简单几何体教案3

湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析：简单几何体

【考点聚焦】

考点1：柱、锥、台、球的体积与面积的计算； 考点2：三视图的关系与画法；斜二侧直观图； 考点3：简单几何体中的线面关系证明；

考点4：正三、四、五棱柱、锥、台的特征量之间的关系。 【考点小测】

1．（山东卷）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2,∠DAB =60°,E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则P －DCE 三棱锥的外接球的体积为 (A)

27

34π (B)

2

6π (C)

8

6π (D)

24

6π

解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1

4

，外接球的体积为

3

4()3

4

8

π=

，选C

2.（浙江卷）如图，正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都2，E ，F 分别是11,AB A C 的中点，则EF 的长是

(A)2

(C)

解析：如图所示，取AC 的中点G ，连EG ，FG ，则易得 EG ＝2，EG ＝1，故EF

＝ C

3.（广东卷）棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______.

解：ππ2742

33332

==⇒=

⇒=R

S R d

4．正方体的内切球与其外接球的体积之比为 (A) 1∶3 (B)1∶3 (C)1∶33 (D)1∶9

解：设正方体的棱长为a ，则它的内切球的半径为

12

a ，它的外

2

，故所求的比为1∶33，选C

C 1

C

4.（天津卷）如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，1=AB ． 若二面角1C AB C --的大小为 60，则点C 到平面1ABC 的距 离为______________．

解析：过C 作CD ⊥AB ，D 为垂足，连接C 1D ，则C 1D ⊥AB ，∠C 1DC=60°，CD=2

3，

则C 1D=3，CC 1=

2

3，在△CC 1D 中，过C 作CE ⊥C 1D ，则CE 为点C 到平面1ABC 的距

离，

CM=3

34=，所以点C 到平面A B C 1

的距离为43.

5．全国卷I ）已知正四棱锥的体积为12

，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于_______________。

【解析】正四棱锥的体积为12

，底面对角线的长为，底面边长为23，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，则侧面与底面所成的二面角的正切tanα=3, ∴ 二面角等于

3

π。

6．设地球半径为R ，在北纬60°的纬度圈上有M ，N 两点，它们的纬度圈的弧线等于12

R π，

则这两点间的球面距离是

A

． B

．R π C ．12

R π D ．13

R π

7．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为（ ）

(A)2，23 (B) 22，2 (C)4，2 (D)2，4 【典型考例】

例1如图为一几何体的展开图 (I) 需要多少个这样的几何体才能拼成一

个棱长为6cm 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，请画出其示意图(需在示意

1

主视图

俯视图

左视图

图中分别表示出这种几何体)；(Ⅱ)设正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱CC 1 的中点为E ，试求：异面直线EB 与AB 1所成角的余弦值及平面AB 1E 与 平面ABC 所成二面角(锐角)的正切值.

例2．已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1.AB=1，AA 1=2，点E 为CC 1中点，点P 为BD 1中点. （1）证明EF 为BD 1与CC 1的公垂线； （2）求点D 1到面BDE 的距离.

（1）证法一：取BD 中点M.连结MC ，FM . ∵F 为BD 1中点 ， ∴FM ∥D 1D 且FM=2

1D 1D .

又EC

2

1CC 1且EC ⊥MC ，∴四边形EFMC 是矩形

∴EF ⊥CC 1. 又CM ⊥面DBD 1 .∴EF ⊥面DBD 1 .

∵BD 1⊂面DBD 1 . ∴EF ⊥BD 1 . 故EF 为BD 1 与CC 1的公垂线. 证法二：建立如图的坐标系，得

B （0，1，0），D 1（1，0，2），F （

2

1，

2

1，1），C 1（0，0，2），E （0，0，1）.

,

0,0).2,1,1().2,0,0(),0,21

,21(

1111=⋅=⋅∴-=∴==∴EF BD CC EF BD CC EF

即EF ⊥CC 1，EF ⊥BD 1 . 故EF 是为BD 1 与CC 1的公垂线.

（Ⅱ）解：连结ED 1，有V E －DBD1=V D1－DBE .

由（Ⅰ）知EF ⊥面DBD 1 ，设点D 1到面BDE 的距离为d.

.

3

322

32

222

3)2(2

32

1.22221,2

2,2.1,2.2

111=⨯

=

∴⋅=

⋅⋅

=

=

⋅⋅=

∴=

=

==∴==⋅=⋅∆∆∆∆d S S EF ED BE BD AB AA EF S d S DBE DBD DBD DBE 则

故点D 1到平面DBE 的距离为

3

32.

例3．（2006上海文）在三棱柱 ABC —A 1B 1C 1 中，∠ABC=90°，AB=BC=1。