高一数学下学期开学考试试题(承智班)
高一数学下学期开学考试试题PDF
2021-2021届 高一下学期入学考试科目：数 学(答案解析)一、单项选择题〔每一小题5分，一共计60分〕答案解析：1．A 1111311131333222222224(())(())()()a a a a a a a a a =⋅⋅=⋅=⋅==.2．C 【解析】当0x >时，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，是单调减函数，又()01f =. 3．A 【解析】由α为第二象限角，那么22,2k k k Z ππαππ+<<+∈那么,422k k k Z παπππ+<<+∈当2,k n n =∈Z 时，22,422k k k Z παπππ+<<+∈，此时2α在第一象限. 当21,k n n Z =+∈时,5722,422k k k Z παπππ+<<+∈，此时2α在第三象限. 4．D 【解析】在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a bA B=可得sin sin sin 13b B A a π===，又因为0B π<<，所以B =2π. 5．C 【解析】根据条件，222||2a b a a b b +=+⋅+293||||13b b =-+=；∴解得，或者1-〔舍去〕．6.A【解析】由sin θ=，cos θ=所以4sin 22sin cos 25θθθ=== ，223cos 22cos 1215θθ=-=⨯-=⎝⎭，那么4sin 245tan 23cos 235θθθ=== . 7．D 【解析】正切函数在每个区间(,)()22k k k Z ππππ-++∈ 上是增函数;正切函数不会在某一区间内是减函数; 函数tan 23y x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭的周期22ππ= ;tan1384237tan143tan tan ︒=-<-=︒.8．B 【解析】找中间值：0.530.531,00.51,log 30a b c =><=<=<，可知c b a <<.9．D 【解析】由图象可知，1A =，函数()f x 周期为74=123πππ⎛⎫-⨯⎪⎝⎭，所以2ω=； 将7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭代入点()sin(2)f x x ϕ=+，得7sin 16πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭所以73262k k Z ππϕπ+=+∈，，又0ϕπ<< 所以3πϕ=，所以()sin 2=sin 236f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以要得到()sin 2g x x =只需将()f x 向右平移6π个长度单位. 10．B 【解析】解：因为偶函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增， 所以()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，故x 越靠近y 轴，函数值越小，因为()121(3f x f -<），所以1213x -<，解得：1233x <<.11．B 【解析】设BA a =，BC b =，∴11()22DE AC b a ==-，33()24DF DE b a ==-，1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=.12．C 【解析】由题意()()()sin ,sin cos cos ,sin cos x x xF x f x g x x x x ≤⎧=⊗=⎨>⎩， 由于sin y x =与cos y x =都是周期函数，且最小正周期都是2π，故只须在一个周期[0,2]π上考虑函数的值域即可，分别画出sin y x =与cos y x =的图象，如下图，观察图象可得：()F x 的值域为2[-. 二、填空题〔每一小题5分，一共计20分〕13．2-【解析】∵()f x 是幂函数，∴251m m --=，∴260m m --=，解得2m =-或者3，当2m =-时，11+=-m ，1()f x x -=是奇函数，符合题意；当3m =时，14m +=，4()f x x =是偶函数，不符合题意，∴2m =-.14．4【解析】由余弦定理得：2222212cos 23223164c a b ab C ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，那么4c =.15．3【解析】分别作出x y 2=与2x y =的图像，在y 轴左边一个交点，y 轴右边两个交点.113cos(),cos()255sin sin 1cos cos ,sin sin ,tan tan .55cos 221cos αβαβαβαβαβαβαβ+=-=====16.【解析】将分别展开，再将两式进行加和减，可得到则三、解答题(请写出必要的解题过程，本大题一一共计6个小题，总分70分) 17．〔本小题一共10分〕〔1〕(){}26U A C B x x ⋂=≤<;〔2〕3m ≥或者6m ≤-. 【解析】〔1〕当1m =时，{}06A x x =<<，{}|12=-<<B x x{1U C B x x ∴=≤-或者}2x ≥(){}26U A C B x x ∴⋂=≤< ------5分〔2〕{}15A x m x m =-<<+，{}|12=-<<B x xA B =∅12m ∴-≥或者51m +≤-3m ∴≥或者6m ≤-．------10分18．〔本小题一共12分〕〔1〕2,4c或者()2,4c =--；〔2〕π.【解析】〔1〕设向量(),c x y =，因为()1,2a =，25c =，c a ∥，所以2252x y x y⎧⎪+=⎨=⎪⎩24x y =⎧⎨=⎩，或者24x y =-⎧⎨=-⎩所以2,4c或者()2,4c =--； ------6分〔2〕因为2a b +与2a b -垂直，所以()()220a b a b +⋅-=，所以222420a a b a b b -⋅+⋅-=,而52b =，22125a =+= 所以5253204a b ⨯+⋅-⨯=，得52a b ⋅=-，a 与b 的夹角为θ，所以52cos 15a b a bθ-⋅===-⋅⨯，因为[]0,θπ∈，所以θπ=. ------12分19．〔本小题一共12分〕〔1〕()222,00,02,0x x x f x x x x x ⎧-+<⎪⎪==⎨⎪⎪+>⎩；〔2〕证明见解析.【解析】〔1〕令0x >,那么0x -<,所以()()2222f x x x x x-=--+=---, 又由奇函数的性质可知()()f x f x -=-,∴0x >时,()22f x x x =+,故()222,00,02,0x x x f x x x x x ⎧-+<⎪⎪==⎨⎪⎪+>⎩. ------6分〔2〕()f x 在()0,1x ∈上单调递减.证明:任取1201x x ,那么()()2212121222f x f x x x x x -=-+- ()1212122x x x x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭,∵1201x x ,故120x x -<,1202x x <+<,1222x x >, 那么121220x x x x +-<,故()()()1212121220f x f x x x x x x x ⎛⎫-=-+-> ⎪⎝⎭,即()()12f x f x >,∴()f x 在()0,1x ∈上单调递减. ------12分20．〔本小题一共12分〕〔1〕证明见解析 〔2〕证明见解析【解析】解：〔1〕将a 角的顶点置于平面直角坐标系的原点，始边与x 轴的正半轴重合，设a 角终边一点P 〔非原点〕，其坐标为(),P x y .22r OP x y ==+∵()2a k k Z ππ≠+∈，∴0x ≠，222222222sin cos 1y x x y a a r r r ++=+==. ------6分 〔2〕由于cos sin 2a a π⎛⎫-=⎪⎝⎭，将a 换成2a π-后，就有cos sin 222a a πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦即sin cos 2a a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，sin cos 12tan 2sin tan cos 2a a a a a a πππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-=== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭. ------12分21．〔本小题一共12分〕〔Ⅰ〕20.51212,016(){21210,16x x x f x x x -+-≤≤=-> ;〔Ⅱ〕12 .【解析】〔1〕由题意得()1210P x x =+∴()()()20.51212,016{21210,16x x x f x Q x P x x x -+-≤≤=-=-> . ------6分〔2〕当16x >时， 函数()f x 递减，∴()()1652f x f <=万元 当016x ≤≤时，函数()()20.51260f x x =--+当12x =时，()f x 有最大值60万元所以，当工厂消费12百台时，可使利润最大为60万元 . ------12分22．〔本小题一共12分〕〔1〕对称轴23k x ππ=+，k Z ∈，单调减区间5,36k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭k Z ∈〔2 【解析】〔1〕由题意2()cos 2cos 12cos 22sin 26f x x x x x x x π⎛⎫=-+=-=-⎪⎝⎭， 令()262x k k Z πππ-=+∈，解得()32k x k Z ππ=+∈， ∴函数()f x 的对称轴为()32k x k Z ππ=+∈. 令()322,2622x k k k Z πππππ⎛⎫-∈++∈ ⎪⎝⎭，解得()5,36ππk πk πZ x k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭+∈+， ∴函数()f x 的单调递减区间为()5,36ππk πk Z k π⎛⎫ ⎪⎝⎭+∈+. ------6分〔2〕由6()5f α=可得3sin 265πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又7312ππα<<，∴226ππαπ<-<，∴4cos 265πα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭， ∴2sin 22sin 21266f πππααα⎛⎫⎛⎫+==-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2cos 2sin 6634122cos 2266552ππαπαπ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝=+=⨯⨯⨯=⎭. ------12分励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
高一数学下学期开学考试试题含解析 2
广西第十八中学2021-2021学年高一数学下学期开学考试试题〔含解析〕考前须知：①本套试卷一共4页，答题卡2页.考试时间是是120分钟，满分是150分； ②正式开考前，请必须将本人的姓名、考号用黑色水性笔填写上清楚并张贴条形码； ③请将所有答案填涂或者填写上在答题卡相应位置，直接在试卷上做答不得分.第一卷〔选择题，一共60分〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1.集合{}|12A x x =-<<，{}2,0,1,2B =-，那么A B =〔 〕A. {}0,1B. {}1,0,1-C. {}0,1,2D.1,0,1,2【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的定义计算即可.【详解】因为集合{}|12A x x =-<<,{}2,0,1,2B =-,故{}0,1A B =.应选：A【点睛】此题主要考察了交集的根本运算,属于根底题. 2.tan 690=〔 〕B. -D. 【答案】B 【解析】 【分析】将大角化小角，那么69072030=-，然后根据正切的诱导公式以及特殊角的正切值，可得结果.【详解】由69072030=-， 所以()tan 690tan 72030=-那么3tan 690tan 303=-=- 应选：B【点睛】此题考察正切的诱导公式，识记特殊角的三角函数值，以及三角函数中正弦、余弦、正切的诱导公式，属根底题.3.过()1,2A -，()2,8B 两点的直线斜率为〔 〕 A -10 B. 17C. 5D. 2【答案】D 【解析】 【分析】根据两点的斜率公式计算即可.【详解】过()1,2A -,()2,8B 两点的直线斜率()82221k -==--.应选：D【点睛】此题主要考察了两点间的斜率公式,属于根底题.4.设函数()122,01log ,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，那么()()1f f -=〔 〕A. -1B. 1C. 2D. 3【答案】A 【解析】 【分析】根据自变量的范围代入对应区间的解析式求解即可. 【详解】()()()()()1121241log41f f f f ---===-=-.应选：A【点睛】此题主要考察了分段函数以及指对数的运算,属于根底题.5.弧长为50〔单位：m 〕的弧所对圆心角为300︒，那么弧所在圆半径R 〔单位：m 〕为〔 〕A.10πB.30πC. 10πD. 30π【答案】B 【解析】 【分析】根据弧度制的定义求解即可. 【详解】圆心角对应的弧度数为30051803ππ︒=︒,根据弧度制的定义有505303R R ππ=⇒=. 应选：B【点睛】此题主要考察了弧度制的定义与运用,属于根底题.6.将()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位后，所得图象对应的函数是〔 〕A. cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B. cos 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C. cos 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D.cos 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数平移“左加右减〞求解即可. 【详解】将()cos 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位后,所得图象对应的函数是()cos 2cos 2463f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.应选：C【点睛】此题主要考察了求三角函数图像平移后的解析式,属于根底题. 7.函数()sin lg f x x x =-的零点个数为〔 〕 A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】D 【解析】【分析】画出函数图像，根据函数图像得到答案.【详解】如下图：画出函数sin y x =和lg y x =的图像，一共有3个交点. 当10x >时，lg 1sin x x >≥，故不存在交点. 应选：D .【点睛】此题考察了函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键. 8.假设角α的终边过点()sin30,cos30︒-︒，那么sin α等于〔 〕A.12B.32C. 12-D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】先化简点()sin30,cos30︒-︒,再根据sin α的定义求解即可.【详解】由题角α的终边过点13,2⎛ ⎝⎭,故223321322sin α-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=应选：D【点睛】此题主要考察了三角函数值的求解以及正弦函数的定义,属于根底题. 9.某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为〔 〕A.16B.12C.23D.13【答案】D 【解析】三视图复原是四棱锥，AC AD ⊥，PD ⊥面ABCD,PD=AD=BC=AC=1,所以体积11(11)133V =⨯⨯=，选D.10.函数()sin 2(0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，假设()f x 的最小正周期为π，那么ω=〔 〕A. 1B. 2C.12D.14【答案】A 【解析】 【分析】根据最小正周期的公式求解即可. 【详解】由题,212ππωω=⇒=. 应选：A【点睛】此题主要考察了正弦型函数的最小正周期,属于根底题.11.圆C ：()2221x y +-=，点P 是直线l ：1x y -=上动点，过P 引C 的切线，切点分别为A ，B ，那么AB 的最小值为〔 〕A.22B.322C.73D.273【答案】D 【解析】 【分析】画图分析,由2sin AB AC ACP =⋅∠可知当PC 与l ：1x y -=垂直时AB 取最小值,再求出点C 到l 的间隔 ,进而求得sin ACP ∠得出AB 即可. 【详解】如图,因为,PA PB 与圆C 相切,故,AC AP BC BP ⊥⊥.故ACP BCP ≅ ,故,AC BC ACP BCP =∠=∠ .所以AB CP ⊥.故2sin AB AC ACP =⋅∠,故当sin ACP ∠取最小值时AB 取最小.因为ACP ∠为锐角,故此时ACP ∠取最小值, cos ACACP PC∠=取最大值.故此时PC 取最小值.即当PC 与l ：1x y -=垂直时AB 取最小值.此时()2202132211PC --==+-.223214122AP ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭. 故142722sin 23322AB AC ACP =⋅∠=⨯=.应选：D【点睛】此题主要考察了根据直线与圆的位置关系求解线段长度的最值问题,需要根据题意表达出AB 的解析式,分析可得当AB 取最小值时的情况计算即可.属于中档题. 12.函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭〔0>ω〕，假设63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，那么ω的值是〔 〕 A.383B.143C.143或者383D.143或者283【答案】B 【解析】 【分析】 计算得到148,3k k Z ω=+∈且12ω<，确定0k =时满足条件，得到答案. 【详解】63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么6324πππ+=，故32432k πππωπ+=+，即148,3k k Z ω=+∈. 且2366ππππω-=<，故12ω<，故当0k =时满足条件，143ω=. 应选：B .【点睛】此题考察了根据三角函数的最值点求参数，意在考察学生的计算才能.第二卷〔非选择题 一共90分〕二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.把答案填写上在答题卡相对应位置上.13.()0,απ∈，且1cos 3α=-，那么tan ______.【答案】【解析】 【分析】根据诱导公式化简()tan πα-,再根据1cos 3α=-求出sin α继而代入计算即可. 【详解】因为()0,απ∈,故sin α==.故sin tan tanc 2232213os.故答案为：22【点睛】此题主要考察了同角三角函数公式的运用以及正切的诱导公式,属于根底题. 14.正方体的棱长均为2，其顶点都在球O 的球面上，那么球O 的外表积为______. 【答案】12π 【解析】 【分析】根据正方体的体对角线等于外接球的直径求解球的直径,再求外表积即可.【详解】因为正方体的体对角线等于外接球的直径,且正方体的棱长均为2, 故球O 的直径222222223R =++=,所以3R =.故球O 的外表积2412S R ππ==.故答案为：12π【点睛】此题主要考察了正方体外接球的计算,属于根底题. 15.函数()sin 6f x A x πϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭〔其中0A >，2πϕ<〕的图象如下图，那么()f x 在[]0,9上的最大值与最小值的和为______.【答案】23 【解析】 【分析】将(()0,3,2,0-代入()sin 6f x A x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭计算可得,A ϕ,再求得()f x 在[]0,9上的最大值与最小值即可.【详解】因为图像过()2,0,故sin 03A πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,即sin 03πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,又2πϕ<,故3πϕ=-.又图像过(0,,故sin 23A A π⎛⎫-== ⎪⎝⎭.故()2sin 63f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 故当[]0,9x ∈时,7,6336x ππππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦.故()2sin 63f x x ππ⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎣⎦⎝⎭. 所以()f x 在[]0,9上的最大值与最小值的和为2.故答案为：2【点睛】此题主要考察了根据三角函数图像求解析式的问题,同时也考察了三角函数在区间上的最值问题,属于中档题.16.直线l ：y ax =与圆C ：222220x y ax y +--+=交于A 、B 两点，假设ABC 是正三角形，那么a 的值是______.【答案】 【解析】 【分析】根据正三角形的性质可知,当ABC 是正三角形时,圆心到直线l 的间隔 d 与半径r 满足sin 60dr=︒,再利用点到线的间隔 公式求解即可. 【详解】圆C ：222220x y ax y +--+=即()()22211x a y a -+-=-,其中210a ->.因为ABC 是正三角形,故圆心到直线l 的间隔 d 与半径r 满足sin 60dr=︒.又d =r =2=.()()224131a a =⇒-=+,解得27a =,满足210a ->.故a =故答案为：【点睛】此题主要考察了根据直线与圆的位置关系求解参数的问题.需要根据题意建立线段长度与半径之间的关系,继而列式求解参数.属于中档题.三、解答题：本大题一一共4小题，一共70分.解容许写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤. 17.点()3,0P和圆C ：222210xy x y +--+=.〔1〕写出圆C 的HY 方程，并指出圆心C 的坐标和半径r ； 〔2〕设Q 为C 上的点，求PQ 的最小值.【答案】〔1〕()()22111x y -+-=，圆心C 坐标()1,1，半径r 为1.〔21.【解析】 【分析】(1)将圆C 的方程配方化简为HY 方程,再得出圆心与半径即可. (2)根据圆的性质可知min PQ CP r =-,再求解即可.【详解】解：〔1〕由题可知圆C 的HY 方程为()()22111x y -+-=, 圆心C 坐标()1,1,半径r 为1. 〔2〕由题知min PQ CP r =-, 而CP ==所以min PQ 为1.【点睛】此题主要考察了圆的HY 方程以及定点到圆上点的间隔 的最小值问题.属于根底题. 18.()1tan 2πα+=，求以下各式的值. 〔1〕cos()cos 24cos sin()ππαααα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭+-；〔2〕2sin sin cos ααα+. 【答案】〔1〕17-〔2〕35【解析】 【分析】(1)利用诱导公式可得1tan 2α=,再利用诱导公式以及同角三角函数的关系化简原式代入1tan 2α=计算即可. (2)根据2222sin sin cos sin sin cos cos sin αααααααα++=+再分子分母同时除以2cos α,代入1tan 2α=计算即可. 【详解】解：〔1〕由得1tan 2α=, cos()cos cos sin 24cos sin()4cos sin ππαααααααα⎛⎫--+ ⎪-+⎝⎭=+--111tan 1214tan 742αα-+-+===---. 〔2〕2222sin sin cos sin sin cos cos sin αααααααα++=+2211tan tan 34211tan 514ααα++===++. 【点睛】此题主要考察了诱导公式以及同角三角函数的关系求解化简的问题.属于根底题. 19.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，3AB =，2PA =，13PD =，60PAB ∠=︒.〔1〕证明：AD ⊥面PAB ； 〔2〕求二面角P CD A --的大小. 【答案】〔1〕证明见解析〔2〕30. 【解析】 【分析】(1)根据勾股定理证明AD PA ⊥,再结合AD AB ⊥证明即可.(2) 过点P 作PH AB ⊥于H ,过H 作HE CD ⊥于E ,连结PE ,再证明PEH ∠是二面角P CD A --的平面角,再计算得3tan 3PH PEH HE ∠==即可求出PEH ∠的大小. 【详解】解：〔1〕证明：在PAD △中,由题设,2PA =,3AD =,13PD =可得222PA AD PD +=,所以AD PA ⊥, 在正方形ABCD 中,AD AB ⊥, 又PAAB A =,又因为,AB PA ⊂平面PAB ， ∴AD ⊥平面PAB .〔2〕过点P 作PH AB ⊥于H ,过H 作HE CD ⊥于E ,连结PE , ∵AD ⊥平面PAB ,PH ⊂平面PAB ,∴AD PH ⊥, 又AB AD A ⋂=,∴PH ⊥平面ABCD , 又CD ⊂平面ABCD ,∴PH CD ⊥, 又HEPH H =,∴CD ⊥平面PHE ,PE ⊂平面PHE ,∴CD PE ⊥,∴PEH ∠是二面角P CD A --的平面角.由题可得,sin 60PH PA =⋅︒=3HE AD ==,Rt PHE 中,tan 3PH PEH HE ∠==,∴30PEH ∠=︒, 故二面角P CD A --的大小为30.[Failed to download image : ://qbm-images.oss-cn-hangzhou.aliyuncs /QBM/2020/4/30/2452887117914112/2453859651313664/EXPLANATION/5ee163ab191742ff9eb f6fa427e52c26.png]【点睛】此题主要考察了线面垂直的证明以及二面角的求法,需要根据题意找到二面角的平面角,再计算其三角函数求解.属于中档题. 20.直线l ：y x b =+与圆C ：22231x y 交于不同的两点M ，N .〔1〕求b 的取值范围；〔2〕假设MN =0b >，求过点M ，N 且与y 轴相切的圆的方程.【答案】〔1〕11b <<+2〕()22525x y -+=或者()()22141x y -+-=. 【解析】 【分析】(1)根据圆心到直线的间隔 小于半径,列出对应的不等式求解即可.(2)根据垂径定理求解可得2b =,再联立直线l 与圆的方程,求得 ()1,3M ,()2,4N ,再设所求圆的方程,再代入()1,3M ,()2,4N 求解即可.【详解】解：〔1〕圆心C 到直线l 的间隔 231112b b d -+-==+,∵直线l 与圆C 交于不同的两点M ,N , ∴112b -<,解得1212b -<<+.