二次函数基础知识练习
二次函数各知识点、考点、典型例题及练习
二次函数各知识点、考点、典型例题及对应练习（超全）【典型例题】题型 1 二次函数的概念例1（基础）.二次函数2365y x x =--+的图像的顶点坐标是（ ） A ．（-1，8） B.（1，8） C （-1，2） D （1，-4） 点拨：本题主要考察二次函数的顶点坐标公式 例2.（拓展，2008年武汉市中考题，12） 下列命题中正确的是○1若b 2－4ac ＞0，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3 ○2若b 2－4ac=0，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴只有一个交点，且这个交点就是抛物线顶点。
○3当c=－5时，不论b 为何值，抛物线y=ax 2+bx+c 一定过y 轴上一定点。
○4若抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有唯一公共点，则方程ax 2+bx+c=0有两个相等的实数根。
○5若抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个交点A 、B ，与y 轴交于c 点，c=4，S △ABC=6，则抛物线解析式为y=x 2－5x+4。
○6若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的顶点在x 轴下方，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根。
○7若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）经过原点，则一元二次方程ax 2+bx+c=0必有一根为0。
○8若a －b+c=2，则抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）必过一定点。
○9若b 2＜3ac ，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴一定没有交点。
○10若一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则函数y=cx 2+bx+a 的图象与x 轴必有两个交点。
○11若b=0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点一个在原点左边，一个在原点右边。
点拨：本题主要考查二次函数图象及其性质，一元二次方程根与系数的关系，及二次函数和一元二次方程二者之间的联系。
二次函数_基础知识练习题
二次函数一、定义1. 函数y=（m ＋2）x 22-m ＋2x －1是二次函数，则m= ．2. 下列函数中是二次函数的有（ ）A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个①y=x ＋x 1； ②y=3（x －1）2＋2； ③y=（x ＋3）2－2x 2； ④y=21x＋x ． 二、二次函数的图象和性质3．若a ＜0，则函数y= 2x 2+ax －5的图形的顶点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．抛物线y=2x 2－4x+c 的顶点在x 轴上，则c 值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．45．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如右图，对称轴为直线x=1，下列结论中正确的是( )A ．ac ＞0B ．b ＜0C ．b 2－4ac ＜0 D ．2a+b=06．二次函数y=ax 2与一次函数y=ax ＋a 在同一坐标系中的图象大致为（ ）7.在同一坐标系中，函数y=ax 2＋bx 与y=x b 的图象大致是图中的（ ）8．抛物线y=－4x 2－4的开口向 ，当x= 时，y 有最 值，y= ．9．二次函数y=mx 2－3x+2m －m 2的图像过原点，则m=__________.10．将函数y=－2x 2+8x －7写成y=a(x+m) 2+k 的开式为________________.11．当m= 时，抛物线y=（m ＋1）x m m +2＋9开口向下，对称轴是 ．在对称轴左侧，y 随x 的增大而 ；在对称轴右侧，y 随x 的增大而 ．12．把抛物线y=21x 2向右平移1个单位，再向上平移2个单位，则所得到的图象的函数解析式是______________ 第5题图13．已知二次函数y=－41x 2+x+2 指出： (1)函数图像的对称轴和顶点坐标；(2)把这个函数的图像向左、向下平移2个单位，得到哪一个函数的图像？14．已知函数y=－41x 2+x+2，当x 为何值时，y ＞0？y ＜0？三、求二次函数的解析式：15．已知二次函数的图像关于直线y=3对称，最大值是0，与y 轴交于（0，1）点，求这个二次函数。
二次函数的图像和性质基础知识测试题
二次函数的图像和性质基础知识测试题九年级数学下册《二次函数的图像和性质》基础知识测验班级：_________姓名：___________得分：__________一、选择题（每小题3分，共45分）：1、下列函数是二次函数的有（）A、1个；B、2个；C、3个；D、4个2.y=(x－1)2＋2的对称轴是直线（）A．x=－1B．x=1C．y=－1D．y=13.抛物线y x221的顶点坐标是（）A．（2，1）B．（-2，1）C．（2，-1）D．（-2，-1）4.函数y=-x-4x+3图象顶点坐标是（）A.（2，-1）B.（-2，1）C.（-2，-1）D.（2，1）5．已知二次函数y mx2x m(m2)的图象经过原点，则m的值为（）A．或2.B．0.C．2.D．无法确定6．函数y=2x-3x+4经过的象限是（）A.一、二、三象限B.一、二象限C.三、四象限D.一、二、四象限7．已知二次函数y ax2bx c（a）的图象如图5所示，有下列结论：①abc；②a+b+c>0③a-b+c<0.其中正确的结论有（）A．1个D．4个8、已知二次函数y13x2、y2x2、y3x2，它们的图像开口由小到大的顺序是A、y1y2y3B、y3y2y1C、y1y3y2D、y2y3y19、与抛物线y=－1x2+3x－5的形状、开口方向都相同，只有位置不同的抛物线是（）A。
y = x2+3x－5 B。
y=－x2+2x C。
y =x2+3x－5 D。
y=x210．正比例函数y＝kx的图象经过二、四象限，则抛物线y＝kx2－2x＋k2的大致图象是（）删除了明显有问题的段落。
改写后的文章：九年级数学下册《二次函数的图像和性质》基础知识测验班级：_________姓名：___________得分：__________一、选择题（每小题3分，共45分）：1、下列函数是二次函数的有（）A、1个；B、2个；C、3个；D、4个2.抛物线y=(x-1)²+2的对称轴是直线（）A．x=-1 B．x=1 C．y=-1 D．y=13.抛物线y=(x+2)²+1的顶点坐标是（）A．（-2，1）B．（-2，-1）C．（2，1）D．（2，-1）4.函数y=-x²-4x+3图象顶点坐标是（）A.（2，-1）B.（-2，1）C.（-2，-1）D.（2，1）5．已知二次函数y=mx²+x+m(m-2)的图象经过原点，则m的值为（）A．2或-2 B．0 C．2 D．无法确定6．函数y=2x-3x²+4经过的象限是（）A.一、二、四象限B.一、二象限C.三、四象限D.一、三、四象限7．已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图5所示，有下列结论：①abc＞0；②a+b+c＞0③a-b+c＜0；其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8、已知二次函数y1=-3x²、y2=-x²、y3=x²，它们的图像开口由小到大的顺序是A、y1<y2<y3B、y3<y2<y1C、y1<y3<y2D、y2<y3<y19、与抛物线y=-x²+3x-5的形状、开口方向都相同，只有位置不同的抛物线是（）A。
二次函数基础知识练习
-2 2二次函数练习题一、解析式1.已知抛物线经过三点A（2，6），B（－1，2），C（0，1），那么它的解析式是，2. 已知二次函数图象经过（－1，10）（2，7）和（1，4）三点，这个函数的解析式是3.若抛物线与x轴交于点（－1，0）和（3，0），且过点（0，），那么抛物线的解析式是4. 已知抛物线经过三个点A（2，6），B（－1，0），C（3，0），那么二次函数的解析式是，它的顶点坐标是5. 抛物线与x轴的两个交点的横坐标是－3和1，且过点（0，），此抛物线的解析式是6. 已知抛物线的顶点是A(－1,2)，且经过点(2,3)，其表达式是。
7. 顶点为（－2，－5）且过点（1，－14）的抛物线的表达式为．8. 抛物线的顶点是（2，4），则b＝，c＝；9. 二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x＝3，最小值为－2，，且过（0，1），此函数的解析式是10.对称轴是y轴且过点A（1，3）、点B（－2，－6）的抛物线的解析式为．11. 对称轴是直线x＝1且过点A（2，3）、点B（－1，6）的抛物线的解析式为．12. 已知二次函数的图象顶点坐标（2，1），且与x轴相交两点的距离为2，则其表达式为13. 抛物线的顶点为（－1，－8），它与x轴的两个交点间的距离为4，此抛物线的解析式是二、图像与系数1.抛物线)0(2≠++=acbxaxy过第二、三、四象限，则a 0，b 0，c 0．2. 抛物线)0(2≠++=acbxaxy过第一、二、四象限，则a 0，b 0，c 0．3．已知抛物线cxaxy++=22与x轴的交点都在原点的右侧，则点M（ca,）在第象限．4.二次函数cbxaxy++=2的图象如图所示，则a 0，b 0，c 0，b2-4ac 0，a＋b＋c 0，a－b＋c 0；5. 二次函数y ax bx c=++2的图象如图所示，则a 0，b 0，c 0 6.二次函数cbxaxy++=2的图象如图所示，那么下列四个结论：①a<0 ；②c>0 ；③acb42->0 ;④ab<0中，正确的结论有( )个7. 已知：抛物线（a＜0）经过点（－1，0），且满足4a＋2b＋c＞0．以下结论：①a＋b＞0；②a＋c＞0；③－a＋b＋c＞0；④＞ 0 ．其中正确的个数有（）个8.已知二次函数cbxaxy++=2中0,0,0<><cba，则此函数的图象不经过第象限9.已知二次函数cbxaxy++=2中0,0,0><>cba，则此函数的图象不经过第象限10.已知二次函数cbxaxy++=2中0,0,0<<<cba，则此函数的图象只经过第象限11.如图，函数cbxaxy++=2的图象中函数值0>y时，对应x的取值范围是函数值0<y时，对应x的取值范围是12.如图，函数cbxaxy++=2的图象中函数值0<y时，对应x的取值范围是13. 二次函数cbxxy++=2的图象如图所示，则函数值0<y时，对应x的取值范围是。
二次函数初步知识点+基础题
二次函数2.1二次函数开语问题：（1）圆的面积y（cm²）与圆的半径x（cm）；（2）如果温室的种植面积为y（m²），外围矩形周长为120m，一边长为x（m）,请写出y 关于x的函数关系。
由以上函数解析式，我们可以得出化简后它们都具有y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，其中a≠0）的形式。
二次函数：形如y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，其中a≠0）的函数。
其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
例如：y=-x²+58x-112的二次项系数a=-1，一次项系数b=58，常数项c=-112注意：有时x和y都有范围限制，做题时格外注意，否则影响答案以致全部做错！1、下列函数中，哪些是二次函数？（1）y=x²；（2）y=2x²-x-1；（3）y=x(1-x)；（4）y=（x-1）²-（x+1）（x-1）2、分别写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项；（1）y=x²+1；（2）y=-3x²+7x-12：（3）y=2x（1-x）例1、如图，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去四个全等的直角三角形（图中阴影部分）。
设AE=BF=CG=DH=x(cm)，四边形EFGH的面积为y(cm²)，求：（1）y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；（2）当x分别为0.25，0.5，1，1.5，1.75时，对应的四边形EFGH的面积。
例2、已知二次函数y=x²+px+q，当x=1时，函数值是4；当x=2时，函数值是-5，求这个二次函数的解析式。
例3、已知二次函数y=ax²+bx+3，当x=2时，函数值是3；当x=-2时，函数值是2。
求这个二次函数的解析式。
例4、某工厂1月份的产值为200万元，平均每月产值的增长率为x，求该工厂第一季度的产值y关于x的函数解析式。
