工程力学-位移法计算超静定结构

也等于层数 3
结点转角的 数目：3个
独立结点线位移的数目：2个 不等于层数 1
9
§11-4 位移法典型方程
Δ2
F1 Δ2
Δ1
Δ1
F1=0 F2=0
Δ1
Δ1
F2
位移法
基本体系
F1=0
k11D1 k12D2 F1P 0
F2=0
k21D1 k22D2 F2P 0
•F11、F21(k11、k21) ── 基本体系在Δ1(=1)单独作
11
28 30 16
15kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓
30 i
M图
Δ1 30
2i
48kN
i
4m
15kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓
Baidu NhomakorabeaF1
Δ1
48kN
当F1=0
基本体系
(kN.m) 4m
2m 2m
20 15kFN1/mP 36
↓↓↓↓↓↓↓↓
48kN
4i k11 Δ1=1 i
+ F1P=－16 20
MP
2i k11 =8i
M1
l
ql2/2 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
X1=1
MP
ql2/8
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
M图
ql 2
m
AB
8
m 0 BA 6
4、转角位移方程：杆端弯矩的一般公式：
M 4i 2i 6i D
AB
A
B
l
+mAB
M 2i 4i 6i D
BA
A
B
l
+mBA
↓↓↓↓↓↓↓↓
Δ
MAB QAB
β θA
ql 2 12
ql2/12
B
q 5ql2/48 C
4EI l
A
θA
4
E l
I
A
F11
2
E l
I
A
A
C
θA
4EI l
A
F11
4EI A l
4EI A l
F1 F11 F1P 0
8E l
I
A
ql 2 12
0
A
ql3 96 EI
2
E l
I
A
B
2
E l
I
A
4E l
I
θA
A
4i
2
E l
I
A
2
§11-2 等截面直杆的杆端力（形常数、载常数）
结论：原结构独立结点线位移的数目=相应铰结体系的自由度。
=刚架的层数（横梁竖柱的矩形框架）8 。
位移法基本未知量
结点转角数目=刚3结点的数目 独立结点线位移数目=铰结体系的自由度
2 =矩形框架的层数 在确定基本未知量时就考虑了变形协调条件。
1
结点转角的数目：7个
相应的铰接体系的自由度=3 独立结点线位移的数目：3个
§11-1 位移法的基本概念
1、超静定结构计算的总原则: 欲求超静定结构先取一个基本体系,然
后让基本体系在受力方面和变形方面与原 结构完全一样。
力法的特点： 基本未知量——多余未知力； 基本体系——静定结构； 基本方程——位移条件
（变形协调条件）。
位移法的特点：
基本未知量—— 独立结点位移
基本体系——一组？单跨超静定梁
3i M1
20 36
F1P F2P
k11
Δ1 Δ1=1
k21
× Δ1
k12
× Δ2
Δ2=1
k22
10
n个结点位移的位移法典型方程 k11D1 k12D2 k1nDn F1P 0 k21D1 k22D2 k2nDn F2P 0
kn1D1 kn2D2 knnDn FnP 0
• 主系数 kii── 基本体系在Δi=1单独作用时，在第 i个附加约 束中产生的约束力矩和约束力，恒为正；
d 11
1 EI
l2 2
2l 3
l3 3EI
D 1P
1 EI
1 3
ql 2 2
l
3l 4
ql 4 8EI
X1=－Δ1P / δ11 =3ql/8
各种单跨超静定梁在各 种荷载作用下的杆端力均可 按力法计算出来，这就制成 了载常数表11-2（P241）
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
mAB
l，EI
1、杆端力和杆端位移的正负规定 MAB
①杆端转角θA、θB ，弦转角
β＝Δ/l都以顺时针为正。
QAB
②杆端弯矩对杆端以顺时针为正
β θA
对结点或支座以逆时针为正。 2、形常数：
MAB>0
由单位杆端位移引起的杆端力
用力法求解 i=EI/l
1
M AB 4i, M BA 2i
4i
θB
QBA MBA
MBA<0
• 付系数 kij= kji── 基本体系在Δj=1单独作用时，在第 i个 附 加约束中产生的约束力矩和约束力，可正、可负、可为零；
• 自由项 FiP── 基本体系在荷载单独作用时，在第 i个 附加约 束中产生的约束力矩和约束力，可正、可负、可为零；
•由形常数作Mi (Di 1引起的弯矩图)，由载常数作M P (荷载引起 的弯矩图)；再由结点矩平衡求附加刚臂中的约束力矩，由截 面投影平衡求附加支杆中的约束力。
位移法的基本未知量是独立的结点位移；基本体系是 将基本未知量完全锁住后，得到的超静定梁的组合体。
1、基本未知量的确定： 结点角位移的数目=刚结点的数目
为了减小结点线
位移数目，假定： Δ
①忽略轴向变形，
P P
②结点转角和弦转
θC
角都很微小。
Δ θD P
Δ
P
Δ
Δ
θC
2、基本体系的确定：
即：受弯直杆变形前后，两端之间的距离保持不变。
θB
转角位移方程
QBA MBA
5、已知杆端弯矩求剪力：取杆 件为分离体建立矩平衡方程：
QAB
M
AB
l
M
BA
QA0B
注：1、MAB,MBA绕杆端顺时 针转向为正。
2、
Q0 AB
是简支梁的剪力。
MAB QAB
MAB
Q’‘ AB
Q0 AB
P
MBA
+
P
QBA MBA
Q’‘ BA
Q0 B7A
§11-3 位移法的基本未知量和基本体系
基本方程—— 平衡条件
1
l
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A βA EI=常数
B l
ql2/24 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A
B
ql2/48
F1P
q ql2/12
q
F1
q
ql2/12 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A
C
C
F1=0
A A
A
C
θA
A A F1 0
A A F1 0
F1P B
F1P
2i M
3
Δ
由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数（表11-1）。
单跨超静定梁简图
θ=1
A
B
A
θ=1
A A
θ=1
A
B1
B
B
1
B
MAB
4i
6i l
3i
3i l
i
MBA
2i
6i l
0 0
－i
QAB= QBA
6i l
12i l2
3i l 3i
l2
0
5
3、载常数:由跨中荷载引 起的固端力
Δ1=δ11X1 + Δ1P=0
用时，附加约束1、2中产生的约束力矩和约束力；
•F12、F22(k12、k22) ── 基本体系在Δ2(=1)单独作用
时，附加约束1、2中产生的约束力矩和约束力；
•F1P、F2P── 基本体系在荷载单独作用时，附加约
束1、位2中移产法生方的程约的束力含矩义和：约基束本力；体系在结点位
移和荷载共同作用下，产生的附加约束中的 总约束力(矩)等于零。实质上是平衡条件。