〔2〕假设2MN =,那么2212122b ⎛⎫⎛-⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得2b =或者0b =〔舍〕,直线l 方程为：20x y -+=,()()2220231x y x y -+=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩,解得13x y =⎧⎨=⎩或者24x y =⎧⎨=⎩, 不妨设()1,3M ,()2,4N ,由题可设所求圆方程为()()222x a y b a -+-=,∴()()()()2222221324a b a a b a⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩,解得50a b =⎧⎨=⎩或者14a b =⎧⎨=⎩. 故所求圆方程为()22525x y -+=或者()()22141x y -+-=.【点睛】此题主要考察了垂径定理的运用以及圆方程的求解,需要根据题意联立直线与圆的方程求所过点的坐标,再设所求圆的方程,代入坐标进展计算.属于中档题. 21.函数()sin 3f x A x πφ⎛⎫=+⎪⎝⎭，x ∈R ，0A >，02πφ<<，()y f x =的局部图象如下图，P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为()1,A .点R 的坐标为()1,0，34PRQ π∠=.〔1〕求()f x 的最小正周期以及解析式； 〔2〕求()f x 增区间.【答案】〔1〕6，()3sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.〔2〕()62,61k k -+，k Z ∈.【解析】 【分析】(1)根据周期的公式求解周期,再根据P 的坐标为()1,A 计算可得sin()13πφ+=,进而求得6πφ=.再过Q 作QD x ⊥轴,垂足为D ,根据三角函数的周期与34PRQ π∠=可求得3A =即可得解析式.(2)由(1)得()3sin 36f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭,再代入计算222362k x k ππππππ-<+<+即可.【详解】解：〔1〕由题意得：()f x 的最小正周期263T ππ==,因为()1,P A 在()sin()3f x A x πφ=+的图像上,所以sin()13πφ+=, 所以2 ()32k k Z ππφπ+=+∈,即2 ()6k k Z πφπ=+∈,又因为02πφ<<,因此,6πφ=.过Q 作QD x ⊥轴,垂足为D ,由周期为6可知,3RD =, 由于34PRQ π∠=,所以4DRQ π∠=,于是3QD RD ==,所以3A =,∴()3sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.〔2〕∵sin y x =的增区间为2,222k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭,k Z ∈, 由222362k x k ππππππ-<+<+,k Z ∈,得6261k x k -<<+,k Z ∈,∴()f x 的增区间为()62,61k k -+,k Z ∈.【点睛】此题主要考察了三角函数的图像性质运用,需要根据题意三角函数的性质代点进展计算求解,属于中档题. 22.函数()2()2xxaf x a R =-∈为偶函数. 〔1〕求a 的值；〔2〕设4()()23xg x f x m m =-⋅+，假设函数()g x 有且只有一个零点，务实数m 的取值范围.【答案】〔1〕1a =-〔2〕(){}1,3+∞-【解析】 【分析】(1)根据偶函数满足对任意实数x ,都有()()f x f x -=化简计算即可. (2)化简可得方程1422023xxx m m +-⋅+=有且只有一个实数根,再换元根据零点存在性定理列式求解即可.【详解】解：〔1〕由得：对任意实数x ,都有()()f x f x -=, ∴2222xxx xa a ---=-, ∴()1140xa a +-+⋅=,1a =-.〔2〕由题知方程1422023xxx m m +-⋅+=有且只有一个实数根, 令20x t =>,那么关于t 的方程24(1)10(*)3m t mt ---=有且只有一个正根.假设1m =,那么34t =-,不符合题意,舍去；假设1m ≠,那么方程()*两根异号或者有两个相等的正根. 令函数24()(1)13g t m t mt =---显然()g t 过点()0,1-, 方程()*两根异号等价于10m ->,即1m ；方程()*有两个相等的正根等价于()10043021m m m ⎧⎪⎪-<⎪⎪∆=⎨⎪⎪⎪>⎪-⎩,解得3m =-,综上所述,实数a 的取值范围为(){}1,3+∞-.【点睛】此题主要考察了根据偶函数求解参数值的问题,同时也考察了关于指数函数的二次复合函数的零点问题,属于中档题.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
2020-2021学年高一数学下学期开学考试试题[1]
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2020-2021学年高一数学下学期开学考试试题考生注意：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。
第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第II 卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线x -2y +1=0在y 轴上的截距为（ ） A. B.-1 C.2 D.12、下列各组中两个函数是同一函数的是（ ）A ．4444)()()(x x g x x f == B ．33)()(x x g x x f == C ．0)(1)(x x g x f == D ．2)(24)(2-=+-=x x g x x x f 3.经过点A （-1，4）且在x 轴上的截距为3的直线方程是（ ）A.x +y +3=0B.x -y +3=0C.x +y -3=0D.x -y -3=04．函数11x y x +=-的定义域是（ ） A. ()1,-+∞ B. [)1,-+∞ C. ()()1,11,-+∞ D. [)()1,11,-+∞5．直线2550x y +-+=被圆22240x y x y +--=截得的弦长为（ ）.A . 4B . 23C . 25D . 466.已知α，β是相异两平面，m ，n 是相异两直线，则下列命题中不正确的是 （ ）A.若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥αB.若m ⊥α，m ⊥β，则α∥βC.若m ∥α，α∩β=n ，则m ∥nD.若m ⊥α，m ⊂β，则α⊥β7.设函数f(x)= 则不等式f(x)＜f(-1)的解集是 A.（-3，-1）∪（3，+∞）B.（-3，-1）∪（2，+∞）C.（-3，+∞）D.（-∞，-3）∪（-1，3）8.已知函数 满足: ,且在 上为增函数,则A. B.C. D.9．若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则m =（ ）.A .21B . 9C . 21-D . 9-10.已知函数f （x ）为奇函数，且当x ＞0时，xx x f 1)(2-=，则f （-1）= A ．-2 B ．0 C ．1 D ．211、与直线3x ﹣4y +5=0关于y 轴对称的直线方程是（ ） A ．3x+4y ﹣5=0 B ．3x+4y+5=0 C ．3x ﹣4y+5=0 D ．3x ﹣4y ﹣5=012. 设a 、b 、c 都是正数，且，则以下正确的是 A.B. C. D.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13、若三点A （3，1），B （-2，b ），C （8，11）在同一直线上，则实数b 等于 ______ ．14.已知直线l ：kx -y +1-2k =0（k ∈R）过定点P ，则点P 的坐标为 ______ ．15.设角θ的终点经过点P （-3,4），那么sin θ+2cos θ=16.设U=R，集合A={}，B={}；若（）∩B=∅，则m= __________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知直线l1上的点满足ax+4y+6=0，直线l2上的点满足（a+1）x+ay-=0．试求：（Ⅰ）a为何值时l1∥l2（Ⅱ）a为何值时l1⊥l2．18.（本小题满分12分）如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，B C，CD，DA上的中点．（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；（2）求证：直线BD∥平面EFGH；19. （本小题满分12分）设集合(1)若 ,求实数a的值;(2)若 ,求实数a的取值范围.20.（本小题满分12分）某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？ （2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？21.（本小题满分12分）已知圆22:(2)(2)1C x y -+-=，（1）过(3,0)P 作圆C 的切线，求切线的方程；（2）求圆C 在两坐标轴上截距相等的切线方程。
高一数学下学期开学考试试题含解析 3
智才艺州攀枝花市创界学校历城第二二零二零—二零二壹高一数学下学期开学考试试题〔含解析〕一、单项选择题：此题一共8小题，每一小题5分，一共40分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的． 1.设211z i=++〔i 是虚数单位〕，那么z =〔〕A.2 D.【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算法那么将复数表示成一般形式，然后利用复数的模长公式可求得结果.【详解】()()()212112111i z i i i i -=+=+=-++-，因此，z == 应选：C.【点睛】此题考察复数模长的计算，涉及复数的四那么运算法那么的应用，考察计算才能，属于根底题. 2.“幸福感指数〞是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0,10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.现随机抽取10位民，他们的幸福感指数为3，4，5，5，6，7，7，8，9，10.那么这组数据的75%分位数是〔〕 A.7 B.7.5C.8D.8.5【答案】C 【解析】 【分析】先计算75%分位数的位置，再求出这个数即可.【详解】由题意，这10个人的幸福指数已经从小到大排列， 因为75%107.5⨯=，所以这10个人的75%分位数是从小到大排列后第8个人的幸福指数，即8.应选：C【点睛】此题主要考察分位数的概念和计算，属于根底题. 3.向量()1,2a =，()2,2b =-，(),1c λ=-，假设()//2c a b+，那么λ=〔〕A.2-B.1-C.12-D.12【答案】A 【解析】 【分析】根据向量坐标运算求得2a b +，由平行关系构造方程可求得结果. 【详解】()1,2a =，()2,2b =-()24,2a b ∴+=()//2c a b +24λ∴=-，解得：2λ=-应选：A【点睛】此题考察根据向量平行关系求解参数值的问题，涉及到平面向量的坐标运算；关键是明确假设两向量平行，那么12210x y x y -=.4.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么以下对立的两个事件是〔〕 A.“至少1名男生〞与“至少有1名是女生〞 B.恰好有1名男生〞与“恰好2名女生〞 C.“至少1名男生〞与“全是男生〞 D.“至少1名男生〞与“全是女生〞 【答案】D 【解析】从3名男生和2名女生中任选2名学生参加演讲比赛， “至少1名男生〞与“至少有1名是女生〞不互斥； “恰好有1名男生〞与“恰好2名女生〞是互斥不对立事件； “至少1名男生〞与“全是男生〞不互斥； “至少1名男生〞与“全是女生〞是对立事件； 应选D5.圆锥的母线长为5cm ，底面半径为53cm ，一只蚂蚁欲从圆锥的底面圆周上的点A 出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A .那么蚂蚁爬行的最短路程长为〔〕A.8cmB. C.10cm D.5πcm【答案】B 【解析】 【分析】采用数形结合，根据圆锥的展开图，结合弧长公式，可得结果. 【详解】由题可知：蚂蚁沿圆锥侧面爬行一周回到点A ，爬行的最短路程长为1AA如图 作1OCAA ⊥，由圆锥的母线长为5cm ，底面半径为53cm ， 所以1510233lAA ππ===cm 由l OA α=，所以23πα=即123AOA πα∠==，所以3AOC π∠=故sin AC OA AOC =∠=所以12A A C A ==cm应选：B【点睛】此题考察圆锥的展开图，还考察了弧长公式，考验空间想象才能以及思维才能，属中档题. 6.如图，电路中4个开关闭合的概率都是12，且是互相HY 的，灯亮的概率为〔〕 A.316B.34C.1316D.14【答案】C 【解析】 【分析】灯泡不亮包括四个开关都开，或者下边的2个都开，上边的2个中有一个开，这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件是互相HY 的，根据概率公式得到结果． 【详解】由题意知，此题是一个互相HY 事件同时发生的概率，灯泡不亮包括四个开关都开，或者下边的2个都开，上边的2个中有一个开， 这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件是互相HY 的，∴灯泡不亮的概率是111111111322222222216111222⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=⨯，灯亮和灯不亮是两个对立事件，∴灯亮的概率是31311616-=， 应选：C ．【点睛】此题结合物理的电路考察了有关概率的知识，考察对立事件的概率和项和对立事件的概率，此题解题的关键是看出事件之间的关系，灯亮的情况比较多，需要从反面来考虑，属于中档题． 7.如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2AE EO =，那么ED =〔〕A.1233AD AB - B.2133AD AB + C.2133AD AB - D.1233AD AB + 【答案】C 【解析】 【分析】 画出图形，以,?AB AD 为基底将向量ED 进展分解后可得结果．【详解】画出图形，如以下列图．选取,?AB AD 为基底，那么()211333AE AO AC AB AD ===+，∴()121333ED AD AE AD AB AD AD AB =-=-+=-．应选C ．【点睛】应用平面向量根本定理应注意的问题〔1〕只要两个向量不一共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，在解决详细问题时，合理选择基底会给解题带来方便．〔2〕利用向量表示未知向量，本质就是利用平行四边形法那么或者三角形法那么进展向量的加减运算或者数乘运算．8.ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，M 在边AB 上，且13AM AB =，2b =，CM =，2sin sin sin 2A B cB b-=，那么ABC S ∆=〔〕C. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理与三角恒等变换以及特殊角的三角函数求出C 的值，根据平面向量的线性表示求出CM ，再利用模长和三角形的面积公式，计算求值.【详解】解：ABC ∆中，2sin sin sin 2A B cB b-=，∴2sin sin sin sin 2sin A B C B B-=， ∴2sin cos 2sin sin C B A B =-， ∴()2sin cos 2sin cos cos sin sin C B B C B C B =+-，∴1cos 2C =， 又()0,C π∈，∴60C =︒；又13AM AB =， ∴()1133CMCA AM CA AB CA CB CA =+=+=+-2133CA CB =+，∴32CM CA CB =+，∴222944CMCA CB CA CB =++⋅；∴228164a a =++，解得2a=或者6a =-〔不合题意，舍去〕，∴ABC ∆的面积为122sin 602ABC S ∆=⨯⨯︒= 应选：B.【点睛】此题考察理解三角形中的正弦、余弦定理和面积公式、平面向量根本定理应用问题，属于根底题. 二、多项选择题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分．在每一小题给出的四个选项里面，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，局部选对的得3分，有选错的得0分．9.如图是我国2021年1月至12月石油进口量统计图〔其中同比是今年第n 个月与去年第n 个月之比〕，那么以下说法错误的选项是〔〕A.2021年下半年我国原油进口总量高于2021年上半年B.2021年12个月中我国原油月最高进口量比月最低进口量高1152万吨C.2021年我国原油进口总量高于2021年我国原油进口总量D.2021年1月—5月各月与2021年同期相比较，我国原油进口量有增有减 【答案】D 【解析】 【分析】结合统计图表，对答案选项逐一判断即可.【详解】由图易知A ，B 正确；由数量同比折线图可知，除6月及10月同比减少外，其他月份同比都递增，且1月，4月，11月，12月同比增长较多，故2021年我国原油进口总量高于2021年我国原油进口总量，C 正确；2021年1月至5月的同比数据均为正数，故2021年1月—5月各月与2021年同期相比较，我国原油进口量只增不减，D 错误. 应选：D【点睛】此题主要考察统计图表的识别和判断，考察学生抽象概括才能和推理论证才能，属于根底题. 10.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .根据以下条件解三角形，其中有两解的是〔〕A.10,45,70b A C ==︒=︒B.45,48,60b c B ===︒C.14,16,45ab A ===︒ D.7,5,80ab A ===︒【答案】BC 【解析】 【分析】根据题设条件和三角形解的个数的断定方法，逐项断定，即可求解，得到答案. 【详解】对于选项A 中：由45,70A C =︒=︒，所以18065B A C =--=︒，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解；对于选项B 中：因为csin sin 115B C b ==<，且c b >，所以角C 有两解；对于选项C 中：因为sin sin 17b A B a ==<，且b a >，所以角B 有两解； 对于选项D 中：因为sin sin 1b AB a=<，且b a <，所以角B 仅有一解. 应选：BC .【点睛】此题主要考察了三角形解得个数的断定，其中解答中熟记三角形解得个数的断定方法是解答的关键，着重考察了分析问题和解答问题的才能，属于根底题. 11.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，点,,E F G 分别棱楼111,,AB AA C D 的中点，以下结论中正确的选项是〔〕A.四面体11ACB D 的体积等于312a B.1BD ⊥平面1ACBC.11//B D 平面EFGD.异面直线EF 与1BD 所成角的正切值为【答案】BD 【解析】 【分析】根据直线与平面的位置关系可知C 不正确；根据线面垂直的断定定理可知B 正确；根据空间向量夹角的坐标公式可知D 正确；用正方体体积减去四个正三棱锥的体积可知A 不正确．【详解】解：延长EF 分别与11B A ，1B B 的延长线交于N ，Q ，连接GN 交11A D 于H ，设HG 与11B C 的延长线交于P ，连接PQ 交1CC 于I ，交BC 于M ，连FH ，HG ，GI ，IM ，ME ，11B D 与HG 相交，故11B D 与平面EFG 相交，所以C 不正确；1⊥BD AC ，11BD B C ⊥，且AC 与1B C 相交，所以1BD ⊥平面1ACB ，故B 正确；以D 为原点，DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角可得异面直线EF 与1BD 的夹角的正切值为2，故D 正确；四面体11ACB D 的体积等于正方体的体积减去四个正三棱锥的体积，即为3331114323a a a -⨯⨯=，故A不正确． 应选：BD 【点睛】12.点O 在ABC ∆所在的平面内,那么以下说法正确的有() A.假设0OA OB OC++=,那么点O 为ABC ∆的重心B.假设0AC AB BC BA OA OB AC AB BC BA ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⋅-=⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,那么点O 为ABC ∆的垂心 C.假设()()0OA OB AB OB OC BC +⋅=+⋅=,那么点O 为ABC ∆的外心D.假设OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅,那么点O 为ABC ∆的内心【答案】AC 【解析】 【分析】 逐项进展分析即可.【详解】解：选项A ，设D 为BC 的中点，由于()2OA OB OC OD =-+=-，所以O 为BC 边上中线的三等分点(靠近点D )，所以O 为ABC ∆的重心；选项B ，向量,||||AC ABAC AB 分别表示在边AC 和AB 上的单位向量，设为AC '和AB '，那么它们的差是向量B C ''，那么当0||||AC AB OA AC AB ⎛⎫⋅-=⎪⎝⎭，即OA B C ''⊥时，点O 在BAC ∠的平分线上，同理由0||||BC BA OB BC BA ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭，知点O 在ABC ∠的平分线上，故O 为ABC ∆的内心；选项C ，OA OB +是以,OA OB 为邻边的平行四边形的一条对角线，而AB ｜｜是该平行四边形的另一条对角线，()0AB OA OB ⋅+=表示这个平行四边形是菱形，即||||OA OB =，同理有||||OB OC =，于是O为ABC ∆的外心； 选项D ，由OA OBOB OC ⋅=⋅得0OA OB OB OC ⋅-⋅=，∴()0OB OA OC ⋅-=，即0OB CA ⋅=，∴OBCA ⊥．同理可证,OA CB OC AB ⊥⊥，∴OB CA ⊥，OA CB ⊥，OC AB ⊥，即点O 是ABC ∆的垂心；应选：AC ．【点睛】此题主要考察平面向量在三角形中的应用，考察向量的数量积，考察三角形的“五心〞，属于中档题．三、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分．13.某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n 名学生进展问卷调查，假设从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为． 【答案】9 【解析】130⨯=10，故答案为10. 考点：本试题主要是考察了分层抽样的方法的运用．点评：对于抽样方法，常考察的是分层抽样，在整个抽样过程中，每一个个体被抽到的概率为n:N,即为样本容量与总体的比值，这一点是解题的核心，属于根底题． 14.假设复数z 满足23i,z z +=-其中i 为虚数单位，z 为z 的一共轭复数，那么z 在复平面内对应的点位于第_____象限. 【答案】四 【解析】 【分析】利用待定系数法求出复数z ，再进展断定. 【详解】设za bi =+，那么z a bi =-，代入可得3i =3i ab +-，由复数相等的定义可得1,1a b ==-，即1z i =-，故z 在复平面内对应的在第四象限.【点睛】此题主要考察一共轭复数的概念及复数简单运算，属于简单题目.15.圆台的上、下底面都是球O 的截面，假设圆台的高为6，上、下底面的半径分别为2，4，那么球O 的外表积为__________． 【答案】80π 【解析】【分析】本道题结合半径这一条件，利用勾股定理，建立等式，计算半径，即可．【详解】设球半径为R ，球心O 到上外表间隔为x ，那么球心到下外表间隔为6-x,结合勾股定理，建立等式()222224+6x x +=-，解得4x =，所以半径222220R x =+=因此外表积2480SR ππ==【点睛】本道题考察了球外表积计算方法，难度中等． 16.O 是ABC ∆外接圆的圆心，假设4560OA OB OC++=，那么cosC =__________．【解析】设ABC ∆的外接圆的半径为R ，因为4560OA OB OC++=，所以456OA OB OC +=-，那么2222162540cos 36R R R AOB R ++∠=，即8cos 1AOB ∠=-，即28(2cos 1)1C -=-，解得cos C =. 四、解答题：此题一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤． 17.复数()()2zm 5m 6m 2i =-++-〔m R ∈〕．〔1〕假设复数z 为纯虚数，务实数m 的值；〔2〕假设复数z 在复平面内对应的点在第二象限，务实数m 的取值范围． 【答案】〔1〕3m =〔2〕〔2，3〕 【解析】 【分析】〔1〕由纯虚数的概念列方程组求解即可；〔2〕由复数的几何意义得2560{20m m m -+<->，解不等式即可得解. 【详解】〔1〕因为复数z 为纯虚数，所以2560{20m m m -+=-≠， 解之得，3m =．〔2〕因为复数z 在复平面内对应的点在第二象限，所以2560{ 20m m m -+<->， 解之得23{ 2m m <<>，得23m <<． 所以实数m 的取值范围为〔2，3〕．【点睛】此题主要考察了复数的概念及复数的几何意义，属于根底题.18.如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥，1111AC A B ⊥.求证：〔1〕直线DE 平面A 1C 1F ；〔2〕平面B 1DE⊥平面A 1C 1F.【答案】〔1〕详见解析〔2〕详见解析【解析】试题分析：〔1〕利用线面平行断定定理证明线面平行，而线线平行的寻找往往结合平面几何的知识，如中位线的性质等；〔2〕利用面面垂直断定定理证明，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明，往往需要屡次利用线面垂直性质定理与断定定理.试题解析：证明：〔1〕在直三棱柱111ABC A B C -中，11A C AC ，在三角形ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE AC ，于是11DE AC ，又因为DE ⊄平面1111,AC F AC ⊂平面11AC F ，所以直线DE//平面11AC F .〔2〕在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AA A B C ⊥平面 因为11A C ⊂平面111A B C ，所以111AA AC ⊥，又因为111111*********,,AC A B AA ABB A A B ABB A A B AA A ⊥⊂⊂⋂=，平面平面， 所以11A C ⊥平面11ABB A .因为1B D ⊂平面11ABB A ，所以111AC B D ⊥.又因为1111111111111,,B D A F AC AC F A F AC F AC A F A ⊥⊂⊂⋂=，平面平面，所以111B D AC F ⊥平面.因为直线11B D B DE ⊂平面，所以1B DE平面11.A C F ⊥平面 【考点】直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：〔1〕证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；〔2〕证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；〔3〕证明线线垂直，需转化为证明线面垂直；〔4〕证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直.19.