2.2二次函数的图象请按下列步骤用描点法画二次函数y=x ²的图象。
二次函数基础知识及针对训练(经典)
二次函数知识整理及基础训练【知识整理1】：定义1. 定义：形如： （其中a,b,c 是常数，且a ≠0）的函数是二次函数。
为二次项系数， 是一次项系数， 为常数项 【针对训练】：1、下列关系式中，属于二次函数的是（x 为自变量） （ ） A 、218y x =B 、21y x =-C 、21y x= D 、22y a x = 2、当m 不为何值时，函数2(2)45y m x x =-+-（m 是常数）是二次函数（ ） A 、-2 B 、2 C 、3 D 、-33.任意写一个二次函数，并指出各项系数：4.218y x =-3x -12中，二次项系数为： ，一次项系数是 ，常数项为 5.【知识整理2】：2ax y =的图像和性质1.二次函数2ax y =的图像是 线，开口方向：当a ＞0时，开口向 ，a ＜0时，开口向 。
对称轴为 ，顶点坐标是 。
2.请画出2ax y =的草图： 【针对训练】：1.抛物线22x y =的开口： ，对称轴：2.抛物线2x y -=的开口： ，对称轴： ，顶点坐标： 。
3.二次函数24x y =的图像上有两点A(-1，m)，B （n ，36），则m= ，n= 。
4.二次函数22x y -=，当x 时，y 随x 的增大而减小；当x 时，y 随x 增大而增大 【知识整理3】：2ax y =+k ，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k 的图像和性质平移规律：上下平移与k 有关（上加下减），左右便宜与h 有关（左加右减）1.2ax y =（h ＞0）向 平移 个单位长度得到y=a(x-h)2的图像 2.2ax y =（h ＜0）向 平移 个单位长度得到y=a(x-h)2的图像 3.2ax y =（k ＞0）向 平移 个单位长度得到2ax y =+k 的图像 4..2ax y =（k ＜0）向 平移 个单位长度得到2ax y =+k 的图像5.2ax y =（h ＜0，k ＞0）先向 平移 个单位后再向 平移 个单位得到y=a(x-h)2+k6.y=a(x-h)2+k 的开口方向是： ，顶点坐标： ，对称轴： 【针对训练】：2、抛物线y=x 2-1的顶点坐标是( )．A 、(0，1)B 、(0，一1)C 、(1，0)D 、(一1，0) 3、22y x =+的对称轴是直线（ ）A 、x=2B 、x=0C 、y=0D 、y=2 4、二次函数247y x x =-+的最小值为（ ）A 、2B 、-2C 、3D 、-3【知识整理3】：y=ax 2+bx+c 的图像和性质1.y=ax 2+bx+c 的开口方向 ，对称轴为： ，顶点坐标是： ，当a ＞0时x= ，y 有最 值为： ，当a ＜0时x= ，y 有最 值 为： 。
二次函数基础知识复习
1题二次函数基础知识复习一、二次函数的定义1、下列函数不属于二次函数的是（ ）A.y ＝(x －1)(x ＋2)B.y ＝21(x ＋1)2 C. y ＝1－3x 2 D. y ＝2(x ＋3)2－2x 2二、二次函数的条件 1、已知函数2(1)m m y m x +=-是二次函数，其图象开口方向向下，则m ＝_____，顶点为_____，当x_____0时，y 随x的增大而增大，当x_____0时，y 随x 的增大而减小。
2、当m=_________时，函数y = (m 2 －4))3(42-+--m x m mx + 3是二次函数，其解析式是__________________，图象的对称轴是_______________，顶点是________，当x =______时， y 有最____值是_______． 3、y=(m-2)x m2- m 是关于x 的二次函数，则m= 若函数432)1(+++=m m xm y 是二次函数，则m 的值为三、对称轴的应用1、抛物线y=－(x+4)(x －2)的对称轴是直线 ，顶点坐标是2、抛物线(1)(3)(0)y a x x a =+-≠的对称轴是直线3、二次函数c bx x y ++=2的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是 四、图像的变化1、已知a ＜－1，点（a －1，y1）、（a ，y2）、（a ＋1，y3）都在函数y=x 2的图象上，则（ ） A ．123y y y << B ．132y y y << C 321y y y << D ．213y y y <<2、已知二次函数y =2x 2+8x +7的图象上有有点A 1(2)y -，，B 21(5)3y -，，C 31(1)5y -，，则 y 1、y 2、y 3的大小关系为( )A ． y 1 > y 2> y 3 B ． y 2> y 1> y 3 C ． y 2> y 3> y 1 D ． y 3> y 2> y 1 3、若A （1,413y -），B （2,45y -），C （3,41y ）为二次函数245y x x =+-的图象上的三点，则1,y 2,y 3y 的大小关系是( )（A ）123y y y << （B ）213y y y << （C ）312y y y << （D ）132y y y << 4、抛物线y ＝x 2－bx ＋8的顶点在x 轴上，则b 的值一定为 5、已知函数2)(22+-+=x m m mx y 的图象关于y 轴对称，则m ＝________； 五、图像的移动1、抛物线y=（x+2）2﹣3可以由抛物线y=x 2平移得到，则下列平移过程正确的是（ ） A ．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 B ．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C ．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D ．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位2、把抛物线y=x 2+bx+c 的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的关系式为y=x 2﹣3x+5，则b= ，c=3、要得到二次函数y=﹣x 2+2x ﹣2的图象，需将y=﹣x 2的图象（ ） A ．向左平移2个单位，再向下平移2个单位 B ．向右平移2个单位，再向上平移2个单位 C ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位D ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位4、将抛物线y=x 2﹣4x+3关于x 轴作轴对称变换，所得的新抛物线的解析式为5、将二次函数y=x 2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是 6、要由抛物线y=2x 2得到抛物线y=2（x ﹣1）2+3，则抛物线y=2x 2必须（ ） A ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位B ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位C ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位D ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位7、将抛物线y=x 2+1的图象绕原点O 旋转180°，则旋转后的抛物线的函数关系式 8、把二次函数y =213212---x x 的图象向上平移3个单位，再向右平移4个单位，则平移后的图象的解析式是 六、图像与系数的关系（所有题目都要写过程）1、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，那么下列判断正确的是（ ） (A)abc ＞0 （B ）ac b 42-＞0 (C)2a+b ＞0 （D ）c b a +-24＜02、如图是二次函数2y ax bx c =++图像的一部分，图像过点A ()3,0-，对称轴1x =-，给出四个结论：①2b ＞4ac ，②20a b+=，③0ab c -+=，④5a ＜b ，其中正确的结论是（ ）3题2题3、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列5个代数式：ab ，ac ，a-b+c ，b 2-4ac ，2a+b 中，值大于0的个数有（ ）4、已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，有下列5个结论：① 0>abc ；② c a b +<；③ 024>++c b a ；④ b c 32<；⑤ )(b am m b a +>+，（1≠m 的实数）其中正确的结论有（ ）4题 5题5、如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象 过点A （－3，0），对称轴为x ＝－1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b=0；③a －b ＋c=0；④5a ＜b ．其中正确结论是（ ）．6、已知=次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图．则下列5个代数式： ac ，a+b+c ，4a －2b+c ，2a+b ，2a －b中，其值大于0的个数为（ ）7、如图所示，已知抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)经过原点和点（-2，0），则2a -3b 0.(填＞、＜、＝)题8题8、已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于（x 1，0），（x 2，0），且0<x 1<1， 1<x 2<2，与y 轴交于点（0，－2），下列结论：①2a +b >1 ②3a +b >0③a +b <2 ④a <-1，其中正确的个数有（ ） 9、如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于（x 1，0）（x 2，0）两点，且0＜x 1＜1，1＜x 2＜2，与y 轴交于点（0，2）．下列结论①2a+b ＞-1，②3a+b ＞0，③a+b ＜-2，④a ＞0，⑤a-b ＜0，其中结论正确的个数是（ ）9题10题10、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,记2p a b c a b =-+++，2q a b c a b =+++-,则p 与q 的大小关系为11、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是（ ）11题 1212、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①c<0，②b>•0，•③4a+2b+c>0，④（a+c ）2<b 2．其中正确的有（ ）13、已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示，有下列结论：①240b ac ->；②0abc >；③80a c +>；④930a b c ++<．其中，正确结论的个数是（ ）七、二次函数与其它函数图像、系数之间的关系1、函数y=ax 2＋bx ＋c 和y=ax ＋b 在同一坐标系中，如图所示，则正确的是（ ）2、在同一坐标系中，函数y=ax 2＋bx 与y=xb的图象大致是图中的（ ）3、已知一次函数y=ax+c 与二次函数y=ax 2+bx+c ，它们在同一坐标系内的大致图象是图26-7中的（ ）4、已知反比例函数y=xk 的图象如图26-8所示，则二次函数y=2kx 2-x+k 2的图象大致为图26-9中的（ ）5、在同一坐标系中，函数y=ax 2+c 与y=xc（a ﹤c ）的图象可能是图26-10中的（ ）6、二次函数y=ax 2与一次函数y=ax ＋a 在同一坐标系中的图象大致为（ ）7、函数y=ax 2＋bx ＋c 和y=ax ＋b 在同一坐标系中，如图所示，则正确的是（ ）。
二次函数基础知识试题
