八下《矩形与菱形》提优复习 含答案

第九章《矩形与菱形》提优复习
【知识图解】
【技法透析】
1．矩形是特殊的平行四边形，其性质可从三方面看
从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等．
运用矩形的性质可以证明线段相等或倍分，直线平行、角的相等等问题．
2．菱形的面积有两种计算方法
一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）
3．矩形的判定方法
(1)三个直角＋四边形＝矩形；
(2)－个直角＋平行四边形＝矩形；
(3)对角线相等＋平行四边形＝矩形；
(4)对角线相等且互相平分＋四边形＝矩形；
4．菱形的判定方法
(1)四边相等＋四边形＝菱形；
(2)－组邻边相等＋平行四边形＝菱形；
(3)对角线互相垂直＋平行四边形＝菱形；
(4)对角线互相垂直平分＋四边形＝菱形．
考点1矩形的判定
例1 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形，求证：四边形ADCE是矩形．
【切题技巧】由AB＝AC，D为BC中点可得AD⊥BC，即
∠ADC＝90°，要证明四边形ADCE为矩形，只需证明四边形ADCE
为平行四边形即可．
∵AB＝AC，D为BC中点，∴AD⊥BC，BD＝CD
∴∠ADC＝90°
∵四边形ABDE为平行四边形
∴BD AE，故CD AE
∴四边形ADCE为平行四边形
∴四边形ADCE是矩形
【借题发挥】矩形的判定方法有三种：①定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形，在证明一个四边形是矩形时，要充分运用已知条件，结合图形，灵活选择适当的判定方法．【同类拓展】1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、AE分别是∠BAC与∠BAF 的平分线，BE⊥AE．求证：AB＝DE．
考点2菱形中的计算问题
例2 如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝18°，求∠CEF的度数．
【切题技巧】由已知∠B＝60°，∠BAE＝18°，则∠AEC＝78°，欲求∠CEF的度数，只要求出∠AEF的度数即可，由∠EAF＝60°，结合已知条件易证△AEF为等边三角形，从而∠AEF＝60°．
【规范解答】连结AC．
∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠ACB＝∠ACF．
又∵∠B＝60°∴△ABC是等边三角形．
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．∴∠ACF＝∠B＝60．
又∵∠EAF＝∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，∴△
ABE≌△ACF
∴AE＝AF，∴△AEF为等边三角形．
∴∠AEF＝60°
又∵∠AEF＋∠CEF＝，∠B＋∠BAE，∠BAE＝18°，
∴∠CEF ＝18°
【借题发挥】 当菱形有一个内角为60°时，连接菱形较短的对角线得到两个等边三角形，有助于求相关角的度数．在求角的度数时，一定要注意已知角与所求角之间的关系．
【同类拓展】 2．如图，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝2cm ，E ，F 分别是BC 、CD 的中点，连结AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为( )
A ．2 3cm
B ．33 m
C ．43 cm
D ．3 cm
考点3 菱形的轴对称性应用
例3 如图所示，在边长为6的菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，点E 为AB 的中点，点F 是AC 上一动点，求EF ＋BF 的最小值．
【切题技巧】 连结BD ，由条件知△ABD 为等边三角形，且B 、D 两点关于直线AC 对称，连结DE ，则DE ⊥AB 交AC 于点M ，点M 即为所求的点F 的位置，
【规范解答】 连结DB 、DE ，设DE 交AC 于M ，连结MB 、DF ．
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC 、BD 互相垂直平分，
∴点B 关于AC 的对称点为D ，
∴FD ＝FB ，EF ＋FB ＝EF ＋FD ≥DE ，只有F 运动到
点M 时，取等号，△ABD 中，AD ＝AB ，∠DAB ＝60°，
所以△ABD 是等边三角形．
又∵E 为AB 的中点
∴DE ⊥AB 即∠AED ＝90°
∴DE ＝22226333AD AE -=-=
∴EF ＋FB 的最小值为33
【借题发挥】 应联想到两点之间线段最短，对称点，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等的有关知识，解决此类问题．
【同类拓展】 3．（“希望杯”竞赛）如图，在菱形ABCD 中，∠DAB ＝120°，点E 平分DC ，点P 在BD 上，且PE ＋PC ＝1，那么边AB 的最大值是_______．
考点4 面积法求解矩形问题
例4 如图，在矩形ABCD 中，已知AD ＝12，AB ＝5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD ，PF ⊥AC ，E 、F 分别是垂足，那么PE ＋PF ＝_______．
【切题技巧】 连结PO ，由于S △DPO ＋S △APO ＝S △DAO ，DO ＝AO ，DO 、AO 、S △AOD 均可求．因此可以求出PE ＋PF 的长．
【规范解答】 连结PO ．
【借题发挥】 (1)矩形的面积公式S 矩形＝长×宽（两邻边的乘积）
(2)矩形是中心对称图形，过对称中心的任一直线平分矩形的面积．
(3)如图19－8所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，则：
①S △ABO ＝S △BCO ＝S △COD ＝S △DAO ＝14S 矩形ABCD ②S △ABC ＝S △BCD ＝S △CAD ＝S △ABD ＝12
S 矩形ABCD ③当点E 在BC 上移动时，S △ADE ＝12
S 矩形ABCD ④ABC ≌△DCB ≌△CDA ≌△BAD
【同类拓展】 4．如图所示，矩形ABCD 中，E 是BC 上的点，F 是CD 上的点，已
知S △ABE ＝S △ADF ＝13S 矩形ABCD ． 求AEF CEF
S S ∆∆的值．
参考答案
1.略
2.B 3 4.5。