第五节 椭圆-高考状元之路

第五节 椭 圆

预习设计 基础备考

知识梳理 1．椭圆的概念

平面内与两定点21F F 、的距离的和等于常数（ ||21F F ）的点的轨迹叫椭圆，这两定点叫做椭圆的 两焦点间的距离叫做

集合,2||,2||||}{2121c F F a MF MF M P ==+=其中>a ,0,0>c 且a ，c 为常数）． (1)若 ,则集合P 为椭圆； (2)若 ,则集合P 为线段； (3若 ,则集合P 为空集．

2．椭圆的标准方程和几何性质

典题热身

1．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆13

22

=+y x 上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是 ( )

32.A 6.B 34.C 12.D

答案：C

2.如果方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( )

)1,0.(A )2,1.(B )2,0.(C ⋅ )1,0.(⋅D

答案：A

3．椭圆14

2

2=+y m x 的焦距等于2，则m 的值为 ( ) 35.或A 8.B 5.c 16.D

答案：A

4．已知椭圆C 的短轴长为6，离心率为

,5

4

则椭圆C 的焦点F 到长轴的一个端点的距离为( ) 9.A 1.B 91.或C D ．以上都不对

答案：C

5．（2011．．郑州模拟）如图，A 、B 、C 分别为椭圆122

22=+b

y a x )0(>>b a 的顶点与焦点，若,90 =∠ABC

则该椭圆的离心率为( )

251.

+-A 221.-B 12.-C 2

2

.D 答案：A

课堂设计 方法备考

题型一 椭圆的定义及其应用

【例1】一动圆与已知圆1)3(:2

2

1=++y x O 外切，与圆:2O 81)3(2

2

=+-y x 内切，试求动圆圆心的轨迹方程．

题型二 求椭圆的标准方程

【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)两个焦点的坐标分别是（-12，O ），(12，O)，椭圆上一点P 到两焦点的距离的和等于26； (2)焦点在坐标轴上，且经过点)2,3(-A 和);1,32(-B (3)焦距是2，且过点).0,5(-p

题型三 椭圆的几何性质及其应用

【例3】已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的长、短轴端点分别为A.B ，从此椭圆上一点M(在x 轴上方)

向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点.//,1OM AB F (1)求椭圆的离心率e ；

(2)设Q 是椭圆上任意一点，21F F 、分别是左、右焦点，求21QF F ∠的取值范围，

题型四 直线与椭圆的位置关系

【例4】在直角坐标系xOy 中，点P 到两点)3,0()3,0(、-的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ，直线1+=kx y 与C 交于A 、B 两点． (1)写出C 的方程； (2)若,⊥求k 的值，

技法巧点

(1)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：①中心是否在原点，②对称轴是否为坐标轴，运用待定系数法求椭圆标准方程，即设法建立关于a 、b 的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为122=+ny mx

),,0,0(n m n m =/>>由题目所给条件求出m 、n 即可．

(2)椭圆的焦点三角形问题：①椭圆上一点P 与两焦点21F F 、构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、,2||||21a PF PF =+得到a 、

c 的关系．设 ,21θ=∠PF F 则当点P 为短轴端点时，θ最大，②对21PF F ∆的处理方法⎪⎩

⎪

⎨⎧⇔面积公式余弦定理定义式的平方

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

==-+==+∆)

(2tan sin ||||21cos ||||2||||4)2(|)||(|2212122212

2221为短半轴长b b PF PF s PF PF PF PF c a PF PF θ

θθ

(3)椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为,C a +最小距离为.c a -

(4)求椭圆离心率e 时，只要求出a ，b ，c 的一个齐次方程，再结合2

2

2

c a b -=就可求得).10(<

失误防范

1．求椭圆的标准方程时，必须优先考虑焦点位置，当焦点位置不确定时，要进行分类讨论，以防丢解．

2．注意椭圆的范围，在设椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 上点的坐标为P(x ，y)时，则,||a x ≤这往往在

求与点P 有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．

随堂反馈

1．(2011．课标全国卷)椭圆18

.162

2=+y x 的离心率为 ( ) 31.A 2

1

.B 33.c 22.D

答案：D

2．(2011．吉林质检)设21F F 、分别是椭圆116

252

2=+y x 的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是P F 1的中点， ,3||=OM 则P 点到椭圆左焦点距离为( ) 4.A 3.B 2.c 5.D

答案：A

3．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点)0,4(-A 和),0,4(C 顶点B 在椭圆

19

252

2=+y x 上，则 =+B

C

A sin sin sin

答案：4

5

4．已知P 是椭圆

164

1002

2=+y x 上的一点，21.F F 是焦点，若,6021 =∠PF F 则21F PF ∆的面积为 答案：x

33

64

5．在△ABC 中，⋅-==18

7

cos .B BC AB 若以A 、B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率=e 答案：

8

3

高效作业 技能备考

一、选择题

1．（2011．浙江台州调研）已知点),0,3(M 椭圆14

22

=+y x 与直线)3(+=x k y 交于点A 、B ，则△ABM 的周长为( )

4.A 8.B 12.C 16.D 答案：B

2．已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交

y 轴于点P ．若,2=则椭圆的离心率是 ( )

23.

A 22.

B 31.

C 2

1.D 答案：D

3．（2011．滨州模拟）若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴的最小值为 ( )

1.A

2.B 2.C 22.D

答案：D