福州大学大学物理课后答案

习题解答

10-1 A 球内1q 所在空腔表面感应电荷1q -，均匀分布在空腔表面；2q 所在空腔表面感应电荷2q -，均匀分布在空腔表面；球外表面感应电荷21q q +，均匀分布在外表面。 1q ，2q ，q 各受力：

021==q q F F

2

021π4)(r q q q F q ε+= 10-2 以地球表面为高斯面，应用高斯定理：

0211π4d ε地q R E E =-=⋅⎰S E

得02

1π4εE R E q ＝－地(1)

以大气层外表面为高斯面，同理 0

211()π(4d ε）

气地q q h R E E +=+-=⋅⎰S E 所以220)(π4h R E q q E +-=+ε气地 (2)

将已知数据代入（1）（2）得)1037.6(6

m R E ⨯=： 5105.4⨯-=地q （库仑）

51037.3⨯=气q （库仑）

133

31043.4π3

4)π34-⨯=-+==E E R h R q V q （气气气气ρ( 库仑/米3) 102108.8π4-⨯-==E

R q 地地σ(库仑/米2) 10-3 取电荷元ϕϕλϕλd cos d d 0R R q ==

电荷元产生的电场强度大小为

R

R q E 0020π4d cos π4d d εϕϕλε==

R

E E x 020π4d cos cos d d εϕϕλϕ-=-= R E E y 00π4d cos sin sin d d εϕϕϕλϕ-=

-= R

R E E x x 00π200204π4d cos d ελεϕϕλ-=-==⎰⎰ 0π4d cos sin d π2000=-==⎰⎰R

E E y y εϕϕϕλ 所以圆环中心处场强i E R 004ελ-=

10-4 设半球半径为R ，将半球看作是由许多无限窄的环带组成，每一环带可视为小圆环，小圆环带电量为

θσd π2d rR q =

小圆环在球心O 处产生的场强为

20202d cos sin cos π4d sin π2cos π4d d εθθθσθεθθσθε===R R R R q E 每小圆环产生的E d 方向都沿y 轴负方向，所以

02π004d cos sin 2d εσθθθεσ===⎰⎰

E E j E 0

4εσ-= 10-5 （1）半径为R 的均匀带电原板在其中心处的场强为零。所以该题所求中心处的场强为零。

（2）P 点场强可用带正电的整个圆柱面和带负电的宽a 的无限长直线在P 点产生的场强叠加。由对称性，整个圆柱面（带正电）在P 点产生的场强为零。在题给条件下，带负电的宽a 的无限长直线的单位长度带电量为σλa -=，它在P 点产生的场强为

R

a E 02πεσ-= 此即本题所求P 点的场强。 10-6 （1）如图建立坐标系，无限长带电体激发的电场在L 长带电体上的分布为 )(π20a x E +=ελ

L 长带电体中电荷元q d 所受的力为

)

(π2d d d 0'a x x qE F +==ελλ 该带电体上所有电荷元受力方向相同，整个带电体受力

L

a L a x x F F L

+=+==⎰⎰ln π2)(π2d d 0'00'ελλελλ 此即两带电体的相互作用力。

（2）如图建立坐标系，无限长带电体激发的电场在L 长带电体上的分布为

θελ

sin )(π20a x E +=

L 长带电体中任一电荷元q d 所受的力为

θελλsin )(π2d d d 0'a x x

qE F +==

L 长带电体上所有电荷元受力方向相同，整个带电体受力

L a L a x x

F F L

+=+==⎰⎰ln sin π2sin )(π2d d 0'00'θελλθελλ 10-7 (1)作如图所示正方体，电荷q 位于正方体中心，通过一个正方形平面的电通量为 0

6εq e =Φ （2）以电荷q 所在位置为中心，22a R +为半径作一球，通过圆面的电通量即为通过以圆面为底的球冠面的电通量。

)1(2)(π4)(π22202222220R a a q a R a a R a R q

e +-=+-++⨯=Φεε 解2：以电荷q 所在位置为原点，将圆面看作由许多无限窄圆环带组成，通过每一圆环带的电通量为（如图所示）

2

3)(2d d π2)(π4cos d d 22022220r a r

rqa r a a r r r a q s E e +=+⨯⨯+=

=Φεεθ

则)1(2)(2d d 220

022023R a a q r a r rqa R

e e +-=+=Φ=Φ⎰⎰εε 10-8 腔内电场强度等于半径为R 1，体电荷密度为ρ的带电球体在腔内电场强度1E 减去半

径为R 2，体电荷密度为ρ的带电球体在腔内的电场强度2E ，应用高斯定理

⎰∑=⋅01d q S E

312111π34π4ερr r E = 0

113ερr E = 同理0

223ερr E = 0

2012133ερερr r E E E -=-= 所以所求场强大小为03ερa E =

，方向为O 1指向O 2。 10-9 本题所给带电体电场具有轴对称分布。

当R r ≤时，作如图示高斯面，应用高斯定理。

⎰∑=⋅01d q S E

'

''000d π21

π2r l r r rl E r

⎰=⋅ρε 0

2

03ερr E = 当R r ≥时，同样应用高斯定理

'''000d π21

π2r l r r rl E R ⎰=⋅ρε

r

R E 03

03ερ= 10-10 细棒上任一电荷元带电量

x L

q q d 2d = （1）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-+++=+=⎰-2424ln π8)(π4d 2222202221220L L r L L r L q x r x L q U L L P εε