，离心率为
,5
4
则椭圆C 的焦点F 到长轴的一个端点的距离为( ) 9.A 1.B 91.或C D ．以上都不对
答案：C
5．（2011．．郑州模拟）如图，A 、B 、C 分别为椭圆122
22=+b
y a x )0(>>b a 的顶点与焦点，若,90 =∠ABC
则该椭圆的离心率为( )
251.
+-A 221.-B 12.-C 2
2
.D 答案：A
课堂设计 方法备考
题型一 椭圆的定义及其应用
【例1】一动圆与已知圆1)3(:2
2
1=++y x O 外切，与圆:2O 81)3(2
2
=+-y x 内切，试求动圆圆心的轨迹方程．
题型二 求椭圆的标准方程
【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是（-12，O ），(12，O)，椭圆上一点P 到两焦点的距离的和等于26； (2)焦点在坐标轴上，且经过点)2,3(-A 和);1,32(-B (3)焦距是2，且过点).0,5(-p
题型三 椭圆的几何性质及其应用
【例3】已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的长、短轴端点分别为A.B ，从此椭圆上一点M(在x 轴上方)
向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点.//,1OM AB F (1)求椭圆的离心率e ；
(2)设Q 是椭圆上任意一点，21F F 、分别是左、右焦点，求21QF F ∠的取值范围，
题型四 直线与椭圆的位置关系
【例4】在直角坐标系xOy 中，点P 到两点)3,0()3,0(、-的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ，直线1+=kx y 与C 交于A 、B 两点． (1)写出C 的方程； (2)若,⊥求k 的值，
技法巧点
(1)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：①中心是否在原点，②对称轴是否为坐标轴，运用待定系数法求椭圆标准方程，即设法建立关于a 、b 的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为122=+ny mx
),,0,0(n m n m =/>>由题目所给条件求出m 、n 即可．
(2)椭圆的焦点三角形问题：①椭圆上一点P 与两焦点21F F 、构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、,2||||21a PF PF =+得到a 、
c 的关系．设 ,21θ=∠PF F 则当点P 为短轴端点时，θ最大，②对21PF F ∆的处理方法⎪⎩
⎪
⎨⎧⇔面积公式余弦定理定义式的平方
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
==-+==+∆)
(2tan sin ||||21cos ||||2||||4)2(|)||(|2212122212
2221为短半轴长b b PF PF s PF PF PF PF c a PF PF θ
θθ
(3)椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为,C a +最小距离为.c a -
(4)求椭圆离心率e 时，只要求出a ，b ，c 的一个齐次方程，再结合2
2
2
c a b -=就可求得).10(<<e e
失误防范
1．求椭圆的标准方程时，必须优先考虑焦点位置，当焦点位置不确定时，要进行分类讨论，以防丢解．
2．注意椭圆的范围，在设椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 上点的坐标为P(x ，y)时，则,||a x ≤这往往在
求与点P 有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．
随堂反馈
1．(2011．课标全国卷)椭圆18
.162
2=+y x 的离心率为 ( ) 31.A 2
1
.B 33.c 22.D
答案：D
2．(2011．吉林质检)设21F F 、分别是椭圆116
252
2=+y x 的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是P F 1的中点， ,3||=OM 则P 点到椭圆左焦点距离为( ) 4.A 3.B 2.c 5.D
答案：A
3．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点)0,4(-A 和),0,4(C 顶点B 在椭圆
19
252
2=+y x 上，则 =+B
C
A sin sin sin
答案：4
5
4．已知P 是椭圆
164
1002
2=+y x 上的一点，21.F F 是焦点，若,6021 =∠PF F 则21F PF ∆的面积为 答案：x
33
64
5．在△ABC 中，⋅-==18
7
cos .B BC AB 若以A 、B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率=e 答案：
8
3
高效作业 技能备考
一、选择题
1．（2011．浙江台州调研）已知点),0,3(M 椭圆14
22
=+y x 与直线)3(+=x k y 交于点A 、B ，则△ABM 的周长为( )
4.A 8.B 12.C 16.D 答案：B
2．已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交
y 轴于点P ．若,2=则椭圆的离心率是 ( )
23.
A 22.
B 31.
C 2
1.D 答案：D
3．（2011．滨州模拟）若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴的最小值为 ( )
1.A
2.B 2.C 22.D
答案：D
4．(2011．广东茂名模拟)已知21,F F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两
点，若2ABF ∆是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是( )
23.
A 2
2.B 12.-C 2.D 答案：C
5．(2011．浙江温州模拟)设椭圆).0(122
22>>=+b a b
y a x 的离心率为e ，右焦点),0,(c F 方程
02=-+c bx ax 的两个实数根分别为,,21x x 则点),(21x x P （ ）
A ．必在圆122=+y x 外
B ．必在圆122=+y x 上
C ．必在圆122=+y x 内
D ．与122=+y x
的位置关系与e 有关 答案：A
6．(2011．辽宁沈阳二中模拟)过椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C
于另一个点B,且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若,2
1
31<<k 则椭圆离心率的取值范围是
( )
)49,41(⋅A )1,32(⋅B )32,21(⋅c )2
1
,0(⋅D
答案：C
二、填空题
7．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为,2
3
且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为
答案：
19
362
2=+y x
8．椭圆12
92=+r
x 的焦点为,,21F F 点P 在椭圆上．若=||1PF ,4则=||2PF 21;PF F ∠的大小为 答案：2
120
9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，2121,,,B B A A 为椭圆12
2=+b
y a x )0(>>b a 的四个顶点，F 为其
右焦点，直线21B A 与直线F B 1相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 答案：572-
三、解答题
10．(2011．北京高考)已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b
y a x G 的离心率为,36
右焦点为).0,22(斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为).2,3(-P (1)求椭圆G 的方程；
(2)求△PAB 的面积．
11．(2011．天津高考)设椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点分别为⋅21F F 、点),(b a P 满足
.||||212F F PF =
(1)求椭圆的离心率e ；
(2)设直线2PF 与椭圆相交于A ，B 两点，若直线2PF 与圆16)3()1(22=-++y x 相交于M ，N 两点，且|,|8
5
||AM MN =求椭圆的方程．
12．(2011．上海高考)已知椭圆1:2
22=+y m
x C （常数),1>m P 是曲线C 上的动点，M 是曲线C 的右顶点，
定点A 的坐标为(2，O)．
(1)若M 与A 重合，求曲线C 的焦点坐标； (2)若,3=m 求∣PA ∣的最大值与最小值； (3)若|PA ∣的最小值为∣MA ∣，求m 的取值范围．。