离散数学重点笔记

第一章，0命题逻辑

素数＝质数，合数有因子

和或假必真同为真

（p→q)∧(q←→r),(p∧ｑ)∧┐r，ｐ∧（q∧┐r)等都是合式公式,而pq→ｒ，(p→(r→q)等不是合式公式。若公式A是单个的命题变项,则称A为0层合式

（┐ｐ∧ｑ）→r,(┐(p→┐q）)∧((ｒ∨ｓ)┐p)分别为3层和4层公式

【例】求下列公式的真值表，并求成真赋值和成假赋值。 (┐p∧q)→┐ｒ

公式(1)的成假赋值为０11，其余7个赋值都是成真赋值

第二章，命题逻辑等值演算

（1)双重否定律⌝⌝A⇔A

(２）等幂律Ａ∧A⇔A ； A∨Ａ⇔A

(3)交换律 A∧B⇔B∧Ａ； A∨B⇔B∨A

（４)结合律 (Ａ∧B)∧C⇔A∧（B∧C) ；（Ａ∨B）∨C⇔A∨（B∨Ｃ）

（5）分配律 (Ａ∧B)∨C⇔(A∨C)∧(B∨C）；（A∨B）∧C⇔（A∧Ｃ)∨(B∧Ｃ）

(６）德·摩根律⌝（A∨Ｂ）⌝⇔A∧⌝B ；⌝(A∧Ｂ)⇔⌝Ａ∨⌝B

(7)吸收律 A∨（A∧B）⇔A;A∧(Ａ∨B）⇔A

（8）零一律 A∨１⇔１; Ａ∧0⇔0

(9)同一律Ａ∨０⇔A ； A∧1⇔A

(10)排中律A∨⌝A⇔１

(1１）矛盾律 A∧⌝Ａ⇔0

(12)蕴涵等值式 A→B⇔⌝Ａ∨B

(１3)假言易位 A→B⇔⌝Ｂ→⌝A

(１4）等价等值式 A↔B⇔（Ａ→B）∧（B→Ａ）

（15)等价否定等值式 A↔Ｂ⇔⌝Ａ↔⌝B⇔⌝B↔⌝A

（16)归缪式（Ａ→B）∧（A→⌝B)⇔⌝Ａ

A i（i=1,2,…,ｓ)为简单合取式，则A=A1∨A2∨…∨Aｓ为析取范式 (ｐ∧┐q）∨(┐q∧┐ｒ)∨p A＝Ａ1∧A2∧…∧A s为合取范式(ｐ∨q∨r）∧(┐p∨┐q)∧r

一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式

一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式

主范式【∧小真，∨大假】

∧成真小写

【例】 (p→ｑ)→（┐ｑ→┐ｐ)

＝┐（┐p∨ｑ)∨(q∨┐ｐ) （消去→)

= （ｐ∧┐q）∨┐p∨ｑ (┐内移) （已为析取范式)

= (p∧┐q）∨(┐p∧┐q）∨(┐ｐ∧q)∨(┐p∧ｑ)∨（ｐ∧ｑ) （*）

= m2∨m0∨m1∨ｍ1∨m3

= m0∨ｍ1∨ｍ2∨ｍ３ (幂等律、排序)

(＊)由┐p及q派生的极小项的过程如下:

┐p = ┐ｐ∧(┐ｑ∨q)

= (┐p∧┐q)∨(┐p∧q)

q = (┐ｐ∨p）∧q

＝ (┐p∧q)∨(ｐ∧q)

熟练之后,以上过程可不写在演算过程中。

该公式中含n＝2个命题变项，它的主析取范式中含了２2=４个极小项,故它为重言式，

00,０1，10,11全为成真赋值。

【例】（ｐ→ｑ)∧┐p

= (┐p∨ｑ)∧┐p (消去→)

= ┐ｐ∨（┐p∧ｑ) （分配律、幂等律) 已为析取范式＝ (┐ｐ∧┐q)∨(┐ｐ∧q)