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，cos cos )cos 0(C A A B +=． 〔1〕求角B 的大小；〔2〕假设1a c +=，求b 的取值范围．【答案】〔1〕3B π=；〔2〕1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】〔1〕根据三角形角的关系，代入化简三角函数式，即可求得tan B ，进而得角B 的大小；〔2〕根据余弦定理，由根本不等式即可求得12b ≥，再结合三角形边关系求得b 的取值范围. 【详解】〔1〕∵cos cos )cos 0(C A A B +-=，∴cos()cos cos cos 0A B A B A B -++-=，即cos cos sinsin cos cos cos 0A B A B A B A B -++=， ∵sin 0A ≠，∴tan B= ∴3B π=． 〔2〕由余弦定理可知2222cos b a c ac B =+-， 代入可得22222()3132a c b a c ac a c ac +⎛⎫=+-=+-≥-⨯ ⎪⎝⎭2111324⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当12a c==时取等号，∴12b≥，又1b a c<+=，∴b的取值范围是1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【点睛】此题考察了三角恒等变形的应用，由余弦定理及根本不等式求边的范围，属于中档题.20.对某校高三年级学生参加社区效劳次数进展统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区效劳的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图.分组频数频率[10,15) 10[15,20) 24 n[20,25) m p[25,30] 2合计M 1(1)求出表中M，p及图中a的值；(2)假设该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区效劳的次数在区间[10,15)内的人数；(3)估计这次学生参加社区效劳人数的众数、中位数以及平均数．【答案】见解析【解析】(1)由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25，知＝0.25，所以M＝40.因为频数之和为40，所以10＋24＋m＋2＝40，解得m＝4，p＝＝0.10.因为a是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以a＝＝0.12.(2)因为该校高三学生有240人，在[10,15)内的频率是0.25，所以估计该校高三学生参加社区效劳的次数在此区间内的人数为60.(3)估计这次学生参加社区效劳人数的众数是＝1.因为n ＝＝0.6，所以样本中位数是15＋≈1，估计这次学生参加社区效劳人数的中位数是1.样本平均人数是1×0.25＋1×0.6＋2×0.1＋2×0.05＝15，估计这次学生参加社区效劳人数的平均数是15.考点：中位数、众数、平均数.21.某商店销售某海鲜，统计了春节前后50天海鲜的需求量x ，〔1020x ≤≤，单位：公斤〕，其频率分布直方图如下列图，该海鲜每天进货1次，商店每销售1公斤可获利50元；假设供大于求，剩余的削价处理，每处理1公斤亏损10元；假设供不应求，可从其它商店调拨，销售1公斤可获利30元.假设商店每天该海鲜的进货量为14公斤，商店的日利润为y 元. 〔1〕求商店日利润y 关于需求量x 的函数表达式；〔2〕假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替.①求这50天商店销售该海鲜日利润的平均数；②估计日利润在区间[]580760，内的概率. 【答案】(1)30280,142060140,1014x x y x x +≤≤⎧=⎨-≤<⎩ 【解析】【分析】〔1〕根据不同的需求量，整理出函数解析式；〔2〕①利用频率分布直方图估计平均数的方法，结合利润函数得到平均利润；②根据利润区间，换算出需求量所在区间，从而找到对应的概率.【详解】〔1〕商店的日利润y 关于需求量x 的函数表达式为：化简得：30280,142060140,1014x x y x x +≤≤⎧=⎨-≤<⎩〔2〕①由频率分布直方图得：海鲜需求量在区间[)10,12的频率是20.080.16⨯=； 海鲜需求量在区间[)12,14的频率是20.120.24⨯=； 海鲜需求量在区间[)14,16的频率是20.150.30⨯=；海鲜需求量在区间[)16,18的频率是20.100.20⨯=； 海鲜需求量在区间[]18,20的频率是20.050.10⨯=；这5050天商店销售该海鲜日利润y 的平均数为：()()()(116014100.16136014100.24153020140.301730⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+)()20140.20193020140.1083.2153.621915885698.8⨯⨯+⨯+⨯⨯=++++=〔元〕 ②由于14x =时，30142806014140700⨯+=⨯-=显然30280,142060140,1014x x y x x +≤≤⎧=⎨-≤<⎩在区间[]10,20上单调递增， 58060140y x ==-，得12x =；76030280y x ==+，得16x =；日利润y 在区间[]580,760内的概率即求海鲜需求量x 在区间[]12,16的频率：【点睛】此题考察利用频率分布直方图估计平均数的问题，关键在于可以纯熟掌握统计中用样本估计总体的方法，平均数的估计方法为每组区间的中点值与每组区间对应的频率的乘积的总和.22.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1AB AC ==，D ，E 分别为1AA ，1B C 的中点．〔1〕证明：DE ⊥平面11BCC B ；〔2〕1B C 与平面BCD 所成的角为30°，求二面角1D BC B --的余弦值．【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕2．【解析】【分析】〔1〕取BC 中点F ，连接AF 、EF ，根据题目条件，利用线面垂直的断定定理，得出AF ⊥平面11BCC B ，由于E 为1B C 中点，1EF BB ，112EF BB =，可证出四边形ADEF 为平行四边形，得出AF DE ∥，从而可证出DE ⊥平面11BCC B ；〔2〕设1AB AC ==，12AA a =，根据〔1〕可知，DE ⊥平面1BCB ，那么D 到平面1BCB 间隔2DE =，设1B 到面BCD 间隔为d ，根据三棱锥等体积法有11B BDC D BCB V V --=，得11133BCB BDC S DE S d ⋅=⋅△△，得d =1B C 与平面BCD 所成的角为30°，可求出2a =，结合线面垂直的断定定理证出BC ⊥平面DEFA ，进而得出EFD ∠为二面角1D BC B --的平面角，只需求出EFD ∠，即可求出二面角1D BCB --的余弦值． 【详解】解：〔1〕取BC 中点F ，连接AF 、EF ， ∵AB AC =∴AF BC ⊥，∵1BB ⊥平面ABC ，AF ⊂平面ABC ，∴1BB AF ⊥， 而BC⊂平面11BCC B ，1B B ⊂平面11BCC B ，1BC B B B =∩ ∴AF ⊥平面11BCC B ，∵E 为1B C 中点，∴1EF BB ，112EF BB =， ∴EF DA ，EF DA =， ∴四边形ADEF 为平行四边形，∴AF DE ∥．∴DE ⊥平面11BCC B ．〔2〕设1AB AC ==，12AA a =，那么BC =2AF =，BD DC ==，∴DF ==∴122BDC S BC DF =⋅=△，1112BCB S BB BC =⋅=，D 到平面1BCB 间隔2DE =，设1B 到面BCD 间隔为d ，由11B BDC D BCB V V --=，得11133BCB BDC S DE S d ⋅=⋅△△，即1133d =，得d = 因为1B C 与平面BCD 所成的角为30°， 所以12sin 30d B C d ===︒而在直角三角形1B BC 中，1B C ===，解得2a =．因为AF ⊥平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B ， 所以AF BC ⊥，又EF⊥平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B ，所以EF BC ⊥， 所以BC ⊥平面DEFA ，∵DF ⊂平面DBC ，EF ⊂平面1B BC所以EFD ∠为二面角1D BCB --的平面角，而2DA AF ==，可得四边形DAFE 是正方形，所以45EFD ∠=︒，那么cos cos452EFD ∠=︒=，所以二面角1D BC B --的余弦值为2． 【点睛】此题考察线面垂直的断定定理，以及利用几何法求二面角余弦值，涉及平行四边形的证明、等体积法求间隔、棱锥的体积，线面角的应用等知识点，考察推理证明才能和计算才能.。
高一数学下学期开学考试试题含解析
卜人入州八九几市潮王学校HY二零二零—二零二壹高一下学期开学考试数学试题一、选择题〔本大题一一共12小题，一共分〕，，那么以下关系正确的选项是A. B. C. D.与没有公一共元素【答案】B【解析】【分析】判断两个集合的元素的特征，即可推出结果．【详解】5，，，所以．应选：B．【点睛】此题考察集合的相等的条件的应用，集合的运算的关系，考察计算才能.，那么满足的的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】画出函数的图象，利用函数的单调性列出不等式转化求解即可．【详解】函数，的图象如图：满足，可得：或者，解得．应选：D．【点睛】此题考察分段函数的应用，函数的单调性以及不等式的解法，考察计算才能．，那么是()A.奇函数，且在〔0,1〕上是增函数B.奇函数，且在〔0,1〕上是减函数C.偶函数，且在〔0,1〕上是增函数D.偶函数，且在〔0,1〕上是减函数【答案】A【解析】试题分析：由题意得，函数的定义域为，解得，又，所以函数的奇函数，由，令，又由，那么，即，所以函数为单调递增函数，根据复合函数的单调性可知函数在上增函数，应选A.考点：函数的单调性与奇偶性的应用.【方法点晴】此题主要考察了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中涉及到函数的奇偶性的断定、函数的单调性的断定与应用、复合函数的单调性的断定等知识点的综合考察，着重考察了学生分析问题和解答问题的才能，以及推理与运算才能，此题的解答中确定函数的定义域是解答的一个易错点，属于根底题.4.，在单位圆中角的正弦线、余弦线、正切线的长度分别，那么它们的大小关系是A. B. C. D.【答案】B【解析】如图，AT>MP>OM，即c>a>b.5.，，假设与的夹角为钝角，那么的取值范围为A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】可求出，根据与的夹角为钝角即可得出，且不平行，从而得出，解出的范围即可．【详解】；的夹角为钝角；，且不平行；；解得，且；的取值范围为：．应选：B．【点睛】考察向量坐标的数量积运算，向量数量积的计算公式，向量平行时的坐标关系．，那么在上的零点的个数为〔〕A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】试题分析：由以下列图可得在上的零点的个数为，应选C.考点：函数的零点.y=sin2x的图象可能是A. B.C. D.【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，，所以排除选项C，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：〔1〕由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；〔2〕由函数的单调性，判断图象的变化趋势；〔3〕由函数的奇偶性，判断图象的对称性；〔4〕由函数的周期性，判断图象的循环往复．8.是定义域为的奇函数,满足.假设，那么〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考察求值问题，常利用奇偶性及周期性进展变换，将所求函数值的自变量转化到解析式的函数定义域内求解．，，，，假设且，那么四边形的面积为A.15 B.16 C.17 D.18【答案】B【解析】【分析】可求出，，根据且即可建立关于x，y的方程组，解出x，y，从而可求出的值，进而得出四边形ABCD的面积．【详解】，，；，且；；解得；，或者；．应选：B．【点睛】考察向量坐标的加法和数量积的运算，向量平行时的坐标关系，向量垂直的充要条件．，，，那么的值等于〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由,那么,又，,解得,应选B.考点：1、同角三角函数之间的关系；2、特殊角的三角函数.的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，得到，且，那么的最大值为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律得到函数g(x)的解析式，再由正弦函数的图象的特征即函数的值域，正弦函数图像的整体性，得出结论．【详解】依题意得g(x)=sin2+2=sin+2,假设g(x1)·g(x2)=9,那么g(x1)=g(x2)=3,那么g〔x1〕=g〔x2〕=3，所以sin=sin=1.因为x1,x2∈[-2π,2π],所以2x1+,2x2+,设2x1++2kπ,2x2++2nπ,k,n∈Z,那么当2x1+=-,2x2+时,|x1-x2|获得最大值3π.应选：C．【点睛】此题主要考察函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律，正弦函数的图象的特征，属于中档题．在进展函数伸缩平移时把两个函数化为同名函数是解题的关键；函数图像平移满足左加右减的原那么，这一原那么只针对x本身来说，需要将其系数提出来，再进展加减.12.如图，在中，设，的中点为的中点为的中点恰为，那么等于A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由向量的三角形法那么以及向量中点关系，结合向量的根本定理可表示出．【详解】由题意可得，，，应选：C．【点睛】此题考察平面向量根本定理，表示出是解决问题的关键，属中档题.二、填空题〔本大题一一共4小题，一共分〕的定义域为______．【答案】或者，【解析】【分析】由，切化弦得，即或者，然后解出答案．【详解】因为所以等价于或者所以或者，故答案为：或者，．【点睛】此题考察三角函数的定义域及其求法，考察象限角与轴线角的三角函数值的符号，是根底题．14.，向量，，假设，那么角的值是______．【答案】【解析】【分析】根据平面向量的数量积与三角恒等变换，即可求出C的值．【详解】向量，，那么，又，所以，即，所以；又，所以，所以，解得．故答案为：．【点睛】此题考察了平面向量的数量积与三角恒等变换的应用问题，是根底题．15.是定义在内的偶函数，且在上是增函数，设，，，那么的小关系是______．【答案】【解析】【分析】根据题意，分析可得在上为减函数，进而可得，，，据此分析可得答案．【详解】根据题意，是定义在内的偶函数，且在上是增函数，那么在上为减函数，那么，，，且有，那么有；故答案为：．【点睛】此题考察函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及对数的性质，属于根底题．16.给定一组函数解析式：；；；：；；及如下列图的一组函数图象，请按照图象顺序将7个函数解析式依次排序______．【答案】【解析】【分析】根据幂函数的定义域，奇偶性和单调性分别进展判断即可．【详解】：的定义域为，当时，对应第6个图象；是偶函数，图象关于y轴对称，当时为增函数，且当时，对应第4个图象；的定义域为，在上为减函数，对应第3个图象；的定义域为是偶函数，在上为减函数，对应第2个图象：的定义域为，在上是增函数，且当时，，对应第7个图象；的定义域为是奇函数，在是减函数，对应第1个图象；是奇函数的应用为R，那么上是增函数，对应第5个图象故7个函数解析式依次排序，故答案为：【点睛】此题主要考察幂函数图象的判断，结合函数的定义域奇偶性，单调性分别进展判断是解决此题的关键．三、解答题〔本大题一一共6小题，一共分〕，集合，，假设，务实数的取值集合．【答案】或者.【解析】【分析】对集合M进展讨论，然后根据条件，即可务实数a的取值范围．【详解】当，即，时，，满足条件，当，即时，或者，假设，那么或者，即或者，此时，综上：a的取值范围是或者【点睛】此题主要考察集合关系的应用，比较根底要注意对集合M进展分类讨论．且．当时，函数恒有意义，务实数的取值范围；是否存在这样的实数，使得函数在区间上为减函数，并且最大值为1？假设存在，试求出的值；假设不存在，请说明理由．【答案】〔1〕设是减函数，又时，有意义且的取值范围是〔2〕假设存在实数,满足题设条件，在区间上单调递减函数，且是减函数，由即但这样的实数不存在【解析】试题分析：〔1〕根据对数函数的定义，可知且，时，显然符合，时，由别离参数得，右边函数在上单调递减，故，故；〔2〕假设存在符合题设条件的实数，根据复合函数单调性可知，由〔1〕知，由的最大值为，与不符，故不存在.试题解析：〔1〕当时，由函数恒有定义知恒成立，即，∴，又且，∴实数的取值范围为；〔2〕假设存在符合题设条件的实数，那么函数在区间上为减函数，且是减函数，∴，又在上恒为正，那么，故，由的最大值为，与不符，故不存在符合题设条件的实数．考点：对数函数定义域与单调性.19.如图，在中，，，为线段的垂直平分线，与交与点为上异于的任意一点.求的值；判断的值是否为一个常数，并说明理由．【答案】14；是.【解析】【分析】法一：由题意及图形，可把向量用两个向量的表示出来，再利用数量积的公式求出数量积；将向量用与表示出来，再由向量的数量积公式求数量积，根据其值的情况确定是否是一个常数；法二：由题意可以以BC所在直线为x轴，DE所在直线为y轴建立坐标系，得出各点的坐标，由向量坐标的定义式求出的坐标表示，由向量的数量积公式求数量积；设E点坐标为，表示出向量的坐标再由向量的数量积坐标表示公式求数量积即可.【详解】法1：由可得，，,的值是一个常数为线段BC的垂直平分线，L与BC交与点D，E为L上异于D的任意一点，，故：解法2：以D点为原点，BC所在直线为x轴，L所在直线为y轴建立直角坐标系，可求，此时，，设E点坐标为，，常数．【点睛】此题考察向量在几何中的应用，此题采用了二种解法，一是基向量法，一是向量的坐标表示，解题的关键是建立坐标系与设定其向量.图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象．求函数的解析式；当时，方程有唯一实数根，求的取值范围．【答案】；，．【解析】【分析】根据函数的图象变换规律，求得的解析式．由题意可得当时，函数的图象和直线只有一个交点，数形结合可得m的范围．【详解】将的图象向左平移个单位长度得到的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得的图象．，，，当时，方程有唯一实数根，函数的图象和直线只有一个交点，如下列图：故方程有唯一实数根的m的取值范围为，．【点睛】此题主要考察函数的图象变换规律，正弦函数的图象，方程根的存在性以及个数判断，属于中档题．，其图象与轴相邻的两个交点的间隔为．求函数的解析式；2假设将的图象向左平移个长度单位得到函数的图象恰好经过点，求当获得最小值时，在上的单调递增区间．【答案】〔1〕；〔2〕，【解析】【分析】利用两角差的正弦公式、二倍角及辅助角公式将化简，根据正弦函数性质，求得的值，求得的解析式；2利用三角恒等变换规律，求得m的值，求得的解析式，根据正弦函数图象及性质求得函数在上的单调区间．【详解】，，，，由函数的周期，，，，2将的图象向左平移个长度单位，，函数经过，，即，，，，，当，m取最小值，此时最小值为，，令，那么，当，即时，函数单调递增，当，即时，单调递增；在上的单调递增区间，【点睛】此题考察三角恒等变换公式，正弦函数图象及性质，三角函数图象变换规律，考察转化思想，属于中档题．=)且=.(1)求的值.(2)假设函数=有零点,务实数的取值范围.(3)当时,恒成立,务实数的取值范围.【答案】〔1〕；〔2〕；〔3〕.【解析】试题分析：〔1〕由函数的解析式以及，求得的值；〔2〕由题意可得，函数的图象和直线有交点，那么有，即可求得的取值范围；〔3〕由题意可得当恒成立，令，那么，且，利用单调性求得，从而求得实数的取值范围.试题解析：(1)对于函数=,由,∴.(2)==.假设函数===有零点,那么函数的图象和直线有交点,∴,∴.(3)∵当恒成立,即恒成立,令,那么,且==,∵=在上单调递减,∴=,∴.点睛：此题主要考察了指数函数的性质以及换元法的运用.解答中涉及到不等式的恒成立问题的求解，不等式的性质的应用，解答中把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题是解答的关键，试题综合性强，属于中档试题.。
2020-2021学年高一数学下学期开学考试试题 (II)
2020-2021学年高一数学下学期开学考试试题 (II)一、选择题(每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项)1. 已知全集{}12345U =，，，，，且{}234A =，，，{}12B =，，那么)(B C A U ⋂等于( )A ．{}2B ．{}5C ．{}34，D ．{}2345，，，2. 下列命题：①平行于同一平面的两直线相互平行；②平行于同一直线的两平面相互平行； ③垂直于同一平面的两平面相互平行；④垂直于同一直线的两平面相互平行； ⑤垂直于同一直线的两直线相互平行. 其中正确的有( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个3. 计算662log 3log 4+的结果是( )A ．log 62B ．2C ．log 63D ．34. 直线l 过点()12P -，，倾斜角为45︒，则直线l 的方程为( )A ．10x y -+＝ B ．10x y --= C ．30x y --=D ．30x y -+= 5. 直线0323=-+y x 被圆422=+y x 截得的弦长为( )A ．3B ．23C ．1D ．26. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E F G H ，，，分别为1AA ，AB ， 1BB ，11B C 的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角大小等于( )A ．45B ．60C ．90D ．120 7. 方程x x ln 1=+-必有一个根的区间是( )A ．)2,1(eB ．)3,2(C ．)4,3(D ．)5,4( 8. 函数)32(log )(221--=x x x f 的单调递增区间是( )A ．)1,(--∞B ．)1,(-∞C ．),1(+∞D ．),3(+∞9. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．1B ．C ．D ．10. 若动点(,)P x y 在曲线221y x =+上移动，则P 与点(0,-1 )Q 连线中点的轨迹方程为( )A ．22y x =B ． 24 y x =C ．26y x =D ． 28y x = 11. 函数333)(-=x x f 的值域为( ) A ．)1,(--∞ B ．),0()0,1(+∞⋃- C ．),1(+∞- D ．),0()1,(+∞⋃--∞ 12. 如图，在长方体1111ΑΒCD ΑΒC D -中，2AB BC ==，11ΑΑ=，则1ΒC 与平面11ΒΒD D 所成角的正弦值为( )A ．65B ．265C ．155D ．105 二、填空题(每小题5分，共20 分) 13．当0>a 且1≠a 时，函数3)(2-=-x a x f 必过定点 .14. 已知正方体1111ABCD A B C D -两顶点的坐标为)1,2,1(--B ，)3,2,3(1-D ，则此正方体的外接球的的表面积等于 .15.方程21(1)2x k x -=-+有两个不等实根，则k 的取值范围是 . 16. 已知函数211)1ln()(x x x f +-+=，则使得f(x)>f(2x-1)成立的x 的取值范围是 . 三、解答题（共70分，其中17题10分，其余每题12分）17. 设全集为R ，集合{}{}242,31-≥-=<≤-=x x x B x x A（1）);(,B A CB A R ⋂⋃求 （2）{}.a ,C C B ,02C 的取值范围求满足若集合=⋃>+=a x x18．已知△ABC 的三个顶点A （-3,0）B （2,1）C （-2,3）求：（1）BC 边所在的直线方程；（2）BC 边的中线AD 所在的直线方程；（3）BC 边的垂直平分线的方程.19. 已知函数()()()log 1log 3a a f x x x =-++，其中01a <<.(1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的最小值为-4，求a 的值.20. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，且DB 平分∠ADC ， E 为PC 的中点，AD =CD =1，.(1)证明：PA ∥平面BDE ；(2)证明：平面EAC ⊥平面PBD ；(3)求直线BC 与平面PBD 所成的角的正切值.21. 已知函数⎩⎨⎧≤+>=.0,32,0|,ln |)(x x x x x f （1）求函数)(x f y =的单调区间； （2）若直线m y =与该图象有三个公共点，从左至右分别为),(),,(),,(332211y x C y x B y x A ，求321x x x s ⋅+=的取值范围.22. 已知圆22:(2)()3C x y b ++-=(0)b >过点(22,0)-+, 直线():l y x m m R =+∈．(1)求b 的值；(2)若直线l 与圆C 相切，求m 的值；(3)若直线l 与圆C 相交于M 、N 两点，且OM ON ⊥(O 为原点)，求实数m 的值．数学入学考试参考答案一选择（每题5分） 1-5 C D B D D 6-10 B A A C B 11-12 C D二填空（每题5分）13.)2,2(- 14. 48π 15.]1,43( 16.)1,31( 三解答题17. （参考寒假作业P6 T12） （1）{}1-≥x x 2分 {}32≥<x x x 或 5分（2）a>-4 10分18.（参考寒假作业P40 T12）(1)x+2y-4=0； 4分 (2)2x-3y+6=0； 8分 (3)2x-y+2=0 12分19. 解：(1)1030x x -+>⎧⎨>⎩，解得31x -<<，所以函数()f x 的定义域为(31)-，． 4分 (2)()()()()()()2log 1log 3log 13log 23log 124()[(]a a a a a f x x x x x x x x =-++=-+=--+=-++，()2310144x x -<<∴<-++≤，，()201log 14]lo 4[(g a a a x <<∴-++≥，，即()min log 4a f x =； 8分由44a log =-，得44a -=，∴14242a -==． 12分 20. 解：（1）证明：连接AC ，设AC BD H ⋂=，连接EH ，在ADC ∆中，∵AD CD =，且DB 平分ADC ∠，∴H 为AC 的中点．又E 为PC 的中点，∴//EH PA ，又HE ⊂平面BDE ， PA ⊂平面BDE ，∴//PA 平面.BDE （每问4分）21.解：（1）)(x f y =的单调递增区间为)0,(-∞和),1(+∞，2分 单调递减区间为)1,0(. 4分（2）由题知直线m y =与该图象由三个公共点，则]3,0(∈m ，6分由⎪⎩⎪⎨⎧==-=+,ln ,ln ,32321m x m x m x 得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅-=,1,23321x x m x 8分 故]1,21(123321-∈+-=⋅+=m x x x s . 12分 22. (1) 1b =；(2) 36m =±；(3) 1m =，或2m = 【解析】(1)由题知：22(222)(0)3b -+++-=(0)b >，解得：1b = 2分(2)方法一：因为直线l 与圆C 相切，所以圆心()21C -，到直线l 的距离等于圆C 的半径3即：2132m--+= 解得：36m =± 6分方法二：由224220x y x y y x m⎧++-+=⎨=+⎩ 消去y 得：()22221220x m x m m +++-+= 因为直线l 与圆C 相切，所以()()22418220m m m ∆=+--+=， 解得：36m =±. 6分(3)设()11,M x y ，()22,N x y ，由圆的方程知120,0x x ≠≠由224220x y x y y x m⎧++-+=⎨=+⎩ 消去y 得：()22221220x m x m m +++-+=()()()22122124182201222m m m x x m m m x x ⎧⎪∆=+--+>⎪⎪+=-+⎨⎪-+⎪=⎪⎩ 8分OM ON ⊥∴ 11111OM ON y y k k x x ⋅=⋅=-， 即12120x x y y += ∴ ()()()21212121220x x x m x m x x m x x m +++=+++=∴ ()22222102m m m m m -+⋅-++= 2320m m -+=解得： 1m =，或2m = 11分检验可知：它们满足0∆>，故所求m 的值为1m =，或2m =. 12 分【感谢您的阅览，下载后可自由编辑和修改，关注我 每天更新】。