二次函数测试题姓名 班级 成绩2. 抛物线y=2x 2-4x+1的顶点坐标是：A （2，1）B ．（1，1）C ．（1，-1）D ．（2，-1） 3、抛物线的部分图象如图所示，若y ＞0，则x 的取值范围是A.x ＜1B.x ＞-1C. x ＜1或x ＞-1D. 1＞x ＞-34、二次函数y=-2x 2-4x+1的图象可能是（ ）5、烟花厂为经贸旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h 与飞行时间t的关系式是h=4.9t 2，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ． 6. 若二次函数222y ax bx a =++-（a b ，为常数）的图象如下，则a 的值为A ．2-B ．C ．1D7、一个运动员打尔夫球，若球的飞行高度(m)y与水平距离(m)x 之间的函数表达式为()21301090y x =--+，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为：A ．10m B ．20m C ．30m D ．60m8、小敏用一根长为8cm 的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是（ ） A ．4cm 2B ．8cm 2C ．16cm 2D ．32cm29、 抛物线221y x x =-+与x 轴交点的个数是：（A ）0 （B ）1 （C ）2（D ）310、 已知二次函数22(0)y ax x c a =++≠有最大值，且4ac =，则二次函数的顶点在： A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题1. 抛物线2y ax bx c =++过点A （-1，0），(30)B ，，则抛物线的对称轴是直线x = ． 2、抛物线y =2（x －2）2－6的顶点坐标是3、已知二次函数23y x bx =++的对称轴为2x =，则b = ． 4、当22x -<<时，下列函数中，函数值y 随自变量x 增大而增大的是 （只填写序号）①2y x =；②2y x =-；③2y x=-；④268y x x =++5、已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图所示， 则关于x 的一 元二次方程220x x m -++=的解为 ．6、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点（a+b, c ）在第 象限。
二次函数知识总结及典型例题
二次函数：一般地，形如 c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a 的函数叫做二次函数.。
例1. 当m_______时,函数y=(m+1)2mmx --2x+1是二次函数？a----决定了抛物线的形状、开口方向、开口大小。
a 相同抛物线的形状相同，a越大开口越小，a 越大开口越小，a ＞0开口向上，a ＜0开口向下。
b----与a 共同决定了抛物线对称轴（x ＝2b a -）的位置。
对称轴为正，a 、b 异号，对称轴为负，a 、b 同号。
c----决定了抛物线与y 轴交点的位置，c ＞0与y 轴的正半轴相交，c ＜0与y 轴的负半轴相交。
例2.已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图，则点()P a bc ，在第_____象限． 与y 轴的交点-----令x=0,则（0，c ）△＞0 与x 轴有两个交点（这两个交点关于对称轴对称） 与x 轴的交点-----令y=0,则ax 2+bx+c=0 △＝0 与x 轴只有一个交点（或顶点在x 轴上）函数值恒为正----a ＞0, △＜0△＜0 与x 轴没交点函数值恒为负----a ＞0, △＜0 例3. 抛物线322--=x xy 与x 轴分别交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，则AB 的长为 ，三角形ABC 的面积是 。
例4.抛物线y=ax2+bx+c 中，b ＝4a ，它的图象如图，有以下结论： ①c>0； ②a+b+c> 0 ③a-b+c> 0 ④b2-4ac<0 ⑤abc< 0其中正确的为（ ） A ．①② B ．①④ C ．①②③ D ．①③⑤ 二次函数的增减性是以对称轴x ＝-ab 2为界分成性质不同的两部分，因此涉及到二次函数的增减性时通常先求出对称轴然后根据开口方向画出草图数形结合分析。
例5.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图，若点A(1,y 1)、B(2,y 2)是它图象上的两点，则y 1与y 2的大小关系是（ ） (A) y 1＜y 2 (B) y 1=y 2 (C) y 1＞y 2 (D)不能确定二次函数知识总结及典型例题抛物线y ＝ax 2+bx+c(a ≠0) 的顶点坐标(-a b 2，ab ac 442-) (注：利用顶点坐标公式可以求二次函数的对称轴、最大（小）值；也可以将一般式：y ＝ax 2+bx+c 化成顶点式：y ＝a(x-顶点横坐标)2+顶点的纵坐标 例6. 若二次函数52++=bx x y 配方后为k x y +-=2)2(则b 、k 的值分别为（ ）A .0 5B .0. 1 C.-4. 5 D.-4. 1 一般式：y ＝ax 2+bx+c 已知三个点时顶点式：y ＝a(x-h)2+k 已知顶点坐标或对称轴、最大（小）值时 交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2) 已知抛物线与x 轴的交点坐标时 例7.(1)已知二次函数的图象如图所示，求这个二次函数的表达式.（2）已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求该二次函数的解析式。
二次函数基础知识练习
二次函数的基础知识练习（1） 徐秀前编辑于2014/7/191.下列函数中，图象经过原点的是（ ）2.抛物线y =x 2﹣2x +3开口向________,顶点坐标是 ,对称轴是______________,有最_______值，最值是___________；可由抛物线y =x 2___________________________________平移得到当x __________时，y 随x 的增大而增大，当x __________时，y 随x 的增大而减小。
画草图：3. 如图，对称轴平行于y 轴的抛物线与x 轴交于（1，0），（3，0）两点，則它的对称轴为 ，当x _______________时，y =0； 当x _______________时，y >0； 当x _______________时，y <0； 当x _______时，y 有最_________值4. 如图是二次函数2y x 2x 4=-++的图象，使y 1≤成立的x 的取值范围是【 】A ．1x 3-≤≤B ．x 1≤-C ．x 1≥D ．x 1≤-或x 3≥5.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P （4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为．6.已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：则当y＜5时，x的取值范围是．画草图：228. 对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）9.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2．其中，正确结论的个数是（）A．0 B． 1 C． 2 D． 310.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）A．函数有最小值B．对称轴是直线x=C．当x＜，y随x的增大而减小D．当﹣1＜x＜2时，y＞011.抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为（）12.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D． 1个13. “如果二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴有两个公共点，那么一元二次方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m 、n （m ＜n ）是关于x 的方程1﹣（x ﹣a ）（x ﹣b ）=0的两根，且a ＜b ，则a 、b 、m 、n 的大小关系是（ ）画草图：14. 已知函数y =（x ﹣m ）（x ﹣n ）（其中m ＜n ）的图象如图所示，则一次函数y =mx+n 与反比例函数y =的图象可能是（ ）A ．BCD ．15. 如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于A （－1，0）、 点B （3，0）和点C （0，－3），一次函数的图象与抛物线交于B 、C 两点。
二次函数各知识点、考点、典型例题及练习
二次函数各知识点、考点、典型例题及对应练习题型 1 二次函数的概念例1（基础）.二次函数2365y x x =--+的图像的顶点坐标是（ ） A ．（-1，8） B.（1，8） C （-1，2） D （1，-4） 题型2 二次函数的性质例2 若二次函数24y ax bx =+-的图像开口向上，与x 轴的交点为（4，0），（-2，0）知，此抛物线的对称轴为直线x=1，此时121,2x x =-=时，对应的y 1 与y 2的大小关系是（ ）A ．y 1 <y 2 B. y 1 =y 2 C. y 1 >y 2 D.不确定 题型3 二次函数图像性质（共存问题、符号问题）例3、函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象可能是（ ）例4 已知=次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图．则下列5个代数式：ac ，a+b+c ，4a －2b+c ， 2a+b ，2a －b 中，其值大于0的个数为（ ） A ．2B 3C 、4D 、5题型4 二次函数的平移例5.将抛物线22y x =向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ） A ．22(1)y x =+B ．22(1)y x =-C ．221y x =+D ．221y x =-题型65 二次函数应用销售利润类问题例6 某商品的进价每件为50元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出70件.如果每件的售价每涨10元（售价每件不能高于140元），那么每星期少卖5 B ． C ．⑴ 求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围。
⑵ 如何定价才能使每周的利润最大且每周销量较大？每周的最大利润是多少？【基础达标训练】 一、选择题1.抛物线3)2(2+-=x y 的顶点坐标是（ ）A ．（2，3）B ．（－2，3）C ．（2，－3）D ．（－2，－3） 2.二次函数2(1)2y x =++的最小值是（ ）． A ．2 B ．1 C ．－3 D ．233.抛物线22()y x m n =++（m n ，是常数）的顶点坐标是（ ）A ．()m n ，B ．()m n -，C ．()m n -，D ．()m n --，4.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论：0ac >①；②方程20ax bx c ++=的两根之和大于0；y ③随x 的增大而增大；④0a b c -+<，其中正确的个数（）A ．4个B ．3个 C2个 D ．1个 5. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图2所示，若点A （1，y 1）、B （2，y 2）是它图象上的两点，则y 1与y 2的大小关系是（ ）A ．21y y <B ．21y y =C ．21y y >D ．不能确定 6.抛物线(1)(3)(0)y a x x a =+-≠的对称轴是直线（ ）A ．1x =B ．1x =-C ．3x =-D ．3x =7.把二次函数3412+--=x x y 用配方法化成()k h x a y +-=2的形式 A.()22412+--=x yB.()42412+-=x yC.()42412++-=x yD.321212+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y二、填空题8.图6（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图6（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是_____________9. 把抛物线y ＝ax 2+bx+c 的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y ＝x 2－3x+5，则a+b+c=__________10.抛物线2y x bx c =-++的部分图象如图8所示，请写出与其关系式、图象相关的2个正确结论： ， ．（对称轴方程，图象与x 正半轴、y 轴交点坐标例外）11.将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm 2．12.若抛物线23y ax bx =++与232y x x =-++的两交点关于原点对称，则a b 、分别为 ．图6（1） 图6（2）三、解答题13.某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）符合一次函数y kx b =+，且65x =时，55y =；75x =时，45y =． （1）求一次函数y kx b =+的表达式；（2）若该商场获得利润为W 元，试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？ （3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x 的范围．14.心理学家发现，学生对概念接受能力y 与提出概念所用时间x(单位：分)之间满足函数关系：y=-0.1x2+2.6x+43(0＜x ＜30)。