= m０∨m1

【例】(p∧┐q)∨(┐ｐ∧q)

= （p∨┐p)∧(p∨q)∧(┐q∨┐ｐ)∧(┐ｑ∨q）

= （p∨q)∧┐（p∧q）

重言蕴涵式

【例】用附加前提证明法证明下面推理。

前提：P→(Q→R),⌝S∨P，Q 结论:Ｓ→R

证明：（1）⌝Ｓ∨Ｐ前提引入规则

(2）S 附加前提引入规则

(3)P (1）（２)析取三段论规则

(４)P→(Q→Ｒ）前提引入规则

(５）Q→R (3）(４)假言推理规则

（6)Q 前提引入规则

（７)R （5）（6)假言推理规则

【例】用归缪法证明。

前提:P∨Ｑ,P→Ｒ，Q→Ｓ结论：S∨R

证明(１)⌝（S∨R）附加前提引入规则

（2）⌝Ｓ∧⌝R (1）置换规则

(３)⌝S （2)化简规则

(4)⌝R （2)化简规则

（5）Q→S 前提引入规则

(６）⌝Ｑ∨Ｓ (5）置换规则

（７)⌝Q (３）（６)析取三段论

（8）P∨Q 前提引入规则

(9)P （７）(8）析取三段论规则

（1０)P→R 前提引入规则

（11)⌝P∨Ｒ（10）置换规则

（１２)R （９）(11）析取三段论规则

(13）⌝R∧R (4)(12)合取引入规则

全称量词"∀"对"∨"无分配律。同样的,存在量词＂∃"对"∧＂无分配律

(3)x yF(x，y) ﻫ x(F（x,a)∧F（x,b)∧F(x,ｃ）) ﻫ (F(ａ,a)∧Ｆ(ａ,b)∧F(a,ｃ）)∨（F(b,a)∧Ｆ(b，b)∧F（b,c））∨(F（c,a)∧F（c,b）∧Ｆ(c,c))

谓词逻辑的等价公式

定理1设A（x)是谓词公式，有关量词否定的两个等价公式:

(１)﹁∀ｘ A(x）⇔∃ｘ﹁A（ｘ)

(2)﹁∃x Ａ（ｘ)⇔∀ｘ﹁A（x）

定理２设Ａ(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式,B是不含ｘ出现的公式,则有

（１）∀x（A(x）∨B）⇔∀x A（x）∨Ｂ

(2）∀x(A(x)∧Ｂ）⇔∀x A（x)∧B

(3)∀x(A（x）→B)⇔∃x Ａ（x)→ B

（4)∀ｘ（Ｂ→A（x)）⇔B→∀x A（x）

(５）∃ｘ（A(x）∨B)⇔∃x A（ｘ）∨B

(６）∃x（Ａ（x）∧B）⇔∃ｘ A(x)∧B

（７）∃x(A（x)→Ｂ）⇔∀ｘA（x）→B

（８)∃ｘ(B→A（x）)⇔B→∃x A(x）

定理3 设A(x）、B（ｘ)是任意包含自由出现个体变元x的公式，则有：

（1)∀ｘ（A(ｘ)∧B(x））⇔∀x A（x)∧∀x B(x）

（２）∃ｘ(A（x)∨B（ｘ))⇔∃x A(x）∨∃ｘＢ(x)

定理４下列蕴涵式成立

(1）∀x Ａ(ｘ)∨∀x B（ｘ)⇒∀x(A（x）∨B（x）)

(2)∃x(Ａ(x）∧B(ｘ))⇒∃x A（x）∧∃x B(x）

（3）∀x(A（ｘ）→ B（ｘ))⇒∀x A（x）→∀x B（x)

(4)∀x（Ａ(ｘ）→Ｂ(x）)⇒∃ｘ A（x）→∃x B(x)

(５）∃x A(x）→∀ｘ B（x)⇒∀x(A(x）→ B(x））