2019-2020年高一下学期开学考试数学试题 含答案
2019-2020年高一下学期开学考试数学试题含答案一、选择题：1.已知集合，集合，则（）A． B． C． D．2.设集合，则（）A． B． C． D．3.已知函数的定义域为，则函数的定义域（）A． B． C． D．5.已知，则的解析式为（）A． B． C．D．6.一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为的正方形，则原平面图形的面积为（）A． B． C． D．7. 为不重合的直线，为不重合的平面，则下列说法正确的是（）A．，则 B．，则C．，则 D．，则8.室内有一直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线，它与直尺所在的直线（）A．异面 B．相交 C．平行 D．垂直9.设平面，且相等，则是的（）A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心10.在正方体中，分别是的中点，那么，正方体的过的截面图形是（）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形11.若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（）A．至少与，中的一条相交 B．与都相交C．至多与，中的一条相交 D．与都相不交12.垂直于同一平面的两条直线一定（）A ．相交B ．平行C ．异面D ．以上都有可能13.某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．14．如果，那么直线不经过的象限是（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限15．动点在圆上移动时，它与定点连线的中点的轨迹方程是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题16.已知{}{}|25,|11,A x x B x m x m B A =-≤≤=-≤≤+⊆，则的取值范围为________．17．函数的值域是,则实数的取值范围是________．18.函数在内单调递减，则的取值范围是________．19.圆锥的侧面展开图为扇形，已知扇形弧长为，半径为，则该圆锥的体积等于________．20.已知实数满足，则的最小值等于________．三、解答题21.已知函数是定义在上的奇函数，且在区间上为减函数，若求实数的取值范围．22.如图，正方形和四边形所在的平面互相垂直，，．（1）求证：平面；（2）求证：平面．23．已知方程22242(3)2(14)1690x y m x m y m +-++-++=表示一个圆．（1）求实数的取值范围；（2）求该圆的半径的取值范围．24．如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，分别为的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求三棱锥的体积．25．已知圆,为坐标原点，动点在圆外，过作圆的切线，设切点为．①若点运动到处，求此时切线的方程；②求满足条件的点的轨迹方程．26．已知函数．（1）当时，求函数的零点；（2）若函数有零点，求实数的取值范围．参考答案BCBCA CDDBD ABCBC21．解：由已知得，由，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分因为奇函数在对称的区间上单调性相同，所以在上单调递减，．．．．．．．．．．．．．．．6分 则有，解得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分22．证明：（1）设与交于点．∵，∴四边形为平行四边形，所以．∵平面，平面，∴平面． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）连接．∵，且，∴四边形为菱形，∴．∵四边形为正方形，∴．即2244424364326464360m m m m m +++-+-->，整理得，解得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）r ===∴，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分24．（1）因为分别是的中点，所以．又因为平面，所以平面． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）因为，为的中点，所以，又因为平面平面，且平面，所以平面．所以平面平面． ．．．．．．．．．．．8分（3）在等腰直角三角形中，，所以．所以等边三角形的面积．又因为平面，所以三棱锥的体积等于．又因为三棱锥的体积与三棱锥的体积相等地，所以三棱锥的体积为，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分25．解：（1）当直线的斜率不存在时，此时直线方程为，到直线的距离，满足条件；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分当直线的斜率存在时，设斜率为，得直线的方程为，即，则，解得．所以直线方程，即综上，满足条件的切线方程为或．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分（2）设，则22222(1)(2)4PMPC MC x y =-=++--， ，∵，∴，整理，得，故点的轨迹方程为， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分26．解：（1）时，，令，即，解得或（舍）所以，所以函数的零点为． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）若有零点，则方程有解． 于是221111112()()()424224x x x x x a +⎡⎤==+=+-⎢⎥⎣⎦， 因为，所以，即，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分。
高一数学下学期开学考试试题(含答案)
高一年级下学期开学考试数学试题本试卷共22题，共150分，120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，，，则＝（）A． B． C． D．2．已知集合，，则（）A． B． C． D．3．函数的图象大致为( )A． B． C． D．4．下列函数中，既是奇函数又在上是增函数的是（）A． B． C． D．5．已知是上的单调递增函数，那么的取值范围是（）A． B． C． D．6．执行如图所示的程序框图，若输入的，，依次为，，，其中，则输出的为( )A． B． C． D．7．若函数y=f（x)是奇函数，且函数F(x)=af(x)+bx+2在（0，+∞，)上有最大值8，则函数y=F(x)在(－∞，，0)上有 ( )A．最小值－8 B．最大值－8C．最小值－6 D．最小值－48．已知函数的定义域为，且是偶函数．又，存在，使得，则满足条件的的个数为( )A．3 B．2 C．4 D．19．已知，点Q在直线OP上，那么当取得最小值时,点Q的坐标是（）。
A． B． C． D．10．定义在上的偶函数满足:当时有,且当时,,则函数的零点个数是( )A．6个 B．7个 C．8个 D．无数个11．下列函数中，是奇函数且存在零点的是（）A． B． C． D．12．用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如下表所示：则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，则实数a的值为_______．14．若f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=，若方程f（x）=kx恰有3个不同的根，则实数k的取值范围是______ ．15．已知，,若，，则______.16．时，恒成立，则的取值范围是_________________________三、解答题：共70分。
高一数学下学期开学考试试题含解析 2
卜人入州八九几市潮王学校第十八二零二零—二零二壹高一数学下学期开学考试试题〔含解析〕本卷须知：①本套试卷一共4页，答题卡2页.考试时间是是120分钟，总分值是150分； .第一卷〔选择题，一共60分〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的. 1.集合{}|12A x x =-<<，{}2,0,1,2B =-，那么AB =〔〕A.{}0,1B.{}1,0,1-C.{}0,1,2D.1,0,1,2【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的定义计算即可. 【详解】因为集合{}|12A x x =-<<,{}2,0,1,2B =-,故{}0,1A B =.应选：A【点睛】此题主要考察了交集的根本运算,属于根底题. 2.tan 690=〔〕B.-D.【答案】B 【解析】 【分析】将大角化小角，那么69072030=-，然后根据正切的诱导公式以及特殊角的正切值，可得结果.【详解】由69072030=-，所以()tan 690tan 72030=-那么3tan 690tan 303=-=-应选：B【点睛】此题考察正切的诱导公式，识记特殊角的三角函数值，以及三角函数中正弦、余弦、正切的诱导公式，属根底题. 3.过()1,2A -，()2,8B 两点的直线斜率为〔〕A-10 B.17C.5D.2【答案】D 【解析】 【分析】根据两点的斜率公式计算即可.【详解】过()1,2A -,()2,8B 两点的直线斜率()82221k -==--.应选：D【点睛】此题主要考察了两点间的斜率公式,属于根底题.4.设函数()122,01log ,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，那么()()1f f -=〔〕A.-1B.1C.2D.3【答案】A 【解析】 【分析】根据自变量的范围代入对应区间的解析式求解即可. 【详解】()()()()()1121241log 41f f f f ---===-=-.应选：A【点睛】此题主要考察了分段函数以及指对数的运算,属于根底题.5.弧长为50〔单位：m 〕的弧所对圆心角为300︒，那么弧所在圆半径R 〔单位：m 〕为〔〕 A.10πB.30πC.10πD.30π【答案】B 【解析】 【分析】根据弧度制的定义求解即可. 【详解】圆心角对应的弧度数为30051803ππ︒=︒,根据弧度制的定义有505303R R ππ=⇒=. 应选：B【点睛】此题主要考察了弧度制的定义与运用,属于根底题.6.将()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位后，所得图象对应的函数是〔〕A.cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D.cos 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数平移“左加右减〞求解即可.【详解】将()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位后,所得图象对应的函数是()cos 2cos 2463f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.应选：C【点睛】此题主要考察了求三角函数图像平移后的解析式,属于根底题. 7.函数()sin lg f x x x =-的零点个数为〔〕A.0B.1C.2D.3【答案】D 【解析】【分析】画出函数图像，根据函数图像得到答案. 【详解】如下列图：画出函数sin y x =和lg y x =的图像，一共有3个交点.当10x >时，lg 1sin x x >≥，故不存在交点.应选：D .【点睛】此题考察了函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键. 8.假设角α的终边过点()sin30,cos30︒-︒，那么sin α等于〔〕A.12C.12-D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先化简点()sin30,cos30︒-︒,再根据sin α的定义求解即可.【详解】由题角α的终边过点1,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,故2sin α--=. 应选：D【点睛】此题主要考察了三角函数值的求解以及正弦函数的定义,属于根底题. 9.某几何体的三视图如下列图，那么该几何体的体积为〔〕 A.16B.12C.23D.13【答案】D 【解析】三视图复原是四棱锥，AC AD ⊥，PD ⊥面ABCD,PD=AD=BC=AC=1,所以体积11(11)133V=⨯⨯=，选D.10.函数()sin 2(0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，假设()f x 的最小正周期为π，那么ω=〔〕A.1B.2C.12D.14【答案】A 【解析】 【分析】根据最小正周期的公式求解即可. 【详解】由题,212ππωω=⇒=. 应选：A【点睛】此题主要考察了正弦型函数的最小正周期,属于根底题. 11.圆C ：()2221x y +-=，点P 是直线l ：1x y -=上动点，过P 引C 的切线，切点分别为A ，B ，那么AB的最小值为〔〕A.2B.2【答案】D 【解析】 【分析】画图分析,由2sin AB AC ACP =⋅∠可知当PC 与l ：1x y -=垂直时AB取最小值,再求出点C 到l的间隔,进而求得sin ACP ∠得出AB 即可.【详解】如图,因为,PA PB与圆C相切,故,AC AP BC BP⊥⊥.故ACP BCP ≅,故,AC BC ACP BCP =∠=∠.所以AB CP ⊥.故2sin AB AC ACP =⋅∠,故当sin ACP ∠取最小值时AB 取最小.因为ACP ∠为锐角,故此时ACP ∠取最小值,cos AC ACPPC∠=取最大值.故此时PC 取最小值.即当PC 与l ：1x y -=垂直时AB取最小值.此时PC ==.2AP ==.故2sin 23AB AC ACP =⋅∠==.应选：D【点睛】此题主要考察了根据直线与圆的位置关系求解线段长度的最值问题,需要根据题意表达出AB的解析式,分析可得当AB取最小值时的情况计算即可.属于中档题.12.函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭〔0>ω〕，假设63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，那么ω的值是〔〕 A.383 B.143C.143或者383D.143或者283【答案】B 【解析】 【分析】 计算得到148,3k k Z ω=+∈且12ω<，确定0k =时满足条件，得到答案. 【详解】63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么6324πππ+=，故32432k πππωπ+=+，即148,3k k Z ω=+∈. 且2366ππππω-=<，故12ω<，故当0k =时满足条件，143ω=. 应选：B .【点睛】此题考察了根据三角函数的最值点求参数，意在考察学生的计算才能.第二卷〔非选择题一共90分〕二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.把答案填写上在答题卡相对应位置上. 13.()0,απ∈，且1cos 3α=-，那么tan ______.【答案】【解析】 【分析】根据诱导公式化简()tanπα-,再根据1cos 3α=-求出sin α继而代入计算即可. 【详解】因为()0,απ∈,故sin 3α==.故sintan tanc2232213os故答案为：【点睛】此题主要考察了同角三角函数公式的运用以及正切的诱导公式,属于根底题.14.正方体的棱长均为2，其顶点都在球O的球面上，那么球O的外表积为______.【答案】12π【解析】【分析】根据正方体的体对角线等于外接球的直径求解球的直径,再求外表积即可.【详解】因为正方体的体对角线等于外接球的直径,且正方体的棱长均为2,故球O的直径2R==所以R.故球O的外表积2412S Rππ==.故答案为：12π【点睛】此题主要考察了正方体外接球的计算,属于根底题.15.函数()sin6f x A xπϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭〔其中0A>，2πϕ<〕的图象如下列图，那么()f x在[]0,9上的最大值与最小值的和为______.【答案】2【解析】【分析】将(()0,,2,0代入()sin6f x A xπϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭计算可得,Aϕ,再求得()f x在[]0,9上的最大值与最小值即可.【详解】因为图像过()2,0,故sin03Aπϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭,即sin03πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭,又2πϕ<,故3πϕ=-.又图像过(0,,故sin23A Aπ⎛⎫-=⇒=⎪⎝⎭.故()2sin63f x xππ⎛⎫=-⎪⎝⎭.故当[]0,9x ∈时,7,6336x ππππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦.故()2sin 63f x x ππ⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎣⎦⎝⎭.所以()f x 在[]0,9上的最大值与最小值的和为2.故答案为：2【点睛】此题主要考察了根据三角函数图像求解析式的问题,同时也考察了三角函数在区间上的最值问题,属于中档题.16.直线l ：y ax =与圆C ：222220x y ax y +--+=交于A 、B 两点，假设ABC 是正三角形，那么a 的值是______.【答案】【解析】 【分析】根据正三角形的性质可知,当ABC 是正三角形时,圆心到直线l 的间隔d 与半径r 满足sin 60dr=︒,再利用点到线的间隔公式求解即可. 【详解】圆C ：222220x y ax y +--+=即()()22211x a y a -+-=-,其中210a ->.因为ABC 是正三角形,故圆心到直线l 的间隔d 与半径r 满足sin 60dr=︒.又d =,r =,2=.()()2241312a a =⇒-=+,解得27a =,满足210a ->.故a =故答案为：【点睛】此题主要考察了根据直线与圆的位置关系求解参数的问题.需要根据题意建立线段长度与半径之间的关系,继而列式求解参数.属于中档题.三、解答题：本大题一一共4小题，一共70分.解容许写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤. 17.点()3,0P和圆C ：222210xy x y +--+=.〔1〕写出圆C 的HY 方程，并指出圆心C 的坐标和半径r ； 〔2〕设Q 为C 上的点，求PQ 的最小值.【答案】〔1〕()()22111x y -+-=，圆心C 坐标()1,1，半径r 为1.〔21.【解析】 【分析】(1)将圆C 的方程配方化简为HY 方程,再得出圆心与半径即可. (2)根据圆的性质可知min PQ CP r =-,再求解即可.【详解】解：〔1〕由题可知圆C 的HY 方程为()()22111x y -+-=,圆心C 坐标()1,1,半径r 为1.〔2〕由题知min PQ CP r =-,而CP ==所以min PQ 1.【点睛】此题主要考察了圆的HY 方程以及定点到圆上点的间隔的最小值问题.属于根底题.18.()1tan2πα+=，求以下各式的值. 〔1〕cos()cos 24cos sin()ππαααα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭+-；〔2〕2sin sin cos ααα+.【答案】〔1〕17-〔2〕35【解析】 【分析】(1)利用诱导公式可得1tan 2α=,再利用诱导公式以及同角三角函数的关系化简原式代入1tan 2α=计算即可.(2)根据2222sin sin cos sin sin cos cos sin αααααααα++=+再分子分母同时除以2cos α,代入1tan 2α=计算即可.【详解】解：〔1〕由得1tan 2α=,cos()cos cos sin 24cos sin()4cos sin ππαααααααα⎛⎫--+ ⎪-+⎝⎭=+--111tan 1214tan 742αα-+-+===---. 〔2〕2222sin sin cos sin sin cos cos sin αααααααα++=+2211tan tan 34211tan 514ααα++===++. 【点睛】此题主要考察了诱导公式以及同角三角函数的关系求解化简的问题.属于根底题. 19.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，3AB =，2PA =，PD =60PAB ∠=︒.〔1〕证明：AD ⊥面PAB ；〔2〕求二面角P CD A --的大小. 【答案】〔1〕证明见解析〔2〕30. 【解析】 【分析】(1)根据勾股定理证明AD PA ⊥,再结合AD AB ⊥证明即可.(2)过点P 作PHAB ⊥于H ,过H 作HE CD ⊥于E ,连结PE ,再证明PEH ∠是二面角P CD A --的平面角,再计算得tan PH PEH HE ∠==即可求出PEH ∠的大小.【详解】解：〔1〕证明：在PAD △中,由题设,2PA =,3AD =,PD =可得222PA AD PD +=,所以AD PA ⊥,在正方形ABCD 中,AD AB ⊥, 又PA AB A =,又因为,AB PA ⊂平面PAB ，∴AD ⊥平面PAB .〔2〕过点P 作PH AB ⊥于H ,过H 作HE CD ⊥于E ,连结PE ,∵AD ⊥平面PAB ,PH ⊂平面PAB ,∴AD PH ⊥,又AB AD A ⋂=,∴PH ⊥平面ABCD ,又CD ⊂平面ABCD ,∴PH CD ⊥, 又HEPH H =,∴CD ⊥平面PHE ,PE ⊂平面PHE ,∴CD PE ⊥,∴PEH ∠是二面角P CD A --的平面角.由题可得,sin 60PHPA =⋅︒=3HE AD ==,Rt PHE 中,tan PH PEH HE ∠==,∴30PEH∠=︒,故二面角P CD A --的大小为30.[Failedtodownloadimage:://qbm-images.oss-cn-hangzhou.aliyuncs/QBM/2020/4/30/2452887117914112/2453859651313664/EXPLANATION/5ee163ab191742ff9ebf6fa427e52c26.png]【点睛】此题主要考察了线面垂直的证明以及二面角的求法,需要根据题意找到二面角的平面角,再计算其三角函数求解.属于中档题. 20.直线l ：y x b =+与圆C ：22231x y 交于不同的两点M ，N .〔1〕求b 的取值范围；〔2〕假设MN =0b >，求过点M ，N 且与y 轴相切的圆的方程.【答案】〔1〕11b <<+2〕()22525x y -+=或者()()22141x y -+-=.【解析】 【分析】(1)根据圆心到直线的间隔小于半径,列出对应的不等式求解即可. (2)根据垂径定理求解可得2b =,再联立直线l 与圆的方程,求得()1,3M ,()2,4N ,再设所求圆的方程,再代入()1,3M,()2,4N 求解即可.【详解】解：〔1〕圆心C 到直线l 的间隔d==∵直线l 与圆C 交于不同的两点M ,N ,1<,解得11b -<<〔2〕假设MN =那么221+=⎝⎭,解得2b =或者0b =〔舍〕,直线l 方程为：20x y -+=,()()2220231x y x y -+=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩,解得13x y =⎧⎨=⎩或者24x y =⎧⎨=⎩, 不妨设()1,3M,()2,4N ,由题可设所求圆方程为()()222x a y b a -+-=,∴()()()()2222221324a b a a b a⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩,解得50a b =⎧⎨=⎩或者14a b =⎧⎨=⎩. 故所求圆方程为()22525x y -+=或者()()22141x y -+-=.【点睛】此题主要考察了垂径定理的运用以及圆方程的求解,需要根据题意联立直线与圆的方程求所过点的坐标,再设所求圆的方程,代入坐标进展计算.属于中档题.21.函数()sin 3f x A x πφ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R ，0A >，02πφ<<，()y f x =的局部图象如下列图，P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为()1,A .点R 的坐标为()1,0，34PRQ π∠=. 〔1〕求()f x 的最小正周期以及解析式； 〔2〕求()f x 增区间.【答案】〔1〕6，()3sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.〔2〕()62,61k k -+，k Z ∈.【解析】 【分析】(1)根据周期的公式求解周期,再根据P 的坐标为()1,A 计算可得sin()13πφ+=,进而求得6πφ=.再过Q 作QD x ⊥轴,垂足为D ,根据三角函数的周期与34PRQ π∠=可求得3A =即可得解析式.(2)由(1)得()3sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,再代入计算222362k x k ππππππ-<+<+即可.【详解】解：〔1〕由题意得：()f x 的最小正周期263T ππ==,因为()1,P A 在()sin()3f x A x πφ=+的图像上,所以sin()13πφ+=, 所以2 ()32k k Z ππφπ+=+∈,即2 ()6k k Z πφπ=+∈,又因为02πφ<<,因此,6πφ=.过Q 作QD x ⊥轴,垂足为D ,由周期为6可知,3RD =,由于34PRQπ∠=,所以4DRQ π∠=,于是3QDRD ==,所以3A =,∴()3sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.〔2〕∵sin y x =的增区间为2,222k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭,k Z ∈, 由222362k x k ππππππ-<+<+,k Z ∈,得6261k x k -<<+,k Z ∈,∴()f x 的增区间为()62,61k k -+,k Z ∈.【点睛】此题主要考察了三角函数的图像性质运用,需要根据题意三角函数的性质代点进展计算求解,属于中档题.22.函数()2()2x xaf x a R =-∈为偶函数. 〔1〕求a 的值； 〔2〕设4()()23x g x f x m m =-⋅+，假设函数()g x 有且只有一个零点，务实数m 的取值范围.【答案】〔1〕1a =-〔2〕(){}1,3+∞-【解析】 【分析】(1)根据偶函数满足对任意实数x ,都有()()f x f x -=化简计算即可.(2)化简可得方程1422023xxx m m +-⋅+=有且只有一个实数根,再换元根据零点存在性定理列式求解即可.【详解】解：〔1〕由得：对任意实数x ,都有()()f x f x -=,∴2222xxx xa a ---=-, ∴()1140x a a +-+⋅=,1a =-.〔2〕由题知方程1422023xxx m m +-⋅+=有且只有一个实数根, 令20x t =>,那么关于t 的方程24(1)10(*)3m t mt ---=有且只有一个正根.假设1m =,那么34t =-,不符合题意,舍去；假设1m ≠,那么方程()*两根异号或者有两个相等的正根.令函数24()(1)13g t m t mt =---显然()g t 过点()0,1-, 方程()*两根异号等价于10m ->,即1m；方程()*有两个相等的正根等价于()10043021m mm ⎧⎪⎪-<⎪⎪∆=⎨⎪⎪⎪>⎪-⎩,解得3m =-,综上所述,实数a 的取值范围为(){}1,3+∞-.【点睛】此题主要考察了根据偶函数求解参数值的问题,同时也考察了关于指数函数的二次复合函数的零点问题,属于中档题.。