《二次函数》基础复习(知识+练习)
《二次函数》全章复习与巩固—知识讲解（基础）【学习目标】1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题；4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.【知识网络】【要点梳理】要点一、二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么称y是x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线开口越小.要点二、二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④，其中；⑤.（以上式子a≠0）当(轴) (轴)(，)2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. (2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.3.抛物线20()y ax bx c a =++≠中，,,a b c 的作用： (1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于其对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧； ③(即 、异号)时，对称轴在轴右侧.(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .4.用待定系数法求二次函数的解析式： (1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(可以看成的图象平移后所对应的函数.)(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).要点诠释：求抛物线2y ax bx c =++（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点三、二次函数与一元二次方程的关系函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点诠释：二次函数图象与x 轴的交点的个数由的值来确定.(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点四、利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.【典型例题】类型一、求二次函数的解析式例1．已知二次函数的图象经过原点及点11,24⎛⎫--⎪⎝⎭，且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为____ ____．举一反三：【变式】已知：抛物线y=x 2+bx+c 的对称轴为x=1，交x 轴于点A 、B(A 在B 的左侧)，且AB=4，交y 轴于点C.求此抛物线的函数解析式及其顶点M 的坐标.类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号例2．二次函数2y ax bx c =++的图象如图1所示，反比例函数ay x=与正比例函数y ＝(b+c)x 在同一坐标系中的大致图象可能是( )．类型三、数形结合例3．如图所示是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，其对称轴为直线x ＝1，若其与x 轴一交点为(3，0)，则由图象可知，不等式20ax bx c ++>的解集是________．类型四、函数与方程例4．已知抛物线c x x y ++=221与x 轴没有交点． ①求c 的取值范围； ②试确定直线1+=cx y 经过的象限，并说明理由．举一反三：【变式1】无论x 为何实数，二次函数的图象永远在x 轴的下方的条件是( ) A ． B ． C ． D ．【变式2】对于二次函数，我们把使函数值等于0的实数x 叫做这个函数的零点， 则二次函数(m 为实数)的零点的个数是( )A ．1B ．2C ．0D ．不能确定类型五、分类讨论例5．已知点A(1，1)在二次函数22y x ax b =-+的图象上．(1)用含a 的代数式表示b ；(2)如果该二次函数的图象与x 轴只有一个交点，求这个二次函数的图象的顶点坐标．类型六、二次函数与实际问题例6．为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y(台)与补贴款额x(元)之间大致满足图1所示的一次函数关系．随着补贴款额x的不断增大，销售量也不断增大，但每台彩电的收益z(元)会相应降低且z与x之间也大致满足图2所示的一次函数关系．(1)在政府出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元?(2)在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y和每台家电的收益z与政府补贴款额x之间的函数关系式；(3)要使该商场销售彩电的总收益ω(元)最大，政府应将每台补贴款额x定为多少?并求出总收益ω的最大值．《二次函数》全章复习与巩固—基础练习一、选择题1．将二次函数2y x =的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是( )．A ．2(1)2y x =-+ B ．2(1)2y x =++ C ．2(1)2y x =-- D ．2(1)2y x =+- 2．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b cy x++=在同一坐标系内的图象大致为（ ）．3．抛物线2y x bx c =++图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式为223y x x =--，则b 、c 的值为( )．A ．b ＝2，c ＝2B ．b ＝2，c ＝0C ．b ＝-2，c ＝-1D ．b ＝-3，c ＝2 4. 抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（ ）A ．22y x x =-- B ．211122y x x =-++ C ．211122y x x =--+ D ．22y x x =-++5．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列结论：①240b ac ->；②abc ＞0；③8a+c ＞0；④9a+3b+c ＜0．其中，正确结论的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4第4题 第5题6．已知点(1x ，1y )，(2x ，2y )(两点不重合)均在抛物线21y x =-上，则下列说法正确的是( )．A ．若12y y =，则12x x =B ．若12x x =-，则12y y =-C ．若120x x <<，则12y y >D ．若120x x <<，则12y y >7．在反比例函数a y x=中，当0x >时，y 随x 的增大而减小，则二次函数2y ax ax =-的图象大致是图中的( )．8．已知二次函数2y ax bx c =++(其中0a >，0b >，0c <)，关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x 轴的交点至少有一个在y 轴的右侧． 以上说法正确的有( )．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题9．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++>的对称轴为直线1x =，且经过点1(1,)y -，2(2,)y ，试比较1y 和2y 的大小：1y ________2y （填“＞”，“＜”或“＝”）．10．抛物线2y x bx c =-++的图象如图所示，则此抛物线的解析式为___ _____． 11．抛物线22(2)6y x =--的顶点为C ，已知y ＝-kx+3的图象经过点C ，则这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积为________．12．已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为___ _____．第10题 第12题 第13题13．如图所示的抛物线是二次函数2231y ax x a =-+-的图象，那么a 的值是________． 14．烟花厂为扬州“4·18”烟花三月经贸旅游节特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是252012h t t =-++，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为________．15．已知抛物线2y ax bx c =++经过点A(-1，4)，B(5，4)，C(3，-6)，则该抛物线上纵坐标为-6的另一个点的坐标是________．16．若二次函数26y x x c =-+的图象过A(-1，y 1)、B(2，y 2)、C(3，y 3)三点，则y 1、y 2、y 3大小关系是 .三、解答题17．杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体运动(看成一点)的路线是抛物线23315y x x =-++的一部分，如图所示．(1)求演员弹跳离地面的最大高度；(2)已知人梯高BC ＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A 的水平距离是4米，问这次表演是否成功?请说明理由．18. 如图所示，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上、下底相距80米，在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道，上、下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等，设甬道的宽为x 米．(1)用含x 的式子表示横向甬道的面积；(2)当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；(3)根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米．如果修建甬道的总费用(万元)与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少?最少费用是多少万元?19．为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯．已知太阳能路灯售价为5000元/个，目前两个商家有此产品．甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过100个，按原价付款；若一次购买100个以上，且购买的个数每增加一个，其价格减少10元，但太阳能路灯的售价不得低于3500元/个．乙店一律按原价的80%销售．现购买太阳能路灯x个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为y2元．(1)分别求出y1、y2与x之间的函数关系式；(2)若市政府投资140万元，最多能购买多少个太阳能路灯?20. 王亮同学善于改进学习方法，他发现对解题过程进行回顾反思，效果会更好．某一天他利用了30分钟时间进行自主学习．假设他用于解题的时间x(单位：分钟)与学习收益量)y 的关系如图1所示，用于回顾反思的时间x(单位：分钟)与学习收益量y的关系如图2所示(其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点)，且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间．(1)求王亮解题的学习收益量y与用于解题的时间x之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)求王亮回顾反思的学习收益量y与用于回顾反思的时间x之间的函数关系式；(3)王亮如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这30分钟的学习收益总量最大?(注：学习收益总量＝解题的学习收益量+回顾反思的学习收益量)【答案与解析】一、选择题1.【答案】A ；【解析】2y x =向右平移1个单位后，顶点为（1，0），再向上平移2个单位后，顶点为（1，2），开口方向及大小不变，所以1a =，即2(1)2y x =-=．2.【答案】D ；【解析】由上图可知0a >，0c <，02b a->，∴ 0b <．0a b c ++<．240b ac ->， ∴ 反比例函数图象在第二、四象限内，一次函数图象经过第一、二、四象限，因此选D ．3.【答案】B ；【解析】2223(1)4y x x x =--=--，把抛物线2(1)4y x =--向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得抛物线2(1)1y x =+-，∴ 222(1)12y x bx c x x x =++=+-=+，∴ b ＝2，c ＝0．因此选B ．4.【答案】D ；【解析】由图象知，抛物线与x 轴两交点是（-1，0），（2，0），又开口方向向下，所以0a <，抛物线与y 轴交点纵坐标大于1．显然A 、B 、C 不合题意，故选D ．5.【答案】D ；【解析】抛物线与x 轴交于两点，则0b <．由图象可知a ＞0，c ＜0，则b ＜0，故abc ＞0．当x ＝-2时，y ＝4a-2b+c ＞0．∵ 12b x a=-=，∴ b ＝-2a ， ∴ 4a-(-2a)×2+c ＞0，即8a+c ＞0．当x ＝3时，y ＝9a+3b+c ＜0，故4个结论都正确．6.【答案】D ；则12y y =；若120x x <<，则21y y >；若120x x <<，则12y y >．7．【答案】A ；【解析】因为a y x=，当0x >时，y 随x 增大而减小，所以a ＞0，因此抛物线2(1)y ax ax a x x =-=- 开口向上，且与x 轴相交于（0，0）和（1，0）． 8．【答案】C ；【解析】∵ 0a >，0b >，∴ 抛物线开口向上，02b x a =-<，因此抛物线顶点在y 轴的左侧，不可能在第四象限；又0c <， 120c x x a =<·，抛物线与x 轴交于原点的两侧， 因此①③是正确的．二、填空题9．【答案】＞；【解析】根据题意画出抛物线大致图象，找出x ＝-1，x ＝2时的函数值，比较其大小，易如12y y >．10．【答案】223y x x =-++；【解析】由题意和图象知抛物线与x 轴两交点为（3，0）、（-1，0），∴ 抛物线解析式为(3)(1)y x x =--+，即223y x x =-++．11．【答案】1；【解析】92k =，932y x =-+，与坐标轴交点为(0，3)，2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭． 12．【答案】 x 1＝3或x 2＝-1 ；【解析】由二次函数22y x x m =-++部分图象知，与x 轴的一个交点为(3，0)．代入方程得m ＝3，解方程得x 1＝3或x 2＝-1．13．【答案】-1；【解析】因为抛物线过原点，所以210a -=，即1a =±，又抛物线开口向下，所以a ＝-1．14．【答案】4s ； 【解析】204(s)522t =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭． 15．【答案】(1，-6)；【解析】常规解法是先求出关系式，然后再求点的坐标，但此方法繁琐耗时易出错，仔细分析就会注意到：A 、B 两点纵坐标相同，它们关于抛物线对称轴对称，由A(-1，4)，B(5，4)得，对称轴1522x -+==，而抛物线上纵坐标为-6的一点是(3，-6)，所以它关于x ＝2的对称点是(1，-6)．故抛物线上纵坐标为-6的另一点的坐标是(1，-6)．16．【答案】y 1＞y 3＞y 2． 【解析】因为抛物线的对称轴为6323x -==⨯．而A 、B 在对称轴左侧，且y 随x 的增大而减小，∵ -1＜2，∴ y 1＞y 2，又C 在对称轴右侧，且A 、B 、C 三点到对称轴的距离分别为2，1，由对称性可知：y 1＞y 3＞y 2．三、解答题17.【答案与解析】 (1)2233519315524y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭． ∵ 305-<，∴ 函数的最大值是194． ∴ 演员弹跳离地面的最大高度是194米． (2)当x ＝4时，234341 3.45y BC =-⨯+⨯+==． ∴ 这次表演成功．18.【答案与解析】(1)横向甬道的面积为1201801502x +=(m 2)． (2)依题意：2112018028015028082x x x +⨯+-=⨯⨯， 整理得21557500x x -+=，解得x 1＝5，x 2＝150(不合题意，舍去)．∴ 甬道的宽为5米．(3)设建花坛的总费用为y 万元，则21201800.0280(1601502) 5.72y x x x x +⎡⎤=⨯⨯-+-+⎢⎥⎣⎦． ∴ y ＝0.04x 2-0.5x+240．当0.5 6.25220.04b x a =-==⨯时，y 的值最小． ∵ 根据设计的要求，甬道的宽不能超过6 m ．∴ 当x ＝6m 时，总费用最少，为0.04×62-0.5×6+240＝238.44(万元)．19.【答案与解析】得低于3500元/个，所以5000350010025010x -≤+=，即100≤x ≤250时，购买一个需5000-10(x-100)元．故y 1＝6000x-10x 2；当x ＞250时，购买一个需3500元．故y 1＝3500x ．所以215000(0100),600010(100250),3500(250),x x y x x x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪>⎩ y 2＝5000×80%x ＝4000x ．(2)当0＜x ≤100时，y 1＝5000x ≤500000＜1400000；当100＜x ≤250时，y 1＝6000x-10x 2＝-10(x-300)2+900000＜1400000；所以，由3500x ＝1400000，得x ＝400．由4000x ＝1400000，得x ＝350．故选择甲商家，最多能购买400个路灯．20.【答案与解析】(1)设y ＝kx ，把(2，4)代入，得k ＝2，所以y ＝2x ，自变量x 的取值范围是：0≤x ≤30．(2)当0≤x ＜5时，设y ＝a(x-5)2+25，把(0，0)代入，得25a+25＝0，a ＝-1，所以22(5)2510y x x x =--+=-+．当5≤x ≤15时，y ＝25． 即210(05),25(515).x x x y x ⎧-+≤<=⎨≤≤⎩(3)设王亮用于回顾反思的时间为x(0≤x ＜5)分钟，学习收益总量为Z ，则他用于解题的时间为(30-x)分钟．当0≤x ＜5时，222102(30)860(4)76Z x x x x x x =-++-=-++=--+．所以当x ＝4时，76Z =最大．当5≤x ≤15时，Z ＝25+2(30-x)＝-2x+85．因为Z 随x 的增大而减小，所以当x ＝5时，75Z =最大．综合所述，当x ＝4时，76Z =最大，此时30-x ＝26．即王亮用于解题的时间为26分钟，用于回顾反思的时间为4分钟时．学习收益总量最大．。
二次函数基础知识综合练(2)
二次函数综合练习（1）一、填空题 1．抛物线22-=x y 的顶点坐标为（ ） 2．二次函数y=(x －3)(x ＋2)的图象的对称轴是（ ） 3．已知抛物线y=x 2－8x ＋c 的顶点在x 轴上，则c 的值是（ ）4．童装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y （元）与销售单价x （元）满足关系 y=－x 2+50x －500，则要想获得最大利润每天必须卖出（ ） 5．二次函数y ＝x 2－2x+1与x 轴的交点个数是（ ） 6．若A(－134，y 1)、B(－1，y 2)、C(53，y 3)为二次函数y=－x 2－4x+5的图象上的三点，则y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ）7．把抛物线y ＝2x 2先向左平移3个单位，向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（ ） 8．某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物（如图所示），大门的地面宽度为8m ，两侧距地 面4米高处各有一个挂校名匾用的铁环，两铁环的水平距离为6 m ，则校门的高为（精 确到0.1 m ，水泥建筑物的厚度忽略不计）（ ）9．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则abc ，ac b 42-，b a +2，c b a ++这四个式子中，值为正数的有（ ） 10．已知函数y=x 2－2x －2的图象如图2示，根据其中提供的信息，可求得使y ≥1成立的x的取值范围是（ ）第8题) (第9第11．抛物线2)3(94-=x y 与x 轴的交点为A ，与y 轴的交点为B ，则△AOB 的面积为 。
12．某二次函数的图象与x 轴交于点(－1，0)，(4，0)，且它的形状与抛物线y ＝－x 2形状相同。
则这个二次函数的解析式为 。
13．二次函数的图象经过三个定点（2，0），（3，0），（•0，-•1），则它的解析式为________，该图象的顶点坐标为__________．对称轴 14．当k=________时，直线x+2y+k+1=0和2x+y+2k=0的交点在抛物线y=-x 2上．15．已知二次函数y=x 2-2（k+1）x+k 2+2的图象与x 轴交点的横坐标分别为x 1，x 2，且（x 1+1）（x 2+1）=8，则k 的值为__________． 16．如果y 与x 2成正比例，并且它的图象上一点P 的横坐标a 和纵坐标b 分别是方程x 2-x-6=0的两根，那么这个函数的解析式为_________． 17．抛物线y=x 2-4x+11的对称轴是直线________，顶点坐标为________． 18．如果抛物线y=-23x 2+（m+2）x+27m 的对称轴为直线x=32，则m 的值为_________．19．把函数y=5x 2+10mx+n 的图象向左平移2个单位，向上平移3个单位，•所得图象的函数解析式为y=5x 2+30x+44，则m=_______，n=_______． 20．开口向下的抛物线y=a （x+1）（x-4）与x 轴交于A 、B 两点，与y•轴交于点C ．•若∠ACB=90°，则a 的值为________． 21．如图，二次函数y=x 2-ax+a-5的图象交x 轴于点A 和B ，交y 轴于点C ，当线段AB•的长度最短时，点C 的坐标为________． 22．在同一直角坐标系内，二次函数y 1=ax 2+bx+c 与y 2=cx 2+bx+a 的图象大致为（ ）23．在同一直角坐标系内，函数y=ax 2+bx 与y=b x（b ≠0）的图象大致为（ ）25．给出下列四个函数：y=-2x ，y=2x-1，y=3x （x>0），y=-x 2+3（x>0），其中y 随x•的增大而减小的函数有（ ）26．当m 取任何实数时，抛物线y=-2（x-m ）2-m 的顶点所在的直线为（ ） A ．x 轴 B ．y 轴 C ．y=x D ．y=-x27．当m 取任何实数时，抛物线y=-2（x+m ）2-m 2的顶点所在的曲线为（ ） A ．y=x 2 B ．y=-x 2 C ．y=x 2（x>0） D ．y=-x 2（x>0）28．已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）与抛物线y=x 2-4x+3关于x 轴对称，则a 、b 、c•的值分别是（ ） A ．-1，4，-3 B ．-1，-4，-3 C ．-1，4，3 D ．-1，-4，3 29、.已知二次函数y =x 2+(2k +1)x +k 2－1的最小值是0，则k 的值是（ ）A.43 B.－43 C.45 D.－45二次函数综合练习（2）30．如果抛物线y=-23x 2+（m+2）x+27m 的对称轴为直线x=32，则m 的值为_________．31、如果抛物线y=x 2-6x+c-2的顶点到x 轴的距离是3,那么c 的值等于（ ）32、直线y=3x-3与抛物线y=x 2-x+1的交点的个数是( ).33.抛物线y=4x 2-1与y 轴的交点坐标是_________,与x 轴的交点坐标是_____. 34.在同一坐标系中，二次函数y=－21x 2，y=x 2，y=－3x 2的开口由大到小的顺序是______.35.已知抛物线y=－2(x+1)2－3，如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是______ 36.函数y=34x －2－3x 2有最_ _值为___.37.函数y=21x 2+2x+1写成y=a(x －h)2+k 的形式是（ ）38.抛物线y=－2x 2－x+1的顶点在第_____象限（ ）39.不论m 取任何实数，抛物线y=a(x+m)2+m(a ≠0)的顶点都( )A.在y=x 直线上;B.在直线y=－x 上;C.在x 轴上;D.在y 轴上40、函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象经过原点和第一、三、四象限，则函数有最______值，且a________0，b________0，c__________0。
二次函数知识点及重点题练习答案解析
答案
基础训练
1
3
1.函数 y= 的大致图象是( B ).