2019-2020学年高一数学下学期开学考试试题(含解析)
2019-2020学年高一数学下学期开学考试试题（含解析）一､单选题1.设为等差数列的前项和，若，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由等差数列求和的性质，结合等差数列通项公式，求得首项与公差；再将化简即可求解．【详解】根据等差数列的求和公式化简得，根据等差数列通项公式得解方程组得所以选C【点睛】本题考查了等差数列通项公式、求和公式的简单应用，利用等差数列的性质可简化运算过程，属于基础题．2.如图，中，，，，以AC所在直线为轴旋转一周，所得几何体的表面积等于A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意得旋转体为圆锥，底面半径为3，高为4，母线长为5，利用圆锥的表面积计算公式，即可求出表面积．【详解】解：由题意可得旋转体为圆锥，底面半径为3，高为4，故它的母线长，侧面积为，而它底面积为，故它的表面积为，故选A．【点睛】本题主要考查圆锥的表面积计算公式，属于基础题．3.在中，已知的平分线,则的面积（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据和可求得，利用同角三角函数和二倍角公式可求得，代入三角形面积公式求得结果.【详解】为角平分线，即则本题正确选项：【点睛】本题考查三角形面积公式的应用，关键是能够通过面积桥的方式，借助角平分线可构造出关于三角函数值的方程，从而使得问题得以求解.4.已知不等式的解集是,则不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据所给的不等式的解集，并结合一元二次方程根与系数的关系求出的值，然后再解不等式即可．【详解】∵不等式的解集是，∴是方程的两根，∴，解得．∴不等式为，解得，∴不等式的解集为．故选A．【点睛】本题考查二次不等式的解法，解题时注意结合“三个二次”间的关系，注意不等式解集的端点值、二次方程的根与二次函数图象与x轴交点横坐标间的关系，解题的关键是根据条件求出的值．5.圆上到直线的距离为的点共有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】通过计算可知:圆心到直线的距离等于圆的半径的一半,由此可得结论.【详解】圆可化为,所以圆心为,半径为2,圆心到直线的距离为:,所以,所以圆上到直线的距离为的点共有3个.故选:C【点睛】本题考查了由圆的方程求圆心坐标和半径,考查了点到直线的距离公式,属于基础题.6.若直线与曲线没有公共点，则实数m所取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】曲线是下半圆，先求出直线与曲线有公共点时的范围，然后可得题设结论．【详解】如图，是曲线，它是以为圆心，1为半径的圆的下半部分，当直线过时，，当直线与曲线相切时，，（舍去），由直线方程知是直线的纵截距，所以直线与曲线没有公共点时，或．故选B．【点睛】本题考查直线与圆的关系，解题时注意曲线只是半圆，因此直线与半圆有公共点不仅要考虑切线，还要考虑直线过半圆弧的端点，然后结合图形得解．7.若点和都在直线上，又点和点，则（）A. 点和都不在直线上B. 点和都在直线上C. 点在直线上且不在直线上D. 点不在直线上且在直线上【答案】B【解析】由题意得：，易得点满足由方程组得，两式相加得，即点在直线上，故选B.8.已知圆柱的底面半径为2，高为3，垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩形（如图）．若底面圆的弦所对的圆心角为，则圆柱被分成两部分中较大部分的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用较大部分与圆柱的体积比等于面积比列方程可解得答案.【详解】设截面将圆柱分成的两部分中较大部分的体积为,圆柱的体积为, 将圆柱的底面分成的两部分中,较大部分的面积为,圆柱的底面积为,则,,,所以依题意可得,所以.,【点睛】本题考查了利用圆柱的体积公式计算体积,利用较大部分与圆柱的体积比等于面积比列方程是解题关键,属于基础题.9.如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km，速度为1000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为，经过1 min后又看到山顶的俯角为，则山顶的海拔高度为（精确到0.1 km，参考数据：）A. kmB. 6.6 kmC. 6.5 kmD. 5.6 km【答案】C【解析】【分析】根据题意求得和的长，然后利用正弦定理求得BC，最后利用求得问题答案.【详解】在中，根据正弦定理，所以：山顶的海拔高度为18-11.5=6.5 km.【点睛】本题考查了正弦定理在实际问题中的应用，考查了学生数学应用，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题. 10.在各项均为正数的等比数列中，公比，若，，数列的前项和为，，则当取最小值时，的值为（）A. 4B. 6C. 4或5D. 5或6【答案】C【解析】【分析】由题意求出等比数列的公比，然后求出等比数列的通项公式，代入，得到数列为等差数列，求出的表达式，利用二次函数的性质判断最小值，进而求出的值即可．【详解】∵是等比数列且，，公比，可得：，，解得或（舍去），∴，则，，则数列的前项和，，，所以或5时，取最小值．故选：C．【点睛】本题考查了等比数列的基本量运算，考查了等差关系的确定、等差数列的求和公式以及等差数和的最值等知识，是中档题．二､多选题11.在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（）A. B. 数列是等比数列C. D. 数列是公差为2的等差数列【答案】ABC【解析】【分析】由，，，，公比为整数，解得，，可得，，进而判断出结论.【详解】∵，且公比为整数，∴，，∴，或（舍去）故A正确，，∴，故C正确；∴，故数列是等比数列，故B正确；而，故数列是公差为lg2的等差数列，故D 错误．故选：ABC.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式和前项和公式以及综合运用，属于中档题．12.在三角形中，下列命题正确的有（）A. 若，，，则三角形有两解B. 若，则一定是钝角三角形C. 若，则一定是等边三角形D. 若，则的形状是等腰或直角三角形【答案】BCD【解析】【分析】利用正弦定理可得A错误，由可推出，然后可得B正确，由得，然后可推出C正确，由可得，然后可推出D正确.【详解】因为，，所以由正弦定理得，所以角只有一个解，故A错误由，即所以，即所以，所以，故一定是钝角三角形故B正确因为所以所以，故C正确因为所以所以因为所以，所以或所以或，所以形状是等腰或直角三角形故选：BCD【点睛】本题考查的是正弦定理及三角形的和差公式在解三角形中的应用，属于中档题.三､填空题13.在数列中，已知，，则=______．【答案】【解析】【分析】利用累加法求得，再利用裂项求和法求得数列的前项和.【详解】因为，故可得，累加可得，又因为，则，故可得，则.故答案为：.【点睛】本题考查利用累加法求数列的通项公式，以及用裂项求和法求数列的前项和，属中档题.14.已知三棱锥中，，，，，，则三棱锥的体积是__________.【答案】【解析】【分析】由题意利用勾股定理，可证明平面，结合棱锥体积公式即可求解.【详解】因为，所以，则，所以，又因为，即，，平面，所以平面，又由于，所以，故答案为：【点睛】本题主要考查了棱锥体积的计算，考查线面垂直的证明，考查计算能力与推理能力，属于中档题.15.已知圆上一动点，定点，轴上一点，则的最小值等于______.【答案】【解析】【分析】根据题意画出示意图，进而数形结合求解；【详解】根据题意画出圆，以及点B（6，1）的图象如图，作B关于x轴的对称点，连接圆心与，则与圆的交点A，即为的最小值，为点（0，2）到点（6，-1）的距离减圆的半径，即，故答案为：．【点睛】考查“将军饮马”知识，数形结合的思想，画出图形，做出B点的对称点是解决本题的突破点；16.设的内角所对的边分别为，且满足，的周长为，则面积的最大值为_________.【答案】【解析】【分析】利用余弦定理，求得；再利用均值不等式即可求得的最大值，则问题得解.【详解】因为，故可得即，整理得，故可得.又三角形为直角三角形，故可得即解得，当且仅当时取得最大值.则其面积.故三角形面积的最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查正弦定理的综合应用，以及利用均值不等式求最值，属综合中档题.四､解答题17.已知直线经过点（－2，5），且斜率为（1）求直线的方程；（2）若直线与平行，且点到直线的距离为3，求直线的方程.【答案】(1) 3x＋4y－14＝0；(2) 3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.【解析】【分析】（1）代入点斜式方程求直线的方程；（2）根据（1）设的方程为，将点到直线的距离转化为平行线的距离求.【详解】（1）由点斜式方程得，，∴.（2）设的方程为，则由平线间的距离公式得，，解得：或.∴或【点睛】本题考查求直线方程，意在考查基础知识，属于简单题型.18.在中，，，分别为内角所对的边，已知，其中为外接圆的半径，，其中为的面积．（1）求；（2）若，求的周长．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由正弦可得，进而可得，从而得，结合余弦定理可得，再由即可得解；（2）由正弦定理得，从而可得，结合由正弦定理可得，从而得解.【详解】（1）由正弦定理得，，又，，则.由，由余弦定理可得，，又，，.（2）由正弦定理得，又，，又.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.19.已知数列是以为首项，为公比的等比数列，（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）按等比数列的概念直接求解即可；（2）先求出的表达式，再利用裂项相消法即可求得数列的前项和.【详解】（1）由等比数列通项公式得：（2）由（1）可得：【点睛】本题主要考查数列的通项公式问题及利用裂项相消法求和的问题，属常规考题.20.已知不等式的解集为或.（1）求；（2）解关于的不等式【答案】（1）a＝1，b＝2；（2）①当c＞2时，解集为{x|2＜x＜c}；②当c＜2时，解集为{x|c＜x＜2}；③当c＝2时，解集为∅．【解析】【分析】（1）根据不等式ax2﹣3x+6＞4的解集，利用根与系数的关系，求得a、b的值；（2）把不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0化为x2﹣（2+c）x+2c＜0，讨论c的取值，求出对应不等式的解集．【详解】（1）因为不等式ax2﹣3x+6＞4解集为{x|x＜1，或x ＞b}，所以1和b是方程ax2﹣3x+2＝0的两个实数根，且b＞1；由根与系数关系，得，解得a＝1，b＝2；（2）所求不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0化为x2﹣（2+c）x+2c ＜0，即（x﹣2）（x﹣c）＜0；①当c＞2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|2＜x＜c}；②当c＜2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|c＜x＜2}；③当c＝2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为∅．【点睛】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了不等式与方程的关系，考查了分类讨论思想，是中档题．21.已知数列满足.（1）证明数列为等差数列；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）当时，由；得到，两式相减得，再根据等差数列的定义证明.（2）由题可知，利用错位相减法求解.【详解】（1）当时，；当时，由①；得②，①-②得，当时符合，即，则，所以数列为等差数列.（2）由题可知.所以③，④，③-④得，所以.【点睛】本题主要考查数列的通项与前n项和间的关系和错位相减法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22.已知点在圆上运动，且存在一定点，点为线段的中点.（1）求点的轨迹的方程；（2）过且斜率为的直线与点的轨迹交于不同的两点，是否存在实数使得，并说明理由.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】分析：（1）由中点坐标公式，可得，.点在圆上，据此利用相关点法可得轨迹方程为.（2）设，，联立直线与圆的方程可得，由直线与圆有两个交点可得，结合韦达定理可得，.则.解得或1，不合题意，则不存在实数使得.详解：（1）由中点坐标公式，得即，.∵点在圆上运动，∴，即，整理，得.∴点的轨迹的方程为.（2）设，，直线的方程是，代入圆.可得，由，得，且，，∴..解得或1，不满足.∴不存在实数使得.点睛：与圆有关的探索问题的解决方法：第一步：假设符合要求的结论存在．第二步：从条件出发(即假设)利用直线与圆的关系求解．第三步：确定符合要求的结论存在或不存在．第四步：给出明确结果．第五步：反思回顾，查看关键点，易错点及答题规范．2019-2020学年高一数学下学期开学考试试题（含解析）一､单选题1.设为等差数列的前项和，若，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由等差数列求和的性质，结合等差数列通项公式，求得首项与公差；再将化简即可求解．【详解】根据等差数列的求和公式化简得，根据等差数列通项公式得解方程组得所以选C【点睛】本题考查了等差数列通项公式、求和公式的简单应用，利用等差数列的性质可简化运算过程，属于基础题．2.如图，中，，，，以AC所在直线为轴旋转一周，所得几何体的表面积等于A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意得旋转体为圆锥，底面半径为3，高为4，母线长为5，利用圆锥的表面积计算公式，即可求出表面积．【详解】解：由题意可得旋转体为圆锥，底面半径为3，高为4，故它的母线长，侧面积为，而它底面积为，故它的表面积为，故选A．【点睛】本题主要考查圆锥的表面积计算公式，属于基础题．3.在中，已知的平分线,则的面积（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据和可求得，利用同角三角函数和二倍角公式可求得，代入三角形面积公式求得结果.【详解】为角平分线，即则本题正确选项：【点睛】本题考查三角形面积公式的应用，关键是能够通过面积桥的方式，借助角平分线可构造出关于三角函数值的方程，从而使得问题得以求解.4.已知不等式的解集是,则不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据所给的不等式的解集，并结合一元二次方程根与系数的关系求出的值，然后再解不等式即可．【详解】∵不等式的解集是，∴是方程的两根，∴，解得．∴不等式为，解得，∴不等式的解集为．故选A．【点睛】本题考查二次不等式的解法，解题时注意结合“三个二次”间的关系，注意不等式解集的端点值、二次方程的根与二次函数图象与x轴交点横坐标间的关系，解题的关键是根据条件求出的值．5.圆上到直线的距离为的点共有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】通过计算可知:圆心到直线的距离等于圆的半径的一半,由此可得结论.【详解】圆可化为,所以圆心为,半径为2,圆心到直线的距离为:,所以,所以圆上到直线的距离为的点共有3个.故选:C【点睛】本题考查了由圆的方程求圆心坐标和半径,考查了点到直线的距离公式,属于基础题.6.若直线与曲线没有公共点，则实数m所取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】曲线是下半圆，先求出直线与曲线有公共点时的范围，然后可得题设结论．【详解】如图，是曲线，它是以为圆心，1为半径的圆的下半部分，当直线过时，，当直线与曲线相切时，，（舍去），由直线方程知是直线的纵截距，所以直线与曲线没有公共点时，或．故选B．【点睛】本题考查直线与圆的关系，解题时注意曲线只是半圆，因此直线与半圆有公共点不仅要考虑切线，还要考虑直线过半圆弧的端点，然后结合图形得解．7.若点和都在直线上，又点和点，则（）A. 点和都不在直线上B. 点和都在直线上C. 点在直线上且不在直线上D. 点不在直线上且在直线上【答案】B【解析】由题意得：，易得点满足由方程组得，两式相加得，即点在直线上，故选B.8.已知圆柱的底面半径为2，高为3，垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩形（如图）．若底面圆的弦所对的圆心角为，则圆柱被分成两部分中较大部分的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用较大部分与圆柱的体积比等于面积比列方程可解得答案.【详解】设截面将圆柱分成的两部分中较大部分的体积为,圆柱的体积为, 将圆柱的底面分成的两部分中,较大部分的面积为,圆柱的底面积为,则,,,所以依题意可得,所以.,故选:A【点睛】本题考查了利用圆柱的体积公式计算体积,利用较大部分与圆柱的体积比等于面积比列方程是解题关键,属于基础题.9.如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km，速度为1000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为，经过1 min后又看到山顶的俯角为，则山顶的海拔高度为（精确到0.1 km，参考数据：）A. kmB. 6.6 kmC. 6.5 kmD. 5.6 km【答案】C【解析】【分析】根据题意求得和的长，然后利用正弦定理求得BC，最后利用求得问题答案.【详解】在中，根据正弦定理，所以：山顶的海拔高度为18-11.5=6.5 km.故选：C【点睛】本题考查了正弦定理在实际问题中的应用，考查了学生数学应用，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.10.在各项均为正数的等比数列中，公比，若，，数列的前项和为，，则当取最小值时，的值为（）A. 4B. 6C. 4或5D. 5或6【答案】C【解析】【分析】由题意求出等比数列的公比，然后求出等比数列的通项公式，代入，得到数列为等差数列，求出的表达式，利用二次函数的性质判断最小值，进而求出的值即可．【详解】∵是等比数列且，，公比，可得：，，解得或（舍去），∴，则，，则数列的前项和，，，所以或5时，取最小值．故选：C．【点睛】本题考查了等比数列的基本量运算，考查了等差关系的确定、等差数列的求和公式以及等差数和的最值等知识，是中档题．二､多选题11.在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（）A. B. 数列是等比数列C. D. 数列是公差为2的等差数列【答案】ABC【解析】【分析】由，，，，公比为整数，解得，，可得，，进而判断出结论.【详解】∵，且公比为整数，∴，，∴，或（舍去）故A正确，，∴，故C正确；∴，故数列是等比数列，故B正确；而，故数列是公差为lg2的等差数列，故D错误．故选：ABC.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式和前项和公式以及综合运用，属于中档题．12.在三角形中，下列命题正确的有（）A. 若，，，则三角形有两解B. 若，则一定是钝角三角形C. 若，则一定是等边三角形D. 若，则的形状是等腰或直角三角形【答案】BCD【解析】【分析】利用正弦定理可得A错误，由可推出，然后可得B正确，由得，然后可推出C正确，由可得，然后可推出D正确.【详解】因为，，所以由正弦定理得，所以角只有一个解，故A错误由，即所以，即所以，所以，故一定是钝角三角形故B正确因为所以所以，故C正确因为所以所以因为所以，所以或所以或，所以形状是等腰或直角三角形故选：BCD【点睛】本题考查的是正弦定理及三角形的和差公式在解三角形中的应用，属于中档题.三､填空题13.在数列中，已知，，则=______．【答案】【解析】【分析】利用累加法求得，再利用裂项求和法求得数列的前项和.【详解】因为，故可得，累加可得，又因为，则，故可得，则.故答案为：.【点睛】本题考查利用累加法求数列的通项公式，以及用裂项求和法求数列的前项和，属中档题.14.已知三棱锥中，，，，，，则三棱锥的体积是__________.【答案】【解析】【分析】由题意利用勾股定理，可证明平面，结合棱锥体积公式即可求解.【详解】因为，所以，则，所以，又因为，即，，平面，所以平面，又由于，所以，故答案为：【点睛】本题主要考查了棱锥体积的计算，考查线面垂直的证明，考查计算能力与推理能力，属于中档题.15.已知圆上一动点，定点，轴上一点，则的最小值等于______.【答案】【解析】【分析】根据题意画出示意图，进而数形结合求解；【详解】根据题意画出圆，以及点B（6，1）的图象如图，作B关于x轴的对称点，连接圆心与，则与圆的交点A，即为的最小值，为点（0，2）到点（6，-1）的距离减圆的半径，即，故答案为：．【点睛】考查“将军饮马”知识，数形结合的思想，画出图形，做出B点的对称点是解决本题的突破点；16.设的内角所对的边分别为，且满足，的周长为，则面积的最大值为_________.【答案】【解析】【分析】利用余弦定理，求得；再利用均值不等式即可求得的最大值，则问题得解.【详解】因为，故可得即，整理得，故可得.又三角形为直角三角形，故可得即解得，当且仅当时取得最大值.则其面积.故三角形面积的最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查正弦定理的综合应用，以及利用均值不等式求最值，属综合中档题.四､解答题17.已知直线经过点（－2，5），且斜率为（1）求直线的方程；（2）若直线与平行，且点到直线的距离为3，求直线的方程.【答案】(1) 3x＋4y－14＝0；(2) 3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.【解析】【分析】（1）代入点斜式方程求直线的方程；（2）根据（1）设的方程为，将点到直线的距离转化为平行线的距离求.【详解】（1）由点斜式方程得，，∴.（2）设的方程为，则由平线间的距离公式得，，解得：或.∴或【点睛】本题考查求直线方程，意在考查基础知识，属于简单题型.18.在中，，，分别为内角所对的边，已知，其中为外接圆的半径，，其中为的面积．（1）求；（2）若，求的周长．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由正弦可得，进而可得，从而得，结合余弦定理可得，再由即可得解；（2）由正弦定理得，从而可得，结合由正弦定理可得，从而得解.【详解】（1）由正弦定理得，，又，，则.由，由余弦定理可得，，又，，.（2）由正弦定理得，又，，又.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.19.已知数列是以为首项，为公比的等比数列，（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）按等比数列的概念直接求解即可；（2）先求出的表达式，再利用裂项相消法即可求得数列的前项和.【详解】（1）由等比数列通项公式得：（2）由（1）可得：【点睛】本题主要考查数列的通项公式问题及利用裂项相消法求和的问题，属常规考题.20.已知不等式的解集为或.（1）求；（2）解关于的不等式【答案】（1）a＝1，b＝2；（2）①当c＞2时，解集为{x|2＜x＜c}；②当c＜2时，解集为{x|c＜x＜2}；③当c＝2时，解集为∅．【解析】【分析】（1）根据不等式ax2﹣3x+6＞4的解集，利用根与系数的关系，求得a、b的值；（2）把不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0化为x2﹣（2+c）x+2c＜0，讨论c的取值，求出对应不等式的解集．【详解】（1）因为不等式ax2﹣3x+6＞4解集为{x|x＜1，或x＞b}，所以1和b是方程ax2﹣3x+2＝0的两个实数根，且b＞1；由根与系数关系，得，解得a＝1，b＝2；（2）所求不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0化为x2﹣（2+c）x+2c＜0，即（x﹣2）（x﹣c）＜0；①当c＞2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|2＜x＜c}；②当c＜2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|c＜x＜2}；③当c＝2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为∅．【点睛】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了不等式与方程的关系，考查了分类讨论思想，是中档题．21.已知数列满足.（1）证明数列为等差数列；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）当时，由；得到，两式相减得，再根据等差数列的定义证明.（2）由题可知，利用错位相减法求解.【详解】（1）当时，；当时，由①；得②，①-②得，当时符合，即，则，所以数列为等差数列.（2）由题可知.所以③，④，③-④得，所以.【点睛】本题主要考查数列的通项与前n项和间的关系和错位相减法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22.已知点在圆上运动，且存在一定点，点为线段的中点.（1）求点的轨迹的方程；（2）过且斜率为的直线与点的轨迹交于不同的两点，是否存在实数使得，并说明理由.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】分析：（1）由中点坐标公式，可得，.点在圆上，据此利用相关点法可得轨迹方程为.（2）设，，联立直线与圆的方程可得，由直线与圆有两个交点可得，结合韦达定理可得，.则.解得或1，不合题意，则不存在实数使得.详解：（1）由中点坐标公式，得。
高一数学下学期开学试卷(含解析)(2021年最新整理)