【解析】取值验证可知,函数
1
y= 3 的大致图象是选项
B 中的图象.
答案
解析
2
2.若二次函数 y=-2x -4x+t 的图象的顶点在 x 轴上,则 t 的值是( C ).
A.-4
B.4
C.-2
D.2
【解析】∵二次函数的图象的顶点在 x 轴上,∴Δ=16+8t=0,可
2.五种常见幂函数的图象
答案
3.幂函数的性质
(1)当 α>0 时,幂函数 y=xα 的图象过点 (0,0) 和 (1,1) ,在(0,+∞)上
是 增函数 .在第一象限内,当 α>1 时,图象下凹,当 0<α<1 时,图象上凸.
(2)当 α<0 时,幂函数 y=xα 的图象过点 (1,1) ,在(0,+∞)上是 减函数 .
4
2
∴h(m)=
-2m +
2
17 3
4
, < m ≤ 1,
4
3
-3 + 4m + 2,0 < m ≤ .
4
点拨：解决二次函数最值问题的关键是抓住“三点一轴”,其中“三点”
是指区间的两个端点和抛物线的顶点,“一轴”指的是对称轴,结合配方法,
根据函数的单调性及分类讨论思想即可解题.
点拨
【追踪训练 2】已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在[0,1]上的最大值为 2,求
当 a≠0 时,f(x)图象的对称轴为直线
3-
x= ,
北师大版八年级数学上册 第二章 二次函数知识整理及基础训练(含答案)
第二章 二次函数知识整理及基础训练【知识整理】1. 定义：形如：c bx ax y ++=2（其中a,b,c 是常数，且a ≠0）的函数是二次函数。
2. 本质：二次函数是用自变量的二次式表示的函数。
3. 图象：二次函数的图象是抛物线，抛物线是轴对称图形，对称轴和抛物线的交点叫做抛物线的顶点。
4. 二次项的系数a 对抛物线的影响：当 a>0时,抛物线的开口向上, 当 a<0时,抛物线的开口向下；a 越大开口越小, a 越小开口越大、综上所述：a 决定抛物线的开口大小和方向，即a 决定抛物线的形状。
5. 一次项的系数b 对抛物线的影响： 当b=0时,抛物线的对称轴是y 轴； 当a,b 同号时,对称轴在y 轴的左边；当a,b 异号时,对称轴在y 轴的右边。
即“左同右异” 综上所述：a,b 决定抛物线的左右位置。
6. 常数项c 对抛物线的影响：当c>0时,抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴； 当c<0时,抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴； 当c=0时,抛物线经过原点、综上所述：c 决定抛物线的上下位置。
7. 判别式⊿对抛物线的影响：当⊿>0时,抛物线与x 轴有两个交点；当⊿=0时,抛物线与x 轴有一个交点,即顶点在x 轴上； 当⊿<0时,抛物线与x 轴没有交点。
综上所述：⊿决定抛物线与x 轴交点的个数。
8. 当 a>0且⊿<0时, 二次函数c bx ax y ++=2的值恒为正；当 a<0且⊿<0时, 二次函数c bx ax y ++=2的值恒为负。
9. 当x=0, 二次函数c bx ax y ++=2的值为c, 当x=1, 二次函数c bx ax y ++=2的值为c b a ++, 当x=-1, 二次函数c bx ax y ++=2的值为c b a+-,……10. 二次函数c bx ax y ++=2的对称轴为直线abx 2-=，顶点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,2211. 二次函数的解析式有如下三种形式：12. 当 a>0时，若a bx 2-<，y 随着x 的增大而减小，若a b x 2->，y 随着x 的增大而增大，当 a<0时，若a bx 2-<，y 随着x 的增大而增大，若ab x 2->，y 随着x 的增大而减小。
二次函数基础知识 (3)
二次函数基础知识一、单选题1．若点A （1，y 1），B （2，y 2），C （m ，y 3）在抛物线y =()21a x c ++（a ≠0）上，且y 1＜y 2＜y 3，则m 的值不可能是（ ） A ．5B ．3C ．－3D ．－52．一位运动员在离篮筐水平距离4m 处起跳投篮，球运行路线可看作抛物线，当球离开运动员的水平距离为1m 时，它与篮筐同高，球运行中的最大高度为3.5m ，最后准确落入篮筐，已知篮筐到地面的距离为3.05m ，该运动员投篮出手点距离地面的高度为（ ）A ．1.5mB ．2mC ．2.25mD ．2.5m3．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，对于下列结论：①b 2＞4ac ；①abc ＜0；①a +b ＜﹣c ；①当y ＜0时，﹣1＜x ＜3，其中正确结论的个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．24．抛物线y =x 2+2x -3与x 轴两个交点间的距离是（ ） A ．2B ．-2C ．4D ．-45．若关于x 的二次函数()22121y x a x =-+-+，当1x >-时，y 随x 的增大而减小，且关于y 的分式方程238211y a y y y+-+=--的解是正整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．5B ．8C ．12D ．156．对于题目“抛物线1l ：()()21414y x x =---<≤与直线2l ：y m =只有一个交点，则整数m 的值有几个”；你认为m 的值有（ ） A ．3个B ．5个C ．6个D ．7个7．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0），且a ＋b ＋c ＝－1，a ﹣b ＋c ＝－3．判断下列结论：①抛物线与x 轴负半轴必有一个交点；①b ＝1；①abc ＞0； ①2a ＋2b ＋c ＜0；①当0≤x ≤2时，y 最大＝3a ，其中正确结论的个数（ ） A ．2B ．3C ．4D ．58．若min {a ，b ，c }表示a 、b 、c 三个数中的最小值，则当x ≥0且y ＝min {x 2，x +2，7﹣x }时，y 的最大值为（ ）A B ．4 C ．112 D ．929．如图，曲线AB 是顶点为B 与y 轴交于点A 的抛物线242y x x =-++的部分，曲线BC 是双曲线ky x=的一部分，由点C 开始不断重复“A B C --”的过程，形成一组波浪线，点()2024,P m 与点()2032,Q n 均在该波浪线上，过点P 、Q 分别作x 轴的垂线，垂是为M ，N ，连PQ ，则四边形PMNQ 的面积为（ ）A ．72B ．36C ．16D ．910．已知：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc ＞0；①2a ＋b ＜0；①a －b ＋c ＜0；①当x ＞1时，y 随x 的增大而增大；①a ＞1，其中正确的项是（ ）A ．①①①B ．①①①C ．①①①D ．①①①11．如图，在直角坐标系中，()1,0A ，()0,2B ，()1,C t -，以A 为位似中心且在点A 同侧，把ABC 按相似比2:1放大，放大后的图形记作''AB C ，则'BC 的最小值是（ ）A B ．C ．2.5 D ．312．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如下左图所示，则一次函数y ＝ax ＋b 和反比例函数cy x=在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．13．已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，在下列五个结论中：①20a b -<；①0abc <；①0a b c ++<；①0a b c -+>；①420a b c ++>．其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14．抛物线y ＝x 2+bx +2的对称轴为直线x ＝1．若关于x 的一元二次方程x 2+bx +2﹣t ＝0（t为实数）在﹣1＜x＜5的范围内有实数根，则t的取值范围是（）A．t≥0B．5≤t＜17C．1≤t＜17D．3≤t＜19 15．如图，在Rt①ABC中，①C＝90°，①A＝60°，AB＝8，点P是AB边上直面的一个动点，过点P作PD①AB交直角边于点D，设AP为x，①APD的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题16．如图1，已知等边①ABC中，E，F，G分别是AB，BC，CA上的点，且AE＝BF＝CG，设①EFG的面积为y，AE的长为x，y关于x的函数图象如图2所示，则①EFG的最小面积为_________．17．函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，过点（﹣1，0），对称轴为x＝2，下列结论正确的是_____．①4a+b＝0；①24a +2b +3c ＜0；①若A （﹣3，y 1），B （﹣0.5，y 2），C （3.5，y 3）三点都在抛物线上，y 1＜y 2＜y 3； ①当x ＞﹣1时，y 随x 增大而增大．18．二次函数2y ax bx c =++，自变量x 与函数y 的对应值如表：则当22x -<<时，y 满足的范围是______．19．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是直线x ＝－1，它与x 轴交于（x 1，0）、（x 2，0），其中－3＜x 1＜－2，c ＞0，下列四个结论：① a ＜0；① 1＜x 2＜2；① 点（t ，y 1）、（t ＋2，y 2）在抛物线上，当y 1＜y 2时，则t ＜－2；① 关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝p （p ＞0）有整数根，则p 的值有3个，其中正确的有___________三、解答题20．某网店销售一批优质风干牦牛肉，平均每天可售出36袋，每袋盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减小库存，店家决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每袋每降价1元，商场平均每天可多售出2袋．问：（1）若店家要平均每天要盈利1520元，每袋风干牦牛肉应降价多少元？ （2）每袋风干牦牛肉降价多少元时，店家平均每天盈利最多？最多是多少元？ 21．如图，将小球从地面击出，小球的飞行路线是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有函数关系：2205h t t =-．（1）小球的飞行高度能否达到15m ？如果能，需要多少飞行时间？ （2）直接写出小球从飞出到落地需要的时间；（3）小球的飞行高度能否达到205m .？为什么？22．小军准备进行如下操作实验：把一根长为40cm 的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形，设其中一个正方形的边长为x cm ，这两个正方形的面积之和为2cm y ．请解答下列问题：（1）另一个正方形的边长为______cm （用含x 的代数式表示）； （2）要使这两个正方形的面积之和等于268cm ，小军应怎么剪？（3）小华对小军说：“这两个正方形的面积之和的最小值为250cm ．”他的说法正确吗？请说明理由．23．某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入，试销的30天中，该村第一天卖出土特产42千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出6千克，第x 天的售价为y 元/千克，y 关于x 的函数解析式为y ＝()()821202030mx m x n x ⎧-≤<⎪⎨≤≤⎪⎩，x 为正整数，且第14天的售价为34元/千克，第27天的售价为27元/千克．已知土特产的成本是21元/千克，每天的利润是W 元（利润＝销售收入﹣成本）． （1）m ＝ ，n ＝ ；（2）求每天的利润W 元与销售的天数x （天）之间的函数关系式； （3）在销售土特产的30天中，当天利润不低于1224元的共有多少天？24．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2223y x ax a a =-+--与x 轴分别交于P （1,0x ），Q （20x ，）（12x x ≠）．（1）求抛物线的顶点坐标； （2）当a =1时，求12x x +的值； （3）当123x x +>时，求a 的取值范围．25． 为迎接国庆节，某商店购进了一批成本为每件30元的纪念商品．经调查发现，该商品每天的销售量y （件）与销售单价x （元）满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求该商品每天的销售量y 与销售单价x 的函数关系式；（2）若商店按不低于成本价，且不高于60元的单价销售，求获得利润w（元）与销售单价x（元）的函数关系式；（3）求当获得利润w最大时，销售单价x为多少？26．在平面直角坐标系xOy中，对于抛物线y＝ax2﹣x+1（a＞0）．（1）求抛物线y＝ax2﹣x+1的顶点坐标；（2）当﹣1≤x≤2时，y的最大值为7，求a；（3）分别过点M（t，0）和点N（t+1，0）作x轴垂线，交抛物线于点A和B．记抛物线在A，B两点之间的部分为图象G（包括A，B两点），若对于任意的t，在图象G上都存在两点，且这两点纵坐标的差的绝对值不小于1，请直接写出a的最小值．参考答案1-5 CCCCB 6-10 DBDBB 11-15 DDCCB1617．①①① 18．45y -≤< 19．①①20．（1）每袋风干牦牛肉应降价20元，平均每天盈利为1520元；（2）降价11元时，店家盈利最多，最多1682元 【详解】解：(1)设每袋风干牦牛肉应降价x 元，根据题意，得()()362401520+-=x x ，解得12x =，220x =， 根据为了尽快减少库存，x 应取20，所以每袋风干牦牛肉应降价20元，平均每天盈利为1520； (2)设每天盈利为y 元，根据题意，得()()()2362402111682=+-=--+y x x x ，当11x =时，店家盈利最多，最多1682元．21．（1）能，当飞行时间为1s 和3s 时，小球的飞行高度能达到15m ；（2）小球从飞出到落地需要的时间为4s ；（3）不能．理由见解析． 【详解】解：（1）小球的飞行高度能达到15m ， 由h =15得：220515t t -=，即：2430t t -+=， 解得：11t =，23t =，①当飞行时间为1s 和3s 时，小球的飞行高度能达到15m ； （2）由h =0得：22050t t -=，即：240t t -=， 解得：10t =，24t =，小球从飞出到落地需要的时间为4s ；（3）小球的飞行高度不能达到205m .，理由为： 由h =20.5得：220.5205t t =-，即24 4.10t t -+=， ①Δ=(−4)2−4×4.1=−0.4<0，①该方程无实数根，即飞行高度达不到205m ..22．（1）()10x -；（2）两个正方形的周长分别为8cm 或32cm ，见解析；（3）小华的说法是正确的，见解析．【详解】解：（1）设其中一个正方形的边长为x cm ，则另一个正方形的边长为：404104xx -=-， 故答案为：（10x -）；（2）由题意得，22(10)68x x +-=222010068x x ∴-+=210160x x ∴-+=(2)(8)0x x ∴--=解得2x =或8x =故这两个正方形的周长分别为：42=8⨯cm 或48=32⨯cm ； （3）这两个正方形的面积之和为2cm y ，即 22(10)y x x =+-2201002x x -+= 22(10)100x x =-+ 2222(1055)100x x =-+-+ 22(5)50x =-+当x =5时，两个正方形的面积和最小为502cm ， 故小华的说法是正确的．23．（1）12-，27；（2）W ＝23102720(120)36216(2030)x x x x x ⎧-++≤<⎨+≤≤⎩，且x 为正整数；（3）17天【详解】解：（1）①第14天的售价为34元/千克， ①当x ＝14时，y ＝34， ①1＜14＜20，①把x ＝14，y ＝34代入y ＝mx ﹣82m 中， 14m ﹣82m ＝34， 解得：m ＝﹣12，①第27天的售价为27元/千克， ①当x ＝27时，y ＝27， ①27＞20，①把y ＝27代入y ＝n 中， 得：n ＝27，故答案为：﹣12，27；（2）由题意，第x 天的销售量为42+6（x ﹣1）＝6x +36，①第x 天的售价为y ＝()141(120)2272030x x x ⎧-+≤<⎪⎨⎪≤≤⎩，①当1≤x ＜20时，W ＝（﹣12x +41﹣21）（6x +36）＝﹣3x 2+102x +720， 当20≤x ＜30时，W ＝（27﹣21）（6x +36）＝36x +216，综上，W ＝()23102720(120)362162030x x x x x ⎧-++≤<⎪⎨+≤≤⎪⎩，且x 为正整数，（3）当1≤x ＜20，W ＝1224时， ﹣3x 2+102x +720＝1224， 解得：x 1＝6，x 2＝28， ①﹣3＜0，①当W ≥1224时，6≤x ＜20，且x 为正整数，①x 可取6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19共14天， 当20≤x ≤30，W ＝1224时， 36x +216＝1224， 解得：x ＝28， ①36＞0，①当W ≥1224时，28≤x ≤30，且x 为正整数， ①x 可取28，29，30共3天， 14+3＝17（天），综上，当天利润不低于1224元的共有17天． 24．（1）(),3a a -- （2）2 （3）32a >或32a <- （1）解：2223y x ax a a =-+--()23x a a =---∴顶点坐标为(),3a a --（2）解：抛物线的顶点坐标为(),3a a -- 则对称轴为x a =又抛物线2223y x ax a a =-+--与x 轴分别交于P （1,0x ），Q （20x ，） ∴对称轴122x x x a +==即122x x a +=1a =∴12x x +2=（3）解：由（2）可知122x x a +=∴当123x x +>时，即23a > 解得32a >或32a <- 25．（1）函数的关系式为：2160y x =-+ ；（2）222204800w x x =-+- 且30≤x ≤60；（3）销售单价定为55元时，该商店每天获得的利润最大，最大利润是1250元． （1）解：设销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式为y kx b =+，将点(30,100)、(45,70)代入，得100307045k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得2160k b =-⎧⎨=⎩， ①函数的关系式为：2160y x =-+ ，（2）解：每件利润为（x -30）元，①2(30)(2160)22204800w x x x x =--+=-+-，且30≤x ≤60，（3）将函数配方得：22(55)1250w x =--+ ，20-<，且30≤x ≤60，∴当55x =时，w 取得最大值，此时1250w =．①销售单价定为55元时，该商店每天获得的利润最大，最大利润是1250元． 26．（1）顶点坐标为（12a ，114a -）．（2）2a =（3）a 的最小值为 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线1122x a a -=-= ∴将12x a =代入抛物线解析式中，求得2111()11224y a a a a=⨯-+=-．∴ 抛物线顶点坐标为（12a ，114a-）． （2）解：由（1）可知：抛物线的对称轴为：102x a =>，且抛物线开口向上， ∴当﹣1≤x ≤2时，按照对称轴在x 的取值范围的中间值左右两侧，分为两类情况求解抛物线的最大值，情况1：当1121222a -+≤=，即1a ≥时， 此时：2x =时，y 有最大值为7，故27221a =⨯-+，解得：2a = ，2a ∴= ，情况2：当1121222a -+≥=，即01a <≤时， 此时：1x =-时，y 有最大值为7，故27(1)(1)1a =⨯---+，解得：5a =，01a <≤5a ∴=不符合题意，综上所述：2a =．（3）解：若对于任意的t ，在图象G 上都存在两点，且这两点纵坐标的差的绝对值不小于1， 故只需要对于每一个固定的1t x t ≤≤+中的最大值与最小值之差都不小于1即可， 对于不同的t 的取值范围，其取值范围上的最大值与最小值之差都不相同，∴需要在所有的t 的取值范围中找到最大值与最小值之差最小的那一个， 由二次函数的性质可知：当对称轴12x a=处在 1t x t ≤≤+的中间位置时，即1121222t t t a +++==，此时的最大值与最小值之差在整个t 的取值中最小， ∴此时：12x a =，y 有最小值为：114a-， x =1122a +时， y 有最大值为：1144a a -+， 11111444a a a ⎛⎫⎛⎫∴-+--≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：4a ≥。
二次函数知识点练习
二次函数知识点练习一、课程标准：1.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义；2.会用描点法画出二次函数的图像，通过图像了解二次函数的性质；3.会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式，并能由此得到二次函数图像的顶点坐标，说出图像的开口方向，画出图像的对称轴，并能解决简单实际问题；4.会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解；5*.知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数。