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黑龙江省大庆市2016-2017学年高一数学下学期开学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．设集合M=｛x｜x2≤x｝，N=｛x｜lgx≤0}，则M∩N=( ）A．B．(0,1］ C．2．已知角α的终边过点P（﹣6,8)，则cosα的值是（）A． B．C． D．3．已知函数y=f（x)定义域是，则y=f（2x﹣1）的定义域是（）A．B．C．D．4．已知平面向量，,若，则实数k=( )A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣45．方程log5x+x﹣2=0的根所在的区间是（）A．（2，3）B．（1，2）C．（3，4) D．(0，1）6．设函数f（x）（x∈R）为奇函数,f(1）=，f（x+2）=f(x）+f（2)，则f（5）=（) A．0 B．1 C．D．57．若α，β为锐角，tan（α+β）=3，，则α的值为（）A．B．C．D．8．已知非零向量满足，且,则与的夹角是（）A．B．C．D．9．函数y=Asin（ωx+φ)（ω＞0,｜φ|＜,x∈R）的部分图象如图所示,则函数表达式( ）A．y=﹣4sin（x﹣）B．y=4sin(x﹣）C．y=﹣4sin（x+）D．y=4sin（x+)10．已知函数f(x)=asinx+cosx(a为常数，x∈R)的图象关于直线对称,则函数g（x）=sinx+acosx的图象（）A．关于点对称B．关于点对称C．关于直线对称D．关于直线对称11．已知函数的值域为R，则常数a的取值范围是（）A．C．（﹣2，0］D．（﹣∞，0]12．函数的所有零点之和等于( ）A．﹣10 B．﹣8 C．﹣6 D．﹣4二、填空题：本大题共4小题,每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．已知P1(2，﹣1）,P2(0，5）且点P在P1P2的延长线上，，则点P的坐标为．14．如果幂函数的图象不过原点,则m的值是．15．已知O为△ABC的外心，AB=2，AC=3，如果，其中x、y满足x+2y=1且xy≠0，则cos∠BAC= ．16．若函数f（x）=的值域为，则m+n= ．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（1）若α第三象限角，，求;（2）若tanα=2，求的值．18．已知2x≤16且，求函数的值域．19．已知函数f（x）=2cosxsin（x+）+1，x∈R．（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）将f(x）的图象向右平移个单位得到函数g（x)的图象，若x∈，求函数g(x)的值域．20．已知点A、B、C的坐标分别是(4，0）,（0，4）,（3cosα，3sinα），且．若，求的值．21．已知函数为奇函数，(1）求a的值；（2）判断并证明函数f(x)的单调性；(3）是否存在这样的实数k，使f（k﹣cosθ）+f（cos2θ﹣k2)≥0对一切θ∈R恒成立，若存在，试求出k取值的集合；若不存在，说明理由．22．已知函数f(x）=x2﹣2ax+1（a∈R)在时，不等式f（2x+1）＞3f（2x）+a恒成立，求x的取值范围．2016-2017学年黑龙江省大庆实验中学高一（下）开学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分．1．设集合M=｛x|x2≤x｝，N=｛x｜lgx≤0｝，则M∩N=（）A．B．(0，1］C．【考点】1E:交集及其运算．【分析】解不等式求出集合M，求定义域得出N，根据交集的定义写出M∩N．【解答】解：集合M={x|x2≤x｝=｛x｜0≤x≤1｝，N={x｜lgx≤0｝=｛x｜0＜x≤1｝，则M∩N={x|0＜x≤1}=（0，1］．故选：B．2．已知角α的终边过点P（﹣6，8)，则cosα的值是（）A． B．C． D．【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得cosα的值．【解答】解：∵角α的终边过点P（﹣6，8）,则x=﹣6,y=8，r=|OP|=10，∴cosα===﹣，故选：A．3．已知函数y=f（x）定义域是，则y=f（2x﹣1）的定义域是（）A．B．C．D．【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】根据复合函数定义域之间的关系即可得到结论．【解答】解：∵函数y=f（x)定义域是，∴由﹣2≤2x﹣1≤3，解得﹣≤x≤2,即函数的定义域为，故选：C．4．已知平面向量，，若，则实数k=( ）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【考点】96：平行向量与共线向量．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：∵，∴2+k=0,解得k=﹣2．故选:B．5．方程log5x+x﹣2=0的根所在的区间是（）A．（2，3）B．（1，2）C．（3,4） D．（0,1）【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】方程的根转化为函数的零点，判断函数的连续性以及单调性，然后利用零点判定定理推出结果即可．【解答】解：方程log5x+x﹣2=0的根就是y=log5x+x﹣2的零点,函数是连续函数,是增函数，可得f（1）=0+1﹣2=﹣1＜0,f（2）=log52+2﹣2＞0,所以f（1）f(2）＜0，方程根在（1,2)．故选：B．6．设函数f（x）(x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f(2），则f（5)=（）A．0 B．1 C．D．5【考点】3L：函数奇偶性的性质；3T：函数的值．【分析】利用奇函数的定义、函数满足的性质转化求解函数在特定自变量处的函数值是解决本题的关键．利用函数的性质寻找并建立所求的函数值与已知函数值之间的关系,用到赋值法．【解答】解：由f（1）=,对f（x+2)=f（x）+f（2），令x=﹣1，得f（1）=f(﹣1）+f（2）．又∵f（x）为奇函数，∴f(﹣1）=﹣f（1）．于是f（2）=2f（1）=1；令x=1，得f(3）=f（1）+f(2）=,于是f(5）=f（3)+f（2)=．故选：C．7．若α,β为锐角，tan(α+β）=3，，则α的值为（）A．B．C．D．【考点】GR:两角和与差的正切函数．【分析】由α=（α+β)﹣β和两角差的正切函数求出tanα的值，由α的范围和特殊角的正切函数值求出α．【解答】解：因为tan(α+β）=3，，所以tanα=tan===1，又α为锐角，则α=，故选B．8．已知非零向量满足,且，则与的夹角是（）A．B．C．D．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由已知条件结合向量垂直与数量积的关系可得，再由数量积求夹角公式求得与的夹角．【解答】解:∵,且,∴,，则．∴cos＜＞=，又＜＞∈，∴与的夹角是．故选：A．9．函数y=Asin（ωx+φ)（ω＞0，｜φ|＜,x∈R）的部分图象如图所示，则函数表达式（）A．y=﹣4sin（x﹣）B．y=4sin（x﹣）C．y=﹣4sin（x+）D．y=4sin（x+）【考点】HK：由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值,可得函数的解析式．【解答】解:由函数的解析式可得A=4或﹣4,若A=4,由==6+2，可得ω=．再根据五点法作图可得﹣2×+φ=π，即φ=，不合题意，舍去．若A=﹣4，由ω=，6×+φ=π，求得φ=,故函数的解析式为y=﹣4sin(x+），故选:C．10．已知函数f（x）=asinx+cosx(a为常数,x∈R）的图象关于直线对称,则函数g(x）=sinx+acosx的图象（）A．关于点对称B．关于点对称C．关于直线对称D．关于直线对称【考点】H6：正弦函数的对称性．【分析】利用三角函数的对称性求得a的值，可得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解:∵函数f（x）=asinx+cosx（a为常数，x∈R)的图象关于直线对称，∴f（0）=f（）,即1=a+,∴a=，∴f（x）=asinx+cosx=sinx+cosx=sin(x+），故函数g（x）=sinx+acosx=sinx+cosx=sin(x+），当x=时，g（x）=为最大值，故A错误，故g（x)的图象关于直线对称，即C正确．当x=时,g（x）=≠0,故B错误．当x=时，g(x）=1，不是最值，故g（x）的图象不关于直线x=对称,排除D．故选：C．11．已知函数的值域为R，则常数a 的取值范围是（）A．C．（﹣2，0] D．（﹣∞,0]【考点】L@：组合几何体的面积、体积问题；5B：分段函数的应用．【分析】利用分段函数,通过函数的值域范围，列出不等式求解即可．【解答】解：函数，当x＜1时,f(x)=1﹣x2≤1,∴x≥1时，f（x）=的最小值小于1，因为y=x2+x+a的开口向上，对称轴为x=，当x≥1时，函数是增函数，最小值为：f（1)=2+a．可得：log2（2+a）≤1，解得a∈(﹣2，0]．故选：C．12．函数的所有零点之和等于（）A．﹣10 B．﹣8 C．﹣6 D．﹣4【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】把函数的零点转化为g(x）=与h(x）=﹣2sinπx的交点横坐标，画出图形，数形结合得答案．【解答】解：函数的零点，就是方程的根，即方程的根，令g(x）=，h(x）=﹣2sinπx，作出两个函数的图象如图：由图可知，g(x）=与h（x)=﹣2sinπx的交点个数为8个，由对称性可知,函数的所有零点之和为﹣2×4=﹣8．故选：B．二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．已知P1（2，﹣1)，P2（0,5）且点P在P1P2的延长线上，，则点P的坐标为（﹣2,11) ．【考点】9J:平面向量的坐标运算．【分析】设P点（x，y)，,由此建立关于x、y的方程组,解之即可得到点P的坐标．【解答】解：∵点P在线段P1P2的延长线上，且，∴=﹣2∵P1(2，﹣1）,P2(0，5)设P点（x，y)，∴=(x﹣2，y+1）,=（﹣x，5﹣y)∴∴x=﹣2,y=11∴P点的坐标为（﹣2，11）．故答案为：（﹣2，11）14．如果幂函数的图象不过原点，则m的值是 1 ．【考点】4V:幂函数的图象．【分析】幂函数的图象不过原点，所以幂指数小于0，系数为1，求解即可．【解答】解:幂函数的图象不过原点，所以解得m=1，符合题意．故答案为:115．已知O为△ABC的外心，AB=2,AC=3，如果，其中x、y满足x+2y=1且xy≠0，则cos∠BAC= ．【考点】9V：向量在几何中的应用．【分析】如图所示,过点O分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E．利用垂经定理可得：AD=AB，AE=AC．分别表示出•=2+y•，•=x•+y 2，又x+2y=1,xy≠0，联立解出即可．【解答】解：如图所示，过点O分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E．则AD=AB,AE=AC．∴•=2=2，•=2=，∵,则•=2+y•，化为2=4x+6ycos∠BAC，•=x•+y 2，化为=6xcos∠BAC+9y，又x+2y=1，xy≠0，联立解得cos∠BAC=，y=，x=0．（舍去）y=，x=﹣，cos∠BAC=．故答案为:．16．若函数f（x)=的值域为，则m+n= 2 ．【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【分析】由f（x)化简整理可得1+，设g(x）=，定义域为R，判断为奇函数,即有最值之和为0，可得m+n=2．【解答】解：函数f(x）====1+，设g(x）=，定义域为R，g（﹣x)==﹣g（x），则g(x）为R上的奇函数,由题意f(x）的值域为,由奇函数的性质可得m﹣1+n﹣1=0，即m+n=2．故答案为：2．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．(1）若α第三象限角，,求；（2）若tanα=2，求的值．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系、半角公式求得的值．（2）利用同角三角函数的基本关系，诱导公式，求得所给式子的值．【解答】解:（1）∵，∴，由α第三象限角,则cosα=﹣,∴tan===﹣5．（2）=．18．已知2x≤16且，求函数的值域．【考点】34：函数的值域．【分析】先求出≤log2x≤2，再根据二次函数即可得到结论．【解答】解：由2x≤16得x≤4，log2x≤2，即≤log2x≤2，=（log2x﹣1）(log2x﹣2）=(log2x﹣）2﹣,当，，当，，故f(x）的取值范围为．19．已知函数f（x）=2cosxsin（x+）+1,x∈R．(Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）将f(x)的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象,若x∈，求函数g（x）的值域．【考点】H5：正弦函数的单调性；H1:三角函数的周期性及其求法;HJ：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换．【分析】(Ⅰ）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ)的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间;（Ⅱ）通过平移求出g（x）的解析式，x∈上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最大值和最小值，即得到f（x）的值域．【解答】解:函数f（x)=2cosxsin（x+)+1，x∈R．化简可得：f（x)=2cosxsinxcos+2cos2xsin+1=sin2x+cos2x+=sin(2x+)+(Ⅰ）函数f（x）的最小正周期T=；由f（x）=sin（2x+）+由2kπ≤2x+≤2kπ+，k∈Z．解得:﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z．故函数f（x)=sin（2x+）+的单调递增区间为,k∈Z．(Ⅱ）f（x）的图象向右平移个单位得到:sin+=sin(2x)=g（x）∴，∵x∈，∴．∴﹣≤cos2x≤1．∴函数的值域为．20．已知点A、B、C的坐标分别是（4,0），（0，4）,（3cosα，3sinα），且．若，求的值．【考点】GQ：两角和与差的正弦函数．【分析】利用两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，以及二倍角公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：由题意可得，．∵，∴(3cosα﹣4)•3cosα+3sinα•（3sinα﹣4）=0，∴，得=2sinαcosα，．又，∴sinα﹣cosα===，且，．∴====．21．已知函数为奇函数,（1）求a的值；（2）判断并证明函数f（x）的单调性；(3）是否存在这样的实数k，使f（k﹣cosθ）+f(cos2θ﹣k2）≥0对一切θ∈R恒成立，若存在，试求出k取值的集合；若不存在，说明理由．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】（1）根据题意可得f（0)=0，由此求得a的值．（2）利用减函数的定义证明 f(x)是（﹣3，3）上的减函数．（3）根据f（k﹣cosθ)≥f(k2﹣cos2θ），f（x）是（﹣3，3)上的减函数，可得对任意的实数θ恒成立，由此分类求得k的范围，综合可得结论．【解答】解：(1）∵函数为奇函数，定义域中包含0，故有f（0)=0,即lg=0，∴a=3．（2）由（1）可得f（x）=lg，根据＞0，求得﹣3＜x＜3，故函数的定义域为(﹣3,3)．(2）任取=，∵9+3（x2﹣x1）﹣x1x2＞9﹣x1x2＞0，∴，∴f（x）是（﹣3，3)上的减函数．（3）∵f（k﹣cosθ)≥﹣f（cos2θ﹣k2）=f（k2﹣cos2θ），f（x）是（﹣3，3)上的减函数,∴对任意的实数θ恒成立．由k﹣cosθ≤cos2θ﹣k2,可得k﹣k2≤cosθ﹣cos2θ对任意的实数θ恒成立．令y=cosθ﹣cos2θ=﹣+,故当cosθ=﹣1时,y取得最小值为﹣2，∴k﹣k2≤﹣2,求得k≤﹣1，或 k≥2 ①．同理：由﹣3＜k﹣cosθ＜3对θ∈R恒成立得：﹣2＜k＜2 ②．由﹣3＜cos2θ﹣k2＜3对θ∈R恒成立得：③．综合①②③可得,，所以存在这样的k,其范围为．22．已知函数f(x）=x2﹣2ax+1(a∈R）在时，不等式f（2x+1)＞3f(2x）+a恒成立,求x的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】(1)由2x＞0可知f(x）在（0，+∞）上有零点，根据二次函数的性质列出不等式组得出a的取值范围；（2）化简不等式得(2x+1﹣1)a+22x﹣2＞0，令g（a）=（2x+1﹣1）a+22x﹣2（1≤a≤2)，根据一次函数的性质列不等式组得出a的范围．【解答】解：（1）函数f（x）=x2﹣2ax+1在a∈R单调递增区间是[a,+∞)，因为f（x）在［2，+∞）上单调递增，所以a≤2；令2x=t（t＞0），则f(2x）=f(t）=t2﹣2at+1（t＞0），函数y=f（2x）有实数零点，即：y=f（t）在（0，+∞）上有零点，只需:，解得a≥1．综上:1≤a≤2，∴A=｛a｜1≤a≤2}．（2）f（2x+1）＞3f（2x)+a化简得（2x+1﹣1)a+22x﹣2＞0,因为对于任意的a∈A时，不等式f(2x+1)＞3f（2x）+a恒成立，即对于1≤a≤2不等式（2x+1﹣1）a+22x﹣2＞0恒成立，设g（a)=(2x+1﹣1）a+22x﹣2(1≤a≤2),∴，即∴解得2x＞1，∴x＞0，综上，满足条件的x的范围为(0,+∞）．。
高一数学下学期开学考试试题含解析试题1
智才艺州攀枝花市创界学校官渡区第一二零二零—二零二壹高一数学下学期开学考试试题〔含解析〕一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的． 1.假设集合{}2|60M x x x =--<，{}2|log 2N x x =<，那么M N ⋃=〔〕A.(]2,4- B.()0,3C.()2,4-D.[)2,4-【答案】C 【解析】 【分析】解不等式确定集合,M N ，再由并集定义计算． 【详解】由{}2|60{|23}M x x x x x =--<=-<<，{}2|log 2{|04}N x x x x =<=<<，∴{|24}MN x x =-<<．应选：C ．【点睛】此题考察集合的并集运算，解题关键是掌握解一元二次不等式，掌握对数函数的性质． 2.假设a ，b 是任意实数，且a >b ，那么以下不等式成立的是() A.a 2>b 2B.1b a< C.lg(a －b )>0D.11()()33a b < 【答案】D 【解析】【详解】试题分析：A 中1,2ab ==-不成立，B 中1,12a b =-=-不成立，C 中0,1a b ==-不成立，D 中由指数函数单调性可知是成立的 3.()()()1,2,2,3,3,4a b c ===.假设ka b +与c 一共线，那么实数k 的值是〔〕A.12-B.1710-C.1811-D.1-【答案】A 【解析】 【分析】 先由()()1,2,2,3,ab ==求出ka b +的坐标表示,再由ka b +与c 一共线,即可求出结果.【详解】因为()()1,2,2,3,a b ==所以()=2,23ka b k k +++,又()3,4c =,ka b +与c 一共线,所以()()242330k k +⨯-+⨯=,解得12k =-. 应选:A .【点睛】此题主要考察向量的坐标运算,熟记一共线向量定理即可,属于根底题型,难度较易. 4.假设11tan ,tan()32ααβ=+=,那么tan =β〔〕 A.17B.16C.57D.56【答案】A 【解析】试题分析：11tan()tan 123tan tan[()]111tan()tan 7123αβαβαβααβα-+-=+-===+++⨯，应选A. 考点：两角和与差的正切公式．5.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.〞其意思是有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了〔〕A.96里B.48里C.192里D.24里【答案】A 【解析】 【分析】根据题意,此人每天走的路程构成了公比12q=的等比数列,再根据求和公式列式求解即可. 【详解】由题意可知,此人每天走的路程构成了公比12q =的等比数列,设该数列为{}n a ,其前n 项和为n S那么有6161(1())2378112a S -==-,解得1192a =, 故2196a a q ==,应选:A.【点睛】此题考察了等比数列的相关知识,能读懂题识别该模型为等比数列是解题关键.6.cos 410πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，那么sin 2α=〔〕A.45B.25C.45±D.25±【答案】A 【解析】 【分析】由cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭可求得cos 22πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值,由于cos 2=sin 22παα⎛⎫+- ⎪⎝⎭即可解得所求.【详解】cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,24cos 2=2cos 1245ππαα⎛⎫⎛⎫∴++-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即4sin 25α-=-,所以4sin 25α=. 应选:A .【点睛】此题考察了二倍角的余弦公式,三角函数的诱导公式,考察了学生的计算才能,难度较易. 7.一海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处．在C 处有一座，海轮在A 处观察，其方向是南偏东70°，在B 处观察，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的间隔是()海里海里【答案】B 【解析】根据条件可知△ABC 中，AB ＝20，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝105°，所以∠C ＝45°，由正弦定理，有203045BC sin sin =︒︒，所以120BC ⨯=应选B. 8.函数2()(2)2(2)4f x a x a x =-+--的函数值恒小于零，那么实数a 的取值范围是〔〕A.(,2]-∞B.(,2)-∞-C.(2,2]-D.(2,2)-【答案】C 【解析】 当20a -=即2a =时，()40f x =-<恒成立，所以2a =符合题意；当20a -≠即2a≠时，因为函数值恒小于零，所以二次函数的图像开口向下，且和x 轴没交点，所以2204(2)16(2)0a a a -<⎧⎨∆=-+-<⎩，解得22a -<<．综上所述，22a -<≤．所以选C ． 【点睛】二次项系数含字母，而题中没说是二次函数，故对二次项系数是否为零讨论．是二次函数时，应结合二次函数的图像抛物线与x 轴的位置关系解决此题．二次不等式恒成立问题，注意三个二次的运用．9.函数()3()sin 42f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，下面结论错误的选项是〔〕A.函数()f x 的最小正周期为2π B.函数()f x 在区间0,16π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 C.函数()f x 的图象关于直线4x π=对称D.函数()f x 是偶函数 【答案】B 【解析】 【分析】函数3()sin 4cos 42f x x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭分别求出的周期、奇偶性、对称轴，可得A 、C 、D 都正确．【详解】对于函数3()sin 4cos 42f x x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，它的周期等于242ππ=，故A 正确．令4x π=，那么()cos 14f ππ==-，那么4x π=是()f x 的对称轴，故C 正确．由于()cos(4)cos 4()f x x x f x -=-==，故函数()f x 是偶函数，故D 正确．利用排除法可得B 错误； 应选：B ．【点睛】此题主要考察函数的图象变换规律，复合三角函数的周期性、单调性的应用，属于中档题． 10.假设函数()|3sin 4cos |f x x x m =++的最大值是8，那么m =〔〕A.3B.13C.3或者3-D.3-或者13【答案】C 【解析】利用辅助角公式化简，根据正弦的值域，分类讨论函数最大值即可. 【详解】()|3sin 4cos |f x x x m =++()|5sin()|f x x m ϕ∴=++， 55sin()5x ϕ-≤+≤,∴当0m >时，max ()|5|8f x m =+=,解得3m =， 当0m <时，max ()|5|8f x m =-+=，解得3m =-， 应选：C【点睛】此题主要考察了三角函数的辅助角公式，正弦函数的值域，分类讨论，属于中档题.11.函数()a f x x 的图象过点()4,2，令*1,(1)()n a n f n f n =∈++N .记数列{}n a 的前n 项和为n S ，那么2021S =〔〕11【答案】D 【解析】 【分析】由条件推导出n a =*n N ∈．由此利用裂项求和法能求出2021S ．【详解】解：由()42f =，可得42a=，解得12a =，那么12()f x x =.∴1(1)()na f n f n ===-++，【点睛】此题考察了函数的性质、数列的“裂项求和〞，考察了推理才能与计算才能，属于中档题． 12.定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-，且在(0,)+∞上是增函数，不等式()()21f ax f +≤-对于[]1,2x ∈恒成立，那么a 的取值范围是A.3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B.11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C.1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.[]0,1【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在(),0-∞上是减函数，由此可将不等式化为121ax -≤+≤；利用别离变量法可得31a xx -≤≤-，求得3x -的最大值和1x-的最小值即可得到结果. 【详解】()()f x f x =-()f x ∴为定义在R 上的偶函数，图象关于y 轴对称又()f x 在()0,∞+上是增函数()f x ∴在(),0-∞上是减函数()()21f ax f +≤-21ax ∴+≤，即121ax -≤+≤121ax -≤+≤对于[]1,2x ∈恒成立31a xx∴-≤≤-在[]1,2上恒成立 312a ∴-≤≤-，即a 的取值范围为：3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦此题正确选项：A【点睛】此题考察利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是可以利用函数单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而利用别离变量法来处理恒成立问题.二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分．13.向量(0,2a =-，()1,3b =，那么向量a 在b 方向上的投影为_______．【答案】-3 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算求得向量的模和向量的数量积，由投影计算公式可得答案.【详解】因为(0,2a =-，()1,3b =，所以23a =，(212b =+=，(1+06a b ⋅=⨯-=-，所以向量a 在b 方向上的投影为632a b b⋅-==-， 故答案为：-3.【点睛】此题考察向量的坐标运算，向量的数量积的几何意义，属于根底题. 14.等差数列的前n 项和为n S ，且12130,0S S ><，那么使n S 获得最大值的n 为_______.【答案】6 【解析】 【分析】 由12130,0S S ><，根据等差数列的前n 项和公式，看出第七项小于0，第六项和第七项的和大于0，得到第六项大于0，这样前6项的和最大． 【详解】因为等差数列中，12130,0S S ><，所以()126713760,130S a a S a =+>=<，6770,0a a a ∴+><， 670,0a a ∴><，∴S n 到达最大值时对应的项数n 的值是6． 故答案为：6【点睛】此题主要考察了等差数列的性质，等差数列的前n 项和，属于容易题．15.0,0,lg 2lg8lg 2,x y xy >>+=那么113x y+的最小值是. 【答案】4 【解析】lg2x＋lg8y＝x lg2＋3y lg2＝lg2，∴x ＋3y ＝1，∴113x y ⎛⎫+⎪⎝⎭＝113x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭·(x ＋3y )＝2＋33y x x y +≥4，当且仅当x ＝12，y ＝16时取等号． 16.设4()42xxf x =+，那么1231920202020f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭________.【答案】192【解析】 【分析】 根据()(1)f x f x +-为定值，即采用分组求和方式求解.【详解】1144()(1)4242x xx xf x f x --+-=+++ 444214242442x x x x x +=+==++⋅+， 1231919202020202f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：192【点睛】此题主要考察了函数求值，分组求和，属于容易题.三、解答题：一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．其中第17题10分，第18-22题12分． 17.{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b=，39b =，11a b =，144a b =．〔1〕求{}n a 的通项公式；〔2〕设nn n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和．【答案】〔1〕21n a n =-；〔2〕2312n n -+【解析】 【分析】 〔1〕设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，运用通项公式，可得3,2q d ==，进而得到所求通项公式； 〔2〕由〔1〕求得1(21)3n n n n c a b n -=+=-+，运用等差数列和等比数列的求和公式，即可得到数列{}n c 和．【详解】〔1〕设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，因为233,9b b ==，可得323b q b ==，所以2212333n n n n b b q ---==⋅=， 又由111441,27a b a b ====，所以1412141a a d -==-，所以数列{}n a 的通项公式为1(1)12(1)21n a a n d n n =+-⨯=+-=-．〔2〕由题意知1(21)3n n n n c a b n -=+=-+，那么数列{}n c 的前n 项和为12(121)1331[13(21)](1393)2132n n n n n n n -+---+++-+++++=+=+-． 【点睛】此题主要考察了等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的分组求和，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式和前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题． 18.设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<.()06f π=.〔Ⅰ〕求ω；〔Ⅱ〕将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍〔纵坐标不变〕，再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44ππ-上的最小值. 【答案】(Ⅰ)2ω=. (Ⅱ)32-. 【解析】试题分析：〔Ⅰ〕利用两角和与差的三角函数化简得到()y f x =)3x πω=- 由题设知()06f π=及03ω<<可得.〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得())3f x x π=-从而()))4312g x x x πππ=+-=-. 根据3[,]44x ππ∈-得到2[,]1233x πππ-∈-，进一步求最小值. 试题解析：〔Ⅰ〕因为()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，所以1()sin cos cos 22f x x x x ωωω=-- 由题设知()06f π=， 所以63k ωπππ-=，k Z ∈. 故62k ω=+，k Z ∈，又03ω<<，所以2ω=.〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得())3f x x π=-所以()))4312g x x x πππ=+-=- 因为3[,]44x ππ∈-， 所以2[,]1233x πππ-∈-， 当123x ππ-=-，即4πx =-时，()g x 获得最小值32-. 【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答此题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，此题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是无视设定角的范围.难度不大，能较好的考察考生的根本运算求解才能及复杂式子的变形才能等.19.向量a ，b 不一共线，且满足2a =，1b =，32c a b =-，2d a kb =+. 〔1〕假设c d ，务实数k 的值； 〔2〕假设2a b -=. ①求向量a 和b 夹角的余弦值；②当c d ⊥时，务实数k 的值．【答案】〔1〕43k=-；〔2〕①14，②44 【解析】【分析】 〔1〕两向量平行即一共线，利用一共线向量定理可求.〔2〕①利用向量夹角公式可得，②利用向量垂直定理可得.【详解】〔1〕c d ∥，且0c ≠. 令d c λ=，即2(32)a kba b λ+=-， 又a ，b 不一共线，所以232k λλ=⎧⎨=-⎩， 所以43k =-. 〔2〕①设a 与b 夹角为θ， 又，1b = ②c d ⊥，0c d ∴⋅=，又，1b =，12a b ∴⋅=. 44k ∴=.【点睛】考察向量的一共线，垂直和夹角公式.一共线向量定理：对空间任意两个向量,(0)a b b ≠，a ∥b ，存在实数λ使λa b ．夹角公式：cos =||||a b a b θ. 向量垂直：0ab a b ⊥⇔=. 20.在ABC 中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 所对的边，且1cos 2a cb C =+． 〔1〕求角B 的大小；〔2〕假设ABC S =b =，求a c +的值．【答案】〔1〕3π；〔2〕5． 【解析】【分析】 〔1〕由结合正弦定理可得，1sin sin sin cos 2A CBC =+，而()A B C π=-+，代入后利用两角和的正弦公式展开可求cos B ，进而可求B〔2〕由结合三角形的面积公式可求ac ，然后由余弦定理及完全平方公式计算可得.【详解】解：〔1〕由正弦定理，得1sinsin sin cos 2A C B C =+， 又因为()A B C π=-+，所以()sin sin A B C =+，可得1sin cos cos sin sin sin cos 2B C B CC B C +=+， 即1cos 2B=， 又()0,B π∈，所以3B π=．〔2〕因为ABC S =所以1sin 23ac π= 所以4ac =，由余弦定理可知222b a c ac =+-， 所以22()3131225a c b ac +=+=+=，即5a c +=．【点睛】此题主要考察了正弦定理、余弦定理及和差角公式及三角形的面积公式等在求解三角形中的应用，解题的关键是纯熟掌握根本公式，属于根底题.21.数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n S n n =+,*n N ∈,数列{}n b 满足24log 3n n a b =+，*n N ∈.(1)求n a 和n b 的通项公式；(2)求数列{n n a b ⋅}的前n 项和n T .【答案】〔1〕21nb n =-；〔2〕(45)25n n T n =-+ 【解析】试题分析：〔1〕求数列{}n a 的通项公式主要利用()()111{2n n n S n a S S n -==-≥求解，分情况求解后要验证1n =是否满足2n ≥的通项公式，将求得的{}n a 代入24log 3,n n a b =+整理即可得到n b 的通项公式；〔2〕整理数列{}n n a b ⋅的通项公式得()141?2n n n a b n -=-，根据特点采用错位相减法求和试题解析：〔1〕∵2*2,nS n n n N =+∈，∴当1n =时，113a S ==. 当2n ≥时，2212[2(1)(1)]41nn n a S S n n n n n -=-=+--+-=-. ∵1n =时，13a =满足上式，∴*41,n a n n N =-∈. 又∵*24log 3,n n a b n N =+∈，∴2414log 3n n b -=+，解得：12n n b -=.故41,n a n =-，12n n b -=，*n N ∈.〔2〕∵41,n a n =-，12n n b -=，*n N ∈∴1122n n n T a b a b a b =+++01213272(45)2(41)2n n n n --=⨯+⨯++-⨯+-⨯① 12123272(45)2(41)2n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+-⨯② 由①-②得：1213424242(41)2n n nT n --=+⨯+⨯++⨯--⨯ ∴(45)25n n T n =-⨯+，*n N ∈.【方法点睛】求数列{}n a 的通项公式主要利用11a S =，()12n n n a S S n -=-≥分情况求解后，验证1a 的值是否满足()12n n n a S S n -=-≥关系式，解决非等差等比数列求和问题，主要有两种思路：其一，转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或者等比数列，这一思想方法往往通过通项分解〔即分组求和〕或者错位相减来完成，其二，不能转化为等差等比数列的，往往通过裂项相消法，倒序相加法来求和，此题中()141?2n n n a b n -=-，根据特点采用错位相减法求和22.函数2()(2)f x x m x m =+--，()()f x g x x=，且函数()2y f x =-是偶函数. 〔1〕求()g x 的解析式；〔2〕假设函数()()()22222log 49log 4y g x k x =++⋅-+恰好有三个零点，求k 的值及该函数的零点.【答案】〔1〕()64gx x x =-+；〔2〕6k =，零点为2,0,2-. 【解析】【分析】〔1〕由函数()2y f x =-是偶函数,得出()y f x =关于直线2x =-对称，求出m ，即可求出()g x 的解析式；〔2〕()()()22222log 49log 4y g x k x =++⋅-+为偶函数，恰好有三个零点，可得0x =为其零点，代入求出k 的值，令()22log 4,2tx t =+≥进而求出该函数的零点. 【详解】〔1〕函数()2y f x =-是偶函数，所以()(2)2f x f x --=-()y f x ∴=关于关于直线2x =-对称，222,6()462m m f x x x -∴-=-∴=∴=+-， ()64g x x x ∴=-+； 〔2〕设()()()22222()log 49log 4y h x g x k x ==++⋅-+ ()(),()h x h x h x -=∴为偶函数，()()()22222()log 49log 4h x g x k x =++⋅-+恰好有三个零点， 故必有一个零点为0，(0)(2)960h g k k ∴=+-=-=，6k =，令()22log 4,2t x t =+≥126()950y g t t t t=+-=+-=整理得， 2560t t -+=，解得2t =或者3t =，2t =得，0x =；3t =，即()222log 43,48,2x x x +=+=∴=±，∴所求函数的零点为2,0,2-.【点睛】此题考察函数的对称性、函数解析式，以及利用函数的性质求零点问题，考察计算才能，是一道较为综合的题.。
2021-2022年高一下学期开学考试数学试题含答案
2021-2022年高一下学期开学考试数学试题含答案一、填空题1. 已知集合M ＝{1，m ＋2，m 2＋4}，且5∈M，则m 的值为____________．1或32.如果sin α－cos α3sin α＋cos α＝17，那么tan α＝____________． 2 3.已知角α(0≤α≤2π)的终边过点⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则α＝____________．11π6 4. 设向量a 、b 满足|a |＝25，b ＝(2，1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为____________．(－4，－2)5. 设常数a ∈R ，集合A ＝{x|(x －1)(x －a)≥0}，B ＝{x|x ≥a －1}．若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为______________．(－∞，2]解析：当a ≤1时，A ＝{x|x ≤a 或x ≥1}，显然符合A ∪B ＝R ；当a>1时，A ＝{x|x ≤1或x ≥a}，则a －1≤1，∴ a ≤2.∴ 1<a ≤2.综上，a ≤2.6. 已知函数f(x)＝sin(x ＋θ)＋3cos(x ＋θ)⎝⎛⎭⎫θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为________．π6 解析：据已知可得f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋θ＋π3，若函数为偶函数，则必有θ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，又由于θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，故有θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经代入检验符合题意． 7. 函数y ＝3x 2－1x 2＋2的值域为____________．⎣⎡⎭⎫－12，3 8.函数2tan 2cos sin )(x x c x bx x a x f +-+= 若，则 59. 已知a 2x ＝2－1，则a 3x ＋a －3xa x ＋a －x的值为____________．22－1 10. 已知函数f(x)对任意的实数满足：f(x ＋3)＝－1f （x ），且当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x ＋2)2，当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 016)＝________．336解析：∵ 对任意x ∈R ，都有f(x ＋3)＝－1f （x ），∴ f(x ＋6)＝f(x ＋3＋3)＝－1f （x ＋3）＝－1－1f （x ）＝f(x)，∴ f(x)是以6为周期的周期函数． ∵ 当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x ＋2)2，当－1≤x<3时，f(x)＝x ，∴ f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0.∴ f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，∴ f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝f(7)＋f(8)＋…＋f(12)＝…＝f(2 011)＋f(2 012)＋…＋f(2 016)＝1，∴ f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)＝1×2 0166＝336.11. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x ≤0，f （x －1），x>0，方程f(x)＝x ＋a 有且只有两个不相等实数根，则实数a 的取值范围为________．(－∞，4)解析：作出函数y ＝f(x)的图象，由图象可知当a<4时，直线y ＝x ＋a 与函数y ＝f(x)的图象恒有两个公共点． 12. O 是平面内一定点，A 、B 、C 是平面内不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的________心．（填“内”、“外”、“重”、“垂”、“中”）内 解析：AB →|AB →|是与AB →同向的单位向量，AC →|AC →|是与AC →同向的单位向量，故AB →|AB →|＋AC →|AC →|是与∠BAC 的角平分线共线的向量，∴ 点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心．13. 下列命题中，正确的序号是 . ①③④ ①是奇函数;②若是第一象限角,且,则;③是函数的一条对称轴;④函数的单调减区间是14．已知实数a x f x x x ax x x f a 232167)(1,log 1;2)(,0=⎩⎨⎧>≤+-=>，若方程，有且仅有两个不等实根，且较大的实根大于3，则实数的取值范围为 .二、解答题15. (本小题满分14分) 如图，设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点，P 、Q 是单位圆上的两点，O 是坐标原点，∠AOP ＝π6，∠AOQ ＝α，α∈[0，π)． (1) 若Q ⎝⎛⎭⎫35，45，求cos ⎝⎛⎭⎫α－π6的值； (2) 设函数f(α)＝OP →·OQ →，求f(α)的值域．解：(1) 由已知可得cos α＝35，sin α＝45， ∴ cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝cos αcos π6＋sin αsin π6＝35×32＋45×12＝33＋410. (2) f(α)＝OP →·OQ →＝⎝⎛⎭⎫cos π6，sin π6·(cos α，sin α)＝32cos α＋12sin α＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3， ∵ α∈[0，π)，∴ α＋π3∈⎣⎡⎭⎫π3，4π3，－32＜sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3≤1，∴ f(α)的值域是⎝⎛⎦⎤－32，1.16. (本小题满分14分)已知向量a ＝(cos λθ，cos(10－λ)θ)，b ＝(sin(10－λ)θ，sin λθ)，λ，θ∈R .(1) 求|a|2＋|b|2的值；(2) 若a ⊥b ，求θ；(3) 若θ＝π20，求证：a ∥b . (1) 解：因为|a|＝cos 2λθ＋cos 2[（10－λ）θ]，|b|＝sin 2[（10－λ）θ]＋sin 2λθ，所以|a|2＋|b|2＝2.(2) 解：因为a ⊥b ，所以cos λθ·sin(10－λ)θ＋cos(10－λ)θ·sin λθ＝0.所以sin[(10－λ)θ＋λθ]＝0，所以sin10θ＝0，所以10θ＝k π，k ∈Z ，所以θ＝k π10，k ∈Z . (3) 证明：因为θ＝π20， 所以cos λθ·sin λθ－cos(10－λ)θ·sin(10－λ)θ＝cos λπ20·sin λπ20－cos ⎝⎛⎭⎫π2－λπ20·sin ⎝⎛⎭⎫π2－λπ20 ＝cos λπ20·sin λπ20－sin λπ20·cos λπ20＝0， 所以a ∥b .17. (本小题满分14分)已知△OAB 的顶点坐标为,,, 点P 的横坐标为14，且，点是边上一点,且.(1)求实数的值与点的坐标；(2)求点的坐标；(3)若为线段上的一个动点，试求的取值范围.解：(1)设，则(14,),(8,3)OP y PB y ==---，由，得，解得，所以点。
高一数学下学期开学考试试卷 试题
三中2021-2021学年高一下学期开学考数学试题(此题一共12个小题，每一小题 5分，一共60分)1．集合2{|230}A x N x x =∈+-≤，那么集合A 的真子集个数为( )A ．31B ．32C ．3D ．42．函数y =( )A ．{|1}x x ≤B ．{|0}x x ≥C ．{|10}x x x ≥≤或D ．{|01}x x ≤≤3．幂函数的图象过点1(,22，那么))2((log 4f 的值是( ) A ．41 B ．41- C ．2 D ．－ 2 4．133a -=,21log 3b =,121log 3c =,那么( )A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>5．函数1()2xf x x=-的零点所在的区间为( ) A ．(1,)+∞ B ．1(,1)2 C ．11(,)32 D ．11(,)43 6．点(tan ,cos )P αα在第三象限，那么角α在 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．α是第四象限角，5tan 12α=-，那么sin α= ( ) A ．15 B ．15- C ．513 D ．513- 8．在(0,2)π内，使sin cos x x >成立的x 的取值范围是( )A ．5(,)(,)424ππππB ．(,)4ππC ．5(,)44ππD ．53(,)(,)442ππππ 9．为了得到函数sin(2)6y x π=-的图象，可以将函数cos 2y x =的图象( ) A ．向右平移6π个长度单位 B ．向右平移3π个长度单位C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移3π个长度单位 10．如图，43AP AB =，用OA ，OB 表示OP ,那么OP 等于( ) A ．1423OA OB - B ．1423OA OB + C ．1433OA OB + D ．1433OA OB - 11．设O 为ABC ∆内部的一点，且230OA OB OC ++=，那么AOC ∆的面积与BOC ∆的面积之比为 ( )A ．32B ．53C ．2D ．3 12．形如()0,0b y c b x c=>>-的函数因其函数图象类似于汉字中的“囧〞字,故我们把其生动地称为“囧函数〞.假设函数()21x x f x a ++= (0a >且1a ≠)有最小值,那么当1,1c b ==时的“囧函数〞与函log a y x =的图象交点个数为( )A ．1B ．2C ．4D ．6(此题一共4个小题，每一小题 5分，一共20分)13．设函数2,,(),,x x a f x x x a <⎧=⎨≥⎩假设(2)4f =，那么a 的取值范围是______ __． 14．函数log (3)1a y x =--的图象恒过定点P ，那么点P 的坐标是______ __．15．等腰三角形底角的余弦值等于45，那么这个三角形顶角的正弦值为______ __． 16．(6,1)AB =，(4,)BC k =，(2,1)CD =，假设A ，C ，D 三点一共线，那么k =______ __．(第17题10分，其余每一小题均为12分，一共70分)17．设全集为R ，{|24}A x x =≤<，{|3782}B x x x =-≥-．(1)求()R A C B ；(2)假设{|13}C x a x a =-≤≤+，A C A =，务实数a 的取值范围．18．向量a ，b 的夹角为60， 且||2a =，||1b =．(1) 求a b ⋅； (2) 求||a b +．19．求函数2321()2x x y --=的单调区间和值域．20．函数21(1)2x f x x ++=+． (1)求(2)f ，()f x ；(2)证明：函数()f x 在[1,17]上为增函数；(3) 试求函数()f x 在[1,17]上的最大值和最小值．21．3sin(3)cos(2)sin()2()cos()sin()f ππαπαααπαπα---=---． (1)化简()f a ；(2)假设α是第二象限角,且1cos()23πα+=-,求()f α的值.22．函数1()sin cos 22f x x x x =-． (1)求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 在[0,]2π上的最大值和最小值．三中2021级高一数学开年考试参考答案一. 选择题(此题一共12个小题，每一小题 5分，一共60分)1-5CDACB 6-10BDCBC 11-12CC(此题一共4个小题，每一小题 5分，一共20分)13． 2a ≤14． (4,1)-15． 242516． 4(第17题10分，其余每一小题均为12分，一共70分)17解：(1) 全集为R ，{|24}A x x =≤<，{|3782}{|3}B x x x x x =-≥-=≥，{|3}R C B x x =<，(){|4}R A C B x x ∴=<．(2) A C A =，A C ∴⊆，由题意知，C ≠∅，313412a a a a +≥-⎧⎪∴+≥⎨⎪-≤⎩，解得13a ≤≤，∴实数a 的取值范围是[1,3]．18．解： (1) 1||||cos602112a b a b ==⨯⨯=． (2) 22||()a b a b +=+22+24+2117a a b b =⋅+=⨯+=， 所以||7a b +=．19．解：函数2321()2x x y --=的定义域为R ．令232t x x =--，对称轴为32x =，在3(,]2-∞上是减函数，在3[,)2+∞上是增函数， 而1()2ty =在R 上是减函数，所以由复合函数的单调性可知， 2321()2x x y --=在3(,]2-∞上为增函数，在3[,)2+∞上为减函数， 又232t x x =--在32x =时，min 174t =-，1()2t y ∴=在174t =-时，获得最大值174max 2y =，∴所求函数的值域为174(0,2)．20．解：(1)令1x =，那么(2)(11)1f f =+=．令1t x =+，那么1x t =-，21()1t f t t -∴=+，那么21()1x f x x -∴=+． (2)证明：任取12117x x ≤<≤，121212*********()()()11(1)(1)x x x x f x f x x x x x ----=-=++++， 又121x x ≤<，120x x ∴-<，12(1)(1)0x x ++>，12123()0(1)(1)x x x x -∴<++，12()()f x f x ∴<， ∴函数()f x 在[1,17]上为增函数．(3)由(2)可知函数()f x 在[1,17]上为增函数， ∴当1x =时，()f x 有最小值12，当17x =时，()f x 有最小值116．21．解: (1)化简得sin cos (cos )()cos (cos )sin f ααααααα-==-． (2)∵1cos()23πα+=-，1sin 3α∴=， ∵α是第二象限角，()cos 3f αα∴===-．22．函数1()sin cos 22f x x x x =-．(1)求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 在[0,]2π上的最大值和最小值．解：11()sin cos 22cos 222f x x x x x x =-=- cos sin 2sin cos 2sin(2)666x x x πππ=-=- (1) ()f x 的最小正周期为222T πππω===． (2) 02x π≤≤，52666x πππ∴-≤-≤， 由正弦函数的性质知，当262x ππ-=，即3x π=时，()f x 获得最大值1． 当266x ππ-=-，即0x =时，1(0)2f =-；当5266x ππ-=，即2x π=时，1()22f π=， ()f x ∴的最小值为12-， 因此()f x 在[0,]2π上的最大值是1，最小值是12-．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