二、习题精选：（一）基础题1.函数y=(m-2)x m2-m+mx+1，当m取何值时y是x二次函数.2.某长方形的周长为24cm，其中一边长为xcm（x＞0），面积为ycm2，则y与x的关系式为.3.写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：（1）y=2x2（2）y=2(x+2)2（3）y=-3(x-1)2-2 （4）y=-2x2+8x-84.(2021徐州)在平面直角坐标系中，将二次函数 y=x2的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（）A . y=(x-2)2+1B . y=(x+2)2+1C . y=(x+2)2-1D . y=(x-2)2-15. (2021襄阳)一次函数 y=ax+b 的图象如图所示，则二次函数 y=ax2+bx 的图象可能是（）A .B .C .D .6.已知二次函数图像顶点坐标为（-1，-6），并且图像经过点（0,5），求这个二次函数的解析式.7.已知二次函数y=x2-4x+3，求解下列问题：（1）开口方向，顶点坐标，对称轴；（2）最值（3）抛物线与x轴、y轴的交点坐标；（4）作出函数图像；（5）当x值取何值时，y>0，y<0？（6）当x取何值时，y随x的增大而增大，y随x的增大而增小？（7）怎样由y=x2-4x+3的图像得到y=x2的图像？8.一个二次函数的图像经过（0,0）、（-1，-1）、（1,9）三点.求这个二次函数的解析式.9.已知函数y=(k-3)x2+2x+1的图像与x轴有交点，则k的取值范围为（）A . k < 4 B. k≤4 C. k<4且k≠3 D. k≤4且k≠310.(2021淮安)某超市经销一种商品，每件成本为50元.经市场调研，当该商品每件的销售价为60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件.设该商品每件的销售价为x元，每个月的销售量为y件.（1）求y与x的函数表达式；（2）当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利润最大？最大利润是多少？11.已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（）A .﹣1＜x＜4B .x＜﹣1或x＞3C .x＜﹣1或x＞4D .﹣1＜x＜3（二）提升题1. (2017常德)如图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形的边上．若设AE=x，正方形EFGH的面积为y，则y与x的函数关系为.2.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm，BC=24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么△PBQ的面积S随出发时间t如何变化？写出函数关系式及t的取值范围.3.（2021泰安）将抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（）A．（﹣2，2）B．（﹣1，1）C．（0，6）D．（1，﹣3）4.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图像，给出下列结论：①a>0 ②b<0 ③c>0 ④abc>0⑤方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根⑥b2-4ac<0⑦b=-2a ⑧a-b+c=0⑨4a+2b+c<0 ⑩4a-2b+c>0○112a+c>0 ○12a+b≥m(am+b)（m为实数）其中正确的结论是 .（填序号）5.（2021济宁）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的正半轴交于点A，对称轴为直线x＝1．下面结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③3a+c＞0；④方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一个根大于﹣1且小于0．其中正确的是．（只填序号）6.（2021烟台）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．下列结论：①ac＞0；②当x＞0时，y随x的增大而增大；③3a+c＝0；④a+b≥am2+bm．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7.（2021德州部分）小刚在用描点法画抛物线C1：y＝ax2+bx+c时，列出了下面的表格：x…01234…y…36763…（1）请根据表格中的信息，写出抛物线C1的一条性质：；（2）求抛物线C1的解析式；8.某产品每件成本是10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：x（元）... 15 20 25 ...y（元）... 25 20 15 ...若日销售量y是销售价x的一次函数．（1）求出日销售量y（件）是销售价x（元）的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日的销售利润是多少元？9.如图，抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴交于A （1，0），B （-3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴与C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.10.如图，抛物线y= -21x 2+mx+n 与x 轴交于A,B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称抽交x 轴于点D ，已知A （-1,0），C （0,2） （1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E 时线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时E 点的坐标．答案（一）基础题：1. m=-12.y=12x-x 23.略4.B5. D6.y=(x+1)2-6(1)开口向上、顶点(2,-1)、对称轴x=2；(2)有最小值为-1；（3）与x 轴的交点（1,0）、（3,0），与y 轴的交点（0,3）；（4）略；（5）当x ˂1或x>3时 y>0,当1˂x ˂3时 y ˂0 （6） x>2当时，y 随着x 的增大而增大 ,x ˂2当时，y 随着x 的增大而减小；（7）先向左平移2个单位，再向上平移1个单位8.y=-x 2+4x+3 9.B 10.（1）y=-10x+900 （2）每件销售价为70元时，获得最大利润；最大利润为4000元. 11.D（二）提升题1.y=2x 2-4x+4 2.S=-4t 2+24t , 0˂t ˂63.B4. ③⑤⑦⑧○11○125.①②④6.B7.略8.解：（1）设此一次函数关系式为y=kx+b ，则， 解得k=-1，b=40故一次函数的关系式为y=-x+40． （2）设所获利润为W 元，则W=（x-10）（40-x ）=-x 2+50x-400=-(x-25)2+225所以产品的销售价应定为25元，此时每日的销售利润为225元． 9.解：（1）将A （1，0），B （-3，0）代y=-x 2+bx+c 中得：-1+b+c=0-9-3b+c=0 解得 b=-2， c=3 ∴抛物线解析式为：y=-x 2-2x+3； （2）存在，理由如下：由题意可知A 、B 关于抛物线的对称轴x=-1对称∴直线BC 与抛物线的对称轴x=-1的交点即为Q 点，此时△QAC 的周长最小 ∵C 点的坐标为（0,3）∴直线BC 的解析式为：y=x+3 把x=-1带入y=x+3得y=2 ∴Q 点的坐标为（-1,2） 10.（1）抛物线的解析式为：y=-21x 2+23x+2； （2）∵y=-21x 2+23x+2 ∴y=-21（x-23)2+825∴抛物线的对称轴是x=23．∴OD=23 ∵C （0，2）， ∴OC=2．在Rt △OCD 中，由勾股定理，得CD=25∵△CDP 是以CD 为腰的等腰三角形， ∴CP 1=DP 2=DP 3=CD ．作CH ⊥x 对称轴于H ，∴HP 1=HD=2， ∴DP 1=4． ∴P 1（23，4），P 2（23，25），P 3（23，-25）. 当y=0时，0==-21x 2+23x+2 ∴x 1=-1，x 2=4， ∴B （4，0）． ∴直线BC 的解析式为：y=-21x+2． 如图2，过点C 作CM ⊥EF 于M ，设E （a ，-21a+2），F （a ，-21a 2+23a+2）， ∴EF=-21a 2+23a+2-（-21a+2）=-21a 2+2a （0≤x ≤4）． ∵S 四边形CDBF =S △BCD +S △CEF +S △BEF =21BD •OC+21EF •CM+21EF •BN ， =21×25×2+21a （-21a 2+2a ）+21（4-a ）（-21a 2+2a ）， =-a 2+4a+25（0≤x ≤4）． =-（a-2）2+213 ∴a=2时，S 四边形CDBF 的面积最大=213 ∴E （2，1）．。
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1、抛物线y=（x+2）2﹣3的顶点坐标 ；对称轴方程 ，开口向 最值：当x= 时， y 有最 值是 ；
单调性：当x 时，y 随x 的增大而 ， 当x 时，y 随x 的增大而
1.1 抛物线y= — 4（x ﹣）2+的顶点坐标 ；对称轴方程 ，开口向 最值：当x= 时， y 有最 值是 ；
单调性：当x 时，y 随x 的增大而 ， 当x 时，y 随x 的增大而
1.2抛物线 y= 4(x －3)2+7的顶点坐标 ；对称轴方程 ，开口向 最值：当x= 时， y 有最 值是 ；
单调性：当x 时，y 随x 的增大而 ， 当x 时，y 随x 的增大而
1.3抛物线 y=－5(x+2)2－6的顶点坐标 ；对称轴方程 ，开口向 最值：当x= 时， y 有最 值是 ；
单调性：当x 时，y 随x 的增大而 ， 当x 时，y 随x 的增大而
2、 抛物线y = 23
12 x 的顶点坐标 ；对称轴方程 ，开口向 最值：当x= 时， y 有最 值是 ；
单调性：当x 时，y 随x 的增大而 ， 当x 时，y 随x 的增大而
2.1 抛物线y=﹣6x 2—5的顶点坐标 ；对称轴方程 ，开口向 最值：当x= 时， y 有最 值是 ；
单调性：当x 时，y 随x 的增大而 ， 当x 时，y 随x 的增大而
3、 抛物线 y= —7(x －2)2
的顶点坐标 ；对称轴方程 ，开口向 最值：当x= 时， y 有最 值是 ；
单调性：当x 时，y 随x 的增大而 ， 当x 时，y 随x 的增大而
3.1抛物线y=2（x+3）2的顶点坐标 ；对称轴方程 ，开口向
最值：当x= 时，y有最值是；
单调性：当x 时，y随x的增大而，当x 时，y随x的增大而
总结：当顶点在y轴上时，；
当顶点在x轴上时，；此时抛物线与x轴只有一个交点4、通过配方将一般式化为顶点式：
y=x2﹣3x+2 y=x2+x
1x2－4x+3 y=﹣x2+2x﹣2 y=
2
y= —3x2－2x+1 y= —2x2+x 1。