精选高一数学下学期开学考试试题承智班
河北定州2016-2017学年第二学期高一承智班开学考试数学试卷一、选择题1．若f (x)是幂函数，且满足f (4)3f (2)=，则1f ()2=.A.3B.-3C.13D.13-2．已知24(0)()(2)(0)a x x x f x f x x ⎧--<=⎨-≥⎩，且函数()2y f x x =-恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是（）A ．[-4，0]B ．[)8,-+∞C ．[)4,-+∞D ．(0,)+∞3．若集合{2,1,0,1,2}A =--，{|21}xB x =>，则A B =（）A ．{1,2}-B ．{0,1}C ．{1,2}D ．{0,1,2} 4．下列函数中是偶函数且在（0，1）上单调递减的是（） A ．3x y =B ．2x y = C ．21x y = D ．2-=x y5．已知全集U R =，集合{}{}|3,|2A x x B x x =≤=<，则()U C B A =（）A ．{}|2x x ≤B ．{}|13x x ≤≤C ．{}|23x x <≤D ．{}|23x x ≤≤ 6．如下面左图所示，半径为2的⊙M 切直线AB 于O ，射线OC 从OA 出发绕着O 点顺时针旋转到OB ．旋转过程中，OC 交⊙M 于P ．记P M O ∠为x 、弓形PnO 的面积为)(x f S =，那么)(x f 的图象是下面右图中的（）7．若函数()log (01)a f x x a =<<在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为( )A ．42B ．22C ．41 D ．218．设集合(){}{}30,20A x x x B x x =-<=-≤，则AB =（）A ．(]0,2B ．()0,2C ．()0,3D ．[)2,3 9．下图中的曲线是幂函数ny x =在第一象限内的图象，已知n 取2±，12±四个值，则相应于曲线1234,,,C C C C 的n 依次为（）A ．112,,,222--B ．112,,,222-- C ．11,2,2,22--D ．112,,2,22--10．已知f (x )是定义域为实数集R 的偶函数，∀x 1≥0，∀x 2≥0，若x 1≠x 2，则2121()()f x f x x x －－＜0.如果f 13⎛⎫ ⎪⎝⎭＝34，4f (18log x )＞3，那么x 的取值范围为() A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,22⎛⎫⎪⎝⎭C. 1,12⎛⎤⎥⎝⎦∪(2，＋∞) D.10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭∪1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭11．已知函数)(x f 满足)1(11)(+=+x f x f ，当]1,0[∈x 时x x f =)(，函数mmx x f x g --=)()(在]1,1(-内有2个零点，则实数m 的取值范围是（） A.]21,0( B.]21,1(- C.),21[+∞ D.]21,(-∞12．集合A={x Z k k x ∈=,2} B={Z k k x x ∈+=,12} C={Z k k x x ∈+=,14}又,,B b A a ∈∈则（）（A ）（a+b ）∈ A (B) (a+b) ∈B (C)(a+b) ∈ C (D) (a+b) ∈ A 、B 、C 任一个二、填空题13．．已知函数()f x 在区间(1,0)-和(1,)+∞上递增，在区间(,1)-∞-和(0,1)上递减，则()f x 的解析式可以是* * *．（只需写出一个符合题意的解析式）14．对于函数()f x ，在使()f x ≥M 恒成立的所有常数M 中，我们把M 中的最大值称为函数()f x 的“下确界”，则函数221()(1)x f x x +=+的下确界为. 15．.函数()2321xx y a a -+=>的单调增区间是______________.16．已知函数f(x)＝mx 2＋x ＋m ＋2在(－∞，2)上是增函数，则实数m 的取值范围是________． 三、计算题17．. 已知函数)1(log )(-=x a a x f 0(>a 且a ≠1) （1）求此函数的定义域； （2）讨论)(x f 的单调性。
校2020-2021学年高一数学下学期开学考试试题(仁智班)
校2020-2021学年高一数学下学期开学考试试题（仁智班）（时间：120分钟满分：150分）选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集为实数集，集合，，则A．B．C．D．2．点D是所在平面上一点，满足，则A． B．C．D．3．己知，b=lnπ，c=2ln2，则的大小关系为A．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．c<b<a4．函数的图象大致为A．B．C．D．5．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则A．B．C．D．6．已知，则A．B．C．D．7．函数的最小值为A．B．C．D．8．函数的部分图象如图所示，要得到函数的图象，只需将函数的图象A．向右平移长度单位B．向左平移长度单位C．向左平移长度单位D．向右平移长度单位9．2020年11月24日凌晨4时30分，中国文昌航天发射场，又一次“重量级”发射举世瞩目.长征五号遥五运载火箭点火升空，托举嫦娥五号探测器至地月转移轨道，开启我国首次地外天体采样返回之旅，已知火箭的最大速度（单位：）和燃料质量（单位：）、火箭质量（单位：）的关系是.若火箭的最大速度为，则（）（参考数值：）A．B．C．10 D．10010．已知函数，若实数a，b，c互不相等，且f （a）＝f（b）＝f（c），则abc的取值范围是A．（1，2）B．（e，2e）C．（-∞，1）∪（2，＋∞）D．（-∞，e）∪（2e，＋∞）11．若角满足，则A．B．或C．D．或12．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”也把这种方法称为“三斜求积术”，设的内角，，的对边分别为，，，则.若，，则用“三斜求积术”求得的的面积为A．B．2 C．D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上。
2019-2020学年高一数学下学期第一次月考试题承智班
2019-2020学年高一数学下学期第一次月考试题承智班一、单选题1．一个多面体的直观图、正视图、侧视图、俯视图如图，M ，N 分别为A 1B ，B 1C 1的中点.下列结论中正确的个数有 ( )①直线MN 与A 1C 相交.②MN ⊥BC.③MN ∥平面ACC 1A 1.④三棱锥N-A 1BC 的体积为1N A BC V -=16a 3. A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个2．如图，在ABC ∆中， AB BC == 6， 90ABC ∠=︒，点D 为AC 的中点，将ABD ∆沿BD 折起到PBD ∆的位置，使PC PD =，连接PC ，得到三棱锥P BCD -，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面，则该球的表面积是（ ）A. πB. 3πC. 5πD. 7π3．如图，已知四边形ABCD 是正方形， ABP ， BCQ ， CDR ， DAS 都是等边三角形， E 、F 、G 、H 分别是线段AP 、DS 、CQ 、BQ 的中点，分别以AB 、BC 、CD 、DA 为折痕将四个等边三角形折起，使得P 、Q 、R 、S 四点重合于一点P ，得到一个四棱锥．对于下面四个结论：①EF 与GH 为异面直线； ②直线EF 与直线PB 所成的角为60︒③EF 平面PBC ； ④平面EFGH 平面ABCD ；其中正确结论的个数有（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个4．设是异面直线，则以下四个命题：①存在分别经过直线和的两个互相垂直的平面；②存在分别经过直线和的两个平行平面；③经过直线有且只有一个平面垂直于直线；④经过直线有且只有一个平面平行于直线，其中正确的个数有（ ） A. B. C. D.5．如图，将边长为2的正方体ABCD 沿对角线BD 折起，得到三棱锥1A BCD -，则下列命题中，错误的为（ ）A. 直线BD ⊥平面1AOC B. 三棱锥1A BCD -2C. 1A B CD ⊥D. 若E 为CD 的中点，则//BC 平面1AOE 6．在正方体1111ABCD A B C D -中， ,M N 分别是1,AB BB 的中点，则直线MN 与平面11A BC 所成角的余弦值为（ ） 323137．如图，等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于G ，已知A ED ∆'是AED ∆绕DE 旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是A. 恒有DE ⊥A F 'B. 异面直线A E '与BD 不可能垂直C. 恒有平面A GF '⊥平面BCDED. 动点A '在平面ABC 上的射影在线段AF 上8．下列结论中：(1)过不在平面内的一点，有且只有一个平面与这个平面平行；(2)过不在平面内的一条直线，有且只有一个平面与这个平面平行；(3)过不在直线上的一点，有且只有一条直线与这条直线平行；(4)过不在直线上的一点，有且仅有一个平面与这条直线平行．正确的序号为( )A. (1)(2)B. (3)(4)C. (1)(3)D. (2)(4)9．直角梯形ABCD ，满足,,222AB AD CD AD AB AD CD ⊥⊥===,现将其沿AC 折叠成三棱锥D ABC -，当三棱锥D ABC -体积取最大值时其表面积为A. (12322B. (1422+C. (1522+D. (13322 10．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中， E 是AB 的中点， F 在1CC 上，且12CF FC =，点P 是侧面11AA D D （包括边界）上一动点，且1//PB 平面DEF ，则tan ABP ∠的取值范围是（ ）A. 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. []0,1C. 110,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 113,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 11．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且；则下列结论错误的是（ ）A.B. 平面C. 三棱锥的体积为定值D.的面积与的面积相等 12．在正方体1111ABCD A B C D -中， E 是棱1CC 的中点， F 是侧面11BCC B 内的动点，且1//A F 平面1D AE ， 记1A F 与平面11BCC B 所成的角为θ，下列说法正确的是个数是（ ）①点F 的轨迹是一条线段②1A F 与1D E 不可能平行③1A F 与BE 是异面直线 ④tan 22θ≤⑤当F 与1C 不重合时，平面11A FC 不可能与平面1AED 平行A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题13．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -，其中AC BC ⊥，若12AA AB ==，当“阳马”即四棱锥11B A ACC -体积最大时，“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -外接球的体积为__________．14．已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点．若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为__________．15．设m n 、是两条不重合的直线， αβγ、、是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若,//m n αα⊥，则m n ⊥ ②若//,//,m αββγα⊥，则m γ⊥③若//,//m n αα则//m n ④若,αγβγ⊥⊥，则//αβ其中正确命题的序号是 __________．（把你认为正确命题的序号都填上）16．如图，长方体1111ABCD A B C D -中， 12,1AA AB AD ===，点E F G 、、分别是11DD AB CC 、、的中点，则异面直线1A E 与GF 所成的角是__________．三、解答题17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ∆是等边三角形，且1AA ⊥平面ABC , D 为AB 的中点，(Ⅰ) 求证：直线1//BC 平面1ACD ； (Ⅱ) 若12,AB BB E ==是1BB 的中点，求三棱锥1A CDE -的体积；18．已知△BCD 中，∠BCD =90°，BC =CD =1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB =60°，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且(01).AE AF AC ADλλ==<<（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ；（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD ？BDDCC CBCDD11．D12．C13．823π14．15．①②16．90°17．（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）32（Ⅰ）连接AC 1，交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点，又D 为AB 的中点，所以1BC ∥DF ，又1BC ⊄平面A 1CD ，又DF ⊂平面A 1CD ，所以1BC ∥平面A 1CD ．（Ⅱ）三棱锥1A CDE -的体积11113A CDE C A DE A DE V V S h --∆==⋅． 其中三棱锥1A CDE -的高h 等于点C 到平面ABB 1A 1的距离，可知3h CD == 9分又11113221211122222A DE S ∆=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=．所以111113333322A CDE C A DE A DE V V S h --∆==⋅=⨯=．18．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）67λ=(1)证明：∵AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥CD.∵CD ⊥BC ，且AB ∩BC ＝B ，∴CD ⊥平面ABC.∵AE AFAC AD=＝λ(0＜λ＜1)，∴不论λ为何值，恒有EF∥CD.∴EF⊥平面ABC，EF⊂平面BEF.∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.(2)解：由(1)知，BE⊥EF，∵平面BEF⊥平面ACD，∴BE⊥平面ACD.∴BE⊥AC.∵BC＝CD＝1，∠BCD＝90°，∠ADB＝60°，∴BD AB∴AC由AB2＝AE·AC，得AE∴λ＝AEAC＝67.故当λ＝67时，平面BEF⊥平面ACD欢迎您的下载，资料仅供参考！资料仅供参考!!!。
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河北定州2016-2017学年第二学期高一承智班开学考试数学试卷一、选择题1．若f (x)是幂函数，且满足f (4)3f (2)=，则1f ()2= . A.3 B.-3 C.13 D.13- 2．已知24(0)()(2)(0)a x x x f x f x x ⎧--<=⎨-≥⎩，且函数()2y f x x =-恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[-4，0] B ．[)8,-+∞ C ．[)4,-+∞ D ．(0,)+∞3．若集合{2,1,0,1,2}A =--，{|21}x B x =>，则A B =（ ）A ．{1,2}-B ．{0,1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}4．下列函数中是偶函数且在（0，1）上单调递减的是（ ）A ．3x y =B ．2x y =C ．21x y = D ．2-=x y5．已知全集U R =，集合{}{}|3,|2A x x B x x =≤=<，则()U C B A =（ ）A ．{}|2x x ≤B ．{}|13x x ≤≤C ．{}|23x x <≤D ．{}|23x x ≤≤6．如下面左图所示，半径为2的⊙M 切直线AB 于O ，射线OC 从OA 出发绕着O 点顺时针旋转到OB ．旋转过程中，OC 交⊙M 于P ．记PMO ∠为x 、弓形PnO 的面积为)(x f S =，那么)(x f 的图象是下面右图中的（ ）7．若函数()log (01)a f x x a =<<在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为( )A．42 B ． 22 C ． 41 D ． 21 8．设集合(){}{}30,20A x x x B x x =-<=-≤，则A B =（ ） A ．(]0,2 B ．()0,2 C ．()0,3 D ．[)2,39．下图中的曲线是幂函数n y x =在第一象限内的图象，已知n 取2±，12±四个值，则相应于曲线1234,,,C C C C 的n 依次为（ ）A ．112,,,222--B ．112,,,222-- C ．11,2,2,22-- D ．112,,2,22-- 10．已知f (x )是定义域为实数集R 的偶函数，∀x 1≥0，∀x 2≥0，若x 1≠x 2，则2121()()f x f x x x －－＜0.如果f 13⎛⎫⎪⎝⎭＝34，4f (18log x )＞3，那么x 的取值范围为( ) A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦∪(2，＋∞)D.10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭∪1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭11．已知函数)(x f 满足)1(11)(+=+x f x f ，当]1,0[∈x 时x x f =)(，函数m mx x f x g --=)()(在]1,1(-内有2个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A.]21,0(B.]21,1(-C.),21[+∞D.]21,(-∞12．集合A={x Z k k x ∈=,2} B={Z k k x x ∈+=,12} C={Z k k x x ∈+=,14}又,,B b A a ∈∈则（ ）（A ）（a+b ）∈ A (B) (a+b) ∈B (C)(a+b) ∈ C (D) (a+b) ∈ A 、B 、C 任一个二、填空题13．．已知函数()f x 在区间(1,0)-和(1,)+∞上递增，在区间(,1)-∞-和(0,1)上递减，则()f x 的解析式可以是* * * ．（只需写出一个符合题意的解析式）14．对于函数()f x ，在使()f x ≥M 恒成立的所有常数M 中，我们把M 中的最大值称为函数()f x 的“下确界”，则函数221()(1)x f x x +=+的下确界为 . 15．.函数()2321x x y a a -+=>的单调增区间是______________.16．已知函数f(x)＝mx 2＋x ＋m ＋2在(－∞，2)上是增函数，则实数m 的取值范围是________．三、计算题17．. 已知函数)1(log )(-=x a a x f 0(>a 且a ≠1)（1）求此函数的定义域；（2）讨论)(x f 的单调性。
18．定义在D 上的函数)(x f ，如果满足：对任意D x ∈，存在常数0M >，都有|()|f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界.已知函数()11124x x f x a ⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；x x m m x g 2121)(⋅+⋅-=. （1）当1a =时，求函数()f x 在(),0-∞上的值域，并判断函数()f x 在(),0-∞上是否为有界函数，请说明理由；（2）若函数()f x 在[)0,+∞上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围；（3）若0>m ，函数()g x 在[]0,1上的上界是)(m T ，求)(m T 的取值范围.19．已知函数2()52f x x x a a =--+．（Ⅰ）若03,[,3]a x a <<∈，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若0a ≥，且存在实数12,x x 满足12()()0x a x a --≤，12()()f x f x k ==．设12x x -的最大值为()h k ，求()h k 的取值范围（用a 表示）．参考答案 CCCDD AAABB11．A13．2()|1|f x x =-或2()|log |||f x x =等14．12 15．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭16．1,04⎡⎤⎢⎥⎣⎦17． 解：（1）由01>-x a ，得1>x a ，……….2分当1>a 时，0>x当10<<a 时，0<x ，……….4分所以定义域是1>a 时，),0(+∞∈x ；当10<<a 时，)0,(-∞∈x 。
……….6分（2）当1>a 时，设210x x <<，则21x x a a <，即1121-<-x x a a ，因为1>a ，所以)1()1(21log log --<x x a a a a ，即)()(21x f x f <，所以当1>a 时，)(x f 在),0(+∞上是增函数。
…….………9分当10<<a 时，设021<<x x ，则有12x x a a <，所以-<-121x x a a 1，因为10<<a ，所以)1()1(21log log --<x x a a a a ，即)()(21x f x f <，所以10<<a 时，)(x f 在)0,(-∞上也是增函数………12分18．（1）)(x f 在(),1-∞的值域为()3,+∞，故不存在常数0M >，使|()|f x M ≤成立 所以函数()f x 在(),1-∞上不是有界函数。
（2）实数a 的取值范围为[]5,1-。
（3）当⎥⎦⎤ ⎝⎛∈22,0m 时，)(m T 的取值范围是1,1m m ⎡⎫-+∞⎪⎢+⎣⎭；当⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,22m 时，)(m T 的取值范围是12,12m m ⎡⎫-+∞⎪⎢+⎣⎭ [解]：（1）当1a =时，11()124x x f x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为)(x f 在(),0-∞上递减，所以()(0)3f x f >=，即)(x f 在(),1-∞的值域为()3,+∞ 故不存在常数0M >，使|()|f x M ≤成立所以函数()f x 在(),1-∞上不是有界函数。
……………4分（没有判断过程，扣2分）（2）由题意知，3)(≤x f 在[)1,+∞上恒成立。
………5分3)(3≤≤-x f ， x x x a ⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--41221414 ∴ xx x xa ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-21222124在[)0,+∞上恒成立………6分 ∴ min max 21222124⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅≤≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-x x x x a ………7分 设t x =2，t t t h 14)(--=，t t t p 12)(-=，由x ∈[)0,+∞得 t ≥1，设121t t ≤<，()()2112121241()()0t t t t h t h t t t ---=> ()()012)()(21212121<+-=-t t t t t t t p t p所以)(t h 在[)1,+∞上递减，)(t p 在[)1,+∞上递增，………9分（单调性不证，不扣分） )(t h 在[)1,+∞上的最大值为(1)5h =-， )(t p 在[)1,+∞上的最小值为(1)1p =所以实数a 的取值范围为[]5,1-。
…………………………………11分（3）1221)(+⋅+-=x m x g ，∵ m>0 ，[]1,0∈x ∴ ()g x 在[]0,1上递减，…12分 ∴ )0()()1(g x g g ≤≤ 即m m x g m m +-≤≤+-11)(2121………13分 ①当m m m m 212111+-≥+-，即⎥⎦⎤ ⎝⎛∈22,0m 时，m m x g +-≤11)(， ………14分此时 1()1m T m m -≥+，………16分②当m m m m 212111+-<+-，即⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,22m 时，m m x g 2121)(+-≤， 此时 12()12m T m m -≥+， ---------17分 综上所述，当⎥⎦⎤ ⎝⎛∈22,0m 时，)(m T 的取值范围是1,1m m ⎡⎫-+∞⎪⎢+⎣⎭； 当⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,22m 时，)(m T 的取值范围是12,12m m ⎡⎫-+∞⎪⎢+⎣⎭………18分 19．解：（Ⅰ）22257,()()5||253,()x x a x a f x x x a a x x a x a ⎧-+≥=--+=⎨+-≤⎩，因为[,3]x a ∈ ，2()57f x x x a =-+，若502a <<，则()f x 在5[,]2a 上为减函数，在5[,3]2 上为增函数；若52a ≥，则2()53f x x x a =+- 在[,3]x a ∈上为增函数．（Ⅱ）因为12,x x 满足12()()0x a x a --≤ ，不妨设12x a x ≤≤ ，①当52a ≥ 时，2()2k f a a a ≥=+ ，12525412525428,22k a k a x x --++++-== 12max 2152542852541215[2542|825412])2|(x x x x k a k a k a k h a k ++---++=-=+∴-=-=+-+++ 因为()h k 关于k 为增函数,所以15[|25||25|]52()2a a k a h ≥+++-=+②当502a ≤< 时，25()74k f a a ≥=- ，12525412525428,22k a k a x x --++++-== 12max 2152542852541215[2542|825412]()2|x x x x k a k a k a k a h k ++---++=-=++-+++=∴-=-因为()h k 关于k 为增函数，所以5(0)1h a k ≥+．综上：21552,221()25557,0242k a a a h k a k a +≥+≥+≥-≤≤⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩ 所以当502a ≤≤时，()5h k ，当52a ≥时，()2 5.h k a ≥+。